aula 1: introdução à probabilidade

Introdução à Probabilidade Probabilidade Condicional Independência Variável Aleatória

Aula 1: Introdução à Probabilidade

Prof. Leandro Chaves Rêgo

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE

Recife, 07 de Março de 2012


Experimento Aleatório

Um experimento é qualquer processo de observação. Por exemplo, consideremedirmos a corrente elétrica em um fio de cobre ou medirmos o peso de umtijolo. Quando repetimos tal experimento, os resultados podem diferir. Estavariação de resultados é denominada de componente aleatório do nossoexperimento.Se as variações forem desprezíveis, estas podem ser ignoradas. Porém,frequentemente nos deparamos com situações onde é importante levar asvariações em consideração.

O objetivo de se estudar Probabilidade e Estatística é compreender, quantificare modelar os tipos de variações ou fenômenos aleatórios que encontramos comfrequência.


Experimento Aleatório

Os seguintes traços caracterizam um experimento aleatório:

(a) Se for possível repetir as mesmas condições do experimento, os resultadosdo experimento em diferentes realizações podem ser diferentes, ou seja,existem variáveis ou fatores que não consegue-se controlar.

(b) Pode-se descrever o conjunto de todos os possíveis resultados doexperimento.

(c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, umaconfiguração definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade quetorna possível construir um modelo probabilístico.

Os resultados de um experimento aleatório são caracterizados pelos seguintescomponentes:

1 o conjunto de resultados possíveis Ω;

2 a coleção de conjuntos de resultados de interesse A;

3 um valor numérico P da verossimilhança ou probabilidade de ocorrênciade cada um dos conjuntos de resultados de interesse.


Espaço Amostral

O conjunto de possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado deespaço amostral. Existem quatro pontos que são desejáveis da especificação deum espaço amostral:

SS1. listar os possíveis resultados do experimento;

SS2. fazê-lo sem duplicação;

SS3. fazê-lo em um nível de detalhamento suficiente para os interessesdesejados;

SS4. especificar essa lista completamente em um sentido prático, emborausualmente não completa no que se refere a todos os resultadoslogicamente ou fisicamente possíveis.

Por exemplo, em uma única jogada de uma moeda poderíamos ter:

Ω1 = cara, coroa; Ω2 = cara, coroa, borda; ou Ω3 = (x , y) ∈ IR2,onde (x , y) são as coordenadas do centro da moeda após parar.

Espaços amostrais podem ser enumeráveis ou não enumeráveis; se os elementosdo espaço amostral podem ser colocados em uma correspondência 1-1 com umsubconjunto dos inteiros, o espaço amostral é enumerável.


Exemplos

Exemplo

Se estivermos interessados no número de chamadas que chega a uma centraltelefônica em um dado intervalo de tempo, temos que o espaço amostralpode ser o conjunto de inteiros não-negativos IN .

Exemplo

Se estivermos medindo o peso de 1 tijolo produzido em uma fábrica, temosque o espaço amostral pode ser o conjunto de reais não-negativos IR+. Seestivermos medindo o peso de 2 tijolos produzidos em uma fábrica, temosque o espaço amostral pode ser o conjunto IR+ × IR+.


Eventos e Coleção de Eventos

Um evento é um subconjunto do espaço amostral.

Se ao realizarmos um experimento aleatório, o resultado pertence a umdado evento A, dizemos que A ocorreu.

Utilizaremos as operações Booleanas de conjuntos (complementar, união,intersecção, diferença) para expressar eventos combinados de interesse.

Definição

Dado um espaço amostral Ω e um conjunto qualquer I, uma partiçãoΠ = Aα, α ∈ I de Ω é uma coleção de eventos que satisfaz:

P1. Para todo α 6= β, Aα ∩ Aβ = ∅;

P2. ∪α∈IAα = Ω.

Portanto, cada elemento ω ∈ Ω pertence a um, e somente um, dos eventos Aα

de uma partição.

Se dois eventos não possuem nenhum resultado em comum, diz-se que sãodisjuntos ou mutuamente exclusivos.


Alguns Exemplos

Exemplo

Sejam A, B, e C eventos em um mesmo espaço amostral Ω. Expresse osseguintes eventos em função de A, B, e C e operações Booleanas deconjuntos.

