ANÁLISE DE ESTRUTURAS GEOTÉCNICASSetembro de 2008

Nuno Manuel da Costa Guerra

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Índi e de MatériasI Introdução às Estruturas Geoté ni as 11 Introdução 31.1 A Análise de Estruturas Geoté ni as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 As estruturas geoté ni as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 A importân ia da determinação das argas de olapso e de deslo amentos deestruturas geoté ni as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II Métodos de análise do olapso de estruturas geoté ni as 172 Introdução aos métodos de determinação de argas de olapso 192.1 Problemas geoté ni os �simples�: determinação de argas de olapso . . . . . . . 192.2 Determinação de argas de olapso através de análise limite . . . . . . . . . . . 202.2.1 Algumas noções de plasti idade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 O prin ípio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3 Teoremas do olapso plásti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Exemplos de apli ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.5 Observações aos métodos de análise limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Determinação de argas de olapso através de equilíbrio limite . . . . . . . . . . 292.3.1 Prin ípios do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2 Exemplo de apli ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III Cargas de olapso 313 Impulsos de terras 333.1 Introdução aos impulsos de terras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33i

ii Índi e de Matérias3.2 Impulso de solos respondendo em ondições drenadas, om superfí ie horizontalem paramento verti al sem atrito solo-paramento . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2 Apli ação do teorema estáti o (TRI): a solução de Rankine . . . . . . . 343.2.3 Apli ação do teorema inemáti o (TRS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.4 Apli ação de método de equilíbrio limite: o método de Coulomb . . . . 393.2.5 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.6 Pressões da água, meios estrati� ados e sobre argas . . . . . . . . . . . 433.3 Impulso de solos respondendo em ondições não drenadas, om superfí ie hori-zontal em paramento verti al, sem adesão solo-paramento . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 Apli ação do teorema estáti o (TRI): a solução de Rankine . . . . . . . 453.3.3 Apli ação do teorema inemáti o (TRS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.4 Apli ação de método de equilíbrio limite: o método de Coulomb . . . . 483.4 Impulso de solos respondendo em ondições drenadas: superfí ie in linada, emparamento in linado om atrito solo-paramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.2 Método de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Comparação da solução de Coulomb om a de Caquot-Kérisel . . . . . . . . . . 543.6 A urvatura da superfí ie de deslizamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 Capa idade resistente às a ções verti ais 614.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Capa idade resistente às a ções verti ais em ondições não drenadas, para fun-dação de omprimento in�nito e arregamento verti al e entrado . . . . . . . . 624.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.2 Apli ação do teorema inemáti o (TRS): primeiras abordagens . . . . . 624.2.3 Apli ação do teorema estáti o (TRI): primeiras abordagens . . . . . . . 634.2.4 Apli ação de equilíbrio limite: primeiras abordagens . . . . . . . . . . . 654.2.5 Observações ao resultados obtidos nas primeiras abordagens . . . . . . . 654.2.6 Melhoria da solução obtida pelo teorema estáti o . . . . . . . . . . . . . 654.2.7 Melhoria da solução obtida pelo teorema inemáti o . . . . . . . . . . . 674.2.8 Observações ao resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Índi e de Matérias iii4.3 Capa idade resistente às a ções verti ais em ondições drenadas, para fundaçãode omprimento in�nito e arregamento verti al e entrado . . . . . . . . . . . . 694.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.2 Apli ação do método de equilíbrio limite: primeiras abordagens . . . . . 694.3.3 Apli ação do teorema inemáti o: primeiras abordagens . . . . . . . . . 704.3.4 Apli ação do teorema estáti o: primeiras abordagens . . . . . . . . . . . 714.3.5 Melhoria da solução obtida pelo teorema inemáti o . . . . . . . . . . . 724.3.6 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4 Nota à apa idade resistente para arregamento verti al e entrado . . . . . . . 754.5 In�uên ia do nível freáti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.6 In�uên ia da ex entri idade da arga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.7 In�uên ia da forma da fundação e da in linação da arga . . . . . . . . . . . . . 764.8 A formulação proposta no Euro ódigo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.8.1 Em ondições não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.8.2 Em ondições drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 Colapso de ma iços em talude 795.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Talude verti al, solo em ondições não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2.2 Apli ação do método do equilíbrio limite à análise não drenada da es-tabilidade de um talude verti al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.3 Apli ação do teorema inemáti o à análise não drenada da estabilidadede um talude verti al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.4 Apli ação do teorema estáti o à análise não drenada da estabilidade deum talude verti al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2.5 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3 Talude in�nito; solo em ondições drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3.1 Apli ação do teorema inemáti o à análise drenada da estabilidade deum talude in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3.2 Apli ação do teorema estáti o à análise drenada da estabilidade de umtalude in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

iv Índi e de Matérias5.3.3 Apli ação do método de equilíbrio limite à análise drenada da estabili-dade de um talude in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4 Talude in�nito; solo em ondições não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4.1 Apli ação do método de equilíbrio limite à análise não drenada da esta-bilidade de um talude in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4.2 Apli ação do teorema inemáti o à análise não drenada da estabilidadede um talude in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4.3 Apli ação do teorema estáti o à análise não drenada da estabilidade deum talude in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5 Talude in�nito; per olação paralela ao talude (EL) . . . . . . . . . . . . . . . . 905.6 Talude om geometria genéri a; ondições não drenadas (EL) . . . . . . . . . . 915.6.1 Análise por equilíbrio limite de superfí ie ir ular . . . . . . . . . . . . . 915.6.2 Método de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.7 Talude om geometria genéri a; ondições drenadas (EL) . . . . . . . . . . . . . 935.7.1 Os métodos de fatias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.7.2 Método de Fellenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.7.3 Método de Bishop simpli� ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.7.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96IV Veri� ação da segurança 976 Veri� ação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7 996.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 Os estados limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3 Os estados STR e GEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4 O estado EQU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5 Os estados UPL e HYD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037 Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes 1057.1 Instabilização de taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2 Causas da instabilização de taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Índi e de Matérias v7.3 Métodos de análise e veri� ação da segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.1 Veri� ação da segurança om base em oe� ientes par iais . . . . . . . . 1097.3.2 Veri� ação da segurança om base no oe� iente global . . . . . . . . . 1107.4 Té ni as de estabilização de taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4.1 Alteração da geometria do talude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4.2 Drenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.4.3 Reforço om in lusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.4.4 Construção de estruturas de suporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.4.5 Colo ação de re obrimento vegetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158 Veri� ação da segurança de fundações super� iais 1198.1 Tipos e funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.2 Critérios de segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.3 Rotura global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.4 Carregamento verti al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.5 Deslizamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239 Veri� ação da segurança de estruturas de suporte 1259.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2 Veri� ação da segurança de estruturas de suporte rígidas . . . . . . . . . . . . . 1279.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.2.2 Veri� ação da segurança em relação à rotura global . . . . . . . . . . . . 1289.2.3 Veri� ação da segurança em relação ao deslizamento . . . . . . . . . . . 1289.2.4 Veri� ação da segurança em relação ao arregamento verti al . . . . . . 1299.2.5 Veri� ação da segurança em relação ao derrubamento . . . . . . . . . . 1309.2.6 Estabilidade interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2.7 Drenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.3 Veri� ação da segurança de estruturas de suporte �exíveis . . . . . . . . . . . . 1329.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.3.2 Dimensionamento de ortinas simplesmente en astradas ou auto-portantes1349.3.3 Dimensionamento de ortinas mono-apoiadas através do método do apoiosimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

vi Índi e de Matérias

Parte IIntrodução às Estruturas Geoté ni as

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Capítulo 1Introdução1.1 A Análise de Estruturas Geoté ni asO presente texto aborda as estruturas geoté ni as e a sua análise, e pretende servir deapoio a uma dis iplina de Introdução às Fundações, entendida omo a segunda dis iplina deGeote nia num urso lássi o universitário de Engenharia Civil. Foi, em espe ial, es rito paraapoio a uma dis iplina de um urso de Mestrado em Engenharia Civil (no espírito da Con-venção de Bolonha), podendo igualmente servir de apoio a uma Li en iatura em EngenhariaCivil. Pretende dar uma formação bási a em Estruturas de Suporte, Fundações e Taludes,organizada de a ordo om o programa que se indi a em seguida:

• Introdução às Estruturas Geoté ni as• Introdução ao olapso dos ma iços � métodos de análise:� Métodos de Análise limite.� Métodos de Equilíbrio limite.• Colapso dos ma iços:� Pressões de terras.� Capa idade resistente ao arregamento verti al.� Colapso de ma iços em talude.• Veri� ação da segurança das estruturas geoté ni as aos estados limites últimos:� o Euro ódigo 7.� Veri� ação da segurança de fundações super� iais.� Veri� ação da segurança de taludes.� Veri� ação da segurança de estruturas de suporte.• Deslo amentos de estruturas geoté ni as.3

4 Capítulo 1. IntroduçãoO leitor deste texto deverá ter noções elementares de Me âni a dos Solos, onhe endo aspropriedades bási as de um solo em função da sua granulometria e dos limites de onsistên iae deve estar familiarizado om as propriedades índi e mais omuns aos solos. Deve onhe ero prin ípio das tensões efe tivas e os problemas de es oamentos em meios porosos. Deve estarfamiliarizado om os problemas de deformabilidade de solos e da sua resistên ia, em ondiçõesdrenadas e não drenadas.Na dis iplina bási a de Me âni a dos Solos que os utilizadores deste texto deverão terfrequentado, tomaram onta to, ompreenderam e interpretaram a �me âni a dos materiaisgeoté ni os�, tendo analisado esse omportamento sob o ponto de vista da sua resistên ia e dasua deformabilidade, de forma integrada, re orrendo, por exemplo, à me âni a dos solos dosestados ríti os.Pretende-se, om o presente texto, passar da me âni a do material � analisada habitual-mente num ponto � para a me âni a da estrutura geoté ni a, que exige a ompreensão dasalterações dos estados de tensão e as suas onsequên ias: determinação de argas de olapso ede deslo amentos. Tem igualmente omo obje tivo introduzir as noções de segurança e de ve-ri� ação de segurança, om parti ular destaque para a apli ação dos on eitos e metodologiasdo Euro ódigo 7.Para uma mais ompleta formação nesta área, deve seguir-se uma dis iplina mais ligadaao proje to e dimensionamento e que aborde Fundações espe iais e Contenções, que o textonão pretende obrir.Finalmente, para uma formação mais espe í� a na área da Geote nia, os ursos de Enge-nharia Civil têm, habitualmente, formação op ional mais espe í� a, das áreas da EngenhariaSísmi a, Obras Subterrâneas, Obras de Aterro, Modelação Avançada, et .1.2 As estruturas geoté ni asQualquer obra de Engenharia Civil tem uma omponente geoté ni a, dado que possui, pelomenos, a fundação. É o aso das estruturas mais orrentes, os edifí ios, que possuem fundaçõesque podem ser super� iais, se o terreno possuir super� ialmente ara terísti as adequadas às argas e às dimensões das fundações ou profundas, aso seja ne essário pro urar a maioresprofundidades as ara terísti as que não estão disponíveis à superfí ie. O tipo mais omum defundações super� iais são as �sapatas� e as fundações profundas são habitualmente designadaspor �esta as�. No que respeita a estes tipos de estruturas, há que efe tuar o dimensionamentodos próprios elementos estruturais e, do ponto de vista do solo, importa garantir, por um lado,a segurança em relação à rotura e, por outro, que não o orram assentamentos ex essivos, quepossam provo ar danos na super-estrutura (estrutura da obra a ser exe utada a ima do níveldo terreno) ou impedir o seu normal fun ionamento.Um outro tipo de estrutura geoté ni a muito omum é o aso dos muros de suporte. Con-forme o seu nome indi a, destinam-se a suportar os impulsos gerados pelo terreno suportadoe deverão ser estáveis, o que signi� a que não deverão, por exemplo, deslizar ou derrubar.

Capítulo 1. Introdução 5Este tipo de estrutura designa-se habitualmente omo estrutura de suporte rígida, pelofa to de fun ionar omo orpo rígido, não sendo a sua deformabilidade muito signi� ativanem tendo onsequên ias importantes no seu omportamento. Não é, no entanto, o aso das hamadas estruturas de ontenção �exíveis, omo as que são apresentadas na Figura 1.1. Comeste tipo de estrutura, onforme se pode veri� ar através da observação da referida Figura, épossível realizar es avações de fa e verti al om o re urso a ontenção adequada.

Figura 1.1: Estrutura de ontenção �exível an orada, em Seattle, nos EUA.As es avações de fa e verti al om ontenção �exível, no entanto, só são realizadas emmeios urbanos fortemente o upados e em que não é possível o re urso a outras soluções queutilizem taludes in linados. Estes apresentam o in onveniente de envolverem uma área muitomais signi� ativa mas a vantagem de serem normalmente muito mais e onómi os. O estudoda estabilidade e da estabilização de taludes é, assim, uma outra área tipi amente Geoté ni a.A Figura 1.2 mostra, numa representação esquemáti a, obras de estabilização de um talude,ne essárias no aso representado para que seja veri� ada a segurança da estabilidade da massade solo.

