Índice erros nas aproximaÇÕes ... - portal do aluno · no número 2,718278, a ordem decimal do...

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ÍNDICE 1 ERROS NAS APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS.....................................2

1.1 Erros Absolutos ................................................................................................ 3

1.2 Erros Relativos ................................................................................................. 4

1.3 Erro de Arredondamento................................................................................... 5

1.4 Ordem decimal de um algarismo: ...................................................................... 5

1.5 Algarismos significativos corretos....................................................................... 5

1.6 Cálculo dos erros absoluto e relativo:................................................................. 6

1.7 Erro de Truncamento ........................................................................................ 9

1.8 Seqüências – Convergências.............................................................................. 9

1.9 Propagação de erros ....................................................................................... 10

2 MATRIZES .....................................................................................12

2.1 Propriedades dos Determinantes ..................................................................... 15

2.2 Menor Complementar ..................................................................................... 16

2.3 Complemento Algébrico de um elemento (COFATOR) ....................................... 16

2.4 Matriz Adjunta ................................................................................................ 17

2.5 Matriz Inversa ................................................................................................ 17

2.6 Cálculo do Determinante ................................................................................. 22

3 VALORES E VETORES CARACTERÍSTICOS ....................................24

4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES............................................26

4.1 Métodos Diretos ou de Eliminação ................................................................... 26

4.1.1 Método de Gauss ..................................................................................... 26

4.1.2 Método de Gauss-Jordan .......................................................................... 31

4.1.3 Condensação Pivotal ................................................................................ 34

4.1.4 Refinamento da Solução........................................................................... 37

4.1.5 Inversão de Matrizes ................................................................................ 40

5 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES............................................42

5.1 Métodos Iterativos .......................................................................................... 42

5.2 Método de Jacobi............................................................................................ 43

5.3 Método de Gauss-Siedel.................................................................................. 45

5.4 Estudo da Convergência.................................................................................. 46

6 Decomposição LU..........................................................................47

6.1 Teorema LU ................................................................................................... 47

6.2 Esquema prático para a decomposição LU........................................................ 49


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1 ERROS NAS APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS Causas:

• Divisões Inexatas;

• Números Irracionais;

• Abandono de Casas Decimais e

• Etc. Este último aspecto é de particular interesse no caso de computadores digitais. O processo de solução de um problema físico, através de métodos numéricos, pode ser representado como se segue:

Figura 1

Nas fases de modelagem e resolução podem ocorrer erros. Ex.: Erro na fase de modelagem: A variação no comprimento de uma barra de metal sujeita a certa variação de temperatura é dado por:

(((( ))))20 t. .l ββββαααα ++++====∆∆∆∆ tl

onde:

material.cada de dilataçãode escoeficiente

atemperaturt

inicial ocomprimentl

ocompriment do iaçãovarl

0

→→→→

→→→→

→→→→

→→→→∆∆∆∆

ββββαααα

Exemplo: Calcular a variação no comprimento de uma barra sujeita a 10º C de variação e que tenha:

erimentaisexp,

,

ml

====

====

====

0000680

0012530

10

ββββ

αααα

Logo,

(((( )))) 01933001000006801000125301 2 ,.,.,.l ====++++====∆∆∆∆ Os valores de αααα e ββββ foram obtidos experimentalmente com precisão de 10-6.


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Logo: 0,001252 < α < 0,001254 0,000067 < β < 0,000069

Então:

(((( ))))(((( ))))2

2

00,000069.1 .,1. l

00,000067.1 0 0,001252.11. l

++++<<<<∆∆∆∆

++++>>>>∆∆∆∆

100012540

Logo: 0,019440 ∆l 0,019220 <<<<<<<<

ou 41001930 −−−−±±±±====∆∆∆∆ ,l

Então vemos que uma imprecisão na sexta casa decimal de α e β, implicou uma imprecisão na quarta casa decimal de ∆∆∆∆l. A precisão do resultado não é só função do modelo matemático, mas também dos dados de entrada.

1.1 Erros Absolutos

Quando se substitui um valor a por outro aproximado a’ (a’≠≠≠≠a), define-se como erro absoluto:

'aa −−−−====∆∆∆∆ Normalmente como não conhecemos o valor de a, o erro absoluto é indeterminado. Trabalhamos então com a cota superior ε do erro absoluto, isto é:

ε ≥≥≥≥ ∆∆∆∆ Assim, podemos dizer que:

εεεεεεεεεεεε ++++≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− ' - ' ou ' aaaaa e que a’ é valor aproximado de a com erro absoluto não superior a ε. Ex.: Se a = 3.876,373 e só desejamos a parte inteira a’, o erro absoluto é:

(((( ))))373876387633730 ,.. ,a'aa −−−−====−−−−====∆∆∆∆


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1.2 Erros Relativos

Chama-se erro relativo cometido sobre um valor a, quando este é aproximado por a’ ao quociente positivo:

a

∆∆∆∆====δδδδ

Como normalmente o valor de a não é conhecido, e é próximo de a’, costuma-se calcular também uma cota superior para o erro relativo tal que:

'a

εεεεδδδδ ≤≤≤≤

Onde ε é uma adequada cota superior de erro absoluto. A substituição de a por a’ no denominador é justificável se:

'aa ≅ que é o caso normalmente encontrado na prática. “Erro relativo tem por objetivo dar uma idéia ao grau de uma influência do erro, no valor desejado”. O erro absoluto não traduz nada, se não soubermos a ordem de grandeza do valor calculado. Ex.:

373,1

373,3876

=

=

b

a

Como vemos, o efeito da aproximação de b é muito maior do que de a. Considerando o erro relativo, teremos uma melhor visão deste efeito.

Para a: 410

376,3876

373,0 −−−−<<<<====aδδδδ

Para b: 1102

3731

3730 −−−−<<<<==== .,

,bδδδδ


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1.3 Erro de Arredondamento

Diz-se que um valor foi arredondado na posição de ordem n, se todos os algarismos significativos de ordem n + 1 em diante forem abandonados de forma que o algarismos de ordem n é aumentado de uma unidade, se e somente se, o de ordem n+1 for superior a n. O arredondamento é feito, por exemplo, em computadores digitais que trabalham com um número “d” fixo de algarismos significativos. Se por exemplo d = 5 e tivermos com um valor igual a: 2,73589 (algarismos significativos). A diferença entre estes valores é o erro de Arredondamento. Estes erros podem se propagar cumulativamente, podendo afetar o resultado final.

1.4 Ordem decimal de um algarismo:

Diz-se que a ordem decimal de um algarismo significativo ai de um número a é m, se o resultado quando substituímos ai por 1 e todos os outros algarismos significativos por zeros, é 10n. Ex.: No número 2,718278, a ordem decimal do algarismo significativo de ordem 6 é -5, pois:

5101

0000100 −−−−====,

Quando um número está representado na forma normalizada, a ordem decimal do algarismo significativo de ordem i é (–i + t). Forma Normalizada de um número é a sua representação: 0, a1, a2, a3,...ad . 10t Onde d é o número de algarismos significativos e ai, i = (1, 2, ...,d) são os algarismos.

1.5 Algarismos significativos corretos

Diz-se que um algarismo significativo de ordem “n” (an) de uma aproximação a’ de um número a, é algarismo significativo correto, se o erro absoluto de a’ for inferior a 0,5.10m, onde m é a ordem decimal desse algarismo. Com esta definição é possível afirmar que se o número a e sua aproximação a’ tem algarismos significativos coincidindo a partir da esquerda até o de ordem i, então o número de algarismos significativos corretos é pelo menos (i – 1). De fato, com a ordem decimal do algarismo significativo de ordem i é –i + t, então, com essa coincidência, o erro absoluto deve ser menor que 10-i+t (t se refere a forma normalizada) e por isso menor do que 0,5.10-i+t-1, como exemplo temos as aproximações 2,5 e 2,4 de 2,0.


