integracao regras basicas ii 2015

7/25/2019 Integracao Regras Basicas II 2015

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7

2 Regra Geral da Potência para Integração

Se u é uma função diferenciável de x, então1

, 1.1

n

n ndu uu dx u du C n

dx n

Aplicação: Calcule as seguintes integrais indefenidas.

1) dx x x 12 2

2) dx x x x 1232

3) dx x x 23 32

4)

dx

x

x

2

221

4

5) dx x x 17 32

.



8

2.1 Onde não se aplica a Regra Geral da Potência

Calcular a integral indefinida .438 22

dx x .

Regra Geral da Potência

243 xu xdx

du8

I = .4381 22

dx x x x

x

1só é válido para constantes; portanto dx x x

xdx x

2222 4381

438 .

Resolvemos assim:

dx x xdx x xdx x 424222 12819272162498438

C x x xC x x

x 5353

5

1286472

5

128

3

19272 .

2.2 Integração por Substituição

Calcule a integral indefinida dx x 31 .



9

Exercícios – lista 2

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

1) dx x 221 4

2) dx x x 1045 2

3) dx x x 23 33

4) dx x 41

5) dx x x

72

1

6)

dx

x

x

23

2

1

7)

dx

x x

x

22 32

1

8)

dx

x x

x

34

2

2

9) dx x x3 215

10)

dx

x

x

21

4

11)

dx

x 32

3

12)

dx

x

x

4

3

1

13) dx x2

1

14) dx x x x 13 23

15) dx x x x 41423 2

16)

dx

x

x

321

6

17)

dx

x x

x

32 73

64

18) .

1 3

2

dx x

x

Respostas:

1.51

(1 2 )5

x

2.

3

2 22

(5 4)5

x C

3.

3

3 22

(3 )3

x C

4.51

( 1)5

x C

5. 2 8

1( 1)16 x C

6.3

1

3(1 )C

x

7.2

1

2( 2 3)C

x x

8.2

4 3 x x C

9.

4

2 315

(1 )8

x C

10.24 1 x C

11. 3 2 3 x C



10

12.41

12

x C

13. 2 x C

14.3 21

( 3 )6

x x C

15.2 21 (3 2 4 )

4 x x C

16.2 2

3

2(1 )C

x

17.2 2

1

( 3 7)C

x x

18.

32 1

3

x

C

3 Integrais Exponenciais e Logarítmicas

3.1 Regra Exponencial Simples:

C edxe x x

3.2 Regra Exponencial Geral:

C edxdx

due

uu

Exemplos: I ntegr ação de funções Exponenciais

1) dxe x2

2) dxe x22

3) dx xe x



10

4) dx xe x

2

5 .

3.3 Regra Logarítmica Simples:

C xdx x

ln1

3.4 Regra Logarítmica Geral:

C uduu

dxdx

du

uln

11

Exemplos: I ntegrando Funções Logarítmicas .

1) dx x

4

2) dx x

x

2

2

3)

dx x 13

3



11

Aplicando a Regra Log.

4)

dx x 12

1

5)

dx x

x

1

62

ATENÇÃO: As integrais às quais se pode aplicar a Regra Log. Costumam ser dadas em

forma disfarçada. Por exemplo, se uma função racional tem numerador de grau não inferior ao

do denominador, devemos primeiro efetuar a divisão, obtendo uma parte inteira e uma parte

fracionária. Eis um exemplo:

dx

x

xdxdx

x

xdx

x

x

x

xdx

x

x x

1

61

1

61

1

6

1

1

1

162222

2

2

2

C x x 1ln3 2 .

Exemplos: Escrevendo sob Nova Forma An tes de I ntegrar .

a)

dx x

x x

2

2123

b)

dxe

x1

1



12

c)

1

12

x

x x=

Exercícios – Lista 3

I) Use a regra exponencial para calcular a integral indefinida.

1) dxe x22

2) dxe x4

3) dxe

x25,0

4) dx xe

x2

9

5) dx xe x

25,02

6) dxe x x

325

7) dxe x

x x2

12

8) dxe x x

x x 132 23

2

9) dxe x

x x 82

43

10) dxe

x25

11)

dxe x

21

3

12) dxe x

x

2

2

1

13) dxe x

x24

1

3

1

14) dxe x

x1

15)

dxee x x 2

.

II) Use a regra log. para calcular a integral indefinida.

16)

dx x 1

1

17)

dx x23

1

18)

dx

x

x

12

19)

dx x

x

3

2

3

20)

dx

x x

x

76

32

21)

dx

x x x

x x

193

3223

2

22) dx x x ln

1

23)

dxe

e

x

x

1

24)

dxe

e

x

x

1

25)

dxe

e

x

x

2

3

26)

dxe

e

x

x

2

2

5

4

27)

dx

e

e

x

x

3

3

2



13

Respostas:

1.2 x

e C

2.21

4

xe C

3.0,254 x

e C

4.29

2

xe C

5.20,52

xe C

6.35

3

xe C

7.2

x xe C

8.3 2

3 113

x xe C

9.2 83

2

x xe C

10.25 x

e C

11.

1

26 x

e C

12.

21

2 xe C

13.

2

42 x

e C

14. 2 x

e C

15.2 21 1

22 2

x xe x e C

16. ln | 1| x C

17.1

ln | 3 2 |2

x C

18.21

ln ( 1)2

x C

19.31

ln | 3 |3

x C

20.21

ln | 6 7 |2

x x C

21.31

ln | 6 7 |3

x x C

22. ln | ln | x C

23. ln |1 | xe C

24. ln |1 | xe C

25. 3ln| 2 | x

e C

26.2

2 ln | 5 |

xe C

27.31

ln | 2 |3

xe C

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