Figura 1.2: Representação esquemáti a de obras de estabilização de um talude.Os problemas de taludes o orrem quer em taludes naturais e de es avação quer em taludes

6 Capítulo 1. Introduçãode aterro, ou seja, em obras de terra. Os asos mais frequentes são os aterros de estradas e deaeródromos, assim omo os aterros de barragens de terra e, mais re entemente, os aterros deresíduos sólidos. Note-se que nestes tipos de obra, o próprio solo é utilizado omo material de onstrução, exigindo, assim, a sua ompa tação e o adequado ontrolo das suas ara terísti as.Igualmente a própria es olha do material a utilizar é um aspe to fundamental. Dado queservem obje tivos diferentes, as ara terísti as a exigir para um aterro de uma estrada são onsideravelmente diferentes das que se exigem no aterro de uma barragem. A ompa taçãode solos é, assim, uma matéria de grande importân ia, mas que não é abordada neste texto.Uma outra a tividade eminentemente geoté ni a é o melhoramento de terrenos. Pro ede-se ao melhoramento de terrenos quando as obras de engenharia ivil que se pretendem fazerem determinado lo al exigem solos om melhores ara terísti as do que as o orrem nesse lo al.Um outro tipo de obra fundamentalmente geoté ni a é o aso dos túneis. Estes são re-alizados quando por razões e onómi as, so iais e (ou) ambientais, se tornam vantajosos emrelação às es avações a éu aberto ou a outras obras. Um aso parti ularmente mediáti o einteressante foi o da exe ução do túnel sob a Man ha, a que se refere a Figura 1.3.

(a) Planta e orte longitudinal(b) Corte transversalFigura 1.3: Túnel sob a Man ha: planta, orte longitudinal e orte transversal.

Capítulo 1. Introdução 71.3 A importân ia da determinação das argas de olapso e dedeslo amentos de estruturas geoté ni asA variedade de obras geoté ni as justi� a, por si só, a importân ia e o interesse da Geote -nia omo área da Engenharia Civil. No entanto, essa importân ia torna-se talvez ainda maisevidente se tivermos em onsideração alguns asos em que ou os aspe tos geoté ni os não foramsu� ientemente onsiderados ou onstituíram notável surpresa para os té ni os e a so iedadee que resultaram em a identes ou simplesmente em in identes uriosos ou importantes.Independentemente das ausas que os provo aram, a análise e o estudo de a identes ein identes onstitui sempre um trabalho que onduz a uma importante aprendizagem.Um dos asos mais uriosos e onhe idos é o da torre in linada de Pisa, que apresentaainda a parti ularidade adi ional de a sua história ter sofrido em tempos muito re entes,importantes desenvolvimentos. Uma das publi ações mais interessantes sobre esta Torre é otexto da XIV Lição Manuel Ro ha (Jamiolkowsky, 1999) e a maior parte da informação queaqui se apresenta provém dessa interessantíssima Lição.Contrariamente ao que se possa pensar, a torre de Pisa tornou-se in linada ainda durantea própria onstrução. Esta de orreu em três fases, onforme ilustra a Figura 1.4 e em algumaszonas nota-se mesmo as tentativas de orre ção da in linação que se terá ini iado durante a2a fase.

Figura 1.4: Fases de onstrução da Torre de Pisa (Jamiolkowsky, 1999).As informações reunidas pela equipa responsável pelo estudo da Torre de Pisa sobre a suain linação estão reunidas na Figura 1.5, mostrando laramente a tendên ia para o aumentodaquela, assim omo a o orrên ia de alguns períodos em que o in remento da in linação éparti ularmente signi� ativo.Um estudo aprofundado do terreno, da torre e da sua fundação mostrou que seria espe -tável que o fenómeno fosse progressivo, isto é, que a ex entri idade ini ial da arga motivada

8 Capítulo 1. Introdução

Figura 1.5: Dados históri os sobre a in linação da Torre de Pisa (Jamiolkowsky, 1999).provavelmente por algum defeito geométri o durante a onstrução teria ini iado a in linaçãoda torre, aumentando assim a ex entri idade e assim su essivamente. Em todo o aso, � oubem laro que o fenómeno era asso iado ao terreno de fundação e ao seu iní io de rotura. Osmesmos estudos apontavam para oe� ientes de segurança da Torre bastante baixos, entre1.1 e 1.2, deixando antever que a ruína o orreria provavelmente nos próximos 40 a 50 anos,mantendo-se o ritmo de aumento da in linação.No entanto, esta previsão de ruína teria apenas em onsideração a instabilidade da torre omo orpo rígido que perderia o equilíbrio, não onsiderando portanto a in�uên ia que ain linação teria nas tensões na própria estrutura da torre. Com efeito, o fa to de a torre estarin linada provo a na própria alvenaria da sua estrutura tensões muito mais signi� ativas doque as que seriam de esperar se ela fosse perfeitamente verti al. Para além disso, a históri aruína o orrida em 1902 da Torre do Sino da Praça de S. Mar os em Veneza e, mais re ente-mente, em 1989, a da Torre do Sino da Catedral de Pavia, pare em ter tido omo origem ummodo de rotura deste tipo. A agravar tudo isto está ainda o fa to de este modo de roturao orrer de forma brus a, sem qualquer aviso.Investigações realizadas na Torre permitiram prever que, efe tivamente, este modo de

Capítulo 1. Introdução 9rotura seria o mais provável, e foi identi� ada a zona ríti a da estrutura. O pro esso dere uperação e reabilitação da Torre ini iou-se, assim, em 1992, om a instalação de abos deaço na estrutura da Torre por forma a minorar as hipóteses de o orrên ia de olapso estrutu-ral. Entre Maio de 1993 e Janeiro de 1994, foram instalados pesos de humbo para ontrariara ex entri idade da arga e, pela primeira vez na história da Torre, esta inverteu o sentidode variação da in linação. Em Fevereiro de 1999 ini iou-se uma outra intervenção, denomi-nada de �subes avação� (�underex avation�), que onsiste na retirada de solo sob a fundação,através de furos in linados realizados a partir da superfí ie do terreno. A Figura 1.6 mostraesquemati amente estas ini iativas, assim omo uma solução de re urso, na eventualidade dealgum omportamento indesejável da torre, que onsiste na apli ação de ontrapesos atravésdos abos sub-horizontais visíveis na mesma Figura. Os desenvolvimentos re entes pare emser, assim, de a ordo om a informação disponível, bastante favoráveis.

Figura 1.6: Representação esquemáti a da metodologia para orrigir par ialmente a in linaçãoda Torre de Pisa.O aso da Torre de Pisa é, portanto, bem elu idativo da importân ia da adequada onsi-deração dos me anismos de rotura de fundações super� iais. Tais me anismos serão obje tode estudo do presente texto.Um outro aso bastante onhe ido é o da rotura da Barragem de Malpasset. Trata-se deuma barragem de betão armado, em França, ujo a idente, de grande gravidade, foi provo- ado por de� iente omportamento da fundação, tendo-se desta ado uma unha da margemesquerda (Ro ha, 1981) no dia 2 de Dezembro de 1959. A barragem tinha sido terminadaem 1954 e o en himento da albufeira estava a o orrer desde há 5 anos. Fotogra�as do lo alda Barragem e das suas ruínas são apresentadas na Figura 1.7. Na sequên ia deste a idente,morreram 420 pessoas. A barragem nun a foi re onstruída.

10 Capítulo 1. Introdução

Figura 1.7: Ruínas da Barragem de Malpasset.Os sismos são das a ções que podem ausar maiores danos nas estruturas exe utadas peloHomem. A Figura 1.8 eviden ia os efeitos desta a ção sob a forma de liquefa ção do solode fundação, em onsequên ia do sismo de Niigata, em 1964. A liquefa ção é resultado doaumento das pressões da água no solo em onsequên ia da a ção sísmi a e o orre sobretudoem areias �nas soltas e submersas. Trata-se de um efeito que pode já ser par ialmente ompre-endido pelos on eitos de Me âni a dos Solos que o leitor deverá onhe er e que será tambéma�orada ao longo do presente texto.

Figura 1.8: Efeitos da liquefa ção do solo de fundação, no sismo de Niigata, em 1964.De onsequên ias menos devastadoras mas de inegável interesse é o aso da Cidade doMéxi o. Esta idade foi edi� ada num antigo lago, através da su essiva deposição de materialde aterro sobre este e da onstrução sobre este meio pantanoso e altamente deformável. Como onsequên ia, as estruturas sofrem assentamentos muito signi� ativos, onforme se pode ob-servar, por exemplo, na Figura 1.9(a), que mostra o Palá io das Belas Artes. A fotogra�a, porsi só, talvez não seja su� ientemente elu idativa, mas faz-se notar que os degraus des endentesda rua para o Palá io foram, em tempos, as endentes. O assentamento total foi, assim, daordem dos 3 m.Estes assentamentos, onforme referido, são devidos à existên ia de uma amada ompres-

Capítulo 1. Introdução 11

(a)

(b)Figura 1.9: a) Palá io das Belas Artes, na Cidade do Méxi o. Os degraus visíveis na foto-gra�a para a esso ao monumento foram, em tempos, as endentes; b) Basíli a e Convento dosCapu hinhos, na Cidade do Méxi o, onde são visíveis importantes assentamentos diferen iais.sível na fundação. Sob o ponto de vista estrutural, se os assentamentos forem uniformes nãoo orrem danos, se bem que outro tipo de in onvenientes possam existir, omo as ligações àsinfra-estruturas. No entanto, quando há assentamentos elevados, há normalmente também as-sentamentos diferen iais elevados, ou seja, assentamentos entre diferentes partes da estrutura.Naturalmente que estes assentamentos diferen iais tenderão a ser maiores se houver variaçõesde espessura da amada de solo ompressível. É o aso da Basíli a e do Convento dos Capu- hinhos que lhe é adja ente, também na Cidade do Méxi o, que se en ontra representado naFigura 1.9(b). O onvento, à direita da Basíli a, apresenta elevadíssimas deformações omoresultado deste fenómeno.A Figura 1.10 representa um aso de rotura de uma ortina de ontenção �exível, o orridaem Lisboa, em 1993, felizmente sem perda de vidas, que terá sido ausada por perda deequilíbrio verti al, isto é por perda de apa idade de arga verti al, fa e às omponentes

12 Capítulo 1. Introduçãoverti ais das argas impostas pelas an oragens.

Figura 1.10: Rotura de ortina de ontenção �exível em Lisboa.Um outro tipo de a idente geoté ni o bastante orrente e de onsequên ias que podem serbastante graves é o aso dos es orregamentos de taludes, isto é, de instabilizações de massasde solo ou ro ha. Apresentam-se dois asos.O primeiro o orreu nos Estados Unidos da Améri a, em La Con hita, no Colorado, e ofenómeno o orrido está bem eviden iado na Figura 1.11. Apesar das aparên ias, não houvequaisquer vítimas mortais.

Figura 1.11: Deslizamento de talude em La Con hita, no Colorado (EUA).

Capítulo 1. Introdução 13Este aso permite ter uma ideia bem lara do tipo de problemas om que a EngenhariaGeoté ni a tem, por vezes, que lidar, assim omo das enormes massas de solo que pode serne essário estabilizar. Os problemas de estabilidade de taludes serão abordados neste texto.No entanto, o segundo aso que se apresenta é ainda mais impressionante, quer pelo volumede terras envolvido quer pelas onsequên ias no que respeita a vítimas humanas. Com efeito,houve 2500 mortes a lamentar. Trata-se do es orregamento o orrido na margem esquerda daalbufeira da Barragem de Vajont. Esta barragem foi onstruída entre 1956 e 1960. No dia 9 deOutubro de 1963 uma enorme massa de material ro hoso deslizou para o interior da albufeira.A Figura 1.12 mostra a albufeira vista de montante, após o deslizamento. A Figura 1.13 é,talvez, mais lara e permite um melhor entendimento do o orrido.Como onsequên ia deste enorme es orregamento, om extensão aproximada de 1.7 km,formou-se uma enorme onda, proveniente da água da albufeira, expulsa pelo material es or-regado, que provo ou grandes prejuízos humanos e materiais. A vila de Casso foi destruída,assim omo as de Longarone, Pirago, Villanova, Rivalta e Fae. A barragem resistiu e en ontra-se a tualmente em fun ionamento.A ausa para este omportamento pare e estar na existên ia, entre o material ro hosodo vale na zona es orregada, de uma amada de argila de pequena espessura, ao longo daqual se terá dado a instabilização, por insu� iente resistên ia ao orte, diminuída devido aoen himento da albufeira, por redução da tensão efe tiva. Este on eito de tensão efe tiva é jádo onhe imento do leitor deste texto e será amplamente utilizado.As barragens de grandes dimensões são obras de grande importân ia e om grandes on-sequên ias nas so iedades que delas bene� iam, mas podem ser igualmente obras envolvendoin onvenientes importantes de ordem so ial ou ambiental ou mesmo os de orrentes dos asosem que o orrem a identes, onforme foram os dois respeitantes a barragens anteriormentereferidos (Malpasset e Vajont). Em nenhum destes asos, no entanto, se tratava de uma bar-ragem de terra (ou de aterro, omo podem ser igualmente designadas). O aso que em seguidase apresenta trata de uma barragem deste tipo.É o aso da rotura da barragem de Teton. No aso das barragens de terra, é espe távelque ao �m de alguns anos se instale no próprio orpo da barragem um regime de per olação(movimento da água nos solos) que, se a barragem tiver sido bem dimensionada e onstruídae se estiver a ser adequadamente explorada, deverá impli ar a passagem de um audal rela-tivamente pequeno pelo orpo da barragem. Uma questão espe ialmente importante quandohá es oamentos em solos (aterros ou não) é o aso da hamada �erosão interna�.A barragem de Teton foi destruída por erosão interna. Tratava-se de uma barragem om90 m de altura, onstruída no rio Teton, no Idaho, EUA. O en himento da albufeira omeçouem Novembro de 1975. O olapso deu-se a 5 de Junho de 1976, om a albufeira a 1 m da otamáxima e a 9 m do oroamento da barragem. A Figura 1.14(a) mostra a barragem, vista dejusante, após a onstrução.A rotura da barragem foi pre edida de um período de dois dias em que se veri� ou umgradual aumento da água per olada. Na manhã do dia 5 de Junho omeça a ser visível um

14 Capítulo 1. Introdução

Figura 1.12: Es orregamento de Vajont. Aspe to da albufeira vista de montante após odeslizamento.

