instru˘c~oes para a prova da 36 terceira fase - beta · 2020. 11. 27. · terceira fase - beta...

36o Olimṕıada de Matemática da UnicampInstituto de Matemática, Estat́ıstica e Computação Cient́ıficaUniversidade Estadual de Campinas

.

Instruções para a prova da 36a OMU

Terceira Fase - Beta

1. As equipes tem 4 dias para realizar a prova. Estimulamos que os membros das equipes interajam

o máximo posśıvel entre si.

2. Pedimos que, até o final da prova (dia 30 de novembro) as provas não sejam disponibilizadas em

mı́dias sociais e tampouco compartilhadas com pessoas não participantes da 36aOMU.

3. Até as 18h00 do dia 30 de novembro, as equipes deverão enviar suas provas aos professores

orientadores (por e-mail, Whatsapp ou qualquer outro meio).

4. Os professores deverão encaminhar as provas à Comissão Organizadora até as 23h59 horas de

segunda-feira 30 de novembro . Prevendo a possibilidade de ocorrência de problemas técnicos,

o sistema poderá ser reaberto, permitindo o carregamento de documentos por mais duas horas,

até as 02h00 (da madrugada) do dia 1 de dezembro.

5. Caso o professor tenha algum problema técnico para envio da prova, este deve entrar em contato

com a organização da OMU, através do canal oficial de contato

https://omu.mojohelpdesk.com/login/create_request,

até as 23h59 do dia 30 de novembro. Requisições posteriores a este horário não serão

aceitas.

6. As provas devem ser entregues manuscritas.

7. É permitido consultar sites, livros e utilizar softwares, mas todos os materiais consultados que

tenham tido alguma valia devem ser citados explicitamente nas provas.

8. É proibido consultar outras pessoas (colegas, pais, parentes amigos, professores – inclusive o

responsável pela equipe) que não sejam os próprios alunos membros da equipe. A consulta em sites

e fóruns de discussão também é considerada proibida e caso identificada levará a desclassificação

da equipe.

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https://omu.mojohelpdesk.com/login/create_request


Sobre a questão envolvendo Geogebra

A Questão 4, item (a), demanda realizar uma atividade utilizando o Geogebra. Para entregar esta

atividade, você deverá realizar duas ações:

1. Para obter o arquivo PDF com a imagem feita, clique em “Baixar como” e em seguida em “Docu-

mento PDF”, conforme ilustrado na imagem 1. Com isto você obterá um documento em formato

PDF. Este documento deverá ser enviado ao professor, mas não fará parte do caderno de

respostas.

Figura 1: Como obter uma imagem em PDF

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2. Para obter o arquivo HTML, clique em “Baixar como” e em seguida em “Planilha Dinâmica como

Página WEB.html”, conforme ilustrado na imagem 2.

Figura 2: Como obter uma planilha dinâmica como página Web

Você obterá um documento que pode ser aberto em qualquer navegador. Você deverá enviar

este arquivo em separado para o sue professor, junto com o resto da prova.

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Sobre o formato dos cadernos de respostas

Cada equipe deverá preparar 5 (cinco) cadernos de respostas, um para cada uma das questões.

Os cadernos serão feitos do seguinte modo:

1. Cada caderno de resposta terá 4 (quatro) folhas, apenas frente (uma a mais que na 2a fase),

onde deverá escrever a redação final de cada uma das cinco perguntas. Serão quatro páginas para

cada uma das cinco questões.

2. A versão final da prova deve ser escrita com caneta preta ou azul (não lápis).

3. No alto de cada folha deverão ser anotados, do lado esquerdo, o nome da equipe e o nome do

professor(a). Do lado direito devem ser anotado o número da questão (Q1 a Q5) e o número da

página dentro da questão (1/4, 2/4, 3/4 e 4/4). Veja exemplo na Figura 3.

Figura 3: Modelo das 4 folhas do caderno de respostas da Q1.

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4. Todas as 4 páginas deverão ser entregues ao professor, mesmo que algumas delas estejam em

branco.

5. Digitalize as páginas na ordem correta.

6. Para entregar a prova ao professor, você deve digitalizar os 5 cadernos de respostas em 5 arquivos

diferentes e enviar, em separado ao professor. Se alguma pergunta não for resolvida, mesmo assim

envie o caderno em branco, apenas com o cabeçalho preenchido.

7. Além destes 5 arquivos, você deverá enviar ao professor o arquivo em formato html da atividade

feita no Geogebra.

