introdução a análise real - francisco júlio

Introduo Anlise RealFrancisco Jlio Sobreira de Arajo Corra

Prlogo

As ideias bsicas contidas nos cursos de Clculo, tais como Derivadae Integral, tm suas gneses em conceitos e problemas geomtricos que aMatemtica Grega colocava entre as suas principais preocupaes. Dentreesses destacam-se o traado de retas tangentes e a quadratura de guras.Muito embora essas construes geomtricas estejam relacionadas comideias aparentemente simples, o seu entendimento perfeito somente setornou possvel com o advento do Clculo Diferencial e Integral cujacriao remonta ao sculo XVII associada s pessoas de Fermat, Newton,Leibniz, entre outros, que comearam a associar tais noes geomtricass de derivada e integral que, por sua vez, esto associadas ao conceitode limite. A ausncia desse ltimo foi exatamente o que impediu que osmatemticos gregos se antecipassem aos do sculos XVII e subsequentes nacriao do Clculo. A Quadratura da Parbola, efetuada por Arquimedes, um exemplo tpico de quanto os matemticos da Grcia Antiga seaproximaram da criao do Clculo. Muito embora os criadores doClculo tenham preenchido certas lacunas deixadas pelos gregos, haviaainda muitas decincias no que se refere ao formalismo e o rigor. Osconceitos estavam repletos de motivaes geomtricas e fsicas, o queno uma coisa ruim, mas o rigor que se impunha na Matemtica,principalmente a partir do sculo XVIII, exigia que os conceitos doClculo, baseados em interpretaes geomtricas, fossem devidamentearitmetizados. Isso foi feito por vrios matemticos entre os quais sedestacam Cauchy, Riemann, Bolzano, Weierstrass, entre outros, quecolocaram em bases rmes e rigorosas os conceitos de limite, continuidadeetc. At mesmo o corpo dos nmeros reais teve que ser construdo demaneira formal para justicar passagens cruciais de certas demonstraesque, no Clculo, eram consideradas intuitivamente bvias. Na verdade,mantidas as devidas propores, o incio do Clculo, com suas motivaese interpretaes geomtricas, assemelhava-se aquilo que desenvolvemos noClculo Diferencial e Integral, ao passo que a Anlise Matemtica, que orainiciamos, est prxima daquilo que os matemticos dos sculos XVIII eXIX zeram com o Clculo (veja vila1).

1Geraldo vila, O Ensino do Clculo e da Anlise, Matemtica Universitria, N.33, Dezembro (2002), 83-95.

1

2 Anlise - prlogo UFPA

Deve-se ressaltar que a diviso Clculo = Anlise se impe por questeshistricas como tambm por motivaes pedaggicas e psicolgicas. Faz-se necessrio considerar o amadurecimento progressivo do(a) estudanteque apreende os conceitos do Clculo de maneira intuitiva para, em umestgio posterior, retornar aos mesmos conceitos, dessa vez vestidos a rigor.Ser esse o objetivo desse curso. Comearemos introduzindo o Corpo dosReais, via Postulado de Dedekind, para, a seguir, elaborar formalmenteos conceitos de limite, continuidade, diferenciabilidade e integrao. Ditoisso, comecemos a apreciar o Clculo Diferencial e Integral em traje degala.

Agradecimento. Gostaria de externar o meu profundo agradecimento aoProf. Daniel Cordeiro de Morais Filho, do Departamento de Matemtica eEstatstica da Universidade Federal de Campina Grande, e Profa JoelmaMorbach, da Faculdade de Matemtica da Universidade Federal do Par,por suas valiosas sugestes que contriburam para a melhoria deste livro.Alm disso, e como no poderia deixar de ser, agradeo Graa, ao Juniore Hilda Maria por tudo de bom que me deram.

Finalmente, agradeo, antecipadamente, a todos aqueles que venhama contribuir com sugestes para a melhoria deste texto. Sugestespodem ser enviadas aos endereos eletrnicos [email protected] [email protected]

Sumrio

1 Corpos Ordenados e o Postulado de Dedekind 7

1 Corpos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Supremo e nmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Postulado de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Princpio da Induo Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Apndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A Anlise e a Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Apndice II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Conjuntos Enumerveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Sequncias de Nmeros Reais 33

1 Noes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Limites de Sequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Sequncias Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Propriedades Algbricas de Limites de Sequncias . . . . . 39


4 Apndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Continuidade e Nmeros Irracionais . . . . . . . . . . . . . 49

5 Apndice II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

O Nmero e Revisitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Teorema de Bolzano-Weierstrass e Sequncias de Cauchy 53

1 Algumas Sequncias Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 57

3


3 Sequncias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


5 Apndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Limite Inferior e Limite Superior de Sequncias . . . . . . 63

4 Noes Iniciais Sobre Sries Numricas 67

1 Denio e Exemplos de Sries . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2 Alguns Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Testes de Convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


5 Critrios de Convergncia para Sries 79

1 Sries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Convergncia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2 Teste da Razo ou de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Teste da Raiz ou de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Teste da Condensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 Teste da Integral Imprpria . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Exerccios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


6 Limites de Funes 93

1 Ponto de Acumulao de um Conjunto . . . . . . . . . . . 93

2 Limites de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Limites Innitos e Limites no Innito . . . . . . . . . . . . 102


7 Funes Contnuas 105

1 Exemplos e Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2 Condio Necessria e Suciente para a Continuidade . . . 111

3 Conjuntos Abertos e Funes Contnuas . . . . . . . . . . 115



UFPA Anlise - Prlogo 5

8 Mximos e Mnimos e o Teorema do Valor Intermedirio 121

1 Mximos e Mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2 Teorema do Valor Intermedirio . . . . . . . . . . . . . . . 125

3 O Mtodo da Bisseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127



9 A Derivada 135

1 Noes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2 Regras de Derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . 145



6 Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Funes Contnuas sem Derivadas . . . . . . . . . . . . . . 151

10 O Teorema do Valor Mdio e Aplicaes 153

1 Teorema do Valor Mdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2 Estudo do Comportamento de Funes . . . . . . . . . . . 158



11 Regras de LHospital 169

1 Primeira Regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2 Segunda Regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . 173



12 Aproximao Polinomial 179

1 Aproximaes de Funes por Polinmios . . . . . . . . . . 179

2 A Frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184




13 Sries de Potncias: Noes Elementares 191

1 Denio e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

2 Funes Analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195



14 A Integral de Riemann: Noes Iniciais 205

1 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

2 Funes Integrveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217


5 Apndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Conjuntos de Medida Nula. Condio de Integrabilidade . 222

15 O Teorema Fundamental do Clculo 223

1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

2 Teorema Fundamental do Clculo . . . . . . . . . . . . . . 226

3 Duas Frmulas para o Clculo de Integrais . . . . . . . . . 228



16 As Funes Logartmica e Exponencial 233

1 Funo Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

2 Funo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237



Bibliograa 242

Captulo 1

Corpos Ordenados e o Postuladode Dedekind

Neste captulo, introduziremos de maneira formal, mas evitando certosdetalhes tcnicos, o corpo dos nmeros reais. Voc j trabalhou, desde oensino fundamental, com vrios tipos de nmeros tais como os naturais,inteiros, racionais e reais. Entretanto, muitas das propriedades dessesnmeros foram omitidas, ou usadas sem justicativas rigorosas, o que perfeitamente natural em estgios iniciais e at mesmo em cursos deClculo. Aqui, introduziremos formalmente o conjunto dos nmeros reais,sempre comparando-os com o dos racionais, ressaltando suas semelhanase suas diferenas fundamentais.

1 Corpos Ordenados

Comearemos com algumas consideraes sobre certas propriedadesque os conjuntos dos racionais e dos reais tm em comum.

Denio 1. Um corpo um conjunto no-vazio F no qual se achamdenidas duas operaes

+ : F F ! F;

que a cada (x; y) 2 F F associa um elemento x+ y 2 F e

: F F ! F;

que a cada (x; y) 2 F F associa um elemento x y 2 F chamadas,respectivamente, adio e multiplicao que satisfazem as seguintespropriedades:

(A1) A adio comutativa, x+ y = y + x, para quaisquer x; y 2 F .

7

8 Anlise - Captulo 1 UFPA

(A2) A adio associativa, x + (y + z) = (x + y) + z, para quaisquerx; y; z 2 F .

(A3) Existe um nico elemento 0 2 F (chamado zero ou elemento neutroda adio) tal que x+ 0 = x, qualquer que seja x 2 F .

(A4) A cada x 2 F corresponde um nico x 2 F (chamado inversoaditivo do nmero x), tal que x+ (x) = 0.

(M1) A multiplicao comutativa, x y = y x, para quaisquer x; y 2 F .(M2) A multiplicao associativa, x (y z) = (x y) z, para quaisquer

x; y; z 2 F .(M3) Existe um nico elemento 1 2 F (chamado um ou elemento neutro

da multiplicao), tal que x 1 = x, para todo x 2 F .(M3) A cada x 2 F , x 6= 0, corresponde um nico elemento x1 2 F ,

tambm designado por 1x, tal que x x1 = 1.

(MD) A multiplicao distributiva com relao adio, x (y + z) =x y + x z, para quaisquer x; y; z 2 F .

Doravante, quando tivermos um corpo (F;+; ) a multiplicao de doiselementos x; y 2 F ser designada simplesmente por xy.Exemplo 1. O exemplo tpico de corpo o conjunto dos nmerosracionais

Q =p

q; p; q 2 Z; q 6= 0

munido com as operaes usuais de adio e multiplicao de fraes.O(A) leitor(a) pode vericar isso facilmente como exerccio.

O conjunto dos nmeros reais, com suas conhecidas operaes usuais, tambm um corpo, porm isso mais delicado de ser estabelecido e ofaremos mais adiante.

Quando voc efetua as divises expressas em uma frao, uma outraforma de representar os nmeros racionais, chamada representao decimalde nmeros racionais, obtida. Dessa maneira, o sistema de representaodecimal posicional nos permite expressar os nmeros naturais usandosomente dez inteiros

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9

os quais so chamados dgitos. Relembremos alguns fatos bsicos sobre arepresentao decimal de nmeros racionais.

Denio 2. Uma decimal uma expresso da forma

a0; a1a2a3 : : : ;onde a0 um nmero inteiro no-negativo e a1; a2; a3; : : : so dgitos

UFPA Anlise - Captulo 1 9

As expresses 3; 272727 : : : ; 9; 144444 : : : ; 5; 768500000 : : : so exem-plos de decimais. No ltimo caso, a expresso representada apenaspor 5,7685 e chama-se representao decimal nita. Em geral, se apenasum nmero nito de dgitos a1; a2; a3; : : : no nulo, ento a decimal chamada nita e escrevemos a0; a1a2a3 : : : an000 : : : simplesmente comoa0; a1a2a3 : : : an.

O nmero 3; 272727 : : : uma dzima peridica simples, representadapor 3; 27, cujo perodo 27. No caso do nmero 9; 144444 : : :, ele umadzima peridica composta representada por 9; 14, cujo perodo 4.

importante observar que toda frao, ou seja, todo nmero racional,possui uma representao decimal que nita ou uma dzima peridica.A recproca desse fato tambm vlida: toda representao decimalnita ou toda dzima peridica pode ser representada por uma fraoe, portanto, um nmero racional. Essa observao bem simples de servericada para nmeros cujas representaes decimais sejam nitas. Porexemplo,

5; 7685 = 5 +7

10+

6

102+

8

103+

5

104

um nmero racional por ser soma de fraes.