Figura 1.13: Representação esquemáti a do es orregamento de Vajont. Estima-se que a massainstabilizada tenha atingido velo idades da ordem dos 30 m/s e que terá subido na margemdireita er a de 140 m; 45 segundos após o iní io do es orregamento não havia qualquermovimento de terreno.aumento da quantidade de água que atravessa o aterro na fa e de jusante da barragem. Cer adas 11:00 tinha-se formado um �túnel� no orpo da barragem om er a de 1.8 m de diâmetro.A Figura 1.14(b) traduz esta situação.Pou o antes das 12:00 horas formara-se uma bre ha (Figura 1.14( )) e a barragem estavaprati amente destruída (Figura 1.14(d)). Ao �m da tarde do dia 5, o aspe to da barragem erao que está representado na Figura 1.14(e).

Capítulo 1. Introdução 15

(a) (b)

( ) (d) (e)Figura 1.14: Rotura da Barragem de Teton.A rotura da barragem, apesar de rápida, permitiu a eva uação das populações a jusante,mas ainda assim 14 vidas humanas foram perdidas.Muitos dos asos apresentados mostram a ne essidade de se pro eder ao dimensionamentoem relação aos modos de rotura que esses asos mostraram e em relação a outros modos derotura. Assim, os próximos apítulos irão fo ar os métodos de análise de olapso de estruturasgeoté ni as e a determinação das argas de olapso dos asos mais simples dessas estruturasgeoté ni as. Com base no onhe imento dessas argas de olapso far-se-á, posteriormente, aintrodução à veri� ação da segurança.

16 Capítulo 1. Introdução

Parte IIMétodos de análise do olapso deestruturas geoté ni as

17

Capítulo 2Introdução aos métodos dedeterminação de argas de olapso2.1 Problemas geoté ni os �simples�: determinação de argasde olapsoNo estudo lássi o da Me âni a dos Solos, a rotura do solo foi analisada ao nível pontualou elementar, isto é, o estado de tensão era sempre assumido onstante no elemento de soloanalisado, pelo que o estudo podia ser feito omo se se tratasse de um ponto. Mesmo quandose pro urou abordar a questão sob um ponto de vista dos ensaios de laboratório e do ompor-tamento de provetes nestas ir unstân ias, o estado de tensão era sempre onstante, dado queas tensões apli adas ao provete eram bem onhe idas e a geometria e ondições de fronteirarelativamente simples.No entanto, onforme se viu no Capítulo 1, a rotura das estruturas geoté ni as não se faz,naturalmente, porque o estado de tensão num ponto atingiu o orrespondente à rotura mas simporque tal a onte eu ao longo de uma superfí ie ou ampla zona do ma iço. Na maior parte dassituações analisadas, a rotura o orreu de modo relativamente omplexo, em que diversos deta-lhes do problema in�uen iaram o o orrido. Veri� a-se, no entanto, que, por um lado, na maiorparte das situações estiveram presentes pelo menos uma de três situações geoté ni as simples,a que se fará referên ia em seguida e, por outro lado, o estudo destas situações geoté ni assimples onstitui uma base fundamental para a ompreensão das situações omplexas.Um dos obje tivos deste texto é, portanto, a determinação de argas de olapso de trêsproblemas geoté ni os �simples� e bási os, indi ados na Figura 2.1:

• a determinação de impulsos de terras;• a determinação de argas verti ais limites;• a determinação da geometria ou do peso de terras que induz a rotura de ma iços emtalude. 19

20 Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapso(a) (c)(b)Figura 2.1: Determinação de argas de olapso de problemas geoté ni os simples: a) deter-minação de impulsos de terras; b) determinação de arga verti al limite; ) estabilidade dema iços em taludeSão estes os asos bási os que serão obje to de análise no texto, partindo-se, em ada aso, da situação mais simples que vai, su essivamente, sendo tornada mais omplexa e maispróxima de uma situação real.A determinação de argas de olapso será feita re orrendo a duas té ni as:

• a análise limite;• o equilíbrio limite.Ambas as té ni as impli am a utilização de simpli� ações que serão des ritas e analisadasem seguida.2.2 Determinação de argas de olapso através de análise limite2.2.1 Algumas noções de plasti idadeAs soluções para qualquer problema de me âni a devem respeitar três ondições:• o equilíbrio;• a ompatibilidade;• as propriedades dos materiais.O ideal seria que as soluções fossem ompletas, isto é, que respeitassem as três ondições.No entanto, dada a omplexidade dos problemas, haverá que a eitar, em muitas situações, um ompromisso entre a possibilidade de obter soluções e a sua exa tidão.Assumir-se-á que as propriedades resistentes dos materiais geoté ni os podem ser es ritas,em ondições drenadas, por:

τ = σ′tgφ′ou, em ondições não drenadas por:τ = cu (2.1)O solo exibe omportamento elásti o para deformações muito pequenas; a partir de deter-minado valor de deformação, no entanto, o solo sofre deformações permanentes, irreversíveis.

Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapso 21A deformação total pode ser es rita através da soma da deformação elásti a om a defor-mação plásti a, ou sejadε = dεe + dεp (2.2)Para determinar as deformações plásti as é ne essário de�nir um ritério de edên ia, umalei de �uxo e uma lei de endure imento, o que permite onhe er, respe tivamente, quandoo orrem as deformações plásti as, qual a sua dire ção e o seu valor.As deformações plásti as o orrem quando, no espaço das tensões, é atingida a superfí iede edên ia, de equação genéri aF

(

σ′ij , εpij

)

= 0 (2.3)A dependên ia do ritério de edên ia das deformações plásti as traduz o endure imento.Para um material perfeitamente plásti o não o orre endure imento e os in rementos de tensão,uma vez atingida a superfí ie de edên ia, têm que o orrer na própria superfí ie. Caso tal nãoo orra, desenvolvem-se deformações plásti as de valor in�nito.Na análise limite, o material é onsiderado perfeitamente plásti o.Com o obje tivo de simpli� ar os ál ulos de estabilidade, é possível ignorar algumas das ondições de equilíbrio e de ompatibilidade e usar dois importantes teoremas da teoria do olapso plásti o. A onte e que ignorando a ondição de equilíbrio pode ser determinado umlimite superior da arga de olapso de forma a que se uma estrutura for arregada até este nível olapsará; de forma semelhante, ignorando a ondição de ompatibilidade pode determinar-seum limite inferior da arga de olapso de forma a que uma estrutura arregada até este valornão olapsará. Naturalmente que a verdadeira arga de olapso está entre estes dois limites.Habitualmente é possível obter limites inferiores e superiores da arga de olapso razoavel-mente próximos um do outro. Considerando, então, o material omo perfeitamente plásti o,e om lei de �uxo asso iada ter-se-á que, na rotura, o solo sofre deformações plásti as dein remento onstante e, portanto, om ve tor de deformação plásti a é normal à envolventede rotura (Figura 2.2).No aso não drenado, a envolvente de rotura é horizontal e não há deformações volumétri as(a deformação o orre a volume onstante) e, portanto, o in remento de deformação plásti a énormal à envolvente, onforme sugere a Figura 2.2. No aso drenado, a envolvente de roturaé do tipo da representada na mesma Figura e se a lei de �uxo for asso iada o ângulo dedilatân ia ψ é tal quetgψ = −δε

pn

δγp= tgφ′ (2.4)2.2.2 O prin ípio dos trabalhos virtuaisNo aso de orpos rígidos, o prin ípio dos trabalhos virtuais estabele e que se um orporígido está em equilíbrio então o trabalho das forças exteriores para um deslo amento virtual ompatível om as ondições de fronteira é nulo.

22 Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapsoPSfrag repla ementsσ

σ′τ

τ = cu

τ = cu

φ′

φ′

δεpn = 0δεpn

δγp

δγpδγp

ψ

τ, δγpτ, δγp

σ, δεpn σ′, δεpn

δεp −δεpn

Não drenado DrenadoFigura 2.2: In rementos de deformação plásti a de solo perfeitamente plásti o om lei de �uxoasso iada.Para o aso de orpos deformáveis, o mesmo prin ípio estabele e que o trabalho das forçasexteriores para um deslo amento virtual ompatível om as ondições de fronteira é igual aotrabalho realizado pelas tensões e deformações internas.2.2.3 Teoremas do olapso plásti oConsidere-se, então, um material om omportamento perfeitamente plásti o e om lei de�uxo asso iada. Na rotura, as forças e as tensões não se alteram, pelo que a omponenteelásti a das deformações é nula; qualquer in remento de deformação representa o in rementode deformação plásti a que é, omo se viu, normal à envolvente de rotura.Teorema inemáti o ou da região superiorO teorema da região superior (ou do limite superior ou teorema inemáti o) diz que se,para um dado me anismo de olapso ompatível, o trabalho das forças exteriores for igual aotrabalho das tensões internas, as forças exteriores apli adas ausam o olapso.Para provar a vera idade deste teorema, onsidere-se um sistema de forças exteriores, Fu om as orrespondentes tensões internas σ′u e um me anismo de olapso asso iado a deslo a-mentos na fronteira δωu e deformações internas δεu. Se a linha SS da Figura 2.3 representara superfí ie de edên ia, o in remento de deformação plásti a, δεu será normal à referidasuperfí ie.A apli ação do teorema superior onduz a que o sistema de forças Fu ausa olapso se∑

Fuδωu =

∫

σ′uδεudV (2.5)Se Fc e σc forem, respe tivamente, a verdadeira arga de olapso e as tensões internas

Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapso 23PSfrag repla ements σ′u

σ′c

δεu

σ′, δε

σ′, δε

S

S

Figura 2.3: Teorema da região superior. orrespondentes, o prin ípio dos trabalhos virtuais estabele e igualmente que∑

Fcδωu =

∫

σ′cδεudV (2.6)Considerando, da Figura 2.3, queσ′uδεu ≥ σ′cδεu (2.7)Resulta, assim, que

Fu ≥ Fc (2.8) onforme enun iado pelo teorema.Para determinar um limite superior é, assim, ne essário al ular o trabalho realizado pe-las tensões internas e pelas forças exteriores para um in remento de deslo amento de umme anismo ompatível. O trabalho de uma força é, simplesmente, o produto da força peloin remento de deslo amento na dire ção da força no seu ponto de apli ação, pelo que, paraforças on entradas, o ál ulo é normalmente simples de fazer.O trabalho das tensões internas é o trabalho dissipado pela deformação plásti a no ma-terial, nas superfí ies que formam o me anismo ompatível. Considere-se que na Figura 2.4estão representadas pequenas porções de superfí ies de deslizamento de um me anismo de olapso, que sofrem in rementos de deslo amento δw.PSfrag repla ements

σ σ′τ

τ = cu

φ′

δw

LL

yyψ

δℓ

δn

δγδγNão drenado DrenadoFigura 2.4: Trabalho das tensões internas em superfí ies de deslizamento

24 Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapsoNo aso drenado o trabalho das tensões internas (efe tivas) éδWi = τLδℓ− σ′Lδn (2.9)Note-se que, para um omportamento dilatante o trabalho das tensões normais é negativodado que σ′ e δn têm sentidos opostos. Dado que o volume da superfí ie analisada é V = Ly,

δεn = − δny e δγ = δℓ

y a equação (2.9) pode es rever-se omoδWi = τ ′Lyδγ + σ′Lyδεn = V (τδγ + σδεn) (2.10)Sendo o material puramente atríti o, tem-se que τ = σ tgφ′. Atendendo a que tgψ = − δεn

δγa equação anterior � aδWi = V

(

τδγ − τ

tgφ′δγ tgψ′

)

= V τδγ

(

1 − tgψ

tgφ′

) (2.11)Para um material om lei de �uxo asso iada, tem-se que ψ = φ′ pelo que, sendo puramentefri ional, o trabalho dissipado pelas tensões internas éδWi = 0 (2.12)Em ondições não drenadas o trabalho das tensões (totais) é

δWi = τLδw = cuLδw (2.13)Teorema estáti o ou da Região InferiorO teorema da região inferior (ou do limite inferior ou teorema estáti o) diz que se um onjunto de forças exteriores está em equilíbrio om as tensões internas que em nenhum pontoviolam o ritério de rotura, as forças exteriores apli adas não ausam o olapso.Considere-se novamente a superfí ie de edên ia SS, agora representada na Figura 2.5.PSfrag repla ements σ′l

σ′c

δεc

σ′, δε

σ′, δε

S

S

Figura 2.5: Teorema da região inferior.

Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapso 25Para a arga de olapso, ter-se-á que:∑

Fcδωc =

∫

σ′cδεcdV (2.14)e, para as forças Fl e tensões σ′l o prin ípio dos trabalhos virtuais permite on luir que:∑

Flδωc =

∫

σ′lδεcdV (2.15)Dado queσ′lδεc ≤ σ′cδεc (2.16)vem, onforme enun iado pelo teorema, queFl ≤ Fc (2.17)2.2.4 Exemplos de apli ação1. Utilizando o teorema da região superior e o me anismo indi ado na Figura 2.6, pretende-se estimar a arga F distribuída na largura B = 2 m que, em ondições não drenadas, onduz ao olapso. O solo é argiloso, tem peso volúmi o igual a 20 kN/m3 e resistên ianão drenada cu = 50 kPa.

PSfrag repla ements F

B

O

Figura 2.6: Exemplo de apli ação do TRS.Considerando o me anismo sugerido na Figura 2.6, onsidere-se o in remento de rotaçãoδθ, tal omo apresentado na Figura 2.7.O trabalho das forças exteriores é o produto das forças exteriores pelos deslo amentosque o orrem om a sua dire ção. As forças exteriores são a força F , uja estimativa(limite superior) FLS se pretende determinar e o peso do solo Ws.O deslo amento om a dire ção de FLS (verti al) no seu ponto de apli ação, para umarotação elementar δθ é:

δwF =B

2δθ (2.18)e o deslo amento om a dire ção de Ws (também verti al) é nulo. O trabalho das forçasexteriores é, portanto:

δWe = FLSδwF = FLS × B

2δθ (2.19)

26 Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapsoPSfrag repla ementsB

O

F

δθ r = BFigura 2.7: Me anismo ompatível e in remento de rotação δθ.O trabalho das tensões internas é o trabalho dissipado pela deformação plásti a nomaterial, nas superfí ies que formam o me anismo ompatível:δWi = πBcuBδθ = πB2cuδθ (2.20)De a ordo om o TRS,

δWe = δWi ⇒ FLSB

2δθ = πB2cuδθ ⇒ FLS = 2πBcu ≥ FEX (2.21)superior ou igual, portanto, à solução exa ta FEX .Assim, para os dados pretendidos (cu = 50 kPa;B = 2 m):

FLS = 2πBcu = 2 × π × 2 × 50 = 628.3 kPa (2.22)2. Considere-se o me anismo de olapso representado na Figura 2.8, relativo à apli ação deuma força Ip horizontal. Pretende-se determinar uma estimativa do valor máximo destaforça (impulso passivo, omo se verá) que produz uma situação de olapso. O me anismode olapso é representado pelo deslizamento da unha ABC ao longo do plano ACPSfrag repla ementsIp

A

B C

h

ℓ

Ws

δw

ξ

ψ = φ′

Figura 2.8: Me anismo de olapso para apli ação do teorema da região superior à determinaçãoda força Ip.Conforme anteriormente referido (Figura 2.4) o deslo amento na superfí ie AC tema dire ção indi ada por δw. Assim, apli ando o teorema da região superior, há quedeterminar o trabalho das forças exteriores:δWe = Ipδx−Wsδy (2.23)em que Ws é o peso do solo e δx e δy são, respe tivamente, os deslo amentos segundo x

Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapso 27e y.Dado que ℓ = htgξ = htg (90o − ξ) o peso do solo é

Ws =h tg (90o − ξ) × h

2× γ =

1

2γh2 tg (90o − ξ) (2.24)em que γ é o peso volúmi o do solo.Tem-se, por outro lado que o trabalho realizado pelas tensões internas é nulo, se omaterial for puramente atríti o (equação (2.12)). Sendo assim, apli ando o teorema,� a que

We = Wi = 0 (2.25)Como se tem queδy

δx= tg

(

ξ + φ′) (2.26)a equação (2.25) onduz a

Ip =1

2γh2 tg (90o − ξ) tg

(

ξ + φ′) (2.27)ou seja

ILSp =1

2KLSp γh2 (2.28) om KLS

p dado porKLSp = tg (90o − ξ) tg

(

ξ + φ′) (2.29)O valor assim obtido representa o limite superior da força horizontal, ou seja, se umvalor igual ou superior àquele for apli ado, o orre olapso.Aplique-se, então, a equação (2.8) a uma situação on reta de um solo om φ′ = 30o epara um ângulo ξ = 20o. Para esta situação,

KLSp = tg (90o − 20o) tg (20o + 30o) = 3.274 (2.30)Apli ando, assim, um impulso determinado om KLS

p = 3.274, de a ordo om o teoremada região superior, o orre rotura.3. Pretende-se al ular, através do teorema da região inferior, a estimativa da força Ip que onduz ao olapso do ma iço, em ondições não drenadas (Figura 2.9). O solo tem pesovolúmi o igual a 20 kN/m3 e resistên ia não drenada cu = 60 kPa.Considere-se um ponto genéri o, à profundidade z, tal omo indi ado na Figura 2.9.Neste ponto, a tensão verti al é prin ipal e tem o valorσv = γz (2.31)A tensão horizontal máxima que pode estar instalada no elemento em análise é tal que o ritério de rotura seja veri� ado, ou seja, onforme pode ser veri� ado através da Figura

28 Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapsoPSfrag repla ementsIp

h = 2 m

z

Figura 2.9: Problema de apli ação do teorema da região inferior.2.10,σh = σv + 2cu = γz + 2cu (2.32)

PSfrag repla ements τσ

cu

σv σh = σv + 2cu

Figura 2.10: Problema de apli ação do teorema da região inferior.Tal signi� a que a tensão que deve ser apli ada na superfí ie verti al é uma tensão queequilibre aquela, ou seja, de igual valor. Assim, o valor da força será a resultante destatensão:ILIp =

∫ h

0(γz + 2cu) dz =

[

1

2γz2 + 2cuz

]h

0

=1

2γh2 + 2cuh (2.33)De forma grá� a, pode onstatar-se que o diagrama de tensões que equilibra as tensõesatrás determinadas é o que se apresenta na Figura 2.11, pelo que se pode assim tambémveri� ar que a sua resultante é, naturalmente, a indi ada na equação (2.33).PSfrag repla ements

Iph

z

z

σh

2cu

γh+ 2cuFigura 2.11: Distribuição de tensões obtidas pelo teorema da região inferior.Para os dados do problema, a força ILIp tem, assim, o valor:ILIp =

1

2× 20 × 22 + 2 × 60 × 2 = 280 kN/m (2.34)

Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapso 292.2.5 Observações aos métodos de análise limiteOs métodos que re orrem à análise limite são dos mais bem fundamentados, teori amente,para a determinação de estimativas de argas de olapso. Permitem, num aso (TRS), deter-minar argas que ausam ne essariamente o olapso e, no outro (TRI), determinar argas quenão o provo am. Sempre que seja possível determinar valores das argas iguais através de ume outro método, ter-se-á en ontrado a solução exa ta.Faz-se igualmente notar que, em muitas situações, tal não será possível e determinar-se-á argas de olapso por uma e outra via, obtendo-se resultados diferentes. Se as soluçõesestiverem próximas poderá on luir-se que, para efeitos práti os, qualquer das soluções forne evalores adequados ao proje to.Tal signi� a que algumas soluções de formulações para a determinação de argas de o-lapso que são orrentemente usadas são soluções aproximadas, mas om su� iente grau deaproximação para o seu uso orrente.Re orda-se ainda que se onsiderou que a lei de �uxo do material era asso iada. Tal orresponde bastante bem à realidade no aso de materiais saturados reagindo em ondiçõesnão drenadas; no entanto, solos em ondições drenadas não exibem, normalmente, lei de �uxoasso iada. Para estes materiais, assim, não há uma orrespondên ia entre aquela hipótese daanálise limite e o omportamento real.Refere-se, a esse propósito que se pode demostrar, relativamente ao TRS, que um limitesuperior para um material om ψ = φ′ é também um limite superior quando ψ < φ′. Noentanto, não se pode demonstrar o equivalente relativamente ao TRI, isto é, não se podedemonstrar que um limite inferior para um material om ψ = φ′ o seja também para ψ < φ′.Em qualquer aso, tanto boas soluções da região superior omo boas soluções da regiãoinferior têm visto os seus resultados on�rmados por resultados experimentais, o que permite onsiderar esta metodologia de análise omo bastante adequada.2.3 Determinação de argas de olapso através de equilíbriolimite2.3.1 Prin ípios do métodoO método de equilíbrio limite é o mais orrentemente utilizado na determinação de argasde olapso de estruturas geoté ni as.A sua apli ação impli a, em primeiro lugar, a onsideração de um me anismo de olapsoarbitrário, que no entanto deverá ser tão próximo quanto possível do me anismo real. Emseguida, pro ede-se ao ál ulo do equilíbrio através da onsideração das forças e (ou) momentosapli ados ao blo o ou onjunto de blo os de�nidos pelo me anismo.O método ombina ara terísti as da região superior om ara terísti as da região inferior.

30 Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de argas de olapsoÉ onsiderado um me anismo, tal omo no TRS, mas não ne essita de ser ompletamente ompatível. Por outro lado, o equilíbrio de forças (global) é satisfeito, mas o equilíbrio lo alnão é investigado.Os resultados das soluções de equilíbrio limite não se en ontram ne essariamente ( omoa onte e om a análise limite) de um ou outro lado da solução exa ta, pelo que apenas per-mitem obter um valor que, se o me anismo for bem es olhido, a experiên ia tem demonstradoser um valor próximo da solução exa ta.2.3.2 Exemplo de apli açãoUtilizando um método de equilíbrio limite baseado no me anismo indi ado na Figura 2.12,pretende-se estimar a arga mínima Ia que mantem o solo em equilíbrio. O solo é arenoso, om φ′ = 33o e γ = 18 kN/m3.PSfrag repla ementsIa

h = 4 m

ξ = 45o φ′

Ws

R

90o − ξ

Figura 2.12: Exemplo de apli ação de método de equilíbrio limite.As forças apli adas ao blo o de�nido pelo me anismo são: Ia, Ws e R. O peso Ws podeser es rito omoWs =

1

2γh2 1

tgξ(2.35)A omponente verti al de R, Rv rela iona-se om Rh através de

RvRh

= tg(90 − ξ − φ′) (2.36)O equilíbrio de forças verti ais permite es reverΣV = 0 ⇒Ws = Rv = Rhtg(90 − ξ − φ′) (2.37)e o equilíbrio de forças horizontais

ΣH = 0 ⇒ IELa = Rh (2.38)Substituindo a equação (2.38) na equação (2.37) � a1

2γh2 1

tgξ= IELa tg(90 − ξ − φ′) ⇒ IELa =

1

2γh2 1

tgξtg(90 − ξ − φ′)(2.39)Substituindo, nesta equação, φ′ = 33o, h = 4 m, γ = 18 kN/m3 e ξ = 45o obtém-se IELa =

30.6 kN/m.

Parte IIICargas de olapso

31

Capítulo 3Impulsos de terras3.1 Introdução aos impulsos de terrasO problema da determinação de impulsos de terras foi brevemente des rito no Capítulo2 omo um dos três problemas geoté ni os �simples� que é obje to de análise neste texto.O problema em questão pode resumir-se ao que se apresentou na Figura 2.1(a) mas, numasituação mais genéri a, pode ser apresentado da forma indi ada na Figura 3.1.PSfrag repla ements

i

δβ

I

hFigura 3.1: Impulso de terrasO referido problema pode, portanto, resumir-se à ompreensão dos seguintes fa tos:1. há um valor mínimo da arga I que deve estar apli ada ao terreno por forma a que esteesteja estável, pelo que, se valores inferiores a este forem apli ados, o orre o olapso;2. há um valor máximo da arga I que pode ser apli ada ao terreno por forma a queeste permaneça estável, pelo que, se valores superiores a este forem apli ados, o orre o olapso.No primeiro aso, trata-se de um valor mínimo do impulso e este é designado por �impulsoa tivo� (Ia) e o estado de tensão a que tal orresponde no solo por �estado a tivo�. No segundo,trata-se de um valor máximo do impulso e este é designado por �impulso passivo� (Ip), sendoo estado de tensão a que orresponde esta situação designado por �estado passivo�.A situação a que orresponde a Figura 3.1 é relativamente geral, podendo ainda generalizar-se mais no aso de o terreno suportado ter superfí ie irregular ou suportar sobre argas apli- adas. Nesta Figura, i, β e h têm o signi� ado indi ado e δ é o ângulo de atrito entre o solo33

34 Capítulo 3. Impulsos de terrase a estrutura que o suporta. Este ângulo pode ter o sentido indi ado na Figura ou o oposto.Come e-se, no entanto, por analisar o problema simples sugerido pela Figura 3.2, om terrenorespondendo em ondições drenadas, om envolvente de rotura dado pela equaçãoτ = σ′tgφ′ (3.1)PSfrag repla ements IFigura 3.2: Impulso de terras: aso de paramento verti al, impulso horizontal, terreno supor-tado horizontal.3.2 Impulso de solos respondendo em ondições drenadas, omsuperfí ie horizontal em paramento verti al sem atrito solo-paramento3.2.1 IntroduçãoO problema em análise será estudado re orrendo às té ni as de determinação de argas de olapso estudadas no Capítulo 2:

• através do teorema estáti o ou da região inferior (TRI) � solução de Rankine;• através do teorema inemáti o ou da região superior, usando um me anismo do tipoplanar;• através de método de equilíbrio limite, usando também um me anismo de tipo planar �método de Coulomb.3.2.2 Apli ação do teorema estáti o (TRI): a solução de RankineImpulso a tivoConsidere-se, para as ondições em estudo de solo respondendo em ondições drenadas, om superfí ie horizontal em paramento verti al e sem atrito solo-paramento, um elemento desolo à profundidade z (Figura 3.3).Dada a inexistên ia de atrito solo-paramento, o impulso é, omo se viu, horizontal. Astensões efe tivas verti al e horizontal no elemento de solo são, assim prin ipais. A tensãoefe tiva verti al é, assim, dada por