(a) Pelo menos um deles ocorre.

(b) Exatamente um deles ocorre.

(c) Pelo menos dois ocorrem.

(d) No máximo dois deles ocorrem.

(e) Ambos A e B ocorrem, mas C não ocorre.

Exemplo

A coleção de intervalos (n, n + 1] : n ∈ Z é uma partição dos números reaisIR .


Frequências Relativas

Resta-nos discutir o terceiro elemento para modelagem do raciocínioprobabilístico, a associação de uma medida numérica a eventos querepresentam a probabilidade com que eles ocorrem. As propriedades destaassociação são motivadas em grande parte pelas propriedades de frequênciarelativas. Ao repetirmos um experimento aleatório n vezes sua frequênciarelativa nada mais é que a fração de vezes que este evento ocorre, ou seja,

Definição

A frequência relativa de um evento A determinada por n repetições de umexperimento aleatório é

rn(A) =Nn(A)

n,

onde Nn(A) é o número de vezes que o evento A ocorreu nas n realizaçõesdo experimento.


Exemplo

Suponha que lança-se um dado 10 vezes e obtém-se a seguinte sequência deresultados: 1, 2, 2, 6, 5, 4, 4, 4, 6, 1. A frequência relativa do evento A = 2, 4é igual a r10(A) = 5/10, a frequência relativa do evento B = 3, 5 é igual ar10(B) = 1/10 e a frequência relativa de A ∪ B é igual a r10(A ∪ B) = 6/10.


Frequências Relativas

Propriedades chaves da frequência relativa são:

FR0. rn : A → IR .

FR1. rn(A) ≥ 0.

FR2. rn(Ω) = 1.

FR3. Seja Ai , i = 1, 2, . . . , k , uma coleção finita de eventos disjuntos par a par.Então, rn(∪

ki=1Ai ) =

∑k

i=1 rn(Ai ).

Assumiremos que ao aumentarmos o número de repetições do experimento, afrequência relativa de um evento A tende a se estabilizar ao redor de umnúmero P(A), que chamamos de probabilidade do evento A. Salientamos que osentido de convergência quando n cresce só pode ser explicado pela Lei dosGrandes Números, que não será discutida em detalhes neste curso. Estatendência da frequência relativa de estabilizar em um certo valor é conhecidacomo regularidade estatística. Deste modo, P herdará propriedades dafrequência relativa rn.


Axiomas de Kolmogorov

São um conjunto de propriedades que definem que tipos de funçõesmatemáticas podem ser adotadas para descrever um modelo probabilístico. Osprimeiro quatro axiomas podem ser motivados pelas propriedades de frequênciarelativa.

K0. Inicial. O experimento aleatório é descrito pelo espaço de probabilidade(Ω,A,P) que consiste do espaço amostral Ω, de uma coleção A deeventos de Ω, e de uma função de valores reais P : A → IR .

K1. Não-negatividade. ∀A ∈ A,P(A) ≥ 0.

K2. Normalização Unitária. P(Ω) = 1.

K3. Aditividade Finita. Seja Ai , i = 1, 2, . . . , n, uma coleção finita de eventosdisjuntos par a par. Então, P(∪n

i=1Ai ) =∑n

i=1 P(Ai ).

Um último axioma foi proposto por Kolmogorov para garantir um certo grau decontinuidade da medida de probabilidade.

K4. σ-aditividade. Se Ai é uma coleção enumerável de eventos disjuntosdois a dois, então

P(∪∞i=1Ai ) =

∞∑

i=1

P(Ai ).


Medida de Probabilidade

Definição

Uma função que satisfaz K0—K4 é chamada de uma medida deprobabilidade.

Observação

Os axiomas de Kolmogorov não descrevem um único modelo probabilístico,eles apenas determinam uma família de modelos probabilísticos, a escolhade um modelo específico satisfazendo os axiomas é feito peloanalista/estatístico familiar com o fenômeno aleatório sendo modelado.


