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Interação Acusto-Ótica e as suas Aplicações em Processamento de Sinais
Miguel Esteves Fernandes
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa
Júri
Presidente: Prof. Doutor José Eduardo Charters Ribeiro da Cunha Sanguino Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa
Vogal: Prof. Doutor Paulo Sérgio de Brito André
Maio 2015
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Agradecimentos
Quero começar por agradecer à minha família, e em especial à minha mãe, que têm sido o meu
grande pilar e a razão pela qual me tornei a pessoa que sou hoje. Estiveram sempre presentes,
ajudando-me a tomar as decisões corretas e a dar o rumo certo à minha vida.
A todos os meus amigos do Colégio Militar, em especial para o curso de entrada de 2000, por
terem sido a minha segunda família e por me terem acompanhado desde os meus 10 anos de idade. Um
grupo com uma união espetacular com o qual partilhei grande parte da minha vida. Desejo-vos a todos as
maiores felicidades!
Quero agradecer também a todo o meu grupo de amigos do IST, e futuros colegas de profissão,
que sempre mostraram total disponibilidade para me ajudar qualquer em que fosse o trabalho, projeto ou
mesmo matéria de estudo. Foram seis anos muito bons, espero que se prolonguem por muitos mais e a
amizade que criada perdure.
À Margarida, que tem sido muito importante ao longo destes últimos três anos. Tem sido uma
mulher impecável, partilhado comigo os bons e maus momentos e sem ela a minha vida não teria
certamente a mesma graça. Obrigado por todo o carinho e apoio!
Por fim, reservo agora um parágrafo para o meu orientador e professor António Topa,
agradecendo-lhe todo o empenho e confiança que foi depositando em mim e neste trabalho ao longo
deste semestre. Não poderia estar mais contente. Muito obrigado!
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Resumo
Um sinal de RF aplicada a um transdutor piezoelétrico, ligado a um cristal apropriado, irá gerar
uma onda acústica. Qualquer feixe de laser incidente será difratado, em geral, dando uma série de feixes
difratados, viajando através do cristal na velocidade acústica do material e com um comprimento de onda
acústica dependente da frequência do sinal de RF.
Este fenómeno é analisado para dois meios bem distintos: isotrópicos e anisotrópicos.
Compartilham os princípios básicos da dinâmica e conservação de energia, apresentando no entanto
diferentes desempenhos. O efeito acusto-ótico é baseado na variação do índice de refração de um meio,
devido à presença de ondas sonoras. As ondas sonoras produzem um índice de refração no material, e é
esta deformação que é "visto" pelo feixe ótico. Estas variações do índice de refração, devido às
flutuações da pressão, pode ser detetado opticamente por efeitos, de difração, de interferência ou ainda,
em alguns caso, a reflexão.
A principal área de interesse está relacionada com a criação de dispositivos acusto-óticos
capazes de realizar deflexão, a modulação ou o processamento de sinais óticos. Isto é, devido ao
aumento da disponibilidade e desempenho dos lasers, permitiram que o efeito acusto-ótico se tornasse
mais fácil de observar e medir. O progresso técnico, quer no desenvolvimento dos cristais quer nos
transdutores piezoelétricos de alta frequência, permitiu melhorias significativas para componentes acusto-
óticos. É possível encontrar diferentes áreas onde este fenómeno é importante: pode ser usado em
monitorização de integridade estrutural e aplicações biomédicas, onde são gerados sinais óticos e
medições de ultra-som.
Palavras-chave: acusto-ótico, refração, modulação, difração, deflexão, transdutor, isotrópico,
anisotrópico
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Abstract
An RF signal applied to a piezoelectric transducer, bonded to a suitable crystal, will generate an
acoustic wave. This acts like a phase grating, traveling through the crystal at the acoustic velocity of the
material and with an acoustic wavelength dependent on the frequency of the RF signal. Any incident laser
beam will be diffracted by this grating, generally giving a number of diffracted beams.
Acousto-optic components use a range of different materials in a variety of configurations. These
can be heard described by terms such as isotropic and anisotropic. While these all share the basic
principles of momentum and energy conservation, these different modes of operation have very different
performances. In general, acousto-optic effects are based on the change of the refractive index of a
medium due to the presence of sound waves in that medium. Sound waves produce a refractive index
grating in the material, and it is this grating that is "seen" by the light wave. These variations in the
refractive index, due to the pressure fluctuations, may be detected optically by refraction, diffraction, and
interference effects. Reflection may also be used.
The principal area of interest is in acousto-optical devices for the deflection, modulation, signal
processing and frequency shifting of light beams. This is due to the increasing availability and
performance of lasers, which have made the acousto-optic effect easier to observe and measure.
Technical progress in both crystal growth and high frequency piezoelectric transducers has brought
valuable benefits to acousto-optic components improvements. Along with the current applications,
acousto-optics presents interesting possible application: it can be used in nondestructive testing, structural
health monitoring and biomedical applications, where optically generated and optical measurements of
ultrasound gives a non-contact method of imaging.
Index terms: acousto-optic, refraction, modulation, diffraction, deflection, transducer, isotropic, anisotropic
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Índice
1 Introdução ........................................................................................................................................ 1
1.1 Enquadramento ........................................................................................................................ 1
1.2 Estado da arte .......................................................................................................................... 2
1.3 Objectivos ................................................................................................................................ 3
1.4 Estrutura da dissertação ........................................................................................................... 4
2 Interação Acusto-Ótica ..................................................................................................................... 5
2.1 Efeito Acusto-Ótico ................................................................................................................... 5
2.1.1 Onda Estacionária ............................................................................................................ 6
2.1.2 Interação Fotão-Fonão ...................................................................................................... 8
2.2 Formalismo Geral ................................................................................................................... 11
2.2.1 Meio Isotrópico ............................................................................................................... 11
2.2.2 Meio Anisotrópico ........................................................................................................... 15
2.3 Regime de Raman-Nath ......................................................................................................... 16
2.4 Regime de Bragg .................................................................................................................... 22
2.4.1 Difração não birrefringente .............................................................................................. 24
2.4.2 Difração birrefringente ..................................................................................................... 26
2.4.3 Quasi-Regime de Bragg .................................................................................................. 27
2.4.4 Difração para ângulos pequenos ..................................................................................... 29
2.4.5 Difração Colinear ............................................................................................................ 31
2.5 Difração a partir de uma Onda Estacionária ............................................................................ 32
3 Modulação Acusto-Ótica ................................................................................................................ 37
3.1 Modulador Acusto-ótico .......................................................................................................... 37
3.1.1 Análise de Desempenho ................................................................................................. 40
3.2 Modulação de Ondas Progressivas ......................................................................................... 43
3.3 Modulação de Ondas Estacionárias ........................................................................................ 45
4 Aplicações ..................................................................................................................................... 49
4.1 Defletores ............................................................................................................................... 49
viii
4.1.1 Defletores Não Birrefringentes ........................................................................................ 51
4.1.2 Defletores Birrefringentes ................................................................................................ 54
4.2 Filtros Sintonizáveis ................................................................................................................ 57
4.3 Desmodulação de sinais modulados em frequência ................................................................ 60
4.4 Dispositivos biestáveis ............................................................................................................ 62
5 Conclusões .................................................................................................................................... 65
5.1 Principais Conclusões ............................................................................................................ 65
5.2 Perspetivas de trabalho futuro ................................................................................................ 66
6 Referências .................................................................................................................................... 67
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Lista de Figuras
Figura 1.1 – Exemplo de uma rede de telecomunicações. ........................................................................ 1
Figura 1.2 – Representação das janelas de transmissão usadas nas redes óticas [1]. .............................. 2
Figura 2.1 – Difração Acusto-Ótica. .......................................................................................................... 5
Figura 2.2 - (a) Largura espectral do som. (b) Difração com geração de múltiplas ordens. ....................... 8
Figura 2.3 - Interação Upshifted > 0: a) Diagrama vetorial; b) Configuração experimental. .................... 9
Figura 2.4 - Interação Downshifted < 0: a) Diagrama vetorial; b) Configuração experimental. .............. 10
Figura 2.5 - Configuração e diagrama de vetores de onda para a difração de Raman-Nath. ................... 17
Figura 2.6 - Eficiência das primeiras ordens de difração de Raman-Nath. .............................................. 22
Figura 2.7 - Difração de Bragg: Downshifted (esquerda) e Upshifted (direita). ........................................ 24
Figura 2.8 - Transferência de potência para o Regime de Bragg num meio isotrópico. ........................... 26
Figura 2.9 - Difração de Raman-Nath a partir da Onda Acústica Estacionária. ........................................ 33
Figura 2.10 - Difração de Bragg a partir da Onda Acústica Estacionária. ................................................ 33
Figura 3.1 - Representação de um Modulador Acusto-Ótico. .................................................................. 38
Figura 3.2 - Representação de um modulador acusto-ótico de onda progressiva, operando no regime de
Bragg. .................................................................................................................................................... 43
Figura 3.3 - Modulador acusto-ótico de onda estacionária. ..................................................................... 45
Figura 4.1 - Representação de um defletor acusto-ótico. ........................................................................ 49
Figura 4.3 - Diagrama de sincronismo de fase. ...................................................................................... 52
Figura 4.4 - Sincronismo de fase tangencial para um defletor em meio não birrefringente. ..................... 54
Figura 4.5 - Sincronismo de fase tangencial para um defletor num meio birrefringente. .......................... 56
Figura 4.7 – Representação esquemática de um Filtro Acusto-Ótico Sintonizável. ................................. 57
Figura 4.8 – Interação colinear upshifted para os casos on-axis e off-axis. ............................................. 59
Figura 4.9 - Princípio da Desmodulação de Sinais. ................................................................................ 61
Figura 4.10 - Esquema de um sistema biestável. ................................................................................... 62
x
xi
Lista de Símbolos
, Componente longitudinal do campo elétrico
, Componente transversal do campo elétrico
Fator de mérito acusto ótico
Vetor de onda do feixe incidente
Vetor de onda associado à ordem de difração
Ângulo de Bragg
Ângulo de incidência Ângulos difratados
ℎ Constante de Planck
Δ Variação da permitividade elétrica
Λ Comprimento de onda acústico
Ω Frequência acústica
(, ) Campo elétrico
Intensidade ótica
Constante de propagação
Largura do transdutor
Parâmetro de Klein-Cook
Deformação no meio
(, ) Campo acústico
Velocidade do som
Coeficiente de acoplamento
Índice de refração
Ordem de difração
! Eficiência
" Permitividade magnética
# Frequência angular
xii
xiii
Lista de Acrónimos
LASER Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation
LED Light-emitting diode
MLM Multilongitudinal Mode
SLM Single-longitudinal Mode
WDM Wavelength-division Multiplexing
AO Acusto-Ótico
RF Radiofrequência
MAO Modulador Acusto-Ótico
xiv
1
1 Introdução
1.1 Enquadramento
Desde que há memória, o Homem sempre teve a necessidade de comunicar, procurando melhorar
a forma como a informação chega ao destino, ora em termos de velocidade de propagação, como em
termos de qualidade. Portanto foi-se assistindo a uma melhoria contínua dos meios de comunicação,
onde estes foram sofrendo grandes transformações ao longo dos tempos.
Entende-se como sistema de comunicação a conexão entre dois pontos (ou mais) pela qual se
transmite informação. Qualquer sistema de comunicação apresenta os seguintes elementos
fundamentais: a fonte ou origem de informação, meio de transmissão e o recetor.
Figura 1.1 – Exemplo de uma rede de telecomunicações.
Um sistema de comunicação ótica é aquele que tem como portadora dos sinais ondas
eletromagnéticas do espectro ótico. As ligações óticas começaram a ser realizadas com um comprimento
de onda $ a variar entre os 800 e 900 % (1ª janela), progredindo depois para comprimentos de onda
mais elevados. Atualmente trabalha-se na 3ª janela pois, como se pode ver pelo gráfico abaixo, o valor
da atenuação é bastante menor. Pode ainda ver-se na figura os comprimentos de onda que estão ligados
a cada uma das janelas.
Transmissor Canal de Comunicação Recetor
2
Figura 1.2 – Representação das janelas de transmissão usadas nas redes óticas [1].
Com o desenvolvimento das comunicações óticas, tais como o aparecimento do sistema de
comutação ótica ou amplificadores óticos por exemplo, vieram inúmeras vantagens: grande largura de
banda, baixa atenuação, imunidade às interferências eletromagnéticas, fiabilidade e facilidade de
manutenção e ainda o aumento das distâncias entre o emissor e o recetor. Sendo os novos componentes
totalmente óticos (sem a necessidade de converter sinais elétricos em sinais óticos) as redes têm vindo a
tornar-se cada vez mais transparentes.
1.2 Estado da arte
Para retratar a evolução até aos dias de hoje, começa-se por dividir a cronologia em duas partes
distintas: antes e depois da invenção do LASER.
Em 1922, Ikon Brillouin pensou sobre de que forma é que o espectro das ondas em líquidos ou
sólidos poderia ser determinado através da análise do scattering da luz ou raios &. O modelo usado por
este físico francês estava relacionado com a alteração que as ondas do som induziam nos diferentes
materiais o que, por sua vez, poderia causar flutuações na sua constante dielétrica. Partindo do princípio
que se introduz uma pequena perturbação (que fisicamente se traduz numa interação fraca) Brillouin
formulou o problema em termos de uma distribuição de fontes de dispersão, polarizada pela luz incidente
e modulada em espaço e tempo das ondas de som.
