inércia equivalente das estruturas de contraventamento de edifícios em concreto armado

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, So Carlos, v. 9, n. 38, p. 107-136, 2007

INRCIA EQUIVALENTE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO DE EDIFCIOS EM

CONCRETO ARMADO

Rivelli da Silva Pinto1 & Marcio Antonio Ramalho2

R e s u m o

Neste trabalho so discutidos os aspectos inerentes anlise no-linear fsica (NLF) e geomtrica (NLG) das estruturas de contraventamento em concreto armado. O estudo proposto tem como base a anlise estrutural de prticos planos de concreto armado, desenvolvendo-se uma ferramenta rigorosa capaz de analisar essas estruturas de forma elaborada e consistente. Com essa ferramenta sero avaliadas as redues de inrcia que ocorrem em prticos planos de concreto armado, submetidos a diferentes condies de carregamento e a diferentes taxas de armadura, contribuindo para o estabelecimento de estimativas confiveis dos efeitos da NLF nessas estruturas.

Palavras-chave: edifcios altos; no-linearidade fsica; no-linearidade geomtrica; concreto armado; plasticidade.

1 INTRODUO

A resposta das estruturas de concreto armado, submetidas a carregamentos diversos, tem sido objeto de estudos desde que o concreto comeou a ser amplamente utilizado como material na engenharia. No projeto estrutural dos edifcios altos extremamente importante uma correta avaliao da resposta estrutural, considerando-se os efeitos no-lineares da geometria da estrutura e da reologia do material na anlise estrutural. De fato, os deslocamentos e esforos da estrutura so determinados pelo carregamento, pelos os efeitos decorrentes da mudana de posio da estrutura no espao, no-linearidade geomtrica, e pelo comportamento no-linear do concreto armado, no-linearidade fsica.

No projeto de edifcios altos a rigidez lateral das estruturas exerce, de modo especial, grande importncia estrutural e normativa. Desta dependem a determinao dos estados limites de utilizao, a avaliao da estabilidade global das estruturas e ainda a determinao dos parmetros para o projeto de estruturas submetidas aes ssmicas e de vento.

1 Doutor em Engenharia de Estruturas EESC - USP 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Rivelli da Silva Pinto & Marcio Antonio Ramalho


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Observa-se que a correta avaliao do comportamento estrutural implica na utilizao de ferramentas de anlise capazes de descrever os efeitos decorrentes da no-linearidade geomtrica (NLG) e da no-linearidade fsica (NLF).

Nos ltimos anos, com o avano dos computadores pessoais, os conceitos no-lineares comeam e ser introduzidos no meio tcnico de forma gradativa. No entanto, o emprego da anlise no-linear no requer apenas o desenvolvimento de ferramentas, mas, principalmente, a formao de profissionais capazes de empregar com segurana esse tipo de anlise. Esta no a realidade atual do meio tcnico de modo geral, pois a maior parte das Escolas de Engenharia no apresenta os conceitos no-lineares durante os cursos de graduao.

Por isso, ainda nos dias de hoje, a forma mais freqente de se analisar uma estrutura atravs da anlise elstica e linear, baseada na lei de Hooke e no equilbrio da estrutura indeformada, estimando-se os efeitos no-lineares da estrutura atravs de procedimentos simplificados. Isso acontece porque os modelos lineares so de mais fcil compreenso, vlida a superposio de efeitos, alm do fato de que os procedimentos para tratamento dos resultados, dimensionamento e verificao so amplamente conhecidos.

Nesse contexto, o presente trabalho apresenta como objetivos bsicos o de contribuir para a anlise no-linear rigorosa das estruturas de edifcios em concreto armado, considerando-se a no-linearidade fsica do material e a no-linearidade geomtrica da estrutura, atravs da implementao uma formulao para anlise no-linear de prticos planos capaz de descrever o comportamento estrutural de forma eficiente e precisa.

Pretende-se, ainda, contribuir para o estabelecimento de procedimentos simplificados seguros para a avaliao dos efeitos no-lineares nas estruturas de concreto armado. De modo especfico, contribuir para o estabelecimento dos valores do produto de inrcia (EI) que devem ser empregados na anlise das estruturas de contraventamento para simular a perda de rigidez devida NLF.

Para atingir os objetivos propostos ser realizado um estudo baseado na anlise estrutural de prticos planos, desenvolvendo-se uma ferramenta rigorosa capaz de analisar as estruturas planas de concreto armado de forma elaborada e consistente. Com essa ferramenta sero obtidas informaes acerca das rigidez lateral dos prticos de concreto armado, o que possibilitar a aferio das redues de inrcia a serem utilizadas nos projetos usuais de edifcios.

Esse estudo das redues de inrcia uma continuao do trabalho de mestrado do autor, PINTO 1997, onde foram observados muitos aspectos a serem esclarecidos neste assunto, que de interesse tanto para os projetistas de concreto armado, quanto para o meio cientfico empenhado na normalizao dos processos simplificados para anlise no-linear.

2 ANLISE NO-LINEAR SIMPLIFICADA

A busca de se estabelecer ferramentas destinadas a realizao de uma anlise no-linear simplificada das estruturas de contraventamento em concreto armado tem sido objeto de estudo no mundo inteiro. Pode-se, conceitualmente, dividir estes estudos em dois ramos que se complementam: O estudo de parmetros para

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estimativa dos efeitos devidos ao deslocamento horizontal da estrutura (NLG) e estudo para estimativa das inrcias efetivas dos elementos estruturais (NLF).

No tocante s consideraes simplificadas para a considerao da NLG, tem-se pesquisado critrios seguros e de fcil implementao prtica que permitam classific-las quando ao grau de mobilidade: estruturas de ns mveis ou de ns fixos. BECK & KNIG (1966) propem o parmetro , como uma grandeza capaz de avaliar a sensibilidade da estrutura em relao aos efeitos da NLG. O modelo proposto considera um pilar engastado na base, com uma carga vertical distribuda ao longo de toda a sua altura, supondo-se para o mesmo um comportamento elstico-linear. O parmetro fica, ento, definido do seguinte modo:

= H FEI

v

(2.1)

onde: H = altura total do pilar Fv = carga vertical caracterstica no pilar EI= produto de rigidez Segundo a teoria desenvolvida por BECK, para superior a 0,60 torna-se necessria a considerao dos efeitos devidos NLG no pilar.

Posteriormente, este conceito foi estendido por FRANCO (1985a) para o caso de edifcios altos, uma vez que se pode associar um edifcio alto a uma coluna engastada na base, com os pavimentos tipo conferindo s cargas verticais o carter de carregamento uniformemente distribudo.

Para que se possa efetuar esta analogia, no entanto, deve-se estender s estruturas dos edifcios altos os conceitos de produto de rigidez equivalente (EIeq) e parmetro de forma da linha elstica (). Considere-se uma estrutura submetida a uma ao horizontal uniformemente distribuda qd e seja ad o deslocamento horizontal do topo (figura 2.1). O produto de rigidez EIeq aquele equivalente a uma estrutura prismtica engastada na base, de mdulo de rigidez E constante ao longo de sua altura H, que sob a ao de qd apresenta o mesmo deslocamento ad no topo.

Recorrendo-se ento expresso da linha elstica correspondente a um pilar engastado na base com uma ao lateral uniformemente distribuda, tem-se:

d

deq a

HqEI =

8

4

(2.2)

Na estimativa do EIeq devem ser computados todos os elementos que contribuem para a estabilidade da estrutura. Portanto, alm da considerao de elementos isolados, principalmente ncleos e pilares paredes, deve-se tambm considerar os prticos planos constituintes da estrutura, pois estes contribuem para um contraventamento eficiente.



