)UA1gUNIVERSIDADE DO ALGARVE

PROVA DE INGRESSO PARA AVALIAÇÃO DE CAPACIDADE PARA FREQUÊNCL4DO ENSINO SUPERIOR DOS sLMORES DE 23 ANOS

2017/2018

Faculdade de Economia (FE)

Licenciaturas em Economia e Gestão de Empresas

Faculdade de Ciências e Tecnologia (FCT)

Engenharia Informática

Instituto Superior de Engenharia (ISE)

Licenciaturas em Engenharia Civil, Engenharia Elétrica e Eletrónica, Engenharia Mecânica eTecnologia e Segurança Alimentar

Cursos Técnico Superior Profissional de Energias Renováveis; Instalações Elétricas, Domóticae Automação; Manutenção e Reabilitação de Edifícios e Infraestruturas; Segurança e Higiene

Alimentar; Tecnologias e Manutenção Automóvel; Telecomunicações e Redes

Componente Específica de Matemática

INSTRUÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA

—‘ Os candidatos aos cursos de Economia e de Gestão de Empresas devem responder aogrupo 1V e não respondem ao grupo III. Os outros candidatos podem escolher entreos grupos III e 1V e responder só a um deles. Se apresentar respostas aos dois grupos,independentemente das cotações parciais, apenas serão cotadas as respostas às questõesdo grupo III.

— Não é permitido o uso de quaiquer tipo de equipamento eletrônico ou informático.

—* O formulário encontra-se nas páginas 9 e 10 deste enunciado.

—* As cotações das perguntas estão na página 8.

— O exame consta de perguntas abertas, fechadas e de escolha múltipla que deverão sertodas respondidas na folha de respostas.

Nas perguntas abertas deve apresentar todos os cálculos efetuados.

—* Nas perguntas fechadas deve transcrever para a folha de respostas toda a frase depois decompletada de modo a obter proposições verdadeiras.

2

—* Nas perguntas de escolha múltipla deve transcrever para a folha de respostas apenas urnadas opções A, B, C, D ou E.

— Perguntas abertas: 2; 3; 4; 5; 8; 9; 10; 13; 14; 16; 17; 18

—, Perguntas fechadas: 1; 7

— Perguntas de escolha múltipla: 6; 11; 12; 15

—* Nas perguntas de escolha múltipla, cada resposta errada desconta 25% do valor da pergunta.

— Nas perguntas abertas e fechadas não há descontos.

GRUPO 1

1. Complete com os símbolos =, <,>

1 1(a)

_

(c) (-l) x (_i)..

(d) 3-2

(e)/Eg -2

2 11(f)

2. Calcule o valor da expressão1

2+ 13+ 1

1+

3. Simplifique o mais possfvel a expressão

3 2 x 2x — 2

+3 + 6

+4 — x2

+3x2 — 12

3

4. Resolva a equaçãoxl 3g+ +4x 5i—1 1

3 — 5 — 30

5. Considere os seguintes conjuntos:

A = {x E IR: lxi .5};B = {x E IR: lxi 5 Az < 0}; C = {x E 2: ri 5}

( a) Represente o conjunto O na forma de intervalo (ou união de intervalos).

(b) Calciiie A fl O e represente o conjunto em extensão ou em compreensão.

(c) Represente A\B em compreensão.

GRUPO II

6. Considere a função real de variável real f (x) = ± 4. A função inversa da função f é:

g(x) = ln (x —4) 3

1g(x) =

g(x) =ln (U ÷

g(r) = _ex_3 _4

4

7. Considere a função f : A —> E representada graficamente por:

Complete

(a) O domínio de f é o conjunto A =

e o contradomínio é o conjunto E =

(b)f(—i)= e{xEJR:f(r)=—1}={ }(e) O mínimo de f é para o mliflmizante

(d) Sobre o seu domínio, f é uma função (injectiva / não injectiva).