Exemplos de Medidas de Probabilidade

Exemplo

Se Ω for um conjunto finito, então temos que a probabilidade clássica queassume que todos os resultados são igualmente prováveis, é um exemplo deuma medida de probabilidade. Neste caso, temos que

P(A) =||A||

||Ω||,

onde ||A|| é o número de elementos de A. O fato que 0 ≤ ||A|| ≤ ||Ω|| e que

||A ∪ B|| = ||A|| + ||B|| − ||A ∩ B||,

permitem que verifiquemos que P satisfaz os axiomas de Kolmogorov.

Exemplo

Seja Ω = ω1, ω2, . . . , ωn um conjunto finito, e seja P(ωi) = pi , ondepi ≥ 0,

∑n

i=1pi = 1, e P(A) =

∑

ωi∈A P(ωi). Neste caso, também é fácilverificar que P é uma medida de probabilidade verificando os axiomas.Portanto, no caso de qualquer conjunto finito (ou infinito enumerável),pode-se calcular a probabilidade de qualquer evento somando-se asprobabilidades dos eventos que consistem de resultados individuais.


Propriedades de Probabilidade

Teorema

Se P é uma medida de probabilidade, então

1 P(Ac ) = 1 − P(A).

2 P(∅) = 0.

3 P(A) ≤ 1.

4 Se A ⊆ B, então P(A) ≤ P(B).

5 P(A ∪ B) ≥ max(P(A),P(B)) ≥ min(P(A),P(B)) ≥ P(A ∩ B).

6 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).

7 Se Ai é uma partição enumerável de Ω feita de conjuntos em A, entãopara todo B ∈ A

P(B) =∑

i

P(B ∩ Ai ).

8 P(∪ni=1Ai ) ≤

∑n

i=1 P(Ai ).

9 P(A1 ∪ A2 ∪ A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)− P(A1 ∩ A2)− P(A1 ∩A3)− P(A2 ∩ A3) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3).


Exercícios

Exemplo

Uma peça selecionada para teste é igualmente provável de ser produzida emqualquer uma de seis ferramentas de corte.

(a) Qual o espaço amostral?

(b) Qual é a probabilidade da peça ser proveniente da ferramenta 3 ou 5?

(c) Qual é a probabilidade da peça não ser da ferramenta 4?


Exercícios (cont.)

Exemplo

Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, com P(A) = 0,2,P(B) = 0,3 e P(C ) = 0,4, determine:

(a) P(A ∩ B ∩ C ).

(b) P(Ac ∪ (B ∪ C )).

(c) P((A ∪ B) ∩ C ).

Exemplo

Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, será possível obterP(A) = 0,3, P(B) = 0,4 e P(C ) = 0,5? Justifique.


Princípios de Contagem

Amostragem com Reposição. Dado um conjunto com n elementosdistintos, existem nk sequências distintas de comprimento k escolhidadesse conjunto com repetidas seleções do mesmo elemento sendopermitida.

Amostragem sem Reposição. Dado um conjunto com n elementosdistintos, existem n(n − 1)(n − 2)(n − k + 1) sequências distintas decomprimento k escolhida desse conjunto com repetidas seleções domesmo elemento não sendo permitida.

Permutações. Dado um conjunto com n elementos distintos, existemn(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1) , n! maneiras de ordenar sequncialmente esteselementos. n! é chamado de em fatorial de n.

Subconjuntos. Dado um conjunto com n elementos distintos, existemn!

k!(n−k)!=

(

n

k

)

diferentes subconjuntos de k elementos. Recorde que emum conjunto a ordem dos elementos não importa, por isso existem menossubconjuntos que sequências de um mesmo tamanho de um dadoconjunto.

(

n

k

)

é chamado de binomial de n, k a k , e determina o númerode maneiras de se escolher k elementos de um conjuntos com nelementos.


Exercícios (cont.)

Exemplo

Dentre 8 números positivos e 6 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números(sem reposição) e multiplicam-se esses números. Qual é a probabilidade queo produto seja um número positivo?


Exercícios (cont.)

Exemplo

Em um grupo de r pessoas qual a probabilidade de haver pelo menos duaspessoas que façam aniversário no mesmo dia, assumindo que a distribuiçãode aniversários é uniforme ao longo do ano e desprezando a existência deanos bissextos?