Em geral, decimais nitas podem ser usadas para representar nmerosracionais, da seguinte maneira:

a0; a1a2a3 : : : an = a0 +

a110

+a2102

+a3103

+ + an10n

:

Consequentemente, decimais nitas denem nmeros racionais. Casoa decimal no seja nita no podemos executar o procedimento acima. Nocaptulo 4 voltaremos a esse tpico, haja vista que ele nos levar a estudaras chamadas Sries Innitas.

Outro fato que deve ser enfatizado que a cada nmero racional pq

corresponde um nico ponto sobre a reta numrica. No entanto, suarecproca no verdadeira, ou seja, no verdade que a cada ponto dareta esteja associado um nmero real. Isso j era conhecido na GrciaAntiga e, segundo se comenta, a descoberta desse fenmeno teria causadogrande impacto nas estruturas da Matemtica Pitagrica. Mostremos queexistem nmeros no-racionais correspondentes a pontos da reta, isto ,nmeros que no podem ser representados por uma frao de nmerosinteiros com denominador no-nulo. Faremos isso no prximo exemplo.

Exemplo 2. Consideremos a gura seguinte na qual temos um tringuloretngulo issceles cujos catetos medem 1. Usando esse tringulo e umcompasso, fcil marcar na reta numrica um segmento cujo comprimento representado por um nmero no-racional que o conhecido

p2.


0 1

h

h

1

P

Suponhamos, por contradio, que o comprimento da hipotenusa dessetringulo seja um nmero racional

p

qcom p e q 6= 0 nmeros primos entre

si, isto , eles no possuem fatores comuns. Suponhamos p e q positivos.Usando o teorema de Pitgoras, obtm-se

p

q

2= 12 + 12 = 2

e dap2 = 2q2:

Isso nos diz que o nmero p2 par e assim (verique como exerccio) p par, ou seja, p = 2k, para algum inteiro positivo k. Donde 4k2 = 2q2.Logo q2 = 2k2 e ento q2 par, e da q par. Portanto, p e q so pares.Sendo p e q supostos primos entre si eles no podem ser simultaneamentepares e isso uma contradio. Assim,

O nmero que mede a hipotenusa do tringulo representado nagura anterior, associado ao ponto P da reta, no racional.

Esse nmero a raiz quadrada de 2, sendo indicada porp2.

Isso mostra que existem outros nmeros alm dos racionais. Eles so oschamados nmeros irracionais. Existem outros nmeros irracionais como,por exemplo, 3

p2. Esse o nmero positivo x tal que x3 = 2. Na verdade,

pode-se provar que se m e n forem nmeros naturais e xm = n no possuirsolues inteiras, ento m

pn irracional. Provavelmente, seja o nmero

irracional mais famoso. Ele representa a rea de um crculo unitrio ou ametade do comprimento de uma circunferncia de raio 1.Johann Heinrich Lambert-

(1728-1777) matemtico fran-cs, provou, em 1770, que irracional.

Voltando representao decimal de nmeros, deve-se observar queos nmeros irracionais possuem representaes decimais que no sonitas nem dzimas peridicas. Por exemplo, nmeros tais como0; 1213141516 : : :, 2; 112123123412345 : : : so representaes decimais denmeros no-racionais.

Em vista do fato de que nem todo ponto da reta representa umnmero racional, torna-se necessrio construir um conjunto, na verdade


um corpo, que esteja em correspondncia biunvoca com a reta. Emvirtude dos objetivos deste curso no faremos a sua construo, optandopor apresent-lo via um postulado. Pessoas interessadas nessa construodevero consultar, por exemplo, Dedekind1 ou Rudin2.

Denio 3. Diz-se que um corpo F ordenado se existe um conjuntono-vazio K F que goze das seguintes propriedades:

(i) se x; y 2 K, ento x+ y 2 K e xy 2 K;

(ii) dado qualquer x 2 F , apenas uma das alternativas abaixo satisfeita:

x 2 K; x 2 K; x = 0:

O conjunto K chamado conjunto dos elementos positivos de F .

O conjunto K = fx;x 2 Kg chamado conjunto dos elementos ne-gativos de de F e K[f0g chamado conjunto dos elementos no-negativosde F .

Exemplo 3. O exemplo tpico de corpo ordenado o dos racionais Qcom as operaes de adio e multiplicao referidas anteriormente noexemplo 1. Para ordenarmos Q basta considerarmos K como sendo oconjunto dos racionais positivos. Deve-se observar que um racional daforma p

q; p; q 2 Z n f0g, positivo se p:q > 0. V-se facilmente que esse

conjunto satisfaz as propriedades (i) e (ii) na denio de corpo ordenado.

O termo corpo ordenado motivado pelo seguinte fato. Se F forum corpo ordenado por um subconjunto K e se x e y forem elementosquaisquer em F dizemos que

x > y se, e somente se, x y 2 K:

Temos que > uma relao de ordem total pois, dados x; y 2 K,apenas uma das alternativas abaixo ocorre:

x y 2 K; (x y) = y x 2 K; x y = 0:

No primeiro caso, teramos x > y, no segundo y > x e no terceiro x = y,ou seja, dois elementos quaisquer de um corpo ordenado F so semprecomparveis. No caso x > y diz-se que x maior do que y. Usa-se anotao x y para indicar que x pode ser maior ou pode ser igual a y el-se x maior do que ou igual a y.

1 Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, Dover Publications, 1963.2Walter Rudin, Princpios de Anlise Matemtica, Livro Tcnico e Ed. Universidade

de Braslia, 1976.


Supremo e nmo

Veremos, a seguir, algumas denies que nos levaro aos importantesconceitos de supremo e nmo de subconjuntos de corpos ordenados.

Denio 4. Sejam F um corpo ordenado e A F . Diz-se que 2 F uma cota superior do conjunto A se a , para todo a 2 A.

Consideremos o subconjunto A = f0;1;2;3; : : :g do corpoordenado Q. claro que 0, 2 e 17 so cotas superiores de A. Na verdade,qualquer nmero no-negativo uma cota superior de A. Observemosque 0 a menor das cotas superiores de A. O subconjunto B =f1; 2; 3; : : :g Q no possui cota superior. Qualquer nmero maior doque ou igual a 1 cota superior de C = fx 2 Q; 0 < x 1g. Por outrolado, D = fx 2 Q;x 0g no possui cota superior.Denio 5. Diz-se que um subconjunto A de um corpo ordenado F limitado superiormente se ele possuir uma cota superior.

O subconjunto A = f0;1;2;3; : : :g deQ limitado superiormente,enquanto que os subconjuntos B = f1; 2; 3; : : :g e D = fx 2 Q; x 0g deQ no so limitados superiormente.

Denio 6. Sejam F um corpo ordenado e A F . Diz-se que 2 F uma cota inferior do conjunto A se a, para todo a 2 A.

O nmero 1 e qualquer nmero no-positivo so cotas inferiores dosubconjunto B = f1; 2; 3; : : :g de Q. O 1 a maior das cotas inferiores deB. O subconjunto A = f0;1;2;3; : : :g no possui cotas inferiores.Denio 7. Diz-se que um subconjunto A de um corpo ordenado F limitado inferiormente se ele possuir uma cota inferior.

O subconjunto B = f1; 2; 3; : : :g de Q limitado inferiormente,enquanto o subconjunto A = f0;1;2;3; : : :g de Q no limitadoinferiormente.

Denio 8. Um subconjunto A de um corpo ordenado F limitado seele for limitado superiormente e inferiormente.

Por exemplo, o subconjunto f2; 4; 6; 8; 10g de Q limitado, mas ossubconjuntos f0;1;2;3; : : :g e f1; 2; 3; : : :g de Q no so limitados.Denio 9. Seja A um subconjunto de um corpo ordenado F . Diz-seque x 2 F o supremo (quando existir) do conjunto A se ele for a menorde suas cotas superiores. Nesse caso, usa-se a notao

x = supA:


Por conseguinte, a m de que x 2 F seja o supremo do conjunto A asseguintes condies devem ser satisfeitas:

(sup1) x deve ser cota superior do conjunto A.

(sup2) Se y for cota superior de A ento x y.Denio 10. Seja A um subconjunto de um corpo ordenado F . Diz-seque x 2 F o nmo (quando existir) do conjunto A se ele for a maiorde suas cotas inferiores. Usa-se a notao

x = inf A:

Portanto, a m de que x 2 F seja o nmo do conjunto A as seguintescondies devem ser satisfeitas:

(inf1) x deve ser cota inferior do conjunto A.

(inf2) Se y for cota inferior de A ento x y.

Para que os conceitos de supremo e nmo quem mais claros,analisemos o exemplo a seguir.

Exemplo 4. Consideremos o corpo ordenado Q e seja A Q dado porA = fy 2 Q ; a < y bg

em que a e b so nmeros racionais tais que a < b. Obviamente, a umacota inferior de A, assim como qualquer nmero racional menor do quea. Analogamente, b cota superior de A assim como qualquer nmeroracional maior do que b. Mostremos que

a = inf A e b = supA:

Para mostrar que a = inf A, suponhamos que y 2 Q seja uma cota inferiorde A. No podemos ter y > a pois, se assim fosse, o nmero racional a+y

2

pertenceria a A e seria menor do que y, de modo que y no poderia ser cotainferior de A. Portanto, y a e desse modo a = inf A. Analogamente,mostra-se que b = supA.

Conseguintemente, infere-se que o supremo ou nmo, quandoexistirem, podem ou no pertencer ao conjunto. O(A) leitor(a) estconvidado(a) a determinar, quando existirem, o nmo e o supremo dosconjuntos descritos a seguir:

(a) A1 = f1; 2; 3; : : : ; ng(b) A2 = f ;3;2;1; 0; 1; ; ng


(c) A3 = fr 2 Q;1 < r < 1g(d) A4 = Z em que Z representa o conjunto dos inteiros.

(e) A5 = N em que N representa o conjunto dos naturais, isto ,N = f1; 2; 3; : : :g.

(f) A6 = fx 2 Q; 0 x 2g.(g) A7 = fx 2 Q;x 2g.(h) A6 = fx 2 Q;x 2g.

Julius Wilhelm Richard De-dekind, matemtico ale-mo, nasceu a 6 de outubrode 1831 em Braunschweig efaleceu a 12 de fevereiro de1916 em Braunschweig. Idea-lizou os Cortes de Dedekindque garantem a existncia deum corpo ordenado completo.

2 Postulado de Dedekind

O exemplo 2 nos mostra, de maneira elementar, que o conjunto dosracionais possui uma decincia muito grave:- ele no consegue preenchera reta, pois,

p2 corresponde a um ponto da reta numrica, mas

p2 =2 Q.

Esse fato, de natureza bastante geomtrica, traduz-se de forma aritmticapor meio do seguinte exemplo.

