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Capítulo 1 Introdução à Física

Introdução à Física

Na preparação para o vestibular, a física é vista por muitos como complicada, principalmente quando não se trata de uma disciplina específica nos concursos. Talvez o grande empecilho seja o enfoque matemático usado por ela para a análise dos fenômenos. Todavia, quando os conceitos são bem compreendidos e frequentemente praticados através dos exercícios propostos, não há mais dificuldades.

Portanto, é muito importante a presença às aulas e a execução das tarefas extras em casa. É o esforço de cada um que determina o sucesso no vestibular. Principalmente em um contexto de competição, no qual há dezenas de pessoas por vaga concorrendo. É muito comum a desmotivação ao longo do ano, a desesperança e a vontade de desistir. Mas, sinceramente, vale insistir: isso é bem comum.

É um período longo e cheio de abdicações, em que nos privamos de muitos prazeres em busca de um objetivo maior. Mas tenha certeza: vale, e muito, a pena. O ingresso na universidade abre infinitas portas e somente 2% da população têm chance de se preparar para o concurso. Por isso, aproveite muito sua chance.

Nos textos que seguem, abordaremos os principais tópicos da física, todos que têm possibilidade de ocorrer em uma prova de vestibular. Procure lê-los calmamente, sem pressa de prosseguir caso haja alguma dúvida. Releia o que for preciso sempre que sentir insegurança. E pratique com os exercícios propostos. Muitos deles têm a intenção de fazê-lo refletir antes mesmo de que a teoria correspondente lhe seja apresentada. Por isso, de forma alguma veja a solução imediatamente.

Boa leitura!

1. A física A física é o estudo dos fenômenos naturais (natureza = physis, em grego). Até o fim do século XIX,

dividia-se em cinco grandes campos: a mecânica, o eletromagnetismo, a termologia, a óptica e o estudo das ondas. Atualmente, alguns desses campos fundiram e surgiram outros novos: a Física Relativística e a Física Quântica. Contudo, o novo foco da física só é estudado nas universidades. A relatividade trata de corpos com velocidades muito grandes, próximas da velocidade da luz. A física quântica trata de corpos muito pequenos, como os elétrons, e como eles se comportam.

EXTRA

_____________________________________________________________________________________ Os fenômenos naturais sempre intrigaram a humanidade. Desde coisas aparentemente simples, como

o movimento, até mesmo o sol e os relâmpagos. Contudo, em épocas mais antigas, havia outras necessidades bastante prioritárias à sobrevivência, que impediam que déssemos atenção às nossas curiosidades e questionamentos.

Foi no momento de estabilidade política e econômica da Grécia Antiga que, pela primeira vez na história, o homem pôde dedicar mais tempo ao desenvolvimento da intelectualidade. Surgia a ciência. Obviamente, não nos moldes atuais, mas era a sua essência. O ócio surgido em virtude do contexto histórico determinou uma série de paradigmas novos, culminando na ideologia básica de fomentação do saber e da arte, que rege nossa cultura até hoje.

O desenvolvimento intelectual grego iniciou-se com a matemática e com a língua, bastante sofisticada. O prosseguimento desses estudos deu origem à filosofia, que se desenvolveu de forma considerável, visto que a religião grega não constituía um empecilho, como normalmente ocorre. Na verdade, a religião grega era bastante “livre”, isto é, não existia uma entidade consistente com o objetivo de conservar a tradição ideológica, nem de controlar as interpretações das lendas. E, justamente por se tratarem de lendas, e não dogmas, havia um tom pessoal na religião, isto é, não existia uma interpretação oficial para elas.

A primeira “tese” registrada é de Tales de Mileto. Ele afirmou que todas as coisas eram feitas de água. Seu trabalho incentivou vários pensadores a dissertarem sobre o mesmo assunto. Pitágoras defendia que tudo era feito de números. Anaxímenes de Mileto propunha que as coisas, por condensação e rarefação, eram essencialmente compostas de ar. Anaximandro de Mileto afirmou que tudo era feito do indeterminado, algo que tinha como principal característica a não-definição. Heráclito de Éfeso tentou provar que as coisas eram feitas de

Tales de Mileto: primeiro passo na construção da filosofia ocidental, com o questionamento acerca da essência de todas as coisas.


fogo pois, assim como o fogo, “tudo flui” (tudo está em constante mudança – “é impossível banhar-se duas vezes no mesmo rio”).

Parmênides de Eléia contra-argumentou dizendo que se tudo muda, a lei das mudanças também mudará, e passará a haver algo que não muda. Logo, é impossível que tudo mude. E, em um pensamento diametralmente oposto, ele afirma que nada muda, pois tudo é feito do “ser”. Zenão de Eléia argumentava em defesa de Parmênides. Daí surge o famoso paradoxo de Aquiles e a tartaruga.

Esse grupo de filósofos gregos constituiu o embrião da ideologia do mundo ocidental. Podemos destacar três ícones: Sócrates, Platão e Aristóteles. Este último foi a peça-chave para o desenvolvimento da física, em especial pela Teoria da Causalidade. Aristóteles postulou que todas as coisas no mundo têm potência de mudança e, sob esse aspecto, a qualquer processo desencadeado é possível atribuir uma causa. Em outras palavras, tudo ocorre segundo a seqüência causa – fato – conseqüência. _____________________________________________________________________________________

2. Revisão matemática: potenciação e radiciação Antes de iniciarmos o estudo dos conceitos físicos, precisamos fixar alguns conceitos matemáticos

acerca de potenciação, em especial o uso da base 10. Se você já domina esse tema, deve pular este tópico.

( )10 10 10 ...10 x vezes

10 1000...0 (x zeros)

x

x

= ∗ ∗

=

É bastante comum encontrarmos também um expoente negativo:

110 0, 00...01 (x zeros, incluindo o zero à esquerda da vírgula)

10

x

x

− = =

Da mesma forma que podemos “passar” o 10 para o denominador da fração trocando o expoente para

o seu equivalente positivo, podemos também fazer o inverso:

110

10

x

x−=

Há ainda algumas propriedades interessantes da potenciação:

( ) .

10 10 10

1010

10

10 10

x y x y

xx y

y

yx x y

+

−

∗ =

=

=

Quando multiplicamos um número intero por 10, acrescentamos um zero à sua direita.

525*10 5250= Se multiplicamos um número inteiro por uma potência de 10 (10x), acrescentamos x zeros à sua

direita: 4525*10 5250000=

Se o fazemos com um número racional, devemos deslocar a vírgula x casa para a direita: 35,25178*10 5251,78=

Porém, se o número de casas à direita da vírgula não forem suficientes para completarmos a operação, devemos continuá-la complementando o número com zeros:

55,25*10 525000= O procedimento para efetuarmos a divisão por 10 e suas potências é exatamente o inverso:

2

3

4

5

525 /10 52,5

525 /10 5,25

525 /10 0,525

525 /10 0,0525

525 /10 0,00525

=

=

=

=

=

Propriedades gerais da potenciação


Seja a e b um número real qualquer. Generalizando as propriedades vistas de potenciação, podemos

escrever: 1. x y x ya a a +× =

2. x

x y

y

aa

a

−=

3. ( ) .yx x ya a=

Há ainda outras propriedades como:

4. ( ). .x x xa b a b=

5. x x

x

a a

b b

=

Radiciação Comumente calculamos a raiz quadrada de um número. Às vezes, até mesmo a raiz cúbica. A

radiciação é a operação inversa da potenciação. Podemos definir a raiz n-ésima de um número da seguinte forma:

1. 1

n na a= De forma mais geral, escrevemos

2. ( )11 .m m

n m m n n na a a a= = = .

Pelo fato de ser possível escrever uma raiz na forma de potenciação, seguem algumas outras

propriedades:

3. .n n na b a b× =

4. n

n

n

a a

bb=

5. Medidas Aqui, começamos de fato o estudo da física. Se a física é o estudo da natureza, precisamos de dados

para analisá-la. Esses dados são numéricos, são comparações com coisas já conhecidas. Medir, em termos técnicos, significa comparar. Podemos por enquanto traduzir como “interpretar a natureza como números”.

Sempre que desejamos realizar alguma medida, não a fazemos com perfeita exatidão. Isto é, há uma margem de erro correspondente ao próprio instrumento e também devida à falta de precisão humana. Por isso, quando queremos representar numericamente uma medida, devemos mostrar também a sua incerteza.