Exercícios (cont.)

Solução: O número de resultados possíveis para os aniversários de r pessoas é365r . O número de casos possíveis onde todas as pessoas fazem aniversário emdias diferentes é dado por 365 × 364 × · · · × (365 − (r − 1)). Portanto, onúmero de casos possíveis onde pelo menos duas pessoas fazem aniversário nomesmo dia é a diferença entre o número total de aniversários possíveis e onúmero de casos onde as pessoas têm aniversários em datas diferentes, ou seja,é igual a

365r − 365 × 364 × · · · × (365 − (r − 1)).

Logo, a probabilidade deste evento é:

1 −365 × 364 × · · · × (365 − (r − 1))

365r.

Para r = 23, temos que essa probabilidade é aproximadamente igual a 0, 51. Epara r = 50, essa probabilidade é igual a 0, 97.


Exercícios (cont.)

Exemplo

Doze pessoas são divididas em três grupos de 4. Qual é a probabilidade deduas determinadas dessas pessoas ficarem no mesmo grupo?


Exercícios (cont.)

Solução: O número total de divisões de doze pessoas em 3 grupos de 4 é iguala(

12

4

)(

8

4

)(

4

4

)

. Vamos agora contar o número de casos favoráveis ao nossoevento. Existem 3 opções de escolhermos em qual grupo as duas pessoasdeterminadas podem ficar. Das 10 pessoas restantes, temos que escolher maisduas para estarem neste grupo, o que podemos fazer de

(

10

2

)

maneirasdiferentes. E temos

(

8

4

)(

4

4

)

maneiras diferentes de dividir as outras 8 pessoasnos dois grupos restantes. Portanto, a probabilidade de duas determinadaspessoas ficarem no mesmo grupo é:

3(

10

2

)(

8

4

)(

4

4

)

(

12

4

)(

8

4

)(

4

4

) =311

.


Probabilidade Condicional

Probabilidade é baseada em informação e conhecimento. Nosso objetivo ésaber como atualizar o valor da probabilidade quando esta base de informaçãoou conhecimento é alterada. Em particular, como alterar a probabilidade de umdado evento A quando sabe-se que um determinado evento B ocorreu?

Seja n o número de vezes que repete-se um experimento. Seja NA (resp.,NB > 0 e NA∩B) o número de vezes que o evento A (resp., B e A ∩ B) ocorrenessas n repetições. A probabilidade condicional de A dado que sabe-se que Bocorreu, P(A|B), segundo uma interpretação frequentista, sugere que ela deveser igual ao limite das frequências relativas condicionais do evento A dado oevento B, isto é, deve ser o limite NA∩B/NB quando n tende ao infinito. SejarA = NA/n a frequência relativa do evento A. Note que NA∩B/NB = rA∩B/rB eque segundo a interpretação frequentista de probabilidade rA∩B/rB éaproximadamente igual a P(A ∩ B)/P(B) para valores grandes de n.



Definição

Seja (Ω,A,P) um espaço de probabilidade. Se A,B ∈ A e P(B) > 0 aprobabilidade condicional de A dado B é definida por

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

Teorema

Seja B um evento tal que P(B) > 0, então:

1 P(A|B) ≥ 0.

2 P(Ω|B) = 1.

3 Se A1,A2, . . . é uma coleção enumerável de eventos disjuntos par a par,então P(∪iAi |B) =

∑

i P(Ai |B).



Observação

Este teorema implica que para um evento fixo B que satisfaz P(B) > 0, afunção P(·|B) : A ⇒ IR satisfaz todos os axiomas de Kolmogorov e portantoé uma medida de probabilidade. Logo, todas as propriedades válidas paraprobabilidade incondicional continuam válidas para probabilidadecondicional.

A probabilidade condicional também satisfaz as seguintes propriedades:

1 P(B|B) = 1;

2 P(A|B) = P(A ∩ B|B);

3 se A ⊇ B, então P(A|B) = 1;

4 P(A ∩ B|C ) = P(A|B ∩ C )P(B|C ).

5 P(A1 ∩ A2) = P(A1|A2)P(A2).

6 P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1|A2 ∩ A3)P(A2 ∩ A3) =P(A1|A2 ∩ A3)P(A2|A3)P(A3).


Exemplos

Exemplo

Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes,independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é aprobabilidade condicional de

(a) pelo menos um dos números ser 6,

(b) a soma dos números ser 8?

