instituto de física universidade de são...

Instituto de Física

Universidade de São Paulo

Compress~ao de Rudo Quantico

e Efeitos Transversos em

Osciladores Parametricos Oticos.

Marcelo Martinelli

Tese apresentada como parte dos requisitos paraobtenc~ao do Grau de Doutor em Ciencias pelo

Instituto de Fsica da Universidade de S~ao Paulo

Orientador: Prof. Dr. Paulo A. Nussenzveig

Co-orientador: Prof. Dr. Claude Fabre

Laboratoire Kastler-Brossel (Universite Paris VI)

S~ao Paulo, 26 de fevereiro de 2002.

FICHA CATALOGRÁFICA Preparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação do Instituto de Física da Universidade de São Paulo

Martinelli, Marcelo Compressão de Ruído Quântico e Efeitos Transversos em Osciladores Paramétricos Óticos. São Paulo 2002. Tese (Doutoramento) - Universidade de São Paulo Instituto de Física – Departamento de Física Experimental Orientador: Prof. Dr. Paulo Alberto Nussenzveig Área de Concentração: Ótica Quântica Unitermos: 1. Compressão de Ruído; 2. Oscilador Paramétrico Ótico; 3. Imagens Quânticas; 4. Feixes Gêmeos; 5. Ótica Quântica. USP/IF/SBI-008/2002

Resumo:

Apresentamos neste trabalho o projeto e a construc~ao de um Os-cilador Parametrico Otico (OPO), demonstrando o carater quanticoda correlac~ao de intensidade dos feixes sinal e complementar neleproduzidos a partir de um feixe de bombeio de 532 nm. Estu-damos ainda, em uma segunda montagem, a compress~ao quanticade rudo no feixe de bombeio re etido por uma cavidade de OPO,obtendo 38 % de reduc~ao (abaixo do limite quantico) no rudo dequadratura de um feixe de 1064 nm produzido por um laser deNd:YAG. Por m, observamos a formac~ao de estruturas nos feixesde sada para cavidades com modos transversos degenerados (con-focal e concentrica) e demonstramos pela primeira vez o caratermultimodo transverso das correlac~oes quanticas em um OPO comcavidade confocal.

Abstract:

We present in this work the project and construction of an Opti-cal Parametric Oscillator (OPO), showing the quantum behaviorin the intensity correlation of signal and idler beams, generatedfrom a 532 nm pump. We have also studied, in a second set-up,the quantum noise compression in the pump beam re ected froman OPO cavity, obtaining 38 % of noise reduction below the vac-uum uctuations in the quadrature of a 1064 nm beam comingfrom a Nd:YAG laser. Finally, we observed the pattern formationin the output beams for transverse degenerate cavities (confocaland concentric) and we show, for the rst time to our knowledge,the transverse multimode behavior in the quantum correlation ofa confocal OPO.

Agradecimentos

Agradeco ao Prof. Paulo Nussenzveig o apoio e a coragem de assumir o projeto em curso,quando ainda eram incertos os resultados do OPO de S~ao Paulo. Ele aceitou o desao e oencargo de seguir com minha orientac~ao, com o desvio da linha principal do seu trabalho.Gracas a este esforco, construmos o primeiro OPO-CW no pas.

I also would like to thank Prof. Claude Fabre, co-advisor, who accepted me at his lab in

the beginning of my thesis. He received me two other times, completing almost one year

and half of work at Laboratoire Kastler-Brossel. Most of the results in this thesis come

from the research lines developed there. Hopefully this cooperation will remain active for

the years to come.

Agradeco ainda ao Prof. Ricardo Horowicz, com quem z a passagem da graduac~ao parao mestrado, e deste para o doutorado. Com ele iniciei o trajeto aqui descrito e, atravesdele, entrei em contato com o grupo de Paris. N~ao posso esconder que, apesar de tudo,seu otimismo e seu mpeto serviam de encorajamento para prosseguir o trabalho!

Gostaria ainda de expressar meu reconhecimento aos membros da banca, que aceitaramde bom grado se lancar ao volume da tese e vir participar da discuss~ao dos resultados.Deixo assim o meu agradecimento aos Profs. Carlos Henrique Monken, Antonio ZelaquettKhoury, Carlos Henrique Brito Cruz e Jose Roberto Leite.

O OPO de S~ao Paulo contou com a colaborac~ao intensa do Prof. Paulo Henrique SoutoRibeiro. As discuss~oes com relac~ao aos problemas praticos e as possibilidades teoricasda montagem foram de importancia fundamental neste trabalho. Agradeco os conselhospara a viagem a Paris, e o convite para a apresentac~ao dos resultados na UFRJ, ondepude contar com uma audiencia inedita!

N~ao posso deixar de lembrar as diversas pessoas das quais recebi ajuda em diversos pontosda jornada. O Prof. Zelaquett (UFF) foi uma grande companhia para discutir Fsica,comidas e vinhos em ambos os lados do Atlantico. O Prof. Nilson Dias Vieira Jr. (IPEN)tambem depositou sua conanca neste projeto, e espero que o resultado seja do seuagrado. Com o Prof. Geraldo Barbosa pude aprender muito sobre a Otica Quantica eos processos de detec~ao. E devo a Murray K. Olsen o conhecimento das distribuic~oesde quase-probabilidade e da teoria dos processos quanticos, atraves de suas excelentesapostilas e suas aulas.

Fora do tema desta tese, horas agradaveis de trabalho e conversa foram passadas junto aosamigos do Instituto de Qumica, como o Dr. Marcos Sendra Gugliotti, e seus orientadores,Profs. Maurcio S. Batista e Mario J. Politi. Os frutos ja colhidos n~ao ser~ao os ultimos!

I would like to thank Prof. Bernard Cagnac (LKB), who gently shared his oÆce with

visitors like me. Sharing that space with him, and having the opportunity to hear hisexperiences in life and physics (and how could somebody put them apart...) and to talk

about the evolution of the career in France and Brazil lled me with joy. And hope.

A possibilidade de confecc~ao dos espelhos no pas e fundamental para as pesquisas de-senvolvidas no laboratorio. Agradeco ao pessoal da Ocina de Optica de S~ao Carlos(IFSC-USP), e ao pessoal do Centro de Lasers e Aplicac~oes (IPEN) pelo apoio.

O trabalho de S~ao Paulo foi realizado em colaborac~ao com os amigos do LMCAL. CarlosGarrido apoiou diretamente o trabalho no OPO. Alem dele, agradeco a amizade de SilviaMaria de Paula, Jose Gabriel Aguirre Gomez, Luciano Soares da Cruz e Fabio Cam-polim. Agradeco ainda a dedicac~ao de Ccero Jun Massui (IC), e dos estagiarios MuriloMoreira Santos e Tiago Tanaka no auxlio dado a instrumentac~ao e eletronica. O zelodeles permitiu ainda o registro permamente dos circuitos empregados no laboratorio emmanuais tecnicos, permitindo sua reproduc~ao posterior e contribuindo para a xac~ao doconhecimento da tecnica em nosso laboratorio.

Durante meu trabalho na USP, pude tambem contar com o apoio da secretaria do De-partamento de Fsica Experimental. Agradeco ainda a todo o pessoal da Ocina Central,em especial ao Srs. Donato Jo~ao Binelli e Benedito Cassiano Rosa (Tuc~ao) pela ajuda naconfecc~ao de suportes para espelhos e bases para a Otica, e ao sr. Sebasti~ao Simionatto,por parte da eletronica feita no laboratorio. Agradeco ainda ao pessoal do CPD, RenataBonato, David e Jo~ao Leonel.

I would like to thank everyone who worked on the setup of the transverse mode OPO.Agnes Matre always helped me in fruitful discussions, improving the presentation of my

arguments and descriptions. She was also there for the QPM-OPO, and taught me a lot

about the electronics of stabilization. Mathias Vaupel was the brave one who started the

experimental work on confocal cavities and pump system from the beginning. Sara Ducci

taught me a lot, and was the faithful partner during many hours of work on the setup. And

also for nice moments in ballets and museums. Nicolas Treps had shown me how dreadful

is the work in concentric type II cavities, and was the developer of the rst version of the

software used in the Data Acquisition System. Sylvain Gigan is taking the sequence of this

work, on a brand new table. He always helped to face the challenges in the lab, keeping

up his unbreakable good mood!

Of course, much has to be said of the friends in the QPM-OPO. Thomas Coudreau leaded

the discussions during the squeezing measurement and in the articles' preparation. A lot

of time was spent together with Kuanshou Zhang, in the silence of the lab, in the hope that

the OPO wouldn't jump and the squeezing would be measured. It's his merit the eective

measurement of squeezing in the re ected quadrature! And also Gregoire Souhaite, who

worked in the beginning of the set-up, and Carine Jacquot, with whom I had the pleasure

to work in the very beginning of my rst stay.

I would also like to thank the secretaries of Laboratoire Kastler-Brossel, specially Monique

Bonamy, always eÆcient and ready to help me with funding, banks, planes, housing,

whatever! The technical team was always there to help in the electronics, and to gently

describe the procedure to build the circuits in Brazil. Thank you, Jean Pierre Okpisz,

Mohamed Boujrad and Philippe Pace! Machining is my weak point, but I could alwayscount on Bernard Rodriguez and Pascal Travers to solve the problems. And Corinne

Poisson, for helping in the problems with computers and networks.

Pendant mon sejour en France, j'etait heureux de compter avec la bonne ambiance de

l'equipe jeune du LKB. Soit dans les pause-the, soit dans les soirees-bieres aux 2-Bis (et

autres). Je remercie, bien sur, les copains de manip, Sara, Nicolas et Sylvain. Mais

aussi: Isabelle Maurin, ma petite soeur, ma chere amie. Bruno Manil, un petit verre cet

soir? Bien sur, bientot! Et un bon cinema! Jean-Phillipe Karr, Grand-Matre? GrandDocteur. Grand Copain. Gustavo Camejo Rogrigues, caro amigo de terras lusitanas.Compatriota, pois \Minha patria e minha lngua" (Veloso). Laurent Vernac, hasta lavictoria, siempre! Et aussi Eric-Olivier Le Bigot (EOL), Laurent Longchambon, CyriaqueGenet, Augustin Baas, Gaetan Messin, Jean-Pierre Hermier, Alberto Bramatti, et Pierre-

Francois Cohadon.

Por m, agradeco a todos os amigos, aqui, la, em qualquer lugar, que participaram deminha vida neste perodo. Obrigado a Amaya e Isabelle Gallaga, que me zeram sentirem casa em outro continente. E a Stephanie de Broux, Herman Moldovan, MarianaMendoza, Marcia Patrzio, Imrich Hikkel, Noriko Matsuda, Veronique Guimard, Asako,Sebastian Moulinet, Emanuela Petracci, Sergio e Rozane Gomez, Sara Isabel e Hamilton!E as amigas da Maison du Bresil, Renata Costa, Jaqueline Rodrigues e Nakis Agkul.

E ainda a Guaciara dos Santos, Parmenides Cuberos Martines e Jocilaine , LaurenceStendart e Malu, Carlos Eduardo e Ilka Santi, Edson Tadeu, Geraldo Alexandre, RenatoFernandes e Luza Cant~ao. Um grande abraco para Roberto Nakagawa, e a Ricardo,Nathalie, Cecilia, Emma, Lisa,..... Hino.

Este trabalho foi realizado gracas ao nanciamento da FAPESP (Fundac~ao de Amparoa Pesquisa do Estado de S~ao Paulo), que atraves do Projeto \Emergentes" permitiu aaquisic~ao de boa parte do material empregado. Agradeco ainda a bolsa de Doutorado,concedida durante o perodo. Gostaria ainda de agradecer a CAPES (Comis~ao de Aper-feicoamento a Pesquisa e Ensino Superior) pela bolsa sanduche, que permitiu a relizac~aodo estagio de um ano junto ao Laboratoire Kastler-Brossel, e ao acordo USP-COFECUB,que assegurou o contato entre os laboratorios de S~ao Paulo e Paris durante o incio dotrabalho.

.

E agradecimentos sinceros a

S~ao Judas Tadeu, pela Causa Impossvel de liberar o laser Lightwave do embaraco alfan-degario.

Considerando que foi um ano e meio de espera, talvez fosse melhor ter solicitado a inter-venc~ao de Santo Expedito...

.

Dedicado a minha famlia,

Jane, Lgia e Samanta.

E a Veronica.

Acontecia o n~ao-fato, o n~ao-tempo, silencio em sua imaginac~ao. (...)Avancavam, parados, dentro da luz, como se fosse no dia de Todos os Passaros.

(Guimar~aes Rosa, Substancia)

Sumario

1 Introduc~ao 1

2 Princpios de Otica Quantica 5

2.1 Quantizac~ao do Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Hamiltoniana do campo livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Estados de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Estados Coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.4 Quadraturas do campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Representac~ao de Quase-Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Equac~ao mestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Equac~ao de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Teoria da detec~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Fotodetec~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Detetor n~ao ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3 Medida da utuac~ao de intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.4 Medida das utuac~oes da quadratura do campo . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.5 Medidas de correlac~ao de intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.6 Medida da variancia da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Oscilador Parametrico Otico 27

3.1 Otica n~ao-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Susceptibilidade n~ao-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Campos Eletromagneticos no meio n~ao-linear . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Oscilador Parametrico Otico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 OPO triplamente ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2 Condic~ao de oscilac~ao do OPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.3 Modos longitudinais no OPO com casamento de fase tipo II . . . . . . . . 41

3.2.4 Modos longitudinais no OPO com casamento de fase tipo I . . . . . . . . 46

3.2.5 Sintonia do OPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Propriedades quanticas do OPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1 Representac~ao de Wigner e equac~ao de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . 52

3.3.2 Equac~oes Diferenciais Estocasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.3 Correlac~oes de Intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

i

ii SUMARIO

3.3.4 Feixes Gemeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Gerac~ao de Feixes Gemeos no OPO 59

4.1 Selec~ao do Cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.1 Propagac~ao em meio n~ao-isotropicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.2 Tipos de acordo de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 O cristal KTP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Indice de refrac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.2 Orientac~ao do cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.3 Gerac~ao de segundo harmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Espelhos da Cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.1 Teste dos espelhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Acordo de modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5 Rudo do feixe de bombeio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.6 Montagem do OPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.7 Primeira Montagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.7.1 Estabilizac~ao da cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.7.2 Medida de correlac~ao de rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.8 Segunda Montagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8.1 Degradac~ao do cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8.2 Detec~ao simultanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.9 Correlac~ao quantica de rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5 Compress~ao de rudo no bombeio do OPO-QPM 103

5.1 Cristal em quase-acordo de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2 Compress~ao de rudo no bombeio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3 Modelo teorico do OPO-QPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.4 Observac~ao da compress~ao de rudo no bombeio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.1 Laser de bombeio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.2 Montagem do OPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4.3 Caracterizac~ao do OPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.4.4 Sada Monomodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.4.5 Medida do rudo de intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.4.6 Compress~ao do rudo de quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6 Modos transversos em cavidades concentricas 139

6.1 Aplicac~oes dos estados comprimidos multimodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.1 Resoluc~ao de imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.2 Medida de pequenos deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.2 Modos transversos em cavidades com espelhos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.2.1 Ressonancia dos modos transversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.3 Sistema de bombeio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.4 Montagem empregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.5 Sistema de demodulac~ao para medida do rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

SUMARIO iii

6.6 Estruturas de sada em OPO concentrico tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.6.1 Regi~ao de sada gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.6.2 Regi~ao de formac~ao da cauda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.6.3 Regi~ao de estruturas no feixe complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.6.4 Regi~ao superconcentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.7 Correlac~oes espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.8 Estruturas de sada em OPO concentrico tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.8.1 Cavidade concentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.8.2 Cavidade quase-concentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7 Distribuic~ao espacial de rudo no OPO confocal 181

7.1 Cavidade confocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.1.1 Acordo de Modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.1.2 Regi~ao de confocalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.1.3 Efeito de lente termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.2 OPO Confocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.2.1 Estruturas de sada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.3 Medida de correlac~oes quanticas em feixes desbalanceados . . . . . . . . . . . . . 1967.4 Descric~ao quantica do campo multimodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7.4.1 Decomposic~ao em modos transversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007.4.2 Correlac~oes de intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.5 Descric~ao da montagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067.6 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8 Conclus~ao 215

A Feixes Gaussianos 219

iv SUMARIO

Captulo 1

Introduc~ao

O oscilador parametrico otico (OPO) tem sido objeto de estudo tanto na area de otica quanticaquanto na otica n~ao-linear. Nele, temos um cristal n~ao-linear bombeado por um feixe laserinserido dentro de uma cavidade. Para baixas potencias de bombeio, ocorre inicialmente aemiss~ao espontanea de pares de fotons gerados por convers~ao parametrica. A partir de umacerta potencia de bombeio, o sistema e levado a oscilac~ao, com a aniquilac~ao de fotons nobombeio e a gerac~ao de pares de fotons, onde pelo menos um foton do par esta ligado a ummodo da cavidade.

O OPO surgiu como uma proposta de fonte de luz coerente de grande faixa de sintonia,competindo dessa forma com outra fontes de luz laser. Entre as fontes de luz laser sintonizavelem uma larga faixa, temos laseres de estado solido, usando um meio amplicador com umabanda larga de transic~ao, como e o caso do laser de Ti:Sara, ou laseres de corante. O primeiroe extremamente util, especialmente pelo fato de sua larga faixa espectral permitir a operac~aocom pequena largura de linha, sintonizavel, em regime contnuo, alem de permitir seu uso nagerac~ao de pulsos de luz ultra-curtos na faixa de fs. Porem sua operac~ao, seja contnua, sejapulsada, esta limitada ao infravermelho proximo (700 nm a 1100 nm). Os meios formadospor corantes dissolvidos podem ser empregados na construc~ao de laseres, produzindo luz emuma ampla faixa do espectro. Um problema que surge e a necessidade de trocar o meio detempos em tempos devido a sua degradac~ao. Para trocarmos de faixa de operac~ao do laser, enecessario ainda trocar todo o corante do sistema, implicando em um cuidadoso processo delimpeza. Outro ponto importante em sua operac~ao esta no fato dos corantes empregados seremem sua maioria cancergenos, implicando em cuidados em sua manipulac~ao.

Neste caso, o OPO se apresenta como uma opc~ao de estado solido, com grande banda deselec~ao, baixa degradac~ao e baixo risco para o usuario, de uma fonte de luz laser para espec-troscopia. Atualmente diversas empresas comercializam OPOs operando em regime pulsado,na faixa de ns. Bombeados pelo segundo ou terceiro harmonicos de um laser de Nd:YAG(1064 nm no fundamental), atinge-se uma faixa de operac~ao que vai do violeta (400 nm) ate oinfravermelho distante (4 m).

Infelizmente n~ao ha ainda um OPO comercial trabalhando em regime contnuo. Veremosque neste caso os criterios para sua sintonia s~ao muito delicados. Uma facil seletividade docomprimento de onda n~ao e feita sem um custo (no caso, um aumento do limiar de oscilac~ao).

1

2 CAPITULO 1. INTRODUC ~AO

Se em regime pulsado este limiar e facilmente atingido, o mesmo n~ao ocorre no regime contnuo,onde teremos como fatores negativos uma baixa eciencia para baixos limiares de oscilac~ao,problemas de origem termica devido a potencia do bombeio, e dependendo do caso, degradac~aoe dano permanente ao meio n~ao-linear.

Outra linha de estudo do OPO refere-se ao seu uso como elemento de estabilizac~ao emsistemas de metrologia. O OPO pode servir para \amarrar" frequencias diferentes, seja pelagerac~ao de sinais na faixa de Terahertz [1], seja pela sua mistura e gerac~ao de soma-subtrac~aode sinais [2, 3].

No estudo de otica n~ao-linear, a interac~ao de um feixe de bombeio com uma cavidade con-tendo um meio n~ao-linear leva a diversos comportamentos, tais como biestabilidade, regimescaoticos, regimes auto-pulsados, etc. A biestabilidade pode levar a aplicac~oes como um "Schmitt-trigger" otico, atuando como um supressor de rudo para telecomunicac~oes.

Existe ainda o estudo dos fenomenos quanticos dentro do OPO. Por aniquilar um foton inci-dente convertendo-o em um par de fotons, ele e uma fonte de feixes altamente correlacionados.Mesmo em regime abaixo do limiar, a gerac~ao de pares de fotons por convers~ao parametrica de-scendente faz dele uma fonte de estados comprimidos do campo (vacuo comprimido) [4]. Temosainda que as utuac~oes do campo geradas pelo OPO, alem de correlacionadas em uma quadratu-ra, podem ser anti-correlacionadas na quadratura conjugada, gerando feixes EPR para varaveiscontnuas [5]. Estes feixes EPR podem ser empregados para a implementac~ao de sistemas deteletransporte [6].

Uma nova linha de pesquisa vem ganhando impulso na ultima decada, envolvendo os lim-ites quanticos no tratamento de imagens. A maioria esmagadora dos trabalhos experimentaisem Otica Quantica analisa as utuac~oes do campo com a integrac~ao de todo o feixe inci-dente sobre o sistema de detec~ao, e pouco se tem estudado sobre a distribuic~ao espacial dorudo [7]. No entanto, na pratica, existem diversas situac~oes nas quais as propriedades locais ea distribuic~ao transversa de feixes luminosos s~ao estudadas. Desde a obtenc~ao de imagens porcameras CCD [8], ate a medida de pequenos desvios de feixes luminosos [9, 10], empregandopara isso detetores a quadrante. Esta ultima, alias, e efetivamente limitada pelo rudo quanticono seu uso em microscopia de forca atomica [11].

Entre as diversas fontes possveis de feixes com compress~ao local do rudo, temos o OPO emcongurac~oes de cavidade nas quais os modos transversos s~ao degenerados. Diversos trabalhosdescrevem a formac~ao de estruturas nos feixes de sada [12, 13], porem ate o momento n~aohavia sido possvel obter uma evidencia do carater multimodo na medida do rudo quantico.Neste trabalho, realizamos a primeira medida deste efeito, impulsionando o estudo em novascongurac~oes e o desenvolvimento de novas tecnicas de medida e analise do rudo [14].

Iremos nesta tese estudar alguns aspectos do OPO em diferentes montagens. A primeiramontagem refere-se a construc~ao detalhada de um OPO no laboratorio em S~ao Paulo (LMCAL).Com a montagem deste OPO, geramos feixes gemeos e iniciamos esta linha de pesquisa em oticaquantica e n~ao-linear no pas [15]. Em uma segunda montagem, estudamos o OPO como supres-sor de rudo, gerando compress~oes no feixe de bombeio [16, 17]. Esta montagem foi realizadano Laboratoire Kastler Brossel, dentro do acordo de cooperac~ao USP/COFECUB, envolvendoa colaborac~ao de diversos membros daquele laboratorio. O estudo dos efeitos espaciais em os-ciladores parametricos oticos e a terceira montagem descrita nesta tese. O objetivo principal ea demonstrac~ao da gerac~ao de feixes multimodos com compress~ao quantica de rudo atraves de

3

cavidades com modos transversos degenerados [14, 18].O captulo 2 introduz a notac~ao empregada para o tratamento das utuac~oes quanticas de

rudo no OPO. Nele descreve-se de forma resumida a quantizac~ao do campo e as tecnicas dedetec~ao do rudo correspondente as utuac~oes das variaveis medidas.

No captulo 3 fazemos uma breve introduc~ao da otica n~ao-linear envolvida no processo deconvers~ao parametrica, e iniciamos o tratamento dos campos do OPO em cavidades triplamenteressonantes. Conclumos o captulo pela descric~ao quantica da gerac~ao de fotons gemeos.

O captulo 4 descreve detalhadamente a construc~ao do OPO com um cristal de KTP noLMCAL-USP, sua caracterizac~ao, e a gerac~ao de feixes gemeos, cujas intensidades est~ao cor-relacionadas alem do limite dado pelo \shot noise". No captulo 5, retomamos as equac~oes doOPO descritas no captulo 3 para estudar o rudo no feixe de bombeio re etido pela cavidadedo OPO. Pelo uso de um cristal de Niobato de Ltio em quase-acordo de fase (QPM), obtive-mos um OPO de baixssimo limiar de oscilac~ao. As equac~oes desenvolvidas s~ao empregadas emsimulac~oes numericas e comparadas aos resultados obtidos para as utuac~oes de intensidade equadratura do feixe re etido.

No captulo 6, passamos ao estudo dos modos transversos de oscilac~ao do OPO em cavidadesdegeneradas. A primeira cavidade estudada, a concentrica, e analisada para um cristal deacordo de fase tipo II (KTP) e para um cristal tipo I (Niobato de Ltio). As diferencas entreas congurac~oes s~ao estudadas e apontam-se caminhos para observar, nas estruturas formadasnos feixes de sada, efeitos quanticos na distribuic~ao de rudo.

O captulo 7 estuda a congurac~ao de cavidade confocal. Neste caso, observam-se estruturasnos feixes de sada e a perturbac~ao na distribuic~ao do rudo nos feixes gemeos. Pela introduc~aode uma descric~ao quantica dos modos transversos, mostramos o carater multimodo dos feixesde sada. Conclumos o trabalho no captulo 8, onde apresentamos a discuss~ao de futurasaplicac~oes do trabalho aqui desenvolvido.

4 CAPITULO 1. INTRODUC ~AO

Captulo 2

Princpios de Otica Quantica

O objetivo desta tese envolve de maneira direta a descric~ao quantizada do campo eletro-magnetico e sua detec~ao. Podemos dizer que o incio da otica quantica vem com a descric~ao doefeito fotoeletrico, introduzindo o foton como elemento de interac~ao entre o campo e a materia.Temos em seguida a formulac~ao da teoria de transic~oes atomicas, com o desenvolvimento doscoecientes A e B de Einstein, descrevendo a interac~ao entre o atomo quantizado e o campoclassico.

Efetivamente, uma descric~ao quantica do campo eletromagnetico na forma como a vemosatualmente em diversos livros texto [19, 20, 21, 22, 23, 24] so viria depois com Dirac [25] eFermi [26]. Uma das consequencias da quantizac~ao do campo esta no fato das observaveisseguirem o princpio da incerteza de Heisenberg. Na descric~ao do campo eletrico, veremosque as variaveis conjugadas s~ao as quadraturas E1; E2 do campo, descrito na forma E(t) =E1 cos(!t)+E2 sen(!t), ou ent~ao a fase e a intensidade do campo. Um campo gerado por umacorrente classica ira gerar um estado de mnima incerteza, onde as utuac~oes est~ao igualmentedistribudas entre as duas quadraturas. Uma das manifestac~oes de um estado n~ao-classico docampo e a reduc~ao do rudo abaixo do limite classico. Assim, podemos gerar estados comprimi-dos, onde a utuac~ao de uma quadratura e reduzida ao custo de um aumento das utuac~oes davariavel conjugada, mantendo o princpio de incerteza. Varios exemplos de gerac~ao de estadoscomprimidos em processos oticos n~ao-lineares e em laseres com regularizac~ao do bombeio s~aoconhecidos. Sugerimos as referencias [7, 27] para uma descric~ao geral do tema. Iremos nestatese nos ater aos efeitos quanticos em osciladores parametricos oticos, tais como a gerac~ao defotons gemeos e a compress~ao de quadratura do campo.

Apresento aqui de forma resumida esta descric~ao da quantizac~ao do campo, como um pre-requisito para o tratamento dado ao campo ao longo da tese. O principal objetivo e introduziros operadores de criac~ao e aniquilac~ao de fotons no campo eletromagnetico.

O campo coerente sera apresentado como um caso generico no processo de fotodetec~ao, esua equivalencia ao campo classico cara mais clara ao descrevermos a formulac~ao das represen-tac~oes de quase-probabilidades. Atraves destas distribuic~oes podemos ver o carater n~ao-classicoda luz. Veremos ainda como chegamos a uma descric~ao estocastica do campo, estudando o com-portamento deste por um valor medio com uma utuac~ao estocastica adicionada. Vamos iniciar,portanto, com a quantizac~ao do campo como apresentado na referencia [24]

5

6 CAPITULO 2. PRINCIPIOS DE OTICA QUANTICA

Ao nal do captulo, apresentarei de forma rapida a teoria da fotodetec~ao, mostrando comoa medida do campo eletromagnetico pode ser descrita, empregando os operadores de criac~ao eaniquilac~ao para obter a fotocorrente gerada pela incidencia da luz sobre um fotodiodo.

2.1 Quantizac~ao do Campo

Para realizar a quantizac~ao do campo eletromagnetico, vamos tomar as equac~oes de Maxwellno vacuo, na ausencia de fontes. Temos ent~ao

r B = 0 rE = @B@t

r E = 0 rB =1

c2@E

@t: (2.1)

Vamos denir o campo eletrico E e o campo magnetico B em termos do potencial vetor A.Usaremos para isso o calibre de Coulomb

B = rA E = @A@t

(2.2)

com r A = 0. Pelas equac~oes de Maxwell temos a equac~ao de onda para o potencial vetor

r2A(r; t) =1

c2@2A(r; t)

@t2(2.3)

sendo o potencial vetor uma variavel real.

Para chegarmos ao hamiltoniano, vamos comecar pela expans~ao do potencial vetor em umasomatoria de ondas planas. Para isso, vamos considerar que que o campo esta connado emum cubo de dimens~ao L, devendo satisfazer condic~oes de periodicidade. Note que a escolhado volume e arbitraria, e a independencia dos resultados obtidos com a dimens~ao L mostraraque os resultados s~ao validos para qualquer volume escolhido, ou mesmo no caso de fazermosL!1.

Temos ent~ao a expans~ao do potencial vetor em uma base de ondas planas

A(r; t) =1p0L3

Xk

Ak(t)eikr (2.4)

onde as componentes do vetor k assumem valores discretos kj = 2nj=L com nj inteiro. Noque se segue, vamos distinguir as amplitudes Ak do potencial vetor A pela presenca do ndicek.

Para que o potencial vetor seja real precisamos que Ak = Ak. Da equac~ao de onda para

o campo temos ent~ao a soluc~ao geral para as amplitudes do potencial vetor

Ak(t) = ckei!t + cke

i!t: (2.5)

2.1. QUANTIZAC ~AO DO CAMPO 7

Para satisfazer a condic~ao de transversalidade r A = 0 temos que k Ak = 0. Os vetoresck podem ent~ao ser expressos atraves de dois versores ortogonais tais que

k ks = 0; s = 1; 2

ks ks0 = Æss0

k1 k2 = k=k

ck = ck1k1 + ck2k2: (2.6)

A descric~ao dos versores ks como versores complexos permite a descric~ao de ondas com pola-rizac~ao linear ou circular.

Aplicando estas denic~oes ao potencial vetor teremos ent~ao

A(r; t) =1p0L3

Xk

Xs

hckskse

i!t + ckskse

i!tieikr

=1p0L3

Xk

Xs

hckskse

i(kr!t) + ckskse

i(kr!t)i

=1p0L3

Xk

Xs

huks(t)kse

ikr + uks(t)kse

ikri

(2.7)

com uks(t) = cksei!t.

Temos imediatamente as express~oes do campo eletrico e magnetico

E(r; t) =1p0L3

Xk

Xs

i!huks(t)kse

ikr uks(t)kse

ikri ;B(r; t) =

1p0L3

Xk

Xs

huks(t)(k ks)e

ikr uks(t)(k ks)eikri (2.8)

a partir das quais podemos calcular a hamiltoniana para a energia do campo.

2.1.1 Hamiltoniana do campo livre

A energia do campo eletrico corresponde ao quadrado da amplitude normalizada uks(t) denidaanteriormente

H =1

2

ZV

"0E

2(r; t) +B2(r; t)

0

#dv = 2

Xk

Xs

!2juks(t)j2: (2.9)

Expressando a energia atraves do Hamiltoniano, empregando para isso um par de variaveiscanonicas

qks(t) = uks(t) + uks(t);pks(t) = i! [uks(t) uks(t)] ; (2.10)

temos

H =1

2

Xk

Xs

hp2ks(t) + !2q2ks(t)

i(2.11)


descrevendo a energia de uma soma de osciladores harmonicos independentes, correspondentesa diferentes modos k; s do campo.

Para realizar a quantizac~ao do campo, substitumos as variaveis canonicas q; p por opera-dores q; p. Estes satisfazem as regras de comutac~ao

[qks(t); pk0s0(t)] = ihÆ3kk0Æss0 ;

[qks(t); qk0s0(t)] = 0;

[pks(t); pk0s0(t)] = 0: (2.12)

Em consequencia, o operador hamiltoniano do sistema pode ser expresso em func~ao dos doisoperadores hermitianos acima denidos

H =1

2

Xk

Xs

hp2ks(t) + !2q2ks(t)

i: (2.13)

Apesar de termos quantizado o campo, n~ao e comum trabalharmos com operadores hermi-tianos q(t); p(t), sendo mais pratico o uso dos operadores n~ao hermitianos de criac~ao ay(t) eaniquilac~ao a(t) do oscilador harmonico, denidos de tal forma que

qks(t) =

sh

2!

haks(t) + ay

ks(t)i

pks(t) = i

sh!

2

haks(t) ay

ks(t)i: (2.14)

Obtemos diretamente desta denic~ao as relac~oes de comutac~aohaks(t); a

yk0s0(t)

i= Æ3kk0Æss0h

aks(t); ak0s0(t)i= 0h

ayks(t); a

yk0s0(t)

i= 0: (2.15)

Os operadores a(t); ay(t) correspondem as amplitudes complexas u(t); u(t), apresentando amesma dependencia temporal

aks(t) = aksei!t ay

ks(t) = aykse

i!t (2.16)

Desta forma, o hamiltoniano do campo, expresso em termos dos operadores de criac~ao eaniquilac~ao em ordem normal, e dado por

H =Xk

Xs

h!k

ayksaks +

1

2

: (2.17)

O termo 1=2 que aparece na somatoria corresponde a energia do vacuo de cada modo do campo,ou seja, as utuac~oes de ponto zero.


A express~ao completa para o campo eletrico em termos dos operadores de criac~ao e aniquilac~aodo oscilador harmonico e dada diretamente pela sua substituic~ao na equac~ao 2.8

E(r; t) =1

L3=2

Xk

Xs

sh!

20

hiakskse

i(kr!t) iayks

kse

i(kr!t)i

B(r; t) =1

L3=2

Xk

Xs

sh

2!0

hiaks(k ks)e

i(kr!t) iayks(k

ks)ei(kr!t)i : (2.18)

Vemos portanto como, partindo das equac~oes de Maxwell, chegamos a hamiltoniana do cam-po em termos de variaveis conjugadas, que s~ao ent~ao substitudas por operadores hermitianos.Estes operadores podem ser expressos por operadores n~ao hermitianos de criac~ao e aniquilac~ao,uma vez que a hamiltoniana e a de uma soma de osciladores harmonicos independentes. Ocampo eletrico e magnetico podem, por sua vez, ser expressos em termos destes operadores.

Vamos agora ver alguns estados para a descric~ao do campo eletrico, tais como os estadosde Fock e os estados coerentes.

2.1.2 Estados de Fock

Vemos na equac~ao do hamiltoniano 2.17 a presenca do operador numero para um dado modoks do campo

nks = ayksaks: (2.19)

Os autoestados deste operador formam uma base, a partir da qual podemos obter os auto-valores do hamiltoniano do campo

nksjnksi = nksjnksi: (2.20)

Estes operadores podem ser identicados com o numero de fotons presentes em um dado mododo campo, e jnksi corresponde ao estado do modo contendo nks fotons.

Aplicando os operadores de criac~ao e aniquilac~ao aos autoestados do operador numero vemosque

aksjnksi = pnksjnks 1i;

ayksjnksi =

pnks + 1jnks + 1i;aksj0i = 0: (2.21)

A aplicac~ao do operador aniquilac~ao remove um foton do modo ks, enquanto que o operadorcriac~ao introduz um foton neste estado. Claramente, a aplicac~ao do operador aniquilac~ao aovacuo leva a um resultado nulo, posto que nks e necessariamente um inteiro positivo.

Os estados de Fock correspondem ao produto dos autovetores do operador numero paratodos os modos do campo.

jfngi =Yks

jnksi: (2.22)


Uma forma alternativa de descrever os estados de Fock e pela aplicac~ao sucessiva do operadorcriac~ao sobre o estado do vacuo

jfngi =Yks

"(ay

ks)nks

pnks!

#j0i: (2.23)

Estes estados s~ao ainda autovetores do hamiltoniano

Hjfngi ="Xks

(nks + 1=2)h!

#jfngi; (2.24)

onde identicamos a energia total contida no campo eletromagnetico

E =Xks

h!k

nk +

1

2

; (2.25)

como a soma da energia de cada foton em cada modo do campo, mais a energia do vacuo.Temos consequentemente uma energia no campo mesmo na ausencia de fotons, correspon-

dendo a energia de ponto zero, ou energia do estado de vacuo, podendo ser interpretada poroscilac~oes do campo eletrico na ausencia de fotons

h0jHj0i = 1

2

Xks

h!: (2.26)

Vemos que os estados de Fock formam uma base completa e ortonormal

hnksjmksi = Ænksmks) hfngjfmgi =

Yks

Ænksmks;

1Xnks=0

jnksihnksj = 1)Xfng

jfngihfngj = 1: (2.27)

No entanto, como veremos a seguir, n~ao s~ao a forma mais adequada para representar um campoeletrico habitualmente gerado em laboratorio. Neste caso, a representac~ao do estado do campoeletrico na base formada pelos estados coerentes e mais apropriada

2.1.3 Estados Coerentes

Se buscarmos os autoestados do operados de aniquilac~ao, em lugar de buscarmos os autoestadosdo hamiltoniano do campo, chegamos a uma base contnua de autoestados, com um contnuode autovalores

aksjksi = ksjksi; (2.28)

onde os autovalores ks s~ao complexos, posto que o operador e n~ao-hermitiano. Impondo anormalizac~ao da base temos que

jksi = ejksj2=2

1Xnks=0

nkskspnks!

jnksi: (2.29)

Se observarmos o caso monomodo, situac~ao na qual abandonamos a notac~ao dos ndicesk; s, podemos ver algumas propriedades de um estado coerente do campo.


Valor medio e variancia do numero de fotons

Aplicando o operador numero a um estado coerente temos

hjnji = jj2; (2.30)

onde vemos que o modulo de nos fornece o numero medio de fotons para um dado estadocoerente do campo. Do mesmo modo, calculando a variancia, temos

2n = hn2i hni2 = jj2: (2.31)

Ou seja, a variancia do numero de fotons e igual ao valor medio.Se tomarmos a distribuic~ao das probabilidades p(n) = jhnjij2 de encontrar n fotons em um

modo do campo no estado coerente, observamos uma distribuic~ao de Poisson.

Estados coerentes como uma base

A base de estados coerentes satisfaz a condic~ao de completeza

1

Zjihjd2 = 1: (2.32)

No entanto ela n~ao e ortogonal

hj0i = exp

1

2jj2 + 0 1

2j0j2

: (2.33)

Por este motivo, esta e considerada uma base super-completa pois, ainda que possamos rep-resentar qualquer estado do campo nesta base, os autovetores n~ao s~ao ortogonais. No entanto,esta n~ao-ortogonalidade e pequena, e para grandes valores de a projec~ao hj0i tende a umafunc~ao Æ2( 0).

2.1.4 Quadraturas do campo

Nos vimos na express~ao 2.18 a descric~ao do campo eletrico atraves de operadores de criac~ao eaniquilac~ao. Estes operadores, por serem n~ao hermitianos, n~ao representam observaveis fsicas.Vamos aqui descrever o campo eletrico como duas quadraturas, atraves de operadores hermi-tianos. Tomando ent~ao

X(1) =1

2

a+ ay

e X(2) =

1

2i

a ay

; (2.34)

temos diretamente a relac~ao de comutac~ao entre os operadores de quadratura X(1); X(2)

hX(1); X(2)

i=i

2: (2.35)

Fazendo a substituic~ao na equac~ao do campo eletrico 2.18 temos no caso monomodo

E(r; t) =2

L3=2

sh!

20

hX(1)sen(k r !t) + X(2)cos(k r !t)

i: (2.36)


Podemos ent~ao vericar que os estados coerentes s~ao um exemplo de estado de incertezamnima para as quadraturas do campo. Se calcularmos o valor das variancias de X(1) e X(2)

para o campo temos p2X(1)2X(2) 1

4: (2.37)

correspondendo a relac~ao de incerteza entre as duas variaveis conjugadas. Demonstra-se quepara um estado coerente do campo

p2X(1)2X(2) =

1

4: (2.38)

As variancias dos operadores de quadratura no estado coerente s~ao dadas por

2X(1) = 2X(2) =1

4: (2.39)

diferindo assim do valor obtido para um estado de Fock

2X(1) = 2X(2) =1

4(2n+ 1): (2.40)

Outros estados do campo, conhecidos por estados comprimidos, podem ser obtidos matemati-camente a partir da aplicac~ao de operadores de compress~ao e deslocamento ao estado do vacuo[19, 20]. Tais estados s~ao ainda estados de incerteza mnima, por satisfazerem a igualdade 2.38,porem apresentam compress~ao em uma das quadraturas do campo, a custa de um aumentodas utuac~oes na outra quadratura. Na pratica, chama-se estado comprimido qualquer estadoonde uma das quadraturas do campo esta comprimida abaixo do limite do estado coerente, porexemplo 2X(2) < 1

4 , mesmo que o estado n~ao seja um estado de incerteza mnima.Estas descric~oes sobre a variancia do campo car~ao mais claras ao nos lancarmos a repre-

sentac~ao do campo por distribuic~oes de quase-probablidade.

2.2 Representac~ao de Quase-Probabilidade

O estado do campo eletromagnetico quantizado pode ser inteiramente descrito a partir do ope-rador densidade do sistema. De forma equivalente, no lugar de trabalharmos com operadorese autoestados, podemos passar a descric~ao do sistema atraves de representac~oes do operadordensidade.

Trabalhando com a base dos estados coerentes, temos diversas representac~oes, tais comoa representac~ao P de Glauber-Sudarshan, a representac~ao de Wigner, a representac~ao Q e arepresentac~ao P-positiva.

Vamos nos ater aqui a uma breve descric~ao de representac~ao de Wigner, usada nesta tese.Diversos livros tratam destas distribuic~oes, cando a recomendac~ao ao leitor de busca-los paramaiores referencias [19, 20, 21].

Partindo do operador densidade, ele pode ser univocamente deteminado por sua func~aocaracterstica. No caso de uma func~ao caracterstica em ordem simetrica temos

() = Tr[eaya]: (2.41)

2.2. REPRESENTAC ~AO DE QUASE-PROBABILIDADE 13

A distribuic~ao de Wigner e ent~ao denida como

W () =1

2

Ze

()d2 (2.42)

descrevendo a \probabilidade" de observarmos a amplitude do campo. Na realidade, aprobabilidade real de medir um valor preciso de um observavel e dada sempre pela distribuic~aomarginal da func~ao. Expressando em termos das quadraturas X(1) e X(2), a probabilidadeda medida de um valor em uma das quadraturas sera dada pela distribuic~ao marginal

P (X(1)) =

Z +1

1W (X(1);X(2))dX(2): (2.43)

No caso de um estado n~ao-classico do campo, podemos ter valores negativos da func~ao deWigner. No entanto, a probabilidade de realizac~ao de uma medida sera necessariamente posi-tiva.

Uma melhor ideia de como esta distribuic~ao nos fornece as informac~oes do campo podeser obtida ao vericarmos a representac~ao de um estado coerente. Neste caso, dado um estadocoerente ji = jX(1)+iX(2)i temos a func~ao de Wigner expressa por uma distribuic~ao gaussianacom simetria de rotac~ao

W (x1; x2) =2

exp

"(x1 X(1))2

2 (x2 X(2))2

2

#: (2.44)

Ja para um estado comprimido a gaussiana n~ao e mais simetrica, porem apresenta um achata-mento em uma das quadraturas do campo:

W (x1; x2) =2

exp

"(x1 X(1))2e2s

2 (x2 X(2))2e2s

2

#; (2.45)

onde s e a taxa de compress~ao. Neste sentido, dizemos que o estado comprimido e um estadon~ao-classico do campo. Um estado classico e aquele produzido por uma corrente classica, queproduz um estado coerente [19]. Nenhuma fonte classica pode gerar um estado comprimido,onde as utuac~oes do campo, observadas como rudo no processo de detec~ao s~ao reduzidasabaixo do limite de um estado coerente. O estado comprimido n~ao necessita ter as quadraturasdo campo n~ao-nulas, podendo-se gerar um estado de vacuo comprimido [4], onda a amplitudedo campo e praticamente nula, mas as utuac~oes do campo s~ao comprimidas.

Para um estado de Fock jni, temos

W (x1; x2) =2

(1)nLn(4r2)e2r2 (2.46)

com r2 = x21+ x22, e Ln(x) e o polinomio de Laguerre. Neste caso, a existencia de valores nega-tivos para a func~ao de Wigner e uma assinatura do carater quantico do campo, n~ao permitindosua descric~ao por meio de uma aproximac~ao semi-classica, onde o campo e descrito por umvalor medio com as utuac~oes de vacuo a ele adicionadas.

Na gura 2.1 vemos alguns exemplos dos campos supracitados descritos pela func~ao deWigner no espaco de fase.


0

2.5

5

7.510

-5

-2.5

0

2.5

5

00.20.40.6

0

2.5

5

7.510

-5

-2.5

0

2.5

5

00.20.40.6

x1

x2

Estado Coerente

Estado Comprimido

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

-1-0.00.51

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

-1-0.00.51

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

-1-0.500.51

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

-1-0.500.51

x1

x2

W

x1

x2

W

Estados de Fock

n=0 n=3

Figura 2.1: Representac~ao de Wigner para um estado coerente e um estado comprimido (s=0,5)de mesma amplitude (

phni = 8; 9), e representac~oes para diversos estados de Fock.

De forma semelhante a matriz densidade, a representac~ao de quase-probabilidade contemtoda a informac~ao necessaria a descric~ao do campo eletrico. Veremos na sequencia como poder-emos partir da descric~ao do sistema pelo operador densidade, chegando a equac~ao mestra paraum sistema (cavidade) em contato com um banho termico atraves de perdas, e desta para umadescric~ao de quase-probabilidade.

2.2.1 Equac~ao mestra

Considere um sistema fsico em estudo, em contato com um banho termico. Por exemplo, umacavidade com espelhos de acoplamento com transmitancia n~ao nula. A descric~ao da evoluc~ao doconjunto sistema + reservatorio dentro da representac~ao de Schrodinger pode ser feita atravesda equac~ao de Schrodinger para a matriz densidade do conjunto

d

dtsr = i

h[H; sr]; (2.47)

onde a matriz densidade do sistema completo sr inclui o reservatorio e o sistema em estudo, ea hamiltoniana H = Hs + Hr + V contem um termo para o sistema, um para o reservatorio, eum termo de interac~ao entre eles.

O banho termico e modelado por um numero grande de osciladores harmonicos

Hr =Xj

h!j byj bj ; (2.48)

onde bj e o operador de aniquilac~ao do modo j do banho termico. Ele esta acoplado ao sistemapelo operador de interac~ao, que descreve a troca de energia entre o sistema e o banho, atravesde operadores de criac~ao e aniquilac~ao do sistema (ayj ; aj) e do banho atuando simultaneamente.Em uma aproximac~ao de onda girante (RWA) ele e dado por

V = hXj

(gj ayj bj + gj b

yjaj): (2.49)

2.2. REPRESENTAC ~AO DE QUASE-PROBABILIDADE 15

A soluc~ao da equac~ao de movimento da matriz densidade do conjunto completo esta geral-mente alem do nosso alcance. No entanto, como o objetivo nal e o estudo do sistema menor,sem preocupac~ao com o reservatorio, podemos nos limitar a buscar uma soluc~ao para a ma-triz densidade do sistema. Considere que o operador O, que queremos medir, atue apenas nosistema. O valor medio da observavel hO(t)i pode ser obtido pelo traco do operador sobre amatriz densidade do conjunto

hO(t)i = trsrfOsr(t)g: (2.50)

Como o operador atua apenas no sistema, e n~ao sobre o reservatorio, podemos simplicar adescric~ao, de modo que

hO(t)i = trsfO trrsr(t)g = trsfOs(t)g: (2.51)

Tudo que necessitamos para obter o valor do observavel hO(t)i esta na evoluc~ao temporalda matriz densidade do sistema s(t). A equac~ao de movimento para esta matriz densidade echamada de Equac~ao Mestra.

A deduc~ao da equac~ao mestra escapa do tema deste trabalho. Sugerimos ao leitor, para umadescric~ao detalhada de sua obtenc~ao para alguns exemplos simples, as referencias [19, 20, 21].A sua deduc~ao para o oscilador parametrico pode ser obtida nas ref. [28, 29].

O tratamento da equac~ao mestra pode ser feito dentro de uma representac~ao de func~oes dequase-probabilidade, levando nalmente a uma equac~ao de Fokker-Planck para o sistema.

2.2.2 Equac~ao de Fokker-Planck

Uma vez obtida a equac~ao mestra para o operador densidade do sistema na forma

d

dts = F (a; ay); (2.52)

onde F e func~ao dos diversos operadores de criac~ao e aniquilac~ao do sistema, podemos tratar oproblema pela obtenc~ao de uma equac~ao de Fokker-Planck, representando a equac~ao de movi-mento da distribuic~ao de probabilidade.

A passagem da descric~ao do problema da matriz densidade para uma func~ao de quase-probabilidade e feita pela substituic~ao dos operadores a e ay por variaveis complexas do campo e , junto com a substituic~ao do operador da matriz densidade s por uma func~ao dedistribuic~ao.

Como pode ser visto na literatura, esta passagem pode se feita pela substituic~ao dos o-peradores quanticos por operadores diferenciais do campo dentro da func~ao F (a; ay). S~aodiversas as representac~oes possveis, tais como a representac~ao P de Glauber-Sudarshan [30, 31],a representac~ao de Wigner [32], as representac~oes P-generalizadas [33], entre as quais a P-positiva. Estas representac~oes, bem como a descric~ao pelos termos diagonais do operadordensidade na base dos estados coerentes (func~ao Q), s~ao apresentadas com detalhes na ref. [20].

Veremos o procedimento para a passagem a uma representac~ao de Wigner, conforme seraempregado no corpo deste trabalho. Nesta representac~ao, podemos interpretar o campo porum valor medio ao qual adicionamos as utuac~oes estocasticas do vacuo. A substituic~ao dos


operadores na func~ao F (a; ay) e feita pelas seguintes correspondencias

as ()+

1

2

@

@

W ays ()

1

2

@

@

W (2.53)

sa() 1

2

@

@

W sa

y () +

1

2

@

@

W: (2.54)

A substituic~ao dos operadores pelas amplitudes dos campos deve ser feita de forma ordenada,trocando todos os operadores aparecendo a esquerda do operador densidade pelos operadoresdiferenciais da func~ao de quase probabilidadeW . O mesmo deve ser feito para os operadores decriac~ao e aniquilac~ao aparecendo a direita do operador s. No caso de operadores aparecendoa direita e a esquerda do operador densidade, a substituic~ao pode ser feita em qualquer ordem.

O resultado desta substituic~ao e uma equac~ao de movimento para a func~ao de Wigner dotipo

@

@tW () =

Xj

@

@jAj(; t)W () +

1

2

Xj;k

@

@j

@

@kDjk(; t)W ()

+Xj;k;l

@

@j

@

@k

@

@lOjkl(; t)W () + ::: (2.55)

A func~ao de Wigner depende do vetor contendo todos os termos do campo eletrico j , sendoque os complexos conjugados s~ao tratados como variaveis independentes j = j0 . Identica-se ent~ao uma equac~ao de movimento com um termo de arrasto A e um termo de difus~ao D.Frequentemente temos na equac~ao de movimento da func~ao de Wigner termos diferenciais deordem superior a 2 ligados a matriz O.

Desprezando estes termos, obtem-se a equac~ao de Fokker-Planck,

@

@tW () =

Xj

@

@jAj(; t)W () +

1

2

Xj;k

@

@j

@

@kDjk(; t)W () ; (2.56)

cuja soluc~ao e mais simples. Neste caso, podemos descartar os termos de ordem superior seassumirmos que a distribuic~ao e bem comportada, como feito habitualmente nos tratamentosteoricos (por exemplo, na ref. [34]).

A func~ao de Fokker-Planck resultante pode ser ent~ao expressa na forma equivalente de umaequac~ao de Langevin, como descrito detalhadamente em [35]

d

dt = A(; t)+B()(t); (2.57)

onde D = BTB e os termos de utuac~ao (t) tem media nula, valendo as correlac~oes

hi(t)j(t0)i = ÆijÆ(t t0) (2.58)

Podemos obter a evoluc~ao temporal das variaveis a partir da equac~ao de Langevin, alem decalcular as variancias dos valores medidos dos campos. Podemos desse modo fazer a vericac~aose alguma das variaveis medidas apresenta compress~ao nas utuac~oes abaixo do limite quantico.Sera este o exemplo aplicado na descric~ao dos campos do OPO.

2.3. TEORIA DA DETEC ~AO 17

2.3 Teoria da detec~ao

Vamos descrever brevemente o processo de medida do campo eletromagnetico para um feixeluminoso. Consideraremos inicialmente a detec~ao por um fotodiodo, que gere uma fotocorrentecom uma eciencia unitaria para a convers~ao dos fotons [36]. Em seguida, mostraremos comotal detetor pode ser aplicado, com a ajuda de divisores de feixe e osciladores locais, a medidadas utuac~oes das quadraturas do campo.

2.3.1 Fotodetec~ao

Como vimos na equac~ao 2.18, o operador campo eletrico e composto da somatoria sobre ostermos positivos e negativos de frequencias,

E(r; t) = E(+)(r; t) + E()(r; t) (2.59)

onde

E(+)(r; t) =i

L3=2

Xk

Xs

sh!

20akskse

i(kr!t); (2.60)

E()(r; t) =iL3=2

Xk

Xs

sh!

20ayks

kse

i(kr!t): (2.61)

Os detetores para a otica empregam normalmente o efeito fotoeletrico para as medidas docampo, onde o foton incidente sobre o detetor e absorvido, levando a gerac~ao de um eletron. E ocaso, por exemplo, das fotomultiplicadoras. A absorc~ao do foton em uma junc~ao semicondutorapode ser tratada do mesmo jeito. Neste processo de absorc~ao, a probabilidade de transic~aodepende da atuac~ao do operador de aniquilac~ao de fotons do campo. A probabilidade deocorrer a transic~ao entre o estado inicial jii e o estado nal jfi do campo em uma dada posic~ao~r do campo, no intervalo de tempo (t; t+ dt) e dada por

wf (~r; t)dt = jhf jE(+)(r; t)jiij2dt: (2.62)

A probabilidade total de gerac~ao do foto-eletron pela aniquilac~ao do foton incidente e dada pelasoma em todas as possveis transic~oes

w(~r; t) =Xf

jhf jE(+)(r; t)jiij2 =Xf

hijE()(r; t)jfihf jE(+)(r; t)jii = hijE()(r; t)E(+)(r; t)jii;

(2.63)onde usamos a completeza da base

Pf jfihf j = 1.

A detec~ao se da em um intervalo de tempo , dependente geralmente do decaimento datransic~ao atomica. Considerando que este intervalo de tempo dene uma largura de banda dedetec~ao (1=) muito inferior ao batimento dos diferentes modos k, e que integramos na detec~aoa intensidade local E()E(+) por toda a frente de onda do feixe, vericamos a ortogonalidadedos diferentes vetores de onda k e k0, e entre as diferentes direc~oes de polarizac~ao s e s0.


Da integrac~ao da probabilidade em cada ponto r da superfcie do detetor temos a taxa totaldo uxo de eletrons gerados, que identicamos como a fotocorrente i. Esta sera dada por

hii = eXks

hnksi; (2.64)

onde o operador numero nks = ayksaks fornece o uxo de fotons por segundo pela area envolvida

pelo feixe. A contante e e a carga eletrica fundamental, fornecendo o valor da fotocorrente emunidade de carga por tempo (ampere no SI). Note que estamos considerando detetores n~aoamplicados. As fotomultiplicadores e os fotodetetores de avalanche (APD) baseiam-se namultiplicac~ao do eletron gerado pela aniquilac~ao do foton incidente por efeitos em cascata,gerando na sua sada um pulso com muitos eletrons. N~ao ha, neste caso, uma correlac~aounitaria entre a fotocorrente e o uxo de fotons. Este correlac~ao e valida, por exemplo, emfotodiodos, onde o foton gera um par eletron-buraco na junc~ao reversamente polarizada, ouem uma fotomultiplicadora na qual empregamos apenas um estagio, de modo que n~ao haja amultiplicac~ao do fotoeletron gerado.

Relacionamos ent~ao o operador fotocorrente diretamente ao operador numero. Isto signi-ca que, para um detetor ideal, cada foton nele incidente ira gerar um eletron em sua sada,traduzindo de forma el o uxo de fotons pela area envolvida pelo fotodetetor.

2.3.2 Detetor n~ao ideal

Calculamos a fotocorrente medida por um detetor ideal, e como ela se relaciona ao numero defotons incidente sobre o detetor. Na realidade, a eciencia quantica do detetor depende muitode sua construc~ao. Parte da luz incidente pode ser re etida na interface do detetor com o ar,alem das perdas por re ex~ao na janela empregada para a sua protec~ao. Alem disso, o fotonincidente em um fotodiodo pode n~ao ser absorvido, ou ainda o par eletron-buraco gerado najunc~ao pode se recombinar. Deste modo, a eciencia quantica da detec~ao e necessariamenteinferior a 1.

A eciencia quantica e dada pela raz~ao entre o numero de eletrons gerados pela quantidadede fotons incidentes. Para um feixe monocromatico teremos

=h! IoutePin

; (2.65)

onde Iout e a fotocorrente gerada e Pin e a potencia incidente. Na pratica, os detetores temeciencias quanticas muito altas. Para tratar deste caso, considera-se o detetor como um detetorideal com uma perda, tratada como um divisor de feixe colocado diante dele. A transmitanciado divisor e igual a eciencia quantica da detec~ao.

Considere ent~ao um campo incidente sobre o divisor de feixe, descrito pelos operadores deaniquilac~ao a e b (gura 2.2). O Divisor de Feixe ira fazer a mistura dos campos incidentes,fornecendo em sua sada os modos c e d do campo, onde

c =pT a+

p1 T b; d = p1 T a+

pT b: (2.66)

As fotocorrentes medidas em cada fotodetetor ser~ao dadas pelos operadores numero

nc = cyc = T aya+ (1 T )byb+pT (1 T )(ayb+ aby);

nd = dyd = T byb+ (1 T )ayapT (1 T )(ayb+ aby):(2.67)


b

D1

a

Divisorde Feixe

c

D2

d

^

^

^

^

Figura 2.2: Divisor de feixe para a homodinagem de dois campos.

Para descrever o fotodetetor real, vamos ignorar pelo momento a sada do divisor referenteao operador d que descreve o feixe incidente sobre o detetor 2, considerando a transmitanciaT = do feixe incidente a medido pelo detetor 1, considerado ideal. Pela porta vazia do divisorde feixe b temos apenas o estado do vacuo. O estado medido sera portanto o produto do estadojai incidente pelo estado do vacuo no modo b do campo j0bi. O valor medio da fotocorrentemedida pelo detetor sera

hnci = h0bjhajncjaij0bi = hajnajai; (2.68)

posto que bj0bi = h0bjby = 0.

Ja a variancia do operador numero pode ser facilmente obtida se calcularmos o operador n2

em ordem normal. Vemos que a variancia do valor medio do operador numero e

2n = h(n hni)2i =hn2i hni2 = hayaayai hayai2 = hayayaai hayai2 + hayai =

h: n2 :i hni2 + hni;(2.69)

onde h: O :i indica que o operador e calculado em ordem normal (operadores de aniquilac~ao adireita e operadores de criac~ao a esquerda). Empregamos aqui as propriedades de comutac~ao dosoperadores de criac~ao e aniquilac~ao. Vale observar neste ponto que a variancia calculada paraum estado coerente do campo fornece diretemente o valor do \shot noise", ou rudo quanticopadr~ao.

Aplicando ent~ao a equac~ao 2.69 ao calculo da variancia do numero de fotons incidente sobreo detetor 1, veremos que

2nc = 2(h: n2a :i hnai2) + hnai: (2.70)

Para evidenciar o efeito do campo do vacuo entrando pela porta vazia do divisor de feixe,vamos calcular a variancia em ordem normal. O operador das utuac~oes do numero de fotons


e Æn = n hni. Vemos que a variancia e dada por 2n = h(Æn)2i. O calculo em ordem normalnos da

h: (Æn)2 :i = 2n hni; (2.71)

representando as utuac~oes do campo suprimidas do \shot noise". Teremos ent~ao para o campotransmitido por um divisor de feixe

h: (Ænc)2 :i = 2h: (Æna)2 :i: (2.72)

Estas utuac~oes podem ser tanto positivas, no caso de um feixe com uma estatstica superpois-soniana no numero de fotons, como negativas, para um feixe subpoissoniano. Vemos portantoque o efeito de uma perda na medida das utuac~oes de potencia do campo reduz linearmente apotencia do feixe, e quadraticamente a sua utuac~ao, descontado o nvel de \shot-noise" [37, 38].

Para o calculo da eciencia total de um sistema de detec~ao podemos somar todas as atenua-c~oes entre a fonte de luz, mais a eciencia quantica do detetor, que e tratada como um elementode transmitancia igual a eciencia quantica.

2.3.3 Medida da utuac~ao de intensidade

Para medir a compress~ao na utuac~ao de intensidade, vericando o carater subpoissoniano ousuperpoissoniano do campo, podemos simplesmente realizar a medida calibrada das utuac~oesdo campo, comparando com o valor obtido para um estado coerente de mesma intensidadeincidente sobre um unico fotodetetor. Ou ainda calibrar previamente a medida da utuac~aopara o valor medio da fotocorrente medida, e comparar o valor medido de 2n do estado como valor esperado para um feixe coerente de mesma intensidade.

No entanto, ha uma forma mais simples de fazer esta medida. Considere o sistema da gura2.2, onde temos detetores (que consideraremos ideais) que medem a fotocorrente de sada deum divisor de feixe 50/50 (T=50%). As fotocorrentes de sada podem ser calculadas pelosoperadores numero, descritos na equac~ao 2.67. Considere que o feixe em estudo entra pela portaa do divisor de feixe, enquanto que a porta b permanece aberta para o vacuo incidente [39].

O valor medio e a variancia da soma das fotocorrentes de sada e ent~ao dada por

hi+i = hnai; 2i+ = 2na; (2.73)

equivalente a termos um unico fotodetetor medindo toda a potencia incidente do feixe, recu-perando assim a informac~ao da variancia da intensidade e do valor medio da fotocorrente. Japara a subtrac~ao, teremos

hii = 0; 2i = hnai; (2.74)

ou seja, a utuac~ao da subtrac~ao das fotocorrentes sera igual a obtida para um campo coerentede intensidade media igual a do campo incidente. Pela comparac~ao direta dos valores de 2 ie 2i+ recuperamos o valor da variancia em ordem normal (eq. 2.71) do campo, pela qualvericamos se este e poissoniano, ou se apresenta compress~ao ou excesso de rudo na intensidade.

Esta forma simples de medida pode ser empregada desde que haja um bom equilbrio entreas fotocorrentes dos dois detetores, obtido pelo ajuste no da transmitancia T do divisor defeixe. Para um feixe linearmente polarizado, isto pode ser feito pelo uso de um cubo polarizador


e uma lamina de meia onda, separando o feixe em duas metades de potencias iguais atravesda rotac~ao da polarizac~ao incidente no cubo. Nem sempre dispomos de um divisor de feixedesta qualidade. Por vezes a luz possui uma polarizac~ao aleatoria, impedindo uma medidaequilibrada. Neste caso, o procedimento para a medida da compress~ao de intensidade e acalibrac~ao previa da fotocorrente com uma fonte de luz coerente.

Como veremos a seguir, uma montagem semelhante pode ser empregada para medir a com-press~ao na quadratura do campo. Neste caso, esta medida e chamada de detec~ao homodina,onde mistura-se o campo em estudo a um campo incidente, chamado de oscilador local, tipica-mente com uma potencia muito superior a potencia do feixe em estudo.

No caso apresentado, costuma-se dizer que o campo estudado sofre uma homodinagem como campo do vacuo entrando pela porta vazia do divisor de feixe.

2.3.4 Medida das utuac~oes da quadratura do campo

Consideremos agora que o campo incidente no nosso divisor de feixe e um campo coerente, defrequencia igual a campo monocromatico incidente em a, porem com uma intensidade muitomaior [19, 40, 41].

A fase deste campo em relac~ao ao campo a pode ser livremente variada, de modo que ooperador b pode ser substitudo pelo operador bei.

A subtrac~ao das fotocorrentes medidas pelos dois detetores sera ent~ao dada por

i = aybei + byaei: (2.75)

Vamos considerar, sem perda de generalidade, que o campo representado pelo operador b possuiuma amplitude real, de modo que bjbi = jbi, onde ji e o estado coerente com o qual esta-mos fazendo a homodinagem do campo a em estudo. Neste caso, o valor medio da fotocorrentesera

hii = hajXjai; (2.76)

e a variancia medida sera dada por

2i = 2haj(ÆX)2jai+ hajnajai; (2.77)

onde X = ayei + aei e o operador da quadratura do campo eletrico em estudo na fase .

Quando = 0 ou = =2 o operador coincide com as quadraturas X(1) e X(2) respectivamente,denidas na equac~ao 2.34. No caso da aproximac~ao 2 hnai, a variancia da subtrac~aonos fornece diretamente as utuac~oes da quadratura. Para calibrar o nvel de rudo quanticopadr~ao (\shot noise"), basta apenas bloquear o feixe incidente em a, de modo que teremos ahomodinagem do oscilador local com as utuac~oes do vacuo. Veremos posteriormente comoproceder no caso de um valor n~ao desprezavel de hnai.

2.3.5 Medidas de correlac~ao de intensidade

Para nalizar a discuss~ao das medidas de estados comprimidos, vamos considerar as correlac~oesde intensidade entre dois feixes. Neste caso, n~ao se trata de uma medida de um estado monomo-do do campo eletromagnetico, mas da comparac~ao entre as utuac~oes de intensidade de doisfeixes diferentes.


Considere dois detetores, como na gura 2.3, sobre os quais incidimos dois feixes. Podemoscomparar as fotocorrentes destes dois detetores, vericando a sua correlac~ao

C = hÆn1Æn2i=qhÆn21ihÆn22i: (2.78)

Esta pode ser tanto positiva, indicando uma correlac~ao de intensidade, negativa, indicando umaanticorrelac~ao, ou nula, mostrando que os campos s~ao completamente n~ao correlacionados.

b

D1

a

D2

^

^

i1

i2

^

Figura 2.3: Correlac~ao de intensidade entre dois feixes.