Por exemplo, imaginemos que vamos medir o comprimento de algo: Começando pelo zero, a outra extremidade do objeto ficou situada entre a medida 1,3 e 1,4. Dando

um “chute” para essa medida, podemos dizer que o objeto mede 1,36 cm. Ou seja, sempre que citamos uma medida, colocamos o último algarismo como sendo o algarismo

duvidoso. Isto é, dizer que esse objeto mede 1,36 cm significa afirmar que sua medida está entre 1,3 e 1,4, mas que a melhor aproximação que pudemos obter é 1,36 cm.

0 0.5 1.0 1.5


Aristóteles: estudou a natureza sem a comprovação prática. Suas conclusões foram tidas como certas ao longo de 20 séculos.

Assim, dizemos a medida 1,36 cm contém três algarismos significativos: 2 não duvidosos e 1 duvidoso.

À exceção de possíveis zeros à esquerda de um número, todos os seus algarismos são chamados de algarismos significativos.

Por exemplo, a medida de tempo 0,05648 s contém 4 algarismos significativos, 3 não duvidosos e 1 duvidoso.

EXTRA

_____________________________________________________________________________________ A importância das medidas no estudo dos fenômenos físicos pode parecer óbvia, mas nem sempre foi

assim. Aristóteles foi o primeiro a estudar com mais clareza a natureza, mas herdou bastante os paradigmas estabelecidos por Platão.

Platão filosofava a respeito do mundo das idéias, isto é, sobre um hipotético mundo de conceitos perfeitos, ideais. Nesse mundo, por exemplo, existiria a idéia de beleza, ou seja, o conceito da beleza perfeita, assim como a idéia de inteligência também.

Isso fez com que Aristóteles, seu seguidor, estudasse a natureza como ela deveria ser, em um suposto mundo perfeito, e não como ela é. Dessa forma, chegou a diversas conclusões erradas, pois afirmava que a verdade sobre as coisas deveria ser bela, ter uma boa estética, e se enquadrar com aquilo que considerava correto e ideal.

Tais equívocos teriam sido evitados se ele tivesse feito experimentos práticos, isto é, se ele tivesse observado e medido os fenômenos. Ao longo do nosso estudo, apontaremos diversas contradições na filosofia natural aristotélica.

Sua forma de estudar a natureza foi mantida ao longo de muitos anos. Isso ocorreu principalmente porque ela foi a base da ideologia cristã. Durante muito tempo, a Igreja Católica foi a instituição detentora do conhecimento. Graças a ela, hoje temos acesso a diversas obras da era antiga. Muitos monges tinham como única função traduzir textos, havia um imenso número de bibliotecas em posse da Igreja, os paradigmas gerados por sua ideologia eram todos baseados na razão, no conhecimento e na erudição.

Contudo, o monopólio do conhecimento, das traduções e das interpretações fez com que essas atividades atendessem aos interesses clericais. Isso significa dizer que as obras que de alguma forma criticavam ou discordavam dos textos defendidos pela igreja eram escondidas e seus autores perseguidos. Muitos pensadores e filósofos foram queimados por serem considerados hereges.

Por isso, durante muito tempo, tantas coisas erradas foram mantidas como verdades indiscutíveis. Até mesmo porque a idéia da experiência não estava incorporada à mentalidade. Isso faz com que não consideremos tais teses como científicas. Certamente, o pensamento grego antigo, principalmente o aristotélico, foi a base para a mentalidade ocidental moderna, a base para a ciência, mas faltava algo essencial: as evidências práticas.

Na verdade, a ciência não é feita de verdades absolutas, mas qualquer tese, para ser considerada científica, deve ser defendida, com argumentos aceitos dentro de um conjunto de critérios. A estética deixou de estar entre esses critérios. O principal argumento passou a ser a evidência prática. Mas ainda assim, teorias são ultrapassadas, e outras, mais abrangentes as substituem. A ciência é o único processo no mundo que se baseia na auto-crítica Na verdade, a ciência se define pela auto-crítica. No momento em que se chegar a uma verdade incontestável, deixamos de ter ciência. É preciso o constante progresso.

O grande fundador desse pensamento foi Galileu Galilei. Sem dúvida, ele foi a peça essencial para todo o desenvolvimento humano dos últimos séculos. Ele estudava o movimento dos corpos manuseáveis e dos planetas. Mas, revolucionariamente, todas as suas teorias eram comprovadas com experimentos que eram repetidos inúmeras vezes, de forma a obter a menor incerteza possível. Mais adiante, falaremos sobre Galileu com mais detalhes. _____________________________________________________________________________________

6. Notação científica Na resolução de um problema em física, existe uma maneira correta de escrever um resultado: a

notação científica. A representação numérica de uma grandeza física ocorre da seguinte forma:


um número maior ou igual a 1 e menor que 10

multiplicado por uma potência de 10

associado a uma unidade

A imprecisão ainda deve ser representada com o último algarismo do número principal. Exemplo 1.4.1: A medida de tempo citada anteriormente (0,05648 s) deve ser reescrita da seguinte

forma: 5,648*10-2 s

Nesse caso, o algarismo 8 é duvidoso. É certo que a medida encontra-se entre 0,0564 e 0,0565. Exemplo 1.4.2: A medida de velocidade da luz (300.000 km/s) deve ser escrita em notação científica

da seguinte forma: 3,0*105 km/s

Com tão poucos algarismos significativos, dois, sendo um duvidoso e outro não, essa medida é bastante imprecisa para a velocidade da luz.

7. A forma correta de solucionar um problema Sempre que resolvermos um problema de física, devemos apresentar um resultado que contenha o

mesmo número de algarismos significativos que o(s) dado(s) fornecido(s) com o menor número de algarismos significativos.

Exemplo 1.5.1: Vamos supor que começamos uma seqüência de cálculos a partir do número 3,457.

Já sabemos que essa medida está certamente situada entre 3,45 e 3,46, mas a melhor aproximação para ela é 3,457. Assim, seu último algarismo é duvidoso.

Chegamos, como resultado, no número 892.176. Deparamo-nos com dois problemas: • Esse número não se encontra representado na notação científica; • Ele contém mais algarismos significativos do que deveria. Isso quer dizer que mais de um

algarismo é duvidoso, o que não é correto. Vamos portanto, primeiramente representá-lo na notação científica. Temos então 8,92176*105. Inicialmente tínhamos apenas quatro algarismos significativos (3 não duvidosos e 1 duvidoso). Agora

temos 6 algarismos significativos, portanto 3 não duvidosos e 3 duvidosos. Como devemos ter apenas 1 algarismo duvidoso, os dois últimos algarismos (7 e 6) não serão representados. Aproximaremos, portanto, a medida para 8,921 ou para 8,922. Como o número a que chegamos está mais próximo da segunda opção, nós a escolheremos.

Portanto, a forma correta de representarmos esse resultado é: 8,922*105

Suponhamos agora que iremos fazer um outro cálculo usando este resultado. Deveremos multiplicá-

lo por 5,0*103. Como proceder? Multiplicaremos as potências separadamente dos valores 8,922 e 5,0. Assim teremos como resultado:

(8,922 * 5,0) * (105 * 103) = 44,61*108 Contudo, este resultado ainda não está correto, já que na notação científica, o valor que acompanha a

potência de 10 deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Teremos então: 44,61*108 = 4,461*10 * 108 = 4,461*109

Ordem de grandeza

A ordem de grandeza de uma medida é a potência de 10 mais próxima dela. Por exemplo, a ordem de grandeza do resultado acima (4,461*109) é 109. A ordem de grandeza do resultado do problema inicial (8,922*105) é 106.


8. Grandezas Físicas

Definimos como grandeza física tudo que pode ser medido e representado numericamente, isto é, que é mensurável. Para a realização dessa medida, como vimos anteriormente, podemos utilizar determinados instrumentos, cuja precisão pode fazer com que tenhamos um maior ou menor grau de incerteza. Quanto maior a precisão do instrumento e, portanto, menor a incerteza, maior será a quantidade de algarismos significativos utilizada para a representação numérica da grandeza.

Posição, tempo, velocidade e massa são exemplos de grandezas físicas, pois podem ser medidos e representados numericamente. Para essas medidas, utilizamos um padrão de comparação denominado unidade.