Outro resultado encontrado por Brillouin, com a suposição de uma simples mudança num meio
isotrópico do índice de refração (através de variações de densidade), a radiação dispersada tem a
mesma polarização que a radiação incidente. Tendo isto em conta, existirá birrefringência induzida que,
3
como veremos mais adiante, pode tornar-se útil. No entanto, a maioria dos princípios fundamentais do
fenómeno acusto-ótico podem ser demonstrados se for ignorada a polarização e se se recorrer a
equações escalares.
Finalmente, Brillouin afirma que a gama de comprimentos de ondas utilizável para este fim
estendia-se desde o infinito até metade do comprimento de onda da luz. Antes de aplicar este método
para todo o espectro do som, Brillouin experimentou uma situação mais simplificada onde uma simples
onda sonora interagia com a luz.
Durante a década de 1960, o fenómeno acusto-ótico mudou completamente, após a invenção do
LASER (Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation), definido como uma fonte intensa de
luz que produz radiação eletromagnética monocromática (frequência bem definida) e coerente (fases
bem definidas). Este dispositivo tornou possível manipular eletronicamente feixes de luz coerentes, por
exemplo, desviando-os. Como os fotões não têm carga, é óbvio que isso só pode ser conseguido
variando eletronicamente o índice de refração do meio no qual a luz se propaga. Isto pode ser feito
diretamente com o efeito eletro-ótico, ou indiretamente através do efeito acusto-óptico. Com a invenção
do LASER, os esforços de pesquisa e desenvolvimento em comunicações óticas tiveram um novo
impulso e, posteriormente, em 1963 demonstrou-se a emissão de luz de baixa coerência com o
aparecimento do LED (Light-emitting diode).
Com todos os avanços feitos, começam-se a construir as primeiras aplicações práticas, surgindo
assim uma grande procura por materiais mais sensíveis a este fenómeno. Considerando que antes estes
parâmetros tinham sido estudados baseados em cristais que constituíam os dispositivos, o principal
objetivo passa agora por otimiza-lo. Smith e Korpel propuseram uma figura de mérito para eficiência de
difração (agora chamado ) e que se demonstrou ser uma técnica de medição dinâmica simples,
posteriormente modificada por Dixon e Cohen para incluir efeitos de onda. Muitos dos materiais
investigados eram anisotrópicos e, a partir daí, foi possível descobrir que estes podem trazer diversas
vantagens.
1.3 Objectivos
O propósito deste trabalho passa por analisar os seguintes tópicos:
• Levantamento sistemático das equações que definem o efeito acusto-ótico
• Principais diferenças dos meios isotrópicos e anisotrópicos
• Difração birrefringente e não birrefringente
• Modulação acusto-ótica
• Algumas aplicações relacionadas com este fenómeno
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1.4 Estrutura da dissertação
Esta dissertação encontra-se dividida em seis diferentes capítulos:
1º Capítulo: breve introdução histórica sobre o mundo das comunicações óticas, as principais
invenções que tornaram possível o efeito acusto-ótico, os principais objetivos da dissertação e a
forma como esta se encontra dividida;
2º Capítulo: inicio do estudo do efeito acusto-ótico, focando-se principalmente na interação entre
as diferentes ondas acústica e eletromagnética, principais diferenças entre os meios isotrópico e
anisotrópico, difração e os regimes de Bragg e Raman-Nath;
3º Capítulo: aborda um tema muito importante, não só em comunicações óticas mas em tudo que
envolva tratamento de sinais, que é a modulação. Pretende-se analisar a desempenho de um
modulador acusto-ótico, pormenorizando na própria modulação de ondas progressivas e
estacionárias.
4º Capítulo: parte do trabalho reservada para retratar um pequeno conjunto de aplicações
baseadas neste efeito, ilustrando o seu funcionamento e interligando com os temas desenvolvidos
nos capítulos anteriores;
5º Capítulo: por fim, são feitas umas breves conclusões sobre o trabalho efetuado, dando
relevância aos principais aspetos estudados e de que forma estes se relacionam entre si. É ainda
feita uma referência a possíveis trabalhos que podem ser realizados no futuro, relacionados com o
tema;
6º Capítulo: parte reservada à bibliografia consultada e usada como base para a realização do
trabalho.
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2 Interação Acusto-Ótica
2.1 Efeito Acusto-Ótico
A acusto-ótica é um ramo da Física que estuda a interação entre o som e a luz. Essa interação
designada por efeito acusto-ótico (AO) baseia-se na difração da luz por modulação periódica do índice de
refração de um meio ótico transparente, a qual é gerada pela propagação de ondas acústicas nesse
meio. Dada a natureza distinta dos feixes óticos (ondas eletromagnéticas) e das ondas acústicas (ondas
elásticas), a sua interação só ocorre por via indireta. Dito de outro modo, a onda acústica altera o
comportamento da luz num dado meio por deformação do material do meio, alterando as suas
propriedades óticas. Por este motivo, os dispositivos acusto-óticos são constituídos por um cristal
acoplado a um transdutor piezoelétrico, que converte um sinal radiofrequência (RF) em perturbações
mecânicas, sujeitando posteriormente o meio ao feixe ótico.
Dado o seu efeito mecânico no meio, a onda acústica funciona como um phase grating, o qual
pode ser classificado como estacionário (standing index grating) ou progressivo (moving index grating),
seguindo as características da onda acústica. A característica única do gradiente sinusoidal criado por
uma onda sonora é permitir que o período e modulação possam ser variados alterando, respetivamente,
a frequência e amplitude da onda acústica por variação do sinal elétrico aplicado ao transdutor. Assim, os
parâmetros de operação de um dipositivo AO podem ser controlados eletronicamente.
Figura 2.1 – Difração Acusto-Ótica.
Como se verifica na Fig. 2.1, vai assumir-se uma configuração bidimensional em que o feixe ótico
se propaga segundo a direção de ' e o som segundo a direção (, numa coluna de material isotrópico de
índice de refração e largura . Assume-se ainda que a propagação do som segundo ( é válida desde
(
'
6
( = 0 até ( = ∞, de forma a que não ocorram reflexões e as ondas acústicas possam ser tratadas,
aproximadamente, como ondas planas espaçadas do comprimento de onda acústico Λ. Nesta
configuração ideal, o feixe ótico é considerado estreito tal que a região de interação com o som seja
pequena o suficiente para que também a luz seja tratada como uma onda plana. Numa análise posterior,
ao admitir ângulos de incidência elevados (| | ≤ -/2), a largura do transdutor não corresponderá à
largura da região de interceção, e portanto utilizar-se-á apenas o parâmetro 0. Os ângulos dos feixes
difratados serão medidos dentro do material AO uma vez que na saída estes sofrem refração.
2.1.1 Onda Estacionária
Considere-se uma onda acústica e periódica que induz uma deformação no meio, variável no
tempo e no espaço, e definida por [1]. Uma onda acústica progressiva pode ser expressa por
(, ) = sin( − Ω) ( 2.1 )
Uma onda estaciona ria, por outro lado, e a combinação de duas ondas progressivas de igual
amplitude, comprimento de onda e frequência que se propagam na mesma direção e em sentidos
opostos, descrita por
(, ) = sin() cos(Ω) ( 2.2 )
onde e um complexo (sem dependência espacial ou temporal) e a constante de propagação , ou vetor
de onda, depende da polarização e caracteriza a direção de propagação da onda acústica. A frequência
acústica Ω e a magnitude de K relacionam-se com a velocidade do som da seguinte forma
= Ω = 2-Λ ( 2.3 )
7
Por ação da coluna acústica, a variação da permitividade elétrica do meio, tanto no tempo como no
espaço, pode ser expressa por
Δ(, ) = Δ sin( − Ω) ( 2.4 )
A variação de ∆ϵ é função do modo e direção de propagação de uma onda acústica, da tensão e rotação
causada pelas ondas elásticas no meio, da frequência e polarização da onda ótica mas por sua vez é
independente dos valores de e Ω. Quando uma onda ótica incide no meio à frequência #, a sua
interação com a modulação periódica descrita em (2.4) e que gera o phase grating, pode dar origem à
difração do feixe incidente # ± Ω. Este processo de difração designa-se por interação fraca e só produz
duas ordens de difração: 0, ±1. Neste caso, quando se produz uma única ordem de difração +1 ou -1,
para além da ordem 0, diz-se que se opera no regime de Bragg. A luz difratada pode, no entanto,
interagir novamente com a coluna acústica através do rescattering, produzindo mais ordens de difração
com frequências # ± Ω, onde representa a ordem de difração e pode tomar valores positivos ou
negativos, como se verá mais à frente. Deste modo, as ondas difratadas (com exceção do feixe de ordem
0) sofrem uma variação de frequência igual à frequência acústica por efeito de Doppler. Este processo é
designado por interação forte e a produção de múltiplas ordens de difração é característica do regime de
Raman- Nath.
Para a difração acusto-ótica por uma onda acústica progressiva, cada ordem de difração tem
uma direção e propagação única e, portanto, existe um vetor de onda à frequência # ± Ω, associado
a cada ordem de difração. A produção de várias ordens de difração depende da largura do espectro
angular acústico e da força da interação, o que está relacionada com o sincronismo de fase. A figura
seguinte ilustra o espectro angular (Fig. 2.2 - a) com largura e intensidade acústica suficientes para
produzir rescattering (Fig.2.2 - b). Deste modo, 9 resulta da difração de : e 9, resulta da difração de 9 por e assim sucessivamente para qualquer valor de .
8
Figura 2.2 - (a) Largura espectral do som. (b) Difração com geração de múltiplas ordens.
A abordagem do phase-grating na interação acusto-ótica até aqui considerada não é no entanto
suficiente para definir completamente o efeito da difração. Por exemplo, este modelo não consegue
explicar a difração de uma única ordem (para valores de suficientemente elevados), nem prever o
ângulo de incidência ótico que permite uma difração eficiente. É necessário, portanto, analisar a interação
entre os elementos que constituem as ondas de som e a luz, i.e., do ponto de vista da colisão fotão-
fonão.
2.1.2 Interação Fotão-Fonão
Para que os fotões e fonões tenham momento e energia bem definidos, é necessário considerar
as ondas ótica e acústica planas e monocromáticas. Por esse motivo, a largura do transdutor deverá
ser suficientemente elevada para garantir a produção de frentes de onda com uma única frequência. Um
processo de interacção entre duas partículas obedece a duas leis fundamentais: à lei de conservação do
momento e à lei de conservação da energia [2]. Represente-se os vetores de onda das ondas planas
incidente, acústica e difratada por , e ;9, respetivamente. A condição de conservação do momento e
é dada pela expressão
<;9 = < = < ( 2.5 )
onde < = ℎ/2- e ℎ representa a constante de Planck. Dividindo a expressão anterior por <, obtém-se
;9 = = ( 2.6 )
9
A expressão que correspondente à conservação da energia (após ter-se feito a divisão pelo termo <) vem
dada por
#;9 = #: = Ω ( 2.7 )
em que #;9, #: e Ω representam, respetivamente, as frequências angulares do feixe ótico incidente,
difratado e da onda acústica. A interação definida pelas expressões (2.6) e (2.7) e classificada na
literatura como upshifted. Graficamente o mecanismo de interação entre o som e a luz pode ser
ilustrado através de diagramas de vetores de onda, representado nas figuras seguintes.
Figura 2.3 - Interação Upshifted ( > 0): a) Diagrama vetorial; b) Configuração experimental.
Estes diagramas referem-se, na perspetiva da meca nica quântica, a conservação do momento nas
colisões fota o-fona o e classicamente ao sincronismo de fase.
Como na prática || ≪ | |, a magnitude de ;9 para meios isotrópicos é aproximadamente igual
à de e o triângulo que representa o momento dos vetores de onda é praticamente isósceles. Isto
significa que o efeito de Doppler pode ser negligenciado. Alterando a direção do feixe incidente como
representado na Fig. 2.4 ( < 0) e aplicando as leis da conservação do momento e da energia, pode
descrever-se a interação acusto-ótica, designada downshifted, a partir de duas expressões semelhantes
a (2.6) e (2.7).
?9 = − ( 2.8 )
@
;9
:
Ω
#;9 = #: = Ω
#:
Λ
@
10
A expressão que correspondente à conservação da energia (após ter-se feito a divisão pelo termo <) vem
dada por
#?9 = #: − Ω ( 2.9 )
Reescrevendo a Eq. (2.8) na sua forma equivalente
?9 = 2 = = ( 2.10 )
pode concluir-se que cada fotão incidente que interage com um fonão, estimula a emissão de um segundo
fonão. Consequentemente o som e amplificado e o fotão difratado tem menos energia e menor frequência
que o incidente. Esse processo e por isso designado de emissão estimulada de fonões.
Figura 2.4 - Interação Downshifted ( < 0): a) Diagrama vetorial; b) Configuração experimental.