Exemplo 5. O conjunto

A =x 2 Q; x2 < 2; x > 0

no possui supremo em Q. Inicialmente, observemos que no existe,conforme exemplo 2, um nmero racional x tal que x2 = 2. Segue-seque se x > 0 for um nmero racional deve-se ter x2 < 2 ou x2 > 2. Su-ponhamos que x 2 Q seja positivo e x2 < 2. Armamos que existe umnmero natural n tal que

x+1

n

2< 2:

Observemos quex+ 1

n

2< 2 se, e somente se, x2 + 2x

n+ 1

n2< 2 e essa

desigualdade equivalente a n2x2 + 2xn + 1 < 2n2 que, por sua vez, verdadeira se, e somente se,

(x2 2)n2 + 2xn+ 1 < 0sendo que na ltima expresso temos o polinmio do segundo grau em n,(x2 2)n2 +2xn+1, cujo coeciente do termo de segundo grau, x2 2, negativo e da, existe n sucientemente grande, de modo que tal polinmiose torne negativo. Basta tomar n maior do que a sua maior raiz. Paraesses valores de n tem-se

x+1

n

2< 2


e como x e 1nso racionais positivos sua soma tambm um racional po-

sitivo e, em virtude dessa ltima desigualdade, x+ 1npertence ao conjunto

A. Ento, nenhum elemento de A pode ser cota superior de A. Seja x 2 Qtal que x > 0 e x2 > 2. Assim, x cota superior de A. Mostremos quepodemos encontrar n 2 N tal que

x 1n

2> 2:

Observemos quex 1

n

2> 2 se, e somente se,

(x2 2)n2 + 2xn+ 1 > 0donde segue-se, em virtude de x2 2 > 0, que existe n 2 N para o quala desigualdade prvia satisfeita. Conclui-se, ento, que qualquer x 2 Qtal que x2 > 2 no pode ser supremo do conjunto A.

Concluso: o conjunto A no possui supremo em Q.

Corpos ordenados F que, como o corpo Q, padecem dessa decincia,isto , subconjuntos limitados superiormente de F podem no ter supremoem F ou subconjuntos limitados inferiormente podem no ter nmo emF , so ditos no-completos.

Em virtude da no-completeza do conjunto Q, faz-se necessrio cons-truir um novo conjunto que preencha aquilo que est faltando em Q eseus elementos estejam em correspondncia biunvoca com a reta. Essaconstruo foi efetuada de maneira rigorosa, pela primeira vez, por RichardDedekind, matemtico alemo, usando os chamados Cortes de Dedekind.Essa construo bastante tcnica e sua exposio completa tornaria estecaptulo muito extenso e fugiria dos reais objetivos de um primeiro cursode Anlise Real. Em vista disso, optamos por introduzir o corpo dos reaispor meio de um postulado, o que nos poupar tempo, remetendo o leitorpara as referncias citadas nas notas de rodap da pgina 11.

Postulado de Dedekind. Existe um corpo ordenado R,chamado corpo dos nmeros reais, com Q R, tal que todosubconjunto no-vazio de R, limitado superiormente, possuisupremo em R.

Esse postulado garante a completeza do corpo dos reais, em um sentidoque ser esclarecido oportunamente. Alm disso, R determinado demaneira nica, a menos de isomorsmos de corpos. Tornemos clara altima armao.

Sejam (F1;+; ) e (F2;+; ) corpos para os quais estamos designandopelos mesmos smbolos + e as operaes de adio e multiplicao emambos os corpos. Diz-se que (F1;+; ) e (F2;+; ) so isomorfos se existiruma funo bijetiva : F1 ! F2 tal que


(i) (x+ y) = (x) + (y),

(ii) (x y) = (x) (y),

para todos x; y 2 F1. A funo chamada isomorsmo entre corpos.A unicidade, a menos de isomorsmos de corpos, signica que se

(K;+; ) for outro corpo ordenado completo, ento (R;+; ) e (K;+; )sero isomorfos.

Faamos algumas aplicaes do postulado de Dedekind.

Proposio 1. A equao x2 = 2 possui uma nica soluo positiva emR.

Demonstrao. Consideremos o conjunto A = fx 2 R ; x2 < 2; x > 0g,introduzido no exemplo 5. A limitado superiormente. Basta observarque o nmero real 2 cota superior de A. Portanto, pelo Postulado deDedekind, A possui supremo em R. Designemo-lo por b. Armamos queo nmero b soluo da equao x2 = 2, ou seja, b2 = 2. Como R umcorpo ordenado, o nmero b2 2 deve satisfazer uma, e somente uma, dasrelaes abaixo:

b2 2 > 0; b2 2 < 0; b2 2 = 0:

Mostremos que as duas primeiras alternativas no podem ocorrer.Comecemos supondo que b2 > 2 e observemos que

b 1n

2= b2 2b

n+

1

n2> 2

se, e somente se,(b2 2)n2 2bn+ 1 > 0:

Como b22 > 0 a desigualdade acima satisfeita se n for sucientementegrande. Para esses valores de n, tem-se

b 1

n

2> 2 e assim b 1

nseria

uma cota superior do conjunto A menor que o seu supremo b o que impossvel. Lembremos que o supremo de um conjunto a menor desuas cotas superiores. Desse modo, a desigualdade b2 2 > 0 no podeocorrer. De modo anlogo, pode-se mostrar a impossibilidade de termosb2 2 < 0. Resta a alternativa b2 = 2, ou seja, b soluo da equaoem estudo. Isso mostra a existncia de soluo. A unicidade provada daseguinte maneira: sejam b1 e b2 solues positivas da equao x2 = 2, isto,

b21 = 2 e b22 = 2;

Logo, b21 = b22 e de b21 b22 = 0 segue-se que (b1 b2)(b1 + b2) = 0. Comob1+ b2 > 0, teremos b1 b2 = 0 e ento b1 = b2. Isso mostra que a soluoobtida nica. 2


Proposio 2. Se um subconjunto de R for limitado inferiormente entoele possui nmo.

Demonstrao. Sejam A R um conjunto limitado inferiormente e xuma cota inferior de A. Assim, x a, para todo a 2 A, e da x a,para todo a 2 A. Designando por A o conjunto

A = fa ; a 2 Agobserva-se, em virtude de x a, que A limitado superiormente.Pelo Postulado de Dedekind, A possui supremo. Mostremos que

sup(A) = inf A:De fato, chamando = sup(A), teremos a, para todo a 2 A eda a, para todo a 2 A, o que implica que cota inferior doconjunto A. Deve-se mostrar que ela a maior de suas cotas inferiores.Seja uma cota inferior de A, isto , a, para todo a 2 A. Logo, a e assim cota superior do conjunto A e pela deniode supremo e ento , isto , a maior das cotasinferiores de A. Portanto, todo conjunto limitado inferiormente, diferentedo conjunto vazio, possui nmo. 2

Proposio 3. O conjunto dos nmeros naturais no limitadosuperiormente.

Demonstrao. Suponhamos, por contradio, que o conjunto Ndos nmeros naturais seja limitado superiormente. Pelo Postulado deDedekind N possui supremo, digamos , e assim, n , para todo n 2 N.O conjunto dos naturais possui a propriedade de que se n 2 N enton+1 2 N o que acarreta n+1 , para todo n 2 N. Da, n 1, paratodo n 2 N. Esta ltima desigualdade nos diz que 1 cota superiorde N, o que impossvel pois o supremo de N. Esta contradio nosmostra que N no limitado superiormente. 2

Proposio 4. (A Propriedade Arquimediana). Dados nmerosreais 0 < a < b, existe um nmero natural n tal que b < na.

Demonstrao. Suponhamos, por contradio, que na b, paratodo n 2 N. Isto implica que o conjunto A = fna ; n 2 Ng limitadosuperiormente (b uma de suas cotas superiores). Invocando o Postuladode Dedekind, A possui supremo, digamos . Assim, na , para todon 2 N, donde (n + 1)a , para todo n 2 N, de modo que n a,para todo n 2 N. Como a > 0, a seria cota superior de A, menor queo seu supremo o que impossvel. Ento, existe n 2 N tal que na > b.2

Para a prxima aplicao do Postulado de Dedekind precisaremos daseguinte denio.


Denio 11. Um subconjunto A de R denso em R se para quaisquera, b 2 R com a < b existe x 2 A tal que a < x < b.Proposio 5. O conjunto Q denso em R.

Demonstrao. Sejam a < b nmeros reais. Ento ba > 0 e podemosusar a propriedade arquimediana dos nmeros reais para b a e 1 paragarantir a existncia de um nmero natural q de modo que q(b a) > 1.Isso nos diz que o intervalo cujos extremos so os pontos qa e qb possuicomprimento maior do que 1 e assim existe um inteiro p com qa < p < qb.Da a < p

q< b e o nmero racional procurado p

q. 2

Proposio 6. O conjunto dos irracionais, Qc, denso em R.

Demonstrao. Sejam a < b dois nmeros reais. Pela proposioprecedente, existem racionais q1; q2 tais que

a < q1 < q2 < b:

Denamost = q1 +

1p2(q2 q1):

Claramente, t irracional e q1 < t < q2. Assim, a < t < b. 2

3 Princpio da Induo Finita

Completaremos este captulo enunciando e fazendo algumas aplicaesdo importante Princpio da Induo Finita. Esse princpio utilizadoquando surgem armaes que envolvam nmeros naturais. Defrontamo-nos, ento, com a questo de saber se tais armaes so verdadeiras paratodo nmero natural n n0, em que n0 2 N.

Princpio da Induo Finita. Seja P uma propriedade satisfeita porum conjunto de nmeros n 2 N e suponhamos que:(i) o nmero n0 satisfaz a propriedade P ;

(ii) se um nmero natural n n0 satisfaz a propriedade P , ento n+ 1tambm satisfaz a propriedade P .

Ento todos os nmeros naturais n n0 satisfazem a propriedade P .

Observao 1. O princpio acima equivalente ao:

Segundo Princpio da Induo Finita. Suponhamos que a cada n 2 Ntenhamos uma proposio P (n). Se, para cada m 2 N, a hiptese de queP (k) verdadeira para todo k < m implica que P (m) verdadeira, entoP (n) verdadeira para todo n 2 N.


Observao 2. Deve-se observar que, desde o incio desse curso, estamosa admitir a existncia do conjunto dos nmeros naturais N o qual foicolocado em bases rigorosas por Giuseppe Peano em sua obra Arithmetices Giuseppe Peano (27 de agosto

de 1858 - 20 de abril de 1932)foi um matemtico e lsofoitaliano, conhecido por suascontribuies Teoria dosConjuntos. Peano publicoumais de duzentos livros e ar-tigos, a maioria em Matem-tica.

Principia Nova Methodo Exposita, onde prope a axiomatizao daAritmtica e faz o seu primeiro desenvolvimento rigoroso. Formalmente,Peano introduziu o conjunto dos nmeros naturais por intermdio dosseguintes axiomas:

Axioma 1. 1 um nmero natural.

Axioma 2. Todo nmero natural n possui um nico sucessor, designadopor n0.

Axioma 3. O nmero natural 1 no sucessor de nenhum nmero natu-ral. Isso signica que n0 6= 1, para todo nmero natural n.Axioma 4. Se n1; n2 2 N; n01 = n02, ento n1 = n2Axioma 5. Se X N satiszer

(i) 1 2 X;(ii) n 2 X implica n0 2 X,

ento X = N.

Observemos que esse ltimo axioma exatamente o Princpio daInduo. Alm disso, o sucessor n0 do nmero natural n o nossoconhecido n+ 1.

Faamos algumas aplicaes do Princpio da Induo.

Aplicao 1. Para todo nmero natural n e todo nmero real x 6= 1,tem-se

1 + x+ x2 + + xn1 = 1 xn

1 x

Demonstrao. Claramente, a propriedade acima vlida quandon = 1 pois, nesse caso, ambos os membros dessa ltima expresso seroiguais a 1.