No entanto, dois campos podem estar fortemente correlacionados, apresentando apenas cor-relac~oes classicas. Por exemplo, dois estados coerentes modulados em intensidade por um modu-lador eletrootico apresentar~ao uma correlac~ao proxima a unitaria, sem que haja uma correlac~aoquantica entre eles. Por outro lado, feixes gemeos de um OPO podem estar quanticamentecorrelacionados, mas com um valor de correlac~ao C proximo a zero.

Vamos discutir duas formas de vericar a correlac~ao entre dois feixes. Uma, empregadageralmente no OPO para vericar feixes gemeos, compara as utuac~oes quanticas de dois feixesbalanceados. A outra, usada geralmente como criterio para medidas de n~ao-demolic~ao quantica,e um criterio mais estrito, que permite comparar feixes de intensidade diferentes.

Subtrac~ao de fotocorrentes

Considere as fotocorrentes medidas pelos detetores D1 e D2. A variancia da subtrac~ao dasfotocorrentes sera dada por

2i = 2n1 +2n2 2hÆn1Æn2i = 2n1 +2n2 2C p2n12n2: (2.79)

A correlac~ao e dita quantica se a variancia for inferior a que seria obtida por dois feixes coerentesn~ao correlacionados incidindo sobre os detetores, o que resultaria em

2i0 = hn1i+ hn2i: (2.80)

Neste caso, e uma condic~ao suciente para que os feixes sejam quanticamente correlacionados(ou gemeos) que

2n1 +2n2 2hÆn1Æn1ihn1i+ hn2i =

2n1 +2n2 2Cp2n12n2

hn1i+ hn2i < 1: (2.81)


Este e o criterio habitualmente utilizado no OPO, onde os feixes gemeos gerados apresentamexcesso de rudo (portanto 2n > hni) mas uma correlac~ao suciente para que a diferenca dasfotocorrentes seja menor que a obtida para um par de estados coerentes [42, 43].

Se os feixes tiverem amplitudes muito diferentes (por exemplo, um dos feixes gemeos foratenuado) a subtrac~ao das fotocorrentes pode esconder a correlac~ao quantica. Uma possibil-idade, neste caso, e empregar a variancia condicional para vericar a correlac~ao. Outra seramostrada no captulo 7, onde sera aplicada ao estudo da dependencia espacial do rudo emOPOs em operac~ao multimodo transversa.

Variancia condicional

A proposta da variancia condicional e que possamos empregar a medida da intensidade deum dos feixes para reduzir as utuac~oes de intensidade do outro. Se estas reduc~oes foremsucientes para comprimir o rudo da intensidade do feixe abaixo do limite quantico, a correlac~aoe considerada quantica.

^

b

D1

a

D2

^

^

i1

i2

^T= T(i2)

d

c

Figura 2.4: Controle de intensidade do feixe incidente em D1 pela medida da fotocorrente emD2.

Considere o dispositivo mostrado na gura 2.4, cuja transmitancia T e func~ao da intensidademedida pelo detetor 2 (por exemplo, um modulador eletro-otico). Descrevemos ent~ao

T = T0 + T1Ænb (2.82)

onde Ænb = nb hnbi e a utuac~ao do operador numero do campo b, e T0 e T1 s~ao parametrosajustaveis. A fotocorente medida pelo detetor 1 sera

i = T na + (1 T ) nc +qT (1 T ) (ayc+ cya): (2.83)

O estado do campo e descrito pelo produto dos estados dos tres campos envolvidos j i =j ai j bi j ci. O campo c esta no estado de vacuo j ci = j0ci.

Dada a utuac~ao da fotocorrente Æi = i hii teremos para a variancia2i ' T 2

0 (2na hnai) + T0hnai+ T 2

12nbhnai2 + 2T0T1hnaihÆnaÆnbi; (2.84)


onde desprezamos, para os termos envolvendo a variavel T1, as medias dos termos de utuac~aode ordem superior a 2, e consideramos os feixes intensos (hni 1).

Dada a liberdade para ajustar os parametros de transmiss~ao, podemos calcular o valor deT1 que minimize a equac~ao 2.84. Teremos ent~ao

T1 = T0hÆnaÆnbihnai2nb; (2.85)

que aplicado a equac~ao 2.84 resulta em

2 i = T0hnai+ T 20 hnai [V (najnb) 1] ; (2.86)

onde denimos a variancia condicional como

V (najnb) = 2nahnai

1 hÆnaÆnbi

2na2nb

=

2nahnai (1 C2): (2.87)

Desse modo, se a variancia condicional for inferior a 1, e possvel corrigir as utuac~oes deintensidade do feixe a abaixo o limite quantico, e os feixes s~ao considerados como quanticamentecorrelacionados no criterio QND [44, 45, 46, 47].

A diferenca entre este criterio e o criterio empregado para feixes gemeos esta no fato que,pela variancia condicional, podemos comparar feixes de intensidades muito diferentes, o queja n~ao e possvel para o caso da subtrac~ao das fotocorrentes. Por outro lado, criterio davariancia condicional e estrito demais. Imagine dois feixes de intensidades iguais estudadospela variancia condicional e pela subtrac~ao de fotocorrentes. Considere ainda que a potenciasde rudo normalizadas Ni = 2ni=hnii de cada feixe tambem se igualam (N1 = N2 = N). Nestecaso, pelo criterio da variancia condicional, a correlac~ao sera quantica se C2 > 1 1

N . Ja pelasubtrac~ao de intensidades a condic~ao e menos estrita: C > 1 1

N ) C2 > 1 2N + 1

4N2 . Seos feixes forem muito ruidosos, sera necessaria uma compress~ao na subtrac~ao das fotocorrentessuperior a 50% (portanto bem caracterizada como quantica) para atingir o criterio da varianciacondicional.

2.3.6 Medida da variancia da corrente

Para terminar o captulo, vamos discutir brevemente a medida da variancia de uma correnteeletrica 2i atraves da medida da potencia de rudo em uma dada frequencia [35, 48] comodescrito, por exemplo, na ref. [49].

Denindo a func~ao de autocorrelac~ao de fotocorrente Ci(t; t + ) = i(t) i(t+ ) i(t) i(t+ ), temos que esta e dependente apenas de se o processo for estacionario. Sua transfor-mada de Fourier e dada por Si() =

R+11 Ci()e

id . A variancia da corrente 2i correspondea func~ao de autocorrelac~ao para = 0, de modo que

2i =

Z +1

1Si()

d

2: (2.88)

Na pratica, todo o sistema de medida implica em uma certa ltragem, seja pelo propriodetetor, seja pela eletronica envolvida. Um analisador de espectro, como veremos, realiza a


medida da utuac~ao em uma estreita banda de frequencias Æf em torno de uma frequencia deanalise 0. Ou seja, o valor obtido ao nal e

2iF =

Z +1

1Si()F ()

d

2' 2ÆfSi(0); (2.89)

onde F () e a ltragem do sistema de aquisic~ao em torno da frequencia de analise 0. Ou seja,a variancia medida de uma corrente eletrica e proporcional a potencia do espectro de rudomedida em uma dada frequencia de analise.

Captulo 3

Oscilador Parametrico Otico

O oscilador parametrico otico e uma fonte de luz laser, que emprega um cristal n~ao-linearinserido em uma cavidade. O meio n~ao-linear bombeado age como um meio de ganho, levandoo sistema a oscilac~ao, convertendo o feixe de bombeio em um par de feixes, chamados sinale complementar, de frequencia inferior a frequencia do feixe de bombeio. S~ao largamenteempregados em espectroscopia, onde podemos substituir os laseres de corante como fontesde luz sintonizada no regime pulsado. Uma revis~ao sobre sua operac~ao pode ser vista nareferencia [50].

Vamos agora apresentar a descric~ao do oscilador parametrico otico, comecando pela in-terac~ao de tres campos em um meio n~ao-linear. Esta e a base da gerac~ao parametrica, sendoresponsavel pela gerac~ao de segundo harmonico, reticac~ao otica e convers~ao parametrica des-cendente [51, 52, 53]. E este ultimo efeito que, combinado com uma cavidade para selecionarum modo de oscilac~ao, ira levar a oscilac~ao parametrica.

Em seguida, sera descrito o funcionamento de um OPO triplamente ressonante. Sera mostra-do como ocorre a selec~ao dos modos de oscilac~ao, levando a possibilidade de utilizar o OPOcomo uma fonte sintonizavel de luz coerente, e quais as principais diferencas entre um OPOcom um acordo de fase tipo I e tipo II.

Por m, partindo-se da descric~ao quantica dos campos, sera mostrada a gerac~ao de feixesgemeos no OPO, mostrando as fortes correlac~oes de intensidade entre os feixes sinal e comple-mentar.

3.1 Otica n~ao-linear

Em um meio linear de absorc~ao nula, dois campos podem se propagar sem haver entre elesinterac~ao alguma. N~ao ocorrem, deste modo, trocas de energia entre os campos. No entanto,se a polarizac~ao do meio possuir termos com uma dependencia n~ao-linear no campo eletricohavera uma interferencia de um campo sobre o outro, levando a diversos fenomenos tais comoa soma e subtrac~ao de frequencias, a gerac~ao de segundo harmonico, o efeito Kerr otico, etc.

Seguindo a descric~ao apresentada na referencia [52], vamos descrever o campo eletrico como

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28 CAPITULO 3. OSCILADOR PARAMETRICO OTICO

um vetor E(r; t) composto por uma somatoria de componentes de frequencias !n

E(r; t) =Xn

A(!n)ei(knr!nt) (3.1)

onde A(!n) s~ao os envelopes lentamente variaveis das ondas planas. A somatoria e feita tantopara frequencias positivas quanto negativas e, para que o campo E(r; t) resulte em um valorreal teremos para as envoltorias A(!n) = A(!n).

No caso da polarizac~ao apresentar uma resposta n~ao-linear com o campo eletrico, podemosrepresentar a polarizac~ao em uma serie de potencias crescentes do campo. Isto vai nos levar aum termo linear da polarizac~ao com o campo, bem como termos de ordem superior. O termoquadratico leva a efeitos de interac~ao onde a combinac~ao de duas frequencias leva a uma terceira.Ja para o termo cubico, teremos a interac~ao de tres ondas levando a um termo de polarizac~aoem uma quarta frequencia, e assim por diante. O caso da polarizac~ao de terceira ordem levaa efeitos de mistura de quatro ondas, auto-modulac~ao de fase, efeito Kerr otico, gerac~ao deterceiro harmonico, entre outros. No nosso caso, estaremos interessados no acoplamento de tresondas, como o que ocorre no OPO ou na gerac~ao de segundo harmonico. Iremos ent~ao nos ateraos termos quadraticos da polarizac~ao n~ao-linear.

Os termos n~ao-lineares, para frequencias longe de alguma ressonancia de transic~ao do meio,requerem um campo muito intenso para se manifestarem. E por este motivo que em oticageralmente a descric~ao da polarizac~ao envolve apenas termos lineares. Os primeiros efeitosn~ao-lineares conhecidos eram os manifestados atraves da interac~ao de campos estaticos com aluz gracas a um meio n~ao-linear [54]. Somente com a chegada do laser [55] e que os efeitos n~ao-lineares puramente oticos, como a gerac~ao de segundo harmonico [56], puderam ser estudados.

Para analisar os efeitos da polarizac~ao n~ao-linear de segunda ordem, vamos decompor apolarizac~ao em um termo linear e um termo n~ao-linear com uma dependencia quadratica como campo

P(r; t) = PL(r; t) +PNL(r; t); (3.2)

onde o termo linear da polarizac~ao e dado pelo tensor de susceptibilidade eletrica

PL(r; t) =Xn

(!n)A(!n)ei(knr!nt); (3.3)

contendo os termos de dispers~ao e perdas. Da dependencia da susceptibilidade com as orien-tac~oes do campo teremos tambem o efeito de birrefringencia do meio.

Vamos tratar o termo n~ao-linear da polarizac~ao de segunda ordem de modo semelhante aocampo eletrico por uma soma de ondas planas com um termo de envoltoria lentamente variavel

PNL(r; t) =PpPNL(!p)e

i(kpr!pt)

=Pi ei

Pjk

Pnm

(2)ijk(!p = !n + !m; !n; !m)

hEE

i(n;m)j;k

(3.4)

onde ei s~ao os versores nas direc~oes das diferentes coordenadas i. Vemos aqui explicitamentea dependencia com os termos quadraticos obtidos no produto vetorial E E. Os ndices doproduto (j; k) correspondem a contribuic~ao do produto dos termos de E naquelas direc~oes. Jaos ndices (m;n) correspondem as frequencias do campo, lembrando que, do produto destas

3.1. OTICA N~AO-LINEAR 29

diferentes frequencias, teremos uma resposta na polarizac~ao cuja frequencia sera a soma dasfrequencias dos campos.

Como veremos, com esta descric~ao podemos na equac~ao de onda manter o formalismoempregando o vetor deslocamento D proporcional ao campo eletrico E, somando a equac~ao acontribuic~ao do termo de polarizac~ao na frequencia correspondente a onda monocromatica emestudo, contendo as contribuic~oes vindas dos outros campos.

Vamos denir as componentes (2)ijk(!n + !m; !n; !m) do tensor de susceptibilidade de se-

gunda ordem como constantes de proporcionalidade ligadas aos termos quadraticos do produtodos campos eletricos. Deste modo a envoltoria de cada componente da polarizac~ao n~ao-linearna direc~ao i, na frequencia (!n + !m = !p) sera dada por

Pi(!p) =Xjk

Xnm

(2)ijk(!p; !n; !m)A

(!n)j A

(!m)k (3.5)

com PNL(!p) =Pi eiPi(!p). Nesta somatoria sobre todas as componentes do campo eletrico

de frequencia !, a soma dos modos (!n; !m) deve se manter constante, correspondendo assima componente de polarizac~ao de frequencia !p = !n + !m.

Vemos portanto que o termo de susceptibilidade n~ao-linear ira acoplar a um modo !p asamplitudes dos campos correspondendo a soma de duas frequencias distintas. Antes de veri-car como podemos aplicar a polarizac~ao n~ao-linear e o seus termos de susceptibilidade aquidenidos na equac~ao de onda, vamos vericar algumas importantes propriedades de simetriada susceptibilidade n~ao-linear.

3.1.1 Susceptibilidade n~ao-linear

Imaginando a interac~ao de tres ondas de frequencias !a; !b; !c = !a + !b em um meio n~ao-linear, vemos que precisamos conhecer as polarizac~oes n~ao-lineares envolvendo cada uma destasfrequencias [52, 53]. Vemos ent~ao que, da equac~ao 3.5 temos seis tensores a determinar

(2)ijk(!a; !b;!c); (2)ijk(!a; !c;!b); (2)ijk(!b; !a;!c);

(2)ijk(!b; !c;!a); (2)ijk(!c; !a; !b); (2)ijk(!c; !b; !a)

(3.6)

alem dos mesmos tensores com as frequencias substitudas por seus valores negativos. Some-sea isso as diferentes possibilidades para as direc~oes do campo no referencial adotado (i; j; k).Teremos ent~ao, a partir destes 12 tensores com 27 componentes, 324 valores complexos paradescrever a interac~ao. Veremos como os argumentos de simetria podem reduzir estes termos auns poucos elementos independentes, chegando no nal a uma constante de acoplamento entreos campos.

Campos reais

O campo eletrico 3.1 inicialmente denido possui um valor real, de modo que A(!n)j = A

(!n)j

.

Do mesmo modo, temos para a polarizac~ao n~ao-linear Pi(!n + !m) = Pi(!n !m). Temos


assim que a susceptibilidade deve tambem estar relacionada na forma

(2)ijk(!n !m;!n;!m) =

(2)ijk(!n + !m; !n; !m): (3.7)

Permutac~oes intrnsecas

No produto (2)ijk(!n + !m; !n; !m)A

(!n)j A

(!m)k a invers~ao simultanea de (n;m) e (j; k) mantem

inalterado o resultado do produto, de modo que

(2)ijk(!n + !m; !n; !m) =

(2)ikj(!n + !m; !m; !n): (3.8)

Simetrias na ausencia de perdas

No caso de um meio onde as perdas s~ao nulas, temos que (2)ijk(!n + !m; !n; !m) e real. Outra

consequencia e a liberdade de permutac~ao dos ndices (i; j; k) e das frequencias (!a; !b; !c),desde que se corrigam os sinais dos termos de modo que !a = !b + !c. De modo que

(2)ijk(!n + !m; !n; !m) =

(2)jki(!n; !m;!n !m) =

(2)jki(!n;!m; !n + !m) =

(2)kij(!m; !n + !m;!n): (3.9)

Simetrias de Kleinman

Se as frequencias envolvidas forem muito menores que a mais baixa frequencia de ressonanciado meio, a susceptibilidade n~ao-linear e praticamente independente da frequencia, e a respostado sistema e praticamente instantanea. Esta condic~ao, aliada a permutac~ao de ndices, faz comque estes possam ser permutados sem que a frequencia seja permutada, de modo que

(2)ijk(!n + !m; !n; !m) =

(2)jki(!n + !m; !n; !m) =

(2)kij(!n + !m; !n; !m) =

(2)ikj(!n + !m; !n; !m) =

(2)kji(!n + !m; !n; !m) =

(2)jik(!n + !m; !n; !m): (3.10)

Podemos neste caso abandonar a dependencia em frequencia ao tratar da susceptibilidaden~ao-linear.

3.1.2 Campos Eletromagneticos no meio n~ao-linear

Apos as considerac~oes sobre o tensor de susceptibilidade n~ao-linear, podemos descrever asequac~oes de Maxwell no meio n~ao-linear para observar como a propagac~ao neste meio levaa interferencia entre campos de diferentes frequencias [51, 52].

rH = i+@D

@t= i+

@

@t("0E+P);

rE = @

@t(0H): (3.11)

3.1. OTICA N~AO-LINEAR 31

A densidade de corrente i corresponde a uma condutancia , representando a absorc~ao do meio.O termo de polarizac~ao P pode ser expresso na forma da equac~ao 3.2, de modo que a primeiraequac~ao 3.11 pode ser escrita como

rH = E+@

@tE+

@PNL@t

: (3.12)

Aplicando-a ao rotacional de E e lembrando que rr E = rr Er2E, com r E = 0temos

r2E = o@E

@t+ o

@2E

@t2+ o

@2PNL@t2

: (3.13)

Para melhor compreendermos a propagac~ao das ondas eletromagneticas no meio n~ao-linear,vamos simplicar o tratamento para uma unica direc~ao de propagac~ao (z), e considerar comonulas as derivadas do campo eletrico transversas a esta direc~ao. Voltando a notac~ao 3.1, estu-daremos tres termos da somatoria do campo eletrico, correspondentes as frequencias !0; !1; !2,se propagando no meio na forma de ondas planas, com polarizac~oes lineares, paralelas aos eixosordinario e extraordinario no caso de um meio birrefringente. A orientac~ao da polarizac~ao decada onda e dada pelos ndices (i; j; k), que se referem a uma das coordenadas cartesianas (x; y).Estas tres componentes s~ao ent~ao dadas por

E(!0)i (z; t) = Re

hA(!0)i (z)ei(k0z!0t)

i;

E(!1)j (z; t) = Re

hA(!1)j (z)ei(k1z!1t)

i;

E(!2)k (z; t) = Re

hA(!2)k (z)ei(k2z!2t)

i: (3.14)

Para resolver a equac~ao 3.13, precisamos dos termos da polarizac~ao n~ao-linear que v~ao con-tribuir para a propagac~ao do campo em cada polarizac~ao e cada frequencia envolvida. Toman-do separadamente a componente do campo na direc~ao k, na frequencia !2, teremos, pelasequac~oes 3.4 e 3.5,h

P(!2)NL (z; t)

ik= Re

h(2)kij(!2; !0;!1)A(!0)

i (z)A(!1)j (z)ei!2teik2z

i= Re

h(2)ijkA

(!0)i (z)A

(!1)j

(z)ei(!0!1)tei(k0k1)z

i; (3.15)

onde a dependencia do tensor susceptibilidade na frequencia foi omitida para simplicar anotac~ao.

Voltando a equac~ao de onda 3.13, vamos lembrar que as derivadas nas coordenadas transver-sas s~ao nulas, e a equac~ao para o modo !2 se resume a coordenada k. Vamos ent~ao assumir aaproximac~ao do envelope lentamente variavel

dA(!2)k (z)

dzk2 d2A

(!2)k (z)

dz2: (3.16)

Teremos ent~ao para o termo a esquerda da equac~ao de onda

r2E(!2)k (z; t) = Re

"k22A(!2)

k (z) + 2ik2dA

(!2)k (z)

dzei(k2z!2t)

#: (3.17)


Aplicando os termos calculados na equac~ao de onda para a componente k do campo nafrequencia !2, teremos ent~ao

"k22A(!2)

k (z) + 2ik2dA

(!2)k (z)

dz

#ei(k2z!2t) = (i!202 !2202)A

(!2)k (z)ei(k2z!2t)

0!22@2

@t2

h(2)kijA

(!0)i (z)A

(!1)j

(z)ei!2tei(k0k1)z

i:(3.18)

Identicando !2202 = k22 e isolando a derivada do envelope teremos ent~ao

d

dzA(!2)k (z) = 2

r02A(!2)k (z) i!2

r02(2)kijA

(!0)i (z)A

(!1)j

(z)ei(k0k1k2)z; (3.19)

relacionando diretamente as envoltorias dos campos eletricos propagantes no meio. Vemosassim que a amplitude do campo 2 recebe durante a propagac~ao uma contribuic~ao vinda dapolarizabilidade n~ao-linear, que o acopla aos campos 0 e 1. Esta contribuic~ao, se for feita coma fase adequada, levara a uma amplicac~ao do campo.

Aplicando-se o mesmo tratamento aos demais campos, temos que

d

dzA(!1)j (z) = 1

r01A(!1)j (z) i!1

r01(2)jikA

(!0)i (z)A

(!2)k

(z)ei(k0k1k2)z;

d

dzA(!0)i (z) = 0

r00A(!0)i (z) i!0

r00(2)ijkA

(!1)j (z)A

(!2)k (z)ei(k0k1k2)z: (3.20)

Ou seja, todos os campos est~ao acoplados entre si, contribuindo mutuamente durante a propa-gac~ao.

Considerando que as perdas s~ao pequenas, podemos desprezar o termo de absorc~ao no meio.Podemos ainda assumir as simetrias de Kleinman, de modo que a susceptibilidade n~ao-linearsera a mesma para todas as equac~oes e independente da frequencia. Expressando o termode desacordo de fase k = k0 k1 k2 teremos a forma mais simples do acoplamento dasamplitudes dos campos em um meio n~ao-linear

d

dzA(!2)k (z) = i!2

r02(2)A

(!0)i (z)A

(!1)j

(z)eikz;

d

dzA(!1)j (z) = i!1

r01(2)A

(!0)i (z)A

(!2)k

(z)eikz;

d

dzA(!0)i (z) = i!0

r00(2)A

(!1)j (z)A

(!2)k (z)eikz; (3.21)

dando as variac~oes de amplitude no meio durante a propagac~ao das ondas planas. Como ver-emos, sera esta equac~ao que dara origem aos efeitos de amplicac~ao dos modos 1 e 2, e a con-sequente deplec~ao do modo 0. Sera atraves desse ganho que tera incio a oscilac~ao parametricano OPO para um meio n~ao-linear, bombeado, no interior de uma cavidade.

3.2. OSCILADOR PARAMETRICO OTICO 33

3.2 Oscilador Parametrico Otico

Vimos como um meio n~ao-linear pode acoplar campos de diferentes frequencias e polarizac~oesatraves do termo n~ao-linear de segunda ordem na susceptibilidade (E). Faremos agora adescric~ao do processo de oscilac~ao gerado a partir deste acoplamento entre os campos, com ainserc~ao do cristal no interior de uma cavidade.

A oscilac~ao no oscilador parametrico otico (OPO) e uma consequencia do ganho obtido como acoplamento de um feixe intenso, chamado de bombeio, a outros modos da cavidade. Veremosque nas equac~oes de propagac~ao a existencia de um termo dependente da amplitude do bombeiolevara a um termo de ganho para outras duas frequencias, chamadas sinal e complementar. Estetermo dependera ainda da condic~ao de acordo de fase do cristal e esta, por sua vez, dependedas frequencias dos campos envolvidos. Outra condic~ao necessaria a oscilac~ao e a existenciade modos da cavidade proximos as frequencias nas quais ha o acordo de fase. Satisfeitas taiscondic~oes, para um valor suciente de potencia do bombeio, o OPO pode comecar a oscilar.Iremos discutir a sintonia do OPO, e a sua eciencia na convers~ao parametrica.

Para um meio laser, o bombeio gera uma invers~ao de populac~ao em uma transic~ao atomicae deste modo ha um ganho para um feixe ressonante com a transic~ao [57]. Colocado em umacavidade, este meio amplicador pode levar a oscilac~ao se as perdas da cavidade forem inferioresao ganho do meio amplicador.

Para um oscilador parametrico a oscilac~ao ocorre de forma semelhante. Porem, n~ao temosmais uma congurac~ao onde o ganho depende diretamente da amplitude do bombeio, mas afase passa a ter uma func~ao importante no calculo. Alem disso, n~ao temos mais apenas umfeixe na sada, mas dois feixes acoplados entre si.

Para levar um amplicador parametrico a oscilac~ao, devemos coloca-lo em uma cavidade. Aforma basica do oscilador parametrico e a uniressonante (SROPO-single resonant OPO). Nestacongurac~ao o bombeio atravessa livremente a cavidade, interagindo com o cristal. A cavidadee feita para um dos modos acoplados ao bombeio, por exemplo, o complementar. Note que n~aoha uma cavidade para o sinal [58].

A sada desta congurac~ao e feita pelo feixe sinal. Por n~ao ser ressonante, ele sai livrementeda cavidade. Como resultado, apenas o complementar deve atender as condic~oes de ressonanciada cavidade. Este OPO permite uma variac~ao contnua do comprimento de onda do sinal pelavarredura da cavidade para o complementar. Estando a frequencia deste amarrada a ressonanciada cavidade, a frequencia do sinal sera dada pela diferenca entre a frequencia do bombeio e docomplementar.

No entanto, este sistema n~ao apresenta um limiar de oscilac~ao otimizado. Outra opc~aoe ter uma cavidade duplamente resonante (DROPO - double resonant OPO). Neste caso acavidade e resonante para o sinal e o complementar, reduzindo o limiar de oscilac~ao. Para estacongurac~ao, no entanto, a condic~ao de dupla resonancia e a conservac~ao de energia impedemuma variac~ao contnua da frequencia dos feixes de sada. Veremos como esta selec~ao ocorre, ecomo o intervalo espectral livre da cavidade limita a sintonia em frequencia.

Para reduzir o limiar de oscilac~ao podemos fazer ainda uma cavidade ressonante para obombeio. Neste caso, temos o chamado OPO com bombeio intensicado (\pump enhanced"),podendo ser aplicado tanto ao OPO unirressonante (PE-SROPO) quanto ao OPO dupla-mente ressonante (PE-DROPO). Este ultimo ainda e chamado de OPO triplamente ressonante


R=1

R=1

r0

r1

r2

α0in

α0

out

α1out

α2out

Crystal

Figura 3.1: Congurac~ao basica do OPO.

(TROPO - triple resonant OPO). Neste caso, o uso de uma cavidade para o bombeio permiteque a potencia estacionaria no interior da cavidade aumente. Desse modo, o limiar de oscilac~aoacaba sendo reduzido. Por atuar apenas no aumento do limiar, a ressonancia do bombeio n~aotem in uencia direta na selec~ao do modo de oscilac~ao do sinal e do complementar. No entanto,ela leva a interessantes efeitos de biestabilidade, instabilidade e regime autopulsado no OPO.

3.2.1 OPO triplamente ressonante

Vamos apresentar a analise do OPO triplamente resonante (TROPO), que e o caso empregadoao longo de toda esta tese. Seguiremos o tratamento empregado por Thierry Debuischert etal. [59] no seu artigo classico.

O objetivo e calcular o campo medio no interior de uma cavidade triplamente ressonantecom um meio n~ao-linear. Como modelo, tomemos a cavidade em anel mostrada na gura 3.1.Temos uma cavidade comprimento total Lcav = L+`, onde L e o comprimento livre da cavidadee ` e o comprimento do meio n~ao-linear.

A cavidade e formada por dois espelhos ideais, com re ex~ao unitaria, e um espelho deacoplamento, pelo qual sera injetado o feixe de bombeio e por onde saem os feixes gerados peloOPO. Este espelho possui coecientes de re ex~ao rj, onde j 2 f0; 1; 2g indica respectivamentea frequencia de bombeio, sinal ou complementar.

Para uma pequena transmiss~ao pelo espelho de acoplamento temos os coecientes de trans-miss~ao e re ex~ao dados por

rj = e( j) ' 1 j;

tj = (2 j)1=2;

j = f0; 1; 2g ! bombeio, sinal, complementar; (3.22)

com j 1. A transmitancia total do espelho para um dado modo sera dado por Tj = 2 j .


Para simplicar o nosso tratamento, vamos expressar as amplitudes dos campos atraves devariaveis complexas j , normalizadas de tal modo que o modulo quadrado destas variaveis sejaigual ao uxo de fotons por segundo integrado em toda a sec~ao transversa do campo.

Vamos considerar ainda um caso simples, onde ha uma propagac~ao colinear dos feixes, ques~ao tratados como feixes gaussianos (modo TEM00). Estas simplicac~oes est~ao de acordo coma congurac~ao habitualmente usada para os OPOs, com uma cavidade linear denindo o modoespacial do feixe.

Para obter a amplicac~ao dos campos sinal e complementar e a deplec~ao do bombeio napropagac~ao das tres ondas no interior do cristal, vamos partir da equac~ao 3.21. Sera conveniente,no entanto, fazermos algumas alterac~oes que simplicar~ao o tratamento e ajustar~ao a equac~ao acondic~ao de feixes gaussianos no interior da cavidade. Inicialmente, o termo de susceptibilidadedeve levar em conta a forma gaussiana dos feixes. Ele acoplara modos da cavidade entre si,e n~ao ondas propagantes. Se o zesse, o bombeio sofreria uma deplec~ao mais forte onde ele emais intenso, levando a um achatamento da forma. Porem, este achatamento leva a gerac~aode modos transversos que, geralmente, n~ao s~ao acoplados ao modo principal quando este eressonante na cavidade. Com o calculo das integrais de sobreposic~ao, chega-se a uma equac~aosemelhante a 3.21 com um termo proporcional a susceptibilidade efetiva (2)[60].

Por m, como iremos ao nal \contar" os fotons do campo, e mais conveniente trabalharcom o campo normalizado de tal forma que o seu modulo ao quadrado nos de a taxa de fotonspor segundo que atravessam uma sec~ao reta que tome toda a area do feixe. Adotando ent~ao asvaraveis do campo normalizado

j(z) =

vuutnjc"0w2j

h!jAj(z); com j=1,2 e

0(z) = i

sn0c"0w2

0

h!0A0(z); (3.23)

onde wi e a cintura do feixe gaussiano no modo i, podemos expressar a variac~ao da amplitudedo campo em um ponto z no interior do cristal por

d0=dz = 2eff2(z)1(z)eikz;d1=dz = 2eff0(z)

2(z)e

ikz ;

d2=dz = 2eff0(z)1(z)e

ikz; (3.24)

com o desacordo de fase k = k0 k1 k2 e a amplitude do vetor de onda jkj j = !jnj=c.O termo de acoplamento eff depende do termo n~ao-linear da susceptibilidade do cristal e

da superposic~ao dos modos gaussianos. Considerando que a cintura de feixe wj esta no interiordo meio n~ao-linear temos que

eff = (2)w0w1w2

w20w

21 + w2

0w22 + w2

1w22

h!0!1!2

0c3n0n1n2

: (3.25)

Neste caso, o termo (2) contem a dependencia da orientac~ao do cristal e da polarizac~aodos campos no meio n~ao-linear, expressando o acoplamento pela matriz da susceptibilidade dosdiferentes modos.


Considerando que o ganho total do feixe em uma passagem pelo cristal seja pequeno,podemos integrar as equac~oes 3.24 com uma aproximac~ao de primeira ordem nos campos. Oresultado desta integrac~ao, da entrada ate a sada do cristal, sera

0(`) = 0(0) 21(0)2(0)1(`) = 1(0) + 20(0)

2(0)

2(`) = 2(0) + 20(0)1(0) (3.26)

onde incorpora a dependencia do desacordo de fase k

= eff`sen(k`=2)

k`=2eik`=2: (3.27)

Das equac~oes 3.26 vemos que a amplicac~ao ou a atenuac~ao dos campos no cristal dependeda amplitude e da fase dos outros campos interagindo no meio. Alem disso, a func~ao senocardinal sinc (k`=2) que aparece na express~ao fornece ainda a largura de banda de valores kna qual o OPO ira operar.

Obtida assim a variac~ao da amplitude dos campos no interior do cristal, podemos emprega-la para obter a condic~ao de operac~ao da cavidade em regime contnuo. Para isso, devemosconsiderar a variac~ao de fase do campo em uma volta completa na cavidade. Somando a faseacumulada na propagac~ao no espaco livre e na propagac~ao no cristal, a qual depende do ndicede refrac~ao nj para cada modo do OPO, temos

'j =!jc(nj`+ L) = 2pj + Æ'j : (3.28)

A fase pode ser expressa como um multiplo de perodos completos pj adicionada a uma dessin-tonia Æ'j . Nos n~ao consideramos aqui o efeito da fase adicionada pelos espelhos de re ex~ao,considerados no primeiro momento como ideais.

Vamos calcular ainda as perdas na amplitude durante a volta no interior da cavidade. Asperdas pelo espelho de acoplamento, iremos adicionar as perdas por efeitos espurios dentro dacavidade, tais como absorc~ao do cristal, difrac~ao por irregularidades nos espelhos, re ex~ao nainterface cristal/ar, perdas pelos outros espelhos, etc. Considerando estas perdas como umatransmiss~ao t = e, teremos uma perda total dependendo de 0j = j + j.

Para calcularmos os campos no interior da cavidade, e conveniente expressar a dessintonianormalizada pelas perdas

j = Æ'j= 0j : (3.29)

Dessa forma, ao somarmos as perdas e ganhos e considerarmos os termos de fase em uma voltano interior da cavidade, podemos calcular os valores medios dos campos. Se a dessintonia forpequena (jÆ'j j 2) teremos

0 00(1 i0) = 212 +

p2 0

in0 (3.30)

1 01(1 i1) = 20

2

2 02(1 i2) = 20

1


onde introduzimos o campo de bombeio injetado na cavidade pela transmitancia do espelho deacoplamento in0 .

A soluc~ao das equac~oes 3.30 nos da os diferentes regimes de operac~ao do OPO triplamenteressonante. E a partir dela que obtemos a resposta da sada do OPO para as diferentes potenciasde entrada. Por m, ela sera ainda um elemento fundamental na selec~ao dos modos longitudinaisde oscilac~ao do OPO.

Vamos tratar inicialmente dos regimes de operac~ao, observando a potencia de sada doOPO para diferentes condic~oes de potencia de bombeio e dessintonia da cavidade. Em seguida,veremos a selec~ao dos modos longitudinais, e sua atuac~ao na sintonia do OPO.

3.2.2 Condic~ao de oscilac~ao do OPO

Da soluc~ao das equac~oes 3.30 para os campos, obtemos as diferentes condic~oes de operac~ao doOPO. A primeira soluc~ao e a soluc~ao trivial, com 1 = 2 = 0. Neste caso o sistema se resumea uma cavidade Fabry-Perot para o feixe de bombeio.

Se 1 e 2 forem n~ao nulos, teremos do produto da segunda equac~ao do sistema 3.30 peloconjugado da terceira equac~ao

01 02(1 i1)(1 + i2) = 4jj2j0j2: (3.31)

Da parte imaginaria temos a interessante condic~ao de igualdade nas dessintonias dos campossinal e complementar

1 = 2 = : (3.32)

Da parte real vemos que o campo para o bombeio no interior da cavidade esta limitadoa um valor que depende da dessintonia dos campos sinal e complementar, do coeciente deacoplamento e das perdas intracavidade

j0j2 = 01 02(1 + 2)

4jj2 ; (3.33)

o que implica que a potencia intracavidade na condic~ao de oscilac~ao esta limitada a um valordado pela dessintonia , pelas perdas, e pelo termo efetivo de acoplamento n~ao-linear.

Uma primeira consequencia da equac~ao 3.32 esta na relac~ao entre as amplitudes dos campossinal e complementar. Considerando as igualdades entre as dessintonias normalizadas temosque

01j1j2 = 02j2j2: (3.34)

Lembrando que a transmiss~ao pelo espelho de acoplamento e Tj = 2 j , vemos que a somadesta transmiss~ao com as demais perdas nos da a frac~ao total de fotons perdidos pela cavidade.A equac~ao 3.34 nos mostra que o numero medio de fotons que saem da cavidade para o modosinal e igual ao numero medio de fotons perdidos para o modo complementar. Estabelece-seainda a proporcionalidade entre as amplitudes dos campos sinal e complementar intracavidade.A igualdade aqui estabelecida, ainda que n~ao seja a condic~ao de existencia de feixes gemeos, aqual pede um tratamento quantico do campo para sua demonstrac~ao, indica a forte correlac~aoque ha entre os dois feixes de sada.


O balanco perfeito entre as intensidades medias dos dois feixes e mantido apenas se a frac~aodas perdas pela transmitancia do espelho de acoplamento for a mesma para os dois modos. Aintensidade de sada pelo espelho de acoplamento e dada por

Ij = 2 j jj j2: (3.35)

A raz~ao entre as intensidades dos feixes sinal e complementarsera portanto dada por

I1I2

= 1

02

2 01; (3.36)

indicando que a sada n~ao sera necessariamente balanceada se as perdas intracavidade foremdiferentes para cada um dos modos.

Para estudar o limiar de oscilac~ao do OPO, devemos aplicar a soluc~ao obtida para a am-plitude do bombeio intracavidade (eq. 3.33) na primeira equac~ao do sistema de equac~oes 3.30.Obtemos deste modo a potencia de entrada necessaria para atingir o limiar de oscilac~ao, con-siderando que os campos sinal e complementar dentro da cavidade sejam nulos

jin0 j2th = 020

01

02(1 + 2)(1 + 2

0)

8jj2 0 : (3.37)

Vemos claramente que o limiar sera mnimo para a exata ressonancia dos tres modos dentroda cavidade. Ele dependera ainda da raz~ao entre as perdas intracavidade com a transmiss~ao doespelho de acoplamento do bombeio. Vamos agora normalizar a potencia de bombeio pelo valormnimo necessario ao incio de oscilac~ao, considerando uma ressonancia exata para os modosdo bombeio, sinal e complementar. A taxa de bombeio sera ent~ao

=jin0 j2jin0 j2res

=PinPth

(3.38)

onde Pin e a potencia do feixe de bombeio enviado para a cavidade e Pth e a potencia de limiardenida a partir da equac~ao 3.37 na condic~ao de dessintonia nula ( = 0 = 0). Esta relac~aosera usada durante toda a tese para denir a potencia de bombeio em func~ao da potencia delimiar.

Vamos agora calcular a potencia de sada e a eciencia do OPO. Neste calculo, veremos queexistem situac~oes onde temos duas soluc~oes estaveis para o sistema. Veremos ainda que o OPOpode operar com uma elevada eciencia de convers~ao. Idealmente, esta poderia chegar a 100%,diferindo claramente do laser, onde a eciencia e necessariamente limitada pela diferenca naenergia do foton de bombeio com relac~ao ao foton do feixe laser.

Potencia de sada

Voltando as equac~oes 3.30, obtemos a partir da aplicac~ao da segunda equac~ao na primeira,da condic~ao de amplitude do bombeio intracavidade (eq. 3.33) e da normalizac~ao do bombeio(eq. 3.38) que

=

10 +

4jj2j1j2 02 00

!2+ (+0)

2: (3.39)


Da soluc~ao desta equac~ao para j1j2 temos o uxo de fotons intracavidade para os campos sinale complementar dado por

jj j2 = 0k 00

4jj2p 1

: (3.40)

com fj; kg = f1; 2g e j 6= k.

Esta soluc~ao tem sentido fsico apenas para jj j2 real e positivo. Da condic~ao de jj j2real temos que > ( + 0)

2 = a. Da condic~ao de limiar de oscilac~ao jj j = 0 temos = (1 + 2)(1 + 2

0) = b. Nota-se que b a, sendo esta uma condic~ao mais restritiva aoscilac~ao.

Se 0 < 1, o sistema apresenta uma unica soluc~ao estavel n~ao nula, para > (1+2)(1+20). Para grandes dessintonias e grandes valores de potencia do feixe esta soluc~ao torna-se

instavel, levando a um regime auto-pulsado e originando um comportamento caotico do OPO.O leitor pode ver o tratamento detalhado deste regime na referencia [61].

No entanto, se 0 > 1, a equac~ao 3.40 apresenta duas soluc~oes positivas na regi~ao a < < b. A soluc~ao trivial continua sendo estavel ate o limite superior desta regi~ao. Das duassoluc~oes da equac~ao 3.40, o ramo inferior e instavel, e o ramo superior e a soluc~ao estavel. Juntocom a soluc~ao trivial, teremos ent~ao uma regi~ao de biestabilidade do OPO, determinada pelovalor de dessintonia entre os campos e a cavidade.

Na gura 3.2 temos a sada do OPO para a mesma dessintonia do sinal, mas com valoressimetricos para a dessintonia do bombeio. A potencia de sada calculada pelas equac~oes 3.39e 3.40, esta normalizada, de modo que

= 0 1q (0 +)2: (3.41)

5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

σA

σB

Solução Instável

Regime Biestável∆=∆

0=1,5

Regime Monoestável∆=-∆

0=1,5Γ

σ

Figura 3.2: Sada do OPO para operac~ao monoestavel e biestavel, em func~ao da potencia debombeio. Para os valores de dessintonia no regime biestavel ( = 0 = 1:5) temos A = 9,B = 10; 56.


O regime de operac~ao biestavel ja foi observado experimentalmente [62]. Quanto ao regimeauto-pulsado descrito em [61], demonstrou-se na ref. [63, 64] que as evidencias experimentaisde autopulsac~ao, como as mostradas na ref. [62], s~ao devidas a efeitos termicos, n~ao sendoportanto ligados a descric~ao empregada para os campos dentro do OPO. Na maioria dos casos,no entanto, operamos muito proximo a ressonancia tanto para o sinal quanto para o bombeio,portanto longe do regime instavel.

Podemos agora tratar da descric~ao da eciencia do OPO no caso de uma dessintonia nulapara todos os modos do oscilador. No caso ressonante, a potencia de sada pelo espelho deacoplamento, calculada a partir da equac~ao 3.40, e dada por

joutj j2 = j 0k

00

2jj2p 1

: (3.42)

Precisamos calcular a potencia de sada total para obtermos a eciencia do OPO. Parasimplicar o tratamento, consideremos uma condic~ao de degenerescencia (!1 = !2) com perdasidenticas para o sinal e o complementar ( 1 = 2 = ; 01 = 02 = 0). Somando a potencia dosfeixes de sada teremos, usando a equac~ao 3.37, a potencia total de sada

Pout = h!0

0 002jj2

p 1

= 4max

pP Pth Pth

: (3.43)

A eciencia dependera portanto da raz~ao entre a potencia de bombeio e a potencia do limiarde oscilac~ao, sendo maxima para = 4. A eciencia maxima e denida como

max =

0 0 00

= 0 (3.44)

onde j = j= 0j e a raz~ao das perdas pelo espelho de acoplamento pelas perdas totais da

cavidade.Vemos portanto que o limite da eciencia do OPO e dado por limitac~oes puramente tecnicas,

tais como a qualidade dos espelhos, a absorc~ao do cristal, a qualidade do tratamento re etor dassuperfcies, e ainda o casamento do modo do feixe de bombeio com o modo da cavidade. Estaeciencia sera maxima no caso de P = 4 Pth, podendo mesmo chegar a 100%. Se 0 = 1, o feixede bombeio re etido pela cavidade ira a zero para um valor de 0 1, sendo completamenteconvertido em luz nos modos sinal e complementar. Isto se deve a interferencia destrutiva entreo feixe re etido pela cavidade, de potencia jin0 j2(1 2 0) e o feixe transmitido pelo espelho deacoplamento, de potencia 0

0=4jj2. Claro que estas s~ao condic~oes ideais, mas veremos que

esta condic~ao apresenta interessantes propriedades quanto as utuac~oes quanticas do feixe debombeio re etido [65].

A eciencia apresenta ainda uma saturac~ao, comecando a cair para alem do valor de = 4.Esta queda, porem, e pouco acentuada, e o valor de eciencia mantem-se proximo ao maximo,como vemos na Figura 3.3. Neste caso, dados os valores de = 0 = 80%, a eciencia maximae de 64%, caindo para 58% quando = 8.

Vamos estudar agora como ocorre a selec~ao dos modos de sada da cavidade, vericandocomo a condic~ao de ressonancia tripla, o acordo de fase e a potencia do bombeio v~ao atuar naselec~ao da frequencia de operac~ao.


0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

Pou

t/Pth

Pin/P

th

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

η

Figura 3.3: Potencia de sada e eciencia para OPO triplamente ressonante. = 0 = 80%.

3.2.3 Modos longitudinais no OPO com casamento de fase tipo II

Em um OPO triplamente ressonante, diversos fatores ir~ao determinar as frequencias de oscilac~aopara o sinal e complementar. A primeira e a condic~ao de conservac~ao de energia, que os liga afrequencia do bombeio.

!0 = !1 + !2: (3.45)

Outra condic~ao de oscilac~ao e que os modos sinal e complementar estejam proximos a ummodo longitudinal da cavidade. Claro que a cavidade apresenta uma largura de banda nita e,como tal, podemos ter os modos de sada com uma pequena dessintonia. Devemos no entantonos lembrar que esta deve respeitar a condic~ao demonstrada na equac~ao 3.32 para uma operac~aoem regime estavel.

Para determinar as frequencias de oscilac~ao do OPO vamos inicialmente expressar os ndicesde refrac~ao para os modos sinal e complementar na forma

n = (n1 + n2)=2; Æn = (n1 n2)=2; (3.46)

onde n1 e n2 s~ao respectivamente os ndices de refrac~ao para os feixes sinal e complementar. Adiferenca entre os valores deve-se a dispers~ao no cristal, e no caso de um acordo de fase tipo II,tambem a birrefringencia do cristal, a qual ira ent~ao predominar sobre a dispers~ao.

Para as frequencias do campo, alem da conservac~ao de energia, temos a diferenca entre asfrequencias dos modos sinal e complementar

! = !1 !2; (3.47)

chamada geralmente de \frequencia de batimento". Isto n~ao signica que esta frequencia sejanecessariamente observada na detec~ao, o que ocorre apenas para o caso de um OPO com cristaltipo I. No entanto, o nome permanece empregado, mesmo que estejamos lidando com modosortogonais pela polarizac~ao.


As perdas da cavidade para cada modo ser~ao tambem descritas na forma de um valor medioe uma diferenca. Neste caso temos

0 = ( 01 + 02)=2; Æ 0 = ( 01 02)=2: (3.48)

Como veremos a seguir, o tratamento cara mais simples se estudarmos a condic~ao de resso-nancia pela soma e subtrac~ao das fases acumuladas em uma volta completa do feixe no interiorda cavidade. Partindo ent~ao da equac~ao 3.28 vemos que

'2 '1 = 2m+ (Æ'2 Æ'1);

'2 + '1 = 2q + (Æ'2 + Æ'1); (3.49)

onde m = p2 p1 e q = p2 + p1 s~ao numeros inteiros, de mesma paridade. Fica claro que parauma cavidade ressonante para o sinal e complementar teremos tambem uma ressonancia paraa frequencia de batimento.

O valor desta pode ser calculado a partir da fase dos campos (eq. 3.28), da condic~ao dedessintonia (eq. 3.32) e da denic~ao 3.29. Teremos assim, aproximando n!o n!

! =Æn`!0 + 2mc

L+ n`+Æ 0

0

!0 2qc

L+ n`

: (3.50)

Como veremos, os modos sinal e complementar podem ter frequencias muito proximas, atingin-do por vezes a degenerescencia. Desta forma, as perdas pelos espelhos da cavidade acabamsendo iguais. Alem disso, no caso de absorc~oes pequenas no cristal, o efeito da birrefringenciano termo complexo do ndice de refrac~ao (ligado a absorc~ao) pode ser desconsiderado. Tere-mos assim frequentemente perdas iguais para os modos sinal e complementar. Neste caso aexpress~ao acima se resume a

! = Æn`!0 + 2mc

L+ n`= 2D

Æn

`

0+m

; (3.51)

com D = c=(L + n`). O valor de D e igual ao dobro do intervalo espectral livre da cavidade(FSR), tomando para o calculo do comprimento efetivo da cavidade o valor medio do ndice derefrac~ao.

Vemos portanto que a frequencia de batimento esta limitada a uma serie discreta de va-lores, dados pelos inteiros (q,m). Devido a paridade entre eles, para um dado valor de q aseparac~ao entre as frequencias para dois modos m adjacentes sera igual ao intervalo espec-tral livre FSR = 2D. No entanto, n~ao estamos limitados a uma serie discreta de valores defrequencia se pudermos variar a diferenca dos ndices de refrac~ao. Neste caso, a variac~ao de Ænpode ser feita pela mudanca de temperatura do cristal, por exemplo, efetuando uma sintoniana da frequencia de sada. Note ainda que ao assumir diferentes perdas para os modos n~aoalteramos qualitativamente os valores obtidos na referencia [59]. O segundo termo dentro dosparenteses da equac~ao 3.50 tende a zero no caso quase degenerado com um perfeito acordo defase, como veremos a seguir. No entanto, longe da degenerescencia, a diferenca entre as perdastende a aumentar. Isto deve-se ao fato de trabalharmos com espelhos de banda estreita, o quepode levar a um desbalanceamento das perdas ao nos afastarmos de uma condic~ao degenerada.


Entre os modos de oscilac~ao selecionados pela condic~ao de dessintonias iguais para os modossinal e complementar, teremos ainda outros criterios de oscilac~ao. A primeira sera dada pelaescolha do modo que satisfaca a condic~ao de uma pequena dessintonia. Esta condic~ao de quase-ressonancia, alem de garantir a validade das aproximac~oes feitas para se obter as equac~oes 3.30,assegura uma primeira condic~ao para um baixo limiar de oscilac~ao no OPO.

As outras condic~oes s~ao a proximidade da ressonancia para o bombeio e a condic~ao deacordo de fase. Esta ultima ira selecionar, da ampla faixa de valores possveis de ! dadospela equac~ao 3.50, uma banda restrita de valores.

Ressonancia para sinal e complementar

No calculo usado para chegar as equac~oes 3.50 e 3.51 n~ao foi usada a condic~ao de quase re-sonancia para sinal e idler (Æ'i ). Se considerarmos um dado comprimento Lcav = L+ n`para a cavidade, podemos vericar quais os valores de ! que satisfazem a condic~ao de res-sonancia.

Para termos a ressonancia exata, com Æ'1 = Æ'2 = 0, temos da equac~ao 3.49 que '1+'2 =2q. Calculando o comprimento da cavidade para exata ressonancia teremos

L+ n` = q0 Æn`!=!0; (3.52)

onde vemos explicitamente a dependencia em q, e implicitamente a dependencia em m atravesda frequencia de batimento ! denida nas equac~oes 3.50 e 3.51.

Lembrando que ! depende tambem do comprimento da cavidade, vemos que resolver estaequac~ao em L a transforma em um resultado de difcil manejo e pouca aplicac~ao para nos dara ideia de como o OPO funciona. Vamos no entanto assumir uma aproximac~ao no calculo. Aovarrermos o comprimento da cavidade buscando a posic~ao de ressonancia temos uma variac~aoda ordem do comprimento de onda do bombeio 0, de modo que a consequente variac~ao nointervalo espectral livre sera desprezavel. Trabalharemos ent~ao com o valor medio de L nodenominador das equac~oes 3.50 e 3.51.

Para termos uma ideia da densidade dos modos de oscilac~ao, vamos imaginar que o com-primento da cavidade esta sendo varrido, variando assim o valor de L. Considerando um valorxo de q, podemos calcular a distancia entre duas posic~oes de ressonancia adjacentes, corres-pondentes a dois valores distintos de m. Neste caso obtemos uma separac~ao entre as posic~oesde ressonancia igual a

L = Æn`4D

!0= Æn

2`

L+ n`0: (3.53)

Notamos ent~ao que a separac~ao sera uma frac~ao do comprimento de onda do bombeio. Veremosmais tarde que isto e importante para termos pelo menos um modo de oscilac~ao coincidentecom o pico de ressonancia do bombeio.

A quantidade de modos possveis para oscilac~ao para um dado comprimento L e muitogrande, considerando a possibilidade de variar q em simultaneamente para satisfazer a equac~ao 3.52.Veremos que a condic~ao de acordo de fase ira selecionar uma faixa de valores para os quais aoscilac~ao e possvel.


Acordo de Fase

O efeito do desacordo de fase pode ser analisado pela reduc~ao no coeciente de acoplamento na equac~ao 3.37, elevando o valor do limiar de oscilac~ao do OPO. Para este estudo, iremosent~ao comparar o novo valor de limiar em caso de um acordo de fase n~ao nulo com aquele obtidopara um perfeito acordo de fase. Da condic~ao de acordo de fase temos

k =(n0 n)!0 n!

c: (3.54)

Vemos portanto que para um acordo de fase exato devemos ter

! = !0n0 n

n(3.55)

desde que n seja n~ao nulo (como e o caso em um acordo de fase tipo II).

Para simplicar a analise do caso, vamos considerar que a dessintonia e nula para os trescampos. O valor de limiar e dado ent~ao pelas equac~oes 3.27 e 3.37

jin0 j2pm = 00

2 01 0282eff `

2 0sinc2

k`

2

; (3.56)

onde jin0 j2pm e a potencia de limiar fornecida pela equac~ao 3.37, colocando de forma explcita adependencia com o acordo de fase. Vamos expressar a nova potencia de bombeio normalizadapor pm = j0j2=jin0 j2pm.

Para que ocorra a oscilac~ao do OPO, precisamos que pm 1. Temos ent~ao que o li-mite maximo para o desacordo de fase depende da potencia de bombeio, como descrita naequac~ao 3.38. Temos assim que

sinc2k`

2

1

: (3.57)

Fica claro que, quanto maior a potencia de bombeio (proporcional a ), maior a faixa devalores de desacordo de fase k nas quais podemos ter oscilac~ao. Por exemplo, para umapotencia de bombeio = 2 com uma perfeita ressonancia, teremos jk`j 2; 8. A faixa devalores de ! em torno do valor de perfeito acordo de fase e ent~ao de 5; 8c=(n`), conforme asequac~oes 3.54 e 3.57. O numero de possveis modos de oscilac~ao obtidos a partir da equac~ao 3.51e

N = 2; 8L+ n`

Æn`; (3.58)

de modo que tipicamente havera mais de dez modos m de oscilac~ao selecionados pela largurade banda do acordo de fase, devido ao pequeno valor de Æn, tipicamente de 0,1 para o casoapresentado nesta tese no acordo de fase tipo II.

Uma vez que vimos como o acordo de fase ira selecionar um valor central para ! e umabanda de valores em torno desta condic~ao de perfeito acordo de fase na qual o OPO podeoscilar, veremos como a ressonancia do bombeio ira determinar o comprimento de oscilac~ao dacavidade, levando a uma faixa de valores para a operac~ao do oscilador.


Ressonancia do bombeio

O TROPO deve oscilar nas proximidades da ressonancia do bombeio, situac~ao na qual apotencia intracavidade para este modo devera aumentar. A condic~ao de exata ressonanciado bombeio e dada por

L+ n0` = 0s; (3.59)

sendo s um numero inteiro. Combinando ressonancia do bombeio e ressonancia para sinal e com-plementar (equac~ao 3.52) temos o valor da frequencia de batimento ! para uma ressonanciatripla

! = 2c

Æn`(q s) + !0

n0 n

Æn: (3.60)

Vemos que para um acordo de fase perfeito (equac~ao 3.55) temos q = s. Deste modo, aressonancia do bombeio e o acordo de fase ir~ao selecionar, de um modo geral, o valor de q paraoscilac~ao. Dentro de um grupo q teremos multiplos modos m adjacentes que podem oscilar,sendo que aquele que predominara sera o de menor limiar.

O procedimento usado para demonstrar a selec~ao de uma banda de valores para ! em tornoda qual ha oscilac~ao atraves da condic~ao de acordo de fase pode ser empregado para determinaragora a largura de banda de valores de L que permitem a oscilac~ao dentro da ressonancia dobombeio.

Para um perfeito acordo de fase e uma perfeita ressonancia do sinal (e complementar), acondic~ao de oscilac~ao em func~ao da potencia de bombeio e que 1 +2

0

, sendo denido

pela equac~ao 3.38.Para um valor central do comprimento de cavidade L dado pela equac~ao 3.59, teremos uma

largura de valores de comprimento de cavidade

Lp =0 00p 1 (3.61)

na qual pode ocorrer a oscilac~ao. E claro que uma condic~ao conveniente para a oscilac~ao eque haja pelo menos um pico de ressonancia do sinal para uma ressonancia do bombeio. Ouseja, Lp > L, com L dado pela equac~ao 3.53. Caso contrario, o pico de ressonancia dobombeio sera muito estreito, e pode acabar cando entre dois picos de resonancia do sinal. Seesta condic~ao n~ao for satisfeita, alem de estabilizar o comprimento da cavidade devemos varrera temperatura do cristal selecionando de forma muito na o valor de Æn para chegarmos aressonancia exata dos tres modos.

Toda a descric~ao aqui proposta considera, como aproximac~ao, que Æn independe da frequenciado sinal e do complementar. No caso tpico de um OPO operando em acordo de fase tipo IIa aproximac~ao e valida, pois a birrefringencia tem um efeito muito maior sobre Æn que a dis-pers~ao. Esta aproximac~ao, no entanto, perde a validade no caso de um acordo de fase tipo I.Neste caso podemos distinguir duas situac~oes. Se o OPO estiver operando, gracas ao acordode fase, longe da degenerescencia, a aproximac~ao de Æn xo sera valida, considerando o valormedio de Æn no centro da faixa de acordo de fase nos calculos aqui desenvolvidos.

No entanto, ao nos aproximarmos da degenerescencia, a variac~ao da frequencia de batimento! se afasta de uma aproximac~ao linear dos parametros, e passamos a ter uma dependenciaquadratica no acordo de fase. Este caso foi tratado de forma extremamente detalhada na


referencia [66]. Faremos um tratamento simplicado, adequado ao caso em quest~ao de um OPOcontnuo triplamente ressonante, usando no valor de Æn a dependencia linear com a frequenciade batimento de forma explcita.

3.2.4 Modos longitudinais no OPO com casamento de fase tipo I

Vamos exprimir a dependencia de Æn com a frequencia de batimento com uma aproximac~ao deprimeira ordem

Æn =@n

@!

????!0=2

!

2= n0

!

2: (3.62)

Sera ent~ao a derivada do ndice de refrac~ao em relac~ao a frequencia n0que representara o papelmais importante nas condic~oes de oscilac~ao. Vamos ent~ao aplicar esta dependencia aos calculosrealizados anteriormente para vericar a sintonia em um OPO tipo I.

Frequencia de batimento

A frequencia de batimento, obtida a partir da equac~ao 3.51 sera dada por

! = 2mc

L+n+ n0 !02

`= 2Dm: (3.63)

Empregamos aqui a equac~ao 3.51 no lugar da equac~ao 3.50 pois com o cristal tipo I temos sinale complementar com a mesma polarizac~ao. Em consequencia, a birrefringencia na absorc~aodo cristal n~ao sera um fator atuante no desequilbrio das perdas. Alem disso, no caso quasedegenerado, as perdas pelos espelhos de cavidade ser~ao bem semelhantes. A aproximac~ao nodenominador da equac~ao 3.63 e valida, pois como podemos ver a partir dos valores tpicosn n0!0=2.

E curioso notar que neste caso a degenerescencia exata pode ser atingida no modo m = 0,condic~ao na qual o valor de Æn vai a zero. Ja na condic~ao de fase tipo II a degenerescencia exataimplica na delicada sintonia de Æn para um valor nito, o que tipicamente so pode ser feitode forma grosseira atraves da temperatura ou de efeitos eletro-oticos. Veremos, no entanto,que manter o OPO degenerado n~ao e uma tarefa facil, devido a um adensamento dos modospossveis de oscilac~ao.

Ressonancia do sinal e complementar

Aplicando a equac~ao 3.62 no comprimento da cavidade para ressonancia exata (equac~ao 3.52)vemos que o comprimento da cavidade para ressonancia do sinal e complementar passa a apre-sentar uma dependencia quadratica com a frequencia de batimento !

L+ n` = q0 n0`2!0

!2: (3.64)

Enquanto que no acordo de fase tipo II tinhamos uma separac~ao uniforme entre as posic~oesde ressonancia para dois modos m distintos dentro de um mesmo grupo q, a separac~ao agora elinear

L =`

L+ n`0n

0!: (3.65)


Isto leva a um adensamento dos modos a medida que nos aproximamos da degenerescencia. Asconsequencias deste adensamento ser~ao evidentes na apresentac~ao dos resultados. Se podemosobter uma condic~ao degenerada no OPO tipo I, sera difcil nos mantermos sobre este pico deressonancia, posto que a separac~ao ao primeiro modo adjacente sera

L = 2FSR`

L+ n`0n

0: (3.66)

Com valores tpicos (n0 = 104 THz1, FSR = 1 GHz) vemos que a separac~ao ao primeiromodo mais proximo sera L 1070 = 0; 1pm. Torna-se completamente irrealista a ideia demanter o OPO estabilizado na degenerescencia exata.

Outra consequencia do acordo de fase tipo I e o aumento da largura de sintonia do OPOdevido a um aumento na largura de banda denida pelo acordo de fase.

Acordo de Fase

O acordo de fase exato (eq. 3.54) e assegurado pela condic~ao k = 0 o que implica em

!2 = 2!0 (n0 n) =n0 (3.67)

o que nos traz de volta a condic~ao n0 = n no caso degenerado. Da equac~ao 3.57 vemos quepara = 2 a largura de banda sera

p5; 8c=n0`, bem maior que a obtida com o cristal tipo II.

Ressonancia do bombeio

Proximo a degenerescencia, a condic~ao n0 = n leva a s = q. Estamos desta forma limitadosgeralmente a um unico grupo q de modos de oscilac~ao. Se olharmos para a equac~ao 3.64, vere-mos uma consequencia interessante desta limitac~ao associada ao comportamento quadratico docomprimento de ressonancia para o sinal. Proximo a degenerescencia, ao varrermos o compri-mento da cavidade, chegaremos a um valor maximo de L alem do qual n~ao havera oscilac~ao. Aoatingirmos o caso degenerado, teremos ! = 0, e ao continuarmos a varredura do comprimentoda cavidade, por n~ao podermos saltar a outro modo q de oscilac~ao longitudinal, o OPO n~aoentrara mais em oscilac~ao. Este efeito sera observado na descric~ao do OPO com um cristal emquase acordo de fase no captulo 5.

3.2.5 Sintonia do OPO

Nos vimos que a selec~ao do modo longitudinal de oscilac~ao do OPO depende de uma seriede fatores. Temos, primeiramente, a condic~ao de ressonancia para o sinal e complementar,denindo os modos de oscilac~ao da cavidade em uma serie de numeros inteiros q e m. Cadamodo de oscilac~ao q agrupa uma serie de modos m da frequencia de batimento. Vimos aindaque a faixa de frequencias para oscilac~ao do OPO e dada pela condic~ao de acordo de fase, eque o comprimento de cavidade para oscilac~ao em um OPO triplamente ressonante depende daressonancia do bombeio.

Imaginemos ent~ao um OPO, com um cristal com acordo de fase tipo II. Um valor tpico deÆn, no caso do efeito da birrefringencia, e 0,1. Um cristal tpico apresenta um comprimento


q+0 q+1 q+2 q+3-0,004

-0,002

0,000

0,002

0,004

Ressonância do Bombeio

Região de Acordo de Fase

Lcav

/λ0

∆ω/ω

0

Figura 3.4: Selec~ao de frequencia de operac~ao para um OPO operando com um cristal tipo II.As linhas representam a ressonancia exata para os diferentes modos q,m de oscilac~ao. No eixohorizontal, o comprimento efetivo da cavidade Lcav. Na vertical, a frequencia de batimento,normalizada pela frequencia de bombeio.

` = 5 mm. Uma cavidade de comprimento total Lcav = 25 mm apresentara um intervaloespectral livre FSR = 6 GHz. Bombeado com um feixe de luz verde (0 = 0; 5m) teremosuma frequencia angular para o bombeio !0 = 2 600 THz.

Na gura 3.4 vemos os modos possveis de oscilac~ao em um graco onde apresentamos ovalor da frequencia de batimento pelo comprimento da cavidade. Como vemos, teremos paraum dado comprimento de cavidade diversos valores possveis de oscilac~ao de !. As linhascheias s~ao, na realidade, compostas por varios pontos, cada um representando um modo mde oscilac~ao dentro de um grupo q. A pequena separac~ao entre os modos faz com que elesse apresentem de uma forma densa no espectro de valores possveis de oscilac~ao, podendo sertratados como uma variavel contnua para a descric~ao aproximada.

A ampliac~ao de uma destas linhas e apresentada na gura 3.5. Vemos aqui a discretizac~aodos valores possveis de oscilac~ao. Os tracos horizontais representam a largura a meia alturada lorentziana para ressonancia do sinal, ou seja, a nesse da cavidade para o sinal. Os tracosrepresentariam uma nesse F = 100. Ainda que muito proximos, vemos que ha intervalos nosquais a cavidade se mantem longe da ressonancia para dois modos adjacentes. Por causa disso,veremos que n~ao sera em todo o pico de ressonancia do bombeio que ocorrera oscilac~ao, massim em pontos bem denidos do comprimento de cavidade. Se a nesse para o bombeio formuito grande, a ressonancia pode ocorrer no espaco entre dois picos de ressonancia do sinal,impedindo a oscilac~ao do OPO.