(e) No intervalo j2,3[ fé uma função(não monótona /crescente / decrescente em sentido estrito/lato)

8. Sabendo que 10 e —10 são raízes do polinômio

p(x)=x4— x3—102x2±lOOx±200.

escreva uma fatorização de p.

9. Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f (x) = no ponto de abcissa 1.

10. Considere a função f(x) = — + 12x — 18. Calcifie o(s) mínimo(s) local(ais) de f.

5

11. A soma de todos os números naturais ímpares menores do que 100 é:

E 1000

Ri 22.50

2500

3500

4.500

12. O domínio da função f(x) = ln(x2±1)

E Df=IR-{0}

D—R

GRUPO III

1213. Calcule cos a sabendo que tan a = e que a pertence ao 3° quadrante.

o

6

14. Conforme a figura seguinte, um avião percorre urna trajetória retilfnea, quando descola,e forma um ângulo de 43° com o solo. Calcule a altura atingida pelo avião, em metros,depois de percorrer 1000 metros.

A1

11

—1

11

1

l000m/

/430

15. Seja O um número real. Sabendo que 8 é uma solução da equação sinx = , qual dos

seguintes números é também uma solução dessa equação?

7f+8

3O

16. A população de uma espécie de animais é modelada pela função f (x) = 1200 cos +

9000, onde f (x) representa a população no ano x. Calcule o número máximo e mínimode animais no período de 10 anos, ou seja, quando x € [0, 10]

7

GRUPO IV

17. Perguntou-se a 1000 alunos da UMg. quantas vezes vão por mês à biblioteca, para consaltar livros. Os resultados obtidos encontram-se na seguinte tabela:

N° de visitas à biblioteca N° de alunosfO,4[ 200[4,8{ 300

[8,12[ 250[12,14[ 150[14,16[ 100

(a) Construa a tabela de frequências.

(b) Em média, quantas vezes vão por mês, os alunos à biblioteca consultar livros?

(c) Construa o histogTama de frequências absolutas e o polígono de frequências absolutas.

18. Considere a experiência aleatória, que consiste num lançamento de duas moedas equilibradas e verificação das faces (Cara ou Coroa) voltadas para cima.

(a) Apresente o espaço de resultados.

(b) Determine a probabilidade de se obter faces diferentes.

(c) Determine a probabilidade de se obter pelo menos urna face “Cara”.

FIM

ol(°)sio’i(q)gjo’t(v)j

o’i(°)Lto’t(q)o’t(v)j

9t

o’to’tu2’t01

68

$‘o()L‘o()L£‘o()z$‘0(Q)L$‘0()L0’t9

20’tolo’!0’!1

sjçóvioo8

FORMULÁRIO

Derivadas

Se x é uma variável: Se f é uma função:

(x = ara_l, a e R (fa)’= af°’.f’, a € IR

(ex)’ = ex (es)’ = ef.f’

(ax)’ = aZ in a, a e IR (af)’ = a.1na.f’. a E R

(mx)’ = (lnf)’ =

(sin x)’ = cos x (sin f)’ = cos f.f’

(cos x)’ = — sin x (cos f)’ = — sin f.f’

(tanx)’ = (tanf)’ =cos-x cos-f

Regras de derivação, , 1Soma (f+g) =f +g

, 1 1Produto (f g) =fg+fg

Produto escalar (kf)’ = kf’, k E IR

Cociente= f’g—fg’

Fuição composta (f o g)’ (x) = f’ (g (x)) g’ (x)

• Para a E IR\{O}. = 1

sin x.tanx=

cosx -

• cos2 x + sin2 x = 1

• cos(x +y) = cosxcosy — sinxsiny

• cos(x—y)=cosxcosy+sinxsiny

• sin(x+y) = cosxsiny+cosysinx

• sin(x—

y) = cosysinx — cosxsiny

9

10

Alguns valores das funções trigonométricas

sin(x) cos(x) tan(x) [T sin(x) cos(x) tan(x)1 0.017452 0.999848 0.017455 16 0.71931 0.691658 1.035.53