Solução: Para parte (a), note que existem 30 resultados possíveis para oslançamentos do dado de modo que o mesmo número não se repita, dosquais 10 o número 6 ocorre. Portanto, esta probabilidade é igual a 1/3.Para parte (b), note que existem 4 resultados possíveis que somam 8 dadoque os números são diferentes, logo esta probabilidade é igual a 4/30.


Exemplo

Um lote contém 15 moldes provenientes de um fornecedor local e 25 de umfornecedor de um estado vizinho. Três moldes são selecionados ao acaso e semreposição. Seja Ai o evento um que o i-ésimo molde selecionado sejaproveniente do fornecedor local. Determine:

(a) P(A1).

(b) P(A2|A1).

(c) P(A1 ∩ A2).

(d) P(A1 ∪ A2).

(e) P(A1 ∩ A2 ∩ A3).

(f) P(A1 ∩ A2 ∩ Ac3).


Teorema da Probabilidade Total

Utilizando este teorema pode-se obter uma probabilidade (incondicional) deuma probabilidade condicional.

Teorema

Seja a sequência de eventos B1,B2, . . . uma partição de Ω, então para todoA ∈ A

P(A) =∑

i :P(Bi ) 6=0

P(A|Bi )P(Bi )

Interpretação: B1,B2, . . . são possíveis causas e o evento A é um efeitoparticular associado a uma causa, P(A|Bi ) especifica a relação estocásticaentre a causa Bi e o efeito A.


Teorema da Probabilidade Total

Por exemplo, seja D ,Dc uma partição do espaço amostral, onde D é oevento que um dado indivíduo possui uma certa doença. Seja A o evento quedeterminado teste para o diagnóstico da doença deu positivo. Então,

P(A|Dc) - falso positivo.

P(Ac |D) - falso negativo.

Estas probabilidades determinam a qualidade do teste, quanto menores asprobabilidades de falso negativo e falso positivo melhor a qualidade doteste.

Caso as probabilidades P(D),P(A|D),P(A|Dc) sejam conhecidas pode-seusando o Teorema da Probabilidade Total obter a probabilidade incondicionalde determinado exame dar positivo P(A). Porém geralmente, o que se busca ésaber que dado que o resultado de um exame deu positivo qual a probabilidadede que o indivíduo esteja doente.


Fórmula de Bayes

Pode-se obter esta probabilidade utilizando a famosa fórmula de Bayes:

P(D |A) =P(A ∩ D)

P(A ∩ D) + P(A ∩ Dc)

=P(A|D)P(D)

P(A|D)P(D) + P(A|Dc)P(Dc).

Mais geralmente, quando temos uma partição B1,B2, . . ., a fórmula de Bayes édada por:

P(Bi |A) =P(A ∩ Bi )

∑

j P(A ∩ Bj)=

P(A ∩ Bi )∑

j :P(Bj ) 6=0P(A ∩ Bj )

=P(A|Bi )P(Bi )

∑

j :P(Bj ) 6=0 P(A|Bj )P(Bj ).

As probabilidades P(Bi ) são usualmente chamadas de probabilidades a priori eas probabilidades condicionais P(Bi |A) são chamadas de probabilidades aposteriori.


Exemplos

Exemplo

Jogos do campeonato paulista de futebol ocorrem durante a semana etambém nos fins de semana. Suponha que exatamente metade dos jogosocorram nos fins de semana. Suponha ainda que o São Paulo ganhe 50%dos jogos durante o fim de semana, e perca em 20% de seus jogos no fim desemana. Finalmente, suponha que o São Paulo ganhe todos os jogos queocorrem durante a semana.

(a) Determine a probabilidade do São Paulo empatar um jogo qualquer.

(b) Dado que o São Paulo ganhou seu último jogo, qual a probabilidadedeste jogo ter ocorrido durante a semana?