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Para ambas existe coincidência até o algarismo significativo de ordem 1, no entanto só a segunda aproximação tem um algarismo correto. Ex.: 1,9999 e 2,05

A aproximação 0,668543 de ....)666,0(3

2

. O algarismo 8 da aproximação não é correto pois: 0,668543 – 0,666 = 0,00187633 > 0,5.10-3 O número 0,668543 só possui dois algarismos significativos corretos. Ex.: Seja o número a = 0,000045045. Por um processo numérico foi determinado para o mesmo valor a’ = 0,000045270. Aplicando a definição concluímos que a’ só tem dois algarismos significativos corretos. Passando para a forma normalizada vem, a = 0,45045.10-4 e a’ = 0,45270.10-4

1.6 Cálculo dos erros absoluto e relativo:

Absoluto:

42

4

10.10.5,0

.10.00225,0000000225,0'

−−−−−−−−

−−−−

<<<<∆∆∆∆

========−−−−====∆∆∆∆ aa

Relativo:

2

4

4

10.5,010.45045,0

10.00225,0 −−−−

−−−−

−−−−

<<<<====δδδδ

Se considerarmos o erro absoluto, da ordem de 10-6, podemos ter uma idéia errônea do número de algarismos significativos. No entanto, com a apreciação do erro relativo, podemos perceber porque sua precisão não vai além dos dois primeiros algarismos significativos. Teorema Se o erro relativo da aproximação a’ de a for maior que 0,5x10-s, então a’ tem pelo menos “s” algarismos significativos corretos. Demonstração Seja a =µ.10t, onde µ é a mantissa da forma normalizada de a. Suponhamos que o algarismo significativo a’s correspondente a as na aproximação a’ não é correto.


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Devemos ter então pela fórmula (A)

tsx,a'a ++++−−−−>>>>∆∆∆∆====−−−− 1050

Como ttx a 1010 <<<<==== µµµµ , devemos ter:

tx

a

aa −−−−>>>>−−−−

==== 105,0'

δδδδ o que por hipótese é absurdo.

Então o algarismo significativo a’s é correto e, portanto, todos os de ordem inferior. C.Q.D. Regras a serem observadas:

1. Fixar o número “d” de algarismos significativos para o cálculo.

2. Se os dados iniciais têm mais que “d” algarismos significativos, arredondá-los na posição do algarismo de ordem d; caso contrário preencher as posições restantes com zero

3. As operações de adição e subtração deverão ser realizadas sempre com dois números de cada vez. Antes de iniciá-la arredondar o número de menor valor absoluto, de modo que a mais baixa ordem decimal deste último possa ser a mesma do outro.

4. Efetuar as operações de multiplicação normalmente e arredondar o produto de forma que ele passe a ter “d” algarismos significativos.

5. Efetuar as operações de divisão até que o quociente tenha “d” algarismos significativos.

6. Potenciações com expoentes inteiros deverão ser realizadas como multiplicações de números, dois a dois.

7. Valores irracionais como “π”, e valores de funções elementares como, “sen x”, “cos x”, “ex”, etc., usados como dados, deverão ser tomados com “d” algarismos corretos.

8. Potenciações com expoentes não inteiros deverão ser realizadas por meio de logaritmos com “d” algarismos significativos.

EX.: Calcular o valor de: ππππ++++

−−−−++++322

3

2

2010003370536712,

),(,x,, retendo 3 algarismos

significativos. As operações na ordem em que devem ser efetuadas são:

0,2013


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• multiplicamos inicialmente 0,201x0,201 = 0,040401, arredondamos o resultado para 0,0404

• multiplicamos agora 0,0404x0,201 = 0,0081204, arredondamos para 0,00812

1,5367x0,00337

• arredondamos inicialmente os fatores para: 1,54 e 0,00337

• efetuamos: 1,54x0,00337 = 0,0051898

• arredondamos o resultado para: 0,00519

• extraindo a raiz quadrada vem: 1,41

2

003370536712 ,x,++++

• arredondar o produto na ordem decimal -2 : (1,5367x0,00337 = 0,0051)

0,01

• adicionar: 1,41 + 0,01 = 1,42

32010003370536712 ,,x, −−−−++++

• arredondar a potência na ordem decimal -2:

0,01

• efetuar a subtração:

1,42 – 0,01 = 1,41

22,32

• - achar o logaritmo decimal de 2,00 Log10 2 = 0,301

• - multiplicá-lo pelo expoente 0,301x2,32 = 0,69832

• - arredondar o resultado para 3 algarismos significativos. 0,698


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• encontrar o número que tem este valor por logaritmo decimal. 5,00

ππππ

• - arredondando para 3 algarismos significativos, vem: 3,14

π + 22,32

• somando diretamente, vem: 5,00 + 3,14 = 8,14

Cálculo final

1730148

411,

,

,====

1.7 Erro de Truncamento

São erros provenientes da utilização de processo que deveriam ser infinitos ou muito grandes para a determinação de um valor, e que, por razões práticas, são truncados. Em outras palavras, erro de truncamento de um processo infinito é o erro absoluto do resultado obtido com um número finito de operações.

1.8 Seqüências – Convergências

Uma seqüência de números reais nada mais é do que um conjunto finito ou infinito de valores ordenados, x1, x2, x3,..., xn, representado por {xn}, onde xn é chamado termo geral. Dizemos que a seqüência é infinita se contiver um número infinito de elementos. Neste caso podemos dizer que ela converge ou não para um limite, de acordo com a definição. Definição: Uma seqüência infinita de números {xn} converge para um valor x, se:

0====−−−−∞∞∞∞→→→→

xxLim nn

E nesse caso x é o limite da seqüência.

Quando a seqüência é truncada em xn, o erro de truncamento é dado por:

xxe nn −−−−====


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Ex.:

A seqüência {xn} com nxn

1==== converge para o limite “0” porque:

001

====−−−−====∞∞∞∞→→→→ n

Limn

Exemplo: Dado x = 0,15, calcular o valor de ex. Empregando um processo numérico que consiste em substituir a função ex por um polinômio. Usando a seqüência:

....!

x

!

xxe x

321

32

++++++++++++≈≈≈≈ Limitando até 4 termos, temos:

(((( )))) (((( ))))16181251

6

150

2

1501501

32150 ,

,,,e , ====++++++++++++≈≈≈≈

Sabendo-se que 4150 10501618342431 −−−−±±±±==== x,,e ,

, isto é, os algarismos até a 8ª casa decimal são exatos, e comparando este valor com o calculado pelo processo numérico, verificamos que apenas 5 algarismos significativos são exatos. Neste caso temos o erro

0000217435,01618125000,11618342435,1 =− Escrevemos então:

Erro de truncamento = (((( )))) (((( ))))

000021743503

150

2

1501501

32150 ,

!

,

!

,,e , ≤≤≤≤

++++++++++++−−−−

Que representamos por:

000030161811150 ,,e , ±±±±==== 1.9 Propagação de erros

Exemplos de como os erros vistos podem influenciar o desenvolvimento de um cálculo. Supondo-se que as operações abaixo sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se:

x1 = 0,3491x104 e x2 = 0,002345x100


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Temos: (x2 + x1) – x1 = (0,002345x100 + 0,3491x104) – 0,3491x104 = 0,3491x104 – 0,3491x104 (4 dígitos) = 0,000 x2 + (x1 – x1) = 0,002345x100 + (0,3491x104 – 0,3491x104) = 0,002345 + 0,000 = 0,002345 Os dois resultados são diferentes quando não deveriam ser. A causa foi o arredondamento feito na adição (x1 + x2) cujo resultado tem 8 dígitos e a máquina apenas 4.


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2 MATRIZES Definimos como matriz de ordem mxn, ao conjunto de números aij (i = 1, 2,...,m), (j = 1, 2, ...,n) dispostos em m linhas e n colunas. Ex.:

mnmm

n

n

a.....aa

.........................

a...aa

a...aa

21

22221

11211

Os elementos aij podem ser números, funções ou mesmo matrizes. Quando m = n temos uma matriz quadrada. Quando n = 1 temos uma matriz coluna:

m

1

m a

...

a

a

ou

a

....

a

a

2

1

21

11

Quando m = 1, temos uma matriz linha:

[[[[ ]]]]na...a,a,a 1131211 [[[[ ]]]]na,...,a,a,a 321

Definições

• Uma matriz é um conjunto de números, função ou matrizes.

• Um determinante é uma representação simbólica de um polinômio perfeitamente definido.

• Matriz Diagonal é aquela em que aij ≠≠≠≠ 0, para i = j.

33

22

11

00

00

00

a

a

a


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• Matriz Unitária é uma matriz quadrada, na qual todos os elementos são nulos exceto os da diagonal principal que são todos iguais a 1. A matriz unitária de ordem n é representada por In.

In =

100

010

001

.....

..................

....

....

• Matriz Triangular é a matriz na qual aiJ = 0 para i < j (triangular inferior) ou aiJ = 0 para i > j (triangular superior).

Ex.:

(((( ))))inferior triangular

a....aa

................

