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INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES SECRETARIA DA INDÚSTRIA, COMÉRCIO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
AUTARQUIA ASSOCIADA A UNIVERSIDADE DE SAO PAULO
ESTUDO DE CÓDIGOS DE ANÁLISES DE REATORES DISPONÍVEIS NO IPEN E SUAS APLICAÇÕES EM PROBLEMAS DE DIFUSAO DE NEUTRON
EM MULTIGRUPO
ARLINDO GILSON MENDONÇA
Dissertação apresentada ao Institiito de Pesquisas Energóticas e Nucleares como parte dos requisitos para obtenção do grau de "Mestre Área de Reatores Nucleares de Potência e Tecnologia do CombusUvel Nuclear^.
Orientador. Dr. Yi^l Ishiguro
2.4:
São Paulo 1980
INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES
SECRETARIA DA INDÚSTRIA, COMÉRCIO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESTUDO DE CÓDIGOS DE ANÁLISES DE REATORES DISPONÍVEIS NO IPEN
E SUAS APLICAÇÕES EM PROBLEMAS DE DIFUSAO
DE NEUTRON EM MULTIGRUPO
Arlindo Gilson Mendonça
Dissertação apresentada ao instituto de
Pesquisas Energéticas e Nucleares como
parte dos requisitos para obtenção do grau
de "Mestre — Area de Reatores Nucleares de
Potência e Tecnologia do Combustível Nuclear"
Orientador: Dr. Yuji Ishiguro
SAO PAULO
1980
I N S T I T U : 0 L - C P E S O U S A S E ^NiER : - .E" i I
i. P . C . N .
•••n. e N U C L E A R E S
Aos meus pais
Arlindo T. Mendonça e
Maria S. Mendonça
Desejo aqui expressar a minha gratidão a todas as pes
soas que direta ou indiretamente contribuíram para a
execução deste trabalho. Em particular quero agrade
cer ao Prof. Dr. Yuji Ishiguro pela orientação deste
trabalho; aos colegas do Centro de Engenharia Nuclear
pelo apoio prestado; ao pessoal do Centro de Processa
mento de Dados pelo auxílio no trabalho computacional
particularmente Antonio Gouvêa e Edna M. Lourençao.
STUDY OF REACTOR ANALYSIS CODES AVAILABLE AT IPEN AND THEIR
APLICATION TO PROBLEMS TTiJVDTiTffil THE DIFFUSION-THEORY.
ABSTRACT
Two computer codes that are available at IPEN for analyses of static neutron diffusion problems are studied and applied. The CITATION code is aimed at analyses of criticality, fuel burnup, flux and power distributions etc, in one, two, and three spatial dimensions in multi group.
The EXTERMINATOR code can.be used for the same pur poses as for CITATION with a limitation to one or two spa tial dimensions. Basic theories and numerical tchniques u sed in the codes are studied and summarized. Benchmark pro blems have been solved using the codes. Comparisons of the results show that both codes can be used with confidence in the analyses of nuclear reactor problems.
ESTUDO DE CÕDIGOS DE ANÁLISES DE REATORES DISPONÍVEIS NO
IPEN E SUAS APLICAÇÕES EM PROBLEMAS DE DIFUSÃO DE NEUTRON
EM MULTIGRUPO.
RESUMO
Para analisar problemas de difusão de neutron¿ in
dependentes do tempo em reatores nucleares, dois códigos
de computador disponíveis no IPEN foram estudados e apli
cados. O código CITATION destina-se ã análise de criticali
dade de um "core", análises de queima de combustível, aná
lises global da distribuição de fluxo e potência em um
"core", etc, em uma, duas e até três dimensões espaciais e
em multigrupo.
O código EXTERMINATOR-2 pode ser usado para os mes
mos objetivos descritos pelo código CITATION, com uma limi
tação na dimensão espacial pois, o mesmo trata problemas
em uma e duas dimensões somente. As técnicas numéricas e
teorias básicas usadas nos códigos de computador são estu
dadas e sumarizadas. Problemas padrões são aqui resolvidos
e as soluções obtidas comparadas com ãs publicadas mostram
que podemos utilizar ambos os cõdigos em análises de pro
blemas de reatores nucleares com grande confiança.
Í N D I C E
CAPITULO I
1. - INTRODUÇÃO 1
1.1 - Reator de Potência Nuclear 1
1.2 - O Sistema de Suprimento de Vapor Nuclear 1
1.3 - O "Core" de Reator Nuclear 1
1.4 - Energia dos Neutrons 6
1.5 - Secçoes de Choque 6
1.6 - Reatividade 8
1.7 - Projetos de Reatores Nucleares 8
1.8 - Classificação dos Códigos 9
1.9 - Objetivos do Trabalho 11
1.10 - Problema Computacional Padrão 12
1.11 - Definição de um Problema Computacional Padrão . 13
CAPITULO II
2. - CÕDIGOS UTILIZADOS 15
2.1 - Exterminator-2 15
2.2 - Citation 17
CAPÍTULO III
3. - EQUAÇÃO DE DIFUSÃO 19
3.1 - Teoria de um Grupo de Energia 19
3.2 - Modelo de Dois Grupos de Energia 21
3.3 - Método de Multigrupo 24
CAPÍTULO IV
4. - MÉTODOS NUMÉRICOS 37
4.1 - Métodos Numéricos para Solução da Equação de
Difusão de Neutrons 37
4.2 - Derivação das Equações de Diferenças para
Problemas de Difusão de uma Dimensão 40
4.3 - Derivação das Equações de Diferença Multi-
Dimensão 51
4.4 - Pesquisas Numéricas da Criticalidade 64
4.5 - Solução Numérica das Equações de Difusão
Multigrupo 70
CAPITULO V
5. - APLICAÇÃO DOS CÕDIGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLE
MAS PADRÕES 79
5.1 - Problema Padrão de Identificação-3 79
5.2 - Resultados e Comentários para o Problema
Padrão de Identificação-3 82
5.3 - Problema Padrão de Identificação-13 84
5.4 - Resultados e Comentários para o Problema
Padrão de Identificação-13 88
5.5 - Problema Padrão de Identificação-11 95
5.6 - Resultados e Comentários para o Problema Pa
drão de Identificação-11.Al (Três dimensões).. 106
5.7 - Resultados e Comentários para o Problema Pa
drão de Identificação-11.A2 (Duas dimensões).. 108
CAPÍTULO VI
6. - Conclusões e Sugestões ... 113
APÊNDICE A - Equações de Difusão de Grupos de
Energia Discreto 114
APÊNDICE B - Fonte Fixa 117
APÊNDICE C - Cálculos de Secçoes de Choque Macroscó
pica e Taxa de Reação 122
APÊNDICE D - Problema Fluxo Adjunto 125
APÊNDICE E - Secçoes de Choque de Grupo Super Amplo . 134
APÊNDICE F - Cartões de Controle para Operação dos códigos 137
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 139
I I N S I I T U T^^7;r¡^:^^^^^rI^ÉT,C>SE N U C L E A R E S
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
1.1 Reator de Potência Nuclear
A principal função de qualquer reator de potência nu
clear é gerar calor ã taxa de demanda. Todos os reatores de
ootência atualmente operam em um ciclo de vapor ( conhecido
como ciclo-Rankine), no qual o calor gerado pela fissão nu
clear é usado para converter água a alta pressão em vapor ã
alta temperatura. Este vapor é então expandido contra as pa
lhetas de uma turbina. Desta maneira a energia latente do va
por é convertida em trabalho mecânico de movimento do eixo
da turbina. Este eixo é então conectado a um gerador elétri
CO que converte a energia mecânica da turbina em energia ele
trica que pode então ser distribuida a uma rede de potência
elétrica.
1.2 O Sistema de Suprimento de Vapor Nuclear
O sistema de suprimento de vapor nuclear consiste essen
cialmente de três componentes principais a saber:
1. Um reator nuclear que produz a energia de calor da
fissão.
2. vários "loops" de refrigerante primário e bombas
de refrigerante primário que executam a circulação
do mesmo através do reator nuclear para extrair a
energia de calor da fissão.
3. Trocadores de calor ou geradores de vapor que usam
o refrigerante primário aquecido tornando a água
de alimentação em vapor.
1.3 O "Core" de Reator Nuclear
O centro do sistema de suprimento de vapor nuclear é o
reator nuclear. Um reator de potência moderno é um sistema e
normemente complicado projetado para operar sob as mais seve
ras condições de temperatura, pressão e intensa radiação.
para introduzir os componentes gerais de um reator de
potência típico, consideraremos, um exemplo específico de um
- 2 -
P.W.R. (Pressurized Water Reactor) moderno como apresentado
na Figura (l-S-l)-^. O reator consiste de um "core" contendo
o combustível, canais refrigerantes, componentes estruturais,
elementos de controle e sistemas de instrumentação. Neste e
xemplo o "core" possui uma forma cilíndrica de groseiramente
350 cm de diâmetro por 370 cm de altura, contituído de lon
gas montagens de combustível ou "bundles". Essas montagens
consiste de um grande número de longas e estreitas barras de
combustível ou elementos combustível, que são tubos metáli
COS contendo o combustível nuclear na forma de pastilhas ce
ramicas.
No "core" do reator é o local onde as reações de fis
são nuclear são induzidas e mantidas e onde produz-se o ca
lor desejado. O "core" é envolvido em um grande vaso conheci^
do como vaso de pressão do reator projetado para resistir a
enormes pressão do refrigerante (até cerca de 155 bar) bem
como de isolar o "core" do reator de todo o restante do Sis
tema de Suprimento de Vapor.
O "core" do reator é do tipo multi-região. As monta
gens de combustível de maior enriquecimento são colocadas na
periferia do "core", aquelas com enriquecimento menor são
misturadas na região central do "core" de modo que possamos
ter uma distribuição de notência mais uniforme.
4íi
Figura (1.3.1)
Reator Hp Potência
P.W.R. .
-3-
1.3.1 Pastilhas Combustível
As pastilhas combustíveis podem ser tanto de m¿L
terial físsil tal como U^^^, u ^ ^ ^ , Pu^^^ ou Pu^"^^ ou Mate
rial fissionável como Th^^^, U^^® ou ainda Pu^^°.
A maioria dos reatores de potência modernos uti
lizam estes combustíveis em uma forma cerâmica como um oxido
no caso do UO2 ou como um carbeto tal como o UC ou um nitra
to UN.
1.3.2 Elemento Combustível ou Barra Combustível
Ê a menor unidade selada do combustível. Em um
P.W.R. ou L.M.F.B.R. (Liquid Metal Fast Breeder Reactor) o e
lemento combustível é um tubo de metal contendo as pastilhas
cerâmicas do combustível (tal como UO2)/ conforme Figura
(1.3.2.1.). Na tabela (1.3.2.1) são dados alguns parâmetros
referentes à barra combustível.
Tampa
PARÂMETROS
REFERENTE Ã BARRA COMBUSTÍVEL
Figura (1.5.2.1)
Elemento Combustível
cm
ALTURA ~ 370,00
DIÂMETRO EXTERNO = 1,072
DIÂMETRO INTERNO = 1,010
ESPESSURA DO ENCAIIIZAMENTO ^ 0,061
DIÂMETRO DAS PASTILHAS
= 0,929
Tabela-(1.3.2.1)
-4-
Guia para barra de controle
Barra
combustível
Fiaura (1.3.3.1)
Montagem combustível de um P.W.R,
IVS? ITU • i j D E P E S Q U ' S A S E^MERSÉTICAS E N U C L E A R E S |
1.3.3 Montagem Combustível ou "Bundle"
"Bundle" é a menor unidade combinando elementos
combustíveis ou barras em uma montagem. Em um P.W.R. o " bun
die" é composto de várias centenas de barras combustíveis man
tidas juntas desde a extreminada inferior até superior atra
vés de grades com molas ao longo de toda a barra combustí^
vel, conforme figura-(1.3.3.1). "Bundles" são usualmente car
regados para dentro de um "core" do reator, ou substituido
iam de cada vez. Um "core" de reator de potência típico con
tem cerca de centenas de tais "bundles".
-5-
1.3.4 Moderador
Material de baixo número de massa que é inseri
do no reator para moderar neutrons via colisões de espalha
mentos. Moderadores típicos são: água leve, água pesada, gra
fite.
1.3.5 Refrigerante, Canal Refrigerante e Elementos de
Controle.
Fluido que circula através do reator removendo
o calor da fissão. O refrigerante pode ser tanto líquido,tal
como água nos casos dos P.W.R e B.W.R. e o sódio nos
L.M.F.B.R. ou os refrigerantes gasosos como o hélio e o dio
xido de carbono nos H.T.G.R. (High-Temperature Gas Reactors).
O refrigerante circula através do "core" do rea
tor em tubos que são normalmente conhecidos como canais re
frigerantes existentes no "bundle". Estes canais nos P.W.R.
e B.W.R. são similares ãs barras de elemento combustível.
Os elementos de controle de reatores são mate
riais absorvedores de neutron os quais são introduzidos no
"core" do reator para controlar a taxa de fissões. Normalmen
te são considerados ou conhecidos como barras móveis de mate
rial absorvedor, porém estes elementos podem também consis
tir de absorvedores fixos ou ainda absorvedores dissolvidos
no refrigerante. Materiais absorvedores comumente utilizados
em reatores são: o boro, cádmio, gadolinio e o háfnio.
1.3.6 Estrutura
A geometria e integridade do "core" de um reator
é mantida por elementos estruturais tais como chapas, supor
tes, grades espaçadoras ou ainda tubos metálicos usados para
encamizamento do elemento combustível como os existentes nos
P.W.R. e B.W.R.
1.3.7 Refletor
Material caracterizado por uma baixa secção de
choque de absorção usado para envolver o "core" com a finali
dade de refletir ou espalhar os neutrons de volta para o "co
re".
-6-
1.3.8 Blindagem
Um reator nuclear i uma fonte intensa de radia
ção, pois além dos neutrons estão presentes também outras ra
diações como a radiação gama. Não somente o pessoal de opera
ção do reator mas também os componentes do reator devem ser
protegidos desta radiação. Devido a estes fatos materiais a
tenuadores são utilizados em reatores com a finalidade de
trazer estes níveis de radiação àqueles estabelecidos por or
gaos governamentais. Estes materiais atenuadores são comumen
te conhecidos como blindagem e exerce um papel fundamental
no reator pelo menos no que se refere a segurança com rela
ção ã radiação.
1.4 Energia dos Neutrons
Um dos mais importante produto de fissão são os neu
trons que são emitidos no processo. Eles são emitidos com
uma distribuição contínua de energia . Os neutrons de fissão
são razoavelmente energéticos, tendo em média energia ao re
dor de 2 MeV (Mega elétron volts). Antes que estes neutrons
induzam fissões adicionais para manter uma reação em cadeia
suas energias são reduzidas, normalmente por várias ordens
de magnitude como resultado de colisões elásticas e inelásti
cas com núcleos no sistema. Em reatores térmicos, esses neu
trons moderam-se ã energias térmicas (0.0253 eV), antes de
induzir mais fissões, em reatores rápidos somente ã cerca de
100 KeV.
1.5 Secçoes de Choque
A secção de choque â neutrons para qualquer núcleo é
dependente da energia do neutron que esta reagindo com o nú
cleo. Para núcleos pesados as secçoes de choque de espalha
mento se tornam mais eficiente do que para os núcleos leves
na moderação de neutrons ã altas energias. De uma maneira ge
ral as secçoes de absorção podem ser divididas em três re
giões a saber:
1. Região l/V
2. Região de ressonância
3. Região de neutron rápido
- 7 -
Região l/V
Na faixa de baixa energia, as secçoes de choque de
absorção são inversamente proporcional â raiz quadrada da
energia do neutron.
Esta relação é conhecida como lei 1/V. Isto reflete o
fato de que secçoes de choque de absorção são inversamente
proporcional ã velocidade do neutron, devido a este fato o
nome de Região 1/V. '
Região de Ressonância
Seguindo â Região 1/V, a maioria dos absorvedores de
neutron exibe um ou mais picos na secção de choque de absor
ção e estes picos ocorrem ã energia definidas do neutron. Es
tes picos recebem o nome de picos de ressonância. Para nú
cieos pesados esses picos ocorrem geralmente em níveis de
baixa energia (da ordem de Elétron Volts) e consequentemente
afetam os neutrons lentos (térmicos). De um modo geral o
U^-^^ e o U^^^ apresentam muitos picos de ressonância,o U^-^^
possui secçoes de choque de absorção de ressonância muito al
tas, com o pico mais elevado atingindo cerca de 4000 barns (
barn é a unidade de secção de choque),ocorrendo, a uma ener
gia do neutron de aproximadamente 7 elétron volts. Este fato
deve ser levado em conta no projeto de reatores térmicos nos
quais grandes quantidades de u estão presentes, pois nes
tes reatores o responsável pelas fissões é o U^^^ e a absor
ção no U^-^^ prejudica o desempenho do reator."^"^
Região de Neutron Rápido
Seguindo a Região de Ressonância, as secçoes de choque
geralmente sofrem um decréscimo gradual e constante com as e
nergias âo neutron. A energias muito altas a soma das sec
ções de choque de absorção e espalhamento inelastico tornam-
se da mesma ordem de magnitude das secçoes de choque de espa
lhamento elástico, tendo cada uma destas secçoes de choque um
valor próximo ã área transversal do núcleo alvo.
Na faixa de energia do neutron muito alta, portanto,as
secçoes de choque de absorção,espalhamento inelastico e espa
lhamento elástico são muito pequenas, geralmente menores do
que 5 barns cada uma isto para os núcleos maiores. •'••
-8-
1.6 Reatividade
Reatores nucleares devem ser carregados inicialmente
com uma quantidade de combustível significativamente maior
do que àquela exigida para atingir à criticalidade,uma vez
que o fator de multiplicação do "core" mudará durante a ope
ração devido aos processos tais como, queima de combustível
e produção dos produtos de fissão. Suficiente reatividade
de excesso deve também ser fornecida aos reatores para com
pensar os efeitos de reatividade negativa de realimentação,
tais como aquelas representadas pela potência e temperatura.
A carga de combustível ou o enriquecimento será determinado
pela suficiente reatividade de excesso no "core" que permi
te operação à plena potência por um determinado período de
tempo.
Para compensar esta reatividade de excesso, é necessâ
rio introduzir uma quantidade de reatividade negativa den
tro do "core" a qual pode ser ajustada ou controlada. Esta
reatividade de controle pode ser usada tanto para compensar
a reatividade de excesso necessária para operação do "core"
por um longo tempo e também, para ajustar o nivel de poten
cia do reator afim de levar à potência do "core" à níveis
de demanda. A reatividade de controle esta frequentemente
presente em forma de fortes absorvedores de neutron, que pq
dem ser inseridos ou retirado do "core".
1.7 Projeto de Reatores Nucleares
Como foi visto nas secções anteriores, um reator de
potência atual é um sistema complicado para ser entendido ,
o qual exige uma análise detalhada do comportamento do neu
tron no espaço, energia e tempo.
O projeto de um reator, deve assegurar não somente sua
operabilidade em estado estacionário, mas também sua estabi
lidade sob mudanças de estado previstas e hipotéticas.
Uma usina de potência nuclear deve competir econômica
mente com outros meios de geração de eletricidade tais como
usinas de combustíveis fósseis e conversão de eletricida
de solar. O custo da eletricidade não incluem somente cus
tos da construção inicial e do combustível, mas também cus
tos de operação, recarga de combustível e manutenção.
-9-
i \ : ; I T U . C L . E P t S Q U S A S E ' \ C R 1 É"^iC = 3 E N U C L E A R E S
üma mudança em uma parte de um sistema integro tal co
mo uma usina de potência nuclear pode afetar todas as outras
partes do sistema, e a otimização de uma usina com respeito
a um aspecto em particular, por exemplo eficiência térmica
pode afetar outros aspectos tais como a estabilidade do sis
tema. Assim, o projeto e análises de uma usina de potência
nuclear é um processo iterativo para uma completa otimização.
A complexidade e o tamanho de uma usina de potência nu
clear necessita o uso de análises numéricas baseadas nos com
putadores digitais de alta velocidade. De fato, os comple
xos, projetos de reatores nucleares atualmente tornaram - se
possíveis somente com o desenvolvimento de computadores digi
tais rápidos. O essencial elo de ligação entre o reator nu
clear e o computador é o código de computador.
Uma usina de potência ou uma parte dela é modelada em
expressões matemáticas que podem ser tratadas numericamente
pelo computador, tal que, com um conjunto de instruções e da
dos físicos, o estado do sistema em consideração pode ser
analisado e descrito numericamente.
Análises de um dado reator ou uma parte dele pode exi^
gir vários passos de cálculos numéricos; desde análises mi
croscópicas de uma barra combustível ã uma análise global da
distribuição de potência no "core" todo, ã análises de criti
calidade de um "core", ã análises de queima de combustível a
través de toda a vida útil de uma usina, ã análises de esta
bilidade e desempenho de uma usina completa.
Numerosos códigos de computador tem sido desenvolvidos
no decorrer dos anos, cada qual dirigido ã um passo particu
lar no processo de análises descrito acima.
Cada código é baseado em um modelo matemático do siste
ma em consideração e em um método particular de solução. A
verificação do código contra experimentos e mesmo a compara
ção com outros códigos para o mesmo problema são, assim, uma
parte integrante da análises de reatores.
1.8 Classificação dos Códigos
A maioria dos códigos de projetos de reatores são ba
seados nas simplificações das equações gerais de transporte
de partícula. Os códigos de projetos podem ser divididos em
-10-
três grandes categorias de acordo com a variável de maior in
teresse como se segue:
1. códigos de Secção de Choque Multigrupo
2. Códigos de Projetos Estáticos
3. códigos Dependentes do Tempo.
Códigos de Secção de Choque Multigrupo
A faixa de energia de interesse nos problemas de proje
tos de reatores é muito grande. No sentido de simplificar os
cálculos esta faixa é dividida em intervalos, e uma avalia
ção das secçoes de choque sobre estes intervalos são utiliza
dos para aproximar o efeito real da dependência da energia
sobre âs secçoes de choque.
De modo geral esta divisão da faixa de energia ê efe
tuada em um número relativamente grande de intervalos ditos
refinados. Dados nucleares básicos são coletados, avaliados
e estimados sobre estes intervalos para aperfeiçoar as cons
tantes de grupo ou intervalos. Estes dados são conhecidos co
mo dados microscópicos e são preparados para cada nuclídeo e
podem ser utilizados em muitos problemas de projeto.
códigos de Projetos Estáticos
Este ^rupo de códigos, são os que se utilizam das sec
ções de choque de grupo geradas pelos códigos de secçoes de
choque para resolver problemas de projetos estáticos. Estes
códigos são usados para obter respostas precisas e detalha
das para os problemas físicos de projeto de reatores. Os có
digos de teoria de difusão de neutron possibilitam a obten
ção de constante de multiplicação ou autovalor de sistemas,
bem como distribuição do fluxo de neutron em cada grupo de
energia e também espacialmente, efeitos da disposição do com
bustível , análise da teoria de pertubação, etc.
Também são classificados como códigos estáticos os có
digos destinados a obtenção de coeficientes de temperaturas
baseado na teoria de difusão, bem como o código de Monte Car
lo. (código que se utiliza de métodos estatísticos para sele
clonar eventos que podem acontecer ao neutron).
