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Integral doble

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1

1.- Calcular el área representada en el gráfico mediante una integral doble.

2.- Colocar los límites de integración en uno y otro orden, en la integral doble:

Rf (x,y)dxdy∫ ∫ para los recintos: a) R es un paralelogramo cuyos vértices son A(1,2), B(2,4), C(2,7) y D(1,5). b) R es un sector circular, con centro en (0,0) y cuyo arco tiene sus extremos en

los puntos (1,1) y (-1,1).

3.- Demostrar (p) (q)(p,q)

(p q)Γ Γ

β =Γ +

siendo p, q>0.

4.- Probar que

21 x21I e dx 1

2∞ −

−∞= =

π ∫ .

Nota: 21 x

21f (x) e dx2

∞ −

−∞=

π ∫ es la función de densidad de la distribución N(0,1).

5.- Hallar el área de la superficie de un cilindro interceptada por otra superficie cilíndrica igual de eje perpendicular.

6.- Calcular 2 2

R(4 x y )dxdy− −∫ ∫ siendo R el recinto limitado por las rectas x=0, x=1,

y=0, y=3/2.

7.- Dada la integral 2 2

R(2x y 1)dxdy+ +∫ ∫ siendo R el cuadrado de vértices (1,0), (2,1),

(1,2) y (0,1). a) Calcular dicha integral. b) Efectuar el cambio de variable u=y-x, v=y+x y evaluar la nueva integral.

8.- Invertir el orden de integración en: 3 2

1 yI dy f (x,y)dx= ∫ ∫ .

9.- Calcular el volumen del cilindroide limitado por el plano XY, la superficie z=x2+y2, y los cilindros parabólicos x=y2, y=x2.

10.- Hallar el volumen del cuerpo limitado por el plano XY, la superficie xz

y= , y

el cilindro cuya sección recta es una elipse del plano XY de semiejes a y b paralelos a los OX, y OY y centro (a,b).

Integral doble


11.- Hallar 2

Rr cos drdα α∫ ∫ en el interior de la cardioide r 1 cos= + α .

12.- Volumen del cilindroide limitado por el plano XY, el parabóloide 2 2x y z

2p 2q+ = y

el cilindro 2 2 2x y a+ = .

13.- Hallar 2 2

R(x y )dxdy+∫ ∫ en el recinto 2 2 2x y a+ ≤

14.- Calcular 3

R(x y)dxdy∫ ∫ en el recinto limitado por 0 x,0 y≤ ≤ , la circunferencia

2 2 2x y a+ = y la elipse 2 2

2 2

x y 14a a

+ = .

15.- Hallar

Rxy(x y)dxdy−∫ ∫ en el rectángulo 0 x a,0 y b≤ ≤ ≤ ≤ .

16.- En el supuesto de que la integral doble de una función positiva f, sobre una región R, se reduzca a la integral iterada:

a) 2

2

1 1 x

1 1 xf (x, y)dy dx

−

− − −

∫ ∫ ,

b) ( ) ( )1 x 2 2 x

0 0 1 0f (x, y)dy dx f (x,y)dy dx

−+∫ ∫ ∫ ∫ ,

c) senxx0 sen2

f (x, y)dy dxπ

−

∫ ∫

Representar la región R e invertir el orden de integración

17.- Hallar 2 2

R(x y )dxdy+∫ ∫ en el recinto 2xy k ,a y b≤ ≤ ≤ .

Integral doble


1.- Calcular el área representada en el gráfico mediante una integral doble.

Solución:

Puede ser: 4 4y

1/4 1A dy dx= =∫ ∫ 27

4, o bien,

2

4 1

1 x /4A dx dy= =∫ ∫

274

Integral doble


2.- Colocar los límites de integración en uno y otro orden, en la integral doble:

Rf (x,y)dxdy∫ ∫ para los recintos:

a) R es un paralelogramo cuyos vértices son A(1,2), B(2,4), C(2,7) y D(1,5). b) R es un sector circular, con centro en (0,0) y cuyo arco tiene sus extremos en los puntos (1,1) y (-1,1). Solución:

a) Obtenemos las rectas AB que es y=2x y la recta CD que es y=2x+3

R

f (x, y)dxdy∫ ∫2 3 2x

1 2xdx f (x, y)dy

+= =∫ ∫

4 y/2 5 2

2 1 4 1dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx+∫ ∫ ∫ ∫

b) Sector circular de la circunferencia x2+y2=2

Rf (x, y)dxdy∫ ∫

2 20 2 x 1 2 x

1 x 0 xdx f (x, y)dy dx f (x, y)dy

− −

− −= + =∫ ∫ ∫ ∫

2

2

1 y 2 2 y

0 y 1 2 ydy f (x, y)dx dy f (x, y)dx

−

− −+∫ ∫ ∫ ∫

Integral doble


3.- Demostrar (p) (q)(p,q)(p q)

Γ Γβ =

Γ + siendo p, q>0.

Solución: p 1 x q 1 x p 1 q 1 x y

0 0 0 0(p) (q) x e dx y e dy dx x y e dy

∞ ∞ ∞ ∞− − − − − − − −Γ Γ = = =∫ ∫ ∫ ∫ Realizamos el cambio de variable:

2 2 2 23

2 22 2

x xx r cos 2r cos 2r cos senrJ 4r s en cos

y y 2r s en 2r s en cosy r s enr

∂ ∂= α α − α α ∂ ∂α⇒ = = = α α ∂ ∂ α α α= α

∂ ∂α

2/2p 1 q 1 x y 2p 1 2q 1 2p 2q 1 r

0 0 0 0(p) (q) dx x y e dx d 4cos sen r e dr

∞ ∞ π ∞− − − − − − + − −Γ Γ = = α α α =∫ ∫ ∫ ∫ Haciendo el cambio 1/21r t dr t dt

2−= ⇒ =

/2 /22p 1 2q 1 p q 1 t 2p 1 2q 1 p q 1 t

0 0 0 0

(p q)

1(p) (q) 4 cos sen d t e dt 2 cos sen d t e dt2

π ∞ π ∞− − + − − − − + − −

Γ +

Γ Γ = α α α = α α α =∫ ∫ ∫ ∫

Y haciendo el cambio 2s en x 2sen cos d dxα = ⇒ α α α =

/2 12p 1 2q 1 p 1 q 1

0 0

(p,q)

(p) (q) (p q) cos sen d (p q) x (1 x) dx (p q) (p,q)π − − − −

β

Γ Γ = Γ + α α α = Γ + − = Γ + β∫ ∫

Luego, (p) (q)(p,q)

(p q)Γ Γ

β =Γ +

c.q.d.

Integral doble


4.- Probar que 21 x

21I e dx 12

∞ −

−∞= =

π ∫ .

Nota: 21 x

21f (x) e dx2

∞ −

−∞=

π ∫ es la función de densidad de la distribución N(0,1).

Solución: Por la simetría respecto el eje de ordenadas:

2 2 21 1 1x x x2 2 2

0 0

1 2 2I e dx e dx e dx I22 2

− − −∞ ∞ ∞

−∞

π= = ⇒ =

π π∫ ∫ ∫

Efectuando el producto 2 2 2 21 1 1x y (x y )

2 2 20 0 0 0

e dx e dy e dydx− − − +∞ ∞ ∞ ∞

=∫ ∫ ∫ ∫ Realizamos el cambio a polares:

x xx r cos cos rsenrJ ry r s en y y s en r cos

r

∂ ∂= α α − α ∂ ∂α⇒ = = == α ∂ ∂ α α

∂ ∂α

2 2 2 2 21 1 1 1x y (x y ) r2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0

0

1 2r2e dx e dy e dydx e rdr d d

2e

∞

π π− − − + −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − π

= = α = α = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Luego, 21 x

20

2e dx I I 12 2

−∞ π π= = ⇒ =∫ c.q.d.

Integral doble


5.- Hallar el área de la superficie de un cilindro interceptada por otra superficie cilíndrica igual de eje perpendicular. Solución:

Sea r el radio de los cilindros.

La superficie es: 2 2 2x z r+ = 2 2

z xx r xz 0y

∂ − =∂ −⇒ ∂ =

∂

Para calcular el área calculamos la parte en rojo que es 1/16 por simetría.