....aa

....a

nnnn

21

2212

11

0

00

(((( ))))superior triangular

a

.................

a....a

a....aa

nn

n

n

000

0 222

11211

• Matriz Simétrica é toda matriz quadrada onde aiJ = aJi. Os elementos são iguais simetricamente à diagonal principal.

A = AT

• Matriz Anti-simétrica é toda matriz em que se tem aij = -aji.

A = -AT

• Matriz Transposta de uma matriz A de ordem mxn é a matriz At de ordem nxm, obtida permutando-se as linhas pelas colunas.

• Matriz Zero é aquela em que todos os seus elementos são nulos.


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Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (aij) e B = (bij) de ordem mxm, são iguais se e somente se aij = bij. Adição Tendo-se as matrizes A = (aij) e B = (bij) de ordem mxn, a adição de A com B será:

C = A + B = (aij + bij) = (cij) Ex.:

====

++++

8

13

2

15

2

11

3

8

2

5

1

8

0

7

0

3

6

8

1

7

2

4

3

5

Subtração

C = A – B = (aij - bij) = (cij) Ex.:

−−−−====

−−−−

40

0

2

3

3

2

2

5

1

7

0

7

0

3

6

8

1

7

2

4

3

5 3

Produto de uma Matriz por um número Se A = (aij) é uma matriz mxn e c um número, temos:

c.A = A.c = B =

mnm

n

a.c....a.c

............

a.c...a.c

1

111

As seguintes leis são válidas:

dadecomutativi ABBA

vidadedistributi cBcA)BA(c

bAaAA).ba(

idadeassociativ C)BA()CB(A

++++====++++

++++====++++

++++====++++

++++++++====++++++++


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2.1 Propriedades dos Determinantes

1- Um determinante não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas e vice-versa. 2- Trocando-se as posições de duas linhas ou colunas, o determinante fica multiplicado por (-1).

3- Transpondo-se uma linha ou uma coluna para a primeira posição, o determinante fica multiplicado por (-1)k-1 onde k representa a ordem da linha ou coluna transposta.

4- Transpondo-se um elemento para a primeira posição, o determinante fica multiplicado por (-1)k+m onde k representa a ordem da coluna e m a ordem da linha que se cruzam no elemento transposto.

5- O determinante é nulo se todos os elementos de uma linha ou uma coluna são nulos. 6- O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si. 7- Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinante fica, também, multiplicado por este número.

8- O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número.

Consideremos um determinante ∆∆∆∆ e suponhamos que o elemento a transpor seja amk. Passando a m-ésima linha para a primeira posição e designando ∆∆∆∆’ o novo determinante, temos:

(((( )))) ∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆−−−−

.'m 1

1

Passando a k-ésima coluna para a primeira posição, no determinante ∆∆∆∆’ e designando por ∆∆∆∆’’ o novo determinante, temos:

(((( )))) 'k'' .∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆−−−−1

1 Substituindo o valor de ∆’ vem:

:vem ,(-1) comoe ,.)(.).()( -2mkmk'' 1111 211 ====∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆−−−−−−−−====∆∆∆∆ −−−−++++−−−−−−−−

(((( )))) ∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆++++

.mk'' 1

Toda matriz que tem duas linhas ou colunas iguais tem determinante nulo. Trocando-se a posição destas linhas ou colunas o seu valor deveria trocar de sinal.


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Logo: ∆∆∆∆ = -∆∆∆∆ 2∆∆∆∆ = 0 ∆∆∆∆ = 0

2.2 Menor Complementar

Chama-se de menor complementar do elemento aij (Mij), ao determinante de ordem n – 1 extraído de [A], pela supressão da linha e da coluna em que está situado o elemento aij.

====

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Ex.: O menor complementar de a32 é:

2321

1311

32aa

aaM ====

2.3 Complemento Algébrico de um elemento (COFATOR)

Dado o determinante

nnnn

n

n

a.....aa

.........................

a...aa

a...aa

21

22221

11211

Chama-se complemento algébrico ao elemento jia e representa-se por ijA ao determinante obtida pela expressão:

(((( )))) ij

ji

ij MA++++

−−−−==== 1 Consideremos a matriz quadrada:

[A] =

nnnn

n

n

a.....aa

.........................

a...aa

a...aa

21

22221

11211


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2.4 Matriz Adjunta

Definimos como matriz adjunta de [A] e representamos por [[[[ ]]]]'A , a matriz cujo elemento

genérico é jiij Aa ==== onde jiA representa o complemento algébrico do elemento aij do determinante associado da matriz [A]. Nestas condições, a matriz adjunta de [A] será:

[ ] ='A

nnnn

n

n

A.....AA

.........................

A...AA

A...AA

21

22212

12111

Como podemos observar, a matriz adjunta pode ser obtida, em outras palavras, a partir da matriz transposta ([At]), construindo-se uma nova matriz, onde os elementos são os correspondentes complementos algébricos dos elementos do determinante |At|. Ex.: Achar a matriz adjunta de:

[[[[ ]]]]

====

2221

1211

aa

aaA

[[[[ ]]]]

====

2212

2111

aa

aaAt

Logo a adjunta de A será:

[[[[ ]]]]

−−−−

−−−−====

1121

1222

a a

aa 'A

2.5 Matriz Inversa

Teorema: Para qualquer matriz quadrada A, temos:

[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]IAAA A ======== −−−−−−−− 11

Equação (1) Onde (I) é a matriz unitária. Definimos como matriz inversa [A] e representamos por [A-1], a matriz tal que seja satisfeita a expressão (1) .


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Para obtermos [A-1], comecemos por calcular [A].[A’]. Considerando os teorema de Laplace e Cauchy, resulta:

nnnn

n

n

a.....aa

.........................

a...aa

a...aa

21

22221

11211

x

nnnn

n

n

A.....AA

.........................

A...AA

A...AA

21

22212

12111

=

A.....

.........................

...A

...A

00

00

00

Pelo que obtivemos, vamos em seguida efetuar o produto:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] IA'A.A ====

Supondo que φφφφ≠≠≠≠A , temos:

====

100

010

001

21

22212

12111

2

22221

11211

....

..............

....

....

A

A....

A

A

A

A................

A

A....

A

A

A

A

A

A....

A

A

A

A

x

aaa

....

aaa

aaa

nnnn

n

n

nnnnn

n

n

Desta ultima igualdade concluímos que:

[A-1] =

A

A....

A

A

A

A................

A

A....

A

A

A

A

A

A....

A

A

A

A

nnnn

n

n

21

22212

12111

ou [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]A

'A.A 1−−−−

Ex.: Achar a matriz inversa de:

[[[[ ]]]]

====

2221

1211

aa

aaA

Cálculo de A

21122211 a.aa.aA −−−−====


Página 19 de 55

Cálculo de [At]

[[[[ ]]]]

====

2212

2111

aa

aaAt

(poderia ser a transposta da adjunta)

Cálculo de [A’]

[[[[ ]]]]

−−−−

−−−−====

1121

1222

a a

aa 'A

Obtenção de [A-1]

[[[[ ]]]]

−−−−

−−−−

−−−−====−−−−

1121

1222

12212211

1 1

a a

aa .

aaaaA

A matriz inversa desempenha importante papel na resolução de sistemas de equações lineares. Seja o sistema:

====++++++++++++

====++++++++++++

====++++++++++++

nnnnnn

nn

nn

bxa......xaxa

...... ...... ...... ...... ........ .....

bxa.....xa xa

bxa.....xax.a

2211

22222121

11212111

Sob forma de produto matricial:

[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]bXA ====

[[[[ ]]]][[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]bAXAA 11 −−−−−−−− ==== Donde:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]bAX 1−−−−====


Página 20 de 55

Ex.: Resolver o sistema:

22

32

6

====−−−−++++

====++++−−−−

====++++++++

zyx

zyx

zyx

Sob forma matricial temos:

====

2

3

6

1

2

1

z

y

x

1- 2

1 1-

1 1

Resultando:

====

−−−−

2

3

6

1

2

11

1- 2

1 1-

1 1

z

y

x

Cálculo do Determinante (|A|) de A:

77221411

1

2

1

========−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−++++++++==== A olog ,)()(

211- 2

1-21 1-

1 11 1

Cálculo da transposta:

[[[[ ]]]]

====

1-1

21-

1 2

At

1

1

1

Cálculo da adjunta:

[[[[ ]]]]

−−−−

====

3-1-5

1 2- 3

2 3

'A

1


Página 21 de 55

Cálculo da Inversa:

[[[[ ]]]]

−−−−

====−−−−

3-1-5

1 2- 3

2 3

A

1

7

11

Donde a solução do sistema será:

−−−−

====

2

3

61

7

1 .