σ′v = γz (3.2)

Capítulo 3. Impulsos de terras 35PSfrag repla ementsIa

zoFigura 3.3: Geometria do problema: apli ação do teorema da região inferior à determinaçãodo impulso a tivo: teoria de Rankinesendo γ o peso volúmi o do solo. É, assim, onhe ido um ponto do ír ulo de Mohr que ara teriza o estado de tensão no elemento (Figura 3.4). Pode igualmente representar-se aenvolvente de rotura do solo, dado pela equação (3.1).PSfrag repla ementsτ φ′

σ′σ′vσ′ha

45o + φ′/2

Figura 3.4: Apli ação do teorema da região inferior à determinação do impulso a tivo: teoriade RankinePretendendo-se onhe er o impulso a tivo, estão em ausa as menores tensões efe tivashorizontais que podem estar apli adas no elemento, σ′ha, sem violar o ritério de rotura dosolo. Esta tensão é a outra tensão prin ipal e é determinável atendendo a quesenφ′ =

(σ′v − σ′ha) /2(

σ′v + σ′ha)

/2→ σ′ha =

1 − senφ′

1 + senφ′σ′v =

1 − senφ′

1 + senφ′γz (3.3)O equilíbrio no elemento obriga a que a estimativa da tensão efe tiva horizontal mínima quene essita ser apli ada ao paramento verti al seja, portanto,

σ′LIha =1 − senφ′

1 + senφ′γz = KLI

a γz (3.4) omKLIa =

1 − senφ′

1 + senφ′(3.5)O oe� iente KLI

a é, portanto, a relação entre uma tensão efe tiva horizontal e uma tensãoefe tiva verti al, designando-se por � oe� iente de impulso�. Por ser a relação entre a tensão

36 Capítulo 3. Impulsos de terrasefe tiva horizontal a tiva e a tensão efe tiva verti al, é um � oe� iente de impulso a tivo�.Trata-se do oe� iente de impulso a tivo obtido por Rankine em 1857.A equação 3.4 mostra a dependên ia linear da tensão efe tiva horizontal a tiva om aprofundidade, onforme ilustra a Figura 3.5. A resultante do diagrama é, assim, a estimativado impulso a tivo dada pela apli ação do TRI:ILIa =

h∫

0

KLIa γzdz =

[

1

2KLIa γz2

]h

0

=1

2KLIa γh2 (3.6)

PSfrag repla ements45o + φ′

2

h

h3

KLIa γh

ILIa = 12K

LIa γh2

Figura 3.5: Impulso a tivo de RankineA Figura 3.4 permite ainda on luir que os planos segundo os quais o orrem as tensõestangen iais que igualam as tensões resistentes (ponto de tangên ia do ír ulo de Mohr àenvolvente de rotura) fazem um ângulo de 45o + φ′/2 om a horizontal.Impulso passivoSe estiver em ausa a determinação da estimativa do máximo valor do impulso (impulsopassivo), há que estudar o valor da tensão efe tiva horizontal máxima que pode estar apli adano elemento de solo à profundidade z. Essa tensão será a tensão σ′hp, indi ada na Figura 3.6.PSfrag repla ementsτ φ′

σ′σ′vσ′ha

σ′hp

45o + φ′/2

45o − φ′/2

Figura 3.6: Apli ação do teorema da região inferior à determinação do impulso passivo: teoriade Rankine

Capítulo 3. Impulsos de terras 37Para haver equilíbrio no elemento, a tensão σ′hp é tal que:senφ′ =

(σ′hp − σ′v)/2

(σ′hp + σ′v)/2→ σ′hp =

1 + senφ′

1 − senφ′σ′v =

1 + senφ′

1 − senφ′γz (3.7)O equilíbrio no elemento obriga a que a estimativa da tensão efe tiva horizontal máxima quepode ser apli ada ao paramento verti al seja, portanto,

σ′LIhp =1 + senφ′

1 − senφ′γz = KLI

p γz (3.8) omKLIp =

1 + senφ′

1 − senφ′(3.9)O oe� iente KLI

p é, portanto, a relação entre a tensão efe tiva horizontal passiva e a tensãoefe tiva verti al, pelo que é designado por � oe� iente de impulso passivo�.De forma análoga à que foi usada para a determinação da estimativa do limite inferior doimpulso a tivo, a estimativa do impulso passivo pode ser obtida através de:ILIp =

∫ h

0KLIp γzdz =

[

1

2KLIp γz2

]h

0

=1

2KLIp γh2 (3.10)3.2.3 Apli ação do teorema inemáti o (TRS)Impulso a tivoPara a determinação de uma estimativa do impulso a tivo (impulso mínimo que deve serapli ado por forma a evitar o olapso) através do teorema da região superior, propõe-se usaro me anismo de superfí ie planar sugerido pela Figura 3.7.

PSfrag repla ementsILSa h

ℓ

Ws

δw

ξ

ψ = φ′Figura 3.7: Apli ação do TRS om me anismo planar à determinação do impulso a tivoO trabalho das forças exteriores, δWe é dado por:δWe = −ILSa δx+Wsδy (3.11)que deve ser

δWe = δWi = 0 (3.12)O omprimento ℓ é dado porℓ =

h

tgξ= htg (90o − ξ) (3.13)

38 Capítulo 3. Impulsos de terrase as omponentes horizontal � δx � e verti al � δy � do deslo amento δw rela ionam-se daseguinte forma:δy

δx= tg

(

ξ − φ′) (3.14)Sendo o peso do solo, Ws, dado por

Ws =h tg (90o − ξ) × h

2× γ =

1

2γh2 tg (90o − ξ) (3.15)e atendendo às equações (3.11), (3.13) e (3.14), a equação (3.12) resulta em:

ILSa =1

2γh2tg(90 − ξ)tg(ξ − φ′) =

1

2KLSa γh2 (3.16) om

KLSa = tg(90 − ξ)tg(ξ − φ′) (3.17)A estimativa da região superior do oe� iente de impulso KLS

a depende do ângulo ξ, ouseja, do ângulo que o plano que de�ne o me anismo faz om a horizontal. Tratando-se de umasolução da região superior, todos os me anismos de�nidos pelo ângulo ξ ausam o olapso.Por exemplo, para o aso de φ′ = 30o e ξ = 50o, obtém-se, através da equação (3.17)KLSa = tg(90 − 50)tg(50 − 30) = 0.305 (3.18)Tal signi� a que o impulso a que orresponde o oe� iente KLS

a = 0.305 ausará o olapso,tal omo todos os valores determinados pela equação (3.17).Se todos os resultados dados pela equação (3.17) ausam o olapso, então a melhor soluçãoserá a que orresponde ao máximo dos valores forne idos pela equação.Assim, representando o oe� iente de impulso em função do ângulo ξ, obtém-se a Figura3.8. Desta Figura on lui-se que o máximo de ada urva, traçada para ada ângulo deresistên ia ao orte analizado, o orre para ξ = 45 + φ′/2.Assim, da equação (3.17) vem:KLSa = tg(90 − 45 − φ′/2)tg(45 + φ′/2 − φ′) = tg2(45 − φ′/2) (3.19)Assim, para o aso de φ′ = 30o, vem, da equação (3.19):

KLSa = tg2(45 − 30/2) = 1/3 (3.20)

Impulso passivoViu-se no exemplo 2 do ponto 2.2.4 que, no aso da determinação através do TRS doimpulso passivo (Figura 3.9), este era dado pela equação (2.28), sendo KLSp obtido pela equa-

Capítulo 3. Impulsos de terras 39

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

20 30 40 50 60 70 80 90

KLS a

ξ (o)

φ’=25o

φ’=30o

φ’=35o

φ’=40o

φ’=45o

ξ=45o+φ’/2

Figura 3.8: Variação de KLSa om o ângulo ξ.ção (2.29):

KLSp = tg (90o − ξ) tg

(

ξ + φ′) (3.21)

PSfrag repla ementsILSp h

ℓ

Ws

δwδx

δy

ξ

ψ = φ′Figura 3.9: Apli ação do TRS om me anismo planar à determinação do impulso passivoA equação (2.29) está representada gra� amente através da Figura 3.10. Dado que todas assoluções dadas pela referida equação ausam o olapso, tal impli a que todas as estimativas dosimpulsos (e, portanto, todas as estimativas dos oe� ientes de impulso passivo) orrespondema forças que ausam o olapso. Assim, a melhor solução orresponde ao menor valor, que se onstata ser obtido para ξ = 45 − φ′/2.A equação (2.29) � a, assim:KLSp = tg2(45 + φ′/2) (3.22)3.2.4 Apli ação de método de equilíbrio limite: o método de CoulombImpulso a tivoO método de Coulomb, publi ado em 1776, é um método de equilíbrio limite em queo me anismo é de�nido por uma superfí ie planar (Figura 3.11), tal omo a usada para a

40 Capítulo 3. Impulsos de terras

0

2

4

6

8

10

10 20 30 40 50 60

KLS p

ξ (o)

φ’=25o

φ’=30o

φ’=35o

φ’=40o

φ’=45o

ξ=45o−φ’/2Figura 3.10: Variação de KLSp om o ângulo ξ.PSfrag repla ements

Ia

Ws

ξ

φ′

R

ℓ

h90 − ξ

ξ − φ′Figura 3.11: Apli ação do método de Coulomb à determinação de impulso a tivoresolução do problema através do TRS.Como método de equilíbrio limite, impli a o estudo do equilíbrio de forças sobre a unhade solo de�nida pelo me anismo. Coulomb prop�s que tal equilíbrio fosse estudado atravésdo traçado do polígono de forças, onforme se sugere na Figura 3.11. Para haver equilíbrio, opolígono tem que fe har, uma vez que a soma ve torial das forças apli adas à unha de solotem que ser nula. A determinação grá� a do impulso de terras é, então, possível, através dadeterminação do ve tor que representa esse impulso para vários valores do ângulo ξ que asuperfí ie que de�ne o me anismo faz om a horizontal e da es olha do maior valor do impulsoa tivo.Atendendo a quetg(ξ − φ′) = Rh/Rv (3.23)queℓ = htg(90 − ξ) (3.24)

Capítulo 3. Impulsos de terras 41e queWs =

1

2γh2tg(90 − ξ) (3.25)tem-se que o equilíbrio de forças nas dire ções verti al e horizontal, de�nido pelas equações

ΣV = 0 →Ws = Rv (3.26)ΣH = 0 → IELa = Rh = Rvtg(ξ − φ′) (3.27) onduz a

IELa =1

2γh2tg(90 − ξ)tg(ξ − φ′) =

1

2KELa γh2 (3.28)sendo

KELa = tg(90 − ξ)tg(ξ − φ′) (3.29)Pode notar-se que a equação (3.29) é exa tamente a que se obteve a propósito da apli açãodo TRS om o mesmo me anismo, pelo que o máximo dos valores de KEL

a é também dadoporKELa = tg2(45 − φ′/2) (3.30)Impulso passivoA Figura 3.12 apresenta o me anismo orrespondente ao anteriormente apresentado, parao aso do impulso passivo. A unha de solo assim formada tenderá a deslo ar-se para a direitae para ima, pelo que a força R tem a dire ção agora indi ada na Figura ( onfrontar om aFigura 3.11).PSfrag repla ements

Ip

Ws

ξφ′

R

ℓ

hξ + φ′Figura 3.12: Apli ação do método de Coulomb à determinação de impulso passivoDa Figura pode on luir-se que:tg(ξ + φ′) = Rh/Rv (3.31)ℓ = htg(90 − ξ) (3.32)

Ws =1

2γh2tg(90 − ξ) (3.33)O equilíbrio de forças impli a que:

ΣV = 0 →Ws = Rv (3.34)

42 Capítulo 3. Impulsos de terrasΣH = 0 → IELp = Rh = Rvtg(ξ + φ′) (3.35)de onde:

IELp =1

2γh2tg(90 − ξ)tg(ξ + φ′) =

1

2KELp γh2 (3.36) om KEL

p atingindo o valor mais baixo para ξ = 45 − φ′/2, pelo queKELp = tg2 (45 + φ′/2) (3.37)3.2.5 ObservaçõesA determinação de impulsos a tivos e passivos de solos respondendo em ondições drena-das, om superfí ie horizontal em paramento verti al, sem atrito solo-paramento foi realizadare orrendo a três té ni as:

• análise limite, re orrendo ao teorema inemáti o (ou da região superior);• análise limite, re orrendo ao teorema estáti o (ou da região inferior);• equilíbrio limite.Em todos os asos foi possível es rever o resultado do impulso de terras re orrendo a umaexpressão do tipo

I =1

2Kγh2 (3.38)sendo K um oe� iente de impulso (a tivo ou passivo) determinado através dos métodos atrásreferidos e uja melhor solução é função, apenas, do ângulo de resistên ia ao orte.A solução obtida por análise limite usando o teorema estáti o orresponde à de Rankinee en ontra-se expressa nas equações (3.5), para o a tivo, e (3.9), para o passivo. A soluçãoobtida por análise limite usando o teorema inemáti o re orrendo a me anismo de�nido porsuperfí ie planar está expressa nas equações (3.19), para o a tivo, e (3.22), para o passivo.Dado que