Por exemplo, quando dizemos que a posição da cidade A é 10 quilômetros ao norte da cidade B, estamos afirmando que a distância entre as duas cidades é 10 vezes maior que a distância equivalente a 1 quilômetro. Isto é, estamos comparando a distância entre as cidades com o espaço de 1 quilômetro, ou seja, estamos utilizando a unidade quilômetro para a determinação da posição.

Poderíamos também compará-la com o espaço de 1 metro, o que nos daria uma distância equivalente a 10.000 metros.

Adota-se, entretanto, um padrão de unidade para cada grandeza física. Esse padrão é definido pelo Sistema Internacional. Ou seja, quando representarmos numericamente uma determinada grandeza, podemos utilizar a unidade que melhor nos convier. Contudo, a realização de determinados cálculos é facilitada se utilizarmos a unidade indicada pelo Sistema Internacional (SI).

O SI indica as seguintes unidades para as grandezas básicas:

Posição: metro (m) Tempo: segundos (s) Massa: quilogramas (kg) Carga: coulomb (C)

Além dessas, existem outras grandezas físicas, porém todas podem ser derivadas dessas quatro. A

velocidade, por exemplo, é uma grandeza obtida com a associação entre posição e tempo. Ela pode ser medida em km/h, pois é a variação de posição ocorrida em uma unidade de tempo, isto é, o número de quilômetros percorridos em cada hora.

Contudo, se dissermos que um carro faz uma viagem a 90 km/h, não estaremos definindo completamente a grandeza velocidade. A essa informação, cabem duas perguntas a mais:

• Em que estrada o carro viaja? • Qual dos dois sentidos ele percorre?

Porém, se dissermos que o carro viaja a 90 km/h, na rodovia Rio-Santos, sentido Santos, podemos

definir por completo seu movimento. Dizemos que o valor numérico, acompanhado da unidade, é a intensidade (ou módulo) da velocidade. A rodovia, supondo que seja uma reta, é a direção do movimento. A idéia de o carro ter partido do Rio e estar a caminho de Santos é o sentido do movimento.

Observação: Cada direção admite apenas dois sentidos. A velocidade, assim como outras grandezas físicas, é, portanto, definida com essas três informações:

intensidade, direção e sentido. Esse fato a caracteriza como uma grandeza vetorial. Outros exemplos de grandezas vetoriais são: posição, força, campo elétrico, aceleração etc.

São chamadas vetoriais por serem representadas por vetores. O vetor é um ente matemático que dispõe justamente das três características das quais precisamos: intensidade, direção e sentido.

Entretanto, existem grandezas físicas que podem ser perfeitamente caracterizadas apenas com a intensidade, isto é, com o valor numérico acompanhado de uma unidade. Por exemplo, se dissermos que a massa de um indivíduo é de 70 kg, não é coerente perguntar “em que direção?”. O mesmo vale para tempo decorrido. São grandezas não vetoriais, isto é, escalares.

9. Unidades Como vimos, a intensidade de qualquer grandeza física é uma comparação com um padrão, a

unidade. Também vimos que determinada grandeza física admite mais de uma unidade, mas existe uma indicada pelo Sistema Internacional. De um modo geral, podemos também usar os múltiplos de uma


unidade. Não é à toa que, assim como 1 quilograma (kg) são mil gramas (g), um quilômetro (km) são mil metros (m). Na verdade, o prefixo quilo (k) significa uma multiplicação por mil.

Existem diversos prefixos que representam diferentes múltiplos. Eles estão tabelados a seguir: PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL

PREFIXO SÍMBOLO MULTIPLICA POR exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 quilo k 103 hecto h 102 deca da 101 deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 micro µ 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18

Os seis prefixos em negrito são os mais comumente utilizados. Os prefixos quilo, mega e giga são bastante usados quando nos referimos à unidade de

armazenamento de um computador, o byte. Os termos kbyte (quilobyte – kb), megabyte (Mb) e gigabyte (Gb) são bastante utilizados.

Quando nos referimos a comprimentos pequenos, usamos o centímetro (cm) e o milímetro (mm). As cargas pequenas geralmente são medidas em microcoulombs (mC). Além disso, em geral, os

microscópios nos permitem visualizar objetos na escala dos micrômetros (µm). Atualmente, temos visto nos jornais o desenvolvimento da nanotecnologia, na área de eletrônica. São

projetos em que as distâncias são medidas em nanômetros (nm).

Exercício 1.7.1: Um milímetro é maior ou menor que um nanômetro? Quantas vezes maior/menor?

Solução:

-3

-9

3 99 3 6

-9 3

1 m1 mm = 10 m = = um milésimo de metro

1.0001 m

1 nm = 10 m = = um bilhonésimo de metro1.000.000.000

Portanto, um milímetro é maior que um nanômetro.

1 mm 10 m 1010 10 um milhã

1 nm 10 m 10

−−= = = = = o

Portanto, um milímetro é um milhão de vezes maior que um nanômetro.

10. Análise Dimensional Vimos que as quatro grandezas básicas da física são: posição (m), tempo (s), massa (kg) e carga (C).

Todas as outras grandezas físicas podem ser obtidas apenas com diferentes relações entre essas quatro. E, portanto, suas unidades de comparação também.

Demos o exemplo da velocidade que, por ser uma relação entre posição e tempo, tinha como unidade uma relação entre as unidades de posição e de tempo.

Quando representarmos a unidade de uma determinada grandeza, como a massa, por exemplo, usaremos a seguinte notação:

[ ]m kg= ,

que quer dizer que uma das unidades unidade de massa é o quilograma. É correto também escrever

[ ]m g= ,


ou seja, que o grama também é uma unidade possível para a massa. Combinação de unidades Podemos medir a força que é aplicada a um corpo em newtons (N). Veremos mais adiante alguns

conceitos com mais detalhes que vamos, no momento, resumir: • Pela segunda lei de Newton, exprime-se a força resultante aplicada sobre um corpo por

.RF m a= , em que m é sua massa e a é a aceleração adquirida por ele.

• A aceleração média de um corpo é dada por m

va

t

∆=∆

, em que ∆v é a variação

velocidade ocorrida no período de tempo ∆t.

• A velocidade média de um corpo é dada por m

sv

t

∆=∆

.

Nosso objetivo agora é exprimir a unidade newton em função das unidades básicas apresentadas anteriormente. Tomando como base os conceitos citados acima, podemos escrever, através da segunda lei de newton:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ]

[ ]

2

2

.

.

. .

.

F m a

vF m

t

s

t sF m m

t t

kg mF N

s

=

=

= =

= =

Potência de unidades O volume de um cubo é igual ao produto comprimento*largura*altura. Ou seja, a unidade de

volume é dada por

[ ] [ ] [ ] [ ]V comprimento largura altura= × × .

Isto é, como comprimento, largura e altura são, na verdade, a mesma grandeza, de comprimento ou posição, uma das possibilidades para a unidade de volume é o m3. Mas poderíamos também usar o cm3, ou ainda, a potência cúbica de qualquer unidade de comprimento.

Exercício 1.8.1: Quantas vezes um mm3 (milímetro cúbico) é maior que um nm3 (nanômetro

cúbico)? Solução: No exercício 1.7.1. vimos que um milímetro é um milhão (106) de vezes maior que um

nanômetro. Ou seja: 61 mm = 10 nm

Mantendo a igualdade, podemos elevar ambos os termos ao cubo. Teremos

( ) ( )33 61 mm = 10 nm .

Aplicando as propriedades de potenciação

( )33 3 6 3

3 18 3

1 mm = 10 nm

1 mm = 10 nm

11. Sistema de referência A medição de qualquer grandeza física vetorial depende de um sistema de referência, isto é, um

sistema de eixos cartesianos com uma origem, representando o espaço. Normalmente, os problemas físicos falam de um observador. Ele representa a origem do sistema referencial, ou seja, o ponto zero.

No exemplo do carro em viagem do Rio para Santos, estudamos o caráter vetorial da velocidade. Vimos que essa grandeza tem uma intensidade, direção e sentido. Vimos também que ela pode ser, portanto, representada por um vetor.