3-1-5

1 2- 3

2 3

z

y

x

Ou seja:

====

3

2

1

z

y

x


Página 22 de 55

2.6 Cálculo do Determinante

A solução pelo teorema de Laplace torna-se inconveniente no cálculo do determinante de ordem superior a quarta devido ao grande número de operações envolvidas no processo. Para contornarmos esta dificuldade usamos um processo que utiliza a 8ª propriedade anteriormente citada, que permite a redução sucessiva da matriz a uma matriz triangular, através de operações elementares. Seja:

====

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Multiplicando-se os elementos da 1ª linha por 11

1

11

31

11

21

a

a

a

a

a

a n,.....,,, e subtraindo estes resultados

dos elementos das linhas 2, 3, 4, ......., n, resulta:

====

nn)(

n)(

n)()(

n)()(

n

a......a

...............

a......a

a......a

a......aa

A

12

1

31

321

21

221

11211

0

0

0

Onde:

.......................................................................

a

aaaa.,,.........

a

aaaa

a

aaaa.,,.........

a

aaaa

linhas, das elementos Demais

a

aaaa.,,.........

a

aaaa

pivô, elemento do abaixocoluna Primeira

nn)(

n)(

nn)(

n)(

nn

)(n

)(

11

2113

13

11

311232

132

11

2112

12

11

211222

122

11

1111

11

11

211121

121

−−−−====−−−−====

−−−−====−−−−====

−−−−====−−−−====


Página 23 de 55

Exemplo: Calcular o determinante da matriz a seguir:

====

312

625

421

A

Multiplicando a 1ª linha por 11

21

a

a e subtraindo os resultados das multiplicações de todos os

elementos dos elementos respectivos da 2ª linha vem:

etc...

ll .então , a

a )(2

−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−

⇒⇒⇒⇒========

312

1480

421

312

625

20105

51

5 11

11

21

Multiplicando a 1ª linha por 11

31

a

a e subtraindo os resultados dos respectivos elementos da 3ª

linha vem:

−−−−−−−−

−−−−−−−−====

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

530

1480

421

834122

1480

421

)()()(

Multiplicando a 2ª linha por

−−−−−−−−

−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−

−−−−====

530

25530

421

8

3

8

3

22

32 ,a

a

Subtraindo-se esta segunda linha obtida da terceira linha, teremos:

−−−−−−−−====

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

25000

1480

421

2555330

480

421

,)),()(())()((

Logo:

225081 −−−−====−−−−====∆∆∆∆ ,x)(x


Página 24 de 55

3 VALORES E VETORES CARACTERÍSTICOS Equações homogêneas do tipo:

====++++++++++++

====++++++++++++

====++++++++++++

========

nnnnnn

nn

nn

xxa...........xaxa

............................................................

xxa...........xaxa

xxa...........xaxa

AX

λλλλ

λλλλ

λλλλ

2211

22222121

11212111

0

São frequentemente encontradas em certos tipos de problemas físicos, onde λλλλ é um parâmetro indeterminado. Representando matricialmente teremos:

[[[[ ]]]]XAX λλλλ==== que tem solução não trivial se o determinante

01221

11

====

−−−−

−−−−

−−−−

====−−−−∆∆∆∆

)a( a a

...................................................

a .......).........a( a

.......a..........a )a(

I

nnn2n1

2n

1n12

λλλλ

λλλλ

λλλλ

λλλλ

que conduz à equação polinomial de grau n em λλλλ :

022

11 ====++++++++++++++++ −−−−−−−−

nnnn C.............CC λλλλλλλλλλλλ

que é conhecida como equação característica da matriz.

Os valores de λλλλ que satisfazem a equação característica da matriz (raízes da equação) A são os valores característicos de A.

Dos valores de λλλλ , obtemos os valores dos vetores X , (conjuntos de soluções), que são denominados Vetores Característicos de A. Exemplo: Determinar os valores e vetores próprios do sistema:

31

21

11

2

2

10

x10x x x

xx 10x x

xx 2xx

32

32

32

λλλλ

λλλλ

λλλλ

====++++++++

====++++++++

====++++++++


Página 25 de 55

Teremos:

(((( )))) (((( )))) 0610710

10

102

103

====++++−−−−−−−−−−−−====

−−−−

−−−−

−−−−

====∆∆∆∆ λλλλλλλλ

λλλλ

λλλλ

λλλλ

)( 1 2

1 )(

1 2 )(

∴

====

====

====

⇒⇒⇒⇒

−−−−

====−−−−

8

3

2

1

9

13

2

1

3

10

λλλλ

λλλλ

λλλλ

λλλλ

Para

====++++

====++++

====++++++++

====

0 3x -x 2x

0x 3x- 2x

0x 2x3x-

321

321

321

131λλλλ

Fazendo 13 ====x teremos 1 e 1 ,1 )1(

3)1(

2)1(

1 ============ xxx

Para

====++++++++

====++++++++

====++++++++

====

0x x 2x

0x x2x

0x x2x

9

321

321

321

2λλλλ

Fazendo 13 ====x teremos 13

1

3

1 23

22

21 ====−−−−====−−−−==== )()()( xe x ,x

Para

====++++++++

====++++++++

====++++++++

====

0 2x x 2x

0x x2x

0x x2x

321

321

321

2

2

83λλλλ

Fazendo 13 ====x teremos 11

2

3 33

32

31 ========−−−−==== )()()( xe x ,x


Página 26 de 55

4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES O estudo é limitado aos sistemas não homogêneos de “n” equações a “n” incógnitas.

4.1 Métodos Diretos ou de Eliminação

São métodos que determinam a solução de um sistema de equações lineares com um número finito de operações. Eles atuam diretamente sobre as equações.

4.1.1 Método de Gauss

Consiste em transformar a matriz dos coeficientes das incógnitas em uma matriz triangular superior, a partir de uma matriz estendida (adicionando-se o vetor independente como última coluna), através de operações elementares.

........................................................................................................

...........................

...........................

)(

)1(1

)1()1(1

)2(2

)2(21

)2()1(23

)2(232

)1(1

)1(11

)1()1(13

)1(132

)1(121

nnn

nnn

nnnn

nnnn

nnnn

bx

bxax

bxaxaxax

bxaxaxaxax

====

====++++

====++++++++++++++++

====++++++++++++++++++++

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

onde os índices superiores dos coeficientes correspondem ao número de modificações efetuadas em cada elemento. Neste caso, a solução do sistema é imediata, mediante a substituição regressiva. Formando a matriz estendida, justapondo-se o vetor independente, teremos:

====

nnnnn

n

n

b a..............a a

.........................................

b a..............a a

b a..............a a

A

21

222221

111211

εεεε

Começamos as transformações anulando os elementos da coluna 1 abaixo do elemento

11a , ao qual chamaremos de elemento Pivô. Gauss prevê dois passos:

1. Dividir 1l pelo elemento pivô, o que nos dará uma nova linha )1(

1l e

2. Para anular o elemento 21a é bastante somar 1l a )(l 1

1 pré-multiplicada por 21a−−−− .

De um modo geral para se anular o elemento )n...........i(ai 21 ==== , executamos a operação vetorial:


Página 27 de 55

n)2.........(i com lall )(ii

)(i ====−−−−==== 1

111

, que zera todos os demais elementos da coluna 1 abaixo do elemento pivô. Desenvolvida para os elementos de todas as linhas equivale a:

====

++++====−−−−====

n.,,.........i

,n,.........jpara aaaa )(

jijij)(

ij2

1112

1

,

Ao fim da 1ª eliminação, a matriz εεεεA está transformada em:

====

(1)n

)1()1(2

(1)2

)1(2

)1(22

(1)1

)1(1

)1(12

b .............. 0

.........................................

b .............. 0

b .............. 1

nnn

n

n

aa

aa

aa

Aεεεε

A segunda eliminação consiste em anular os elementos da segunda coluna, abaixo de )(a 1

22 , denominado pivô desta eliminação.