Como se verifica nas Figuras 2.3 e 2.4, os diagramas de vetores de onda devem ser triângulos
fechados em ambos os casos para que se verifique a condição de sincronismo de fase. Os diagramas
fechados definem a existência de ângulos críticos de incidência no meio acústico para que ocorra
difração AO, devendo os feixes incidente e difratado fazer entre si um ângulo correspondente ao dobro
do ângulo crítico de incidência, como será demonstrado mais adiante.
:
?9
Ω
#?9 = #: − Ω #:
Λ
@
11
2.2 Formalismo Geral
Para caracterizar o efeito AO, será apresentada uma análise formal com base na teoria
desenvolvida por Raman-Nath, aplicada a uma coluna acústica. Esta abordagem considera a natureza
periódica do som e decompõe o campo elétrico total em ordens de propagação em diversas direções.
Partindo das equações de Maxwell e aplicando a teoria do acoplamento de ondas planas, obtêm-se as
equações de Raman-Nath que descrevem o acoplamento mútuo de ondas planas pelo som. A solução
destas equações define a amplitude das várias ordens de difração. O conceito de acoplamento de ondas,
neste caso aplicado ao feixe ótico, significa que as ondas óticas não se podem propagar
independentemente das ondas acopladas de diferentes frequências. Esse acoplamento é induzido pela
onda acústica, por ação da variação temporal das propriedades óticas do meio.
2.2.1 Meio Isotrópico
Num dado meio material a interação entre um campo elétrico (, ) e um campo acústico (, )
pode ser descrita a partir das equações de Maxwell. Considere-se um meio ótico não homogéneo, não
magnético (" = ":) e isotrópico, caracterizado por uma permitividade (, ). Considerando o meio
isotrópico, a permitividade elétrica reduz-se a um escalar. No entanto, devido à ação do campo acústico
no meio, (, ) é variável no tempo e descrita por:
(, ) = = Δ(, ) ( 2.11 )
em que Δ(, ) é proporcional à amplitude do campo acústico (, ).
Considere-se ainda que os campos se propagam suficientemente longe das fontes para se
considerar a decomposição em ondas planas. Na ausência de fontes do campo ele trico (A = 0, B = 0) as
equações de Maxwell são da forma
∇ × = −": EFE ( 2.12 )
∇ × F = EGE ( 2.13 )
12
∇ ∙ G = 0 ( 2.14 )
∇ ∙ F = 0 ( 2.15 )
Para simplificar o formalismo, omitiu-se a dependência espacial e temporal das grandezas acima
descritas, a qual deverá ser considerada. Começando por substituir a Eq. (2.13) na Eq. (2.12) e aplicando
o rotacional obtém-se a equação de onda linear
I × I × = −": EGE = −": EE ( 2.16 )
A partir de (2.14) vem
∇ ∙ = ∇ ∙ E = E ∙ ∇ = 0 ( 2.17 )
e assumindo uma configuração bidimensional ((, ') do campo acústico com o campo elétrico polarizado
segundo K, conclui-se que E · ∇ϵN = 0. Assim, com· ϵN∇ · = 0 e aplicando a identidade vetorial I × I × =I(I · ) − I2, (2.17) resume-se a
∇ = ": EE = ": O EE = 2 EE = EEP ( 2.18 )
Como a frequência acústica se considera muito inferior à frequência ótica (Q ≪ #), a variação temporal
de (, ) é muito inferior à variação do campo elétrico (, ), portanto
∇ − ": EE = 0 ( 2.19 )
Substituindo (2.11) na expressão anterior vem
13
∇ − ": EE = ":Δ EE ( 2.20 )
A expressão (2.20) é a equação de onda que permite estudar a interação forte. O segundo termo da
expressão representa, na teoria do acoplamento de ondas planas, a polarização do meio provocada por
ação do campo acústico. Devido a esta polarização, as ondas acopladas de diferentes frequências só se
propagam de forma independente, ou seja, não se podem propagar sem alterar a sua magnitude, fase ou
polarização. Este fenómeno deve-se à natureza sinusoidal do feixe acústico como se irá verificar mais
adiante. Consequentemente, uma onda plana monocromática não é solução de (2.20). Admitindo que
para os casos relevantes tem-se ≪ | R |, podendo então considerar-se o mecanismo de acoplamento
como uma perturbação linear e estática nas propriedades do meio.
Deste modo, o campo elétrico pode ser expresso como uma combinação linear de ondas planas
de diferentes frequências e amplitudes variáveis:
(, ) = S ()T? UVW = S ()T XV∙Y? UVW
( 2.21 )
com # = # = Ω. Substituindo (2.3) e (2.21) em (2.20) vem
∇()T? UVW = # ":()T? UVW = − # ":2Z Δ ∙ [?9()T? UV\]W − ;9()T? UV^]W_ ( 2.22 )
A partir de (2.22) conclui-se que cada frequência ótica está diretamente acoplada às suas frequências
adjacentes, em relação às quais se verifica um deslocamento de frequência de Q ou −Q. Como Q ≪ #
vem # ± 1 ≈ #, e desprezando o efeito da dispersão nas frequências de interação, pode escrever-se Δϵ (ωc) = Δϵ. Sendo = # ": , expressão (2.22) fica
∇() = () = − # ":2Z Δ ∙ d?9() − ;9()e ( 2.23 )
14
Introduzindo a componente espacial do campo () = ((, ') = ((, ') T(f(Z,g = Z,h), determina-se I() admitindo uma interação bidimensional segundo ( e '
∇() = OE()E( = E()E' = 2Z,g E()E( = 2Z,h E()E' − ,g () − ,h ()P T XV∙Y (2.24)
e substituindo (2.24) em (2.23) vem
∇() = 2Z[ ∙ ∇_() = − # ":2Z Δ ∙ [?9()T [XV\];i_∙Y − ;9()T [XV^];i_∙Y_T? XV∙Y ( 2.25 )
É possível reduzir a equação diferencial anterior a uma equação de primeira ordem, considerando a
variação lenta da amplitude do campo. Esta aproximação assume que a variação da amplitude ótica,
causada pelo acoplamento com outras frequências, é negligenciável em relação ao comprimento de onda
ótico, tal que
j∇()j ≪ j[ ∙ ∇_()j ( 2.26 )
Finalmente aplicando a (2.26), obtém-se a equação que define o acoplamento ótico num meio isotrópico:
[ ∙ ∇_() = # ":4 ∆ ∙ [?9()T [XV\];i_∙Y − ;9()T [XV^];i_∙Y_ ( 2.27 )
A interpretação física de (2.27) sugere que existe acoplamento mútuo entre ordens adjacentes, tal que , por exemplo, recebe contribuições tanto de mn;o como de mn?o. Note-se que a eficiência do
acoplamento entre dois componentes de onda de diferentes frequências depende da polarização e da
direção de propagação ótica e acústica, sendo em grande medida afetada pela quantidade de
assincronismo de fase no acoplamento. O assincronismo de fase é expresso nos argumentos − 1 = − e = 1 = = .
Existem duas configurações experimentais com interesse prático que permitem um forte
sincronismo de fase: o regime de Raman-Nath e o regime de Bragg. Ambos os temas será analisados
mais à frente.
15
2.2.2 Meio Anisotrópico
No caso da propagação de uma onda ótica monocromática em meio anisotrópico, o campo não
é necessariamente perpendicular a . Como p ∦ m e r ∦ m, os tensores s e não se reduzem a
escalares, e verifica-se em geral a condição I ∙ ≠ 0 [3]. Consequentemente, através da equação (2.19)
e os resultados dela derivada, não são válidos para a propagação de uma onda monocromática em meio
anisotrópico. Para analisar a propagação no neste meio, o campo , que se propaga segundo a direção
de = u, pode ser separado nas suas componentes transversal e longitudinal:
= , = , ( 2.28 )
onde a componente transversal do campo é dada por
, = [u × _ × u ( 2.29 )
e a componente longitudinal é dada por
, = [u ∙ _ u ( 2.30 )
Como ∇ · Ec,v = 0 e ∇ · Ec,w ≠ 0, obtém-se uma equação semelhante a (2.20) a partir da componente
transversal do campo elétrico:
∇ , = [ , #_, = −# ": Δx, ( 2.31 )
onde
Δx, = [u × Δx_ × u ( 2.32 )
16
Seguindo o procedimento aquando o estudo do caso isotrópico, para (2.27) e considerando a
aproximação (2.21), obtém-se a equação de onda com acoplamento
[ ∙ ∇_, ≈ Z # ":2 ∆x,T? XVY ( 2.33 )
2.3 Regime de Raman-Nath
Considere-se a difração de uma onda ótica plana com frequência y num meio isotrópico, por uma
coluna de ondas planas acústicas (ilustrado em baixo). Assumindo que a onda acústica se propaga
segundo a direção de (, tem-se que = (N, em que o valor de depende da polarização da onda
acústica. Assume-se ainda que o feixe ótico incidente se propaga na direção quase normal à coluna
acústica, tal que ângulo do vetor de onda do feixe incidente , é muito pequeno em relação o a ' e ≪ 1, tal que se possa considerar 0 = . Considerando esta interação bidimensional, ambas as ondas
ótica e acústica não têm variação segundo K. Tendo em conta todas estas considerações, qualquer
alteração na amplitude do campo ótico causada pela interação com a coluna acústica ocorre somente
segundo a direção de ', mesmo que a direção de propagação da onda ótica não seja paralela a '.
Portanto, é possível obter () = (') apesar de = ,g(N = ,h' com ,g ≠ 0 em geral. Concluindo,
pode então escrever-se a equação de acoplamento (2.28) da seguinte forma
zz' = # ":4 ,h Δ ?9 expZ([?9,g = − ,g_ = Z'[?9,h − ,h_− ;9 expZ([;9,g − − ,g_ = Z'[;9,h − ,h_ ( 2.34 )
17
Figura 2.5 - Configuração e diagrama de vetores de onda para a difração de Raman-Nath.
Como as amplitudes do campo elétrico variam somente segundo ', a fase da onda não deve depender
de (. Anulando a dependência dos vetores de onda de ( em (2.34), obtém-se a condição de sincronismo
de fase
= ,g − ?9,g = ;9,g − ,g ( 2.35 )
A condição anterior determina a direção de propagação de cada feixe difratado. Como # ≫ Ω pode
considerar-se a aproximação = (# = Ω)/ ≈ # / = e (2.35) vem
= [sin − sin ?9_ = [sin ;9 − sin _ ( 2.36 )
onde é o ângulo de em relação aos eixo dos ', como se verifica na Fig. 2.5. A componente de
ordem 0 ( = 0), representa o feixe não difratado com : = e : = na frequência orignal de
incidência, #: = #. A partir de (2.36) determina-se a relação entre o ângulo de incidência e o ângulo do
feixe difratado de ordem dada por
sin = sin = ( 2.37 )
18
Considerando os ângulos de incidência e de difração pequenos ( ≪ 1), pode escrever-se (2.37) na
forma
= = = = $Λ ( 2.38 )
em que $ = $:/ é o comprimento de onda ótico no meio de propagação. Note-se que o ângulo entre
ordens adjacentes corresponde a duas vezes o ângulo de Bragg
sin = 2 = $2Λ ( 2.39 )
Descrevendo o assincronismo de fase na direção de ', em função do ângulo de propagação de cada
componente do feixe ótico, (2.34) reescreve-se da seguinte maneira
zz' = #":4 cos ∆,?9?9T Xh[ V\]? V_ − ∆,;9;9T Xh[ V^]? V_ ( 2.40 )
As equações acopladas representadas por (2.40) são designadas por equações de Raman-Nath e as
suas soluções dependem de parâmetros experimentais. Assumindo que iX é pequeno, recorre-se à
expansão em série do cosseno, cos ≈ 1 – / e, a partir de (2.38), os parâmetros que definem o
assincronismo de fase em (2.40) podem ser aproximados
'[cos ?9 − cos _ ≈ ' O = − 12 P ( 2.41 )
'[cos ;9 − cos _ ≈ −' O − = 12 P ( 2.42 )
19
Substituindo (2.41) e (2.42) em (2.40), e considerando a normalização = '/, pode escrever-se (2.40)
como
zz = #":4 O∆,?9?9T 9 ;(?9) − ∆,;9;9T? 9 ;(;9)P ( 2.43 )
em que é o ângulo de Bragg e representa o parâmetro de Klein-Cook tal que
= = 2- $Λ ( 2.44 )
As equações (2.43) designam-se por equações de Korpel-Poon [5] e são um caso particular da equação
geral (2.40), válida para qualquer campo acústico e não só para uma coluna acústica como será aqui
considerado. Para que o assincronismo de fase ao longo da interação e a difração possam ser
desprezados, a coluna acústica deve ser suficientemente estreita tal que
≪ 1 ( 2.45 )
A condição (2.45) define a operação no regime de Raman-Nath, a qual ocorre apenas quando o feixe
ótico se propaga perpendicularmente, ou quase, à direção de propagação acústica. Assim (2.45) permite
a aproximação de (2.43) por
zz' ≈ #":4 ∆,?9?9 − ∆,;9;9 ( 2.46 )
Não havendo uma solução geral para as equações acopladas (2.46). No entanto, com o feixe ótico
incidente propagando-se segundo ' e a onda acústica segundo (, sabe-se que R,?9 = R,;9 = R , o qual é independente de para as seguintes condições:
1. Se a onda acústica está longitudinalmente polarizada e a onda ótica incidente está linearmente
polarizada na direção de ( ou K, então T = T para qualquer valor de .