Suponhamos que a propriedade seja vlida para n 2 N. Essa achamada hiptese de induo. Assim,

1 + x+ x2 + + xn1 = 1 xn

1 x

e adicionando xn a ambos os membros dessa igualdade, obtm-se

1 + x+ x2 + + xn1 + xn = 1 xn

1 x + xn:


Da

1 + x+ x2 + + xn1 + xn = 1 xn+1

1 xo que mostra a validez da propriedade para n + 1. Pelo Princpio daInduo, a igualdade vlida para todo n 2 N. 2

Aplicao 2. (Desigualdade de Bernoulli) Seja r 2 R; r > 1. Ento

1 + nr (1 + r)n;

para todo n 2 N.

Demonstrao. A desigualdade trivialmente satisfeita se n = 1. Su-ponhamos que ela se verique para um certo n 2 N (hiptese de induo).Assim, 1 + nr (1 + r)n e multiplicando ambos os seus membros por1 + r > 0, obtm-se

(1 + nr)(1 + r) (1 + r)n(1 + r)

Portanto, (1+r)n+1 1+r+nr+nr2 > 1+(n+1)r, pois nr2 > 0. Logo,(1 + r)n+1 1 + (n+ 1)r que a desigualdade para n+ 1. Pelo Princpioda Induo, a desigualdade de Bernoulli vlida para todo n 2 N. 2

Aplicao 3. Se r 0, ento

(1 + r)n 1 + nr + n(n 1)r2

2;

para todo n 2 N.

Demonstrao. Inicialmente, observemos que a desigualdade vlidaquando n = 1. Suponhamos que ela seja vlida para n 2 N. Multiplicandoambos os membros da desigualdade

(1 + r)n 1 + nr + n(n 1)r2

2

por 1 + r, obtemos

(1+r)n+1 1+(n+1)r+ (n+ 1)nr2

2= 1+(n+1)r+

(n+ 1)(n+ 1 1)r22

e assim a desigualdade vlida para n+1. Usando o Princpio da Induo,obtemos a validez da desigualdade para todo n 2 N. 2


4 Exerccios Propostos

1. Mostre que p 2 N par se, e somente se, p2 par.2. Mostre que se p um nmero primo e positivo, entopp irracional.3. Mostre, por induo, que

(a) 1+ 12r

+ 13r

+ + 1nr 1+ 1

2r+ 1

3r+ + 1

(2n1)r 1( 1

2)(r1)n

1( 12)r1 .

(b) 1 + 2 + + n = n(n+1)2

.

(c) 13 + 23 + + n3 = (1 + 2 + n)2.(d) 12 + 22 + + n2 = 1

6(2n3 + 3n2 + n).

(e) 112 +

123 +

134 + + 1n(n+1) = 1 1n+1 .

4. Use a Desigualdade de Bernoulli com r = 12n

para provar que

21n 1 + 1

2n 1 ; para todo n 2 N:

5. Um tpico importante em Anlise so as desigualdades. Elasso usadas, entre outras coisas, nas questes de convergncia,estimativas etc. Este exerccio abordar algumas desigualdadesimportantes que surgiro em vrias situaes ao longo destescaptulos. Comecemos denindo mdulo ou valor absoluto de umnmero real. Dado um nmero real x, dene-se seu mdulo ou valorabsoluto, designado por jxj, por

jxj =

x se x 0;x se x < 0:

Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.

(a) Desigualdade triangular:

ja+ bj jaj+ jbj;para quaisquer a, b 2 R.

(b) Desigualdade triangular generalizada:

ja1 + a2 + + anj ja1j+ ja2j+ + janj;para quaisquer a1, a2; : : : ; an 2 R.

(c) Segunda desigualdade triangular:jaj jbj ja bj;para quaisquer a, b 2 R.


(d) Se a; b 0 ento pab a+ b

2:

Esta desigualdade expressa o fato de que a mdia geomtricade dois nmeros nunca excede a sua mdia aritmtica.

(e) Generalizao da desigualdade no item (d). Se a1; a2; : : : ; anso nmeros reais no-negativos, ento

npa1 an a1 + an

n:

(f) Sejam a e b nmeros reais positivos. Mostre que a mdiaharmnica

1

2

1

a+

1

b

menor do que ou igual mdia geomtrica

pab.

(g) Sejam a1; : : : ; an e b1; : : : ; bn nmeros reais. Demonstre adesigualdade de Cauchy-Schwarz

nXi=1

aibi

!2

nXi=1

a2i

! nXi=1

b2i

!

(h) Se a, b e c so nmeros reais satisfazendo a < b < c ento

jbj < jaj+ jcj:

(i) Dados nmeros reais a e b tem-se

a2 + ab+ b2 0:

6. Escreva as expresses seguintes em formas equivalente que noenvolvam valores absolutos.

(a) a+ b+ ja bj(b) a+ b ja bj(c) a+ b+ 2c+ ja bj+ ja+ b 2c+ ja bjj

7. Use a desigualdade triangular para provar que

jxj 1 =) jx 3j 2:

8. Determine os valores de x 2 R que satisfaam(a) jx+ 1j < 3(b) jxj+ jx 1j > 1


(c) max fx; 1 xg < 3(d) jx 2j jx+ 1j = 3(e) x1

x2+4< x+1

x24

(f)p4x 3 > x

(g) jx+ 1j+ jx 1j < 49. Se x, y 2 R, mostre que jx+ yj = jxj+ jyj se, e somente se, xy 0.10. Mostre que, dado " > 0, tem-se jx aj < " se, e somente se,

a " < x < a+ ":

11. Mostre que se x; y 2 R ento(a) max fx; yg = 1

2(x+ y + jx yj)

(b) min fx; yg = 12(x+ y jx yj)

12. (a) Seja A R um conjunto limitado superiormente. Dado " > 0,existe a" 2 A tal que supA " a" supA.

(b) Seja A R um conjunto limitado inferiormente. Dado " > 0,existe a" 2 A tal que inf A a" inf A+ ".

13. Seja ; 6= A R um conjunto limitado superiormente. Se existiruma cota superior de A, com 2 A, ento = supA:

14. Seja ; 6= A R um conjunto limitado inferiormente. Se existir 2 A tal que uma cota inferior de A, ento = inf A:

15. Encontre o supremo e o nmo do conjunto

A =

(1)nn

; n = 1; 2; :

16. Sejam A um subconjunto limitado de R e 2 R. Denimos osconjuntos A e A+ por

A = fa ; a 2 AgA+ = fa+ ; a 2 Ag

(a) Se > 0 ento inf(A) = inf A e sup(A) = supA.

(b) Se < 0 ento inf(A) = supA e sup(A) = inf A.

(c) Se 2 R ento inf(A+) = inf A+ e sup(A+) = supA+.17. Sejam A;B R tais que x y, sempre que x 2 A e y 2 B. Ento

supA inf B.


18. Sejam A;B R+ := [0;+1) conjuntos limitados. Denamos

C := fab; a 2 A e b 2 Bg :

Mostre que C limitado e supC = (supA)(supB) e inf C =(inf A)(inf B).

19. Dado a 2 R, considere os intervalos In =a 1

n; a+ 1

n

; para cada

n = 1; 2; : : :. Mostre que

1\n=1

In = fag :

20. Dado a 2 R, considere os intervalos Jn = (a; a + 1n), para cadan = 1; 2; : : : Mostre que

1\n=1

Jn = ;:

21. Sejam A e B subconjuntos no-vazios de nmeros reais tais que todonmero real pertence a A ou a B e se a 2 A e b 2 B, ento a < b.Prove que existe um nico nmero real x tal que todo nmero realmenor do que x est em A e todo nmero real maior do que x estem B. Uma decomposio de R em dois conjuntos A e B com essaspropriedades um Corte de Dedekind. O resultado contido nesseexerccio conhecido como Teorema de Dedekind.

22. Mostre que se 0 < 1n, para todo n 2 N, ento = 0.

23. Seja A = fa; a 2 Q e a3 < 2g.

(a) Mostre que se a 2 A e b < a, ento b 2 A.(b) Mostre que se a =2 A e b > a, ento b =2 A.


5 Apndice I

A Anlise e a Fsica

Neste apndice, transcreveremos alguns trechos do artigo de HenriPoincar, A Anlise e a Fsica, que est contido em O Valor da Cincia,traduo de Maria Helena Franco Martins, Ed. Contraponto. Vejamosalguns pargrafos nos quais Poincar tece alguns comentrios sobre aimportncia da Anlise Matemtica.

Jules Henri Poincar, proe-minente matemtico francs,nasceu a 29 de abril de 1854em Nancy e faleceu a 17de julho de 1912 em Paris.Poincar se dedicou a vriasreas da Matemtica e daFsica. Formulou a famosaconjectura de Poincar, pro-blema matemtico que snos dias atuais foi resolvido.Tambm escreveu obras dedivulgao cientca que atin-giram grande popularidadetais como Cincia e Hiptesede 1901, O Valor da Cinciade 1904 e Cincia e Mtodode 1908.

Sem dvida j lhes perguntaram muitas vezes para queserve a Matemtica, e se essas delicadas construes quetiramos inteiras de nosso esprito no so articiais, concebidaspor nosso capricho.

Entre as pessoas que fazem essa pergunta, devo fazer umadistino; as pessoas prticas reclamam de ns apenas ummeio de ganhar dinheiro. Estes no merecem resposta; aeles, antes, que conviria perguntar para que serve acumulartantas riquezas e se, para ter tempo de adquiri-las, precisonegligenciar a arte e a cincia, as nicas que podem nosproporcionar espritos capazes de usufru-las,

et propter vitam vivendi perdere causasE por causa da vida perdem-se as razes de viver.Alis, uma cincia unicamente feita tendo em vista aplicaes

impossvel; as verdades s so fecundas se forem ligadas umass outras. Se nos prendemos somente quelas das quais seespera um resultado imediato, faltaro os elos intermedirios,e no haver mais cadeia.

Mas basta de nos ocupar dos prticos intransigentes.Ao lado deles, h aqueles que, apenas curiosos quanto natureza, nos perguntam se temos condies de fazer com quea conheam melhor.

Para responder-lhes, s temos que lhes mostrar os doismonumentos j esboados da mecnica celeste e da fsica ma-temtica.

A Matemtica tem um trplice objetivo. Deve fornecer uminstrumento para o estudo da natureza.

Mas no s isso: tem um objetivo losco e, ouso dizer,um objetivo esttico.

Deve ajudar o lsofo a aprofundar as noes de nmero,espao e tempo.


Seus adeptos, sobretudo, encontram nela fruies anlogass proporcionadas pela pintura e a msica. Admiram adelicada harmonia dos nmeros e das formas; maravilham-se quando uma nova descoberta lhes abre uma perspectivainesperada; e a alegria que assim experimentam no tem ocarter esttico, embora os sentidos no tenham nela nenhumaparticipao? Poucos privilegiados so chamados a goz-laplenamente, verdade, mas no acontece o mesmo com asmais nobres artes?

Por isso, no hesito em dizer que a Matemtica merece sercultivada por si mesma, e que as teorias que no tm aplicaona fsica devem s-lo, tanto como as outras.

Mesmo que o objetivo fsico e o objetivo esttico no fossemsolidrios entre si, no deveramos sacricar nenhum dos dois.

Mas no s isso: esses dois objetivos so inseparveis, e omelhor meio de atingir um visar o outro, ou ao menos jamaisperd-lo de vista. o que vou me esforar por demonstrar,precisando a natureza das relaes entre a cincia pura e suasaplicaes.

O matemtico no deve ser para o fsico um simplesfornecedor de frmulas; preciso que haja entre eles umacolaborao mais ntima.

A Fsica Matemtica e a Anlise Pura no so apenaspotncias limtrofes, que mantm relaes de boa vizinhana;penetram-se mutuamente, e seu esprito o mesmo.