A representação uma grandeza vetorial se dá através do sistema de referência. No caso da velocidade, teríamos:


A reta que passa pelas duas cidades é a direção da velocidade. A origem do sistema (o ponto de

cruzamento dos eixos cartesianos) foi escolhida como sendo o próprio carro. Observação: A escolha da origem de qualquer sistema físico é arbitrária. Ela deve ter como objetivo

facilitar a resolução do problema. A seta, indicada por v, que parte da origem, é o vetor velocidade. Note que o vetor indica a direção e

o sentido do movimento. A intensidade é representada pelo tamanho do vetor, que, no caso, é 90 km/h. Isto é, definidas as escalas para o eixo X e o eixo Y, o comprimento do vetor velocidade deverá ser igual a 90. Mais adiante, veremos métodos eficientes para a análise mais profunda dessa questão.

Vejamos alguns exemplos decorrentes do uso do sistema referencial: Exemplo 1.8.1: Considere um prédio de 30 metros. No terraço, uma pessoa de 2 metros de altura,

levanta um holofote 1 metro acima da sua cabeça. Pergunta-se: qual é a altura do holofote? A resposta depende crucialmente do sistema de referencial adotado, mais especificamente, da

localização de sua origem (o observador). Se a origem estiver na cabeça da pessoa, teremos que a altura do objeto é igual a1 metro. Se estiver nos seus pés, será igual a 3 metros. Se estiver na base do edifício, será igual a 33 metros.

Exemplo 1.8.2: Considere um carro se movendo em uma estrada a 60 km/h e outro, ultrapassando o

primeiro, a 80 km/h. Pergunta-se: qual é a velocidade do segundo carro? Novamente, a resposta depende do sistema de referência adotado. Mas agora, não depende mais da

posição da origem, mas somente da velocidade do referencial. Veremos mais adiante que podemos, sem maiores problemas, adotar um referencial se movendo com

velocidade constante, ou seja, um referencial inercial. Na física clássica, não podemos adotar um referencial não inercial, ou seja, um referencial cuja velocidade varia com o tempo.

Se o referencial estiver fixo, com a origem em um poste da estrada, por exemplo, a velocidade do segundo carro é igual a 80 km/h. Se mantivermos o referencial fixo, porém mudarmos a posição da origem, colocando-a sobre um pedestre parado que vê a ultrapassagem, a velocidade do segundo carro continuará igual a 80 km/h.

Esse valor, porém, mudará se utilizarmos um sistema de referência que se move juntamente com o carro que está sendo ultrapassado. Ou seja, o observador da ultrapassagem é um dos passageiros do primeiro carro. Nesse caso, a velocidade do segundo carro é igual a 20 km/h. É a chamada velocidade relativa, pois é medida em relação a um outro corpo.

Exemplo 1.8.3: Considere o pedestre do exemplo anterior. Pergunta-se: ele está em repouso ou em

movimento? A resposta, como esperado, foge do que nos é intuitivo, a depender do referencial utilizado. A princípio, de acordo com o senso comum, diremos que ele está em repouso, isto é, sem velocidade.

Mas essa resposta só é de fato correta, se adotarmos um referencial, por exemplo, com a origem sobre o poste ao seu lado, também parado.

Mas como o passageiro do carro que passa a 60 km/h vê o pedestre? Tomando esse passageiro como o observador, o seu carro está em repouso, já que se move junto com ele. A velocidade relativa entre o observador e o carro é nula.

Mas ele vê o pedestre com velocidade em sentido contrário à do carro, também a 60 km/h. Ele vê o pedestre “passando para trás”. Nesse referencial, o pedestre está em movimento.

Portanto, até mesmo o conceito de repouso e movimento é dependente do referencial.

DIREÇÃO DA RODOVIA RIO-SANTOS

Y

X

RIO DE JANEIRO

SANTOS

v


Mas, cabe mais uma pergunta: qual é então o referencial utilizado pelo senso comum? Isto é, quando

damos a resposta intuitiva de que o pedestre está parado, qual é o referencial que estamos utilizando? Normalmente, utilizamos um referencial cuja origem está no solo, na Terra, e parado em relação a ela.

Isso vale mesmo para movimentos que transcendem o planeta. Por exemplo, antes de termos instrumentos mais avançados, pensava-se que o Sol girava ao redor da Terra, e não o contrário. Tal afirmação é verdadeira se tomarmos a Terra como origem do referencial.

Todavia, se tomarmos o Sol como referencial, obteremos o resultado exatamente inverso: a Terra gira em torno do Sol. Mas então, qual referencial usar? E qual dos dois resultados é o verdadeiro?

Na verdade, não existe, por exemplo, a “velocidade absoluta” de um corpo, ou seja, a velocidade do corpo, em relação a nada, independente de qualquer referencial. Para toda grandeza física que medimos, utilizamos um determinado referencial. Para problemas de pequena escala, é razoável utilizar a Terra como o referencial, e medir tudo em relação a ela. Porém, para questões de maiores escalas, temos que usar um referencial “melhor”. Nesses casos, então, qual é o referencial razoável? O ideal é utilizar algo que não interfira no sistema analisado. Por isso, normalmente, escolhe-se como origem desses referenciais, estrelas bem distantes, que, para nós, estão praticamente em repouso.

Nesse referencial, obtemos mais alguns resultados, do que simplesmente perceber que a Terra gira em torno do Sol, e não o contrário. Percebemos que o Sol gira em torno do centro da galáxia, que por sua vez, também gira, em torno de algo distante o suficiente para que não o conheçamos.

É importante ressaltar que esses referenciais nas estrelas distantes são utilizados simplesmente por questões de facilidade de cálculo, a necessidade de ter algo que pareça parado para ser tomado como referência. Contudo, sabemos que não faz o menos sentido falarmos de velocidade independente de um referencial. O mesmo vale para o conceito mais essencial de repouso e movimento. Como toda velocidade é medida em relação a algo, não faz sentido falar que algum corpo no espaço esteja em repouso ou em movimento. Não existe um repouso ou movimento “absoluto”.

12. Posição, tempo e velocidade Vimos que posição e tempo estão entre as quatro grandezas fundamentais da física. Isto significa que

outras grandezas, como a velocidade, são obtidas a partir delas, conforme veremos a seguir. A unidade de medição de tempo no Sistema Internacional (SI) é o segundo (s). É óbvio que existem

outras unidades, que são utilizadas a depender do propósito. Por exemplo, não vamos contar o tempo de vida de uma pessoa em segundos ou dias, mas em anos. Da mesma forma ocorre com um período letivo, que é calculado em meses. Na área de eletrônica, mede-se o período de oscilação de determinados pulsos elétricos em milisegundos (ms), microsegundos (µs) ou até nanosegundos (ns).

A unidade de medição de posição e distância no SI é o metro. Também utilizamos muito comumente outras unidades, como o quilômetro (km), o centímetro (cm), o milímetro (mm). Para distâncias astronômicas, utilizamos o ano-luz, que é a distância percorrida pela luz no período de um ano, algo da ordem de 1016 metros.

Exercício 1.9.1: Um carro percorre em uma estrada 120 km em 2,0 h. Em média, quantos

quilômetros ele percorreu em cada hora? Solução: Está óbvio que a resposta é uma média de 60 quilômetros em cada hora. Contudo, em problemas

mais complexos, essa resposta não será óbvia ou intuitiva. Precisamos de um método físico e matemático para a resolução desse problema. Ou seja, vamos analisar o que fizemos para chegar a essa resposta.

Primeiramente, vamos imaginar a estrada, retilínea. Vamos mostrar as sucessivas posições do carro nessa estrada.

Como vimos, a posição é uma grandeza vetorial. Isso significa que deve ser representada de forma completa através de um vetor, com módulo, direção e sentido. No exemplo anterior, utilizamos um sistema referencial com dois eixos. Mas poderíamos ter usado um eixo somente, aproveitando-se do fato de tratar-se de um movimento retilíneo. Isto é, se estivéssemos estudando um movimento em curva, necessariamente precisaríamos utilizar dois ou até três eixos. Mas no movimento retilíneo, se colocarmos um dos eixos exatamente sobre a trajetória, o outro eixo fica dispensável. Faremos isso com o objetivo de facilitar o raciocínio.

0

s0 s

s (m) – eixo das posições


Representamos a posição com a letra “s” (do inglês, “space”). O ponto zero é a origem do nosso

referencial. O ponto s é a posição atual do carro. O ponto s0 é a posição inicial do corpo, isto é, o ponto a partir do qual começamos a contar as posições e o tempo.

Os 120 km, percorridos pelo carro em 2,0 h, começam no ponto s0 e vão até o ponto s. Por exemplo, imagine que em s0 o marco na estrada era de 50 km. Portanto, em s, o marco era de 170 km.