20
2. Se a onda acústica está transversalmente polarizada segundo K, então T = T para todos os
valores pares de e T = T9 para todos os valores ímpares de . Esta afirmação é válida
independentemente do tipo de polarização do feixe ótico incidente, podendo ser linear, circular ou
elíptico. Nas condições acima descritas, (2.46) pode ser escrita na forma
zz' = #":∆ 4 ?9 − ;9 ( 2.47 )
onde se considera a aproximação # ≈ #. Fazendo uma mudança de variável em (2.47) vem
zz = 12 ?9 − ;9 com = #":∆ 2 ' ( 2.48 )
Aplicando a (2.48) a seguinte propriedade das funções de Bessel
zAz = 12 dA?9() − A;9()e ( 2.49 )
vem
(') = :(0) A #":∆ 2 ' ( 2.50 )
onde :(0) é a amplitude do feixe ótico incidente, que corresponde à ordem 0, na fronteira da zona de
interação (' = 0). Defina-se agora o coeficiente de acoplamento
|| = -$: 2 9 ( 2.51 )
21
O parâmetro corresponde ao fator de mérito acusto-ótico e é definido como
= |∆ |2: = fB ( 2.52 )
onde e representam, respetivamente, os índices de refração vistos pela onda incidente e difratada e f é o coeficiente elasto-ótico. O fator de mérito é específico de cada modo de operação e depende do
modo de polarização e propagação da onda acústica e do modo de polarização ótico num dado material.
Existem vários fatores de mérito que são utilizados para avaliar os materiais AO e o é utilizado
quando a eficiência é o único parâmetro relevante. Finalmente, usando a identidade A?(') = A(−') das
funções de Bessel, pode escrever-se para uma interação de comprimento
() = :(0) A(−2|| ) = :(0) A?(−2|| ) ( 2.53 )
Sabendo que a intensidade de uma onda plana verifica ∝ ∗, onde ∗ é o complexo conjugado do
campo elétrico, determina-se a eficiência da difração de Raman-Nath para uma dada ordem q através da
expressão
! = ():(0) = A(−2|| ) = A? (−2|| ) = !? ( 2.54 )
De acordo com a propriedade A? = (−1)A das funções de Bessel, verifica-se que as ordens de
difração e − têm a mesma eficiência pois A? = A [4].
A difração de Raman-Nath num meio anisotrópico, que envolva variação da polarização entre
ordens sucessivas, não é em geral possível pois tal implicaria o sincronismo de fase sucessivo entre as
várias ordens de difração. [5]
22
Figura 2.6 - Eficiência das primeiras ordens de difração de Raman-Nath.
2.4 Regime de Bragg
Quando a largura da região de interação 0 é suficientemente elevada, tal que
= 0 ≫ 1 ( 2.55 )
o assincronismo de fase, descrito pela diferença de cossenos em (2.40), não pode ser ignorado pois
impede a interferência construtiva entre ordens adjacentes, não havendo difração. Existem no entanto
duas condições que permitem um sincronismo de fase suficientemente forte: quando a onda incidente
está acoplada a uma das ordens adjacentes =1 ou −1 [3]. Assim, no regime de Bragg só uma ordem de
difração é gerada a partir de uma onda acústica progressiva.
O regime de Bragg ocorre tanto em meios isotrópicos como anisotrópicos, quando se verifica nas
seguintes condições de sincronismo de fase, derivadas diretamente da equação (2.28) fazendo apenas = 0:
9 = = ( 2.56 )
?9 = − ( 2.57 )
23
A equação (2.56) corresponde à difração de ordem 1 com frequência #9 = # = Q, e (2.57) corresponde à
difração de ordem −1 com frequência #?9 = # − Q. Em ambos os casos, isotrópico e anisotrópico, a
difração de Bragg pode ser acompanhada pela alteração da polarização entre as ondas incidente e
difratada, sendo a última determinada pelo tensor R. Num meio isotrópico, ≈ = ,
independentemente de haver alteração de polarização. Num meio anisotrópico, = quando a onda
incidente e difratada têm a mesma polarização, mas ≠ quando têm polarização diferente. Assim,
para ≠ Z a difração é birrefrangente e as ondas incidente e difratada têm diferentes índices de
refração, respetivamente, e . Deste modo, as condições de sincronismo de fase segundo ( e ' são
expressas a partir de (2.36) e de (2.40) por
sin = sin ± ( 2.58 )
cos = cos ( 2.59 )
Assim, após alguma manipulação algébrica, os ângulos de incidência e de difração para = 1 são dados,
respetivamente, por
= − sin?9 = − 2 = − sin?9 $:2 O1 = $: ( − )P ( 2.60 )
= − sin?9 = − 2 = − sin?9 $:2 O1 = $: ( − )P ( 2.61 )
Para = −1, as expressões anteriores mantêm-se válidas, com a mudança dos sinais de e . Note-se
que quando ≠ , o valor de depende de , e depende geralmente de . Ao contrário do regime
de Raman-Nath analisado na secção anterior, no regime de Bragg os ângulos de incidência e de difração
não estão limitados a valores pequenos. Como se verifica pelas expressões (2.60) e (2.61), os valores de e determinados pela condição de sincronismo de fase, dependem de , e e podem tomar
qualquer valor entre −-/2 e -/2. No entanto, nem todas as combinações de valores de , e têm
soluções para e . Nesses casos, a condição de sincronismo de fase não é satisfeita e a difração de
Bragg não ocorre.
24
Figura 2.7 - Difração de Bragg: Downshifted (esquerda) e Upshifted (direita).
Fazendo uma pequena nota sobre a figura 2.7, convenciona-se os ângulos positivos no sentido dos
ponteiros do relógio [3].
2.4.1 Difração não birrefringente
Para difração não birrefringente ( = ) ou em meio isotrópico ( ≈ = ), os ângulos de
incidência e de difração têm igual magnitude mas sinais opostos, e podem ser diretamente determinados
da condição (2.59), onde corresponde ao ângulo de Bragg
= −, = ( 2.62 )
para difração em modo upshifted e
= , = − ( 2.63 )
para downshifted, em que o ângulo de Bragg definido por
= sin?9 2 = sin?9 $2 ( 2.64 )
25
A partir de (2.36) verifica-se que, para ângulos de incidência pequenos, ≪ 1, tal que Z ( ) ≈ , o
ângulo entre quaisquer duas ordens adjacentes /, corresponde a duas vezes o ângulo de Bragg. Para
uma onda ótica monocromática incidente, existe sempre um único valor de que satisfaz a condição de
sincronismo de fase para ambos os casos da difração de Bragg, dependendo do sinal de . Na difração
de Bragg em meio isotrópico, os valores de e que verificam a condição de sincronismo de fase
tomam os seguintes valores:
0 ≤ ≤ 2 e 0 ≤ ≤ 2 $: ( 2.65 )
Substituindo a condição (2.59) em (2.40), e sabendo que no regime de Bragg só são produzidas duas
ordens de difração = 0 e = ±1, vem
z:z' = ?9 ( 2.66 )
z?9z' = −: ( 2.67 )
para o modo downshifted, e
z:z' = −;9 ( 2.68 )
z9z' = : ( 2.69 )
para o modo upshifted.
Aplicando as condições fronteira (0) = : e (0) = 0, tem-se dentro da coluna acústica
: = cos ' ( 2.70 )
9 = ?9 = Z sin ' ( 2.71 )
26
Verifica-se portanto que existe uma transferência periódica total de potencia entre : e e vice-versa,
sendo a intensidade das duas ordens na saída da coluna acústica (' = ) dada em ambos os casos por
:() (0) = |:()|| (0)| = cos ( 2.72 )
:() (0) = ?9():(0) = sin ( 2.73 )
cujo comportamento pode ser analisado na figura seguinte.
Figura 2.8 - Transferência de potência para o Regime de Bragg num meio isotrópico.
2.4.2 Difração birrefringente
Em meio anisotrópico, os intervalos de e , que verificam a condição de sincronismo de fase,
são
| − | ≤ ≤ | = | | − |$: ≤ ≤ | = |$:
( 2.74 )
27
Devido à alteração da polarização entre as ondas incidente e difratada, podem verificar-se duas
situações na difração birrefringente em meio anisotrópico. Na primeira, para < , a difração de Bragg
só ocorre se o ângulo de incidência estiver inserido no seguinte intervalo
-2 ≥ | | > cos?9 ( 2.75 )
No segundo caso, quando > , para qualquer ângulo de incidência (exceto = 0), existem dois
valores possíveis para o parâmetro : um para a difração em modo upshifted e outro para o modo
downshifted. Quando = ±-/2, as configurações de sincronismo de fase são colineares, ou seja, e podem ser paralelos ou antiparalelos um em relação ao outro, mas são ambos colineares com K.
2.4.3 Quasi-Regime de Bragg
Considere-se a aproximação # ≈ #9 ≈ #?9 e o caso geral em que não existe sincronismo de fase perfeito
Δ = − ± ( 2.76 )
em que o sinal positivo se refere à difração em modo downshifted e o sinal negativo à difração em modo
upshifted [7]. A partir de (2.28) obtêm-se as seguintes equações acopladas para o regime de Bragg
cos E E' = sin E E( = ± #":∆ 4 exp(ZΔ ∙ ) ( 2.77 )
cos EE' = sin EE( = ± #":∆ 4 exp(ZΔ ∙ ) ( 2.78 )
onde Δ = ∗ ∙ Δ ∙ =∙ Δ ∗ . Para o caso anisotrópico as expressões anteriores correspondem à
componente transversal dos campos acoplados. Considerando o meio de propagação com impedância ,
a intensidade ótica é dada por
28
I = 2|| = 2#": || ( 2.79 )
assumindo a seguinte normalização
A = 2#":9 ( 2.80 )
tal que
= |¢| ( 2.81 )
Através de (2.80), as equações (2.77) e (2.78) podem ser simplificadas na forma
cos E¢ E' = sin E¢ E( = Z¢ exp(ZΔ ∙ ) ( 2.82 )
cos E¢E' = sin E¢E( = Z¢ exp(ZΔ ∙ ) ( 2.83 )
onde se verifica que o coeficiente de acoplamento para o regime de Bragg é
= ± Z #":Δ 4 9/9/ ( 2.84 )
ou
|| = -$: 2 9 ( 2.85 )
o qual corresponde ao coeficiente de acoplamento para o regime de Raman-Nath.
Resolvendo as equações diferenciais (2.82) e (2.83), obtém-se a expressão geral da eficiência da
difração de Bragg
29
! = () (0) = j¢()j|¢ ()| = 1
1 = Δ4||sin £|| ¤1 = Δ4||¥ ( 2.86 )
Para meios isotrópicos, quando a frequência RF não corresponde exatamente à frequência que
verifica o critério de Bragg, a eficiência da difração diminui. Na expressão (2.86) o assincronismo de fase
é dado pelo termo R. Quando R = 0, a frequência toma o valor ideal que garante a máxima eficiência.
Quando R ≠ 0 a eficiência de difração diminui, sendo esse o limite inferior que define a largura de
banda do dispositivo. Para aumentar a largura de banda, pode aumentar-se o rácio ¦/ designado por
divergência acústica.
Embora os ângulos e possam assumir valores entre −-/2 e -/2, e o campo ótico possa
variar com ( e ', serão considerados dois casos extremos de interesse pratico e que permitem obter
soluções simplificadas das equações (2.82) e (2.83).
2.4.4 Difração para ângulos pequenos
Para ângulos de incidência e difração muito pequenos, a onda ótica propaga-se
(aproximadamente) de forma perpendicular à onda acústica e os valores de § ( ) e § () podem ser
próximos da unidade, enquanto Z ( ) e Z () próximos de zero. Este caso verifica-se para ¦ ≫ $ e
para um 0 = simultaneamente elevado que satisfaça a condição (2.55). Considerando a variação da
amplitude do campo ótico segundo ', verifica-se a condição R = R' e é possível simplificar as
equações (2.82) e (2.83) para
z¢ z' = Z¢ exp(ZΔ') ( 2.87 )
z¢z' = Z¢ exp(−ZΔ') ( 2.88 )
30
e, de acordo com a equação (2.43),
Δ = − 2 − 1 ( 2.89 )
Δ = − 2 − = 1 ( 2.90 )
onde = '/.