: : :

Todas as leis, pois, provm da experincia, mas para enun-ci-las preciso uma lngua especial; a linguagem corrente demasiado pobre, e alis muito vaga para exprimir relaes todelicadas, to rica e to preciosa.

Eis portanto uma primeira razo pela qual o fsico no podeprescindir da Matemtica; ela lhes fornece a nica lngua queele pode falar.

E uma lngua bem-feita no uma coisa indiferente; paranos limitarmos fsica, o homem desconhecido que inventoua palavra calor destinou muitas geraes ao erro. O calorfoi tratado como uma substncia, simplesmente porque eradesignado por um substantivo, e foi julgado indestrutvel.

: : :

Pois bem, continuando a comparao, os escritores queembelezam uma lngua, que a tratam como um objeto de arte,fazem dela ao mesmo tempo um instrumento mais exvel,mais apto a transmitir as nuanas do pensamento.


Compreendemos ento como o analista, que persegue umobjetivo puramente esttico, por isso mesmo contribui paracriar uma lngua mais apta a satisfazer o fsico.

Mas no s isso; a lei provm da experincia, mas noimediatamente. A experincia individual, e a lei que dela setira geral; a experincia apenas aproximada e a lei precisa,ou ao menos pretende s-lo. A experincia se realiza emcondies sempre complexas, e o enunciado da lei elimina essascomplicaes. o que chamamos corrigir erros sistemticos.

Em uma palavra, para extrair da experincia a lei, precisogeneralizar; uma necessidade que se impe ao mais circunspec-to observador.

: : :

Quem nos ensinou a conhecer as analogias verdadeiras eprofundas, aquelas que os olhos no vem, e que a razo adi-vinha?

O esprito matemtico, que desdenha a matria, para sse ater forma pura. Foi ele que nos ensinou a chamar pelomesmo nome seres que s diferem pela matria, a chamar pelomesmo nome, por exemplo, a multiplicao dos quatrnios e ados nmeros inteiros.

: : :

So esses os servios que o fsico deve esperar da Anlise,mas para que essa cincia possa prestar-lhe esses servios, preciso que ela seja cultivada do modo mais amplo, sempreocupao imediata de utilidade; preciso que o matemticotenha trabalhado como artista.

O que lhe pedimos que nos ajude a ver, a discernir nossocaminho no labirinto que se nos oferece. Ora, quem v melhor aquele que mais ascendeu.

: : :

O nico objeto natural do pensamento matemtico onmero inteiro. Foi o mundo exterior que nos imps o contnuo;sem dvida o inventamos, mas esse mundo nos forou ainvent-lo.

Sem ele no haveria anlise innitesimal; toda a cinciamatemtica se reduziria aritmtica ou teoria dassubstituies.

Ao contrrio, dedicamos quase todo o nosso tempo e todasas nossas foras ao estudo do contnuo. Quem ser capaz de


lament-lo, quem julgar que esse tempo e essas foras foramperdidos?

A Anlise nos abre perspectivas innitas, que a aritmticano suspeita; num breve olhar mostra-nos um conjunto gran-dioso, cuja ordem simples e simtrica; ao contrrio, na teoriados nmeros, onde reina o imprevisto, a viso , por assimdizer, tolhida a cada passo.

: : :


6 Apndice II

Conjuntos Enumerveis

No presente captulo, estudamos alguns fatos sobre o conjunto dosnmeros naturais. Estudamos o Princpio da Induo e, de forma apenassupercial, condizente com os objetivos do curso, zemos uma abordagemdos Axiomas de Peano. Neste Apndice, trataremos das questes deenumerabilidade, que esto relacionadas com a cardinalidade de conjuntosque , grosso modo, a quantidade de elementos de um dado conjunto.

Denio 12. Diz-se que os conjuntos A e B possuem a mesma cardi-nalidade se existir uma aplicao bijetiva f : A ! B, isto , f injetivae sobrejetiva. Se esse for o caso, escreve-se jAj = jBj.Denio 13. A cardinalidade de jAj menor do que ou igual cardinalidade de jBj se existir uma aplicao injetiva f : A! B.

Nesse caso, escreve-se jAj jBj.O seguinte resultado devido a Cantor:

Teorema 1. Qualquer que seja o conjunto A tem-se jAj < jP(A)j, emque P(A) o conjunto das partes de A.

Em particular, no existe aplicao sobrejetiva de A em P(A). Issonos diz que, dado um conjunto A sempre existe outro com cardinalidademaior do que a cardinalidade de A.

Para uma demonstrao desse resultado consulte Lebl3 [14].

Denio 14. Um conjunto A nito se existir n 2 N tal que jAj = jInj,em que In = f1; 2; : : : ; ng. Nesse caso, a cardinalidade de A n.O conjunto A innito se no for nito, ou seja, se ele contm umsubconjunto que est em correspondncia biunvoca com N.

Denio 15. Um conjunto A dito enumervel se jAj = N, isto , Apode ser colocado em correspondncia biunvoca com N = f1; 2; : : :g. Nessecaso, diz-se que A possui cardinalidade @0.

O smbolo @, cujo nome Aleph, a primeira letra do alfabeto hebraico.Devemos observar que se A e B forem conjuntos nitos, A B;A 6= B,

ento jAj < jBj. No entanto, isso no se verica no campo innito.Vejamos o exemplo a seguir.

3Jir Lebl, Basic Analysis, Introduction to Real Analysis, http://www.jirka.org/ra/, 2010.


Exemplo 6. Sejam N = f1; 2; : : :g e P N;P 6= N, dado porP = f2; 4; : : :g :

Observemos que a funo f : N ! P, denida por f(n) = 2n; 8n 2 N, uma bijeo. Isso signica que, no mbito dos conjuntos innitos, podemoster A B;A 6= B, com jAj = jBj.

Vejamos um outro exemplo em que esse fenmeno ocorre.

Exemplo 7. Observemos, inicialmente, que N [ f0g enumervel.Denindo f : N [ f0g ! Z por:

f(0) = 0; f(2n) = n; f(2n 1) = n;verica-se, facilmente, que f uma bijeo. Assim, jNj = jZj.

A seguir enunciaremos, sem demonstrao, alguns resultados sobreenumerabilidade.

(a) Todo subconjunto innito de um conjunto enumervel enumervel.

(b) Se A e B forem conjuntos enumerveis, ento A [B enumervel.(c) Se A nito e B enumervel, ento A [B enumervel.(d) Se (An) uma sequncia de conjuntos enumerveis, ento [1n=1An

enumervel.

(e) Se A e B so conjuntos enumerveis, ento AB enumervel.(f) Se A um conjunto enumervel e f : A ! B uma aplicao

sobrejetiva, ento B nito ou enumervel.

Segue-se do item (f) que o conjunto dos racionais Q =npq; p; q 2 Z; q 6= 0

o enumervel. Com efeito, basta observar que a

aplicao f : Z (Z n f0g) ! Q, denida por f(p; q) = pq, sobrejetiva.

Ou seja, Q denso em R mas enumervel. Mostraremos que o conjuntodos irracionais Qc no enumervel. Isso decorre do:

Teorema 2. O conjunto dos nmeros reais no-enumervel.

Demonstrao. Usaremos o Mtodo Diagonal de Cantor. Mostraremosque o intervalo (0; 1) no-enumervel. Decorrer da a no-enumerabilidade de R. Suponhamos, por contradio, que o intervalo(0; 1) seja enumervel. Escrevamos uma enumerao de (0; 1) como aseguir:

0; a11a12a13 a1n ;


0; a21a22a23 a2n ;: : :

0; an1an2an3 ann ;: : : ;

em que os aij so algarismos que podem assumir os valores 0; 1; : : : ; 9. Aseguir, construmos uma decimal 0; b1b2b3 bn da seguinte maneira:b1 6= a11; b2 6= a22; ; bn 6= ann; . Observemos que 0; b1b2b3 bn no se encontra na lista precedente. Portanto, (0; 1) no-enumervel deonde segue-se a no-enumerabilidade de Qc. 2

Captulo 2

Sequncias de Nmeros Reais

1 Noes Preliminares

Este captulo ser dedicado ao estudo de uma classe particular, masnem por isso menos importante, de funes reais: as chamadas sequncias(ou sucesses) reais. Na verdade, o(a) leitor(a) j travou conhecimentocom esse assunto ao estudar, no ensino mdio, as progresses aritmticase geomtricas. Aqui, faremos um estudo mais formal dando nfase,principalmente, s questes de convergncia e divergncia. Nesse sentido,a noo de limite ter uma posio de destaque haja vista que ele serutilizado, tambm, nas questes concernentes a limites de funes reais.

Denio 16. Uma sequncia numrica real (ou simplesmente sequncia) uma funo a : N ! R que a cada n 2 N associa um nmero real a(n)designado por an.

Os nmeros an so chamados termos da sequncia e a sequnciaa : N ! R ser designada por (an) ou (a1; a2; a3; ). O conjuntoformado por seus termos ser representado por fang ou fa1; a2; a3; g.Na grande maioria dos casos aqui tratados, an ser dado por uma expressomatemtica em funo de n; ela ser chamada termo geral da sequncia(an).

No estudo do comportamento das sequncias bastante esclarecedorimaginar os seus termos representados na reta numrica. Neste texto essapostura ser fortemente adotada.

Exemplo 8. Os exemplos dados a seguir ilustram os conceitos vistos atagora.

(i) A sequncia dada por1; 1

2; 13; possui como termo geral an = 1n

e1; 1

2; 13; seu conjunto de valores.

33


a aaa1234

0 11

2

1

3

1

4

(ii) A sequncia (1; 2; 3; ) possui an = n como termo geral ef1; 2; 3; g seu conjunto de valores.

aa a a1 2 3 4

0 1 2 3 4

(iii) A sequncia (1;1; 1;1; 1;1; ) tem como termo geral an =(1)n+1 e seu conjunto de valores f1; 1g.

a a aa12 34

0 1-1

= == =

(iv) A sequncia (3; 3; 3; ) tem como termo geral an = 3 e comoconjunto de valores f3g.

aa a1 2 3

0

=

3

= =

Observao 3. Algumas vezes, as sequncias no iniciam com o termocorrespondente a n = 1. Por exemplo, na sequncia

1

n!nno h sentido

fazer n = 1 ou n = 2. Nesse caso, pode-se indic-la por

1n!n

1n=3

.

Vrios outros exemplos surgiro em nosso estudo medida em queformos avanando no curso.

2 Limites de Sequncias

Nesta seo vamos distinguir um tipo especial de sequncia. Soaquelas para as quais existe um nmero real que funciona como umaespcie de atrator de todos os seus termos, ou seja, os seus termos seaproximam indenidamente desse nmero, que ser chamado o seu limi-te. Nem toda sequncia ter limite e as que o possuem sero chamadasconvergentes; as outras de divergentes. Essas noes sero de fundamentalimportncia.


Sequncias Convergentes

Comecemos denindo formalmente as sequncias convergentes.

Denio 17. Diz-se que uma sequncia (an) convergente se existir umnmero real l tal que, dado qualquer nmero positivo ", existe um ndicen0 = n0(") 2 N de modo que

jan lj < " para todo n n0:Nesse caso, diz-se que l o limite de (an) (ou que a sequncia (an) convergepara l) e escreve-se

limn!1

an = l ou lim an = l ou an ! l:Alguns autores denem comonulas aquelas sequncias queconvergem para zero.Observemos que a condio de convergncia de uma sequncia pode

ser reescrita como: A denio de convergnciapode ser refraseada como: Asequncia (an) converge paral se, dado > 0, existir umnmero K tal que jan lj < se n > K.