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ad EIeq ad

xi 1d

qd H Pd= Pid

Figura 2.1 - Produto de rigidez equivalente - adaptada de FRANCO (1985a)

Seja 1d o deslocamento horizontal, referente anlise elstico-linear, do ponto de aplicao da resultante das cargas verticais de intensidade Pd. Define-se o parmetro de forma da linha elstica como sendo:

k

k

d

d

aa11 ==

(2.3)

Esse parmetro pode ser facilmente calculado para estruturas regulares em casos particulares importantes.

FRANCO (1985a) apresenta os seguintes resultados na avaliao do : estruturas com contraventamento em pilar parede = 0,4, estruturas com contraventamento misto =0,5 e estruturas com contraventamento em prtico = 0,67. O parmetro de forma permite que se possa conhecer melhor o comportamento global da estrutura, indicando o modo como se desloca horizontalmente segundo o tipo de contraventamento predominante na mesma.

Alguns valores de lim, para edifcios de vrios pavimentos, foram propostos por alguns pesquisadores de forma a viabilizar a sua utilizao.

De acordo com o CEB (1977), para edifcios de vrios pavimentos, tem-se:

lim 0,2 + 0,1n; para n 3 lim 0,6 para n 4 onde n o nmero de pavimentos do edifcio.

Esta definio de lim pressupe que o contraventamento seja constitudo exclusivamente por pilares-parede, visto que se despreza a influncia das vigas, alm disso, o valor lim = 0,60 foi obtido considerando-se f = 1,5. FRANCO (1985a) demonstra que para f = 1,4 tem-se lim = 0,70, considerando-se a seguinte reduo de inrcia para a estrutura:

( ) ( )keqdeq

EIEI 7,0= (2.4)

na qual: (EIeq)d = produto de rigidez equivalente no estado limite ltimo, (EIeq)k = produto de rigidez equivalente caracterstico.



111

Ainda no mesmo trabalho, apresenta valores limites do parmetro dependentes do tipo de contraventamento predominante na estrutura. Esses valores limites so obtidos atravs da condio generalizada de imobilidade dos ns, definida por FRANCO (1985a) como:

112

lim (2.5)

Partindo-se do parmetro de forma da linha elstica pode-se estabelecer valores limites de em funo do tipo de contraventamento predominante na estrutura. Os resultados obtidos para estruturas regulares, so:

lim 0,7; contraventamento em pilares-parede; lim 0,6; contraventamento misto (pilares-parede, prticos ou associaes). lim 0,5; contraventamento em prtico;

Deve-se ressaltar que todos esses valores limites de foram obtidos considerando-se, para simular o efeito da perda de rigidez da estrutura devida NLF, como vlida a relao (2.4).

VASCONCELOS (1987) sugere uma variao de lim em funo do nmero de pavimentos n, dada por (para n 1):

( )n144,0lim 1044,088,02,11 = (2.6) Na anlise de edifcios altos, o parmetro serve como um indicador da necessidade ou no de se levar em conta o efeito da NLG para o projeto da estrutura. Assim, pode-se desprezar o efeito da NLG quando o valor calculado de for menor que lim. Isso equivale a dizer que os esforos totais no-lineares no ultrapassam em 10% aqueles referentes anlise elstico-linear (condio de imobilidade dos ns).

FRANCO & VASCONCELOS (1991) propem, em substituio ao parmetro , o parmetro z como um coeficiente majorador dos esforos obtidos em uma anlise elstico-linear para a obteno dos esforos finais na estrutura. O parmetro z definido como se segue:

zd

d

MM

=

1

11

(2.7)

na qual:

Md = acrscimos de momentos devido ao deslocamento horizontal M1d = momento atuante na estrutura indeslocada CARMO (1995) estabeleceu a seguinte relao emprica entre os parmetros e z, aps a anlise de 30 estruturas correntes:



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z = + +0 90 0 52 0 62 0 462 3, , , , (2.8)

GRAZIANO (1998) encontrou uma expresso analtica relacionando e z:

fvz

z

= 12 ou

211

= fvz (2.9)

na qual fv o coeficiente de segurana aplicado ao carregamento vertical da estrutura, devidamente analisado por FRANCO & VASCONCELOS (1991) e PINTO (1997).

CARMO (1995) estudou, ainda, uma amostra contendo sete prdios, nos quais se comparou os resultados de anlises com a considerao da NLG, com os obtidos pelo processo P- e pelo mtodo simplificado (utilizando-se o coeficiente z). Essa comparao envolveu, principalmente, o deslocamento no topo do edifcio e os esforos ao longo da estrutura. Como concluso de seu trabalho, CARMO (1995) considera a utilizao do coeficiente z satisfatria dentro de certos limites, conforme indicam FRANCO & VASCONCELOS (1991). No entanto, para o universo das estruturas analisadas em seu trabalho, percebe-se uma tendncia a se avanar na utilizao desse processo para alm do limite 1,2, proposto por FRANCO & VASCONCELOS (1991). Alm disso, verificou-se que o valor do coeficiente z pode, para os nveis superiores do edifcio, indicar acrscimos de esforos superiores aos obtidos pelo processo rigoroso e pelo processo P-. PINTO (1997) analisou 25 edifcios de concreto armado atravs do processo simplificado, onde os esforos da anlise elstico-linear so majorados pelo z, e um processo mais rigoroso, no qual a NLG considerada atravs de alteraes incrementais na matriz de rigidez. Em ambos os procedimentos, a NLF foi considerada atravs de redues na inrcia dos elementos estruturais. Os esforos obtidos atravs desses dois procedimentos de anlise no-linear geomtrica foram comparados para a estrutura como um todo e para 5 faixas ao longo da altura, aferindo-se, assim, a acuidade do processo simplificado.

Os resultados obtidos indicam que:

1) Para os esforos normais, considerando-se a estrutura global, os acrscimos devidos aos efeitos no-lineares mostram-se prximos ao z, mesmo para valores elevados desses acrscimos.

2) Considerando-se a estrutura como um todo, os acrscimos de momentos fletores nos pilares se resultam prximos ao z at para valores elevados do parmetro. Para valores de z entre 1,15 e 1,20 comeam a aparecer diferenas da ordem de 3% contra a segurana. Acima de 1,20, as diferenas tendem aumentar para valores acima de 5%, sendo que a maioria destas se mostra contra a segurana.

3) Considerando-se o comportamento ao longo da altura, os acrscimos de momentos fletores se apresentam menores que o z para trechos de pilares prximos base. Para os trechos intermedirios, os acrscimos so maiores que os previstos pelo z, voltando a ser menores nos trechos prximos ao topo.



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4) Os esforos nas vigas, esforos cortantes e momentos fletores, apresentam comportamentos semelhantes entre si. Analisando-se a estrutura globalmente, as diferenas so da ordem de apenas 3% contra a segurana, mesmo para valores de z acima de 1,25. 5) Considerando-se o comportamento ao longo da altura, esses esforos apresentam-se ora a favor ora contra a segurana para as peas prximas base. Sendo que somente para z acima de 1,3 aparecem diferenas contra a segurana da ordem de 7% nessa regio. Para as peas situadas nas regies intermedirias, a estimativa do z mostra-se contra a segurana, com diferenas acima de 5% para z maior que 1,3. Finalmente, para peas prximas ao topo a estimativa atravs do z volta a estar a favor da segurana.

De todos os resultados obtidos, pode-se concluir que a utilizao do parmetro z satisfatria dentro de certos limites, sendo que o valor de 1,2, estabelecido por FRANCO & VASCONCELOS (1991), parece ser realmente o mais adequado. O estabelecimento de um limite superior a 1,2 deve ser evitado, levando-se em conta o fato de que nas faixas intermedirias, onde os valores dos esforos devidos ao horizontal so maiores, a estimativa se mostra contra a segurana. Nessas faixas, deve-se considerar ainda que os acrscimos de esforos apresentam maior disperso em torno da mdia, o que concorre para a diminuio da segurana.