Exemplos

Exemplo

Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se,sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine aprobabilidade da primeira bola ser branca sabendo que a segunda bola ébranca.Solução: Sejam B1 e B2 os eventos a primeira bola é branca e a segundabola é branca, respectivamente. Queremos calcular P(B1|B2). Utilizando afórmula de Bayes, temos

P(B1|B2) =P(B2|B1)P(B1)

P(B2|B1)P(B1) + P(B2|Bc1 )P(Bc

1 ).

Mas P(B2|B1) =39, P(B2|B

c1 ) =

49, P(B1) =

410

e P(Bc1 ) =

610

. Logo,

P(B1|B2) =39· 4

1039· 4

10+ 4

9· 6

10

=21525

=13.


Exemplos

Exemplo

Se P(C |D) = 0, 4 e P(D |C ) = 0, 5, que evento é mais provável C ou D?


Exemplos

Exemplo

Uma fábrica tem 3 máquinas que produzem o mesmo ítem. As máquinas A eB são responsáveis, cada uma, por 40% da produção. Quanto à qualidade,as máquinas A e B produzem 10% de ítens defeituosos cada uma, enquantoa máquina C apenas 2%. Um ítem é selecionado ao acaso da produçãodessa fábrica.

(a) Qual a probabilidade do ítem selecionado ser defeituoso?

(b) Se o ítem selecionado for defeituoso, qual a probabilidade que tenhasido produzido pela máquina A?


Independência

Intuição: dois eventos são independentes se eles não têm nada haver um com ooutro, eles são totalmente não relacionados; a ocorrência de um não temnenhuma influência sobre o outro. Por exemplo, resultados de lançamentossucessivos de uma moeda.

Pode-se usar probabilidades condicionais para formalizar esta intuição daseguinte forma, A é independente de B se P(A|B) = P(A). Mas usando adefinição de probabilidade condicional, chega-se a seguinte conclusão A éindependente de B se P(A ∩ B) = P(A)P(B). Como esta última expressão édefinida inclusive para o caso de P(B) = 0, ela é a expressão adotada como adefinição de independência entre eventos.

Definição

O evento A é independente do evento B se P(A ∩ B) = P(A)P(B).


Independência

Note que esta definição de independência implica que independência é umconceito simétrico em teoria da probabilidade, isto é, A é independente de B see somente se B é independente de A. Note que esta definição também implicaque eventos A e B são independentes se P(A) = 0 ou P(B) = 0.

Teorema

A é independente dele mesmo se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1.

Prova:

P(A ∩ A) = P(A) = P(A)P(A)

⇔ P(A) = 0 ou P(A) = 1.


Independência

Intuitivamente, se A é independente de B o fato que B não ocorreu, ou sejaque Bc ocorreu, não deve alterar a probabilidade de A. Portanto, é de seesperar que se A e B são independentes, então A e Bc também são. Oseguinte teorema prova que esta intuição é verdadeira.

Teorema

Se A e B são eventos independentes, A e Bc (resp., Ac e B, Ac e Bc ) tambémo são.


Independência

O conceito de independência também se aplica a uma coleção arbitrária deeventos Aii∈I , onde I é um conjunto de índices. Neste caso, têm-se duasdefinições.

Definição

Uma coleção de eventos Aii∈I é independente par a par se para todoi 6= j ∈ I, Ai e Aj são eventos independentes.

Definição

Uma coleção qualquer de eventos Aii∈I é mutuamente independente separa todo J ⊆ I finito,

P(∩i∈JAi ) =∏

i∈J

P(Ai ).


Exemplos

Considere os seguintes exemplos que ilustram o conceito de independência.

Exemplo

Se Ω = 1, 2, 3, 4 e P(w) = 1/4, então A = 1, 2, B = 1, 3, e C = 2, 3são eventos independentes par a par. Pode-se verificar isto pelo fato que

P(A ∩ B) = P(1) =14=

12

12= P(A)P(B).

Similarmente, pode-se provar o mesmo resultado para os outros pares.Contudo, a probabilidade

P(A ∩ B ∩ C ) = P(∅) = 0 6= P(A)P(B)P(C ) =18.

Então, A, B, e C não são mutuamente independentes.