-11-
Cõdigos Dependentes do Tempo
Esta classe de códigos, são os que consideram o tempo
como a variável de maior importância. Estes códigos represen
tam os métodos disponíveis para estudar a economia do ciclo
de combustível e predizer o comportamento de transientes do
sistema.
Os códigos de queima no m.odelo pontual (dimensão zero)
e no modelo unidimensional acompanham as variações dos inven
tários do combustível, materiais férteis, venenos queimáveis
e dos produtos da fissão durante toda a vida de operação de
um reator. Muitos ciclos de combustível tem sido analisado u
sando os códigos de depleção. Devido ao número de variáveis
envolvidas, tais como, densidade de potência, taxa de recar
ga, ainda que o problema de depleção seja o mais simples, po
de requerer soluções em vários pontos no tempo e posição. Um
aspecto importante do problema de depleção do combustível é
o de encontrar um arranjo de combustível e material fértil
que mantenha um perfil estável da densidade de potência espe
cificada, durante o tempo necessário.
Outro tipo de problema também relacionado ao problema
de depleção é o da análise econômica do ciclo de combustível.
O valor do material físsil, custos de fabricação, custos de
reprocessamento, os custos de financiamento, e vários meto
dos de estimativas, são alguns dos fatores que são considera
dos pelos códigos econômicos.
Um outro conjunto de códigos que consideram o tempo co
mo variável, são aqueles que resolvem as equações cinéticas.
A escala de tempo envolvida, é muito diferente da dos côdi
gos de depleção, sendo medidas em milisegundos até minutos e
horas do que os dias e até anos envolvidos na depleção. Aná
lises da resposta do transiente do reator sob todos os tipos
de condições normais e acidentes postulados é da maior im
portância para todo reator.
1.9 Objetivos do Trabalho
A razão deste trabalho é a de operar uma classe de có
digos do segundo grupo que acabamos de definir, destinados ã
solução de equações de difusão de neutrons independente do
-12-
tempo, multigrupo na análise de reatores.
Podemos agora então sintetizar as áreas de atuação de
nosso trabalho a saber:
1. Implantação, estudo e aplicação de códigos destina
dos ã solução da equação de difusão de neutrons multigrupo ,
multiregião independente do tempo.
2. Estudo de teorias usadas em cálculos de reatores.
3. Uso dos códigos na solução de Problemas Padrões de
finidos e publicados pela "American Nuclear Society".
4. Análise e comparação dos resultados obtidos com so
luções analíticas ou com resultados publicados dos Problemas
Padrões pela "American Nuclear Society".
Neste trabalho, estudaremos dois códigos disponíveis
no"IPEN" os quais resolvem equações de difusão de neutron mui
tigrupo. São eles o C I T A T I O N e o EXTERMINATOR-2.^
1.10 Problema Computacional Padrão
Desde o começo de sua implantação, em meados de 1960 ,
que o Comitê de Problemas Computacionais Padrões da Divisão
de Matemática e Computação da Sociedade Nuclear Americana
(CBPC), empenhou-se no desenvolvimento de problemas computa
clonals padrões, que seriam de valor para a indústria nu
clear.
O objetivo principal do CBPC é proporcionar soluções
precisas aos problemas computacionais matematicamente bem de
finidos relacionados â indústria nuclear. As soluções podem
ser analíticas ou muito precisamente aproximadas, e a expec
tativa é de que estes problemas e soluções mostram-se:
- ser úteis no desenvolvimento e avaliação das têcni
cas de soluções numéricas;
-auxiliar na avaliação e verificação dos códigos de com
putador;
- facilitar na comparação de códigos de computadores e
computadores específicos.
-13-
Problemas e soluções que são aceitos pelo CBPC como pa
drões são publicados no "Benchmark Problem Comitee, Argonne
Code Center, Benchmark Book, ANL-7416" e seus suplementos 1
e 2. Antes que o problema seja aceito como padrão, o CBPC ,
requer que pelo menos duas soluções obtidas independentemen
te, (isto é, diferentes pessoas usando códigos diferentes) ,
estejam em boa concordância.
1.11 Definição de um Problema Computacional Padrão
Um problema computacional é um problema matematicamen
te bem definido para o qual as soluções analíticas ou preci^
sãmente aproximadas são conhecidas. A exigência de que o pro
blema seja matematicamente bem definido, tem como função prin
cipal, eliminar âs discrepâncias entre âs soluções que são
devidas âs diferentes formulações matemáticas do mesmo pro
blema. Por exemplo, as equações de difusão de multigrupo es
critas na formulação matricial pode ter uma matriz completa
dos coeficientes de difusão ou a mais convencional matriz dia
gonal dos coeficientes de difusão. Estas duas formulações po
dem resultar em duas soluções muito diferentes, o que é inde
sejável para um padrão. Definindo-se dois problemas padrões,
um para cada tipo de formulação, eliminariam-se tais discre
panelas.
Para acentuar a clareza e usabilidade de um problema
padrão, um problema computacional padrão é usualmente dividi
do em três partes distintas:
- Situação de Fonte Padrão,
- Definição do Problema Padrão,
- Solução do Problema Padrão.
Situação de Fonte Padrão
A situação de fonte padrão é uma descrição da situação
física da qual os problemas padrões são derivados. Detalhes
do sistema tais como, dimensões, materiais, temperaturas,etc,
são apresentados na situação de fonte. Situação de fonte tam
bém servem para interrelacionar problemas padrões, proporcio
nando deste modo alguma continuidade entre problemas pa
drões.
-14-
Definição do Problema Padrão
Neste tópico, o modelo matemático do problema padrão a
ser resolvido é dado incluindo as equações a serem resolvidas,
os coeficientes da equação, a geometria, as condições ini
ciais e ou condições de contorno se aplicáveis. Atê este pon
to, existe considerável flexibilidade no desenvolvimento de
um problema padrão computacional, com a condição de que o re
sultado final é um problema que é matematicamente bem defini
do. Por exemplo, um problema de teoria de difusão estático em
dois grupos de energia em duas dimensões com condições de
contorno externa de fluxo zero, estabelece uma definição de
problema padrão, e a mesma descrição do problema, mas agora
com condições de contorno externa de corrente de retorno ze
ro, constituiria uma segunda definição de problema padrão.
Solução do Problema Padrão
Finalmente, a terceira parte é a solução do problema
padrão. A solução, se de natureza numérica, deve também in
cluir resultados que mostram como a precisão depende do ní
vel de discretização, (isto é . , Keff versus o número de
pontos espacial da malha), o computador que foi utilizado, a
quantidade.de memória e o tempo da unidade central de proces
samento (CPU) exigidos, etc.
As três partes de um problema computacional padrão que
acabamos de descrever acima são destinadas a servir de orlen
tação para preparação de padrões e não ura formato normativo
inflexível. Rígida adesão â qualquer formato normativo pode
ria impedir trabalhos padrões computacionais ao invés de es
timulá-los.
-15-
= e S Q U S . A S E i ^ t R ' É r i C - 5 r: N U C L E A R E S
CAPlTULO II
CÕDIGOS UTILIZADOS
2 .1 EXTERIIINATOR - 2
O EXTERMINATOR - 2 é um código projetado para ser ope
rado em um computador IBM 360/75, este código tem como lin
guagem de programação o FORTRAN IV.
A natureza do problema a ser resolvido pelo EXTERMINA
DOR - 2 são ãs equações de difusão de neutron em duas dimen
soes envolvendo multigrupo de energias em geometrias X-Y ,
R-Z ou R - e , sob â forma de representação de diferença fini
ta.
O método empregado pelo código para resolver ãs equa
ções de diferença finita análogas ãs equações de difusão de
neutron multigrupo é o método conhecido como "Equipoise
Method".16
Características do Código
1. Três condições de contorno externa podem ser
imposta,condição de contorno de fluxo zero, condição de con
torno derivativa normal zero, ou condição periódica. A condi
ção de contorno logarítmica pode também ser especificada,tan
to ao longo dos contornos ou malha interna.^
2. O código permite o espalhamento de neutron
de qualquer grupo para qualquer outro grupo.^
3. Problemas de autovalor, problemas de fonte
constante, problemas de pesquisa de veneno, e problemas de
pesquisa de densidade de nuclídeo podem ser resolvidos por
iteração direta, com a incógnita tratada como o autovalor
do problema, fator de multiplicação efetivo.
4. O efeito no fator de multiplicação e nos
fluxos devido ãs concentrações de equilíbrio do xenônio pode
ser considerado.
5. O código calculará fluxos adjuntos e faz cal
culos de pertubação.
-16-
6. Secçoes de choque microscópica de grupo am o
pio ponderada pelo fluxo podem ser calculadas.
7. Saída opcional, incluem fluxos ponto-gru-
po como neutrons/cm''. seg, a densidade de neutron pontual co
mo neutrons/cm'^, a densidade de fonte pontual como fis
sões/cm^.seg ou produções de neutron/cm-^. seg, taxa de reação
de nuclídeo, balanços de neutron total e na composição.
Em adição ao usual cálculo de autovalor, o
código pode fazer uma pesquisa de iteração direta na concen
tração do nuclídeo, uma pesquisa de iteração direta na sec
ção de choque de veneno macroscópica, ou uma pesquisa de nu
clídeo de iteração dupla, para um fator de multiplicação es
pecifiçado. No cálculo de pesquisa direta, o fator de multi
plicação desejado é satisfeito pelo tratamento da pesquisa
de concentração de nuclídeo ou secção de choque macroscópica
do veneno como o autovalor do problema. Este cálculo geral
mente não exige mais tempo de computador do que o tempo exi
gido para o usual cálculo do autovalor que determina o fator
de multiplicação. Na pesquisa de nuclídeo de iteração dupla,
problemas de autovalor sucessivos são resolvidos com pesqui
sas ajustadas de concentrações de nuclídeo. Este último meto
do de obtenção da criticalidade pode ser necessário, por e
xemplo, quando a concentração de um nuclídeo é para decres
cer quando uma outra é aumentada.
No cálculo de autovalor usual ou de pesqui
sa, o efeito nos fluxos e no fator de multiplicação devido
as concentrações de equilíbrio do xenônio pode ser levado em
conta durante o cálculo iterativo.Isto é feito ajustando as
secçoes de choque de absorção macroscópica do Xe- - ^ a cada
ponto da malha para cada iteração até que elas atinjam valo
res de equilíbrio constantes.
Também podemos efetuar cálculo adjunto bem
como cálculos de perturbação. Valores de
1 K 3S
onde S, representa as várias secçoes de choque macroscópicas,
são calculados automaticamente. Valores de
1 dK^ K dNi '
-.17-
2.2 CITATION
O código CITATION é um programa desenvolvido para ser
operável em um computador do tipo IBM 360/75, este código
tem como linguagem de programação o FORTRAN IV.
O CITATION é projetado para resolver problemas envol
vendo a teoria de difusão de neutron multigrupo sob a repre
sentação de diferença finita tratando problemas em até três
dimensões com espalhamento de grupo para grupo. Podendo ser
tratadas ãs seguintes geometrias: X-Y-Z, B-R-Z, Hexagonal-Z
e Triagonal-Z.
O método de solução empregado pelo código é o de aprq
ximações de diferença finita em espaço (conforme Capítulo -
4). Problemas de autovalor do fluxo de neutron são resolvi
dos por iteração direta para determinar o fator de multipli
cação ou densidades de nuclídeo para um sistema crítico.
Características do Código
1. Neste código são permitidas três condições
de contorno externa, condição de contorno extrapolada, condi
ção de contorno refletida ou condição periódica. A condição
de contorno logarítmica pode também ser especificada.^
2. E permitido o espalhamento de neutron de
qualquer grupo para qualquer outro grupo.
3. Problemas de autovalor, problemas de fonte
constante ou fixa, APÊNDICE "B", problemas de pesquisa de
densidade de nuclídeo APÊNDICE "A", problemas de pesquisa de
veneno, fator de multiplicação efetivo, (conforme APÊNDICE A)
podem ser tratadas pelo código.
onde Ni, representa a concentração do nuclídeo i, podem tam
bém ser executados, bem como cálculo do tempo de vida do
reator e fração de neutron atrasado podem ser pedidos.
Nota;
Os cartões de controle para utilização do código EX
TERÍ4INATOR-2 no computador IBM-370/I55do (IPEN) são apresen
tadas no Apêndice "F".
-18-
4. O código também possibilita a obtenção de
uma pesquisa direta de "bucking" (conforme Apéndice A ) .
5. É permitida uma pesquisa de dimensão.
6. O código calculará fluxos adjuntos bem como
cálculos de perturbação (conforme Apéndice D ) .
7. cálculos de secçoes de choque macroscópica
e taxa de reação podem ser efetuados, (conforme Apêndice C ) .
8. O código é também projetado para resolver
problemas de depleção, com ou sem elaborado tratamento de re
carregamento para análises de multiciclo.^
9. Com o código podemos obter saída opcional ,
incluindo fluxos de ponto e grupo, densidade de neutron pon
tual, densidade de fonte pontual, balanços de neutrons total
e em composição bem como produções de neutron.
10. Podemos calcular também secçoes de choque
microscópica de grupo amplo com ponderações apropriadas (con
forme Apêndice E ) .
Nota;
Os cartões de controle para utilização do código CITA
TION no computador IBM-370/15Sdo (IPEN) são apresentados no
Apêndice "F".
-19-
(r) + ^ " ^ <}.(r) = O ,
L 2
onde
L 2 = D ^ = representa ã área de difusão
lã
K = vEf = fator de multiplicação ou número de neutrons
produzidos por neutron absorvido.
A quantidade
CAPÍTULO III
EQUAÇÕES DE DIFUSÃO
9 3.1 .Teoria de um Grupo de Energia
A teoria de um grupo de energia é baseada na premissa
que a distribuição estática de neutrons é separável em es
paço e energia. Esta premissa é válida em um grande número
de situações físicas. Duas destas as quais são de importan
cia primitiva historicamente, são os reatores descobertos e
sistemas térmicos grandes. Como não existe nenhuma moderação
a ser considerada e também não existindo nenhuma fonte estra
nha, a equação de difusão para o reator crítico pose ser es
crita como:
DV2(|)(r) - Z (})(r) + vZA(r) = O a r
onde
4) (r) = fluxo de neutron dependente da posição.
= operador geométrico Laplaciano
D = coeficiente de difusão
= secção de choque de absorção macroscópica
= secção de choque de fissão macroscópica
V = número de neutrons produzidos por fissão.
Uma forma alternativa usada frequentemente é :
-20-
O autovalor
B 2 = -V^'}' (r) 4- (r)
determina a curvatura, ou "buckling", do fluxo de neutron em
qualquer ponto no reator.
A equação de criticalidade definindo a relação exigida
entre as propriedades material e as propriedades geométricas
de um reator crítico pode ser prontamente mostrada ser:
K - 1 = R 2
para teoria de um grupo de energia; ou seja o "material buck
ling" e o "geometric buckling" são exigidos serem iguais.
Teoria de um grupo de energia pode também ser aplicada
para cálculo de efeitos de refletor ou distribuição de neu
tron assimptótica ou reatores refletidos ou multi-região. No
caso de regiões não multiplicativa temos
Dv2(j) (r) - Zacj) (r) = O ,
K - 1 ou - ; D
determinada a partir das propriedades materiais do meio é co
mumente chamada de "material buckling".
A equação é idêntica em forma ã equação de Helmholtz^
V^v + B^^; = O .
Adotando como condição de contorno que a solução, ou
fluxo, desaparecem no contorno extrapolado, o valor caracte
ristico familiar ou autovalor do problema é obtido, com o pa
râmetro B^ ou autovalor e a distribuição de neutrons corres
pendendo ã autofunção. Para um reator crítico, somente o au
tovalor fundamental e a autofunção são de interesse desde
que uma solução não negativa é exigida em qualquer lugar in
terior ao contorno extrapolado. O autovalor fundamental, B^,
determinado pela forma do reator e dimensões, é chamado de
"geometric buckling".
-21-
onde
D = coeficiente de difusão para o meio não multiplica
tivo.
Ia = secção de choque de absorção macroscópica para o
meio não multiplicativo.
Convém notar que excepto ã diferença de sinal, esta e
quação tem a mesma forma como a equação de Helmholtz e pode
ser escrita como
- x^\¡) = o ,
onde é l/L^ , a recíproca da área de difusão no meio e
é igual a Za/D.
A aplicação das condições de contorno isto é de sime
tria no centro ou origem, e fluxo zero ao contorno extrapo
lado junto com as condições de continuidade do fluxo tf) (r) e
corrente D(\>' (r) na interface, produz-se a equação crítica
relacionando propriedades geométricas e material do reator.
Q
3.2 Modelo de Dois Grupos de Energia
Um modelo melhor do que a teoria de um grupo de ener
gia, é o modelo de dois grupos de energia, o qual devido a
sua simplicidade de acoplamento com boa precisão, tem sido
usado extensivamente em estudo de projetos e cálculos expio
ratórios ou paramétricos.
A separação da faixa de energia em um grupo de ener
gia não térmico e um grupo térmico permite uma representação
mais adequada da situação física e consequentemente a larga
aplicabilidade.
No modelo de dois grupos a equação de balanço dos neu
trons única na teoria de um grupo de energia é substituida
por um par de equações descrevendo o comportamento dos dois
grupos de neutrons a saber o grupo rápido (ou aquele sofren
do moderação), e o grupo térmico como segue :
-22-
D2v2(j,2{r) - i:a,2<}»2(r) + p i<)>,(r) = O .
(3-2-1)
R, I'Pl ~ "
Aqui, as quantidades D, Zf,Za, e v são como as defini^
das anteriormente na teoria de um grupo de energia só que
com os subscriptos 1 e 2 usados para distinguir os grupos
rápido e térmico respectivamente.
^R,1 ' denota a secção de choque de moderação macros
cópica para o grupo rápido; o termo E„ ,<{ii(r) representa a K , 1
perda ou remoção de neutrons do grupo rápido.
O termo de fonte de neutron térmico, p Z„ ^i^i^), in
dica a fração dos neutrons rápidos que escapam a captura ã
ressonância durante o processo de moderação e dai, o ganho
para o grupo térmico. A probabilidade de escape â ressonân
cia, p , é considerada uma quantidade independente da ener
gia.
Como o termo de fonte térmico é proporcional ao fluxo
rápido, e de modo inverso o termo de fonte rápido vEf2(}>2(r)
é proporcional ao fluxo térmico, pode ser escrito como:
I Za, 2^2 (r)
então substituindo na equação (3.2.1) temos :
D,v2(},i (r) - E„ ((). (r) .+ ^ E a , 2 * . (r) = O K/l i p ^
D2v2(t>2(r) - Ea,2<t>2(^) + P ^R,j*i(r) " °-
Como na teoria de um grupo de energia ãs condições de
simetria no centro e a condição de contorno de fluxo zero ao
contorno extrapolado são também aplicadas aqui.
A distância extrapolada é aqui assumida ser uma cons
tante.
Considera-se que tanto a distribuição de fluxo térmico
bem como rápido pode ser representado como combinações li
near de funções de onda satisfazendo a equação:
-23-
v2w - !flA w - o D2
V i|) + B^^ = O
Analogamente ao efetuado na teoria de um grupo de ener
gia, o par de equações usadas para uma região não multiplica
tiva, ou refletora, em um modelo de dois gruDos de energia
são:
DiV2<^ (r) - (|) (r) = O
(3-2-2)
D2v2<f.2(r) - E^^^<l)^(r) + p l^^^^^(r) = O ,
onde novamente as quantidades D, T.^ , e p são como defi
nidas anteriormente s6 que aqui para o meio não multiplicati
vo.
As soluções para a equação (3-2-1) das distribuições
de neutron em dois grupos de energia pode ser escrita como
combinação linear de duas funções, T e U, como segue:
(í)j = AT + Cü , <j, = S I A T + S 2 C U ,
onde A e C são incógnitas a serem determinadas
Si e S 2 são frequentemente chamados de coeficientes de
acoplamento.
De maneira similar para a equação (3-2-2) teremos:
<j)l = FV , <ji2 = GW + S 3 F V
onde F e G são incógnitas a serem determinadas
V e W são funções definidas como ãs soluções das equa
ções
1^
°1
- 2 4 -
Então a condição de criticalidade para o problema tí
pico de duas regiões carroço-refletor pode ser escrita como
a solução de quatro equações simultáneas, duas para a região
do carroço e duas para a região do refletor,com as quatro
incógnitas A, C, F e G determinadas pelas condições de conti
nuidade de fluxos e correntes na interface junto com a espe
cificação do nivel de potencia.
Estas equações em forma de determinante aparecem como
mostrado abaixo; onde o superscripto denota ã primeira deri
vada; e todas as funções e derivadas são avaliadas na inter
face.
^ic^'
Sl°2c^'
U
^ic"'
^2^20"'
-V
-^IR^^'
- S 3 V
• 2 3 ° 2 R ^ '
O
-w
• ° 2 R W '
= O
onde os subscriptos c e R indicam carroço e refletor respec
tivamente.
Esta equação de criticalidade define a relação entre
as propriedades materiais e geométricas do reator de duas re
giões usando o modelo de dois grupos de energia.
3.3 Método de Multigrupo 12
A faixa de energia de interesse em problemas de proje
to de reator é muito grande, contudo, a maioria dos proble
mas e cálculos de projetos em reatores térmicos tipo P.W.R.
(Pressurized Water Reactor), são de maneira geral efetuados
em dois grupos de energia de neutrons, isto é, a faixa de e
nergia é dividida em dois grupos sendo um denominado de grupo
rápido e o outro grupo térmico ou lento.
Apesar do fato de que os cálculos em dois grupos apre
sentam resultados bastante satisfatórios, quando se deseja o
-25-
i o O i : P E S O U S * S E . - " E R É T I C ' 5 N U C L t A R t S 1
obter resultados mais precisos ou em cálculos de reatores
rápidos e intermediários o número de grupos de energia é au
mentado, obtendo-se com isto resultados bem mais precisos.
O método de multigrupo consiste em dividir a faixa de
energia em intervalos, e uma avaliação das secçoes de choque
sobre estes intervalos, são usadas para aproximar o efeito
real das secçoes de choque com dependência da energia. Este
processo de avaliação das secçoes de choque freqüentemente é
executado em dois estágios.
No primeiro estágio,a faixa de energia é dividida em
um número relativamente grande de intervalos (refinados). Da
dos nucleares básicos são então coletados, tabulados, avalia
dos e estimados sobre os intervalos de energia, afim de aper
feiçoar as constantes de grupo.
Estas constantes de grupos, são os dados microscópicos
e são preparados para cada nuclídeo e podem ser usados em
muitos problemas de projeto. Quando os dados microscópicos ,
exibem acentuada estrutura de ressonância, aproximações ana
líticas são avaliadas para determinar as efetivas secçoes de
choque e o fluxo dentro da ressonância.
No segundo estágio a faixa de energia, é particionada
em um número menor de intervalos adaptado as exigências de
um problema de projeto específico. Neste ponto é feito um
cálculo aproximado da real dependência de energia do neutron
no problema de projeto, e este espectro de energia é usado
para formar médias ponderadas das secçoes de choque sobre
os intervalos de energias maiores.
Os cálculos em reatores são então grandemente melhora
dos pelo expediente do aumento do número de grupos de neu
trons. Deste modo a moderação de neutrons rápidos em reato
res térmicos pode ser tratada de uma maneira mais precisa do
que com o modelo de dois grupos de energia de neutrons. Por
outro lado, em reatores rápidos e intermediários, e desde
que nestes reatores são os neutrons rápidos os que causam a
maior parte das fissões, um entendimento mais detalhado do
comportamento desses neutrons, é de central importância na
-26-
previsão da criticalidade destes reatores bem como outras
propriedades dos mesmos. Cálculos efetuados com o método de
multigrupo são portanto, essencial para o adequado projeto
desses reatores.