A distância percorrida equivale justamente à variação de posição realizada pelo móvel. Essa variação é representada por:

0s s s∆ = −

A letra grega ∆ (leia-se “delta”) significa “variação”. Portanto ∆s é a variação de posição. Essa

variação de posição é a diferença entre as posições atual (s) e inicial (s0). Igualmente, podemos descrever o período de tempo decorrido como:

0t t t∆ = −

E, finalmente, o que fizemos para chegar à média de 60 quilômetros em cada hora, foi dividir os 120

quilômetros por 2,0 horas. Ou seja, dividimos a distância percorrida (variação da posição - ∆s) pelo período de tempo em que isso ocorreu (variação do tempo - ∆t).

Dizer que o automóvel percorreu em média 60 km em cada hora do seu percurso é o mesmo que dizer que sua velocidade média foi de 60 km/h no percurso. Assim, podemos escrever:

m

sv

t

∆=∆

Exercício 1.9.2: Um automóvel faz uma viagem em duas etapas. A primeira, contendo 50 km, foi

feita em 30 min. A segunda, de 60 km, foi feita em 1h e 30 min. Determine: a) A velocidade média na primeira etapa do percurso; b) A velocidade média na segunda etapa do percurso; c) A velocidade média em todo o percurso. Solução:

Sabemos que a fórmula para o cálculo da velocidade média é m

sv

t

∆=∆

. Assim teremos:

Na primeira etapa:

m

1∆s = 50 km e t = 30 min = h = 0,5 h

250

v 50 2 100 km/h12

s

t

∆

∆= = = × =∆

Na segunda etapa:

m

3∆s = 60 km e t = 1h + 30 min = h = 1,5 h

260 2

v 60 40 km/h3 32

s

t

∆

∆= = = × =∆

Em todo o percurso:

m

∆s = 50 + 60 km e t = 30 min + 1h + 30 min = 2,0 h

110v 55 km/h

2,0

s

t

∆

∆= = =∆


Calculada a velocidade média na primeira etapa (100 km/h) e na segunda (40 km/h), é comum pensar

que a velocidade média em todo o percurso é a média entre 100 e 40, isto é, 70 km/h. Contudo, isso só estaria correto se os percursos tivessem o mesmo tempo de duração. É como ao longo do ano letivo em um colégio: se um aluno tira nas quatro primeiras provas nota 5,0 e 10 na última, sua média não será 7,5, pois houve mais notas 5,0 do que notas 10. A média, portanto, tem que estar mais próxima de 5,0 do que de 10. Da mesma forma, o automóvel passou mais tempo com a velocidade média de 40 km/h do que de 100 km/h. Portanto, a velocidade média de todo o percurso deve ser mais próxima de 40 km/h. A maneira de realizar o cálculo exato é a descrita acima.

Exercício 1.9.3: Um automóvel se locomove com uma velocidade de 1,0 m/s. Qual é sua velocidade

em km/h? Solução: Esse problema se baseia na conversão das principais unidades de velocidade (m/s e km/h).

Daqui por diante, tomaremos seu resultado como método para futuras conversões. 1 m

1 m/s = 1 s

. Para obtermos um valor em km/h, precisamos saber quantos quilômetros equivalem a

1 m e quantas horas equivalem a 1 s. Fazendo a substituição, teremos um resultado. 3 -31 km = 10 m 1 m = 10 km∴

11 h = 60 min = 60 60 s = 3600 s 1 s = h

3600× ∴

Substituindo, 3 3

-31 m 10 km 10 km/h = 10 3600 km/h 3,6 km/h

1 11 s h3600 3600

− −

= = × =

Portanto, 1 m/s = 3,6 km/h. Para outras velocidades pode-se fazer o mesmo processo, ou simplesmente realizar uma

multiplicação (no caso da passagem de m/s para km/h) ou divisão (no caso da passagem de km/h para m/s) por 3,6.

Por exemplo, para saber o equivalente em km/h da velocidade igual a 2 m/s, basta multiplicar esse valor por 3,6:

2,0 m/s = 2,0 3,6 km/h = 7,2 km/h× Por outro lado, se quisermos saber o equivalente em m/s da velocidade igual a 7,2 km/h, basta dividir

esse valor por 3,6: 7,2

7,2 km/h = m/s = 2,0 m/s3,6

Exercício 1.9.4: Como prática, transforme as seguintes velocidades dadas em km/h para m/s ou vice-

versa. Confira seus resultados com o auxílio de uma calculadora. a) 10,8 km/h b) 4,0 m/s c) 5,0 m/s d) 36 km/h e) 72 km/h f) 90 km/h g) 30 m/s

Com a equação da velocidade média, podemos também deduzir a distância percorrido ou o tempo de

duração do movimento. Exercício 1.9.5: Um maratonista realizou uma prova com uma velocidade média de 12 km/h. Se o

tempo de duração dessa prova foi de 3,0 h, determine a distância total percorrida pelo atleta em km. Exercício 1.9.6: Um automóvel, em movimento de velocidade média igual a 90 km/h, atravessa uma

ponte de 525 m. Em quanto tempo ele completa a travessia?


Nos casos anteriores, estamos estudando o conceito de velocidade média, que difere de velocidade

instantânea. Como os nomes sugerem, a velocidade instantânea é a rapidez momentânea de um móvel, isto é, a velocidade em um dado instante, ao passo que a velocidade média é a média de todas as velocidades instantâneas ao longo do período.

Se a velocidade média corresponde a um período de tempo ∆t e pode ser escrita por m

sv

t

∆=∆

,

podemos dizer que a velocidade instantânea corresponde à velocidade média aplicada a um instante, isto é, um período de tempo muitíssimo pequeno, que tende a zero. Matematicamente, expressamos a velocidade instantânea por:

0limt

vs

t∆ →=

∆∆

Utilizamos o conceito matemático de limite. Contudo, isso não será tão importante no nosso estudo. Basta a compreensão do conceito essencial de velocidade instantânea. Dizemos, assim, que a velocidade de um corpo é a taxa de variação no tempo da sua posição. Em outras palavras, a velocidade é o quanto a posição está variando por unidade de tempo.

Quando dizemos que velocidade média de um carro é igual a 90 km/h, isso não significa dizer que sua velocidade permaneceu a mesma, ou seja, que sua velocidade instantânea foi igual a 90 km/h em todos os instantes. Significa dizer que a velocidade instantânea pode ter variado e, se isso ocorreu, ela oscilou em torno de 90 km/h.

13. Aceleração Vamos agora estudar a variação de velocidade ao longo de um período de tempo. Suponha que você

vai comprar um carro, e está em dúvida entre dois modelos. Ambos tem a mesma velocidade máxima: de 200 km/h. Contudo, um dos modelos consegue aumentar sua velocidade de 110 a 200 km/h em 10 s. O outro faz o mesmo em 25 s. Qual dos dois modelos é o melhor?

Se você está interessado em um carro para estradas, onde certamente você manterá uma velocidade média alta e, de tempos em tempos, realizará uma ultrapassagem, precisando de um aumento rápido de velocidade, é claro que escolherá aquele que obtém a mesma variação de velocidade em menos tempo. Dizemos que esse modelo tem uma aceleração maior do que o outro.

Vamos verificar, para o primeiro caso, quanto ele varia sua velocidade por segundo. Já sabemos que ele aumenta sua velocidade de 110 a 200 km/h. Isso nos dá uma variação de 90 km/h. Obtivemos esse resultado com a subtração: 200 – 110 = 90 km/h. Assim, definimos:

0v v v∆ = −

Essa variação de 90 km/h pode ser convertida em 25 m/s. Portanto, se a variação de velocidade total é de 25 m/s em um tempo total de 10 s, quantos m/s variam em 1 s? Intuitivamente, basta dividirmos 25 por 10, e obtemos como resposta 2,5. Isso é o que chamamos de aceleração média. Temos, então:

m

va

t

∆=∆

Isso, então, quer dizer que a cada segundo, o automóvel aumenta em média sua velocidade em 2,5

metros por segundo. Ou seja, varia 2,5 metros por segundo, por segundo. Matematicamente, temos

2

2

12,5 2,5 . 2,5 2,5m

m s m ma m s

s s s s= = = =

Equivalentemente, para o segundo carro, temos:

2251,0

25m

v m sa m s

t s

∆= = =∆

Exercício 1.10.1: Um automóvel, em determinado instante, tem uma velocidade de 20 m/s. Para

realizar uma ultrapassagem, ele pisa no acelerador de forma a oferecer uma aceleração ao veículo de 2,0 m/s2, ao longo de 5,0 s. Determine qual foi a velocidade final nesse processo?

