influencia do bloco da dct - faculdade de...

In�uência do bloco da DCT

Ricardo Duarte e Miguel Guedes

4 de Novembro de 2003

Conteúdo

1 Introdução 2

2 Algoritmo e implementação 3

3 Resultados 63.1 Imagem "Autumn"(256x256) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Imagem "Baboon"(512x512) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Imagem "Lena"(512x512) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Imagem "Pontos"(imagem 64x64) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Imagem "Gradiente"(imagem 64x64) . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Imagem "Movie27"(imagem 320x192) . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Discussão 27

5 Conclusão 29

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1 Introdução

Podemos dizer que imagens grá�cas são a chave principal para a maior partede aplicacões informáticas, jogos, �ns educacionais, marketing, gra�cal design,webdesign são alguns exemplos. No entanto imagens de qualidade são elementosque comportam grandes quantidades de informação.

Perto de 1970 foi quando começaram a ser feitos estudos sobre as possibili-dades de compressão das imagens grá�cas.

No entanto as primeiras tecnicas focaram-se principalmente em manter aqualidade original. Tais metodos incluiam estudos estatisticos e dicionários decompressão. Como era de esperar metodos como estes di�cilmente se poderiamadaptar a imagens fotogra�cas que contêm continuidade de tonalidades, sendomuito di�cil efectuar estimativas sobre as probabilidades de ocorrências de cores.

Por volta de 1980 foram efectuadas pesquisas sobre compressão de imagemcom perdas que vieram trazer novas possibilidades que visavam explorar a ca-pacidade precepção limitada olho humano. Tais algoritmos baseavam-se na rea-lização de pequenas modi�cações na imagem induzidas na perda de informação.Assim surgiu a compressão JPEG (Joint Photogra�c Experts Group), escritapor membros do CCITT e da ISO, e com ela o uso generalizado da transformadadiscreta de cossenos (DCT).

A dct pretence á mesma classe de operações matemáticas que a FFT, econsiste basicamente na conversão de um sinal, uma imagem no nosso caso,representado espacialmente para uma representação nas suas frequencias. Nestecaso será gerada uma matriz da mesma dimensão que o bloco que irá conter parao seu canto superior esquerdo coe�cientes das frequências mais baixas, incluindoo DC, e o canto inferior direito as mais altas.

Dependendo do número de detalhes na imagem original, o coe�cientes de al-tas frequencias serão maiores ou menores. Na generalidade de imagens naturaisos coe�cientes tornam-se bastante menores á medida que nos aproximamos dasaltas frequências. Isto quer dizer que a maior parte da energia da transformadase encontra concentrada num dado numero de coe�cientes do bloco. Adicio-nando isto ao facto de todos os coe�cientes da DCT estarem descorrelacionadospodemos dizer que a DCT possui caracteristicas soberbas para quem quer redu-zir o tamanho ocupado pela imagem sem in�uêncir demasiado a qualidade daimagem.

Recentemente tem se dado atenção ao uso de blocos variaveis, cujo tamanhovaria com a estatistica da imagem.

O trabalho consiste em estudar a in�uência do tamanho de bloco utilizadopara efectuar a transformada DCT de uma dada imagem. Sabendo que os blocosda DCT irão sofrer uma quantização que resultará numa perda parte dos seus co-e�cientes, interessa efectuar um estudo que permita conhecer o comportamentoda imagem quando aplicada uma transformada DCT de diferentes tamanhos,�cando a conhecer tambem em que aspectos é mais vantagoso e devantajosoutilizar tamanhos diferentes.

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2 Algoritmo e implementação

Por forma a estudar a in�uência do tamanho do bloco DCT na qualidade daimagem recuperada foi criado um programa numa plataforma Matlab. Comoo programa do ano passado não nos satisfez, reimplementamos a quase totali-dade deste, sendo agora possivel aplicar matrizes de quanti�cação de tamanhovariavel, que são obtidas por interpolação das matrizes basicas (Jpeg e mpeg).É também, e agora, possivel escolher o metodo de interpolação, ver gra�cosde energia cumulativa, distribuição de energia da dct, medidas de ganhos emzeros e aplicação de uma matriz computada, tendo por base um algoritmo sim-ples. O programa agora usa as componentes de luminancia e crominancias (emvez de rgb). O programa tambem guarda os resultados obtidos, no directorio'resultados'.

O algoritmo de aplicação da dct, usando blocos variaveis é o seguinte:

1. Ler a imagem para uma variavel matlab

2. Aumentar ou diminuir o tamanho da matriz de quantização, por forma aesta �car do tamanho do bloco escolhido

3. Se a imagem for a preto e branco:

(a) Dividir a imagem em blocos de AxA, sendo A o tamanho do blocodesejado

(b) * - Obtenção da imagem compactada

(c) Calcular a DCT de cada bloco

(d) Dividir cada termo da DCT pelo valor na mesma posição na matrizde quantização, e arredondar o resultado da divisão para o inteiromais proximo

(e) * - Obtenção da imagem reconstruida com base na imagem compac-tada

(f) Multiplicação de cada valor do bloco pelo valor correspondente namatriz de quantização

(g) Realizar a dct inversa (IDCT)

4. Se a imagem for a cores:

(a) Passar a imagem de RGB para YCbCr (Luminancia e crominancia)

(b) Obter uma matriz para cada componente da imagem

(c) Se for matriz jpeg, fazer resize à matriz de quantização para cromi-nancias

(d) Dividir cada matriz em blocos de AxA, sendo A o tamanho do blocodesejado

(e) * - Obtenção da imagem compactada

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(f) Calcular a DCT de cada bloco, e em todas as componentes

(g) Dividir cada termo da DCT pelo valor na mesma posição na matrizde quantização, e arredondar o resultado da divisão para o inteiromais proximo. Se for jpeg, a matriz de quantização, pela qual édividida a imagem original, é diferente para as crominancias e paraas luminancias.

(h) * - Obtenção da imagem reconstruida com base na imagem compac-tada

(i) Multiplicação de cada valor do bloco pelo valor correspondente namatriz de quantização

(j) Realizar a dct inversa (IDCT)

(k) Juntar as diversas matrizes de componentes (Y-Cb-Cr) numa só ima-gem

5. Computar grá�co de energia cumulativa com base no seguinte algoritmo:

(a) Se a imagem for a cores, calcular energia cumulativa apenas na lu-minacia.

(b) Por cada bloco de AxA:

i. Calcular a energia contida em pequenas partes do bloco, comoindicado na imagem:

ii. Somar a energia contida em cada numero de coe�cientes, dosvarios blocos.

O algoritmo para criação de matrizes de quantização é o seguinte:

para todo o i de 1 até tamanho x da matriz desejadapara todo o j de 1 até tamanho y da matriz desejada

matriz_de_quantização(i,j) = (1+((1+i+j)*q));

q é factor de qualidade

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Figura 1: Aspecto do ambiente de trabalho

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3 Resultados

3.1 Imagem "Autumn"(256x256)

Figura 2: Imagem original

Figura 3: Imagem processada (autumn) com bloco 2x2

(a) Imagem recupe-rada

(b) Erro entre imagemoriginal e recuperada

(c) Energia cumulativa

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Figura 9: Detalhe dos resultados obtidos (autumn)

(a) Original (b) 2x2 (c) 4x4

(d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64

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Figura 10: Outro detalhe dos resultados obtidos (autumn)


(d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64

Tamanho do bloco Mse Percentagem de zeros ganha2x2 27.67 734x4 13.88 878x8 10.05 8716x16 8.8 8832x32 8.88 8664x64 9.03 86

Tabela 1: Medida de erro e de ganho de zeros (autumn)

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3.2 Imagem "Baboon"(512x512)


Figura 12: Imagem processada (baboon) com bloco 2x2




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Figura 18: Detalhe dos resultados obtidos (baboon)


(d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64

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Figura 19: Outro detalhe dos resultados obtidos (baboon)


(d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64


Tabela 2: Medida de erro e de ganho de zeros (baboon)

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3.3 Imagem "Lena"(512x512)


Figura 21: Imagem processada (lena) com bloco 2x2




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Figura 27: Detalhe dos resultados obtidos (lena)


(d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64

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Figura 28: Outro detalhe dos resultados obtidos (lena)


(d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64


Tabela 3: Medida de erro e de ganho de zeros (lena)

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3.4 Imagem "Pontos"(imagem 64x64)

Figura 29: Resultados obtidos (pontos)


(d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64

Tamanho do bloco Mse Percentagem de zeros ganha2x2 88.05 66.964x4 93.32 69.728x8 58.57 64.9916x16 35.34 78.5432x32 25.23 83.9364x64 16.60 86.69

Tabela 4: Medida de erro e de ganho de zeros (pontos)

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Figura 30: Energia cumulativa (pontos)

(a) 2x2 (b) 4x4 (c) 8x8

(d) 16x16 (e) 32x32 (f) 64x64

3.5 Imagem "Gradiente"(imagem 64x64)

Tamanho do bloco Mse Percentagem de zeros ganha2x2 16.52 754x4 5.07 81.98x8 5.93 88.7416x16 3.09 90.0132x32 2.91 91.9964x64 2.34 94.23

Tabela 5: Medida de erro e de ganho de zeros (Gradiente)

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Figura 31: Resultados obtidos (Gradiente)


(d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64

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Figura 32: Energia cumulativa (Gradiente)

(a) 2x2 (b) 4x4 (c) 8x8

(d) 16x16 (e) 32x32 (f) 64x64

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3.6 Imagem "Movie27"(imagem 320x192)

Figura 33: Resultados obtidos (Movie27)


(d) 64x64

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Figura 34: Resultados em detalhe (Movie27)


(d) 64x64

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4 Discussão

Começando por fazer uma análise aos grá�cos de energia cumulativa, começa-mos por veri�car que à medida que o bloco aumenta, vai havendo uma maioracumulação de energia nos primeiros coe�cientes (coe�cientes de menor frequen-cia). Se tivermos em conta que são estes os coe�cientes aos quais vai ser dadamais resolução, este resultado favorece, à partida, os blocos maiores, pois commenos informação nos coe�cientes de alta frequencias, menor informação serádesprezada aquando da quantização. No entanto, e como veremos em detalhe,esta vantagem "teorica"não se manifesta de forma tão clara numa avaliaçãosubjectiva da qualidade da imagem obtida.

Imagem autumn

Começemos pela imagem autumn. Pela tabela 1 podemos ver que existe umaclara distinção entre o MSE de 2x2 e os restantes. Enquanto que os restantesmantêm um erro mais ou menos parecido, no bloco 2x2 ele aumenta para maisque o dobro.

Tendo em conta agora a qualidade da imagem atravez da análise das ampli-�cações representadas na �gura 10, claramente podemos dizer que o bloco de64x64 possui a melhor qualidade e promenor. Tal factor era de esperar, poistendo em conta os grá�cos de energia, vimos que no caso do bloco 64x64 en-contrámos mais energia nos coe�cientes de baixas frequencias. É de realçar quecom o bloco 2x2 a imagem encontra-se severamente degradada Isto era de espe-rar pois numa matriz de 4 coe�cientes, se depois da quantização os coe�cientesforem reduzidos para metade ou, como na maior parte dos casos, reduzidos aoelemento dc, teremos um bloco 2x2 que representa uma cor unica resultante deuma media dos 4 coe�cientes. Isto leva a um aspecto como se tivessemos redu-zido a propria resolução da imagem por 2, notando-se um efeito de pixelizaçãoe a perda de detalhe em zonas com pequenas variações de cor, como no céu(�gura 8).

A análise anterior podia-nos levar a crer que a melhor opção de compressãoseria a 64x64, no entanto, se nos reportarmos à �gura 9 vemos que ocorre aformação de um granulado na zona de transição entre o ceu e a vegetação. Estefenómeno vai gradualmente tornando-se mais evidente, apartir do bloco 8x8até ao bloco 64x64. Isto deve-se ao facto do bloco conter dentro de si duasmudanças bruscas de ambiente, o que levou á DCT a gerar coe�cientes de altasfrequências para responder, neste caso á zona da vegetação. O problema em siocorre porque nós eliminamos esses coe�cientes no processo de quanti�cação,resultando assim num erro de altas frequencias, correspondente ao granulado.Por causa do tamanho do bloco esse erro propaga-se para zona mais clara, océu, onde se torna mais evidente. No caso do bloco 8x8 o efeito parece terdesaparecido, mas de facto ele está lá, só que devido ao tamanho reduzidodo bloco o erro propaga-se por muito menos espaço, �cando disfarçado por seencontrar junto á zona de transição dos dois ambientes.

Para �nalizar devemos mencionar o facto de se notarem as delimitações entre

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os blocos da dct na imagem recuperada. Quanto menor o tamanho do bloco,maior o numero de blocos, sendo os blocos cada vez mais pequeno.

Para �nalizar queremos mencionar o facto de se notar as delimitações entreos blocos da dct. Este efeito degrada bastante a imagem, e a origem dele vem dofacto de blocos pequenos possuirem poucos coe�cientes que permitam obter umacomponente dc capaz de ser muito semelhante á dos blocos vizinho. Digamosque o bloco não possui coe�cientes su�cientes para efectuar uma estimativa dobloco que se encontra nas suas proximidades. Obviamente que neste aspectoquanto maior for o bloco menor a intensidade deste efeito.

Imagem baboon

Mais uma vez podemos ver uma concentração energia nos coe�cientes de baixasfrequências á medida que aumentamos o tamanho do bloco.

Os valores do MSE são maiores que os da imagem Autumm isto porquena imagem hà uma grande variação de luminosidade por espaço. Podemos verpelos gra�cos de energia que neste caso é maior a contribuição dos coe�cientesde mais alta frequencia, do que na imagem anterior (autumn).

A quantidade de zeros segue o mesmo padrão da imagem anterior sendo noentanto menor, visto que que esta imagem trata de frequencias maiores e comotal a necessidade de frequências mais altas na sua representação.

Torna-mos mais evidente a degradação da imagem á medida que diminuimoso tamanho do bloco, atravéz da inspecção da �gura 18. Se nos repostarmosà �gura 1819, vemos novamente o efeito de granularidade a aumentar com otamanho do bloco, especialmente na zona do nariz. Nesta zona o bloco apanhadentro dele a muita variação do pelo e a pouca variação da cor e textura donariz. O efeito das descontinuidades de bloco para bloco é mais evidente parablocos pequenos e é claro o aumento de resolução nas linhas da zona branca porcima da narina do babuino.

Lena

Em relação ao MSE entanto o erro é bastante inferior que no caso do babuinoporque esta imagem tem uma variação mais homogénia. O erro é maior que naimagem autumn pelo facto de a imagem ser maior (256x256 da autumn contra512x512 desta).

Um aspecto interessante está na analise pormenorizda da imagem atravézda �gura 27. Nota-mos aqui que a imagem resultante do bloco 8x8 é bastantemelhor que a resultante do bloco 64x64. Pois, de facto a granularidade está arepresentar uma grande perda de qualidade neste caso. Se repararmos o rostoda Lena é constituido basicamente por variações bruscas de cor, tal como naAutumm entre o céu e a vegetação, as sombras os contornos dos olhos, as so-brancelhas são mudanças de ambiente que resultam numa propagação de erro"granular"para zonas em que se torna mais evidente. No caso do bloco 8x8 oefeito não se nota tanto pois a zona de propagação do erro �ca circunscrita ás

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delimitações dos ambientes diferentes. A �gura 27 é outro exemplo do aconte-cimento da granularidade.

Pontos

Nesta imagem podemos mais uma vez ver a grande e�ciência do bloco de 64x64.O MSE diminui com o aumento do tamanho do bloco á execepção de 2x2, noentanto é possivel veri�car que houve realmente uma truncagem de coe�cientesneste caso. A quantidade de zeros tambem aumenta progressivamente á medidaque aumentamos o bloco ao máximo. Esta imagem leva-nos a crer que o aumentodo bloco até ao seu máximo representa um melhoramento em todos os aspectos.Para além de não ser tão notável o efeito de granulado, visto que o bloco englobatoda a imagem.

Gradiente

Aqui está mais uma prova de que o aumento do tamanho do bloco até ao tama-nho da imagem tráz vantagens. Gradiente é uma imagem com variação de cormas não tão bruscamente como Pontos, veri�ca-se então um aumento drásticono numero de zeros e uma diminuição do valor do MSE quase para a unidade.

Movie27

Esta imagem serve para mostra um efeito algo interessante na aplicação da DCTà imagem 32?? original que representa um jpeg comprimido por blocos de 8x8.Se virmos com atenção notamos o efeito blocking está presente, no entanto aoaplicar-mos uma DCT de tamanho superior veri�camos que os blocos originaisvão deixando de se notar. Chegando ao tamanho de 64x64 podemos dizer quedesapareceram os blocos 8x8 da imagem original.

Nesta cena com muita variação por unidade de comprimento, o efeito gra-nular é bastante visivel, degradando em muito a qualidade da imagem.

A análise anterior foi feita com uma limitação algo importante que é o factode não existirem matrizes de quanti�cação publicadas para tamanhos diferentesde 8x8. O nosso metodo de interpolação poe não ser perfeito, o que pode levar aque os resultados obtidos para cada tamanho de bloco não sejam todos devidosapenas à variação do tamanho mas também à variação das caracteristicas damatriz. A experimentação com outras matrizes, algumas calculadas dinamica-mente pelo programa, originou o mesmo tipo de resultados dos indicados aqui,no que diz respeito ao efeito do tamanho do bloco.

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5 Conclusão

Como se vê com a análise em detalhe das varias imagens, alguns dos defeitose vantagens de um ou outro tamanho de bloco varia com a zona da imagem aque é aplicado. Se por um lado o uso de blocos de 64x64 aumenta a resoluçãoperceptivel da imagem, por outro aparece um efeito de granularidade que é tantomais notório quanto mais zonas de muita variação e de pouca estejam presentesnum bloco.

Um bloco de 8x8 resolve este efeito negativo mas aumenta a percepção deblocos na imagem e diminui a resolução de zonas com mais detalhe.

O melhor compromisso de tamanho de bloco é claramente o 8x8 visto que seapresenta bons resultados em todas as zonas das imagens estudadas. O senãodo efeito de blocking reduz-se quase a zero se a imagem for vista no tamanhonormal num monitor de pc.

No entanto, se se quer a melhor qualidade, deve-se apostar no uso de tama-nhos de blocos variaveis. O tamanho do bloco deverá ser adaptado à estatisticadas varias zonas da imagem. Desta forma poder-se-ia tirar partido dos pontosfortes de cada tamanho.

Referências

[1] H. Benoit: Digital Television, Arnold Editions, 1997, ISBN 0340 69190 5

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Lista de Figuras

1 Aspecto do ambiente de trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Imagem original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Imagem processada (autumn) com bloco 2x2 . . . . . . . . . . . 64 Imagem processada (autumn) com bloco 4x4 . . . . . . . . . . . 75 Imagem processada (autumn) com bloco 8x8 . . . . . . . . . . . 76 Imagem processada (autumn) com bloco 16x16 . . . . . . . . . . 77 Imagem processada (autumn) com bloco 32x32 . . . . . . . . . . 88 Imagem processada (autumn) com bloco 64x64 . . . . . . . . . . 89 Detalhe dos resultados obtidos (autumn) . . . . . . . . . . . . . . 910 Outro detalhe dos resultados obtidos (autumn) . . . . . . . . . . 1011 Imagem original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112 Imagem processada (baboon) com bloco 2x2 . . . . . . . . . . . . 1113 Imagem processada (baboon) com bloco 4x4 . . . . . . . . . . . . 1214 Imagem processada (baboon) com bloco 8x8 . . . . . . . . . . . . 1215 Imagem processada (baboon) com bloco 16x16 . . . . . . . . . . 1216 Imagem processada (baboon) com bloco 32x32 . . . . . . . . . . 1317 Imagem processada (baboon) com bloco 64x64 . . . . . . . . . . 1318 Detalhe dos resultados obtidos (baboon) . . . . . . . . . . . . . . 1419 Outro detalhe dos resultados obtidos (baboon) . . . . . . . . . . 1520 Imagem original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1621 Imagem processada (lena) com bloco 2x2 . . . . . . . . . . . . . 1622 Imagem processada (lena) com bloco 4x4 . . . . . . . . . . . . . 1723 Imagem processada (lena) com bloco 8x8 . . . . . . . . . . . . . 1724 Imagem processada (lena) com bloco 16x16 . . . . . . . . . . . . 1725 Imagem processada (lena) com bloco 32x32 . . . . . . . . . . . . 1826 Imagem processada (lena) com bloco 64x64 . . . . . . . . . . . . 1927 Detalhe dos resultados obtidos (lena) . . . . . . . . . . . . . . . . 1928 Outro detalhe dos resultados obtidos (lena) . . . . . . . . . . . . 2029 Resultados obtidos (pontos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2130 Energia cumulativa (pontos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231 Resultados obtidos (Gradiente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2332 Energia cumulativa (Gradiente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2433 Resultados obtidos (Movie27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534 Resultados em detalhe (Movie27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Lista de Tabelas

1 Medida de erro e de ganho de zeros (autumn) . . . . . . . . . . . 102 Medida de erro e de ganho de zeros (baboon) . . . . . . . . . . . 153 Medida de erro e de ganho de zeros (lena) . . . . . . . . . . . . . 204 Medida de erro e de ganho de zeros (pontos) . . . . . . . . . . . 215 Medida de erro e de ganho de zeros (Gradiente) . . . . . . . . . . 22

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influencia do bloco da dct - faculdade de...

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