1 − senφ′

1 + senφ′= tg2 (45 − φ′/2) (3.39)e

1 + senφ′

1 − senφ′= tg2 (45 + φ′/2) (3.40)tem-se que, para o aso analisado,

KLSa = KLI

a (3.41)eKLSp = KLI

p (3.42)pelo que é onhe ida a solução exa ta:KEXa = tg2(45 − φ′/2) (3.43)

Capítulo 3. Impulsos de terras 43KEXp = tg2(45 + φ′/2) (3.44)É igualmente interessante veri� ar que também o método de equilíbrio limite utilizado(método de Coulomb) permitiu obter a solução exa ta. Veri� a-se, na realidade, que a meto-dologia de equilíbrio limite de Coulomb é equivalente à solução da região superior que re orrea me anismo de�nido om base numa superfí ie de deslizamento planar, pelo que, omo severá, a solução de Coulomb é, assim, uma solução da região superior.3.2.6 Pressões da água, meios estrati� ados e sobre argasA presença de água aumenta as pressões totais sobre as estruturas de suporte. As pressõesde terras são determinadas apli ando o oe� iente de impulso, Ka ou Kp à tensão efe tiva,pelo que há que lhe somar a par ela do impulso da água.A Figura 3.13 mostra o ál ulo dos impulsos a tivos numa situação em que parte do solose en ontra saturada. A tensão σa é, naturalmente, dada porσa = Kaγhh1 (3.45)uma vez que, a ima do nível freáti o, se está a onsiderar que não há pressões intersti iais e, onsequentemente, as tensões efe tivas são iguais às tensões totais. A tensão σb é dada por

σb = Ka(γsath2 − γwh2) = Kaγ′h2 (3.46)e σc é, naturalmente, a pressão da água, pelo que é

σc = γwh2 (3.47)PSfrag repla ements h1

h2

σa σb σcFigura 3.13: Pressões da água e in�uên ia da água nas pressões de terras.Note-se que, à profundidade h1 +h2 a pressão de terras é σa+σb que é igual ao oe� ientede impulso a tivo, Ka, multipli ado pela tensão efe tiva verti al à profundidade indi ada, ouseja:σ′h1+h2

h = σa + σb = Kaσ′v = Ka(γhh1 + γ′h2) (3.48)A tensão total é, onforme referido, esta tensão somada da par ela da pressão intersti ial,

44 Capítulo 3. Impulsos de terrasou sejaσh1+h2

h = σ′h1+h2

h + uh1+h2 = σa + σb + σc = Ka(γhh1 + γ′h2) + γwh2 (3.49)A teoria de Rankine permite determinar om fa ilidade o impulso de terras em meiosestrati� ados, onforme ilustra a Figura 3.14. A tensão σa é dada porσa = Ka1γh1h1 (3.50) onforme anteriormente apresentado, sendo γh1 o peso volúmi o total do solo 1 e Ka1 o seu oe� iente de impulso a tivo. Imediatamente abaixo do ponto à profundidade h1, no entanto,o solo é diferente, om oe� iente de impulso a tivo Ka2, pelo que se veri� a queσb = Ka2γh1h1 (3.51)

sc

Solo 1

Solo 2

PSfrag repla ementsh1

h2

σa

σb σc

σd

σe

σfFigura 3.14: Meios estrati� ados e sobre argas.A Figura sugere que σb < σa, o que será possível seKa2 < Ka1, o que signi� a que φ′2 > φ′1.A tensão σc é dada porσc = Ka2γh2h2 (3.52)e σd tem o valor

σd = Ka2(γh1h1 + γh2h2) (3.53)ou seja, o oe� iente de impulso a tivo do solo 2 � orrespondente à zona onde se pretendedeterminar a pressão de terras � multipli ado pela tensão efe tiva verti al.A mesma �gura permite igualmente ompreender omo se al ulam as pressões de terrasquando, à superfí ie do terreno, são apli adas sobre argas de extensão in�nita. Com efeito,uma sobre arga deste tipo provo a um in remento de tensão verti al igual ao valor da sobre- arga transmitida, pelo que a pressão de terras a qualquer profundidade será somada de Kasc,pelo que as tensões σe e σf são dadas porσe = Ka1sc (3.54)σf = Ka2sc (3.55)

Capítulo 3. Impulsos de terras 45Faz-se notar que apesar da apresentação de meios estrati� ados, pressões da água e de-vidas a sobre argas ter sido apresentada tendo em atenção o ál ulo de impulsos a tivos, adeterminação de impulsos passivos é feita de a ordo om os mesmos prin ípios.3.3 Impulso de solos respondendo em ondições não drenadas, om superfí ie horizontal em paramento verti al, sem ade-são solo-paramento3.3.1 IntroduçãoTal omo no aso do problema anterior, o problema será estudado re orrendo à solução deRankine, a uma solução do teorema inemáti o (TRS) usando um me anismo do tipo planare ao método de equilíbrio limite (Coulomb) om uma superfí ie do mesmo tipo.3.3.2 Apli ação do teorema estáti o (TRI): a solução de RankineImpulso a tivoConsidere-se a situação esquemati amente representada na Figura 3.15. A menor tensãohorizontal que pode ser exer ida pelo solo respondendo em ondições não drenadas à produn-didade z éσha = σv − 2cu = γz − 2cu (3.56)PSfrag repla ements

h

γh 2cu

cu

zA

τ

σσvσhaFigura 3.15: Impulso a tivo de Rankine em solo respondendo em ondições não drenadasDe uma forma simples, ignorando o fa to de, até erta profundidade z, a resultante datensão apli ada ser negativa, isto é, orresponder a tra ção apli ada à estrutura de suporte,pode dizer-se que o impulso a tivo é o integral das tensões dadas pela equação anterior. Assim,o impulso a tivo poderia ser es rito omo:Ia =

∫ h

0σhadz =

∫ h

0(γz − 2cu) dz =

[

1

2γz2 − 2cuz

]h

0

=1

2γh2 − 2cuh (3.57)Tendo, no entanto, a referida limitação em onsideração, pode obter-se um resultado maisrealista. Assim, se até à profundidade z0 a resultante da tensão horizontal é negativa (tra ção),

46 Capítulo 3. Impulsos de terrastal signi� a que não vai o orrer até à referida profundidade, qualquer impulso de terras. Destemodo, o impulso será apenas o que resulta do diagrama triangular indi ado na Figura 3.16.PSfrag repla ementsh

γh 2cu

zA

z0γ(h − z0)

Figura 3.16: Impulso a tivo de Rankine em solo respondendo em ondições não drenadas:fendas por tra ção.A profundidade z0 (profundidade das fendas por tra ção) é tal queγz0 = 2cu ⇒ z0 =

2cuγ

(3.58)pelo que a tensão horizontal máxima do diagrama triangular resultante éγh− 2cu = γh− γz0 = γ(h− z0) (3.59)O impulso a tivo é, portanto,

Ia =1

2γ(h− z0)

2 (3.60)que pode ser es rito omoIa =

1

2γh2 − 2cuh+

2c2uγ

(3.61)Impulso passivoConsiderações semelhantes às que foram feitas a propósito do impulso a tivo permitem on luir que a tensão horizontal máxima que pode a tuar à profundidade z é

σhp = σv + 2cu = γz + 2cu (3.62)Os diagramas de pressões têm, neste aso, o mesmo sentido, pelo que não há lugar a fendaspor tra ção.O impulso passivo é, portanto:Ip =

1

2γh2 + 2cuh (3.63)

Capítulo 3. Impulsos de terras 473.3.3 Apli ação do teorema inemáti o (TRS)Impulso a tivoConsidere-se o me anismo planar indi ado na Figura 3.17.PSfrag repla ements

ILSa h

ℓ

L

Ws

δw

ξFigura 3.17: Apli ação do TRS om me anismo planar à determinação do impulso a tivoVeri� a-se que:ℓ = h/tg ξ (3.64)L = h/sen ξ (3.65)δy = δxtg ξ (3.66)sendo δy e δx as omponentes verti al e horizontal do deslo amento virtual δw.A força Ws é dada por

Ws =1

2γh2 1

tg ξ(3.67)e o trabalho das forças exteriores é

δWe = −Iaδx+Wsδy = −Iaδx+1

2γh2 1

tg ξδxtg ξ (3.68)A energia dissipada é

δWi = cuLδw = cuh

sen ξ

δx

cos ξ(3.69)Do TRS resulta que

δWe = δWi ⇒ ILSa =1

2γh2 − cuh

1

sen ξ cos ξ(3.70)Todas as soluções de Ia dadas por esta equação (para qualquer ξ) são soluções da regiãosuperior, o que signi� a que forne em resultados inferiores ou iguais ao valor exa to do impulso.Pode onstatar-se que o ângulo ξ que maximiza Ia é 45o, para o qual:

ILSa =1

2γh2 − 2cuh (3.71)Impulso passivoPode, de forma análoga à apresentada para o a tivo, obter-se

ILSp =1

2γh2 + 2cuh (3.72)

48 Capítulo 3. Impulsos de terras3.3.4 Apli ação de método de equilíbrio limite: o método de CoulombConforme se disse, a solução do método de Coulomb é oin idente om a do teorema inemáti o de me anismo planar. A solução obtida é, tanto para o aso a tivo omo o passivo,análoga à que a abou de se apresentar. Convida-se, assim, o leitor a demonstrá-lo.3.4 Impulso de solos respondendo em ondições drenadas: su-perfí ie in linada, em paramento in linado om atrito solo-paramento3.4.1 IntroduçãoPara a geometria �genéri a� e om atrito δ solo-estrutura que se apresenta esquemati a-mente na Figura não há solução de Rankine.PSfrag repla ementsh

i

δ βIFigura 3.18: Geometria para a determinação de impulso de solos respondendo em ondiçõesdrenadas, om superfí ie in linada, em paramento verti al, om atrito solo-paramentoEntre as soluções disponíveis referem-se:

• apli ação do teorema estáti o (TRI): solução publi ada em tabela de Caquot-Kérisel;• apli ação do teorema inemáti o (TRS): pode mostrar-se, omo se referiu, que a soluçãode me anismo planar oin ide om a solução de Coulomb.• apli ação de método de equilíbrio limite: há a solução de Coulomb.O problema do ál ulo das pressões orrespondentes aos estados limites a tivo e passivo,nas situações em que existe atrito entre o solo e a estrutura, foi formulado ini ialmente porBoussinesq. Admitindo um onjunto de hipóteses relativas às tensões no ma iço, impondoo equilíbrio estáti o, a ondição de equilíbrio limite e as ondições de fronteira adequadas(Matos Fernandes, 1990) Boussinesq obteve um sistema de equações diferen iais.A resolução do sistema de equações foi onseguida por Caquot e Kérisel, adoptando algu-mas hipóteses adi ionais, e hegando assim a uma solução da região inferior. A partir destasolução, Caquot e Kérisel elaboraram tabelas (Caquot e Kérisel, 1948; Caquot et al., 1972) deimpulsos a tivos e passivos que se tornaram bem onhe idas e divulgadas.

Capítulo 3. Impulsos de terras 493.4.2 Método de CoulombImpulso a tivoConsidere-se a estrutura de suporte representada na Figura 3.19 e admita-se que a unharepresentada om superfí ie plana fazendo um ângulo ξ om a horizontal se desta a da restantemassa de solo ausando um impulso a tivo sobre a estrutura de suporte.PSfrag repla ements

A

B

C

h

i

δ

ξ

βα

φ′

Ia

Ia

WW

R

R

ξ − iα+ i

β − ξξ − φ′

180o − β − δ

β + δ − ξ + φ′

Figura 3.19: Cunha de solo para avaliação dos impulsos a tivos em solos respondendo em ondições drenadas, pela teoria de Coulomb.Na referida Figura W é o peso da unha de solo, R é a resultante das forças normal ede orte na superfí ie BC e Ia é o impulso a tivo a tuante no muro (e de valor igual à suarea ção, apli ada à unha de solo, que se representa na Figura). Este impulso tem dire çãoin linada de δ om a normal à superfí ie do muro que suporta o terreno. δ é o ângulo de atritosolo�muro.Para um dado valor de ξ é onhe ido o valor de W . As outras duas forças a tuantes na unha podem ser onhe idas através do método grá� o sugerido na Figura 3.19. Destas duasforças sabe-se as linhas de a ção mas des onhe e-se o seu valor. O referido método grá� opassa pelo desenho do hamado polígono de forças, da forma que se des reve:1. representação da força W , à es ala e om a dire ção apropriada;2. mar ação, a partir da extremidade de W , da linha de a ção da força R;3. mar ação, a partir da origem de W , da linha de a ção da força Ia;4. o triângulo formado permite de�nir o polígono de forças e, logo, o valor de ada umadas forças envolvidas.Refere-se que a mar ação da linha de a ção das forças R e Ia, des rita nos pontos 2 e 3pode naturalmente ser tro ada, isto é, a mar ação da linha de a ção da força R pode ser feitaa partir do ponto de origem de W e a da linha de a ção da força Ia pode realizar-se a partirda extremidade de W .As simpli� ações bási as da teoria de Coulomb são as seguintes:

50 Capítulo 3. Impulsos de terras• a superfí ie de deslizamento é plana e passa pela base da estrutura de suporte; veri� a-sena realidade que as superfí ies são urvas, fa to que não tem onsequên ias importan-tes no que respeita ao ál ulo de impulsos a tivos mas, omo se verá, assume espe ialimportân ia na estimativa de impulsos passivos;• a dire ção do impulso de terras faz um ângulo δ om a normal ao plano da estrutura desuporte; este ângulo é o ângulo de atrito entre o solo e a estrutura; o impulso a tua naestrutura de suporte à altura de h

3 relativa à base;• o solo suportado é se o, homogéneo, isotrópi o, de omportamento rígido�plásti o.• a unha de solo a tua omo orpo rígido e o valor do impulso de terras onsidera oequilíbrio limite da superfí ie de deslizamento.A determinação do impulso é realizada através do equilíbrio das forças apli adas à unhade solo da forma que se des reveu anteriormente. No entanto, a in linação da superfí ie dedeslizamento, que forma a unha, é des onhe ida. Para a determinação do impulso a tivo há,pois, que efe tuar diversas tentativas de diferentes unhas, orrespondendo o impulso a tivoao maior valor obtido.O método de Coulomb é fa ilmente apli ável igualmente a asos em que a geometria doterreno suportado é irregular, omo por exemplo no aso da existên ia de superfí ies do terreno om diferentes in linações ou na presença de banquetas. A eventual presença destes elementosem nada afe ta o método, interferindo apenas no ál ulo de W .De forma semelhante, o método de Coulomb pode ser apli ado a asos de apli ação desobre argas no terreno suportado, impli ando tais sobre argas a onsideração no equilíbrio deforças de uma força adi ional orrespondente à sua a ção na unha em análise.A teoria de Coulomb pode igualmente ser estendida a asos om a presença de água (Figura3.20).