Constantes de Multigrupo
Em cálculos de multigrupos é mais conveniente usar a
variável letargia ao invés da energia. A variável letargia é
denotada pelo símbolo u e é definida como :
E .
u = Jln
onde E Q é uma energia arbitrária. Contudo, é usual na práti
ca escolher E Q como sendo a energia dos neutrons mais energé
ticos em qualquer sistema. Portanto, u será sempre uma quan
tidade positiva. A letargia é então zero para neutrons com e
nergia E ^ e aumenta com o decréscimo de energia.
Como primeiro passo em cálculo de multigrupo, a faixa
total de letargia do neutron em um reator é dividida em N
grupos, que podem ou não serem de igual amplitude conforme
figura (3-3-1)
Grupos de letargia
u L Grupo 1
Grupo 2 ^2
u 3 Grupo 3
• •
U g
Grupo g
• 1
Uj^ Grupo N
U
U,
U.
U g-1
u.
u. N-1
u. N
FIGURA - 3-3-1
-27-
O fluxo de neutrons no g-ésimo grupo é então definido
pela integral:
*g(r) =
i;g
(J) (r ,u) du
ug-1
(3-3-1)
onde ug e ug-1 são a maior e menor letargias do grupo, res
pectivamente, e ({)(r,u) é o fluxo dependente da letargia no
ponto r.
A difusão de neutrons dentro de cada grupo é descrita
por um coeficiente de difusão médio definido como:
ug
Dg =
j" D(u)v2(|, (r,u)du
ug-1 (3-3-2)
ug
v2,j)(r,u) du
ug-1
Se considerarmos que o fluxo pode ser escrito como u
ma função separável do espaço e da letargia, a equação
(3-3-2 ) torna-se:
Dg = íg
ug
D (u) (j) (u) (u ,
üg-1
(3-3-3)
onde (Ji (u) é parte de ((>(r,u) dependente da letargía, e (^g é
constante dado por:
ua
í-g = j" ())(u)du 3-3-4)
u g-1
- 2 8 -
Para calcularmos a integral na equação (3-3-3) ê neces
sãrio assumir uma forma apropriada para (}) (u) . Para reatores
térmicos frequentemente escolhe-se:
< (u) = Constante ^
que é o fluxo dependente da letargia em um meio infinito sem
absorção contendo fontes distribuidas uniformemente. Em mui
tos casos Ç(u) que é o aumento médio em letargia por colisão
e Eg(u) secção de choque macroscópica de espalhamento, são
essencialmente constante dentro de cada grupo de letargia e
é então possível tomar cj) (u) como:
(|) (u) = constante. (3-3-6)
Por simplicidade esta forma para (J) (u) será assumida na
presente discussão.
Se a constante na equação (3-3-6) é denotada por A, en
tão da equação (3-3-4) temos:
*g = j Adu = A(Ug - Ug_^) = AUg
g-1
onde é a amplitude em letargia do g-ésimo grupo.
Da equação (3-3-3) D^ é então dado por:
- Í (3-3-7) a J
V i
Se D(u) é aproximadamente constante sobre o intervalo
de letargia U^, então D^ é simplesmente o valor de D em qual
quer letargia dentro do grupo.
Neutrons podem desaparecer de um grupo como uma ite
ração de absorção ou como resultado de espalhamento elásti
-29-
u
V Ç ^ag = \ 2:a(u)*(u)du • (3-3-8)
Se for assumido novamente que <t!(u) é constante, a equação
(3-3-8) torna-se:
Ug
1
í ag - I í:a(u)du . (3-3-9)
Similarmente a secção de choque de espalhamento elástico mé
dia para o g-ésimo grupo é definida como:
u g
^sg = J Eg(u)4'(u)du , (3-3-10)
V l
e novamente se (j) ( u) é assumido constante temos:
^g
! -sg - ü I Es(u)du . (3-3-11)
u g-1
Frequentemente Eg é constante no grupo e Egg é então
a secção de choque de espalhamento macroscópica real em
qualquer letargia dentro do grupo.
A transferência de neutrons por espalhamento de um
grupo para outro é descrita pelas secçoes de choque de
co ou inelastico que elevarão suas letargias para um outro
grupo. A absorção exata dentro do g-ésimo grupo é descrita
pela secção de choque de absorção do grupo E^g
-30-
transferência de grupo, que são denotadas por
E (g h) .
Estas secçoes de choque dè transferência de grupo são
definidas de modo que
E (g ^ h) . ()>g (r) ,
é igual ao número de neutrons que são transferidos do g-ésimo
grupo para o h-ésimo grupo por cm-^/seg. no ponto r. Secçoes
de choque de transferência podem ser escritas como a soma
de duas parcelas:
Egíg h) : secção de choque de transferência elâs
tica.
Y.^ (g ^ h) : secção de choque de transferência ine
lãstica.
Considere primeiro a avaliação de Egíg •> h ) . O valor
destas constantes, depende das propriedades nucleares dos ma
teriais no reator e do número de grupos usado nos cálculos .
Em particular, se o máximo aumento em letargia de um neutron
sofrendo uma colisão elástica é menor do que a amplitude de
todo o grupo, neutrons de um grupo podem ser espalhados elas
ticamente somente para dentro do grupo adjacente; isto é ,
eles não podem saltar grupos. Neste caso, EgCg ->- h) é zero
para h 7 ^ g + 1, e diferente de zero quando h = g + 1 e os
grupos são ditos serem diretamente acoplados, pelo menos no
que concerne ao espalhamento elástico. Como a mínima energia
de um neutron após uma colisão elástica é a vezes ã sua ener
gia inicial, e isto corresponde a um aumento em letargia de
Zr\(^/a). A condição para um acoplamento direto por espalha
mento elástico é:
^ n í V a ) < Ug , (3-3-12)
para todos os grupos.
-31-
5g
colisões em média afim de atravessarem este grupo. Se exis
tem
^sg*g '
colisões por cm"^/seg no g-ésimo grupo, deve existir
sg'í'g _ ^g^sg*g
neutrons espalhados para fora de g-ésimo grupo por cm^/seg .
Desde que esses neutrons necessariamente devem entrar no
(g+l)-ésimo grupo no caso de diretamente acoplados, então
i:g(g->-g+l) é dado por:
^sg(g - = • (3-3-13)
O cálculo das secçoes de choque de transferência no ca
so de grupos não diretamente acoplados é imediato em princl^
pio, mas os resultados são mais complicados do que na situa
ção de diretamente acoplados. Um exemplo simples de um cálcu
As constantes Zg{g g+1) podem ser calculadas pela si
tuação de diretamente acoplados da seguinte maneira. Da equa
ção (3-3-10) o número de colisões de espalhamento por cm"^/seg
no g-ésimo grupo é
^sg*g
Se Çg é o aumento de letargia médio em uma colisão e
lãstica no g-ésimo grupo (deve ser lembrado que em geral Ç é
uma função da energia, em consequência disto aparece o subs
crito g em Çg), segue-se que neutrons exigem
Ug
-32-
í du' I Ee (u) (j) (u)P (u->u')du
^g-1
V l
u g
/ / / / / / / ^ / / / / / / // // // /t/Zf
f / f ^ /> /'/'//'/> ;
T R U N O C T
V l Figura - 3.3.2 Grupos de letaraias.
onde P(u->-u') é a função distribuição de probabilidade para
neutrons espalhados elásticamente. O número total de neu
trons transferidos do g-ésimo grupo é portanto:
V l ""g
í í Eg (u) d) (u)P (u-vu' )du
1 u=u a q _ 1
lo deste tipo é para o moderador hidrogênio. Uma única coli
são com estes núcleos pode reduzir a energia de um neutron a
té zero, de modo que os neutrons possam ser espalhados de
qualquer grupo para todos os grupos de menor energia.
Somente a secção de choque de transferência elástica
Egíg ->• g+1) será deduzida aqui.
Considere agora o intervalo de letargia du_|_ no (g+1) -
ésimo grupo, conforme figura (3-3-2). Desde que neutrons po
''.em ser espalhados para dentro de du' como resultado de coli
s o e s em qualquer letargia no g-ésimo grupo, o número de neu
trons chegando por cm^/seg em du_[_ do g-ésimo grupo é:
-33-
Em virtude da definição de Hs ig-^g+í) , temos que o núme
ro total de neutrons transferido do g-ésimo grupo é igual ã
Eg (g-^g+1) <})g ,
e então temos:
Ug+1 u
íg (g-^g+1) Eo (u) * (u)P (u- u' )du .
u'=u u=u •g-1
(3-3-14)
Se ij)(u) é tomado como uma constante e se, Eg(u) é ra
zoavelmente constante no intervalo de letargia definido pelo
g-ésimo grupo, então a equação (3-3-14) pode ser escrita co
mo :
Eg(g^g+1) =
^ + 1 ^g
du' l P(u^u' )du .
u'=u. g-1
(3-3-15)
Para o caso do hidrogênio temos que: (conf.ref.12)
^ / 1 \ u-u' P(u-vu') = e , (3-3--16)
e obtem-se que:
E_(g^g+1) - (e' "g - eVl) ("" - e"Vl) '
e então:
5^s(g-g+i) = (1 - e "g) (1 - e "g+i) . ( 3 - 3 - 1 7 )
As secçoes de choque de transferência de grupo para es
palhamento inelastico, podem ser calculadas da mesma maneira
-34-
•fg _1_
u.
Zf (u) (í> (u)du
u g-1
ou ainda
•fg u.
u.
( u
Zf(u)du
g-1
: 3-3-18)
onde <j) (u) é novamente tomado como constante. Convém lembrar
que os neutrons de fissão prontos são emitidos com um espec
tro de energia continuo. Então é conveniente introduzir a
quantidade Xg igual a frações desses neutrons que estão apa
recendo no g-ésimo grupo.
Especificamente isto é dado por:
= \ X(u )du (3-3-19)
u g-1
onde X (u) é o espectro de fissão normalizado para um neu
tron emitido.
Também é necessário levar em conta o fato de que o nú
mero médio de neutrons emitidos por fissão depende da ener
como para o espalhamento elástico excepto que no procedimen
to á função distribuição de probabilidade inelástica deve
ser usada nas integrais acima. Desde que neutrons podem per
der uma grande fração de sua energia em uma interação inelás
tica, as secções de choque de transferencia inelástica fre
quentemente envolve o acoplamento de vários grupos.
Ê também necessário definir uma secção de choque de
fissão média para cada grupo; e para o g-ésimo grupo temos:
-35-
gia do neutron incidente.
Para fissões induzidas por neutrons do g-ésimo grupo ,
o valor médio de , denotado por Vg, é :
üg
v„ = I v(u)(í)(u)du g
j" V (u)(í) (u)
V l
ou ainda
^g
V l
Vg = \ v(u)du , (3-3-20)
EQUAÇÕES DE MULTIGRUPO
Com as varias constantes deduzidas acima é agora pos^
sivel escrever as equações de difusão descrevendo o comporta
mento dos neutrons dentro de cada grupo.
Em uma região contendo combustível a equação para o
primeiro grupo correspondendo aos neutrons mais energéticos,
é:
Dj^v24,i (r) - Eai*i " l E(l^h) .h=2
N
(3-3-21)
onde o segundo termo da equação dá a perda de neutrons devi
do â absorção enquanto que o terceiro termo dá a perda de neu
trons como resultado de espalhamento de neutrons do primeiro
grupo para todos os outros grupos. O último termo é igual ao
número total de neutrons de fissão aparecendo no primeiro gru
po como resultado de fissões que estão ocorrendo em todos os
outros grupos.
A equação de difusão para o g-ésimo grupo é portanto:
r ^ I E(g-h)
- h>g
-36-
N
Xa I fh-í-h ) " " ' (3-3-22) ^ h=l
onde na equação (3-3-2 2) o segundo termo representa a verda
deira absorção no grupo; o terceiro termo dá o número de neu
trons espalhados do g-ésimo grupo para todos os grupos de me
nor energia; o quarto termo é igual ao número de neutrons es
palhados para dentro do g-ésimo grupo proveniente de todos
os grupos de maior energia; o último termo dâ o número de
neutrons de fissão produzidos no g-ésimo grupo provenientes
de fissões em todos os grupos.
As equações para regiões que não contenham combustível
são idênticas ã equação (3-3-22) excepto que o último termo
não aparece.
g-1
^ ír) + l E (h->g) (|.h(r) + ^ h=l
-37-
4.1 MÉTODOS NUf^RICOS PARA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO
DE NEUTRONS.
Para meios homogêneos a equação de difusão de neutrons
a uma velocidade é resolvida analiticamente. Entretanto, em
qualquer cálculo de reator real, a natureza heterogênea do
caroço deve ser levada em consideração. Não deve ser conside
rada somente as não-uniformidades correspondentes ãs pasti
lhas combustíveis, material de encamizamento,moderador,refri
gerante,elementos de controle,mas também variações espaciais
nas densidades do combustível e refrigerante devido a densi^
dades de potência não-uniforme no caroço e distribuições de
temperatura. Tais complexidade imediatamente forçam a um des
carte dos métodos analíticos em favor de uma solução numéri
ca direta da equação de difusão. Mesmo quando uma solução a
nalítica da equação de difusão é possível, é mais frequente
e conveniente obtê-la de uma solução numérica, particularmen
te quando a solução analítica pode envolver numerosas fun
ções que tenham que ser avaliadas numericamente em algum e
vento ou quando são exigidos estudos de parâmetros que pode
envolver um grande número de tais funções.
O processo geral é escrever a equação de difusão dife
rencial em forma de diferença finita, e então resolver o sis
tema resultante de equações de diferença em um computador di
gital.
Para ilustrar esta aproximação considere um exemplo
muito simples onde desejamos resolver:
-D ^ + (x) = S(x) dx2 ^
(4-1-1)
sujeita âs condições de contorno caracterizando um "slab"
finito de largura a :
CAPÍTULO IV
MÉTODOS NUMÉRICOS
1 -38-
<t) (0) = (|) (a) = O
(?or conveniência será ignorado o comprimento da extrapola
ção)
NÓS primeiro discretizamos ã variável espacial x pela
escolha de um conjunto de N+1 pontos discretos igualmente
espaçados de uma distância A = a/N.
^i-i
V A X .
1
É preciso agora escrever a equação (4-1-1) para cada
um desses pontos discretos x ^ , mas para fazer isto nós pre
cisamos de uma aproximação para ã^(f>/ãx^ . Pela expanção de
Taylor para <)) em x^^i em termos de seu valor no ponto x^ ,
(e com aproximação de ordem d'*(|)/dx'*) temos:
^1+1 (Xi+j) ^3. dx d2<j, dx^
(4-1-2)
*i-l ' * ( X I _ l ) = *i
d¿ dx
, A2 d2<|> ^ ^ d3F7
Se nõs somarmos essas expressões nós encontramos:
dx2 n + 1 - ^ ^ - 1 (4-1-3)
Assim se A é escolhido o suficientemente pequeno, esta
fórmula de diferença central de três pontos seria uma apro
ximação razoável para o valor de ã^(^/ãx^ no ponto x ^ .
Se nós agora usarmos a fórmula de diferença para escre
ver a equação (4-1-1) em qualquer ponto X J ^ da malha, nõs en
contramos:
-39-
onde = S(x£) . Rearanjando esta equação temos:
onde fazendo
_ D 2 D . _ _ D ^i,i-l " " ~ ^ ' ^ ' ^1,1+1- " Ã ^
temos
^1,1-1*1-1 ^ ^ 1 , 1 ^ ^1,1+1*1+1 = ' ^'-^-^^
i= 1, . . . ,N-1
Assim, nós reduzimos ã equação (4-1-1) a um conjunto
de N-1 equações para N+1 incógnitas (4)^ ,<\>^A2' ••• '^n^ ' ^®
nós adicionarmos ãs condições de contorno, nós podemos agora
imaginar a solução deste conjunto de equações algébricas
Neste caso particular, o sistema de equações algébricas pode 4
ser resolvido diretamente usando eliminação de Gauss. Mas
geralmente métodos iterativos devem ser usados para resol
ver as equações de diferença finita.
Este exemplo muito simples ilustra as duas tarefas en
volvidas na solução numérica da equação de difusão:
a: - derivação das equações de diferença corresponden
te.
b: - formulação de um algorítimo apropriado para solu
ção dessas equações em um computador digital.
Os métodos usados irão variar de problema para proble
ma. Por exemplo, enquanto uma solução direta das equações
(conforme equação (4-1-6) )é possível para problemas de uma
dimensão, métodos iterativos são exigidos para problemas de
duas e três dimensões. Além disto, geralmente deseja-se tra
balhar com malhas não uniforme em cálculos de reatores, afim
de levar em conta o fato de que o fluxo de neutron pode va
riar muito mais rapidamente em certas regiões do que em ou
tras.
-D (-^ ^ ^ ) + E^<^. = S. , (4-1-4) A2 a 1 1
-40-
4.2 D E R I V A Ç Ã O D A S E Q U A Ç Õ E S D E D I F E R E N Ç A S P A R A P R O B L E M A S
D E D I F U S Ã O D E U M A D I M E N S Ã O .
NÓS consideraremos agora a forma mais geral da equação
de difusão de uma dimensão em geometria plana,
_ _d_ D(x)d_* + E^(x)4>{x) ^ ^ (4_2_i)
sujeitas ãs condições de contorno e interface que nõs deixa
remos arbitrária para o momento. Nós deveríamos observar a
qui que esta forma da equação de difusão é muito geral para
a maioria das aplicações em reatores. Raramente se encontram
configurações de reatores nos quais a composição varie de
uma maneira contínua de ponto para ponto (isto é, D(x) e
E(x)). Normalmente as propriedades do sistema são assumida
serem essencialmente uniforme em várias sub-regiões do caro
ço do reator (ou pode ser representada apropriadamente por
propriedades "homogenizadas" ou mediada espacialmente dentro
de cada sub-região). Assim ã situação mais comum é aquela a
presentada pela equação de difusão (equação (4-1-1) com D2
e Eaj constantes e que deve ser resolvida em um número de re
giões j . NÓS desenvolveremos âs equações de diferença para
a equação de difusão mais geral (equação (4-2-1), desde que
elas não são realmente muito mais difícil para derivar ou re
solver, e em certos casos elas são úteis evitando dificulda
des técnicas que aparecem em aproximações menos gerais.
Como em nosso exemplo simples nós começamos pela obten
ção de nossa malha espacial discreta como mostrada abaixo,em
bora agora nós iremos construir espaçamento de malha não uni
forme.
A l ^ A2 ^ . ^± , -^i+l .
V,^ ' ^ f''^ — - • /
X O X I X 2 X i - 1 X i X i + 1 X N - 1 X N
Existe uma variedade de esquemas que podem ser usados
para gerar uma representação da equação (4-2-1) em equação
de diferença nesta malha. Nós já tínhamos considerado um pro
blema simples em que foi usada expansão de séries de Taylor
-41-
^ i - ^ i / 2 ^i^\+l/2
X i _ l X i X i + l
Deixe-nos escolher o esquema mais simples para aproxi^
raar ãs integrais, expressando-as como o valor do integrando
avaliado no ponto x^ da malha multiplicado pelo intervalo de
integração. Por exemplo:
X i + ^
X . -
E a ( x ) M x ) d x = Eai(t>i(|- + ^1^) ,. (4-2-2)
Ai i 2
Ai+1
2 'Ai , Ai+1>
^ i +
j S(x) dx = Si + ^ ^ - ) . (4-2-3)
X i - ^
O terno derivativo da enuaçao (4-2-1) exige um pouco
mais de trabalho. Primeiro escreveremos:
iM i 1 ; ' - !
para derivarmos uma fórmula de diferença central para
d2((»/dx2. Um esquema mais comum é integrar a equação diferen
ciai original sobre um intervalo arbitrário da malha, e en
tão aproximar convenientemente estas integrais (após uma oca
sional integração por partes) usando valores médios simples
ou fórmulas de diferença-
NÓS integraremos a equação (4-2-1) sobre um intervalo
da malha definido por X i - < x < x^ + t.^^^^^ ao redor
do ponto Xj^ da malha.
- 4 2 -
1 2
Xi -Ai
1 2
X. + Al+l ^ 1 + 2
X i -2
(4-2-4)
Para manipular á<i>/ãx , nós podemos usar uma simples for
mula de diferença de dois pontos (que pode ser derivada pela
subtração das equações (4-1-2))
Ai 2
X i _ l X. 1
d(j) dx
= ' i ~ Ai
X i + Ai + 1
X i Xi+1
dx
x 1 + Ai + i
(i)i+l - <i,i
Ai + 1
Além disso nós usaremos uma média centrada para D;
D(x, + Ai+1, 1
i " 2 i,i + l '
(4-2-5)
D(xi - fi) = ^(Di-l + Di) = Di,i_i .
Então a equação (4-2-4) pode ser escrita como
xi + ûi+1
4 °'^> a'
X I -Ai
-43-
Ai+1 (4-2-6)
Se nós agora combinarmos ãs equações (4-2-2),(4-2-3) e
(4-2-6) nós chegamos a um conjunto de equações de diferença
muito similar ao nosso anterior.
^1,1-1 *i-l i,i(|)i + 3i,i+l'í'i+l - ^i (4-2-7)
onde
^1,1-1 -(Di + Di-1) 1
Ai Ai + Ai+i
- V o . /Di + 1 + Di ^ Di-1 + Di. ai^i - f { + ; Ai+1 Ai
.Di + 1 + Di > 1 = )
Ai + Ai+1
Ai+Ai+1 > *
* (4-2-8)
Assim uma vez que nós chegamos a um conjunto de N-1
equações de diferença de três pontos para os N+1 fluxos in
cógnitas discretizados, (f) , (ji i , . . . , (J)j . No caso particu
lar em que Ai da malha é constante e os coeficientes D(x) e
Zgíx) não dependam de x , nós retornamos ao nosso resultado
anterior (equação (4-1-5)) derivada via expansão em séries
de Taylor. Nossa tarefa final é colocar aquelas duas equa
ções levando-se em conta ãs condições de contorno. Ê claro
que nós poderíamos simplesmente usar como condições de con
torno extrapolada o vácuo, ((¡Q = O , = O como antes ( to
mando o cuidado em colocar os pontos x^ e x-^ da malha nesses
contornos extrapolados). Condições de contorno mais gerais
(tais como corrente não-reentrante) podem ser desenvolvida ,
tomando-se ãs duas equações finais de diferença no conjunto
-44-
como
(4-2-9)
^N,N-1 *N-1 + aN,N *N = •
Tais conjuntos de equações de diferença de três pontos
são características de problemas de difusão uma dimensão (na
verdade de qualquer equação diferencial ordinária de segunda
ordem). Os coeficientes ai,j dependerão do esquema usado pa
ra derivar as equações de diferença. Felismente se o espaça
mento A da malha é pequeno, essas diferenças serão insigni^
ficante em cálculos reais. Desde que a variação espacial do
fluxo ê essencialmente caracterizada pelo comprimento L de
difusão, escolhe-se geralmente um espaçamento A de malha
menor do que L . '
De modo similar as equações de diferença de três pon
tos também aparecerão em geometrías curvelineas com simetria
em uma dimensão.