1. Dividimos )(l 1

2 pelo pivô, obtendo )(l 2

2 ;

2. Para anular o elemento )(a 1

32 somamos )(l 1

3 a )(l 2

2 pré-multiplicada por )(a 1

32

De um modo geral para se anular o elemento )n...........i(a )(i 312 ==== , executamos a

operação vetorial:

n)3.........(i com )3(2

)1(2

)1()2( ====−−−−==== lall iii , que se desenvolvida para os elementos de todas as linhas equivale a:

====

++++====−−−−====

n.,,.........i

,n,.........jpara aaaa )(

j)(

i)(

ij)(

ij3

1212

12

12

,

Podemos agora generalizar os procedimentos da 1ª e 2ª eliminação para uma eliminação

genérica “K” que consiste em anular os elementos de )k(

kC 1−−−−

abaixo de )k(

kka 1−−−−

(denominado pivô da k-ésima eliminação.


Página 28 de 55

Fazemos inicialmente a divisão:

)k(kk

)k(k)K(

ka

ll

1

1

−−−−

−−−−

==== ,

que desenvolvida elemento a elemento de )k(

kl , equivale a:

++++====

========

−−−−

−−−−

1

11

1

n...,,.........kj

n...,,.........k......

a

aa

)k(kk

)k(kj)k(

kj .

Se ‘k’ for menor ‘n’, fazemos as operações vetoriais:

nkilall kk

kik

ki

ki ,,.........1 com )()1()1( ++++====−−−−==== −−−−−−−−

Que desenvolvida elemento a elemento, é:

++++====

++++====

−−−−====

−−−−==== −−−−−−−−

,n,.........ki

.,nk,........j

,n,.........k

aaaa k

kj

k

ik

k

ij

k

ij

1

1

11

para )()1()1()(

Exemplo:

12234

2323

2

22

4321

4321

4321

4321

====++++++++++++

====−−−−−−−−++++

====−−−−++++

====++++++++++++

x xxx

4 xxxx

1 x x 2x-x

7 x x xx

Obtendo a matriz entendida, vem:

−−−−−−−−

−−−−−−−−

121234

42323

11211

71122

4

3

2

1

l

l

l

l


Página 29 de 55

1ª Eliminação:

3,5 0,5 0,5 1 1 ).1(

21-010

5,65,35,410

5,25,15,120

5,35,05,011

4

3

1

2/

(1)1

)1(12

)1(4

)1(13

)1(3

)1(12

)1(2

1)1(

1

====

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−====

−−−−====

−−−−====

====

l

lll

lll

lll

ll

2ª eliminação:

25,1 75,0 0,75 1 0 ))(1(

75,00,250,7500

25,575,225,300

25,175,075,010

5,35,05,011

)1(

)1(

)2/(

)2(2

)2(2

)1(4

)2(4

)2(2

)1(3

)2(3

)1(2

)2(2

−−−−−−−−−−−−====−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

−−−−====

l

lll

lll

ll

3ª eliminação:

75,0 3586,0 75,0 0 0 ))(75,0(01907,0000

15238,0100

25,175,075,010

5,35,05,011

)75,0(

)25,3/()3(

3)3(

3)2(

4)3(

4

)2(3

)3(3

−−−−−−−−====−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−−−−−====

−−−−====

llll

ll

−−−−

−−−−

−−−−==== 01000

15238,0100

25,175,075,010

5,35,05,011

)1907,0/()3(

4)4(

4 ll

O sistema então ficará:

0

15238,0

25,1 75,0 75,0

5,3 5,0 5,0

4

43

432

4321

====

====−−−−

====++++−−−−

====++++++++++++

x

xx

xxx

xxxx

Que substituindo regressivamente teremos:

105,015,025,3

20)75,0(1)75,0(25,1

110)5238,0(

0

1

2

3

4

====−−−−−−−−−−−−====

====−−−−++++====

====++++====

====

xxx

x

x

x

É importante observar que nenhum dos elementos que servem de pivô numa eliminação ‘k’


Página 30 de 55

pode ser igual a zero. Se isto ocorrer devemos trocar de posição as (n-k+1) linhas abaixo

de kl (inclusive), de modo que tais elementos não sejam nulos. É óbvio que isto não altera a solução do sistema, porque apenas trocaremos duas equações de posição. Quando este procedimento não for possível porque todos os elementos abaixo do pivô são nulos, i sistema é singular.


Página 31 de 55

4.1.2 Método de Gauss-Jordan

Se transformarmos a matriz do sistema em uma matriz identidade, a solução do sistema se apresentará espontaneamente no novo vetor ‘b’ (dos temos independentes).

)n(nn

)n(

)n(

bx

............

b......x

b.........x

====

====

====

22

11

O método consiste em modificas as eliminações do método de Gauss, para anular em cada eliminação ‘k’, elementos abaixo e acima do elemento pivô (elemento da diagonal principal). Com um procedimento inteiramente análogo ao que nos levou às expressões anteriores (no método de Gauss),temos para o método de Gauss-Jordan: Fazemos inicialmente a divisão:

)k(kk

)k(k)K(

ka

ll

1

1

−−−−

−−−−

==== ,

que desenvolvida elemento a elemento de )(k

kl , equivale a:

++++====

========

−−−−

−−−−

1

11

1

n...,,.........kj

n...,,.........k......

a

aa

)k(kk

)k(kj)k(

kj .

Se “k” for menor “n”, fazemos as operações vetoriais:

≠≠≠≠

====−−−−==== −−−−−−−−

ki com

n,,.........i com lall )k(

k)k(

ik)k(

iki

111

Que desenvolvida elemento a elemento, é:

≠≠≠≠

++++====

++++====

−−−−====

−−−−==== −−−−−−−−

kj

,n,.........ki

.,nk,........j

.,ni,........k

para aaaa )k(kj

)k(ik

)k(ij

)k(ij

1

1

1

11


Página 32 de 55

Exemplo: Usemos o mesmo exercício anterior:

12234

2323

2

22

4321

4321

4321

4321

====++++++++++++

====−−−−−−−−++++

====−−−−++++

====++++++++++++

x xxx

4 xxxx

1 x x 2x-x

7 x x xx

Obtendo a matriz entendida, vem:

−−−−−−−−

−−−−−−−−

121234

42323

11211

71122

1ª Eliminação:

21-010

5,65,35,410

5,25,15,120

5,35,05,011

)4(

)3(

)1(

2/

)1(12

)1(4

)1(13

)1(3

)1(12

)1(2

1)1(

1

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−====

−−−−====

−−−−====

====→→→→

lll

lll

lll

ll

2ª Eliminação:

75,025,00,7500

25,575,225,500

25,175,075,010

25,225,025,101

)1(

)1(

)2/(

)2(2

)1(4

)2(4

)2(2

)1(3

)2(3

)1(2

)2(2

)2(2

)1(1

)2(1

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

−−−−====

−−−−====

→→→→

lll

lll

ll

lll

3ª Eliminação:

01428,1000

15238,0100

21428,1010

19047,0001

)75,0(

)25,5/(

)75,0(

)25,1(

)3(3

)2(4

)3(4

)2(3

)3(3

)3(3

)2(2

)3(2

)3(3

)2(1

)3(1

−−−−

−−−−−−−−====

−−−−====

−−−−−−−−====

−−−−====

→→→→

lll

ll

lll

lll


Página 33 de 55

4ª Eliminação:

01000

10100

20010

10001

1428,0/

)5238,0(

)1428,1(

)9047,0(

)3(4

)4(4

)4(4

)3(3

)4(3

)4(4

)3(2

)4(2

)4(4

)3(1

)4(1

====

−−−−====

−−−−====

−−−−−−−−====

→→→→ ll

lll

lll

lll

Logo:

0

1

2

1

4

3

2

1

====

====

====

====

x

x

x

x

Valem as mesmas observações feitas para o método anterior, referentes à troca das linhas caso o pivô na k-ésima eliminação for zero e se esta troca não for possível o sistema é singular.