Solução: Utilizaremos a relação mostrada acima para aceleração média:


0

2,0 5,0 10

10 20 30

m m

va v a t m s

t

v v v v v m s

∆= ⇒ ∆ = ∆ = × =∆

∆ = − ⇒ = − ⇒ =

Analogamente aos conceitos de velocidades instantânea e média, também diferimos as acelerações

instantânea da média. A aceleração instantânea refere-se a quanto a velocidade está variando em um determinado instante.

Ela está relacionada, conforme veremos mais adiante, com a força de propulsão do movimento. Isto é, quanto maior a força que impulsiona o veículo para frente em um determinado momento, maior é a sua aceleração. Sentimos essa diferença quando, por exemplo, em uma situação de aceleração muito grande, somos “puxados” pra trás.

Há também o caso contrário, em que ocorre uma desaceleração forte, uma freada, em que somos jogados pra frente. A força que nos impulsiona para frente está diretamente relacionada com a aceleração instantânea.

A aceleração média, como esperado, é a média de todas as acelerações instantâneas, e é dada pela

relaçãom

va

t

∆=∆

. Por isso, quando nos referimos à aceleração instantânea, referimo-nos a essa relação

aplicada não a um período de tempo, mas a um instante, que equivale a um período de tempo muitíssimo pequeno. Assim, escrevemos:

0limt

va

t∆ →

∆=

∆

Dizemos, assim, que a aceleração de um corpo é a taxa de variação no tempo da sua velocidade.

Em outras palavras, a aceleração é o quanto a velocidade está variando por unidade de tempo.

14. Movimento progressivo x retrógrado Antes de prosseguirmos, devemos fazer algumas definições e classificações importantes. Caracterizar

um movimento como progressivo ou retrógrado significa nada mais do que, dada uma direção de um movimento, indicar o sentido da velocidade.

Vamos considerar um movimento retilíneo, ou seja, unidimensional. Assim como fizemos anteriormente, vamos usar, portanto, um só eixo para a representação das posições. Esse eixo é ordenado e tem uma origem.

A bola cinza representa o móvel que se desloca sobre essa reta. As posições crescem para a direita.

Caso o móvel se desloque para a direita, sua posição crescerá gradativamente. Isso quer dizer que, para um período de tempo, sua posição final será maior que a inicial. Ou seja:

0 0 0 0s s s s s> ⇒ − > ⇒ ∆ >

Isto é, quando as posições aumentam, a variação de posição ∆s é positiva. Como m

sv

t

∆=∆

, nesse

caso, a velocidade também é positiva. Todo esse conjunto de características define o movimento progressivo, no qual a velocidade tem o mesmo sentido que a orientação do eixo das posições.

Caso o móvel se desloque para a esquerda, sua posição diminuirá gradativamente. Isso quer dizer

que, para um período de tempo, sua posição final será menor que a inicial. Ou seja:

0 0 0 0s s s s s< ⇒ − < ⇒ ∆ <

Isto é, quando as posições diminuem, a variação de posição ∆s é negativa. Como m

sv

t

∆=∆

, nesse

caso, a velocidade também é negativa. Todo esse conjunto de características define o movimento retrógrado, no qual a velocidade tem sentido contrário à orientação do eixo das posições.

0

s (m)


15. Movimento acelerado x retardado

Imagine o exemplo anterior, no qual o eixo das posições representa uma estrada e o móvel um carro. Suponha também que o movimento seja progressivo, isto é, o carro locomove-se para a direita.

O motorista, por um motivo qualquer, pisa no acelerador, fazendo com que sua velocidade comece a aumentar. Teremos, assim, após um período de tempo, uma velocidade final maior que a inicial. Ou seja:

0 0 0 0v v v v v> ⇒ − > ⇒ ∆ >

Isto é, quando a velocidade aumenta, a variação de velocidade ∆v é positiva. Como m

va

t

∆=∆

, nesse

caso, a aceleração também é positiva. Esse movimento é definido como acelerado. Mas note que não é o fato de a aceleração ser positiva

que nos faz classificar o movimento dessa forma. O movimento é acelerado porque o móvel está cada vez mais rápido, ou seja, o motorista pisou no acelerador. Isso não parece fazer muito sentido, pois a princípio uma coisa leva à outra, mas veremos que isso não é verdade. É importante fixar que o movimento é acelerado por estar cada vez mais rápido.

Analogamente, temos o caso em que o motorista pisa no freio, fazendo com que sua velocidade

comece a diminuir. Teremos, assim, após um período de tempo, uma velocidade final menor que a inicial. Ou seja:

0 0 0 0v v v v v< ⇒ − < ⇒ ∆ <

Isto é, quando a velocidade aumenta, a variação de velocidade ∆v é negativa. Como m

va

t

∆=∆

, nesse

caso, a aceleração também é negativa. Esse movimento é definido como retardado, pois o móvel está cada vez mais lento, o motorista pisou

no freio. Novamente, nesse caso, essa situação leva a uma aceleração negativa, mas isso nem sempre ocorre. É o fato de o móvel estar cada vez mais lento que classificamos o movimento como retardado.

Classificaremos agora um movimento retrógrado como acelerado ou retardado. A característica do

movimento retrógrado, como vimos, é o sentido do movimento ser contrário à orientação do eixo das posições, isto é, a velocidade ser negativa.

Vamos supor, como exemplo, que a velocidade do automóvel seja v0 = –10 m/s. Considerando o eixo das posições orientado para a direita, sabemos que o movimento do móvel ocorre para a esquerda. Assim sendo, a cada segundo, o móvel percorre 10 metros para a esquerda.

Se o motorista pisa no acelerador, fica mais rápido. Suponhamos que agora ele ande 15 metros a cada segundo. Sua velocidade então é v = –15 m/s. Repare que, apesar de ter ficado mais rápido, sua velocidade ficou mais negativa. Ou seja, o valor escalar da sua velocidade diminuiu. Não podemos, portanto, associar rapidez a esse valor, pois é uma comparação falha. Devemos associar rapidez ao módulo da velocidade. Antes tínhamos |v0| = 10 m/s. Agora temos |v| = 15 m/s.

Se o módulo da velocidade aumentou, isto é, o movimento está mais rápido, nós o classificamos como acelerado. Contudo, o novo valor escalar da velocidade é menor do que o primeiro. Assim, podemos escrever:

0 0 0 0v v v v v< ⇒ − < ⇒ ∆ <

Isto é, a variação de velocidade ∆v é negativa. Como m

va

t

∆=∆

, nesse caso, a aceleração também será

negativa. Temos então uma aparente contradição: aceleração negativa, mas movimento acelerado. Isso é

esclarecido quando consideramos que a aceleração relaciona-se com o valor escalar da velocidade e a classificação entre acelerado ou retardado relaciona-se com o módulo da velocidade.

Ainda no movimento retrógrado, vamos considerar agora o exemplo contrário, em que o motorista

pisa no freio. De início, vamos considerar a velocidade inicial v0 = –10m/s. Isso significa que a cada segundo, o motorista percorre 10 metros para a esquerda. Pisando no freio, o movimento fica mais lento. Suponhamos que agora, ele percorra apenas 5 metros a cada segundo. Sua velocidade então passou a ser v = –5 m/s.

Repare que, apesar de o movimento ter ficado mais lento, sua velocidade ficou menos negativa. Ou seja, o valor escalar da sua velocidade aumentou. Novamente, concluímos que não podemos associar rapidez a esse valor, e sim ao módulo da velocidade. Antes tínhamos |v0| = 10 m/s. Agora temos |v| = 5 m/s.


Seguindo o mesmo raciocínio, classificamos esse movimento como retardado, apesar de a nova

velocidade ser maior do que a inicial:

0 0 0 0v v v v v> ⇒ − > ⇒ ∆ >

Isto é, a variação de velocidade ∆v é positiva. Como m

va

t

∆=∆

, nesse caso, a aceleração também será

positiva, apesar de se tratar de um movimento retardado.