A condic~ao do acordo de fase, vista na equac~ao 3.55, seleciona o valor central da frequenciade oscilac~ao. Esta coincide com o comprimento de cavidade para a ressonancia do bombeio(equac~ao 3.59), levando a selec~ao dos modos de oscilac~ao da cavidade dentro da faixa de valores


-0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04

-4,0x10-5

-2,0x10-5

0,0

2,0x10-5

4,0x10-5

∆ω/ω

0

Lcav

/λ0-q

Figura 3.5: Ampliac~ao do graco anterior, mostrando os diferentes modos m dentro de umgrupo q.

q+0 q+1 q+2 q+3-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

Ressonância do Bombeio

Região de Acordo de Fase

Lcav

/λ0

∆ω/ω

0

Figura 3.6: Selec~ao de frequencia de operac~ao para um OPO operando com um cristal tipo I.As linhas representam a ressonancia exata para os diferentes modos q,m de oscilac~ao. No eixohorizontal, o comprimento efetivo da cavidade Lcav. Na vertical, a frequencia de batimento,normalizada pela frequencia de bombeio.


-8,0x10-5 -6,0x10-5 -4,0x10-5 -2,0x10-5 0,0-4,0x10-4

-3,0x10-4

-2,0x10-4

-1,0x10-4

0,0

1,0x10-4

2,0x10-4

3,0x10-4

4,0x10-4

∆ω/ω

0

Lcav

/λ0-q

Figura 3.7: Ampliac~ao do graco anterior, mostrando os diferentes modos m dentro de umgrupo q.

representadas no graco, as quais foram calculadas para uma condic~ao de bombeio = 2.

A condic~ao degenerada n~ao e um caso comum. A condic~ao de oscilac~ao mais proxima dadegenerescencia sera j!j < D = FSR=2, como podemos ver na gura 3.5. Um ajuste node Æn permitira a selec~ao da condic~ao degenerada. Outros metodos, no entanto, favorecem aoscilac~ao degenerada em cavidades tipo II pela mistura dos dois modos com a inclus~ao de umalamina de meia onda dentro da cavidade, como pode ser visto nas refs. [67, 68].

No caso de um acordo de fase tipo I (gura 3.6), podemos imaginar uma condic~ao realistasemelhante ao caso anterior, mas no lugar de considerarmos o valor de Æn, consideraremos ovalor de n0 = 2; 6 1017s=rad, como podemos calcular a partir da equac~ao de Sellmeier [69, 70].Neste caso vemos que a faixa de valores possveis de oscilac~ao denida por ! e muito maisampla que no caso do casamento de fase tipo II. Vemos ainda que ha um afastamento relativo em! dos modos q, que dicilmente ser~ao recobertos por um alargamento da banda selecionadapelo acordo de fase gracas a um aumento da potencia. Por m, vemos que devido a parabolaque se forma para os valores possveis de oscilac~ao em func~ao do comprimento da cavidade,ao atingirmos a degenerescencia pode ocorrer que a condic~ao de ressonancia para o sinal n~aoseja mais satisfeita em toda a regi~ao de ressonancia do bombeio. Isto ira fazer com que, aovarrermos a cavidade, haja um ponto alem do qual a oscilac~ao n~ao sera possvel.

Vendo a ampliac~ao do graco anterior na gura 3.7, notamos ainda outra diferenca comrelac~ao ao OPO com acordo de fase tipo II. Alem da forma de parabola, a distancia entre asposic~oes de ressonancia acaba sendo reduzida. Isto leva ao fato que, para um dado comprimentode cavidade Lcav, diversos modos m de oscilac~ao ser~ao possveis. Por quest~ao de clareza, ostracos representariam uma nesse F = 3 105, um valor impraticavel no OPO. Ainda assim, naressonancia havera a superposic~ao dos modos de oscilac~ao.

E por este motivo que o OPO tipo I pode, teoricamente, atingir a condic~ao degenerada,

3.3. PROPRIEDADES QUANTICAS DO OPO 51

porem a superposic~ao de modos impede que ele seja estabilizado na degenerescencia, n~ao sendopossvel no esquema proposto impedir o salto a outros modos proximos.

A discuss~ao aqui apresentada para a sintonia do OPO e uma forma simplicada, que apre-senta as principais caractersticas do OPO triplamente ressonante com acordo de fase tipo I e II.Ser~ao estas as congurac~oes empregadas nesta tese e por isso n~ao nos estenderemos sobre outascongurac~oes, como as mostradas nas referencias [71, 72, 73, 74] . Para fazer o OPO trabalharem modo degenerado, por exemplo, a inclus~ao de outros elementos na cavidade, inclusive coma reconvers~ao parametrica dos campos sinal e complementar de volta ao campo de bombeio [3],pode favorecer a estabilizac~ao n~ao so na degenerescencia (gerac~ao de sub-harmonico), mas nagerac~ao de feixes com valores fracionarios de frequencia (!0=a, com a inteiro) [2].

Depois de descrevermos as propriedades do OPO triplamente ressonante, quanto a sua e-ciencia na convers~ao de luz de um modo a outro e as suas caractersticas na sintonia, passaremosa sua descric~ao quantica. Teremos aqui a base para descrever as utuac~oes do campo, especial-mente as correlac~oes de intensidade dos feixes sinal e complementar e a descric~ao da compress~aonas utuac~oes de quadraturas no feixe re etido pela cavidade, estudadas nesta tese.

3.3 Propriedades quanticas do OPO

Para estudar como o OPO produz estados comprimidos da luz, precisamos partir de umadescric~ao quantica. Como veremos a seguir, partindo da equac~ao mestra do OPO, teremos adescric~ao dos campos pelo operador densidade. No entanto, pela impossibilidade de trabalharneste formalismo, passaremos a descric~ao equivalente atraves de func~oes de quase-probabilidade.A representac~ao empregada, usando a func~ao de Wigner, pode ser passada com uma pequenaaproximac~ao a um conjunto de equac~oes diferenciais estocasticas.

E interessante notar que este conjunto de equac~oes diferenciais estocasticas e igual ao queseria obtido por um formalismo dito semi-classico. Ou seja, o campo e tratado como umavariavel contnua, com as utuac~oes do vacuo articialmente inseridas nos calculos.

A partir do sistema de equac~oes diferenciais estocasticas, podemos calcular diretamente avariancia das utuac~oes do campo. E esta variancia que e, ao nal, medida pelo analisadorde espectro, mostrando as compress~oes no nvel de rudo para valores abaixo do \shot noise".Seguiremos assim o procedimento descrito nas referencias [75, 76] para demonstrar a existenciade feixes gemeos.

Equac~ao Mestra

A equac~ao mestra do operador densidade para os tres modos dentro da cavidade e dadapor [28, 29]

d

dt = i

h

hHf + Hi + Hext;

i+ (0 +1 +2) : (3.68)

O primeiro termo da hamiltoniana corresponde aos modos livres do campo dentro da cavi-dade. Teremos assim

Hf = h0 00ay0a0 h1

01ay1a1 h2

02ay2a2; (3.69)


onde os operadores criac~ao e aniquilac~ao do campo foram denidos no incio da tese. e o tempopara a propagac~ao do campo em uma volta completa na cavidade, considerado o mesmo paraos tres campos, 0j s~ao as perdas da cavidade (equac~ao 3.22) e j e a dessintonia normalizadadenida na equac~ao 3.29.

O segundo termo da hamiltoniana e a interac~ao efetiva entre os campos atraves do meion~ao-linear. Desse modo teremos

Hi = ih2

ay1a

y2a0 a1a2a

y0

; (3.70)

com a constante de acoplamento ja denida na equac~ao 3.27. O ultimo termo da hamiltonianacorresponde ao campo de bombeio " injetado na cavidade

Hext = ih 0"ay0 a0

: (3.71)

O ultimo termo da equac~ao mestra 3.68 nos da as perdas da cavidade para cada modo

j = 0j

2aj a

yj ayjaj ayj aj

: (3.72)

A equac~ao mestra contem todos os elementos para a descric~ao do campo no formalismoquantico. Porem, trata-la para campos intensos n~ao e pratico. Por este motivo, transforma-sea representac~ao da equac~ao mestra para uma representac~ao equivalente em uma representac~aode quase-probabilidade. No presente caso, usaremos a representac~ao de Wigner. Esta represen-tac~ao tem a vantagem de n~ao apresentar singularidades como a representac~ao P de Glauber.Por outro lado, compress~oes nas utuacoes podem ser facilmente identicaveis, diferente doque ocorre na representac~ao Q. A desvantagem e que a representac~ao de Wigner apresentageralmente derivadas de ordem superior a 2, que n~ao podem ser tratadas no formalismo dasequac~oes de Fokker-Planck. Estes efeitos s~ao geralmete pequenos e podem ser desprezados semperder-se o signicado fsico do resultado. No entanto, uma descric~ao mais acurada pede umestudo em uma representac~ao P-positiva.

3.3.1 Representac~ao de Wigner e equac~ao de Fokker-Planck

A matriz densidade pode ser tratada de uma forma mais simples como uma distribuic~ao dequase-probabilidade, usando a representac~ao de Wigner. Neste caso os operadores (ay; a) s~aosubstitudos por amplitudes complexas (; ), e a matriz densidade e substituda pela func~aode quase-probabilidadeW (). Aqui a func~ao de quase-probabilidade depende de seis variaveis,representadas pelo vetor = (0;

0; 1;

1; 2;

2), contendo a amplitude de cada modo do

campo e seu complexo conjugado.


Realizando a substituic~ao com as regras denidas no incio da tese temos

@

@tW () =

3Xj=1

0j

"ij

@

@jj

@

@jj

!+

@

@jj +

@

@jj

!#W ()

+2

12

@

@0+ 1

2

@

@0

W () 2

0

1

@

@2+ 01

@

@2

W ()

2

0

2

@

@1+ 02

@

@1

W () 0

"

@

@0+

@

@0

W ()

+3Xj=1

0j

@2

@j@jW ()

2

@3

@0@1@2W () : (3.73)

Desta equac~ao diferencial para uma distribuic~ao de quase-probabilidade podemos reconheceruma equac~ao de Fokker-Planck, exceto pela derivada de terceira ordem ao nal. O procedimen-to geralmente empregado neste caso e simplesmente desprezar as derivadas de ordem superiora 2, obtendo uma equac~ao de Fokker-Planck da qual chegamos as equac~oes diferenciais es-tocasticas [76]. Note que esta aproximac~ao pode ate ser valida em uma regi~ao onde as soluc~oesestacionarias s~ao unicas e estaveis, mas em pontos de biestabilidade, ou instabilidade da soluc~ao,ela comeca a negligenciar aspectos importantes do sistema. Outras abordagens para o problemadevem ser procuradas, por exemplo, atraves de sistemas numericos, como metodos de MonteCarlo. Uma interessante comparac~ao entre metodos distintos pode ser vista nas refs. [34, 77]

Como neste trabalho estaremos operando em regi~oes de regime estavel, podemos ent~aoestudar a soluc~ao da func~ao de Wigner atraves de uma equac~ao de Fokker-Planck, na forma

@

@tW () =

Xj

@

@jAjW () +

1

2

Xj;k

@

@j

@

@k

hBBT

ijkW () ; (3.74)

onde o vetor A e o vetor de arrasto (\drift") e o produto das matrizes BBT e a matriz dedifus~ao do processo estocastico.

3.3.2 Equac~oes Diferenciais Estocasticas

A equac~ao de Fokker-Planck e equivalente a um conjunto de equac~oes diferenciais estocasticas(EDE) conhecidas tambem como equac~oes de Langevin

d

dtj = Aj + [B(t)]j ; (3.75)

onde (t) e um vetor de utuac~oes estocasticas j(t) com valor medio nulo e correlac~oes nor-malizadas dadas por

hi(t)j(t0)i = ÆijÆ(t t0): (3.76)

A primeira consequencia da formulac~ao em termos das equac~oes de Fokker-Planck pode servista a partir dos valores medios dos campos. Partindo dos valores medios da equac~ao 3.75temos que

d

dt = hAi; (3.77)


a qual e identica ao conjunto de equac~oes 3.30 no regime estacionario d=dt = 0, fornecendoassim os valores medios dos campos na cavidade.

Nas equac~oes de Langevin temos diversos termos quadraticos no campo que impedem umtratamento direto das suas utuac~oes. Neste caso, usa-se uma aproximac~ao linearizada, ondeo campo e substitudo por seu valor medio calculado a partir da equac~ao 3.30 e uma pequena utuac~ao dependente do tempo

j(t) = j + Æj(t): (3.78)

Aplicando estes valores nas equac~oes dadas por 3.75, e desprezando os termos quadraticosnas utuac~oes, temos um conjunto de equac~oes diferenciais estocasticas descrevendo um proces-so linear com uma difus~ao constante, a qual pode ent~ao ser tratada visando obter o espectro de utuac~oes dos campos.

Este tratamento nos da uma express~ao direta do espectro de rudo nos campos do OPO,levando as suas compress~oes de rudo e correlac~oes. Temos porem uma matriz 6 6, o quediculta o tratamento direto.

Podemos no entanto realizar uma substituic~ao de variaveis que ira desacoplar as equac~oes 3.75em dois subgrupos independentes, facilitando o tratamento. Substituindo os campos 1 e 2pelos termos simetrico e antissimetrico

+ =1 + 2p

2e =

1 2p2

; (3.79)

teremos agora o novo conjunto de EDE para as utuac~oes dos campos. Explicitamente

d

dtÆ0 =

00

(1 i0)Æ0 2

+Æ+ +

q2 00

1(t)

d

dtÆ0 =

00

(1 + i0)Æ

0

2

+Æ

+ +

q2 00

2(t)

d

dtÆ+ =

2

0Æ

+

2

+Æ0

0

(1 i)Æ+ +

p2 0

3(t)

d

dtÆ+ =

2

0Æ+

2

+Æ

0

0

(1 + i)Æ+ +

p2 0

4(t)

d

dtÆ = 2

0Æ

0

(1 i)Æ +

p2 0

5(t)

d

dtÆ = 2

0Æ

0

(1 + i)Æ +

p2 0

6(t): (3.80)

Adotamos aqui as condic~oes de operac~ao do OPO, de dessintonias iguais para sinal e comple-mentar, e perdas iguais para os dois modos ( 01 = 02 = 0). As variaveis estocasticas j(t)representam as utuac~oes do vacuo, acopladas pelas perdas da cavidade 0.

Vemos que os termos das utuac~oes caram desacoplados entre o primeiro grupo de quatroequac~oes e o segundo grupo de duas equac~oes. Este ultimo nos fornecera as informac~oes sobreas utuac~oes da diferenca de amplitudes entre os campos sinal e complementar, enquanto oprimeiro grupo nos dara informac~oes sobre as utuac~oes do feixe de bombeio re etido pelacavidade e as utuac~oes dos campos sinal e complementar na sada da cavidade.


3.3.3 Correlac~oes de Intensidade

Vamos tratar agora da correlac~ao entre as intensidades dos campos sinal e complementar,calculadas a partir da equac~ao 3.80. Este sera o principal objeto de estudo do OPO cujadescric~ao sera apresentada no proximo captulo.

Para calcular as utuac~oes da diferenca entre os campos que saem da cavidade a partirdos valores das utuac~oes intracavidade Æ(t) = fÆ(t); Æ(t)g, vamos lembrar que as utuac~oes do vacuo que penetram a cavidade o fazem atraves do espelho de acoplamento eatraves das perdas espurias, e estas utuac~oes ser~ao independentes para cada um destes termos.Temos assim para os campos dentro da cavidade

d

dtÆ

= MÆ

+

p2

a(t) +

p2

b(t); (3.81)

onde a(t) e b(t) s~ao respectivamente as utuac~oes do vacuo entrando pelo espelho de acopla-mento e pelas perdas espurias. A matriz M e dada por

M =

" 0

(1 i) 2 0

2

0

0

(1 + i)

#; (3.82)

dependendo portanto da dessintonia dos campos e da amplitude do bombeio. Usando a trans-formada de Fourier para o campo Æ() =

RÆ(t)eitdt = fÆ(); Æ()g temos o

espectro do campo intracavidade dado por

Æ() = (M+ iI)1"p

2

a() +

p2

b()

#(3.83)

com I sendo a matriz identidade.

As utuac~oes de sada podem ser calculadas pela soma das utuac~oes dos campos intra-cavidade transmitidos pelo espelho de acoplamento com as utuac~oes do vacuo re etidas nesteespelho [78, 79]. Aproximando para uma re etividade unitaria temos

Æout() = a()p2 Æ() (3.84)

para a diferenca das utuac~oes de amplitude dos campos sinal e complementar na sada dacavidade.

3.3.4 Feixes Gemeos

A correlac~ao de amplitude dos feixes sinal e complementar pode ser vericada pela diferencadas intensidades de cada feixe, medidas pelas fotocorrentes geradas em dois detetores distintos,cada qual recebendo a totalidade do feixe gerado. Vamos considerar inicialmente uma ecienciaideal de detec~ao, de modo que a intensidade I(t) = (t)(t), dada em fotons por segundo,corresponde a uma fotocorrente de i(t) de igual valor, dada em eletrons/segundo. A informac~aoquanto a correlac~ao na utuac~ao de intensidade sera obtida a partir da medida da diferenca entreas fotocorrentes geradas nos dois detetores. A variavel estudada sera ent~ao I(t) = I1(t)I2(t).


Tal qual zemos com o campo, podemos expressar a intensidade por um valor medio e umtermo estocastico a ela adicionado correspondendo ao rudo do feixe. Para uma amplitude docampo j(t) = j + Æj(t), as utuac~oes de intensidade ser~ao

ÆIj(t) = Ij(t) Ij = jÆj(t) + jÆj(t): (3.85)

Vemos que a descric~ao das utuac~oes de intensidade apresentada na equac~ao acima e feitacom as utuac~oes da amplitude complexa j e seu conjugado j . Uma outra forma de faze-lo, mais conveniente e equivalente no formalismo, e expressar a intensidade pela utuac~aoda amplitude real do campo jj j e por sua utuac~ao Æpj(t) = Æj(t) + Æj (t). Para tanto,

multiplicando o campo j por um termo de fase eij , obtemos

ÆIj(t) = jj jhÆj(t) + Æj (t)

i= jj jÆpj(t): (3.86)

Como estamos considerando uma cavidade balanceada, com perdas iguais para os modossinal e complementar, os valores medios das duas amplitudes ser~ao iguais (j1j = j2j). A utuac~ao da diferenca entre as intensidades dos dois feixes sera ent~ao dada por

ÆI(t) = jj [Æp1(t) Æp2(t)] = jjjÆp(t): (3.87)

As utuac~oes de amplitude Æp(t) s~ao obtidas a partir da equac~ao 3.84. Para tanto, podemosescolher a fase relativa da amplitude do campo de bombeio, de modo a elimina-la da express~aodo rudo. Como vimos, o modulo da amplitude do campo de bombeio intracavidade e dadopela equac~ao 3.33. Deste modo, escolhendo para o bombeio uma amplitude

0 = 0

2(1 i); (3.88)

temos para a utuac~ao da diferenca de amplitude no domnio da frequencia

Æp() =1 2

2 0 i

Æpa()

2p

2 0 i

Æpb(); (3.89)

onde os termos de utuac~ao no domnio da frequencia podem ser calculados a partir das de-nic~oes Æpa(t) = a(t) + a(t)

e Æpb(t) = b(t) + b(t), n~ao correlacionados entre si.

Na medida das utuac~oes de intensidade usando o Analisador de Espectro, nos obtemos atransformada de Fourier da serie temporal de valores de fotocorrente. Para o calculo do Espectrode Rudo S(), podemos empregar o metodo mostrado por Yurke [78], Collet e Gardiner [80],e Collet e Walls [81] e empregado em [82].

S()Æ( + 0) = jj2hÆp()Æp(0)i: (3.90)

Temos desta forma o espectro de rudo da fotocorrente ÆI(t) dado por

S() = 2jj2"1

1 + (=0)2

#; (3.91)

onde a largura de banda da cavidade e 0 = 2 0= , e e denido na equac~ao 3.44.


Vemos portanto que a utuac~ao da diferenca de intensidades dos feixes sinal e comple-mentar gerados pelo OPO e proporcional a soma das intensidades (2jj2) dos feixes de sada.Normalizando-a pelo espectro de utuac~oes de um feixe coerente de mesma intensidade temosa utuac~ao normalizada

N() = 1

1 + (=0)2 : (3.92)

Se tomassemos a diferenca de intensidade de dois campos coerentes n~ao correlacionados,como os gerados pela incidencia de um feixe em um divisor (\beam splitter"), o espectro obtidoseria N() = 1, correspondendo ao nvel do \shot noise". E neste aspecto que as utuac~oesde intensidade dos feixes gemeos s~ao quanticas. Ainda que individualmente cada feixe possaapresentar utuac~oes maiores que as obtidas para um campo coerente, estas est~ao fortementecorrelacionadas, de modo que ao fazer a subtrac~ao das fotocorrentes obtemos um nvel de utuac~oes inferior ao obtido com campos coerentes independentes de mesma intensidade. Daexpress~ao da compress~ao de rudo 3.92 vemos que a compress~ao sera maxima para valorespequenos da frequencia de analise. Isto pode ser interpretado pela gerac~ao dos fotons aos paresdentro da cavidade. Se esperarmos um tempo sucientemente longo, ambos os fotons geradossair~ao da cavidade em direc~ao aos detetores, produzindo um maximo de correlac~ao. No entanto,ao reduzirmos o tempo de espera, ha uma perda na correlac~ao, pois os fotons, ainda que geradossimultaneamente dentro da cavidade, tomar~ao tempos independentes para deixar a cavidade,mediados pelo tempo de vida = 0. Se o tempo de medida for muito curto, a correlac~ao seraperdida, e recuperaremos o nvel de \shot noise".

A compress~ao sera maior quanto maior for o valor de . Isto deve-se ao fato que os fotonsgerados na cavidade podem deixa-la pelo espelho de acoplamento ou pelas perdas espurias.No primeiro caso eles ser~ao medidos pelos fotodetetores enquanto que, no segundo, ao ocorrera perda de um foton, reduzimos a correlac~ao entre os dois feixes. Deste modo, o nvel decompress~ao do rudo em um OPO esta diretamente ligado a sua eciencia quantica, dado pelaequac~ao 3.44.

Temos ainda que uma das condic~oes para obter correlac~oes quanticas e o balanceamentoentre os feixes sinal e complementar. Isto n~ao e sempre verdade, como no caso de perdasintracavidade importantes e desbalanceadas para os dois modos. Como podemos ver na re-ferencia [18], pode-se ainda neste caso recuperar a correlac~ao atraves de um balanco externoao sistema, seja pela atenuac~ao de um dos feixes, seja pelo aumento do ganho na fotocorrentedetetada.

Apos esta analise, poderemos estudar a gerac~ao de feixes gemeos em um OPO com umcristal tipo II, o que sera o tema do proximo captulo. Em seguida, estudaremos a compress~aonas utuac~oes do campo do feixe re etido por um OPO com um cristal em quase acordo de fasetipo I, quando ent~ao estudaremos detalhadamente o calculo da compress~ao do feixe re etido.

Captulo 4

Gerac~ao de Feixes Gemeos no OPO

No captulo anterior vimos como ocorre a oscilac~ao em um Oscilador Parametrico Otico. Vimosque o limiar de oscilac~ao apresenta forte dependencia com o coeciente n~ao-linear efetivo, o qualdepende da orientac~ao dos eixos do cristal e da forma dos feixes interagindo dentro da cavidade.Quanto as perdas da cavidade, estas in uem tanto no limiar de oscilac~ao quanto na ecienciado OPO.

Vericamos tambem como o OPO pode gerar feixes cujas utuac~oes est~ao fortemente cor-relacionadas, apresentando compress~ao quantica de rudo na diferenca das intensidades medidasdos feixes sinal e complementar.

Vamos descrever a construc~ao do OPO, comecando pelo cristal n~ao-linear empregado. Emseguida, apresentamos detalhes sobre a geometria da cavidade linear empregando dois espelhosesfericos. Descreveremos o conjunto de bombeio, e o sistema de lentes usado para fazer o acordodo modo do feixe laser de bombeio ao modo da cavidade.

Passaremos ent~ao a descric~ao dos dois OPOs construdos. O primeiro, apresentando baixolimiar, mantinha-se estavel por perodos longos, permitindo a realimentac~ao eletronica paramante-lo na ressonancia tripla. No entanto, como veremos, a baixa eciencia impedia a gerac~aode estados comprimidos.

O segundo OPO apresenta uma maior eciencia. Porem, devido as limitac~oes de potencia,ele opera muito proximo do limiar de oscilac~ao, tornando-se instavel. Alem disso, veremosque os efeitos de degradac~ao do cristal impedem a operac~ao contnua do OPO nas condic~oesusadas. Por isso, optamos por fazer uma aquisic~ao simultanea do rudo e da intensidade media,permitindo uma normalizac~ao do nvel de rudo ao longo de intervalos curtos de tempo (daordem de ms) nos quais ocorria a oscilac~ao. Observamos assim a gerac~ao de feixes gemeos, comuma correlac~ao de intensidade 30% abaixo do \shot noise".

Vamos comecar a descric~ao do projeto pela escolha do cristal n~ao-linear empregado, umpotassio titanil fosfato (KTP). Mostraremos as diferentes condic~oes de casamento de fase paraum cristal uniforme, e como o KTP permite a separac~ao dos feixes sinal e complementar.Mostraremos os ensaios usados para caracterizar os eixos ordinario e extraordinario do cristal.A absorc~ao do cristal, apesar de pequena, pode ser medida em uma montagem de elevadaprecis~ao, usando uma detec~ao balanceada.

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60 CAPITULO 4. GERAC ~AO DE FEIXES GEMEOS NO OPO

4.1 Selec~ao do Cristal

Para aplicac~oes em otica n~ao-linear, tais como gerac~ao de segundo harmonico e osciladoresparametricos oticos, tanto o KTP (KTiOPO4) quanto o Niobato de Ltio (LiNbO3) tem amplouso devido a sua baixa higroscopicidade e seus elevados coecientes n~ao-lineares. A selec~ao daaplicac~ao de um ou outro ocorre tanto devido aos limites de danos por alta potencia quantopela condic~ao de acordo de fase do cristal [70].

Para o estudo de efeitos de correlac~ao quantica entre os feixes gerados por um OPO,e necessaria a separac~ao entre os feixes sinal e complementar. No processo de convers~aoparametrica descendente (gura 4.1), podemos fazer a distinc~ao entre os feixes atraves de suafrequencia, atraves de sua direc~ao de propagac~ao, ou ainda por sua polarizac~ao.

k 0, ω0k1, ω1

k2, ω2

χ(2)

Figura 4.1: Convers~ao Parametrica Descendente.

Como vimos na descric~ao dos efeitos oticos n~ao-lineares em um meio (equac~ao 3.21), temosno acoplamento de tres modos do campo uma relac~ao ligada a conservac~ao de energia (!0 =!1 + !2), a qual e uma condic~ao estrita no caso de campos de amplitude lentamente variavel.Por conveniencia, e sem perda de generalidade, vamos considerar que !0 > !1 !2 .

Por sua vez, a condic~ao de casamento de fase leva a uma interpretac~ao da conservac~aode momento dos fotons dentro do cristal. Como vimos no caso do OPO (equac~ao 3.27) oacoplamento entre os campos sera maximo para um desacordo de fase nulo. Pode-se mostrar [51]que o mesmo ocorre no processo de convers~ao parametrica espontanea e na gerac~ao de segundoharmonico.

Para um perfeito acordo de fase teremos

k0 = k1 + k2; (4.1)

onde o modulo do vetor de onda de cada campo no interior do cristal e dado por jkij =!ini(!i)=c, e ni(!i) e o ndice de refrac~ao do meio n~ao-linear, levando em conta a direc~ao depropagac~ao, a polarizac~ao e a frequencia do modo. Vemos ainda que o perfeito acordo de faseimplica em uma correlac~ao entre as direc~oes de propagac~ao dos modos 1 e 2.

4.1. SELEC ~AO DO CRISTAL 61

No nosso caso, como queremos construir um OPO triplamente ressonante com uma cavidadelinear, os tres vetores ki s~ao paralelos, e n~ao ir~ao permitir a separac~ao entre os feixes. Alemdisso, iremos trabalhar proximo a condic~ao degenerada em frequencia, de modo que !1 !2.Neste caso, a separac~ao entre os feixes atraves de um elemento dicroico n~ao sera eciente. Parasepararmos os feixes sinal e complementar, resta a polarizac~ao de cada modo envolvido. Esta,por sua vez, depende do tipo de casamento de fase empregado.

Na condic~ao de propagac~oes colineares e degenerescencia em frequencia, a equac~ao 4.1 passaa ser satisfeita se

n0(!0) =n1(!1) + n2(!2)

2: (4.2)

Para satisfazer a condic~ao de casamento de fase, devemos lembrar que em meios com dis-pers~ao normal, n(!0) > fn(!1); n(!2)g. Para satisfazer a condic~ao de acordo de fase em ummeio que n~ao seja birrefringente, ou para tres campos de mesma polarizac~ao, e necessario quehaja uma linha de absorc~ao do material para uma frequencia intermediaria, entre !0 e !2. Nestecaso, porem, os efeitos de absorc~ao ser~ao importantes, reduzindo a eciencia do processo. Aforma adequada para atingir o acordo de fase e trabalhar com cristais birrefringentes, de modoque as diferencas dos ndices de refrac~ao devido a dispers~ao sejam compensadas pela diferencana polarizac~ao dos campos.

4.1.1 Propagac~ao em meio n~ao-isotropicos

Em materiais isotropicos, a polarizac~ao P do meio e tratada simplesmente como um produtodo campo eletrico E pela susceptibilidade . No entanto, grande parte dos cristais n~ao s~aoperfeitamente simetricos. Neste caso, o vetor deslocamento do campo eletrico D n~ao podeser mais considerado como proporcional ao campo eletrico, mas passa a ter uma dependenciamatricial [83] 2

64 Dx

Dy

Dz

375 =

264 "xx "xy "xz"yx "yy "yz"zx "zy "zz

375

264 ExEyEz

375 : (4.3)

Neste caso, para vericar como ocorre a propagac~ao no meio, devemos levar em conta a densi-dade de energia w e sua direc~ao de propagac~ao, dada pelo vetor de Poynting S

w = we + wm =E D8

+B H8

; S =c

4(EH): (4.4)

Das equac~oes de Maxwell, temos que a matriz das constantes dieletricas na ausencia de cargaslivres e simetrica ("ij = "ji). Pela conservac~ao de energia dada por

rS = dwdt

(4.5)

podemos ent~ao expressar as relac~oes entre as constantes dieletricas por

"xxE2x + "yyE

2y + "zzE

2z + 2"yzEyEz + 2"xzExEz + 2"xyExEy = 8we: (4.6)


Esta relac~ao dene uma elipsoide de revoluc~ao para os termos do campo eletrico. No caso, esempre possvel encontrar uma rotac~ao dos eixos para um novo sistema de coordenadas onde

"xE2x + "yE

2y + "zE

2z = 8we; (4.7)

conhecido como sistema de eixos dieletricos principais. A elipsoide de energia constante e ent~aodada por

D2x

"x+D2y

"y+D2z

"z= 8we: (4.8)

Neste caso, os vetores D e E ser~ao paralelos apenas se E for paralelo a um dos eixosprincipais. Caso contrario, havera uma diferenca nas direc~oes de D e E.

Uma consequencia desta diferenca de direc~oes e o efeito de birrefringencia no meio. Dada adirec~ao do vetor de onda k, perpendicular a H e E, teremos a decomposic~ao da onda incidenteem duas componentes de polarizac~oes ortogonais Eo = Do="o e Ee = De="e. A primeira, cujovetor de Poynting e paralelo ao vetor de onda, e chamada de feixe ordinario, enquanto que oseu complemento, chamado de feixe extraordinario, possui um vetor de Poynting que forma umangulo Æ com o vetor k. Este angulo, tambem conhecido por angulo de \walk o", leva a umaseparac~ao entre as duas polarizac~oes propagantes.

Outra consequencia dos diferentes valores "o e "e obtidos e a diferenca nas velocidadesde propagac~ao das duas ondas. O ndice de refrac~ao para cada eixo principal da elipsoide eni =

p"i="0, onde "0 e a constante dieletrica do vacuo.

x

y

z

k

θ

ϕ

Figura 4.2: Eixos do cristal birrefringente e denic~ao dos angulos e '.

Dois casos nos interessam neste trabalho. No primeiro, temos um cristal uniaxial (como oNiobato de Ltio). Neste caso temos "x = "y. O feixe nele incidente e decomposto em duaspolarizac~oes. A polarizac~ao paralela ao plano XY e a ordinaria, sendo que o seu ndice de

4.1. SELEC ~AO DO CRISTAL 63

refrac~ao e independente do angulo entre k e o eixo de simetria z. A polarizac~ao ortogonal aoplano formado pelo vetor k e a polarizac~ao ordinaria e a extraordinaria, e seu ndice de refrac~aoe dado por

ne() = no

s1 + tan2

1 + (no=ne)2 tan2 ; (4.9)

onde ne e o valor do ndice de refrac~ao extraordinario para um feixe com incidencia paralela aoplano XY . O angulo de birrefringencia e dado por

Æ() = arctanh(no=ne)

2 tan i ; (4.10)

onde se usa o sinal superior se ne < no, e o inferior em caso contrario.Outra situac~ao que estudaremos sera a de um feixe incidindo em um cristal biaxial ("x <

"y < "z) com o vetor k paralelo ao plano XY , como e o caso do KTP. A polarizac~ao ordinariasera a paralela ao eixo z, com ndice de refrac~ao no = nz. O ndice de refrac~ao extraordinariosera dado por

ne(') = ny

s1 + tan2 '

1 + (ny=nx)2 tan2 '; (4.11)

e o angulo de birrefringencia e dado pela equac~ao 4.10 substituindo por ' no caso de um cristalnegativo. No caso do cristal de KTP, o valor tpico de Æ = 3mrad n~ao afeta de forma signicativaa sua inserc~ao em uma cavidade, exceto no limite concentrico. Neste caso, empregam-se cristaiscom compensac~ao de \walk o", onde se colocam dois cristais de modo que seus efeitos decompensem (gura 4.3).

x

y

k// So

Seδ

ϕx

y

x

y

Cristal 1 Cristal 2

So

Se

Figura 4.3: \Walk o" no KTP, e sua compensac~ao.

4.1.2 Tipos de acordo de fase

Partindo da descric~ao de propagac~ao de feixes em meios birrefringentes, vemos que temos ent~aoduas possibilidades de satisfazer a condic~ao de acordo de fase [70].

No acordo de fase tipo I, os modos de frequencia mais baixa s~ao paralelamente polarizados.Para obtermos o acordo de fase, a polarizac~ao do modo de frequencia mais alta deve ser perpen-dicular a dos outros dois modos em um cristal macico. O acordo de fase para um determinado


conjunto de frequencias (!0; !1; !2) sera feito pela orientac~ao do cristal no plano extraordinario,dada pelo angulo .

Para cristais negativos (ne < no), teremos ent~ao

ke0() = ko1 + ko2; (4.12)

e em cristais positivos (ne > no),

ko0 = ke1() + ke2(): (4.13)

onde o vetor ke() = 2ne()= depende da orientac~ao do cristal.O acordo de fase e dito de tipo II se os modos de frequencia inferior tiverem polarizac~oes

perpendiculares. A polarizac~ao do modo de frequencia superior sera alinhada a uma das polar-izac~oes dos modos f!2, !1g, e perpendicular a outra.

Para cristais negativos (ne < no), teremos ent~ao

ke0() = ko1 + ke2() ou ke0() = ke1() + ko2; (4.14)

e em cristais positivos (ne > no),

ko0 = ko1 + ke2() ou ko0 = ke1() + ko2: (4.15)

Este tipo de casamento de fase e usado frequentemente em OPOs onde deseja-se separaros feixes gerados a partir da frequencia de bombeio. No nosso caso, com feixes copropagantesoperando em uma cavidade linear, a distinc~ao entre sinal e complementar podera ser feitapela polarizac~ao, atraves de cubos polarizadores com alto coeciente de extinc~ao. Podem-seencontrar cubos com transmitancia de 95%, e uma extinc~ao na polarizac~ao transmitida de1:1000. Ou ent~ao, pode-se utilizar polarizadores Glan, com igual eciencia na separac~ao depolarizac~oes. Como veremos, tais condic~oes ser~ao extremamente importantes para otimizar amedida da correlac~ao de intensidades entre os feixes.

4.2 O cristal KTP

O cristal de KTP (KTiOPO4, potassio titanil fosfato), tal qual o empregado na montagem, eum cristal ortorrombico biaxial positivo, ou seja, nz > fnx; nyg. Ele e largamente empregadoem convers~ao parametrica com casamento de fase tipo II, como e o caso de OPOs e na gerac~aode Segundo Harmonico, existindo sobre ele uma ampla literatura [70]. Ainda assim, certoscomportamentos n~ao s~ao totalmente compreendidos, tal como a formac~ao de defeitos no seuinterior por exposic~ao a luz visvel intensa, comumente conhecida por \gray-tracking" [84].

Atualmente, dois processos de fabricac~ao s~ao empregados na produc~ao destes cristais. Ocrescimento hidrotermico consiste em manter os elementos necessarios a formac~ao do cristal emalta press~ao e temperatura em presenca de agua. Este e o processo empregado pela Litton-Synoptics [85], a qual sintetiza cristais a 600ÆC e 25.000 psi. Cristais de qualidade superiorpodem ser sintetizados a temperaturas menores (450ÆC, 10.000 psi), produzindo porem amostrasde menor tamanho (1cm3).

4.2. O CRISTAL KTP 65

O metodo mais comum e o crescimento por uxo a partir de uma semente. Nosso cristal foifeito por este processo. Ele permite crescer amostras de grandes dimens~oes, porem de qualidadeinferior quanto a absorc~ao e aos danos induzidos por \gray-tracking".

As amostras empregadas para o OPO foram fabricadas pela Cristal Laser S. A. As faces docristal s~ao polidas e sofrem a deposic~ao de um \coating" anti-re etor para 1064 nm e 532 nm.As especicac~oes do fabricante s~ao apresentadas na tabela 4.1.

Tabela 4.1: Especicac~oes do cristal.Sec~ao reta 4 4 (0; 1) mm

Comprimento (`) 10 (+0,3/-0,2) mm

Qualidade de superfcie =10 @ 514 nm

Paralelismo 10"

Coating Anti-re etor R < 0,5 % @ 532 nmR < 0,1 % @ 1064 nm

Absorc~ao < 1%/cm @ 532 nm< 0,05 %/cm @ 1064 nm

Limiar de dano 10 Hz, 3 ns, 3 GW/cm2 @ 1064 nm10 Hz, 5 ns, 0,8 MW/cm2 @ 532 nm

Limiar de dano CW 3,2 MW/cm2 @ 1064 nm0,3 MW/cm2 @ 532 nm

Os coecientes n~ao-lineares deste cristal, segundo [86] s~ao

d31 = 6; 5 1012m=V d32 = 5 1012m=V jd33j = 13; 7 1012m=Vd24 = 7; 6 1012m=V d15 = 6; 1 1012m=V

: (4.16)

onde os ndices correspondem a diferentes eixos de simetria do meio. Conforme descrito nareferencia [70], para as orientac~oes fornecidas pelo fabricante, o coeciente efetivo e deoe =5; 2 1012m=V .

4.2.1 Indice de refrac~ao

Por ser um cristal biaxial, os ndices de refrac~ao para um feixe polarizado nos eixos x, y ou zdo cristal s~ao diferentes. Seus valores podem ser obtidos para diferentes comprimentos de ondapela equac~ao de Sellmeier [87]

n2i = Ai +Bi

2 CiDi

2; (4.17)

com o comprimento de onda dado em m. Os coecientes da equac~ao de Sellmeier fornecidospelo fabricante s~ao dados na tabela 4.2. Os valores calculados dos ndices de refrac~ao paraos comprimentos de onda do bombeio (532 nm) e o sub-harmonico (1064 nm) a temperaturaambiente s~ao apresentados na tabela 4.3.


Tabela 4.2: Constantes da Equac~ao de Sellmeier. (C. Bonnin, Cristal Laser S.A.)A B C D

nx 3,0067 0,03950 0,04251 0,01247

ny 3,0319 0,04152 0,04586 0,01337

nz 3,3134 0,05694 0,05941 0,016713

Tabela 4.3: Indices de refrac~ao para o KTP (m) nx ny nz0,532 1,7797 1,7897 1,8877

1,064 1,7404 1,7479 1,8296

De acordo com os dados do fabricante, os angulos de acordo de fase para gerac~ao de segundoharmonico em 1064 nm s~ao = 90Æ e = 23; 5Æ. Como vimos na descric~ao da propagac~ao emmeios isotropicos, para esta orientac~ao o feixe incidente na polarizac~ao paralela ao plano xyapresenta uma progapagac~ao extraordinaria, enquanto que o feixe com polarizac~ao paralela aoplano z apresenta uma propagac~ao ordinaria.

A condic~ao de acordo de fase para a gerac~ao de segundo harmonico e a mesma para um OPOquase-degenerado em frequencia. Vemos portanto que as condic~oes requeridas pela equac~ao 4.2s~ao atendidas para um bombeio extraordinario. Vamos aqui denir como sinal o feixe geradono plano ordinario, e como complementar o feixe gerado no plano extraordinario. Os ndicesde refrac~ao calculados a partir da equac~ao 4.11 s~ao dados na tabela 4.4.

Tabela 4.4: Indices de refrac~ao dos modos bombeio, sinal e complementar.n0 n1 n2

1,7881 1,8296 1,7466

Note que as condic~oes de acordo de fase aceitam uma certa tolerancia. Por exemplo, aprecis~ao na orientac~ao dos eixos do cristal e de 0,5Æ. Ainda quanto aos dados do fabricante,as faixas de valores para aceitac~ao dos angulos na gerac~ao de segundo harmonico s~ao =13mrad cm=` e = 75mrad cm=`, podendo ser ajustada pela orientac~ao do cristal. A faixade valores para temperatura, por sua vez, e T = 16ÆC cm=`. No caso do OPO, esta banda devalores torna-se mais larga, pois a possibilidade de trabalhar com um sistema n~ao degeneradopermite um grau de liberdade a mais pela selec~ao da frequencia de batimento.

4.2.2 Orientac~ao do cristal

Para os cristais usados, n~ao tnhamos uma indicac~ao da direc~ao do eixo z. Para isso, procuramosde alguma forma identicar os planos de polarizac~ao ordinaria e extraordinaria do cristal. Duaspropostas se colocaram, como veremos a seguir.


Na primeira, empregamos a propria birrefringencia do cristal para vericar a polarizac~aona qual uma cavidade concentrica tornava-se instavel. Outro metodo, mais direto, consistiu nagerac~ao de segundo harmonico, medindo a polarizac~ao de sada do verde. Para isso, empregamosum laser Nd:YAG pulsado para gerar o segundo harmonico na sada do cristal, o qual e analisadopor um polarizador. Os metodos s~ao detalhados nesta sec~ao.

Cavidade concentrica

Como vemos na referencia [51], um feixe gaussiano propagando-se por uma distancia ` dentrode um meio de ndice de refrac~ao n sofre a mesma difrac~ao que teria no caso de uma propagac~aono vacuo por uma distancia `=n.

Considere ent~ao uma cavidade como a da gura 4.4, formada por dois espelhos esfericos deraio R, separados por uma distancia L, com um meio inserido entre os espelhos. O comprimentogeometrico efetivo da cavidade para a propagac~ao do modo gaussiano ressonante sera

Lcav = L+ `

1

n 1

: (4.18)

L

nD2

OsciloscópioDigitalGer.

Figura 4.4: Cavidade concentrica com meio inserido.

A cavidade concentrica se situa em um limite de estabilidade. Se Lcav > 2R as perdas pordifrac~ao aumentam rapidamente, o que pode ser vericado pela reduc~ao da nesse da cavidade.Vemos da equac~ao 4.18 que a distancia L entre os espelhos depende do ndice de refrac~ao.Assim, para a refrac~ao ordinaria (tabela 4.3) temos no = 1; 8877, de modo que o limite daconcentricidade e dado por Lo = 30; 703 mm, para espelhos de raio R = 13 mm e um cristal decomprimento ` = 10 mm.

Ja para a polarizac~ao extraordinaria temos ne = 1; 7881 (tabela 4.4). Na mesma condic~aoa distancia entre os espelhos para o limite da concetricidade sera Le = 30; 407 mm. Isto nos dauma diferenca de 0,3 mm entre as duas posic~oes de concentricidade.


Injetando um feixe na cavidade, polarizado a 45Æ com relac~ao as arestas da faces do cristal,vemos a formac~ao de duas series de picos de potencia transmitida durante a varredura docomprimento da cavidade com um PZT. Com um cuidadoso alinhamento do sistema, e possvelotimizar a nesse das duas series.

A medida que formos afastando os espelhos, reajustando o seu alinhamento para mantera nesse, vemos que havera um comprimento alem do qual uma das polarizac~oes n~ao podemais ser otimizada de modo a recuperar o antigo valor de nesse. Nesta situac~ao, temos umacavidade quase concentrica, e portanto estavel, para a polarizac~ao ordinaria, enquanto que apara a polarizac~ao extraordinaria esta ja se encontra em uma congurac~ao instavel. Podemosassim identicar os planos de polarizac~ao ordinaria e extraordinaria dentro do cristal.

Uma outra forma de identicar as polarizac~oes e usa-lo na gerac~ao de segundo harmonico,como faremos a seguir. Este metodo tem a vantagem de testar o cristal quanto a tolerancia detemperatura e orientac~ao para o acordo de fase.

4.2.3 Gerac~ao de segundo harmonico

Uma outra forma de vericar qual a polarizac~ao de bombeio consiste em fazer a gerac~ao de se-gundo harmonico. Neste caso temos um processo inverso a convers~ao parametrica descendente,pois bombeamos o cristal com um laser no infravermelho, obtendo a gerac~ao de um foton verdea partir da aniquilac~ao de dois fotons de bombeio [51].

Para isso, empregamos um laser Surelite II, Nd:YAG - Neodmio: Itrio-Alumnio-Granada(1064 nm) pulsado Q-Switched da Continuum, gerando pulsos de 7 ns de durac~ao (FWHM).Tal laser deve ser cuidadosamente manuseado, pois o tratamento antire etor do cristal podeser facilmente danicado na condic~ao de potencia maxima (650 mJ/pulso). Sua polarizac~ao desada e alterada pela presenca de um cristal de KTP montado na sada do laser para gerac~aode segundo harmonico. Um conjunto de espelhos dicroicos permite a separac~ao entre o funda-mental e os harmonicos por ele gerados (que no caso deste modelo podem chegar ate o quartoharmonico).

A montagem empregada e mostrada na Figura 4.5. Os espelhos dicroicos M1 e M2 s~aousados para alinhamento e eliminac~ao do resduo de segundo harmonico gerado. O polarizadorP1 dene em sua sada uma polarizac~ao horizontal, e em conjunto com o polarizador P2 e alamina de meia onda L1 formam um controle de potencia, com a func~ao de regular a intensidadede luz incidente sobre o cristal. A fenda S (diametro de 1 mm) seleciona uma pequena sec~aodo feixe que sera usada na experiencia. A lamina de meia-onda L2 controla a polarizac~ao deentrada no cristal.

O cristal e montado em um suporte, que permite variar sua inclinac~ao, alterando o angulode incidencia do feixe. Este suporte tem ainda sua temperatura controlada por uma resistenciae um termopar, estabilizando sua temperatura em 0,1ÆC na faixa entre a temperatura ambientee 200ÆC atraves de um regulador comercial.

Na sada do cristal um espelho dicroico re ete o infravermelho do bombeio, transmitindoa luz verde que e analisada pela lamina de meia onda (para 532 nm) L3 e o polarizador P3.Os polarizadores s~ao laminas em angulo de Brewster com lme especialmente desenhadas paraaltas intensidades de feixe. A intensidade dos pulsos de luz verde e medida pelo detetor, umDET100 da Thorlabs Inc., atraves de um osciloscopio digital. No caso de laser pulsado de alta


potencia, todas as re ex~oes s~ao enviadas a elementos absorvedores de alumnio anodizado, demodo a evitar re ex~oes espurias que podem ser perigosas aos operadores do equipamento.

A dependencia da intensidade com a polarizac~ao de entrada da luz no cristal e mostrada nagura 4.6. Como vemos, para uma polarizac~ao horizontal ou vertical, temos uma intensidademnima gerada. Esta e maxima para uma polarizac~ao a 135Æ. Esta periodicidade corresponde auma condic~ao de casamento de fase tipo II. No caso de um casamento de fase tipo I, o perodoseria de 180Æ, e n~ao 90Æ, como observado. Maximizando a potencia de sada, observamos quea luz verde gerada possui polarizac~ao horizontal, denindo assim a polarizac~ao de bombeio docristal.

Esta medida conrmou o resultado obtido com a cavidade concentrica em relac~ao aos eixosde orientac~ao ordinaria e extraordinaria do cristal, sem acrescentar novas informac~oes. Noentanto, podemos atraves da gerac~ao de segundo harmonico vericar qual a tolerancia do casa-mento de fase com a temperatura de operac~ao e angulo de orientac~ao. Fizemos portanto umamedida da intensidade do feixe gerado com a inclinac~ao do cristal em torno do eixo z (variac~aode ), como mostrado na gura 4.7, mantendo sua temperatura estabilizada em 25ÆC. Vemosque a variac~ao da eciencia e pequena para uma faixa em torno de 1Æ (18 mrad). O efeitoe semelhante para a variac~ao em . Como podemos inserir o cristal no interior da cavidade ealinha-lo com uma precis~ao superior a esta, o angulo de aceitac~ao n~ao chega a ser um problemaem nossa montagem.

Variamos tambem a temperatura, para uma incidencia perpendicular do feixe. Como vemosna gura 4.8, n~ao ha variac~ao apreciavel na faixa entre 20 e 40ÆC. Estas faixas de toleranciaconcordam com os valores anunciados pelo fabricante.

Com isso conclumos que se nos limitassemos a condic~ao degenerada teramos ja uma boatolerancia quanto ao angulo de incidencia no cristal e sua temperatura. No caso, como temosainda a possibilidade de operar com valores n~ao nulos da frequencia de batimento, esta faixade valores tende a se alargar, posto que estamos interessados apenas na oscilac~ao do OPO semnos preocuparmos com a degenerescencia exata em frequencia.

Temos ent~ao toda a informac~ao necessaria para inserir o cristal na cavidade e buscarmos aoscilac~ao do OPO. Convem, no entanto, vericarmos as perdas no cristal antes de faze-lo pois,como vimos, elas ser~ao importantes na obtenc~ao de baixos limiares de oscilac~ao e alta ecienciade convers~ao.

Perdas do Cristal

As perdas no cristal foram medidas de forma independente em nosso laboratorio, para vericara qualidade do cristal adquirido e compara-lo a uma outra amostra ja disponvel, que foraemprestada pelo Laboratoire Kastler-Brossel.

Para isso usamos um sistema de detec~ao equilibrada, mostrado na gura 4.9. O feixe vindode um laser de Nd:YAG contnuo dobrado (532 nm) e atenuado para uma potencia de 0,4 mWpara evitar a saturac~ao dos detetores. Este feixe e focalizado pela lente L, de modo a sercompletamente captado pelos fotodetetores. A intensidade total e dividida entre as duas sadasdo cubo polarizador PBS, sendo precisamente equilibrada atraves da lamina de meia onda W.

Os detetores D1 e D2 s~ao fotodiodos FND100 com sadas amplicadas, descritos no apendice.O uso de um \chopper" mecanico para fazer a obturac~ao do feixe em uma frequencia de 400 Hz


LASER

M1

M2

P1

L1

P3P2

L3

L2 DM

Cristal

S

Figura 4.5: Montagem para gerac~ao de segundo harmonico.

90 135 180 225 2700,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsi

da

de

No

rma

liza

da

Ângulo de Polarização (graus)

Figura 4.6: Potencia de sada em func~ao do angulo da polarizac~ao de entrada (1064 nm) nagerac~ao de segundo harmonico.


-3 -2 -1 0 1 2 30,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsi

da

de

No

rma

liza

da

Ângulo de Incidência (graus)

Figura 4.7: Intensidade do segundo harmonico medido em func~ao do angulo de incidencia nocristal.

30 35 40 45 500,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Inte

nsi

da

de

No

rma

liza

da

Temperatura (OC)

Figura 4.8: Intensidade do segundo harmonico medido em func~ao da temperatura.


permite a eliminac~ao do \oset" sobre os dois detetores pela comparac~ao das fotocorrentes nosciclos aberto e fechado.

CH

W L

PBS

D1

D2

KTP

Pol. Extraord.

Pol.Ord. z

OsciloscópioDigital

Figura 4.9: Montagem de detec~ao balanceada para medida da absorc~ao do cristal.

Em um osciloscopio digital, medimos a amplitude dos dois sinais na presenca e na ausenciado cristal. Da raz~ao entre a medida com e sem o cristal inserido diante do detetor D1, norma-lizada pela intensidade medida no detetor D2, obtemos a transmitancia pelo cristal

Tord =

VD1VD2

Xtal

VD2VD1

: (4.19)

Mantendo a mesma orientac~ao do cristal, repetimos a medida colocando-o diante do detetorD2, mantendo o detetor D1 como referencia. Obtivemos assim as perdas para a polarizac~aoextraordinaria

Text =

VD2VD1

Xtal

VD1VD2

(4.20)

lembrando que o cristal e inserido de forma a assegurar que todo o feixe passe por ele, sem ocorrerobstruc~ao por sua sec~ao reta, e cuidadosamente alinhado para uma incidencia perpendiculardo feixe na superfcie, o que pode ser feito pela observac~ao da re ex~ao vestigial na interfacecristal/ar.

Obtidas as transmitancias, podemos calcular as perdas provocadas pela absorc~ao no meioe pela re ex~ao nas superfcies do cristal. Como vemos na tabela 4.5, ha uma birrefringenciana absorc~ao, sendo esta maior na polarizac~ao extraordinaria. Notamos ainda que a absorc~aono cristal cedido pelo laboratorio Kastler-Brossel e signicativamente maior. Como veremosao longo desta tese, ha uma degradac~ao do cristal manifestada pelo aumento da absorc~ao novisvel. Esta degradac~ao e provocada pela exposic~ao do cristal a feixes intensos na regi~ao dovisvel, que provocam a gerac~ao de centros de cor, entre outros defeitos. Este efeito, chamadode \gray-tracking", e fortemente dependente da intensidade de luz aplicada, do tempo do pulso

4.3. ESPELHOS DA CAVIDADE 73

ou da aplicac~ao contnua, da qualidade do material, do processo de fabricac~ao, da presencade impurezas,... Trata-se do principal problema no uso do KTP, sendo estudado em diversosartigos [84, 88, 89, 90]. Mostraremos como ele afeta as nossas medidas e a operac~ao estavel doOPO.

Tabela 4.5: Perdas medidas nos cristais.Polarizac~ao Ordinaria Polarizac~ao Extraordinaria

Cristal 1 (LKB) (1; 3 0; 4) % (4; 2 0; 4) %

Cristal 2 (Cristal Laser) (1; 4 0; 4) % (2; 7 0; 4) %

Terminamos desse modo a caracterizac~ao dos cristais de KTP empregados. Descrevemos aseguir a montagem da cavidade, com os criterios para selec~ao dos espelhos.

4.3 Espelhos da Cavidade

Este e um componente crtico do OPO, sendo alvo de uma selec~ao cuidadosa pensando emqual aplicac~ao sera feita deste. Para selecionar os espelhos da cavidade, devemos levar emconsiderac~ao os seguintes fatores:

Congurac~ao:

Como queremos uma cavidade linear estavel, com pequenas perdas por difrac~ao, optamospelo uso de espelhos esfericos. Por simplicidade, optamos por uma cavidade simetrica,de modo que a cintura do modo de oscilac~ao dentro da cavidade se situe no centro damesma, onde colocaremos nosso cristal.

Intervalo espectral livre:

Uma cavidade muito pequena apresenta um grande intervalo espectral livre. Como vistona equac~ao 3.53, no caso de um casamento de fase tipo II sera este intervalo que determinaa separac~ao entre os picos de ressonancia do sinal. Se os picos forem muito separados, elespodem ocorrer fora do pico de ressonancia do bombeio. Por outro lado, a estabilizac~aomecanica da cavidade torna-se mais difcil no caso de uma cavidade longa.

Re etancia:

As perdas da cavidade determinam o limiar de oscilac~ao e a eciencia de convers~ao. Taisparametros s~ao crticos em nossa montagem, pois estamos limitados a 200 mW de potenciatotal de bombeio, sem considerar as perdas da injec~ao. Alem disso, os espelhos podemn~ao ter uma re etancia unitaria, como os espelhos de acoplamento, e consequentementea fase do feixe re etido pode n~ao ser a mesma do feixe incidente. A fase acumulada nare ex~ao do espelho tambem e importante e se n~ao for nula, deve ser compensada por umvalor n~ao nulo de desacordo de fase k, alterando assim o valor de eff e atraves dele ovalor do limiar de oscilac~ao.


Qualidade de superfcie:

As irregularidades de superfcie levam a um aumento das perdas pela difrac~ao e espalha-mento da luz, aumentando a potencia de limiar.

Limiar de dano dos \coatings".

A escolha de uma congurac~ao simetrica, com dois espelhos esfericos, visa otimizar a e-ciencia de convers~ao pela reduc~ao das perdas por difrac~ao, no caso de uma cavidade estavel.OPOs operando com cavidades planas apresentam grandes perdas por difrac~ao, n~ao sendo porisso comumente usados no regime contnuo.

A otimizac~ao da eciencia de convers~ao para um feixe gaussiano leva em conta o aumentoda intensidade do feixe incidente sobre o cristal. No entanto, se focalizarmos demais o feixe,a difrac~ao deste ira garantir uma grande eciencia de convers~ao em uma regi~ao pequena depropagac~ao dentro do cristal. A medida que este se difrata, o diametro do feixe ira aumentarantes que ele saia do cristal, perdendo deste modo a eciencia da interac~ao no volume. Para umcristal de comprimento `, o comprimento de Rayleigh otimo para uma convers~ao parametrica(ascendente ou descendente) e dado por [91]

` = 5; 6zR; (4.21)

onde zR e o comprimento de Rayleigh.Para valores menores de zR, teremos uma reduc~ao na eciencia devido a difrac~ao do feixe

a medida que este se aproxima das faces do cristal. Para valores maiores, a difrac~ao n~ao seraimportante, mas a intensidade n~ao estara maximizada, reduzindo o ganho na passagem ao longodo cristal. Por este motivo, iremos trabalhar com um feixe de comprimento de Rayleigh daordem do comprimento do cristal.

Na selec~ao da estrutura da cavidade, outro ponto a discutir e a estrutura dos espelhos. Seestes forem depositados diretamente sobre um cristal com extremidades polidas de forma aapresentarem superfcies concavas, teremos uma cavidade monoltica. Extremamente robustaquanto a vibrac~oes mecanicas, ela e pouco versatil quanto a sua operac~ao, impedindo a correc~aode erros de alinhamento ou a mudanca dos parametros da cavidade. Alem disso, a necessidadede produzir superfcies de alta qualidade nas faces do cristal eleva o custo da montagem.

Cavidades plano-concavas s~ao frequentemente empregadas em congurac~oes semimonolticas,onde se deposita em uma face do cristal um espelho plano, sendo a cavidade completada por umespelho externo. Esta congurac~ao tem a vantagem de minimizar os elementos oticos envolvi-dos, sendo melhor que a cavidade externa em termos de estabilidade. Mecanicamente, e menosestavel que a monoltica, ganhando no entanto em versatilidade. Por n~ao haver necessidadede alterar os cristais comercialmente disponveis, os quais s~ao normalmente vendidos com facesplanas e paralelas, este tipo de congurac~ao e muito usado.

No entanto, para uma congurac~ao semimonoltica, o cristal deve ser encomendado com um\coating" altamente re etor em uma das faces. Para uma cavidade externa, formada por doisespelhos e um cristal, podemos empregar um produto disponvel no fabricante, o que acabareduzindo o custo do processo.

Consequentemente, uma cavidade formada por dois espelhos esfericos e a indicada. Ocomprimento de Rayleigh nesta congurac~ao sera determinado pela distancia efetiva entre os


espelhos na propagac~ao de um feixe gaussiano (Lcav) e pelo raio de curvatura. Considerandouma congurac~ao simetrica temos [51, 92]

z2R =(2R Lcav)Lcav

4: (4.22)

Variando a distancia media entre os espelhos, ajustamos o valor de zR para nossa cavi-dade. O limite mnimo sera dado para uma congurac~ao concentrica (2R = Lcav), quando ocomprimento de Rayleigh tende a zero.

Como discutimos antes (sec~ao 3.2.3), a nesse da cavidade ira determinar um comprimentolimite, abaixo do qual a separac~ao dos modos longitudinais de oscilac~ao diculta a operac~ao doOPO. Se a nesse do bombeio for muito grande, o pico da ressonancia deste modo sera muitoestreito. Em uma condic~ao crtica, ele sera t~ao estreito que ocorrera dentro de um intervalodos valores possveis de oscilac~ao, dado pela equac~ao 3.53. Ou seja, alem de manter o sistemaressonante, teremos que varrer o valor de Æn, seja atraves da temperatura, seja pela inclinac~aodo cristal, para garantir a condic~ao de oscilac~ao.

Como a largura L0 do pico de bombeio sera da ordem de 0T0=, onde T0 e o acoplamentodo espelho de entrada, devemos satisfazer a condic~ao L0 > L para que ao menos um picodo OPO caia na ressonancia do bombeio. Ou seja, a distancia L e limitada por

L > `

2Æn

T0 n

: (4.23)

Trabalhando com valores tpicos Æn 0; 08, n 1; 8, ` = 10 mm, temos que L > 13 mm paraT0 = 0; 2.

Para escolhermos o raio de curvatura dos espelhos, devemos lembrar que sera util podermosvariar o comprimento da cavidade, alterando assim o comprimento de Rayleigh em uma amplafaixa de valores.

Como vemos na referencia [51], o feixe gaussiano propagando-se por uma distancia ` dentrode um meio de ndice de refrac~ao n sofre a mesma difrac~ao que teria no caso de uma propagac~aono vacuo por uma distancia `=n. Por isso, o comprimento geometrico efetivo da cavidade parao modo gaussiano ressonante sera

Lcav = L+ `

1

n 1

: (4.24)

Para uma cavidade confocal (Lcav = R), teremos ent~ao um raio de curvatura R > 9 mm comoum valor conveniente para operac~ao.

Note que a escolha da geometria dos espelhos, ainda que importante, e seguida muitomais pelo bom senso que por uma regra bem denida. Ja para os coecientes de re ex~aodos\coatings" a serem depositados, a escolha e muito mais crtica. Queremos no caso um baixolimiar de oscilac~ao para o OPO. Da equac~ao 3.37 vemos que o limiar de oscilac~ao varia lin-earmente com a transmiss~ao no bombeio, e quadraticamente na transmiss~ao no sub-harmonico(considerando por simplicidade o caso degenerado em frequencia). Baseado neste criterio, bas-taria selecionar espelhos com baixa transmitancia para solucionar o problema, garantindo umbaixo limiar. Este e o caso do OPO com limiar inferior a 1 mW descrito no proximo captulo.No entanto, para nossos objetivos, a escolha deve ser mais cuidadosa.


Primeiro, de pouco adianta ter uma baixa transmitancia no bombeio se as perdas da cavi-dade forem importantes. Reproduzimos aqui de forma explcita a potencia do limiar de oscilac~aopara a ressonancia exata

Plim =(T0 +A0)

2

T0(T +A)2

h!064jj2 ; (4.25)

onde o valor de e dado pela equac~ao 3.27. As transmitancias no bombeio e no sub-harmonicos~ao T0 = 2 0 e T = 2 , e as perdas diversas na cavidade s~ao dadas por A0 = 20 para obombeio e A = para o sub-harmonico.

Minimizando a potencia de limiar em func~ao de T0, vemos que o limiar otimo ocorre paraT0 = A0. No entanto, como vimos anteriormente, isto leva a um forte estreitamento na largurado pico de ressonancia do bombeio, n~ao sendo muito recomendado para OPO com acordo de fasetipo II, no qual a posic~ao de ressonancia dos modos sinal adjacentes em frequencia pode estarespacada. Alem disso se estivermos procurando uma alta eciencia de convers~ao, precisamosde 0 = T0=(T0 +A0)! 1. O limiar mnimo implica em um valor de 0 = 1=2, limitando ja desada a eciencia do OPO.

Por outro lado, o limiar cai linearmente com a transmitancia do sub-harmonico T . Aprincpio, com espelhos altamente re etores podemos chegar ao limite determinado pelas perdasespurias intracavidade, que no nosso caso s~ao baixas. Somando a absorc~ao e as perdas porre ex~ao nas superfcies do cristal em uma volta completa na cavidade (portanto com duaspassagens pelo meio) temos um total estimado de 0,5% de perdas em 1064 nm (contra cerca de8% medido para 532 nm). O fator limitante e a eciencia. Para uma alta eciencia queremos ! 1. E como vimos, a compress~ao na correlac~ao de intensidades e limitada ao valor de .Claramente, se baaixarmos demais o limiar, destruiremos a compress~ao procurada.

Para avaliar o valor da potencia de limiar, consideramos o valor de jj2 obtido a partir dolimiar de oscilac~ao em experiencias semelhantes na literatura [93, 94, 95], levando a uma ordemde grandeza de jj2=(h!0) 107mW1.

De posse destas informac~oes solicitamos a confecc~ao dos espelhos da cavidade junto a Ocinade Otica de S~ao Carlos. As especicac~oes escolhidas eram de uma transmitancia de 4 % para1064 nm e 15 % em 532 nm. Com isso, o limiar esperado e de cerca de 40 mW, contra umapotencia de bombeio de 200 mW.

Quanto aos substratos nos quais os espelhos foram realizados, foram solicitados quatroplano-concavos, em vidro BK7. Dada a disponibilidade das matrizes existentes na Ocinade Otica de S~ao Carlos (USP), optamos por substratos com raio de curvatura de 13 mm,permitindo assim a construc~ao de uma cavidade pequena, porem dentro dos limites praticos parasua manipulac~ao. A disponibilidade da qualidade de superfcie (=10) atende as especicac~oesequivalentes de outros fabricantes no exterior.

4.3.1 Teste dos espelhos

Alem dos espelhos adquiridos junto a Ocina de Optica de S~ao Carlos, dispomos ainda deum conjunto de espelhos confeccionados no Laboratorio de Filmes Finos da Divis~ao de Mate-riais Eletro- Opticos do IPEN (MEO), depositados sobre um substrato comercial de lente daNewport,Inc.


Dispunhamos ent~ao de uma serie de espelhos de entrada e sada para nosso OPO, cujasespecicac~oes dos fabricantes s~ao mostradas na tabela 4.6.