Deve-se ressaltar que a utilizao dos parmetros e z requer a aplicao de coeficientes que simulem a perda de rigidez da estrutura devida ao comportamento no-linear dos materiais (NLF).

As pesquisas referentes considerao simplificada da NLF tm buscado encontrar valores mais realistas para o produto de inrcia (EI) dos elementos constituintes da estrutura, no lugar de se considerar a seo bruta ou a seo fissurada para os elementos estruturais. MACGREGOR (1993) prope a existncia de dois conjuntos de valores para o produto de inrcia efetivo (EIef): um para a realizao de uma anlise global da estrutura e outro para a anlise de membros isolados. Isso razovel, considerando-se que as deflexes laterais na anlise de uma estrutura so afetadas pela rigidez de todos os seus membros, os valores de EIef devem se aproximar do valor mdio representativo desses elementos estruturais. Por outro lado, quando se lida com a estabilidade de um membro individual, o valor de EIef utilizado deve ser um limite inferior seguro para o elemento.

Na tentativa de se estabelecer valores de EIef para a anlise global da estrutura, KORDINA3 e HAGE4 apud MACGREGOR (1993) estudaram a variao de rigidez para vrios membros de prticos sujeitos a momentos devidos a carregamentos gravitacionais, carregamentos laterais e uma combinao dessas duas aes. Os resultados mostram que o valor de EIef para vigas T e vigas com sees retangulares se aproxima de 0,4 EcIg.

Uma vez estabelecido o valor do EIef para vigas, HAGE4 obteve o valor do EIef para colunas, recalculando prticos de concreto armado cujas deflexes laterais

3 KORDINA, Karl (1972). Cracking and crack control. Planning and Design of Tall Buildings, Proceedings

of 1972 ASCE-IABSE International Conference. v. 3, p. 721-722. 4 HAGE, Sven E.; MCGREGOR, James G. Second order analysis of reinforced concrete frames.

Edmonton, Department of Civil Engineering, University of Alberta, Oct. 1974. 331 p. Structural Engineering Report No 9.



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haviam sido determinadas em ensaios de laboratrio. Obteve como resultado um valor de EIef prximo de 0,8 EcIg.

Baseados nesses estudos MACGREGOR & HAGE5 apud MACGREGOR (1993) propem que se considere para as vigas EIef = 0,4 EcIg e para os pilares EIef = 0,8 EcIg.

FURLONG6 apud MACGREGOR (1993) props que o EIef de vigas T seja tomado como o EI total da alma, mas no menos que metade da inrcia correspondente da seo T. Para colunas localizadas nos nveis inferiores, ele sugeriu EIef = 0,6 EcIg, enquanto que para colunas dos nveis superiores props EIef = 0,3 EcIg.

DIXON7 apud MACGREGOR (1993) recalculou 13 prticos que haviam sido testados experimentalmente, utilizando um programa que permitia uma anlise no linear. Baseado nos resultados de HAGE2 assumiu EIef = 0,5 EcIg para as vigas. Utilizando essa rigidez para as vigas, a rigidez das colunas que conduziu melhor estimativa dos deslocamentos laterais medidos, de modo conservativo, foi EIef = 0,5 EcIg.

MCDONALD8 apud MACGREGOR (1993) produziu relaes momento nas extremidades por rotao para vigas T, lajes armadas em uma direo e colunas. Para vigas T, com 1,2 % de armadura, o coeficiente de reduo do EcIg variou de 0,37 a 0,44. Para lajes armadas em uma nica direo, com 0,5 % de armadura, esse coeficiente variou de 0,16 a 0,22. Para colunas, o coeficiente de reduo variou de 0,66 a 0,89. Baseado nesses resultados, MCDONALD props valores de coeficientes de reduo iguais a 0,42 , 0,2 e 0,7 para vigas T, lajes armadas em uma nica direo e pilares, respectivamente.

Observa-se certo grau de variabilidade nos valores de EIef indicados para projeto pelos autores anteriormente citados.

MACGREGOR (1993) prope ainda a adoo de um fator de reduo para os valores de EIef dado por = 0,875. Essa reduo permite levar em conta a variabilidade nas deflexes laterais, resultante de simplificaes na modelagem das estruturas e da incerteza quanto aos valores reais de Ec e da inrcia efetiva (Ief).

FRANCO (1995) considera que essa reduo s faz sentido para a formulao geral do ACI 318/89 e indica os valores de Ief considerados para a Norma Brasileira (NBR 6118). O texto da NBR 6118 prescreve que para as vigas com armadura nas duas faces da seo transversal, deve-se adotar Ief = 0,5 Ig; para vigas armadas em apenas uma face Ief = 0,4 Ig; para os pilares Ief = 0,8 Ig; e para as lajes Ief = 0,3 Ig. FRANCO & VASCONCELOS (1991) propem ainda, como alternativa, a adoo de um valor nico de Ief = 0,7 Ig para vigas e pilares.

5 MCGREGOR, James G.; HAGE, Seven E. (1977). Stability and design of concrete frames. Journal of

Structural Division, ASCE, v. 103, n. ST10, p.1953-1970, Oct. 6 FURLONG, Richard W. (1980). Frames with slender colums-lateral loads analysis. CRSI Professional

Members Structural Bulletin, n. 6, Mar. 10p. 7 DIXON, D. G. (1985). Second-order analysis of reinforced concrete sway frames. M.A.Sc. Thesis,

Department of Civil Engineering, University of Wateloo, Ontario. 230p. 8 MCDONALD, Brian E. (1986). Second order effects in reinforced concrete frames. M.A.Sc. Thesis,

Department of Civil Engineering, University of Wateloo, Ontario. 257p.



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PINTO (1997) estudou vigas com diferentes taxas de armadura, processadas no LUSAS9 atravs de modelos planos. Para as vigas obteve-se uma variao nos valores de EIef entre 0,4 EcIg e 0,64 EcIg, sendo que os valores mais baixos correspondem a vigas com armaduras em uma nica face, e os maiores s vigas com armadura nas duas faces, em conformidade, portanto, com a indicao da NBR 6118. Foram estudados tambm, alguns pilares curtos, para os quais se pudessem desprezar os efeitos devidos NLG. Para estes, obteve-se uma variao nos valores de EIef de 0,72 EcIg a 1,26 EcIg, conforme sejam maiores ou menores os valores momentos fletores a que esto submetidos.

Por fim, analisou-se um prtico plano com o mesmo modelo plano utilizado na anlise dos pilares e das vigas. O resultado indica que dentre os valores propostos na literatura, os que mais se aproximam dos resultados obtidos no modelo plano processado no LUSAS, so aqueles propostos pela NBR 6118. Entretanto, trata-se de um nico exemplo analisado considerando-se somente a NLF, devendo esse resultado ser avaliado com cautela.

SHURAIN (1997) avaliou a rigidez lateral de 9 prticos compostos por trs membros: dois pilares e uma viga. Neste trabalho apresentada a grande variao que ocorre no EIef dos membros constituintes da estrutura. De fato, quando um prtico atinge a ruptura, somente as sees crticas atingem o colapso. A maioria delas permanecem pouco fissuradas apresentando EIef maior que o EcIg.

Duas indicaes para reduo de inrcia so analisadas:

EIef = 0,5 EcIg para as vigas e EIef = EcIg para os pilares;

EIef = EcIcr para as vigas e EIef = 0,4 EcIg para os pilares; sendo Icr a inrcia da seo fissurada.