Dado qualquer " > 0, existe n0 2 N tal quean 2 (l "; l + ") se n n0

ou seja, para qualquer intervalo aberto centrado em torno dolimite l, sempre pode-se encontrar um ndice n0 2 N a partirdo qual todos os termos de (an) estaro dentro desse intervalo,conforme mostra a seguinte gura.

l aaaa n

0n

0+1n

0+2n

0+3 l+el-e

Uma sequncia que no converge ser chamada divergente. A convergncia ou a diver-gncia de uma sequncia nose altera se adicionarmos,suprimirmos ou alterarmosum nmero nito de seustermos.

Observao 4. Se (an) for uma sequncia convergente, ento o seu limiteser nico. Com efeito, suponhamos que a e b sejam limites de (an).Mostremos que a = b. Como decorrncia da desigualdade triangular, tem-se

ja bj = ja an + an bj jan aj+ jan bj:Seja " > 0 um nmero arbitrrio. Como an ! a existe n1 2 N tal que

jan aj < "2

se n n1:Analogamente, em virtude de an ! b, existe n2 2 N tal que

jan bj < "2

se n n2:

Tomando n0 = max fn1; n2g e se n n0 conclumos queja bj < "

2+"

2= ":

Como " > 0 arbitrrio, segue-se que a = b.


Exemplo 9. A sequncia constante (a; a; a; ), em que an = a, paratodo n 2 N, convergente e seu limite o prprio a. Basta observar que,para qualquer " > 0, temos

jan aj = ja aj = 0 < "; para todo n 2 N:

e assim lim an = a.

Exemplo 10. Consideremos a sequncia cujo termo geral an =1

ne

seja " > 0. Apliquemos a Propriedade Arquimediana aos nmeros " e 1.Assim, existe n0 2 N, dependendo de ", tal que n0" > 1. Se n n0 enton" n0" > 1, de modo que

1

n< ";

ou seja, 1n 0 < " se n n0:

Isso mostra que 1n! 0:

Exemplo 11. A sequncia cujo termo geral an = (1)n

ntambm

converge. Para demonstrar isso basta proceder como no exemplo anterior,Verica-se facilmente que(an) nula se, e somente se,(janj) for nula. pois (1)nn 0

= (1)nn = 1n :

Assim, lim (1)n

n= 0.

aa a a1 23 4

0 12

1

4-1

a5

1

3-

1

5-

Exemplo 12. A sequncia (1;1; 1;1; ) cujo termo geral dado poran = (1)n+1, para todo n 2 N no converge. De fato, nenhum nmeroreal l pode ser o seu limite, pois o intervalo

l 1

2; l + 1

2

, no pode conter

o 1 e o 1, simultaneamente. Desse modo, dado " = 12, no existe n0 2 N

tal que (1)n+1 2 l 12; l + 1

2

, para todo n > n0.

Exemplo 13. Consideremos a sequncia em que o termo geral an = n.Ela no converge e seu comportamento distinto do daquela divergentedada no exemplo anterior em que a divergncia se dava de maneiraoscilatria e os seus termos permaneciam limitados. No presente exemploa sequncia diverge tendendo para +1.

Formalmente, temos a seguinte denio:


Denio 18. Diz-se que a sequncia (an) tende para +1 se, dadoqualquer K > 0, existir n0 2 N tal que an > K para todo n n0. Nessecaso, escreve-se:

limn!+1

an = +1 ou lim an = +1 ou an ! +1

Denio 19. Diz-se que a sequncia (an) tende para 1 se, dadoqualquer K > 0, existir n0 2 N tal que an < K para todo n n0.Nesse caso, escreve-se:

limn!+1

an = 1; ou lim an = 1 ou an ! 1

Deve-se enfatizar que uma sequncia pode divergir sem que ela oscile outenda para +1 ou 1; seu comportamento pode ser totalmente caticocomo o que acontece com a sequncia que a cada n 2 N associa a n-simacasa decimal do desenvolvimento do nmero irracional = 3; 1415926 .Os primeiros termos dessa sequncia so dados por a1 = 1; a2 = 4; a3 =1; a4 = 5; a5 = 9 : : :.

Denio 20. A restrio de uma sequncia a : N! R a um subconjuntoinnito N0 = fn1 < n2 < n3 < g chamada subsequncia de a. Acada nj 2 N0 a subsequncia associa o termo anj e ser designada por(an1 ; an2 ; an3 ; ) ou, de maneira mais compacta, (anj) em que nj 2 N0.

Da mesma maneira que falamos em sequncia convergente oudivergente, pode-se falar em subsequncia convergente ou divergente.

Exemplo 14. Voltemos sequncia do exemplo 12 em que o termogeral an = (1)n+1. Dela, consideremos duas subsequncias:- umareferente aos ndices pares e outra referente aos ndices mpares. Parao primeiro caso, teremos a subsequncia (1;1;1; : : :) e para segundoteremos (1; 1; 1; : : :). Em ambos temos subsequncias constantes, logo,convergentes. Muito embora a sequncia original seja divergente ela possuipelo menos duas subsequncias convergentes.

Deve-se observar que nem toda sequncia admite subsequnciasconvergentes. Este o caso da sequncia (an) com an = n, para todon 2 N. No entanto, toda sequncia limitada possui uma subsequnciaconvergente. Esse o enunciado de um teorema central em Anlise o qual devido a Weierstrass e que ser estudado no captulo 3.

Antes de prosseguirmos estabeleceremos algumas denies.

Denio 21. Uma sequncia (an) diz-se limitada se existir uma cons-tante positiva K tal que janj K, para todo n 2 N.

Por exemplo, a sequncia de termo geral an = (1)n

n limitada e

podemos tomar K = 1. J a sequncia de termo geral an = n no limitada.


Quando, para uma sequncia (an), existir um nmero real K tal quean K, para todo n 2 N, diremos que a sequncia (an) limitadasuperiormente. Se an K, para todo n 2 N, diremos que (an) limitadainferiormente. claro que uma sequncia (an) limitada se, e somentese, ela for limitada tanto superiormente quanto inferiormente.

Outros tipos bastante usuais de sequncias so as estabelecidas nasquatro denies seguintes.

Denio 22. Uma sequncia (an) dita no-decrescente se an an+1,para todo n 2 N.Exemplo 15. A sequncia (1; 1; 2; 2; 3; 4; 5; ) no-decrescente.Denio 23. Uma sequncia (an) dita crescente se an < an+1, paratodo n 2 N.Exemplo 16. A sequncia cujo termo geral dado por an = n1n ; n =1; 2; crescente.Denio 24. Uma sequncia (an) dita no-crescente se an an+1,para todo n 2 N.Exemplo 17. A sequncia (1; 1; 1

2; 12; 13; 13; 14; 14; ) no-crescente.

Denio 25. Uma sequncia (an) dita decrescente se an > an+1, paratodo n 2 N.Exemplo 18. A sequncia (1; 1

2; 13; 14; ) decrescente.

Sequncias que se enquadram em uma dessas denies so chamadasmontonas.

Deve-se observar que toda sequncia possui uma subsequncia no-de-crescente ou uma subsequncia no-crescente ou ambas. Tente demonstrareste resultado. Observe a sequncia

1;1

2; 3;

1

4; 5;

1

6; 7;

1

8; : : :

:

e extraia dela uma subsequncia crescente e uma decrescente. Vejamosum outro exemplo.

Exemplo 19. Consideremos a sequncia

a1 = 1; a2 = 1 12; a3 = 1 1

2+

1

4; a4 = 1 1

2+

1

4 1

8; :

A subsequncia (a2; a4; a6; ) crescente. De fato,

a2n =

1 1

2

+

1

4 1

8

+ +

1

2n1 1

2n


em que as expresses entre parnteses so positivas. Como

a2n+2 = a2n +

1

22n+1 1

22n+2

segue-se que a2n+2 > a2n.

Mostremos que a subsequncia (a1; a3; a5; ) decrescente. Para istobasta observar que

a2n+1 = 11

2 1

4

1

8 1

16

1

22n 1

22n+1

:

Como os termos entre parnteses so positivos segue-se que a2n+1 >a2n+3. Portanto, a sequncia original possui duas subseqncias umadelas crescente e outra decrescente. Esta sequncia voltar a ser analisadaquando estudarmos as sries numricas.

O teorema seguinte nos fornece uma importante propriedade dassequncias convergentes.

Teorema 3. Toda sequncia convergente limitada.

Demonstrao. Sejam (an) uma sequncia convergente com l = lim an.Tomando " = 1, existe n0 2 N tal que

jan lj < 1 se n n0:Da,

janj = jan l + lj jan lj+ jlj 1 + jlj; se n n0:Os termos restantes fa1; ; an01g podem ser limitados por k =max fja1j; ; jan01jg. Portanto, para qualquer n 2 N, teremos

janj max f1 + jlj; kgo que conclui a demonstrao. 2

Deve-se observar que a recproca desse fato no verdadeira:- existemsequncias que so limitadas mas no so convergentes. Isto o queacontece com a sequncia exibida no exemplo 12 previamente estudado.

Propriedades Algbricas de Limites de Sequncias

Recordemos que sequncias so funes reais, de modo que, dadas duassequncias (an) e (bn), podemos construir novas sequncias efetuando suassoma, produto e quociente, isto , podemos considerar (an + bn), (anbn) e(anbn). Para essa ltima necessrio que bn 6= 0, para todo n 2 N. Surge

assim a seguinte pergunta


Se (an) e (bn) forem convergentes, (an + bn), (anbn) e (anbn )tambm o sero?

Veremos que a resposta para essa pergunta armativa. Surge, ento,uma nova questo.

Sendo (an) e (bn) sequncias convergentes, como os limites de(an + bn), (anbn) e (anbn ) so dados em funo dos limites de(an) e (bn)?

Veremos que

lim(an + bn) = lim an + lim bn

lim(anbn) = lim an lim bn

lim

anbn

=

lim anlim bn

costume nos referirmos a essas propriedades dizendo, respectivamente,que o limite da soma a soma dos limites, que o limite do produto oproduto dos limites e que o limite do quociente o quociente dos limites.

Alm dessas questes, veremos outras tal como a regra do sanduchee o fato de que se an ! 0 e (bn) limitada ento anbn ! 0. Comecemostratando do limite da soma.

Propriedade 1. Se (an) e (bn) forem duas sequncias convergentes, ento(an + bn) convergente e

lim(an + bn) = lim an + lim bn:

Demonstrao. Seja " > 0 e suponhamos que lim an = a e lim bn = b.Assim, existem n1 e n2 pertencentes a N tais que

jan aj < "2

se n n1e

jbn bj < "2

se n n2:Escolhendo n0 = max fn1; n2g, teremos, usando a desigualdade triangulardada no exerccio do captulo 1,

j(an+ bn) (a+ b)j = j(ana)+(bn b)j janaj+ jbn bj "2+"

2= ";

para n n0, de modo que (an + bn) converge e lim(an + bn) = a + b =lim an + lim bn: 2

Mostremos que o limite do produto o produto dos limites.