16. Equações horárias Em um breve resumo do que vimos até agora, podemos dizer que a velocidade é a taxa de variação

da posição no tempo e que a aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. EXTRA

_____________________________________________________________________________________ Quem estudou todas as conseqüências dessas relações foi Newton. Para aprimorar seu estudo de

grandezas que exprimem a taxa de variação de outras, ele criou o método matemático chamado derivada, e o operador oposto, a integral. Tais conceitos foram fundamentais no desenvolvimento da matemática e da física moderna, a partir do século XVI. Essas ferramentas são muito poderosas, podem abreviar muitas linhas de cálculo complexo. Além disso, propiciam uma visão cartesiana geométrica dos fenômenos físicos estudados. _____________________________________________________________________________________

Portanto, dada uma posição inicial, se transcorrido um intervalo de tempo ∆t, a nova posição

dependerá das velocidades adquiridas pelo corpo ao longo desse período. Essas velocidades, por sua vez, dependerão das acelerações características de cada instante.

Esses fatores gerarão, em cada caso, equações horárias características do movimento. As três equações horárias que serão usadas por nós serão as de posição, velocidade e aceleração, no domínio do tempo.

Por exemplo, digamos que em um caso específico, um corpo tenha um movimento retilíneo gerido pela seguinte equação horária de posição: 2( ) 3 5 2s t t t= − + (SI). Essa equação relaciona a posição do

móvel a cada instante a partir do início do movimento, em unidades do Sistema Internacional. Ou seja, através dela, poderíamos construir a seguinte tabela:

Tempo (s) Posição (m)

t = 0 s(0) = 3 – 5.0 + 2.02 = 3 m t = 1 s s(1) = 3 – 5.1 + 2.12 = 0 t = 2 s s(2) = 3 – 5.2 + 2.22 = 1 m t = 3 s s(3) = 3 – 5.3 + 2.32 = 6 m t = 4 s s(4) = 3 – 5.4 + 2.42 = 15 m t = 5 s s(5) = 3 – 5.5 + 2.52 = 28 m

Se desejarmos saber a posição do objeto em um dado instante, basta substituir o valor de t na equação

e calcular o valor de s. Por outro lado, se quisermos saber em qual ou quais instantes o móvel tem uma dada posição, basta substituir o valor de s na equação e calcular o valor de t.

Vamos calcular em qual instante o móvel alcança a posição 153 m. Substituiremos esse valor em s na equação:

2

2

153 3 5 2

2 5 150 0

t t

t t

= − +

− − =

Observação: Essa equação é classificada como de segundo grau. Sua forma genérica é:

2 0ax bx c+ + =

A fórmula para solucioná-la é a chamada fórmula de Bháskara, na verdade descoberta pelo matemático hindu Sridhara, um século antes da publicação de Bháskara:

2 4

2

b b acx

a

− ± −=


Observe o símbolo ± na equação. Ele ocorre porque essa equação tem, na verdade, duas soluções:

2

1

4

2

b b acx

a

− + −= e

2

2

4

2

b b acx

a

− − −= .

Ou seja, existem dois números (x1 e x2) que satisfazem a relação 2 0ax bx c+ + = .

Voltando à equação em que nos encontrávamos, usando os coeficientes da forma genérica de

equação do segundo grau, temos nesse caso a = 2, b = –5, c = –150. Aplicando-os à equação de Bhaskara: 2

1

2

( 5) ( 5) 4.2.( 150) 5 25 1200 5 35

2.2 4 45 35

10 s4

5 35t 7,5 s

4

t

t

− − ± − − − ± + ±= = =

+= =

−= = −

Como os instantes são contados a partir de zero, não utilizamos valores negativos para o tempo. Portanto, a segunda solução (t2) está descartada. A resposta é t = 10 s, ou seja, no instante t = 10 s, o móvel ocupa a posição 153 m.

Como no exemplo acima, as equações horárias definem uma relação entre uma determinada grandeza

física (no caso, a posição) com o tempo, isto é, mostram o comportamento dessa grandeza ao longo de um período. Poderíamos definir para o móvel, a equação horária da sua velocidade, ou ainda da sua aceleração. Os procedimentos seriam os mesmos que os exemplificados acima.

Exercício 1.13.1: Considere um móvel com a seguinte equação horária de velocidade:

4 2( ) 13 36v t t t= − + (km, h). Determine:

a) sua velocidade no instante 5 s. b) o(s) instante(s) em que sua velocidade é nula. Solução: Repare, primeiramente, que não estamos mais trabalhando com o Sistema Internacional de

unidades. Agora, a posição é medida em quilômetros e o tempo em horas. É importante ressaltar que mesmo que se trate de uma equação horária de velocidade, as unidades destacadas entre parênteses referem-se às grandezas fundamentais posição e tempo. Logo, nesse caso, a velocidade será medida em km/h.

a) Para determinarmos a velocidade no instante t = 5 h, devemos “jogar” esse valor na fórmula: 4 2(5) 5 13.5 36 625 325 36 336 km/hv = − + = − + =

b) Agora, queremos saber o(s) instante(s) em que a velocidade é nula, isto é, v = 0. Novamente,

“jogamos” esse valor na fórmula: 4 213 36 0t t− + = .

Essa é uma equação de quarto grau, cujos métodos de resolução são complexos. Mas veja que as

ocorrências das potências de t são t4 e t2. Não aparecem na equação t e t3. Quando isso ocorre, dizemos que essa é uma equação de quarto grau redutível a segundo grau, ou uma equação biquadrada. Ou seja, vamos de alguma forma, transformá-la em uma equação de segundo grau.

Faremos isso introduzindo uma nova variável, a fim de representar t2. Vamos chamar t2 de u. Assim, teremos:

( )

2

24 2 2

t u

t t u

=

= =

Substituindo na equação: 2 13 36 0u u− + =

Podemos, portanto, aplicar Bhaskara para resolver a equação. Os coeficientes são a = 1, b = –13 e c = 36. Teremos:

22 ( 13) ( 13) 4.1.364 13 5

2 2.1 2

b b acu

a

− − ± − −− ± − ±= = =

Agora, temos duas soluções, u1 e u2:


1

2

9

4

u

u

=

=

Como tínhamos u = t2, obteremos os instantes procurados: 21 1

22 2

9 3 h

4 2 h

t t

t t

= ⇒ =

= ⇒ =

Portanto, para o movimento cujas velocidades são definidas pela equação horária dada, há dois

instantes nos quais a velocidade é nula: t1 = 2 h e t2 = 3 h. Transformação das equações horárias Esses procedimentos com as equações horárias são relativamente simples. O grande “pulo do gato”

de Newton foi perceber que poderia através da equação horária de uma grandeza, obter a equação horária de outra grandeza, mais especificamente, daquela que exprime a taxa de variação da primeira.

É importante relembrar que a velocidade exprime a taxa de variação da posição no domínio do tempo e a aceleração, a taxa de variação da velocidade no domínio do tempo.

No exemplo acima, conhecíamos a equação horária de velocidade do móvel: 4 2( ) 13 36v t t t= − + (km, h). Se quisermos obter a equação horária da aceleração, teremos que aplicar o

método desenvolvido por Newton, a derivada. Isso quer dizer que iremos “derivar” a função de velocidade.

Quando derivamos uma função f(t), obtemos a função que exprime sua taxa de variação. Chamamos

a função derivada de f’(t) e usamos a seguinte notação:

'( ) ( )df

f t tdt

=

Podemos escrever portanto:

( ) ( )

( ) ( )

dsv t t

dt

dva t t

dt

=

=

Para calcular a derivada de 4 2( ) 13 36v t t t= − + , usaremos duas propriedades:

1

(I) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(II) - ( ) . ( ) . .n n

df dg dhf t g t h t t t t

dt dt dt

dff t a t t a n t

dt

−

= + ⇒ = +

= ⇒ =

A propriedade (I) diz que derivar a função v(t) significa derivar cada um de seus termos separadamente. A propriedade (II) mostra a forma de derivar um termo de funções polinomiais:

• a constante a presente no termo não é alterada; • o termo passa a ser multiplicado pelo expoente n de t; • o expoente de t é decrescido em 1 e passa a ser n – 1.