SHURAIN (1997) indica que a utilizao de EIef = 0,5 EcIg para as vigas e EIef = EcIg para os pilares, resulta em bons resultados em servio. A utilizao de EIef = EcIcr para as vigas e EIef = 0,4 EcIg apresenta bons resultados somente para o colapso de prticos com baixas taxas de armadura.

No tocante inrcia efetiva para a anlise de membros isolados, tm-se pesquisado expresses que permitam uma estimativa simples e segura do EIef desses elementos. Esses valores so utilizados, em geral, em mtodos aproximados para o dimensionamento dos elementos. o caso, por exemplo, da aproximao adotada pelo ACI Building Code para o dimensionamento de pilares esbeltos. Este mtodo utiliza o carregamento axial obtido de uma anlise elstico-linear e um momento majorado, que inclui os efeitos referentes NLG devidos ao deslocamento horizontal da coluna. A eficcia do processo est diretamente ligada a uma correta previso do EIef para o elemento.

3 ANLISE NO-LINEAR RIGOROSA

Neste item, ser desenvolvida uma teoria que descreva o comportamento no-linear das estruturas de barras de material elstico de forma exata, ou seja, sem restries quanto grandeza dos deslocamentos e das deformaes. A formulao 9 Software produzido na Inglaterra pela FEA (Finite Element Analysis Ltd), capaz de realizar anlises no-

lineares atravs do mtodo dos elementos finitos.



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escolhida para implementao computacional, apresentada por PIMENTA (1996), refere-se uma Teoria Geometricamente Exata baseada na hiptese de Bernoulli-Euler para prticos planos. Esta teoria, conforme PIMENTA (1996), pode ser estendida para a materiais elasto-plsticos, visco-elsticos e visco-plsticos, uma vez que estes se deixam integrar no tempo como os materiais elsticos.

Desse modo, foram introduzidos modelos constitutivos capazes de descrever o comportamento no-linear do concreto, o tension stiffening e a influncia dos estribos. Tambm para o ao foram considerados modelos constitutivos que descrevessem o seu comportamento no-linear atravs de uma curva tenso por deformao bi-linear.

A integrao para obteno dos esforos na seo transversal foi realizada pelo mtodo das fatias, no qual seo transversal dos elementos dividida em fatias de concreto e de ao. A integrao ao longo do elemento para a obteno das respectivas foras internas foi realizada numericamente, utilizando-se o Mtodo de Gauss para integrao numrica.

O algoritmo anterior foi implementado em um programa computacional, na linguagem FORTRAN Power-Station, denominado PPNL (Prtico Plano No-Linear).

Pode-se avaliar a eficincia do programa na descrio do comportamento das estruturas de concreto armado analisando-se os resultados obtidos para o prtico da figura 3.1. Trata-se de um prtico engastado ensaiado por WILBY & PANDIT (1967) e apresentado por RASHEED & DINNO (1994).

Figura 3.1 Prtico ensaiado por Wilby e Pandit

Devido simetria do problema analisou-se somente metade da estrutura, sendo adotadas duas malhas distintas com 12 elementos e com 15 elementos,



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conforme apresentado na figura 3.2. A seo transversal foi dividida em 10 fatias, conforme indica SILVA (1996).

Figura 3.2 Malha em elementos finitos adotadas: 12 e 15 elementos

So apresentadas, na figura 3.3, a curva deslocamento x carregamento experimental, a curva terica apresentada por RASHEED E DINO (1994), e aquelas obtidas pelo PPNL com 12 e 15 elementos.

Prtico Wilby & Pandit

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16d (mm)

F (k

N)

Experimento

R&D

PPNL 12 elementos

PPNL 15 elementos

Figura 3.3 Curvas deslocamento x carregamento

Observa-se que, mesmo utilizando-se uma malha pobre com 12 elementos, os resultados obtidos descrevem de modo satisfatrio o comportamento da estrutura. Apenas o ltimo trecho da curva deslocamento x carregamento no pde ser descrito em funo de problemas numricos.



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4 ANLISE NO-LINEAR PARAMTRICA DE PRTICOS PLANOS

Neste item so analisados alguns prticos planos, nos quais se variou a taxa de armadura e o nvel de carregamento de forma a se avaliar a influncia dessas variveis na perda de rigidez lateral da estrutura.

Foram estudados prticos com 1 lance e com 6 lances de pilares, cada qual submetido a trs nveis de carregamento diferentes: N1, N2 e N3. Para cada nvel de carregamento correspondem trs dimensionamentos, de forma a se obter trs taxas de armadura diferentes: A, B e C - sendo A prxima taxa mnima de norma, C prxima taxa mxima de norma e B um valor intermedirio. Assim foram obtidos nove prticos com um lance e nove com seis lances de pilares, num total de dezoito exemplos.

Convencionou-se chamar este estudo de anlise paramtrica uma vez que foram abrangidos desde nveis de carregamento muito abaixo, at nveis muito acima dos usuais, o mesmo acontecendo com as taxas de armadura. Desse modo, pde-se avaliar qualitativa e quantitativamente a perda de rigidez lateral dos prticos planos.

4.1 Prticos com 1 lance de pilares

Na tentativa de se avaliar de modo sistemtico o comportamento de prticos planos submetidos a diferentes condies de carregamento, geometria e taxas de armadura, foram estudados alguns prticos com 1 lance de pilares segundo a seguinte metodologia:

1) Foram analisados prticos planos constitudos por dois pilares e uma viga, conforme a figura 4.1.

2) Adotou-se o concreto com resistncia fck=25 MPa e ao CA-50A com fys=500 MPa. Os parmetros que caracterizam os materiais para a anlise no-linear so: Ectg = 35234 MPa, fc = 28,5 MPa, 0 = 0,002, ft = 2,85 MPa, = 0,70, m = 20 t, Es = 210000 MPa, Es = 1000 MPa, s mx = 0,010.

3) Os carregamentos horizontal e vertical foram aplicados simultaneamente, embora na maior parte dos casos prticos o carregamento vertical seja aplicado primeiro. O valor ltimo terico para o carregamento foi assumido quando um nico fator igual a 1,4 aplicado sobre todo o carregamento.

4) As armaduras dos prticos foram determinadas para os esforos obtidos segundo uma anlise elstico-linear usual.

5) As vigas foram dimensionadas segundo a NBR 6118 para momentos positivo e negativo. A mesma armadura negativa foi utilizada em ambos os lados da viga.

6) Os pilares foram dimensionados como peas submetidas flexo composta sem levar em considerao os efeitos devidos s excentricidades acidentais e esbeltez. Os dois pilares possuem a mesma armadura.

7) As sees crticas foram dimensionadas para trs taxas de armadura: Tipo A: Taxas de armadura baixas, muito prximas da mnima permitida

pela norma; Tipo B: Taxas de armaduras mdias, prximas da metade do mximo

permitido pela norma; Tipo C: Taxas de armadura altas, prximas ao mximo permitido pela

norma;



119

8) Os carregamentos tambm foram distribudos em trs nveis N1, N2 e N3, onde 1 indica valores baixos para o carregamento, 2 valores mdios e 3 valores altos, conforme a tabela 4.1. H, W e P esto indicados na figura 4.1, enquanto G corresponde ao carregamento vertical total aplicado.

9) Cada prtico foi modelado com 15 elementos: cinco para cada pilar e cinco para a viga. Para cada elemento foi estabelecida a geometria e as armaduras longitudinais e transversais. As sees transversais da viga e do pilar foram discretizadas em 20 fatias de concreto e duas camadas de ao (armaduras positiva e negativa).