Uma vez que a potência é injetada no sistema somente pelo modo ¢ , em ' = 0, as condições
fronteira serão ¢ (0) ≠ 0 e ¢(0) = 0. As equações (2.86) e (2.87) descrevem o acoplamento codirecional
das ondas incidente e difratada, com coeficientes de acoplamento simétricos, ou seja, descrevem o
acoplamento entre dois modos que se propagam na mesma direção, neste caso, segundo z. Para um
sincronismo perfeito, ou seja, para = , e aplicando as condições fronteira a (2.86) e (2.87) obtém-se
¢: = Z¢ §(') ( 2.91 )
¢ = Z¢ sin(') para = ±2 ( 2.92 )
Quando o ângulo de incidência tem uma variação « em relação ao ângulo de Bragg, tal que =±(1 = «), pode escrever-se (2.87) e (2.88) em função de para o modo upshifted tal que
z¢ zξ = Z¢9 exp − Z2 ( 2.93 )
z¢9z = Z∗¢ exp Z2 ( 2.94 )
Para um sincronismo de fase perfeito (R = 0) a eficiência relativa de difração é simplificada para
31
!® = sin(||) = sin £ -$: ¤2 ¥ ( 2.95 )
Deste modo, verifica-se que para uma eficiência de difração máxima no regime de Bragg, a intensidade
acústica é dada por
= $:2 ( 2.96 )
2.4.5 Difração Colinear
Outro caso particular de interesse na difração de Bragg ocorre quando a onda incidente se
propaga colinearmente com a onda acústica, ou seja, o vetor de onda é paralelo ou antiparalelo a tal
que seja, respetivamente, -/2 ou −-/2. Nestas condições, e considerando o sincronismo de fase
definido na Eq.(2.59), conclui-se que = ±-/2, sendo colinear com e . Assim, a onda difractada
pode propagar-se na mesma direção ou na direção oposta à onda incidente. Para uma incidência
colinear em meio isotrópico, a difração de Bragg é sempre contradirecional pois = = /2, ou seja, a
onda incidente e difratada têm direções opostas. Para um meio anisotrópico, por outro lado, a difração
pode ser codirecional ou contradirecional pois existem dois valores de que garantem o sincronismo de
fase para cada caso, quando , . Quando a onda acústica tem uma frequência baixa tal que seja
pequeno a difração é codirecional; por outro lado, quando a sua frequência é elevada e assume um
valor mais elevado, a difração é contradirecional.
Deste modo, as equações de acoplamento que descrevem a difração colinear devem considerar
ambos os casos em que a onda incidente é paralela ou antiparalela à onda difratada. Com = ±-/2, = ±-/2 e = (N, os campos ¢ e ¢ variam somente segundo ( e R = R(N. As equações (2.83) e
(2.84) são assim reduzidas a
± z¢ z( = Z¢ exp(ZΔ() ( 2.97 )
± z¢z( = Z∗¢ exp(−ZΔ() ( 2.98 )
32
onde a direção de e segundo (N ou −(N determina, respetivamente, o sinal positivo ou negativo das
equações. Quando e se propagam na mesma direção, aplicam-se a (2.97) e (2.98) as condições
fronteira da secção anterior para o acoplamento codirecional, ¢ (0) ≠ 0 e ¢(0) = 0, e define-se a
eficiência de difração através das equações (2.85) e (2.94), respetivamente, para o caso geral e para um
sincronismo de fase perfeito.
Quando Z e se propagam em direções opostas, por outro lado, verificam-se as condições
fronteira para o acoplamento contradirecional, ¢ (0) ≠ 0 e ¢() = 0, se = − (N ou, ¢ (0) ≠ 0 e ¢(−) = 0, se = (N. Aplicando essas condições fronteira às equações (2.97) e (2.98) determina-se a
eficiência da difração de Bragg para propagação contradirecional
! = () (0) = j¢(0)j|¢ (0)| = sinh || °1 − Δ4||
cosh || °1 − Δ4|| ( 2.99 )
Para um sincronismo de fase perfeito, a eficiência da difração
! = tanh(||) ( 2.100 )
2.5 Difração a partir de uma Onda Estacionária
Até agora a difração acusto-ótica tem sido analisada somente para ondas acústicas progressivas.
Verificou-se que cada ordem de difração definida por um vetor de onda e com ângulo de difração
tem uma única frequência definida por # = # = Q. Tal não se verifica, no entanto, para a difração por
ondas estacionárias.
Como se referiu na secção 2.1.1, uma onda estacionária pode ser vista como uma sobreposição
de duas ondas propagando-se em sentidos opostos, com vetores de onda e −, e é matematicamente
definida na equação (2.2).
Deste modo, a sua interação com a onda acústica produz simultaneamente duas ordens de
difração com frequências # ± Q (upshifted e downshifted), cada uma correspondente a cada direção de
difração que verifique a condição de sincronismo de fase. Por outro lado, cada frequência gerada por
difração pode ser difratada novamente na direção da onda incidente, dando origem a um processo em
33
cadeia que provoca desvios sucessivos da frequência. Na difração de Raman-Nath representada na Fig.
2.10, as ordens de difração pares, incluindo a ordem 0, resultam da contribuição de todas as frequências
múltiplas positivas e negativas de Q de ordem par, enquanto as ordens de difração ímpares resultam dos
múltiplos positivos e negativos de Q de ordem ímpar.
Figura 2.9 - Difração de Raman-Nath a partir da Onda Acústica Estacionária.
Na difração de Bragg por uma onda estacionária, o ângulo de incidência pode ser ou − , de
acordo com a equação (2.60), pois e − existem simultaneamente. Em ambos os casos, são geradas
duas frequências (# ± Q) na direção de como se observa na figura 2.9. Ao ocorrer em cadeia, este
processo dá origem a dois feixes: um difratado na direção de com frequências de ordem ímpar, # ± (2% = 1) Q, e outro feixe na direção de que não sofre difração e contém as frequências de ordem
par, # ± 2%Q.
Figura 2.10 - Difração de Bragg a partir da Onda Acústica Estacionária.
34
A análise formal da difração por ondas estacionárias através da teoria do acoplamento de ondas
planas é complexa uma vez que cada ordem de difração têm a contribuição de várias frequências. Deste
modo, as soluções analíticas serão derivadas dos resultados obtidos para uma onda progressiva. Para
uma onda estacionária da forma (2.2) a variação da permitividade elétrica do meio é expressa por
Δ() = Δ sin( ∙ ) cos Ω = Δ() sin( ∙ ) ( 2.101 )
Como # ≫ Q, a variação temporal de R() é muito pequena comparada com o período ótico e,
consequentemente, o campo elétrico é definido por
(, ) = S (, ) exp[Z ∙ − Z#_ ( 2.102 )
onde representa a ordem de difração e = = .
Fazendo a mesma análise da secção 2.3.1 para o regime de Raman-Nath, obtém-se para a
difração de ordem ≥ 0
(, )(0,0) = A(−2|| cos Ω) ( 2.103 )
em que ?(, ) = (−1)(, ) para ordens negativas.
Considerando o seguinte teorema das funções de Bessel
A(( cos ) = cos S sin² %! d(2e² A;²(()´²µ: para ≥ 0 ( 2.104 )
35
pode escrever-se a equação (2.103) da seguinte forma
(, )(0,0) = S S S (−1);¶! (2%)! (||)²2;²%! ! ( − )! (% − f)! (% = f)!²
¶µ?²´
²µ:
·µ: A;²(2||)T (?·?¶)¸W (2.105)
Como se verifica pela expressão (2.105), a dependência temporal de (, ) contém todos os
harmónicos pares positivos e negativos de Q se é par, e contém todos os harmónicos ímpares positivos
e negativos de Q quando q é impar. Assim, cada ordem de difração par consiste numa série de
componentes de frequência ω±2mΩ, enquanto cada ordem impar contém as componentes de
frequência # ± (2% = 1)Q.
Para o regime de Bragg pode também recorrer-se aos resultados determinados anteriormente. Para
difração com ângulos pequenos ( ≈ 0) tem-se
¢ (, ) = ¢ (0,0) cos(|| cos Ω) = ¢ (0,0) S A²;9(||)T ²¸W´²µ?´ ( 2.106 )
¢(, ) = Z¢ (0,0) sin(|| cos Ω) = Z¢ (0,0) S A²;9(||)T (²;9)¸W´²µ?´ ( 2.107 )
onde se usaram as seguinte entidades
cos(( cos ) = S (−1)²A²(()T ²´²µ?´ ( 2.108 )
Z (( cos ) = S (−1)²A²;9(()T (²;9)´²µ?´ ( 2.109 )
partir das equações (2.106) e (2.107) é possível concluir que o feixe que não sobre difração é composto
pelas frequências # ± 2%Q para os múltiplos pares de Q, enquanto o feixe difractado é composto pelas
contribuições ímpares nas frequências # ± (2% = 1) Q. O conceito de intensidade refere-se ao fluxo de
36
energia por unidade de área e, portanto, é um conceito que pode ser bem definido para uma onda
progressiva, mas não é aplicável a uma onda estacionária. No entanto, uma onda estacionária pode ser
decomposta em duas ondas progressivas de igual amplitude, propagando-se em sentidos opostos, e
portanto de igual intensidade ¹ e º . Partido desse princípio, o coeficiente de acoplamento para ambos
os regimes de Bragg e Raman-Nath, no caso da propagação de uma onda acústica estacionária é dado
por
|| = 2-$: ¹2 9 = 2-$: º2 9
( 2.110 )
Para a difração nos regimes de Bragg e Raman-Nath com uma onda acústica estacionária, o número de
frequências presentes em cada feixe, difratado ou não, depende da dispersão, da largura de banda do
meio, do sincronismo de fase e largura da interação.
37
3 Modulação Acusto-Ótica
3.1 Modulador Acusto-ótico
Como se verificou no capítulo anterior, existe uma dependência entre a eficiência da difração e a
intensidade da onda acústica, tal que a intensidade do feixe ótico difratado pode ser controlada pela
intensidade do sinal acústico. É com base nesse princípio que opera o modulador acusto-ótico (MAO). A
modulação acusto-ótica é portanto uma modulação em amplitude de um feixe ótico por um sinal acústico,
controlado eletronicamente. Um MAO pode operar no regime de Raman-Nath ou no regime de Bragg,
designando-se o dispositivo neste último caso, como célula de Bragg. Quando o valor da eficiência é
baixo, a eficiência da difração de primeira ordem de um modulador que opera no regime de Raman-Nath
é equivalente à eficiência de difração de uma célula de Bragg [3].
Para se ter um valor baixo para a eficiência na modulação, verifica-se que |»| ≪ 1, e a eficiência
da primeira ordem de difração no regime de Raman-Nath vem dada por
!9 = A9(2||) ≈ || = -$ ( 3.1 )
enquanto a eficiência de difração para uma célula de Bragg em sincronismo de fase verifica
!® = sin(||) ≈ || = -$ ( 3.2 )
Uma analogia semelhante pode ser feita para a modulação usando ondas estacionárias a partir
das expressões (2.103) e (2.107).
Através da Fig. 2.6 verifica-se que uma das desvantagens da operação no regime de Raman-Nath é a
sua baixa eficiência, a qual não excede os 34%. Por outro lado, uma célula de Bragg atinge valores muito
superiores [6]. Por esse motivo, a maior parte dos dispositivos com aplicações práticas operam no regime
de Bragg.
Pela condição ≪ 1, que define o regime de Raman-Nath, o comprimento da interação diminui
quadraticamente com a frequência acústica e linearmente com o comprimento de onda ótico. Assim, para
frequências acústicas elevadas ou para comprimentos de onda elevados, torna-se demasiado pequeno
38
para uma implementação prática, sendo necessária uma intensidade acústica muito elevada para garantir
uma eficiência de difração significativa. O modulador de Raman-Nath é assim limitado a aplicações de
baixa frequência acústica e, consequentemente, de reduzida largura de banda.
Figura 3.1 - Representação de um Modulador Acusto-Ótico.
As características mais importantes na desempenho de um modulador são a eficiência de difração, !, a
sua largura de banda a −3z½, y²?, e a sua velocidade determinada pelo tempo de resposta (rise time) Y. A otimização destas características é feita em função do dimensionamento de dois parâmetros:
1. Divergência relativa do feixe
A divergência relativa do feixe corresponde ao rácio entre a divergência do feixe ótico R: e a
divergência do feixe acústico R, ou seja, pode expressar-se como
¾ = Δ:Δ ( 3.4 )
Na análise realizada até agora ao efeito AO, a divergência dos feixes ótico e acústico foi
desprezada. Na prática, como estes feixes apresentam uma divergência R, as suas frentes de onda
variam R/2 em relação à direção central de propagação. Para que as condições de sincronismo de fase
de (2.59) sejam simultaneamente satisfeitas para todas as direções de propagação da frente de onda
ótica, é necessário verificar-se a condição R ≥ R¿, de forma a evitar uma degradação na eficiência de
difração. Naturalmente, a divergência relativa, deve ser mínima para que a eficiência seja maximizada.