8. Os arquivos devem ser escaneados exclusivamente em formato PDF.

9. Utilize algum aplicativo gratuito para escanear as páginas com o seu celular. Veja uma lista

de aplicativos dispońıveis aqui: https://olhardigital.com.br/dicas_e_tutoriais/noticia/

os-5-melhores-apps-para-escanear-documentos-com-o-celular/106625

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https://olhardigital.com.br/dicas_e_tutoriais/noticia/os-5-melhores-apps-para-escanear-documentos-com-o-celular/106625https://olhardigital.com.br/dicas_e_tutoriais/noticia/os-5-melhores-apps-para-escanear-documentos-com-o-celular/106625


Terceira Fase - Nı́vel Beta 2020

Questão 1 (20 pontos) Dados 7 pontos distintos no intervalo [1, 27] prove que existem 3 deles, a, b e

c, tais que1

81<

abc

(a+ b+ c)3< 1.

Questão 2 (20 pontos) Mariana pede que seu amigo Felipe escolha um número entre 2020 e 2120

e que escreva os divisores deste número em pedaços de papel e coloque-os divididos em duas pilhas

iguais. Sobrou um papel e Felipe disse à Mariana que o número escrito no papel era par. Qual é a

probabilidade da Mariana adivinhar o número que está escrito no papel?

Questão 3 (20 pontos) Definimos Nk como sendo o número Nk = 2 0 . . . 0︸︷︷︸k zeros

3, de modo que N0 = 23,

N1 = 203, N2 = 2003 e assim sucessivamente. Os números desta forma são chamados de números

obsoletos.

(a) Mostre que 2, 3, 5 e 11 não são divisores de qualquer número obsoleto.

(b) Mostre que 23 é um divisor de Nk, para k ≥ 1, se e somente se 22 divide k.

(c) Mostre que um número obsoleto nunca é o quadrado de um número inteiro.

(d) Mostre que dois números obsoletos consecutivos são co-primos, ou seja, não possuem fator primo

em comum.

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Questão 4 (20 pontos) Na figura abaixo, os ćırculos C1 e C2 possuem diâmetro 1 e são tangentes

entre si. Sabe-se que os ćırculos tracejados são congruentes e que eles são tangentes a todos os outros

ćıcurlos que aparecem na figura. Sabe-se ainda que todos os pontos de interseção na figura são pontos

de tangência.

(a) Utilizando o Geogebra, verifique se a configuração acima é posśıvel e se é única.

Instruções: Comece construindo os dois pequenos ćırculos com o ponto de tangência na origem

do plano cartesiano. Depois construa os outros 5 ćırculos de forma a satisfazer as condições dadas

no enunciado da questão. Após finalizada a construção salve o arquivo nas extensões pdf e html.

Siga as instruções, conforme apresentados na seção Sobre a questão envolvendo Geogebra.

(b) Prove que a configuração existe e é única e que o raio dos ćırculos que estão à direita e à esquerda

dos ćırculos pequenos centrais é igual a razão áurea φ = 1+√5

2. Calcule o raio de todas as

circunferências da figura.

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Questão 5 (20 pontos) Considere um poĺıgono Pn com n + 2 lados. Não é relevante que este sejaconvexo, mas você pode imaginar que ele seja convexo, conforme aparece na ilustração, um poĺıgono

com n+ 2 = 6 lados.

Uma triangularização do poĺıgono consiste na divisão de Pn em n triângulos, acrescentando n− 1diagonais que não se interceptam. Na figura abaixo vemos 4 triangulações distintas de um hexágono.

Figura 4: Algumas triangulações de um hexágono

Uma genealogia de clonagem binária é uma situação em que partimos de uma única célula e

desta célula podem ser feitos dois clones. As células descendentes também podem gerar dois clones

cada. Observamos que os clones podem ou não sobreviver e neste caso, não terão descendentes. Cada

uma das células pode ser estéril e pode não gerar descendentes. Representamos esta genealogia na forma

de um diagrama na qual a célula original é colocada como um ponto e, abaixo deste, representamos o

primeiro descendente a direita e o segundo a esquerda, sendo que clones que não sobreviveram não são

representados. Diagramas para genealogias com duas, três e quatro células são representados na figura

abaixo.

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Figura 5: Todos os diagramas com 2 ou 3 células, alguns diagramas com 4 células

a) Determine o número pn de triangulações de Pn, para n = 2, 3 e 4 (lembrando que Pn tem n + 2lados). Ilustre todas as triangulações de poĺıgonos com 2, 3 e 4 lados.

b) Determine o número dn de diagramas de genealogia com n células para n = 2, 3 e 4. Ilustre todas

as genealogias com 2, 3 e 4 células.

c) Mostre como, fixando uma aresta de Pn, a partir de uma triangularização podemos construir umdiagrama de genealogia. Conclua que pn = dn para todo n.

d) Vocês conseguem fazer uma conjectura sobre quanto vale dn (e por consequência também pn)?

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