Antes de finalmente derivarmos a função v(t), ainda é preciso observar mais um aspecto importante:

o último termo da função, + 36, não é multiplicado por t. Todavia, sabemos que t0 = 1. Então vamos reescrever a função v(t):

4 2 0( ) 1. 13 36.v t t t t= − +

Agora, vamos aplicar a derivada:

4 1 2 1 0 1( ) 1.4. 13.2. 36.0.dvt t t t

dt

− − −= − +

E, assim, podemos obter a equação horária da aceleração do móvel: 3( ) 4. 26.a t t t= − (km, h)

Observação 1: As unidades km e h são mantidas após a aplicação da derivada, ou seja, o tempo deve

estar baseado em horas e a aceleração, em km/h2. Observação 2: Repare que quando derivamos o último termo da equação, + 36, obtivemos um

resultado nulo. Isso quer dizer que ele não produz nenhum efeito na função derivada, a aceleração. Ou


seja, se no lugar de + 36, tivéssemos + 50, a função derivada em nada seria alterada, já que esse termo, chamado “termo independente” (de t), seria de qualquer forma multiplicado pelo expoente de t, que é zero, anulando o resultado. Por que isso ocorre?

Essencialmente porque é o único termo de v(t) que não varia com o tempo. Tanto o termo -13t2 quanto t4 variam com o decorrer do tempo. Já o termo + 36 permanece constante. A função derivada exprime a taxa de variação da grandeza, ou, de acordo com a propriedade I, a soma das taxas de variação de cada um de seus termos. A taxa de variação de t4, como vimos, é 4t3. A taxa de variação de -13t2 é -26t. Se + 36 é constante, sua taxa de variação deve ser nula.

Isso fica mais claro se calcularmos a velocidade no instante zero: 4 2(0) 0 13.0 36

(0) 36 km/h

v

v

= − +

=

Quando calculamos a velocidade no instante t = 0, todos os termos se anulam, a não ser o termo independente de t. Isso quer dizer que a velocidade inicial do movimento é 36 km/h.

Em qualquer equação horária, o termo independente de t representa o valor da grandeza no instante t = 0, pois é o único que não se anula nessa circunstância.

Ou seja, podemos reescrever a equação de v(t) da seguinte forma: 4 2( ) (0) ( 13 )v t v t t= + −

Nesse caso, é como se disséssemos que a velocidade atual do móvel é a sua velocidade inicial somada ao quanto essa velocidade variou ao longo do período de tempo, de 0 a t. Essa variação de velocidade é ∆v = t4 – 13t2. Se substituirmos ∆v na equação, temos a relação já conhecida: v = v0 + ∆v.

Portanto, é claro que a taxa de variação do movimento refere-se somente à componente ∆v. Exercício 1.13.2: A posição de um móvel varia com o tempo segundo a seguinte regra:

2( ) 5 3 5s t t t= − − + (m, s). Determine:

a) sua posição no instante 1 s; b) sua velocidade inicial; c) sua aceleração;

Solução: a) Para a determinação da posição no instante 1 s, basta substituirmos esse valor na equação dada:

2(1) 5 3.1 5.1 3 ms = − − + = −

b) Dispomos apenas da equação horária da posição. Se quisermos obter a velocidade em algum instante, deveremos primeiramente derivar a função de posição.

0 1 2

0 1 1 1 2 1

( ) 5. 3 5

( ) 5.0. 3.1. 5.2.

( ) 3 10

s t t t t

dst t t t

dt

v t t

− − −

= − − +

= − − +

= − +

Queremos determinar a velocidade inicial do movimento, ou seja, a velocidade para t = 0. Vamos substituir esse valor na equação:

0

(0) 3 10.0

3 m/s

v

v

= − +

= −

c) Para obtermos a equação horária da aceleração, vamos derivar a função de velocidade:

0 1

0 1 1 1

2

( ) 3. 10

( ) 3.0. 10.1.

( ) 10

10 m/s

v t t t

dvt t t

dt

a t

a

− −

= − +

= − +

=

=

Nesse caso, podemos concluir que a aceleração é constante, isto é, não varia com o tempo. Mais tarde, estudaremos movimentos com essa característica, o chamado Movimento Uniformemente Variado.


Exercício 1.13.3: Vamos voltar ao exemplo inicial, em que tínhamos 4 2( ) 13 36v t t t= − + (km ,h).

Determine a equação horária das posições. Solução: De acordo com o que vimos até agora, se a velocidade é a taxa de variação da posição,

devemos ter uma função s(t) que, quando derivada, obteríamos v(t). Vamos fazer isso termo a termo. Devemos ter um termo a.tn que, quando derivado, obtém-se 1.t4. A derivada do termo a.tn é a.n.tn-1.

Vamos fazer, portanto, duas relações: 1 4 5

. 1 .5 1 1 5

n n

a n a a

− = ∴ =

= ∴ = ∴ =

Logo o termo que, quando derivado é igual a t4, é 55(1 5). 5tt = .

Utilizando o mesmo raciocínio, podemos obter também outros termos da equação: 3133

t− e 36t .

Contudo, se v(t) exprime a taxa de variação de s(t), esses termos referem-se à ∆s, pois o termo s(0) não tem nenhuma contribuição em v(t). Assim, dizemos que:

5 3

5 30

1 1336

5 3

1 13( ) 36

5 3

s t t t

s t s t t t

∆ = − +

= + − +

É impossível determinar s0 a partir da equação de v(t). EXTRA

_____________________________________________________________________________________ Nos exemplos vistos, as equações horárias eram polinomiais, isto é, um somatório do tipo a.xn.

Vimos a regra de derivação polinomial:

1( ) . '( ) . .n ndff x a x f x a n x

dx

−= ⇒ = = .

Vamos estudá-la. A definição de derivada é taxa de variação. Isso significa que

0 0

( ) ( )lim limx x

df f f x x f x

dx x x∆ → ∆ →

∆ + ∆ −= =

∆ ∆

Suponha que f(x) represente a posição escalar de um corpo e x, o tempo.

( ) . ns t a t=

Nesse caso, sua derivada é a velocidade. ds

vdt

=

Pela definição, temos

0limt

sv

t∆ →

∆=

∆,

que é exatamente a definição de velocidade já vista anteriormente. Desmembrando esse limite, virá

0

( ) ( )limt

s t t s tv

t∆ →

+ ∆ −=

∆,

onde ( ) Fs t t s+ ∆ = e 0( )s t s= . Daí, 0( ) ( ) Fs s t t s t s s∆ = + ∆ − = − .

Para simplificar, vamos tomar n = 2. Nesse caso, 2( ) .s t a t= . Substituindo na equação da velocidade,


( )

2 2

0

2 2 2

0

2 2 2

0

2

0

2

0

0

.( ) .lim

.( 2. . ) .lim

. 2. . . . .lim

2. . . .lim

2. . . .lim

lim 2. . .

2. .

t

t

t

t

t

t

a t t a tv

t

a t t t t a tv

t

a t a t t a t a tv

t

a t t a tv

t

a t t a tv

t t

v a t a t

v a t

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ −=

∆+ ∆ + ∆ −

=∆

+ ∆ + ∆ −=

∆∆ + ∆

=∆

∆ ∆= +

∆ ∆ = + ∆

=

,

como era esperado. Podemos fazer a mesma demonstração para um valor genérico de n, mas isso requer um

conhecimento de matemática mais avançado. Na verdade, podemos fazer a demonstração para qualquer tipo de função, e não somente as polinomiais. _____________________________________________________________________________________

17. Conclusão Com esses conceitos bem fixados, será bastante fácil o aprendizado de todo o resto da física. Vimos

as notações e os procedimentos padrões para a análise e resolução de um problema de física, usamos de forma simples os sistemas de referência, introduzimos as grandezas fundamentais da física, e estudamos suas relações.

É importante ressaltar que os exemplos vistos para o estudo das equações horárias tratavam apenas do movimento em uma única direção. Por isso, as grandezas vetoriais posição, velocidade e aceleração já tinham sua direção definida, e a distinção entre os dois sentidos possíveis foi feita com o uso dos sinais positivo ou negativo. Isso quer dizer que demos um tratamento escalar a essas grandezas. No quarto capítulo, veremos como trabalhá-las em um âmbito vetorial. Por enquanto, ainda vamos nos ater nessa restrição, porém utilizando o gráfico cartesiano como artifício alternativo às equações horárias.

Sendo assim, no capítulo II revisaremos alguns conceitos matemáticos essenciais para a expansão da teoria do movimento e, no capítulo III, daremos prosseguimento à cinemática escalar com o auxílio de gráficos cartesianos.

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