Figura 4.1 Geometria dos prticos analisados

Tabela 4.1 Nveis de carregamentos considerados

H P W H/G Nvel de Carregamento (kN) (kN) (kN/m)

N1 50 0 45 0,222N2 180 300 45 0,218N3 540 900 45 0,267

Na tabela 4.2 so apresentadas as caractersticas geomtricas referentes aos exemplos analisados: Analisando-se os deslocamentos laterais, pode-se aferir a rigidez lateral equivalente de cada prtico analisado:

i

ii

HRL = (4.1)

na qual Hi o carregamento lateral no estgio i; RLi a rigidez lateral no estgio i de carregamento e i o deslocamento lateral correspondente. Adotando-se os ndices NL para os resultados da anlise no-linear e EL para aqueles correspondentes anlise elstico-linear, tem-se:

iELiELiNLiNL RLRL = (4.2)



120

Logo, pode-se definir EIEQ como a razo entre a rigidez lateral obtida da anlise no-linear e aquela obtida da anlise elstico-linear:

iNL

iEL

iEL

iNLEQ RL

RLEI ==

(4.3)

Tabela 4.2 Geometria dos prticos com 1 lance de pilares N v el 1 de C arregam ento N v e l 2 de C arregam ento N v el 3 de Carregam entoP N1A P N1B P N1C PN2A PN 2B PN 2C PN 3A PN 3B PN 3C

P ILA Rb(cm ) 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 40,00 40,00 40,00h(cm ) 52,00 34,00 24,00 65,50 45,00 37,00 95,00 67,00 55,00d ' 5,20 3,40 2,40 6,55 4,50 3,70 9,50 6,70 5,50 0,12 0,36 0,74 0,12 0,38 0,75 0,12 0,36 0,75A s 7,69 15,08 21,88 9,68 21,06 34,18 18,72 39,61 67,74% 0,49 1,48 3,04 0,49 1,56 3,08 0,49 1,48 3,08V IG A PO Sb(cm ) 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 40,00 40,00h(cm ) 67,00 49,00 33,00 95,00 65,00 50,00 125,00 85,00 70,00d ' 5,36 3,92 2,64 7,60 5,20 4,00 10,00 6,80 5,60A s in f 5,36 8,00 11,94 5,94 9,00 12,00 13,00 19,50 24,00% 0,29 0,59 1,31 0,23 0,50 0,87 0,38 0,62 0,93V IG A NE Gb(cm ) 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 40,00 40,00h(cm ) 67,00 49,00 33,00 95,00 65,00 50,00 125,00 85,00 70,00d ' 5,36 3,92 2,64 7,60 5,20 4,00 10,00 6,80 5,60A s sup 4,70 6,10 10,47 7,81 13,90 19,50 16,00 24,90 32,90% 0,25 0,45 1,15 0,30 0,77 1,41 0,46 0,80 1,28

O carregamento nas fases definidas como: Servio, Estado limite ltimo e Ruptura foi dividido pelo valor do carregamento de ltimo da estrutura (PU). Desse modo, obteve-se um grfico adimensional relacionando rigidez lateral equivalente e carregamento, traando-se assim os grficos das figuras 4.3a, 4.3b e 4.3c.

A figura 4.3a apresenta os resultados referentes aos prticos tipo A, com taxas de armadura prximas mnima. Para o carregamento de servio observa-se uma rigidez variando entre 73% e 75% da rigidez linear, correspondente uma anlise elstico-linear na qual os elementos possuem a seo transversal ntegra. Para o carregamento ltimo terico (multiplicado por 1,40) a rigidez varia entre 43% e 58% da rigidez linear. No colapso, a rigidez apresenta uma reduo drstica, variando entre 19% e 28% da rigidez elstica.

A figura 4.3b apresenta os resultados referentes aos prticos tipo B, com taxas de armadura mdias. Para o carregamento de servio observa-se uma rigidez variando entre 54% e 64% da rigidez linear. Para o carregamento ltimo terico a rigidez varia entre 44% e 54% da rigidez linear. No colapso, a rigidez varia entre 34% e 42% da rigidez elstica. O prtico PN3B possui a maior rigidez entre os trs prticos tipo B e o PN1B a menor rigidez. Isso porque a presena de tenses de compresso nesse caso benfica para o comportamento da estrutura, pois tende a suprimir a fissurao pelo fato da fora normal ser bem inferior ao valor correspondente mxima compresso centrada que pode ser aplicada no pilar.

A figura 4.3c apresenta os resultados referentes aos prticos tipo C, com altas taxas de armadura. Para o carregamento de servio observa-se uma rigidez variando entre 67% e 81% da rigidez linear. Para o carregamento ltimo terico a rigidez varia entre 60% e 72% da rigidez linear. No colapso, a rigidez varia entre 50% e 63% da rigidez elstica. Em virtude da presena de tenses de compresso, que tendem a



121

suprimir a fissurao, o prtico PN3C possui a maior rigidez entre os trs prticos tipo C e o PN1C a menor rigidez.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1P/Pu

EIeq

PN1APN2APN3A

Figura 4.3a Rigidez lateral x carregamento para prticos tipo A

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1P/Pu

EIeq PN1B

PN2BPN3B

Figura 4.3b Rigidez lateral x carregamento para prticos tipo B

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1P/Pu

EIeq PN1C

PN2CPN3C

Figura 4.3c Rigidez lateral x carregamento para prticos tipo C



122

4.2 Prticos com 6 lances de pilares

Prosseguiu-se com o estudo analisando-se prticos com 6 lances de pilares, submetidos a diferentes taxas de armadura e diferentes nveis de carregamento. A metodologia empregada basicamente a mesma dos exemplos anteriores, apresentando diferenas apenas no procedimento para dimensionamento dos pilares. De fato, nos exemplos de prticos com 1 lance, os pilares foram dimensionados como peas submetidas flexo composta sem levar em considerao os efeitos devidos s excentricidades acidentais e esbeltez. Nos exemplos com 6 lances, os pilares foram dimensionados segundo a NBR 6118, considerando-se as excentricidades acidentais (ea) e de segunda ordem (e2), alm da excentricidade inicial (ei) devida ao carregamento. Nestes exemplos, considerou-se uma ea mnima de 1 cm e uma ea mxima de 2 cm, conforme procedimento usualmente adotado pelos escritrios de projeto. De forma sistemtica, adotou-se a seguinte metodologia:

1) Foram analisados prticos planos cujas caractersticas dos materiais empregados so concreto com resistncia fck=20 MPa e ao CA-50A ( fys=500 MPa). Os parmetros que caracterizam os materiais para a anlise no-linear so: Ectg = 32000 MPa, fc = 23,5 MPa, 0 = 0,002, ft = 2,20 MPa, = 0,70, m = 20 t, Es = 210000 MPa, Es = 1000 MPa, s mx = 0,010.

2) Os carregamentos horizontal e vertical foram aplicados simultaneamente. O valor ltimo terico para o carregamento foi assumido quando um nico fator igual a 1,4 aplicado sobre todo o carregamento.


4) As vigas foram dimensionadas segundo a NBR 6118 para momentos positivo e negativo, considerando-se a envoltria dos esforos devidos ao carregamento vertical e horizontal. Considerou-se a atuao dos esforos horizontais nas duas direes do plano.

5) Os pilares foram dimensionados segundo a NBR 6118, considerando-se as excentricidades ea, e2 e ei.

6) Os prticos foram dimensionados para trs taxas de armadura:

Tipo A: Taxas de armadura baixas, muito prximas da mnima permitida pela norma;

Tipo B: Taxas de armaduras mdias, prximas da metade do mximo permitido pela norma;

Tipo C: Taxas de armadura altas, prximas ao mximo permitido pela norma;

7) Cada prtico foi modelado com 108 elementos: cinco para cada pilar e oito para a viga, conforme figura 4.4. Para cada elemento foi estabelecida a geometria e as armaduras longitudinais e transversais. As sees transversais da viga e do pilar foram discretizadas em 10 fatias de concreto e duas camadas de ao (armaduras positiva e negativa).