Amplificador
39
Na maior parte dos casos com interesse prático, o feixe ótico incidente é gaussiano e a sua
divergência define-se como
Δ: = 4$-z ( 3.5 )
onde se assume a situação mais favorável, em que a interação acusto-ótica ocorre na cintura do feixe
ótico, À:, com 2À: = z. Considerando que o feixe acústico tem uma distribuição de amplitude uniforme
ao longo da região de interação de largura , a sua divergência é dada por
Δ = Λ ( 3.6 )
Portanto, através de (3.5) e (3.6), é então possível definir ¾ como
¾ = 4$-z¦ ( 3.7 )
2. Tempo de propagação Á (transit time)
Define-se o transit time como o tempo que a onda acústica leva a atravessar um feixe ótico com
diâmetro z na zona de interação. Sendo esta proporcional ao tempo de resposta do feixe a uma mudança
no sinal RF. Este parâmetro é definido como
Á = z ( 3.8 )
O tempo de resposta de um modulador é determinado por este parâmetro Á. Se o sinal acústico variar
significativamente durante o intervalo de tempo Á, a difração do feixe ótico não é uniforme e, nesse caso,
a informação contida no sinal acústico não é fiavelmente modulada pelo feixe ótico. Para um dado valor
de Á, esta degradação na resposta do modulador torna-se mais significativa quanto maior for a
frequência do sinal modulado, que é neste caso, o sinal acústico. Qualitativamente, a resposta do MAO é
determinada pela sua largura de banda, no caso da modulação analógica, ou pela velocidade de
modulação no caso digital. A velocidade de modulação é caracterizada pelo tempo de subida (Y) (rise
40
time) que é definido como o intervalo de tempo necessário para que o sinal ótico modulado varie de 10%
a 90% em amplitude como resposta a um impulso do sinal modulante. Através da análise da resposta do
MAO, define-se a largura de banda para um feixe ótico de perfil gaussiano [12]
y² ≈ÂÃÄ0.75Á , para ¾ ≪ 1 0.86 − 0.13 ¾Á , para ¾ ≫ 1 ( 3.9 )
Y ≈ Ê0.65 Á , para ¾ ≪ 1(0.45 = 0.25 ¾)Á , para ¾ ≫ 1 ( 3.10 )
A partir de (3.9) e (3.10) verifica-se que para além de reduzir a eficiência de difração, uma divergência ¾
elevada também degrada a resposta do modulador. De forma a maximizar a largura de banda e,
consequentemente, aumentar a velocidade de modulação, é necessário reduzir o valor de Á.
3.1.1 Análise de Desempenho
Até agora verificou-se que para melhorar a desempenho do MAO os parâmetros ¾ e Á devem
ser minimizados. No entanto, não é totalmente verdade pois ambos dependem do diâmetro da cintura do
feixe ótico À:. Para um modulador com uma dada divergência, o valor de ¾ pode ser reduzido reduzindo R¿, e consequentemente, aumentando o diâmetro À:. O aumento de À: no entanto, corresponde a um
aumento de Á, o que contribuiu para degradar a largura de banda e velocidade do modulador. Assim,
para obter uma elevada largura de banda e velocidade na modulação, o feixe ótico tem de ser focado
numa região de diâmetro reduzido, ao longo da região de interação. É necessário, portanto, haver um
compromisso entre a eficiência e largura de banda. Deste modo, sendo a modulação acusto-ótica uma
modulação em amplitude, na prática deve determina-se o valor de ¾ em função dos requisitos de
eficiência do projeto, o que define Á e as restantes características do dispositivo. Será ainda necessário
considerar outros dois fatores que afetam a desempenho do modulador tais como: o sinal modulado em
amplitude gera duas bandas de frequência em torno da frequência da portadora, y:. Essas bandas
localizam-se em y: − y² e outra superior em y: = y² . Na prática, para evitar distorção não-linear do
sinal modulado, a banda de frequência mais elevada deve ser menor que a segunda harmónica da banda
inferior, ou seja, y: = y² < 2(y: − y²), o que se traduz na seguinte condição para a frequência
portadora
41
y: ≥ 3 y² ( 3.11 )
O segundo fator de ordem prática está relacionado com a necessidade de separação do feixe difratado
do refratado na saída do modulador. Para haver uma separação eficaz é necessário que o ângulo de
deflexão seja maior que duas vezes a divergência do feixe, ou seja:
j˹j = j − j > 2Δ: ( 3.12 )
Para um modulador em que a difração não é birrefrangente [j˹j = _ condição anterior fica
simplesmente
> Δ: ( 3.13 )
As condições abordadas em cima colocam algumas restrições aos parâmetros físicos do modulador de
onda progressiva, nomeadamente a condição da difração de Bragg e a condição para a separação dos
feixes e o limite das bandas laterais.
Para o primeiro caso, a equação (3.3), que dita que ≥ 4- para que se recorra à difração de
Bragg, estabelece o limite mínimo da largura da região de interação para uma dada frequência acústica y:. Esse limite vem dado pela seguinte condição
≥ 2Λ$ = 2$y: ( 3.14 )
Para um dado valor de ¾, as condições (3.7) e (3.14) definem que o feixe gaussiano na região de
interação deve verificar
z = 2À: ≥ 8¾- Λ = 8¾-y: ( 3.15 )
42
e de onde se determina que, para uma dada largura do feixe acústico e cintura do feixe ótico À:, o
limite mínimo de frequência da portadora no regime de Bragg:
y: ≥ 8¾-Á ( 3.16 )
Quanto ao segundo caso, pode começar-se por substituir as expressões de , Δ: e Δ nas
equações (2.64), (3.5) e (3.6) respetivamente. É possível verificar que a condição (3.13) estabelece o
limite mínimo para a largura do feixe acústico , definido por
= ¾ - À: Λ2 $ ≥ 2¾$y: ( 3.17 )
ao qual corresponde o limite mínimo da cintura do feixe ótico
z = 2À: ≥ 8-y: ( 3.18 )
a partir da equação anterior, pode definir-se o valor mínimo para a frequência da portadora
y: ≥ 8-Á ( 3.19 )
Esta condição garante que y: ≥ 3,4 y²para qualquer valor de ¾, de acordo com (3.9). Deste modo, a
condição (3.11), necessária para não haja distorção do sinal modulado, é automaticamente satisfeita
desde que se verifique (3.18).
De todo o desenvolvimento feito até aqui, é possível verificar-se que o parâmetro ¾ determina
quando os parâmetros físicos do modulador de onda progressiva são definidos pela condição de Bragg
ou pela condição de separação dos feixes. Quando ¾ < 1, os limites impostos pela condição de Bragg
determinam os parâmetros físicos do dispositivo porque são mais rigorosos que os exigidos pela
condição de separação dos feixes. Por outro lado, quando ¾ > 1, os limites são impostos pela condição
de separação dos feixes pois esse critério é mais rigoroso nessas condições. Quando se pretende
43
maximizar a largura de banda e a velocidade da modulação, o valor ótimo da divergência é ¾ = 1.5, para y² = 0,65/Á e Y = 0,85 Á, onde Á tem um valor pequeno para garantir um feixe suficientemente
estreito. Neste caso, a largura do feixe acústico é ótico verificam, respetivamente, as condições (3.17) e
(3.18) e a frequência acústica é dada por (3.19).
A largura de banda e velocidade da modulação discutidos anteriormente só têm em consideração
a interação entre o feixe ótico e acústico. Na prática, a resposta do modulador também depende da
largura de banda do transdutor piezoelétrico e circuitos eletrónicos adjacentes. A largura de banda do
transdutor é caracterizada pela dependência da frequência na eficiência !W. Os moduladores operam portanto, normalmente no regime de Bragg com um feixe ótico de
diâmetro reduzido, no sentido de reduzir o tempo de resposta Ì e, consequentemente, aumentar a
largura de banda e velocidade de modulação. O valor da divergência relativa depende de um
compromisso entre eficiência e largura de banda.
3.2 Modulação de Ondas Progressivas
Os moduladores que operam a partir de ondas progressivas são os mais utilizados. A maior parte
dos moduladores tomam a configuração da figura 3.1 e assumem ângulos de incidência pequenos. A
célula acusto-ótica, constituída por um material transparente, está acoplada a um transdutor piezoelétrico
numa extremidade e possui uma face angular na extremidade oposta. Essa face, revestida de material
absorvente, tem como função abosrver a onda acústica tal que esta não interaja com o feixe ótico
incidente. O transdutor piezoelétrico, por seu lado, converte um sinal RF num sinal acústico e permite o
acoplamento da sua potência à célula acusto-ótica, dando origem a uma onda mecânica que se propaga
no meio com uma frequência espectral correspondente à frequência do sinal RF.
Figura 3.2 - Representação de um modulador acusto-ótico de onda progressiva, operando no regime de Bragg.
44
A pressão das ondas sonoras que atravessam o cristal gera perturbações físicas no meio, as quais se
traduzem numa variação do índice de refração com período correspondente ao comprimento de onda
acústico ¦. Como resultado desta interação acusto-ótica, o sinal ótico é difratado e modulado em
amplitude, por variação da intensidade da onda acústica. A modulação pode ocorrer tanto para o feixe de
ordem 0 como para o feixe de ordem 1. No entanto, o sinal elétrico desmodulado a partir do feixe de
ordem 1 está desfasado 180° em relação ao sinal recebido através do feixe de ordem 0. Considerando
um transdutor com e altura F e largura (correspondente ao comprimento da interação) a intensidade
acústica é dada por
= xF = !WxËF ( 3.20 )
em que x é a potencia acústica transmitida ao meio de interação, xË é a potencia elétrica fornecida pelo
transdutor e !W corresponde à eficiência de conversão do transdutor da potencia elétrica em potencia
acústica. Pode agora definir-se a eficiência de um modulador operando no regime de Bragg em
sincronismo de fase por
!® = sin Î-$ 2F !WxË9Ï ( 3.21 )
Para uma eficiência mínima, o seu valor é diretamente proporcional à potencia da modulação:
!® ≈ -02$F !WxË se !® ≪ 1 ( 3.22 )
Como num modulador de onda progressiva a potencia elétrica xË() é quem transporta o sinal modulante,
que varia no tempo, implica que a eficiência da difração também varie no tempo.
45
3.3 Modulação de Ondas Estacionárias
Os MAO que utilizam ondas acústicas estacionárias são utilizados em casos particulares, tais
como o laser mode locking. Este modulador permite a modulação sinusoidal em amplitude a frequências
muito elevadas. Difere do modulador de onda progressiva em vários aspetos, nomeadamente, na
estrutura e características de desempenho. As características de desempenho mais importantes num
modulador de onda estacionária são a eficiência de difração ! e sua frequência modulação y² = 2,
definida como duas vezes a frequência acústica no limite de baixa eficiência, operando sempre em
regime de Bragg.
Para criar uma onda estacionária, a célula acusto-ótica é feita a partir de uma cavidade
ressonante. Em vez de uma face angular, como no caso do modulador de onda progressiva representado
na Fig. 3.2, a face oposta ao transdutor piezoelétrico da célula acusto-ótica é paralela ao seu extremo,
como se ilustra na Fig. 3.3.
Figura 3.3 - Modulador acusto-ótico de onda estacionária.
Considerando que a célula tem um comprimento Ð, segundo a direção de propagação da onda acústica,
pode-se obter uma onda estacionária somente quando o comprimento de onda acústico satisfaz a
condição:
Ð = % Λ2 , com % inteiro ( 3.23 )
46
Assim, o modulador funciona somente para valores discretos da frequência, para os quais ocorre
ressonância:
= % V2Ð , com % inteiro ( 3.24 )
As frequências de ressonância são sensíveis à variação da velocidade da onda acústica , causada por
flutuações na temperatura. Por esse motivo, a temperatura do modulador de onda estacionária de forma
é quase sempre monitorizada de forma a manter uma operação estável e eficiente. A potência acústica
que é entregue pelo transdutor à cavidade ressonante é igual ao produto da energia acústica
armazenada na cavidade ressonante e a taxa de decaimento Ò (decay rate) dessa energia:
x = ¹ = º FÒ ≈ 2¹ FÐÒ ( 3.25 )
onde se considerou ¹ ≈ º para uma cavidade eficiente. A partir de (2.106) e (2.109), e considerando x = !WxË, obtém-se a expressão para a eficiência de difração num modulador de onda estacionária em
sincronismo de fase:
!® = sin Î-$ FÒ9 cos ΩÏ ( 3.26 )
No limiar de baixa eficiência, tem-se
!® ≈ -$FÐÒ !WxË cos Ω = -2$FÐÒ !WxË(1 = cos 2Ω) ( 3.27 )
Quando um MAO de onda estacionária opera no limiar de baixa eficiência, a intensidade do feixe
difratado na sua saída é modulado com duas vezes a frequência acústica, e com uma profundidade de
modulação linearmente proporcional à potência entregue. Ao contrário do modulador de onda
progressiva, não é necessário impor um sinal modulante adicional à portadora. Desta forma, xË é
constante. O transdutor é alimentado por um sinal elétrico RF não modulado na frequência acústica
47
pretendida. Um modulador de onda estacionária é capaz de modular um feixe ótico a frequência mais
elevadas, mas as frequências de modulação que definem a ressonância na célula acusto-ótica, assumem
apenas valores discretos.
Para a análise da desempenho do modulador de onda estacionária, só são relevantes os
parâmetros e ¾. O parâmetro Á acaba por ser irrelevante visto que as duas ondas acústicas que
formam a onda estacionária e se propagam em sentido oposto, não são moduladas em amplitude. Para
assegurar a operação no regime de Bragg, tem de se verificar novamente a condição ≥ 4- e,
consequentemente, a largura mínima definida em (3.14) para o transdutor. Como o tempo de propagação
já não é relevante, o valor de ¾ não depende de qualquer compromisso como no caso do modulador de
onda progressiva. Assim, pode verificar-se a condição tal que ¾ ≪ 1 que evita a degradação da eficiência
de difração causada pela divergência do feixe ótico.
48
49
4 Aplicações
4.1 Defletores
Ao contrário do modulador, o defletor permite variar espacialmente a posição angular do feixe ótico
difratado por variação eletrónica da frequência acústica R. Enquanto o sinal aplicado a um modulador
tem variação em amplitude e frequência constante, no defletor o sinal aplicado tem amplitude constante e
frequência variável. Este dispositivo funciona portanto como um modulador de frequência. Um defletor
opera tipicamente no regime de Bragg, com ondas acústicas progressivas, tal que ≥ 4-. Como este
dispositivo opera sempre com ângulos de difração pequenos, o comprimento da interação corresponde
ao comprimento do transdutor, 0 = .