PSfrag repla ements

A

B

C

D EFh

S

T

i

δ

ξ

βα

φ′Ia

Ia

Iwa

IwaIwrIwr

W2

W ′2

W2w

W1

W1

R

Rhw

Figura 3.20: Cunha de solo para avaliação dos impulsos a tivos em solos respondendo em ondições drenadas, par ialmente submersos pela teoria de Coulomb.

Capítulo 3. Impulsos de terras 51Nestas situações, sendo a pressão intersti ial em B igual a γwhw, tem-se queIwr =

1

2× γwhw × hw

senξ=

1

2γwh

2w

1

senξ(3.73)e

Iar =1

2× γwhw × hw

senα=

1

2γwh

2w

1

senα(3.74)pelo que as omponentes horizontais de Iwr e Iwa são

IwrH = Iwrsenξ =1

2γwh

2w (3.75)e

IwaH = Iwasenα =1

2γwh

2w (3.76)ou seja, omo seria de esperar,

IwrH = IwaH (3.77)As omponentes verti ais das forças IwaeIwr sãoIwrV = Iwrcosξ =

1

2γwh

2w

cosξ

senξ(3.78)e

IwaV = Iwacosα =1

2γwh

2w

cosα

senα(3.79)pelo que a força verti al total apli ada pelos impulsos da água é

IwV = IwrV + IwaV =1

2γwh

2w

(

1

tgα+

1

tgξ

) (3.80)Note-se, por outro lado, que a área do triângulo BDE é igual aABDE =

1

2DEhw =

1

2(DF + FE)hw =

1

2

(

hwtgα

+hwtgξ

)

hw =1

2h2w

(

1

tgα+

1

tgξ

) (3.81)pelo que o peso da referida área (volume por unidade de omprimento) se estivesse ompleta-mente preen hido om água éW2w = ABDEγw (3.82)o que signi� a que o peso W2w é igual à resultante das forças verti ais devidas à água, dadaspela equação (3.80), onforme seria de esperar e onforme sugerido pelo polígono de forças daFigura 3.20.Note-se ainda que na estrutura de suporte há que onsiderar que, para além dos impulsosdo terreno, estão apli ados impulsos devidos à água no tardoz da estrutura de suporte.De a ordo om o referido, o método de Coulomb é um método essen ialmente grá� o, emque o impulso a tivo é determinado por traçado de um polígono de forças. Por este motivo,alguns autores dedi aram-se à apresentação de metodologias grá� as para a obtenção mais ou

52 Capítulo 3. Impulsos de terrasmenos expedita do referido impulso. Citam-se os métodos de Pon elet (de 1840), de Culman(de 1866) e de Rebhann (de 1871).No entanto, a metodologia da de�nição do polígono de forças pode ser onseguida por viaanalíti a. Com efeito, da lei dos senos pode on luir-se, da Figura 3.19, queIa

sen (ξ − φ′)=

W

sen (β + δ − ξ + φ′)(3.83)o que onduz a

Ia =W sen (ξ − φ′)

sen (β + δ − ξ + φ′)(3.84)A expressão 3.84 pode ser, assim, usada para, em função de vários valores de ξ, determinar oimpulso e assim determinar o máximo valor para que o orre.A mesma expressão ou uma expressão equivalente poderia ser obtida através da es rita deduas equações, uma orrespondente ao equilíbrio das forças na horizontal e outra ao equilíbriode forças na verti al. Estas duas equações formam um sistema a duas in ógnitas, Ia e R, doqual a solução de Ia é a equação (3.84).A resolução deste sistema (ou a apli ação da equação referida) é dependente de ξ, ou seja, orresponde à solução para uma dada unha. O impulso a tivo é, onforme referido, o máximodesses impulsos. Tratando-se de um problema de maximização pode igualmente pro urar-seo valor de ξ que maximiza o impulso Ia, ou seja, resolver a equação

dIadξ

=d

dξ

[

W sen (ξ − φ′)

sen (β + δ − ξ + φ′)

]

= 0 (3.85)Em 1906, Muller-Breslau on luíram que o impulso a tivo Ia que resulta da substituiçãoda solução da equação anterior na equação (3.84) éIa =

1

2Kaγh

2 (3.86)sendo h a altura da estrutura de suporte e Ka dado porKLS;ELa =

cosecβ sen (β − φ′)√

sen (β + δ) +√

sen(φ′+δ) sen(φ′−i)sen(β−i)

2 (3.87)A omponente horizontal do impulso pode ser determinada através deIaH =

1

2KaHγh

2 (3.88) omKaH = Kasen (β + δ) (3.89)

Capítulo 3. Impulsos de terras 53e a omponente verti al através deIaV =

1

2KaV γh

2 (3.90) omKaV = Kacos (β + δ) (3.91)O ponto de apli ação do impulso a tivo total não é dado dire tamente pela teoria deCoulomb mas pode ser determinada através da distribuição de tensões no tardoz da estruturade suporte. A distribuição de tensões pode ser deduzida determinando o impulso de terrasadmitindo diversas profundidades de passagem do plano de rotura. Se o impulso de terrasfor onhe ido relativamente a duas unhas de solo até às profundidades z e z + dz então oin remento de impulso pode ser determinado através de

dIa = σadz (3.92)em que σa é o valor médio das pressões a tivas em função da profundidade dz, pelo queσa =

dIadz

(3.93)A distribuição de pressões a tivas pode, assim, ser avaliada através da equação (3.93) parauma série de in rementos de profundidade entre o topo e a base da estrutura de suporte.Este pro edimento, no entanto, é apenas usado raramente, dado que se a in linação do ter-reno suportado é onstante e não tem apli ada qualquer sobre arga a distribuição de pressõesé triangular.Impulso passivoNo aso de avaliação do impulso passivo, o método de Coulomb onsidera prin ípios se-melhantes aos enun iados a propósito da determinação do impulso a tivo. A determinaçãopode ser grá� a, por um pro esso de tentativas, de unhas om diversas in linações, onformesugerido pela Figura 3.21, ou analíti a.Através do método grá� o bus a-se, agora, o valor mínimo do impulso. A solução analíti afoi obtida através da minimização do impulso, sendo avaliado através deIp =

1

2Kpγh

2 (3.94)sendo Kp, o oe� iente de impulso passivo, dado porKp =

cosecβ sen (β + φ′)√

sen (β − δ) −√

sen(φ′+δ) sen(φ′+i)sen(β−i)

2 (3.95)

54 Capítulo 3. Impulsos de terrasPSfrag repla ementsA

B

C

h

i

δ

ξ

βα

φ′

Ip

IpW

W

RR

ξ − i

α+ i

β − ξξ + φ′

180o − β + δ

β − δ − ξ − φ′

Figura 3.21: Cunha de solo para avaliação dos impulsos passivos pela teoria de Coulomb.3.5 Comparação da solução de Coulomb om a de Caquot-KériselConsiderou-se o aso de β = 90o e i = 0 e, através da equação (3.87), al ulou-se o oe� iente de impulso a tivo através da teoria de Coulomb. Consultando as tabelas de Caquot�Kérisel (Caquot et al., 1972) e sobrepondo os resultados pode obter-se a Figura 3.22, � ando laro que os valores não são exa tamente os mesmos.A análise desta Figura permite retirar as seguintes on lusões:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ka

δ (º)

Coulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40º

Caquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40º

Figura 3.22: Coe� ientes de impulso a tivo determinados pela teoria de Coulomb (equação(3.87)) para β = 90o e i = 0 fa e aos valores obtidos por Caquot e Kérisel (1948).

Capítulo 3. Impulsos de terras 55• os resultados da teoria de Caquot e Kérisel oin idem, para efeitos práti os, om os dateoria de Coulomb; por este motivo e pelo fa to de a teoria de Coulomb ser de utilizaçãomais práti a do que a teoria de Caquot e Kérisel (uso de expressão relativamente simplesfa e a onsulta de tabelas) é habitual que o impulso a tivo seja determinado para efeitosde dimensionamento através da teoria de Coulomb;• as diferenças que se veri� am entre os resultados estão, globalmente, de a ordo om oesperado: os resultados da teoria de Coulomb são inferiores aos da teoria de Caquot�Kérisel (veja-se, para maior lareza, o aso de φ′ = 20o); as ex epções a esta regra deverãoser apenas aparentes e devidas à diferença de pre isão adoptada na representação dosresultados (3 asas de imais no aso dos resultados da teoria de Coulomb e 2 asasde imais no aso da teoria de Caquot�Kérisel).De forma análoga pro edeu-se ao traçado da Figura 3.23, referente à omparação, para o aso do oe� iente de impulso passivo, da teoria de Coulomb om a teoria de Caquot�Kérisel.

1

10

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Kp

δ (º)

Coulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40ºCaquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40º

Figura 3.23: Coe� ientes de impulso passivo determinados pela teoria de Coulomb (equação(3.95)) para β = 90o e i = 0 fa e aos valores obtidos por Caquot e Kérisel (1948).Desta Figura pode on�rmar-se que os resultados da teoria de Coulomb estão substan i-almente a ima dos da teoria de Caquot�Kérisel. Sabe-se igualmente que a teoria de Coulombpode sobrestimar onsideravelmente os impulsos passivos, em parti ular para valores elevadosde δ. É frequente a�rmar-se que os resultados da teoria de Coulomb podem ser usados paravalores de δ inferiores ou iguais a φ′

3 ou, para outros autores, a φ′

2 . As razões para tais a�r-mações são laras a partir da Figura, em espe ial tendo em atenção o fa to de a teoria deCaquot�Kérisel onstituir uma boa aproximação do impulso real.

56 Capítulo 3. Impulsos de terras3.6 A urvatura da superfí ie de deslizamentoPelo que se mostrou até agora, sabe-se que:• a teoria de Coulomb onstitui uma aproximação do tipo da região superior, sendo por-tanto espe tável que sobrestime o impulso passivo e subestime o impulso a tivo;• os resultados de Caquot e Kérisel são, para efeitos práti os, na avaliação de impulsosa tivos, oin identes om os da teoria de Coulomb; sendo os resultados de Caquot�Kériseldo tipo da região inferior resulta que a solução exa ta é, prati amente, onhe ida;• na avaliação de impulsos passivos os resultados de Coulomb diferem substan ialmentedos de Caquot�Kérisel para valores elevados do ângulo de atrito solo�muro, δ; sabendo-se, om base em resultados práti os, que a teoria de Caquot�Kérisel forne e resultadosmais próximos dos reais, tem-se que a teoria de Coulomb se afasta onsideravelmentedaqueles.A que se deve, então, o referido afastamento na estimativa do impulso passivo, em parti- ular quando é sabido que tal afastamento não o orre no aso do impulso a tivo?A resposta está na questão da urvatura da superfí ie de deslizamento que de�ne a unhade solo. Diversos autores abordaram esta questão, desde os próprios Caquot e Kérisel (umadas hipóteses que assumiram para a resolução das equações diferen iais foi a existên ia de urvatura na referida superfí ie) passando por Janbu (1957), Shields e Tolunay (1973) (atravésde ál ulos usando o método das fatias) até Sokolovski (1960) usando a resolução numéri adas equações diferen iais através do método das diferenças �nitas ou ainda Rosenfarb e Chen(1972), que onsideram superfí ies ompostas por planos e espirais logarítmi as.Por uma questão de fa ilidade de realização dos ál ulos usou-se a metodologia propostapor Rosenfarb e Chen (1972) para determinação dos impulsos passivos para o aso anterior-mente referido de β = 90o e i = 0. A Figura 3.24 apresenta os resultados obtidos, omparando-os om os resultados de Caquot e Kérisel. Os resultados de Rosenfarb e Chen (1972) são dotipo da região superior, o que é onsistente om a Figura, na qual estes resultados são siste-mati amente superiores (ou iguais) aos de Caquot e Kérisel. Apesar de, para valores elevadosde δ, haver diferenças signi� ativas entre as duas metodologias, veri� a-se que o intervalo estáagora muito mais estreito, on luindo-se então que os valores de Rosenfarb e Chen (1972)são substan ialmente melhores do que os de Coulomb. Volte-se, então, à questão ini ialmente olo ada: porque motivo tal fa to o orre?Conforme já se adiantou, a resposta reside na urvatura da superfí ie de deslizamento on-siderada: em duas soluções da região superior, uma forne e �bons� resultados (a de Rosenfarbe Chen (1972)) e a outra �maus� resultados (a de Coulomb), pelo fa to de na primeira ser as-sumida uma superfí ie de deslizamento urva plana e na segunda tal superfí ie ser onsideradaplana.Veja-se, em primeiro lugar, em que onsiste a solução de Rosenfarb e Chen (1972), apenasnos seus prin ípios bási os (Bowles, 1996). Na Figura 3.25 indi a-se o me anismo de olapso