8) Os carregamentos tambm foram distribudos em trs nveis N1, N2 e N3, onde 1 indica valores baixos para o carregamento, 2 valores mdios e 3 valores altos, conforme tabela 4.3.



123

Foram analisados, inicialmente, nove prticos com 6 lances, correspondentes aos trs nveis de carregamento propostos, cada qual com trs taxas de armadura diferentes. O detalhamento completo dos prticos apresentado por PINTO (2002).

Tabela 4.3 Nveis de carregamento para prticos com 6 lances H H c P P c W W c H /G

N v e l d e C a r r e g a m e n to (k N ) ( k N ) ( k N ) ( k N ) (k N /m ) (k N /m )N 1 6 3 0 0 4 5 3 2 0 .0 2 6N 2 1 6 8 1 0 0 7 0 4 5 3 2 0 .0 3 6N 3 3 2 1 6 2 0 0 1 4 0 4 5 3 2 0 .0 4 9

Figura 4.4 Geometria dos prticos com 6 lances

Com o objetivo de aferir a rigidez lateral equivalente de cada prtico analisado, utilizou-se a equao 4.1, adotando-se no lugar de i o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da resultante das cargas verticais (G) dado, conforme figura 4.5, por:

GG jj

G=

(4.4)

na qual Gj o carregamento vertical no pavimento j; j o deslocamento lateral do pavimento j, G a resultante do carregamento vertical da estrutura e P o deslocamento lateral do ponto de aplicao da resultante G. Desse modo, pode-se definir uma rigidez lateral para o prtico dada por:



124

Gi

ii

HRL = (4.5) na qual Hi o carregamento lateral no estgio i; RLi a rigidez lateral no estgio i de carregamento e Gi o deslocamento lateral correspondente do ponto de aplicao da resultante das cargas verticais. Adotando-se os ndices NL para os resultados da anlise no-linear e EL para aqueles correspondentes anlise elstico-linear, vem:

GiELiELGiNLiNL RLRL = (4.6) Logo, pode-se definir EIEQ como a razo entre a rigidez lateral obtida da anlise no-linear e aquela obtida da anlise elstico-linear:

GiNL

GiEL

GiEL

GiNLEQ RL

RLEI ==

(4.7)

Figura 4.5 Definio de P

O carregamento nas fases definidas como: Servio, Estado limite ltimo e Ruptura foi dividido pelo valor do carregamento de ltimo da estrutura (PU). Desse modo, obteve-se um grfico adimensional relacionando rigidez lateral equivalente e carregamento, traando-se assim os grficos das figuras 4.6a, 4.6b e 4.6c.

A figura 4.8a apresenta os resultados referentes aos prticos tipo A, com taxas de armadura prximas mnima. Para o carregamento de servio observa-se uma rigidez variando entre 101% e 89% da rigidez linear, correspondente uma anlise elstico-linear na qual os elementos possuem a seo transversal ntegra. Para o carregamento ltimo terico (multiplicado por 1,40) a rigidez varia entre 86% e 65% da rigidez linear. No colapso, a rigidez apresenta uma grande reduo, variando entre 25% e 28% da rigidez elstica.

A figura 4.6b apresenta os resultados referentes aos prticos tipo B, com taxas de armadura mdias. Para o carregamento de servio observa-se uma rigidez variando entre 68% e 78% da rigidez linear. Para o carregamento ltimo terico a rigidez varia entre 52% e 58% da rigidez linear. No colapso, a rigidez varia entre 32% e 38% da rigidez elstica. O prtico P6N3B possui a maior rigidez entre os trs prticos tipo B e o P6N1B a menor rigidez, em virtude dos efeitos benficos da fora de compresso nos pilares.



125

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

P/Pu

EIeq

P6N1A

P6N2A

P6N3A

Figura 4.6a Rigidez lateral x carregamento para prticos com 6 lances tipo A

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

P/Pu

EIeq

P6N1B

P6N2B

P6N3B

Figura 4.6b Rigidez lateral x carregamento para prticos com 6 lances tipo B

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

P/Pu

EIeq

P6N1C

P6N2C

P6N3C

Figura 4.6c Rigidez lateral x carregamento para prticos com 6 lances tipo C



126

A figura 4.6c apresenta os resultados referentes aos prticos tipo C, com altas taxas de armadura. Para o carregamento de servio observa-se uma rigidez variando entre 77% e 82% da rigidez linear. Para o carregamento ltimo terico a rigidez varia entre 67% e 71% da rigidez linear. No colapso, a rigidez varia entre 47% e 55% da rigidez elstica. Em virtude da presena de tenses de compresso, que tendem a suprimir a fissurao, o prtico P6N3C possui a maior rigidez entre os trs prticos tipo C e o P6N1C a menor rigidez, de modo semelhante ao que acontece nos prticos tipo B.

Observa-se, nos exemplos paramtricos analisados, que o comportamento dos prticos com 1 lance e com 6 lances de pilares , qualitativamente, bastante semelhante para nveis de carregamento e taxas de armadura equivalentes.

A tabela 4.4 apresenta a rigidez lateral equivalente, referente aos exemplos paramtricos analisados, nas diversas condies de carregamento e taxa de armadura. A anlise destes resultados particularmente til para a determinao dos valores de EIef da estrutura correspondentes a um nico coeficiente de reduo na inrcia das vigas e dos pilares, como proposto por FRANCO & VASCONCELOS (1991). De fato, a idia de se adotar um coeficiente nico de reduo de inrcia para a estrutura como um todo facilita a implementao do processo simplificado, uma vez que dispensa realizao de um modelo estrutural, com as inrcias reduzidas, exclusivamente para avaliao dos efeitos no-lineares da estrutura. Desse modo, pode-se analisar a estrutura e sua estabilidade global com um nico modelo estrutural, tornando mais gil o processo de anlise estrutural.

Tabela 4.4 Rigidez lateral equivalente para os exemplos paramtricos de prticos P r t ic o E Ie q

S e r v i o E .L .U . C o la p s oP N 1 A 0 ,7 4 0 ,4 3 0 ,1 9P N 2 A 0 ,7 3 0 ,5 5 0 ,2 6P N 3 A 0 ,7 4 0 ,5 8 0 ,2 8P N 1 B 0 ,5 4 0 ,4 5 0 ,3 4P N 2 B 0 ,5 7 0 ,4 9 0 ,3 8P N 3 B 0 ,6 4 0 ,5 4 0 ,4 2P N 1 C 0 ,6 6 0 ,6 0 0 ,5 1P N 2 C 0 ,7 0 0 ,6 1 0 ,5 4P N 3 C 0 ,8 1 0 ,7 3 0 ,6 3M D IA 0 ,6 8 0 ,5 5 0 ,3 9P 6 N 1 A 1 ,0 1 0 ,8 6 0 ,2 5P 6 N 2 A 0 ,9 9 0 ,7 5 0 ,2 4P 6 N 3 A 0 ,8 9 0 ,6 5 0 ,2 8P 6 N 1 B 0 ,6 8 0 ,5 2 0 ,3 2P 6 N 2 B 0 ,7 0 0 ,5 5 0 ,3 3P 6 N 3 B 0 ,7 8 0 ,5 8 0 ,3 8P 6 N 1 C 0 ,7 7 0 ,6 7 0 ,4 8P 6 N 2 C 0 ,8 1 0 ,6 9 0 ,4 7P 6 N 3 C 0 ,8 2 0 ,7 1 0 ,5 5M D IA 0 ,8 3 0 ,6 6 0 ,3 7

Em termos quantitativos os prticos com 6 lances apresentam resultados mais favorveis que aqueles referentes aos prticos com 1 lance de pilares. Isso decorre do fato das estruturas com 6 lances serem mais hiperestticas que aquelas com 1 lance de pilares, beneficiando-se de uma maior redistribuio dos esforos na estrutura. Alm disso, para que se pudesse obter momentos fletores relevantes nos pilares dos prticos com 1 lance de pilares, o carregamento lateral aplicado bem maior que aqueles normalmente aplicados ao nvel dos pavimentos nos edifcios usuais. Desse modo, quantitativamente sero abandonados os resultados referentes aos prticos com 1 lance, concentrando-se naqueles referentes aos prticos com 6 lances de pilares.