Por conveniência nós assumiremos propriedades uniforme
nas vizinhanças da região. Então em coordenadas cilíndricas,
a equação de difusão torna-se
_D ( ^ + i Éi) ^ ^^^(^^ ^ ^ (4-2-10)
d r 2 r dr
enquanto que em coordinadas esféricas, nós encontramos:
_D ( d ^ + 2 di) ^ ^^^^^^ ^ g(^) _ (4-2-11)
d r 2 r dr
Assim nós podemos derivar ãs equações diferença corres^
pendendo a estas geometrias, usando ãs técnicas anteriores ,
então com espaçamento de malha uniforme temos:
ai,i-l + + ^i^i+i (¡>i+i - Si 1 '
onde agora
-45-
(4-2-12)
ai,i-l =
4,1
D
2D
A2
1 - -)
21-1
+ E;
ai,i+l = - (1 + -) 21-1
(4-2-13)
onde C=0,l,2 para geometrias planas, cilíndricas e esféricas
respectivamente. Para completar as especificações dessas equa
ções de diferenças, nós consideraremos o caso de vácuo como
condições de contorno. Por referência nós primeiro considera
remos a geometria "slab" com espaçamento de malha uniforme e
igual a A :
xi Xi XN
Condições de contorno:
(4-2-14)
SQ = SN = O .
Notar que se nós fossemos aplicar a equação (4-2-12) pa
ra o caso de i=0 (assumindo (j)-l = 0) , então esta condição de
contorno envolveria <{i 1 = O . Entretanto esta é inconsistente
com a equação 1 = 1 . Assim nós devemos ignorar os casos 1=0
(e i=N) na aplicação da equação de diferença, e usar as condi
ções de contorno para eliminar as incógnitas (J)Q e <J)N das equa
ções 1=1 e i=N-l. Por exemplo, a equação 1=1 é
• 10 + ^ 1 1 * 1 ^1 2 <?> 2 - s 1 . 4-2-15)
-46-
R
ri r 2 -N
df =0 r=0
S o = s 1 .
o - * 1
(4-2-16)
Novam.ente nós ignoramos os casos 1=0 e i=N. Em 1=1
nós encontramos que CÍ-^Q= O e assim
aii (fii + ai2<t'2 - [4-2-17)
A equação i=N-l é simplificada pois <í)N=0 . Considera
ções muito similar mantem-se para o caso de geometria esfér_i
ca.
Assim temos agora derivada a forma geral das equações
de diferença caracterizando a difusão de neutron em uma d_i
mensão em geometria plana, e equações de diferença em geome
tria cilíndrica e esférica caracterizando, regiões vizinhas
(regionwise) homogêneas.
Nossa próxima tarefa é a determinação de uma prescri
ção apropriada ou algoritmo para solução deste sistema de e
quações algébricas.
SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DIFERENÇA DE TRÊS PONTOS
Supondo que nós tivéssemos desenvolvido um conjunto a
propriado de equações de diferença similar a equação (4-2-7).
NÓS devemos agora resolver para os fluxos discretizados .
Para ser mais explícito, vamos primeiro escrever essas equa
ções em detalhes:
Agora consideremos o caso de geometria cilíndrica. Nos
sas condições de contorno são agora um pouco diferente. Em
rjq nós ainda temos o usual vácuo como condição de contorno
(f)N=O.Na origem, nós usamos simetria para envolver
-47-
^1 1 "t" 1 + ^1 2 '^2
^ 2 1 't> l + ^ 2 2 't'2 + ^ 2 3 <t'3
+ 't>2 + ^ 3 3 (¡"B + 't'i+
S l
S 2
= s
+ a „ , „ , (t)^,_, - S N _ I
(4-2-18)
Reescrevendo estas equações em forma de matriz temos
a u a i 2
X
3 2 1 ^ 2 2 3 2 3 V V \
X V ^ X V
•» X X
3 3 2 3 3 3 331+ X X N
X N ^ X
V X X
3i+ 3 3i4 1+ a^ 5 -V V X
*1 S l
(FI 2 S 2
^3 •
^ 3
_ V l _
OU ainda como
A è = S [4-2-19)
onde A é uma matriz (N-1) x ( N - 1 ) , e i e S são vetores colu
na de dimensão ( N - 1 ) . Deve ser notado que a matriz difusão A
de diferença finita é tridiagonal. Este tipo de matriz somen
te aparece para geometrias de um.a dimensão nos quais as equa
ções de diferença de três pontos aparecem. Em geometrias de
duas e três dimensões estruturas mais complicadas de matriz
são encontradas.
Observar que a solução deste conjunto de equações algê
bricas ê equivalente a inversão da matriz A para obter.
-48-
(4-2-20)
Tais matrizes tridiagonal podem ser invertidas direta
mente usando eliminação de Gauss. (o método "eliminação para ~ - 19
frente-substituiçao para tras"). Como exemplo nos temos
indicado abaixo esquematicamente a "eliminação para frente "
nas duas primeiras equações na equação (4-2-18):
a u a i2 O
a2i a22 ^ 2 3
1 a i 2 / a i i O
^ 2 1 ^ 2 2 a 2 3
1 a i 2 / a i i
O (a22 - ^2 j a i 2 / a i 1 ) 2 3
1
O
a i 2 / a i 1
1
O
^ 2 3
( a 2 2 - 3 2 1 3 1 2 / a i 1 )
\ \ \ -
n 1 A \ -2 •
* (4-2-21)
de modo que nõs eventualmente chegamos ã um sistema de equa
ções da forma
1 ^1
0 0 *1 t l
0 1 A2 0 4>2 « 2
0 0 1 A3 . * 3 « 3
•
0
•
0
•
•
• •
0 1 *N - i
•
"N - l
(4-2-22)
-49-
onde
Al =
ai =
^n,n+l
'n,n + ^n,n-l ^n-l
n,n-l ' n-l
3n,n - an,n-1 ^„-1
ai 2
a n
ai 1
:4-2-23)
NÓS podemos agora voltar ã matriz para encontrarmos:
*N-i = "N-l
*N - 2 " " ^N - 2 *N-i + "N - 2 (4-2-24)
e assim sucessivamente até obtermos todos os fluxos.
Como vimos a eliminação de Gauss consiste de elimina
ção para frente e substituição para trás e pode ser usada pa
ra resolver diretamente as equações de diferença conforme e
quação (4-2-18). Este esquema é particularmente importante
uma vez que ele aparece como uma parte integral dos métodos
iterativos usados em problemas de duas e três dimensões. Por
esta razão, é útil formalizar a eliminação de Gauss um pouco
mais, notando que o que nós temos realizado de fato pela eli
minação para frente nada mais é do que a fatoração da matriz
A em um produto de uma matriz triangular inferior (L)e uma ~ 19 ~ matriz triangular superior (U)
-50-
A =
1 1
321 (322 - a 2 l A i )
33 2 (33 3-33 2A2)
L
1 A l O .
O 1 A^ .
0 0 1 .
U
* (4-2-25)
Assim nossa sequência de p3ssos na eliminação de Gauss
começa com
A i = L U ( ) ) = S (4-2-26)
Primeiro nós executamos uma eliminação par3 frente ps.
rs construirmos e invertermos L
(4-2-27)
seguido por uma substituição para tras para inverter U e re
solver
$ = y""*- L S = U a (4-2-28)
Devemos entretanto observar que enquanto tais métodos
para solução de sistemas de equações algébricas lineares são
entendidos e analisados mais facilmente (matematicamente) em
notação de matriz, eles são ainda mais facilmente programs
dos quando escritos como um simples algoritmo tal como â e
quação (4-2-24). Por exemplo, poderíamos simplesmente cons
truirm.os um laço ("loop") para gerar e armazenar todos os
An e on usando a equação (4-2-2 3) e então avaliar todos os
fluxos ¿n usando a equação (4-2-24) .
-51-
4.3 DERIVAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DIFERENÇA MULTI-DIf4ENSÃ0
Cálculos de difusão de neutrons mais detalhado carac
rizando reatores nucleares exigem tratamento tanto em duas
como em três dimensões. Tais detalhes são particularmente
importante no estudo do perfil da potência em reatores gran
des sujeitos â um carregamento bem como queima de combustí
vel não uniforme. Sendo assim nós devemos considerar agora
a solução numérica da equação de difusão mais geral.
- V . D(r) V 4, + Zaír) <}) (r) = S(r) (4-3-1)
Novamente a geometria de interesse é discretizada em
uma malha de células tais como as grades retangulares ilus
tradas na figura 4-3-1. A maneira mais geral para derivar
as equações de diferença para a malha é integrar a equação
(4-3-1) sobre o volume espacial de uma dada célula da ma
lha, usando este para definir as propriedades da célula me
diada espacialmente.
Grade Retangular
duas dimensões
Grade Retangular
três dimensões
FIGURA - 4.3.1
Este algoritmo para solução de tais conjuntos de equa
ções de três termos {isto ê, inversão de matrizes tridiago
nal) é facilmente programado e executado em um computador
digital.
-52-
Em geral podemos escrever 15
Vi
Vi
<*) (r) d^r = <t)i (4-3-2)
Z^U) <)) (r) d^r = Zai > (4-3-3)
(-V . D(r) Vl})) d^r = Li<}.i - l lij ()>j , (4-3-4)
j = l
S(r)d3r E Si (4-3-5)
Vi
Aqui a somatória é efetuada sobre os pontos da malha vizi
nhos e adjacentes j=l ... J onde J=2,4 ou 6 em geometria
Cartesiana de 1,2 ou 3 dimensões respectivamente, enquanto
que
Li
J
j=l (4-3-6)
onde os coeficientes lij de acoplamento de malha são deter
minados pela geometria particular da malha e pela escolha
de um esquema de diferença finita. Por exemplo, em coordena
das Cartesiana usando essencialmente os esquemas de aproxima
ção representado pelas equações (4-2-2) e (4-2-6) encontra-,
riamos:
lij (Aij)2
(4-3-7)
-53-
Dij = - (Di + Dj) , (4-3-8) 2
Aij = distância entre pontos i e j da malha.
As equações de diferença representando a equação
(4-3-1), então toma a forma
- l ,^^2^^ + (I rMT2^ ^aOH = Si , (4-3-9)
onde i percorre sobre todos os pontos da malha.
EXEMPLO
Como exemplo, vamos derivar as equações de diferença ca
racterizando as equações de difusão em duas dimensões para um
meio uniforme com uma malha uniforme e em geometria retangu -
lar.
- D - D ^ + <))(x,y) = S(x,y) . (4-3-10) 3x2 9^2
Nossa malha será definida de tal modo que os pontos da
malha são denotados por x^, xi , x^, ... Xfj ; y^, yi,.--
y j , ..., yjyi , com espaçamento de malha Ax e Ay respectivamen
te.
A maneira mais direta para derivar as equações de dife
rença é usar uma fórmula de diferença central para aproximar
32(j,
8x2 xi,Yj
= f j - 2(t>i,j + (()i+i,j (4-3-11)
(Ax)2
onde nós definimos
-54-
32 j ,
9y2 (Ay) 2
xi,yi
(4-3-11)
Y M
yj
Yl
YO
1 4 1 4
xi i ,YJ 1
J
' ' '
,—, , , ,
í < • i
, ,
XQ X I Xi X ^
Malha espacial duas dimensões
FIGURA - 4-3-2
Svibstituindo ãs expressões dadas pela equação (4-3-11)
na equação (4-3-10) avaliadas no ponto (xi,yj) da malha, nõs
encontramos
° {(t)i+i,j + <|.i-i,j) ^ (•í'i/J + i + H/j-i) (Ax) (Ay)
+ [ a + 2D ( + j^) (l)i,j = Si,j (4-3-12)
i= 1,2, ..., N-1
j= 1,2, ..., M-1
-55-
Como feito anteriormente, nós podemos usar condições de
contorno para especificar
<l'0,j , <CN,j , (íi,0 e (í)i,M .
SOLUÇÃO ITERATIVA DE EQUAÇÕES DE DIFERENÇA MULTI-DIMEN
SIONAL.
NÓS agora voltamos nossa atenção para a solução dessas
equações. Nossa primeira tarefa é dispor o conjunto de equa
ções em forma de matriz. Isto exige primeiro especificação
de um único índice para cada ponto da malha. Por exemplo, em
uma malha de duas dimensão nós poderíamos designar os pontos
da malha como
(i, j) ^ K = i + (j-1) (N-1) .
Para um problema em duas dimensões, a estrutura da ma
triz toma a seguinte forma:
5
Yl
1 6 17 18 19
1 4
á
1 1 <
^ t
12 1
1 3 1 h 1 4
á
1 1 <
^ t
r
7
1 . ,2 3
2 O
1 5
l.Q_
5
XQ ^2 ^3 \ Xg Xg
i
2
-56-
-) (-( A 7 , 2 ) 2 (A7 6 ) 2
D7 , 8
( A 7 . 2 ) 2 (A7 6 ) 2 ( A 7 , 8 ) 2
D 7 / 8 •) (-
Dy 1 2
{A7 1 2 ) ^ ( A 7 , 8 ) 2 ( A 7 , 1 2 ) 2 ) (<í>7) = ( S 7 ) . (4-3-13)
Convém observar que a forma tridiagonal que nós encon
tramos no caso de uma dimensão foi agora aumentada por duas
diagonais laterais, e também com uma examinação mais cuidado
sa encontramos que em casos de duas dimensões produz-se uma
equação de diferença de (5) pontos.
Similarmente, atribuindo um único índice para cada pon
to da malha de um problema de três dimensões produz-se a es
trutura da matriz que corresponde â uma equação de diferença
de (7) pontos, esquematicamente temos:
(4-3-14)
Agora vamos examinar como nós poderíamos resolver tais
sistemas, isto é, inverter tais matrizes. Desde que a elimi
nação de Gauss pode ser aplicada a qualquer matriz ( formal
mente pelo menos), nós poderíamos primeiro examinar aplican
do esta técnica para obter uma inversão direta. Relembrando
que para uma equação de difusão de uma dimensão, a elimina
ção para a frente reduzia a matriz tridiagonal original para
uma forma com somente duas diagonais, enquanto que o passo
de substituição para trás completava a inversão da matriz ,
conforme esquema abaixo
-57-
' Elim.
i para , 1 frente \
] (4-3-15)
Com uma examinação mais cuidadosa, torna-se aparente
que quando uma eliminação para frente é efetuada em uma ma
triz de cinco diagonais, caracterizando problemas de duas
dimensões, o resultado é preencher de zero todas as entra
das entre a diagonal principal e a diagonal mais externa
conforme figura abaixo:
(4-3-16)
Isto significa em um considerável aumento de memória
do computador para que üma inversão direta da matriz seja
efetuada. Tal algoritmo que processa uma inversão direta
de matriz é também muito complicado para programar. Por es
tas razões, é mais eficiente usar um processo iterativo pa
ra inverter tais matrizes quando N é grande, desde que
tais esquemas tentam preservar a estrutura da matriz orig¿
nal em suas operações.
Vamos ilustrar a idéia básica com um exemplo sim
pies. Supoem-se que nós desejamos inverter uma matriz A ,
isto é, nõs desejamos resolver
(4-3-17)
Nós primeiro decompomos A em duas outras matrizes uma
-58-
com os elementos da diagonal de A e a outra com os elemen
tos fora da diagonal conforme esquema abaixo
Agora n pode ser facilmente invertida :
B
(4-3-18)
D ,-1 -
a n
0 32 2
- 1 a 3 3
- 1
(4.3.1^)
Ussndo 3 equsção (4-3-18) para reescrevermos a
ção (4-3-17) temos:
equa
D (|) = B (j) + S (4-3-20)
•59-
E então invertendo D encontramos
(ti=D~''"(B(j)) + D""'"S (4-3-21)
Agora é onde começa a filosofia iterativa. Supõem - se
que nós atribuimos um valor para $ do lado direito da equa
ção (4-3-21), denotado por e então calculamos um novo
valor para i> , denotado por (M e expresso como:
( 1 ) - 1 (O) - 1 = D B(})^' + D S
(4-3-22)
Nos podemos continuar esta iteração, calculando
^ • •"l) como:
(4-3-23)
E então, quando m torna-se grande, nós convergimos
para a solução verdadeira
^J^^ •* (4-3-24)
Assim a idéia geral atrás de tais esquemas é gerar a
tribuições para ^^melhorado ou uma maneira, mais eficiente
de iterar ^ pela solução do sistema original de equações
de modo aproximado. Nós continuamos tal processo iterativo
até que duas iterações sucessivas ()> " ^ e $ (" +1) gão suf icien
temente próximas, neste ponto, a iteração é parada e ¡j) ' ''' ^
é considerado como solução. E importante observar que atra
vés de todo o processo iterativo, nós mantemos ã estrutura
original da matriz A de (5) diagonais, reduzindo significa
tivamente as exigências de cálculo e armazenagem.
O esquema particular que nós apresentamos é conhecido
-60-
a i 1 i>\ + ai2'í '2 + a i 3 ( j ) 3 + . . . + a i ^ ( j ) j ^ - S i
^ 2 1 <P 1 + 32 2 '¡'2 + 3 2 3 * 3 + . . . + a^^^ (f> - S2
^Nl * 1 + ^N2 *2 ^N3 *3 + ••• + ^^^^ -
* (4-3-25)
Portanto, nós podemos resolver o sistema para o fluxo
iterado (m+1) imediatamente como
como método "Jacobi-Ponto" ou método de "Jacobi-Richardson",
embora este método seja um esquema muito simples, ele tem a
desvantagem de possuir convergência muito lenta.
No método de "Jacobi-Ponto", somente um pedaço relati
vãmente pequeno da matriz e sua diagonal principal, é inver
tida em cada passo, e portanto nós poderíamos esperar uma
convergência lenta. Nós podemos acelerar esta convergência
de várias maneiras. Primeiro, nós poderíamos tentar inverter
um. pedaço maior da matriz ^ em cada iteração. É também pos
sível usar informação sobre o próximo fluxo iterado durante
um passo iterativo. Finalmente, nós podemos fazer uma extra
polação do fluxo iterado anterior afim de mais rapidamente
atingirmos a solução verdadeira.
Para entender como melhorar o esquema iterativo "Jaco
bi", vamos escrevê-lo explicitamente em termos do sistema al
gébrico.
-61-
i = 1,2, ... N.
Deveria ser observado aqui que o esquema "JacObi" não
usa todas as informações disponíveis durante cada iteração.
Por exemplo, se as equações são resolvidas na seqüência de
1=1 até 1=N, (como elas seriam resolvidas em um computador),
então a solução da primeira equação produz tj''*'''") mas para
encontrar 4)2" ' ^ usando a segunda equação, é usado
ao invés da avaliação melhorada (})|''""''"'") . Similarmente ,resol
vendo a terceira equação para (¡)3' "' "'") fazendo uso de <i>^^
e <p^^^ ao invés de l" " ^ e <i>^^'^^^ que são conhe
cidos. Se estas últimas avaliações são usadas tão logo elas
são geradas, um esquema iterativo mais eficiente conhecido
como o método de relaxação sucessiva ou Gauss-Seidel é obti
do.
Neste caso, o sistema de equações em cada iteração é
.(m+1) , Am+i) + a ^¡"^^ + . . . + a „4. " ^ = S2
a^lí^j + a 2 2 ' P 2 23 2NIN
3 3 1 + 332 ' í '2 + 3334>3 + . . . + ^^^^^ " S3
,(m+i) , ^ A Í ^ + i ) . ^ ^(i^+i) . 4 . ^ .(m+^)_ q a x t <p 1 + a., 9 o + a., ffi + . . . + a„-,(p-, — o., ' Ni ^ 1 N t 2 N3 3 NN^N N
* (4-3-27)
e a solução é
-62-
(m+i) _
aii
i-l (Si - I
j = l
aij <t>j (m+1)
N
l j=i+i
aij 4,.^"^))
(4-3-28)
Notar que (f>_j''*"") ná equação (4-3-28) é conhecido a par
tir de soluções de equações anteriores mas na (m+1)-ésimo i
teração, ao passo que (i>^^^ é da (m)-ésimo iteração.
Isto pode ser reescrito em forma de matriz pela decom
posição de ô em uma matriz triangular superior e uma infe
rior:
\ \ ^ ^ \ \
\ \ ^ \ X \ >
\^ \ • \ \ - \ \
(4-3-29)
 U
Aqui Jj contém elementos da diagonal principal e abai
xo dela, enquanto U contém elementos acima da diagonal prin
cipal. Agora nós escrevemos a equação (4-3-17) como:
L ({i = U (í> + S (4-3-30)
O esquema "Gauss-Seidel" descrito acima equivale ã in
versão de L por eliminação para frente. Portanto nosso es
quema iterativo é
^(m+1) ^ ^-1 y ^(m) ^ ^-1 g (4-3-31)
O fato de que o método de "Gauss-Seidel" utiliza os úl.
timos elementos de í^"^^^^ quando na solução de equações su
cessivas produz um fator duas vezes melhor na redução do êr
ro por iteração do que o método "Jacobi".
Ê possível acelerar a convergência do esquema de itera
63-
^(m+i /2) ^ _ 1 _ ( 3 . _ Y aij éf-- ) - I aij éf^M aii j = i j=i+i -'
(4-3-92)
onde: ,(m+ 1 / 2 ) ,. ~ ^ o • J T (|) avaliação Gauss-Seidel
proveniente de SOR da (m+l)-ésima iteração
j proveniente de SOR da (m)-ésima iteração.
^ ( m + 1 ) - ~ i . Agora if • o calculado como u m a combinação linear
de (^^^'^•^^'^^e a anterior SOR reiterada.
.(m+1) _ , (m+ 1 / 2 ) , w (m) *i - ^1 - "^*i • (4-3-33)
Aqui a extrapolação ou parâmetro de aceleração w esta
compreendido entre 1 e 2. Ë claro que para ü)=1 nós retorna
mos ao método de "Gauss-Seidel" em que nenhuma extrapolação ê
usada.
O algoritmo iterativo para cada elemento pode então ser
escrito como
.(m+1) _ 0) ,(m+i) r ^(m). ^ <l'^ - -^j^ (Sl - ¿ ai] (j). - l a i 3 ()). ) +
j = i j=i+l
+ (1 -u))<fr| ^ . (4-3-34)
ção ainda mais, pela introdução de um parâmetro de aceleração
para extrapolar a avaliação do fluxo iterativo. Este processo
é conhecido como o método de relaxação forçado sucessivo
(SOR) e pode ser ilustrado pela consideração de como nós uti
lizamos a iteração $ " ^ para determinar a avaliação de de
^(m+1)^ O primeiro passo no cálculo de (j)|™"^''") é computar a
avaliação Gauss-Seidel, que nós classificamos como <^^^'^^^^^
por conveniência.
-64-
0 valor ótimo de w dando a máxima taxa de convergen
cia pode ser relativo ãs características da matriz original
A . Em certos casos nós podemos encontrar uma taxa de con
vergência tal como duas ordens de magnitude maior do que o
método "Jacobi". Deveria ser notado, entretanto, que a ava
liação usada para w pode fortemente afetar a taxa de con
vergência deste método, e este w frequentemente deve ser
determinado por experiência.
Métodos multo similar podem ser aplicados ã problemas
de difusão de três dimensões. Neste caso a matriz difusão A
tem elementos nas sete diagonais como indicado abaixo
(4-3-35)
Novamente métodos iterativos são utilizados nos quais
os elementos da diagonal externa são manipulados em uma ma
neira similar aqueles usados em problemas de duas dimensões.
