Introdução à Probabilidade

A probabilidade é usada sempre que o indivíduo toma decisões em situações de incerteza. A utilização da probabilidade indica a existência de um elemento ao acaso, ou de incerteza, quanto a ocorrência ou não de um evento. Uma experiência aleatória é aquela comporta resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos.

ESPAÇO AMOSTRAL

Conjunto de todos os eventos simples de uma experiência aleatóriaNo lançamento de um dado:

S={1,2,3,4,5,6}

MEDIDAS DE PROBABILIDADE

nmAP )(

Onde:

m = número de casos favoráveis ao evento An = número de casos possíveis

Exemplos:

1 - Jogando-se uma moeda duas vezes, temos os seguintes resultados:

CARA-CARACARA-COROACOROA-CARACOROA-COROA

Qual a possibilidade de obtermos cada uma dos seguintes resultados ?

- Zero Cara ?- Uma Cara ?- Duas Caras ?

2 - Jogando-se uma moeda três vezes, temos os seguintes resultados: CARA-CARA-CARA COROA-COROA-CARA CARA-CARA-COROA COROA-CARA-COROA CARA-COROA-CARA CARA-COROA-COROA COROA-CARA-CARA COROA-COROA-COROA

Qual a possibilidade de obtermos cada uma dos seguintes resultados ?

- Zero Cara ?- Uma Cara ?- Duas Caras ?- Três Caras ?

Exemplos:

Problema1: Qual a probabilidade de se obter o total 5 (soma =5) na jogada de 2 dados?

Solução: Há 36 resultados possíveis, isto é N=36 ou (62)

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

O evento A consiste em obter soma = 5Há 4 resultados possíveis: (1,4) (2,3) (3,2)

(4,1)Então: P(A) = n(A) / N = 4/36 = 1/9

Problema2: Qual a probabilidade de um ÁS na extração de uma carta de um baralho?

Solução: Há 52 resultados possíveis, isto é N=52O evento A consiste em obter um ÁSHá 4 resultados possíveis: ÁS de ouro; ÁS de copa; ÁS de paus; ÁS de espadaEntão: P(A) = n(A) / N = 4/52 = 1/13

Problema3: Qual a probabilidade de se obter uma bola branca numa urna que contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas?

Solução: Há 12 resultados possíveis, isto é N=12O evento A consiste em obter uma bola branca.Há 5 resultados favoráveis: Então: P(A) = n(A) / N = 5/12

Problema 4: Qual a probabilidade de se obter duas bolas brancas numa urna que contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas?

Solução: Neste caso temos que fazer uma consideração inicial: Se é um experimento com reposição (bola é devolvida à urna após a observação) ou sem reposição (a bola não é devolvida à urna após a observação)

Com reposição: Probabilidade da primeira bola ser branca

P(B) = n(A) / N = 5/12

Probabilidade da segunda bola ser branca

P(B) = n(A) / N = 5/12

Probabilidade das duas serem brancas P(B,B) = (5/12).(5/12) = 25/144

Isto é, probabilidade de se obter bola branca na primeira bola vezes a probabilidade de seobter bola branca na segunda.

Sem reposição: Probabilidade da primeira bola ser branca

P(B) = n(A) / N = 5/12 Probabilidade da segunda bola ser branca

P(B) = n(A) / N = 4/11 Probabilidade das duas serem brancas P(B,B) = (5/12).(4/11) = 20/132

REGRAS BÁSICAS DE PROBABILIDADE

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1

2. Regra da adição de probabilidades)()()()( BAPBPAPBAP

Caso os eventos sejam mutamente exclusivos:

)()()( BPAPBAP

3. Probabilidade de um evento complementar

)(1)( APAP

Multiplicação de probabilidades e independência estatística

Dois eventos são estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro.A probabilidade de obter uma seqüência regula de sucessos pode ser calculada como o produto das probabilidades associadas com os acontecimentos em cada lance.

)()()( BPAPBAP

Sejam A e B eventos de um experimento tal que a ocorrência de B influencie a ocorrência de A. Então a probabilidade de A ocorrer dado que B tenha ocorrido (Probabilidade Condicional) é:

PROBABILIDADE CONDICIONADA

Eventos Independentes

Novo ExemploVamos ver o ocorre se jogarmos uma moeda 4 vezes ?

Eventop caras

Resultados Possíveis C=coroa K=cara

Probabilidadede p caras

0

1

2

3

4

CCCC

CCCK CCKC CKCC KCCC

CCKK CKCK KCCKKKCC KCKC CKKC

KKKC KKCK KCKK CKKK

KKKK

1/16

4/16

6/16

4/16

1/16

E para o Lançamento de 5 vezes uma moeda ?

Da Análise Combinatória, tem-se que este é um exercíciodo tipo Combinação de n x p

p Número de Combinaçõescom p caras

Probabilidade de p caras

0

1

2

3

4

5

5! / ( 0! x 5! ) = 1

5! / ( 1! x 4! ) = 5

5! / ( 2! x 3! ) = 10

5! / ( 3! x 2! ) = 10

5! / ( 4! x 1! ) = 5

5! / ( 5! x 0! ) = 1

Total 2n = 32 1,0

1/32

5/32

10/32

10/32

5/32

1/32

C = n !p ! (n - p) !n

p