Figura 4.1 - Representação de um defletor acusto-ótico.
O ângulo entre o feixe de primeira ordem e o feixe de ordem zero corresponde ao ângulo de
deflexão , que em valor absoluto corresponde a 2 para difração não birrefringente. Considerando
ângulo de incidência ótico e acústico fixos, a variação do ângulo de deflexão é simplesmente
determinado pela variação do ângulo de difração. Como se verifica na Fig. 4.1, o ângulo de difração é
determinado pela condição de sincronismo de fase segundo (. Assim, de acordo com (2.60) e (2.61), o
valor de varia linearmente com , para pequenas variações de . Se a frequência acústica R variar,
tal que, R = R, a variação do ângulo de deflexão vem
Δ = Δ(2) = Δ = $: Δ ( 4.1 )
50
Nestas condições, se também a direção de for constante, ao variar não é possível existir sincronismo
de fase perfeito. Um defletor pode operar em dois modos: no modo de acesso aleatório, o que significa
que a frequência acústica é alterada discretamente enquanto no modo continuous scan, a frequência
acústica varia continuamente produzindo uma variação também contínua do ângulo de deflexão. As
características mais importantes de desempenho de um defletor são a sua eficiência !, dada pelas
expressões (3.21) e (3.22) no limite de baixa eficiência. O defletor tem uma estrutura semelhante ao
modulador de onda progressiva da Fig. 3.1, mas opera sempre com um feixe altamente colimado com
divergência ¾ ≪ 1 de forma a aumentar o número possível de ângulos, definido por Ó. Este parâmetro é
determinado pelo quociente entre o ângulo de deflexão e a divergência do feixe ótico, ou seja,
Ó = ΔΔ: ( 4.2 )
Para um feixe de perfil espacial Gaussiano, R¿ tem a forma que se encontra definida na expressão de
(3.5). Substituindo (3.5) e (4.1) em (4.2) vem
Ó = -4 ÁΔ ( 4.3 )
onde Á é o tempo de transição definido em (3.8). A constante -/4 é específica de um feixe Gaussiano,
mas para feixes com outros perfis, adota tipicamente valores em torno da unidade. Assim, o número de
pontos resolúveis é dado pelo produto entre o tempo e largura de. Para aumentar Ó numa dada banda de
frequências, é necessário aumentar o tempo acústico (através de um feixe colimado) ou escolhendo um
meio com uma velocidade acústica reduzida. No entanto, é Á que define a resposta no tempo do
dispositivo. Sabe-se ainda que Á corresponde ao atraso temporal do dispositivo para que este responda
à alteração da frequência acústica com uma nova posição espacial. Deste modo, para o modo de acesso
aleatório, o varrimento (definido como o número de pontos produzidos por segundo) corresponde ao
inverso do tempo de transição. Em modo contínuo, o varrimento não é muito mais elevado que 1/Á.
Como tipicamente a velocidade do defletor não é requisito limitativo, a escolha do parâmetro Á deve ser
feita em função do número de pontos notáveis pretendidos para uma dada banda de frequências.
Sabe-se ainda que a altura mínima F do transdutor num modulador é determinada pelo diâmetro
do feixe ótico, o que se deve ao facto desse feixe estar tipicamente focado num ponto. No caso dos
deflectores, a largura do feixe À: = Á/2, é normalmente elevada uma vez que o defletor necessita de
valores relativamente elevados de Á para se obter um Ó elevado. Nesta situação não é necessário
manter um feixe de cintura circular pois a sua componente segundo a direção perpendicular a é
irrelevante para Á. O feixe ótico pode então tomar uma forma elíptica, como se verifica na Fig. 4.2, de
51
modo a aumentar a eficiência de difração para uma dada potencia acústica, com um valor pequeno de F.
Neste caso, a altura do transdutor é limitada pela divergência acústica tal que
F ≈ ¤Á: ( 4.4 )
em que : é a frequência acústica central para a qual ocorre sincronismo de fase perfeito.
De forma a contornar o problema criado pelas harmónicas das frequências dentro da largura de banda do
dispositivo, podendo estas interferir com o funcionamento do defletor, a frequência mais elevada deve ser
inferior ao segundo harmónico do limite inferior da banda de frequências. Assim o limite superior da
largura de banda deve ser
Δ ≤ 23 : ( 4.5 )
O valor máximo da fração da largura de banda de um defletor, definida por R/:, é definido pela
condição (2.74). Esta condição tem a mesma forma que a equação (3.11), fazendo uma correspondência
entre a frequência da portadora do modulador com a frequência central do defletor. Note-se que, no
entanto, as larguras de banda do defletor e do modulador, respetivamente, R e y², têm implicações
diferentes no funcionamento dos dispositivos. Ao contrário do modulador, em que a frequência determina
a rapidez do dispositivo, a largura de banda do defletor é determinada pelo máximo valor de
assincronismo de fase admissível pelo dispositivo. Assim, ΔF é irrelevante para a velocidade do defletor
mas determina o ângulo máximo de deflexão e, consequentemente, o número máximo de pontos
resolúveis. No defletor, a velocidade de resposta depende de y² ≈ 0,75Á, para ¾ ≪ 1, mas R ≠ y².
Deste modo, Á e R podem ser simultaneamente otimizados para maximizar Ó em (4.3).
4.1.1 Defletores Não Birrefringentes
Quando o valor de varia, ambos os ângulos de incidência e de difração também têm de variar
para manter o sincronismo de fase. Quando é fixo, a variação da magnitude de , sem que haja
alteração da direção do vetor , resulta no assincronismo de fase. Embora através da variação do ângulo
52
de difração , o sincronismo seja mantido na direção de (, paralela a , não é possível evitar o
assincronismo segundo '.
Figura 4.2 - Diagrama de sincronismo de fase.
De acordo com a Fig. 4.3, considere-se um desvio R/2 face à frequência central :, ao qual
corresponde uma variação R/2 em relação à constante de propagação acústica :. Sendo o ângulo
de incidência que garante sincronismo de fase para :, o assincronismo de fase é dado por
|Δ| = :4 Δ = -$:2 Δ ( 4.6 )
Em vez de se assegurar um sincronismo de fase perfeito em :, o ângulo de incidência pode ser
escolhido segundo a seguinte expressão
= : O1 = Δ2:P ( 4.7 )
tal que o assincronismo de fase seja minimizado para uma dada largura de banda R. NNestas
condições, é então possível definir
53
|Δ| = -$:2 Δ O1 − Δ2:P ( 4.8 )
Este assincronismo de fase resulta numa redução da eficiência da difração e o seu valor máximo
aceitável depende também do comprimento da interação 0. O critério geral limita o valor de |R|0 a menos
de 0,9 de forma a ter-se
|Δ|0 ≈ -2 ΔΔ ≤ 0.9- ( 4.9 )
onde R é a divergência do feixe acústico definida em (3.6). No limite da baixa eficiência onde |R| > »,
(4.9) assegura que a eficiência da difração nos extremos do espectro não tem uma redução superior a 3z½ abaixo da frequência central. A condição (4.9) pode ser interpretada de duas formas diferentes mas
equivalentes: segundo o primeiro ponto de vista, a relação |R|0 ≤ 0,9- indica que o comprimento da
interação deve ser inferior ao limite definido pelo máximo assincronismo de fase admitido nos extremos
do espectro, tal que a degradação da eficiência seja limitada; o outro ponto de vista realça a relação R_ ≤ 1.8R derivada de (4.9) sugere uma relação entre ¿ e semelhante à usada para os
moduladores de onda progressiva. Para uma interação eficiente em todas as direções de defecarão, a
divergência do feixe acústico deve ser elevada o suficiente para que a frente de onda acústica cubra
um elevado número de direções de difração, e que em cada uma se verifique o sincronismo de fase.
Ambas as interpretações são equivalentes porque o comprimento da interação é definido pela largura do
feixe acústico e um feixe acústico estreito resulta numa divergência acústica elevada. A partir de (4.2) e
(4.9) vem
¾ = Δ:Δ ≤ 1.8Ó ≪ 1 ( 4.10 )
A divergência deve ser reduzida nos defletores uma vez que R¿ deve ser muito menor que R para
obter uma resolução elevada., Por outro lado, R deve ser da ordem de R para limitar a degradação
da eficiência de difração devida ao assincronismo de fase nas direções de difração extremas. O limite
inferior do comprimento do transdutor piezoelétrico dado por (3.14) continua válido num defletor que
opere no regime de Bragg em todo o espectro. Como o limite inferior de frequência (: − R/2) é o
critério mais limitativo na determinação do comprimento, este deve ser considerado na condição de
54
Bragg. Por outro lado, a condição (4.9) e 0 = impõem o limite superior de . Combinando estes dois
limites, determina-se os limites da largura do transdutor, num meio não birrefringente:
1.8$:Δ O1 − Δ2:P ≥ ≥ 2$: 1 − Δ2:? ( 4.11 )
Para otimizar a desempenho do defletor, tanto R como deverão ser elevados para que a eficiência
seja também ela elevada. Os valores ideais de ΔF e L para um defletor em meio não birrefringente
obtém-se a partir de (4.11), resultando
Δ = 0.525 : e = 3.68 $: ( 4.12 )
4.1.2 Defletores Birrefringentes
Para um defletor não birrefringente, a condição (4.11) determina que o aumento da largura de
banda R leva à redução do comprimento e vice-versa. Não é portanto possível aumentar
simultaneamente R e acima dos seus valores ótimos definidos em (4.12).
Usando a difração de Bragg birrefringente sob a condição conhecida como fase tangencial
correspondente ou fase correspondente 90°, é possível aumentar ambos os valores de R e para além
dos valores ótimos e, consequentemente, aumentar simultaneamente a resolução Ó do dispositivo e a
eficiência de difração. No defletor é necessário que varie de acordo com enquanto é fixo.
Figura 4.3 - Sincronismo de fase tangencial para um defletor em meio não birrefringente.
55
Assim, as condições necessárias para que exista correspondência de fase tangencial em meio
birrefringente são:
− > tal que > ( 4.13 )
−: = − ( 4.14 )
tal que exista sincronismo de fase perfeito na frequência central :, com = 0, em que : vem definido
como : = ( = )uW/$. Nestas condições, o máximo assincronismo de fase nos extremos da banda
de frequências vem então definido pela seguinte expressão
|Δ| ≈ (Δ)8 = -$4 ( 4.15 )
Aplicando o critério |R| = |R|0 ≤ 0,9-, verifica-se que a largura de banda e o comprimento do
transdutor, nas condições impostas pelo sincronismo de fase tangencial, têm de verificar:
3.6 $(Δ) ≥ ≥ 2 $: 1 − Δ2:? ( 4.16 )
Esta condição pode ser satisfeita para a largura de banda mais elevada pela condição (4.5). Assim, os
valores ótimos da largura de banda e comprimento da interação são respetivamente
Δ = 23 : e = 8.1 $: ( 4.17 )
Comparando (4.12) com (4.15), verifica-se que pelo critério do sincronismo de fase tangencial é possível,
num DAO birrefringente, obter um comprimento da interação mais de duas vezes superior ao do DAO
não birrefringente, enquanto a largura de banda tem um aumento de 27%. O limite superior de pode ser
ainda duplicado se o ponto de sincronismo de fase se afastar ligeiramente do ponto tangencial, tal que : = − = (R)/8, como se verifica na Fig. 4.9.
56
Figura 4.4 - Sincronismo de fase tangencial para um defletor num meio birrefringente.
Nestas condições, o sincronismo de fase ocorre para duas frequências: 0 ± R/2√2. O sincronismo de
fase máximo ocorre na frequência central : e nos extremos da banda. O seu valor máximo vem dado
por
|Δ| ≈ (Δ)16 = -$8 (Δ) ( 4.18 )
Consequentemente, os limites do comprimento da interação são definidos como
|Δ| ≈ (Δ)16 = -$8 (Δ) ( 4.19 )
Desta forma, a largura de banda mantém inalterada e passa para o dobro:
|Δ| ≈ (Δ)16 = -$8 (Δ) ( 4.20 )
Os resultados apresentados assumem que é constante e invariável com a frequência acústica.
Quando o feixe ótico é uma onda extraordinária, pode ser função do ângulo de difração e,
57
consequente, função da frequência acústica. Nesse caso o processo de otimização é mais complexo do
que o aqui analisado, embora os conceitos se mantenham válidos.
4.2 Filtros Sintonizáveis
Os recentes avanços na tecnologia, no que toca à construção de filtros, têm trazido cada vez mais
dispositivos sofisticados que apresentam desempenho superior quando comparado com a absorção ou
de interferência dos filtros ditos clássicos, especialmente quando utilizados com fontes de iluminação
LASER. Os filtros acusto-óticos sintonizáveis operam através da irradiação de um cristal especialmente
preparado, normalmente feito de óxido de telúrio ou quartzo, com vibrações acústicas das ondas de rádio
geradas por um transdutor de alta frequência [3].