Entretanto existe alguma redução nas taxas de convergência
iterativa devido a uma perda de procedimento implicação cau
sada pelos elementos da diagonal adicional.
Tais algoritmos iterativos para a solução das equações
de diferença finita caracterizando problemas de difusão de
duas ou três dimensões são frequentemente referidos como "i
terações internas". Esta terminologia aparece do fato de
que em cálculos de criticalidade de reatores nuclear, a so
lução da equação de difusão ê envolvida por ora em um outro
esquema iterativo, conhecido como "iterações de fonte" ou
"iterações externas", necessária para manipular a presença
de um termo de fissão.
4.4 PESQUISAS NUMÉRICAS DA CRITICALIDADE
Como foi visto na teoria de um grupo de energia(conf.
Secção 3.1) a equação de difusão para um reator critico foi
escrita como:
-65-
o P E S Q U Í S A S E M E " . : '
-Dv2()>(r) + E34)(r) = vZf<i>{r) . (4-4-1)
Entretanto, quando desejamos efetuar um cálculo de cri
ticalidade nós introduzimos um parâmetro arbitrário "K" nes
ta equação tornando-a :
-Dv2<|,(r) + Ea<í¡(r) = -vEf(t)(r) , (4-4-2) K
de modo que quando K=l, retornamos â equação (4-4-1) onde o
reator é crítico.
NÓS também vimos em teoria de um grupo de energia como
nós podemos obter uma condição de criticalidade para um rea
tor uniforme descoberto. Vamos agora ver como a pesquisa de
criticalidade é conduzida em cálculos práticos de reator
nos quais métodos numéricos devem ser usados para resolver a
equação de difusão de uma velocidade (um grupo). Para simpli
ficar nossas manipulações vamos primeiro reescrever o proble
ma de autovalor crítico da equação (4-4-2), em notação de q
perador como:
M <j) = - F ^ , (4-4-3) K
onde
MO = -V.D(r)V° + Ea(r)° E "Operador Destruição"
(fuga + absorção)
F" E vEf(r)° = "Operador Produção" (fissão)
É claro que em qualquer solução numérica, métodos de
diferença finita levarão ã uma representação da equação de
difusão de neutron equação (4-4-3) como um problema de auto
valor da matriz para o autovalor k"'*' . A solução de tais
problemas de autovalor pode ser realizada usando uma técnica
comum de análises numéricas conhecida como o "método de po
tência". Nós introduziremos este esquema usando argumentos
físicos.
-66-
Primeiro devemos notar que se nós assumirmos que o ter
mo "fonte de fissão " S = F(() no lado direito da equação
(4-4-3) fosse conhecido, então a parte restante da equação
seria efetivamente a exata equação de difusão para o fluxo
de neutron resultante desta fonte em um meio não multiplica
tivo. Nós já sabemos como resolver este problema (conforme
seção 4-2), mas nós não conhecemos realmente a "fonte de fis
são" FiJ) uma vez que esta envolve (j). Assim, nós tentaremos adi
vinhá-la fazendo uma estimação inicial de
S(j.) H F(() S^°^ (r), K = K^°^ . (4-4-4)
Nós resolveremos a seguir para o fluxo (j) resultante
desta fonte estimada:
M^(l) = - V.DV^(l) + E^,(l) . S(0) , (4-4-5) a j (0)
usando nossos processos anteriores. Com esta solução nõs po
demos agora calcular explicitamente a fonte de fissão resul^
tante deste «l»''" como
S(l) = F*(l) = vE,<^<^) . (4-4-6)
Esta pode então ser tomada como uma nova estimação da ~ (2)
fonte de fissao e ser usada para gerar um novo fluxo (j) ,e
assim sucessivamente, mas com a condição de que nós também
podemos gerar melhoradas estimações de K. Isto é, nõs pode
mos resolver iterativamente para uma estimação melhorada de
foi
de
fonte S ' ' ^ de uma estimação anterior S '^ pela solução
M^(n+1) = ^ s^") , (4-4-7) K(n)
para (f»''''' e então calculando
g (n+1) ^ (n+1) . (4-4-8)
-67-
„.(n+l) - 1 - . (4-4-9)
j^(n+l) (4 4 y)
A convergência de <j) para (ti(r) e K ' ) para K pode
ser provada matematicamente. Pode ser também induzido fisi^
camente pelo reconhecimento de que se na verdade nós tivés
sernos ajustado K tal que um perfil do estado estacionário
ou um fluxo auto-sustentável fosse possível, então indife
rente da estimação da fonte de fissão inicial, gerações su
cessivas de neutron de fissão finalmente cairão dentro des^
ta distribuição.
Agora para n finito, é altamente pouco provável que
^ (n+1) ^ j^(n+l) satisfarão a equação (4-4-3) exatamente
Contudo se nós integramos a equação (4-4-9) sobre todo o es
paço, nós seríamos capaz de obter uma estimação razoável pa
ra K^^-'^^ como
^(n+l) JdirZiÍ!i:ii ^ (4_4_io)
fd^r M,,,
Entretanto F(() ' ''") é exatamente ò. (n+l)-ésima estima
ção da fonte de fissão enquanto que nós podemos usar a equa
ção (4-4-7) para escrever Mcf) (""'""'•) em termos da n-ésima es
timação desta fonte para determinarmos
^(n+1) ^ f d ^ s("^^)(r) (4-4-11)
1 fd3r S(") (r) ^(n)
Entretanto nós também precisamos de uma prescrição pa
ra a geração de estimações melhoradas de K^^^^.
Esta prescrição pode ser obtida retornando ao nosso
problema de autovalor original equação (4-4-3). Quando n
torna-se grande, nõs poderíamos antecipar que (se nosso es
quema de iteração de fonte de fissão realmente atua) cj)'"'"')
convergirá para ã autofunção verdadeira i>{r) que satisfaz a
equação (4-4-3) isto é, para n grande
-68-
Nôs podemos agora usar esta relação para computar
novo valor oara K ' '*' )usando < ( ' ) e K^^^^.
um
Nos deveríamos notar que esta prescrição é totalmente
consistente com nossa interpretação anterior de K como o fa
tor de multiplicação, isto é, a razão do número de neutrons
em duas gerações de fissões consecutivas, se nós notarmos
que um fator de K deve ser inserido no denominador visto
que (K )~-'-S é de fato a fonte de fissão efetiva que gera
S (n+1)
Nós podemos agora usar as equações (4-4-7), (4-4-8) e
(4-4-11) como as bases de um algorítimo iterativo para deter
minar K e (|). Para n grande, nós esperamos que <\) convergirá
para a autofunção fundamental da equação (4-4-3) correspon
dendo ao maior autovalor Keff para o qual K ' ) converge. Na
prática nós continuamos esta iteração até que o erro em K
e/ou S decresça abaixo de alguma quantidade especificada:
K (n)
e/ou
max s(n) _ g(n-l)
(n)
(4-4-12)
< €2
Note que pela gradação do termo de fonte que aparece na
equação de difusão equação (4-4-3) que é um fator 1/K^^^ em
cada iteração, nós preveniremos o rápido crescimento ou de
créscimo de iteração de fonte sucessivas no fato que um núme
ro de iterações são exigidas quando K não esta próximo da
unidade. Isto é, dividindo-se o termo de fonte por K ' ^ remo
ve-se a dependencia do fluxo iterado <)) ("'"•'-) em n (pelo me
nos quando ^^^^"^^ se aproxima da solução certa).
Este esquema iterativo, para determinar o fator de muí
tiplicação efetivo, Keff e o correspondente fluxo <|)(r) é co
nhecido como método de "iteração de potência" ou de " itera
-69-
K K
6 (S(n-l) _ s(^-2)).
(4-4-15)
Os parâmetros de extrapolação a e B estão compreendi
ção de fonte". As iterações propriamente são conhecidas como
"iterações de fonte" ou "externa".
Em adição a tais "iterações de fonte" ou "externa",tam
bém será exigida a execução de "iterações internas" para re
solver o problema de difusão
M^(n+1) = - 1 s^^) , (4-4-13)
quando cálculos de duas ou três dimensões são necessários.
EXTRAPOLAÇÃO DE FONTE
Desnecessário dizer, que existe forte estímulo para
executar tão poucas iterações quanto possível para a conver
gência â uma desejada precisão. Por esta razão, usualmente
tenta-se acelerar a convergência da "iteração de fonte" pela
extrapolação ã frente para uma nova fonte (estimação). Isto
é realizado introduzindo um parâmetro de extrapolação (tal
como é usado nos métodos de relaxação). Por exemplo, um pa
râmetro de extrapolação seria
(4-4-14)
Com um segundo parâmetro de extrapolação temos
-70-
4.5 SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS E Q U A Ç Õ E S D E DIFUSÃO MULTIGRUPO
Nós agora vamos considerar uma estratégia para resol
ver as equações de difusão multigrupo em computadores digi
tais. Começaremos escrevendo as equações de multigrupo (con
forme equação (3-3-22), secção 3-3), em mais detalhes como:
> *
-^•V<^G ^RG*G = k ^ G ^ ^ ^slGn-" 'SG-1,G*G-1.
* (4-5-1)
Note que aqui nós definimos a fonte de fissão como
Sír) = l V E ((. .(r) . (4-5-2)
Ê muito importante notar que a dependencia espacial
da fonte de fissão é idéntica em cada equação de difusão de
grupo.
Agora o esquema essencial é exatamente como o ante
rior. Nos começamos pela atribuição de um termo de fonte ,
dos entre O e 1 , e podem ser escolhidos pelo uso de mé ~ 19 todos baseados na interpolação polinomial de Chebyshev.
-71-
S(r) e um autovalor de multiplicação K:
S(r) ~ S^°Nr) , k ~ K^°) . (4-5-3)
A seguir nós calculamos o fluxo no primeiro grupo:
Tendo obtido este fluxo, nós podemos então proceder â
equação de difusão caracterizando o próximo grupo de ener
gia mais lento.
(4-5-5)
e resolvê-la para ({i (r) uma vez que o lado direito desta 2
equação é agora conhecido. Nós podemos continuar desta ma
neira até determinarmos todos os fluxos dos grupos.
4 ( 1 ^ ) , <D^'^r), ^¡^Ur) <}>(i) (r). ^ 2 (4-5-6)
Tendo feito isto, nós podemos então calcular uma nova
fonte de fissão
S^^^ (r) = I ^a.^fa- *al ' (4-5-7) g'=i y ^9 g
e também um novo valor de K
k ' 1 ' = f^^rS^^Ur) , 4 . 5 . 8 ,
-72-
Nós podemos então proceder a execução de cada iteração
de fonte pela solução das equações de multigrupo em direção
as energias mais baixas. Este esquema de solução sucessiva
das equações na direção de energias mais baixas é permitido
pela consideração que não há nenhum espalhamento de neutrons
para grupo de energia mais alta do que agüela do grupo
onde eles se encontram "upscattering". Isto significa que o
fluxo nos grupos de energia mais alta sempre determinam o
termo de fonte nos grupos de energia mais baixa.
Se nós escolhermos uma estrutura de multigrupo, na
qual mais do que um grupo é atribuido estar na faixa de ener
gia térmica, na qual pode ocorrer apreciável "upscattering",
então a solução de grupo sucessivo das equações de difusão
multigrupo não é mais possível. Nós devemos resolver as equa
ções caracterizando o grupo térmico simultaneamente. Se o
número de grupos acoplados totalmente nos quais ocorrem
"upscattering" bem como "downscattering" é pequeno, uma solu
ção simultanea direta pode ser realizada. Entretanto se o
número de grupos térmicos é grande, como pode ser em cálcu
los de espectro térmico, então esquemas de soluções iterati
vas serão necessário (similar aquelas iterações internas usa
da em cálculos de difusão multidimensão).
Muito se sabe sobre a natureza matemática de problemas
de autovalor de difusão multigrupo. ' " ^ Afora as restri
ções de fuga nos grupos e suas condições de contorno, nós po
demos mostrar que existirá sempre um máximo autovalor Keff
que é real e positivo. A correspondente autofunção é única
e naõ negativa em todo o interior do reator. Esses aspectos
são reasegurados, porque nós poderíamos antecipar que o
maior autovalor caracterizará a multiplicação do sistema, e
a correspondente autofunção descreverá a distribuição do flu
xo dentro do caroço (que não pode ser negativo). Pode-se tam
bém demonstrar que a iteração de fonte acima convergirá para
este autovalor Keff "dominante positivo" bem como a autofun
ção correspondente.
Na prática, entretanto, nõs também devemos discretizar
a dependência espacial afim de resolver as equações de difu
são de grupo. Isto é, escolhemos uma malha espacial e um es
-73-
ESTRATÉGIAS PARA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DIFUSÃO DE
MULTIGRUPO DIFERENCIADAS - FINITAS.
Se nós relembrarmos a discusão geral de representações
de diferença finita das equações de difusão de neutron dada
na Secção (4-1), é aparente que a estrutura geral das equa
ções de difusão multigrupo diferenciadas-finita toma a for
ma =
J D?. J D?. g-1
K ^,^1 g' fi ^ig* • (4-5-9)
(Notar aqui que nós escreveremos ocasionalmente o índi
ce g do grupo como um superescripto afim de evitarmos con
fusão com os índices i e j da malha espacial). Observar ,
que além do acoplamento de fluxos de grupo de energia dife
rente em um dado ponto da malha devido ã fonte de fissão e
espalhamento, a equação de diferença finita é acoplada bem
como o fluxo em pontos adjacentes da malha espacial por cau
sa dos efeitos da difusão espacial.
Se nós denotarmos o numero de pontos da malha espacial
por N e o número de grupos por G, então a equação (4-5-9)
representa um conjunto de GxN equações algébricas lineares
simultaneas. Nós usualmente normalizamos o fluxo em um ponto
da malha espaço e grupo de energia (desde que em toda sua
extenção a normalização do fluxo é arbitrária em um cálculo
de criticalidade). Assim nós temos GxN equações disponível
para determinar os GxN-1 fluxos e a multiplicação autovalor
Keff. Como fizemos antes, é conveniente reescrever este con
• 'l PT: o Q U l S A S E N t 1
quema de diferença finita, exatamente como nós fizemos nas
Secçoes (4-2) e (4-3), e então discretizamos ãs equações de
difusão para cada grupo.
-74-
junto de equações como ura problema de autovalor da matriz co
mo
(4-5-10)
EXEMPLO :
Considerando quatro grupos de energia com uma malha
espacial de duas dimensões de 5x4. Então cada matriz tem 2
(4x5x4) = 6400 elementos e o vetor fluxo <t) tem 80 elementos.
Uma típica atribuição é que os neutrons de fissão aparecem
somente no grupo de energia mais alto, Xj = 1 / Xg = O , g>l •
Além disto, nós assumiremos grupos acoplados diretamente de
modo que l^^,^ = O se g' ^ g-l- Nós podemos explicitamente e
xibir a estrutura do problema de autovalor da matriz neste ca so, como mostrado na figura (4-5-1).
15
1 K
FIGURA - 4-5-1
Estrutura da matriz de uma malha espacial de 5x4 em
grupos de energia. \
\ \ ^
'Si (Ai,1-5)2 (Ai,1-1)2 Ri (Ai,i-5)2
+ D i 2,i-1 ^ D i 2 ,1+1 ^ Di 2,1+5 _ D i 2,i + 1 ^
(Ai,1-1)2 (Ai,1+1)2 (Ai,1+5)2 (Ai,i+1)2
(4i,i+5)2
-75-
rg -g KÍn) -g =g-l ^g-i %
(4-5-12)
resolvendo primeiro para o grupo de energia mais alta,g = 1
(notando que R^ E O , '^Q^^ = 0) , e então usando <í>|' ^ ^ pa
ra resolver ~ (í>2 " ^ , e assim sucessivamente para os gru
pos mais baixos (em energia).
EXEMPLO ;
Se nós retornarmos ao nosso problema anterior cuja ma
lha espacial era 5x4 e tínhamos 4 grupos de energia nós en
contramos que cada matriz na equação não-homogenea de gru - 2
po equação (4-5-12) tem (5x4) = 400 elementos enquanto que
o fluxo e os vetores fonte possuem 20 elementos. Observa
mos que a fonte de fissão S^"^ vai a zero para todos os
grupos de energia menos para o grupo de energia mais alta
desde que Xg = O , g > 1. Além do mais o grupo de energia
mais alta obviamente não tem moderação de fonte. A forma da
matriz da equação de difusão de grupo equação (4-5-12) é
mostrada na figura (4-5-3) para este exemplo.''"^
Vamos agora rever a estratégia iterativa geral para
solução deste problema de autovalor.
1. Primeiro faz-se uma atribuição inicial para o ve
tor fonte S^^^ e também para o autovalor K^^^ .
2. Neste ponto nós procedemos ã solução da matriz e
quação não homogênea ,
M <^("+l) = 1 s^"^ , (4-5-11)
para o próximo fluxo iterado, ({> ^ . Esta solução envolve
um determinado número de passos:
2.1 Nós resolvemos a equação de difusão não homo
genea caracterizando cada um dos grupos de energia g
-76-
do vetor fonte de fissão F (|)('"* ) com a equação definindo o
M = F^(^) , (4-5-13) ~ K ~
e então notando que presumivelmente
M $(^^1) = F , (4-5-14)
para encontrar
p .(n+1) „ AÍn+l)
K^-^^ = K^-) (4-5-15)
4. Neste ponto nós testamos a iteração de fonte para
convergência, tal como
2.2 Ê claro , que mesmo para um único grupo a so
lução da equação de difusão não homogênea equação (4-5-12 )
não é um assunto trivial. Para problemas multidimensão, têc
nicas iterativas serão necessárias como àquelas discutidas
na Secção (4-3)(isto ê, SOR).Tais iterações internas usual
mente tomam o fluxo estimado anterior como sua prl.
meira atribuição na solução da equação (4-5-12).Deveria ser
mencionado que uma variedade de esquemas tem sido propostos
(e utilizados) para relacionar tais iterações internas ãs
iterações Tfonte) externas para acelerar ã convergência.
3. Tendo obtido o fluxo estimado ([) ^ , nós pode
mos agora determinar o próximo autovalor multiplicação esti
mado. Uma variedade de esquemas ponderados podem ser usados
para determinar a razão de estimações de fonte de fissão. Um
desses esquemas pode ser derivado tomando o produto escalar
do vetor fonte de
esquema iterativo
-77-
j^(n+l) _ j (n)
K < e (4-5-16)
ou um critério "poinwise"
max ,(n+l)
!2i - s
, (n+1)
(n)
2Í < e (4-5-17)
(ou ambos). Se a mudança no K^"^ ou os elementos de S ' ^ ou
(|> são suficientemente pequeno, nõs assumimos que a conver
gência foi atingida, e o processo iterativo é terminado. Se
este não for o caso, então uma nova fonte de fissão é calcu
lada e a iteração continua.
FIGURA - 4-5-3
Estrutura da matriz de cálculo de difusão de grupo
\ \ \
( A 7 , 2 ) ^ ( A 7 , 6 ) ^ ^"^ ( A 7 , 2 ) 2 ( A 7 , 6 ) ^ ( A 7,8 ) 2
(A7,12 )2 (A7,8)^
(A7,12)2 '
\
(S Kn-l) \ ) (0) (0)
\ se
g=l
(0) (E ^ 1 - g ) (^g(n) S7
\ )
se g>l
.-78-
~ " Z ~ ^ l ~ ~
(4-5-18)
A natureza positiva dos operadores de difusão mui
tigrupo implica em propriedades similares para as matrizes
resultantes das diferenciiações finita destas equações. As
sim, muitas das conclusões formal concernentes ã convergên
cia para o autovalor dominante bem como a auto-função pode
também ser mostrado se manterem para as equações de difusão
multigrupo diferenciadas finita . A teoria de tais processos
numéricos tem sido muito bem apresentada por Varga"^^ e
Wachpress^^ com tratamentos bem mais detalhados.
As equações de difusão multigrupo não são somente
usadas para pesquisas de cálculos de criticalidade (Keff) ,
podem também serem usadas para uma variedade de outras apli
cações. Por exemplo, nós podemos usar estas equações para
determinar o fluxo de neutron mantido em uma montagem subcri
tica por uma fonte no estado estacionário (conservando o têr
mo de fonte nas equações de difusão multigrupo).
6. Usualmente a fonte de fissão S^^^ usada na próxima
iteração é escolhida através de um esquema de extrapolação (
conforme Secção (4-4) para acelerar a convergência de itera
ções de fonte, por exemplo.
-79-
CAPITULO V
APLICAÇÃO DOS CÕDIGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS PADRÕES
5.1 Problema Padrão de Identificação - 3
Identificação (AMERICAN NUCLEAR SOCIETY)
Submetido : Outubro 1967 Aceito : novembro 1967
Título : Um homogêneo "slab" em duas dimensões para
o qual são disponíveis soluções analíticas.
Configuração : A figura 5.1.1 mostra as dimensões pa
ra o "slab" e condições de contorno.
dx
X
- 67,5 cm <)) = O
M = O
ay
Fig\ira 5.1.1
"Slab" Homogêneo
T í
<\>=0
13,5cm
- 8 0 -
C O N S T A N T E S D O S G R U P O S D E E N E R G Í A
Comp. Grupo i Di ^a,i^ ^r,i^ f .• 1 ^ 1
(cm) (cm"l) (cm"l) (cm^l)
1 1 1,6 0 , 0 1 0 , 0 4 0 , 0 2 0 , 9 0
1 2 1,4 0 , 0 2 0 , 0 6 0 , 0 1 0 , 0 9
1 3 1,2 0 , 0 3 0 , 0 6 0 , 0 2 0 , 0 1
1 4 1,0 0 , 1 0 0 , 0 6 0 , 0 4 0
1 5 0,8 0 , 0 5 0 , 0 8 0 , 1 0 0
1 6 0,6 0 , 0 7 0 , 1 0 0 , 1 2 0
1 7 0,4 0 , 0 9 0 , 0 8 0 , 1 5 0
MATRIZ TRANSFERÊNCIA E(i^g)
g
Grupo i 1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 , 0 1 5 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 0 5 0 0
2 0 0 0 , 0 2 0 , 0 2 0 , 0 1 0 , 0 1 0
3 0 0 0 0 , 0 2 0 , 0 2 0 , 0 1 0 , 0 1
4 0 0 0 0 0 , 0 3 0 , 0 2 0 , 0 1
5 0 0 0 0 0 0 , 0 5 0 , 0 3
6 0 0 0 0 0 , 0 2 0 0 , 0 8
7 0 0 0 0 0 , 0 2 0 , 0 6 0
Nota:
r,i = g
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA PADRÃO
Identificação : 3-Al Situação de Fonte; ID-3
Submetido : outubro 1 9 6 7 Aceito : novembro 1 9 6 7
Titulo Descritivo : Forma discreta de um problema de difusão
de neutron duas dimensões, multigrupo.
problema Especifico de Interesse : Determinação de Keff (fa
tor de multiplicação)para vários arranjos de malha de dife
rença finita.
Resultados Esperados : Dependência do autovalor na estrutura
da malha e no número de iterações.
-81-
SOLUÇÃO DO PROBLEMA PADRÃO
Identificação : 3-Al-l , 3-A1-2
3-A1-3 , 3-A1-4
Problema Padrão: ID-3-A1
Sxibmetido : outubro 196 7 Aceito : novembro 1967
Titulo Descritivo : Solução do Problema Padrão 3-Al, formu
lação Analítica.