Propriedade 2. Se (an) e (bn) forem sequncias convergentes, ento(anbn) convergente e

lim(anbn) = (lim an)(lim bn):

Demonstrao. Suponhamos que lim an = a e lim bn = b. Faamos aestimativa de

janbn abj = janbn abn + abn abj janbn abnj+ jabn abj= jbnjjan aj+ jajjbn bj:

Como (bn) limitada, por ser convergente (vide Teorema 3), existe k > 0tal que jbnj k para todo n 2 N. Dado " > 0, desde que an ! a e bn ! bexistem n1 e n2 nmeros naturais tais que

jan aj < "2k

; se n n1e

jbn bj < "2jaj ; se n n2

se a 6= 0. Seja n n0 = max fn1; n2g. Ento

janbn abj jbnjjan aj+ jajjbn bj k "2k

+ jaj "2jaj =

"

2+"

2= "

e da (anbn)! ab. Para o caso a = 0, veja a Proposio 10. 2Consideremos o caso no qual temos duas sequncias convergentes (bn)

e (an) em que bn = c, para todo n 2 N, sendo c um nmero real xo,ou seja, (bn) uma sequncia constante. Pelo teorema anterior (bnan) convergente e

lim(can) = lim(bnan) = lim bn lim an = c lim an:

Dessas observaes, segue-se o seguinte corolrio do teorema anterior.

Corolrio 1. Sejam (an) uma sequncia e c um nmero real. Ento (can) uma sequncia convergente e

lim(can) = c lim an:

Dada uma sequncia (an), podemos construir a sequncia (janj) cons-tituda pelos valores absolutos dos termos de (an). A prxima propriedade relativa sequncia assim construda.

Propriedade 3. Se (an) uma sequncia convergente, ento (janj) convergente e lim janj = j lim anj.


Demonstrao. Faamos lim an = a e observemos que, usando asegunda desigualdade triangular, tem-se

jjanj jajj jan aj:

Da, a convergncia de (an) implica na convergncia de (janj) e lim janj =j lim anj. 2

A recproca dessa ltima propriedade no verdadeira. Fica acargo do(a) leitor(a) encontrar um contra-exemplo para comprovar essaarmao. Entretanto, temos o seguinte resultado:

Propriedade 4. Seja (an) for uma sequncia convergente. Ento lim an =0 se, e somente se, lim janj = 0.

Demonstrao. Basta mostrar que lim janj = 0 implica que lim an = 0em virtude da propriedade precedente. Se lim janj = 0, dado " > 0, existen0 2 N tal que jjanj 0j < ", se n n0. Assim, janj < ", ou seja,jan 0j < ", para n n0. Logo lim an = 0. 2Propriedade 5. Se (an) for uma sequncia que converge para a 6= 0,ento existem n0 2 N e k > 0 tais que janj > k para todo n n0.

Demonstrao. Como lim an = a 6= 0, dado = jaj2 , existe n0 2 N talque

jan aj < jaj2

se n n0:Observando que jjanj jajj jan aj, obtm-se

jaj janj < jaj2

se n n0:

Logo,

0 jaj2 se n n1. Tambm, dado " > 0, existe n2 2 N tal que

jan aj < jaj2"

2se n n2:

Tomando n0 = max fn1; n2g,teremos 1an 1a = jan ajjanjjaj 2jan ajjaj2 < " se n n0

e ento 1an! 1

a. 2

Propriedade 7. Sejam (an) e (bn) sequncias convergentes tal que bn 6= 0para todo n 2 N e lim bn 6= 0. Ento

anbn

converge e lim

anbn

= lim an

lim bn.

Demonstrao. A demonstrao dessa propriedade segue-seimediatamente das propriedades 2 e 6. 2

Propriedade 8. Se (an) e (bn) forem duas sequncias convergentes taisque an bn, ento lim an lim bn.

Demonstrao. Faamos lim an = a e lim bn = b e suponhamos, porcontradio, que a > b. Assim, existem n1; n2 2 N tais que

jan aj < a b2

; se n n1e

jbn bj < a b2

; se n n2:Escolhendo n0 = max fn1; n2g, obtemos

a b = a an + an b a an + bn b jan aj+ jbn bj 0, existe n0 2 N tal que l < an e cn < l + se n n0. Dadesigualdade an bn cn, obtemos

l < bn < l + ; se n n0:Isso mostra que (bn) converge para l. 2


Propriedade 10. Se (an) converge para 0 e (bn) uma sequncia limitadaento a sequncia (anbn) converge para 0.

Demonstrao. Desde que (bn) uma sequncia limitada, existe K > 0tal que jbnj K para todo n 2 N. Como an ! 0, dado " > 0, existen0 2 N de modo que n n0 implica janj < "K . Portanto,

janbn 0j = janbnj = janjjbnj < "KK = " se n n0;

e assim anbn ! 0. 2O prximo teorema estabelece a convergncia de um tipo especial de

sequncia.

Teorema 4. Se (an) uma sequncia no-decrescente e limitadasuperiormente, ento (an) converge para sup fa1; a2; a3; : : :g.

Demonstrao. Desde que (an) no-decrescente e limitadasuperiormente tem-se

a1 a2 : : : an an+1 : : : K;

para algum K > 0 e para todo n 2 N. O postulado de Dedekind nosgarante que o conjunto limitado fa1; a2; a3; : : :g possui supremo, digamos,a. Mostremos que an ! a. Para isso, seja " > 0 e usando a caracterizaode supremo de um conjunto dada no captulo anterior (vide exerccio 12),existe an0 tal que

a " < an0 a:Como (an) no-decrescente e a = sup fa1; a2; a3; : : :g segue-se quean0 an a, para todo n n0. Ento

a " < an < a+ "; se n n0:

Isso mostra que an ! a. 2Podemos demonstrar de maneira completamente anloga o prximo

resultado.

Teorema 5. Se (an) for uma sequncia no-crescente e limitadainferiormente, ento (an) convergir para inf fa1; a2; a3; : : :g.

O prximo exemplo nos fornece uma interessante aplicao do teorema4.

Exemplo 20. Consideremos a sequncia

(1; 1 +1

1!; 1 +

1

1!+

1

2!; );


cujo termo geral

an = 1 +1

1!+

1

2!+ + 1

n!:

Mostremos que seu conjunto de valores1; 1 + 1

1!; 1 + 1

1!+ 1

2!; li-

mitado superiormente (claramente tambm limitado inferiormente, masisso no interessar na nossa anlise) e, pelo Postulado de Dedekind, elepossui supremo.

Comecemos observando que

3! = 3 2 > 22;4! = 4 3 2 > 23;5! = 5 4 3 2 > 24;

...n! = n (n 1) 2 > 2n1:

Da

1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ + 1

n!< 1 + 1 +

1

2+

1

22+ + 1

2n1

= 1 +1 1

2

n1 1

2

= 3 12n1

< 3;

1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ + 1

n!< 1 + 1 +

1

2+

1

22+ + 1

2n1=

1 +1 1

2

n1 1

2

= 3 12n1

< 3;

em que usamos a expresso para a soma dos n primeiros termos de umaprogresso geomtrica de razo igual a 1

2. Segue-se, pelo Teorema 4, que

a sequncia em estudo convergente; seu limite o nmero e, base dosistema de logaritmos naturais ou neperianos, que o(a) leitor(a) conhecedesde o curso de Clculo. Isso sugere a notao

e = 1 +1

1!+

1

2!+ + 1

n!+


Outra aplicao dos teoremas 4 e 5 o Teorema dos Intervalos Encai-xados que ser estabelecido a seguir.

Teorema 6. Consideremos a sequncia de intervalos encaixados

[an+1; bn+1] [an; bn] [a2; b2] [a1; b1]:Ento existem nmeros reais a b tais que

[a; b] = \1n=1[an; bn]:Alm disso, se bn an ! 0, ento a = b.

Demonstrao. Inicialmente, observemos que

a1 an an+1 bn+1 bn b1 para todo n 2 N:Segue-se, pelos teoremas 4 e 5, que existem a b tais que an ! a ebn ! b. Consequentemente, [a; b] = \1n=1[an; bn].

Suponhamos, a seguir, que bnan ! 0mas a < b. Escolhendo " = ba2 ,teremos

bn an < b a2

para todo n 2 N sucientemente grande:

Tomando limites em ambos os membros dessa ltima desigualdade,obtemos ba ba

2o que uma contradio. Isso conclui a demonstrao.

2

3 Exerccios Propostos

1. Calcule os cinco primeiros termos das seguintes sequncias:

(a) (n3 + 2n2 n+ 3)(b) ( (1)

n!

n!)

(c) (cos(n))

(d) (n1n+2

)

2. Determine quais das seguintes sequncias so ou no montonas oueventualmente montonas:

(a) (n1n+2

)

(b) ( 3p2)

(c) (10nn!

)

(d) (n2 + 1n2)


3. Para cada uma das sequncias (an); l 2 R e nmeros positivos ",encontre um n0 2 N tal que jan lj < " para todo n > n0.

(a) an = (1)n

n2; l = 0; " = 0; 0001

(b) an = 1(n+2)3 ; l = 0; " = 0; 00002

(c) an = n1n+2 ; l = 1; " = 0; 001

(d) an = 2n2+2

n2+n+3; l = 2; " = 104

4. Dado " > 0, determine os valores de n 2 N para os quais vale adesigualdade jan lj < " quando:(a) an = n

2

n2+1e l = 1.

(b) an = (1)n

ne l = 0.

(c) an = n2

n3+ne l = 0.

(d) an = (1)n1 1

n

e l = 1.

5. Use a Propriedade Arquimediana para mostrar que a sequncian

n2+1

convergente. Qual o seu limite? Faa o mesmo para a

sequncia

nn+1

.

6. Mostre que se a sequncia (an) convergir para a ento todasubsequncia de (an) tambm convergir para a. Conclua da que asequncia (2; 1

2; 2; 1

3; 2; 1

4; 2; 1

5; : : :) diverge.

7. Dada a sequncia (an) mostre que se ambas as subsequncias(a1; a3; a5; : : :) e (a2; a4; a6; : : :) convergem para a ento a sequncia(an) tambm converge para a.

8. Mostre que toda sequncia no-crescente e limitada convergente.

9. Seja (an) uma sequncia convergente e suponha que an 0, paratodo n 2 N. Mostre que lim an 0.

10. Mostre que se a > 1, ento1

an= 0.

11. Seja (an) uma sequncia com todos os termos no-nulos, que convirjapara um limite positivo. Mostre que o conjunto

1

a1;1

a2;1

a3; : : :

limitado.

12. Suponha que a sequncia de termos positivos (an) convirja para 0.Mostre que a sequncia ( 1

an) tende para +1. E se os termos da

sequncia no forem todos positivos?


13. Mostre que se a sequncia (an) for convergente ento lim akn =(lim an)

k, qualquer que seja o nmero natural k. Estude os casosem que k inteiro ou racional.

14. Calcule lim(pn2 + n n).

15. Considere a sequncia (an) dada por:

a1 =p2; e an+1 =

q2 +

pan; n = 1; 2; : : : :

Mostre que (an) converge e que an < 2 para n = 1; 2; 3; : : :.

16. Demonstre que se (an) for crescente (decrescente) e possuir umasubsequncia (ank) convergente, ento (an) ser convergente.

17. Diga, justicando, quais das seguintes armaes so verdadeiras equais so falsas.

(a) Se lim bn = +1 e lim an = 0 ento lim anbn = 0:(b) Se (an) e (bn) forem sequncias de nmeros reais positivos tais

que lim an = 0 e lim bn = 0, ento limanbn

= 1:

(c) Se lim an existe e lim bn no existe, ento lim(an+bn) no existe.(d) Se lim an e lim bn no existem ento lim(an + bn) no existe.(e) Se lim an e lim bn no existem ento lim anbn no existe.(f) Se lim janj = 1 ento lim an = 1 ou lim an = 1.