O filtro pode ser sintonizado variando a frequência das ondas, que permite que apenas uma gama muito
estreita de comprimentos de onda (muitas vezes entre 1 e 3 % de largura) possa passar e eliminando
assim o restante intervalo por difração.
Figura 4.5 – Representação esquemática de um Filtro Acusto-Ótico Sintonizável.
Comece-se por analisar um dispositivo destes inserido num meio isotrópico, onde é possível ver de forma
clara que o sinal que entra, caracterizado por uma frequência y, e os respetivos sinais difratados. Os
sinais de saída, representados por Ú, são intercetados por uma lente, cuja distância focal é representada
por , situada a uma distância (:. Para o feixe na saída, a seguinte condição tem de se verificar
obrigatoriamente
2@ = (: ( 4.21 )
58
ou ainda
$ = (:Λ ( 4.22 )
É importante referir ainda que a refração da luz imediatamente à saída é ignorada. Alterando-se a
frequência do som (usando a variável Δ para representar essa variação) é possível determinar que feixes
serão ou não filtrados.
A banda de passagem pode então ser estimada da seguinte forma: a imagem formada pelos
feixes de saída é dada por $/G. A variação Δ$ desloca o centro da imagem tal que Δ (2@) = Δ$/Λ.
Portanto a banda de passagem pode ser descrita por
Δ$Λ = $G ou Δλ = Λ$G ( 4.23 )
e a respetiva resolução espetral vem dada por
Ü = λΔλ = GΛ ( 4.24 )
No dispositivo representado em cima, o orifício é um elemento fundamental na operação de
filtragem. Já a membrana sonora não tem qualquer influência desde que o valor de seja muito baixo.
Contudo, é possível reverter a situação removendo o orifício e, através do parâmetro , desenhar todo o
esquema anterior. A variação máxima Δ$ é então determinada pela condição que relaciona o ângulo de
Bragg com o espetro sonoro, i.e.,
Λλ2Λ = Λ ou R = Q4- = Λ λ2Λ ( 4.25 )
Tendo isto, é agora possível determinar o ângulo de aceitação ß para ambos os dispositivos
59
ß ≈ Λ ( 4.26 )
Depois do estudo para meios isotrópicos, passa-se agora para os anisotrópicos, pois estes são
as estruturas mais comuns no desenho de filtros acusto-óticos. A condição que traduz a interação entre
os meios vem dada por
àáâ = ( Ë − :)$ã ≈ Δ $ã ( 4.27 )
Uma variação na frequência (Δy) deve resultar na seguinte condição
|Δy| = 1Á = = Δ Δ$ã$ã ( 4.28 )
onde
R = Δ $ã ( 4.29 )
Mais uma vez, o ângulo de aceitação para este tipo de dispositivo deve obedecer à seguinte condição
apresentada anteriormente (² ·).
Através do desenvolvimento anterior, é possível verificar que estamos na presença de interação
upshifted tanto para o caso on-axis (através do vetor ) como para o caso off-axis (através do vetor ′ e ângulo å)
Figura 4.6 – Interação colinear upshifted para os casos on-axis e off-axis.
60
Através da figura, é possível observar que
æ ≈ cos ß ( 4.30 )
portanto
æ − ≈ 1cos ß − 1 ≈ ß2 = -ßΛ ( 4.31 )
mas ainda
æ − ≈ Δ = 2-Δy = 2- = 2- ( 4.32 )
Portanto, usando as duas equações previamente escritas, é possível concluir que
ß ≈ ¤2Λ ( 4.33 )
Através da dependência da raiz quadrada, o ângulo de aceitação para este dispositivo pode tomar
valores mais altos. Também é possível concluir isto através da figura 4.3, onde se vê que o vetor ′ varia lentamente quando o ângulo å aumenta
4.3 Desmodulação de sinais modulados em frequência
Do estudo efetuado anteriormente, foi possível observar a forma de como as gamas são
selecionadas. Como se pode ver pela figura 4.4, a célula de Bragg difrata a luz em feixes cujos ângulos
são definidos por @ , controlados pela frequência da portadora Ω: , com Z = 1, 2, … onde estas portadores
foram previamente moduladas em frequência. Para um dado valor de Z, a frequência instantânea do sinal
é representada por Ω () = Ω: = ΔΩ (), onde Ω: é uma portadora de valor fixo e ΔΩ () representa uma
diferença da frequência num intervalo de tempo, proporcional à amplitude do sinal de modulação.
Normalmente, o valor da variação é pequeno comparativamente com a portadora. [10].
61
Figura 4.7 - Princípio da Desmodulação de Sinais.
Partindo da equação
Δ = Δ(2) = Δ = $: Δ ( 4.34 )
o feixe de índice Z é bombeado numa direção relativa ao feixe incidente e representado pela seguinte
expressão
@ = $:Ω: 2-è ( 4.35 )
ilustrada na figura 4.9. Para cada portadora, haverá agora um feixe de luz dispersado de forma
independente numa direção determinada pela frequência da portadora. Um dos principais pontos
relacionados com desmodulação de sinais, prede-se com o facto de ângulo instantâneo de deflexão
desviar-se um pouco da equação anterior devido à inclusão do termo ΔΩ (), provocando uma oscilação
no feixe difratado. Esta oscilação representa-se então por
Δ@ () = $:2-è ΔΩ () ( 4.36 )
Sabendo que na modulação em frequência a variação da frequência ΔΩ () é proporcional à amplitude do
sinal do som, a variação no ângulo de deflexão Δ@ () é, portanto, proporcional ao sinal modulante.
62
Os principais fatores que influenciam a desempenho deste tipo de dispositivos foram já estudados
usando o modelo knife-edge bem como detetores de célula dupla. O uso do detetor de célula dupla
permitiu também identificar e desmodular um grande intervalo de diferentes tipos de modulação de fase,
sem nenhum informação à priori. [8]
4.4 Dispositivos biestáveis
A biestabilidade refere-se à existência de dois estados estáveis presentes num sistema para um
dado conjunto de condições de entrada. Os dispositivos óticos biestáveis têm recebido muita atenção nos
últimos anos devido à sua potencial aplicação no processamento de sinais. Em geral , não linearidade e
feedback são necessários para atingir a biestabilidade.
Figura 4.8 - Esquema de um sistema biestável.
A figura 4.10 mostra o funcionamento de um sistema biestável, a operar no regime de Bragg [9]. O
feixe de primeira ordem difratado é detetado pelo fotodetector (FD), amplificado, somado com um é: e
injetado de volta para o transdutor AO de forma a alterar a amplitude do seu sinal de acionamento, que
por sua vez modula a amplitude das intensidades do difratada luz. Por isso, o sinal da realimentação tem
uma influência recursiva nas intensidades de luz difratados. Note-se que a interação é downshifted, pelo
que, a não linearidade envolvida no sistema é função de seno-quadrado:
9 = |ß9| = ·ê sin dé2e ( 4.37 )
63
onde ·ê = |ß ·ê| é a intensidade incidente. Tal como se vê na figura, a equação de realimentação vem
dada pela seguinte expressão
é = é: = ë9 ( 4.38 )
onde ë representa o ganho do amplificador. Note-se que, para o sistema realimentado, é já não pode, de
forma geral, ser tratada como uma constante . Na verdade, é pode ser tratada como um valor constante
durante o fenómeno se o tempo de interação, dado como a razão entre a largura do feixe de laser e a
velocidade do som na célula, é muito pequeno em comparação com os atrasos incorporadas por o tempo
de resposta finito do FD, o controlador de célula de som e o amplificador de realimentação, ou qualquer
outra linha de atraso que pode ser propositadamente instalado (por exemplo, uma fibra ótica ou cabo
coaxial) no caminho de realimentação. O comportamento de estado estacionário do sistema é dada pela
solução de equações simultâneas por (4.37) e (4.38) .
64
65
5 Conclusões
5.1 Principais Conclusões
Finalizada a dissertação, é feito agora um resumo sobre tudo o que foi retratado em cada
capítulo, apontando as principais conclusões retiradas em cada um deles.
O 2º capítulo foca-se no estudo da interação acusto-ótica, dando principal atenção ao
desenvolvimento matemático em torno deste fenómeno, desde a interação entre as partículas fotão e
fonão, as principais diferenças entre os meios isotrópicos e anisotrópicos e terminando com difração dos
feixes. Quanto a este último tema, foi possível ver as principais diferenças entre os regimes de Raman-
Nath e de Bragg, onde para o primeiro caso existem várias ordens de difração e para o segundo existe
apenas uma. Dentro do regime de Bragg, analisou-se com detalhe a difração birrefringente e não
birrefringente, onde foram introduzidos os modos upshifted e downshifted, com os respetivos diagramas
vetoriais, e finalmente estudou-se o efeito AO quando o ângulo do feixe incidente é bastante pequeno.
No 3º capítulo incide mais no processamento de sinais começando por analisar com algum detalhe
o funcionamento de um modulador AO. Concluiu-se que existe uma dependência entre a eficiência da
difração e a intensidade da onda acústica, tal que a intensidade do feixe ótico difratado pode ser
controlada pela intensidade do sinal acústico. É com base nesse princípio que opera o MAO, que pode
funcionar tanto no regime de Bragg como de Raman-Nath. Estudou-se a desempenho deste dispositivo e
foi possível concluir que para obter uma elevada largura de banda e velocidade na modulação, o feixe
ótico tem de ser focado numa região de diâmetro reduzido, ao longo da região de interação sendo
necessário, portanto, existir um compromisso entre a eficiência e largura de banda, sendo a modulação
acusto-ótica uma modulação em amplitude. Na prática, a resposta do modulador também depende da
largura de banda do transdutor piezoelétrico e circuitos eletrónicos adjacentes. A largura de bada do
transdutor é caracterizada pela dependência da frequência na eficiência. Ainda neste capítulo, é também
feito um estudo da modulação de ondas progressivas e de ondas estacionárias. A principal diferença está
no design do próprio dispositivo, onde para o primeiro caso a célula acusto-ótica, constituída por um
material transparente, está acoplada a um transdutor piezoelétrico numa extremidade e possui uma face
angular na extremidade oposta. Para o segundo caso, a face oposta é paralela.
Já no 4º capítulo, são enumeradas um conjunto de aplicações baseadas neste fenómeno tais
como os filtros sintonizáveis, desmoduladores, moduladores de fase e por fim os defletores, fazendo uma
análise sobre os defletores birrefringentes e não birrefringentes. Os filtros operam através da irradiação
de um cristal especialmente preparado, com as vibrações acústicas das ondas de rádio geradas por um
transdutor de alta frequência. O filtro pode ser sintonizado variando-se a frequência das ondas, que
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permite que apenas uma gama muito estreita de comprimentos de onda possa passar e eliminando
assim o restante intervalo por difração. Ao contrário do modulador, em que o feixe é modulado em
amplitude, o defletor permite variar espacialmente a posição angular do feixe ótico difratado por variação
eletrónica da frequência acústica. Enquanto o sinal aplicado a um modulador tem variação em amplitude
e frequência constante, no defletor o sinal aplicado tem amplitude constante e frequência variável. Este
dispositivo funciona portanto como um modulador de frequência
5.2 Perspetivas de trabalho futuro
De forma a dar continuidade a este trabalho, podem retratar-se alguns dos seguintes temas:
• Filtros Acusto-Óticos não colineares;
• Efeito AO em fibras monomodais e em acopladores;
• Múltiplos feixes incidentes.
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6 Referências
[1] Macao.communications.museum, (2015). Fibras Ópticas. [online] Available at:
http://macao.communications.museum/por/exhibition/secondfloor/moreinfo/2_8_3_OpticalFibres.ht
ml [Acedido 2 Jun. 2015].
[2] Goodman, J. W., Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, 4th ed. 2004
[3] T Ueta, “Photon-phonon interaction in photonic crystals”, 9th World Congress on Computational
Mechanics and 4th Asian Pacific Congress on Computational Mechanics, 2010
[4] Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich, “Fundamentals of Photonics”, 1991
[5] Olver, F. W. J., "Bessel Functions of Integer Order," in Handhook of Mathematical Functions (M.
Abramowitz and I. A. Stegun)
[6] Banerjee, P.P. and T.-C. Poon (2010). Principles of Applied Optics. Irwin, llinois
[7] Korepl, A., K.E. Lonngren, P.P. Banerjee, H.K. Sim, and M. R. Chatterjee (1986). "Split-Step-Type
Angular Plane-Wave Spectrum Method for the study of Self-Refractive Effects in Nonlinear Wave
Propagation"
[8] Korpel, A., and Poon, T. C., J Opt. Soc. Am., 70, 8 17 (1980)
[9] Hicks, M. and C. D. Reeve (1998). "Acousto-Optic System for Automatic Identification and
Decoding of Digitally Modulated Signals," Opt. Eng., 37, pp. 931-941.
[10] Chrostowski, J. and C. Delise (1982). "Bistable Optical Switching Based on Bragg Diffraction,"
Opt. Commun.,
[11] Pieper, R.J. and T.-C. Poon (1985). "An Acousto-Optic FM Receiver Demonstrating Some
Principles of Modern Signal Processing," IEEE Trans, on Education , Vol. E-27, No. 3,
[12] Poon, Ting-Chung, Kim, Taegeun, Engineering Optics with MATLAB, 2006