127

Atravs da tabela 4.5, pode-se observar de modo mais detalhado os valores de EIef correspondentes aos diversos nveis de carregamento e armadura para os prticos com 6 lances.

Tabela 4.5 Rigidez lateral equivalente para prticos com 6 lances de pilares Prtico Taxa de As (%) EIeq

Pilar Viga Servio E.L.U. Colapsosup inf

P6N1A 0,53 0,16 0,22 1,01 0,86 0,25P6N2A 0,51 0,23 0,15 0,99 0,75 0,24P6N3A 0,63 0,28 0,17 0,89 0,65 0,28MDIA 0,56 0,22 0,18 0,96 0,75 0,26P6N1B 1,40 0,57 0,57 0,68 0,52 0,32P6N2B 1,67 0,77 0,39 0,70 0,55 0,33P6N3B 1,50 0,52 0,26 0,78 0,58 0,38MDIA 1,52 0,62 0,41 0,72 0,55 0,34P6N1C 3,20 1,68 1,04 0,77 0,67 0,48P6N2C 3,32 1,51 0,64 0,81 0,69 0,47P6N3C 3,39 1,57 0,71 0,82 0,71 0,55MDIA 3,30 1,59 0,80 0,80 0,69 0,50

5 ANLISE NO-LINEAR DE PRTICOS DE ESTRUTURAS USUAIS

Neste item sero analisados prticos pertencentes a estruturas usuais, com nveis de carregamento e geometria mais prximas das que normalmente seriam utilizadas em projeto. As diferentes taxas de armadura sero obtidas com mudanas menos expressivas nas sees transversais dos elementos, de forma que no ser abrangido um espectro amplo de taxas de armadura quanto no item anterior, mas que se aproxime dos valores normalmente adotados em projeto. Desse modo, pretende-se avaliar quais valores de reduo de inrcia devem ser esperados para estruturas usuais de edifcios.

Nesses exemplos, os pilares foram dimensionados segundo a NBR 6118, considerando-se as excentricidades acidentais (ea) e de segunda ordem (e2), alm da excentricidade inicial (ei) devida ao carregamento. Considerou-se, ainda, uma ea mnima de 2 cm e uma ea mxima de h/30, conforme prescreve a NBR 6118. De forma sistemtica, adotou-se a seguinte metodologia:

1) Foram analisados prticos planos cujas caractersticas dos materiais empregados so concreto com resistncia fck = 20 MPa e ao CA-50A (fys = 500 MPa). Os parmetros que caracterizam os materiais para a anlise no-linear so: Ect = 32000 MPa, fc = 23,5 MPa, 0 = 0,002, ft = 2,20 MPa, = 0,70, m = 20 t, Es = 210000 MPa, Es = 1000 MPa, s mx = 0,010.

2) Os carregamentos horizontal e vertical foram aplicados simultaneamente. O valor ltimo terico para o carregamento foi assumido quando um nico fator igual a 1,4 aplicado sobre todo o carregamento.


4) As vigas foram dimensionadas segundo a NBR 6118 para momentos positivo e negativo, considerando-se a envoltria dos esforos devidos ao carregamento vertical e horizontal. Considerou-se a atuao dos esforos horizontais nas duas direes do plano.



128

5) Os pilares foram dimensionados segundo a NBR 6118, considerando-se as excentricidades ea, e2 e ei.

6) As dimenses das vigas foram determinadas considerando-se a altura das vigas de cerca de 1/10 do vo, variando-se a largura para se obter vigas com maiores e menores taxas de armadura;

7) As dimenses dos pilares foram determinadas de modo a se ter seo quadrada com taxas de armadura prximas mnima, mdia e mxima de norma;

8) As taxas de armadura A, B e C ficam definidas do seguinte modo:

Tipo A: Pilares com taxas de armaduras muito prximas da mnima permitida pela norma e vigas com as taxas correspondentes largura de 30 cm e altura de 50 cm;

Tipo B: Pilares com taxas de armaduras mdias e vigas com as taxas correspondentes largura de 20 cm e altura de 50 cm;

Tipo C: Pilares com taxas de armaduras prximas da mxima permitida pela norma e vigas com as taxas correspondentes largura de 15 cm e altura de 50 cm;

9) Cada prtico foi modelado em elementos finitos. Para cada elemento foi estabelecida a geometria e as armaduras longitudinais e transversais. As sees transversais da viga e do pilar foram discretizadas em 10 fatias de concreto e duas camadas de ao (armaduras positiva e negativa).

10) O carregamento aplicado corresponde ao previamente determinado para o edifcio, estabelecendo-se a parcela referente ao prtico analisado, sem a considerao de nveis diferentes de carregamento.

Empregando-se essa metodologia no so obtidas armaduras de vigas to prximas mnima de 0,15% visto que, para conseguir tais taxas, so necessrias vigas com dimenses muito maiores que as usuais. Portanto, em funo da metodologia empregada, os exemplos analisados neste item no apresentam grandes variaes nas sees transversais e nas taxas de armaduras das vigas, como ocorre nos exemplos paramtricos. O detalhamento completo dos prticos analisados apresentado por PINTO (2002).

5.1 Edifcio com 6 pavimentos

Foram analisados trs prticos com 6 lances de pilares (figura 5.1), correspondentes ao nvel de carregamento proposto com trs taxas de armadura diferentes.

Estudou-se, ento, a rigidez lateral equivalente da estrutura comparando-se o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da resultante das cargas verticais, obtido segundo a anlise elstico-linear e o obtido da anlise no-linear. O carregamento nas fases denominadas como: Servio, Estado limite ltimo e Ruptura foi dividido pelo carregamento de ltimo da estrutura (PU). Assim, obteve-se o grfico adimensional da figura 5.2, que relaciona a rigidez lateral com o carregamento da estrutura.



129

Figura 5.1 Geometria do edifcio de 6 pavimentos

Para o carregamento de servio observa-se uma rigidez variando entre 90% e 72% da rigidez linear, referente uma anlise elstico-linear na qual os elementos possuem a seo transversal ntegra. Para o carregamento ltimo terico (multiplicado por 1,40) a rigidez varia entre 78% e 57% da rigidez linear. No colapso, a rigidez apresenta uma reduo drstica, variando entre 60% e 25% da rigidez elstica.

Observa-se que o exemplo mais rgido o prtico P6C, seguido pelos prticos P6B e P6A, respectivamente. Este resultado indica que, para prticos com sees transversais semelhantes, aqueles com maiores taxas de armadura so mais rgidos em relao queles com menores taxas de armadura. Isso razovel, pois as maiores taxas de armadura contribuem para a reduo da fissurao, que influencia de forma significativa a rigidez das estruturas de concreto armado.



130

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

P/Pu

EIeq

P6A

P6BP6C

Figura 5.2 Rigidez lateral x carregamento edifcio de 6 pavimentos


Dando continuidade ao estudo de estruturas mais prximas daquelas usualmente projetadas, analisou-se um edifcio com 8 pavimentos apresentado por CAUVIN (1979) e tambm analisado por outros autores como CILONI (1993) e SILVA (1996). As dimenses dos elementos foram determinadas de forma que no fossem obtidas sees muito maiores que as usualmente empregadas em projeto, do mesmo modo que nos prticos P6A, P6B e P6C.

Figura 5.3 Geometria do edifcio de 8 pavimentos e do prtico analisado



131

Foram analisados trs prticos com 8 lances de pilares (figura 5.3), correspondentes ao nvel de carregamento apresentado com trs taxas de armadura diferentes.

Estudou-se, ento, a rigidez lateral equivalente da estrutura comparando-se o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da resultante das cargas verticais, obtido segundo a anlise elstico-linear e o obtido da anlise no-linear.

Na figura 5.4 apresenta-se o grfico adimensional que relaciona rigidez lateral e carregamento referente aos prticos P8A, P8B e P8C. Este foi obtido comparando-se o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da resultante das cargas verticais, obtido segundo a anlise elstico-linear, com o obtido da anlise no-linear. Do mesmo modo que para os prticos de 6 pavimentos, o carregamento nas fases de servio, estado limite ltimo e ruptura foi dividido pelo carregamento de ltimo da estrutura (PU).


Observa-se que o exemplo mais rgido o prtico P8C, seguido pelos prticos P8B e P8A, respectivamente. Este resultado confirma as indicaes obtidas nos exemplos de seis pavimentos, onde se observa que os prticos com sees transversais semelhantes tm sua rigidez diminuda na ordem inversa da taxa de armadura, ou seja, aqueles com maiores taxas de armadura so mais rgidos em relao queles com menores taxas de armadura.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

P/Pu

EIeq

P8A

P8B

P8C

Figura 5.4 Rigidez lateral x carregamento para prticos de 8 pavimentos


Considere-se o edifcio de 13 pavimentos apresentado por FRANA (1985). As dimenses e o carregamento foram redefinidos de forma a se poder adequar o exemplo metodologia empregada neste trabalho. De modo anlogo aos exemplos



132

de 8 pavimentos, as dimenses dos elementos foram determinadas de forma que no fossem obtidas sees muito maiores que as usualmente empregadas em projeto.

Foram analisados trs prticos com 13 pavimentos (figura 5.5), correspondentes ao nvel de carregamento apresentado com trs taxas de armadura diferentes.

Figura 5.5 Geometria do edifcio 13 pavimentos e do prtico analisado

Na figura 5.6 apresenta-se o grfico adimensional que relaciona rigidez lateral e carregamento referente aos prticos P13A, P13B e P13C, obtido comparando-se o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da resultante das cargas verticais, obtido segundo a anlise elstico-linear, e aquele obtido da anlise no-linear. Como



133

nos exemplos anteriores, o carregamento nas fases de servio, estado limite ltimo e ruptura foi dividido pelo carregamento de ltimo da estrutura (PU).


Observa-se que o exemplo mais rgido o prtico P13C, seguido pelos prticos P13B e P13A, respectivamente. Este resultado est em conformidade com aqueles obtidos nos exemplos anteriores, de seis e de oito pavimentos, confirmando que os prticos com sees transversais semelhantes, submetidos ao mesmo carregamento, tm sua rigidez diminuda na ordem inversa da taxa de armadura dos seus elementos.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

P/Pu

EIeq

P13A

P13B

P13C

Figura 5.6 Rigidez lateral x carregamento para prticos de 13 pavimentos

Os resultados de EIeq obtidos para os exemplos analisados so apresentados na tabela 5.1:

Tabela 5.1 Rigidez lateral equivalente para prticos com dimenses usuais

Prtico EIeqServio E.L.U. Colapso

P6A 0,73 0,58 0,31P6B 0,73 0,62 0,41P6C 0,88 0,77 0,56P8A 0,67 0,54 0,24P8B 0,74 0,62 0,33P8C 0,84 0,72 0,54P13A 0,51 0,40 0,15P13B 0,56 0,48 0,18P13C 0,68 0,60 0,33MDIA 0,70 0,59 0,34

Pode-se observar, pelos resultados obtidos, que no caso de prticos com sees transversais semelhantes, submetidos ao mesmo carregamento, a rigidez lateral proporcional taxa de armadura utilizada no detalhamento.



134

Na tabela 5.2, so apresentados modo mais detalhado os valores de EIef correspondentes aos diversos nveis de carregamento e armadura para os prticos analisados neste item:

Tabela 5.2 Rigidez lateral equivalente para prticos pertencentes a estruturas usuais Prtico Taxa de As (%) EIeq

Pilar Viga Servio E.L.U. Colapsosup inf

P6A 0,75 0,28 0,17 0,73 0,58 0,31P8A 0,48 0,71 0,42 0,67 0,54 0,24P13A 0,50 0,57 0,33 0,51 0,40 0,15MDIA 0,58 0,52 0,31 0,64 0,51 0,23P6B 1,54 1,03 0,53 0,73 0,62 0,41P8B 1,46 1,06 0,63 0,74 0,62 0,33P13B 1,68 0,98 0,49 0,56 0,48 0,18MDIA 1,56 1,02 0,55 0,68 0,57 0,31P6C 3,33 1,76 0,85 0,88 0,77 0,56P8C 2,89 1,45 1,16 0,84 0,72 0,54P13C 3,02 1,60 0,83 0,68 0,60 0,33MDIA 3,08 1,60 0,95 0,80 0,70 0,48

6 CONCLUSES

Os resultados obtidos ao longo do trabalho indicam que a rigidez lateral dos prticos planos est intimamente ligada s taxas de armaduras empregadas no detalhamento e magnitude do carregamento a que esto submetidos. De fato, observa-se que os prticos com taxas de armadura semelhantes apresentam comportamentos muito parecidos, sendo a rigidez lateral determinada conforme sejam maiores ou menores os efeitos benficos da compresso nos pilares proveniente do carregamento aplicado.

Para os exemplos paramtricos, considerando-se a mdia dos valores obtidos para os prticos com 1 lance e com 6 lances de pilares, conforme a tabela 4.4, obtm-se:

a) Prticos com 1 lance de pilares

Em servio um EIef = 0,68 EcIg para as vigas e pilares. No estado limite ltimo EIef = 0,55 EcIg para as vigas e pilares. (EIef)d/(EIef)k = 0,55/0,68 = 0,81.

b) Prticos com 6 lances de pilares

Em servio um EIef = 0,83 EcIg para as vigas e pilares. No estado limite ltimo EIef = 0,66 EcIg para as vigas e pilares. (EIef)d/(EIef)k = 0,66/0,83 = 0,80.

Ainda para os exemplos paramtricos, os valores obtidos para os prticos com 6 lances de pilares, conforme as diferentes taxas de armadura, indicam (tabela 4.5):

a) Prticos com 6 lances de pilares tipo A

Em servio um EIef = 0,96 EcIg para as vigas e pilares. No estado limite ltimo EIef = 0,75 EcIg para as vigas e pilares.

b) Prticos com 6 lances de pilares tipo B

Em servio um EIef = 0,72 EcIg para as vigas e pilares. No estado limite ltimo EIef = 0,55 EcIg para as vigas e pilares;



135

c) Prticos com 6 lances de pilares tipo C


Considerando-se a mdia dos valores de rigidez lateral equivalente, para todos os prticos analisados neste captulo, obtm-se (tabela 5.1):

Em servio um EIef = 0,70 EcIg para as vigas e pilares;

No estado limite ltimo EIef = 0,59 EcIg para as vigas e pilares;

Para os exemplos usuais os valores obtidos para os prticos analisados, segundo as diferentes taxas de armadura, indicam (tabela 5.2):

a) Prticos tipo A


b) Prticos tipo B


c) Prticos tipo C


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