18. (a) O que se pode dizer sobre a sequncia (an) se ela converge ecada an inteiro.

(b) Encontre todas as subsequncias convergentes dasequncia (1;1; 1;1; : : :). Observe que h innitassubsequncias convergentes mas apenas dois possveis valoreslimites.

(c) Encontre todas as subsequncias convergentes da seqncia

(1; 1; 2; 1; 2; 3; 1; 2; 3; 4; 1; 2; 3; 4; 5; : : :):

Observe que existem innitos valores limites possveis.

19. Sejam 0 < a1 < a2 e dena

an+1 = (anbn)12 e bn+1 =

1

2(an + bn):

Mostre, por induo, que an < bn, para todo n 2 N. Mostre que(an) e (bn) convergem para o mesmo limite.

20. Construa uma sequncia que tenha uma subsequncia convergentepara 1, uma subsequncia convergente para 1

2, uma subsequncia

convergente para 13, : : :


4 Apndice I

Continuidade e Nmeros Irracionais

Neste apndice, faremos uma traduo livre do prefcio escritopor Richard Dedekind para o seu trabalho Continuidade e NmerosIrracionais no qual ele constri, usando cortes, que viriam a ser chamadosCortes de Dedekind, o corpo dos nmeros reais. Esse prefcio importantepois, entre outras coisas, relata o porqu de Dedekind ter sentido anecessidade de construir o corpo dos nmeros reais.

Antes de passar ao prefcio digamos algumas palavras sobre Dedekind.Richard Dedekind (1831-1916) foi um matemtico alemo, nascido efalecido em Braunschweig, e lho de um professor do Collegium Carolinum,em Brunswick, Alemanha. Permaneceu celibatrio por toda a sua vida,morando com uma de suas irms. Realizou seus estudos de doutorado emGttingen, tendo sido o ltimo orientando de Gauss, com uma tese sobreintegrais Eulerianas. Seu trabalho mais popular foi sobre a construo dosnmeros reais, realizado em 1852.

Passemos ao prefcio do trabalho supracitado.

Minha ateno referente s consideraes relativas a estetrabalho foi primeiro dirigida no outono de 1858. Comoprofessor na Escola Politcnica em Zurique tive que lecionarpela primeira vez os elementos do Clculo Diferencial e senti,de maneira mais intensa que antes, a ausncia de fundamentorealmente cientco para a Aritmtica. Ao discutir a noode aproximao de uma varivel de um determinado valor li-mite, e particularmente ao demonstrar o teorema que armaque toda varivel que cresce continuamente mas no ultrapassaum determinado valor, deve tender a um valor limite, tive querecorrer a argumentos geomtricos. Mesmo agora, consideroextremamente til, do ponto de vista didtico, o recurso aoapelo intuitivo geomtrico em uma primeira apresentao doClculo Diferencial e, de fato, indispensvel se no quisermosperder muito tempo. Mas essa forma de introduo ao ClculoDiferencial no possui fundamento cientco, e isto ningumpode negar. Para mim, esse sentimento de insatisfao setornou to intenso que resolv-lo se tornou uma ideia xa epermaneci meditando sobre ele at que eu encontrasse umfundamento puramente aritmtico e perfeitamente rigorosopara os princpios da Anlise Innitesimal. A armao deque o Clculo Diferencial trata de magnitudes contnuas feitacom muita frequncia. No entanto, uma explicao sobre essacontinuidade no encontrada em lugar nenhum; mesmo a


mais rigorosa exposio do Clculo Diferencial no fundamentasuas demonstraes sobre a continuidade mas, com mais oumenos conscincia deste fato, elas ou apelam para noesgeomtricas ou so sugeridas pela geometria, ou dependem deteoremas que nunca foram estabelecidos de modo puramentearitmtico. Entre esses, por exemplo, est o acima mencionadoteorema, e uma investigao cuidadosa convenceu-me que esseteorema, ou qualquer outro resultado equivalente a ele, podeser considerado de algum modo como uma base sucientepara a Anlise Innitesimal. Resta somente descobrir suaverdadeira origem nos elementos da aritmtica e assim eao mesmo tempo assegurar a denio real da essncia dacontinuidade. Aconteceu em 24 de novembro de 1858 e algunsdias depois comuniquei os resultados de minhas meditaesao meu caro amigo Durge com quem eu tive uma longae acalorada discusso. Posteriormente, expus estas ideias aalguns de meus alunos, e aqui em Braunschweig li um artigosobre tal assunto perante um clube cientco de professores,mas ainda no tinha a inteno de public-lo pois, em primeirolugar, a apresentao no me parecia simples e, alm disso, ateoria por si s ainda no se mostrava promissora. Contudo,eu estava mais ou menos determinado a escolher este tpicopara esta ocasio, quando alguns dias antes, 14 de maro, porgentileza do autor, o artigo Die Elemente der Funktionenlehrede E. Heine (Crelles Journal, Vol. 74) veio s minhas mose eu tomei a deciso. Realmente eu concordei inteiramentecom a substncia desta Memria, e no poderia ser de outraforma, mas francamente devo reconhecer que minha prpriaapresentao me parecia mais simples e trazia tona ospontos vitais mais claramente. Quando estava escrevendoeste prefcio (20 de maro de 1872), recebi o interessanteartigo Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie dertrigonometrischen Reihen, de Georg Cantor (Math. Annalen,Vol. 5), para o qual eu externo ao engenhoso autor os maisafetuosos agradecimentos. Acredito, aps uma rpida leitura,que o axioma dado na Seo II daquele artigo, exceto a suaforma de apresentao, coincide com aquilo que designei naSeo III como a essncia da continuidade.


5 Apndice II

O Nmero e Revisitado

Veremos como introduzir o nmero e de uma maneira alternativa. Maisprecisamente, mostraremos que

e = lim

1 +

1

n

n: (2.1)

Provaremos que essa sequncia crescente e limitada.

(a)1 + 1

n

n crescente.Usando o Binmio de Newton, obtemos

(

1 +

1

n

n= 1 + n

1

n

+n(n 1)

2!+ +

1

n

n: (2.2)

O termo geral dessa expanso

n(n 1) : : : (n k + 1)k!

1

n

k=

1

k!

1 1

n

1 2

n

1 k 1

n

:

(2.3)Para cada k xado, cada um dos fatores

1 1n

;

1 2

n

;

1 k 1

n

crescente. Portanto, a sequncia

1 + 1

n

n crescente.(b) A sequncia

1 + 1

n

n limitada.Inicialmente, observemos que o termo geral dado em (2.3) satisfaz adesigualdade

1

k!

1 1

n

1 2

n

1 k 1

n

1

k!

pois os termos entre parnteses so todos menores do que ou iguaisa 1. Da

1 +1

n

n 1 + 1 + 1

2!+ + 1

n!

1 + 1 +1

2+ + 1

2n1;

pois k! 2k1.


Usando o fato de que

1 +1

2+ + 1

2n1= 2 1

2n1;

conclumos que1 +

1

n

n 3 1

2n1< 3; para todo n = 1; 2; : : : :

Conclui-se, pelo Teorem 4, que a sequncia em estudo limitada.

Consequentemente,1 + 1

n

n convergente e seu limite menor doque ou igual a 3. Denamos

e := limn!1

1 +

1

n

n:

Esse nmero o mesmo introduzido anteriormente, vide exemplo 20,na presente lio.

Na verdade, a sequncia1 + 1

n

n no converge rapidamente. Onmero e aproximadamente

2; 71828182845904523536 : : :

Comparando esse valor com vrios termos da sequncia1 + 1

n

n,n = 1;

1 +

1

1

1!= 2;

n = 10;

1 +

1

10

10!= 2; 59374 : : : ;

n = 100;

1 +

1

100

100!= 2; 70481 : : : ;

n = 1000;

1 +

1

1000

1000!= 2; 71692 : : : ;

vemos que, para n = 1000, 0 erro cometido, e

1 + 11000

1000, iguala 0; 0014 : : :.

Na verdade, a aproximao mais rpida de e dada pelo exemplo 20da presente lio. Veja Amann& Escher1

1H. Amann & J. Escher, Analysis I, Birkhuser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 1998.

Captulo 3

Teorema de Bolzano-Weierstrasse Sequncias de Cauchy

Dedicaremos este captulo ao estudo de algumas sequncias especiaisque surgem com muita frequncia ao longo do estudo da AnliseReal. Faremos um estudo detalhado delas, assim como estudaremosas Sequncias de Cauchy e demonstraremos o importante Teorema deBolzano-Weierstrass. No captulo 2 vimos que para estudar a convergnciade sequncias, deveramos ter um candidato a limite. O estudo dasSequncias de Cauchy nos permitir analisar a convergncia de sequnciassem que tenhamos de ter, a priori, um candidato a limite. Alm disso, elastero um papel preponderante no estudo dos Espaos Completos, conceitoesse que foge ao escopo deste curso. Com relao ao Teorema de Bolzano-Weierstrass ele nos mostrar que uma sequncia limitada no-convergenteno algo to mau. Caso isso acontea, ela contm uma subsequnciaconvergente o que, em muitos casos, suciente nas aplicaes.

1 Algumas Sequncias Especiais

Analisemos alguns tipos de sequncias. Comearemos com (rn) em quer um nmero real xo. Na verdade esse exemplo, dependendo de qualseja o r, abrange uma classe de exemplos.

Exemplo 21. Seja r um nmero real e consideremos a sequncia (rn).Estudaremos todos os casos possveis com relao aos valores de r.

(a) Se r = 1, a sequncia ser constante, (1; 1; 1; : : :), e, portanto,convergir para 1.

(b) Se r = 1 a, sequncia ser (1; 1;1; 1; : : :) a qual j foiestudada no captulo anterior e divergente. Observe que ela

53


contm duas (mas no somente duas) subsequncias convergentes:(1; 1; 1; : : :) e (1;1;1;1; : : :).

(c) Consideremos o caso em que 0 r < 1. Se r = 0, nada h a de-monstrar, pois ela ser constante com todos os seus termos nulos.Dedicaremos nossa ateno ao caso em que 0 < r < 1. Fazendoan = r

n teremos

an+1 = rn+1 = rrn < rn = an

e assim (an) decrescente e limitada inferiormente por 0. Da,conclumos que (rn) converge. Seja l o seu limite. Como (rn)converge, (rrn) tambm convergir e

lim rrn = r lim rn

oulim rn+1 = rl

e como (rn+1) tambm converge para l (observe que (rn+1) subsequncia de uma sequncia convergente), teremos l = rl e assim(1 r)l = 0. Mas 1 r 6= 0 e ento l = 0. Concluso: se 0 r < 1a sequncia (rn) converge para 0.

(d) Se 1 < r < 0 a sequncia ser oscilante, ou seja, os termosde ordem mpar sero negativos e os termos de ordem par seropositivos. No entanto, a convergncia de (jrjn) recair no casoanterior e assim convergir para zero. Usando a propriedade 4 docaptulo anterior (an ! 0, janj ! 0) tem-se rn ! 0 sempre que rfor como acima.

(e) Suponhamos que r > 1. Desse modo, r = 1 + h, para algum h > 0.Usemos a Desigualdade de Bernoulli

rn = (1 + h)n 1 + nh:

Como h positivo, tem-se (1 + nh) ! +1 e, usando a ltimadesigualdade, conclumos que rn ! +1.

(f) Consideremos r < 1. Desde que jrj > 1 tem-se jrjn ! +1.Da, (rn) no-limitada e, consequentemente, dive

introdução a análise real - francisco júlio

Documents