Tabela 4.6: Especicac~oes dos fabricantes para os espelhos de cavidade.Substrato Tratamento aplicado e transmitancia obtida

Origem R(mm) Superfcie ;(mm) Face Plana Face Concava

1064 nm 532 nm 1064 nm 532 nm

SC 13 =10 13 AR NT 3,2 % 0,2 %

SC 13 =10 13 95,9%NT 95,8%NT 0,2 % 7,8 %

IPEN 12,92 =4 12,7 AR AR 0,35 % 20 %

IPEN 12,92 =4 12,7 AR AR (8; 5 1; 0) % 0,55 %

IPEN 25,84 =4 12,7 AR AR 0,35 % 20 %

IPEN 25,84 =4 12,7 AR AR (8; 5 1; 0) % 0,55 %

NT: N~ao tratado. Transmitancia calculada para re ex~ao de Fresnel no vidro BK7.AR: Tratamento antire etor para o comprimento de onda.SC: Substrato e deposic~ao na Ocina de Otica de S~ao Carlos.IPEN: Substrato Newport, deposic~ao no Laboratorio de Filmes/MEO/IPEN.

Os espelhos produzidos no IPEN atingiram as especicac~oes solicitadas de transmitancia(10% @ 1064 nm, 20% @ 532 nm). No entanto, os valores inicialmente calculados de limiarforam superestimados, e estes espelhos n~ao foram usados com sucesso dada a limitac~ao depotencia de bombeio.

Ao nal, empregamos os espelhos fabricados em S~ao Carlos, solicitados posteriormente comvalores menores de transmitancia, reduzindo o limiar e aproveitando da disponibilidade desubstratos de qualidade de superfcie superior aos substratos adquiridos junto a Newport. Osespelhos de sada s~ao aqueles com maior transmitancia em 1064 nm, enquanto que os espelhosde entrada s~ao os de maior transmitancia em 532 nm.

Testamos a transmitancia destes espelhos empregando um feixe de 532 nm, focalizado poruma lente de forma a gerar um feixe gaussiano de zR = 2 mm. Observamos ainda se a trans-mitancia variava conforme o espelho estivesse no foco ou fora do foco do feixe. O objetivo eevidenciar o efeito do espalhamento por irregularidades na superfcie sobre a transmitancia ere ectancia do espelho produzido.

Os resultados s~ao mostrados na tabela 4.7 para os substratos de =4. Nota-se que hauma grande variac~ao da transmitancia do espelho de entrada para diferentes tamanhos do feixeincidente sobre ele, o que pode ser uma evidencia das irregularidades na superfcie do substrato.Para os espelhos de sada, a transmitancia era muito pequena, n~ao possibilitando a medida dapotencia atraves do detetor termico disponvel no momento.

Tabela 4.7: Espelhos =4: Medida direta da transmitancia (532 nm).No foco Fora do foco

Espelho de entrada (5,2 0,6) % (13,2 0,5) %


Repetimos a medida atraves das perdas em uma cavidade proximo da concentricidade. Nocaso, o feixe injetado apresentava um casamento de modo melhor que 95 %. A medida da nesse,feita pela varredura do comprimento da cavidade por um PZT acoplado a um dos espelhos, foide (45 5), correspondendo a perdas na cavidade de (14 2)%.

Para os espelhos de =10, obtivemos um melhor resultado em situac~ao semelhante, comovemos na tabela 4.8. A variac~ao na medida da transmitancia n~ao foi t~ao signicativa, aindaque presente.

Tabela 4.8: Espelhos =10: Medida direta da transmitancia (532 nm).

No foco Fora do foco

Espelho de entrada 14 % 17 %

N~ao dispondo de um laser Nd:YAG estavel para gerar o feixe de 1064 nm, zemos umamedida de transmitancia no IPEN, obtendo (6 1) % para o espelho de sada e (0,27 0,07) % para o espelho de entrada, o que concorda qualitativamente com as especicac~oes dofabricante. As curvas detalhadas para cada espelho s~ao mostradas no apendice da tese.

4.4 Acordo de modo

Apos denirmos os espelhos e os cristais a serem empregados no OPO, passamos a montagemda cavidade. Planejamos uma cavidade proxima da confocalidade, de modo a facilitar o a-linhamento. Como vemos na referencia [57], a congurac~ao confocal possui a vantagem desimplicar o alinhamento da cavidade, pois nesta congurac~ao o centro de curvatura de umespelho se situa sobre a superfcie do outro. Como consequencia, o alinhamento passa a seruma quest~ao de colocar os centros de curvaturas sobre o feixe incidente, eliminando os modosmpares da cavidade.

Descrevemos a seguir a otica necessaria para se fazer o acordo de modo da cavidade atravesde uma serie de lentes convergentes. O laser de bombeio, um Lightwave 142-532-200, apresentaem sua sada um feixe de 532 nm, com uma cintura de feixe de 0,28 mm.

Para maximizar o acoplamento do feixe de bombeio ao modo principal de uma cavidadeformada por dois espelhos esfericos, e necessario adequar o tamanho e a posic~ao do feixe inci-dente. Para os espelhos de raio de curvatura R = 13 mm teremos um comprimento de Rayleighintracavidade de zR = R=2, correspondendo a uma cintura de feixe w0 = 36m.

Para transformar o feixe de sada do laser, de cintura muito superior ao modo da cavidade,necessitamos expandir o feixe com uma primeira lente, e com uma segunda obter o feixe nascaractersticas desejadas (gura 4.10). O uso de uma unica lente iria formar a cintura do feixemuito proximo a ela, impedindo a colocac~ao da cintura do feixe no interior da cavidade. Pelo usode um par de lentes, podemos controlar a posic~ao da cintura do feixe atraves do deslocamentolongitudinal da segunda lente, com pouca variac~ao do seu comprimento de Rayleigh.

Considerando que o espelho de entrada da cavidade se comporta como uma lente divergentede distancia focal f3 = 25mm, conseguimos realizar o acordo de modo com um par de lentesde distancia focal f1 = 100mm e f2 = 125mm. A distancia entre as duas lentes do telescopio

4.4. ACORDO DE MODO 79

f1 f2f3

d1 d2 d3

Laser

Figura 4.10: Congurac~ao empregada para casamento de modo.

formado e de 480 mm, e o espelho da cavidade, situado a 130 mm da segunda lente, terminapor formar a cintura do feixe a 8 mm da superfcie do espelho, condizente com o acordo demodo esperado para a cavidade quase-confocal.

Ate o momento, vimos as condic~oes do projeto do OPO a ser empregado na gerac~ao de feixesgemeos. Descrevemos os procedimentos de teste do cristal e dos espelhos de cavidade, bem comodo sistema de lentes para produzir o acordo do modo do laser com o modo da cavidade.

Iremos agora mostrar o procedimento de teste do OPO, descrevendo as medidas de rudode correlac~ao dos feixes de sada. Para isso, comecaremos pela medida do rudo vindo do feixede bombeio. Este rudo e extremamente importante, pois ele pode reduzir a nossa sensibilidadena medida dos efeitos quanticos devido a limitac~oes na precis~ao de nossa eletronica, alem deproblemas que poderiam advir de eventuais desbalanceamentos entre os feixes sinal e comple-mentar. Como veremos aqui, este desbalanceamento e muito pequeno no caso atual, poremisto n~ao e regra geral, podendo atingir valores t~ao grandes como 10% de desequilbrio entre asintensidades dos feixes, como veremos em outras montagens.

Uma vez medido o excesso de rudo do laser de bombeio, vamos estudar duas cavidadesdiferentes. Na primeira, mostraremos uma montagem estavel, com baixo limiar, a qual a-presenta apenas correlac~oes classicas devido a sua baixa eciencia na convers~ao do bombeio.Uma segunda cavidade, de limiar mais alto, apresenta uma eciencia sucientemente alta paraobtermos correlac~oes quanticas. No entanto, o limiar mais alto, aliado a efeitos termicos impor-tantes, impede a estabilizac~ao do sistema. Neste caso, desenvolvemos uma aquisic~ao simultanea,


que e empregada para normalizar as utuac~oes de rudo e demonstrar de forma inequvoca acorrelac~ao quantica entre os feixes sinal e complementar.

4.5 Rudo do feixe de bombeio

A analise do rudo apresentada na sec~ao 3.3 considerava que o feixe de bombeio estava numestado coerente, ou seja, que pode ser descrito por um campo classico com utuac~oes seme-lhantes as utuac~oes do vacuo a ele adicionadas. Este estado de mnima incerteza do campon~ao e necessariamente uma condic~ao normal no laboratorio. Devido a diversos processos de de-coerencia, como a emiss~ao espontanea, alem de aspectos tecnicos da montagem, um laser podeapresentar um largo espectro de rudo. De forma imediata, podemos observar que as utuac~oesde intensidade do laser s~ao superiores ao nvel de \shot noise", o rudo branco produzido peladetec~ao do estado coerente foton a foton.

Este excesso de rudo, classico em sua origem, pode ser ltrado por cavidades de alta nesse,como sera feito na proxima sec~ao. No caso presente, vale saber se ele sera um empecilho arealizac~ao da medida. Em princpio, este excesso de rudo pode ser transferido aos feixes gemeos,aumentando o rudo em ambos de forma igual. Por isso, ele pode ser eliminado na subtrac~ao dasfotocorrentes. Note, porem que a subtrac~ao n~ao e perfeita. Desbalanceamentos nas amplitudespodem ser provocados tanto na parte da otica quanto na parte eletronica. O desbalanceamentootico pode ter origem na propria cavidade, devido ao fato de termos diferentes comprimentosde onda para sinal e complementar, o que leva a perdas diferenciadas nos espelhos de cavidade.Ou ainda, podemos ter o efeito da birrefringencia sobre a absorc~ao do cristal, que pode vir aser importante em certos casos. No processo de detec~ao, pode ocorrer um desequilbrio pordiferentes eciencias quanticas para os dois detetores.

Quanto a parte eletronica, a subtrac~ao deve ser capaz de fazer a diferenca entre dois sinaisiguais, apresentando na sada um valor nulo. No entanto, dois canais n~ao s~ao perfeitamenteidenticos devido as tolerancias dos componentes, o que leva a pequenos desbalanceamentos. Aqualidade do sistema de subtrac~ao e dada pela sua rejeic~ao de modo comum, dado pela potenciade sada quando dois sinais identicos s~ao injetados, normalizada pelo valor obtido quando apenasum sinal e injetado. O circuito empregado pode apresentar uma rejeic~ao de modo comum tpicade 20 dB, podendo mesmo chegar a 30 dB com um cuidadoso ajuste. Porem devemos ter emmente que um equilbrio perfeito n~ao pode ser atingido.

O excesso de rudo do feixe de bombeio nos da uma ideia da qualidade necessaria noequilbrio de nosso sistema para observar as correlac~oes quanticas. Para realizar esta medida,o feixe do laser de bombeio e separado em duas partes iguais, de modo semelhante a detec~aobalanceada usada para medir a absorc~ao do cristal. Vemos na gura 4.11 a congurac~ao empre-gada. O laser de bombeio e atenuado para uma potencia de 5,0 mW, sendo injetado no sistemade medida. A lamina de meia onda W e o cubo polarizador PBS s~ao usados para dividir o feixeem duas partes de intensidades iguais. O equilbrio entre as intensidades medidas pelos doisdetetores e vericada atraves de um osciloscopio digital (n~ao mostrado). A lente L focaliza ofeixe sobre os dois detetores FND100 da EG&G.

A sada de alta frequencia dos detetores passa por um sistema de soma e subtrac~ao ativo.A rejeic~ao em modo comum da eletronica e melhor que 30 dB na faixa entre 2 e 40 MHz. Sua

4.5. RUIDO DO FEIXE DE BOMBEIO 81

W L

PBS

D1

D2

Analisadorde Espectro

+/-

Figura 4.11: Sistema de medida do excesso de rudo na intensidade do feixe de bombeio.

sada e medida em um Analisador de Espectro (HP8560E), o qual mostra a potencia do rudopara cada frequencia de analise.

Como vemos na referencia [41], em uma montagem como a apresentada fazemos a ho-modinagem do feixe incidente com o vacuo. Fazendo a soma das utuac~oes da fotocorrente,recuperamos o nvel total de rudo de intensidade do feixe incidente. E como se colocassemostoda a potencia incidente em um unico detetor, recuperando assim toda a luz incidente. Naposic~ao de subtrac~ao, eliminamos as utac~oes de intensidade comuns a ambos os feixes de sadado divisor de feixe. O rudo restante vem da natureza estocastica da luz, da propria utuac~aovinda da distribuic~ao de probabilidade do foton incidente sair por uma das duas portas dodivisor de feixe. Ou ainda, e como se observassemos as utuac~oes do vacuo incidentes pelaporta livre deslocadas ao valor medio do campo incidente.

Vemos ent~ao o espectro de rudo para a faixa entre 0 e 20 MHz na gura 4.12, medido parauma potencia total incidente de 5,0 mW. Vemos neste caso que as utuac~oes de intensidade s~aomuito importantes, com um acentuado pico de rudo em 2 MHz. Este pico e t~ao intenso queaparece mesmo na subtrac~ao das fotocorrentes, superando o balanceamento da detec~ao (rejeic~aode modo comum) descaracterizando a medida como um valor de referencia para o \shot noise"nesta frequencia. Fora desta regi~ao, ha um excesso de pelo menos 10 dB em uma ampla faixado espectro.

So podemos considerar o laser \shot noise" em uma frequencia de analise acima de 45MHz, como vemos na gura 4.13. Vemos como este tipo de situac~ao interfere na medidada compress~ao de um unico feixe ao estudarmos o rudo do bombeio re etido pela cavidadedo OPO. Se estivessemos trabalhando em uma caracterizac~ao do rudo de um unico feixe,deveramos fazer as medidas nesta faixa de frequencia, onde enfrenta-se o problema causadopela resposta da eletronica de detec~ao n~ao ser mais t~ao eciente, alem do aumento relativo do


0 4 8 12 16 20-75

-70

-65

-60

-55

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

E xcesso de R u ído "S ho t N o ise"

Po

tên

cia

(d

Bm

)

F req uênc ia (M H z)

Figura 4.12: Excesso de rudo na intensidade do feixe de bombeio para baixas frequencias deanalise (0 a 20 MHz).

2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0

-8 6

-8 4

-8 2

-8 0

-7 8

-7 6

-7 4

-7 2

-7 0

-6 8

E xce sso d e ru íd o "S h o t N o ise " E le trô n ic o

Po

tên

cia

(d

Bm

)

F re q u ê n c ia (M H z)

Figura 4.13: Excesso de rudo na intensidade do feixe de bombeio para altas frequencias deanalise (20 a 70 MHz). O pico em 66 MHz tem origem no rudo ambiente, dentro do laboratorio.

4.6. MONTAGEM DO OPO 83

rudo eletronico comparado ao sinal medido. Pode-se ainda usar uma cavidade de ltro paraeliminar estas utuac~oes [96], reduzindo-as as utuac~oes do vacuo.

No entanto, o excesso de 10 dB na faixa entre 4 e 20 MHz pode ser superado pelo equilbriodo sistema de detec~ao, n~ao impondo problemas a medida de feixes gemeos no OPO.

4.6 Montagem do OPO

Usando a congurac~ao descrita no captulo anterior para o casamento de modo do feixe, pas-samos a montagem do OPO, como mostrado na gura 4.14. O laser e o Nd:YAG bombeadoa diodo Lightwave 142, dobrado, 532 nm, 200 mW CW. Em sua sada temos um controle depotencia estabelecido por uma lamina de meia onda e pelo cubo polarizador da entrada do Iso-lador Otico. Este e composto por um rotator de Faraday (FR) e um segundo cubo polarizadorna sada.

A rejeic~ao do feixe de retorno da cavidade foi maximizada pelo angulo entre os dois cubospolarizadores. Para maximizar esta rejeic~ao, o feixe injetado na cavidade e re etido pelo espelhode acoplamento. Devido ao acordo de modo, este retorna com o tamanho e forma aproximadosdo feixe de bombeio injetado na cavidade, conforme vericamos com o uso de ris colocadas aolongo do caminho.

Empregando uma baixa potencia incidente sobre a montagem (controlada por W1), usamosuma lamnula na, colocada entre o isolador e o laser, re etindo o feixe de retorno transmitidoatraves do isolador otico no sentido inverso. Giramos ent~ao cuidadosamente o cubo de sadapara suprimir este feixe.

Este metodo mostrou-se mais eciente do que o ajuste pela colocac~ao do isolador no sentidoinverso na sada do laser, quando a rejeic~ao obtida n~ao era t~ao boa. Uma possvel raz~ao seriaa forma do feixe, e sua divergencia dentro do isolador otico. O fato e que com o ajuste pelarejeic~ao do isolador invertido, o laser se mostrou instavel quando ocorriam interrupc~oes no feixeincidente sobre a cavidade. Ao bloquearmos o bombeio por um absorvedor inserido entre oisolador e o espelho de entrada, o laser desligava e tomava um longo tempo ate se estabilizarnovamente. Tal fato ocorria justamente devido a um retorno residual de luz sobre o laser, oqual ao ser variado desestabiliza seu sistema interno de controle, desligando-o. Tal problemadeixou de ocorrer ao fazer o ajuste descrito no paragrafo anterior.

A segunda lamina de meia onda (W2) ajusta a polarizac~ao de entrada do feixe de bombeio,horizontal, para a polarizac~ao extraordinaria do cristal. As lentes L1 e L2 formam o telescopioanteriormente descrito para realizac~ao do casamento de modo do laser de bombeio com a cavi-dade. Os espelhos M1 e M2 tem a func~ao de permitir o facil alinhamento do laser sobre osespelhos da cavidade. E importante que o feixe atravesse o centro dos elementos oticos, quedevem estar devidamente alinhados. No caso das lentes, tal procedimento reduz efeitos de aber-rac~ao e consequente distorc~ao da forma do feixe. Para os espelhos da cavidade, a incidenciafora do centro ira provocar a variac~ao na transmitancia efetiva dos lmes depositados, umavez que estes foram projetados para uma incidencia perpendicular. Por outro lado, a distorc~aona forma do feixe ao atravessar o substrato plano concavo fora do centro e notavel, e reduz oacoplamento ao modo da cavidade.

As lentes tem tratamento antire etor, assegurando uma transmiss~ao de 99 %. Os espelhos


L2

M 2

DM

OPO

VIS

S A

W 3

PBS1

+ /-

PBS2

IR

IR

W 2

M 1

F RLASER

W 1 L1

Figura 4.14: Montagem completa do OPO.

dieletricos de banda larga possuem re ectancia R > 99% em ambas polarizac~oes de incidencia.As perdas totais entre a sada do laser e a entrada da lente L2 totalizam 15 %. As lentes s~aomontadas em transladadores xy, permitindo centra-las com precis~ao. A lente L2 possui aindaum transladador z, usado para colocar o feixe no centro da cavidade e otimizar o casamento demodo.

A cavidade e formada pelos espelhos adquiridos montados atraves de suportes de PVC aum par de \gimbals" com parafusos micrometricos. O espelho de sada e acoplado a um PZT(P-306.00, Physik Instrumente), de centro vazado, o qual opera com uma tens~ao maxima de1000 V e um deslocamento de 10 nm/V. Estes \gimbals" est~ao presos a transladadores z, quepermitem deslocar o espelho ao longo do feixe para otimizar o tamanho da cavidade.

O cristal e preso a um \gimbal" simples, montado em uma peca de cobre na qual temos umaresistencia e um termopar proximo ao cristal. Atraves deles controlamos a temperatura, usandoum controlador comercial. Neste caso, temos um controle entre 20 e 200 ÆC, com precis~ao de 0,1ÆC. O aquecimento do cristal e feito lentamente, variando sua temperatura a uma taxa menorque 1ÆC/min, de modo a evitar danos ao cristal por variac~oes muito rapidas de temperatura.O conjunto esta montado em um transladador xyz para posicionar o cristal na cavidade, ouretira-lo para alinhamento previo da otica. Normalmente alinhamos a cavidade sem o cristal,e otimizamos a nesse e o casamento de modo da cavidade, eliminando totalmente os modostransversos mpares, restando apenas alguns modos de simetria circular. Em seguida inserimoso cristal, o qual e alinhado de forma a recuperar a qualidade da cavidade pela inclinac~ao dos

4.7. PRIMEIRA MONTAGEM 85

seus eixos. Nesta condic~ao, temos uma incidencia perpendicular do bombeio sobre o cristal.Isto indica ainda o paralelismo das faces do cristal, uma vez que sua introduc~ao n~ao leva aodesvio do feixe, se corretamente alinhado. A mudanca do comprimento efetivo da cavidade levano nal a uma eliminac~ao dos modos transversos restantes, ocorrendo um casamento de modootimo entre o bombeio e a cavidade.

A polarizac~ao da sada do OPO e controlada atraves de uma lamina de meia onda para1064 nm (W3), na qual temos uma perda de 1% por re ex~oes. A separac~ao entre as polar-izac~oes horizontal e vertical e feita atraves de dois cubos polarizadores (modelo 10BC16PC.9da Newport). Cada cubo apresenta uma relac~ao de extinc~ao na polarizac~ao transmitida de1:1000. A transmiss~ao da polarizac~ao horizontal e de 95 %, com perda de 0,25 % por face docubo (re ex~ao). O feixe re etido e verticalmente polarizado, com uma re ex~ao de 99,8%. Noentanto, como a re ex~ao possui ainda um resduo de feixe horizontal (algo em torno de 5 %)empregamos um segundo cubo a 90 Æ para eliminar toda a contribuic~ao de polarizac~ao horizon-tal. As lentes dos detetores de infravermelho possuem tratamento antire etor (\coating" AR)reduzindo portanto para 1 % suas perdas em 1064 nm.

Sendo o cubo polarizador PBS1 otimizado para 1064 nm, ele n~ao re ete uma quantidadeapreciavel de luz verde para o detetor, sendo ela transmitida em sua quase totalidade. O espelhodicroico apresenta uma alta re ex~ao para 1064 nm (> 99; 5%) e uma transmiss~ao de 80 % para532 nm.

Os feixes residuais de luz verde incidentes sobre os detetores de IR (Epitaxx ETX300T)facilitam o seu posicionamento, feito atraves de transladadores xy. Eles n~ao afetam signica-tivamente a fotocorrente medida pelo detetor pois sua eciencia e muito baixa em 532 nm e acontribuic~ao deste comprimento de onda a fotocorrente e desprezavel.

O feixe verde transmitido pelo espelho dicroico incide sobre o detetor para o visvel (Thor-labs PDA 55), o qual mede um amostra da potencia de 532 nm intracavidade, transmitida peloespelho de sada. Este feixe apresenta uma potencia muito baixa, sendo no entanto extrema-mente util aos procedimentos de alinhamento e teste da cavidade.

Descrita a montagem, vamos vericar as duas congurac~oes estudadas. Na primeira, bus-camos fazer um OPO de baixo limiar, o qual pode ser estabilizado para uma operac~ao contnua.Como demonstramos, nesta situac~ao a baixa eciencia na sada impedia a observac~ao de cor-relac~oes quanticas entre os feixes sinal e complementar. Na segunda montagem, a otimizac~aoda eciencia levou a um aumento do limiar de oscilac~ao. Este aumento do limiar impediu aestabilizac~ao da cavidade para realizar a medida de feixes gemeos de modo contnuo. Desen-volvemos, no entanto, uma tecnica que permite que durante os curtos intervalos de operac~ao doOPO fosse feito um registro simultaneo da fotocorrente e suas utuac~oes, permitindo a normal-izac~ao do rudo instantaneamente pela intensidade, recuperando a informac~ao do \shot noise"e observando a compress~ao.

4.7 Primeira Montagem

Usando dois espelhos de alta re ex~ao para 1064 nm, confeccionados pela Ocina de Optica deS~ao Carlos, realizamos a primeira montagem do OPO. Realizamos um cuidadoso alinhamento dacavidade, mantendo o cristal a uma temperatura controlada de 30ÆC. Omelhor valor obtido para


o limiar foi de 4 mW. Com um alinhamento extremamente cuidadoso dos espelhos obtivemosuma nesse no bombeio F = (15,2 0,3) sendo que qualquer desalinhamento posterior dacavidade aumentava este limiar, mantendo-o no entanto em valores razoaveis para operac~ao(entre 10 e 20 mW).

Uma vez obtida a oscilac~ao, os picos de ressonancia do verde apresentavam os sinais dedeplec~ao, como vemos na gura 4.15. Temos neste caso a varredura do comprimento da cavidadeatraves da aplicac~ao de uma rampa de tens~ao no PZT. Podemos maximizar o sinal medidonos detetores de infravermelho D1 e D2, inicialmente posicionados pelo resduo de luz verdetransmitido pela cavidade.

Ao passar por uma ressonancia do bombeio, notamos que a partir de um certo valor depotencia, ocorre a deplec~ao na intensidade do sinal de 532 nm dentro da cavidade. Nesteponto, temos a oscilac~ao parametrica, e a potencia intracavidade e limitada pelo valor dado naequac~ao 3.33. Aumentando a potencia de bombeio, vemos surgir novos picos.

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5

80 mW

48 mW

16 mW

Saída (Sinal + Complementar)

Tempo (ms)

Bombeio

Figura 4.15: Gerac~ao do sinal no OPO para diferentes potencias de bombeio. Potencia trans-mitida para bombeio e potencia de sada sinal + complementar normalizadas pela potencia deentrada.

Na gura, as amplitudes s~ao normalizadas pela potencia de bombeio. A limitac~ao dapotencia de bombeio intracavidade na condic~ao de oscilac~ao e visvel pelo aumento da deplec~ao.A intensidade medida no ponto de deplec~ao n~ao varia, ainda que aumentemos a potencia debombeio.

Pela amplitude dos picos, medimos a potencia dos feixes sinal e complementar geradaspela deplec~ao do bombeio. Obtivemos assim a resposta do OPO, como vemos na gura 4.16.Neste caso, mostramos ainda o ajuste da equac~ao 3.43, em excelente acordo com os resultados


0 20 40 60 80 100 120 140 1600,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Pth=(34,6 ± 0,6) mWη

max= (0,841 ± 0,005)%

Po

tên

cia

de

Sa

ída

(m

W)

Potência de bombeio (mW )

Figura 4.16: Potencia total de sada em func~ao da potencia de bombeio.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

Re

nd

ime

nto

(P

ou

t/Pin)

P o tência de bom beio (m W )

Figura 4.17: Eciencia de convers~ao do OPO.


experimentais.A eciencia de convers~ao do OPO pode ser vista na gura 4.17. Como vemos, o limiar de

oscilac~ao obtido apos o uso prolongado do cristal, e sua consequente degradac~ao, foi de 30 mW,com uma eciencia baixa, na ordem de 0,8 %. Levando em considerac~ao as perdas intracavidadesmedidas pela nesse e a transmitancia do espelho de entrada, temos 0 = (43 3)%. Isto nosleva a um fator = (2; 0 0; 2)%. Trata-se de um valor muito baixo para esperarmos algumefeito quantico de correlac~ao, como vemos na equac~ao 3.91.

Apos a caracterizac~ao do OPO, passamos a estabilizac~ao da cavidade e a medida da cor-relac~ao de intensidade entre os feixes sinal e complementar.

4.7.1 Estabilizac~ao da cavidade

Na estabilizac~ao da cavidade Fabry-Perot na ressonancia, temos diversas possibilidades. Umadelas e estabiliza-la diretamente no pico de ressonancia, o que e feito com a ajuda da modulac~aoda frequencia do laser ou do comprimento da cavidade por um sinal de frequencia f determinada.Esta tecnica e conhecida como Pound-Drever-Hall [97].

+V

-V

R1

R2

R3

R4

R5

C1

Ao Amplificador

do PZTR6

R1=10 KΩ R2=R3=2,2 KΩR4=4,7 KΩ R6=10 KΩR5=1 a 47 KΩ C1= 1 a 1000 nF

Todos os amplificadores de uso geral (ex. 741 ou OP27) comalimentação simétrica.

Figura 4.18: Circuito do amplicador de realimentac~ao.

Desse modo, atraves de uma detec~ao sncrona da intensidade transmitida da cavidade como sinal de referencia aplicado, podemos obter a derivada da curva de ressonancia da cavidade.Essa derivada nos fornece a rampa, com nvel DC em zero, que podemos usar para estabilizar acavidade atraves de um amplicador que realimenta esta sinal, injetando-o na fonte que controlao PZT.


Esta montagem, no entanto, apresentou algumas desvantagens. Este sistema e bem estavelpara manter o sinal na ressonancia, sendo usado para manter a cavidade ressonante para osfeixes sinal e complementar. Porem, se ha uma variac~ao no limiar de oscilac~ao, a intensidadedo feixe ira variar. Como no caso da medida de feixes gemeos n~ao ha necessidade de manter acondic~ao de ressonancia para observar as correlac~oes, e mais confortavel realizar a estabilizac~aona lateral do pico do que na sua ressonancia. Com isso, ganha-se em estabilidade de intensidade.

Nesta situac~ao, emprega-se a rampa lateral do pico de ressonancia para realizar a estabi-lizac~ao. E o proprio sinal do detetor que, subtrado de uma tens~ao de referencia, sera realimen-tado no controlador do PZT, conforme o esquema apresentado na gura 4.18, onde um ltropassa-baixa limita o ganho a partir de uma frequencia de corte f = 1=(C1 R5) estabelecidaempiricamente na operac~ao do sistema. Com isto, impede-se que o sistema eletronico entre emoscilac~ao por realimentac~ao positiva em uma dada faixa de frequencias.

A sada do circuito e enviada a um amplicador de alta tens~ao, que realiza o controle doPZT. Temos assim a operac~ao estavel durante alguns minutos, saindo o OPO da ressonanciadevido a vibrac~oes mecanicas ou variac~oes na temperatura do cristal, que deslocam a posic~aorelativa dos picos de ressonancia do sinal e do bombeio.

Com esta estabilizac~ao foi possvel realizar a medida do rudo dos feixes sinal e complementardo OPO, como veremos a seguir.

4.7.2 Medida de correlac~ao de rudo

Fazendo uma estabilizac~ao atraves do circuito de realimentac~ao direta obtivemos uma sadaestavel por varios minutos. A separac~ao dos feixes sinal e complementar foi feita pela orientac~aoda lamina de meia onda W3 (gura 4.14). Nesta condic~ao, zemos a vericac~ao da medida derudo da diferenca de intensidade entre os feixes, comparando-a ao nvel de \shot noise". Este eobtido girando a lamina de modo que os feixes estivessem misturados em cada braco do sistemade detec~ao.

O resultado obtido e mostrado na gura 4.19. Os ajustes do Analisador de Espectro naexecuc~ao dessa medida foram: Largura de banda do ltro: (RBW) = 300 kHz; Largura debanda do vdeo: (VBW) = 3 kHz; Tempo de varredura: (TS) = 50 ms.

A potencia de sada do OPO era Pout = (0; 75 3)mW . Pela leitura no goniometro dosuporte da lamina, temos a separac~ao entre os feixes para um angulo de 112,5Æ, e a 67,5Æ temosum giro de 90Æ nas suas polarizac~oes, de modo que os feixes sinal e complementar trocamde detetor. Para um angulo de 90Æ, temos a mistura dos feixes, de modo que os detetoresrecebem cada um deles metade da intensidade do feixe sinal e metade da intensidade do feixecomplementar. Observe que estamos 5 dB acima do rudo de fundo eletronico, o qual pode serdescontado na medida da compress~ao.

Conforme vemos no graco, a correlac~ao de intensidade dos feixes iguala-se ao \shot noise".Como vimos na teoria, isso n~ao e de se estranhar, posto que nosso OPO apresenta uma ecienciamuito baixa.

De fato, considerando que o espelho de acoplamento apresenta uma transmitancia medidade (19,0 0,5) %, e que temos perdas da ordem de 2,9 % no cristal (medida atraves das nessesda cavidade com e sem o cristal), temos 0 = (0; 43 0; 03)%. Como max = 0 = 0; 84%,temos = (2; 0 0; 2)%. Este baixo valor deve-se as perdas no cristal e a baixa transmitancia


5 6 7 8 9 10-86

-85

-84

-83

-82

-81

-80

-79

-78

Ângulo da lâm ina λ /2 112,5º 90º 67,5º E letrônico

Ru

ído

(d

Bm

)

F requência (MHz)

Figura 4.19: Medida do \shot noise" e da correlac~ao de intensidade.

do espelho de sada, alem da difrac~ao do feixe pelas irregularidades de superfcie.

Uma vez que a compress~ao maxima da correlac~ao de intensidade sera S = 1 , n~ao espe-ramos uma compress~ao no rudo abaixo de 98 % do nvel de \shot noise". Isto esta claramenteaquem do que a resoluc~ao dos dados obtidos permite observar.

E importante lembrar ainda que a compress~ao varia com uma lorentziana, caindo a metadepara uma frequencia de analise igual a largura de banda da cavidade. No nosso caso, comotemos um intervalo espectral livre (FSR) de 7 GHz, a largura de banda para o sub-harmonicosera de 35 MHz, muito alem das frequencias que usamos para analise, de modo que esta n~aoseria uma limitac~ao na medida.

Com esta montagem, observamos a medida do \shot noise", e vericamos que, ainda queos feixes sinal e complementar sejam individualmente superpoissonianos, a diferenca de inten-sidades corresponde ao \shot noise", posto que eles s~ao classicamente correlacionados.

Podemos vericar isso pela medida do nvel de rudo no Analisador de Espectro na somae na subtrac~ao das utuac~oes das fotocorrentes. Verica-se ainda se a montagem eletronicarejeita com sucesso o excesso de rudo nas intensidades. Caso isso n~ao ocorra, n~ao e possvelobservar qualquer compress~ao de rudo.

O espectro de rudo na sada do OPO e mostrado na gura 4.20. Observe que o rudo de sadacai ao nvel de \shot noise" apenas para frequencias acima de 35 MHz. Isto e esperado devidoao comportamento do laser, o qual apresenta excesso de rudo em ampla faixa do espectro.Este excesso de rudo n~ao deve afetar as medidas de correlac~ao, desde que a rejeic~ao em modocomum (CMRR) da instrumentac~ao supere a amplitude deste excesso. Como o valor tpico deCMRR e superior a 20 dB, podemos trabalhar tranquilos para frequencias de analise acima de2,5 MHz, afastando-nos do pico de rudo do bombeio em 2 MHz.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-90

-85

-80

-75

-70

-65

-60

-55

Soma Subtração Eletrônico

Ru

ído

(d

Bm

)

Frequência (MHz)

8 12 16 20 24 28 32 36 40-85

-84

-83

-82

-81

-80

-79

-78

-77

-76

-75

-74


Ru

ído

(d

Bm

)

Frequência (MHz)

Figura 4.20: Rudo de intensidade dos feixes de sada do OPO (sinal e complementar) emdiferentes faixas de frequencia.


Conclumos ent~ao o procedimento para a montagem do OPO, observando a correlac~ao emintensidade dos feixes sinal e complementar, que apresentam utuac~oes de intensidade classica-mente iguais, como os feixes obtidos na divis~ao de um laser em um divisor de feixe balanceado.Os feixes produzidos tem um equilbrio de intensidades melhor que 5%. Desde que o bombeiopossa ser mantido acima do limiar, por pelo menos um fator 2, a estabilizac~ao pode ser realiza-da, mantendo-se a oscilac~ao durante alguns minutos. Isto e tempo suciente para a aquisic~aodos dados de rudo do OPO.

No entanto, observa-se uma degradac~ao do cristal, coerente com o efeito de \gray-tracking"produzido pelo bombeio. Ainda que no presente caso esta degradac~ao n~ao impeca a oscilac~ao,veremos como ela se torna um fator limitante na proxima parte de nosso estudo.

4.8 Segunda Montagem

Substituindo o espelho de sada da montagem anterior por um espelho com uma transmiss~aomais alta para o infravermelho, buscamos uma montagem com uma eciencia maior de con-vers~ao, procurando com isso obter a correlac~ao quantica nas intensidades dos feixes gerados.

Nesta situac~ao, obtivemos um valor otimo para o limiar de 60 mW. Com os parametrosmedidos de nesse da cavidade sem cristal (30,8 0,2) e da nesse com cristal (24,2 0,8),estima-se uma perda de 2,8 % no meio n~ao-linear, coerente com os valores medidos inicialmentepara 532 nm.

Observando o pico da ressonancia do bombeio, vemos claramente o carater quadratico dapotencia de bombeio intracavidade na regi~ao de deplec~ao (gura 4.21), de acordo com a descric~aoda equac~ao 3.33 para a dessintonia dos modos sinal e complementar. Vemos ainda que, devidoao estreitamento do pico de ressonancia do bombeio, temos apenas um modo ressonante dosinal coincidindo com a ressonancia do bombeio.

Atraves de uma serie de medidas semelhantes obtidas para diferentes potencias de entrada,repetimos as medidas de eciencia e potencia de sada realizadas na montagem anterior. Oajuste para a potencia de sada em func~ao da potencia de entrada e mostrado na gura 4.22.Considerando o valor estimado de 0 = (0; 76 0; 03), obtido a partir da medida da nesse dacavidade, e o valor ajustando de max = 0 = (37; 5 1; 7)%, devemos esperar neste caso umvalor maximo de compress~ao S = 1 = (0; 49 0; 03) = 3; 1dB.

Esperamos neste caso vericar a correlac~ao quantica entre as intensidades de sada para oOPO estabilizado. No entanto, ao mantermos o cristal na ressonancia durante algum tempo, oaumento da absorc~ao desta provocado pelo efeito de \gray tracking" faz subir o limiar ate umvalor de 120 mW. Nesta condic~ao, n~ao e possvel estabilizar o OPO, como veremos a seguir.

4.8.1 Degradac~ao do cristal

Em nossas medidas foi frequente observar que, uma vez obtido um limiar baixo em uma condic~aodinamica de varredura da cavidade atraves do PZT, este aumentava quando a cavidade eraestabilizada, levando ao desaparecimento dos picos de ressonancia da oscilac~ao do OPO. Foramsugeridas duas possveis causas para tais efeitos. Uma delas seria a degradac~ao do tratamentoanti-re exivo depositado na superfcie do cristal, e o outro a propria degradac~ao do material.

4.8. SEGUNDA MONTAGEM 93

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

3,2Sinal +

ComplementarBombeio

Inte

nsid

ade

(un.

arb

.)

Tempo (ms)

Figura 4.21: Pico de ressonancia do bombeio para a segunda montagem, mostrando a oscilac~aodo OPO. Potencia de bombeio = 160 mW.

Com relac~ao ao \coating", o cristal foi submetido a exame no microscopio otico, n~ao apre-sentando danos conclusivos, que pudessem ser claramente atribudos ao feixe. Solicitamos asubstituic~ao do cristal ao fabricante, que por usa vez nos remeteu uma nova peca com ca-ractersticas oticas semelhantes. Nas condic~oes de operac~ao, temos uma intensidade maximaintracavidade de 150 kW/cm2 tanto no bombeio quanto no feixe gerado. Esta n~ao seria su-ciente para provocar dano ao \coating" segundo as informac~oes do fabricante.

Em novos testes, somos levados a crer que o problema ocorre no corpo do cristal, pelaformac~ao de defeitos conhecidos como "gray tracking". Uma das origens deste defeito esta naformac~ao de centros de cor por ons de Ti+3, gerados pelo feixe de 532 nm. Sua ocorrencia e am-plamente relatada no regime pulsado [84, 88, 89], e mais recentemente, em regime contnuo [90].Este tipo de defeito altera as propriedades oticas do cristal na regi~ao visvel levando ao aumentode sua absorc~ao. No entanto, parece afetar muito pouco a absorc~ao no infravermelho.

Outra caracterstica e a sua dependencia com a temperatura. Em certos casos [84], umavez que o defeito e formado, ele pode ser eliminado atraves do aquecimento do cristal por umperodo longo de tempo. O aquecimento parece tambem prevenir o surgimento dos defeitos,inibindo assim o aumento da absorc~ao. Sua formac~ao dependera da pureza do cristal, sendoque cristais de baixa qualidade podem comecar a apresentar este defeito em 26 kW/cm2 (CW),subindo este limite para 125 kW/cm2 em amostras de melhor qualidade.

Uma demonstrac~ao da ocorrencia da degradac~ao no cristal empregado pode ser vista nagura 4.24, onde mostramos o pico de ressonancia obtido pela aplicac~ao de uma rampa positivade tens~ao ao PZT acoplado ao espelho, variando o comprimento da cavidade. Na parte superiordo graco, temos dois picos de ressonancia do sinal nos quais ocorre a oscilac~ao, e um terceiropico vestigial. No graco inferior, o mesmo resultado apos mantermos a cavidade na ressonanciado bombeio por alguns minutos com uma potencia de 150 mW de entrada. Observa-se um


60 80 100 120 140 1600

10

20

30

40

50

60

Pth

= (59,3 ± 2,1) m Wη

m ax = (37,5 ± 1,7) %

Po

tên

cia

de

Sa

ída

(m

W)

Potência de Bom beio (m W )

Figura 4.22: Potencia de sada em func~ao do bombeio.

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 1600,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Pth = (59,3 ± 2,1) mW

ηmax

= (37,5 ± 1,7) %

Re

nd

ime

nto

(P ou

t/Pin)

Potência de bombeio (mW )

Figura 4.23: Eciencia de convers~ao.


-3 ,4 -3 ,2 -3 ,0 -2 ,8 -2 ,6 -2 ,4 -2 ,2 -2 ,00

2

4

6

T (m s)

Inte

ns

ida

de

(u

. a

.)

0

2

4

6

B om be io S ina l + id le r

Figura 4.24: Degradac~ao no cristal. Rampa positiva.

-1,6 -1,4 -1,2 -1,00

2

4

6

T (ms)

Inte

nsi

da

de

(u

. a

.)

0

2

4

6

Bombeio Sinal + idler

Figura 4.25: Degradac~ao no cristal. Rampa negativa.


alargamento do pico, em consequencia do aumento das perdas na cavidade. O aumento daassimetria do pico de ressonancia indica o aquecimento do cristal pela absorc~ao do feixe debombeio. O efeito de absorc~ao no KTP se manifesta por uma biestabilidade termica importante,que afeta tambem a estabilizac~ao da cavidade [15, 98].

O pico de oscilac~ao do OPO sofre uma importante queda na amplitude devido aos efeitostermicos. Uma raz~ao para isso e a queda na nesse do bombeio, levando a uma reduc~ao napotencia intracavidade e a um aumento do limiar de oscilac~ao.

O mesmo efeito pode ser visto na rampa negativa de tens~ao aplicada ao PZT (gura 4.25),onde o pico de oscilac~ao simplesmente desaparece apos a degradac~ao do cristal.

Tentamos, sem sucesso, estabilizar a cavidade mantendo o cristal aquecido a 150ÆC naesperanca de evitar o aumento da absorc~ao pelo seu aquecimento. N~ao obtivemos sucessotampouco com o aquecimento prolongado da amostra, que apos ser mantida a uma temperaturade 180ÆC por varias horas n~ao apresentou uma reduc~ao da absorc~ao, como fora obtido paradefeitos produzidos em regime pulsado na ref. [84].

O aumento da absorc~ao e imediatamente vericado pela reduc~ao da nesse da cavidade,a qual e medida com uma velocidade de varredura maior que a empregada nos gracos paraminimizar os erros devido aos efeitos de biestabilidade termica. Esta recupera seu valor originalao deslocarmos o cristal perpendicularmente ao eixo da cavidade sem alterar sua orientac~ao, oque mostra o carater local dos defeitos gerados.

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

Po

tên

cia

(m

W)

Tempo (ms)

Figura 4.26: Degradac~ao do sinal no tempo.

As tentativas de estabilizac~ao resultavam em perodos curtos de oscilac~ao. Quando mant-nhamos a cavidade ressonante, o sinal se mantinha por algumas dezenas de ms antes que eledesaparecesse, com um aumento do valor de limiar de oscilac~ao devido ao aumento da absorc~ao


no verde (gura 4.26).

N~ao era possvel portanto agir como no caso anterior, onde estabilizamos a cavidade eobservamos as utuac~oes medindo o espectro de potencia do rudo em diferentes orientac~oes dalamina de meia-onda. Durante o curto perodo de estabilidade podemos fazer no maximo umavarredura do Analisador de Espectro, n~ao sendo possvel relancar a medida sem o deslocamentodo cristal para uma nova posic~ao.

Apesar dos problemas causados, a medida da compress~ao de rudo ainda era possvel. Mesmon~ao tendo uma sada estavel, podemos medir simultaneamente a fotocorrente do detetor, fazendouma medida em sincronia da intensidade e da potencia do rudo. A normalizac~ao deve recuperaro nvel de \shot noise" ou a compress~ao, como veremos a seguir.

4.8.2 Detec~ao simultanea

Apesar da impossibilidade de fazer uma medida no regime estavel, podemos fazer a aquisic~aosimultanea do valor medio da fotocorrente e da potencia de rudo na sada do subtrator. Nor-malizando esta ultima pela fotocorrente medida podemos recuperar o nvel de referencia (\shotnoise") e observar a compress~ao com a correta separac~ao entre sinal e complementar.

Para isso, mantivemos o Analisador de Espectro e o Osciloscopio Digital ligados a um sinalde disparo (trigger) externo, gerado a partir do nvel DC da sada dos fotodetetores (gura 4.27).A sada do detetor e discriminada por um comparador (Comp), que ira ao nvel alto quando onvel de tens~ao ultrapassar um certo valor de referencia pre-estabelecido. A sada digital (TTL)e conectada ao trigger do osciloscopio e do Analisador de Espectro, que devem estar conguradospara adquirir os pontos no mesmo intervalo de tempo. Vale lembrar que o Analisador adquire601 pontos, enquanto que o osciloscopio pode ser ajustado para uma serie de 1000 pontos.Devemos ajustar para que cada ponto adquirido corresponda ao mesmo intervalo de tempo,podendo fazer uma correlac~ao instantanea entre os dois sinais.

Com isso pudemos fazer um registro simultaneo das utuac~oes e da fotocorrente, correla-cionando a cada instante de tempo as duas medidas de modo a normaliza-las. As medidas dagura 4.28 foram obtidas com o Analisador de Espectro em modo Zero-span, com F = 10 MHz,RBW = 300 kHz, VBW = 30 kHz e TS = 30 ms. Vale lembrar que a largura do ltro de vdeoe do ltro de resoluc~ao do Analisador de Espectro devem ser ajustados de forma a permitir quea medida em cada ponto n~ao guarde a informac~ao do ponto anterior, o que afeta a validade damedida. Por isso, devemos ter VBW > 601/TS .

A potencia de rudo, alem de cair no tempo, sofre uma grande utuac~ao. Em regimeestavel, costuma-se trabalhar com o valor medio deste rudo, medido pelo proprio Analisadoratraves do uso de um valor baixo de VBW. No entanto, n~ao podemos fazer aqui mais que umaunica varredura, limitando o valor de VBW pelo tempo de varredura TS. Por isso, devemostratar a estatstica do rudo normalizado para obter assim o nvel medio e a incerteza do valormedio de rudo. Como vemos na gura 4.29, a distribuic~ao do rudo normalizado n~ao variade forma visvel ao longo do tempo, dentro da dispers~ao de valores. A dispers~ao, por sua vez,parece aumentar, devido a maior in uencia do rudo eletronico quando o rudo medido cai deintensidade. Sendo sua distribuic~ao aproximadamente gaussiana (gura 4.30), podemos trata-locomo uma distribuic~ao normal, e usar o seu valor medio e sua incerteza para nossas medidas.

Demonstra-se ent~ao a aplicac~ao da medida simultanea da potencia do rudo e da intensidade


D1

D2

Analisadorde

Espectro

HF

HF

Oscilos-cópioDigital

+/-

+Comp.

-

Trig.

Trig.

VREF

Figura 4.27: Sistema eletronico para medida simultanea do rudo e da intensidade do feixe. Osamplicadores de transimpedancia s~ao embutidos na caixa do fotodetetor.

do feixe, obtendo assim o rudo normalizado. Repetindo a medida ponto a ponto, para diferentescongurac~oes do sistema, e deslocando o cristal cada vez que a degradac~ao impedia a oscilac~ao,pudemos vericar a existencia de feixes gemeos no OPO aqui montado. O valor de compress~aoconcorda com os valores previstos a partir da medida da eciencia do OPO.

4.9 Correlac~ao quantica de rudo

Inicialmente, durante os curtos intervalos de tempo no qual o OPO se mantem estavel, reali-zamos uma medida do excesso de rudo do OPO. Na gura 4.31 vemos a medida da utuac~aode intensidade, obtida durante este curto perodo de estabilizac~ao (RBW = 300 kHz, VBW =3 kHz, TS = 120 ms). Desta medida, observamos que novamente ha um excesso de rudo naintensidade dos feixes de sada, porem como este excesso e menor que 20 dBm acima do nvelde \shot noise" para frequencias maiores que 8 MHz, ele pode ser superado pela eletronica namedida de correlac~ao.

Conando ent~ao na capacidade de nosso sitema de detec~ao em eliminar o excesso de rudona subtrac~ao dos sinais, repetimos o processo de aquisic~ao simultanea descrito anteriormente.Fizemos esta medida do rudo para diversos angulos da lamina de meia-onda, desse modoseparando ou misturando os feixes sinal e complementar em cada detetor. Com isso, pudemosobservar a correlac~ao de intensidade entre os feixes com uma utuac~ao abaixo do nvel de \shotnoise".

Uma primeira vericac~ao consistiu em buscar a maxima separac~ao entre os feixes sinal ecomplementar e vericar se a compress~ao do rudo normalizado sofre degradac~ao com a aten-uac~ao dos feixes pela inserc~ao de ltros de densidade neutra. Na gura 4.32 vemos que o rudonormalizado aumenta linearmente com a absorc~ao inserida. Sendo N a utuac~ao normaliza-

4.9. CORRELAC ~AO QUANTICA DE RUIDO 99

0 5 10 15 20 25 30

-88

-84

-80

-76

-72

-68

Tempo (ms)

Ruí

do (

dBm

)

0

4

8

12

16

20

Pot

ênci

a (m

W)

Figura 4.28: Aquisic~ao simultanea da fotocorrente e das utuac~oes de rudo. Em cinza claro,vemos a potencia de rudo eletronico (de -85 dBm em media).

0 5 10 15 20 25 30-90

-88

-86

-84

-82

-80

-78

-76

-74

-72

Ruí

do (

dB)

Tempo (ms)

Figura 4.29: Rudo normalizado.


-90 -85 -80 -75 -70 -650

20

40

60

80

100

Ruído (dB)

Figura 4.30: Distribuic~ao da potencia normalizada de rudo.

da, temos que [40] N = 1 + (N0 1)T , onde N0 e a utuac~ao do estado comprimido e T atransmitancia do ltro inserido. Pelo ajuste obtido para uma serie de tres valores de atenuac~aoconclumos que a compress~ao obtida foi de -1,8 dB nesta congurac~ao, e que a compress~aodo rudo da subtrac~ao das intensidades corresponde a um estado comprimido. Esta medidan~ao corresponde a maxima compress~ao, como pode ser visto na gura 4.33, onde mostramosa compress~ao a diferentes angulos da lamina de meia-onda. A maxima separac~ao dos feixescorresponde a 0, 90 e 180Æ. A medida realizada com o atenuador foi feita para um angulo de100Æ.

Vericamos como varia a utuac~ao normalizada a medida que misturamos os feixes sinale complementar pelo giro da lamina de meia onda. O resultado, mostrado na gura 4.33,demonstra uma compress~ao maxima de -2,15 dB, obtida na maxima separac~ao entre os feixes.

Nota-se ainda a dependencia senoidal na compress~ao, a medida que os feixes sinal e comple-mentar s~ao sucessivamente misturados ou separados pela lamina de meia onda. Podemos com-parar o valor medido de compress~ao com o valor esperado a partir da medida de . Considerandoque ha uma perda de 9,3 % na otica envolvida, e que pelos dados do fabricante o detetor possuiuma eciencia quantica de 89,4 %, temos uma eciencia quantica total na detec~ao de 81,1 %.Fazendo esta correc~ao, o valor de real do rudo normalizado e N = (0; 52 0; 02) = 2; 8dB.Este valor esta de acordo com o esperado (N = 1 = (0; 49 0; 03) = 3; 1dB).

Vemos portanto que o OPO construdo fornece dois feixes macroscopicos com uma correlac~aoquantica em suas intensidades. Ainda que n~ao possa ser feita uma medida em regime contnuo,as correlac~oes em intensidade podem ser medidas no sistema de medida para o regime quase-contnuo desenvolvido [15].

4.9. CORRELAC ~AO QUANTICA DE RUIDO 101

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

-84

-80

-76

-72

-68

-64

-60

-56

-52

-48

-44

-40


Ru

ído

(d

Bm

)

Frequência (MHz)

Figura 4.31: Espectro de rudo.

Ha ainda a possibilidade de melhorarmos a medida se estabilizarmos o OPO. Por raz~oesde alinhamento, optamos por uma cavidade confocal. Na realidade a eciencia de convers~aopode ser ainda melhorada se nos aproximarmos da concentricidade. Se pudermos fazer umacavidade quase concentrica, respeitando a otimizac~ao proposta por Boyd e Kleinman [91] para ocomprimento de Rayleigh, poderemos ganhar no limiar de oscilac~ao. O OPO neste caso poderaainda apresentar a degradac~ao, porem pode ser estabilizado desde que o limiar n~ao se aproximeda potencia maxima de bombeio disponvel.

E ainda curioso notar que, durante a medida do rudo, a degradac~ao do sinal n~ao levou avariac~ao do valor medio do rudo. Esta e uma evidencia de que o efeito de \gray tracking"aumenta a absorc~ao no verde sem afetar signicativamente a absorc~ao no infravermelho. Seo zesse, o aumento da absorc~ao se traduziria por uma variac~ao signicativa no valor de ,alterando a compress~ao do rudo na correlac~ao de intensidade dos feixes gemeos.

Iremos no proximo captulo tratar da compress~ao de rudo no feixe re etido por uma cavi-dade. Esta experiencia foi feita durante a colaborac~ao com o grupo do Laboratoire KastlerBrossel em Paris.


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

Para rotação de 100 graus:S = 0,666 ± 0,028

Ruí

do N

orm

aliz

ado

Transmitância

Figura 4.32: Degradac~ao da compress~ao por ltros de densidade neutra.

0,0 22,5 45,0 67,5 90,0 112,5 135,0 157,5 180,0

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1S = 0,609 ± 0,016

Ruí

do N

orm

aliz

ado

Ângulo de Rotação (graus)

Figura 4.33: Variac~ao da compress~ao com a mistura dos feixes.

Captulo 5

Compress~ao de rudo no bombeio do

OPO-QPM

Vimos ate o momento o processo empregado para a gerac~ao de feixes com correlac~oes quanticasde intensidade utilizando o Oscilador Parametrico Otico. Conforme veremos a seguir, esta n~aoe a unica propriedade n~ao classica da luz em sua interac~ao com um OPO. Estudaremos nestecaptulo as propriedades observadas no caso da re ex~ao do feixe de bombeio pela cavidade.

Dentro da cavidade, o bombeio e acoplado aos modos sinal e complementar pela n~ao-linearidade do cristal, transferindo energia a eles. O inverso tambem pode ocorrer, levando aaniquilac~ao de um foton do sinal e outro do complementar para gerar um foton no bombeio. Oprocesso todo acaba gerando um efeito semelhante a um processo n~ao-linear de terceira ordem,produzido por uma n~ao-linearidade do tipo (3), conhecida como (3) em cascata (\cascaded(3)") [99].

Do mesmo modo que uma cavidade com um meio Kerr no seu interior [100], o efeito cascatano OPO pode levar a compress~ao de rudo do feixe de bombeio re etido pela cavidade [65].Para a realizac~ao desta medida, o feixe re etido pela cavidade n~ao pode ter uma intensidademuito grande, pois neste caso pode haver a saturac~ao dos detetores do sistema de homodinagem(que ocorre em cerca de 10 mW). Para isso, precisamos construir um OPO de baixa potenciade limiar.

Comecaremos pela descric~ao do meio n~ao-linear empregado neste montagem, um cristal emcondic~ao de quase acordo de fase. Trata-se de um cristal com elevado coeciente n~ao-linear, oque leva a uma reduc~ao do limiar de oscilac~ao.

Em seguida, retomamos os calculos apresentados na sec~ao 3.3, para obter as equac~oes quedescrevem o espectro de utuac~oes do feixe re etido, seguindo o procedimento apresentadoem [76]. Para desenvolver um programa que simule a operac~ao da cavidade, vamos retomartambem as equac~oes da sec~ao 3.2, de modo a reescreve-las de uma forma adequada para ocalculo numerico da compress~ao e dos modos de sada.

Passaremos a descric~ao do OPO de baixo limiar, usando espelhos de alta re ex~ao para osinal e o complementar. Pudemos fazer um OPO cujo limiar de oscilac~ao pode chegar a 300 W,atingindo valores tpicos de 1 mW. Como visto anteriormente, o uso de espelhos de alta re ex~aopara o sub-harmonico leva a uma reduc~ao na eciencia de convers~ao, porem nosso objetivo e

103

104 CAPITULO 5. COMPRESS~AO DE RUIDO NO BOMBEIO DO OPO-QPM

obter um baixo limiar de oscilac~ao, sendo que as correlac~oes quanticas do sinal e complementarser~ao ignoradas.

Ainda que o limiar de oscilac~ao seja baixo, garantindo que a potencia re etida pela cavidadeseja reduzida, estamos limitados com relac~ao a potencia do oscilador local. Se esta for muitomaior que a potencia do feixe re etido, saturamos o detetor, invalidando a medida. Demons-tramos ent~ao que com a devida calibrac~ao do nvel de \shot noise" podemos fazer a medidacom um oscilador local de potencia menor, proxima a potencia do feixe em estudo.

Pudemos assim medir a compress~ao do feixe de bombeio re etido pela cavidade. Outracaracterstica interessante esta no fato de produzirmos um feixe intenso, comprimido, na mes-ma frequencia do laser empregado. Geralmente as medidas no OPO empregam um laser deNd:YAG, que sera dobrado para que seja gerado, no OPO, o estado de compress~ao do vacuo.No presente trabalho, o OPO e bombeado diretamente pelo fundamental do laser (1064 nm),sendo que sua sada (sinal e complementar) encontra-se na faixa de 2m.

5.1 Cristal em quase-acordo de fase

Para construir este OPO com um baixo limiar, podemos buscar um cristal com alto coeÆcienten~ao-linear. Cristais como o KTP e o Niobato de Ltio (LiNbO3) apresentam altos coecientes es~ao produzidos em grande escala para a area de opto-eletronica e fotonica. Existe, porem, umaforma de aumentar o coeciente n~ao-linear efetivo destes cristais.

Considere o Niobato de Ltio, que e um cristal uniaxial negativo (no > ne), tipicamente usa-do em condic~ao de casamento de fase tipo I. Como podemos ver na referencia [70], o coecienten~ao-linear neste caso e d31 = 5; 95 1012m=V . Ja o acoplamento entre feixes polarizados nadirec~ao do eixo de simetria e dado por d33 = 34; 4 1012m=V . Polarizando os tres camposna mesma direc~ao, a combinac~ao dos efeitos destes sobre os eletrons da estrutura do cristal seramais forte do que no caso de acoplamento de campos com polarizac~oes ortogonais.

No entanto, este forte acoplamento n~ao implica em uma grande eciencia de convers~ao, poisneste caso n~ao podemos usar a birrefringencia para obter o acordo de fase. Apos se propagarpor alguns microns, as ondas geradas pelo feixe de bombeio em diferentes pontos ao longo docristal v~ao comecar a interferir destrutivamente com os feixes sinal e complementar.

Uma forma de superar este problema consiste em fazer invers~oes periodicas na orientac~aodo termo n~ao-linear do meio. Considere que tres campos copropagantes entram em um cristal.A transferencia de energia de um campo a outro dependera, como vimos na equac~ao 3.24, dodesacordo de fase k. A fase da variac~ao de amplitude sofre uma invers~ao apos percorrermosuma distancia `c = =k. Alem desse ponto, a contribuic~ao inverte de sinal e a intensidadedo feixe comeca a cair. Apos um novo trecho `c, voltamos a ter uma interferencia construtivada onda gerada com a onda propagante. Desse modo a intensidade no interior do cristal caraoscilando, com um perodo = `c.

Se o cristal sofrer uma invers~ao do coeciente n~ao-linear a cada trecho `c, estas contribuic~oes,no lugar de interferirem destrutivamente, v~ao interferir construtivamente, se somando e resul-tando em um ganho no sinal. Na gura 5.1, vemos tres casos para a gerac~ao de segundoharmonico. Para um cristal macico, temos o aumento parabolico da intensidade para um acor-do de fase perfeito, e a variac~ao periodica da intensidade para um desacordo de fase. Temos

5.1. CRISTAL EM QUASE-ACORDO DE FASE 105

ainda a curva esperada no cristal com uma invers~ao periodica do sinal da n~ao-linaridade, demodo que a cada semiciclo, a intensidade se soma a do semiciclo anterior, levando a um aumentoque segue, em media, uma parabola, como no caso do cristal uniforme em perfeito acordo defase.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,50

4

8

12

16

20

Cristal QPM

∆k=0

∆k=2π/ΛInte

nsid

ade

(seg

. har

môn

ico)

z/Λ

Figura 5.1: Gerac~ao de segundo harmonico, demonstrando a n~ao-linearidade no caso de umcristal uniforme em perfeito acordo de fase (k = 0), de um desacordo de fase (k = 2=) eum cristal com uma invers~ao periodica do termo n~ao-linear (Cristal QPM).

Empregados inicialmente no trabalho da ref. [101], o uso de cristais com invers~ao periodicado termo n~ao-linear tornou-se possvel com o desenvolvimento de novas tecnicas de micro-manufatura. Estes cristais, conhecidos por cristais em quase acordo de fase (Quasi PhaseMatching - QPM) est~ao tendo um emprego crescente em otica n~ao-linear, especialmente na con-truc~ao de OPO bombeados a diodo com larga banda de sintonia [71, 72]. Ha um largo empregona gerac~ao de luz na faixa do infravermelho proximo [102], visando aplicac~ao em espectroscopiae uso militar como fonte de laser segura para os olhos, aplicada a visores infravermelhos (nafaixa de 2m o feixe n~ao e mais focalizado na retina). Alem do Niobato de Ltio, o Tantalatode Ltio [103] e o KTP [104] s~ao empregados em congurac~ao QPM. O alto ganho do cristalpermite seu uso em diversas congurac~oes de cavidade [73, 105, 106] com nesses menores queaquelas aqui empregadas.

Para fazer o cristal de Niobato de Ltio com invers~ao periodica, deposita-se sobre uma nafatia de cristal uma mascara, pela qual se constroem uma serie de eletrodos que s~ao empregadospara fazer o \poling" do cristal. Atraves deles aplicam-se intensos campos eletricos para pro-duzir uma invers~ao permamente na orientac~ao dos domnios ferroeletricos no meio (\poling"),sendo os eletrodos posteriormente removidos. Com isso, a orientac~ao da n~ao-linearidade podeser invertida em diferentes regi~oes do cristal. Este tecnica de construc~ao e limitada ao caso decristais nos, que possam reter as orientac~oes gravadas sem deteriorac~ao apreciavel no tempo.A produc~ao de tais invers~oes no caso de cristais mais espessos n~ao e obtida com sucesso.


χ(2) χ(2)χ(2)-χ(2) χ(2)χ(2) -χ(2)-χ(2)-χ(2)...

Λ c x

L

Figura 5.2: Esquema de um cristal QPM

Outra forma de fazer cristais em quase-acordo de fase consiste em gravar domnios periodicosem um meio onde havia inicialmente simetria de invers~ao, e portanto um (2) nulo. E o casoda produc~ao de bras oticas com n~ao-linearidade do tipo (2), como vemos na referencia [107].Neste caso, as bras de quartzo sofrem a aplicac~ao de campos eletricos, alternando-se regi~oescom campo aplicado a outras sem sua aplicac~ao. O resultado e o \poling" de regi~oes da braque apresentar~ao uma n~ao-linearidade efetiva. Por se tratar de acoplamento de feixes de mesmapolarizac~ao, apos uma distancia `c eles interferir~ao destrutivamente. Os domnios neste cason~ao tratam de invers~ao, mas de ausencia e presenca de n~ao-linearidades gravadas no meio,funcionando de modo similar, acoplando os campos quando estes est~ao em fase, e propagando-os sem acoplamento em regi~oes fora de fase.

Para calcular a interac~ao dos campos co-propagantes dentro de um cristal QPM, vamosvoltar a equac~ao 3.24 aqui reproduzida

d0=dz = 2eff (z)2(z)1(z)eikz ;d1=dz = 2eff (z)0(z)

2(z)e

ikz;

d2=dz = 2eff (z)0(z)1(z)e

ikz ; (5.1)

onde o valor do coeciente n~ao-linear passa a ter uma dependencia com a posic~ao z no interiordo cristal. No cristal mostrado na gura 5.2, vemos que o perodo do cristal corresponde aduas invers~oes consecutivas do coeciente n~ao-linear, de comprimento `c. O comprimento totaldo cristal (L) n~ao e necessariamente um multiplo inteiro de perodos, podendo haver um trechox < `c nas bordas do cristal.

Integrando os campos copropagantes no interior do cristal QPM, podemos ver como eleira se comportar na oscilac~ao do OPO. Tomando como base o campo do bombeio, buscamosresolver a integral

0(L) 0(0) =

Z L

02eff (z)2(z)1(z)eikzdz: (5.2)


Aproximando os campos sinal e complementar por uma constante (aproximac~ao de primeiraordem) temos

0(L) 0(0) = 22(0)1(0)Z L

0eff (z)e

ikzdz: (5.3)

O coeciente n~ao-linear eff (z) e uma func~ao quadrada, valendo eff se a parte inteira de

z=`c for par, e eff se ela for mpar. Desse modo, temos

0(L) 0(0) = 22(0)1(0)eff

24 NXj=1

(1)jZ `cj

`c(j1)eikzdz + (1)N+1

Z `cN+x

`cNeikzdz

35 ;(5.4)

onde N e o inteiro da raz~ao L=`c. Resolvendo as integrais chegamos a

0(L) 0(0) = 22(0)1(0)ieffk

24eik`c 1

NXj=i

(1)jeik`cj eikx 1

(1)N+1eikN`c

35 : (5.5)

Para a somatoria temos

NXj=i

(1)jeik`cj = (1)NeikN`c 1

eik`c + 1: (5.6)

Convem fazer uma substituic~ao de variaveis para o desacordo de fase. Denindo

k0 = k 2= (5.7)

como o desacordo de fase para o cristal QPM, podemos calcular o valor efetivo da n~ao-linearidade. Considerando que temos N par, podemos calcular o primeiro termos da somaentre colchetes na equac~ao 5.5. Temos ent~ao

eikN`c 1

eik`c + 1

eik`c 1

= 2ieik

0 N4sen

k0

N

4

"1 + eik

0 2

1 eik0 2

#; (5.8)

onde reconhecemos na senoide o termo que ira dar origem a uma func~ao seno-cardinal, com odesacordo de fase dado por k0.