Equações Analítica :
,2 (D„B^ + h „ + „) X„ = l n a,n r , n n ¡^e^ f,g G ^ (g-»'n) g
onde X é uma variável espacialmente independente e g e n rafe
rem-se â grupos discretos e para a solução continua (Solução
3-Al-l).
2H
Primeiros Resultados :
Tabela 5.1.1.
Valores de KgpEip-j-yQ
FORMULAÇÃO ANALÍTICA
N9 da Solução Malha (IxJ) ^EFETIVO
3-Al-l CONTINUO 0,77454513
3-Al-2 9 x 3 0,80495374
3-Al-3 24 X 6 0,77793795
3-Al-4 69 X 15 0,77492226
Resultados Publicados
(A.N.S.) (American Nuclear Society)
-82-
• 2 Resultados e Comentários para o Problema Padrão de I-
dentificação-3.
Apresentamos a seguir os resultados obtidos por nós pa
ra a série de Problemas Padrões 3-Al.
Na Tabela (5.2.1), são mostradas as soluções obtidas
com o código EXTERMINATOR-2 utilizando-se um computador IBM-
370/155.
Na Tabela (5.2.2), são mostradas as soluções obtidas
com o código CITATION utilizando-se um computador IBM/3 7 0-155.
Tabela 5.2.1.
Valores de K^p^^IVO ^
C C D I G O E X T E R M I N A T O R - 2
N9 da Solução Malha (IxJ) ^ E F E T I V O
Tempo de U.P.C. Min : Seq
3-Al-2 9 x 3 0,804940 0:08
3-Al-3 24 X 6 0,777939 0:38
3-Al-4 69 X 15 0,774914 7:28
U.P.C. = Unidade de Processamento Central
Tabela 5.2.2.
Valores d e K ^ , . e U . P . C . efetivo
C O D I G O C I T A T I O N
N9 da Solução Malha (Ixj) ^ E F E T I V O
Tempo de U.P.C. Min : Seg
3-A1-2 9 x 3 0,804960 0:08
3-Al-3 24 X 6 0,777940 0:20
3-Al-4 69 X 15 0,774924 3:15
/
-83-
; r i i C Q U i S A S e m c i - :
C O M E N T A R Í O S
Podemos ,'através de urna observação detalhada das Tabela
(5.2.1)^e^Tabela (5.2.2) onde sao apresentados os autovalo
res dos problemas e comparando-os com aqueles publicados pe
la "American Nuclear Society" notamos que existe urna consis
tência muito grande entre os nossos resultados obtidos com
os códigos C I T A T I O N e E X T E R M I N A T O R e com os publicados. Con
vém resaltar que os desvios dos nossos resultados para com
os publicados nunca excedeu ã 0,001%.
-84-
5.3 Problema Padrão de Identificação - 13
SITUAÇÃO DE FONTE PADRÃO
Identificação : 13 (American Nuclear Society)
Submetido : novembro 1975 Aceito : junho 1977
Título : Transporte de neutron em um conjunto de barras com
bustíveis de um B.W.R.(Boiling-Water Reactor) em
uma montagem 7x7 como mostrado na figura (5.3.1)
Análises da montagem em duas dimensões.
LARGA ZONA DE ÃGUA
w Q
O tsi
H W « EH CO W
PAREDE DA MONTAGEM
3 2 2 2 3 3 4
1 1 1 5 1 2 3
1 1 1 1 1 1 3
1 5 1 1 1 5 2
1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 5 1 1 2
2 1 1 1 1 1 3
PAREDE DA MONTAGEM
ê
Q
o
Oí
3
ESTREITA ZONA DE AGUA
Figura - (5.3.1) Diagrama do Conjunto.
Materiais 1 ã 4 representam combustíveis
Material 5 representa combustível com veneno
Material da parede da montagem ê de aço inoxidável,
-85-
DEFINIÇÃO DO PRQBLEflA P A D R A O
Identificação : 13-A2 Situação de Fonte : ID-13
Submetido ; janeiro 1977 Aceito : junho 1977
Título Descritivo : Problema de teoria de difusão para um
conjunto L.W.R.. Este problema é definido exatamente como o
Problema 13-Al mas com D = 1/3E^ (para cada grupo), resul
tando em um problema de teoria de difusão em dois grupos de
energia e em duas dimensões. (Problema 13-Al é um problema
sobre teoria de transporte).
Soluções : Diferenças Finitas : ID-13-A2-1
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA PADRÃO
Identificação : 13-Al Situação de Fonte : ID-13
Submetido : novembro 1975 Aceito : junho 1977
Título Descritivo : Modelo de Ordenadas Discretas em duas di
mensões (X-Y), em dois grupos de energia de um conjunto "Bun
dle" combustível de um B.W.R. como mostrado na figura ...
(5.3.2)
Condições de contorno refletida nas superfícies externas.
CONSTANTES DOS
DOIS
GRUPOS
DE
ENERGIA
Composição
Grupo i
vif (cm"l)
Ea{cm~l)
El-2 (cm-1)
D (cm)
1
1
5.925-3
8.983-3
1.069-2
1.317
2
9.817-2
5.892-2
—
X
—
5.815-1
2
1
5.242-3
8.726-3
1.095-2
1.314
2
8.228-2
5.174-2
X
—
5.780-1
3
1
4.820-3
8.587-3
1.112-2
1.315
2
7.200-2
4.717-2
—
X
--
5.750-1
4
1
4.337-3
8.480-3
1,113-2
1.316
2
5.900-2
4.140-2
X
—
5.711-1
5
1
5.605-3
9.593-3
1.016-2
1.330
2
2.424-2
1.626-1
—
X
—
5.695-1
6
1
—
X
—
1.043-3
9.095-3
1.535
2
—
x
—
4.394-3
X
—
7.020-1
7
1
X
—
1.983-4
3.682-2
1.346
2
X
—
7.796-3
X
—
2.968-1
1
00
3>
I
-87-
Nota : Material 6 representa aço inoxidável
Material 7 representa água
Material 5 representa pinos com venenos.
Resultados Primários Esperados :
1. Distribuição do fluxo por grupo de energia
2. Keff (fator de multiplicação efetivo)
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0,47625
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0,47625
7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 0,34544
7 6 3 2 2 2 3 3 4 6 7 7 1,87452
7 6 1 1 1 5 1 2 3 6 7 7 li
1,87452
7 6 1 1 T X 1 1 1 3 6 7 7 1,87452
7 6 1 5 1 1 1 5 2 6 7 7 •>
1,87452
7 6 1 1 1 1 1 1 2 6 7 7 1,87452
7 6 1 1 1 5 1 1 2 6 7 7 •í
1,87452
7 6 2 1 1 1 1 1 3 6 7 7 1,87452
7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 0,34544
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0,47498
00
o o
CM 1 -"i 00
CM
00
CM in 00 f-\
00
CS) in r> 00
—
CN in •V r~-00
CM 00
p
o
7
CN
vo
o
'- 3 ID (N VO r-
o
Nota : Todas as dimensões em centímetros.
Figura - (5.3.2) Configuração do Conjunto e
Assinalação dos Materiais.
-8è-
5.4 Resultados e Comentários para o P. Padrão de Identifi
cação - 13.
SOLUÇÃO DO PROBLEMA PADRÃO
Identificação : 13-A2-1 Problema Padrão : ID-13-A2
Submetido ; janeiro 1977 Aceito : junho 1977
Titulo Descritivo : Solução Teoria de Difusão do Problema
Conjunto L.W.R.
Código : VENTURE"^^ (ORNL-5062) , diferença finita de malha
centrada,VANCER , ( a ser documentado)
Resultados : O problema foi resolvido com vários arranjos de
pontos de malha uniforme e assumindo D = 1/3E^ , os resulta
dos publicados pela "American Nuclear Society" (A.N.S.) os
quais foram obtidos com o código VENTURE são apresentados na
tabela (5.4.1), apresentamos também nesta tabela os resulta
dos obtidos com o código "CITATION" no IPEN (Instituto de
Pesquisas Energéticas e Nucleares).
Na tabela (5.4.2) apresentamos os resultados
obtidos com o código VANCER , publicados pela A.N.S., bem
como os resultados obtidos com o código "EXTERMINATOR" no
I.P.E.N..
- 8 9 -
TABELA 5.4.1
Valores de K E F E T I V O
C O D I G O V E N T U R E
Pontos da Malha
Pontos por Região
^ E F E T I V O
12 X 12 1 1,09238
24 X 24 4 1,08759
48 X 48 16 1,08606
96 X 96 64 1,08565
C Õ D I G O C I T A T I O N
12 X 12 1 1,092384
24 X 24 4 1,087601
48 X 48 16 1,086059
96 X 96 64 1,085605
T A B E L A 5.4.2
Valores de K E F E T I V O
C O D I G O VANCE P.
Pontos da Malha
Pontos por Região ^EFETIVO
13 X 13 1 1,08061
25 X 25 4 1,08389
49 X 49 16 1,08506
CÕDIGO EXTERIIINATOR-2
13 X 13 1 1,05513
25 X 25 4 1,08283
49 X 49 16 1,8458
-90-
OBS.:
O código VANCER conforme própria (A.N.S.) não é ainda
um código bem estruturado para resolver pequenos problemas
de uma maneira mais eficiente."^
Na tabela (5.4.3) são mostrados valores dos fluxos rã
pido para um arranjo de 48 x 48 malha centrada, obtidos com
os códigos VENTURE e CITATION.
Na tabela (5.4.4), são apresentados valores dos fluxos
térmicos para um arranjo 48 x 48 malha centrada, obtidos com
os cõdigos VENTURE e CITATION.
Na tabela (5.4.5), são mostrados valores dos fluxos râ
pido e térmico, para vim arranjo 49 x 49 (margem da malha) ,ob
tidos com o código EXTERÍlINATOR-2.
-91-
Tabela 5.4.3
Valores dos fluxos médios x 100 por zona para os casos, VENTURE e CITATION malha centrada 48 x 48, (fluxo rápido).
l h , 8 4
1 6 , 8 4 2
1 6 , %
1 6 , 9 5 4
1 7 , 1 1
1 7 , 1 1 1
1 7 , 1 2
1 7 , 1 2 4
1 7 , 0 1
1 7 , 0 0 9
1 6 , f O
1 6 , 7 9 4
1 6 . 4 7
1 6 , 4 6 3
1 6 , 0 1
1 6 , 0 0 6
1 5 . 7 4
1 5 , 7 1 9
1 5 , 6 6
1 5 , 6 6 1
1 5 , 6 2
1 5 , 6 1 5
1 6 , 8 9 5
1 S , 9 3
1 6 , 9 2 8
1 7 , 1 « j 1 7 , 2 3
1 7 , 0 6 1 1 1 7 , 2 2 9
1 7 , 2 4
1 7 , 2 3 9
1 7 , 1 2
1 7 , 1 2 1
1 6 , 9 1
1 6 , 9 0 6
1 6 , 5 8
1 6 , 5 7 6
1 6 , 1 1
1 6 . 1 0 4
1 5 , 8 1
1 5 , 8 0 9
i 5 , 7 2
1 5 , 7 2 1
1 7 , 0 1
1 7 , 0 0 8
1 7 , 0 6
1 7 , 0 5 9
1 7 , 2 2 1 1 7 , 4 1
1 7 , 2 2 2 i 1 7 , 4 0 4
i
1 7 , 4 1
1 7 , 4 1 4
1 7 , 2 9
1 7 , 2 8 9
1 7 , 0 8 j Id,75
1 7 , 0 7 6 j 1 6 , 7 4 5
1 6 , 2 5
1 6 . 2 5 1
1 5 , 9 2
1 5 , 9 1 9
1 7 . M
1 7 , 3 3 3
1 7 , 4 6
1 7 , 4 6 0
1 7 , 7 1 ; 1 7 , 7 4
1 7 , 7 1 2 1 1 7 , 9 4 0
i
1 7 , 9 3
1 7 , 9 2 3
1 7 , 7 8
1 7 , 7 7 6
1 7 , 5 8
1 7 , 5 8 3
1 7 , 2 6
1 7 , 2 6 2
1 7 , 7 0
1 6 , 6 %
1 7 , 9 4
1 7 , 9 3 8
1 8 , 0 3
1 3 , 0 2 8
1 8 , 3 3 i 1 3 , 5 6
1 3 , 3 2 9 i 13,561) 1
1 8 , 5 2
1 8 , 5 1 9
1 3 , 3 0
1 3 , 3 0 2
1 8 , 2 1
1 8 , 2 0 9
1 7 , 8 9
1 7 , 8 8 8
1 8 , 2 5
1 8 , 2 5 2
1 8 , 3 4
1 8 , 3 3 9
1 3 , 6 1 I 1 ? , 8 2
1 8 , 6 1 4 1 18,fll9
1 8 , 8 5
1 8 , 8 4 5
1 3 , 7 4
1 3 , 7 4 1
1 8 , 5 7
1 8 , 5 7 1
1 8 , 4 0
1 8 , 4 0 8
1 8 , 4 8
1 8 , 4 7 9
1 9 , 7 2 j 1 9 , 8 6
1 8 , 7 2 6 1 1 3 , 8 6 3
1 8 , 9 9
1 8 , 9 3 9
1 8 , 9 5
1 6 , 9 5 1
1 8 , 4 6
1 8 , 4 5 8
1 8 , 5 4
1 8 , 5 4 2
1 8 , 8 1
1 8 , 8 1 2
1 9 , 0 2
1 9 , 0 2 2
1 9 , 0 7
1 9 , 0 6 7
1 8 , 3 9
1 8 , 3 9 5
1 8 , 4 8
1 8 , 4 8 4
1 8 , 7 8
1 0 , 7 7 6
1 9 , 0 3
1 9 , 0 2 7
VtimjRE . • l ' i W K W
1 8 , 1 6
1 8 , 1 5 7
1 8 , 2 4
1 8 , 2 3 6
1 8 , 5 1
1 8 , 5 0 7
1 7 , 9 8
1 7 , 9 7 8
1 8 , 0 4
1 8 , 0 3 7
1 7 , 9 4
1 7 , 9 3 5
-92-
Tabela 5.4.4
Valores dos fluxos médios x 100 por zona para os casos, VENTURE e CITATION malha centrada 48 x 48 (fluxo térmico).
10.01 10.00
9,916 9,916
9 , i j ;
9,527 - J . " 2 1
8.921 9,5EL 3,534 8.534
3 . ' M S
8,915 •>.;n)9
9.670 ; o , 7 ?
10,76 11,52 U.SL
1 1 . 7 7
11.76
11,95 11,94
9.718 9.717
9.553 9,552
9,105 9,105
8.476 8.476
8.103 8,110
8,078 8,078
8.972 8,972
9,240 9,239
10,37 10,366
11.17 11,173
11.52 11.517
9,335 9,335
9,040 9,108
8,612 8,512
7,956 7,956
7.5*0 7,530
7,546 7,546
7.956 7,955
8.739 8,733
9,901 9,900
10,72 10,72
8.415 8,435
3.202 3,208
7,636 7,636
6.929 6,929
6.512 6,512
6,410 6,410
6.889
5.889 7.729 7,728
8,969 8,968
7.216 7.216
6,956 6,966
6.350 6,350
5.616 5.616
5,134 5,134
4,793 4,790
5,469 5,468
6,400 6,400
6,456 «,457
6,M3 6,203
5.553 5,563
4.733 4 .733
4,476 4,475
4.414 4.414
4,760 4,760
6.119 6,U9
5,662 5,662
5,175 5,175
4,205 4,203
4,157 4,167
4.241 4,241
6.190 6,191
5,936 5,936
5,304 5,304
4,531 4,531
4,230 4,229
6,589 €,590
6,338 6,338
5,731 5,731
5,001 5,001 CITATION
7.274 7,053
7,034 7,034
6,460 6,460
7.765 7,765
7,534 7,534
7,929 7,930
-93-
Tabela 5.4.5
Valores dos fluxos médios x 100 por zona do códi
go EXTERMINATOR-2 formulação margem da malha
49 x 49 (fluxos rápido e térmico).
1 6 , 5 8 1
1 0 , J 7 0
1 6 . 6 0 5
1 0 , 2 7 7
1 6 , 7 9 3
9 ,500
1 6 , 9 0 2
9 , 3 1 9
1 6 , 9 0 2
3 ,860
1 6 , 7 7 5
8 , 9 7 3
1 6 , 5 4 8
9 ,354
1 6 , 2 0 2
1 0 , 0 9 0
1 5 , 6 6 3
1 1 , 1 9 0
1 5 , 5 : 6
1 1 , 7 4 0
1 5 , 4 5 ?
1 2 , 0 3 0
1 5 , 4 1 )
1 2 , 1 7 0
1 6 , 7 0 3
9,968
1 6 . 7 4 2
9 ,786
1 6 , 9 1 0
9 , 2 4 9
1 7 , C ^ 7
8,55ft
1 7 , 0 6 1
8,044
1 6 , 9 3 3
8 , 0 5 1
1 6 , 7 0 7
8 , 7 3 6
1 6 , 3 6 1
9 . 5.19
1 5 , 3 8 4
1 0 , 3 2 0
1 5 , 6 4 2 j 1 5 , 5 5 3
1 1 , 1 6 0 i 1 1 , 6 9 0
1 6 , 8 5 3
9 ,526
16,90e 9 , 3 0 7
1 7 , 1 0 5
8 , 7 3 8
1 7 , 2 7 5
8 , 1 0 1
1 7 , 2 6 5
7 , 7 4 9
1 7 , 1 3 0
7 , 7 5 7
16,<i(14 ] 1 6 , 5 6 0
8 , 0 1 3 1 9 , 0 2 7
1
1 6 , 0 5 3
1 0 , 2 0 0
1 5 , 7 3 8
10 ,860
1 7 . 3 7 7
8 ,330
1 7 , 4 5 6
8 , 1 5 8
1 7 , 7 5 5
7 , 4 9 1
1 7 . S 5 1
6 , s i n
1 7 , 9 0 6
6,644
1 7 , 7 3 8
6 , 3 1 9
1 7 , 5 5 4
6 , 4 3 5
1 7 , 2 1 4
7 , 7 5 9
1 6 , 6 2 2
9 , 0 3 1
1 7 . 9 7 1
7 . 1 3 2
1 8 , 0 6 1
6 , 8 9 7
1 8 , 3 9 2
6 , 1 8 9
1 8 , 5 8 0
5 , 5 5 6
1 8 , 4 0 1
5 , 0 1 4
1 8 , 3 1 0
4 ,786
1 8 , 2 1 4
5 , 1 6 5
1 7 , 8 5 6
6 , 4 1 8
1 8 , 2 9 9
6 ,386
1 8 , 3 8 3
6 , 1 4 8
1 3 , 6 7 8
5 , 3 9 7
18 ,840
4 ,658
1 8 , 6 5 3
4 ,426
1 9 , 7 5 9
4 , 4 2 2
1 8 , 5 6 5
4 , 7 5 4
1 8 , 4 6 3
6 ,079
1 8 , 5 4 5
5 , 8 3 8
1 8 , 8 0 5
5 , 0 2 9
1 8 , 9 3 0
4 , 1 7 9
1 9 , 0 3 6
4 , 1 6 7
1 8 , 9 7 6
4 , 2 3 8
1 8 , 5 3 8
6 ,074
1 8 , 6 2 5
6 , 0 3 3
1 8 , 9 2 3
5 , 2 2 0
1 9 , 1 0 3
4 , 5 1 7
1 9 , 1 1 6
4 , 2 1 1
R f t P l D O
• •• -
18 ,486
6 .592
1 8 , 5 8 6
6 , 3 5 7
1 8 , 6 9 9
5,664
1 9 , 1 0 9
4 ,974
1 8 , 2 6 3
7 , 0 4 1
1 8 , 3 4 2
7 , 0 4 8
1 8 , 6 3 2
6 , 3 9 2
1 8 , 1 3 2
7 , 6 3 5
1 8 , 1 9 0
7 , 4 2 3
1 8 , 0 9 8
7 , 7 6 5
-94-
C O M E N T A R I O S
Através de atenta observação ã tabela 5.4.1, verifica
nos ã grande proximidade entre os resultados obtidos para o
fator de multiplicação efetivo para as várias estrutura de
malha com o código CITATION e os resultados publicados pela
(A.N.S.) os quais foram obtidos através do código VENTURE .
Aqui também cabe resaltar que os desvios entre nossos resul
tados e os publicados nunca excederam ã 0,005%.
Na tabela 5.4.2, verificamos alguma discrepância en
tre os valores obtidos com o código EXTERMINATOR-2 e os pu
blicados pela (A.N.S.) obtidos com o código VANCER, mas es
ta discrepância esta ã cerca de 2,5%.
Convém resaltar mais uma vez que o código VANCER não
é ainda bem estruturado para solução de problemas pequenos
de maneira eficiente. Queremos crer também que o código EX
TERMINATOR seja já bastante antigo e portanto também defi
ciente pois data de 1967.
Nas tabelas 5.4.3 e tabela 5.4.4, são apresentados os
valores dos fluxos para uma estrutura de malha de 48 x 48
obtidos com o código CITATION e os publicados obtidos com
o VENTURE. Mais uma vez resaltamos que também para os valo
res dos fluxos o desvio foi sempre menos do que 0.05%.
Na tabela 5.4.5 são apresentados os valores dos flu
xos para um arranjo de 4 9 x 49 obtidos com código EXTERMI
NATOR-2, nesta tabela mostramos os fluxos rápido e térmico.
-95-
5.5 Problema Padrão de Identificação-11
SITUAÇÃO DE FONTE PADRÃO
Identificação : 11 (AMERICAN NUCLEAR SOCIETY)
Submetido : junho 19 76 Aceito : junho 1977
Título Descritivo : Modelo L.W.R. multi-dimensão (X-Y-Z)
Configuração : Configuração em três-dimensões incluindo di
mensões espaciais e números de regiões. (2 figuras) conforme
figura 5.5.1 e figura 5.5.2., definições dos materiais são
dadas através das constantes de grupos.
(on)
170
150
130
110
90
70
50
30
10 O
/
. r - J. = o in
0 10 30 50 70 90 110 130 150 170
(on)
Figura - 5.5.1.
Secção de Corte Horizontal
-ge-
aso
360
280
20 li.
O
(era) barra parcialmente inserida
2
2
2
2
2
2
2
5
3v
3
2
2
2
2
•>3>
/3'
,3
• \
.3,
4 4
4
—
barra totalmen te inserida.
Jin = O
(cm)
I O 10 30 50 70 «íO 110 130 150 170 ^
Figura - 5.5.2.
Secção de Corte Vertical
Condições de Contornos:
Limites Externos : Vacuo (nenhuma corrente chegando)
Limites de Simetria : Reflexão (nenhuma corrente líquida)
-97-
- ^ ^ 2 ^ * 2 + ^ 2 * 2 = ^ - 2 s
Condições de Contorno :
J^j^ = O (nenhuma corrente penetrando, nos limites
externos).
Para códigos de teoria de difusão sob a forma de diferença
finita a seguinte forma é considerada equivalente
^ ^ _ 0,4692
^n °g ^
onde n é a normal ã superfície dirigida para fora.
Nos contornos de simetria :
> - o ^n
Resultados Esperados :
1. Autovalor do problema (fator de multiplicação).
2. Dependência do resultado no espaçamento da malha,
PROBLEMA PADRÃO
Identificação : 11-Al Situação de Fonte : ID-11
Submetido : junho 19 76 Aceito : junho 19 77
Titulo Descritivo : Problema L.W.R. em três dimensões.