Área ( )222 2

22 2D 2 2

z z x r1 dxdy 16 1 0 dxdy 16 dxdyx y r xr x

∂ ∂ − = + + = + + = = ∂ ∂ − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

r x r

2 2 0 0 02 2 2 2

1 dy x16r dxdy 16r dx 16r dxr x r x r x

= = = =− − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 216r

Integral doble


6.- Calcular 2 2

R(4 x y )dxdy− −∫ ∫ siendo R el recinto limitado por las rectas x=0, x=1,

y=0, y=3/2. Solución:

( )3/231 3/2 1 12 2 2 2 2 2

R 0 0 0 00

y 3 9(4 x y )dxdy (4 x y )dy dx 4y x y dx 6 x dx3 2 8

− − = − − = − − = − − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

11 2 3

00

39 3 39 1x dx x x8 2 8 2

= − = − = ∫358

Integral doble


7.- Dada la integral 2 2

R(2x y 1)dxdy+ +∫ ∫ siendo R el cuadrado de vértices (1,0), (2,1),

(1,2) y (0,1). a) Calcular dicha integral. b) Efectuar el cambio de variable u=y-x, v=y+x y evaluar la nueva integral. Solución: a) 2 2

R(2x y 1)dxdy+ + =∫ ∫

( ) ( )1 x 3 x3 31 1 x 2 3 x 1 22 2 2 2 2 2

0 1 x 1 x 1 0 11 x x 1

y y(2x y 1)dy dx (2x y 1)dy dx 2x y y dx 2x y y dx3 3

+ −+ −

− −− −

= + + + + + = + + + + + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 31 2 2

0

3 32 2 2

1

1 x 1 x2x 1 x 1 x 2x 1 x 1 x dx

3 3

3 x x 12x 3 x 3 x 2x x 1 x 1 dx

3 3

+ − = + + + + − − + + − +

− − + − + + − − − + + − =

∫

∫

( ) ( )1 23 3 2

0 114x 12x dx 14x 36x 36x 40 dx= + + − + − + =∫ ∫

1 24 2 4 3 2

0 1

14 14x 6x x 12x 18x 40x4 4

= + + − + − + = 9

b) y x 1 u 1v uxu y x y 1 x v 12

v y x v u y 3 x 1 v 3y2 y x 1 u 1

= + ⇒ =− = = − = − ⇒ = ⇒ ⇒ = + + = − + ⇒ = = = − ⇒ = −

y el jacobiano x x 1 1

1u v 2 2Jy y 1 1 2u v 2 2

∂ ∂−

∂ ∂= = = −∂ ∂∂ ∂

2 2

1 32 2

R 1 1

v u v u(2x y 1)dxdy (2 1)dv J du2 2−

− + + + = + + = ∫ ∫ ∫ ∫

1 3 2 2

1 1

1 1(3v 2vu 3u 4)dv du4 2−

= − + + − = ∫ ∫

( )1 2

1

1 6u - 8u + 34 du8 −

= =∫ 9

Integral doble


8.- Invertir el orden de integración en: 3 2

1 yI dy f (x,y)dx= ∫ ∫ .

Solución: Dibujamos el recinto con los límites de integración: y=1; y=3; x=√y; x=2

23 2 3 x 2 3

1 y 1 1 3 1I dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy= = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Integral doble


9.- Calcular el volumen del cilindroide limitado por el plano XY, la superficie z=x2+y2, y los cilindros parabólicos x=y2, y=x2. Solución:

( )2 22

x1 x 1 x 1 12 2 2 3 5/2 3/2 4 6

R 0 x 0 x 0 0x

1 1 1V zdxdy dx zdy dx x y dy x y y dx x x x x dx3 3 3

= = = + = + = + − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

17/2 5/2 5 7

0

2 2 1 1x x x x7 15 5 21 = + − − =

635

Integral doble


10.- Hallar el volumen del cuerpo limitado por el plano XY, la superficie xzy

= , y

el cilindro cuya sección recta es una elipse del plano XY de semiejes a y b paralelos a los OX, y OY y centro (a,b). Solución:

( ) ( ) ( )