Vemos ent~ao que de modo semelhante a um cristal macico nas proximidades do perfeitoacordo de fase, o cristal QPM ira apresentar um acoplamento efetivo entre os campos no casode k0N

4 ' k0L=2 2. Um cristal como o empregado possui N ' 633, de modo quepodemos aplicar o limite k02 ! 0. Obtemos ent~ao

eikN`c 1

eik`c + 1

eik`c 1

' 2ieik

0 N4sen

k0

N

4

4

k0: (5.9)

Aplicando este valor a equac~ao 5.5 temos

0(L) 0(0) = 82(0)1(0)effN

2k

senk0N4

k0N4

eik0N4: (5.10)


Nas proximidades do acordo de fase dado pela equac~ao 5.7, vale a aproximac~ao k 2=.Teremos ent~ao

0(L) 0(0) = 22(0)1(0)QPM ; (5.11)

com

QPM =2

eff`

sen (k0`=2)k0`=2

eik0`=2 (5.12)

e o comprimento do cristal aproximado por ` = N=2.Comparando esta equac~ao com a equac~ao 3.27 vemos que elas s~ao semelhantes, exceto por

um fator multiplicativo. Neste caso podemos dizer que

QPM = 2

: (5.13)

Observando agora o termo que havamos negligenciado na equac~ao 5.5, vemos que ele darauma contribuic~ao aditiva ao valor de QPM . Teremos assim um termo adicional, de modo queo valor da n~ao-linearidade efetiva pode ser mais precisamente expresso por

QPM =2

eff`e

ik0`=2sen (k0`=2)

k0`=2+

2

x

N`c

sen (kx=2)

kx=2eikx=2

: (5.14)

Vemos que o segundo termo entre colchetes sera muito menor que o termo principal, dadopela contribuic~ao de todos os perodos do cristal. Desta forma, ao negligenciar este termo nocalculo do acordo de fase, n~ao incorremos em grandes erros. No entanto, ele passa a ter umacontribuic~ao efetiva devido a adic~ao de uma fatia de material onde o acordo de fase n~ao esatisfeito. Como veremos, isto leva a importantes consequencias no valor do limiar de oscilac~aodo OPO, podendo ate dobra-lo se esta fase somar um fator de .

A utilizac~ao de um cristal QPM altera alguns detalhes da operac~ao do OPO. Primeiramente,a condic~ao de acordo de fase, antes dada pela equac~ao k = k0k1k2, passa a ser dada pelaequac~ao k0 = k0 k1 k2 2=. Neste caso, a largura de banda denida pela condic~ao deacordo de fase n~ao e alterada.

Vemos ainda que o coeciente n~ao-linear efetivo do cristal QPM e reduzido com relac~ao aovalor do cristal macico. No entanto, uma vez que podemos escolher livremente a orientac~aodos campos e dos eixos do cristal, podemos obter uma ganho efetivo. Dos termos n~ao-linearesdo Niobato de Ltio, vemos que ha um aumento de 3,68 vezes na n~ao-linearidade efetiva. Emtermos de potencia de limiar, isto representa uma reduc~ao por um fator 13,5 na potencia.

Por m, o cristal QPM permite uma maior liberdade na escolha dos comprimentos de ondaenvolvidos. Podemos, dado o cristal e os comprimentos de onda que queremos que interajam,mudar o valor do perodo de modo a atingir o acordo de fase a temperatura desejada. Claroque ha limitac~oes tecnicas dadas pela escolha dos materiais envolvidos, porem temos um ganhona faixa de valores possveis de comprimento de onda, comparado ao caso do cristal uniforme.

Nesta experiencia, empregamos um cristal PPLN (\periodically poled lithium niobate") de19 mm de comprimento produzido pela Crystal Technology, apresentando invers~oes com perodovariando entre 30,0 a 31,2 m. O cristal e mostrado na gura 5.3.

Pelo fato de apresentar diferentes perodos, teremos diferentes comprimentos de onda para oacordo de fase. Podemos deste modo, atraves da variac~ao de temperatura, mudar o comprimentode onda do sinal e complementar, como vemos na gura 5.4.


leng

th ±

0.5

mm

11.5±0.5 mm

0.5±0.05 mm

X

ZS1

S2

Λ1

Λ2

Λ3

Λ4

Λ5Λ6

Λ7 Λ8

NOTE 1

NOTE 3: S1 and S2 are polished to 20-10 scratch dig, flat to 1/8 WAVE, and parallel to <5'. Edges not bevelled

N

NOTE 2: stripes of domain inversions are 1.3 mm (Y) separated by uniformly poled regions of 0.09 mm width. The stripe with period Λ1 has an extra 0.5 mm width.

length of crystal 97-02256-01 19 mm97-02256-02 50 mm

domain period Λ (µm)Λ1 Λ2 Λ3 Λ4 Λ5 Λ6 Λ7 Λ8

30.0 30.2 30.4 30.6 30.8 30.95 31.1 31.2

Figura 5.3: Cristal PPLN empregado no OPO para compress~ao de rudo na re ex~ao (dados dofabricante).

Figura 5.4: Comprimento de onda do complementar para trechos de diferentes periodicidadesno cristal PPLN, para diferentes temperaturas (bombeio a 1064 nm, dados do fabricante).


Uma vez estudado o cristal QPM, vamos descrever a compress~ao do rudo do feixe re etidopela cavidade e a simulac~ao dos resultados para o OPO com cristal QPM.

5.2 Compress~ao de rudo no bombeio

Ao tratar o OPO como um sistema quantico, passando da representac~ao da equac~ao mestrapara a equac~ao de Fokker-Planck da func~ao de Wigner, e desta para as equac~oes de Langevindo campo, chegamos a equac~ao 3.80, ja estudada para mostrar a gerac~ao de feixes gemeos.Vamos agora retomar as quatro primeiras equac~oes do conjunto apresentado, que descrevemas utuac~oes do campo intracavidade para o bombeio e a soma das amplitudes do sinal ecomplementar. Seguindo o tratamento da ref. [76] temos para as utuac~oes dos campos osistema de equac~oes

d

dtÆ0 =

00

(1 i0)Æ0 2

+Æ+ +

q2 00

1(t)

d

dtÆ0 =

00

(1 + i0)Æ

0

2

+Æ

+ +

q2 00

2(t)

d

dtÆ+ =

2

0Æ

+

2

+Æ0

0

(1 i)Æ+ +

p2 0

3(t)

d

dtÆ+ =

2

0Æ+

2

+Æ

0

0

(1 + i)Æ+ +

p2 0

4(t): (5.15)

Passando para um tratamento matricial, teremos ent~ao

d

dtÆ(t) = MÆ(t) +

1

T(t) (5.16)

onde Æ = fÆ0; Æ0; Æ+; Æ+g e o vetor das utuac~oes de campo do bombeio e da somadas amplitudes sinal e complementar denidas na equac~ao 3.79. Esta descric~ao e identica aotratamento dos feixes gerados como um sub-harmonico do bombeio, como apresentado na re-ferencia [76]. O vetor (t) apresenta o termo estocastico das utuac~oes, e pode ser interpretadocomo as utuac~oes do vacuo (e do estado coerente do bombeio) acopladas pelo espelho dacavidade. A transmitancia deste espelho e descrita pela matriz diagonal de difus~ao T

T = diag

q2 00;

q2 00;

p2 0;

p2 0: (5.17)

Neste caso, vamos assumir que todas as perdas da cavidade s~ao dadas pelo espelho de acopla-mento. Esta e uma hipotese razoavel para o estudo das utuac~oes no feixe de bombeio re etidopela cavidade, pois neste caso n~ao nos preocupamos com o valor preciso do acoplamento dasada do sub-harmonico comparado as demais perdas da cavidade, como foi o caso no estudo dosfeixes gemeos. Desse modo, o unico valor que ira descrever as perdas do sinal e complementare 0. Para o bombeio, as perdas intracavidade s~ao importantes no calculo, porem como o valorempregado do espelho de acoplamento e uma ordem de grandeza superior as demais perdasintracavidade, podemos manter a aproximac~ao 0 = 00.

5.2. COMPRESS~AO DE RUIDO NO BOMBEIO 111

A matriz da evoluc~ao do sistema (arrasto) e dada por

M =1

26664 00(1 i0) 0 2+ 0

0 00(1 + i0) 0 2+2+ 0 0(1 i) 20

0 2+ 20 0(1 + i)

37775 ; (5.18)

onde notamos claramente a dependencia com os valores medios das amplitudes dos camposintracavidade. Por este motivo, a resposta n~ao sera t~ao simples como a dada pela equac~ao 3.91.

Como vimos anteriormente, usando o procedimento descrito na ref. [35], podemos partirdas matrizes de arrasto e difus~ao para obter as utuac~oes dos campos intracavidade. Destas utuac~oes calculamos as utuac~oes dos campos re etidos pelo espelho de acoplamento, so-mando as utuac~oes do vacuo (ou do campo coerente, para o caso do bombeio) as utuac~oesintracavidades transmitidas pelo espelho.

Podemos passar a equac~ao 5.16 para o domnio das frequencias aplicando a transformadade Fourier as utuac~oes do campo e as utuac~oes do vacuo inseridas na cavidade

Æ() =

ZÆ(t)eitdt: (5.19)

Teremos ent~ao

Æ() = (M iI)1T

(); (5.20)

onde I e a matriz identidade da mesma ordem da matriz de arrasto M. representa o es-pectro das utuac~oes do campo. Optamos em nossa notac~ao pela maiuscula para distiguir asfrequencias inferiores ao intervalo espectral livre da cavidade das frequencias do campo eletro-magnetico.

As utuac~oes dos campos re etidos pelo espelho da cavidade s~ao obtidas de modo semelhanteao calculado na equac~ao 3.84. No domnio do tempo teremos

Æout(t) = TÆ(t) (t) (5.21)

com a aproximac~ao do coeciente de re ex~ao por um valor unitario.Calculando o espectro das utuac~oes do campo de sada, teremos ent~ao

Æout() =

"T (M iI)1T

1

#(): (5.22)

Destas utuac~oes podemos obter a matriz das covariancias dos campos de sada, multiplicandoo vetor das utuac~oes pelo seu transposto conjugado ÆT

out(). Obtemos assim

Vout() = hÆout()ÆTout()i: (5.23)

E desta matriz que obtemos o espectro de potencia medido na detec~ao homodina.A covariancia dos campos de entrada, por se tratarem de estados coerentes, e dada por

Vin() = h()T ()i = 1

2I (5.24)


onde I e a matriz identidade. Teremos assim a matriz de covariancia do campo de sada dacavidade

Vout =I

2+T(M iI)1D(MT + iI)1T

22(5.25)

onde vemos que a matriz D = T2 (MT + iI) (M iI) e igual a

D =

266640 0 0 00 0 0 00 0 0 400 0 40 0

37775 : (5.26)

Para calcular o espectro de potencias das utuac~oes de quadraturas medidas na detec~aohomodina, conforme a sec~ao 2.3.4, devemos empregar a matriz das covariancias dada pelaequac~ao 5.25. Para isso, devemos lembrar que uma dada quadratura do campo, na fase , podeser dada por

i = iei + i e

i: (5.27)

Neste caso, o espectro de utuac~oes de cada modo do campo relfetido pela cavidade dependeda fase da quadratura em estudo e dos termos da matriz de covariancia. Teremos ent~ao

V+(;) = V out33 + V out

44 + 2Re[e2iV out34 ]

V0(;) = V out11 + V out

22 + 2Re[e2iV out12 ] (5.28)

onde a V+(;) e a variancia da quadratura do sinal (ou complementar) , e V0(;) e avariancia da quadratura estudada do bombeio re etido.

Para simplicar, vamos nos ater as utuac~oes do bombeio. Dividindo a matriz 5.25 emsubmatrizes 2 2, temos da primeira submatriz na diagonal principal as variancias para obombeio, e para a segunda submatriz na diagonal principal as variancias das intensidades dosinal e complementar na sada. As outras duas submatrizes fornecem as correlac~oes entre sinale bombeio, n~ao sendo estudadas neste trabalho.

A matriz das covariancias para o bombeio sera dada por

V0 =I

2+S

2(5.29)

onde a matriz de compress~ao S pode ser calculada a partir de 5.25. Obtemos

S =2 00jf j2

"S11 S12S21 S22

#; (5.30)

onde f e o produto dos determinantes das matrizes (M iI) e (MT + iI)

f = 164j+j4 82j+j2h2 i( 0 + 00) + (1 +0)

0 00i

+(2 2i 0 )h2 2i 00 (1 + 2

0) 020

i; (5.31)

5.3. MODELO TEORICO DO OPO-QPM 113

e os elementos da matriz para o calculo do espectro de rudo na quadratura s~ao

S12 = S21 = 162+03n164j+j4 82j+j2

h(i+)(i+0)

0 00 + 2i

2h(i+0)

2 020 2i o

S11 + S22 = 322(1 + 2) 02j+j2n 0h(1 + 2

0) 020 + 2

i+ 42 00j+j2

o: (5.32)

A frequencia e normalizada pelo intervalo espectral livre, de modo que = .O resultado nal da compress~ao de rudo e ent~ao dependente n~ao so da frequencia de analise,

como no caso dos feixes gemeos, mas tambem da dessintonia dos modos, da intensidade geradado sinal e das fases dos campos sinal e bombeio (intracavidade) relativas a fase do bombeioinjetado. Estas fases s~ao calculadas a partir do campo intracavidade obtido na equac~ao 3.30,de modo que

e2i =in0

(1 + i0)(1 + i) + jj2 e ei 0 =e2i

1 i(5.33)

onde as fases e 0 referem-se ao sinal e bombeio, respectivamente.Partindo destas equac~oes, podemos determinar o espectro de rudo do feixe re etido pela

cavidade do OPO. A simulac~ao numerica pede que as equac~oes da sec~ao 3.2 sejam reescritas,de forma a expressar o limiar e as intensidades intracavidade em termo da fase total acumuladapor cada campo em uma volta completa na cavidade, e n~ao em termo das dessintonias.

5.3 Modelo teorico do OPO-QPM

Como vimos na equac~ao 5.29, precisamos calcular as intensidades e os valores de dessintoniapara obtermos o valor da compress~ao do feixe do bombeio re etido pela cavidade. Para isso,foi desenvolvido um programa que realiza o calculo numerico do modo de campo selecionado ede sua amplitude em func~ao da variac~ao do comprimento da cavidade.

Para estas simulac~oes, iremos calcular as amplitudes dos campos intracavidade, consideran-do nos calculos a fase total acumulada em uma volta completa. Esta, por sua vez, sera calculadalevando em considerac~ao os diferentes modos m denidos na equac~ao 3.49, considerando queÆ'1 = Æ'2.

Mantendo explicitamente a amplitude e a fase do campo para uma volta completa, podemosrepetir o processo usado para se chegar a equac~ao 3.30, obtendo

0 = t0in + r0(0 212)ei'0 (5.34)

1 = r(1 + 202)e

i'1 (5.35)

2 = r(2 + 201)e

i'2 (5.36)

onde i e a amplitude do campo no modo i, e 'i sua fase total acumulada em uma voltacompleta. Como vimos nas equac~oes 3.32 e 3.49, a diferenca de fase entre '1 e '2 deve ser ummultiplo inteiro de 2. Por este motivo, nos calculos a seguir teremos cos'1 = cos'2 = cos',considerando que ' e igual a '1 e a '2 a menos de um multiplo inteiro de 2.


Aplicando o mesmo procedimento da sec~ao 3.2.2, temos que a intensidade do campo debombeio intracavidade e

j0j2 = 1

4jj21 2

cos'

r+

1

r2

: (5.37)

Para os modos sinal e complementar teremos

j1j2 = j2j2 = b+pb2 c

4jj2 , com b e c dados por

b = 1 cos'

r cos'0

r0+cos('+ '0)

r0r;

c = 1 +1

r20+

1

r2+

1

r20r2 2

1 + r2

r0r2cos'0 2

1 + r20r20r

cos'1

+2cos('+ '0) + cos(' '0)

r0r

(1 + r20)(1 + r2)

r20r2

; (5.38)

onde o termo e o parametro da potencia de bombeio injetada, normalizada pelo limiar deoscilac~ao para ressonancia e acordo de fase exatos, sendo ajustavel na experiencia.

No calculo da fase 'i, consideramos que a fase adicionada pelos espelhos e nula, o que n~aoe necessariamente verdade, posto que alguns espelhos da cavidade apresentam re etancias n~aounitarias. Veremos os efeitos de um termo adicional de fase inserido na volta completa da ondapropagante na cavidade sobre a operac~ao do OPO, especialmente na condic~ao de acordo defase. Aqui, calculamos ' como na equac~ao 3.28,

'i =!ic(ni`+ L) (5.39)

sendo que os ndices de refrac~ao dependem do comprimento de onda. Calculamos ent~ao, paracada modo possvel de oscilac~ao, o valor de ni usando a equac~ao de Sellmeier com os coecientesdados na ref.[69].

Para calcular os valores de sada do OPO em diferentes comprimentos de cavidade, o pro-cedimento consiste em selecionar uma faixa de valores para o inteiro m que determinara osvalores possveis da frequencia de batimento. Para um dado valor de temperatura e potenciade bombeio, calculamos o valor da potencia intracavidade do bombeio e do sinal para dife-rentes comprimentos de cavidade, varrendo-a por pelo menos dois intervalos espectrais livres.Calculamos em cada posic~ao as intensidades para cada valor de m, usando para isso os valorescalculados dos ndices de refrac~ao em func~ao do comprimento de onda, o valor de jj2 dadopela condic~ao de acordo de fase na condic~ao QPM (eq. 5.7) e o valor total da fase ' acumuladaem uma volta completa dentro da cavidade. Guardamos o maior valor de intensidade dentroda faixa de valores de m, e referente a este valor, a ordem m, as dessintonias normalizadas0 e , e os valores de compress~ao otima e a utuac~ao de intensidade calculados a partir daequac~ao 5.29. Para minimizar o tempo de calculo, optamos por faze-lo em um programa For-tran. Os resultados dos calculos ser~ao comparados aos valores medidos no OPO na sec~ao 5.4.3.

Fase na oscilac~ao do OPO

Vamos discutir brevemente as consequencias de um elemento no interior da cavidade, queproduza um desacordo na diferenca das fases entre os campos ressonantes, usando para isso as


equac~oes estudadas. Como vimos o limiar de oscilac~ao do OPO depende do desacordo de fase(eqs. 3.27 e 3.25) e da dessintonia (eq. 3.28). No caso da fase em uma volta completa ser dadaapenas pela propagac~ao no espaco livre e pela propagac~ao no cristal, a condic~ao de perfeitoacordo de fase assegura imediatamente a condic~ao de ressonancia tripla. Porem, se tivermos nacavidade algum elemento que adicione uma diferenca de fase a propagac~ao dos feixes, a novacondic~ao de oscilac~ao no caso triplamente ressonante leva a uma operac~ao fora da condic~ao deperfeito acordo de fase.

Considere a condic~ao de acordo de fase, dada por

k = k0 k1 k2 = (n0 n)!0c Æn

!

c: (5.40)

A fase acumulada em uma volta completa na cavidade depende do caminho percorrido maisum termo de fase adicional vindo, por exemplo, dos espelhos

'i =!ic(ni`+ L) + i: (5.41)

Temos ent~ao as seguintes relac~oes para as fases

'2 '1 = 2m = Æn`!0c (n`+ L)

!

c+2 1;

'2 + '1 = 2q + 2Æ' = (n`+ L)!0c+ Æn`

!

c+2 +1;

'0 = 2s+ Æ'0 = (n0`+ L)!0c+0: (5.42)

A diferenca de fase do sinal e complementar para o bombeio pode ser expressa por

'2 + '1 '0 = 2(p s) + 2Æ' Æ'0 = k`+; (5.43)

onde = 1 + 2 0. A ressonancia exata implica que Æ' = Æ'0 = 0. Ja o perfeito acordode fase leva a k = 0. Se = 0, teremos ent~ao que q = s.

Por outro lado, se 6= 0, mas pequeno, o modo de oscilac~ao mais proximo sera ainda q = smas agora a ressonancia exata n~ao ira coincidir com o perfeito acordo de fase, mas com

k` = : (5.44)

Em consequencia, o limiar de oscilac~ao sofrera um aumento. A raz~ao do limiar de oscilac~ao nocaso dessintonizado com relac~ao a situac~ao de ressonancia exata sem efeito adicional de fasesera dada por

=(2Æ' Æ'0 )2

4sen2(2Æ'Æ'02 )

"1 +

Æ'0 00

2# "1 +

Æ'

0

2#: (5.45)

Claramente os termos normalizados pelas perdas 0 e 00 ser~ao preponderantes na escolha domodo de oscilac~ao, de modo que o limiar mais baixo sera ainda para o caso triplamente resso-nante. Na perfeita ressonancia, o efeito da fase sera o aumento do valor do limiar por umfator

=2

4sen2(2 ): (5.46)


Se o valor de jj > , o sistema ira operar de tal forma que o modo q selecionado seja superior(ou inferior) a s em uma unidade. Deste modo, o valor maximo de jk`j na ressonancia seralimitado a . Esta sera a situac~ao de aumento maximo no limiar de oscilac~ao.

Para o cristal QPM, vimos que a condic~ao de acordo de fase e dada por

k0 = k 2

= (n0 n)

!0c Æn

!

c 2

(5.47)

Neste caso o valor de k` sera

k` = k0`+ 2 Int

`

(5.48)

Note que consideramos apenas a parte inteira da raz~ao `=. Esta aproximac~ao no termo deacordo de fase justica-se pelas equac~oes 5.12 e 5.14, onde o valor efetivo de pode ser calculadocom a aproximac~ao da parte inteira da raz~ao em nossos calculos. Por este motivo, ao inserirmoso valor de k0 na equac~ao 5.43 substituindo k, vemos que havera a selec~ao de um novo valorde q s 6= 0.

O calculo que acabamos de realizar permanece, portanto, valido para o cristal QPM. Nestecaso, o elemento que leva a uma fase adicional e o fato de n~ao termos um numero inteiro deperodos de comprimento no interior do cristal. Isto ira adicionar uma fase cujo modulo elimitado a , alterando o limiar de oscilac~ao do OPO. Note que este efeito ja foi observado emcavidades onde se utilizou um cristal QPM em cunha [108], o que permitia variar o comprimentodo cristal interagindo na cavidade.

Vemos na gura 5.5 os efeitos das diferencas de fase adicionadas por um comprimento decristal que n~ao seja um multiplo inteiro de . Na primeira linha do graco, temos a potenciade bombeio intracavidade e a sada do sinal do OPO. Mantivemos a curva do bombeio semdeplec~ao como referencia. Na segunda linha, temos o valor da dessintonia relativa do sinal eo desacordo de fase = k` (escala em radianos). Na linha inferior, a frequencia de batimentoentre sinal e complementar, fornecendo o comprimento de onda destes feixes, ou no caso, umaideia de qu~ao longe estamos da degenerescencia. Nos calculos, empregamos uma temperatura4; 3ÆC abaixo da condic~ao degenerada mostrada na gura 5.4 para um perodo = 31; 1m,e uma potencia de bombeio igual a quatro vezes a potencia de limiar no caso ideal de perfeitoacordo de fase e dessintonia nula para um cristal cujo comprimento fosse um numero inteiro deperodos .

Vemos que o valor de permanece limitado, de modo que o OPO se mantem praticamenteressonante para o sinal (lembrando que as perdas para o sub-harmonico s~ao de 2%). O efeitodos diferentes comprimentos do cristal, com a presenca de um trecho n~ao inteiro adicional, levao OPO a oscilac~ao fora da condic~ao de perfeito acordo de fase. No caso, a defasagem adicionadapelo cristal necessita uma compensac~ao pelo desacordo de fase de igual valor. Isto leva a umaumento do limiar de oscilac~ao do OPO, observado pela reduc~ao na potencia do sinal gerado epelo aumento do valor limite de potencia de bombeio intracavidade. Temos ainda uma mudancano comprimento de onda de oscilac~ao devido a variac~ao no valor de acordo de fase. Se a faseadicionada atingir o valor de 2, voltamos a condic~ao inicial do OPO com um perfeito acordode fase.

Passaremos agora a descric~ao da montagem e das medidas de rudo no OPO-QPM.


Comprimento de Cavidade (20 nm/div)

Fre

qüên

cia

de

Bat

imen

to(T

Hz)

Des

sint

onia

e

Des

acor

dode

Fas

e(r

ad)

Inte

nsid

ade

(u.a

rb)

Lxtal

=611,25 Λ

Lxtal

=611,5 Λ

Lxtal

=611,75 Λ

10

12

14

16

18

20

22

-3

-2

-1

0

1

2

3

ψ ∆

Lxtal

=611 Λ

Fre

qüên

cia

de

Bat

imen

to(T

Hz)

Des

sint

onia

e

Des

acor

dode

Fas

e(r

ad)

Inte

nsid

ade

(u.a

rb)

Comprimento de Cavidade (20 nm/div)

Bombeios/ depleção

Sinal

Bombeioc/ depleção

Bombeios/ depleção

Sinal

Bombeioc/ depleção

Figura 5.5: Desacordo de fase = k` e frequencia de batimento !2 para diferentes compri-

mentos do cristal QPM.


5.4 Observac~ao da compress~ao de rudo no bombeio

Vamos apresentar a montagem realizada, comecando pela descric~ao do sistema de supress~aodo excesso de rudo do laser de bombeio. Em seguida, mostraremos os aspectos basicos dacavidade com cristal QPM, terminando pela medida de rudo de intensidade e pela medida dacompress~ao do rudo em quadratura.

5.4.1 Laser de bombeio

O laser empregado para o bombeio da cavidade do OPO e um Nd:YAG monoltico, bombeadoa diodo, modelo Lightwave 126-1064-700. Este laser possui uma entrada para modular suafrequencia atraves de um PZT ligado a cavidade interna. Neste caso, teremos um deslocamentode frequencia do laser de 10 MHz/V aplicados a esta entrada, com resposta ate 30 kHz parapequenos sinais. Trata-se do modelo n~ao dobrado do laser empregado na medida do captuloanterior. Como nos estamos procurando realizar a medida da compress~ao do rudo no feixere etido pela cavidade, necessitamos ter um laser de bombeio de baixo rudo, limitado ao\`shot noise", correspondendo ao nvel de rudo de um estado coerente do campo.

Infelizmente, este n~ao era o caso do laser empregado, como mostraram as medidas de rudodo feixe antes de sua injec~ao na cavidade. Para isso, zemos a homodinagem com o vacuo paracompara-lo ao nvel do \shot noise". O resultado pode ser visto na gura 5.6, onde mostramosque sua sada somente comeca a se aproximar do \shot noise" a uma frequencia de analise de20 MHz. Desse modo, n~ao poderamos usa-lo diretamente na medida das compress~oes de rudo.

Uma forma de reduzir suas utuac~oes de intensidade consiste no uso de uma cavidade deltro [96]. A transmiss~ao de uma cavidade Fabry-Perot varia com uma lorentziana para umadessintonia desta em relac~ao a frequencia do feixe injetado. Lembrando que o excesso de rudopode ser visto como modulac~oes em fase e amplitude do feixe [7], levando a uma distribuic~ao daenergia em modos laterais ao maximo central, podemos usar a cavidade para ltrar apenas omodo central, atenuando os modos lateriais. Com isso, a sada da cavidade tera suas utuac~oesreduzidas ao limite quantico para frequencias distantes da largura de banda da cavidade.

A cavidade empregada e composta por espelhos de alta re ex~ao, sendo mostrada na gu-ra 5.7. Os espelhos M1 e M2 s~ao espelhos planos com uma re ex~ao de 99,5% para a polarizac~aovertical. O espelho concavo M3 possui um raio de curvatura de 750 mm, com uma re ex~ao de99,9% para incidencia perpendicular. O comprimento total da cavidade e de 70 cm. A nessemedida foi de 700, conrmando perdas da ordem de 1%. Tais perdas s~ao obtidas gracas aexcelente qualidade de superfcie dos espelhos (=100) e ao fato de mantermos o sistema emuma caixa de acrlico, ligada a um sistema fechado de ar que impedia a deposic~ao de poeira epartculas sobre os espelhos.

Para estes parametros, a banda passante da cavidade e de 300 kHz, com um intervaloespectral livre de 210 MHz. Gracas a esta cavidade foi possvel estabilizar o sistema e reduzirsuas utuac~oes ao limite do shot-noise para frequencias de analise acima de 5 MHz (gura 5.6)

Para estabilizar a cavidade na ressonancia, modulamos a frequencia do laser com um sinalde 40 kHz, 20 mV de amplitude, o que corresponde a uma varredura total de 200 kHz nafrequencia do laser. Usando o metodo de detec~ao sncrona da intensidade transmitida pelacavidade (monitorando para isso a luz transmitida pelo espelho concavo) pode-se estabilizar o

5.4. OBSERVAC ~AO DA COMPRESS~AO DE RUIDO NO BOMBEIO 119

0 5 10 15 20 25 30Freqüência (MHz)

82

80

-78

76

74

72

70

BombeioShot noise

Sem cavidade de filtro

0 5 10 15 20 25 30Freqüência (MHz)

-92

-90

-88

-86

-84

-82

-80

Shot noiseBombeio

Com cavidade de filtro

Pot

Œnc

ia d

e R

udo

(dB

m)

Figura 5.6: Esquerda: Excesso de rudo do laser de bombeio do OPO. Direita: Espectro derudo na sada da cavidade de ltro.

M2M1

M3 0,01 0,1 1 10 100-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Tran

smitâ

ncia

(dB)

Ω/ΩBW

Figura 5.7: Cavidade de ltro para o laser de bombeio, com transmitancia em func~ao dafrequencia.


sistema por dezenas de minutos.

A potencia total transmitida pela cavidade foi de 30% da potencia total incidente. Talreduc~ao deve-se ao excesso de rudo, as perdas intracavidade e a ltragem do modo espacial.De fato, a cavidade de ltro seleciona ainda um modo TEM00 que n~ao coincide necessariamentecom o modo de sada do laser. Sem a cavidade, o acordo de modo do feixe laser com a cavidadedo OPO chegava a 92 %, enquanto que com a cavidade este acordo chegava a 97%, indicandoque atraves do ltro eliminavam-se ainda modos espaciais transversos. Uma vez vericada altragem do rudo e a obtenc~ao de uma sada estavel da cavidade de ltro, podemos descrevera montagem do OPO.

5.4.2 Montagem do OPO

O diagrama do OPO empregado pode ser visto na gura 5.8. O laser e injetado na cavidade deltragem, sendo seu acordo de modo feito por uma lente (L1). Na sada do ltro, temos umalamina de meia onda (HWP1) e um isolador otico (FR), composto de um rotator de Faraday edois cubos polarizadores. O isolador impede que a luz re etida pelo OPO retorne pela cavidadede ltro, desestabilizando-a. A lamina de meia onda ira servir como controle de potencia,girando a polarizac~ao da sada do ltro, fazendo com que parte da potencia seja re etida peloprisma polarizador na entrada do isolador otico. Do feixe rejeitado podemos empregar parteda potencia para aplicar como oscilador local do nosso sistema de homodinagem.

Os espelhos M4 e M5 formam um periscopio que permite o alinhamento do feixe ao eixoda cavidade do OPO. O ajuste do tamanho e posic~ao da cintura do feixe s~ao feitos pelas duaslentes L2 (f= 350 mm) e L3 (f=60 mm), distanciadas de 410 mm. O ajuste do acordo de modoe feito pelo deslocamento da lente L3, e pela orientac~ao do feixe dado pelos dois espelhos M4e M5. A lamina de meia-onda HWP2 faz o alinhamento da polarizac~ao de entrada do feixe nacavidade, a qual deve ser extraordinaria (paralela ao eixo z do cristal).

A cavidade e formada por dois espelhos esfericos de raio R = 30 mm e qualidade de superfcie=10. As re ectancias dos espelhos s~ao

Espelho de entrada: R (1064 nm) = 87% R (2128 nm) = 99,8 %

Espelho de sada: R (1064 nm) = 99,8% R (2128 nm) = 99 %

O comprimento da cavidade e de 65 mm. Neste caso, temos como valor de cintura de feixede 36 m para o bombeio e 51 para sinal e complementar.

O cristal empregado e um Niobato de Ltio (PPLN), com oito trilhas de periodicidadediferente, variando entre 30,0 e 31,2 m. Um sistema de posicionamento permitia selecionar atrilha empregada, e suportes cineticos permitiam alinhar o cristal ao eixo da cavidade. O cristalapresenta um comprimento de 19 mm, e 0,5 mm de espessura. A trilha apresenta uma largurade 1,3 mm. A sintonia da condic~ao de casamento de fase no cristal e feita pelo aquecimentodo mesmo para uma temperatura entre 120 e 190ÆC em um forno controlado, estabilizado em0,1ÆC.

Espera-se uma reduc~ao do limiar de oscilac~ao do OPO no caso degenerado, pois o \coating"dos espelhos da cavidade e o tratamento anti-re etor do cristal foram otimizados para 2128 nm,e as perdas por transmiss~ao aumentam rapidamente ao nos afastarmos deste comprimento de


L3

OPOBS1

DM

FABRY-PEROTDET FP

DET1 MICRON

DET

2 MICRONS

SA

HWP3

PBS

+/-

DH1

DH2

HWP2

F RLASER

HWP1

M2M1

FILTRODET FILTRO

M3

QWP1

L2

L1

BP

M6

M4

M5

Figura 5.8: Montagem empregada para medida de compress~ao de rudo no bombeio usando umcristal QPM.


onda. A cavidade do OPO apresenta um intervalo espectral livre de 2,5 GHz, com uma nessede 37 no fundamental e 250 no sub-harmonico, includas as perdas do cristal. Esta nesse cairapidamente a medida que nos afastamos da frequencia do sub-harmonico devido a re etividadedos espelhos.

A sada da cavidade e monitorada por dois detetores. Parte do feixe transmitido pelacavidade e separado no divisor de feixe (BS). Um espelho dicroico (DM) faz a separac~ao do feixeresidual de 1064 nm, de baixa intensidade, transmitido pelo espelho de sada, o qual e medidocom um fotodiodo PIN de InGaAs (ETX300 da Epitaxx), com eletronica de amplicac~ao. Osinal proximo a 2128 nm e medido atraves de um outro fotodiodo, de germanio, tambem comuma eletronica de amplicac~ao.

O restante do feixe e analisado por uma cavidade Fabry-Perot, formada por dois espelhosesfericos de 30 mm de raio, em uma cavidade confocal. Este Fabry-Perot, de intervalo espectrallivre de 2,5 GHz, permite analisar os modos dos feixes gerados observando se estamos com umaoperac~ao monomodo ou multimodo do OPO.

O feixe de bombeio re etido pela cavidade retornara pelos espelhos M4, M5 e pelas lentesL2, L3, sendo rejeitado pelo isolador otico. As perdas envolvidas neste retorno chegam a 80%.Este feixe re etido sera analisado atraves de um sistema de detec~ao homodina, formado por umalamina de meia onda (HWP3) e um cubo polarizador (PBS), que permitem o balanceamentoda potencia entre os dois bracos da detec~ao. Em cada braco, temos fotodiodos PIN de InGaAs(ETX300), com uma etapa de amplicac~ao para a parte de alta frequencia.

A sada dos detetores e enviada a um circuito de soma/subtrac~ao, e deste para um Anali-sador de Espectro. Assim, medindo a soma, teremos o espectro de potencia das utuac~oes deintensidade do feixe. Na subtrac~ao, recuperamos a utuac~ao correspondente ao \shot noise"para um feixe de mesma intensidade.

Podemos ainda fazer a homodinagem com o oscilador local, obtido pela re ex~ao do feixerejeitado pelo primeiro polarizador do isolador otico. Este sofre uma rotac~ao pela re ex~ao noespelho (M6) e pela lamina de quarto de onda (QWP1). O espelho, preso a um PZT, pode tersua posic~ao variada, de modo a varrer a fase do oscilador local. A diferenca de caminho oticoentre o oscilador local e a re ex~ao do OPO e bem menor que o comprimento de coerencia dolaser, da ordem de 1000 m. Se n~ao fosse o caso, n~ao seria possvel a medida. O acordo de modoentre o feixe re etido e o oscilador local chega a 97%.

O comprimento das cavidades e ajustado atraves de atuadores piezo-eletricos, acionadospor de fontes externas de alta tens~ao. Estes atuadores aceitam ate 1000 V, apresentando umdeslocamento em torno de 1m/200 V. A cavidade de ltro e o OPO podem ser estabilizadosatraves de circuitos de detec~ao sncrona.

As laminas de Brewster (BP) podem ser inseridas no caminho da detec~ao, produzindo umareduc~ao de 46 % na potencia do feixe em estudo sem alterar a potencia do oscilador local.

5.4.3 Caracterizac~ao do OPO

Em uma montagem inicial na qual n~ao empregamos a cavidade de ltro, mas a injec~ao diretaatraves do sistema de casamento de modo do OPO, procuramos maximizar a nesse da cavidadepara diferentes temperaturas, obtendo o menor valor possvel para a potencia de limiar deoscilac~ao. As curvas a seguir foram obtidas aplicando uma rampa de tens~ao sobre o PZT,


variando linearmente o comprimento da cavidade no tempo. Desse modo, temos nos gracosuma reduc~ao linear do valor de L com a evoluc~ao temporal. Medimos o sinal sobre os detetorespara os comprimentos de onda fundamental e do sinal gerado em torno de 2 m. A potenciarefere-se ao valor da injec~ao na cavidade do OPO.

O primeiro resultado que observamos e a reduc~ao do limiar com o aumento da temperatura.Ele caiu de mais de 16 mW para 186,3ÆC para 1,2 mW a 190,5ÆC, para a trilha de perodode 30,95 m. Tal mudanca deve-se a variac~ao do comprimento de onda dos feixes geradoscom a temperatura, como vemos na curva fornecida pelo fabricante para o comprimento deonda do complementar em func~ao da temperatura do cristal (gura 5.4). Note que quando nosafastamos da degenerescencia, a banda estreita dos espelhos da cavidade faz com que as perdasda cavidade aumentem, e com isso o limiar de oscilac~ao aumenta rapidamente.

Na gura 5.9 vemos a sada do OPO longe da degenerescencia (T=186,3ÆC). O limiar deoscilac~ao se situa proximo a 16 mW. Ao contrario do observado para o OPO tipo II (captulo 4),os modos se encontram muito mais proximos, n~ao ocorrendo saltos nos quais a potencia de sadacai a zero e n~ao ha deplec~ao do feixe de bombeio. Como resultado, a potencia intracavidadepara o bombeio ca estabilizada em um valor quase constante durante a oscilac~ao do OPO, n~aosendo evidenciado o seu comportamento quadratico.

Comparando ainda os resultados obtidos, vemos que, para o caso mais distante da de-generescencia, observam-se certas descontinuidades na curva da sada (sinal+complementar),como vemos na gura 5.9. Estas descontinuidades correspondem a saltos entre diferentes mo-dos longitudinais de oscilac~ao. Conforme vimos na teoria, temos geralmente em um pico deressonancia do bombeio varios modos diferentes de oscilac~ao possveis para o par sinal e comple-mentar, correspondendo a diferentes valores possveis da frequencia de batimento. A separac~aoentre estes picos dependera da diferenca entre os ndices de refrac~ao do cristal para os doiscomprimentos de onda gerados na cavidade. Neste caso, onde os comprimentos de onda dosinal e complementar est~ao separados de centenas de nm, podemos considerar que o OPO irase comportar de acordo com a equac~ao 3.52 para a separac~ao de duas posic~oes de resonanciaconsecutivas, com um valor pequeno de Æn dado pela dispers~ao. A medida que aumentamosa temperatura (gura 5.10), a diferenca entre os comprimentos de onda dos feixes geradosdiminui, e com ela o valor de Æn. Como consequencia, os picos cam menos espacados, sendoa custo distinguveis (como podemos ver para uma alta intensidade de bombeio a 189,5ÆC). Apotencia de limiar cai progressivamente com o aumento da temperatura.

O caso mais interessante ocorre ao atingirmos a condic~ao quase degenerada (gura 5.11).Nesta situac~ao, o OPO devera se comportar conforme a equac~ao 3.64. Neste caso os picos n~aos~ao mais distinguveis. Alem disso, como temos uma dependencia quadratica, ha um compri-mento limite para a oscilac~ao da cavidade em uma dada ressonancia do bombeio. Ao aumentaro comprimento da cavidade, n~ao teremos mais um valor de ! capaz de satisfazer a condic~aode ressonancia do par sinal e complementar. No nosso caso, como estamos reduzindo o com-primento da cavidade no tempo, a oscilac~ao e interrompida ao atingirmos o limite degenerado.Nesta situac~ao, devido a degenerescencia e a reduc~ao das perdas na cavidade, a potencia delimiar atinge seu mnimo, proximo de 1 mW.

Outro efeito curioso que se forma e visto na gura 5.12. A sada do OPO na condic~aodegenerada e medida para diferentes velocidades de varredura. As curvas s~ao semelhantes,exceto pela formac~ao de um pico nas proximidades da degenerescencia. N~ao esta claro qual seja


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ade-

Bom

beio

(u.

arb

.)

Tempo (5 ms/div)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0In

tens

idad

e-

Sin

al +

Com

plem

enta

r (u

. arb

.) Potência de entrada P = 16 mW P = 20 mW P = 29 mW

Figura 5.9: Oscilac~ao do OPO com cristal QPM longe da degenerescencia (T=186,3ÆC).

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Inte

nsid

ade-

S

inal

+ C

ompl

emen

tar

(u. a

rb.)

Inte

nsid

ade-

Bom

beio

(u.

arb

.)

Tempo (5 ms/div)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

Potência de entrada P = 5,8 mW P = 10 mW P = 18 mW P = 26 mW

Figura 5.10: Oscilac~ao do OPO com cristal QPM proximo a degenerescencia (T=189,5ÆC).


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Tempo (2 ms/ div)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0In

tens

idad

e-

Sin

al +

Com

plem

enta

r (u

. arb

.)

Inte

nsid

ade-

Bom

beio

(u.

arb

.)

Potência de entrada P = 1,2 mW P = 4,6 mW P = 12 mW P = 20 mW

Figura 5.11: Oscilac~ao do OPO com cristal QPM no caso degenerado (T=190,5ÆC).

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6

Inte

nsid

ade

Bom

beio

(u.

arb

.)

T = 190,5 0C Pth = 1,2 mW P = 18 mW

Tempo (s)

Inte

nsid

ade

Sin

al+

Com

plem

enta

r (u

. arb

.)

Escala de tempo T T/10 T/100

Figura 5.12: Oscilac~ao do OPO com cristal QPM no caso degenerado, com diferentes velocidadesde varredura.


2100 2150 2200 2250 23000

10

20

30

40

50

P (m

W)

λ (nm)

Figura 5.13: Limiar de oscilac~ao para diferentes valores de comprimento de onda para o perodode 31,1m [109]. Valores medidos () e valores calculados a partir dos valores de perdas dadospelos \coatings"(quadrados).

4 6

0

2

4

6

8

0 50 100 150 200 250 300

Ppump (mW)

P sig

nal+

idle

r (m

W)

0

0,5

1

1,5

0 2 8 10

Figura 5.14: Potencia de sada para OPO com cristal QPM, mostrando o baixo limiar deoscilac~ao (500m).


156 158 160 162

T (°C)

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

λ(n

m)

Figura 5.15: Comprimento de onda da sada do OPO em diferentes temperaturas, para operodo de 31,1m [109].

a origem deste efeito, se por efeitos termicos ele apresenta estas distorc~oes no pico de sada, oupor que elas ocorrem apenas nesta condic~ao limite da degenerescencia.

Estas medidas est~ao de acordo com outras anteriormente realizadas no laboratorio [109],quando vericou-se a mudanca do limiar de oscilac~ao com a temperatura. Isto deve-se basica-mente a faixa estreita do \coating" aplicado aos espelhos. Saindo da condic~ao degenerada, atransmitancia tende a aumentar, levando consequentemente a um aumento do limiar. Isto estaapresentado na gura 5.13, onde os valores teoricos (quadrados) correspondem aqueles obtidoscom o as perdas dadas pelos fabricantes do cristal (re ex~ao nas superfcies) e pelos espelhos.

O baixo limiar de oscilac~ao e mostrado para na gura 5.14, onde vemos a potencia de sadaem func~ao da potencia de bombeio [16]. O baixo limiar obtido (500 m) e consequencia daelevada nesse para os feixes sinal e complementar, e da grande n~ao-linearidade efetiva no cristalPPLN. Com um cuidadoso alinhamento, a potencia de limiar pode cair a valores t~ao baixosquanto 300m, aumentando com o tempo.

A curva do comprimento de onda do complementar para perfeito acordo de fase pela tem-peratura dada pelo fabricante e mostrada na gura 5.4. Esta curva concorda qualitativamentecom aquela obtida por Gregoire Souhaite [109] (gura 5.15) onde mostra-se a sada do OPOem diferentes temperaturas para o perodo de 31,1m.

Apos esta analise das condic~oes de operac~ao do OPO, comparamos as medidas com o modeloteorico do sistema, o qual leva em conta a temperatura e as condic~oes para o acordo de fase docristal QPM. E nesse modelo teorico que nos basearemos para calcular a compress~ao do feixere etido pela cavidade.


Resultados das simulac~oes

Os resultados medidos para o OPO s~ao comparados na gura 5.16 aos resultados calculados nassimulac~oes numericas. Nesta gura, mostramos os resultados da frequencia de batimento obtida!2 , bem como da intensidade de sada do OPO para diferentes condic~oes de temperatura epotencia de bombeio. Os valores escolhidos foram tais que podemos compara-los as situac~oesvericadas nas guras 5.9 a 5.11. O pico de ressonancia do bombeio na ausencia de oscilac~aofoi mantido nos gracos para referencia. Nos calculos do seu valor exato, o resultado obtido ea deplec~ao do pico, mantido em um valor quase constante.

0 20 40 60 80

Inte

nsid

ade

(u. a

rb.)

15,0

15,2

15,4

Freq

üênc

ia (

TH

z)

0 20 40 60 80

Variação do Comprimento da Cavidade (nm)

7,0

7,5

8,0

8,5

0 20 40 60 80

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0Inte

nsid

ade

(u. a

rb.)

26 28 3015,2

15,25

T=TQPM−4,3°C; Pinpump=2Pth



(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figura 5.16: Estudo dos valores medios das intensidades do OPO-QPM. A diferenca defrequencia entre sinal e complementar e mostrada na primeira linha. A intensidade mediado sinal e dada na segunda linha, e na terceira os valores obtidos experimentalmente. Nenhumajuste foi realizado. A linha tracejada representa a ressonancia do bombeio, calculada para asituac~ao onde ha ausencia de oscilac~ao (P < Pth) sendo mostrada apenas para referencia.

Os saltos de modos, observados em temperaturas afastadas daquela da degenerescencia, n~aos~ao vericados no calculo teorico. Uma raz~ao para isso e que o limiar de oscilac~ao dos diferentesmodos m s~ao muito proximos, diferindo por um fator da ordem de 103. Por esse motivo, o


ponto exato para a ocorrencia do salto n~ao e preciso. Um modo pode se manter em oscilac~aomesmo que haja outro modo com limiar mais baixo, sendo necessaria uma perturbac~ao paraque este salto ocorra. Em condic~oes normais de operac~ao, o modo pode se manter durantealgum tempo antes que ocorra um salto.

No caso degenerado, vemos novamente a interrupc~ao da curva ao atingir o limite da de-generescencia, previsto na equac~ao 3.64, estando de acordo com o resultado medido.

Sabemos ent~ao como variar a sintonia do OPO pela mudanca de sua temperatura. Fica aquest~ao se o OPO apresenta um comportamento puramente monomodo, ou se ele pode gerarmultiplos modos longitudinais para o sinal e o complementar. Para isso, estudamos a sadaempregando a cavidade Fabry-Perot, descrita na gura 5.8.

5.4.4 Sada Monomodo

Para analisar os modos do OPO, observando se este opera monomodo ou multimodo, pre-cisamos manter o sinal de sada estavel. Para isso, podemos fazer tanto a realimentac~ao direta,estabilizando-o por uma tens~ao de referencia, quanto usar uma detec~ao sncrona para estabi-liza-lo na ressonancia do par sinal+complementar. Nesta situac~ao, as utuac~oes do sinal desada s~ao pequenas, n~ao ocorrendo com frequencia saltos abruptos de intensidade (gura 5.17).

Apos a estabilizac~ao, observamos os modos do sinal gerado pela injec~ao do feixe em umacavidade formada por dois espelhos esfericos confocais de raio R = 30 mm. Neste caso, temos asobreposic~ao dos modos pares da cavidade de analise em um unico pico de ressonancia [57]. Paraeste comprimento de cavidade o intervalo espectral livre sera de 2,5 GHz, proximo portanto dointervalo espectral livre da cavidade do OPO, em congurac~ao quase concentrica com espelhosde mesmo raio de curvatura.

O sinal transmitido pelo Fabry-Perot durante uma varredura da cavidade, conforme vemosna gura 5.18, apresenta apenas duas series de picos, correspondendo aos dois comprimentos deonda (sinal e complementar). Note, no entanto, que para uma mesma temperatura do cristalpodemos ter diversas series de picos diferentes. O motivo e a presenca, em um mesmo pico deressonancia do bombeio, de diversos picos de ressonancia do sinal gerado, como podemos ver nagura 5.9. O circuito de detec~ao sncrona pode estabilizar a cavidade em qualquer um destespicos. Os saltos entre as posic~oes podem ocorrer aleatoriamente, especialmente se perturbarmoso sistema atraves de vibrac~oes mecanicas.

Mesmo proximo a degenerescencia, onde as posic~oes das ressonancias dos picos se aproximame apresentam valores de limiar muito semelhantes, temos ainda a gerac~ao de sinais monomodo.No entanto, dada a pequena distancia entre as posic~oes dos picos, os saltos ocorrem com muitomais facilidade (gura 5.19). Na condic~ao de ressonancia, ca difcil obter uma operac~ao estavel,e o sistema se mantem saltando entre diferentes modos, levando ainda a uma variac~ao naintensidade de sada.

Ja foi discutido teoricamente [110] que o OPO apresenta necessariamente uma sada monomo-do longitudinal, isto e, que apenas um par sinal e complementar podem oscilar simultaneamenteem um OPO. A raz~ao e que o OPO ira oscilar no modo de limiar mais baixo. Em consequencia,a potencia intracavidade cara limitada a este limiar inferior, e n~ao podera atingir o valornecessario para a oscilac~ao de outro modo. Ao sairmos da ressonancia deste modo, podemospermitir a oscilac~ao de outro modo, que ira substituir aquele que estava anteriormente em


-0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02

0,1270

0,1275

0,1280

0,1285

0,1290

0,1295 A

mp

litu

de

(m

V)

Tempo (s)

Figura 5.17: Estabilizac~ao da sada do OPO-QPM durante uma varredura de analise dos modosde sada (T=189,5ÆC).

-0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04

0,000

0,002

0,004

0,006

Inte

nsi

da

de

(a

. u.)

Tempo (s)

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

Figura 5.18: Diferentes modos de oscilac~ao para diferentes condic~oes de estabilizac~ao do OPO-QPM (T=189,5ÆC).


0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050

0,000

0,002

0,004

0,006 Inte

nsi

da

de

(a

. u.)

Tempo (s)

Intensidade (Fabry-Perot)0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

Intensidade (2µm)

Figura 5.19: Instabilidade na estrutura de modos para saltos de intensidade de sada(T=190,5ÆC).

operac~ao.Para vericar se os picos observados para o sinal na gura 5.9 referem-se a uma unica res-

sonancia do OPO, fez-se uma varredura extramamente lenta deste, com uma varedura rapida doFabry-Perot de analise. Conseguiu-se observar que cada curva contnua mostrada na gura 5.9corresponde na realidade a um modo de oscilac~ao, como vemos na gura 5.20

Conclumos ent~ao que a situac~ao estavel de operac~ao de nosso OPO e com uma sadamonomodo, n~ao sendo observada a condic~ao de operac~ao multimodo. Quanto a condic~ao de-generada, n~ao foi vericada de forma estavel, ocorrendo por vezes uma unica serie de picos noOPO, os quais n~ao se mantinham de forma duradoura, sendo aleatoriamente substitudos poroutras series.

Procuramos agora a medida da compress~ao do rudo no OPO, comparando-a com os valoresesperados. Iniciaremos pela medida do rudo na intensidade do feixe de bombeio re etido,passando depois a medida da compress~ao em quadratura.

5.4.5 Medida do rudo de intensidade

Nas simulac~oes mostradas na gura 5.21, vemos que a compress~ao maxima obtida para o feixere etido pode chegar a 50% do \shot noise" na quadratura otimizada, como ja fora demonstradona ref. [65]. Note, no entanto, que n~ao se trata de uma compress~ao nas utuac~oes de intensidade.Sobre a mesma gura, mostramos que as utuac~oes de intensidade podem apresentar tantocompress~ao quanto excesso de rudo, dependendo muito da dessintonia da cavidade e da potenciade bombeio.

Fizemos uma tentativa de medir a compress~ao de rudo na intensidade, usando para isso


-5 0 5 10 150,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

Inte

nsi

da

de

(u

. arb

.)

Tempo de Varredura do Fabry-Pérot (ms)

Saída do Fabry-Pérot de Análise Saída do OPO Varredura do Fabry-Pérot

Figura 5.20: Sada monomodo para um pico de oscilac~ao do OPO (T=186,3ÆC).

a varredura da cavidade, com a medida simultanea da intensidade e da potencia de rudo,normalizando-o para duas varreduras simultaneas. Com a soma das fotocorrentes dos detetoresda detec~ao homodina 5.8, obtivemos o rudo da intensidade do feixe. Na subtrac~ao, recuperamoso nvel de \shot noise".

Quando estas medidas foram realidadas, a congurac~ao do sistema era um pouco diferente,pois as posic~oes da cavidade de ltro e do isolador otico estavam invertidas. Desse modo,n~ao era toda a intensidade re etida pela cavidade que era medida pelo sistema de detec~aohomodina. Ainda que ela apresente uma re ex~ao efetiva de 30%, o que dicultaria a observac~aoda compress~ao, esta re etividade depende de qual componente de frequencia do campo queesta sendo analisada. Desse modo, como ela tem uma largura de banda inferior a 1 MHz,ela ira transmitir a maior parte da intensidade media do feixe. No entanto, as componentescorrespondentes as utuac~oes em uma faixa acima de 10 MHz s~ao re etidas e podem ser medidaspelo sistema de detec~ao sncrona. Da medida destas utuac~oes, esperamos ver o espectro derudo.

Para realizar as medidas, optamos pelo registro simultaneo disparado por um gatilho eletro-nico, da potencia do rudo e da intensidade do sinal durante um pico de oscilac~ao na varredurada cavidade. Empregamos para isso detetores com amplicadores integrados, montados nolaboratorio. Sua sada de alta frequencia, com elevado ganho, nos fornece a utuac~ao daintensidade incidente sobre o detetor. Ja a sada DC fornece a componente de baixa frequencia,proporcional a intensidade incidente.

Realizamos para diversas temperaturas as medidas da soma das utuac~oes de intensidade,normalizando-as pelo valor medido no osciloscopio para a intensidade media. Ao longo davarredura do pico, temos a reduc~ao do sinal re etido durante a ressonancia do OPO, com adeplec~ao devido a gerac~ao do sinal+complementar. Se as utuac~oes de intensidade corresponde-rem ao limite classico (\shot noise"), a normalizac~ao dara uma constante ao longo da varredura


0

0,51

1,52

2,53

3,54

Ruí

do N

orm

aliz

ado

N

0 20 40 60

Inte

nsid

ade

(u. a

rb.)

0 20 40 60

Variação do Comprimento de cavidade (nm)

0 20 40 60

T=T −4,3°C T=T −1,1°C T=T −0,1°Cdeg deg deg

Figura 5.21: Perl do rudo otimizado na quadratura (preto) e do rudo de intensidade (cinza)para diferentes comprimentos de cavidade em torno da ressonancia do bombeio. Na partesuperior, a intensidade de sada do OPO.

pelo pico. No entanto, se houver um aumento no rudo normalizado, isto representa um excessode rudo. A reduc~ao deste rudo ira demonstrar a compress~ao.

Para vericar a validade do metodo, repetimos a medida, nas mesmas condic~oes, norma-lizando a diferenca entre o rudo medido em cada detetor pela intensidade media. Conformevimos na sec~ao 4.8.2, as utuac~oes neste caso devem ser iguais as utuac~oes de intensidade deum campo coerente.

Para a realizac~ao de medidas, selecionamos a frequencia de analise de 8 MHz, onde a in-tensidade do rudo do laser corresponde ao \shot-noise" (sem excesso de rudo). Ajustamos alargura de banda (RBW) em 1 MHz, e a resoluc~ao de vdeo em um valor coerente com a baixavelocidade de varredura empregada. A potencia de bombeio foi de 11 mW, para um limiarde 1,6 mW. A temperatura de operac~ao (190ÆC) garante a operac~ao em um valor com baixolimiar, bem proximo a ressonancia, sem no entanto atingi-la.

Os resultados tpicos s~ao mostrados na gura 5.22. Como podemos ver, ao passar pelaressonancia, temos a deplec~ao do feixe re etido durante a oscilac~ao do OPO. As medidas empreto correspondem a soma do rudo medido pelos detetores e, em cinza, a calibrac~ao do \shotnoise". Observe que temos um valor constante para a medida do \shot noise" (subtrac~aodos sinais dos detetores), como e de se esperar na medida normalizada. No entanto, n~ao foiobservada a compress~ao. Surgem, no entanto, regi~oes de excesso de rudo nas bandas lateraisdo pico, como e de se esperar no caso de um elevado valor de dessintonia do bombeio.

N~ao foi possvel observar a compress~ao das utuac~oes de intensidade do feixe re etido atravesda medida na varredura da cavidade. Como vemos na gura 5.21, a compress~ao de rudo deintensidade ocorre para regi~oes muito estreitas do comprimento de cavidade, n~ao sendo possvel


0,0 0,2 0,4 0,6 0,80,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

Tempo (s)

Ruí

do N

orm

aliz

ado

0,0 0,2 0,4 0,6 0,80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Int.

Sin

al+

Com

plem

enta

r (u

.arb

.)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,80,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Int.

Ref

letid

a (u

.arb

.)

Figura 5.22: Medida do rudo re etido pela cavidade. Linha superior, intensidade do feixere etido. No meio, potencia de sada do OPO, linha inferior, potencia do rudo do feixe re etidonormalizada pela intensidade na condic~ao de soma e subtrac~ao.


estabilizar o OPO precisamente no ponto de compress~ao das utuac~oes de intensidade. Valelembrar ainda que a resoluc~ao de banda de vdeo e a resoluc~ao de largura de banda do Analisadorde espectro v~ao necessariamente realizar uma media, integrando toda uma regi~ao de medida.Em consequencia, devido a limitac~oes tecnicas, n~ao foi possvel vericar a compress~ao das utuac~oes de intensidade do bombeio re etido pelo OPO.

Como demonstramos a seguir, o mesmo n~ao ocorre para a compress~ao de quadratura. Pelaestabilizac~ao da cavidade, obteve-se um feixe re etido comprimido. Porem a diculdade passaa ser a potencia sobre os detetores, que pode leva-los a saturac~ao quando juntamos ao feixere etido o oscilador local. Descreveremos ent~ao os procedimentos para a medida com umoscilador local de potencia proxima a do feixe analisado.

5.4.6 Compress~ao do rudo de quadratura

Diante do insucesso da medida do rudo de intensidade com a varredura da cavidade, optou-sepor realizar a medida do rudo do feixe usando um oscilador local para vericar a compress~aonas quadraturas do campo.

Porem, temos aqui uma modicac~ao com relac~ao a tecnica apresentada na sec~ao 2.3.4. Nestecaso, a potencia re etida pela cavidade e da ordem de 1 mW. O oscilador local n~ao pode sermuito intenso, pois neste caso saturaramos os detetores ao atingirmos uma potencia de 10mW. Esta saturac~ao acaba sendo percebida pelo sistema como uma reduc~ao na sensibilidadeda medida, acompanhada por uma diminuic~ao da eciencia quantica e uma consequente perdana validade dos valores medidos de fotocorrente.

Por isso, o oscilador local sera de uma potencia proxima a do feixe empregado, e a aproxi-mac~ao que havamos usado na sec~ao 2.3.4 n~ao e mais valida. Habitualmente, temos o osciladorlocal muito mais intenso que o feixe em estudo, de modo que a variancia da subtrac~ao dasfotocorrentes pode ser aproximada por

2(i1 i2) / ILO2E; (5.49)

onde ILO e a potencia do oscilador local e 2E e a variancia da quadratura do campo em estudo.Variando-se a fase do oscilador local, podemos observar a variancia em diferentes quadraturas,calibrando o resultado para o \shot noise" pelo simples bloqueio do feixe em estudo. Nestecaso estaremos medindo as quadraturas do vacuo entrando pela porta livre do divisor de feixe.Verica-se assim a compress~ao em quadratura de forma clara e inequvoca.

No entanto, se a intensidade do feixe estudado n~ao puder ser ignorada nos calculos, teremosa variancia da subtrac~ao das fotocorrentes dos diodos dada por

2(i1 i2) / ILO2E + I2ELO; (5.50)

onde as correlac~oes entre os feixes s~ao nulas, posto que eles foram obtidos pela divis~ao deum estado coerente em um divisor de feixe, n~ao devendo neste caso apresentar correlac~oesentre si. I e a intensidade media do feixe em estudo, no caso do feixe re etido pelo OPO, e2ELO e a variancia do oscilador local. Este corresponde, como vimos, as utuac~oes de umestado coerente gracas a ltragem da cavidade. A contribuic~ao das utuac~oes do oscilador localpodem ser medidas diretamente pelo bloqueio deste, uma vez que, por estar no estado coerente,


ele deve apresentar utuac~oes semelhantes as do vacuo. Podemos desse modo descontar o seuvalor na medida apresentada pela equac~ao 5.50 e obter o nvel de shot noise corrigido.

Para medir o rudo, usamos o par de detetores balanceados. O acordo de modo do feixere etido com o oscilador local foi de 97 %. Como vemos na gura 5.8, o oscilador local e obtidoa partir do feixe do laser re etido pelo polarizador de entrada do isolador otico. A lamina dequarto de onda QWP1 e o espelho M6, solidario a um PZT para variar a fase do oscilador,permitem o giro da polarizac~ao do feixe, que e ent~ao transmitido pelo mesmo polarizador. Estese sobrep~oe ao feixe re etido pela cavidade do OPO, rejeitado pelo isolador otico, com umapolarizac~ao ortogonal a este. A lamina de meia onda HWP3 e o cubo polarizador PBS fazema mistura dos feixes para a detec~ao homodina. A cavidade de ltro contribui para reduzir osefeitos de eventuais re ex~oes para o interior da cavidade do laser, que podem ocorrer no retornodo oscilador local ao polarizador do isolador otico.

O OPO foi bombeado por uma potencia de P inpump = 1; 2 mW, para um limiar de 300 Wusando para isso a trilha de periodicidade 31,1 m no cristal PPLN. O cristal foi posto a umatemperatura um pouco abaixo daquela da degenerescencia, assegurando uma operac~ao estavele livre de saltos (T = 162ÆC = Tqpm 1ÆC). A potencia re etida pelo OPO, medida sobre osfotodetetores, foi P detpump = 0; 45 mW. A potencia usada do oscilador local foi PLO = 1; 2 mW,podendo ser controlada pela inserc~ao de ltros diante do espelho M6.

Nas medidas com o Analisador de Espectro selecionamos a frequencia de analise de 6 MHz,dentro da banda passante da cavidade do OPO para o sub-harmonico e acima da regi~ao deexcesso de rudo. A resoluc~ao (RBW) foi de 100 kHz, e a largura da banda de vdeo (VBW)foi de 10 kHz, reduzindo as utuac~oes do sinal medido. Nestas condic~oes o nvel de rudoeletronico medido na ausencia de luz foi de -102,6 dBm. Na gura 5.23 temos a potenciade rudo N1 medida para a varredura do oscilador local em presenca do feixe re etido pelacavidade. A medida do nvel de \shot noise" para o oscilador local e para o bombeio re etidoe feita pelo bloqueio do feixe correspondente, fazendo a homodinagem do feixe restante com ovacuo entrando pela porta vazia do divisor de feixe formado pelo cubo ploarizador. Deste modo,temos o nvel de \shot noise" medido para o oscilador local mostrado em N2. N3 e o nvel de\shot noise" obtido para o bombeio re etido pelo OPO. A soma de N2 e N3, descontado o rudoeletronico, e mostrada no mesmo graco. Vemos que o rudo medido atinge valores inferioresao nvel equivalente do \shot noise", correspondendo a uma compress~ao de quadratura abaixodo limite quantico.

Da equac~ao 5.50 podemos calcular as utac~oes normalizadas da quadraturaN = 2E=2ELO.

O rudo normalizado mostrado na gura 5.24 e calculado como N = (N1N3)=N2, descontando-se o rudo eletronico de cada medida de potencia de rudo. Vemos na gura 5.24 que a reduc~aode rudo chega a 30 %, o que corresponde a uma reduc~ao inferida de 38 % quando levamos emconta as perdas entre a cavidade e os detetores, alem de sua eciencia quantica de 94%.

Uma forma simples de checar a compress~ao de rudo consiste em inserir perdas no feixere etido pelo OPO, e refazer a medida do rudo normalizado. A compress~ao do rudo S =1 N deve variar linearmente com as perdas inseridas. Para produzir as perdas apenas nofeixe re etido pelo OPO sem alterar a potencia do oscilador local, introduzimos as laminas deBrewster no trajeto do feixe, apresentando uma reduc~ao de 46% na intensidade re etida pelacavidade que chega ao sistema de homodinagem sem apresentar reduc~ao observavel no feixedo oscilador local. Usando duas laminas, garantimos que n~ao ha desalinhamento do sistema


0 20 40 60 80

Tempo (ms)

−97

−96

−95

−94

−93

Potê

ncia

de

Ruí

do (

dBm

)

Figura 5.23: Potencia de rudo medida na detec~ao homodina. Linha contnua: varredura dooscilador local, em homodinagem com a re ex~ao do OPO (N1). Linha tracejada: Nvel de shotnoise para o oscilador local (N2). Linha pontilhada: nvel de shot-noise para a re ex~ao do OPO(N3). Linha cinza, soma do nvel de shot noise do oscilador local com o da re ex~ao da cavidade,corrigida a dupla soma do rudo eletronico.