Página 34 de 55

4.1.3 Condensação Pivotal

Os métodos de eliminação são exatos exceto pelos erros de arredondamento que podem conduzir a soluções errôneas. Este efeito pode ser diminuído e mesmo evitado mediante a condensação pivotal. Para isto, rearrumamos as equações, colocando na linha da posição do pivô a linha abaixo da linha do pivô com o maior elemento absoluto na coluna do pivô. A condensação pivotal tem por finalidade:

1. Minimizar o erro de arredondamento;

2. Evitar a divisão por zero e

3. Testar a singularidade do sistema. Exemplo: Resolver o sistema

3212525

63710636

38403

321

321

321

x x x

x x x

xx x

====++++++++

−−−−====++++++++

====++++++++

Sabendo-se que a solução é (1;-1 e 1) e resolvendo sem a condensação pivotal vem:

−−−−

3212525

63710636

384031

1ª Eliminação:

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−====

−−−−====

====

918988700

1431143320

384031

25

36

1

113

13

112

12

11

1

)()(

)()(

)(

lll

lll

/ll

2ª Eliminação:

−−−−−−−−

−−−−−−−−====

−−−−====

510035115398800

5715571610

384031

70

2

22

13

23

12

22 ,,

l)(ll

)/(ll

)()(

)(


Página 35 de 55

3ª Eliminação:

−−−−==== 997060100

5715571610

384031

5115323

33

,

,,

/(ll)(

Donde:

−−−−====−−−−−−−−====

====−−−−====

====

11595507785139970604038

07785199706057165715

997060

1

2

3

,,x,xx

,,x,,x

,x

Fazendo a condensação pivotal:

−−−−

3212525

384031

63710636

1ª eliminação

−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−====

−−−−====

====

75751397611680

753980556390555600

7511944409444421

25

36

113

13

112

12

11

1

,,,

,,,

,,,

lll

lll

/ll

)()(

)()(

)(

2ª Eliminação:

−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−

⇔⇔⇔⇔

753980556390555600

7575139711680

75119444409444421

32

,,,

,,,

,,,

ll

3ª Eliminação:

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−====

−−−−====

8113439811343900

10405110405010

7511944440944421

055560

61168

22

13

23

12

22

,,

,,

,,,

l),(ll

),/(ll

Dividindo 3l por (-39,81134), vem:

−−−−−−−−

−−−−====

−−−−====

1100

10405110405010

384031

8113439

61168

13

23

12

22 ,,

),/(ll

),/(ll


Página 36 de 55

Donde:

====−−−−++++−−−−====

−−−−====++++−−−−====

====

1194440944442751

1104050104051

1

1

2

3

,,,x

,,x

x

Que é uma solução mais adequada que a anterior.


Página 37 de 55

4.1.4 Refinamento da Solução

É obvio que mesmo com a condensação pivotal, pode persistir algum erro devido aos arredondamentos. Podemos, então, fazer um refinamento da solução. Seja o vetor abaixo a solução obtida:

),x..,,.........x ,x(x )n()()()(1

02

01

0 ==== e a solução exata seja:

)()( Exx 00 ++++====

onde a )(E 0

é o vetor correção as solução. Portanto devemos ter:

n)(

n)(

nnn)()(

n)(

n

)(n

)(nn

)()()(

)(n

)(nn

)()()(

b)Ex(a.................)Ex(a)Ex(a

.................................................................................................

b)Ex(a.................)Ex(a)Ex(a

b)Ex(a.................)Ex(a)Ex(a

====++++++++++++++++++++++++

====++++++++++++++++++++++++

====++++++++++++++++++++++++

0002

022

01

011

200

20

20

22201

0121

100

10

20

21201

0111

Equações 1

Se substituirmos o valor de )(x 0

no sistema original, teremos:

)(n

)(nnn

)(n

)(n

)()(nn

)()(

)()(nn

)()(

bxa.................xaxa

.................................................................

bxa.................xaxa

bxa.................xaxa

00022

011

02

02

0222

0121

01

01

0212

0111

====++++++++++++

====++++++++++++

====++++++++++++

Equações 2


Página 38 de 55

Subtraindo as equações 2 das equações 1 e definindo )()( bb 00 −−−−====ββββ , vem:

)(n

)(nnn

)(n

)(n

)()(nn

)()(

)()(nn

)()(

)Ea.................EaEa

..................................................................

Ea.................EaEa

Ea.................EaEa

00022

011

02

02

0222

0121

01

01

0212

0111

ββββ

ββββ

ββββ

====++++++++++++

====++++++++++++

====++++++++++++

Resolvendo este último sistema, encontramos um vetor x , aproximação de )(E 0

, e podemos ter:

)()( xxx 10 ++++====

até que tenhamos valores que satisfaçam o erro requerido. Exemplo: Fazer o refinamento do problema anterior resolvido sem condensação pivotal e se tivéssemos encontrado raízes (-5,1195; 1,07785 e 0,99706):

Calculamos o vetor residual )( 0ββββ :

5447811099706012077851511595525

9426862997060707785110611595536

389970604007785131159551

03

02

01

,),(),(),(b

,),(),(),(b

),(),(),(b

)(

)(

)(

−−−−====++++++++−−−−====

−−−−====++++++++−−−−====

====++++++++−−−−====

Então:

544781425447811032

057320942686263

03838

033

03

022

02

011

01

,),(bb

,),(bb

bb

)()(

)()(

)()(

====−−−−−−−−====−−−−====

−−−−====−−−−−−−−−−−−====−−−−====

====−−−−====−−−−====

ββββ

ββββ

ββββ

O vetor )(E 0

será obtido pela resolução do sistema:

5447814212525

057320710636

0403

03

02

01

03

02

01

03

02

01

,EEE

,EEE

EEE

)()()(

)()()(

)()()(

====++++++++

−−−−====++++++++

====++++++++

Trocando-se as 1ª pela 2ª linhas (condensação pivotal), vem:

−−−−

5447814212525

04031

057320710636

,

,


Página 39 de 55

36111 /ll ====

−−−−

5447814212525

04031

00159019444709444421

,

,,,

1ª eliminação:

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−

584531421397111680

00159080556390555600

00159019444709444421

,,,

,,,

,,,

Fazendo a condensação pivotal, vem:

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−

00159080556390555600

584531421397111680

00159019444709444421

,,,

,,,

,,,

2ª eliminação:

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−

117850799743900

09341210481010

00159019444709444421

,,

,,

,,,

−−−−−−−−

−−−−

==== 002960100

09341201098110

00159019444709444421

799743933

43 ,

,

,,,

,/ll)()(

====−−−−−−−−−−−−−−−−====

−−−−====++++−−−−====

====

9535950930829444420029601944470001590

093082002960109810093412

002960

11

12

13

,),(,)),(,(,x

,),(,,x

,x

)(

)(

)(

Logo a solução aproximada é:

====++++====

−−−−====−−−−====

====++++−−−−====

000021002960997060

015231093082077851

837640953595115955

3

2

1

,,,x

,,,x

,,,x


Página 40 de 55

4.1.5 Inversão de Matrizes

Um algoritmo de execução extremamente simples para inverter uma matriz )(mxnA pode ser obtido por uma adaptação do método de Gauss-Jordan. Seja a matriz 3x3:

====

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Onde 0≠≠≠≠A e a sua inversa (B) é:

====

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

Chamemos os 3 vetores coluna da matriz inversa de 321 be b ,b . Por definição de inversa teremos:

====

====

100

010

001

333231

232221

131211

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

x

aaa

aaa

aaa

A

Quando consideramos a formação da primeira coluna da matriz identidade pela

multiplicação de 1bx A , podemos dizer que:

====

====

0

0

1

31

21

11

333231

232221

131211

b

b

b

x

aaa

aaa

aaa

A

Logo, para determinar a primeira coluna 1b , da matriz inversa, basta resolver o sistema:

(((( ))))t1eonde ,ebx A 00111 ========

O que valeu para a primeira coluna vale para as outras duas. Assim para obter 2b e 3b , resolvemos os sistemas:

(((( ))))

(((( ))))t3

t2

eonde ,ebx A

eonde ,ebx A

100

010

33

22

========

========

Os três sistemas podem ser resolvidos pelo método de Gauss-Jordan. Como eles têm a mesma matriz (A), poderemos resolvê-los simultaneamente, pois as eliminações feitas em A, seriam exatamente as mesmas se as resoluções fossem feitas


Página 41 de 55

separadamente. As únicas modificações estarão nos termos independentes das incógnitas, o que contornamos trabalhando com uma matriz estendida (3x6).

====∆∆∆∆

100

010

001

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

E

Fazemos então as eliminações de Gauss-Jordan na matriz E∆∆∆∆ , ao fim das quais o vetor

solução 1b aparecerá na 4ª coluna, 2b na 5ª e 3b na 6ª. Exemplo: Seja a matriz a inverter (já acrescida da matriz identidade):

−−−− 100011

010342

001131

3

2

1

l

l

l

1ª Eliminação:

−−−−−−−−

−−−−−−−−====

−−−−====

====

101140

012120

001131

1

2

1

113

13

112

12

11

1

)()(

)()(

)(

l)(ll

lll

/ll

2ª Eliminação:

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−−−−====

−−−−====

−−−−====

123300

05015010

05125201

4

2

3

22

13

23

12

22

22

11

21

,,

,,

lll

)/(ll

lll

)()()(

)()(

)()()(

3ª Eliminação:

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

====

−−−−−−−−====

−−−−====

3333306666601100

1666601666601010

83333016666050001

3

50

52

23

33

33

22

32

33

21

31

,.