2 0.031899 0.999391 0.031921 17 0.731351 0.681998 1.072369

r 0.052336 0.99863 0.052408 18 0.743145 0.669131 1.110613

0.069756 0.997561 0.069927 49 0.75171 0.656059 1.150368

5 0.087156 0.996195 0.087489 50 0.766014 0.632788 1.191754

O 0.104528 0.994522 0.105104 51 0.777146 0.62932 1.231897

7 0121869 0.992516 0.122785 52 0.788011 0.615661 1.279942

8 0.139173 0.990268 0.110541 53 0.798636 0.601815 1.327045

9 0.156434 0.987688 0.158384 54 0.809017 0.587785 1.376382

10 0.173648 0.981808 0.176327 55 0.819152 0.573576 1.428148

11 0.190809 0.981627 0.19438 56 0.829038 0.559193 1.482561

12 0.207912 0.978148 0.212557 57 0.838671 0.544639 1.539865

13 0.224951 0.97137 0.230868 58 0.848048 0.529919 1.600335

14 0.241922 0.970296 0.249328 59 0.857167 0.515038 1.664279

15 0.258819 0.965926 0.267949 60 0.866025 0.5 1.732051

16 0.275637 0961262 0.286745 61 087162 0.18181 1.804048

17 0.292372 0.956305 0.305731 62 0.882948 0.469172 1.880726

18 0.309017 0.951057 0.32492 63 0.891007 0.45399 1.962611

19 0.325568 0.945519 0.314328 1 64 0.898794 0.438371 2.050304

20 0.34202 0.939693 0.36397 j 65 0.906308 0.422618 2.144507

21 0.358368 0.93358 0.383864 66 0.913545 0.106737 2.246037

22 0.374607 0.927181 0.404026 67 0.920.505 0.390731 2.355852

23 0.390731 0.920505 0.421-475 68 0.927184 0.374607 ,_2.475057

21 0.406737 0.913545 0.445229 69 0.93358 0.358368 2,605089

25 0.122618 0.906308 0,466308 70 0.939693 0.34202 2.747477

26 0.438371 0.898794 0.487733 71 0.945519 0.325568 2.904211

27 0.45399 0.891007 0.509525 72 0.951057 0.309017 3.077684

28 0.469472 0.882948 0.531709 73 0.956305 0.292372 3.270853

29 0.48481 0.87462 0.554309 74 0.961262 0.275637 3.487414

30 0.5 0.866025 0.57735 75 0.965926 0.258819 3.732051

31 0.515038 0.857167 0.600861 76 0.970296 0.241922 4.010781

32 0.529919 0.848048 0.624869 77 0.97437 0.224951 4.331476

33 0.541639 0.838671 0.649408 78 0.978148 0.207912 4.70463

34 0.559193 0.829038 0.674509 79 0.981627 0.190809 5.144554

35 0.573.576 0.819152 0.700208 80 0.984808 0.173648 5.671282

36 0.587785 0.809017 0.726543 81 0.987688 0.156434 6.313752

37 0.601815 0.798636 0.753554 82 0.990268 0.139173 7.11537

38 0.615661 0.788011 0.781286 1 83 0.992546 0.121869 8.144346

39 0.62932 0.777146 0.809784 64 0.994522 0.101528 9.514364

40 0.612788 0.766044 0.8391 65 0.996195 0.087156 11.430052

41 0.6.560.59 0.75471 0.860287 86 0.997564 0.069756 14.300666

42 0.669131 0.743145 0.900404 87 0.99863 0.052336 19.081137

43 0.681998 0.731354 0,932515 88 0.999391 0.034899 28.636253

44 0.694658 0.71934 0,965689 89 0.999848 0.017452 57.289962

45 0.707107 0.707107 1 90 1 O