0 20 40 60 80Tempo (ms)

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Ruíd

o N

orm

aliz

ado

− N

Figura 5.24: Rudo Normalizado ao nvel do shot-noise. Linha contnua, compress~ao de rudocalculada a partir dos dados da gura 5.23. Linha cinza, valor esperado do rudo, se fosseminseridas perdas de 46% no feixe. Linha cinza, medida com as placas de Brewster inseridas notrajeto do feixe, concordando qualitativamente com o valor calculado da compress~ao.


de detec~ao do feixe, como vemos na gura 5.8. Na gura 5.24 a linha tracejada representaa medida realizada com atenuac~ao, enquanto que a linha cinza mostra, para comparac~ao, oresultado calculado para a introduc~ao destas perdas, tomando como base a curva contnua doresultado previamente obtido. As duas curvas tem amplitudes semelhantes, o que conrma acompress~ao de rudo obtida [17].

Vemos ent~ao que os valores medidos de compress~ao (38%) s~ao proximos ao valor de com-press~ao de 44% esperado teoricamente. Entre as raz~oes para a diferenca, temos o acordo demodo do feixe re etido pelo OPO com o oscilador local, alem do efeito de perdas na detec~aoe na cavidade para o modo do bombeio. Demonstramos ainda a aplicac~ao de um sistema dehomodinagem para medida de utuac~oes quanticas onde a potencia do oscilador local e proximaa potencia do feixe em estudo. Isto possibilita o estudo de feixes intensos com compress~ao dequadratura sem correr o risco de saturar os detetores, ou a necessidade de empregar cavidadesde ltro para reduzir o valor medio do campo sem afetar suas utuac~oes [111, 7]. Neste caso,o oscilador local deve ter suas utuac~oes reduzidas ao \shot noise".

A compress~ao do bombeio pelo OPO permite fazer um ltro ativo do rudo do laser deNd:YAG. Alem disso, o baixo limiar da cavidade empregada com um cristal PPLN [16] permitepossveis aplicac~oes em fotonica, onde efeitos de biestabilidade podem permitir a construc~ao deum circuito tipo \Schmidt trigger" otico para baixas potencias de chaveamento.

Captulo 6

Modos transversos em cavidades

concentricas

Apos termos estudado nos captulos anteriores o oscilador parametrico otico, demonstrando acompress~ao de rudo nos feixes gemeos e no feixe de bombeio re etido pela cavidade, iremospassar ao estudo dos modos de sada do OPO.

Nos casos precedentes, estudamos sempre a potencia total do feixe de sada, sem nos ocu-parmos da distribuic~ao da intensidade dentro dos feixes. Vericaremos agora as estruturasformadas em cavidades operando em congurac~oes degeneradas, operando com multiplos mo-dos transversos de sada. O objetivo nal de tal estudo e a gerac~ao de estados com compress~aolocal do rudo, obtido atraves de uma distribuic~ao espacial do rudo sobre o feixe de sada.

Muito tem sido estudado sobre a formac~ao de estruturas em modos transversos do Os-cilador Parametrico Otico. Temos, por exemplo, a formac~ao de estruturas de rolamento (\rollpatterns") na sada de OPOs em cavidades planas [112]. Outras congurac~oes tambem foramestudadas, mostrando a gerac~ao de estruturas em cavidades confocais [12] e concentricas [13].

Alem da distribuic~ao de intensidade nestes OPOs, podemos gerar, atraves destas cavidadesdegeneradas, estados comprimidos multimodos, onde a distribuic~ao do rudo no feixe permiteobter a compress~ao local. Tais estados podem servir para aumentar a resoluc~ao de imagensdo perl de um feixe, ou a medida de pequenos deslocamentos alem dos limites dados pelasmedidas com um estado coerente.

O oscilador parametrico otico em congurac~ao degenerada e um forte candidato para agerac~ao de tais estados. Como mostrado em [18], um campo monomodo n~ao pode gerar com-press~ao local de rudo. Para gerar uma compress~ao local, somente com fontes de luz comcompress~ao multimodo, como osciladores parametricos oticos em cavidades degeneradas abaixodo limiar, amplicadores parametricos oticos gerando vacuo multimodo comprimido, misturade quatro ondas, etc. Para uma ampla descric~ao destes processos, pode-se ver a ref. [113].

Nesta tese optamos por estudar os efeitos de operac~ao multimodo do OPO, gerando luz emmultiplos modos da cavidade em oscilac~ao. Diferente das propostas acima onde a medida dacompress~ao espacial pede o uso de um oscilador local, as medidas da correlac~ao de intensidadetem uma implementac~ao mais facil. No entanto, do ponto de vista teorico, o tratamento demultiplos modos do OPO em oscilac~ao intensa e extremamente complicado. Trabalhos en-

139

140 CAPITULO 6. MODOS TRANSVERSOS EM CAVIDADES CONCENTRICAS

volvendo o desenvolvimento classico ja demonstram alto grau de complexidade [110]. Para odesenvolvimento quantico, este estudo e ainda mais difcil pelo acoplamento de multiplos modos.

Veremos neste e no proximo captulo algumas caractersticas classicas e quanticas do OPOmultimodo em congurac~oes de cavidade concentrica e confocal.

Na cavidade confocal, vamos usar o OPO para gerar um par de feixes gemeos e, atraves deobstaculos, vamos investigar a distribuic~ao de rudo dentro do feixe.

No OPO concentrico aqui descrito, espera-se gerar feixes gemeos com multiplos modostransversos e uma distribuic~ao simetrica espacial dos fotons. Vamos discutir as montagens im-plementadas e suas possveis aplicac~oes. Veremos as estruturas formadas por cavidades degene-radas contendo um cristal do tipo II, e uma tentativa de vericar a distribuic~ao espacial do rudonos feixes gerados. Mostraremos ainda as estruturas de sada para uma cavidade concentricacom um cristal tipo I, e a oscilac~ao em multiplos modos transversos na degenerescencia e foradela.

Comecaremos pela descric~ao das aplicac~oes de estados comprimidos multimodo da luz.Mostraremos quais as congurac~oes de cavidade a serem estudadas, com a denic~ao da cavidadeconcentrica e confocal. Apresentaremos o sistema de medida empregado e os resultados obtidosem diferentes regimes proximos a concentricidade.

6.1 Aplicac~oes dos estados comprimidos multimodo

Os trabalhos iniciais de gerac~ao de estados comprimidos do campo lidaram sempre com o estudodas utuac~oes do campo eletrico realizando a medida na totalidade do feixe, integrando todafrente de onda no processo de detec~ao. O mesmo n~ao ocorreu com as medidas de certos estadosquanticos da luz, como o caso dos fotons gemeos gerados por convers~ao parametrica descendenteespontanea [19]. Para estes estados, desde o incio observou-se uma forte correlac~ao do momentotransverso dos fotons gerados [114] levando a ideia de formac~ao de imagens quanticas no campoeletromagnetico [115, 116, 117]. Estes resultados iniciais, junto a eventuais aplicac~oes praticasdos estados comprimidos do campo, levaram a um crescente interesse pelos estudos teoricos docomportamento espacial da luz. Dois exemplos de aplicac~oes de estados comprimidos multimodos~ao citados aqui, onde a gerac~ao de campos com compress~ao local de rudo leva a um aumentoda resoluc~ao de imagens ou da medida de pequenos deslocamentos alem do limite imposto pelas utuac~oes do campo.

6.1.1 Resoluc~ao de imagens

Considera-se tipicamente que o limite de resoluc~ao de imagens e dado pelo criterio de Rayleighpara a distinc~ao de duas fontes luminosas [118], baseado na separac~ao entre os maximos dospicos de Airy das imagens das fontes. No entanto, se considerarmos a resoluc~ao possvel paraum perl de intensidade pelos sistemas de detec~ao atuais, podemos medir a distribuic~ao daintensidade e fazer a deconvoluc~ao da medida, recuperando a informac~ao das fontes [119]. Dessemodo, temos a reduc~ao do limite de resoluc~ao da imagem.

Para medirmos o perl de intensidade de um feixe, empregam-se atualmente \chips" en-volvendo multiplos fotodetetores [8], como as CCD's (\charge coupled devices" - dispositivosde carga acoplada) em que a incidencia luminosa e traduzida pela carga em uma junc~ao MOS

6.1. APLICAC ~OES DOS ESTADOS COMPRIMIDOS MULTIMODO 141

(metal-oxido-silcio), e esta e chaveada internamente, produzindo a varredura dos nveis detens~ao na matriz dos detetores. E o dispositivo habitualmente empregado na obtenc~ao de im-agens, seja em laboratorio, seja em aplicac~oes de vdeo (ainda que existam outros sistemas,baseados em tubos eletronicos [120]).

Fotocorrente de saída: Pixels

Feixe de entrada: Intensidade

Figura 6.1: Medida do perl de intensidade com uma CCD, vista como uma serie de fotode-tetores. O sinal de sada corresponde a integrac~ao da intensidade sobre a area S do pixel, econtem a utuac~ao de potencia da area medida.

Consideremos ent~ao que queremos medir o perl de intensidade de um feixe incidente sobrea CCD (gura 6.1). Se considerarmos apenas os aspectos classicos do campo, teremos umadistribuic~ao de intensidades, revelando a potencia incidente em cada pixel. Desse modo, adescric~ao da intensidade n~ao pode ser feita em um espaco contnuo, sofrendo uma discretizac~ao.A imagem obtida sera tanto mais el a distribuic~ao de intensidade quanto menor for o tamanhodo pixel relativo a area iluminada. Ou seja, a resoluc~ao aumenta quanto maior for a densidadede fotodetetores iluminados pela sec~ao transversa do feixe.

O que ocorre com o rudo da medida de potencia? Como sabemos, para um estado coerenteo rudo quantico varia com a raiz quadrada do numero de fotons incidentes sobre o detetor(\shot noise"). A raz~ao entre o sinal e o rudo ira variar igualmente com a raiz quadradada potencia media. Ao aumentar a quantidade de pixels iluminados pelo feixe, reduzimos apotencia incidente sobre cada detetor, reduzindo igualmente a raz~ao sinal/rudo.

Como vemos na ref. [121], a superfcie mnima do pixel para um resultado unitario na raz~aosinal rudo para um estado coerente do campo e dada por

Smin =

p2N(~)

jj~rN(~)jj =p2LtippN(~)

(6.1)

onde o comprimento tpico pode ser calculado a partir da aproximac~ao do gradiente da densidadelocal de fotons N(~), dada em (m2), dependente da coordenada transversa do feixe.


i1(t)i2(t)i3(t)i4(t)

s

Incidência de um estado coerente

Incidência de um estado comprimido em intensidade

Figura 6.2: Medida do perl de intensidade com uma CCD, para um estado coerente (dis-tribuic~ao aleatoria de fotons no espaco e tempo) e para um estado comprimido em intensidade(visto como um feixe com regularizac~ao temporal do uxo de fotons). A detec~ao em umapequena area do feixe leva a distribuic~ao de volta a uma poissoniana.

Teremos ent~ao um limite quantico para a resoluc~ao de imagens, dado pela utuac~ao damedida da intensidade luminosa. Note que um estado comprimido em intensidade sofreria domesmo problema. Se os fotons est~ao aleatoriamente distribudos dentro do feixe, o processo dasua detec~ao por um unico pixel com area muito menor que a sec~ao reta do feixe equivale a usarum ltro de densidade neutra de grande atenuac~ao. O nvel de rudo no pixel recai ent~ao aolimite do \shot noise" (gura 6.2).

Um campo multimodo pode apresentar uma distribuic~ao local de utuac~oes, de modo aobter uma super-resoluc~ao na imagem. Uma descric~ao detalhada desta aplicac~ao pode ser vistana ref. [122]. Veremos ainda, na sec~ao 7.4 como a existencia de estados quanticos multimodopermite a obtenc~ao de uma compress~ao local de rudo.

6.1.2 Medida de pequenos deslocamentos

Uma motivac~ao direta para o estudo das distribuic~oes espaciais do rudo em feixes luminosos vemda necessidade tecnologica de melhorar a resoluc~ao para medidas de pequenos deslocamentos,feitas a partir da de ex~ao de feixes laser. Este e o caso dos microscopios de forca atomica, ondeo deslocamento vertical da alavanca que mapeia a superfcie do substrato em estudo e feito pelamedida da de ex~ao de um feixe laser por ela re etido [11]. A medida de efeitos termicos usalargamente os efeitos de de ex~ao de um feixe sonda pela absorc~ao e aquecimento de um feixede prova, como e o caso da de ex~ao fototermica [123] e do efeito miragem [10], permitindo amedida de deslocamentos da ordem de 105 nm. Do mesmo modo, temos a aplicac~ao do desviodo feixe ao estudo do deslocamento de moleculas [9].

6.1. APLICAC ~OES DOS ESTADOS COMPRIMIDOS MULTIMODO 143

Uma forma usual de medir um pequeno deslocamento de um feixe de luz consiste em incidi-losobre um detetor dividido em dois setores. Considere um feixe gaussiano posicionado de formaque exatamente metade de sua potencia incida sobre cada setor do detetor (gura 6.3). Adiferenca entre as fotocorrentes dos dois setores sera diretamente proporcional ao deslocamentoD do feixe para pequenos valores de deslocamento [124].

Dmin D

N-

∆Largura Efetiva

TEM00

P1

P2

N-

D

∆

D

Figura 6.3: Sistema para medida de pequenos deslocamentos do feixe atraves de um fotodetetordividido em dois setores.

A resoluc~ao do deslocamento de um feixe luminoso (Dmin) acaba sendo limitada pelas utuac~oes quanticas da intensidade do feixe. Para uma relac~ao unitaria de sinal/rudo namedida do deslocamento, teremos

Dmin =phNtoti

; (6.2)

onde a largura efetiva do feixe = hNtoti=@hNi@D

e de 0; 63w0 para um modo gaussiano

fundamental.Note que, nesse caso, a utilizac~ao de um feixe com a utuac~ao de intensidade comprimida

n~ao ajudaria no processo de detec~ao. Se tomarmos tal feixe e o observarmos sobre dois setoresde um fotodetetor dividido ao meio recuperaremos, na subtrac~ao das fotocorrentes, as utuac~oesreferentes ao \shot-noise", uma vez que n~ao ha uma correlac~ao espacial dos fotons para esteestado comprimido. Estes podem estar regularizados no tempo, mas mantem uma distribuic~aoaleatoria no espaco.

Uma proposta para a gerac~ao de feixes com uma distribuic~ao uniforme de rudo seria oemprego de OPOs com cavidade concentrica. A ideia e que o par de fotons sinal e complemen-


tar emitidos guardariam, apos multiplas re ex~oes, as correlac~oes de momento transverso quepossuem no instante da sua gerac~ao. Alem de gemeos (correlac~ao temporal), os feixes geradosseriam siameses (correlac~ao espacial). Os feixes de sada apresentariam uma alta correlac~aoespacial nas intensidades medidas no campo distante (ou seja, no domnio do momento). Seriapossvel, deste modo, suplantar o limite quantico obtido no caso de um feixe no estado coerenteou no caso de um feixe comprimido monomodo.

k1, ω1

k2, ω2

k0, ω0

χ(2)

P1

P2

-

N-

P1

P2

-

N-

P1

P2

-

N-

Aplicação à medida de pequenos deslocamentos

OPO Concêntrico

Figura 6.4: OPO com cavidade concentrica como fonte de feixes \siameses" e seu uso para ummedida de alta resoluc~ao em pequenos deslocamentos.

Estudos teoricos apresentam diversas possibilidades de gerac~ao de luz com uma compress~aolocal de rudo. Por exemplo, o vacuo comprimido gerado pela sada de um AmplicadorParametrico Otico (OPA) apresenta uma compress~ao multimodo transversa [125]. O mesmo eesperado de um meio Kerr, no caso da mistura de quatro ondas [126, 127].

Para meios n~ao-lineares operando em cavidades, a presenca de um meio otico n~ao-linear levaao acoplamento dos varios modos transversos da cavidade entre si . Diversos estudos teoricostratam da gerac~ao de rudo multimodo em cavidades degeneradas, como e o caso do OPO emcavidades confocal [128], plana [116] e concentrica [129, 130].

Paralelamente, as estruturas formadas em feixes laser quando estes interagem com meiosn~ao-lineares, seja por ondas propagantes, seja com meios em cavidades, tem sido recentementeestudadas. Para osciladores parametricos, temos ja um historico de gerac~ao de estruturas den-tro dos feixes de sada do oscilador, seja em congurac~ao confocal [12] ou concentrica [13].As abordagens teoricas, no entanto, n~ao chegam ainda a descrever as estruturas formadas .Estas estruturas s~ao um pre-requisito a gerac~ao de estados com um perl espacial na com-

6.2. MODOS TRANSVERSOS EM CAVIDADES COM ESPELHOS ESFERICOS 145

press~ao quantica de rudo, o qual deve ocorrer, para interac~oes em cavidades, apenas nos casosmultimodo.

Apesar das previs~oes teoricas, os resultados quanticos para as utuac~oes do campo s~aoainda escassos. Temos um amplo tema de trabalho no estudo de estados de fotons gemeos,por exemplo, onde se demonstrou o efeito de \antibunching" espacial [114]. No entanto, paraestados macroscopicos do feixe s~ao poucos os trabalhos realizados. Como exemplo, temos oestudo de um laser a gas em [131]. A excec~ao dos estudos da distribuic~ao quantica do rudoca por conta dos estudos com laseres de diodo [132] (inclusive laseres de cavidade vertical -VCSEL [133]), demonstrando a distribuic~ao espacial do rudo nestes meios valendo-se de umadescric~ao multimodo do feixe de sada.

Os primeiros resultados para o estudo da distribuic~ao de rudo nos feixes de um OPOcomecam a aparecer. Nosso trabalho recente, apresentado nesta tese, levou a demonstrac~aode n~ao-uniformidades na distribuic~ao do rudo dentro de um OPO confocal [14]. Este e umprimeiro indcio do acoplamento das utuac~oes entre os modos transversos de um OPO, com odesenvolvimento de tecnicas experimentais que permitem a analise dos feixes produzidos.

6.2 Modos transversos em cavidades com espelhos esfericos

Para compreendermos melhor a oscilac~ao em modos transversos, vamos descrever as condic~oesde ressonancia para um feixe gaussiano dentro de uma cavidade formada por espelhos esfericos.Seguiremos de forma resumida a descric~ao apresentada no captulo 19 da referencia [57].

Considere uma cavidade linear formada por dois espelhos esfericos de raios de curvatura R1

e R2, separados por uma distancia L no vacuo, como mostrado na gura 6.5. Para que ocorraa oscilac~ao estavel, o modo gaussiano no interior da cavidade devera ter os raios de curvaturaR(z) dados pela equac~ao A.6 exatamente sobrepostos a superfcie re etora. Nesta situac~ao,considerando que o diametro do feixe incidente sobre cada espelho 2w(zi) = 2wi e muito menorque o diametro do espelho, o feixe gaussiano sera exatamente re etido sobre si mesmo. Teremosent~ao multiplas re ex~oes do feixe gaussiano. Desse modo, o raio de curvatura dos espelhos esua distancia L ir~ao denir o comprimento de Rayleigh zR, e consequentemente a posic~ao z = 0da cintura do feixe e seu diametro 2w0.

A cavidade ira denir, portanto, uma base de modos Laguerre-Gauss ou Hermite-Gausspara a parte espacial da envoltoria da onda ressonante, com uma cintura de feixe dada pelosparametros R1; R2; L da cavidade. Um feixe transmitido por ela ou gerado em seu interiorpodera ser facilmente descrito em uma destas bases.

E por este motivo que, em captulos anteriores, buscamos o acordo de modo do feixe debombeio a cavidade. Para um perfeito acordo de modo, altera-se o feixe gaussiano incidentepor um conjunto de lentes, de modo que ele se sopreponha da melhor forma possvel aos modosda cavidade. Geralmente buscamos a sua projec~ao no modo gaussiano fundamental (TEM00),como foi o caso do OPO com o cristal QPM. Neste caso, um desacordo de modo e visto peloacoplamento do feixe a outros modos transversos da cavidade. Quando a ressonancia dos modostransversos esta longe da ressonancia do modo fundamental, temos efetivamente uma perda depotencia efetivamente injetada na cavidade.

O raio da cintura do feixe gaussiano w0 e sua posic~ao no interior da cavidade podem ser


R2

R1

L

2w1

2w0

2w2

z1 z2

z=0

Figura 6.5: Cavidade composta por dois espelhos esfericos.

calculadas partindo dos raios de curvatura dos espelhos. Das equac~oes dos feixes gaussianos(Apendice A) temos

R(z1) = z1 + z2R=z1 = R1 e R(z2) = z2 + z2R=z2 = R2: (6.3)

com o comprimento de Rayleigh zR = w20=. As equac~oes ser~ao descritas de forma mais

conveniente se substituirmos os raios de curvatura dos espelhos pelos parametros g da cavidade,denidos como

gi = 1 L

Ri: (6.4)

Podemos calcular o raio da cintura do feixe, bem como os raios dos feixes incidentes sobreos espelhos, obtendo

w20 =

L

sg1g2(1 g1g2)

(g1 + g2 2g1g2)2; w2

1 =L

sg2

g1(1 g1g2)e w2

2 =L

sg1

g2(1 g1g2);

(6.5)e para os valores do comprimento de Rayleigh e as distancias dos espelhos a cintura do feixeteremos

z2R = L2g1g2(1 g1g2)

(g1 + g2 2g1g2)2; z21 = L

g2g1(1 g1g2)

e z22 = Lg1

g2(1 g1g2): (6.6)

Vemos imediatamente que as soluc~oes s~ao reais apenas se a condic~ao

0 g1g2 1 (6.7)

for satisfeita. Caso contrario, as cavidades ser~ao instaveis, apresentando grandes perdas pordifrac~ao. Ainda que muito uteis em laseres [57], estas cavidades instaveis n~ao s~ao interessantes


para os estudos de efeitos quanticos em OPOs no regime contnuo, como aqueles descritos nestetrabalho. Para este caso, queremos o mnimo de perdas da cavidade se quisermos uma oscilac~aoa baixas potencias de bombeio e correlac~oes quanticas entre os feixes gerados.

Podemos representar a condic~ao de estabilidade em um diagrama (gura 6.6), onde apresen-tamos os diferentes tipos de cavidade em func~ao dos seus parametros (g1; g2). A linha diagonalrepresenta a condic~ao dada por osciladores simetricos, onde g1 = g2 = g. Outro tipo de cavi-dade frequentemente usada e aquela que emprega um espelho plano e um espelho esferico. Nestecaso a cintura do feixe se situa sobre o espelho plano, o qual apresenta um valor g2 = 1. Estetipo de cavidade, tambem conhecido por cavidade semi-simetrica, apresenta semelhancas ascavidades simetricas no que se refere a seu alinhamento, porem com diferencas nas frequenciasde ressonancia dos modos tranversos, como veremos a seguir.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

CavidadeSemi-simétrica

CavidadeSimétrica

Concêntrica Confocal

Plana

g2

g1

Figura 6.6: Plano dos parametros g das cavidades com espelhos esfericos. As regi~oes dascavidades estaveis est~ao sombreadas. Neste plano, situamos as congurac~oes de cavidadessimetrica e semi-simetrica.

Os raios dos feixes incidentes sobre os espelhos e o raio da cintura do feixe para cavidadessimetricas pode ser obtido a partir das equac~oes 6.5. O comprimento de Rayleigh, neste caso,

varia na forma zR = L2

q1+g1g . Vemos que para uma cavidade concentrica o valor de zR tende a

zero, implicando em uma divergencia crescente do feixe a medida que nos aproximamos destelimite. Na concentricidade exata, a divergencia e sucientemente grande para que a aproximac~aoparaxial perca a validade. Ja na cavidade confocal, no limite g ! 0, o valor do comprimento deRayleigh vai a zR = L=2, o que signica que a divergencia do feixe e pequena. Para a cavidadeplana, o comprimeto de Rayleigh tende ao innito, o que mostra a situac~ao instavel para estacavidade, na qual a aproximac~ao paraxial perde novamente a validade.

Geometricamente, vemos que a cavidade confocal e pouco crtica quanto ao alinhamento.


Nesta cavidade, o centro do raio de curvatura de um espelho se situa sobre a face do outro,de modo que um desalinhamento da cavidade desloca seu eixo, sem afetar sua estabilidade.Ja para as cavidades plana, concentrica e semiconcentrica, o desalinhamento representa umagrande perda por difrac~ao, sendo ent~ao que estas cavidades apresentam maiores diculdadespara o alinhamento.

Para as diferentes cavidades, teremos diferentes valores para as frequencias de ressonancia,conforme o modo transverso que oscile em seu interior. Veremos ent~ao quais as condic~oesnecessarias para a degenerescencia dos modos transversos das cavidades.

6.2.1 Ressonancia dos modos transversos

A condic~ao de ressonancia da cavidade pode ser observada pela propagac~ao de um feixe gaus-siano em seu interior. Da equac~ao do feixe gaussiano (eqs. A.12 e A.13), vemos dois termosde fase dependentes da coordenada longitudinal z, um vindo da evoluc~ao rapida da frente deonda k(z2 z1) = kL e outro do termo de fase de Gouy (z) e da ordem s do modo transverso(s+1) [ (z2) (z1)], onde s e um inteiro. Na descric~ao do feixe em coordenadas cartesianas,na base de Hermite-Gauss, a ordem s e dada pela soma das ordens dos modos fm;ng nasduas coordenadas transversas fx; yg. Ja na base de Laguerre-Gauss, descrita em coordenadascilndricas, este termo traz a contribuic~ao do termo de ordem radial p 0 e do termo de ordemangular j, de modo que s = 2p+ j.

A fase de Gouy e dada por (zi) = arctan(zi=zR), de modo que a fase acumulada em umapassagem pela cavidade e (z2 z1) = kL (s + 1) [ (z2) (z1)]. Dos valores de z1 e z2dados pela equac~ao 6.6 temos que

(z2) (z1) = arccospg1g2; (6.8)

onde empregamos o valor negativo se g1; g2 < 0, e o valor positivo se g1; g2 > 0. Para umacavidade simetrica esta fase e dada por

= (z2) (z1) = arccos(g); (6.9)

onde o valor da diferenca de fase situa-se entre 0. Vemos claramente que, na cavidadeconcentrica, este termo contribui com uma fase a propagac~ao do feixe, tendendo a zero numacavidade plana.

A condic~ao de ressonancia e obtida quando a fase em uma volta completa da cavidade e ummultiplo inteiro de 2, de modo que ha uma contribuic~ao aditiva entre os campos a cada volta.Ou, para uma passagem simples no interior da cavidade, a fase deve ser um multiplo inteirode ((z2 z1) = q, onde q e um inteiro), que determina a ordem do modo longitudinal deoscilac~ao.

A ressonancia dependera tanto da ordem q longitudinal quanto da ordem s do modotransverso de oscilac~ao. Para um dado comprimento L da cavidade simetrica, as frequenciasde ressonancia ser~ao dadas por

q;s = FSR

q + (s+ 1)

arccos(g)

; (6.10)


onde o intervalo espectral livre e dado por FSR = c2L . Ou ainda, para uma frequencia xa, a

cavidade sera ressonante para um comprimento

Lq;s =

2

q + (s+ 1)

arccos(g)

: (6.11)

Ou seja, as frequencias de ressonancia dos modos transversos est~ao separadas por arccos(g)=.

A densidade de modos transversos dentro de um intervalo espectral livre, mantendo-se nomesmo modo longitudinal q, e dada por

Ntr =

arccos(g): (6.12)

A cavidade e n~ao-degenerada se q;s = q0;s0 somente se q = q0 e s = s0. Porem, podemoster situac~oes onde varios modos est~ao ressonantes com a cavidade, ainda que representemdiferentes modos transversos e longitudinais. Estes casos degenerados ocorrem quando N1

tr forfracionario, do tipo (q q0)=(s s0). Ha portanto uma innidade de situac~oes onde temos acavidade degenerada. Vamos considerar alguns casos especcos, estudando os casos de elevadadegenerescencia.

Cavidade concentrica (2R = L ) Ntr = 1): Esta situac~ao implica que g ! 1. Para aconcentricidade exata, temos que arccos(g) = . Ha uma degenerescencia para os modosfq; sg; fq + 1; s 1gfq + 2; s 2g; :::, ou seja, para q + s = p com p inteiro. Isto pode serfacilmente compreendido ao lembrar que, na condic~ao concentrica, a fase de Gouy e de, o que implica que em uma volta completa o modo de ordem fq; s + 1g tem uma faseadicionada, equivalente a um perodo de acrescimo com relac~ao ao modo fq; sg, sendo noentanto ressonante com o modo fq 1; sg. Na varredura do comprimento da cavidade,as ressonancias de todos os modos transversos ser~ao coincidentes com a ressonancia domodo fundamental.

Cavidade confocal (R = L ) Ntr = 2): Ha degenerescencia para os modos s pares seq+ s=2 = i ou para todos os modos s mpares se q+(s+1)=2 = i. Na varredura, ha duasseries de picos para um intervalo espectral livre. E por este motivo que costuma-se dizerque na cavidade confocal o intervalo espectral livre e igual a metade do intervalo espectrallivre de uma cavidade qualquer: FSRconf =

c4L . Nesta tese, manteremos a denic~ao do

intervalo espectral livre FSR = c2L mesmo para a cavidade confocal, por conveniencia na

descric~ao.

Cavidade plana (R ! 1 ) Ntr =! 1): Agora temos arccos(g) = 0. Ou seja, todos osmodos transversos ser~ao coincidentes com o modo fundamental transverso (s = 0).

Cavidade semi-concentrica (R1 = L;R2 !1): Nesta condic~ao, como vemos pela fase deGouy, temos novamente Ntr = 2 . Ou seja, repete-se a situac~ao de degenerescencia dacavidade confocal, pois temos uma fase de Gouy de somada para uma volta completada cavidade.


Note que estas condic~oes de ressonancia s~ao muito estritas, ainda mais ao lembrarmosque o limite da concentricidade e da cavidade plana s~ao limites instaveis, portanto de difcilimplementac~ao. Sera conveniente denir uma regi~ao de valores para o comprimento de cavidadena qual os picos de ressonancia dos diferentes modos se confundem. Considere a nesse F dacavidade, que e igual ao intervalo espectral livre dividido pela largura de banda BW , a meiaaltura do pico de ressonancia,

F =FSR

BW' 2

T; (6.13)

para a perda de potencia da cavidade T 1. Diremos que a cavidade e degenerada se a sepa-rac~ao entre dois picos adjacentes (q;s; q0;s0) for inferior a largura de banda BW da cavidade,de modo que os picos se confundam. Vamos calcular a faixa de valores ÆL do comprimento dacavidade no qual a degenerescencia se mantem.

Cavidade confocal

Fazendo o limite g ! 0, o termo de fase de Gouy pode ser aproximado por ' 2 + g, de modo

que a separac~ao entre dois comprimentos de cavidade ressonantes adjacentes e Lq;s;q0;s0 =Lq;s Lq0;s0 = g=, ou em termos de frequencia

q;s;q0;s0 = q;s q0;s0 = FSR2g

(6.14)

quando q q0 = 1 e s s0 = 2. A separac~ao entre os modos varia de forma linear, denindoa regi~ao de confocalidade para uma cavidade com perdas n~ao nulas. Expressando em termosdo comprimento da cavidade L e do raio de curvatura R dos espelhos temos a regi~ao confocaldada por jj < BW , ou seja

jÆLcf j <

2FR ' T

4R (6.15)

onde ÆLcf = R L e a distancia da cavidade a condic~ao de confocalidade exata.

Cavidade concentrica

No limite g ! 1, o termo de fase de Gouy e = . Nesta condic~ao, podemos descrever g poruma func~ao quadratica de , ou seja

g = cos ' 1 + ( )2

2) =

q2(g + 1); (6.16)

de modo que a separac~ao entre duas posic~oes de ressonancia adjacentes e Lq;s;q0;s0 = 2

p2(g+1)

ou em termos de frequencia, q;s;q0;s0 = FSRp2(g+1)

, quando q q0 = 1 e s s0 = 1.A regi~ao de concentricidade passa a ter uma dependencia quadratica com as perdas da

cavidade

ÆLcc <R2

2F 2' T 2

8R (6.17)

onde ÆLcc = 2R L e a distancia da cavidade a condic~ao concentrica.


Cavidade plana

De modo semelhante a cavidade concentrica, temos no limite g = 1, = 0. Podemos fazer aaproximac~ao

g = cos ' 1 2

2) '

q2(g 1): (6.18)

Por isso a separac~ao entre duas posic~oes de ressonancia adjacentes e dada por Lq;s;q0;s0 =

2

p2(g1) ou em termos de frequencia q;s;q0;s0 = FSR

p2(g1) quando q q0 = 0 e s s0 = 1.

Vemos ent~ao que a denic~ao da regi~ao degenereada da cavidade plana e semelhante ao casoconcentrico. Considerando que a cavidade e formada por espelhos de raios de curvatura Rarbitrariamente grandes, separados por uma distancia L teremos

ÆLpl = L <R2

2F 2' T 2

8R: (6.19)

Note que, ainda que a regi~ao degenerada possa ser muito grande, gracas a um grande valor deR, teremos por um lado o problema de alinhamento da cavidade no limite da estabilidade, epor outro lado a formac~ao de lentes termicas, que alteram a fase de Gouy no feixe ressonante,tirando-o da condic~ao degenerada [13].

Cavidade semiconcentrica

Voltando a equac~ao 6.8 e fazendo g1 = 1, g = g2, vemos que para uma cavidade semi-simetricatemos = arccos

pg. Ou seja

g = cos2 =1

2[1 + cos(2 )] ' 2

2

2) =

2rg

2(6.20)

ao fazermos o limite g ! 0, ! =2.Calculando novamente a separac~ao entre duas posic~oes de ressonancia adjacentes temos

Lq;s;q0;s0 = 2

p2g , ou em termos de frequencia q;s;q0;s0 = FSR

p2g quando q q0 = 1 e

s s0 = 2. Novamente a separac~ao entre os modos e semelhante ao caso concentrico, com

ÆLsc <R2

2F 2' T 2

8R: (6.21)

Vemos portanto que a regi~ao degenerada para cada uma das cavidades aqui mostradas n~aoesta limitada a um valor preciso, porem aceita uma faixa de valores dependendo do raio decurvatura dos espelhos e das perdas de cavidade. No entanto, enquanto esta faixa e linearcom as perdas para a cavidade confocal, ela e quadratica nos demais casos, estreitando ent~ao aregi~ao degenerada para estas cavidades.

Veremos futuramente como isso afeta a condic~ao de concentricidade para a cavidade do OPOcom cristais tipo I e tipo II. Enquanto que para o primeiro teremos uma cavidade triplamenteconcentrica, para o OPO tipo II teremos a degenerescencia para cada modo separadamente.

Para descrever os diferentes comportamentos de oscilac~ao na cavidade concentrica, vamoscomecar pela apresentac~ao do laser de bombeio empregado nesta experiencia e do sistema deaquisic~ao de dados.


6.3 Sistema de bombeio

Para o estudo dos efeitos transversos em um OPO, bombeamos a cavidade com o segundoharmonico do laser de Nd:YAG, gerando os feixes sinal e complementar em regime quase degen-erado em frequencia. Basicamente, trata-se do mesmo tipo de montagem descrita na primeiraexperiencia desta tese, onde um cristal n~ao-linear inserido em uma cavidade triplamente resso-nante e bombeado em 532 nm, o que leva a oscilac~ao parametrica. O regime quase degeneradoe selecionado pela largura de banda dos espelhos da cavidade, otimizados para o sub-harmonicodo bombeio. Porem no caso agora descrito a gerac~ao de segundo harmonico parte diretamentede um laser Nd:YAG, ao inves de empregarmos um sistema fechado para isso. Temos algunsbons motivos para faze-lo.

O primeiro e a solicitac~ao de potencia desta montagem. Estaremos operando em cavidadesdegeneradas, buscando excitar multiplos modos transversos. Por este motivo, e convenientedispor de potencia suciente para excita-los (cerca de 1 W de potencia em 532 nm). Isto excedeem muito os 200 mW do modelo de laser empregado na montagem do LMCAL - USP.

Outra raz~ao para o emprego do sistema aqui descrito e a possibilidade de utilizarmos ofeixe laser no infravermelho (1064 nm), que e disponibilizado pelo uso de um laser de bombeioseparado da cavidade de dobramento. Com isso, teremos tanto um feixe laser para vericar oalinhamento da cavidade no sub-harmonico, quanto um oscilador local para medidas de vacuocomprimido, a serem realizadas no futuro pelo Laboratoire Kastler Brossel-Paris.

Apesar destas vantagens, o sistema empregado para o bombeio torna-se grande, ocupandometade da area da mesa otica. Alem disso, necessita de duas etapas separadas de estabilizac~ao.A descric~ao completa pode ser vista na gura 6.7.

O sistema comeca por um laser Nd:YAG monoltico, bombeado a diodo, modelo 122 daLightwave. Este laser mestre e modulado em fase por um modulador eletro-otico (EOM), sobreo qual aplicamos uma alta tens~ao (100 Vpp) em alta frequencia (15 MHz). A modulac~aode fase produz bandas laterais que servir~ao como referencia para gerar o sinal de erro nascavidades do laser escravo, de gerac~ao de segundo harmonico, e eventualmente na cavidade doOPO, empregando um sistema de detec~ao sncrona [97].

O isolador otico FR1 protege o laser mestre de instabilidades provocadas pelo retorno dofeixe, como e o caso dos demais isoladores nesta montagem. A lamina de meia onda (WI1)permite ajustar a polarizac~ao de entrada do feixe para maxima transmiss~ao no isolador otico.

O modulador eletro-otico (EOM) e composto por um cristal birrefringente sem invers~aode simetria ao qual aplicamos uma alta tens~ao alternada, modulando os ndices de refrac~aodo meio [51]. Se a polarizac~ao do feixe incidente n~ao estiver corretamente alinhada ao eixoextraordinario (ou ordinario) do cristal no interior do modulador eletro-otico, a modulac~ao detens~ao ira produzir, alem da modulac~ao em fase, uma modulac~ao da polarizac~ao do feixe. Istoocorre devido a decomposic~ao do feixe em dois feixes de polarizac~oes ortogonais com um atrasode fase entre si, atraso este que e modulado pela alta tens~ao aplicada. Desse modo a sada domodulador, alem de n~ao ser mais linearmente polarizada, sofrera uma modulac~ao de polarizac~ao.Qualquer elemento otico polarizante no caminho (como e o caso do proprio conjunto do laserescravo) ira transformar esta modulac~ao de polarizac~ao em modulac~ao de amplitude, afetandoa medida do sinal de erro ao longo da montagem.

Desse modo, a polarizac~ao de entrada do modulador e ajustada pela lamina de meia onda

6.3. SISTEMA DE BOMBEIO 153

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Figura 6.7: Diagrama do sistema do laser de bombeio.

WI2, de modo a minimizar o sinal de rudo na frequencia de modulac~ao, medido por um detetorcolocado diante da sada do sistema do laser mestre, onde temos o cubo polarizador PBS1. Amodulac~ao de amplitude medida pelo detetor com a inserc~ao desta lamina de meia-onda foi 10dB inferior a obtida pela rotac~ao do modulador, o que e feito de forma muito mais grosseiraque a rotac~ao da lamina devido a limitac~ao mecanica da montagem. O sinal de modulac~aode amplitude/polarizac~ao nal era apenas 4 dB superior ao rudo eletronico de fundo, captadopelo detetor na ausencia de incidencia de luz.

O feixe de sada do modulador eletro-otico apresenta um leve astigmatismo, corrigido pelosprismas anamorcos (PA) com \coating" para 1064 nm. O cubo polarizador PBS1 assegurauma polarizac~ao linear de sada, alem da permitir o ajuste preciso de WI2. Todo este sistemado laser mestre e fechado em uma caixa de acrlico, vazada no ponto de sada do laser, com um uxo de ar para evitar a deposic~ao de poeira sobre a otica do sistema. O modulador eletro-otico, por estar submetido a uma modulac~ao de alta-tens~ao em alta frequencia, requer um bomaterramento para evitar a propagac~ao de rudos sobre a eletronica (inclusive a de detec~ao). O


feixe de sada do sistema laser mestre e injetado atraves de um periscopio ao laser escravo,usando um par de lentes para fazer o acordo de modo com a cavidade. A potencia de sadaapos o cubo polarizador e de 150 mW.

O laser escravo e composto de um bast~ao de Nd:YAG bombeado por lampada, inserido emuma cavidade em anel formada por quatro espelhos planos. Um deles, solidario a um PZT,permite a varredura do comprimento da cavidade. Em operac~ao livre, o laser apresenta umasada multimodo com uma banda larga, e a intensidade e pouco dependente do comprimentoda cavidade. A polarizac~ao de oscilac~ao do laser e vertical, denida por uma lamina de vidroem angulo de Brewster (BW). O comprimento total da cavidade e da ordem de 2 m (FSR= 75MHz). A oscilac~ao livre ocorre nos dois sentidos, de modo que o feixe apresenta uma sada decerca de 2 W em cada direc~ao. O laser mestre e injetado na cavidade, sendo o seu alinhamentofeito de tal forma que sua re ex~ao no espelho de acoplamento seja colinear ao feixe de sadado laser escravo. Nesta condic~ao, um circuito de detec~ao sncrona permite fazer a demodulac~aodo sinal medido em um detetor, tendo como referencia o sinal injetado para a modulac~ao defase no EOM. O sinal de erro, apos integrac~ao e amplicac~ao, e realimentado ao PZT, atuandono comprimento da cavidade. Nesta situac~ao, o feixe de sada apresenta uma potencia estavelde cerca de 4 W, a qual se mantem por um perodo da ordem de algumas horas, saindo daestabilizac~ao no caso de uma perturbac~ao externa (por exemplo, choques mecanicos na mesa).Um obturador mecanico funciona como mecanismo de seguranca, bloqueando a oscilac~ao dolaser escravo durante o alinhamento do sistema sem que haja necessidade de interromper acorrente sobre a lampada de bombeio.

A sada do laser escravo e por sua vez injetada na cavidade de dobramento. Antes porem,passa por um outro isolador otico (FR2). O cubo polarizador PBS2 e a lamina de meia ondaWI4, mais do que controlar a potencia injetada no dobrador, permitem extrair parte do feixede sada do laser escravo para injec~ao na cavidade do OPO, facilitando seu alinhamento e per-mitindo a analise dos modos da cavidade, vericando sua distancia da condic~ao degenerada.Esta sada de 1064 nm sera empregada ainda como oscilador local na medida de estados com-primidos em experiencias futuras. A lamina de meia onda WI6 permite girar a polarizac~ao dofeixe enviado ao OPO.

A injec~ao na cavidade de dobramento e feita pelas lentes L3 e L4, que asseguram o acordode modo, e pela lamina de meia onda WI5, que permite orientar a polarizac~ao do feixe para oplano extraorinario do cristal.

A cavidade de dobramento e duplamente ressonante para o fundamental e o segundo har-monico. O meio n~ao linear e um cristal de MgO:LiNbO3 em casamento de fase tipo I, comuma das faces com tratamento anti-re etor e outra com um \coating" altamente re etor parao fundamental e o segundo harmonico. O outro espelho da cavidade e um espelho concavo,acoplado a um PZT. A cavidade e mantida ressonante para o bombeio atraves de um sistemade detec~ao sncrona semelhante ao empregado para a cavidade do laser escravo, estabilizadopela modulac~ao de fase a 15 MHz do infravermelho. O feixe de referencia e obtido do vestgiode infravermelho transmitido pela face espelhada do cristal de Niobato de Ltio. O cristal emantido em um forno controlado, sendo aquecido ate 120ÆC e estabilizado em temperatura. Ocomprimento da cavidade e controlado por um PZT acoplado ao espelho de entrada. O feixeverde, vindo da cavidade, e re etido por um espelho dicroico (DM), e colimado pela lente L7,para sua injec~ao no isolador otico (FR3). A potencia de sada do bombeio enviada ao OPO e

6.3. SISTEMA DE BOMBEIO 155

controlada pela lamina de meia onda WG1, e sua polarizac~ao de injec~ao no OPO pela laminade meia onda WG2, que permite girar a polarizac~ao de sada do isolador otico.

A estabilizac~ao da cavidade de segundo harmonico e um pouco mais delicada. Claramentedependente da estabilizac~ao da primeira etapa, nesta etapa temos um problema adicional provo-cado pela temperatura. A potencia de sada da cavidade de dobramento pode mudar muito comuma variac~ao de temperatura da ordem de 2ÆC. O melhor resultado obtido e de 1,4 W, poremoperando no limite superior de temperatura, o que leva a instabilidades e quedas eventuais (erepetitivas) do sinal de estabilizac~ao. Um motivo para isso e o proprio aquecimento do cristalpor absorc~ao do feixe de bombeio, o que faz com que a temperatura na regi~ao de interac~ao dofeixe seja um pouco maior que a temperatura do forno. Ao aquecer o cristal, este se coloca alemdo ponto ideal do acordo de fase, interrompendo a oscilac~ao. Por este motivo, nos colocamosgeralmente a Top = Tmax 1; 5ÆC do limite superior de oscilac~ao. Nesta condic~ao, obtinha-seuma sada estavel de 1,2 W.

Note ainda que o circuito eletronico e crtico nesta parte do sistema. A integrac~ao do sinal deerro e indispensavel para assegurar o maximo rendimento. Se n~ao nos colocamos exatamente nopico de ressonancia do bombeio, o aquecimento do cristal por absorc~ao do feixe n~ao e sucientepara otimizar a gerac~ao de segundo harmonico, o qual apresenta uma sada instavel e utuante.No entanto, excesso de ganho leva o PZT a oscilac~ao em torno da ressonancia, de modo quea potencia media e reduzida, e novamente temos uma situac~ao menos eciente para gerac~aodo segundo harmonico. O ajuste do ganho e da constante de integrac~ao e feito de tal formaque o sistema comece a apresentar oscilac~ao eletronica, levando a proximidade de ressonancia.O proprio aquecimento do cristal leva a uma reduc~ao na amplitude e um aumento na largurado pico do infravermelho pela deplec~ao gerada pelo segundo harmonico. Com isso, o ganhoda malha de realimentac~ao e reduzido, levando ao m da oscilac~ao. Neste ponto, aumenta-seo ganho, obtendo agora uma sada estavel. Em operac~ao normal, temos uma estabilizac~ao depotencia melhor que 3% para o verde e o infravermelho, medido em uma base de tempo de100 ms. A deriva do valor medio das intensidades para um intervalo de 50 s se situa na mesmafaixa de valores.

O feixe de sada do dobrador de frequencia foi analisado por um sistema \ModeMaster"da Coherent Inc., o qual utiliza um tambor rotativo e um fotodiodo para obter o tamanho dacintura do feixe, sua posic~ao, o comprimento de Rayleigh e o fator M2 do feixe de sada, quemede qual a frac~ao da potencia que esta no modo gaussiano fundamental.

Desse modo, obtivemos para o feixe de bombeio um valor M2 = 1; 5 , w0 = (95 5) m,e portanto um comprimento de Rayleigh do modo fundamental zR = (53 5) mm. A posic~aoda cintura do feixe sera referenciada na descric~ao da otica do acordo de modo do bombeio porz = 0, e as distancias das lentes e espelhos de cavidade do OPO ser~ao dadas em func~ao dessaposic~ao.

Uma vez caracterizado o feixe de bombeio empregado para o OPO, veremos as condic~oes deoscilac~ao da cavidade concentrica, comecando pela cavidade com um cristal tipo II, mostran-do suas diversas regi~oes de operac~ao, para depois estudarmos as estruturas formadas em umOPO com cristal tipo I. As diferencas nas regi~oes de concentricidade dar~ao origem a diversoscomportamentos, alem da variac~ao de limiar de oscilac~ao no OPO.


6.4 Montagem empregada

Para a realizac~ao das montagens aqui apresentadas, mantnhamos o cristal (KTP com compen-sac~ao de \walk o" ou Niobato de Ltio) em um suporte com um forno controlado. Para o KTP,o forno e aquecido por um Peltier, que estabiliza a temperatura entre 20 e 30 ÆC, enquanto quepara o Niobato de Ltio o forno e regulado para uma faixa entre 100 e 150 ÆC, aquecido por umresistor.

A cavidade, mostrada na gura 6.8, emprega um sistema de lentes para fazer o acordo demodo do feixe de sada do gerador de segundo harmonico ao modo da cavidade. A primeiralente (L1) focaliza o feixe. Uma segunda lente (L2) e empregada para colimar este feixe, que einjetado na cavidade pela lente L3.

L1 L2M1

M2

M3

Det. Bombeio

Det.Sinal/Pol. V

Det.Compl./Pol. H Cav. Concêntrica

Cristal

DM1

DM2

532 nm

1064 nm

L3L4

Figura 6.8: Montagem para estudo da cavidade confocal.

Para projetar as lentes empregadas na montagem, comecamos pela cintura do feixe esperadano interior da cavidade do OPO, calculando ent~ao o raio da cintura e sua posic~ao apos atransmiss~ao pelo espelho de entrada, que age como uma lente divergente. Escolhemos a distanciafocal da lente L3 de modo a ter um feixe de entrada colimado, e de modo que esta se situe auma distancia confortavel para o deslocamento do espelho de entrada e seu alinhamento.

Dado o diametro do feixe colimado injetado no conjunto do OPO (considerando ja a lenteL3), escolhemos o par de lentes L1 e L2 de modo a produzir, atraves de um telescopio, o feixecolimado de tamanho adequado em sua sada. O resultado e um feixe de injec~ao que dependepouco da posic~ao da lente L3. Esta, ao ser deslocada, move a cintura do feixe no interior dacavidade do OPO sem alterar signicativamente seu tamanho.

Para a realizac~ao da montagem instalamos L1 e L2, colimando o feixe de bombeio. Ao

6.5. SISTEMA DE DEMODULAC ~AO PARA MEDIDA DO RUIDO 157

instalarmos L3, denimos a posic~ao do espelho de entrada, de modo a produzir o foco dofeixe transmitido na posic~ao correspondente ao centro da cavidade. O espelho de sada eent~ao instalado, e pelo seu translado variamos o comprimento da cavidade. O ajuste no docomprimento para a estabilizac~ao do OPO e sua varredura e feito atraves de um PZT acopladoao espelho de entrada.

A medida da correlac~ao e feita pelo par de detetores dos feixes sinal e complementar. Odetetor para o visvel permite monitorar a potencia de bombeio intracavidade, cuja frac~aotransmitida pelo espelho de sada e separada do feixe infravermelho do OPO pelo espelhodicroico DM2. O sistema de imagem empregado difere um pouco a cada montagem realizada,sendo descrito posteriormente.

O feixe infravermelho, obtido do laser escravo, e empregado para alinhar a cavidade evericar a degenerescencia dos modos transversos do OPO. Este e diretamente injetado peloperiscopio, que permite seu alinhamento a cavidade.

Nesta montagem, estaremos interessados em buscar as correlac~oes espaciais do feixe doOPO. Para isso, observaremos as correlac~oes espaciais dentro de regi~oes simetricas de cadafeixe, empregando dois detetores a dois setores cada. O resultado nal sera a observac~aosimultanea de quatro canais de rudo, o que inviabiliza o uso de um Analisador de Espectro.Por isso, antes de descrevermos o comportamento do OPO concentrico, vamos mostrar o sistemade demodulac~ao empregado para a medida do rudo.

6.5 Sistema de demodulac~ao para medida do rudo

Para a medida da correlac~ao de rudo entre os feixes sinal e complementar de um OPO, umaopc~ao e tomar diretamente as sadas de alta frequencia de cada detetor, subtra-las em umcircuito ativo e monitorar a sada em um Analisador de Espectro (gura 6.9), como foi feito nocaptulo 4.

D1

Analisadorde

Espectro+/-

D2

Figura 6.9: Circuito para medida de correlac~oes de intensidade.


No caso aqui descrito, esperamos gerar feixes com correlac~oes espaciais de rudo, de modoque, para med-las, empregamos detetores divididos em quadrantes, como os mostrados na gu-ra 6.10. Tratam-se de detetores ETX505Q da Epitaxx, fotodiodos PIN de InGaAs otimizadospara detec~ao entre 800 e 1700 nm. Os fotodetetores empregados, apos remoc~ao da janela prote-tora de vidro e sua inserc~ao em uma caixa metalica com uma nova janela de re ex~ao desprezavelno infravermelho (inferior a 0,1 %), apresentam alta eciencia quantica, a qual se situa proximoa unitaria.

Figura 6.10: Fotodiodo a quadrantes ETX505Q da Epitaxx, com o tamanho dos quadrantes.

Como estudaremos medidas de correlac~oes simultaneas entre diversos quadrantes, a mon-tagem com o analisador de espectro envolve diculdades, posto que com ele podemos compararapenas duas sadas simultaneamente. Por este motivo, optamos por um sistema de demodulac~aodedicado, com multiplos canais separados para fazer a medida.

O seu esquema de funcionamento e semelhante ao de um Analisador de Espectro, o qual des-crevemos na gura 6.11. A entrada do sinal e amplicada e, atraves de um circuito misturador,produz-se um batimento deste sinal para uma frequencia intermediaria (FI) caracterstica doAnalisador de Espectro. A frequencia de analise do sinal de entrada e selecionada por umoscilador controlado por tens~ao (VCO) ao qual aplicamos uma rampa com uma certa velocidadede varredura (TS). A sada do misturador e ltrada por um ltro passa-faixa sintonizado nafrequencia intermediaria, cuja largura de banda (RBW) pode ser ajustada pelo usuario. Suasada passa por um detetor de pico, composto basicamente por um circuito reticador, e depoispor um ltro passa-baixa, que fornece a resoluc~ao da banda de vdeo do sinal de sada (VBW).Os circuitos amplicadores do analisador fornecem ao monitor de vdeo uma sada proporcionala potencia ou a amplitude do sinal demodulado, em escala logartmica (dBm ou dBv) ou linear(mW ou V). O monitor apresenta o resultado, com a varredura controlada pelo mesmo gera-dor de rampa empregado na varredura da frequencia. Em caso de medida de \zero-span", avarredura do VCO e desligada, e ele e mantido em uma frequencia xa.

O circuito empregado em nossa montagem assemelha-se a um analisador de espectro no usode uma demodulac~ao para a selec~ao da frequencia de analise. Porem, enquanto a demodulac~aodo Analisador de Espectro ocorre para uma frequencia FI superior a frequencia de entrada,o que e conveninete para a larga banda de valores dos analisadores de espectro comerciais(superior a GHz), empregaremos aqui a demodulac~ao para o nvel DC. Ainda que limitados em

6.5. SISTEMA DE DEMODULAC ~AO PARA MEDIDA DO RUIDO 159

Gerador deRampa

Monitorde Vídeo

Filtro Passa-Baixa

Retificador/Detetor de Pico

FiltroPassa-Faixa

TS

VBW

RBW

Ampl. MixEntrada do Sinal

Figura 6.11: Diagrama em blocos de um Analisador de Espectro.

relac~ao a frequencia de analise, nos situamos confortavelmente dentro da faixa de valores uteisde operac~ao do nosso sistema de detec~ao.

O circuito de detec~ao empregado e mostrado na gura 6.12. As sadas de alta frequencia dosfotodetetores s~ao ligadas a etapa de demodulac~ao, enquanto que as sadas de baixa frequencia,com o valor medio da corrente, s~ao ligadas diretamente ao conversorA/D (National InstrumentsPCI-6110E).

A demodulac~ao e feita por uma serie de circuitos dedicados, descritos no apendice. Oltro rejeita faixa e um ltro passivo de 15 MHz, com rejeic~ao de 36 dB para esta frequencia.Sua func~ao e cortar o excesso de rudo presente devido tanto a modulac~ao de fase do lasermestre quanto as interferencias eletronicas do demodulador. Testes iniciais sem este circuitomostraram uma saturac~ao da resposta do sistema, o que ocorre mesmo em frequencias dife-rentes da frequencia de 15 MHz, devido a intermodulac~ao dos sinais no caso de saturac~ao daeletronica.

Apos a ltragem, os sinais s~ao amplicados por um circuito de banda larga e alto ganho(amplicador 10.36.2 Nucletudes). A sada e ent~ao demodulada por um circuito misturadorpassivo (SR-1H da Minicircuits). A demodulac~ao e feita pela mistura do sinal a uma frequenciade referencia, produzida por um gerador de sinais comercial com sada de amplitude de 6 Vpp.O sinal de sada corresponde a multiplicac~ao dos sinais de entrada. Teremos deste modo termosde soma e subtrac~ao de frequencia. Filtrando a parte de baixa frequencia, teremos o espectro deamplitudes do sinal de entrada em torno da frequencia Fin, transferido para o nvel DC. O ltropassa baixa ativo de 100 kHz age como o tro de banda do analisador de Espectro (RBW). Osinal e amplicado por um ultimo circuito, adaptado para baixas frequencias, que compatibilizaa amplitude das utuac~oes ao nvel de entrada do conversor A/D. Este faz a leitura simultanea


Fin

Filtro15 MHz

Ampl.AF

Ampl.BF

FiltroBFMix

ConversorA/D

EntradasDC

EntradasAF

Figura 6.12: Diagrama em blocos do circuito de demodulac~ao.

das entradas com uma taxa de repetic~ao de 200 kHz. Como pode ser observado, acima destafrequencia a correlac~ao entre dois dados adjacentes e n~ao-nula, o que implica em redundanciade informac~ao ao custo de tempo de calculo e espaco de memoria. Os valores lidos pela placa deaquisic~ao, contendo os dados de utuac~ao e valor medio de corrente, s~ao salvos no disco rgidodo computador.

Temos assim no conversor a leitura direta do valor medio das fotocorrentes em cada detetore de suas componentes de alta frequencia. Podemos fazer a medida de correlac~ao a partirdo calculo direto das variancias da subtrac~ao das fotocorrentes, normalizando o sinal ponto aponto pelo valor medio da fotocorrente e subtraindo no calculo das variancias a potencia dorudo eletronico previamente medido. O resultado nal e normalizado pela mesma medida feitapara um estado coerente na entrada do sistema de detec~ao, calibrando assim o nvel de \shotnoise".

Temos um total de oito circuitos demoduladores, e duas placas de aquisic~ao, o que totalizaoito entradas com leitura simultanea. Podemos realizar a medida simultanea de oito canais dealta frequencia, ou quatro de alta frequencia e quatro de baixa frequencia, ou ainda adicionarentradas de referencia, ou leitura da intensidade do bombeio. As medidas tambem podemser disparadas por um gatilho externo, de nvel TTL, que permite a aquisic~ao com o OPOestabilizado ou durante varreduras lentas, onde aguardamos a ressonancia e a oscilac~ao dosistema para realizar a medida. Os dados s~ao tratados em pacotes, tipicamente de 10.000pontos. Temos para o tratamento um compromisso entre o tempo de calculo do computadore a precis~ao dos valores. Conjuntos maiores apresentam menores incertezas, porem est~ao mais

6.6. ESTRUTURAS DE SAIDA EM OPO CONCENTRICO TIPO II 161

sujeitos as utuac~oes do OPO, alem de tomarem mais tempo de processamento. Conjuntosmuito pequenos s~ao rapidamente analisados, porem mostram grande dispers~ao nas medidas derudo efetuadas.

Descrito o sistema de medida, vamos vericar a sua aplicac~ao na busca de correlac~oesespaciais no OPO. Vamos mostrar inicialmente as estruturas de sada deste, e quando for ocaso a medida da compress~ao de rudo na correlac~ao de intensidade dos feixes gemeos.

6.6 Estruturas de sada em OPO concentrico tipo II

Para estudar os diferentes regimes de operac~ao do OPO nas proximidades da concentricidade,em diferentes comprimentos de cavidade, realizamos o registro sistematico das imagens dasestruturas formadas na sada do OPO. Registramos ainda o estudo dos modos da cavidade pelainjec~ao do feixe de 1064 nm, polarizado a 45Æ do eixo do cristal, de modo a obter a densidadede modos nas polarizac~oes correspondentes ao sinal e ao complementar. Quando o desbalanceioentre os modos de sada era inferior a 15%, realizamos a medida da correlac~ao de rudo entreos feixes, vericando seu carater quantico.

Para um OPO com um cristal tipo II, ha um problema na denic~ao de concentricidade. Ocomprimento de cavidade para a concentricidade exata difere para os modos bombeio, sinal ecomplementar. Para um cristal de 10 mm de comprimento, a distancia entre espelhos para aconcentricidade e dada por L = 2R + 10mm(1 1=n). Com os ndices de refrac~ao dos modosbombeio, sinal e complementar, temos respectivamente Lb 2R = 4; 41 mm, Lc 2R = 4; 27mm e Ls 2R = 4; 53mm. Neste caso, n~ao ha muito sentido em falar de cavidade triplamenteconcentrica, pois devido a denic~ao da regi~ao degenerada para as perdas de cavidade, a sepa-rac~ao entre os comprimentos de degenerescencia e superior a largura da regi~ao concentrica. Nonosso caso, para espelhos de raio de curvatura R = 50 mm, e uma perda intracavidade de 2%para o sub-harmonico, a regi~ao concentrica e de 2m, conforme a eq. 6.17.

No entanto, ao nos aproximarmos da concentricidade, vemos diferentes regimes de operac~aodo OPO pela formac~ao de estruturas em sua sada [13], acompanhados por um aumento dolimiar de oscilac~ao, descritos na gura 6.13. Esta gura apresenta as estruturas obtidas parauma cavidade com espelhos de raio R = 50 mm, com o comprimento da cavidade dado emfunc~ao da distancia a concentricidade media entre os modos (correspondendo a posic~ao de 100mm).

Na regi~ao I o limiar de oscilac~ao se mantem em valores baixos, e a sada e gaussiana (TEM00)para os modos sinal e complementar. A cerca de 0,5 mm da concentricidade (regi~ao II) comecaum aumento do limiar, acompanhado da formac~ao de uma cauda sobre o feixe do sinal, enquantoque bombeio e complementar se mantem gaussianos. A orientac~ao da cauda se da no planoperpendicular ao \walk o" do cristal, o qual manisfesta-se mesmo com a compensac~ao pelasuperposic~ao de dois cristais invertidos. A cauda aumenta, ate distorcer completamente o sinal.A cerca de 0,2 mm da concentricidade, e o complementar que comeca a apresentar distorc~oes,com a formac~ao de manchas laterais ao maximo central (regi~ao III). A regi~ao IV marca o limitede oscilac~ao do OPO, com a formac~ao de uma mancha de contornos mal denidos tanto para osinal quanto para o complementar.

Alem desse ponto, a sada torna-se instavel e n~ao e mais possvel obter uma operac~ao em


II IIII

0

200

400

600

800

99,2 99,4 99,6 99,8 100,0

Pot

ênci

a de

Lim

iar

(mW

)

Comprimento da Cavidade (mm)

IV

compl. sinal

Região III Região IV

Região II

compl. sinal

sinal

Figura 6.13: Aumento do limiar de oscilac~ao para diferentes comprimentos de cavidade, eimagens do campo proximo para diferentes regi~oes de oscilac~ao[13].

modo contnuo do OPO. No entanto, para potencias de injec~ao elevadas, temos a formac~ao deum par de feixes de sada para sinal e complementar, que se assemelham a modos TEM00 dacavidade.

Vamos fazer um estudo de caso para cada regi~ao de oscilac~ao, mostrando como estas estru-turas traduzem os efeitos produzidos pelo \walk-o" do cristal sobre o acoplamento dos modosda cavidade. A cavidade empregada e composta por dois espelhos esfericos de raio de curvatu-ra R = 50 mm, sendo que o espelho de entrada apresenta uma transmitancia de 8% para obombeio, e o espelho de sada apresenta uma transmitancia de 1% para o infravermelho.

6.6.1 Regi~ao de sada gaussiana

Com a cavidade vazia, medimos facilmente a concentricidade, varrendo a cavidade e aumentandoprogressivamente seu comprimento. Pelos fotodetetores, vemos que as ressonancias dos modostransversos se aproximam progressivamente. O aumento do comprimento da cavidade podeser feito pelo deslocamento do espelho de sada ou pelo espelho de entrada. Enquanto que oespelho de sada apresenta vantagens quanto a facilidade do realinhamento a cada nova posic~aode medida, ele acaba mudando a focalizac~ao das imagens produzidas. Ja para o espelho deentrada, n~ao ha mudanca nas imagens, porem o deslocamento altera o alinhamento e o acordode modo do feixe injetado. A soluc~ao escolhida foi ajustar o sistema de imagem ao comprimentonal da cavidade concentrica (incluindo o efeito da difrac~ao no cristal), e voltar o espelho desada para um comprimento sub-concentrico. Comecamos o alinhamento sem o cristal medindo,


pela superposic~ao dos picos e o subito aumento do tamanho da re ex~ao do feixe de bombeiosobre os espelhos da cavidade, a posic~ao do transladador para a concentricidade sem cristal(com precis~ao de 20 m). Em seguida, inserimos o cristal e o alinhamos, de modo a suprimiros picos de ordem mpar.

Nesta condic~ao, estamos aproximadamente a 4 cm da concentricidade. Temos ent~ao acavidade do OPO em oscilac~ao normal, ainda que com um acordo de modo ruim, com potenciade bombeio perdida para os picos de ressonancia dos modos pares. Isto deve-se ao fato do acordode modo ser otimizado para a cavidade quase concentrica, com um comprimento de cavidade acerca de 1 mm da concentricidade exata, correspondente a um valor de zR intracavidade de 3mm.

Vericamos nesta condic~ao o rudo dos feixes de sada. A cavidade podia ser estabilizada,apresentando porem utuac~oes de intensidade apreciaveis, o que diculta a distinc~ao entreo nvel de \shot noise" e a compress~ao na correlac~ao de intensidade (condic~oes obtidas pelamistura ou separac~ao dos feixes sinal e complementar no cubo polarizador). Medimos o rudode sada com um analisador de espectro, obtendo os resultados mostrados na gura 6.14.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

Ruído Eletrônico Soma (Excesso de Ruído) Subtração ("Shot Noise")

Pot

ênci

a de

ruí

do (

dBm

)

Freqüência (MHz)0 2 4 6 8 10 12 14

-80

-75

-70

-65

-60

-55

-50

-45

-40 Ruído Eletrônico Soma (Excesso de Ruído) Subtração ("Shot Noise")

Pot

ênci

a de

Ruí

do (

dBm

)

Freqüência (MHz)

Figura 6.14: Medida do rudo de sada do OPO para uma cavidade proximo a concentricidade(R=50 mm, L = 100 mm). Parametros do Analisador de Espectro: VBW=3 kHz, RBW = 100kHz, TS=58,33 ms. Potencia de entrada: 1 mW/detetor.

O excesso de rudo e medido pela soma das fotocorrentes dos dois detetores, enquanto que asubtrac~ao fornece a referencia do \shot noise". Vemos que o pico de rudo proveniente do sinalde 15 MHz e muito intenso, de tal modo que a rejeic~ao do sistema eletronico de subtrac~ao n~aopode compensa-lo, estando presente tambem na subtrac~ao. Isto mostra que, se o excesso derudo for superior a 20 dB com relac~ao ao nvel de \shot noise", a subtrac~ao n~ao fornece maisuma referencia segura para a sua medida. No lado direito, temos a medida repetida com outrofundo de escala, mostrando os detalhes do rudo abaixo da frequencia de modulac~ao.

Empregamos a eletronica desenvolvida para detec~ao para a medida do rudo em algumasfrequencias de analise. Calculamos a variancia condicional e a compress~ao de rudo, mostradasna gura 6.15, para as tres frequencias escolhidas.

A linha, mostrada apenas como um guia para os olhos, representa uma lorentziana para o


0 2 4 6 8 10 120,4

0,5

0,60,70,80,9

11

2

3

4

5

6789

Freqüência (MHz)

Compressão Excesso de Ruído por canal Variância Condicional

Complementar Sinal

Figura 6.15: Medida do rudo com o sistema de aquisic~ao dedicado para cavidade curta e sadasgaussianas para sinal e complementar.

caso de uma compress~ao de 58 %, com uma largura de banda de 8,5 MHz, compatvel com osvalores da cavidade (FSR=1,7 GHz, F'300).

Conclumos portanto que o sistema da aquisic~ao funciona corretamente, vericando a com-press~ao na correlac~ao de rudo entre sinal e complementar. Vericamos ainda que devido a baixacompress~ao e o elevado nvel de rudo nos feixes, a variancia condicional, descrita na ref. [44]para vericar as correlac~oes quanticas entre feixes, n~ao pode ser empregada na medida, represen-tando um criterio estrito demais para o OPO construdo. Temos claramente uma situac~ao ondeha compress~ao de rudo, com feixes quanticamente correlacionados, porem com uma varianciacondicional superior a 1. As medidas foram realizadas em regime contnuo, com estabilizac~aodo OPO, e em regime pulsado, onde o comprimento de cavidade e lentamente variado por umgerador de rampa, e a oscilac~ao dispara um sistema de aquisic~ao que registra, durante o pulso,as intensidades e utuac~oes de intensidade do sinal e complementar. Repetindo-se o procedi-mento ate obter um conjunto sucientemente grande de amostras, observa-se o mesmo nvelde compress~ao obtido para a aquisic~ao em regime contnuo. Uma vez vericada a operac~ao denosso sistema para uma situac~ao convencional, passemos ent~ao ao estudo dos casos do OPOoperando nos regimes de formac~ao de estruturas.

6.6.2 Regi~ao de formac~ao da cauda

Para estudar a formac~ao das imagens do OPO, projetamos a sada deste diretamente sobreum anteparo, separando os feixes sinal e complementar com a ajuda de um cubo polarizador.Empregamos um espelho basculante, de modo a chavear a sada do OPO entre os detetores


e o anteparo. A imagem e registrada por uma camera CCD com um conjunto de lentes defocalizac~ao e zoom. Para formar a imagem de campo distante, colocamos o anteparo muitoalem da lente de colimac~ao externa da cavidade (L4, g. 6.8), que produz uma cintura com umcomprimento de Rayleigh da ordem de 16 mm. O anteparo, posicionado a 500 mm da lente, emuito alem da cintura, reproduz de forma aproximada as imagens do campo distante do feixe.O retculo corresponde a escala milimetrada do anteparo, n~ao devendo ser confundido com asestruturas da cauda.

Para cada comprimento de cavidade (expresso aqui pela distancia L entre os espelhos)registramos a imagem e os modos de ressonancia dos feixes injetados. Os resultados, mostradosna gura 6.16, fornecem dados interessantes sobre a origem da cauda.

Nesta gura, temos os modos transversos obtidos pela analise das polarizac~oes verticale horizontal, correspondentes as polarizac~oes dos modos sinal e complementar, obtidas pelavarredura da cavidade com a injec~ao do feixe de 1064 nm. Vemos ainda os modos obtidospara o bombeio com uma polarizac~ao horizontal, a uma potencia inferior a necessaria paraoscilac~ao. As imagens correspondem a sada do OPO, medidas com o bloqueio do feixe deinjec~ao na cavidade e o aumento da potencia de bombeio, levando o OPO a oscilac~ao durantecurtos intervalos de tempo no perodo de varredura da cavidade.

Antes de atingirmos a regi~ao II, os picos de ressonancia para a polarizac~ao ordinaria (verti-cal), correspondente ao feixe sinal, comecam a apresentar um aumento dos modos transversos,com o surgimento de modos mpares importantes, ainda que estes n~ao estejam presentes nobombeio e na polarizac~ao horizontal do sub-harmonico (polarizados no plano extraordinario).

Este efeito parece diretamente ligado ao \walk o", que leva ao desvio do feixe propagantena polarizac~ao extraordinaria. Efeito semelhante, com a formac~ao de modos de ordem TEMm0,ja foram relatados para OPOs com cristal de KTP sem compensac~ao de \walk o" e foramdescritos com sucesso tendo em conta o desalinhamento da cavidade [134].

A orientac~ao da cauda e dada pela direc~ao do eixo z do cristal, mantendo-se sempre per-pendicular ao plano denido pelo angulo de \walk o". Conforme a reorientac~ao do cristal,inverte-se a direc~ao da cauda, seja pelo giro em torno do eixo y, ou pela rotac~ao em torno doeixo z (gura 6.17). Este efeito n~ao e justicado por eventuais desalinhamentos na manufatu-ra dos cristais, posto que todas as quatro amostras empregadas apresentaram a formac~ao decaudas na mesma direc~ao.

No nosso caso, ainda que haja a compensac~ao de \walk o" pela justaposic~ao de um segundocristal com o angulo de desvio invertido por sua reorientac~ao, o que ocorre e um desalinhamentoda cavidade do plano ordinario com a cavidade do plano extraordinario. Quando este desalinha-mento, observado pelos picos mpares e pares da polarizac~ao ordinaria, atinge um nvel crtico,a cavidade e forcada a oscilar em um modo transverso superior que apresente um limiar maisbaixo. Devido a grande divergencia dos feixes intracavidade neste regime quase concentrico(onde o comprimento de Rayleigh e pequeno) os modos transversos de ordem elevada comecama apresentar um aumento das perdas por difrac~ao, ocorrendo o desbalanceamento entre sinal ecomplementar. Este aumento das perdas pode ser ainda o responsavel pelo rapido aumento dolimiar de oscilac~ao.

O desalinhamento entre as polarizac~oes vertical e horizontal (ordinaria e extraordinaria)pode ser vericado na gura 6.18. Neste caso, mantendo a injec~ao otimizada para os feixes depolarizac~ao horizontal pelos espelhos de injec~ao, foi feito um leve realinhamento dos espelhos


L=101,93 mm

Varredura da Cavidade

Bo

mb

eio

Sin

al

(Po

l. V

ert

.)

2 ∆ν

FSR

Co

mp

lem

en

tar

(Po

l. H

ori

z.)

L=103,29 mm


Bo

mb

eio

2 ∆ν

Sin

al

(Po

l. V

ert

.)

FSR

2 ∆ν

FSR

Co

mp

lem

en

tar

(Po

l. H

ori

z.)

L=103,79 mm


Bo

mb

eio

2 ∆ν

Sin

al

(Po

l. V

ert

.)

FSR

2 ∆ν

FSR

Co

mp

lem

en

tar

(Po

l. H

ori

z.)

Sinal

Complementar

101,93 mm

103,29 mm103,19 mmDistânciaentreespelhos (L)

103,49 mm103,39 mm

103,59 mm

103,79 mm

Figura 6.16: Caudas e modos da injec~ao para diferentes comprimentos de cavidade.

de cavidade, pela inclinac~ao do espelho de entrada em cerca de 0,25 mrad em torno do eixohorizontal. Apos este realinhamento, recupera-se um bom acordo de modo para o feixe napolarizac~ao vertical, com o desalinhamento da cavidade para a polarizac~ao horizontal, comopode ser visto para o bombeio e a polarizac~ao extraordinaria (complementar)

Logo no incio da formac~ao da cauda, temos ainda um feixe balanceado, semelhante ao casoobtido com feixes gaussianos fundamentais. Nesta situac~ao, ainda se observa a compress~ao nacorrelac~ao de intensidade, para os modos de sada vistos na gura 6.19. Para uma frequenciade analise de 3,5 MHz, obtivemos um rudo normalizado na subtrac~ao das intensidades de 65%,ou seja, 35% de compress~ao. Note que a sada do sinal pode ser convenientemente descrita porum modo TEM01. As curvas apresentadas foram obtidas para um mesmo valor de w do raio dofeixe para sinal e complementar, e mostram um bom acordo nos resultados (ainda que o valormaximo do modo complementar tenha sido ceifado pela saturac~ao da CCD).

Devido a rapida divergencia entre os nveis de intensidade do sinal e complementar, medidasposteriores da correlac~ao cam impossibilitadas pelo desbalanceamento. Este efeito torna-se


O

x

y

z

Bombeio: Polar. Horizontal

Cristal com compensação de “walk off”

Sinal: Polar.Vertical

Eixos do cristal

Figura 6.17: Orientac~ao da cauda em relac~ao aos eixos do cristal e ao angulo de \walk o".

cada vez mais grave, a medida que o extremo da cauda deixa de ser visvel. Logo no comecoda regi~ao II (ate 103,29 mm), os dois pontos de maxima intensidade da cauda se mantemequilibrados, porem rapidamente o ponto mais afastado do eixo de propagac~ao do complementarcomeca a apresentar uma reduc~ao de intensidade, relativo ao maximo colinear a propagac~aodo complementar (gura 6.16). E interessante notar que toda a formac~ao da cauda n~ao eacompanhada do deslocamento do ponto de maxima intensidade dos feixes de sada, como se acauda sasse simplesmente do centro do feixe gaussiano original.

Chegamos por m a um ponto onde o sinal aparece apenas como um borr~ao indistinto.Neste instante, comecam a ocorrer efeitos de formac~ao de estruturas no feixe complementar(regi~ao III).

6.6.3 Regi~ao de estruturas no feixe complementar

Os modos de ressonancia nesse caso podem ser vistos na gura 6.20. O pico de ressonancia dosinal perde completamente a denic~ao, ainda que a cavidade, por estar no limite da concentri-cidade para o complementar, seja necessariamente subconcentrica para o sinal.

A oscilac~ao ocorre apenas para grandes potencias de bombeio, o que da origem a fortesefeitos termicos, semelhantes as biestabilidades observadas na sec~ao 4.8.1. O desbalanceamentotpico e da ordem de 50%, impedindo as medidas de correlac~oes de intensidade. A passagemda regi~ao III para a regi~ao IV n~ao e claramente marcada pela mudanca dos modos transversosobservados na varredura da cavidade, ocorrendo sobretudo a reduc~ao na denic~ao das estruturasdas imagens dos feixes gerados.

Ao atingirmos o limite da concentricidade para o modo complementar, temos o subitotermino da oscilac~ao. Nos encontramos claramente no limite da cavidade concentrica, o quepode ser visto pelo subito aumento do tamanho do feixe de bombeio sobre os espelhos dacavidade. No entanto, forcando a oscilac~ao, podemos levar o sistema a uma operac~ao instavel,com pulsos de ms de durac~ao em sua sada. Trata-se do limite superconcentrico de oscilac~ao.


L=104,05 mm


Bo

mb

eio

Sin

al

(Po

l. V

ert

.)

FSR2 ∆ν

2 ∆ν

FSR

Co

mp

lem

en

tar

(Po

l. H

ori

z.)

L=104,05 mm


Bo

mb

eio

2 ∆ν

Sin

al

(Po

l. V

ert

.)

2 ∆ν

FSR

Co

mp

lem

en

tar

(Po

l. H

ori

z.)

Figura 6.18: Modos para alinhamento da cavidade para polarizac~oes ordinaria (sinal) e extra-ordinaria (complementar), com um comprimento de cavidade L= 104,05 mm.

-100 -50 0 50 1000

50

100

150

200

250

300

Sinal Complementar

Am

plitu

de (

u. a

rb.)

Posição (pixel)

Complementar

Sinal

Figura 6.19: Sada do OPO, com um modo TEM01 para o sinal e um modo TEM00 para ocomplementar. L = 103,37 mm.

6.7. CORRELAC ~OES ESPACIAIS 169

L=104,5 mm


Bo

mb

eio

Sin

al

(Po

l. V

ert

.)

FSR

Co

mp

lem

en

tar

(Po

l. H

ori

z.)

Complementar Sinal

Figura 6.20: Modos de ressonancia para a regi~ao de estruturas difusas.

6.6.4 Regi~ao superconcentrica

Esta regi~ao ocorre apenas para potencias de bombeio da ordem de 1 W, com velocidades devarredura de cerca de 1 m/s. Nesta situac~ao, a partir de uma certa potencia de bombeiointracavidade, ha uma intensa sada de luz, com picos de oscilac~ao de 5 a 10 mW por feixe(gura 6.21). N~ao e possvel controlar a potencia de oscilac~ao, reduzindo-a abaixo deste valor,posto que o pico de ressonancia do bombeio desaparece subitamente com a reduc~ao da potencia.

A explicac~ao de tal comportamento esta provavelmente nos efeitos termicos da cavidade,pelos quais teremos a formac~ao de uma cavidade estavel assim que a potencia de bombeiofor sucientemente alta para formar um guia de onda no interior do cristal, pelo gradiente detemperatura gerado pela absorc~ao. Assim que a cavidade torna-se estavel, ocorre um aumentoda potencia intracavidade, levando o sistema a oscilac~ao. O fato desta cavidade recuperar oequilbrio entre sinal e complementar, alem de apresentar sadas de perl gaussiano, indica quen~ao se trata de operac~ao multimodo, mas de uma cavidade estavel, n~ao degenerada, induzidapor efeitos termicos.

Como veremos a seguir, na medida de correlac~oes espaciais entre os feixes, este regime diferepouco do regime de oscilac~ao da regi~ao I no que se refere a distribuic~ao do rudo.

6.7 Correlac~oes espaciais

Conforme descrevemos na sec~ao 6.1.2, esperamos gerar, em uma cavidade concentrica, feixescom uma distribuic~ao homogenea do rudo. Tal distribuic~ao poderia ser observada na imagemde campo distante dos feixes de sada, a qual pode ser produzida ou pela propagac~ao do feixefortemente divergente por uma distancia muito superior ao seu comprimento confocal, ou pelo


0 5 10 15 20

0

2

4

6

8

10

Pot

ênci

a de

Saí

da (

mW

)

Tempo de Varredura (ms)

Compl.Sinal

Complementar

Sinal

Figura 6.21: Pulsos de oscilac~ao na superconcentricidade.

uso de um conjunto de lentes, que faca a transformada de Fourier do feixe de entrada [119].

Como queremos focalizar a imagem sobre os detetores a quadrante, de area pequena (0,5 mmde aresta por quadrante), empregamos uma combinac~ao de lentes que forneca a transformada deFourier do feixe de sada, mostrado na gura 6.22. A lente L1, de distancia focal f1 = 50 mm,esta situada a 60 mm do espelho de sada, produzindo uma imagem do campo distante a100 mm de sua posic~ao. Empregando um telescopio, formado pelas lentes L2 (f2 = 200 mm)e L3 (f3 = 70 mm) separadas por uma distancia d = f2 + f3, transformamos a imagem docampo distante, situada no plano focal de L2, para uma imagem reduzida, no plano focal de L3(considerando ainda a propagac~ao pelo cubo polarizador). E neste plano que colocamos nossosdetetores a quadrante, posicionados de forma a receber exatamente metade da potencia de cadafeixe sobre um setor.

Empregando apenas dois setores por detetor, vericamos as correlac~oes de intensidade,comparando o resultado obtido com a soma total das fotocorrentes medidas em cada detetor2[(i1 + i2) (i3 + i4)] e os obtidos para setores simetricos, 2(i1 i3) e 2(i2 i4). Sehouver qualquer indcio de feixes siameses, a compress~ao obtida nesta medida deve ser superiora vericada para detetores anti-simetricos: 2(i1 i4) e

2(i2 i3). Por m, esperamos quepara um feixe com uma distribuic~ao simetrica do rudo, ou pelo menos uniforme dentro da frentede onda, a medida da diferenca de intensidade entre cada metade do detetor seja reduzida aonvel de \shot noise" (2(i1 i2) e

2(i3 i4)). Notamos neste caso a vantagem do sistemade aquisic~ao, pois tal medida iria requerer a estabilizac~ao da cavidade, ou o tratamento dosdados a posteriori, com a aquisic~ao simultanea com um osciloscopio, como feito no captulo 4.No presente caso, em uma unica bateria obtemos os resultados, analisando-os em seguida coma ajuda de programas desenvolvidos no laboratorio baseados na plataforma LabView.

Medimos o rudo da correlac~ao normalizada pelo nvel de \shot noise", com uma precis~ao daordem de (3%) no valor da medida. Na regi~ao I, com L = 102 mm, pode-se medir a situac~aocom o feixe estabilizado, com sada contnua. O resultado obtido para o rudo da correlac~ao

6.7. CORRELAC ~OES ESPACIAIS 171

L1

Det. Bombeio

CristalDM

D

L2L3

Sistema deAquisiçãoDC + AF

CPD1

D2

i1

i2

i3

i4

Figura 6.22: Sistema de imagem para as distribuic~oes espaciais do rudo.

total normalizado pelo \shot noise" foi Ntot = 0; 66. Os resultados obtidos nos casos simetricoNsim = 0; 83 e anti-simetrico Nasim = 0; 85 n~ao diferem signicativamente, e representam bema compress~ao que seria obtida para a integrac~ao completa do feixe, com uma perda de 50%na intensidade. A correlac~ao entre setores adjacentes retorna apenas o nvel do \shot noise",resultando em Nadj = 1; 01.

Fora da regi~ao I, a regi~ao superconcentrica e a unica na qual ha um balanceamento e umapossibilidade de operac~ao multimodo transversa. Os resultados, mostrados na gura 6.23,mostram que o nvel de compress~ao obtido e inferior aquele vericado para uma cavidade sub-concentrica. Este e progressivamente reduzido a medida que aumentamos o comprimento dacavidade. Os resultados obtidos para os setores simetrico e anti-simetrico s~ao indistinguveis,n~ao mostrando traco de feixes siameses. No limite de oscilac~ao, os feixes tornam-se extrema-mente ruidosos, e ao nal n~ao e mais possvel levar o sistema a oscilac~ao.

Apos a medida, verica-se que ha a degradac~ao do cristal, com o aumento da absorc~ao e ainterrupc~ao da oscilac~ao. Retirando-se o mesmo, observa-se que os efeitos de \gray tracking"tornam-se visveis, com a formac~ao de pequenos pontos negros no interior do cristal. Vericandocom um microscopio, vemos claramente que eles se situam no meio do cristal, justamente noponto de maior intensidade de feixe.

Conclumos ent~ao que n~ao ha efeitos de correlac~ao espacial no OPO concentrico com KTP.Isto explica-se pelo fato da cavidade n~ao ser triplamente concentrica, devido aos diferentesndices de refrac~ao do cristal para os modos ressonantes da cavidade. Ao tentar compensar esteefeito pela inserc~ao de um segundo cristal, reorientado de forma a recuperar a concentricidadesimultanea do sinal e complementar com a orientac~ao do seu eixo z perpendicular ao eixo docristal ativo para oscilac~ao, temos um subito aumento das perdas, elevando o limiar. Alem


104,85 104,86 104,87 104,88 104,89 104,90 104,91 104,92 104,930,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

Ru

ído

No

rma

liza

do

- N

Distância entre os espelhos - L (mm)

Ntot

Correlação entre detetoresN

adj Setores adjacentes

Nasim

Setores anti-simétricosN

sim Setores simétricos

Figura 6.23: Correlac~oes espaciais no sistema de detec~ao a quadrantes. Limite concentrico parao sinal a L=104,53 mm.

disso, os efeitos de \walk o" e desalinhamento dos modos ortogonalmente polarizados passama ocorrer nas duas polarizac~oes simultamente.

Para o OPO quase concentrico com cristal tipo II, a compens~ac~ao de \walk o" n~ao impedecompletamente os efeitos de desalinhamento da cavidade, que se assemelham aos observadosna ref. [134]. A compreens~ao de tal efeito, presente mesmo em cavidades semiconcentricas [13],n~ao esta detalhada, podendo revelar-se interessante para a compreens~ao da oscilac~ao de modostransversos no OPO.

Os efeitos termicos nestas cavidades pedem um estudo mais aprofundado, capaz de descre-ver a oscilac~ao do OPO em um regime no qual a cavidade \fria" (para baixas potencias dobombeio) e instavel, parecendo fechar-se e entrar na regi~ao estavel quando a potencia injetadafor sucientemente alta.

Veremos a seguir como o estudo da cavidade concentrica pode ser aplicado ao OPO com umcristal de casamento de fase tipo I, o qual mostrou em sua sada estruturas estaveis em umacondic~ao de operac~ao triplamente concentrica.

6.8 Estruturas de sada em OPO concentrico tipo I

Enquanto que no KTP, por termos um acordo de fase tipo II, os diferentes ndices de refrac~aopara sinal e complementar impedem a tripla concentricidade, para o cristal de Niobato deLtio temos os ndices de refrac~ao muito proximos, sendo que seus valores se igualam para adegenerescencia em frequencia.

Procedemos ent~ao ao estudo das estruturas na sada do OPO tipo I proximo a concentri-

6.8. ESTRUTURAS DE SAIDA EM OPO CONCENTRICO TIPO I 173

cidade. Ainda que neste caso n~ao seja possvel separar sinal e complementar, degenerados empolarizac~ao e quase degenerados em frequencia, as estruturas s~ao visveis na sada do infraver-melho. Antes do limite concentrico, observam-se tambem diferentes modos de oscilac~ao alemdo modo TEM00, selecionados pela temperatura do cristal.

Para o cristal de Niobato de Ltio, dopado com Oxido de Magnesio (MgO:LiNbO3) temoscaractersiticas oticas semelhante as do cristal de Niobato de Ltio puro. O dopante aumenta olimiar de dano do meio, tornando-o mais resistente a potencia incidente.

A amostra empregada consiste em um cristal de 10 mm de comprimento, com sec~ao retade 33 mm. Seu coeciente n~ao-linear e d31 = 5; 95pm/V. Pelas equac~oes de Sellmeier [70],os ndices de refrac~ao extraordinario para 532 nm e ordinario para 1064 nm s~ao ne(532nm) =no(1064nm) ' 2; 23, de modo que a mudanca do comprimento da cavidade para a condic~aoconcentrica com a inserc~ao do cristal sera D 2R = 5; 52 mm.

6.8.1 Cavidade concentrica

O objetivo nal da montagem proposta para o OPO concentrico com cristal tipo I e produzirem sua sada um feixe com uma superposic~ao dos modos sinal e complementar de tal modo quehaja uma distribuic~ao simetrica dos fotons gerados na cavidade (gura 6.24).

Bombeio

i1

i2

ns=nc=nb

Sinal

Complementar

Figura 6.24: Gerac~ao de fotons siameses em um OPO tipo I.

No processo da detec~ao, mesmo que n~ao possamos distinguir o feixe sinal do complementardevido sua degenerescencia em polarizac~ao, poderemos vericar se, para a detec~ao de um fotonem uma sec~ao do feixe, ha a detec~ao de seu par na outra metade. A subtrac~ao das fotocorrentes


dos dois setores devera neste caso apresentar utuac~oes inferiores as obtidas com um feixemonomodo incidente sobre o detetor.

Neste caso, um pre-requisito para a compress~ao e a eciencia quantica do sistema, comovimos anteriormente para os feixes gemeos do OPO. Realizamos inicialmente uma serie demedidas para o OPO, com os espelhos de raio de curvatura R = 20mm e o cristal a umatemperatura de 131,7ÆC. Vemos na gura 6.25, que a eciencia maxima obtida foi de 10%,considerando que esta e dada pelo produto de 0 e , conforme eq. 3.44. De modo que se houvercompress~ao, esta sera grosso modo superior a eciencia medida, e podera ser observada.

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

Po

tên

cia

de

Sa

ída

(m

W)

Potência de Bombeio (mw)

0 10 20 30 40 50 600,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

Efic

iên

cia

- η

Potência de Bombeio (mW)

Figura 6.25: Eciencia do OPO com o cristal de Niobato de Ltio.

Outra condic~ao necessaria para a gerac~ao de estados comprimidos com distribuic~ao espacialdo rudo e a operac~ao em uma condic~ao de cavidade degenerada. Medimos ent~ao a densidadede modos para diferentes comprimentos de cavidade com o cristal inserido, vericando a cadaposic~ao a imagem de campo distante do feixe de sada. Na gura 6.26 temos a serie de valo-res medidos da separac~ao entre modos adjacentes, com o ajuste da equac~ao 6.12 tendo comounico parametro livre um \oset" na coordenada horizontal, de modo a compensar o efeitoda mudanca do comprimento de concentricidade pela difrac~ao no cristal. O valor obtido para`(11=n) = 5; 73mm, difere do valor calculado em 3%, indicando uma discordancia nos valoresestimados do ndice de refrac~ao para casamento de fase (n) ou no comprimento do cristal (`),o que n~ao chega a afetar as medidas realizadas

Vemos ainda os diferentes modos de sada do OPO. Para a cavidade longe da concentrici-dade (L=45,49 mm) a sada e regular, n~ao diferindo da obtida para comprimentos menores decavidade. O perl do feixe pode ser bem descrito por uma gaussiana. Porem, basta um desloca-mento de 20m para que o perl mude completamente, e surja uma rica famlia de estruturas.Nota-se a formac~ao de alveolos e de estruturas periodicas deste ponto em diante, ate o limiteextremo da concentricidade.

A diferenca marcante deste caso com relac~ao ao OPO tipo II esta na tripla concentricidade,que assegura um baixo limiar de oscilac~ao. Em toda a faixa de operac~ao mostrada na gura 6.26,o limiar de manteve limitado a 12 mW. Ao atingir a concentricidade, o limiar sobre de formaabrupta, interrompendo a oscilac~ao. Isto vai contra a descric~ao feita em [13] para o aumentodo limiar no OPO concentrico, situac~ao que e melhor explicada pelo aumento das perdas para


40 42 44 460,0

0,1

0,2

0,3Raio de Curvatura dos Espelhos: R = 20 mmPosição de Concentricidade:L

cc=(5,73 +/-0,10) mm + 2R

∆ν/F

SR

Compr. de Cavidade - L (mm)

L=45,49 mm L=45,51 mm L=45,71 mm L=45,71 mm L=45,73 mm L=45,75 mm

Figura 6.26: Imagens obtidas para os modos na cavidade com cristal tipo I.

-13 -12 -11 -10 -9 -8

FSR 7,05 ms

Bo

mb

eio

Tempo de Varredura (ms)

FSR 14,47 ms

Su

b-h

arm

ôn

ico

Figura 6.27: Modos transversos da cavidade proximo a concetricidade.


o sinal na oscilac~ao em modos transversos de ordem elevada.

O baixo limiar impedia ate mesmo a medida da separac~ao entre os modos para o feixede bombeio, o qual levava o sistema a oscilac~ao antes que a potencia medida pelo detetorpara o visvel diferisse do rudo de fundo. Alterando a temperatura para um valor abaixo dolimite da degenerescencia, impedimos a oscilac~ao, e vericamos a condic~ao proxima a triplaconcentricidade, mostrada na gura 6.27

Ainda devido ao baixo limiar, o OPO apresenta efeitos termicos menos importantes que osregistrados para o KTP. Alem disso, a sada e contnua, podendo ser estabilizada em intensidade.Os problemas nesta congurac~ao ocorrem devido a utuac~ao nas estruturas formadas. O feixede sada desloca-se ligeiramente durante a estabilizac~ao, e as estruturas mudam no tempo deforma pouco controlada. Isto impede a realizac~ao de uma medida conavel da distribuic~ao dorudo no feixe de sada do OPO.

Vemos que o OPO tipo I e uma fonte promissora para a gerac~ao de estados com umadistribuic~ao n~ao-homogenea de rudo, apresentando toda uma serie de estruturas na sua sada.Fora do limite de degenerescencia dos modos transversos, vericamos tambem a oscilac~ao emmodos de ordem superior ao TEM00. Esta sada monomodo, em bases de Laguerre-Gauss,e obtida gracas a interdic~ao de oscilac~ao causada pela dependencia quadratica do acordo demodo, como veremos a seguir.

6.8.2 Cavidade quase-concentrica

Longe da concentricidade estudamos os modos de sada do OPO observando a frequencia destescom a ajuda de um monocromador. O aparelho empregado e composto por uma rede de difrac~aode re ex~ao de 1200 linhas/mm, com espelhos esfericos de raio R=1,2 m, distantes de 485 mmda rede, obtendo uma resoluc~ao da ordem de 0,01 nm.

Neste experimento, empregamos espelhos de cavidade de raio de curvatura R = 100 mm.A cavidade sem o cristal apresenta uma nesse F = 308 para o sub-harmonico, a qual, com ainserc~ao do cristal, cai para F = 254, demonstrando as baixas perdas no elemento n~ao-linear.Verica-se experimentalmente o mesmo valor para Lcc 2R obtido no graco da gura 6.26.A curva mostrada na gura 6.28 foi obtida para uma distancia L = 205; 13 mm, portantoa separac~ao entre modos adjacentes, de 3,6% do intervalo espectral livre, e muito superior alargura de banda da cavidade. O limiar de oscilac~ao e baixo, da ordem de 8 mW.

A dependencia quadratica do comprimento de onda com a temperatura e a interdic~ao deoscilac~ao para temperaturas inferiores ao limite da degenerescencia (131,35ÆC) correspondem adescric~ao feita na ref. [66] para um OPO com um cristal em acordo de fase tipo I. Ainda queno limite degenerado n~ao possamos resolver no monocromador os dois modos longitudinais deoscilac~ao, vercamos com um Fabry-Perot de intervalo espectral livre de 7,5 GHz que a sadado OPO n~ao chega necessariamente a degenerescencia, saltando aleatoriamente dentro e foradesta condic~ao. O limiar de oscilac~ao se mantem baixo, em cerca de 8 mW.

Notou-se, no entanto, que o OPO ainda podia ser levado a oscilac~ao alem do ponto dedegenerescencia, com um limiar de 17 mW. Nesta condic~ao, no entanto, o feixe de sada passaa uma outra frequencia, em um outro modo transverso. Surge ent~ao uma nova curva para oacordo de fase do OPO neste novo modo de sada, como vemos na gura 6.29. Ao lado dospontos obtidos para a oscilac~ao, temos o modo TEMmn de sada do OPO.


131,2 131,6 132,0 132,4 132,8 133,2 133,6 134,0 134,4

1,056

1,058

1,060

1,062

1,064

1,066

1,068

1,070

1,072C

om

pri

me

nto

de

on

da

(µm

)

Temperatura (°C)

Figura 6.28: Comprimento de onda para diferentes temperaturas.

130,8 131,0 131,2 131,4 131,6 131,81,060

1,061

1,062

1,063

1,064

1,065

1,066

1,067

1,068

01020101

0000

0000

00,scan

00,scan

00

0000

01

00

0101

0101

01

01

01

010101

XX

Co

mp

rim

en

to d

e O

nd

a (

µm)

Temperatura (°C)

Figura 6.29: Modos de sada para diferentes temperaturas.


205,1 205,2 205,3 205,4 205,5 205,6 205,7 205,8

1,0584

1,0586

1,0588

1,0590

1,0592

1,0594

1,0596

1,0598

Co

mp

rim

en

to d

e o

nd

a -

co

mp

lem

en

tar

( µm

)

Comprimento de cavidade - L (mm)

Figura 6.30: Comprimento de onda do complementar para diferentes comprimentos de cavidade,a 132,15ÆC.

A vericac~ao da operac~ao monomodo transversa do oscilador pode ser vista na gura 6.31,onde ajustamos os pers de intensidade de modos de Hermite-Gauss a sada da cavidade. Aimagem se mostrou identica para o campo proximo e o campo distante, indicando a descric~aopor um unico modo transverso. O ajuste apresentado emprega o mesmo valor de diametro dofeixe para os tres pers, ajustando apenas a amplitude da curva. Note que o ajuste concordacom a descric~ao para os tres primeiros modos de Laguerre-Gauss. Em todas as curvas, obombeio de mantinha com um perl gaussiano TEM00.

A direc~ao do eixo obtida foi casual. Em medidas posteriores, com o ajuste dos espelhos decavidade, foi possvel girar o eixo de simetria do feixe. Ha uma preferencia aos planos ordinarioe extraordinario, porem com certa exibilidade na orientac~ao dos lobulos.

Quanto a imagem mostrada na parte inferior da gura 6.31, ela n~ao parece corresponder auma descric~ao simples do modo de sada. Esta forma aparece apenas quando atingimos o limitedegenerado do modo 01, com um limiar de oscilac~ao de 110 mW.

Vericamos por m a variac~ao do comprimento de onda para diferentes comprimentos decavidade (gura 6.30). A uma temperatura de 132,15ÆC, vericamos que a variac~ao do com-primento de onda do feixe e pequena. As possveis causas podem ser a mudanca da condic~aode acordo de fase devido a mudanca do momento transverso para um feixe TEM00 com umadivergencia crescente ao se aproximar do limite concentrico, ou simplesmente o aquecimento docristal para um feixe mais focalizado levando a uma mudanca no comprimento de onda para ocasamento de fase.

Vemos que mesmo para uma cavidade n~ao degenerada podemos ter, no OPO tipo I, aoscilac~ao em modos transversos diferentes do perl gaussiano fundamental. Aparentemente, olimiar de oscilac~ao de tais modos e superior ao modo fundamental, n~ao sendo portanto vericadona operac~ao normal do OPO.

Devido a dependencia quadratica do compriemtno de onda com a temperatura, pode-se


0 20 40 60 80 100 120 140

Pixel

Modo TEM00

Modo TEM01

Modo TEM02

Figura 6.31: Imagens dos modos observados. Perl e ajuste de modos


chegar a uma situac~ao na qual a oscilac~ao no modo TEM00 e proibida. A cavidade estara ent~aolivre para oscilar em um modo transverso superior. O deslocamento da frequencia de oscilac~ao,neste caso, poderia ser explicada pela mudanca da condic~ao de acordo de fase dentro do cristal,entre o modo de bombeio, essencialmente TEM00, e o modo de ordem mais elevada dos feixessinal e complementar.

Captulo 7

Distribuic~ao espacial de rudo no

OPO confocal

Nos vimos no captulo anterior os estudos da distribuic~ao de rudo em um OPO operando emcavidade concentrica. O objetivo de tal busca e encontrar uma fonte capaz de gerar um feixeluminoso que apresente uma compress~ao local do rudo, seja ele em quadratura, intensidade ouna correlac~ao quantica entre feixes gemeos.

Para isso, espera-se observar tais efeitos de compress~ao em fontes com multiplos modostransversos, o que leva a outras quest~oes. Uma cavidade Fabry-Perot pode ser usada para deniruma base de modos ortonormais de Laguerre-Gauss ou de Hermite-Gauss [57, 92]. Porem, ofeixe de sada desta cavidade n~ao e necessariamente multimodo quanto ao carater quantico,o que pode ser vericado pela distribuic~ao de rudo da luz. Os modos de sada da cavidadeem uma situac~ao degenerada podem denir um vetor dentro da base de modos transversos docampo que descrevera sua propagac~ao. No entanto, se for possvel descrever o campo eletricopor um unico operador de aniquilac~ao tendo como envelope este vetor, o campo se comportacomo um feixe monomodo quanto a distribuic~ao espacial do rudo. Portanto ele n~ao deveraapresentar efeitos de compress~ao local das utuac~oes do campo eletrico.

Neste captulo vamos demonstrar como um campo multimodo pode apresentar compress~oeslocais de rudo, mostrando a n~ao-homogeneidade das distribuic~oes das utuac~oes do campodevido a presenca de termos de correlac~ao de intensidade e amplitude entre os modos do campoem quest~ao. Neste caso, demonstraremos que se tais efeitos na distribuic~ao espacial do rudoocorrerem, a descric~ao do campo necessita de uma combinac~ao de operadores de aniquilac~aodo campo eletrico de diferentes modos transversos, que podem vir a ser descritos pelos modostransversos ressonantes com a cavidade Fabry-Perot da qual provem o feixe.

Aplicaremos ent~ao tal estudo na demonstrac~ao da distribuic~ao de rudo dentro dos feixesgemeos gerados por umOPO confocal, mostrando seu carater multimodo. Para isso, comecaremospor uma descric~ao do OPO confocal, suas caractersticas de operac~ao, e a formac~ao de estru-turas espaciais em sua sada. Em seguida apresentaremos o processo de medida de correlac~aono caso de feixes desbalanceados, empregando para isso o sistema de detec~ao apresentado nocaptulo anterior.

Apos introduzirmos a descric~ao do feixe multimodo, realizaremos as medidas de correlac~ao

181

182 CAPITULO 7. DISTRIBUIC ~AO ESPACIAL DE RUIDO NO OPO CONFOCAL

de intensidade nos feixes desbalanceados, mostrando a diferenca da distribuic~ao de rudo docaso monomodo para o caso multimodo. Mostraremos assim que a distribuic~ao das utuac~oesde intensidade do OPO confocal e n~ao homogenea, sendo portanto necessaria uma descric~aoquantica multimodo da gerac~ao dos feixes no seu interior.

7.1 Cavidade confocal

Vamos descrever agora a cavidade confocal empregada nesta montagem do OPO, mostran-do como passamos de um regime n~ao degenerado para um regime degenerado para os modostransversos. Mostraremos que, no caso de uma cavidade com um meio birrefringente, ocorreuma pequena separac~ao entre os modos TEMpq e TEMqp da base de Hermite-Gauss, degener-ados para uma cavidade vazia.

Veremos a diferenca do comprimento de cavidade para a confocalidade entre os diferentesmodos injetados, como o bombeio, sinal e complementar, descritos aqui pelos sub-harmonicosdo bombeio polarizados nos eixos ordinario e extraordinario do cristal, respectivamente.

Finalmente, iremos vericar como os efeitos termicos contribuem para o deslocamento daposic~ao de degenerescencia dos modos transversos. O aquecimento do cristal leva a formac~ao deuma lente termica, que desloca a separac~ao dos modos, alterando a posic~ao de confocalidade.

Comecaremos descrevendo o sistema de bombeio empregado, usando o laser descrito nasec~ao 6.3 para a injec~ao do feixe de 1064 nm na cavidade para o estudo dos modos, e o sistemade lentes empregado para a injec~ao do laser de bombeio (532 nm) no interior da cavidade.

7.1.1 Acordo de Modo

O acordo de modo do feixe de bombeio foi obtido com um par de lentes convergentes, de forma aproduzir uma cintura de feixe de 200m no interior da cavidade. Neste caso, n~ao maximizamoso acordo do feixe ao modo gaussiano fundamental para uma cavidade confocal com espelhosde R=100 mm (w0 = 92m), acoplando-o portanto a diversos modos transversos da cavidade.Como se ve na ref. [12], este acoplamento de multiplos modos transversos leva a um aumentona gerac~ao de modos transversos nos feixes sinal e complementar.

Como vimos na sec~ao 6.3, o feixe de sada da cavidade de dobramento apresenta uma cinturaw0 = (95 5)m, posicionada a cerca de 20 cm do isolador otico. Tomando esta posic~ao comoreferencia, escolhemos o sistema de lentes mostrado na gura 7.1, obtendo assim o tamanhodesejado do feixe injetado no interior da cavidade.

Para realizar o alinhamento do feixe de 532 nm empregamos um par de espelhos, o quepermite minimizar o acoplamento do feixe aos modos mpares da cavidade, limitado as imper-feic~oes no feixe de 532 nm. O feixe de 1064 nm e injetado na cavidade atraves do espelhodicroico DM1, sem passar por nenhuma otica de focalizac~ao. Neste caso, a preocupac~ao com oacordo do modo e menor, pois ele sera usado apenas para a vericac~ao dos modos transversosda cavidade, n~ao sendo necessario maximizar o seu acoplamento ao modo fundamental. Nota-mos claramente que a qualidade do feixe do laser Nd:YAG e superior a do feixe proveniente dacavidade de dobramento, como cou provado pela ausencia de modos mpares no alinhamentodo feixe a cavidade.

7.1. CAVIDADE CONFOCAL 183

w0i=95µm

f1=200 mm f2=100 mm

w0f=200µm

375 mm 575 mm 70 mm 100 mm

fM=-98 mm

Z Z

L1

L2

M1

M2

M3

Det. Bombeio

Det.Sinal/Pol. V

Det.Compl./Pol. H Cav. Confocal

KTP

DM1

DM2

532 nm

1064 nm

Figura 7.1: Esquerda: Sistema de lentes para acordo de modo na cavidade confocal. Direita:Montagem completa, incluindo os espelhos para alinhamento e os fotodetetores.

O cristal de KTP, com compensac~ao de \walk o", esta orientado com o eixo z perpendicularao plano da mesa. Ele pode ser inserido ou retirado da cavidade por um transladador, sendomantido em um forno que permite controlar sua temperatura em torno da temperatura ambiente(20 a 30ÆC). A polarizac~ao do feixe de 1064 nm injetado esta orientada a 45Æ do plano da mesa,dividindo-o assim no eixo ordinario (vertical) e no eixo extraordinario (horizontal). O bombeio(532 nm) pode ser orientado na horizontal para a oscilac~ao do OPO, ou na vertical para avericac~ao dos efeitos termicos sem oscilac~ao. Note que, devido a birrefringencia da absorc~ao,os efeitos termicos n~ao tem a mesma magnitude para as duas polarizac~oes (sec~ao 4.2.3). Noentanto, o estudo da polarizac~ao vertical permite a analise qualitativa do comportamento dacavidade para o regime de oscilac~ao.

O comprimento da cavidade e ajustado por um transladador no qual esta montado o \gim-bal" do espelho de cavidade, varrendo assim uma faixa de 15 mm. Um PZT, solidario ao espelhode entrada, faz a varredura do comprimento da cavidade com uma amplitude maxima de 5 m,percorrendo varias ressonancias dos feixes injetados. Os detetores permitem a vericac~ao datransmitancia da cavidade para os modos em estudo.

Vericaremos ent~ao o comportamento da cavidade e a denic~ao do regime de confocalidadecom e sem o cristal de KTP inserido, empregando para isso o feixe de 1064 nm injetado maiso feixe de 532 nm na polarizac~ao vertical.

7.1.2 Regi~ao de confocalidade

Conforme vimos na sec~ao 6.2.1, para a cavidade confocal temos uma degenerescencia dos modostransversos de mesma paridade. Dessa forma, os modos pares ser~ao coincidentes com o modofundamental, e os modos mpares se situar~ao exatamente entre os picos de ressonancia dosmodos pares. Vimos ainda que a separac~ao dos modos na proximidade da confocalidade podeser descrita de forma linear com o comprimento L da cavidade.

Para observar precisamente o comprimento de confocalidade, o feixe e injetado na cavidade


e alinhado de forma a eliminar os modos mpares. Varrendo o comprimento da cavidade como PZT, deslocamos os espelhos, afastando-os e observando se a distancia entre os picos deressonancia dos modos transversos e reduzida. Chega-se a um ponto onde os picos comecam ase sobrepor. A ressonancia exata e obtida pela maximizac~ao do pico par de ressonancia, queocorre no ponto de superposic~ao exata de todos os modos pares.

No nosso caso, com a cavidade vazia, medimos uma nesse de F = (67; 0 1; 6) para obombeio e F = (238 26) para o sub-harmonico. Vemos pela equac~ao 6.15 que temos ent~aouma regi~ao de confocalidade de 2; 4 mm para o bombeio e 0; 7 mm para o sub-harmonico.Com o cristal inserido, os valores de nesse mudam devido a absorc~ao do meio e as perdaspor re ex~ao na superfcie do cristal. Temos neste caso nesses F = (44 4) para o bombeiopolarizado verticalmente, F = (224 40) para a polarizac~ao do complementar (horizontal) eF = (176 4) para a polarizac~ao do sinal (vertical).

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100,00

0,25

0,50

0,75

1,00

FSR

g=-0,03g=0g=0,03

Inte

nsid

ade

(u.

arb.

)

Tempo (ms)

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Figura 7.2: Modos transversos da cavidade confocal na ausencia de cristal, observados pelatransmitancia da cavidade para diferentes comprimentos de cavidade (g = 1 L=R). Partesuperior: ampliac~ao do graco inferior, mostrando os detalhes da separac~ao da ressonanciaentre modos transversos.

Vemos na gura 7.2 a transmitancia medida da cavidade para o feixe de 1064 nm, durante avarredura do comprimento por dois intervalos espectrais livres. Esta medida foi repetida paradiferentes comprimentos de cavidade, dos quais alguns exemplos s~ao mostrados. A posic~aoconfocal pode ser facilmente observada neste caso pela maximizac~ao do pico de ressonanciacom o comprimento da cavidade, o que e feito pelo deslocamento cuidadoso do micrometro do


suporte do \gimbal" do espelho de sada.

-0,03 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03

1,96

1,97

1,98

1,99

2,00

2,01

2,02

2,03

2,04

Ntr

g=1-L/R

Figura 7.3: Densidade de modos em func~ao do parametro g = 1 L=R da cavidade em tornoda confocalidade.

Note que, no alinhamento da cavidade, repete-se o ajuste dos espelhos e da injec~ao dofeixe para uma variac~ao completa do curso do transladador do espelho. O objetivo e mantero alinhamento do sistema para qualquer comprimento de cavidade escolhido. Na situac~aonal, temos a ausencia de modos mpares da cavidade e a manutenc~ao da nesse durante odeslocamento do espelho de sada, sem que haja necessidade de realinhar a cavidade a cadaposic~ao de medida.

A densidade de modos transversos em uma cavidade e denida pela raz~ao entre a separac~aodos modos para diferentes ordens de modos longituniais (intervalo espectral livre da cavidade- FSR) e a separac~ao entre modos transversos adjacentes. Na gura 7.3, vemos a densidadede modos medida para diferentes comprimentos de cavidade,atraves de medidas semelhantesas apresentadas na gura 7.2. A curva apresentada e o valor teorico da densidade de modosem func~ao do parametro g da cavidade (Ntr = =arccos(g), conforme equac~ao 6.12). Osresultados experimentais concordam perfeitamente com os valores esperados, e permitem denircom precis~ao melhor que 0,01 mm a posic~ao de confocalidade.

O comprimento efetivo da cavidade com o cristal inserido sofre uma variac~ao, dada pelocomprimento do cristal e pelo seundice de refrac~ao para um dado modo. Assim, o comprimentoefetivo da cavidade Lcav para uma distancia L entre os espelhos, com um cristal de comprimento` inserido no seu interior, e dado por

Lcav = L+ `

1

n 1

(7.1)

deslocando-se o ponto de confocalidade Lcav = R de uma distancia `(1 1=n) com a inserc~aodo cristal. No nosso caso, para a cavidade em quest~ao, os ndices de refrac~ao s~ao dados pelatabela 4.2.1, de modo que a variac~ao de comprimento e de 4,41 mm para o bombeio (horizontal),4,53 mm para o sinal e 4,27 mm para o complementar. Claramete a confocalidade exata n~ao


pode ser obtida simultaneamente para os tres modos. No entanto, como a diferenca entre oscomprimentos de confocalidade exata e inferior a faixa de valores na qual temos a superposic~aodos picos de ressonancia, podemos considerar a nossa cavidade como triplamente confocal.

0

1

2

g=-0,094

Complementar Sinal

g=-0,044

0

1

2

g=-0,064

Inte

nsid

ade

(u. a

rb.) g=-0,004

-2 -1 0 1 20

1

2

g=-0,049

Tempo (ms)

-2 -1 0 1 2

g=0,006

Figura 7.4: Modos transversos medidos pela transmitancia da cavidade, na qual temos umcristal de KTP inserido.

Temos na gura 7.4 os picos de ressonancia das polarizac~oes horizontal e vertical do feixede 1064 nm com o cristal inserido. Este e alinhado de forma a eliminar os picos mpares ob-servados apos sua inserc~ao, assegurando a incidencia perpendicular do feixe sobre suas faces.Longe da confocalidade, vericamos inicialmente a separac~ao da degenerescencia entre modospares de mesma ordem s = m+n em dois picos distintos. Assim, se os modos TEM02 e TEM20

se mostravam coincidentes e indistintos na cavidade vazia, aqui ja podem ser identicados eseparados. Isto pode ser vericado ao observarmos sobre um anteparo as imagens dos mod-os. As orientac~oes dos eixos cartesianos dos modos de Hermite-Gauss e denida pelos eixosordinario e extraordinario do cristal. Na cavidade vazia, observamos a superposic~ao destes mo-dos, resultando em uma imagem com simetria cilndrica (um maximo central seguido de aneisconcentricos) semelhante a um modo de Laguerre-Gauss.

A medida que nos aproximamos da confocalidade, os picos se fundem, mas o maximo podeacabar escapando do pico referente ao modo fundamental. Por vezes, temos um pico largo edisforme onde observamos diversas ressonancias superpostas. Estas formas variam bruscamentecom pequenas reorientac~oes do cristal, ou com seu translado no plano perpendicular ao eixo dacavidade.

Medindo novamente a densidade de modos, tomando para isso a distancia entre o picoprincipal e o ponto medio dos dois primeiros modos pares cuja degenerescencia foi quebrada,


-0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00

1,94

1,96

1,98

2,00

2,02

2,04

Ntr

g=1-L/R

Sinal Complementar

Figura 7.5: Densidade de modos em func~ao do comprimento da cavidade em tono da confocal-idade com cristal inserido.

vemos que ha um deslocamento da posic~ao de confocalidade (gura 7.5). No ajuste realizado,obtivemos um deslocamento de (4; 62 0; 11)mm para o sinal e (3; 77 0; 20)mm para o com-plementar. Uma vez que para o primeiro temos os picos bem denidos, n~ao e de espantar aconcordancia do valor medido com o valor calculado. Ja para o complementar, as distorc~oessofridas pelos picos n~ao permitem obter de forma clara sua separac~ao, afetando a qualidadedo resultado. No entanto, em ambos os casos vemos a superposic~ao dos modos transversos emuma faixa de cerca de 2 mm do comprimento da cavidade.

A regi~ao de confocalidade para o bombeio e muito larga para que seus picos cheguem aser distinguveis, n~ao sendo por isso mostrada neste estudo. Um efeito interessante provocadopela injec~ao do bombeio e o deslocamento dos picos dos modos transversos, mostrando umaalterac~ao na densidade de modos da cavidade na ressonancia do bombeio. Lembrando que ocristal apresenta uma absorc~ao da ordem de 1% a 532 nm, podemos ver a manifestac~ao deefeitos de lente termica no interior da cavidade, conforme discutiremos a seguir.

7.1.3 Efeito de lente termica

Um efeito interessante que ocorre na cavidade confocal e o deslocamento da posic~ao de de-generescencia devido a formac~ao de uma lente termica no cristal. Temos o aquecimento domeio pela absorc~ao do feixe incidente, mas devido a difus~ao do calor, a distribuic~ao de temper-atura n~ao coincide com o perl de intensidade do feixe [135]. Esta distribuic~ao de temperaturaapresenta, no entanto, um maximo central. Esta variac~ao de temperatura provoca uma al-terac~ao do ndice de refrac~ao no meio, o que faz com que o meio aja como uma lente para ofeixe incidente, provocando uma modulac~ao de fase no feixe propagante, de modo semelhanteao observado no caso do efeito Kerr [136]. Esta lente termica e estudada principalmente naobservac~ao de pequenas absorc~oes e na medida de parametros termicos do meio [137]. No nossocaso, a formac~ao de uma lente no interior da cavidade altera a posic~ao da cintura do feixe,


deslocando a fase de Gouy por ele acumulada em uma passagem no interior da cavidade. Emconsequencia, muda-se a condic~ao de degenerescencia da cavidade, que se torna um pouco maiscomplexa que a cavidade simetrica formada por dois espelhos esfericos.

Por termos uma potencia de infravermelho inferior a potencia de bombeio intracavidade,alem de uma absorc~ao no infravermelho menor que um decimo da absorc~ao do verde, a con-tribuic~ao da absorc~ao dos feixes gerados pelo OPO (sinal e complementar) para o efeito de lentetermica e muito pequena. Porem, a elevada potencia de bombeio e a absorc~ao importante em532 nm faz com que neste caso os efeitos de lente termica sejam signicativos.

Para estudar seus efeitos, vamos fazer uma simplicac~ao, substituindo a lente espessa quese forma no interior do cristal por uma lente delgada, de distancia focal f . Isto e razoavel comouma primeira aproximac~ao pois o comprimento do cristal e inferior ao comprimento de Rayleighdo feixe. Tal aproximac~ao e amplamente empregada no estudo de efeitos de lente termica eautomodulac~ao de fase por efeito Kerr [136].

R Rf

f ff R/2R/2R/2

L

Figura 7.6: Cavidade simetrica com uma lente inserida, e seu modelamento como um guia deonda para um feixe gaussiano.

Considere que temos uma cavidade simetrica com espelhos de raio de curvatura R, separadospor uma distancia L, com uma lente de distancia focal f no seu interior (gura 7.6). Comopodemos ver na ref. [51], na condic~ao de ressonancia esta cavidade equivale a um guia deonda para um feixe gaussiano formado por uma serie periodica de lentes de comprimento focalf 0 = R=2.

Para calcular a fase de Gouy acumulada em uma passagem pela cavidade, vamos comecarpelo calculo da fase acumulada em metade do seu percurso. A sequencia de lentes e equivalentea esperada para uma cavidade assimetrica, formada por dois espelhos de raios de curvatura Re 2f separados por uma distancia L=2. Tratando dessa forma o problema, podemos calcular afase de Gouy 0 obtida em uma passagem nesta cavidade:

0 = arccospg1g2; (7.2)

com g1 = 1 L2R e g2 = 1 L

4f . Para calcularmos a fase de Gouy acumulada na cavidade com


uma lente, devemos lembrar que = 2 0. Mostra-se facilmente que

= arccos(2g1g2 1): (7.3)

Neste caso, a densidade de modos transversos da cavidade com uma lente inserida e dada por

Ntr =

arccoshg L

4f (g + 1)i (7.4)

com g = 1 LR . Em uma aproximac~ao para um valor pequeno de L=f teremos uma dependencia

linear da densidade de modos com o inverso do comprimento focal da lente

Ntr '

arccos g

"1 (g + 1)p

1 g2 arccos g

L

4f

#: (7.5)

-20 -10 0 10 200.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Inte

nsid

ade

(u. a

rb.)

Tempo (ms)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5 1064 nm (Sinal) 532 nm (Bombeio)

Inte

nsid

ade

(u. a

rb.)

Figura 7.7: Mudanca da densidade de modos para o sinal, diante de uma potencia crescente debombeio. Parte superior, potencia injetada de 630 mW. Parte inferior, potencia injetada de 55mW.

Neste caso teremos, por efeito de lente termica, um deslocamento do comprimento de cavi-dade no qual ha degenerescencia, com a mudanca da densidade de modos transversos com aformac~ao de uma lente termica. Na gura 7.7, vemos esta mudanca pela variac~ao da separac~ao


entre os picos de ressonancia do sinal para diferentes potencias de bombeio. A coincidenciados picos sinal e bombeio n~ao e fortuita, sendo obtida pela variac~ao da temperatura do cristal,mantido em um forno, em uma faixa de 0; 5ÆC. Para impedir a oscilac~ao do OPO, a polar-izac~ao do bombeio e mantida na vertical, impedindo o correto acordo de fase para a oscilac~aoquase degenerada.

0

20

40

60

80

100

0 100 200 300 400 500 600 700

Potência de Bombeio (mW)

Pot

ênci

a de

saí

da -

bom

beio

(u.

arb

.)

Figura 7.8: Amplitude do sinal de ressonancia para 532 nm a diferentes potencias de injec~ao.

Vemos ainda que os efeitos termicos levam a uma distorc~ao do pico de ressonancia dobombeio, como fora observado na sec~ao 4.8.1. Note que a potencia intracavidade medida pelodetetor n~ao e conhecida com precis~ao, pois a incerteza do valor de transmitancia do espelhode sada da cavidade e grande para o verde. No entanto, sabemos que ela n~ao e linear com apotencia do bombeio, justamente devido aos efeitos termicos presentes no interior da cavidade(gura 7.8).

0 20 40 60 80 1001,800

1,825

1,850

1,875

1,900

1,925

1,950

Ntr

Potência Intracavidade- 532 nm (u. arb.)

Figura 7.9: Deslocamento da densidade de modos em func~ao da potencia intracavidade dobombeio .

A dependencia da densidade de modos com a potencia intracavidade e mostrada na gu-

7.2. OPO CONFOCAL 191

ra 7.9. Nesta situac~ao, para uma densidade inicial Ntr = 1; 95, repetimos as medidas dagura 7.7, obtendo a densidade de modos para diferentes potencias de bombeio. O resultadoindica a formac~ao de uma lente termica convergente no interior do cristal, com f1 proporcionala potencia intracavidade. Esta tecnica pode ser desenvolvida visando sua aplicac~ao as medi-das de pequenas absorc~oes, sendo que neste caso, pela equac~ao 7.5, vemos que a sensibilidadena medida de 1=f sera maxima para uma cavidade plana (g = 1), e nula para uma cavidadeconcentrica (g = 1).

A lente convergente formada e coerente com os valores positivos de @n=@T do KTP [70], ejustica o comportamento observado em [12]. Nos basearemos nesta referencia para descrevero comportamento classico do OPO confocal, como veremos a seguir.

7.2 OPO Confocal

Tendo estudado a cavidade confocal, seus aspectos para uma cavidade vazia e uma cavidadecom um cristal inserido, e os efeitos provocados por uma lente termica, vamos estudar ascaractersticas de um OPO operando na condic~ao de degenerescencia transversa, mostrando osresultados observados na ref. [12].

Antes, vale discutir a motivac~ao do estudo de uma cavidade confocal para a observac~ao deefeitos quanticos. Conforme discutido na referencia [128], um OPO em uma cavidade confocaldeve apresentar, abaixo do limiar de oscilac~ao, uma sada com vacuo comprimido, tal qualum OPO em uma cavidade n~ao degenerada. Neste caso, com um cristal no, bombeado poruma onda plana, teremos a superposic~ao de diversos modos transversos de ordem par quev~ao resultar na superposic~ao de multiplos modos de vacuo comprimido na sada da cavidade.Abaixo do limiar, estes modos est~ao desacoplados, e o resultado se assemelha a superposic~ao dovacuo comprimido de multiplos OPO's. Focalizando corretamente a sada, e sobrepondo-a a umoscilador local com simetria de invers~ao, devemos obter a mesma compress~ao para diferentesformas do oscilador local.

Acima do limiar, foi demonstrado que o OPO apresenta um forte acoplamento entre osmodos do bombeio e os modos sinal e complementar transversos [110]. No entanto, ainda queos modos transversos de mesma ordem TEMpq do sinal e complementar sejam mais fortementeacoplados, ha uma contribuic~ao importante do acoplamento entre modos de diferentes ordens.Ou seja, o OPO e levado a uma oscilac~ao em multiplos modos transversos, fortemente acopladosentre si. N~ao e claro como e distribudo o rudo entre os modos transversos dos feixes sinal ecomplementar, permanecendo aberta a quest~ao do modelamento dos efeitos quanticos nos feixesgemeos do OPO confocal.

Uma vis~ao simplista desta quest~ao e proposta pela descric~ao da emiss~ao da luz em fotonsgemeos, como vemos na gura 7.10. A ideia e que o foton emitido em uma dada direc~ao possuium foton gemeo emitido na direc~ao simetrica, por conservac~ao de momento. Se eles n~ao foremtransmitidos no primeiro encontro com o espelho de acoplamento, eles v~ao ser re etidos, e aposuma volta completa na cavidade ir~ao trocar de direc~ao, conservando o angulo de emiss~ao. Aposmultiplas voltas, os fotons podem sair em qualquer uma das direc~oes selecionadas pelo angulode emiss~ao. Esta direc~ao de emiss~ao difere daquela de um outro par de fotons, gerados em umangulo menor. A correlac~ao dos fotons gemeos se manteria em faixas em torno do centro do


Bombeio

Figura 7.10: Descric~ao do OPO confocal pela conservac~ao do momento transverso dos fotonsemitidos.

feixe. Se colocassemos um obstaculo com simetria cilndrica no campo distante do feixe, comouma ris, e medssemos a correlac~ao de intensidade entre os feixes, esta deveria se manter amedida que reduzimos a abertura.

Veremos, no entanto, que esta descric~ao simplista do problema n~ao e vericada experimen-talmente na observac~ao da distribuic~ao de rudo dentro dos feixes gerados. Mas ocorre uma claradistinc~ao deste regime com relac~ao a situac~ao de uma cavidade onde n~ao ha degenerescencia demodos transversos e os modos de sada do OPO se limitam a dois feixes gaussianos TEM00.

7.2.1 Estruturas de sada

Como mostrado em [12], o OPO confocal apresenta em sua sada a formac~ao de estruturasde diversos graus de complexidade, formando-se aneis em sua parte externa, e granulac~oesregulares no seu interior. Tais situac~oes podem ser descritas pela superposic~ao de multiplosmodos de sada.

Vamos lembrar aqui alguns aspectos daquele trabalho, que ser~ao uteis na nossa descric~ao damedida dos efeitos quanticos no OPO confocal. Em seu trabalho, Vaupel et.al. [12] vericaramas estruturas formadas na sada do OPO confocal em diferentes comprimentos de cavidade,variando ainda o tamanho do feixe de bombeio e sua potencia.

As imagens do feixe sinal no campo proximo podem ser vistas na gura 7.11. Vemosque a medida que nos aproximamos do ponto de confocalidade exata (descontado o efeitode deslocamento da posic~ao confocal pelo efeito de lente termica) temos progressivamente aformac~ao de aneis em torno do maximo central. A complexidade das estruturas aumenta paravalores menores de comprimento de cavidade (L < 0). A existencia destas estruturas alem doponto de confocalidade deve-se principalmente aos efeitos termicos no interior do cristal, quepara um valor negativo de L = Lcav R (Ntr > 2) reduzem a densidade de modos de volta adegenerescencia.

Outro efeito interessante deve-se ao aumento do limiar de oscilac~ao ao nos aproximarmos daconfocalidade. Como vimos na gura 7.4, os modos na proximidade da degenerescencia sofrem


Pot

ênci

a de

Bom

beio

(mW

)

∆L (variação do compr. de cavidade)

0

50

100

150

200

250

1mm0

Figura 7.11: OPO confocal: estruturas obtidas na imagem de campo proximo do sinal paradiferentes comprimentos de cavidade, e o aumento efetivo do limiar de oscilac~ao [12].

Campo próximo

Campodistante

(atenuado)CampoPróximo

c

00TEM

∑=

24

0pp0 (r)TEM

Intensidade

Raio

Figura 7.12: Estruturas no campo proximo e no campo distante do feixe sinal do OPO confocalpara L = 0:25 mm e bombeio de 300 mW, e sua decomposic~ao em 25 modos de Laguerre-Gauss [12].


distorc~oes, alterando-se a posic~ao dos picos de ressonancia em relac~ao ao modo principal. Asformas destes picos de ressonancia mostravam grandes variac~oes para pequenos deslocamentosdo cristal. Na medida apresentada na gura 7.11 vemos que estes efeitos levam a um aumentodo limiar de oscilac~ao. Foi vericado que com um cuidadoso realinhamento do cristal e possvelrecuperar o limiar de oscilac~ao [121].

Um estudo mais detalhado destas imagens mostra a sua composic~ao por multiplos modosde Laguerre-Gauss, como vemos na gura 7.12. Por exemplo, a estrutura apresentada paraL = 0; 25 mm e um bombeio de 300 mW pode ser convenientemente descrita por umasomatoria de 25 modos de Laguerre-Gauss. Notemos que o tratamento destes resultados esua aplicac~ao nas medidas dos efeitos quanticos que apresentaremos aqui e dicultado pelagrande quantidade de modos presentes, pela complexidade da estrutura e pelo problema da suareprodutibilidade. Esta reprodutibilidade dos resultados sofre com a degradac~ao do cristal por\gray tracking", o que altera seu limiar de oscilac~ao. A alterac~ao da potencia de limiar deslocao ponto de degenerescencia, n~ao sendo possvel repetir precisamente a medida, mantendo-se noentanto a existencia de estruturas nos feixes de sada. Alem disso, na aquisic~ao de imagens,devemos fazer um compromisso entre os detalhes obtidos para as partes externas do feixe (poucointensos) e a saturac~ao do maximo central, pelo uso de ltros de densidade neutra. Umacorrec~ao dinamica do sinal da CCD (chamada correc~ao \gamma" pelos fabricantes) permite avisualizac~ao simultanea destes efeitos, porem invalida a analise dos dados pela n~ao-linearidadedos valores medidos com a intensidade incidente sobre cada \pixel".

O estudo mostrou ainda a formac~ao de estruturas na imagem de campo distante, especial-mente a formac~ao de alveolos no maximo central. Curiosamente, estes alveolos podem sofreruma invers~ao de maximos e mnimos para uma pequena variac~ao da sintonia da cavidade. A pe-riodicidade destas estruturas parece tambem aumentar a medida que reduzimos o comprimentoda cavidade.

Por m, vericou-se que estas estruturas dependem do tamanho do feixe de bombeio (gu-ra 7.14), sendo mais complexas para um bombeio maior que o modo ressonante da cavidade.Para um diametro do feixe superior ao dobro do diametro do modo fundamental da cavidade(TEM00), n~ao ha o surgimento de novas estruturas. Observou-se tambem que, ainda que seformem estruturas nos feixes gerados, o modo do bombeio permanece gaussiano.

Outro aspecto importante e que os feixes sinal e complementar apresentam estruturas bemdiferentes. Na realidade, fora da condic~ao n~ao-degenerada (modos de sadaTEM00), sera raroobservar imagens simetricas nos dois feixes.

Vemos portanto que o OPO confocal requer uma descric~ao multimodo dos feixes de sada. Noentanto, n~ao e evidente que isto corresponda a uma descric~ao multimodo do campo quantizadoem termos de operadores de criac~ao e aniquilac~ao. Podemos ter casos em que o feixe e descritopor uma somatoria de modos transversos, denindo um vetor nesta base. Este vetor atua comoum termo de modulac~ao de amplitude que multiplica o operador aniquilac~ao. Como veremos,esta situac~ao e distinta daquela onde necessitamos de um operador aniquilac~ao para cada modotransverso do feixe, denindo um campo multimodo em uma descric~ao quantica.

Para vericar se o campo e multimodo quantico, estudaremos a distribuic~ao do rudo dentrode cada feixe. Por n~ao serem simetricos, a colocac~ao de um anteparo diante dos feixes ira afetarde forma diferente cada um deles. Se medimos um sinal comprimido na diferenca da utuac~aode intensidades para feixes balanceados (abaixo do \shot noise"), ao realizarmos a medida com


∆L=0.5mm ∆L=-0.4mm

∆L=-1mm

Figura 7.13: Estruturas do campo distante para bombeio de 360 mW a diferentes comprimentosde cavidade. As duas guras inferiores (L = 1 mm) correspondem a uma pequena variac~aodo comprimento da cavidade (da ordem de nm) [12].

Sinal

Bombeio

Complementar

w0=60µm =w0cav

Sinal

Bombeio

w0=100µm

Figura 7.14: Imagens do campo distante para diferentes tamanhos do feixe de bombeio [12].


um desbalanceamento entre os feixes teremos um desequilbrio na subtrac~ao, que nos leva a umsinal acima do \shot noise" devido ao excesso de rudo em cada um dos feixes. Pensando nisso,desenvolvemos o sistema de medic~ao desbalanceado, que apresentamos a seguir.

7.3 Medida de correlac~oes quanticas em feixes desbalanceados

A sada do OPO n~ao e necessariamente balanceada. Devido a diferenca nas perdas intracavidadepara sinal e complementar, surge um desbalanceamento da ordem de 10% do valor medio dasintensidades dos feixes.

Neste caso, devido ao excesso de rudo dos feixes de sada do OPO, temos uma reduc~aono valor medida da compress~ao das utuac~oes da diferenca de intensidades. Isto n~ao impedea medida da compress~ao S, que para o OPO estudado se mantem em torno de 30 %. Valelembrar que tais perdas intracavidade ir~ao afetar tambem a distribuic~ao do espectro de rudo,alterando a banda passante para os dois campos. Por este motivo, a inclus~ao de um atenuadorexterno que recupere o equilbrio dos feixes n~ao ira assegurar uma melhor compress~ao [43].

Vamos estudar o caso da medida de correlac~ao afetada pela inserc~ao de uma atenuac~aoexterna a cavidade, diante dos detetores dos feixes do OPO. Neste caso, a proposta e recuperaro valor inicial das utuac~oes pela correc~ao eletronica das atenuac~oes sofridas pelos feixes.

δE01(t)

G1

i1(t)E1(t)

T1E1

out(t)

G2

i2(t)E2(t)

δE02(t)

T2

E2out(t)

iout(t)

Figura 7.15: Sistema de detec~ao desbalanceada: descric~ao semiclassica monomodo.

O sistema e descrito na gura 7.15, onde os campos em estudo, E1(t) e E2(t), correspondemno caso aos feixes de sada do OPO. Como mediremos a intensidade dos feixes, vamos consideraros valores medios dos campos Ei = Ei(t) como valores reais. A utuac~ao do campo e dada porÆEi = Ei(t)Ei, onde a dependencia temporal e implcita no termo de utuac~ao.

Estes feixes incidem sobre um divisor de feixe, um atenuador ou um anteparo, sofrendo umaatenuac~ao e a inserc~ao de utuac~oes do vacuo, representadas por ÆE0i. Na sada, teremos ocampo incidente sobre os detetores dado por

Eouti (t) =pTi(Ei + ÆEi) +

p1 TiÆE0i; (7.6)

7.3. MEDIDA DE CORRELAC ~OES QUANTICAS EM FEIXES DESBALANCEADOS 197

onde Ti e a transmitancia do elemento inserido diante do detetor i, dada pela raz~ao das inten-sidades do feixe transmitido pelo feixe incidente.

A intensidade incidente sobre cada detetor e dada por Ii(t) = Eouti (t)Eouti (t). Desprezandoos termos de ordem quadratica para as utuac~oes do campo, as utuac~oes da intensidadeincidente no detetor i s~ao dadas por

Ii(t) = TiE2i + 2Ei

TiRe[ÆEi] +

qTi(1 Ti)Re[ÆE0i]

; (7.7)

onde vemos um termo para o valor medio da intensidade Ii = TiE2i e um termo de utuac~ao

real ÆIi = Ii(t) Ii.

Consideraremos que os detetores tem eciencia unitaria, de modo que a taxa de gerac~ao deeletrons e igual ao uxo de fotons incidente sobre o detetor. Denimos ent~ao a fotocorrenteii / Ii a menos de uma constante. As fotocorrentes de cada detetor passam por amplicadoresde ganho Gi, e s~ao subtradas, resultando em uma corrente de sada iout(t) = G1i1(t)G2i2(t).A variancia desta corrente pode ser medida por um analisador de espectro, mostrando a potenciado rudo em uma dada frequencia de analise, como vimos na sec~ao 4.9. E esta medida que nosmostra a compress~ao no rudo, indicando correlac~oes quanticas entre os feixes. A variancia dafotocorrente iout(t) e dada pelas utuac~oes das fotocorrentes de cada detetor

2iout = (G1Æiout1 G2Æiout2 )2: (7.8)

Na medida das correlac~oes quanticas de intensidade dos feixes gemeos em um OPO, temosganhosGi e transmitancias Ti unitarias. Retomamos ent~ao a descric~ao apresentada na sec~ao 2.3.5.O rudo medido por 2iout pode ser normalizado pelo resultado esperado para dois campos coe-rentes. Neste caso, fazendo a normalizac~ao pela mesma medida de rudo obtida por dois camposcoerentes de igual intensidade, teremos

N =(Æiout1 Æiout2 (t))2

4(i1 + i2)2E0; (7.9)

onde 2E0 e a variancia das utuac~oes do vacuo. A correlac~ao entre os feixes e consideradaquantica quando N < 1. A compress~ao do feixe S = 1N mostra o quanto os feixes gemeos seafastam do comportamento classico de dois feixes obtidos pela simples separac~ao de um feixeincidente em um divisor de feixe. Um nvel perfeito de compress~ao resultaria em S = 1.

A correc~ao da atenuac~ao dos feixes pelo ganho e semelhante a correc~ao do valor de com-press~ao para um sistema imperfeito de detec~ao. Nas publicac~oes, anuncia-se geralmente umacompress~ao S medida, com uma eciencia quantica do sistema de detec~ao. Deste modo,infere-se uma compress~ao S0 = S= do feixe na sada do sistema.

No presente caso, se medirmos a atenuac~ao Ti do feixe incidente sobre cada detetor, podemosrecuperar a informac~ao do rudo incidente sobre o atenuador. Ajustando o ganho dos ampli-cadores Gi = 1=Ti, obtemos das equac~oes 7.7 e 7.9 o valor corrigido da compress~ao

Ncorr =2iout

4(G1i1 +G2i2)2E0+ 1 G2

1i1 +G22i2

G1i1 +G2i2; (7.10)


onde vemos a recuperac~ao das utuac~oes de intensidade do campo incidente, e a subtrac~ao dorudo do vacuo adicionado pela atenuac~ao do feixe, rudo este que foi amplicado pela eletronicana recuperac~ao das utuac~oes do feixe.

Este valor pode ser facilmente obtido empregando o sistema de medic~ao descrito na sec~ao 6.5,onde temos um registro temporal das fotocorrentes em cada detetor. A proposta do sistema demedida e adquirir uma serie de dados, obtendo simultaneamente o valor medio ii e o espectro deamplitudes das utuac~oes da fotocorrente Æii em uma frequencia de analise f0. Empregando umdetetor adicional para fazer a normalizac~ao, pode-se medir o valor da transmitancia Ti. Comisto podemos calcular o valor da equac~ao 7.8 e do rudo corrigido Ncorr, calibrando previamenteo nvel de \shot noise" para obter o valor de 2E0. Para um ltro de densidade neutra, temosque Ncorr = N dado pela equac~ao 7.9.

A utilidade deste metodo esta na demonstrac~ao do carater multimodo quantico do OPOconfocal. Veremos a seguir como podemos descrever o campo eletrico quantizado por operadoresde criac~ao e aniquilac~ao modulados pelas envoltorias dos modos transversos. Mostraremos quese existe uma combinac~ao linear na base dos modos transversos que permita a descric~ao docampo por um unico operador de aniquilac~ao, este campo e monomodo quantico, e neste casoa atenuac~ao da compress~ao de rudo e linear com a transmitancia de um anteparo qualquerinserido no caminho do feixe. Do mesmo modo, para a medida de correlac~ao, se tivermos feixesmonomodo quanticos correlacionados, a correc~ao do rudo dada pela equac~ao 7.10 continuavalendo. Caso contrario, demonstra-se que o campo e efetivamente multimodo.

7.4 Descric~ao quantica do campo multimodo

Na sec~ao 2.1, realizamos a quantizac~ao do campo eletromagnetico a partir das equac~oes deMaxwell, levando a denic~ao do operador campo eletrico na eq. 2.18. Naquele caso, o campoe descrito na forma de um operador atuando sobre um modo k de propagac~ao do campo, emuma dada polarizac~ao s.

Ao nal, temos o campo eletrico descrito pela soma das componentes de frequencias positivasao seu harmonico conjugado, contendo a soma dos termos de frequencias negativas. O operadordas componentes positivas e descrito pelo operador de aniquilac~ao de fotons do campo eletricomultiplicado por um termo dependente do modo k e da frequencia angular ! do campo.

Naquela descric~ao, n~ao ha um detalhamento das coordenadas espaciais transversas do cam-po. Na realidade, estas acabam escondidas nos modos de propagac~ao k. Normalmente, asituac~ao estudada consiste em um feixe monocromatico, cuja propagac~ao classica pode ser des-crita em uma aproximac~ao paraxial. Nesta aproximac~ao, podemos descrever o feixe pela super-posic~ao de modos espaciais ortonormais (em uma base de Laguerre-Gauss ou Hermite-Gauss)de diferentes amplitudes multiplicando o termo de propagac~ao de onda plana exp[i(!t kz)].

Vamos descrever de forma resumida o tratamento quantico do campo eletrico, seguindo aref. [113]. Considerando que o campo se propaga de forma paraxial paralelamente ao eixo z,podemos escrever o operador de amplitude dos termos positivos de frequencia do campo eletricocomo

E(+)(z; ~; t) = i

sh!020c

exp [i (k0z !0t)] a(z; ~; t) (7.11)

7.4. DESCRIC ~AO QUANTICA DO CAMPO MULTIMODO 199

onde k0 e o modulo do vetor de onda do campo na direc~ao z, e !0 e a frequencia da portadorado campo. Os operadores de criac~ao e aniquilac~ao fay(z; ~; t); a(z; ~; t)g do campo dependemdas coordenadas espaciais longitudinal (z) e transversa (~), alem da coordenada temporal.

Os operadores de criac~ao e aniquilac~ao s~ao normalizados de modo que hay(z; ~; t)a(z; ~; t)inos fornece o uxo de fotons por unidade de area por segundo em um ponto ~ do plano transversoao ponto z do eixo de propagac~ao, no instante t. As regras de comutac~ao para estes operadoress~ao h

a(z; ~; t); ay(z; ~0; t0)i= Æ(~ ~0)Æ(t t0)h

a(z; ~; t); a(z; ~0; t0)i= 0:

(7.12)

Estamos interessados em observar as correlac~oes espaciais dos operadores do campo eletrico.Por este motivo, vamos simplicar a notac~ao, considerando que as medidas s~ao feitas em umaposic~ao z do plano de propagac~ao, e que o valor observado e sempre o espectro de rudo de umafotocorrente, sendo portanto proporcional a autocorrelac~ao da fotocorrente. Por isso, iremossuprimir a dependencia dos operadores de aniquilac~ao e criac~ao nas coordenadas z e t, nosatendo apenas a coordenada transversa ~. A relac~ao de comutac~ao e ent~ao simplicada, demodo que h

a(~); ay(~0)i= Æ

~ ~0

: (7.13)

Consideremos a fotocorrente medida por um detetor (cuja eciencia consideraremos unitaria)grande o suciente para integrar toda a potencia do feixe, porem com um anteparo diante delede modo a selecionar uma superfcie S do plano transverso em z (gura 7.16). O operador defotocorrente sera dado pela integrac~ao das fotocorrentes em cada ponto da superfcie, de modoque

i =

ZSay(~)a(~)d~ =

ZSn(~)d~: (7.14)

onde n(~) e o operador numero local, que fornece a densidade do uxo de fotons em um ponto~ do plano transverso.

Ê(t)i(t)

S

^ρ

z

Figura 7.16: Medida da potencia do feixe empregando um detetor cuja area de integrac~ao elimitada por um anteparo.


Convem ainda denir um operador para a utuac~ao da fotocorrente. Temos ent~ao

Æi =

ZS[n(~) hn(~)i] d~: (7.15)

onde o valor medio do operador numero e obtido para o estado generico ji do campo.Vamos vericar como muda o valor medido da variancia da fotocorrente 2i para diferentes

formas do anteparo S. Para faze-lo, sera conveniente descrever o campo na forma de modostransversos, para os quais teremos operadores independentes de criac~ao e aniquilac~ao.

7.4.1 Decomposic~ao em modos transversos

Uma forma de satisfazer a condic~ao de comutac~ao 7.13 e pela descric~ao do campo como umasoma de operadores de aniquilac~ao nos diferentes modos transversos do campo. Estes modoss~ao descritos em uma base completa e ortonormal, por exemplo os modos de Hermite-Gauss oude Laguerre-Gauss. Sendo aj o operador de aniquilac~ao no modo j, o operador campo eletricopode ent~ao ser descrito pela somatoria dos operadores dos modos multiplicados pela envoltoriaque descreve a distribuic~ao espacial da amplitude e fase do modo

E(~) =Xj

ajui(~): (7.16)

Onde a completeza e a ortonormalidade da base fuj(~)g s~ao satisfeitasRS!1 ui (~)uj(~)d~ = Æij ;

Pi u

i (~)ui(~

0) = Æ(~ ~ 0): (7.17)

Em consequencia, podemos vericar as relac~oes de comutac~ao para os operadores dos modoshal; a

ym

i= Ælm; [al; am] = 0;

hayl ; a

ym

i= 0: (7.18)

Se aplicarmos estas relac~oes ao operador de fotocorrente descrito pela equac~ao 7.14, teremos

i =Xlm

Tlmayl am; (7.19)

onde os coecientes Tlm s~ao dados pela integrac~ao do produto dos modos transversos na su-perfcie S

Tlm =

ZSul (~)um(~)d~: (7.20)

Observamos que Tlm = T ml. Das condic~oes de ortonormalidade e completeza temos que

Tlm = Ælm se S !1: (7.21)

Calculando a variancia da fotocorrente, podemos aplicar as propriedades de comutac~ao dosoperadores de modo (eq. 7.18) e a completeza da base escolhida para mostrar que

2i = h(Æi)2i = hii+Xklmn

TlmTknh: Æn2klmn :i; (7.22)


onde o termo em ordem normal (operadores de criac~ao a esquerda e operadores de aniquilac~aoa direita) e dado por

h: Æn2klmn :i = haykayl amani hayl amihaykani: (7.23)

correspondendo nos casos l = m e k = n as correlac~oes das utuac~oes do operador numero decada modo.

O caso da transmiss~ao do feixe por um anteparo pode ent~ao ser tratado pela soma dostermos de correlac~ao em uma base innita de modos. Se reagruparmos os termos da somatoriapodemos obter maiores detalhes sobre os diversos efeitos fsicos descritos por esta equac~ao.Teremos assim, para a equac~ao 7.22,

2i = hii+Xi

T 2iih: (Æni)2 :i+ 2

Xi;j>i

TiiTjjhÆniÆnji+ 2Xi;j>i

jTij j2hninji jhayi ajij2

+Xi;j;k;l

TklTij(1 ÆklÆmn)(1 ÆknÆlm)hayi ayj akali haykalihayi aji

: (7.24)

O primeiro termo corresponde ao \shot noise", sendo proporcional ao numero medio de fotonsdetectados hii. A variancia em ordem normal h: (Æni)2 :i do operador numero ni = ayi ai domodo fornece a compress~ao ou o excesso de rudo em cada modo transverso do campo. Acorrelac~ao do numero de fotons entre diferentes modos e dada por hÆniÆnji. Vemos neste casoque todos estes termos s~ao reais, e tem como peso a transmitancia Tii do modo pela abertura.

Os ultimos termos correspondem a contribuic~ao da interferencia entre cada modo. Emalguns casos, como mostrado para diodos laser de cavidade vertical [133], este termo se anulapor tratarmos de modos de frequencias diferentes. Se a diferenca das frequencias for muitosuperior a largura de banda do sistema de detec~ao, o batimento entre elas n~ao sera observado, eos termos de interferencia s~ao nulos. Neste caso, os unicos termos remanescentes ser~ao o termode \shot noise", o termo de compress~ao de rudo de cada modo e a correlac~ao de intensidade.No caso aqui discutido, estamos tratando de um feixe com uma unica frequencia de portadora,de modo que ha uma contribuic~ao efetiva para situac~oes onde a superfcie de integrac~ao S enita, como no caso de diodos laser mostrados em [132].

Podemos denir o rudo normalizado pela raz~ao entre a variancia da fotocorrente e o \shotnoise" (N = 2i=hii). Da equac~ao 7.24 podemos ver que este rudo normalizado n~ao apresentade forma clara uma dependencia linear com a atenuac~ao do feixe, como visto no caso de umfeixe monomodo atenuado por um ltro de densidade neutra (sec~ao 2.3.2). Vamos demonstrarque se houver uma descric~ao monomodo do campo, existe uma dependencia linear.

Comecemos por estudar duas situac~oes-limite. Para uma integrac~ao completa da frentede onda (ou seja, para S ! 1), teremos Tij = Æij , e todos os termos de inteferencia ser~aonulos. Teremos assim o rudo normalizado de todo o feixe, considerando ainda a distribuic~aode fotons entre os modos, sua variancia e sua correlac~ao. Por outro lado, para uma aberturamuito pequena, Tij ! 0. Como todos os termos possuem uma dependencia quadratica com atransmitancia, exceto o \`shot noise", as utuac~oes de fotocorrente ir~ao convergir para o nvelde \shot noise", obtendo-se assim um rudo normalizado unitario. Para pontos intermediarios,todos os termos de correlac~ao ir~ao concorrer, n~ao havendo uma dependencia linear.

A linearidade da compress~ao ou do excesso de rudo com a transmitancia total do anteparoca evidente em alguns casos especcos. Se o campo e descrito em um estado multimodo coe-


rente, sem correlac~oes de intensidade entre os modos transversos, todos os termos da somatorias~ao nulos, exceto o \shot noise". Deste modo as utuac~oes de intensidade est~ao limitadas aorudo padr~ao para qualquer superfcie de integrac~ao escolhida.

Se houver, no entanto, excesso ou compress~ao de rudo, as utuac~oes ser~ao lineares se ocampo e descrito por um estado monomodo. Neste caso, o sentido de campo quantico monomo-do ca claro ao considerarmos que os fotons s~ao gerados ou aniquilados em apenas um modotransverso do campo. Se o campo estiver em um estado ji, tal que a aplicac~ao do oper-ador aniquilac~ao do modo i de um resultado n~ao nulo apenas para um modo do campo, quedenominaremos modo o, teremos

aiji = Æoij0i; (7.25)

para qualquer modo i do campo. Neste caso vemos que o valor da compress~ao de rudo nor-malizada e

S = N 1 = Tooh: Æ2no :ihnoi ; (7.26)

sendo proporcional a atenuac~ao do feixe Too. Teremos a situac~ao semelhante ao uso de umltro de densidade neutra em um estado comprimido do campo [19, 40]. O fato do campo serdescrito por um unico modo da base fuig leva a dependencia linear da compress~ao de rudo.

Por vezes a condic~ao 7.25 n~ao e satisfeita na base escolhida, escondendo uma descric~aomonomodo do campo. Anal, mesmo um feixe gaussiano TEM00 pode ser representado poruma superposic~ao de modos em uma outra base, bastando para isso que nesta outra base acintura do feixe do modo fundamental seja diferente da cintura do feixe gaussiano. Mostraremosque se existe uma base fvig onde o campo e descrito como um unico modo, ent~ao a condic~aode proporcionalidade 7.26 e vericada. Se esta condic~ao n~ao for satisfeita, ent~ao o campo emultimodo.

Considere que o operador do campo dado pela eq. 7.16 possa ser expresso de modo alterna-tivo em outra base

E(~) =Xi

aiui(~) =Xj

bjvj(~): (7.27)

onde o operador de aniquilac~ao bj atua nos modos j do campo descrito na base fvj(~)g,completae ortonormal.

Como podemos ver, os operadores ai a bj s~ao linearmente relacionados

bj =Pi cjiai e ai =

Pj c

jibj com cji =

R1 vj (~)ui(~)d~; (7.28)

onde temos, pelas relac~oes de completezaXk

ckickj = Æij : (7.29)

Consideremos que para o estado do campo j i temos aparentemente uma situac~ao multimo-do para o operador de aniquilac~ao ai (aij i = ij ii) mas para o operador bj ele e claramentemonomodo, satisfazendo a condic~ao 7.25 (bj j i = Æoj j ji).

Aplicando a descric~ao de ai em func~ao de bj nos termos com ordenac~ao normal denidospela equac~ao 7.23 teremos gracas ao comportamento monomodo na base fvjg

h: Ænklmn :i = cokcojcomconh: ÆNb :i; (7.30)


com ÆNb = by0b0 hby0b0i.Da completeza e ortonormalidade de fujg e fvig vemos que

Xlm

Tlmcolcom =

ZSv0(~)v0(~) = T; (7.31)

sendo T a transmitancia do feixe pela abertura. Portanto a equac~ao 7.24 pode ser descrita naforma

S =2i

hii 1 = TS0; (7.32)

com S0 = h: ÆNb :i=hNbi como a compress~ao total de rudo para uma integrac~ao completa sobretoda a superfcie do feixe.

Temos portanto que se o campo pode ser descrito por uma representac~ao monomodo, oexcesso de rudo normalizado sera proporcional a atenuac~ao da intensidade do feixe. Ou seja,o rudo possui um termo linear referente ao \shot noise", e um termo quadratico referente aoexcesso ou a compress~ao de rudo.

Se n~ao houver esta linearidade, o campo e multimodo. Uma descric~ao completa e detalhadatorna-se difcil. Existem algumas situac~oes especcas [132, 133] onde o rudo de cada modoe a correlac~ao s~ao facilmente mensuraveis, porem a complexidade do tratamento dos dadosaumenta para um numero crescente de modos envolvidos. Uma escolha evidente para a basedos modos na descric~ao do campo s~ao os modos transversos de uma cavidade para o sistemaem analise [138].

O tratamento aqui descrito pode ser aplicado ao estudo das compress~oes de intensidadeno caso de campos comprimidos multimodo. Para compress~ao em quadratura, a descric~ao domodo do oscilador local deve ser considerada, n~ao sendo aqui tratada.

Apos estudarmos a descric~ao do campo multimodo, vamos voltar ao estudo da correlac~ao deintensidade entre feixes gemeos de um OPO, retomando a discuss~ao apresentada na sec~ao 7.3.A diferenca e que estudaremos agora o caso multimodo em uma descric~ao puramente quanticado campo, em termos dos operadores de criac~ao e aniquilac~ao dos modos transversos.

7.4.2 Correlac~oes de intensidade

Nos vimos no caso anterior como o efeito de um obstaculo ira afetar a medida do rudo deintensidade de um feixe multimodo. Discutiremos agora as correlac~oes quanticas entre doisfeixes, visando sua aplicac~ao aos feixes gemeos de OPO's em cavidades degeneradas, levando auma oscilac~ao multimodo transversa. Neste caso, n~ao teremos apenas um detetor, mas um parde detetores sobre os quais incidimos feixes com diferentes distribuic~oes de intensidade. Vamosanalisar a situac~ao de uma detec~ao desbalanceada, com uma correc~ao de ganho para compensaras diferencas na atenuac~ao dos dois feixes.

Vamos considerar o sistema de detec~ao descrito na gura 7.17. Os campos eletricos inci-dentes, representados por E1 e E2, podem ser descritos na forma de somas de operadores deaniquilac~ao dos modos ortogonais dos campos, como descrito na equac~ao 7.16. Diante de cadadetetor temos um anteparo, que dene uma superfcie de integrac~ao Si para o campo incidente.


Ê1(t)

Ê2(t)

G1

i1(t)

i2(t)

iout(t)

G2

S1

S2

^

^

^

Figura 7.17: Montagem para comparac~ao de rudo entre dois feixes multimodo.

As fotocorrentes medidas pelos detetores s~ao dadas pelos operadores ii(t) (eq. 7.14), e s~aoamplicadas por circuitos eletronicos, sendo medido o valor medio das fotocorrentes dos de-tetores e a potencia de rudo da subtrac~ao das fotocorrentes amplicadas iout. Com ganhounitario nos amplicadores, e sem os anteparos diante dos detetores, medimos diretamente acorrelac~ao das intensidades dos dois feixes, comparando o valor de 2iout com o valor esperadopara dois feixes coerentes n~ao correlacionados, de mesma intensidade, incidindo sobre o sistema(\shot noise").

Se introduzirmos os anteparos, podemos tentar recuperar a informac~ao perdida pela ate-nuac~ao do feixe. Desse modo fazemos Gi = 1=T (i), onde a transmitancia do feixe pelo anteparopode ser calculada por

T (i) =

Pmn Tmnha(i)

y

m a(i)n i

Ii(7.33)

onde a fotocorrente total obtida da integrac~ao de toda a frente de onda e Ii =Pmhn(i)m i,

coincidindo com i quando o obstaculo e completamente removido.

Teremos ent~ao para a variancia da diferenca das fotocorrentes amplicadas

2iout = hÆ2G1i1 +G2 i2

i = G2

1hÆ2 i1i+G22hÆ2 i2i 2G1G2hÆi1Æi2i; (7.34)

onde vemos as contribuic~oes das utuac~oes de intensidade de cada feixe mais o termo de cor-relac~ao de intensidades dos dois feixes.

Vamos estudar agora dois casos diferentes. Analisaremos primeiramente a distribuic~ao dorudo em um unico feixe pela variac~ao da superfcie de integrac~ao S1. Em seguida, estudaremoso caso no qual as duas superfcies de integrac~ao s~ao simultaneamente alteradas.

Distribuic~ao de rudo em um unico feixe

Comecando o estudo pela distribuic~ao de rudo em um unico feixe, consideraremos que T2 = 1,ou seja, removemos completamente este anteparo. Vamos ent~ao calcular a distribuic~ao corrigida


do rudo, seguindo o procedimento descrito na sec~ao 7.3. Neste caso, o nvel corrigido de rudoe

Ncorr =2iout

G1hi1i+ hI2i+ 1 G2

1hi1i+ hI2iG1hi1i+ hI2i

: (7.35)

Tentamos assim recuperar, atraves do ganho sobre a fotocorrente do detetor 1, o nvel de rudonormalizado obtido na ausencia de atenuadores diante dos detetores.

Na ausencia da abertura diante do detetor 1, teremos o rudo normalizado dado por

N0 =hÆ2(I1 I2)ihI1i+ hI2i

: (7.36)

A diferenca entre o rudo corrigido e o rudo normalizado sem perdas e dada por

Ncorr N0 =G21

Pklmn TlmTknh: Æ2n(1)klmn :i h: Æ2I1 :i 2G1

Plm TlmhÆn(1)lmÆI2i+ hÆI1ÆI2i

hI1i+ hI2i:

(7.37)Novamente, se considerarmos um campo monomodo quantico incidindo sobre os detetores,

vericamos que Ncorr N0 = 0. Neste caso, a correc~ao empregada e valida, e recupera o nvelde rudo original para um feixe atenuado. O resultado e semelhante ao obtido para a inclus~aode um ltro de densidade neutra. Teremos em ambos os casos a eliminac~ao aleatoria de fotonsdo feixe incidente.

Nota-se ainda que para o feixe incidente sobre o detetor 2 n~ao foi feita hipotese algumaquanto a sua distribuic~ao de modos, uma vez que estamos integrando toda a frente de onda.Se a igualdade entre o rudo corrigido e o rudo medido sem atenuac~ao n~ao for vericada, n~aoexiste uma base na qual o feixe 1 possa ser descrito em uma representac~ao monomodo.

Distribuic~ao de rudo em ambos os feixes

Considerando agora a atenuac~ao simultanea sobre ambos os feixes, podemos calcular novamenteo rudo corrigido, considerando agora o ganho sobre as duas fotocorrentes. Obtemos assim

Ncorr =2 iout

G1hi1i+G2hi2i+ 1 G2

1hi1i+G22hi2i

G1hi1i+G2hi2i: (7.38)

Comparando novamente as utuac~oes corrigidas com a utuac~ao sem atenuac~ao, teremos

Ncorr N0 = G21

Pklmn T

(1)lm T

(1)kn h: Æ2n(1)klmn :i h: Æ2I1 :ihI1i+ hI2i

+G22

Pklmn T

(2)lm T

(2)kn h: Æ2n(2)klmn :i h: Æ2I2 :ihI1i+ hI2i

2G1G2

Pklmn T

(1)lm T

(2)kn hÆn(1)lmÆn(2)kn i hÆI1ÆI2ihI1i+ hI2i

: (7.39)

Este termo sera nulo apenas se cada campo incidente puder ser descrito por um operadormonomodo transverso. Caso contrario, teremos tanto um dos feixes multimodo, ou ambos,


sendo que para distinguir os casos necessitamos realizar a medida da distribuic~ao em um unicofeixe.

Vemos ent~ao como um feixe multimodo pode apresentar uma distribuic~ao n~ao-homogeneado rudo no seu interior. E atraves da presenca de termos de correlac~ao, interferencia e de umadistribuic~ao do rudo entre diferentes modos do campo que podemos obter um feixe no qualha uma compress~ao local do rudo. Vamos aplicar a tecnica aqui descrita no estudo dos feixesgemeos obtidos em cavidades com modos transversos degenerados. N~ao esperamos, devidoa complexidade dos resultados, obter uma descric~ao exata dos termos de correlac~ao entre oscampos, mas apenas nos limitar a demonstrac~ao do carater multimodo dos feixes de sada.Compararemos o resultado obtido com aquele de uma cavidade operando em um unico modogaussiano para cada um dos feixes, e discutiremos a validade do modelo inicial de fotons paraexplicar as distribuic~oes das utuac~oes de intensidade nos feixes.

7.5 Descric~ao da montagem

A montagem empregada para o estudo da distribuic~ao do rudo nos modos transversos do OPOconfocal e mostrada na gura 7.18. O OPO triplamente ressonante emprega dois espelhosesfericos de raio R= 100 mm, sendo que o espelho de entrada apresenta uma transmitanciade 10% para o bombeio (532 nm) e uma alta re etancia para o sub-harmonico (1064 nm). Oespelho de sada apresenta alta re etancia para o bombeio e uma transmitancia de 1% para osub-harmonico. A otica para o acordo de modo foi descrita na sec~ao 7.1.1.

Descreveremos nesta sec~ao o sistema de imagem e medida usado na sada do OPO. Oprimeiro elemento na sada da cavidade e um espelho dicroico (DM1), empregado para eliminaro vestgio do feixe de bombeio transmitido pelo espelho de acoplamento da cavidade. Como esteespelho apresenta ainda uma pequena re ex~ao no infravermelho (1064 nm), ele e empregadotambem para fornecer um sinal de referencia, que sera empregado na estabilizac~ao e normaliza-c~ao no tratamento de dados. O feixe re etido pelo espelho dicroico e focalizado por uma lente(LD) sobre dois detetores. Um outro espelho dicroico separa o feixe de bombeio do restantedo infravermelho. Empregamos ent~ao um detetor FND100 para medir o sinal de bombeioe um detetor ETX300 para medir a amostra dos feixes sinal e complementar, registrando oseu valor em um osciloscopio digital e no sistema de aquisic~ao de dados descrito no apendice.A fotocorrente do detetor DIR e empregada tambem na estabilizac~ao da cavidade do OPO,atraves da realimentac~ao do sinal, comparado a uma tens~ao de referencia, ao PZT que controlao comprimento da cavidade.

Para o sistema de detec~ao, re etimos os feixes sinal e complementar empregando um espelho(M). As lentes L1 e L2 permitem produzir, sobre as ris I1 e I2, as imagens do campo distanteda cintura do feixe. A ris I1 permite controlar a integrac~ao sobre os dois feixes de sadasimultaneamente, enquanto que a ris I2 e empregada para analisar a distribuic~ao em um unicofeixe. Podemos selecionar a direc~ao dos feixes sinal e complementar pela orientac~ao da laminade meia-onda (HWP) e pelo cubo polarizador (PBS), estudando separadamente a distribuic~aodo rudo em cada um desses feixes. Os detetores s~ao os mesmos empregados no captulo 6para o estudo da cavidade concentrica. Neste caso, empregamos apenas um quadrante em cadafotodetetor, ligados ao sistema de aquisic~ao de dados.

7.5. DESCRIC ~AO DA MONTAGEM 207

CC

D1

CCD2Zoom

PS2

IC

OC

KTP

L3

BS

PS1

I1HWPL1

L2

M

D1

D2

PBSI2

Bombeio

DG

DM1 DIRDM2

Att

PZT

Aquis.de dados

LD

Figura 7.18: Montagem experimental.

O espelho M e montado em um suporte basculante, de modo que pode ser facilmenteremovido e recolocado no trajeto do feixe. Removendo-o, o feixe e atenuado por um ltro dedensidade neutra (Att) e focalizado por uma lente (L3), de modo a produzir sobre a CCD1 aimagem do campo distante do feixe. O sistema empregado para separar o sinal e complementarconsiste em um cubo polarizador de 12 mm de aresta e um prisma de 25 mm aresta. Destemodo, a divergencia do feixe e a mesma para as duas polarizac~oes. O divisor de feixe BS permiteainda que parte da luz seja re etida, incidindo sobre a CCD2, a qual permite a focalizac~ao daimagem de campo proximo atraves de uma lente de zoom.

Vamos descrever o procedimento para a focalizac~ao da imagem de campo proximo e campodistante do feixe. No caso da imagem sobre as CCD's, o procedimento e simples. Removendo ocristal e injetando o feixe de 1064 nm no interior da cavidade, deslocamos a lente L3 (f=150 mm)de modo a produzir a imagem de campo distante sobre a CCD1. Para isso, mantemos no


meio da cavidade uma transparencia, sobre a qual foi impressa, atraves de uma fotocopiadora,um retculo submilimetrico. Deslocando cuidadosamente L3, chegamos a imagem obtida nagura 7.19. O resulatado nal foi obtido com a CCD1 colocada a 576 mm do espelho de sadada cavidade, e a lente L3 a 340 mm do mesmo espelho.

Campo Distante Campo Próximo

Figura 7.19: Imagens de campo distante e campo proximo para um retculo (inferior) e umafolha de texto (superior).

Feito este ajuste, substitumos o retculo por um objeto qualquer (por exemplo, um texto)e ajustamos a posic~ao da CCD2 para obter a melhor imagem do objeto. O resultado pode servisto na gura 7.19. O uso de uma imagem produz resultados mais ntidos que os obtidos como retculo, determinando com melhor precis~ao o ajuste do foco da lente de zoom.

A distorc~ao nas imagens de campo proximo e campo distante e muito pequena para odeslocamento do objeto no interior da cavidade. O proprio posicionamento da lente permiteuma tolerancia de 5 mm ao longo do feixe.

Se a otica empregada para obter imagens do tamanho da CCD (3 4 mm) e simples, umprocedimento mais delicado foi necessario para obter uma imagem de campo distante sobre asris, cujo diametro era de 1 mm quando totalmente fechadas. Para isso empregamos uma lentede distancia focal curta (L2, f = 10 mm), colocada proximo a cintura do feixe produzida poroutra lente (L1, f = 100 mm). Selecionando a posic~ao das lentes de modo a produzir um campodistante do retculo sobre a ris I1, situada a 741 mm da sada do OPO, colocamos L2 a 386 mmde OC. Deslocamos ent~ao L1 de modo a obter a imagem do campo distante do retculo sobrea ris, chegando a 213 mm do espelho de sada. A imagem reproduzia a condic~ao esperadade um maximo central ladeado por quadro maximos secundarios dispostos nos vertices de umquadrado. Ainda que a ris I2 estivesse separada de I1 por 120 mm, a imagem se mantinhasobre ela, de modo que n~ao foi necessario reajustar a posic~ao da lente L1 para o estudo do rudo

7.6. RESULTADOS 209

sobre um unico feixe.

Apos a descric~ao da montagem, veremos os resultados obtidos com a aplicac~ao da medidade correlac~ao de intensidade desbalanceada ao OPO confocal, comecando pela situac~ao n~aodegenerada e nos aproximando progressivamente da regi~ao degenerada, onde a formac~ao deestruturas se torna mais evidente, com consequencias sobre a distribuic~ao de rudo.

7.6 Resultados

O procedimento para o estudo do rudo no OPO degenerado consistiu em realizar a medidasimultanea dos valores medios de fotocorrente dos detetores DG, DIR, D1 e D2, alem do sinaldemodulado das utuac~oes de intensidade dos detetores D1 e D2, empregando para isso afrequencia de analise de 3,5 MHz. As series adquiridas consistiam em 400.000 pontos, obtidoscom uma taxa de repetic~ao de 200 kHz.

O OPO e estabilizado no anco da ressonancia do sinal de sada, empregando para isso afotocorrente de DIR. Apos a estabilizac~ao, realiza-se a medida com o fechamento da ris I1durante o intervalo de 2 s, no qual a serie de pontos e adquirida. Para realizar o tratamentodos dados adquiridos, empregamos o programa desenvolvido em LabView.

O algoritmo permite o tratamento dos dados, separando-os em grupos de 10.000 pontos.Ainda que a ris seja continuamente fechada, considerou-se que a velocidade de fechamento erasucientemente baixa para tratar a transmitancia como constante no intervalo de tempo de 50ms. Tomando os valores medios das fotocorrentes de D1, D2 e DIR, calculamos a transmitanciaT da ris para cada subgrupo, obtendo ent~ao os valores dos ganhos G1 e G2 empregados noscalculos. Em seguida, calculamos o valor do rudo normalizado (eq. 7.9), do rudo corrigido(eq. 7.10) e da raz~ao entre as fotocorrentes dos detetores D1 e D2. Obtem-se deste modouma serie de 40 pontos do rudo normalizado e do rudo corrigido, para diferentes valores detransmitancia da ris.

Para estes calculos, calibramos previamente o nvel de \shot noise", empregando para issoa subtrac~ao das utuac~oes obtidas para a injec~ao de um unico feixe no sistema de detec~ao, di-vidindo sua potencia entre os dois detetores, equilibrados pela lamina de meia onda. Obtivemosainda a contribuic~ao do rudo eletronico na ausencia de luz, o qual e devidamente descontadonos calculos das variancias.

Para testar a validade da detec~ao desbalanceada aqui proposta, podemos medir o rudonormalizado e o rudo corrigido para diferentes valores de transmitancia mantendo a cavidadedistante da condic~ao degenerada. Nesta situac~ao, a sada sera gaussiana, n~ao sendo observa-do nenhum outro modo transverso no feixe. A potencia de sada e da ordem de 2 mW paracada feixe, e o nvel de rudo da fotocorrente igualava o rudo eletronico para uma potenciade 0,2 mW. O limiar de oscilac~ao era de 32 mW. Vamos denir o comprimento de cavidadena confocalidade pela media do comprimento da cavidade confocal para sinal e complemen-tar. A separarac~ao entre os espelhos para a confocalidade sera ent~ao Lconf = 104; 41 mm.Expressaremos o comprimento da cavidade por L = L Lconf .

Na gura 7.20 vemos o resultado para uma medic~ao com L = 5; 62 mm. A esquerda,vemos o rudo normalizado, e o valor corrigido do rudo, alem da raz~ao entre as fotocorrentesdos dois detetores. Como podemos ver, com a ris I1 totalmente aberta temos um nvel de


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Transmitância - T

Normalizado Corrigido i

1/i

2

Ruí

do N

orm

aliz

ado

- N

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,4

0,6

0,8

1,0

Sinal Complementar

Ruí

do N

orm

aliz

ado

- N

Transmitância - T

Figura 7.20: Medida desbalanceada para modos gaussianos TEM00: Esquerda, fechamento daris I1. Direita, fechamento da ris I2.

compress~ao S = 1 N = 30%. Note que o rudo normalizado, diferente do esperado, n~aoaumenta de forma linear com o fechamento da ris, mas apresenta uma leve curvatura. Estapode ser justicada ao notarmos que, durante o fechamento, ha um pequeno desbalanceamentoentre as fotocorrentes dos dois detetores, cuja raz~ao varia de 90% para 65%. Entre os motivosdeste desbalanceamento, temos um possvel desalinhamento entre os feixes, ou ainda uma levediferenca nos seus diametros sobre a ris, provocado pela diferenca de comprimento de ondados dois feixes e pela diferenca no valor da cintura do feixe para estes dois modos gaussianosno interior do OPO. Como os dois feixes apresentam um excesso de rudo, o desbalanceamentofaz com que este excesso contribua na medida do rudo, reduzindo a compress~ao.

Vemos ainda que o valor corrigido do rudo apresenta utuac~oes em torno do valor obtidocom a ris completamente aberta. Estas utuac~oes tendem a aumentar para valores menores detransmitancia, o que pode ser compreendido por uma in uencia crescente do rudo eletronicosobre a medida. Porem, ainda que a dispers~ao aumente, o valor medio se mantem igual ao valordo rudo original. Vemos portanto que as correc~oes eletronicas das perdas inseridas s~ao validasno caso de um feixe monomodo.

A direita, temos o rudo corrigido quando fechamos a ris I2 sobre o feixe sinal e complemen-tar separadamente. A troca dos feixes sobre os detetores e feita pela orientac~ao da lamina demeia onda HWP. Neste caso, a transmitancia refere-se apenas ao feixe em estudo. Suprimimoso rudo normalizado e o desbalanceamento, posto que este ultimo, variando linearmente com atransmitancia, acaba por invalidar a medida do rudo normalizado, o qual diverge rapidamentepara nveis acima do \shot noise". Do mesmo modo que as medidas obtidas com o fechamen-to da ris I1, o rudo corrigido mantem-se constante com uma dispers~ao crescente ao reduziro diametro da ris. A diferenca nos valores de compress~ao para o estudo da distribuic~ao dorudo sobre o sinal (S=25%) e complementar (S=30%) deve-se ao fato da estabilizac~ao do OPOtombar de tempos em tempos, obrigando o relancamento do circuito de estabilizac~ao. Aindaque ele se mantenha estavel para a aquisic~ao de uma serie de dados, esta estabilidade n~ao per-

7.6. RESULTADOS 211

dura durantes varias repetic~oes da medida. Ao relanca-lo, o OPO pode estabilizar em um outropar de modos sinal e complementar, que apresentem valores diferentes de perdas intracavidadedevido a largura de banda dos espelhos. Consequentemente o nvel de compress~ao n~ao sera omesmo.

A estimativa de erro das medidas e baseada na imprecis~ao comumente vericada na medidanormalizada do rudo para uma potencia incidente da ordem de 2 mW nos detetores (1%),situac~ao na qual as utuac~oes do rudo eletronico podem ser ignoradas. Para a ris fechada,temos uma utuac~ao da ordem de 10%, levando a uma grande dispers~ao nos resultados. Por estemotivo, na analise que se segue, nos limitaremos as medidas com uma transmitancia mnimade 20%, valor abaixo do qual a precis~ao e a utuac~ao dos dados invalida as comparac~oes destesvalores com aqueles obtidos com a ris aberta.

Na gura 7.21, temos os resultados obtidos para L = 0; 38 mm. Vemos claramente que aimagem de campo distante do feixe sinal n~ao e a de um modo TEM00, ainda que para o modocomplementar n~ao se observem aneis ou estruturas. Dada a assimetria, o resultado para ofechamento da ris I1 (graco superior) mostra um rapido desbalanceamento com o fechamentoda ris, levando ao aumento do rudo normalizado. O rudo corrigido, entretanto, se mantemcomprimido. Ainda que a dispers~ao seja grande, ele indica uma tendencia ao aumento paravalores menores de transmitancia da ris.

Podemos entender melhor a situac~ao para o graco inferior, obtido com o fechamento da risI2. Neste graco, ainda que o feixe complementar possa ser descrito por uma constante paravalores de transmitancia T > 20%, temos para o sinal um aumento do valor do rudo corrigido.Podemos assim concluir que, embora o modo complementar possa ser descrito basicamentecomo um campo monomodo, o feixe sinal ja apresenta uma caracterstica multimodo.

Avancando na regi~ao confocal, temos na gura 7.22 o resultado para L = 0; 37 mm.Neste caso, temos a formac~ao de aneis em torno do maximo central do feixe complementar.Ainda que presentes, estes aneis s~ao menos visveis no feixe sinal. A presenca de estruturas emais evidente ao observarmos as imagens do campo proximo.

A assimetria dos feixes e vista pelo desbalanceamento durante o fechamento de I1. Noteque neste caso o rudo normalizado sofre um aumento inicial, saindo do valor de compress~ao,e voltando ao nvel de \shot noise". O valor corrigido, por sua vez, sofre um rapido aumento,estabilizando em torno do \shot noise".

Para o fechamento da ris I2, vemos que novamente e o feixe com estruturas mais complexasque apresenta o maior afastamento entre o rudo corrigido e o rudo normalizado inicial (comT = 1). Nota-se ainda que o nvel de compress~ao total nesta medida e inferior ao obtido emsituac~oes mais distantes da confocalidade. Este comportamento foi observado repetidas vezespara sadas com multiplos aneis, o que pode indicar um aumento das perdas e uma consequentereduc~ao da compress~ao devido a efeitos de bloqueio de parte do feixe pela otica de detec~ao oupelos espelhos de cavidade.

Avancando mais na regi~ao confocal, ha um aumento do limiar de oscilac~ao, e a estabilizac~aoda cavidade de torna cada vez mais difcil. Com isso, ha ainda um aumento de potenciaintracavidade, o que leva a um aumento dos efeitos termicos e da degradac~ao do cristal por \graytracking". Obtivemos porem uma situac~ao interessante para L = 0; 62 mm. Vemos parasinal e complementar dois feixes de formas semelhantes, com um maximo central e um pequenoanel em torno deste maximo. A simetria se verica pela pequena variac~ao do balanceamento


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Ruí

do N

orm

aliz

ado

- N

Transmitância - T

Sinal Complementar

0,6

0,8

1,0

1,2

Normalizado Corrigido i1/i2

Ruí

do N

orm

aliz

ado

- N

Sinal

Compl.


Figura 7.21: Medida desbalanceada para L = 0; 38 mm. Graco superior, fechamento de I1.Graco inferior, fechamento de I2. A direita, imagem dos feixes.

entre os feixes durante o fechamento da ris.

Vemos que o rudo normalizado e o rudo corrigido variam de forma semelhante para ofechamento da ris I1. No caso do fechamento da ris I2, temos novamento o aumento do rudocorrigido, cando claro que ambos os feixes apresentam um carater multimodo.

Este tipo de resultado apresentado, com o aumento no valor do rudo corrigido para di-ferentes valores de transmitancia, foi observado em diferentes condic~oes de focalizac~ao, per-manecendo, ainda que com alterac~oes de perl, para o deslocamento da lente L1, alterando aimagem formada sobre a ris. O mesmo comportamento ocorre no caso de fazermos a trans-formada de Fourier de um plano qualquer nas proximidades da sada do OPO. Em medidaspreliminares [14], colocando a ris no plano focal de uma lente de 600 mm colocada diretamentena sada do OPO, ha sempre um aumento do rudo corrigido para diferentes comprimentos decavidade, desde que haja a formac~ao de estruturas no feixe de sada, tais como aneis em tornodo maximo central.

Os resultados obtidos demonstram o carater multimodo dos feixes gerados pelo OPO, poremcontribuem pouco para a medida da distribuic~ao do rudo entre os modos transversos. Umprimeiro problema esta ligado diretamente ao carater estocastico da medida, o que leva a umadispers~ao nos valores medidos de variancia das fotocorrentes. Se quisermos reduzir a dispers~ao,necessitamos adquirir um conjunto maior de dados. Neste caso, um OPO mais estavel torna-se

7.6. RESULTADOS 213

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,8

1,0

1,2

Sinal Complementar

Transmitância - T

Ruí

do N

orm

aliz

ado

- N

0,8

1,0

1,2

1,4


Ruí

do N

orm

aliz

ado

- N


Sinal

Compl.

Figura 7.22: Medida desbalanceada para L = 0; 37 mm. Graco superior, fechamento deI1. Graco inferior, fechamento de I2. A direita, imagem dos feixes.

necessario. A montagem com o cristal de KTP traz a desvantagem da degradac~ao do meio paraaltas potencias de bombeio, o que afeta a reprodutibilidade da medida.

Um estudo mais detalhado dos modos transversos tambem pode ser realizado se nos colo-carmos em uma situac~ao de degenerescencia mais baixa. No lugar de termos uma cavidadeconfocal, com Ntr = 2, podemos nos colocar em uma situac~ao intermediaria, do tipo Ntr = 2=3por exemplo. Neste caso n~ao teremos a degenerescencia de multiplos modos pares, mas dealguns modos pares e mpares. Injetando um bombeio com um acordo de modo otimizadopara o gaussiano fundamental, estaremos proximos da situac~ao descrita pela ref. [110], compoucos modos transversos. Neste caso, se obtivermos uma boa reprodutibilidade do perl deintensidade de sada, podemos buscar atraves da medida com a CCD um ajuste t~ao precisoquanto possvel para a intensidade em cada modo, decompondo o feixe nos modos do OPO.Em seguida, partindo da equac~ao 7.39, podemos chegar a repartic~ao do rudo em cada modo,de forma semelhante ao tratamento aplicado na ref. [132] ao diodo laser e ao VCSEL. Trata-seporem de uma medida delicada, que transcende os objetivos desta tese.

A detec~ao desbalanceada pode ainda ser usada para um mapeamento mais detalhado dadistribuic~ao do rudo dentro do feixe. Podemos ainda emprega-la para comparar as utuac~oes deintensidade nas bordas com aquela do centro de um dos feixes gemeos, em busca de correlac~oesou anti-correlac~oes de intensidade, enquanto tomamos o outro feixe como referencia.


0,6

0,8

1,0


Ruí

do N

orm

aliz

ado

- N

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,6

0,8

1,0 Sinal Complementar

Ruí

do N

orm

aliz

ado

- N

Transmitância - T


Sinal

Compl.

Figura 7.23: Medida desbalanceada para L = 0; 62 mm. Graco superior, fechamento deI1. Graco inferior, fechamento de I2. A direita, imagem dos feixes.

N~ao foi vericado no OPO confocal o comportamento esperado pela descric~ao do feixe desada por fotons que conservem o momento transverso. Temos algumas raz~oes para isso. Aprimeira esta na quest~ao da confocalidade exata, que n~ao e observada para um cristal tipo II.Alem disso, o cristal e espesso, de modo que n~ao podemos saber exatamente de que ponto docristal o foton foi emitido. A propria espessura do cristal leva ainda a uma tolerancia no valorde momento do foton emitido. Deste modo, a descric~ao por fotons empregada se mostra muitosimplista para a complexidade do problema estudado.

Vemos portanto que o OPO confocal, alem das estruturas no perl de intensidade do feixeapresentadas na ref. [12], possui um comportamento multimodo do ponto de vista das cor-relac~oes quanticas entre os feixes. Este comportamento multimodo transverso pode ocorrer emapenas um dos feixes ou em ambos.

Para vericar este comportamento multimodo, empregamos um sistema de detec~ao des-balanceada. Vale compara-lo a variancia condicional denida nos artigos sobre medidas QND(\quantum non-demolition")[45, 46, 47]. Enquanto que para aquelas medidas a vericac~ao dacorrelac~ao quantica pede que os feixes sejam pouco ruidosos, ou que tenham um elevado nvelde compress~ao (maior que 50%, no caso da variancia condicional para os feixes gemeos deum OPO), a medida da detec~ao desbalanceada pode mostrar o comportamento quantico dascorrelac~oes de intensidade mesmo para feixes ruidosos e com nveis menores de compress~ao.

Captulo 8

Conclus~ao

Ao longo desta tese, estudamos a fsica dos osciladores parametricos oticos em regime contnuopara cavidades triplamente ressonantes. O trabalho envolveu diversas montagens, nas quaisdiferentes aspectos foram estudados.

No LMCAL, em S~ao Paulo, realizamos o projeto e a construc~ao de um OPO com um cristalem acordo de fase tipo II (KTP), bombeado a 532 nm. Na primeira montagem, conseguimosuma fonte estavel de luz, com baixo limiar de oscilac~ao (35 mW), e uma potencia de sada daordem de 1 mW. Devido a baixa eciencia, este OPO n~ao apresentava correlac~oes quanticas deintensidade entre os feixes sinal e complementar.

Na segunda montagem, obtivemos uma melhor eciencia de convers~ao (35%). Porem, olimiar e mais elevado (60 mW) e, devido a combinac~ao de efeitos termicos e degradac~ao docristal, n~ao foi possvel obter a sua estabilizac~ao em regime contnuo. Em operac~ao quasecontnua, atraves da convers~ao em perodos curtos de 30 ms, conseguimos observar a existenciade feixes gemeos, com uma compress~ao de rudo de 39% (48% inferido, considerando as perdasde detec~ao).

Melhorias no projeto podem levar a reduc~ao no limiar de oscilac~ao, como a reduc~ao dacintura de feixe na cavidade. Neste caso, sera possvel realizar sua estabilizac~ao de forma aobter uma fonte contnua de feixes gemeos, visando futuras aplicac~oes do OPO. No regimequase-contnuo, seu uso tambem e possvel, desde que se empregue uma detec~ao simultanea dapotencia do rudo e da intensidade do feixe, com o uso da normalizac~ao como mostrado nestetrabalho.

Em uma primeira colaborac~ao com o LKB, em Paris, estudamos um OPO bombeado a 1064nm, onde foi obtido um limiar de oscilac~ao extremamente baixo, de 300 W. Este limiar baixoe alcancado gracas a uma elevada nesse de cavidade para os modos sinal e complementar, oque e feito ao custo de uma baixa eciencia de convers~ao, e pelo uso de um cristal de Niobatode Ltio em quase-acordo de fase (PPLN - QPM). Neste cristal, o acordo de fase tipo I permitiuobservar diferentes regimes de operac~ao, com a competic~ao de multiplos modos longitudinais deoscilac~ao do OPO. Devido ao seu carater monomodo, o OPO apresenta apenas um par de modoslongitudinais de oscilac~ao, correspondentes ao sinal e complementar. Devido a competic~ao entremodos, temos saltos entre eles. Neste caso, e possvel estabilizar a cavidade em um unico modo,porem difcil selecionar qual o modo de operac~ao desejado. Temos assim uma fonte laser estavel

215

216 CAPITULO 8. CONCLUS~AO

na faixa de 2,12 m, sintonizavel em temperatura entre 2,0 e 2,3 m, porem sem um controleno do comprimento de onda, que pode saltar em uma faixa de 7 nm (1 THz).

A baixa eciencia de convers~ao n~ao e um problema neste OPO, cujo objetivo e comprimir orudo do feixe re etido pela cavidade. Pelas baixas perdas intracavidade para o bombeio, quandocomparadas a transmitancia do espelho de acoplamento, conseguimos obter uma compress~aoem quadratura do feixe re etido de 30% (38% corrigindo as perdas da detec~ao), empregandona medida uma detec~ao homodina na qual o oscilador local tem uma potencia da ordem degrandeza do feixe em estudo.

Este OPO pode ser empregado como fonte laser ou ainda, gracas ao baixo limiar de oscilac~ao,como um dispositivo otico de ltragem de rudo em feixes luminosos, aplicando-o tambem aformatac~ao de pulsos de luz para possvel emprego em telecomunicac~oes.

O principal trabalho desta tese foi o estudo do OPO em congurac~oes de cavidade nasquais os modos transversos s~ao degenerados. Para isso, desenvolvemos um sistema de detec~aosimultanea para aplicac~ao a um detetor a quadrantes. Podemos desse modo comparar rudo eintensidade em oito canais diferentes, atraves de um sistema eletronico de demodulac~ao do rudoe aquisic~ao dos sinais por uma placa conversora analogico-digital. Para isso, desenvolvemosainda os programas de aquisic~ao e tratamento de dados em linguagem graca, baseados naplataforma LabView.

Retomamos o estudo da cavidade concentrica, com um cristal KTP com compensac~ao de\walk o", bombeado a 532 nm. Observamos os diversos regimes de formac~ao de estruturaneste OPO, vericando o problema da tripla concentricidade. Nesta congurac~ao, apenas umdos modos longitudinais gerados pode estar em uma congurac~ao de cavidade degenerada, n~aohavendo a degenerescencia simultanea do sinal e complementar. Por este motivo, as estruturasn~ao s~ao estaveis. A compensac~ao do \walk o" n~ao e suciente para eliminar completamenteos efeitos por ele gerados, que podem ser interpretados como um desalinhamento da cavidadepara o modo sinal, enquanto esta permanece alinhada para bombeio e complementar. O feixede sada assemelha-se a um modo transverso de Hermite-Gauss do tipo TEM0m, onde o eixocorrespondente a coordenada do modo m transverso e perpendicular ao plano no qual se situa otrajeto dos feixes dentro do cristal, denidos pela compensac~ao de \walk o". Os feixes apresen-tam correlac~ao quantica de intensidade (feixes gemeos) para baixos valores de m, compatveiscom a compress~ao obtida para cavidade curta (34%). Altos valores de m implicam em umdesequilbrio entre as intensidades, e uma medida conavel de correlac~ao n~ao e mais possvel.

Segue-se um regime de desequilbrio entre sinal e complementar, com um aumento do limiarde oscilac~ao, de 150 mW ate 800 mW, terminando no limite da concentricidade para o com-plementar. Alem desse ponto, as perdas da cavidade s~ao muito grandes, e a estabilizac~ao damesma n~ao e mais possvel, n~ao se observando a operac~ao contnua. Ainda assim, acima dolimite concentrico (cavidade instavel), efeitos termicos podem levar a estabilizac~ao da cavidadepela formac~ao de um gradiente no ndice de refrac~ao no interior do cristal, reduzindo as perdaspor difrac~ao para os modos. Nesta condic~ao, sua sada apresenta um perl gaussiano TEM00

durante algums ms, ate que a reduc~ao da potencia de bombeio intracavidade pela convers~aoparametrica leve ao resfriamento e a desestabilizac~ao da cavidade. Neste curto intervalo detempo, os feixes gerados apresentam novamente correlac~oes quanticas (S = 16 %). No entanton~ao foi observada nenhuma evidencia de uma distribuic~ao espacial do rudo n~ao uniforme.

Ainda no estudo da cavidade concentrica, mostramos a formac~ao de estruturas para um

217

OPO com um cristal de Niobato de Lto (tipo I). Neste, caso, o regime degenerado dos modostransversos ocorre para um mesmo comprimento de cavidade para bombeio, sinal e comple-mentar. O OPO mantem um limiar de oscilac~ao extremamente baixo, na faixa de 12 mW. Porn~ao separarmos sinal de complementar neste sistema, n~ao foi possvel vericar a correlac~ao deintensidade entre os feixes. No entanto, espera-se uma distribuic~ao n~ao uniforme do rudo nointerior do feixe para o regime de operac~ao multimodo, levando a uma compress~ao na correlac~aode intensidade entre diferentes pontos dentro do feixe.

Proximo a concentricidade, mas longe da degenerescencia de modos transversos, observamosa oscilac~ao espontanea em modos transversos de Hermite-Gauss. Tal mudanca na sada do OPO,de modos TEM00 para TEM01, se da no limite degenerado dos comprimentos de onda sinal ecomplementar, caracterstico do acordo de fase tipo I. Ao atingir o limite de oscilac~ao, o OPOpassa a um modo transverso de ordem superior com uma mudanca no comprimento de ondade oscilac~ao, acompanhado de um aumento no limiar. A analise deste comportamento ca emaberto para futuros estudos, bem como a gerac~ao de estruturas no OPO tipo I.

Para nalizar, destacamos os resultados obtidos para a cavidade confocal, com a demon-strac~ao do comportamento multimodo do OPO. Demonstramos um criterio inequvoco paravericar se um feixe e efetivamente multimodo, ou apenas uma superposic~ao de estados classicosindependentes. A aplicac~ao desta demonstrac~ao ao caso dos feixes gemeos do OPO n~ao po-dia ser feita sem o desenvolvimento de uma tecnica de detec~ao desbalanceada, com a correc~aoeletronica dos efeitos de atenuac~ao do feixe.

Gracas a estes avancos, conseguimos mostrar pela primeira vez a gerac~ao de feixes gemeosmultimodo, sendo a primeira demonstrac~ao de efeitos espaciais de compress~ao de rudo emfeixes macroscopicos fora do domnio dos laseres de diodo. Abrimos assim o caminho para agerac~ao e o estudo de feixes comprimidos multimodo.

Entre as futuras aplicac~oes, pode-se incluir um terceiro detetor para estudar as correlac~oesde rudo dentro dos feixe gemeos. Um detetor integra toda a frente de onda, servindo dereferencia a dois detetores que v~ao analisar diferentes regi~oes do feixe multimodo, permitindobuscar efeitos de correlac~ao ou anti-correlac~ao dentro do feixe. A sequencia do trabalho emcavidades confocais pode-se dar ainda pelo estudo do vacuo comprimido produzido abaixo dolimiar em congurac~oes degeneradas, estudando a distribuic~ao da compress~ao multimodo. Juntocom a gerac~ao de feixes \siameses" em cavidades concentricas, temos toda uma area de estudoque se abre com os resultados aqui apresentados.

218 CAPITULO 8. CONCLUS~AO

Apendice A

Feixes Gaussianos

Ao longo da tese empregamos a notac~ao usual apresentada nas referencias [51, 57, 92] paradescrever os feixes gaussianos. Vamos mostrar de forma resumida a descric~ao empregada,cando a sugest~ao da literatura para um estudo mais detalhado.

Considere a amplitude do campo eletrico do tipo E(r). Pelas equac~oes de Maxwell, ele devesatisfazer a equac~ao de onda

r2E(r) + k2E(r) = 0; (A.1)

onde k = 2n= e o vetor de onda para um meio de ndice de refrac~ao n, sendo o comprimentoda onda propagante. No caso de uma propagac~ao na direc~ao z, podemos separar um termo deenvoltoria lentamente variavel do termo de propagac~ao

E(r) = u(x; y; z)eikz ; (A.2)

de modo que a equac~ao de onda, na aproximac~ao da envoltoria lentamente variavel, ca naforma

@2u(x; y; z)

@x2+@2u(x; y; z)

@y2 2ik

@u(x; y; z)

@z= 0; (A.3)

onde assumimos a aproximac~ao paraxial, desprezando o termo @2u(x;y;z)@z2 . Este equac~ao de onda

paraxial admite uma soluc~ao geral do tipo

u(x; y; z) = exp

iP (z) +

k

2q(z)(x2 + y2)

; (A.4)

onde o parametro complexo q(z) do feixe descreve o perl gaussiano, e a fase complexa P (z)esta associada a propagac~ao do feixe. Vemos pela aplicac~ao da soluc~ao a equac~ao de ondaparaxial que dq(z)=dz = 1, o que implica que q(z) = q0 + z.

O parametro complexo q(z) pode ser descrito atraves de dois termos reais na forma

1

q(z)=

1

R(z) i

w2(z)n: (A.5)

O signicado fsico destes termos, quando aplicados a equac~ao A.3, e evidente. O termo

R(z) = z

"1 +

zRz

2#(A.6)

219

220 APENDICE A. FEIXES GAUSSIANOS

corresponde ao raio de curvatura da frente de onda, e o termo

w2(z) = w20

"1 +

z

zR

2#(A.7)

e a distancia ao centro do feixe na qual a amplitude cai a 1=e da amplitude central para o perlfundamental. O termo zR e o comprimento de Rayleigh, denido pela a distancia do ponto ondea area do feixe tem seu valor mnimo (em z = 0) para o ponto onde ela dobra sua superfcie(em z = zR). O comprimento de Rayleigh esta relacionado ao raio da cintura do feixe w0 por

zR =w2n

: (A.8)

O termo complexo q(z) pode ent~ao ser descrito por q(z) = z + izR.Para o termo de fase, temos de modo semelhante dP (z)=dz = i=q(z). Da sua integrac~ao

temos ent~aoP (z) = i ln

q1 + (z=zR)2 arctan(z=zR): (A.9)

O termo real da fase corresponde a diferenca de fase do feixe gaussiano para uma onda planacopropagante, sendo tambem chamado de fase de Gouy. O termo complexo leva a uma mod-ulac~ao longitudinal da intensidade do feixe, resultando em uma variac~ao lorentziana no eixoz.

O modo fundamental pode ent~ao ser expresso por

E(x; y; z) = w0w(z)

exp

i[kz arctan(z=zR)] (x2 + y2)

1

w2(z)+

ik

2R(z)

: (A.10)

No entanto, podemos ter soluc~oes de ordem superior, descritas comumente como modos depropagac~ao de ordem superior. Em coordenadas cartesianas, a equac~ao A.3 pode ser decompos-ta por separac~ao de variaveis, resultando em duas equac~oes independentes em x e y. A soluc~aoe dada pelos polinomios de Hermite [139, 140], na forma

un(x; z) =

2

1=4sexp [i(2n+ 1) arctan(z=zR)]

2nn!wx(z)Hn

p2x

wx(z)

!exp

" x2

w2(z) i

kx2

2R(z)

#;

(A.11)sendo que na soluc~ao nal temos

Enm(x; y; z) = un(x; z) um(y; z)eikz : (A.12)

As cinturas nas coordenadas cartesianas x e y n~ao precisam ser iguais, dando origem a feix-es astigmaticos. A fase de Gouy nos modos de Hermite-Gauss ca repartida entre as duascoordenadas cartesianas transversas.

Outra soluc~ao e obtida em coordenadas cilndricas. Neste caso teremos uma soluc~ao do tipo

Epm(; ; z) =s

2p!

(1 + Æ0m)(m+ p)!

exp [i(2p+m+ 1) arctan(z=zR)]

w(z)

p

2r

w(z)

!mLmp

22

w2(z)

!exp

" x2

w2(z) i

kx2

2R(z) ikz + im

#; (A.13)

onde Lmp (x) e o polinomio de Laguerre generalizado, p e o numero de modo radial e l o numerode modo angular.

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