2 222

2 2

x a x b a1 x a b y bba b

− −+ = ⇒ = ± − −

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

222 22 2

2 22 222

aa b y ba a ba b y b a b y b2b 2b 2b 2b ba aR 0 0 0a b y b a b y b aa b y bb b

b2 22b 2b22

0 0

x 1 1V zdxdy dy dx dy xdx x dy2y y

1 a 1 2a4 b y b dy 2b ydy *2 b by

+ − −+ − − + − −

− − − − − −− − −

= = = = =

= − − = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Realizamos el cambio: 22b y t dy 2tdt

y 0 t by 2b t 0

− = ⇒ − =

= ⇒ == ⇒ =

( ) ( )2b2 2 2 2 32b 0 3

0 2b0

2a 2a 4a 1 4a 1* 2b ydy t( 2t)dt t 2bb b b 3 b 3

= − = − = = = ∫ ∫ 28 2 a b3

Integral doble


11.- Hallar 2

Rr cos drdα α∫ ∫ en el interior de la cardioide r 1 cos= + α .

Solución:

( )1 2cos32 1 2cos 2 22 2 2 3 4

R 0 0 0 00

r 1r cos drd cos d r dr cos d cos 3cos 3cos cos d3 3

+ απ + α π π

α α = α α = α α = α + α + α + α α =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 3 4

0 0 0 0

1 1cos d cos d cos d cos d (*)3 3

π π π π= α α + α α + α α + α α =∫ ∫ ∫ ∫ = 5

4π

Calculando las cuatro integrales por separado:

[ ]2 2

00cos d sen 0

π πα α = α =∫

( )2 2 2 22

0 0 0 0

1 cos 2 1cos d d d cos 2 d2 2

π π π π+ αα α = α = α + α α =∫ ∫ ∫ ∫

2

0

1 sen22 2

πα α + = π

( )2 2 23 2 2

0 0 0cos d cos cos d cos 1 sen d

π π πα α = α α α = α − α α =∫ ∫ ∫

232 2 2

0 00

sencos d cos sen d 03

ππ π α

= α α − α α α = =

∫ ∫

( )2

2 2 2 2 24 2

0 0 0 0 0

1 cos 2 1cos d d d 2cos 2 d cos 2 d2 4

π π π π π+ α α α = α = α + α α + α α = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

[ ] ( )2

2 2 22

0 0 0 00

1 1 1 cos 4 1 1 sen4 3sen2 d d cos 4 d4 4 2 2 8 2 8 4 4

ππ π ππ + α π π α π = α + α + α = + α + α α = + α + = ∫ ∫ ∫

sustituyendo en la igualdad 1 3(*) 0 03 4

π = + π+ + =

54π

Integral doble


12.- Volumen del cilindroide limitado por el plano XY, el parabóloide 2 2x y z

2p 2q+ =

y el cilindro 2 2 2x y a+ = . Solución: Por simetría calculamos la cuarta parte:

2 2 2 22 2 2 2 2 2a a x a a x

R R 0 0 0 0

x y x y x yV zdxdy dxdy 4 dx dy 2 dx dy2p 2q 2p 2q p q

− − = = + = + = + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2 23

2 2a x2 3 2a a 2 2

0 00

a xx 1 y x 12 dx y 2 a x dx (*)p 3 q p 3 q

− − = + = − + =

∫ ∫

Realizamos el cambio:

x asent dx a cos tdtx 0 t 0

x a t2

= ⇒ == ⇒ =

π= ⇒ =

( )32 2

2 3 3/2 /22 2 2 3

0 0

a (asent)(asent) 1 a a(*) 2 a (asent) a cos tdt 2 sen t cos t cos t a cos tdtp 3 q p 3q

π π −

= − + = + =

∫ ∫

( )/ 2 /24 2 2 4 4 2 2 4

0 0

/2 /2 /2 /24 2 4 4 2 4 4

0 0 0 0

1 1 1 12a sen t cos t cos t dt 2a 1 cos t cos t cos t dtp 3q p 3q

1 1 1 1 1 12a cos tdt cos tdt 2a cos tdt 2a cos tdt (**)p p 3q p p 3q

π π

π π π π

= + = − + =

= + − + = + − + =

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Calculando las integrales por separado:

( )/2 /2 /2 /22

0 0 0 0

1 cos 2t 1cos tdt dt dt cos 2tdt2 2 4

π π π π+ π= = + =∫ ∫ ∫ ∫

( )2

/2 /2 /2 /2 /24 2

0 0 0 0 0

1 cos 2t 1cos tdt dt dt 2cos 2dt cos 2tdt2 4

π π π π π+ = = + + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

[ ] ( )/2

/2 /2 /2/2

0 0 0 00

1 1 1 cos 4t 1 1 sen4t 3t sen2t dt dt cos 4tdt t4 4 2 2 8 2 8 4 8

ππ π ππ + π π π = + + = + + = + + = ∫ ∫ ∫

sustituyendo en la igualdad 4 41 1 1 3(**) 2a 2ap 4 p 3q 8

π π= + − + =

4 1 1a

4 p q π

+

Integral doble


13.- Hallar 2 2

R(x y )dxdy+∫ ∫ en el recinto 2 2 2x y a+ ≤ .

Solución:

2 22 2

RR

1px y 2I (x y )dxdy dxdy12p 2q q2

= = + = + ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫ según el ejercicio 12

4 41 1 1 1I a a4 p q 4 1/ 2 1/ 2 π π = + = + =

4a π

Integral doble


14.- Calcular 3

R(x y)dxdy∫ ∫ en el recinto limitado por 0 x,0 y≤ ≤ , la circunferencia

2 2 2x y a+ = y la elipse 2 2

2 2

x y 14a a

+ = .

Solución: 2 2

2 22 2

x y 11 y 4a x4a a 2

+ = ⇒ = −

2 2 2 2 2x y a y a x+ = ⇒ = −

3

RI (x y)dxdy= ∫ ∫

2 2 2 2

2 2

1 1a 4a x 2a 4a x3 32 21 20 a x a 0

x dx ydy x dx ydy I I− −

−= + = +∫ ∫ ∫ ∫

Por separado:

( ) ( )2 22 2

2 22 2

11 64a xa 4a x a a a3 3 2 3 2 2 2 2 5221 a x0 a x 0 0 0

1 1 1 3 aI x dx ydy x y dx x 4a x a x dx x dx2 2 4 8 16

−−

−−

= = = − − − = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2 2 2 21 1 22a 4a x 2a 2a 2a 2a4a x3 3 2 3 2 2 3 52 2

2 0a 0 a a a a

1 1 1 a 1I x dx ydy x y dx x 4a x 0 dx x dx x dx2 2 4 2 8

− − = = = − − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 6 6 62a 2a4 6

a a

a 1 1 1 15a 63a 9ax x2 4 8 6 8 48 16

= − = − =

Y ahora,

6 6

1 2a 9aI I I16 16

= + = + =65a

8

Integral doble


15.- Hallar R

xy(x y)dxdy−∫ ∫ en el rectángulo 0 x a,0 y b≤ ≤ ≤ ≤ .

Solución: a b a b2 2 2 2

R R R 0 0 0 0xy(x y)dxdy x ydxdy xy dxdy x dx ydy xdx y dy− = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

a a2 2 3 2 2 2 3

0 0

1 1 1 1x b dx x b dx a b a b2 3 6 6

= − = − =∫ ∫ ( ) 21 a b ab6

−

Integral doble


16.- En el supuesto de que la integral doble de una función positiva f, sobre una región R, se reduzca a la integral iterada:

a) 2

2

1 1 x

1 1 xf (x, y)dy dx

−

− − −

∫ ∫

b) ( ) ( )1 x 2 2 x

0 0 1 0f (x, y)dy dx f (x,y)dy dx

−+∫ ∫ ∫ ∫

c) senxx0 sen2

f (x, y)dy dxπ

−

∫ ∫

Representar la región R e invertir el orden de integración. Solución:

a) 2

2 2 2 2

2

x 1 y 1 xy 1 x x y 1 x 1 y

x 1 y 1 x

= = − ⇒ = ± − ⇒ + = ⇒ = ± − = − = − −

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 x 0 1 y 1 1 y 1 1 y

1 1 x 1 1 y 0 1 y 1 1 yI f (x, y)dy dx dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx

− − − −

− − − − − − − − − − −

= = + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b) x 1 y xy x

x 0 y 0= =

⇒ = = = ; x 2 y 2 x

y 2 x x 2 yx 1 y 0= = −

⇒ = − ⇒ = − = =

( ) ( )1 x 2 2 x 1 2 y

0 0 1 0 0 yI f (x, y)dy dx f (x, y)dy dx dy f (x, y)dx

− −= + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c) y senx

x x arcsenyxy senx 0 x 2arcseny2

= = π = ⇒ = −= = −

senx 0 1 arcseny

x0 sen 1 2arceny 0 arcseny2

I f (x, y)dy dx dy f (x, y)dy dy f (x, y)dxπ π π−

− − −

= = +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Integral doble


17.- Hallar 2 2

R(x y )dxdy+∫ ∫ en el recinto 2xy k ,a y b≤ ≤ ≤ .

Solución: 2 2xy k x k / y≤ ⇒ =

2

2 k / y 6 2b k / y b b2 2 2 2 3 2 23R a 0 a a

0

1 k k(x y )dxdy dy (x y )dx dy x y x y dy3 y3y

+ == + = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )bb6 6 2 6 2b b2 2 2 2

3 2 2 2a aa a

k 1 k 1 y k 1 1 kdy k ydy k b a3 3 2 6 2y 2y b a

= + = − + = − − + − =

∫ ∫

= ( )6 2

2 22 2

k k b a26a b

+ −

Integral doble


Definición:

Si f(x,y) es una función de dos variables definida en una región D que tenga área, se descompone D en n partes que no se solapen, D1, D2, ..., Dn y se forma la suma

n

ii 1

f (x, y)Area(D ) donde (xi,yj) es un punto de la región Di. Llamando C al área del

cuadrado más pequeño que contenga a todos los Di, el límite de aquella suma al tender C a cero es, si existe, la integral doble de la función en el recinto D y se

denotaD D

f (x, y)dD f (x, y)dxdy .

Si la región D se puede escribir D=[a,b]x[c,d] y f(x,y) es una función continua sobre el rectángulo, entonces

Volumen= b d d b

D a c c af (x, y)dxdy f (x, y)dy dx f (x, y)dx dy

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Área del paralelogramo.

Paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos entre sí.

Área b h El área del paralelogramo cuyos vértices son A a a a ( , , )1 2 3 ,

B b b b ( , , )1 2 3 , C c c c ( , , )1 2 3 y D d d d ( , , )1 2 3 , puede calcularse mediante la fórmula:

Área

AB ADb a b a

d a d a

b a b a

d a d a

b a b a

d a d a2 2 3 3

2 2 3 3

2

3 3 1 1

3 3 1 1

2

1 1 2 2

1 1 2 2

2


Área del sector circular

Sector: porción de círculo comprendida entre un arco y los dos radios que pasan por sus extremidades.

Longitud del Arco (s) r

21Área r

2

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Función beta de Euler

Sea p,q R , p,q>0. Sea 1 p 1 q 1

0(p,q) x (1 x) dx la función beta de Euler.

Esta integral es convergente y recibe el nombre de Integral Euleriana de 2ª especie.

Función gamma de Euler

Sea p R , p>0. Sea x p 1

0(p) e x dx

la función gamma de Euler. Esta integral es

convergente y recibe el nombre de Integral Euleriana de 1ª especie.


Función de densidad Una variable aleatoria con función de distribución F(x), se dice que es una variable aleatoria continua si F(x) es una función absolutamente continua (o simplemente continua) de x cuya derivada F’(x) = f(x) existe y es continua salvo, como mucho, en un número finito de puntos. La función f(x) definida, se denomina función de densidad de .

Verifica: f (x) 0 para todo x, y además f (x)dx 1


Distribución Normal. Una variable aleatoria continua se dice que tiene una distribución normal o de Laplace-

Gauss de media y desviación típica :

2

2

1 (x )

21f (x) e

2

es su función de densidad.

es la llamada “campana de Gauss”.

La función de distribución es:

2

2

1 (x )x

21F(x) P( x) e .dx

2

La esperanza matemática o media es y la varianza es 2 . Se denota N( , ).

Distribución normal típificada La media y la desviación típica son los dos parámetros de la distribución N( , ). Si queremos calcular una probabilidad determinada:

P a b e dxx

a

b( ) .

1

2

1

2

2

debemos hacer uso de las tablas, pero sólo existen tablas de la N(0,1), es decir, de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Por lo que, tendremos que realizar una transformación de la variable N( , ) a la variable N( , )0 1 que recibe el nombre de distribución normal tipificada.


Volumen del cilindro

Cilindro: cuerpo limitado por una superficie cilíndrica cerrada y dos planos que la cortan. Área lateral 2 r h

2Volumen r h


Área de una superficie de revolución

Sea la curva y=f(x) siendo f(x)>0 para todo x[a, b] y f ’ continua en [a, b], el área de la superficie de revolución engendrada al girar la curva y=f(x) alrededor del eje OX entre los valores de abscisa a y b es:

b

2

a

S 2 f x 1 f x dx

Sea la curva

x x t

y y t

donde las funciones x e y tienen derivada continua en el intervalo

[t0 ,t1]. El área de la superficie de revolución engendrada al girar, alrededor del eje OX, el arco de dicha curva entre los valores del parámetro t0 y t1 es:

1

0

t2 2

t

S 2 y t x t y t dt

Si la curva esta expresada en coordenadas polares r f , y gira alrededor de su eje polar

la superficie de revolución del arco de la curva entre los argumentos 10 y con 10

es:

1

0

2 2S 2 f sen f f d

.


Volúmenes de cuerpos de revolución

Se llama sólido de revolución al generado por la rotación de una región del plano alrededor de

un eje situado en él. Si la región está definida por y=f(x), x=a, x=b y f(x) es continua en a b, el

volumen es:

a) V f x dxa

b 2 ( ) alrededor del eje OX.

b) V x dyc

d 2 alrededor del eje OY.

c) Si la generatriz es una curva cerrada, V f x f xa

b ( ( ) ( ))1

22

2 dx .

d) Si la curva viene dada en paramétricas

)t(yy

)t(xx, V y t x t dt

t

t 2

0

1( ) '( )

e) Si la curva viene dada en coordenadas polares r f( ) , al girar alrededor del eje polar se

obtiene: V r 2

33

1

2

sen d


Elipse

La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al doble de su semieje mayor.

Sea la elipse de ecuación reducida 2 2

2 2

x y1

a b , entonces:

Excentricidad: c

e 1a

Vértices: A(a,0); A´(-a,0); B(0,b); B´(0,-b). Semieje mayor: a; semieje menor: b. Focos: F(c,0); F’(-c,0).

Directrices: 2a

xc

Ejes de simetría: x=0; y=0; eje focal o eje mayor: y=0. Centro: O(0,0) punto de intersección de los ejes de simetría. Distancia focal: d(F,F´)=2c. Parámetro focal: 2p b / a


Semiejes

En una elipse son las distancias entre los vértices dividas por dos: Semieje mayor: a Semieje menor: b


Cardioide

Es el lugar descrito por un punto fijo P de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre otra circunferencia que tiene el mismo radio. Las ecuaciones paramétricas, en coordenadas cartesianas, son:

x r (2sen t - sen2t)

y r (2 cos t - cos 2t)

En coordenadas polares: ρ=a(1+cosα)=2acos2(α/2)


Cilindroide

Conoide de Plücker es un conoide recto cuya directriz es una elipse contenida en un cilindro de revolución, la arista es la generatriz rectilínea del cilindro que pasa por un extremo del eje mayor de la elipse, y el plano director es perpendicular a la arista.


Paraboloide

Cuádrica cuyas intersecciones con planos secantes son siempre o bien parábolas o bien elipses o bien hipérbolas.

Si el eje del paraboloide es el eje z, entonces la ecuación del paraboloide elíptico es:

2 2

2 2

x y2cz

a b

y la ecuación del paraboloide hiperbólico es:

2 2

2 2

x y2cz

a b

Silla de montar


Rectángulo

Paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos y los lados contiguos desiguales.

integral doble (problemas)asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/segundo/hojas...integral doble...

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