Redução da Situação de Fonte
1. Teoria de difusão dois grupos de energia
2. Equações de difusão dois grupos de energia
Dados
Constantes dos dois grupos de energia
Região
1
3
4
5
DjCtm)
D^Ccm)
^^
^2^t.ri\-)
i*-""')
32*«')
^f2
^')
Material
1,5
0,4
1,5
0,4
1,5
0,4
2,0
0,3
2,0
0,3
0,02
0,02
0,02
0,04
0,04
0,01
0,08
0,135
Combustível 1
0,01
0,085
0,135
0,01
0,055
Combustível 2
0,01
0,13
0,135
Comb. 2 + Barra
Refletor
Refl. + Barra
I
VO
00
I
-99-
Resultados do Problema Padrão ID-ll-Al, dois Grupos três Dimensões.
CÕDIGO VENTURE
Arranjo da Malha Número de incógnitas ^EFETIVO
17 X 17 X 19 10982 1,02913
34 X 34 X 38 87856 1,02864
SOLUÇÃO DO PROBLEMA PADRÃO
Identificação : 11-Al-1
Submetido : junho 1976 Aceito : junho 1977
Titulo Descritivo : Problema P.W.R. em três dimensões.
Modelo Matemático : Teoria de difusão, várias formulações de
diferenças.
Programa : 1. VENTURE , ORNL - 5062
2. VANCER , (ORNL) a ser documentado.
Primeiros Resultados :
a. Primeiros resultados obtidos em 1974-1975
com o código VENTURE são apresentados na
Tabela - 5.5.1.
b. Os resultados obtidos fazendo uso do códi
go VANCER são mostrados na tabela - 5.5.2.
Tabela - 5.5.1
-100-
Tabela - 5.5.2
CÕDIGO VANCER
Arranjo da Malha Número de Incógnitas ^EFETIVO
35 X 35 X 39 95550 1,03064
PROBLEMA PADRÃO
Identificação : 11-A2
Submetido : junho 1976
Situação de Fonte; ID-11
Aceito : junho 1977
Título Descritivo ; Problema L.W.R. em duas dimensões
Redução da Situação de Fonte
1. Teoria de difusão dois grupos de energia
2. Duas dimensões geometria (X-Y)
"Buckling" axial B^ = 0,8 x 10 ^ para todas as regiões e z, g
grupos de energia.
Nota : Este problema Padrão em duas dimensões representa o
meio plano (Z = 190cm) do Problema Padrão de Identifi
cação-ll-Al.
Condições de Contorno :
(nenhuma corrente penetrando, nos limites
externos)
Resultados do Problema Padrão ID-ll-Al, dois grupos três
dimensões.
Dados :
Constantes dos dois grupos de energía
Região
D^(.fxi\)
D^^^am) z^^^itTñ^)
l^^Lcm^) 2''')
vZ^^(cm-)
Material
1
1,5
0,4
0,02
0,01
0,08
0,135
Combustível 1
2
1,5
0,4
0,02
0,01
0,085
0,135
Combustível 2
3
1,5
0,4
0,02
0,01
0,13
0,135
Comb. 2 + Barra
4
2,0
0,3
0,04
O
0,01
O
Refletor
I H'
O
H'
I
-102-,
^n
Resultados Esperados;
1. Autovalor do problema (fator de multiplicação)
2. Distribuição dos fluxos
3. Dependencia dos resultados no espaçamento da malha.
SOLUÇÃO DO PROBLEMA PADRÃO
Identificação : 11-A2-1
Submetido : junho 1976 Aceito : junho 1977
Título Descritivo : Problema P.W.R. em duas dimensões
Modelo Matemático : Teoria de difusão, várias formulações de
diferenças.
Programa :
1. VENTURE, ORNL-5062
2. Vancer , (ORNL) a ser documentado.
Para códigos de teoria de difusão sob a forma de diferença
finita a seguinte forma é considerada equivalente
! Í 3 = - 0 . 4 6 9 2
^n °g ^5 '
onde n é a normal â superfície dirigida para fora.
Nos contornos de simetria :
-103-
Prlmeiros Resultados;
a. Primeiros resultados obtidos em 1973-1974 são mos
trados na Tabela 5.5.3 utilizando-se código VENTURE.
As tabelas 5.5.4 e 5.5.5 apresentam valores dos
fluxos médios.
b. Resultados com o código VANCER usando a formulação
de(margem da malha), são mostrados na Tabela 5.5.6, cálculos
efetuados em 1976 em um IBM-360/91.
Tabela - 5.5.3
Valores de K EFETIVO
CÕDIGO VENTURE
Arranjo da Malha Número de Incógnita ^EFETIVO
17 X 17 578 1,02965
34 X 34 2312 1,02924
68 X 68 9248 1,02944
DIAGRAMA PARA
LOCALIZAÇÕES.
T A B E L A 5 . 5 . 4
F L U X O M É D I O G R U P O R S P I D O P O R Z O N A - V E N T U R E
- 1 0 4 -
L O C A L I Z A Ç Ã O 17x17 34x34 68x6 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 26 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
1 9 , 2 8 2 6 , 4 2 2 8 , 4 3 2 3 , 8 7 1 4 , 9 2 1 7 , 0 9 1 5 , 8 0 1 0 , 3 7
1 ,202 2 8 , 4 6 2 8 , 8 7 2 5 , 4 5 2 0 , 3 9 1 8 , 6 2 1 5 , 9 8 10 ,06
1 , 1 4 4 2 8 , 3 8 2 5 , 5 9 2 1 , 7 7 1 8 , 8 5 1 5 , 5 3
8 , 1 7 6 0 , 8 5 6
2 2 , 5 0 1 7 , 9 7 1 5 , 7 0 1 1 , 6 2
2 , 1 0 4 0 , 2 3 9
1 0 , 7 9 1 1 , 1 8
7 , 1 3 6 0 , 8 4 9 7 , 0 7 1 1 , 4 1 7 0 , 1 9 0 0 , 2 2 1
1 9 , 3 7 2 5 , 3 0 2 7 , 4 6 2 3 , 0 6 1 5 , 3 2 1 7 , 0 1 1 6 , 1 5 1 0 , 7 6
1 , 5 3 1 2 7 , 2 8 2 7 , 9 0 2 4 , 6 3 1 9 , 9 6 1 8 , 5 4 1 6 , 3 4 1 0 , 4 6
1 , 4 5 8 2 7 , 5 3 2 4 , 9 6 2 1 , 5 0 1 8 , 9 3 1 5 , 8 0
8 ,616 1 ,088
2 2 , 0 0 1 7 , 7 5 1 5 , 8 3 1 2 , 0 1
2 , 6 8 6 0 , 3 1 3 6
1 1 , 3 2 1 1 , 3 1
7 ,482 1 , 0 8 0 7 , 3 2 0 1 ,789 0 , 2 5 1 1 0 , 2 8 4 4
1 8 , 7 7 2 4 , 2 7 2 6 , 4 9 22 ,30 1 5 , 1 6 1 6 , 9 5 16 ,45 1 1 , 2 1
1 ,772 2 6 , 2 3 2 6 , 9 4 2 3 , 9 0 1 9 , 5 6 1 8 , 5 1 1 6 , 6 7 1 0 , 9 3
1 , 6 9 0 2 6 , 9 9 2 4 , 3 5 2 1 , 2 0 1 9 , 0 0 1 6 , 1 9
9 , 1 1 4 1 , 2 7 2
2 1 , 5 5 1 7 , 5 7 1 6 , 0 0 1 2 , 4 8
3 , 1 1 5 0 , 3 7 0 4
1 1 , 4 8 1 1 , 5 7
7 , 9 0 3 1 , 2 6 3 7 , 6 9 0 2 , 0 8 3 0 , 2 9 7 5 0 , 3 3 4 3
Í " . : G O U : S A S E N C ; .
TABELA 5 . 5 . 5
-105-
FLUXO MEDIO GRUPO TÉRMINO POR ZONA - VENTURE
^LIZAgÁO 17x17 34x34 68x68
1 3 , 1 3 1 3 , 2 0 2 3 , 1 5 5 2 6 , 173 5 , 8 9 1 5 , 6 3 3 3 6 , 6 7 3 6 , 4 4 6 6 , 2 1 8 4 5 , 5 8 1 5 , 3 7 2 5 , 1 8 1 5 2 , 4 2 2 2 , 5 3 1 2 , 5 4 8 6 3 , 9 9 0 3 , 9 5 7 3 , 9 2 1 7 3 , 7 1 2 3 , 7 9 7 3 , 8 6 9 8 2 , 6 7 0 2 , 8 6 3 3 , 0 5 0 9 3 , 7 0 6 4 , 1 0 5 4 , 3 6 8
10 6 , 6 7 8 6 , 4 0 1 6 , 1 5 1 11 6 , 7 7 7 6 , 5 4 8 6 , 3 4 2 12 5 , 9 7 2 5 , 7 7 9 5 , 6 0 4 13 4 , 7 6 6 4 , 6 4 7 4 , 5 4 1 14 4 , 3 7 1 4 , 3 5 1 4 , 3 4 2 15 3 , 7 5 9 3 , 8 4 8 3 , 9 3 0 16 2 , 5 8 7 2 , 7 8 1 2 , 9 6 9 17 3 , 5 1 0 3 , 8 9 1 4 , 1 4 9 18 6 ,662 6 , 4 6 2 6 , 265 19 6 , 005 5 , 8 6 0 5 , 7 1 4 20 5 , 1 1 1 5 , 0 4 7 4 , 9 7 7 21 4 , 4 3 0 4 , 4 5 0 4 , 4 6 9 22 3 , 8 4 7 3 , 9 1 8 4 , 0 1 9 23 2 , 2 2 0 2 , 4 9 4 2 , 7 4 6 24 2 , 6 3 7 2 , 9 4 4 3 , 1 7 6 25 5 , 2 8 0 5 , 1 6 2 5 ,055 26 4 , 2 0 1 4 , 1 3 8 4 , 0 8 2 27 3 , 6 9 0 3 , 7 2 6 3 , 7 6 8 28 3 , 0 1 6 3 , 2 2 4 3 , 4 2 3 29 6 , 0 4 0 6 , 5 1 8 6 , 8 4 4 30 1 ,122 1 ,336 1 , 4 9 7 31 1 , 7 5 5 1 , 8 7 8 1 , 9 3 7 32 2 , 7 5 6 2 , 7 8 0 2 , 8 3 6 33 1 ,930 2 , 1 5 6 2 , 3 7 1 34 2 , 7 2 4 3 , 0 4 1 3 , 2 8 0 35 1 ,929 2 , 1 2 9 2 , 3 2 7 36 4 , 0 3 8 4 , 3 3 0 4 , 5 7 0 33 0 , 8 8 9 1 ,059 1 ,190 38 1 , 0 4 5 1 , 2 2 2 1 , 3 6 4
Tabela - 5.5.6
-106-
Valores de K EFETIVO
G O D I G O VANCER
Arranjo da Malha Número de Incógnitas ^EFETIVO
17 X 17 578 1,03733
34 x 34 2312 1,03077
68 x 68 9248 1,02983
5.6 Resultados e Comentários para o Problema Padrão
ID-ll-Al
de
Apresentamos a seguir os resultados obtidos com o cõd_i
go CITATION os quais foram efetuados no computador IBM/370-
155no (IPEN) para o Problema Padrão de Identificação 11-Al.
Na tabela 5.6.1 são apresentados os resultados obtidos
com o código CITATION.
Tabela - 5.6.1
Resultado para o Prob. Padrão ID-ll-Al,dois grupos três dimensões.
CÕDIGO CITATION
Arranjo da Malha Número de Incógnitas ^EFETIVO
17 x 17 X 19 10982 1,02913
34 X 34 X 38 87856 1,02866
-107-
C O M E N T A R I O S
Através da tabela 5.5.1 e tabela 5.6.1, podemos notar
a grande consistência nos valores do fator de multiplicação
( ^ E F E T I V O ^ obtidos com o código C I T A T I O N no ( I P E N ) e os pu
blicados pela ( A . N . S . ) os quais foram obtidos com o V E N T U R E .
Convém resaltar aqui que os desvios entre os resulta
dos obtidos e publicados não foi maior que 0,002%.
-108-
5.7 Resultados e Comentários para o Problema Padrão de
ID-11-A2.
A seguir apresentamos os resultados obtidos com os cõ
digos CITATION e EXTERMINATOR-2 efetuados no computador IBM
370/155no(IPEN) para o Problema Padrão de Identificação 11-
A2.
Na tabela 5.7.1 são mostrados os resultados obtidos
utilizando-se o código CITATION.
As tabelas 5.7.2 e 5.7.3 apresentam valores dos flu
xos médios por zona.
Tabela - 5.7.1
Valores de K EFETIVO
CÕDIGO CITATION
Arranjo da Malha Número de Incógnitas ^EFETIVO
17 X 17 578 1,02967
34 X 34 2312 1,02924
68 X 68 9248 1,02943
Tabela 5.7.2
FLUXO MÉDIO GRUPO .RAPlDQJ POR ZONA - CITATION
-109-
LIZAÇÃO 17x17 34x34 68x68
1 19,33 19,40 18,77 2 26,48 25,32 24,27 3 28,48 27,49 26,49 4 23,90 23,07 22,30 5 14,91 15,31 15,14 6 17,05 17,00 16,91 7 15,75 16,13 16,39 8 10,33 10,74 11,21 9 1,197 1,530 1,773
10 28,51 27,31 26,23 11 28,92 27,92 26,93 12 25,46 24,64 23,90 13 20,38 19,95 19,55 14 18,59 18,53 18,46 15 15,93 16, 32 16,61 16 10,02 10,44 10,89 17 1,140 1,455 1,690 18 28,42 27,55 26,92 19 25,60 24,97 24,34 20 21,76 21,50 21,18 21 18,82 18,91 18,95 22 15,48 15,78 16,13 23 8,152 8,616 9,105 24 0,853 1,086 1,242 25 22,50 22,00 21,56 26 17,95 17,75 17,55 27 15,66 15,82 15,96 28 11,60 12,00 12,42 29 2,100 2,680 3,112 30 0,240 0,310 0,3722 31 10,77 11,32 11,50 32 11,16 11,30 11,54 33 7,122 7,472 7,900 34 0,852 1,068 1,258 35 7,060 7,324 7,672 36 1,415 1,785 2,077 37 0,193 0,244 0,2899 38 0,224 0,278 0,3341
-110-
Tabela 5.7.3
FLUXO MÉDIO GRUPO TÉRMICO POR ZONA - CITATION
ilZAÇÃO 17x17 34x34 68x68
1 3,138 3,206 3,155 2 6,188 5,898 5,653 3 6,686 6,452 6,219 4 5,587 5,375 5,181 5 2,422 2,531 2,545 6 3,983 3,954 3,921 7 3,701 3,792 3,865 8 2,660 2,859 3,049 9 3,692 4,099 4,368
10 6,693 6,408 6,152 11 6,789 6,554 6,325 12 5,977 5,782 5,609 13 4,764 4,647 4,536 14 4,363 4,348 4,340 15 3,748 3,844 3,932 16 2,578 2,777 2,965 17 3,498 3,885 4,133 18 6,671 6,467 6,269 19 6,009 5,862 5,715 20 5,108 5,047 4,970 21 4,422 4,448 4,467 22 3,837 3,914 4,013 23 2,213 2,490 2,741 24 2,629 2,939 3,172 25 5,281 5,163 5,055 26 4,198 4,137 4,080 27 3,684 3,724 3,768 28 3,009 3,220 3,426 29 6,030 6,496 6,842 30 1,128 1,320 1,498 31 1,753 1,877 1,930 32 2,750 2,778 2,826 33 1,926 2,152 2,768 34 2,738 3,002 3,278 35 1,925 2,126 2,321 36 4,035 4,316 4,372 37 0,899 1,077 1,265 38 1,056 1,200 1,441
-111-
Na tabela (5.7.4) são apresentados os resultados ob
tidos utilizando-se o código EXTERMINATOR-2.
Tabela 5.7.4
Valores de K EFETIVO
CÕDIGO EXTERMINATOR-2
Arranjo da Malha Número de Incógnitas ^EFETIVO
17 X 17 578 1,03737
34 x 34 2312 1,03118
68 x 68 9248 1,02982
COMENTÁRIOS
Através das tabela 5.5.3 e tabela 5.7.1, observamos
ã consistência nos valores obtidos com o código CITA
TION e os publicados pela (A.N.S.) os quais foram consegui^
dos com o código VENTURE. Neste caso o desvio entre os re
sultados obtidos e os publicados nunca excedeu ã 0,002%.
As tabela 5.5.4 e 5.5.5, 5.7.2 e 5.7.3, apresentam
os fluxos médio para o grupo rápido e para o grupo térmico
tanto para o código VENTURE como para o código CITATION.Re
saltamos que nestes resultados os desvios nunca excederam
ã 1%.
Nas tabelas 5.5.6 e 5.7.4, colocamos frente a fren
te os resultados obtidos fazendo uso do código EXTERMINA
TOR-2 com os publicados pela (A.N.S.) que foram obtidos
com o VANCER, aqui taiTibém notamos ã grande consistência e
xistente entre os resultados para as várias estruturas de malha. Nestes casos os desvios nunca foram maiores do que 0,05%.
-113-
y/\ Com um balanço sobre os problemas padrões resolvidos
/ neste trabalho e os resultados obtidos com os cõdigos de
computador, podemos salientar a grande consistência e utili^
zação segura destes cõdigos, na análise de problemas de rea
tores nucleares.
/ Os objetivos propostos inicialmente foram alcançados,
/ pois dispomos de dois códigos de computadores destinados ã
/ análise de difusão de neutrons e problemas correlatos em o
/ peração no Centro de Processamneto de Dados (CP.D.), bem
como um grande domínio sobre a utilização destes códigos
\ foi adquirido.
Convém resaltar ainda que com este trabalho foi ad
/ auirido um conhecimento básico da Teoria de Física de Reato
res e técnicas numéricas suficientes para a operação destes
códigos. Com a experiência aqui adquirida, torna-se possí
vel agora partirmos para análise e estudos de reatores par
ticulares.
Para trabalhos posteriores com o uso dos códigos a
qui utilizados sugere-se :
- Proceder cálculos de fluxos adjuntos.
\ - Efetuar a solução de problemas envolvendo cálculos
de perturbação.
- Resolver problemas levando em conta os efeitos pro
vocados pela produção do xenônio.
CAPlTULO V I
CONCLUSÕES E SUGESTÕES
-114T
APÊNDICE A
EQUAÇÕES DE DIFUSÃO DE GRUPOS DE ENERGIA - DISCRETO
Descrito aqui estão as equações que são usadas para
obter um tipo de diferença finita de balanço de neutron sobre
elementos de volume discretos.
A equação básica que expressa a aproximação de difu
são para transporte de neutron em alguma posição r e energia
E é:
- ^Dr,EV*r,E+ (^a,r,E ^S,r,E^*r,E
í L^r,E'-^E Ke E'
(A.l)
O espectro contínuo de energia é dividido em grupos de
energias discretos, podemos incluir também um termo de
"buckling" quando apropriado, a função distribuição de fon
te é assumida não ter nenhuma dependência espacial, e uma
simplificação é feita no termo de transporte.
-D r,a ^r,g a,r,g ¿ S,r,g-^n ^r,g +g ^r,g
= l n
l + g r,r,n S,r,n-^g ^r ,n
(A.2)
onde
= Operador geométrico Laplaciano 3 x '
+-ay2 3 z '
-115-
- 2
(ji = Fluxo de neutron na posição r e grupo de ^ f g 2
energia 3 , n/sec-cm
l = Secção de choque Macroscópica de absorção, a, r, g
normalmente ponderada sobre um fluxo re
presentativo do espectro de energia, cm ^.
H - -S,r,g->n = Secção de choque Macroscópica de espalhame
mento de neutrons do grupo de energia 3
para grupo de energia n, cm
(O espalhamento de g^g é excluido do cál
culo) .
D - Coeficiente de difusão, normalmente um terço r,g _ ^
da secção de choque de transporte, cm.
_ Termo de Buckling" considerando o efeito do
operador Laplaciano (fuga) em uma dimensão
não tratado explicitamente, cm ^
vl^ = Secção de choque de produção macroscópica
(v é o n9 de neutrons produzidos por uma
fissão e Ir, ê secção de choque de fissão) , -1 •
era
Xg = Função distribuição de fonte de neutrons (nor
malmente l x„ = 1,0) g ^
Ke = Fator de multiplicação efetivo, razão da taxa
de produção de neutrons pela taxa de perda de
neutrons de todas as causas, uma incógnita a
ser determinada.
Quando a criticalidade é para ser realizada pela alte
ração das concentrações de nuclideos, normalmente por um pro
cesso iterativo direto, o Ke é fixado a algum valor especi
ficado (próximo ã unidade) e contribuições das secçoes de cho
que de concentrações de nuclídeos armazenados devem ser in
em geometria slab, cm ,
-116-
cluido nas equações.
A equação (A.2) é então alterada para a forma
r,g^r,g a,r,g b,r,g ^ S,r,g->n r,g +g'*r,g
n r.n
(A.3)
onde h é a densidade de nuclídeo relativa, o autovalor do
problema, e Z , e vZ são secçoes de choque de D,r,g p,r,n
absorção e produção associada com os nuclídeos de pesquisa.
-117-
APÊNDICE B
FONTE FIXA
O problema de fonte fixa aparece em certas situações
como partida do reator com uma fonte inserida, ou análises
de um experimento localizado do lado externo do caroço do
reator com uma descrição de malha fina e acoplada ao core
com uma fuga de fonte.
Problema de fonte fixa ê simplesmente a equação (A.2)
com Ke tomado unitário e a fonte adicionada ao lado direi
to da equação .
A equação torna-se então:
-•^r,g^'*r,g (^a,r,g l ^S,r,g.n ^ ' r,g Bjg) ^^^g = n
^S,r,n.g ^ ^g(^^)f,r,n ^ + S ' r,n r,g ,
(B.l)
onde g é a fonte fixa. Como é frequentemente usado, a
fonte fixa pode ser separável em espaço e energia, em cujo
caso temos :
Sr,g = Xg Sr • ( .2)
REPRESENTAÇÃO DO OPERADOR LAPLACIANO EM DIFERENÇA FINITA
A aproximação de difusão de sete pontos para trans
porte de neutron é formulada abaixo. A figura (B.l) apre
senta um esboço tri-dimensional mostrando a posição do flu
xo no ponto {i,j,m) da malha e circunvizinhando seis posi^
-118-.
ções do fluxo em geometria slab" (x-y-z). O volume de diferen
ça finita ao redor do ponto (i,j,m) da malha é (xj-Xj _-j ) (yj-Vj-l^ (^m~^m-l) onde estas são as posições das superfíceis do
elemento de diferença finita. (Em geometria hexagonal, a for
mulação envolve nove pontos da malha, sete no plano hexago
nal) .
*i,3+l,m
i ,j/m-l
'''i+l,j,m
'i,j-l,m
Figura B.l
Elemento de diferença finita em geometria x - y - z.
Fuga de neutron de (i,j,m) para (i,j,m-l),L(z^_^), a
través da área da face frontal (Xj^-x^_-j^) (y-j~yj_i) é aproxima
da como segue. Tomando C]^ como o fluxo incógnita na interface,
A fuga para fora é dada pela aproximação da inclinação do
fluxo na superfície pela média dentro do elemento (entre o
ponto central e a superfície).