Exemplos

Exemplo

Assuma que A1, . . . ,An são eventos mutuamente independentes e queP(Ai ) = pi . Nós calculamos as probabilidades dos seguintes eventos:

O evento A é o evento que todos estes eventos ocorrem, então

P(A) = P(∩ni=1Ai ) =

n∏

i=1

P(Ai ) =

n∏

i=1

pi

O evento B é o evento que nenhum desses eventos ocorre, então

P(B) = P(∩ni=1A

ci ) =

n∏

i=1

P(Aci ) =

n∏

i=1

(1 − pi )

O evento C é o evento que pelo menos um desses eventos ocorre, entãoC = Bc

P(C ) = P(Bc) = 1 − P(B) = 1 −n∏

i=1

(1 − pi )


Exemplos

Exemplo

Considere que um dado honesto é lançado duas vezes. Defina os seguinteseventos:

A = O primeiro dado é igual a 1, 2, ou 3.

B = O primeiro dado é igual a 3, 4, ou 5.

C = A soma dos resultados das duas jogadas é igual a 9.

(a) Mostre que P(A ∩ B ∩ C ) = P(A)P(B)P(C ).

(b) Os eventos A, B, e C são mutuamente independentes? Justifique suaresposta.


Variável Aleatória

Suponha que uma moeda é lançada cinco vezes. Qual é o número de caras?Esta quantidade é o que tradicionalmente tem sido chamada de variávelaleatória. Intuitivamente, é uma variável porque seus valores variam,dependendo da sequência de lançamentos da moeda realizada; o adjetivo“aleatória” é usado para enfatizar que o seu valor é de certo modo incerto.Formalmente, contudo, uma variável aleatória não é nem “aleatória” nem éuma variável.

Quando os possíveis resultados do experimento aleatório não são numéricos éconveniente resumir estes resultados através de um número. Por isto, éimportante trabalhar com variáveis aleatórias.

Definição

Seja (Ω,A,P) um espaço de probabilidade. Uma função X : Ω → IR échamada de variável aleatória se para todo evento de interesse A em IR,X−1(A) = w ∈ Ω : X (w) ∈ A ∈ A.


Exemplo

Considere três lançamentos de uma moeda honesta. O espaço amostral paraeste experimento aleatório consiste de todas as possíveis sequências detamanho 3 de caras e coroas, isto é:

Ω = (cara, cara, cara), (cara, cara, coroa), (cara, coroa, cara),

(cara, coroa, coroa), (coroa, cara, cara), (coroa, cara, coroa),

(coroa, coroa, cara), (coroa, coroa, coroa).

Seja A o conjunto de todos os subconjuntos de Ω. Neste caso qualquer funçãoreal de Ω é uma variável aleatória. Por exemplo, seja X a diferença entre onúmero de caras e o número de coroas obtidos nos três lançamentos. Então, Xpode assumir quatro valores, 3, 1, -1, ou -3. Nosso objetivo é estudar aprobabilidade de X assumir cada um desses possíveis valores. Para issoveremos, diferentes maneiras de descrever o comportamento probabilístico deX dependendo se X assumir valores discretos ou contínuos.

Como a moeda é honesta cada um dos possíveis resultados em Ω tem a mesmaprobabilidade 1/8. Como poderemos obter então a probabilidade de X sernegativo?


Probabilidade Induzida

Dada uma variável aleatória X e uma coleção de eventos de interesse B de IR ,pode-se definir uma probabilidade induzida PX para todo A ∈ B da seguintemaneira: PX (A) = P(X−1(A)). Por definição de variável aleatória, tem-se queX−1(A) ∈ A, então PX está bem definida. Pode-se provar que PX satisfaz osaxiomas de Kolmogorov e portanto satisfaz todas as propriedades de umamedida de probabilidade.

No exemplo anterior, temos que se o evento de interesse A são todos os reaisnegativos, então X−1(A) são todos os resultados do experimento que nos dãovalores negativos para X , ou seja, são os resultados que contém menos carasque coroas: (cara, coroa, coroa), (coroa, cara, coroa), (coroa, coroa, cara) e(coroa, coroa, coroa). Portanto, PX (A) = 4 × 1/8 = 1/2.


Observações

Em muitos casos, os possíveis resultados do experimento aleatório já sãonuméricos e podemos descrevê-lo por (IR,B,PX ), onde X (w) = w , ∀w ∈ IR , ouseja, os resultados dos experimento aleatório já são numéricos e descrevem acaracterística de interesse que queremos analisar.

É importante enfatizar que é usual se referir a variáveis aleatórias por letrasmaiúsculas X ,Y ,Z , . . . e aos valores que tais variáveis podem assumir porletras minúsculas x , y , z , . . ..

Observação

Muitas vezes escreve-se P(X ∈ A) para representar P(w ∈ Ω : X (w) ∈ A).Por exemplo, P(X ≤ 5) = P(w ∈ Ω : X (w) ≤ 5).


Exemplo

Exemplo

Considere que lançamos 3 vezes uma moeda que tem probabilidade de caircara igual 2/3 . Seja X o número de coroas obtido. Determine:

(a) P(X < 3).

(b) P(1 < X < 3).

(c) P(X > 1|X < 3).


Função de Distribuição Acumulada

Para uma variável aleatória X , uma maneira simples e básica de descrever aprobabilidade induzida PX é utilizando sua função de distribuição acumulada.

Definição

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X ,representada por FX , é definida por

FX (x) = P(X ≤ x), ∀x ∈ IR .


Propriedades da Função de DistribuiçãoAcumulada

A função de distribuição acumulada FX satisfaz as seguintes propriedades:

F1. Não-decrescente. Se x ≤ y , então FX (x) ≤ FX (y).

F2. Continua à Direita. Se xn → x+, então FX (xn) → FX (x).

F3. Se xn → −∞, então FX (xn) → 0, e se xn → ∞, então FX (xn) → 1.

Teorema

Uma função real G satisfaz F1–F3 se e somente se G é uma função dedistribuição acumulada de alguma variável aleatória X .


Propriedades da Função de DistribuiçãoAcumulada

Condição F2 significa que toda função de distribuição acumulada FX é continuaà direita. Ainda mais, como FX é não-decrescente e possui valores entre 0 e 1,pode-se provar que ela tem um número enumerável de descontinuidades do tiposalto e que o tamanho do salto da função em um dado ponto a é igual aprobabilidade da variável aleatória assumir este valor, ou seja,

PX (a) = FX (a)− FX (a−).

Observação

FX (a−) = limx→a− FX (x) é o limite de FX (x) quando x tende a a por valores

menores que a, ou seja, o limite a esquerda FX (x) quando x tende a a.


Determinando Probabilidades de Intervalos

Suponha que saibamos que a função de distribuição acumulada de uma variávelaleatória X é dada por FX . Vamos ver como determinar a probabilidade de Xpertencer a um dado intervalo real. Considere números reais a e b, tais quea < b, então:

P(X ≤ a) = FX (a).

P(X > a) = 1 − P(X ≤ a) = 1 − FX (a).

P(X < a) = P(X ≤ a)− P(X = a) = FX (a)− (FX (a)− FX (a−)) = FX (a

−).

P(X ≥ a) = 1 − P(X < a) = 1 − FX (a−).

P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b)− P(X ≤ a) = FX (b)− FX (a).

P(a < X < b) = P(X < b)− P(X ≤ a) = FX (b−)− FX (a).

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b)− P(X < a) = FX (b)− FX (a−).

P(a ≤ X < b) = P(X < b)− P(X < a) = FX (b−)− FX (a

−).


Exercícios

Exemplo

Determine quais das seguintes funções são funções de distribuiçãoacumuladas, especificando a propriedade que não for satisfeita caso afunção não seja uma distribuição acumulada.

(a) ex

1+ex

(b) e−|x|


Exercícios

Exemplo

Considere a seguinte função G(x).

G(x) =

a − 2b se x < 0,ax se 0 ≤ x < 1,a + b(x − 1) se 1 ≤ x < 2,1 se x ≥ 2.

(a) Determine as restrições que as constantes a e b devem satisfazer paraque a função G(x) seja função de distribuição acumulada de algumavariável aleatória X .

(b) Determine o valor de P(1/2 ≤ X ≤ 3/2) em função de a e b.

aula 1: introdução à probabilidade

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