,,

,,,

/ll

l),(ll

l,ll

)()(

)()()(

)()()(

Logo a matriz inversa é:

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

3333306666601

1666601666601

83333016666050

,,

,,

,,,

. È óbvia a generalização do processo.


Página 42 de 55

5 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES O estudo é limitado aos sistemas não homogêneos de “n” equações a “n” incógnitas.

5.1 Métodos Iterativos

Métodos Iterativos consistem em se escrever o sistema bAX ==== sob a forma:

dxFx ++++==== )(

Onde F é uma matriz (m x n) e d é um vetor (nRd ∈∈∈∈ ).

Deste modo, partindo de uma aproximação inicial )0(x , fazemos as iterações:

...................................

( 2

( 1

)1()2(

)0()1(

dxFx

dxFx

a

a

++++====

++++====

e de um modo geral, se fizermos, ‘K’ iterações, obteremos a solução aproximada na iteração ‘k+1’, pela fórmula de recorrência:

dxFx kk ++++====++++ )( )()1(

Se:

0)( ====−−−−∞∞∞∞→→→→

xx k

kLim

diremos que a seqüência de aproximações )(kx converge para x . Caso contrário, diremos

que a seqüência diverge.


Página 43 de 55

5.2 Método de Jacobi

O método de Jacobi consiste na escolha da seguinte matriz F :

)...............(1

......................................................................

)...............(1

)...............(1

)0(1)1(1

)0(22

)0(11

)1(

)0(2

)0(323

)0(1212

22

)1(2

)0(1

)0(313

)0(2121

11

)1(1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−====

−−−−−−−−−−−−−−−−====

−−−−−−−−−−−−−−−−====

nnnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

Exemplo: Seja o sistema:

====++++

============−−−−

32

1x e 1x é solução cuja ,12

21

2121

xx

xx

Solução: Transformando de acordo com a disposição anterior, teremos:

)3(2

1

)1(2

1

12

21

xx

xx

−−−−====

++++====

Fazendo 021 ======== xx , teremos: 1ª Iteração:

5,1)03(2

1

5,0)01(2

1

)1(2

)1(1

====−−−−====

====++++====

x

x

2ª Iteração:

25,1)5,03(2

1

25,1)5,11(2

1

)2(2

)2(1

====−−−−====

====++++====

x

x


Página 44 de 55

3ª Iteração:

825,0)25,13(2

1

125,1)25,11(2

1

)3(2

)3(1

====−−−−====

====++++====

x

x

4ª Iteração:

9375,0)125,13(2

1

9125,0)825,01(2

1

)4(2

)4(1

====−−−−====

====++++====

x

x


Página 45 de 55

5.3 Método de Gauss-Siedel

É análogo ao método de Jacobi, com uma alteração esperada, em função da seguinte modificação:

Quando na 1ª iteração calculamos )1(

2x , já dispomos do valor de )1(

1x que pode, portanto, ser usado. Analogamente, podemos proceder assim para as demais iterações.

Teremos então na 1ª iteração e genericamente até a 1+k -ésima:

)...............(1

............................................................................................

)...............(1

)...............(1

)(1)1(1

)1(22

)1(11

)1(

)(2

)(323

)1(1212

22

)1(2

)(1

)(313

)(2121

11

)1(1

knn

kn

knn

nn

kn

knn

kkk

knn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

−−−−−−−−++++++++++++

++++++++

++++

−−−−−−−−−−−−−−−−====

−−−−−−−−−−−−−−−−====

−−−−−−−−−−−−−−−−====

Exemplo: Seja o mesmo sistema anteriormente visto pelo método de Jacobi:

====++++

====−−−−

32

12

21

21

xx

xx

Onde:

)3(2

1

)1(2

1

12

21

xx

xx

−−−−====

++++====

1ª Iteração:

2515032

1

50012

1

12

11

,),(x

,)(x

)(

)(

====−−−−====

====++++====


Página 46 de 55

2ª Iteração:

973,0)125,13(2

1

125,1)25,11(2

1

)2(2

)2(1

====−−−−====

====++++====

x

x

3ª Iteração:

0160,1)9690,03(2

1

9690,0)9375,01(2

1

)3(2

)3(1

====−−−−====

====++++====

x

x

4ª Iteração:

996,0)008,13(2

1

008,1)0160,11(2

1

)4(2

)4(1

====−−−−====

====++++====

x

x

5.4 Estudo da Convergência

Os métodos iterativos convergem sejam quais forem os valores iniciais adotados, desde

que em cada uma das equações a soma dos valores absolutos dos ija seja menor que 1.

),........2,1( para 11

nia

an

ijj ii

ij====<<<<∑∑∑∑

≠≠≠≠====

ou:

),........2,1( para 111

niaan

ijj

ij ====<<<<∑∑∑∑≠≠≠≠====

Exemplo:

22103 2

442 202

9 2 10

321

321

321

====++++++++−−−−

====−−−−++++

====++++++++

xxx

xxx

xxx


Página 47 de 55

6 Decomposição LU

Inicialmente veremos em que condições podemos decompor uma matriz quadrada A = (aij)

no produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior.

6.1 Teorema LU

Seja A = (aij) um matriz quadrada de ordem n, e Ak o menor principal, constituído das k

primeiras linhas e k primeiras colunas de A assumimos que det (Ak) ≠ 0 para k = 1, 2,..., n

–1. Então existe uma única matriz triangular superior U = (uij) tal que LU = A. Além disso,

det (A) = u11u12...umn.

Prova

Para provar este teorema usaremos a indução sobre n.

1. Se n = 1, temos que: a11 = 1. a11 = 1.u11 unicamente, e assim A = LU, onde L =

1 e U = u11. Além disso, det (A) = u11.

2. Assumimos que o teorema é verdadeiro para n = k – 1, ou seja, que toda matriz de

ordem k – 1 é decomponível no produto LU nas condições do teorema.

3. Devemos mostrar que a decomposição pode ser feita para uma matriz de ordem n

= k, seja, então, A uma matriz de k. Partimos esta matriz em sub-matrizes da

forma: A =

−−−−

kkt

k

as

rA 1

, onde r e s são vetores coluna, ambos com k

– 1 elementos.

Note que a matriz Ak – 1 é de ordem n k – 1 e satisfaz as hipóteses do teorema. Portanto

pela hipótese de indução esta pode ser decomposta na forma 111 −−−−−−−−−−−− ==== kkk ULA

Utilizando as matrizes Lk-1 e Uk-1, formamos:

L =

−−−−

1

01

t

k

m

L

; U =

−−−−

kk

k

u

pU

0

1

Onde m e p são vetores coluna, ambos com k – 1 componentes (mt é a transposta de m).

m, p e ukk são desconhecidos. Assim, impondo que a matriz A seja decomponível em LU

vamos tentar determiná-los.


Página 48 de 55

Efetuando o produto LU, segue que:

L =

−−−−

1

01

t

k

m

L

* U =

−−−−

kk

k

u

pU

0

1

⇒

++++====

−−−−

−−−−−−−−−−−−

kkt

kt

kkk

upmUm

pLULLU

1

111

Estudemos agora a equação LU=A, isto é:

====

++++

−−−−

−−−−

−−−−−−−−−−−−

kkt

k

kkt

kt

kkk

as

rA

upmUm

pLUL 1

1

111

Da igualdade acima concluímos que:

11 −−−−−−−− kk UL = 1−−−−kA ;

pLk 1−−−− = r ;

1−−−−ktUm =

ts ;

kkt upm ++++ = kka .

Observe que a primeira equação é válida para a hipótese de indução e, portanto Lk-1 e Uk-1

são univocamente determinadas. Além disso, nem Lk-1 e nem Uk-1 são singulares (ou Ak-1

também seria singular, contrariando a hipótese). Assim de:

pLk 1−−−− = r ⇒⇒⇒⇒ ;11 rLp k −−−−

−−−−====

1−−−−ktUm =

ts ⇒⇒⇒⇒ 1

1−−−−

−−−−==== ktt Usm

kkt upm ++++ = kka ⇒⇒⇒⇒ pmau t

kkkk −−−−====

Portanto p, m e ukk são determinados univocamente.