L(Z^ i) = D, . ^ (^. . - c , ) m-1 i,j,m i,j,m 1
^^m ^m—1^
* Ó U 1 S A S E N E R S É T I C S E N U C L E A R E S
-.119--
onde D. . é a constante de difusão em (i,j,m). Similarmen X / J , m
te para a fuga interna do elemento finito adjacente temos:
-^(^m-l^ = °i,j,m-l (*i,j,m-l " 1^
Eliminando-se das equações dadas acima temos:
m-1
2(yj - y^,i)(x^ - x._-^)
^m " ^m-1 ^m-1 ~ ^m-2 D i, j ,m ^i,j,m-l
( ( ! ) . • - d). . , ) .
(B.3)
Desde que o termo que multiplica a diferença dos fluxos é
simplesmente uma constante, a equação (B.3) reduz-se a forma;
^(^m-l) - '^i,j,m,m-l ^*i, j ,m " *i,j ,m-l) (B.4)
Deve ser notado que dentro de uma região tendo proprie
dades nucleares uniformes e espaçamento da malha uniforme te
mos:
i,j,m,m-l
(yj - yj_i) (x^ - x._.^)
( m - ^m-1^ i, j ,m
A fuga do elemento de volume é dada por :
L(z^) + L(Zj _ ) + L(x^) + L(x^_^) + L(y^) + L[y^_^) =
^1,3,m 1,3,m,m+1 i.].m.m-l i,],m,i+l i,3,m,i-l
.,j,m,j + l i,j,m,j-l
-120-
i,j,m,m-1 *i,j,m-l - C.^^^^^.^^ *i+l,j,m " ^i,j,m,i-:
*i-l/j,m '^i,j,m,j+l *i,j + l,m ^i,j,m,j-l *i,j-l,m.
(B.5)
Para uma condição de contorno de gradiente zero, a
constante C. . , associada é tomada igual a zero. Para u 1 ,3 ,m,m-1 ^ -
ma condição de contorno extrapolada, contorno "black" Ínter
no ou externo, a inclinação do fluxo dentro do elemento de
diferença finita é extendida. A condição de contorno a ser
satisfeita na superfície do elemento é :
D d±_
(f. 3x S
= c .
onde C é uma constante especificada. S
Tomando <)) como o fluxo interno, ({i^ como o fluxo no
contorno e como ã distância do contorno ao ponto interno.
A aproximação linear do fluxo dentro do elemento dá:
3 x *i - *s
ou
*s Ãii (*i - *s =
Representando a área normal por A^ a fuga no contorno
de urna face de um elemento de volume é dada por:
s,n D A ^ °i n 3x
n^i
- Í 7 '
1
(3.6)
-121-
1 (82
rj (82 - e^) (Z2 -
2 -^1' 2 ^1'
Figura B.2
Elemento de diferença finita em geometria R - Z - e
que dá a constante requerida para a equação (B.5). E claro
que a fuga externa é considerada perda do sistema, mas a fu
ga dentro de um absorvedor negro interno é considerada como
uma absorção na região.
Para geometrias curvilíneas, as áreas de superfície das
faces do elemento de diferença finita deve ser usada a qual
torna as equações um pouco mais complicada do que as equa
ções acima. Por exemplo, em geometria R - Z - 9 _ as superfíceis
são indicadas na figura (B.2).
-122-
APÊNDICE C
CÁLCULOS DE SECÇOES DE CHOQUE MACROSCÓPICA E TAXA DE REAÇÃO
Este código pode usar secçoes de choque macroscópica
para cálculos de projetos especiais. Entretanto, ele é pro
jetado para usar dados microscópicos para nuclídeos indivi
duais levando-se em conta mudanças nas concentrações dos
nuclídeos. Pode ser prático em algumas situações usar uma
pseudo concentração de nuclídeo não queimada de densidade
relativa e então as secçoes de choque associada são macros
cópica.
As equações básicas usadas para cálculos de secçoes
de choque macroscópicas são mostradas abaixo. Se existem ,
sufe-zonas a concentração distribuida de cada nuclídeo é to
mada como a média aritmética das concentrações das sub- zo
nas. O código também permite referenciar seções de choque
microscópica sendo dependente da zona a qual não esta ind_i
cado nas equações abaixo, somente um conjunto de dados de
secção de choque aplica-se a qualquer zona. É assumido que
densidades de nuclídeos estão em átomos/barn-cm e secçoes
de choque microscópica em barns em cálculos de taxa de rea
ção, queima e determinação dos balanços de massa.
Considere alguma zona dentro da qual cada niclídeo
tem uma concentração distribuida uniforme N . As secçoes
de choque usuais são calculadas como segue com os índices
a -absorção, f-fissão, tr-transporte, s-espalhamento, g e
K grupos de energia, z-zona e n-nuclídeos.
: = y N a a,g,z ^ n,z a,n,g
= y N o-
vE, = y N V o '"'f,g,z ¿ '^n,z f,n,.
-123-
onde
va. = V o •f,n,g n,g f,n,g
^tr,g,z ^ n,z tr,n,g
3 ^tr,g,z
^s,g^K = l \ , z <'s,g-K • (C'l)
Para es cálculos de aproximação de difusão, cada
E é tomado zero para evitar lentidão na taxa de con s,g^g -
vergência do processo iterativo.
As equações usadas para determinar taxas de reações
são como segue. A potência térmica do reator, P, é determ^L
nada por:
f. C, p = i0 7 ^ y v , I N W ycj) o ,
^ 2 z n "'^ ^'^ g ffn,g
(C.2)
onde 2 ® ° watts térmico do nuclídeo por fissão, C ^ é a
especificada fração de potência útil, C2 é a especificada
fração do caroço tratada e o nivel do fluxo é ajustado tal
que o P calculado é aquele valor especificado. Os valores
de ^ são simplesmente volumes ponderados sobre zonas a
cada energia e é o volume da zona.
. ^ ^i 1 em z
onde i refere-se a um ponto da malha. Taxa de reações em nu
elídeos individuais são calculados para cada zona como:
-124-
Absorção
n,2
n,z ^ ^g,z a,n,g
Captura
Produção
= Absorção
n, z
n, z
n, z
- N y d) a-n,z ^ ^g,z f,n,z,
n,z ^ ^g,z f,n,g (C.4)
e as somas são tomadas para o sistema. Para estimar as ta
xas de reações média durante a queima, as densidades de nu
clídeo usada na equação (C.4) são médias aritméticas entre
o início e o fim de um passo de tempo de queima.
125-
APÊNCICE D
PROBLEMA FLUXO ADJUNTO
Em notação matricial, o problema autovalor-fluxo ê
A = KF X X
enquanto que para o problema fluxo adjunto é
onde o superscripto t refere-se ã troca dos elementos â
cerca da diagonal (troca de linhas e colunas). Na represen
tação da teoria de difusão, a troca de A envolve:
1. Não há nenhuma troca nos termos de remoção total
(absorção + espalhamento para fora + DB ) na diagonal.
2. Não há nenhuma troca no acoplamento de difusão de
vido ã simetria ã cerca da diagonal.
3. Há troca nos termos de transferência ou espalhamen
to de grupo para grupo, E ^^^^ para ( ^ .g) » espalhamentos
para dentro logo se cancelam se as equações são somadas.
A transposição de F causa a contribuição para o gru
po g pela função distribuição x(g) de neutrons produzidos
em fissão no grupo n de reação devido a secção de choque
vZ^ (n) , a saber x(g) vE^(n), a ser mudada, dando, x(n) v
(g) como a contribuição do grupo g devido a reação no gru
po n.
O processo iterativo usado para o problema adjunto é
o mesmo como para o usual problema de autovalor do fluxo ex
-Í26-
PERTURBAÇÕES
As equações usadas para estimar os efeitos de pequenas
mudanças são discutidos qui. Teoria de perturbação de 1^ or
dem é aplicada e é somente precisa nos limites de mudança ze
ro. O fluxo adjunto é usado em solução requerida deste pro
blema especial. Claramente as equações de diferença finita
devem ser distribuidas com preferência do que uma contínua
introdução de complexidade.
A discusão a seguir contem uma introdução apresentada
em termos simples. Esta é destinada a ajudar o leitor que
deseja entender o assunto de um ponto de vista prático. En
tão as equações reais usados no código são apresentadas.
Considere um balanço de neutron associado com o volume
de diferença finita ao redor de um ponto da malha para um
grupo de energia, problema geometria "slab" uma dimensão.
Fonte = Remoção + Fuga ou
i+1/2 -^i/2 A.
(D.2)
onde i refere-se a uma posição, V refere-se ao volume, A à su
perfície de fuga, e A ao espaçamento da malha, e ainda
^i+1 = ^i-
Uma mudança nas propriedades nucleares mudaria a distri
buição do fluxo e também o fator de multiplicação. Deixe- nos
negligenciar a mudança no fluxo e considerar a derivada par
cepto que o autovalor (fator de multiplicação) é mantido fi
xo ã valores obtidos do problema anterior. (Ambos problemas
0 anterior e adjunto são sempre resolvidos quando o adjunto
1 desejado).
-127-
VZ^ . V. (}>. ^ = V. (}).
Considerando mudança em somente em certos pontos
dentro de algum material m e somando as equações dá:
9 {—)
i ler^
visto que
3(1) = L- 3K K
1 ^ ^ íem ^ _ K
^ l vE^ . V. 0 . K ^ f,l 1 1
Se nõs admitirmos simplesmente que a equação (D.2) po
de ser multiplicada por um fator ponderado, a saber o fluxo * ~ *
adjunto, (í> , que causarão ambos <i>^ (i>^ e o declive do flu
xo ser invariante nos termos de fuga, então o resultado tor
na-se :
- l V 4) o,*
I I t - ^ ; •
Isto expressa a mudança no fator de multiplicação as
sociado com uma unidade de mudança na secção de choque. S i
milarmente,
cial dos termos da equação (D.2) com relação â Z^, Esta ope
ração dá:
1 3 K
K 3D_ m
• L i e n
2A.
A . 1
¿ y vz^ . V. .<\>*.
K V f,i 1 11
-128-
(D.4)
e ainda
1 3 K
K 8 (vZ. ) r ,m
• y V. (}). ({). len
y vZ^ . V. ({). 4)* h f,i 1 1 1
(0.5)
onde a região de interesse m deve ser para vZ_ . ^ 0. Com
plicaçoes associada com interfaces de materiais tem sido evi^
tada aqui, e as equações deve ser extendida para considerar
mais do que um grupo e outras dimensões, e tratar o espalha
mento trans-grupo.
Uma variação devida a mudanças nas secçoes de choque
tem sido determinada, os efeitos da mudança da densidade de
nuclídeo podem ser obtidos. Adicionando contribuição temos :
9 K
m
9 K dZ .
1 >m
Lj 9 Z . ^ dN, ^ j ,m b,m
3 K dD
m 9 K
9 D dN, m b,m f ,m
d(vZ. J r ,m
dN b,m
(D.6)
onde N, é a densidade de um nuclídeo na região m e o Indi b ,m —
ce j é sobre secçoes de choque apropriada.
Desde que
9 N b ,m
D m
l 3Nb,m ^ r , b . m
-129-
dD m
dN b,in
f ,in b,in f,b,m
d(vZ. J ^ = V a
dN b,in f ,b,in
9K
K8N, j
3K
K3Z. „
( _3 D 2
m m
3K
K3 (vz^ ) r ,m J
V o f ,b,m
(D.7)
A estimação do efeito de uma mudança real, decresce em
precisão quando a quantidade de mudança aumenta, é então:
AK
KAN,
9K
K3N, (D.8)
EQUAÇÕES DE PERTURBAÇÃO
Dentro da região m, a mudança no fator de multiplica -
ção relativa ã mudança em uma propriedade macroscópica é cal
culada como :
l G.(n) 3K le m
K3X m ^ I V. I x(g) l vZf^^ <^.^^
K n
(D.9)
onde
-130-
refere-se a xima propriedade macroscópica na região m,
i refere-se ã um ponto no espaço
g e n refere-se ã grupos de energia.
é definido abaixo
é ainda assumido nesta discusão que l x(g) g
= 1 ,
X = (n) ,
Zj.(n) l S (n^g) , ou D(n) (n) , g
•G^(n) X ^ x , n ^ x , n (D.10)
X = Z(g-^n) ,
G^(n) ^i *i,g *i,n '
(D.11)
X = D(n) ,
G (n) = l A j L i + ^jJ
x,n '' x,n ^D,n' (D.12)
pontos internos
G^(n) -.2
1 + A^D.^(n)
* ((}).
1 /n
A^Dj(n)
nos materiais de interfaces
í . ^ .Q l iT iMODE PESOU 'SAS E N E R G É T I C A S E NUCLEARES j
-131-
L 1 + Pj^") *i,n h,n
A.C^(n)
adjacente ã qualquer contorno negro.
Aqui j refere-se aos pontos da malha vizinhos mais pró
ximos, Aj é a área de fuga normal, e é a distância de um
ponto ã interface apropriada entre pontos da malha. C (n) é 5
a constante de contorno negro interno ou externo.
X = vZ^(n) ,
V. G^(n)
K (D.13)
cálculos de um coeficiente de reatividade de tempera
tura ou potência é feito diretamente da derivação parcial dis
cutida acima usando dados adicionais.
8P 1 3X,
dX.
dP
onde X-j refere-se a cada contribuição de propriedades macros
copleas incluindo secçoes de choque e constantes de difusão.
Para suprir um processo mais geral de cálculo, mudanças dis
cretas são consideradas. Assim cálculos de resonancia podem
ser feitos em duas temperaturas representando alguma mudan
ça desejada, e dados macroscópicos gerado são usados na
forma :
1 9K
K 9P I 1
d K 9X
1
X (Pj) - X (Pa) 1 ' 1 . (D.14)
onde X-| (Pj) refere-se a uma secção de choque macroscópica de
terminada a partir da densidade de nuclídeo e de secçoes de
choque microscópica especificada originalmente;
-132-
^ l vE^ , V. <í>.(})* K ^ f,i 1 1 1
para a situação de um grupo tratada acima, onde 1 represen
ta posição de um ponto da malha e a contribuição da componen
te c para a secção de choque macroscópica X numa unidade de
volume básica que é visto ser dado pela ponderação do fluxo
vezes adjunto.
TEMPO DE VIDA DE NEUTRONS PRONTOS
Para a estimação do tempo de vida do neutron pronto, a
ponderação é da velocidade recíproca do neutron,
Y *
1 = i V(n) '^i,n ^ , n ^ ^^^^^^
1 g n
FRAÇÃO DE NEUTRON ATRASADO
Para a ponderação da efetiva frações de neutron atrasa
do, a equação (D.17) da a fração de neutrons produzidos que
são atrasados, pelo atraso da família. DF^ :
Efetivo DFj =
i g n
(D.17)
X^(P^) refere-se ao valor alterado devido mudança especifi.
cada na densidade de nuclídeo e novos dados microscópicos.
Mapas de "importânica" sobre espaço pode ser obtido.
"Importância" é usado aqui afim de contribuir para o fator
de multiplicação por unidade de volume de algum fator, isto
é :
V X,^, (c)
I^(c) = — , (D.15)
-133-
onde 3j j refere-se ã fração de neutrons atrasados da família
atrasada j na posição i para o nuclídeo b e x ' ( j / " ? ) s a fun
ção distribuição de neutron atrasado.
-134-
APÊNDICE E
SECÇÕES DE CHOQUE DE GRUPO SUPER AMPLO
As secçoes de choque de grupo super amplo são calcula
das por ponderação apropriada. Tomando g referente aos gru
pos de energia contidos em 1 e 2 aqueles contínuos em m
Então defini-se as ponderações apropriadas como segue.Deve
ser notado que uma pequena densidade de nuclídeos a qual não
deveria afetar um cálculo de autovalor pode produzir uma va
riedade de seções de choque ponderada dependendo da posição
no espaço.
PONDERAÇÃO NORMAL
^a,b(^) = ^ p i \ , i ^ % , i ( ^ ) < , g * i , g '
(E.l)
onde
Q(l) = l V.Nj^^. I , (E.2)
a (l-m) = ^ ^i i ^ *i a ^ % i^^"^^ *i i ° Q(l) i ^ g ^'^ j ^'^ ^'^
(E.3)
''f'^^'^ ^ 7777 ^ ^i^b,i ^ X(n)**^, I V a^^^^.^.^^^ ^ •> 1 n g
(E.4)
onde o índice n varre sobre todos os grupos. A equação para
-135-
af ^ j^d) correspondente àquela para h^'^^ ' '
(E.5)
Para a secção de choque de transporte, a fuga do adjun
to ponderado por unidade de volume no grupo n (dentro do gru
po amplo) na posição 1 é
*i,n ^ n,n •
Ura coeficiente de difusão é definido pela equação;
D(g) =
I n
*i,n ^ i ^ " ) ^ ' *i,n
y f 4)* <t>. dV ^ i,n i,n
(E.6)
n
Tomando derivadas parciais de ambos os lados da equação
(E.6) com respeito ã algum nuclídeo, e assumindo que
D =í OU que
3 D = _D^(3 , ) tr, b
, temos :
n
l ^i(") *i,n ^'*i,n dV
(E.7)
Esta equação é usada em esSfincia. Claro que a fuga por
unidade de volume é obtida de equações de diferença finita. O
-136-
PONDERAÇÃO DE C E L U L A
Para obter secçoes de choque efetiva para uma célula ,
uma formulação alternativa é dada. As equações acima aplicam-
se excepto que o termo demominador é mudado para o produto
do fluxo médio da célula ponderada, a densidade de nuclídeo
média da célula e o volume.
l V. l (p* (í). T v . N, .
i
(E.8)
Para a propriedade de transporte microscópica, a equa
ção (E.8) é usada com todas as contribuições incluídas excep
to aquelas para ã segunda somatória no numerador,que contendo
secçoes de choque de transporte microscópica são excluidas on
de o nuclídeo tem concentração zero.
têrmo
(f)* ((). dV , ^i,n i,n '
€ aproximado pela soma dos produtos da inclinação do fluxo
estimado entre pontos e a área de fuga normal para cada vo
lume elementar. Complicações de materias de interfaces e con
tornos deve ser levado em conta da mesma maneira como foi dis
cutida anteriormente. As constantes de fuga associada não são
linear em D que altera os termos na equação (E.7). Contribui
ção para o numerador e denominador são incluidas somente onde
Nj^ tem uma concentração diferente de zero.
-137-
APgNDICE F
CARTÕES DE CONTROLE PARA OPERAÇÃO DOS CÕDIGOS
1. CITATION
// EXEC PGM=IEBUPDTE, PARM=NEW
//SYSPRINT DD SYSOUT=A
//SYSÜT2 DD DSNAME=&&GILSON,UNIT=SYSDA,DISP=(NEW,PASS),
// SPACE=(CYL, (2,1))
// SYSIN DD*
./ ADD
./ NUMBER NEW1=10, INCR=10
Cartões de dados
./ ENDUP
// EXEC PGM= •• CITATION, REGION= 900K, TIME=0060
//STEPLIB DD DSN= CPO18.CITATION.LOAD,DISP=SHR
//FT51F001 DD SYSOUT=A
//FTOIFOOI DD UNIT=SYSDA,SPACE= (13000, (100,50))
//FT02F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (13000, (100,50))
//FT03F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (13000,(100,50))
//FT04F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (3520, (100,50))
//FT05F001 DD DSNAME=&&GILSON,UNIT=SYSDA,DISP=(OLD,PASS)
//FT06F001 DD SYSOUT=A
//FT07F001 DD DUMMY
//FT08F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (13000, (100,50))
//FT09F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (3520, (100,50))
//FTIOFOOI DD UNIT=SYSDA,SPACE= (3520, (100,50))
//FTllFOOl DD UNIT=SYSDA,SPACE= (13000,(100,50))
//FT12F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (3520,(100,50))
//FT13F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (3520, (100,50))
//FT14F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (13000, (100,50))
//FT15F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (13000,(100,50))
//FT16F001 DD UNIT=SYSDA,SPACE= (13000, (100,50))
-138-
//FT17F001
//FT18F001
//FT19F001
//FT30F001
/*
DD UNIT=SySDA,SPACE=(3520, (100,50))
DD UNIT=SySDA,SPACE=(3520,(100,50))
DD UNIT=SYSDA,SPACE=(13000,(100,50))
DD UNIT=SYSDA,SPACE=(13000, (100,50))
2. EXTERMINATOR-2
// EXEC PGM= =EXTER ,REGION =700K
//STEPLIB DD DSN=CPO18.CPEXTER. LOAD, DISP =SHR
//FTOIFOOI DD UNIT =SYSDA, SPACE= (TRK, (10, 2) ,RLSE)
//FT02F001 DD UNIT =SYSDA, SPACE= (TRK, (50, 2) ,RLSE)
//FT06F001 DD SYSOUT=A
//FT07F001 DD UNIT =SYSDA, SPACE= (TRK, (10, 2) ,RLSE)
//FT09F001 DD UNIT =SYSDA, SPACE= (TRK, (10, 2) ,RLSE)
//FTIOFOOI DD UNIT =SYSDA, SPACE= (TRK, (10, 2) ,RLSE)
//FTllFOOl DD UNIT =SYSDA, SPACE== (TRK, (10, 2) , RLSE)
//FT12F001 DD UNIT =SYSDA, SPACE= (TRK, (10, 2) ,RLSE)
//FT05F001 DD *
INÍCIO
Cartões de dados
FIM
/i
-139-.
1. BELL, G.I. & GLASSTONE, S. Nuclear reactor theory. New
York, Van Nostrand Reinhold, 1970
2. BENCHMARK PROBLEM COMMITTEE. Argone Code Center ; Bench
-mark Problem Book. Argonne, 111., Argonne National
Laboratory, Dec. 1972. (ANL-7416, Suppl. 1 ) .
3. BENCHMARK PROBLEM COMMITTEE. Argone Code Center : Bench
mark Problem Book. Argonne, 111., Argonne National
Laboratory, Dec. 1972. (ANL-7416, Suppl.2).
4. CARNAHAN, B.; LUTHER,H:A: ; WILKES, J.O. Applied numeri
cal methods. Wiley, New York, 1969.
5. DUDERSTADT, J.J. & HAMILTON, L.J. Nuclear reactor ana
lysis . New York, John Wiley & Sons, 1976.
6. FORSYTHE, G.E. & WASOW, W.R. Finite-difference methods
for partial differential equations. John Wiley & Sons,
New York, 1960.
7. FOWLER, T.B.; VONDY, D.R.; CUNNINGHAM, G.W. Nuclear
reactor core analysis code ;CITATION. Oak Ridge,Tenn.,
Oak Ridge National Laboratory, Jul. 1971. (ORNL-TM-
2496, Rev.2).
8. FOWLER, T.B. ; TOBIAS, M.L.; VONDY, D.R.; A fortran IV
code for solving multigroup neutron diffusion equations
in two dimensions ; EXTERMINATOR-2. Oak Ridge, Tenn. ,
Oak Ridge National Laboratory, April, 1967. (ORNL-
4078).
9. GREENSPAN, H.; KELBER, C.N.; OKRENT, D. Computing
methods in reactor physics. New York, N.Y. Gordon &
Breach, 1968.
10. HABETLER, G.J. & MARTINO, M.A. Proceedings of symposium
on applied mathematics. Vol. XI, American Mathematical
Society. 1961.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS