influência da distribuição transversal de cargas no projeto de vigas

INFLUÊNCIA DA DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL DE

CARGAS NO PROJETO DE VIGAS PROTENDIDAS DE

PONTES

Vanderlei de Souza Almeida

Rio de Janeiro

Agosto de 2015

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Civil da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientadores:

Ricardo Valeriano Alves

Flávia Moll de Souza Judice

ii

INFLUÊNCIA DA DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL DE CARGAS EM VIGAS

PROTENDIDAS DE PONTES


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinada por:

___________________________________________

Prof. Ricardo Valeriano Alves (Orientador)

D.Sc.,EP/UFRJ

___________________________________________

Prof. Flavia Moll de Souza Judice (Orientador)

D.Sc.,EP/UFRJ

___________________________________________

Prof. Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro

D.Sc.,UFF

___________________________________________

Prof. Eduardo Valeriano Alves

D.Sc.,UFF

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

AGOSTO de 2015

iii

Almeida, Vanderlei de Souza

Influência da Distribuição Transversal de Cargas no Projeto de

Vigas Protendidas de Pontes/ Vanderlei de Souza Almeida. – Rio de

Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2015.

IX 116p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Ricardo Valeriano Alves, Flavia Moll de Souza

Judice

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia Civil/ Ênfase em Estruturas. 2015

Referências Bibliográficas: p. 112-113

1. Viga Protendida. 2. Concreto Protendido. 3.Linha de Influência.

4. Distribuição Transversal I. Alves, Ricardo Valeriano; Judice, Flavia

Moll de Souza. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola

Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III. Projeto de Pontes em

Vigas Múltiplas.

iv

DEDICATÓRIA

“... Não temos exatamente uma vida curta, mas desperdiçamos uma grande parte

dela. A vida, se bem empregada, é suficientemente longa e nos foi dada com muita

generosidade para a realização de grandes tarefas. Ao contrário, se desperdiçada no

luxo e na indiferença, se nenhuma obra é concretizada, por fim, se não se respeita

nenhum valor, não realizamos aquilo que deveríamos realizar, sentimos que ela

realmente se esvai. Desse modo, não temos uma vida breve, mas fazemos com que

seja assim. ...”

Lúcio Anneo Sêneca (4 a.C. – 65 d.C)

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus Pais Geraldo Almeida e Maria Almeida pela confiança

depositada e todo sacrifício que fizeram para que eu chegasse até aqui.

Ao meu irmão Rafael Almeida por todo incentivo e pela grande amizade ao longo

da vida.

A minha namorada Camila Alvarães por estar sempre ao meu lado e por me

mostrar que a vida é muito mais que obrigações e trabalho.

Aos meus orientadores Ricardo Valeriano e Flávia Moll pelo tempo cedido e por

toda ajuda que me deram para a conclusão deste trabalho.

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Influência da Distribuição Transversal de Cargas no Projeto de Vigas Protendidas de

Pontes


Agosto/2015

Orientadores: Ricardo Valeriano Alves

Flavia Moll de Souza Judice

Curso: Engenharia Civil

O presente trabalho apresenta as etapas de análise estrutural e dimensionamento de

viga protendida para pontes com superestrutura em vigas múltiplas protendidas. É

realizado um pré-dimensionamento inicial da seção da viga e analisado os efeitos dos

principais carregamentos atuantes, dando particular ênfase ao estudo das cargas

móveis. Para isso, serão comparados os resultados de métodos de distribuição

transversal descontinuo (Courbon) e continuo (MEF).

Palavras-chave: Viga Protendida, Concreto Protendido, Linha de Influência,

Distribuição Transversal.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

INFLUENCE OF THE TRANSVERSE DISTRIBUTION OF LOADS IN PROJECTS OF

BRIDGES WITH PRESTRESSED BEAMS


August/2015

Advisor: Ricardo Valeriano Alves

Flavia Moll de Souza Judice

Course: Civil Engineering

This paper presents the steps of structural analysis and design of a prestressed beam

for a bridge with multiple prestressed beams. It held a preliminary design of the beam

section and the effects of the main loads are analyzed, with particular emphasis on the

study of moving loads. For this, the load distribution factor will be analyzed by different

methods such as Courbon and finite element models.

Keywords:Prestressed Beams, Prestressed Concrete, Influence Line, Transverse

Distribution

viii

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 1

2. SISTEMAS ESTRUTURAIS DE PONTES ..................................................................... 4

2.1 PONTES EM LAJE .................................................................................................... 6

2.2 SUPERESTRUTURAS EM TRELIÇAS .................................................................. 6

2.3 SUPERESTRUTURAS EM ARCO .......................................................................... 7

2.4 PONTES SUSPENSAS (OU PÊNSEIS) ................................................................. 8

2.5 SUPERESTRUTURAS ESTAIADAS ...................................................................... 9

2.6 SUPERESTRUTURAS EM VIGAS ....................................................................... 10

3. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA E PRÉ-DIMENSIONAMENTO ...................... 13

3.1 TOPOGRAFIA .......................................................................................................... 13

3.2 NÚMERO DE VÃOS E COMPRIMENTO DAS LONGARINAS ....................... 13

3.3 CARACTERÍSTICAS DA VIA E LARGURA DO TABULEIRO ........................ 14

3.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LONGARINA ................................................... 15

3.5 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS VIGAS ......................................... 19

4. CARGAS PERMANENTES ............................................................................................ 24

4.1 PESO PRÓPRIO DAS VIGAS ISOLADAS ......................................................... 24

4.2 PESO PRÓPRIO DA LAJE E TRANSVERSINA ................................................ 26

4.2.1 VIGAS EXTREMAS ......................................................................................... 26

4.2.2 VIGAS INTERNAS ........................................................................................... 28

4.3 SOBRECARGA PERMANENTE ........................................................................... 30

4.3.1 VIGAS EXTREMAS ......................................................................................... 31

4.3.2 VIGAS INTERNAS ........................................................................................... 32

5. CARGAS ACIDENTAIS E ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL ......... 35

5.1 O PROBLEMA DA TORÇÃO EM SUPERESTRUTURAS DE PONTES ....... 36

5.2 CARREGAMENTOS DEVIDOS À CARGA MÓVEL.......................................... 41

5.3 MÉTODOS DE DISTRIBUIÇÂO TRANSVERSAL DE CARGAS .................... 43

5.3.1 MÉTODO DE COURBON ................................................................................... 44

5.3.1.1 VIGAS EXTREMAS ......................................................................................... 47

5.3.1.2 VIGAS INTERNAS ........................................................................................... 50

5.3.2 MODELO DE GRELHA ....................................................................................... 52

5.3.2.1 VIGAS EXTREMAS ......................................................................................... 56

5.3.2.2 VIGAS INTERNAS ........................................................................................... 58

5.3.3 MODELO PÓRTICO 3D -CASCA ..................................................................... 59

ix

5.3.3.1 VIGAS EXTREMAS ......................................................................................... 62

5.3.3.2 VIGAS INTERNAS ........................................................................................... 63

5.3.4 MODELO DE CASCA ......................................................................................... 65

5.3.4.1 VIGAS EXTREMAS ......................................................................................... 67

5.3.4.2 VIGAS INTERNAS ........................................................................................... 69

5.4 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ................................................................. 71

6. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DO NÚMERO DE CORDOALHAS ......................... 74

6.1 MODELO DE CÁLCULO ........................................................................................ 74

6.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ................................................................................... 77

6.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................. 78

7. PERDAS DE PROTENSÃO ....................................................................................... 80

7.1 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS .................................................................... 80

7.1.1 CONCRETO ESTRUTURAL DAS VIGAS PROTENDIDAS ..................... 80

7.1.2 AÇO DE PROTENSÃO ................................................................................... 81

7.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PRÉ-DIMENSIONAMENTO E CABLAGEM 82

7.3 PERDAS DE PROTENSÃO ................................................................................... 84

7.3.1 PERDAS IMEDIATAS ..................................................................................... 85

7.3.1.1 PERDAS POR ATRITO............................................................................... 85

7.3.1.2 PERDAS POR ACOMODAÇÂO DA ANCORAGEM ............................. 89

7.3.1.3 PERDAS POR PROTENSÃO SUCESSIVA ............................................ 91

7.3.2 PERDAS PROGRESSIVAS ........................................................................... 94

7.3.2.1 FLUÊNCIA DO CONCRETO ...................................................................... 95

7.3.2.2 RETRAÇÃO DO CONCRETO ................................................................... 97

7.3.2.3 RELAXAÇÃO DO AÇO............................................................................... 98

8. VERIFICAÇÂO DOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS E DE SERVIÇO ............ 102

8.1 VERIFICAÇÂO DO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO ....................................... 102

8.2 VERIFICAÇÂO DO ESTADO LIMITE DE ÚLTIMO ......................................... 104

8.2.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO EM TEMPO INFINITO ................................... 104

8.2.2 ESTADO LIMITE ÚLTIMO EM TEMPO ZERO ......................................... 107

8.3 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ........................................................... 108

9. CONCLUSÂO E SUGESTÕES DE CONTINUIDADE ......................................... 112

BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 114

ANEXO A ................................................................................................................................. 116

1

1. INTRODUÇÃO

As pontes são estruturas construídas para a transposição de obstáculos que

impedem a continuidade do leito normal de uma via, podendo ser compostos por

massas de água, como rios e lagos, vales, outras vias, etc. Quando o objetivo é

transpor obstáculos sem presença de massa de água, estas estruturas são

comumente denominadas de viadutos [1].

Acredita-se que as primeiras pontes foram estruturas simples construídas pela

natureza como, por exemplo, um tronco caído sobre um córrego, permitindo que

pessoas cruzassem de um lado ao outro. As primeiras pontes construídas pelos seres

humanos foram baseadas nessa ideia e eram estruturas bem simples feitas de troncos

de madeira ou pedras. [2]

Dos povos antigos, os que mais se destacaram na construção de pontes foram

os romanos que, movidos pela necessidade de se conectar cidades, portos, minas,

etc, e manter o controle do estado, começaram a se preocupar em construir estradas

permanentes e mecanismos de transposição de obstáculos. Uma das maiores

contribuições deste povo foi a construção de pontes em arcos. Eles deixaram sua

marca com a construção de mais de 900 pontes ao longo da Europa, África e Ásia. [3]

Com a contínua necessidade de unir pontos de interesse, impulsionando o

desenvolvimento da engenharia de pontes, surgiram novas técnicas e materiais,

principalmente após a revolução industrial, fazendo com que fosse possível vencer

maiores vãos com eficiência construtiva e econômica.

Uma das técnicas desenvolvidas para a construção de pontes é a de vigas pré-

moldadas protendidas, que teve seu grande desenvolvimento a partir do ano de 1950,

quando houve o avanço da tecnologia de protensão e o desenvolvimento dos sistemas

de transporte e das técnicas de montagem das estruturas. [4]

2

Este método se destaca por permitir um elevado controle de execução, pela

otimização da utilização das formas, rápida execução e eliminação de cimbramentos.

[4]. Tais vantagens fizeram com que este processo fosse amplamente difundido no

Brasil, sendo assim de grande interesse que os engenheiros saiam das escolas com

um conhecimento básico sobre a técnica.

Este trabalho tem como objetivo apresentar o dimensionamento das vigas da

superestrutura de uma ponte de vigas múltiplas. Para isso, foi desenvolvido um estudo

comparativo empregando-se métodos existentes para obtenção da linha de

distribuição transversal a partir de modelo analítico simples (Courbon) e sofisticado

(SAP2000).

A estrutura deste trabalho é organizada na seguinte ordem:

O capítulo 2 apresenta os sistemas estruturais de pontes comumente utilizados

no Brasil.

No capítulo 3 é apresentado o estudo de caso. Neste capítulo é realizado o pré-

dimensionamento da seção das vigas a serem estudadas.

No capítulo 4 é feito o estudo dos carregamentos permanentes, como o peso

próprio das longarinas pré-moldadas, da laje, da transversina e da sobrecarga

permanente.

No capítulo 5 são analisados os métodos de obtenção da linha de distribuição

transversal, comparando-se os valores obtidos por diferentes métodos.

No capitulo 6 são apresentados os cálculos das perdas de protensão.

As verificações no estado limite de serviço (ELS) e no estado limite ultimo (ELU)

são feitas no capítulo 7.

3

Por fim, o capítulo 8 apresenta as conclusões e sugestões para trabalhos

futuros.

4

2. SISTEMAS ESTRUTURAIS DE PONTES

As pontes, sob o ponto de vista estrutural, são constituídas de três partes

principais: a superestrutura, a mesoestrutura e a infraestrutura.

A superestrutura é o elemento de suporte imediato das cargas, correspondendo

à parte superior, formada pela laje, vigamento principal e transversinas, sendo

responsável pela transmissão das cargas à meso estrutura.

A mesoestrutura é constituída pelos pilares e travessas, responsáveis por

receberem os carregamentos da superestrutura e transmiti-los à infraestrutura. Estes

elementos estão sujeitos também a ações diretas de forças devidas à pressão do

vento, água e empuxos de terra.

A infraestrutura, por sua vez, é a fundação da ponte, isto é, a parte responsável

em transmitir ao solo os esforços recebidos da mesoestrutura.

Um elemento de grande importância para as pontes, muitas vezes considerado

como sendo parte da mesoestrutura, são os encontros. Estes constituem-se em

estruturas de concreto armado, cuja principal função é proteger as extremidades do

aterro contra erosão e transferir os carregamentos decorrentes dos empuxos de terra

e de sobrecarga diretamente para a fundação.

Para que a ponte possa funcionar adequadamente ao longo de sua vida útil,

utilizam-se ainda de diversos elementos adicionais, tais como guarda-rodas, aparelhos

de apoio, sistema de drenagem, sinalização, etc, que são levados em conta nos

projetos, assim como sua manutenção.

As pontes são estruturas de grande responsabilidade e são projetadas para

terem uma longa vida útil. As etapas da vida de uma ponte são a concepção, onde são

realizados os estudos de implantação, projetos e construção; a utilização, associada à

5

manutenção, recuperação e alargamentos; e a desativação, onde ocorre a interdição e

demolição da estrutura. [5]

A classificação das pontes pode ser feita conforme a finalidade, o material e o

tipo estrutural. Quanto à sua finalidade, as pontes podem ser ferroviárias, rodoviárias,

para pedestres ou ainda destinar-se ao suporte de tubulações. [6] Deste modo, as

estruturas devem ser projetadas para atenderem requisitos de segurança e estéticos,

além das necessidades viárias de tráfego e os gabaritos do local de implantação.

Quanto ao material, as pontes podem ser de pedra, madeira, concreto simples,

armado ou protendido, metálicas ou mistas. A escolha do material é função do vão a

ser vencido e do custo de construção, sendo cada material mais adequado para certa

faixa de vão. Este fato é representado graficamente na Figura 2.1, extraída de [5].

Figura 2.1 – Curva custo x vão das pontes em função do material empregado.

6

Os sistemas estruturais, por sua vez, podem ser em lajes, em arcos, em vigas

retas de alma cheia ou treliças, em quadros rígidos, pênseis (ou suspensas) e

estaiadas, tendo cada uma suas particularidades, suas vantagens e desvantagens.

Apresenta-se, a seguir, cada um dos tipos estruturais anteriormente citados,

dando maior destaque para as pontes em vigas de alma cheia, que é o foco principal

deste trabalho.

2.1 PONTES EM LAJE

As pontes em laje apresentam comportamento estrutural bidimensional,

apresentando boa capacidade de distribuição dos esforços, podendo o sistema ser

longitudinal ou transversal, com a laje constituindo toda a superestrutura. [7]

Quanto à forma, as lajes podem ser do tipo maciça, alveolar, sobre elementos

pré-moldados ou ainda nervuradas. Estas pontes não possuem grande rigidez à flexão

e são mais utilizadas para vãos pequenos. Este sistema possui como vantagens

pequena altura de construção, boa resistência à torção e rapidez de execução. [8]

A Figura 2.2, adaptada de [7], apresenta o esquema de uma ponte em laje.

Figura 2.2 – Esquema estrutural de ponte em laje.

2.2 SUPERESTRUTURAS EM TRELIÇAS

Os sistemas de treliças apresentam a grande vantagem de os elementos só

serem solicitados por cargas axiais e por permitir grandes vãos com elementos de

maior altura e baixo peso, com consequente redução das flechas [8].

7

Estas são construídas com perfis metálicos ou tubulares e podem ser de vários

tipos, sendo classificadas de acordo com o sistema estrutural, sendo as mais

difundidas: a treliça Pratt, constituída de diagonais tracionadas e montantes

comprimidos; a treliça Howe, com diagonais comprimidas e montantes tracionados; a

treliça Warren, com diagonais alternadamente comprimidas e tracionadas; e a treliça

Vierendeel, com módulos em formulação de quadriláteros sem diagonais e ligações

aporticadas, tendo elementos sujeitos a flexão composta.

Pontes em treliça podem ter tabuleiro superior, inferior ou ambos e são

geralmente utilizadas para vãos entre 50m e 120m, quando isostáticas, podendo

atingir até 250m quando do tipo contínua. [9]

A Figura 2.3 ilustra um exemplo de ponte em treliça com tabuleiro intermediário.

Figura 2.3 – Ponte treliçada com tabuleiro intermediário

2.3 SUPERESTRUTURAS EM ARCO

As pontes em arcos são estruturas que transmitem naturalmente sua carga para

suportes localizados em cada uma de suas extremidades sendo solicitada apenas a

compressão no arco principal [6].

Este tipo de estrutura foi muito utilizada no passado para vencer grandes vãos,

porém com o advento do aço e do concreto armado e protendido, esta técnica passou

a ter seu uso reduzido, por demandar escoramento bastante alto e complexo [5].

8

Entretanto, com o advento da técnica de construção por balanços suscessivos, este

tipo de ponte vem voltando a ser construído.

A Figura 2.4 mostra um exemplo de ponte em arco construída com o uso de

pedras.

Figura 2.4 – Ponte em arco.

2.4 PONTES SUSPENSAS (OU PÊNSEIS)

Neste tipo de ponte os tabuleiros são sustentados por um conjunto de cabos

verticais, que são ligados a cabos em catenária que são presos aos pilares, fazendo a

transferência das cargas às torres e às ancoragens simplesmente por esforços de

tração. Os cabos maiores comprimem as torres que transferem os esforços às

fundações. [8]

A Figura 2.5 ilustra a ponte Golden Gate em São Francisco, Califórnia.

9

Figura 2.5 – Ponte Golden Gate.

2.5 SUPERESTRUTURAS ESTAIADAS

Este tipo de estrutura é muitas vezes confundido com as pontes pênseis. Porém,

estas diferem entre si pela forma com que os cabos são ancorados. Enquanto nas

pontes do tipo pênseis há dois tipos de cabos, os cabos presos à superestrutura e os

cabos ancorados nos pilares, na ponte estaiada os cabos de sustentação são

diretamente ancorados às torres.

As pontes estaiadas são estruturas compostas por tabuleiro, sistema de cabos,

torres que suportam os cabos e os blocos de ancoragem sendo, em geral, eficiente

para vãos acima de 300m [10].

A Figura 2.6 apresenta a ponte estaiada da Normandia, com torres em forma de

A e duas linhas de cabos dispostos em leque.

10

Figura 2.6 – Ponte estaiada da Normandia.

2.6 SUPERESTRUTURAS EM VIGAS

As ponte em vigas podem ser metálicas, de concreto armado ou protendido, e a

seção pode ser aberta ou fechada. Quando fechada, estas são chamadas de viga

caixão ou celular e caracterizam-se por terem suas vigas ligadas por uma mesa

inferior única, além da superior [8].

As superestruturas de pontes com vigas abertas possuem um conjunto de vigas

longitudinais, chamadas de longarinas, que são responsáveis pela sustentação do

tabuleiro. Nesse tipo de ponte, são também empregadas vigas transversais, chamadas

de transversinas, que podem ser ligadas à laje ou não, para aumentar a rigidez da

estrutura e contribuir para a distribuição transversal das cargas móveis [8].

Uma das técnicas que se destaca neste tipo de ponte é a de construção com

vigas pré-moldadas protendidas, que se desenvolveu muito a partir da década de 50,

quando ocorreu um grande avanço na tecnologia de protensão e do sistema de

transporte e montagem [4].

11

Esta técnica se destaca por permitir um ótimo controle de execução, pela

otimização da utilização das formas, rápida execução e eliminação de cimbramentos,

justificando assim a grande disseminação deste processo.

Os elementos pré-moldados podem ser de dois tipos, em vigas inteiras ou em

aduelas, sendo o primeiro tipo mais utilizado para vãos de até 40m, por limitação dos

equipamentos de transporte e movimentação, enquanto o segundo é mais utilizado

para grandes vãos [4].

Há atualmente diversos tipos de seção adotados para as longarinas e os fatores

que influenciam a escolha destes são vários como, por exemplo, o sistema de

execução da laje, o tipo de protensão - se pós ou pré-tracionada - se será executada

em fábrica ou canteiro, os equipamentos de transporte disponíveis, entre outros,

devendo ser considerados pelo engenheiro projetista [4].

O processo construtivo mais usual consiste em se colocar as vigas pré-moldadas

sobre os apoios, de modo a ficarem simplesmente apoiadas formando vãos isostáticos

independentes. Este tipo de sistema facilita a análise estrutural, pois permite reduzir a

quantidade de análises fazendo com que se tenha o maior número possível de vãos

de iguais dimensões. Por exemplo, para uma ponte vencer 200 metros de extensão, é

possível dividi-la em trechos de vãos iguais, sendo necessário analisar a

superestrutura apenas de um trecho.

As lajes são concretadas após a colocação de todas as vigas, utilizando-se

juntas de dilatação sobre os apoios, ou lajes de continuidade e, em ambos os casos, é

comum a utilização de lajes pré-moldadas (pré-lajes) para a redução da quantidade de

formas na concretagem.

A Figura 2.7 mostra a vista inferior de uma ponte constituída por vigas múltiplas

com seção transversal tipo I.

12

Figura 2.7 – Ponte em vigas pré-moldadas protendidas

13

3. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA E PRÉ-DIMENSIONAMENTO

O presente capítulo tem como objetivo dar início ao estudo do dimensionamento

da superestrutura de uma ponte em vigas múltiplas protendidas. Dada a topografia e

características da via, serão definidos o número de vãos e sua extensão, o número de

vigas e a geometria da seção da viga.

3.1 TOPOGRAFIA

A ponte tem como objetivo vencer o vão do vale cuja topografia é apresentada

no anexo A. A superestrutura terá início no eixo 31, estendendo-se até o eixo 36,

totalizando uma extensão de 146 metros a ser vencida.

A ponte ligará dois pontos de mesma elevação, portanto, todo o tabuleiro estará

numa mesma elevação.

3.2 NÚMERO DE VÃOS E COMPRIMENTO DAS LONGARINAS

Para pontes em vigas de concreto armado, é possível alcançar vãos de até 20

metros, enquanto que para vigas pré-moldadas de concreto protendido, pode-se

vencer vãos de 10 a 100 m. Entretanto, o mais usual é geralmente utilizar vãos

máximos de 40 m para vigas protendidas, fornecendo um arranjo mais econômico [11].

Para uma ponte em concreto armado vencer 146 m, a máxima distância entre

eixos de pilares seria de 20 m, fornecendo o seguinte número de vãos:

ã

ã (3.1)

Para o caso de vigas pré-moldadas protendidas, utilizando-se uma distância

entre eixos de 30 m, o número de vãos é reduzido para:

ã

ã (3.2)

14

A redução de três vãos gera uma economia de três pilares e três fundações e faz

com que a obra possa ser executada mais rapidamente, justificando assim a adoção

do concreto pré-moldado protendido.

As longarinas serão apoiadas sobre travessas e a distância adotada entre o eixo

do pilar e o eixo do apoio da viga é de 50 cm, tendo ainda uma folga de 10cm entre

longarinas. Assim, o comprimento da viga a ser utilizada nas análises de

dimensionamento é dado por:

(3.3)

3.3 CARACTERÍSTICAS DA VIA E LARGURA DO TABULEIRO

Para determinar a seção da ponte é preciso definir o tipo da via e suas

características físicas e geométricas. Sabendo-se que o tráfego no local será em

apenas um sentido com um fluxo médio diário de 900 veículos por dia, tendo duas

faixas de rolamento e um acostamento, é possível determinar a largura da ponte

definindo os valores destas grandezas.

O Departamento Nacional de Infraestrutura e Transporte (DNIT), no Quadro 1 de

seu Manual de Projeto de Obras de Arte Especiais [11], regulamenta os valores

mínimos a serem respeitados no projeto de pontes para a determinação destas

propriedades. A ponte em questão, de acordo com o manual, é pertencente à classe

de projeto II em região plana. Desta maneira, define-se que cada faixa de rolamento

terá largura de 3,60m e acostamento de 2,50m.

É necessário ainda, para a determinação da largura da seção transversal,

estabelecer o guarda-rodas a ser utilizado. O dimensionamento da barreira não é parte

do escopo deste trabalho, sendo apenas apresentada na Figura 3.1 a geometria do

guarda-rodas tipo New-Jersey adotado.

A largura total da ponte é então dada por:

15

(3.4)

Figura 3.1 – Barreira New-Jersey – Cotas em cm e desenho sem escala

3.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LONGARINA

A partir do conhecimento adquirido com a execução de diversos projetos de

pontes, os engenheiros perceberam que o pré-dimensionamento do tabuleiro de

pontes em vigas protendidas pré-moldadas pode ser feito através de correlações

existentes entre as dimensões da estrutura [12]. Na Figura 3.2, adaptada de [12], é

apresentado um esquema destas correlações.

Figura 3.2 – Correlações para pré-dimensionamento

16

Nesta seção, é apresentado o pré-dimensionamento das vigas baseando-se

nestas correlações e nas características definidas no início deste capítulo. A seção

obtida será a base do dimensionamento dos próximos capítulos.

A altura da viga está ligada ao tamanho do vão a ser vencido e a correlação

existente entre estas grandezas é apresentada na Figura 3.3, extraída de [12].

Figura 3.3 – Altura da viga pré-moldada protendida (m) x Vão (m)

Para um vão de 29,2 metros, a altura “h” da longarina deve ficar entre os valores

de 1,30m e 1,90m. Adota-se como valor a altura média, ficando assim com uma altura

h de 1,60m.

Para se evitar a flambagem lateral da viga pré-moldada, a largura da mesa

deve atender as seguintes restrições [12]:

17

Adotado: , m (3.5)

Por sua vez, a distância entre eixos das vigas deve respeitar a seguinte

condição [12]:

a , , m , , m , m , m (3.6)

Será adotado para os cálculos, para “a”, o valor de:

a = 2,50 m (3.7)

O número de vigas é dado então por:

n de vigas d

a

,

, , vigas Adotado: 4 vigas (3.8)

O valor calculado para o número de vigas na equação 4.2 é apenas uma

sugestão de pré-dimensionamento, sendo fundamental a experiência do projetista na

escolha da quantidade a ser utilizada. É adotado o número de quatro vigas, porém

esse valor somente será validado após a realização do dimensionamento.

Tendo-se definido o número de vigas, é preciso fazer o ajuste dos valores de a

e , onde “ ” é o comprimento do alanço. Ficam assim definidos abaixo os valores

destas grandezas.

(3.9)

(3.10)

Podem também ser empregadas relações para definição dos valores da

espessura da laje no apoio e no meio do vão, conforme mostrado a seguir [12]:

m , m

, m

18

eapoio , a , m (3.11)

evão , eapoio / evão cm Adotado: evão , m (3.12)

De acordo com a NBR 7187, em seu item 9.1.4.1, é estabelecido que a largura

da alma da viga não deve ser inferior a 20cm [13]. Assim, adota-se:

= 0,20 m (3.13)

Por último, a largura do talão inferior deve atender a seguinte condição [12]:

etalão , m (3.14)

As demais dimensões devem se ajustadas de modo que permitam uma boa

colocação das armaduras e não causem empecilhos à concretagem, sendo a

experiência do engenheiro uma boa aliada nestas definições. A seguir são

apresentados o esquema transversal da ponte e a seção da viga.

a) Seção corrente (cm) b) Seção no apoio (cm)

Figura 3.4 – Seção transversal da longarina - sem escala

19

Figura 3.5 – Seção longitudinal da longarina (cm) – Desenho esquemático sem escala

Figura 3.6 – Seção transversal da superestrutura (cm) – sem escala

3.5 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS VIGAS

A partir das dimensões definidas anteriormente, torna-se necessário calcular as

propriedades geométricas da seção transversal das vigas, tanto no meio do vão

quanto na região de apoio. O cálculo é realizado decompondo-se a seção transversal

em trapézios e retângulos e utilizando-se as equações da Mecânica dos Sólidos.

A seguir são apresentadas as grandezas a serem calculadas para cada

elemento trapezoidal.

Área do elemento da seção:

i i a

(3.15)

20

onde:

hi: altura do trapézio

a: maior base do trapézio

b: menor base do trapézio

Área total da seção:

i (3.16)

Distância do centróide ao bordo superior:

es,i

i (3.17)

Distância do centróide ao bordo superior da viga ou da seção completa:

,i e ,i (3.18)

onde s,i

é a coordenada do topo da viga ou laje até a base superior do trapézio.

Distância do centróide ao bordo inferior da viga:

(3.19)

Momento de inércia em relação ao centro de gravidade do elemento:

,i i

a a

a (3.20)

Momento de inércia em relação a base da seção:

,i i (3.21)

Altura do centróide:

c

s, i

(3.22)

21

Momento de inércia em relação ao centróide:

c (3.23)

Distância a fibra inferior e superior:

s viga- c (3.24)

i

c (3.25)

Módulo de rigidez superior e inferior:

s

s (3.26)

s

s (3.27)

As propriedades aqui descritas devem ser calculadas para a seção da viga

isolada e da viga no conjunto (viga + laje), na região do apoio e no meio do vão. Para

o cálculo da viga no conjunto é preciso determinar a largura da mesa colaborante da

laje, conforme estabelecido pela NBR 6118 no seu item 14.6.2.2 [14].

A Figura 3.7, extraída da NBR 6118, apresenta o esquema de cálculo da mesa

colaborante.

Figura 3.7 – Largura da mesa colaborante conforme NBR 6118

22

Para o caso de vigas biapoiadas, a norma ornece o seguinte valor para “a”:

a = 1,0 L = 28,2 m (3.28)

O valor de b2 é obtido a partir das Figuras 3.4 e 3.6 e b1 e b3 determinados a

partir das relações apresentadas na Figura 3.7. Assim, tem-se:

b2 = 2,50 – 2 x 0,10 – 02 x 0,26 = 1,78m (3.27)

b1 0,5b2 = 0,5 x 1,78 = 0,89 m (3.28)

b3 1,50 – 0,26 – 0,10 = 1,14 m (3.29)

bf = b1 + b3 + bw = 2,23 m (3.30)

Foi utilizada uma planilha Excel para a realização do cálculo das propriedades

descritas. As Figuras 3.8 a 3.11 apresentam o resumo dos resultados obtidos.

Figura 3.8 – Seção da longarina isolada pré-moldada no apoio

23

Figura 3.9 – Seção da longarina isolada pré-moldada no meio do vão

Figura 3.10 – Seção do conjunto no apoio

Figura 3.11 – Seção do conjunto no meio do vão

24

4. CARGAS PERMANENTES

Este capítulo tem como objetivo apresentar o cálculo dos esforços causados

pela ação das cargas permanentes atuantes na estrutura. Estas cargas são devidas

ao peso próprio das vigas isoladas, da laje e das transversinas, e da sobrecarga

permanente, constituída da pavimentação asfáltica e do guarda-rodas.

Serão determinados os diagramas de cortante (Q), momentos fletores (M) e

calculados o módulo de rigidez no bordo superior da laje (ws), no bordo superior da

viga (w’s) e no bordo inferior da viga (wi), assim como a tensão atuante no bordo

superior da laje σs , no ordo superior da viga σ’s e no ordo in erior da viga σi).

Para o cálculo das tensões é adotado a convenção da resistência dos materiais, com

tensões de compressão negativas e de tração positiva, exceto onde indicado. Nos

cálculos seguintes é adotado para o peso específico do concreto o valor de γ 25

kN/m³. Para a análise a viga será dividida em 10 seções de 2,82m e será utilizado o

programa Ftool [28] para obtenção dos esforços. Na figura 4.1 é apresentado as

seções de cálculo da viga.

Figura 4.1 – Seções de cálculo

4.1 PESO PRÓPRIO DAS VIGAS ISOLADAS

Este carregamento é igual para as longarinas extremas e as internas, com a

definição do carregamento distribuído a seguir:

Seção do meio do vão

g vão vão γ , m x N m

, N m (4.1)

25

Seção do apoio

g

apoio apoio γ , m x N m

, N m .

Carregamento concentrado devido a seção fora do vão de cálculo

g concentrado apoio γ , m x N m

x , m , N .

Nas Figuras 4.2 a 4.5 é apresentado o esquema de carregamento e os

diagramas de cortante, momento fletor e reações de apoio e na Tabela 4.1 o resumo

das solicitações atuantes nos décimos de vão da viga, bem como as tensões. A alma

da viga na região do apoio sofre uma redução de espessura até atingir o valor da alma

na seção corrente, que se dá a distância de 1,5m. Apesar do carregamento distribuído

ser trapezoidal, este foi considerado linear e aplicado na distância de 0,75m do apoio.

Figura 4.2 – Carregamento devido ao peso próprio da longarina

Figura 4.3 – Diagrama de momento fletor devido ao peso próprio da longarina (kNm)

Figura 4.4 – Diagrama de esforço cortante devido ao peso próprio da longarina (kN)

26

Figura 4.5 – Reações de apoio devidas ao peso próprio da longarina (kN)

Tabela 4.1 – Resumo das solicitações e tensões devidas ao peso próprio estrutural

4.2 PESO PRÓPRIO DA LAJE E TRANSVERSINA

O peso devido à laje e à transversina é diferente para as vigas extremas e

internas. Isto se deve ao fato de o comprimento do balanço da laje ser maior do que a

metade da distância entre vigas e ao fato da transversina existir apenas na região

entre vigas. No presente trabalho a transversina é utilizada apenas nas regiões de

apoio.

4.2.1 VIGAS EXTREMAS

Carga devida à laje

Na Figura 4.6 é apresentada a seção da transversina e, na Figura 4.7, a região

de influência da laje sobre a viga extrema utilizada no cálculo.

Figura 4.6 – Seção transversal da transversina (cotas em cm)

27

Figura 4.7 – Área de influência da laje sobre a viga extrema (cotas em cm)

g

laje laje γ , m x , m , m x N m

, N m (4.4)

Carga concentrada devido a laje fora do vão de cálculo

(4.5)

Carga concentrada devido a transversina

A transversina possui seção retangular de dimensões 0,30m x 1,40m.

g transversina transversina γ , m x , m x , m x N m

, N (4.6)

Nas Figuras 4.8 a 4.11 são apresentados os esquemas de carregamento e os

diagramas de cortante, momento fletor e reações de apoio e, na Tabela 4.2, o resumo

das solicitações atuantes nos décimos de vão da viga extrema, bem como as tensões.

Figura 4.8 – Carregamento de ao peso próprio da laje e transversina na viga extrema

Figura 4.9 – Diagrama de momento fletor por peso próprio da laje e transversina na

viga extrema (kNm)

28

Figura 4.10 – Diagrama de esforço cortante por peso próprio da laje e transversina na

viga extrema (kN)

Figura 4.11 – Reações de apoio devidas ao peso próprio da laje e transversina na viga

extrema (kN)

Tabela 4.2 – Resumo das solicitações e tensões para carregamento devido ao peso

próprio da laje e transversina na viga extrema

4.2.2 VIGAS INTERNAS

Carga devido a laje

Na Figura 4.12 é apresentada a região de influência da laje sobre a viga extrema

utilizada no cálculo.

29

Figura 4.12 – Área de influência da laje sobre a viga interna (cotas em cm)

g

laje laje γ , m x , m , m x N m

, N m (4.7)

Carga concentrada devido a laje fora do vão de cálculo

g

laje,concent laje γ , m x , m , m x , m x N m , N (4.8)

Carga concentrada devido à transversina

g transversina transversina γ , m x , m x , m x N m

, N (4.9)

Nas Figuras 4.13 a 4.16 são apresentados os esquemas de carregamento e os


das solicitações atuantes nos décimos de vão da viga interna, bem como as tensões.

Figura 4.13 – Peso próprio da laje e transversina na viga interna

Figura 4.14 –Momento fletor por peso próprio da laje e transversina na viga interna

(kNm)

30

Figura 4.15 – Esforço cortante por peso próprio da laje e transversina na viga interna

(kN)

Figura 4.16 – Reações de apoio devido ao peso próprio da laje e transversina na viga

interna (kN)

Tabela 4.3 – Solicitações e tensões por peso próprio da laje e transversina na viga

interna

4.3 SOBRECARGA PERMANENTE

A sobrecarga permanente corresponde aos pesos do guarda-rodas e da

pavimentação. Esta carga é diferente para as vigas extremas e internas pois apenas

as vigas extremas absorvem a carga devido ao guarda-rodas, além da área de

influência de pavimentação ser diferente. Nos cálculos seguintes é adotado para o

peso especifico do pavimento o valor de pav = 24 kN/m³

31

4.3.1 VIGAS EXTREMAS

Carga devido a pavimentação asfáltica

A largura de influência é conforme apresentado na Figura 4.5, descontando-se a

largura do guarda-rodas, e a espessura da pavimentação asfaltica é considerada de

7cm.

g as alto as alto , m x , m , m x N m

, N m (4.10)

Carga concentrada fora do vão de cálculo devido a pavimentação asfáltica

g

conc,as alto as alto , m x , m , m x , m x N m , N (4.11)

Carga devido ao guarda-rodas

A seção do guarda-rodas é conforme apresentado na Figura 3.1.

g

g-rodas g-rodas , m x N m

, N m (4.12)




Figura 4.17 – Carregamento devido à sobrecarga permanente na viga extrema

Figura 4.18 – Momento fletor devido à sobrecarga permanente na viga extrema (kNm)

32

Figura 4.19 – Esforço cortante devido sobrecarga permanente na viga extrema (kN)

Figura 4.20 – Reações de apoio por sobrecarga permanente na viga extrema (kN)

Tabela 4.4 – Solicitações e tensões por sobrecarga permanente na viga extrema

4.3.2 VIGAS INTERNAS

Carga devido a pavimentação asfáltica

A largura de influência é conforme apresentado na Figura 4.10 e considerando a

espessura de asfalto de 7cm.

g as alto as alto , m x , m , m x N m

, N m (4.13)

Carga concentrada fora do vão de cálculo devido a pavimentação asfáltica

g

conc,as alto as alto , m x , m , m x , m x N m , N (4.14)

33




Figura 4.21 – Carregamento devido a sobrecarga permanente na viga interna

Figura 4.22 – Momento fletor devido à sobrecarga permanente na viga interna (kNm)

Figura 4.23 – Esforço cortante devido sobrecarga permanente na viga interna (kN)

Figura 4.24 – Reações de apoio por sobrecarga permanente na viga interna (kN)

34

Tabela 4.5 – Solicitações e tensões por sobrecarga permanente na viga interna

35

5. CARGAS ACIDENTAIS E ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL

As ações acidentais correspondem às cargas móveis a que a estrutura é

submetida, ou seja, veículos e pedestres. A parcela de carga que é transmitida a cada

longarina varia de acordo com a posição do veiculo no tabuleiro, fazendo assim com

que umas vigas sejam mais solicitadas do que outras.

Estas ações variáveis podem fazer com que, em algumas seções, haja até

inversão de solicitações, como momentos fletores positivos em seções tipicamente

solicitadas por momentos negativos e vice-versa [5]. A análise deve-se então buscar

os valores extremos e, para isso, faz-se uso do conceito de linha de influência.

De acordo com [1], a linha de influência de uma solicitação S, num ponto m,

corresponde a linha cujas ordenadas fornecem os valores de S para diversas posições

de uma carga unitária. A partir da definição desta linha de influência é possível

determinar a envoltória de esforços.

Porém, para fazer uso desta técnica, é preciso definir o trem-tipo. Como

apresentado em [5], na análise de pontes com modelos unifilares, a carga móvel é

considerada como um arranjo de cargas distribuídas e concentradas e, a este arranjo,

denomina-se trem-tipo longitudinal.

O trem-tipo longitudinal depende da posição da carga no tabuleiro e, para uma

posição fixa da carga na seção transversal, apresenta diferentes valores para cada

longarina. Assim, pode-se afirmar que o trem-tipo está associado à distribuição das

cargas entre as diversas vigas do tabuleiro.

O objetivo deste capítulo é estudar alguns dos métodos existentes de avaliação

da distribuição transversal de cargas, dando maior atenção aos métodos que

envolvem o uso de programas computacionais.

36

Para fins de comparação dos resultados obtidos por modelagem computacional,

empregou-se o método de Courbon, por se tratar de um dos métodos mais difundidos

e de mais simples aplicação. Para o desenvolvimento dos modelos é utilizado o

programa SAP2000 em sua versão 14 e, para a determinação da envoltória de

esforços devido a ação do trem-tipo, é utilizado o programa Ftool. Em toda análise, foi

utilizado para as longarinas concreto de 35MPa e para lajes e transversinas 30MPa,

ambos com coeficiente de Poisson de 0,20.

5.1 O PROBLEMA DA TORÇÃO EM SUPERESTRUTURAS DE PONTES

O comportamento da superestrutura de ponte sob torção varia de acordo com o

tipo de seção, isto é, se a seção é aberta ou fechada. O presente trabalho tem como

objetivo o estudo de ponte com seção aberta e, sendo assim, dada ênfase ao estudo

da torção neste tipo de problema.

A torção em vigas pode se apresentar de duas formas, dependendo de haver ou

não restrições ao empenamento. Quando o empenamento é impedido ou a torção é

variável, surge a presença da torção de empenamento, também chamada de torção

não uniforme. Por outro lado, quando não há esta restrição, a torção é denominada

uniforme ou de Saint-Venant.

Em seções maciças, a tensão de empenamento apresenta valores expressivos

apenas próximo à região de engaste, sendo nula ao longo de quase toda a barra e,

portanto, geralmente desconsiderada neste tipo de seção. Ao contrário do que ocorre

neste caso, para barras com seção de paredes delgadas, a torção não uniforme

apresenta valores significativos, mesmo não havendo restrição ao empenamento [5].

Para ilustrar a diferença entre o comportamento à torção de barras de seção

maciça e de paredes delgadas com mesmas condições de contorno, é apresentado na

Figura 5.1 o exemplo extraído de [5], onde são comparadas duas barras engastadas

em um extremo e livre no outro.

37

a) Seção Maciça b) Seção de paredes finas

Figura 5.1 – Barra de seção maciça e de paredes finas submetidas à torção

Conforme apresentado na Figura 5.1, a tensão de empenamento da seção de

paredes finas apresenta valores consideráveis ao longo de toda a barra, enquanto que

para seção maciça, esta tensão apresenta valores significativos apenas na região da

restrição ao empenamento.

A torção de empenamento Tw é constituída das parcelas de tensões cisalhantes

τw e de tensões normais σw, conforme ilustrado na Figura 5.2, extraída de [5].

Conforme pode ser observado, a viga submetida a este tipo de torção apresenta

momentos de sentidos opostos nos flanges, de modo que os flanges dos perfis de

paredes finas são solicitados a flexão em sentidos opostos, conforme representado na

Figura 5.3 [5].

38

Figura 5.2 – Tensão cisalhante (à esquerda) e tensão normal (à direita)

Estas ações dão origem à solicitação denominada de bimomento, que

corresponde ao valor dos momentos (M) de sentidos opostos no flange, multiplicados

pela distância entre eles.

Figura 5.3 – Efeito da torção de empenamento em seções de paredes finas

O problema anteriormente apresentado pode ser estendido ao caso das

superestruturas de pontes, pois, por apresentarem vigas de alturas muito maiores de

que a espessura da alma que se unem às lajes de grande largura e baixa espessura,

recaem em casos semelhantes ao de perfis de paredes finas.

Para exemplificar, considera-se um trecho de uma superestrutura de duas vigas,

biengastado e carregado em metade da pista, conforme ilustrado na Figura 5.4. O

carregamento atuante gera torção de empenamento e torção de Saint-Venant.

39

Figura 5.4 – Seção aberta com carregamento excêntrico

As distribuições de tensões de empenamento e de Saint-Venant são

esquematizados nas Figuras 5.5 e 5.6, respectivamente, e na Figura 5.7 é

apresentado um gráfico ilustrativo do comportamento destas torções ao longo do

comprimento L da viga, conforme estudo apresentado em [5].

Figura 5.5 – Tensões cisalhantes por torção de empenamento

Figura 5.6 – Tensões cisalhantes por torção de Saint-Venant

40

Figura 5.7 – Distribuição das torções de empenamento e de Saint Venant

Pode-se observar na Figura 5.7, que a torção de Saint Venant é quase

desprezível quando comparada com a torção de empenamento. Comportamento

semelhante ocorre nas pontes de seção aberta em que, a torção decorrente dos

carregamentos excêntricos, gera tensões cisalhantes que despertam flexão nas vigas

em sentidos opostos, dando origem ao bimomento [5]. Na Figura 5.8 extraída de [5], é

esquematizado o comportamento da superestrutura sob ação do bimomento.

Figura 5.8 – Torção em superestruturas de pontes com seção aberta

No caso de uma ponte em vigas múltiplas, a posição das cargas móveis causa

flexão diferenciada nas vigas, fazendo com que cada longarina receba uma parcela

41

distinta desta carga e, o fato da ação de uma carga excêntrica provocar flexão

diferenciada nas vigas sem causar torção, justifica a não utilização de trem-tipo torçor

na análise de pontes de seção aberta.

Pode-se recorrer a diferentes procedimentos para a determinação da distribuição

transversal das cargas, desde modelos matemáticos simples a métodos

computacionais mais complexos.

O estudo aqui desenvolvido emprega duas metodologias de distribuição de

cargas: o método de Courbon, mais simples, e computacionais, mais complexos. Para

cada método, é apresentado o esquema da distribuição de cargas para as vigas

extremas e internas e é calculado o esforço cortante e momento fletor nos décimos de

vão. No fim do capítulo é apresentada uma comparação entre os diversos modelos

utilizados.

5.2 CARREGAMENTOS DEVIDOS À CARGA MÓVEL

Os diferentes tipos de carga móvel e o coeficiente de ponderação a serem

utilizados nas estruturas de pontes são especificados na norma brasileira ABNT NBR

7188 [15].

Para a ponte em estudo é adotada a carga móvel TB-450, que é definido por um

veiculo tipo de 450kN, com seis rodas de 75kN cada, divididas em três eixos

espaçados entre si de 1,50m e área de ocupação do veículo de 18m². O veículo de

dimensões 3,0m x 6,0m é ainda circundado por uma carga de multidão de 5,0kN/m². O

esquema do carregamento de cálculo é resumido na Figura 5.9.

É possível simplificar o trem-tipo longitudinal adotando-se a homogeneização da

carga distribuída ao longo de todo o tabuleiro e descontando-se a resultante desta

carga sob a área de projeção do veículo, conforme permitido pela antiga norma

NB6/1982. Com esta simplificação, a carga da roda reduz-se de 75kN para 60kN.

42

Figura 5.9 – Trem-tipo TB-450 conforme NBR 7188

As cargas apresentadas são estáticas, porém a carga devido aos veículos reais

numa ponte é dinâmica. Segundo a norma brasileira NBR 7188 [15], os efeitos

dinâmicos podem ser considerados majorando-se as cargas estáticas por um

coeficiente de impacto, que é dado por:

(5.1)

onde,

CIV: coeficiente de impacto vertical

CNF: coeficiente do número de faixas

CIA: coeficiente de impacto adicional

O coeficiente CIV é função do vão da estrutura e pode ser determinado de

acordo com as expressões 5.2 e 5.3.

43

CIV = 1,35, para vãos menores do que 10,0m (5.2)

, para vãos de 10,0m à 100,0m (5.3)

Na expressão anterior Liv é o comprimento do vão em metros. Para a estrutura

em estudo, tem-se:

(5.4)

Por sua vez, o coeficiente CNF fica definido conforme expressão a seguir:

CNF = 1,00 – 0,05(n-2) > 0,90 (5.5)

onde n é o número de faixas. Para o caso em estudo CNF = 1,00.

O coeficiente CIA é utilizado para majoração da carga na região de juntas

estruturais e na extremidade da obra. São utilizadas na estrutura lajes de continuidade

e, portanto, CIA = 1,00.

As cargas concentradas e distribuídas majoradas pelo coeficiente de impacto

são dadas por:

Q = 60,0kN x 1,271 = 76,2 kN (5.6)

q = 5,0kN/m² x 1,271 = 6,35kN/m² (5.7)

5.3 MÉTODOS DE DISTRIBUIÇÂO TRANSVERSAL DE CARGAS

Neste item, a distribuição transversal de cargas é determinada por quatro

metodologias diferentes: método de Courbon e os demais computacionais. Os

métodos computacionais, por sua vez, foram desenvolvidos empregando-se três

modelos distintos: de grelha, pórtico 3D-casca e modelo de casca.

44

5.3.1 MÉTODO DE COURBON

O comportamento da superestrutura de pontes em seção aberta, quando

solicitada por um carregamento excêntrico como o da Figura 5.10, depende da rigidez

transversal. Para exemplificar a influência desta rigidez no comportamento a torção,

são descritos os casos extremos de seção com rigidez nula e infinita.

Figura 5.10 – Seção com carregamento excêntrico

Ao se considerar a rigidez transversal como sendo nula, a parte carregada se

desloca para baixo, enquanto a parte não carregada permanece no mesmo lugar,

conforme ilustrado na Figura 5.11. Neste caso, o carregamento gera solicitações

apenas na parte carregada.

Figura 5.11 – Comportamento da seção para rigidez transversal nula

O extremo oposto do caso descrito se dá ao considerar-se a rigidez transversal

como sendo infinita. Para este caso, tem-se que a seção gira como um todo,

transmitindo esforços em toda superestrutura, conforme ilustrado na Figura 5.12.

Figura 5.12 – Comportamento da seção para rigidez transversal infinita

45

O método de Courbon tem como premissa a existência de transversina

suficientemente rígida para garantir que a seção transversal mantenha sua forma

quando solicitada à torção, fazendo-se com que o comportamento se aproxime mais

do caso de seção com rigidez transversal infinita.

Devido ao fato de as longarinas apresentarem mesma rigidez à flexão e a seção

girar sem alterar sua forma, é possível admitir o comportamento de corpo rígido sobre

apoios elásticos de rigidez k, conforme apresentado na Figura 5.13 [5].

Figura 5.13 – Modelo de corpo rígido sobre apoios elásticos

Neste modelo, admite-se que a parcela de carga absorvida por cada viga

corresponda à reação de apoio devida a uma carga unitária, tornando-se imediata a

determinação da distribuição transversal de carga.

Para a determinação da distribuição transversal, considera-se uma carga unitária

numa posição genérica x. A ação da carga nesta posição pode ser considerada como

a superposição de uma carga centrada e um momento, conforme Figura 5.14 [5].

Figura 5.14 – Efeito por superposição de cargas

46

A carga unitária centrada faz com que o corpo rígido sofra uma translação ,

conforme mostrado na Figura 5.15. Esta translação é função da rigidez total do

conjunto de n molas que representam as longarinas e é dada pela Eq. (5.8).

Figura 5.15 – Translação de corpo rígido

(5.8)

A translação gera esforços sobre os apoios e a reação em cada mola é dada

por:

(5.9)

Por sua vez, a ação do momento gera rotação de corpo rígido, conforme mostra

a Figura 5.16, e o deslocamento causado é determinado pela Eq. (5.10) e a reação em

cada mola é definida na Eq. (5.11).

Figura 5.16 – Rotação de corpo rígido

47

(5.10)

(5.11)

A partir da condição de equilíbrio entre a ação do momento, dado por ,

e as reações nas molas, fica definido pela equação 5.12.

(5.12)

Deste modo, a reação numa determinada viga i, para uma carga unitária na

posição , é dada pela soma das Eq. (5.9) e (5.12) e é apresentada na Eq. (5.13).

(5.13)

onde,

n: número de vigas principais;

: posição da carga unitária em relação ao centro elástico;

: distância de cada viga ao centro elástico

Devido à simetria do problema, a distribuição de cargas das vigas extremas é

simétrica e o mesmo ocorre para as vigas internas.

5.3.1.1 VIGAS EXTREMAS

A distribuição de cargas para as vigas extremas é dada pelas Eq. (5.14) a (5.18):

ΣXi = 3,75² + 1,25² + 1,25² + 3,75² = 31,25m² (5.14)

(5.15)

(5.16)

48

(5.17)

(5.18)

O resultado é apresentado de forma gráfica na Figura 5.17. Nesta figura, a carga

móvel é disposta na posição mais desfavorável, isto é, no local que irá gerar maiores

reações na viga extrema. O valor de 40cm de afastamento da lateral do veículo-tipo

em relação à extremidade da seção transversal se deve à largura do guarda-rodas.

Figura 5.17 – Distribuição transversal de carga por Courbon na viga extrema

(distâncias em cm)

Na Figura 5.15 é identificada a posição dos apoios e a posição em que deve ser

posicionado o veículo-tipo a fim de se obter o pior caso de carregamento. Os valores

positivos são representados abaixo da linha da laje enquanto que os valores negativos

são representados acima.

O trem-tipo longitudinal é composto de uma carga distribuída e três cargas

concentradas espaçadas entre si de 1,50m, representando cada uma um eixo (par de

rodas). Para a determinação do trem-tipo longitudinal é preciso primeiramente definir,

na direção transversal, o veiculo-tipo com maior carga concentrada e,

consequentemente, maior momento fletor na viga. Em seguida, faz-se a, multiplicação

49

da carga de cada roda pelo valor da ordenada do gráfico na posição onde a roda se

encontra. A carga distribuída é determinada multiplicando-se o valor da carga de

multidão pela área positiva do gráfico. Na Figura 5.16 é apresentado o trem-tipo

longitudinal obtido e nas Figuras 5.18 e 5.20 as envoltórias de momento fletor e

esforço cortante, respectivamente.

q' = q A = 6,35 x 2,88 = 18,31 kN/m (5.19)

Q’ Q ( 0,772 + 0,532 ) = 99,36 kN (5.20)

Figura 5.18 – Trem-tipo longitudinal para viga extrema por Courbon

Figura 5.19 – Envoltória de momento para viga extrema por Courbon (kNm)

Figura 5.20 – Envoltória de cortante para viga extrema por Courbon (kN)

Na Tabela 5.1 é apresentado o resumo dos momentos fletores e esforços

cortantes nas seções de estudo.

50

Tabela 5.1 – Resumo dos esforços para viga extrema por Courbon

5.3.1.2 VIGAS INTERNAS

A distribuição de cargas para as vigas internas é apresentada abaixo:

ΣXi = 3,75² + 1,25² + 1,25² + 3,75² = 31,25m² (5.21)

(5.22)

(5.23)

(5.24)

(5.25)

A distribuição transversal de carga é apresentada na Figura 5.21.

Figura 5.21 – Distribuição transversal de carga por Courbon na viga interna (cotas

horizontais em cm)

51

Na Figura 5.22 é apresentado o trem-tipo longitudinal obtido e nas Figuras 5.23

e 5.24 as envoltórias de momento fletor e esforço cortante, respectivamente.

q' = q A = 6,35 x 2,43 = 15,40 kN/m (5.26)

Q’ Q ( 0,424 + 0,344 ) = 58,52 kN (5.27)

Figura 5.22 – Trem-tipo longitudinal para viga interna por Courbon

Figura 5.23 – Envoltória de momento para viga interna por Courbon (kNm)

Figura 5.24 – Envoltória de cortante para viga interna por Courbon (kN)



52

Tabela 5.2 – Resumo dos esforços para viga interna por Courbon

5.3.2 MODELO DE GRELHA

O modelo de barra mais simples para representação completa do tabuleiro

consiste no uso de elementos de grelha. Neste modelo, a superestrutura é

representada toda em um único plano utilizando-se apenas elementos de barras com

as propriedades das longarinas, transversinas e laje.

As longarinas são representadas por barras de seção T; as transversinas de

apoio por barras de seção L ligadas às longarinas; a laje é representada por barras de

rigidez à flexão equivalente e igualmente espaçadas entre si de 1,01m. Na Figura 5.25

é apresentado o modelo elaborado.

53

Figura 5.25 – Modelo em grelha - SAP 2000

Para análise da distribuição transversal de carga foi utilizado o método que

consiste na aplicação de uma carga distribuída unitária ao longo dos balanços e das

longarinas. Nas Figuras de 5.26 a 5.28 são apresentados o esquema de carregamento

do modelo para o balanço ao lado da longarina 01, para a longarina 01 e para a

longarina 02. Para os demais casos o carregamento é feito de forma semelhante.

Longarina 04

Longarina 03

Longarina 02

Longarina 01

54

Figura 5.26 – Carregamento unitário distribuído ao longo do balanço

Figura 5.27 – Carregamento unitário distribuído ao longo da longarina 01

55

Figura 5.28 – Carregamento unitário distribuído ao longo da longarina 02

Na Tabela 5.3 é apresentada a distribuição transversal de momentos fletores,

para cada viga, em valores percentuais calculados na seção do meio do vão.

Tabela 5.3 – Distribuição transversal de momento fletor pelo modelo de grelha

56

O somatório do momento fletor no meio do vão para cada caso de carregamento

é muito próximo do valor calculado analiticamente para o caso de uma viga biapoiada

com carga distribuída, validando assim o modelo. Para uma viga biapoiada com um

carregamento distribuído de 1,0kN/m e vão de 28,2m, igual ao da ponte, é dado por:

(5.28)

Com a distribuição de cargas, é possível determinar o número de cabos de

protensão necessários para as vigas externas e internas.


Na Figura 5.29 é apresentado o diagrama da distribuição transversal de carga

obtido pelo método da grelha para as vigas extremas.

Figura 5.29 – Distribuição transversal de carga pelo modelo de grelha na viga extrema

(distâncias em cm)



q' = q A = 6,35 x 2,59 = 16,44 kN/m (5.29)

Q’ Q ( 0,896 + 0,477 ) = 104,62 kN (5.30)

57

Figura 5.30 – Trem-tipo longitudinal para viga externa pelo modelo de grelha

Figura 5.31 – Envoltória de momento para viga externa pelo modelo de grelha (kNm)

Figura 5.32 – Envoltória de cortante para viga externa pelo modelo de grelha (kN)



Tabela 5.4 – Resumo dos esforços para viga externa pelo modelo de grelha

58


Na Figura 5.33 é apresentado o diagrama da distribuição transversal de carga

obtido pelo modelo de grelha para as vigas internas.

Figura 5.33 – Distribuição transversal de carga pelo modelo de grelha na viga interna

(distância em cm)



q' = q A = 6,35 x 2,48 = 15,73 kN/m (5.31)

Q’ Q ( 0,23 + 0,39 ) = 47,24 kN (5.32)

Figura 5.34 – Trem-tipo longitudinal para viga interna pelo modelo de grelha

59

Figura 5.35 – Envoltória de momento para viga interna pelo modelo de grelha (kNm)

Figura 5.36 – Envoltória de cortante para viga interna pelo modelo de grelha (kNm)



Tabela 5.5 – Resumo dos esforços para viga externa pelo modelo de grelha

5.3.3 MODELO PÓRTICO 3D -CASCA

Este modelo é uma evolução do modelo de grelha, pois representa a laje como

elementos de casca e com a excentricidade real entre o eixo das vigas e da laje. As

vigas e transversinas são representadas por elementos de barras de pórtico plano.

São utilizados para a modelagem elementos de casca dimensões de 25cm x 25cm

para representação da laje e, para realizar a ligação da laje com as longarinas e

transversinas, são utilizados elementos de barras com rigidez infinita sem

contabilização de massa. Na Figura 5.37 é representado o modelo de estudo.

60

Figura 5.37 – Modelo Pórtico 3D-casca - SAP 2000

O carregamento é aplicado da mesma forma que no modelo de grelha, com

cargas nos nós de 0,25kN (0,125 kN nos nós extremos) e aplicado no plano da laje.

Com a laje modelada excentricamente ao nível das vigas, esta trabalha como

mesa de compressão dando origem a esforços de membrana na direção longitudinal

do tabuleiro, isto é, aparecem esforços normais distribuídos ao longo da largura da

laje. Nas longarinas, surgem esforços normais e momentos fletores [17], [18].

O momento total na viga é determinado como mostrado na Eq. (5.33).

(5.33)

onde

Mf : momento fletor na viga devido ao carregamento;

P: força normal na viga

Longarina 02

Longarina 01

Longarina 04

Longarina 03

61

e: excentricidade entre viga e laje

Neste cálculo é pressuposto que a força normal na longarina seja igual a força

normal existente na laje de compressão.

Na Tabela 5.6 é apresentada a distribuição transversal de momentos para cada

viga, em valores percentuais calculados no meio do vão.

Tabela 5.6 – Distribuição transversal de momento fletor pelo modelo 3D

Pode-se observar que o momento total é muito próximo do da viga biapoiada

com carga distribuída, devendo-se a diferença à hipótese de que a força normal na

longarina é aproximadamente igual a força na laje e também a desconsideração dos

momentos locais na direção longitudinal da laje [17,18].

62


Na Figura 5.38 é apresentado o diagrama da distribuição transversal de

momentos obtido pelo modelo 3D para as vigas extremas.

Figura 5.38 – Distribuição transversal de momentos pelo modelo 3D na viga extrema

(distâncias em cm)



q' = q A = 6,35 x 2,48 = 15,75 kN/m (5.34)

Q’ Q ( 0,775 + 0,445 ) = 92,96 kN (5.35)

Figura 5.39 – Trem-tipo longitudinal para viga extrema pelo modelo 3D

Figura 5.40 – Envoltória de momento para viga extrema pelo modelo 3D (kNm)

63

Figura 5.41 – Envoltória de cortante para viga extrema pelo modelo 3D (kN)



Tabela 5.7 – Resumo dos esforços para viga extrema pelo modelo 3D



momentos obtido pelo modelo 3D para as vigas internas.

Figura 5.42 – Distribuição transversal de momentos pelo modelo 3D na viga interna

(distâncias em cm)

64



q' = q A = 6,35 x 2,42 = 15,35 kN/m (5.36)

Q’ Q ( 0,233 + 0,382 ) = 46,48 kN (5.37)

Figura 5.43 – Trem-tipo longitudinal para viga interna pelo modelo 3D

Figura 5.44 – Envoltória de momento para viga interna pelo modelo 3D (kNm)

Figura 5.45 – Envoltória de cortante para viga interna pelo modelo 3D (kN)



65

Tabela 5.8 – Resumo dos esforços para viga externa pelo modelo 3D

5.3.4 MODELO DE CASCA

Neste modelo as longarinas, transversinas e laje são modeladas com elementos

de casca de 10cm x 10cm e a ligação entre a laje e a viga foi modelada utilizando-se

elementos de barra rígidos, conforme mostrado na Figura 5.46.

Este modelo apresenta a vantagem, em relação ao modelo 3D, de permitir o

posicionamento dos apoios no talão inferior da viga, em sua posição real. Além disso,

este modelo torna desnecessário o cálculo dos momentos decorrentes da

excentricidade dos eixos médios de viga, laje e transversina, uma vez que se trata de

um modelo tridimensional.

66

Figura 5.46 – Modelo de casca - SAP 2000

O carregamento é aplicado da mesma forma que no modelo de grelha, com

cargas nos nós de 0,10kN (0,05 kN nos nós extremos) e aplicado no plano da laje.

Para análise do modelo de casca foi utilizado o recurso de integração de tensão

de seções do SAP2000 que fornece como resultado o momento na seção

especificada.

Na Tabela 5.9 é apresentada a distribuição transversal de cargas para cada viga

em valores percentuais calculados no meio do vão.

Longarina 02

Longarina 01

Longarina 04

Longarina 03

67

Tabela 5.9 – Distribuição transversal de momento fletor pelo modelo de casca



momentos obtido pelo modelo de casca para as vigas extremas.

68

Figura 5.47 – Distribuição transversal de momentos pelo modelo de casca na viga

extrema (distâncias em cm)



q' = q A = 6,35 x 2,46 = 15,61 kN/m (5.38)

Q’ Q ( 0,58 + 0,41 ) = 75,29 kN (5.39)

Figura 5.48 – Trem-tipo longitudinal para viga extrema pelo modelo de casca

Figura 5.49 – Envoltória de momento para viga extrema pelo modelo de casca (kNm)

69

Figura 5.50 – Envoltória de cortante para viga extrema pelo modelo de casca (kN)



Tabela 5.10 – Resumo dos esforços para viga extrema pelo modelo de casca



momentos obtido pelo modelo de casca para as vigas internas.

Figura 5.51 – Distribuição transversal pelo modelo de casca na viga interna (distâncias

em cm)

70



q' = q A = 6,35 x 2,39 = 15,19 kN/m (5.40)

Q’ Q ( 0,28 + 0,33 ) = 46,33 kN (5.41)

Figura 5.52 – Trem-tipo longitudinal para viga interna pelo modelo de casca

Figura 5.53 – Envoltória de momento para viga interna pelo modelo de casca (kNm)

Figura 5.54 – Envoltória de cortante para viga interna pelo modelo de casca (kN)



71

Tabela 5.11 – Resumo dos esforços para viga interna pelo modelo de casca

5.4 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS

Para fins de ilustração, nas Figuras 5.55 e 5.56 são apresentadas a

sobreposição das curvas de distribuição transversal obtidas pelos diferentes métodos,

para a longarina extrema e interna.

A sobreposição das curvas mostra graficamente como a distribuição varia entre

os modelos, entretanto, para que se possa quantificar como um modelo varia em

relação a outro, é preciso comparar os esforços gerados no meio do vão por cada um

deles. Na Tabela 5.12 é apresentado o veículo-tipo obtido por cada modelo e o valor

do momento no meio do vão. A comparação é feita dividindo-se o valor do momento

no meio do vão pelo valor do momento no meio do vão obtido por Courbon.

72

Figura 5.55 – Distribuição transversal de carga para viga extrema

Figura 5.56 – Distribuição transversal de carga para viga interna

73

Tabela 5.12 – Resumo dos esforços no meio do vão para os diferentes modelos

Conforme esperado, o método de Courbon foi o que apresentou maiores

solicitações, estando assim a favor da segurança. O método de casca, que é o que

mais se aproxima da realidade, foi o que apresentou menores esforços, 19,7% a

menos que o de Courbon, para as vigas extremas, e 9,7% para as vigas

intermediárias.

Apesar de não haver transversina de meio de vão na ponte em estudo, o método

de Courbon é justificado por estar sempre a favor da segurança, apresentando os

maiores esforços cortante e de momento fletor, quando comparado com os obtidos por

métodos computacionais, que são representações mais próximas da realidade.

Para pontes com transversinas intermediárias, o método de Courbon se

aproxima um pouco mais da realidade, e é esperado que neste caso ele apresente

valores mais próximos do de casca, porém esta comparação fica para trabalhos

futuros.

74

6. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DO NÚMERO DE CORDOALHAS

A partir dos esforços cortantes e dos momentos fletores determinados para os

diversos casos de carregamento, torna-se possível realizar o pré-dimensionamento do

número de cordoalhas de protensão necessárias na seção de maior solicitação.

6.1 MODELO DE CÁLCULO

De acordo com a NBR 8681, para a combinação normal de ações. Os esforços

de dimensionamento são obtidos pela expressão:

(6.1)

Reescrevendo a Eq. (6.1), tem-se:

MS6 = (MPP + MLT + MSC) + MCM (6.2)

VS6 = (VPP + VLT + VSC) + VCM (6.3)

onde,

MPP é o momento devido ao carregamento de peso próprio da longarina pré-

moldada;

MLT é o momento devido ao carregamento de peso próprio da transversina e da

laje;

MSC é o momento devido ao carregamento de sobrecarga permanente;

MCM é o momento devido ao carregamento de carga móvel;

VPP é o cortante devido ao carregamento de peso próprio da longarina pré-

moldada;

VLT é o cortante devido ao carregamento de peso próprio da transversina e da

laje;

75

VSC: é o cortante devido ao carregamento de sobrecarga permanente;

VCM é o cortante devido ao carregamento de carga móvel.

Nas Eq. (6.1), (6.2) e (6.3) e são coeficientes de ponderação e seus

valores são definidos na NBR 8681 [26], sendo apresentados nas Eq. (6.4) e (6.5).

= 1,35 (6.4)

= 1,50 (6.5)

A ação do momento fletor produz compressão nas fibras superiores à linha

neutra da seção, e tração nas fibras inferiores. A decomposição do momento em

forças de tração e compressão é obtida dividindo-se o momento pelo braço de

alavanca, conforme expressão (6.6).

(6.6)

onde “ ” é o raço de alavanca, calculado considerando-se a viga de seção T,

conforme descrito no capítulo 3, e é a força de tração a ser resistida pela armadura.

Além dos esforços provenientes das ações externas, também deve-se

considerar a parcela de força de tração decorrente do equilíbrio interno da seção. Isto

é exemplificado na Figura 6.1 apresentada em [27].

De acordo com o método das bielas, a força Rcθ de compressão gera uma

componente horizontal de tração Rc que se soma a força horizontal resultante do

momento interno resistente (Rst = M/z) na biela.

76

Figura 6.1 – Força proveniente da biela de compressão

(6.7)

Deste modo, a força de tração total a ser resistida pela armadura é dada por:

(6.8)

A área de armadura é obtida dividindo-se a força de tração de projeto pela

tensão de escoamento fpyd da armadura de protensão, conforme Eq. (6.9).

(6.9)

Empregando-se concreto com resistência a compressão fck de 35MPa e

cordoalhas de 7 fios CP 190 RB 15,20, tem-se:

(6.10)

O número mínimo “n” de cordoalhas necessárias é definido pela razão entre a

área de armadura necessária dividida pela área de uma cordoalha:

(6.11)

77

6.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO

As Tabelas 6.1 e 6.2 mostram os esforços solicitantes combinados no ELU para

a seção do meio do vão da viga extrema e interna.

Tabela 6.1 – Momentos fletores de dimensionamento

Tabela 6.2 – Esforços cortantes de dimensionamento

No pré-dimensionamento é considerado que o braço de alavanca z é dado por:

z = 0,9 d = 1,62m (6.12)

A Tabela 6.3 apresenta o número de cordoalhas obtidas no pré-

dimensionamento das vigas extremas e internas.

78

Tabela 6.3 – Número de cordoalhas necessário

6.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Na Tabela 6.4 é apresentado o resumo dos resultados do pré-dimensionamento

para os diversos casos de estudo.

Conforme esperado, o método de Courbon mostrou-se o mais conservador e o

modelo de casca o mais econômico. Observa-se, entretanto, que a diferença

percentual entre as armaduras obtidas nos diversos modelos foi da ordem de 9% para

as vigas extremas e de 4% para as vigas internas. Isto mostra que, embora os

esforços solicitantes obtidos a partir dos diferentes métodos de distribuição transversal

levem à diferenças entre respostas de até 20%, no dimensionamento isto se reduz,

não justificando, portanto a elaboração de modelo computacional complexo para o

dimensionamento deste tipo de estrutura.

Tabela 6.4 – Resumo dos resultados do pré-dimensionamento

79

Apesar das vigas internas precisarem de uma menor quantidade de armaduras,

optou-se por empregar o mesmo número de cordoalhas evitando-se, assim, trocas de

vigas em campo.

Nos capítulos que seguem, o dimensionamento é realizado considerando-se os

esforços do modelo de casca e a quantidade de 32 cordoalhas, igualmente divididas

em quatro cabos de oito cordoalhas. Na Tabela 6.5 são apresentadas as tensões

obtidas pelo modelo de casca a serem usadas nos capítulos 7 e 8.

Tabela 6.5 – Resumo das tensões para o modelo de casca

80

7. PERDAS DE PROTENSÃO

Neste capitulo apresenta-se o esquema longitudinal e em seção transversal de

cablagem da viga protendida, assim como as propriedades dos materiais utilizados.

Com estas definições são determinadas as perdas de protensão imediatas e diferidas.

7.1 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

7.1.1 CONCRETO ESTRUTURAL DAS VIGAS PROTENDIDAS

É adotado para o projeto das vigas concreto de resistência a compressão de

35MPa, conforme indicado na expressão abaixo.

fck = 35MPa (7.1)

O módulo de elasticidade do concreto depende do valor da resistência à

compressão e do tipo de agregado. O módulo de elasticidade inicial (Eci) e secante

(Ecs) do concreto são definidos nas Eq. (7.2) e (7.3):

Eci = 5600 fck1/2 = 5600 351/2 = 33.130 MPa (7.2)

Ecs =

Eci = 29.403 MPa (7.3)

onde:

: parâmetro em função da natureza do agregado. ( = 1,00 para Granito)

O valor do coeficiente de Poisson é especificado pela NBR6118, no seu item

8.2.9, e é dado por = 0,20.

Para o coeficiente de dilatação térmica do concreto, a norma NBR6118 no seu

item 8.2.3, especifica o valor de 10-5/oC, enquanto que para os aços de armadura

ativa, o valor é especificado no item 8.4.3, sendo de valor igual ao do concreto para

temperaturas entre -20°C e 100°.

81

É utilizado para minoração das resistências no ELU o coeficiente c = 1,4,

conforme especificado pela norma, sendo a resistência de projeto definida na Eq.

(7.4).

fcd = fck / c = (35/1,4) = 25 MPa (7.4)

A resistência à tração do concreto é determinada pelas Eq. (7.5), (7.6), (7.7) e

(7.8) a seguir:

fctm = 0,30 fck2/3 = 0,30 x 352/3 = 3,21 MPa (7.5)

fctk,inf = 0,70 fctm = 0,70 x 2,90 = 2,25 MPa (7.6)

fctk,sup = 1,30 fctm = 1,30 x 2,90 = 4,17 MPa (7.7)

fctd = fctk,inf / c = 2,25/1,4 = 1,61 MPa (7.8)

onde:

fctm: resistência média a tração do concreto;

fctk,inf : resistência característica do concreto a tração direta, inferior;

fctk,sup: resistência característica do concreto a tração direta, superior;

fctd: resistência de projeto do concreto a tração.

7.1.2 AÇO DE PROTENSÃO

Para o aço de protensão, são utilizadas cordoalhas CP 190 RB Φ15,2mm de 7

fios da Arcelor Mittal, com características conforme abaixo:

fptk = 1.900 MPa (7.9)

MPa (7.10)

82

De acordo com o item 9.6.1.2.1 da NBR6118, para os aços de relaxação baixa, a

tensão da armadura de protensão na saída do aparelho de tração deve ser o menor

dos valores estabelecidos na Eq. (7.11).

(7.11)

A norma NBR6118 indica para o módulo de elasticidade do aço o valor de

200GPa, entretanto é adotado para o desenvolvimento dos cálculos o valor fornecido

pelo catálogo da Arcelor Mittal [16].

Ep = 202 GPa (7.12)

7.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PRÉ-DIMENSIONAMENTO E CABLAGEM

No pré-dimensionamento do número de cabos apresentado no capitulo 6

demonstrou-se que, independente do método de análise adotado para a distribuição

transversal de cargas, a quantidade de cordoalhas pode ser tomada constante.

A viga extrema requer maior quantidade de cordoalhas, 32 no total, enquanto

que para as vigas internas 25 cordoalhas são suficientes. Como a ponte apresenta

cinco vãos idênticos, tem-se assim 10 vigas com 32 cordoalhas e 10 vigas com 25

cordoalhas. Como a quantidade de vigas é pequena, todas são concebidas com 32

cordoalhas divididas em quatro cabos.

Fixado o número de cabos e cordoalhas, deve-se definir o esquema de

cablagem a ser utilizado. Conforme apresentado em [19], os cabos devem apresentar

trajetória semelhante ao diagrama de momentos fletores preponderante. Desta forma,

tem-se as trajetórias parabólicas, características das vigas biapoiadas.

83

Considera-se a protensão aplicada em duas etapas. Na primeira etapa protende-

se os cabos 1, 2 e 3 após 7 dias da concretagem da viga. Na segunda etapa protende-

se o cabo 4, após a concretagem das transversinas e laje, estimado em 35 dias após a

concretagem das longarinas.

Nas Figuras 7.1-a e 7.1-b é apresentada a posição dos cabos longitudinalmente

na viga e na Figura 7.2 o esquema transversal dos cabos. Nas Tabelas de 7.1 à 7.3

são indicados os ângulos de cada cabo com a horizontal em cada seção e a posição

do cabo em relação ao CG da viga.

Figura 7.1-a – Indicação das seções de estudo e posição longitudinal dos cabos – viga

completa

Figura 7.1-b – Indicação das seções de estudo e posição longitudinal dos cabos

Figura 7.2 – Cabos na seção no meio do vão (dimensões em cm)

84

Tabela 7.1 – Ângulo em graus dos cabos em relação a horizontal

Tabela 7.2 – Ângulo em radianos dos cabos em relação a horizontal

Tabela 7.3 – Posição em relação ao centróide da viga

7.3 PERDAS DE PROTENSÃO

As perdas de protensão no sistema de pós-tensão são de dois tipos:

Imediatas

Progressivas

- atrito cabo/bainha

- encunhamento das cordoalhas

- deformação elástica do concreto

- retração do concreto

- fluência do concreto

- relaxação do aço de protensão

85

7.3.1 PERDAS IMEDIATAS

7.3.1.1 PERDAS POR ATRITO

Este tipo de perda ocorre nos cabos pós-tracionados, isto é, no sistema de pós-

tensão, onde os cabos são tracionados após a concretagem e se deve ao atrito entre

os cabos e a bainha.

A perda por atrito entre cabo e bainha é dada pela equação 7.13:

(7.13)

(7.14)

onde:

Área de uma cordoalha

Número de cordoalhas por cabo

: Tensão inicial de protensão

: Força inicial de protensão

: Força na seção Si após perda de protensão

: Variação angular em radianos entre o ponto inicial e o ponto da seção Si

µ: Coeficiente de atrito entre cabo e bainha

k: Perda parasita por metro linear de cabo

Para o caso de atrito entre fios lisos e cordoalhas e bainha, a NBR 6118 fornece:

µ = 0,20 rad-1 (7.15)

k = 0,01 (7.16)

86

O resultado do cálculo das perdas por atrito para os cabos de primeira e

segunda etapa são apresentados nas Tabelas de 7.4 à 7.7.

Tabela 7.4 – Perdas de protensão por atrito para os cabos de primeira etapa

87

Tabela 7.5 – Tensões após perdas por atrito para os cabos de primeira etapa

Figura 7.3 – Tensões após perdas por atrito nos cabos de primeira etapa.

88

Tabela 7.6 – Perdas de protensão por atrito para os cabos de segunda etapa

89

Tabela 7.7 – Tensões após perdas por atrito para o cabo de segunda etapa

Figura 7.4 – Distribuição das tensões após perdas por atrito no cabo de segunda

etapa.

7.3.1.2 PERDAS POR ACOMODAÇÂO DA ANCORAGEM

Esta perda se deve ao recuo das cordoalhas que ocorre no momento da

ancoragem, gerando uma queda de tensão [20]. O recuo depende do dispositivo de

ancoragem definido pelo fabricante, sendo dado por = 6 mm.

A perda por acomodação da ancoragem é expressa por:

(7.17)

(7.18)

Neste tipo de perda, o diagrama de tensões é espelhado em relação ao ponto

onde o recuo do cabo se anula e geralmente este ponto se situa entre duas seções de

cálculo [21].

90

Fazendo uso dos resultados apresentados na Tabela 6.5 e no gráfico da Figura

6.3 para os cabos de primeira etapa, é possível determinar o ponto onde o recuo é

nulo como sendo a distância de 3,88 m a partir da seção 1. A correção das tensões é

então realizada na região compreendida entre a seção 1 e o ponto distante de 3,88m

dela.

Na Tabela 7.8 é apresentado as tensões após perdas por acomodação da

ancoragem para os cabos de primeira etapa e na Figura 7.5 é apresentado o diagrama

da distribuição de tensões após as perdas.

Para o cabo de segunda etapa os resultados são resumidos na Figura 7.6 e na

Tabela 7.9.

Tabela 7.8 – Tensões considerando atrito e ancoragem - cabos de primeira etapa

Figura 7.5 – Tensões considerando atrito e ancoragem - cabos de primeira etapa

3,88m

1,06m

91

Tabela 7.9 – Tensões considerando atrito e ancoragem - cabos de segunda etapa

Figura 7.6 – Tensões considerando atrito e ancoragem - cabos de segunda etapa

7.3.1.3 PERDAS POR PROTENSÃO SUCESSIVA

Conforme a NBR 6118 prescreve, deve-se considerar no caso de pós-tensão,

que a deformação imediata no concreto, que ocorre devido a protensão sucessiva,

ocasiona afrouxamento dos cabos que foram anteriormente protendidos [21]. A perda

média de protensão sucessiva por cabo pode ser determinada pela expressão:

(7.19)

com:

(7.20)

(7.21)

92

onde:

n: número de cabos protendidos simultaneamente;

: relação entre os módulos de elasticidade do aço de protensão (Ep) e do concreto

(Eci) na idade de protensão dos cabos;

: tensão atuante no concreto ao nível do baricentro da armadura de protensão,

devido a protensão simultânea dos n cabos;

: tensão no concreto adjacente ao cabo devido as cargas permanentes mobilizadas

pela protensão;

ep: distância entre centro do cabo médio e linha neutra.

A protensão de primeira etapa ocorre 7 dias após a concretagem enquanto que

a de segunda etapa ocorre após 35 dias. Os resultados para as perdas de protensão

sucessiva encontram-se resumidos nas Tabelas de 7.10 a 7.11 e na Figura 7.6, para a

protensão de primeira etapa, e nas Tabelas 7.12 à 7.13 e Figura 7.7 para a protensão

de segunda etapa.

Tabela 7.10 – Características do concreto na idade de 7 dias

93

Tabela 7.11 – Perdas de protensão sucessiva para os cabos de primeira etapa

Figura 7.6 – Tensões após perdas imediatas nos cabos de primeira etapa.

Tabela 7.10 – Características do concreto na idade de 35 dias

94

Tabela 7.13 – Perdas de protensão sucessiva para os cabos de segunda etapa

Figura 7.7 – Tensões após perdas imediatas nos cabos de segunda etapa.

7.3.2 PERDAS PROGRESSIVAS

As perdas progressivas são do tipo lento e devem ser analisadas como uma

interação da perda devido a retração do concreto, a fluência e a relaxação do aço [14].

O procedimento de cálculo é indicado na NBR 6118 e é admitido que exista aderência

entre a armadura e o concreto, devendo o elemento permanecer no estádio I, isto é,

as tensões de tração no concreto são inferiores as de ruptura.

Quando a concretagem da viga e a execução da protensão são executadas em

fases próximas e o afastamento entre os cabos é pequeno quando comparado com a

altura da seção, a NBR6118 especifica que a perda de protensão progressiva é

determinada pela seguinte expressão [14]:

(7.21)

95

onde:

: corresponde a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante devido a

protensão e pela carga permanente mobilizada no instante t0 (positiva quando de

compressão);

: tensão na armadura ativa no instante t0 devido a carga permanente

mobilizada e a protensão (positiva quando de tração);

: coeficiente de fluência do concreto no instante t devido a protensão e a

carga permanente aplicados em t0;

: coeficiente de fluência do aço;

: retração no instante t;

: taxa geométrica da armadura de protensão.

7.3.2.1 FLUÊNCIA DO CONCRETO

A fluência do concreto ocorre ao longo do tempo e é devida aos esforços de

protensão que geram encurtamento do concreto na região da armadura, causando

deformações elásticas e plásticas nas regiões solicitadas [22].

O procedimento de cálculo é descrito no item A.2.2 da NBR 6118 e se divide

entre as parcelas devido a fluência irreversível rápida, fluência irreversível lenta e a

fluência reversível. De acordo com [14], o coeficiente de fluência é dado por:

(7.22)

onde:

: parcela irreversível da fluência rápida;

(7.23)

96

: valor final da fluência irreversível, de valor fixo igual a 0,40;

: fator relativo a deformação lenta reversível no intervalo de tempo (t,t0)

decorrido após o carregamento;

(7.24)

: valor final do coeficiente de deformação lenta irreversível;

(para concretos entre C20 e C45) (7.25)

: coeficiente que depende da umidade relativa U do ambiente. Para

abatimento no intervalo de 5cm a 9cm e umidade abaixo de 90%, pode ser calculado

por:

(7.26)

U: umidade relativa do ambiente tomada como 70%;

: coeficiente que depende da altura fictícia hfic (em cm) da peça estrutural;

(7.27)

(7.28)

: área da seção transversal da peça de concreto;

: perímetro externo em contato com o ar;

: coeficiente dependente da umidade relativa U do meio;

(7.29)

: coeficiente relativo à deformação lenta irreversível, sendo função da idade

do concreto e da espessura fictícia e dado por:

97

(7.30)

h: é a altura fictícia em metros.

7.3.2.2 RETRAÇÃO DO CONCRETO

Uma das características apresentadas pelo concreto é a de poder se deformar,

reduzindo o volume, devido a evaporação da água não consumida na reação de

hidratação do cimento [23]. O cálculo da influência da retração é apresentado no item

A.2.3 da NBR 6118, sendo a retração entre os instantes t e t0 dada por:

(7.31)

onde:

: é o valor final da retração dado por:

(7.32)

com:

: coeficiente que depende da umidade relativa U do meio e da consistência do

concreto;

(7.33)

: coeficiente dependente da espessura fictícia da peça, dado por:

(7.34)

98

: coeficiente relativo a retração, definido por:

(7.35)

com:

Sendo h a espessura fictícia em metros.

7.3.2.3 RELAXAÇÃO DO AÇO

A relaxação do aço de alta resistência é função do tipo de armadura, isto é, se o

aço é de relaxação baixa (RB) ou normal (RN), e da temperatura, podendo ser

desprezada quando as tensões forem inferiores à 0,5fptk [23]. O coeficiente de fluência

do aço é determinado por [14]:

(7.36)

Onde:

: é a intensidade de relaxação do aço, dado por:

(7.37)

sendo o fator correspondente a relaxação de fios e cordoalhas após 1000

horas e a temperatura de 20°C e seu valor é pode ser obtido pela Tabela 7.14 retirada

da NBR 6118 e aqui reproduzida.

99

Tabela 7.14 – Valores de em porcentagem

As demais incógnitas necessárias para o calculo das perdas progressivas são

funções das propriedades já descritas e são dadas por:

(7.38)

(7.39)

(7.40)

(7.41)

Estando todos parâmetros definidos é possível determinar a perda de protensão

lenta e os resultados são apresentados nas Tabelas 7.15, 7.16 e 7.17 e Figura 7.8

para os cabos de primeira etapa e nas Tabelas 7.18, 7.19 e 7.20 e Figura 7.9 para os

cabos de segunda etapa.

Tabela 7.15 – Efeitos de fluência e retração para os cabos de primeira etapa

100

Tabela 7.16 – Efeitos de relaxação do aço para os cabos de primeira etapa

Tabela 7.17 – Tensões nos cabos de primeira etapa após perdas progressivas

Figura 7.8 – Tensões nos cabos de primeira etapa após perdas progressivas

Tabela 7.18 – Efeitos de a fluência e retração para os cabos de segunda etapa

101

Tabela 7.19 – Efeitos de relaxação do aço para os cabos de segunda etapa

Tabela 7.20 – Tensões nos cabos de segunda etapa após perdas progressivas

Figura 7.9 – Tensões nos cabos de segunda etapa após perdas progressivas

102

8. VERIFICAÇÂO DOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS E DE SERVIÇO

Realizado o dimensionamento, é necessário que se verifique a adequação da

estrutura quanto ao estado limite de serviço (ELS) e ao estado limite último (ELU).

Estas verificações consistem na comparação das tensões despertadas devido à ação

do carregamento e da protensão com valores limites estabelecidos pela norma. Com

este fim, apresenta-se neste capitulo as tensões nas seções de estudo e o

comparativo entre estas e os valores limites.

8.1 VERIFICAÇÂO DO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO

Ao contrário dos aços das armaduras passivas, os aços de protensão são

sujeitos a corrosão sob tensão e, desta forma, os limites permitidos são mais restritos.

Este tipo de corrosão ocorre quando há combinação de tensões de tração e a ação de

um determinado meio agressivo, não ocorrendo quando o material está sujeito a

apenas uma destas condições [24], e é característica dos materiais com tensões de

escoamento acima de 690MPa [25], que é o caso dos aços de protensão.

Assim, devido a este fato, a NBR 6118 [14] especifica diferentes limites para o

ELS, dependendo da classe de agressividade ambiental (CAA) do meio em que se

encontra a estrutura. Para a ponte em questão, o meio é classificado como CAA II

(agressividade moderada) e segundo critérios da norma, para que se tenha uma

protensão limitada, deve-se respeitar o estado limite de serviço de fissuração (ELS-F),

que corresponde ao inicio da formação de fissuras, e o estado limite de serviço de

descompressão (ELS-D), que corresponde ao caso onde há a presença de um ou

mais pontos na seção transversal com tensão nula e sem presença de tração no

restante da seção [14].

Na Tabela 8.1 é reproduzida a prescrição da norma NBR 6118 onde são

indicados os limites a serem atendidos no ELS e a combinação de ações a serem

consideradas na verificação.

103

Tabela 8.1 – Exigências em função da classe de agressividade ambiental.

Para o estado ELS-F, deve-se ser satisfeita a condição apresentada no item

17.3.1 da NBR6118:

(8.1)

Para as longarinas de ponte rodoviárias, de acordo com a NBR 6118 tem-se que

= 0,5. (8.2)

Para compressão, deve ainda ser satisfeito o limite:

(8.3)

Em relação ao ELS-D, a condição a ser satisfeita é:

(8.4)

Com = 0,3 conforme indicado na NBR 6118.

= 0,5 28700 = 14.300 kN/m² (j = 7 dias)

= 0,5 35000 = 17.500 kN/m² (j = 35 dias)

104

A tabela comparativa das tensões na estrutura com os valores limites é

apresentada ao final do capitulo.

8.2 VERIFICAÇÂO DO ESTADO LIMITE DE ÚLTIMO

O estado limite último é verificado por duas análises distintas, uma no ato da

protensão, e outra considerando decorrido um tempo infinito após a protensão.

A análise para o instante da prontensão pode ser simplificada, resumindo-se a

uma análise de tensões. A análise para tempo infinito é feita por um processo iterativo

que visa determinar para uma determinada seção de estudo a posição da linha neutra

sob flexão simples. Cada um desses processos é tratado separadamente.

8.2.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO EM TEMPO INFINITO

A verificação quanto ao atendimento do estado limite ultimo neste caso é feita

através de um processo iterativo em que se visa determinar, para uma dada seção, a

posição da linha neutra correspondente ao momento resistente que deve ser maior

que o momento solicitante.

Para o caso de vigas pós-tensionadas, após a protensão dos cabos, as barras

de armaduras passivas se encontram solicitadas e possuem uma pequena

deformação de compressão. A deformação necessária para anular as tensões é

chamada de deformação de pré-alongamento, característico do estado de

neutralização.

Na Figura 8.1 é apresentado um gráfico simplificado do comportamento das

tensões em relação à deformação sofrida para o caso dos aços CA50 e CP190 e seu

entendimento é essencial para a compreensão do processo de análise. O aço CA50

possui um patamar de escoamento bem definido e a norma limita sua deformação

máxima ao valor de ‰. Por outro lado, o aço CP190 tem seu ponto de escoamento

especificado por norma, por não possuir um patamar de escoamento definido e o valor

105

mínimo para a de ormação em que pode ocorrer a ruptura é ixado em ‰. No

gráfico a seguir admite-se = 37,5‰ para se obter uma expressão simples de

tensão no trecho após o escoamento.

Figura 8.1 – Gráfico tensão x deformação para os aços CA50 e CP190

O procedimento de cálculo pode ser realizado de varias maneiras, porém é usual

fixar uma determinada deformação para o aço de protensão e para o concreto,

determinando-se a partir delas a posição “x” da lin a neutra. Com “x” determinado,

calcula-se as forças Rcc de compressão no concreto e as forças Rst e Rpt de tração na

armadura passiva e ativa, respectivamente. Na Figura 8.2 é esquematizado o

esquema das forças na seção.

Figura 8.2 – Distribuição das forças na seção

106

Verifica-se se as forças, apresentadas na Figura 8.2, encontram-se em

equilíbrio, isto é, se elas satisfazem a seguinte equação:

Rcc = Rst + Rpt (8.5)

Caso esta igualdade não seja satisfeita, ajusta-se os valores iniciais das

deformações utilizadas e determina-se a nova posição da linha neutra, repetindo o

processo até que a igualdade das forças seja atingida.

Quando a igualdade for obtida, tem-se que a viga está submetida a flexão

simples e calcula-se o valor do momento resistente de cálculo, que é dado por:

Mud = Rcc z = (Rst + Rpt) z (8.6)

Onde “ ” é o raço de alavanca. Compara-se então o valor de Mud com o

momento solicitante de cálculo da seção de estudo e, se Mud for maior que o momento

solicitante de cálculo a estrutura está adequada pelas condições de segurança. Caso

não seja satisfeita, é necessário aumentar o número de armaduras adotado ou alterar

o formato da seção.

Este processo de cálculo, por ser iterativo, é trabalhoso e pode ser substituído

por um processo de cálculo simplificado. Este processo simplificado consiste em se

determinar a posição da linha neutra para a seção do meio do vão para a condição do

estado de neutralização, onde a força da armadura passiva é nula, e considerando

que a tensão do aço é constante com valor igual a do ponto de escoamento.

Esta consideração é valida por estar a favor da segurança, uma vez que a

tensão neste ponto é menor do que a tensão correspondente a deformação de pré-

alongamento. Neste caso, tem-se que Rst é dado por:

Rst = Ap 150kN/cm² = 6.720 kN e Rcc = Rst (8.7)

107

Para o caso de Rcc = Rst, tem-se que a posição da linha neutra e o braço de

alavanca são dados por:

0,15 m (8.8)

z = (1 – 0,4

) d = 1,62 m (8.9)

Deste modo o momento resistente de cálculo é dado por:

Mud = Rcc z = 10.900 kNm > Msd = 10.012 kNm (8.10)

Tem-se assim que a viga atende ao estado limite ultimo no tempo infinito.

8.2.2 ESTADO LIMITE ÚLTIMO EM TEMPO ZERO

Esta condição consiste numa análise de tensões e a NBR 6118 no seu item

17.2.4.3.2 fornece um procedimento simplificado para verificação, admitindo que a

segurança no ELU seja verificada no estádio I no ato da protensão.

Nesta verificação é preciso que as tensões nas seções de estudo respeitem as

seguintes condições:

(8.11)

(8.12)

onde “j” é a idade do concreto no instante da protensão.

Para os cabos de primeira fase tem-se j igual a 7 dias, enquanto que para a

segunda fase j é igual à 35 dias. Os valores limites são então dados na Tabela 8.2.

Tabela 8.2 – Condições limites para o ELU em cada fase de protensão (kN/m²)

108

8.3 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

Os resultados obtidos para as tensões nas diversas seções de estudo

encontram-se resumidos Tabela 8.3, 8.4 e 8.5, estando todas as seções atendendo as

condições quanto ao ELU em tempo zero e ELS.

109

Tabela 8.3 – Verificação de tensões nas seções para ELS-F

110

Tabela 8.4 – Verificação de tensões nas seções para ELS-D

111

Tabela 8.4 – Verificação de tensões nas seções para ELU em tempo zero

112

9. CONCLUSÂO E SUGESTÕES DE CONTINUIDADE

Um dos objetivos deste trabalho foi o estudo da distribuição transversal das

cargas móveis. Com este fim foram utilizados o método de Courbon e modelos em

grelha, pórtico 3D-casca e casca (MEF). Os fundamentos do método de Courbon

foram detalhadamente expostos, demonstrando-se que em superestruturas de seção

aberta a torção ocasionada por cargas excêntricas é absorvida por bimomento,

resultando em flexão em sentidos opostos em pares de vigas simetricamente

dispostas.

Os resultados apresentados permitem concluir que o método de Courbon

demonstrou-se a favor da segurança (com pior distribuição) e consequentemente

indicando necessidade de maior número de cabos de protensão. A modelagem em

elementos finitos de casca conduziu a respostas com melhores distribuição

transversal, indicando necessidade de um número menor de cabos de protensão,

sendo, portanto, mais econômicas.

Entretanto, também conclui-se que a economia proporcionada por modelos mais

elaborados (grelha, pórtico espacial ou MEF) pode não ser significativa o suficiente

para justificar, na prática, a adoção de sistemáticas bem mais complexas que o

método de Courbon. Embora os esforços obtidos por Courbon tenham sido cerca de

20% maior do que os obtidos pelo modelo de casca, para a viga extrema, e de 10%

para a viga interna, quando combinados com os esforços provenientes das cargas

permanentes, a diferença de armadura de protensão foi de 9% para a viga extrema e

de 4% para a viga interna.

Os métodos computacionais levaram a sofisticações desnecessárias, alongando

o tempo de projeto e aumentando a probabilidade de erros. Com o avanço dos

programas de engenharia, muitos engenheiros passam a fazer uso destes sistemas

113

para qualquer tipo de cálculo, muitas vezes complicando problemas que poderiam ser

resolvidos de formas mais simples.

Os métodos computacionais aqui descritos são mais recomendados para a

análise de estruturas de maior complexidade ou para verificação de estruturas

existentes.

Como parte dos estudos, foram ainda detalhados os princípios das verificações

dos estados limites de serviço (ELS) e último (ELU), de acordo com a NBR6118,

sendo todos estes atendidos nas seções de cálculo do exemplo apresentado.

Como sugestões de continuidade pode-se indicar a ampliação do estudo para o

caso de pré-tração aderente e a análise de superestruturas contínuas, por exemplo o

modelo muito utilizado de três vãos. Outra análise a se fazer é verificar como os

resultados variam ao se aumentar o vão e números de longarinas na ponte.

114

BIBLIOGRAFIA

[1] Pfeil, W., Pontes em Concreto Armado, 3ª Ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e

Científicos S.A.

[2] http://theconstructor.org/structures/history-of-bridges/5491/. Acesso em: 18 maio

2015, 20:30:00

[3] http://www.historyofbridges.com/bridges-history/ancient-bridges/. Acesso em: 18 maio

2015, 20:50:00

[4] Pin o, M., Regis, P., raújo, E., “Tabuleiros de pontes em vias pré-moldadas

protendidas com continuidade – aspectos de projeto e construção”. 51° Congresso

Brasileiro de Concreto, 055-2011, Outubro 2009

[5] Valeriano, R., Notas de aula – pontes I

[6] Lazzari, P., , Estudo de Projeto Estrutural de Ponte Rodoviária em Arco

Inferior em Concreto Armado no Município de Saudades/SC , DECIV/EE/UFRGS,

Porto Alegre, Dezembro de 2008

[7] Stucchi, F., Notas de Aula de Pontes e Grandes estruturas – USP, 2006

[8] Filho, W. N. F., Avaliação dos Coeficientes de Impacto Utilizados no Cálculo

de Pontes Rodoviária Via Análise Dinâmica de Estruturas, Universidade Federal

de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2008

[9] ABCEM, Revista Construção Metálica, Ed. n° 92

[10] http://infraestruturaurbana.pini.com.br/solucoes-tecnicas/10/estruturas-estaiadas-

aplicacoes-indicadas-tipos-de-ancoragem-e-de-243545-1.aspx Acesso em: 19-05-

2015 14:35

[11] DNIT, Manual de Projeto de Obras de Arte Especiais, Ano 1996

[12] http://aquarius.ime.eb.br/~webde2/prof/ethomaz/. Acesso em: 28 Maio 2015, 11:45

[13] NBR 7187 – Projeto de Pontes de Concreto Armado e de Concreto Protendido –

Procedimento, Março 2003

[14] NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento, Abril de 2014

[15] NBR 7188 – Carga Móvel Rodoviária e de Pedestres em Pontes, Viadutos,

Passarelas e Outras Estruturas, Novembro de 2013

[16]https://www.belgo.com.br/produtos/construcao_civil/fios_cordoalhas/pdf/fios_cordoalha

s.pdf Acesso em: 01 Junho 2015, 19:25

[17] Judice, F. M S., Perlingeiro, M. S. P. L., Diaz, B. E., Lima, S. S., et. al., 2008,

“ valiação da Distri uição Transversal de Cargas em Tabbuleiros de Pontes sem

Transversinas nternas”, Congresso Brasileiro do Concreto, Setem ro de

http://theconstructor.org/structures/history-of-bridges/5491/

http://www.historyofbridges.com/bridges-history/ancient-bridges/

http://infraestruturaurbana.pini.com.br/solucoes-tecnicas/10/estruturas-estaiadas-aplicacoes-indicadas-tipos-de-ancoragem-e-de-243545-1.aspx

http://infraestruturaurbana.pini.com.br/solucoes-tecnicas/10/estruturas-estaiadas-aplicacoes-indicadas-tipos-de-ancoragem-e-de-243545-1.aspx

http://aquarius.ime.eb.br/~webde2/prof/ethomaz/

https://www.belgo.com.br/produtos/construcao_civil/fios_cordoalhas/pdf/fios_cordoalhas.pdf

https://www.belgo.com.br/produtos/construcao_civil/fios_cordoalhas/pdf/fios_cordoalhas.pdf

115

[18] Judice, F. M S., Perlingeiro, M. S. P. L., Diaz, B. E., Lima, S. S., et. al., 2008,

“ valiação da Distri uição Transversal de Cargas em Ta uleiros de Pontes sem

Transversinas Internas – Segunda Parte”, Congresso Brasileiro de Pontes e

Estruturas, Rio de Janeiro, Brasil, Abril de 2010

[19] Perligeiro, M., Notas de Aula de Cablagem, Curso de Protendido, UFRJ

[20] Rebouças, T. A. C., Dimensionamento das Vigas Protendidas da

Superestrutura de Ponte Rodoviária com Tabuleiro de Vigas Multiplas, UFF, Rio

de Janeiro, 2011

[21] Valeriano, R., Notas de Aula de Concreto Protendido, Curso de Protendido, UFRJ

[22] Hanai, João B., Fundamentos do Concreto Protendido, São Carlos 2005

[23] Rocha, L. V., Projeto de Superestrutura de Ponte Rodoviária em Vigas Pré-

moldadas Protendidas, Universidade Gama Filho, Rio de Janeiro, 2011

[24] http://www2.dbd.puc-rio.br/pergamum/tesesabertas/0511137_09_cap_03.pdf, Acesso

em: 07-07-2015 14:26

[25]http://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6349-corrosao-sob-

tensao#.VZwKcvlViko Acesso em: 07-07-2015 14:35

[26] NBR 8681 – Ações e Segurança nas Estruturas – Procedimento, Março de 2003

[27] http://www.fec.unicamp.br/~almeida/ec802/Vigas/UNESP_Bauru/Cortante-04.pdf,

Acesso em: 30-07-2015 22:47

[28] http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/ Acesso em: 03-03-2015 10:28

http://www2.dbd.puc-rio.br/pergamum/tesesabertas/0511137_09_cap_03.pdf

http://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6349-corrosao-sob-tensao#.VZwKcvlViko

http://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6349-corrosao-sob-tensao#.VZwKcvlViko

http://www.fec.unicamp.br/~almeida/ec802/Vigas/UNESP_Bauru/Cortante-04.pdf

116

ANEXO A

2

4

0

0

5

4

0

0

3

6

0

0

1

8

0

0

1

8

0

0

1

5

0

0

0

ANEXO A PLANTA DE TOPOGRAFIA ESC.: 1/10.000 DIMENSÕES: cm

influência da distribuição transversal de cargas no projeto de vigas

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