Finalmente,

Det(A) = det(L).det(U)

Det(A) = 1.det(Uk-1).Ukk Det(A) = u1.u2....uk-1.ukk, Completando a prova.


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6.2 Esquema prático para a decomposição LU

Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular as

inversões de Lk-1 e Uk-1. Entretanto, na prática podemos calcular L e U simplesmente

aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A.

Seja então,

−−−− 1...

0.:

:1

0...01

0...001

)1(21

.

.3231

21

.

nnnn lll

ll

l

*

nnu

uu

uuu

uuuu

0......0

:.:

...00

...0

...

.

3333

232322

13131211

=

nnnnn

n

n

n

αααααααααααααααα




...

:::::

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das

linhas de U e os elementos das colunas de L. Isto pode ser feito efetuando o produto de L

por U.

1. Produto da 1ª linha de L pelas colunas de U igualadas aos elementos da 1ª coluna

de A

1.u11 + 0.0 + ...+ 0.0 = a11

1.u11 = a11 ⇒⇒⇒⇒ u11 = a11

1.u12 = a12 ⇒⇒⇒⇒ u12 = a12

..... ..... .... .... ....

1. u1n = a1n ⇒⇒⇒⇒ u1n = a1n

Generalizando,

u1j = a1j, j = 1, 2, ...,n

2. Produto de todas as linhas de L (da 2ª até nª), pela 1ª coluna de U igualada com os

elementos da 1ª coluna de A (abaixo da diagonal principal):

11

2121211121

u

alaul ====⇒⇒⇒⇒====

11

3131311131

u

alaul ====⇒⇒⇒⇒====

... ... ... ...

11

111111

u

alaul nnnn ====⇒⇒⇒⇒====


Página 50 de 55

Generalizando,

niu

al i

i ,...,2,11

11 ========

3. Produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U (da 2ª até nª), igualadas aos

elementos de 2ª linha de A (da diagonal principal em diante)

22221221 0*0...0*0.1 auul ====++++++++++++++++

1221222222221221 ulauauul −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

1321232323231321 ulauauul −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++ ... ... ... ...

nnnnnn ulauauul 1212222121 −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

Generalizando,

njulau jjj ,...3,12122 ====−−−−====

4. O produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U igualando

aos elementos da 2ª coluna de A (dada diagonal principal em diante):

22

123132323222321231

U

UlalaUlUl

−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

22

124142424222421241

U

UlalaUlUl

−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

22

121222222121

U

UlalaUlUl nnnnnn

−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

ni

U

Ulal ii

i ,...,3,22

12222 ====

−−−−====

Se continuarmos calculando a 3ª linha de U, 3ª coluna de L, 4ª linha de U, 4ª coluna de L,

etc..., teremos de fórmulas gerais:


Página 51 de 55

>>>>

−−−−

====

≤≤≤≤−−−−====

∑∑∑∑

∑∑∑∑

−−−−

====

−−−−

====

jiu

ula

l

jiulau

jj

i

kkjikij

ij

i

kkjikijij

,

,

1

1

1

1

Aplicação à solução de problemas

Seja o sistema Ax = b de ordem n, onde A satisfaz as condições da decomposição LU.

Então o sistema Ax = b pode ser escrito como:

Ax = b Logo:

LUx = b Fazendo

Ux = y

A solução se reduz a: Ly = b

Resolvendo o sistema anterior, encontramos y e substituindo y e m Ux = y encontramos x.


Página 52 de 55

Exemplo de decomposição LU

Dado o sistema:

2 z - 3y

3 2z x

4 z - 3y 2

====

====++++

====++++x

Com esse sistema formamos duas matrizes

A =

−−−−

−−−−

130

201

132

e B =

2

3

4

Temos a fórmula Ax = B

Então fazemos A= L*U, Sendo:

L = Matriz Triangular inferior (lower) de diagonal unitária

U= Matriz Triangular Superior (upper)

L =

1

01

001

3231

21

ll

l e U =

33

2322

131211

00

0

u

uu

uuu

Multiplicando as matrizes L e U e igualando à matriz A, conseguimos obter todas as

incógnitas das matrizes L e U:

L =

1

01

001

3231

21

ll

l * U =

33

2322

131211

00

0

u

uu

uuu

= A=

−−−−

−−−−

130

201

132


Página 53 de 55

# Primeira linha de L multiplicando a primeira coluna de U: (i≤≤≤≤ j)

(1* u11) + (0 * 0) + (0 * 0) = a11

u11 + 0 +0= 2

u11 =2

#Primeira linha de L multiplicando a segunda coluna de U: (i≤≤≤≤ j)

(1* u12) + (u13 * 0) + (0 * 0) = a12

u12 + 0 +0= 3

u12 =3

#Primeira linha de L multiplicando a terceira coluna de U: (i≤≤≤≤ j)

1* u13) + (u23 * 0) + (u33 * 0) = a13

u13 + 0 +0= -1

u13 = -1

#Segunda linha de L multiplicando a primeira coluna de U: (i >>>> j)

(l21 * u11) + (0 * 0) + (0* 0) = a21

2 l21 = 1

l21 = 1/2

#Segunda linha de L multiplicando a segunda coluna de U: (i≤≤≤≤ j)

(l21 * u12) + (u22 * 1) + (0* 0) = a22

(3 * ½) + u22 = 0

3/2 . u22 = 0

u22 = -3/2

#Segunda linha de L multiplicando a terceira coluna de U: (i≤≤≤≤ j)

(l21 * u13) + (1* u23) + (0 * u33) = a23

(1/2 *(-1)) + (u23 + 0) = 2

(-1/2* u23) + 0 = 2

u23 = 2 + l/2

u23 = 2

14 ++++

u23 = 5/2


Página 54 de 55

#Terceira linha de L multiplicando a primeira coluna de U: (i >>>> j)

(l31 * u11) + (l23* 0) + (0 * 0) = a31

(l31* 2) + 0 + 0 = 0

l31 = 0

#Terceira linha de L multiplicando a segunda coluna de U: (i >>>> j)

(l31* u12) + (l32* u22) + 0 * 0 = a32

(0/2 * 3) + l32 - 3/2 + 0 = 3

(-3/2. l32) + 0 = 3

-3.l32 = 3*2

-3l32 = 6

l32= 6/3

l32 = 2

#Terceira linha de L multiplicando a terceira coluna de U: (i≤≤≤≤ j)

(l31* u13) + (l32* u23) + (1 * u33) = a32

(0/2 * 3) + 2 - 5/2 + u33 = -1

0-10/2 u33 = -1

u33 = -1+5

u33 = 4

Matriz Fatorada:

L =

−−−− 120

012/1

001

* U =

−−−−

−−−−

400

2/52/30

132

= A=

−−−−

−−−−

130

201

132

Voltando à fórmula Ax = B, como A = L* U obtemos LUx = B

Agora substituiremos Ux por Y e obtemos a fórmula LY = B, onde

L =

−−−− 120

012/1

001

* Y =

3

2

1

Y

Y

Y

= B =

2

3

4

Fazendo a multiplicação das matrizes (L e Y) e igualando à matriz B obtemos um Sistema Triangular Inferior de diagonal unitária.


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Resolvendo-o teremos:

Y1 = 4, Y2 = 1 e Y3 = 4

Como Ux = Y e os valores de U e Y já são conhecidos utilizaremos o mesmo

método utilizado para achar Y 1, Y2 , Y3 . Fazendo a multiplicação das matrizes U e X (X1,

X2, X3) e igualando à matriz Y, obtemos um SISTEMA TRIANGULAR SUPERIOR.

Resolvendo-o teremos:

U =

−−−−

−−−−

400

2/52/30

132

* X =

3

2

1

X

X

X

= Y =

3

2

1

Y

Y

Y

Donde:

X1 = 1 X2 = 1 X3 = 1

Tirando a Prova

Conforme a fórmula Ax = B, verificamos se os resultados obtidos X1, X2 e X3 satisfazem as condições da mesma, para isso multiplicaremos as matrizes A e X e igualamos à matriz B. Comparando os valores obtidos do produto AX com B, saberemos se encontramos a solução correta.

A =

−−−−

−−−−

130

201

132

* X =

3

2

1

X

X

X

= B =

2

3

4

Índice erros nas aproximaÇÕes ... - portal do aluno · no número 2,718278, a ordem decimal do...

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