Capítulo 3. Impulsos de terras 57

1

10

100

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Kp

δ (º)

Rosenfarb e Chen φ’=20ºRosenfarb e Chen φ’=30ºRosenfarb e Chen φ’=40ºRosenfarb e Chen φ’=50ºCaquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40ºCaquot−Kérisel φ’=50º

Figura 3.24: Coe� ientes de impulso passivo determinados pela teoria de Caquot e Kérisel(1948) e por Rosenfarb e Chen (1972) para β = 90o e i = 0.adoptado, omposto de duas superfí ies planas entre as quais existe uma espiral logarítmi a.Este me anismo é, assim, ontrolado pelos valores dos ângulos ρ e ψ, podendo os oe� ientes deimpulso a tivo e passivo ser es ritos em função destes ângulos e pro edendo-se à minimização(no aso passivo) ou maximização (no aso a tivo) em relação a estas duas variáveis.PSfrag repla ements

ψ

ρ

i

βδ

espiral logarítmi aFigura 3.25: Me anismo de olapso onsiderado por Rosenfarb e Chen (1972) para o asopassivo.Aplique-se, agora, os métodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen a dois asos para o ál ulo dos oe� ientes de impulso a tivo e passivo: um om ângulo de resistên ia ao orte de30o e ângulo de atrito solo�estrutura de 20o e outro om ângulo de resistên ia ao orte de 40oe ângulo de atrito solo�estrutura de 26.67o. Os oe� ientes de impulso foram já determinadospara o traçado de �guras anteriormente apresentadas mas resumem-se no Quadro 3.1.As on lusões da análise do Quadro são as já anteriormente referidas: resultados prati a-mente oin identes no aso do oe� iente de impulso a tivo e diferenças signi� ativas para o

58 Capítulo 3. Impulsos de terrasQuadro 3.1: Coe� ientes de impulso a tivo e passivo determinados pelos métodos de Coulombe de Rosenfarb e Chenφ′ (o) 30 40δ (o) 20 26.67

KCoulomba 0.297 0.200

KRosenfarb&Chena 0.299 0.201KCoulombp 6.105 18.717

KRosenfarb&Chenp 5.444 13.078 aso do oe� iente de impulso passivo.Para analisar estes resultados traçaram-se as superfí ies de rotura obtidas dos dois métodos,para as duas situações analisadas, para uma altura genéri a da estrutura de suporte h. Osresultados obtidos relativos ao impulso a tivo estão representados na Figura 3.26.

h

Iaδ

Rosenfarb e ChenCoulomb(a) φ′ = 30o; δ = 20o

h

Iaδ

Rosenfarb e ChenCoulomb(b) φ′ = 40o; δ = 26.67oFigura 3.26: Superfí ies de deslizamento orrespondentes ao impulso a tivo obtidas pelosmétodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen.Os resultados mostram superfí ies prati amente oin identes entre os métodos de Coulombe de Rosenfarb e Chen para os dois asos analisados. Os me anismos são, assim, prati amenteos mesmos, pelo que a solução é, naturalmente, prati amente a mesma, justi� ando os resul-tados referidos no Quadro, que podem ser generalizados a uma adequabilidade geral da teoriade Coulomb para a determinação de impulsos a tivos.Veja-se, agora, o que se passa relativamente aos impulsos passivos (Figura 3.27). Podeveri� ar-se, da sua análise, que:

• as superfí ies determinadas pelos dois métodos apresentam diferenças substan iais, or-respondentes a me anismos onsideravelmente diferentes e eviden iando a importân iada urvatura da superfí ie de edên ia;• as diferenças entre os me anismos são maiores para o maior valor do ângulo de resistên iaao orte.Estas observações justi� am, por um lado, as diferenças signi� ativas entre os oe� ientesde impulso passivo que se apresentaram no Quadro 3.1 e, por outro, o fa to de a diferençaser maior no aso do maior ângulo de resistên ia ao orte. Estas on lusões podem ser gene-

Capítulo 3. Impulsos de terras 59h Ip

δ

Rosenfarb e ChenCoulomb(a) φ′ = 30o; δ = 20o

h Ipδ

Rosenfarb e ChenCoulomb(b) φ′ = 40o; δ = 26.67oFigura 3.27: Superfí ies de deslizamento orrespondentes ao impulso passivo obtidas pelosmétodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen.ralizadas em relação à inadequabilidade da utilização da teoria de Coulomb para o ál ulo deimpulsos passivos, em parti ular nos asos de elevados valores de δ.

60 Capítulo 3. Impulsos de terras

Capítulo 4Capa idade resistente às a çõesverti ais4.1 IntroduçãoO problema da determinação de argas verti ais de olapso (ou da apa idade resistenteàs a ções verti ais) foi já apresentado brevemente no Capítulo 2 omo um dos três problemasgeoté ni os que onstituem o obje to de análise neste texto. Foi resumido, de forma simpli-� ada, no problema indi ado na Figura 2.1(b) mas, num aso genéri o, pode ser apresentado omo o problema que se indi a na Figura 4.1(a) e que orresponde à situação representada naFigura 4.1(b).PSfrag repla ements

q

B × L

F

e

(a)PSfrag repla ements B × L

F

D(b)Figura 4.1: Capa idade resistente às a ções verti ais. Como se verá, a in linação da arga, asua ex entri idade e a geometria da fundação ondi ionam a apa idade resistente às a çõesverti ais.O aso apresentado na Figura 4.1 é relativamente geral, salientando-se, desde já, que:• B é a menor dimensão da fundação em planta e L é a maior;• a base da fundação pode ser enterrada a uma profundidade tal que a tensão verti al(total ou efe tiva, onsoante o ál ulo seja não drenado ou drenado) seja q ou q′;• a arga F pode ser in linada e ex êntri a.61

62 Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti aisO aso que se irá analisar em primeiro lugar é, no entanto, bastante mais simples. Considera-se, assim, para iní io do estudo, que:• a fundação tem largura B mas omprimento L in�nito;• a arga F é verti al e entrada;• o solo responde em ondições não drenadas, om uma resistên ia não drenada cu.4.2 Capa idade resistente às a ções verti ais em ondições nãodrenadas, para fundação de omprimento in�nito e arre-gamento verti al e entrado4.2.1 IntroduçãoConforme se fez no apítulo anterior, este problema será analisado através dos métodos dedeterminação de argas de olapso estudados no Capítulo 2: teorema inemáti o (ou da regiãosuperior, TRS); teorema estáti o (ou da região inferior, TRI); método de equilíbrio limite.O aso em análise, onforme referido, é o que se sugere na Figura 4.2.PSfrag repla ements

q

B

F

γcuFigura 4.2: Capa idade resistente às a ções verti ais: fundação de omprimento in�nito, arregamento verti al e entrado, em solo argiloso respondendo em ondições não drenadas.4.2.2 Apli ação do teorema inemáti o (TRS): primeiras abordagensUm problema muito semelhante ao indi ado na Figura 4.2 foi já resolvido na se ção 2.2.4� exemplo 1. Na realidade, trata-se do problema indi ado na Figura 4.2 mas om q = 0.Adaptando-o para a situação em que q 6= 0 (ver Figura 4.3), on lui-se que, para o me anismonela indi ado e para um deslo amento elementar δwF do ponto de apli ação de F , o trabalhodas forças exteriores é:

δWe = FLSδwF − q B δwF (4.1)e a energia dissipada éδWi = πBcu (δwF × 2) (4.2)Fazendo, de a ordo om o TRS, δWe = δWi vem:

FLSδwF − q B δwF = πBcu (δwF × 2) ⇒ FLS/B = 2πcu + q (4.3)

Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti ais 63PSfrag repla ements

q

B

F

γcur = BFigura 4.3: Determinação da apa idade resistente verti al; ondições não drenadas e me a-nismo ir ular.Usando o me anismo sugerido pela Figura 4.4 e o diagrama de deslo amentos indi ado namesma �gura, obtém-se:

δwaF = δwF ; δwba = 2δwF ; δwa = δwb =√

2δwF (4.4)δWe = FLSδwF − q B δwF (4.5)

δWi =(

cuB√

2 ×√

2δwF

)

× 2 + cuB × 2δwF (4.6)δWe = δWi ⇒ FLS/B = (6cu + q) (4.7)PSfrag repla ements

B

F

a b

q

45o45o δwF

δwa

δwaδwb

δwb

δwba

δwaFFigura 4.4: Determinação da apa idade resistente verti al através do teorema inemáti o; ondições não drenadas e me anismo omposto por dois blo os.Atendendo a que ambos os resultados forne idos pelas equações 4.3 e 4.7 são da regiãosuperior, ambos provo am o olapso, pelo que o menor deles (equação 4.7) é o mais próximoda solução exa ta.4.2.3 Apli ação do teorema estáti o (TRI): primeiras abordagensConsidere-se agora a solução do problema anteriormente exposto através do teorema es-táti o. Admita-se, assim, onforme indi ado na Figura 4.5, a existên ia de dois planos dedes ontinuidade de tensões verti ais, om a lo alização indi ada e analise-se metade do pro-blema, onforme sugerido na �gura do lado esquerdo.A existên ia do plano de des ontinuidade de tensões indi ado impli a que, por um lado,

64 Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti aisPSfrag repla ementsB

qq

qr = F/Bqr = F/B

σv2σv1

σh2σh1

21Figura 4.5: Determinação da apa idade resistente verti al através do teorema estáti o em ondições não drenadas e admitindo um plano de des ontinuidade de tensões.o ampo de tensões é ontínuo em ada uma das duas zonas 1 e 2 e que, apesar de haverdes ontinuidade de tensões no plano, o estado de tensão neste é equilibrado.Admite-se ainda que, sendo a arga qLIr transmitida à fundação uma estimativa da argade olapso, ambas as zonas 1 e 2 têm estados de tensão limites, ou seja, os ír ulos de Mohrque os representam são tangentes às envolventes de rotura (neste aso em tensões totais).Sendo o peso volúmi o do solo igual a γ, tem-se que o estado de tensão verti al na zona1, num ponto qualquer à profundidade z (por exemplo, num ponto próximo do plano dedes ontinuidade de tensões) é

σv1 = γz + q (4.8)e, sendo o terreno horizontal e não havendo apli ação de tensões tangen iais à superfí ie doterreno (a tensão q é verti al), é uma tensão prin ipal. É, portanto, onhe ido um ponto do ír ulo de Mohr orrespondente ao estado de tensão na zona 1 (Figura 4.6).P

PSfrag repla ements cu 4cu

σv2 = qLIr + γzσv1 = γz + q = σh2σh1 σ

τ

90oFigura 4.6: Determinação da apa idade resistente verti al através do teorema estáti o em ondições não drenadas e admitindo um plano de des ontinuidade de tensões: ír ulos deMohr.Conforme se disse, o ír ulo de Mohr deverá ser tangente à envolvente de rotura, pelo queσh1 é também onhe ido e o ír ulo de Mohr orrespondente à zona 1 pode ser representado.Atendendo a que tem que haver equilíbrio no plano de des ontinuidade de tensões, a tensãoσh2 deverá ser igual a σh1, pelo que este ponto é também um ponto do ír ulo de Mohr

Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti ais 65 orrespondente ao estado de tensão na zona 2. Dado que este ír ulo de Mohr deve, também,ser tangente à envolvente de rotura, o ír ulo de Mohr 2 � a de�nido.Pode, assim, onstatar-se que a tensão σv2 é:σv2 = qLIr + γz = γz + q + 4cu (4.9)o que impli a que arga de rotura seja tal que

FLI/B = qLIr = 4cu + q (4.10)4.2.4 Apli ação de equilíbrio limite: primeiras abordagensConvida-se o leitor a, usando o me anismo sugerido pela Figura 4.2, pro urar o resultado orrespondente por equilíbrio limite, ou seja, es revendo a equação de equilíbrio de momentose determinando o valor da arga qELr que a veri� a. Para o referido me anismo o resultadoserá qELr = 2πcu + q.4.2.5 Observações ao resultados obtidos nas primeiras abordagensAnalisando o melhor resultado obtido na se ção 4.2.2 (teorema inemáti o) e o resultadoda se ção 4.2.3 (teorema estáti o) pode on luir-se que:FLI/B = qLIr = 4cu + q ≤ FEX/B = qEXr ≤ 6cu + q = qLSr = FLS/B (4.11)ou seja:

4cu + q ≤ qEXr ≤ 6cu + q (4.12)4.2.6 Melhoria da solução obtida pelo teorema estáti oA análise da representação do estado de tensão nas zonas 1 e 2 da Figura 4.5 através do ír ulo de Mohr (Figura 4.6) permite on luir que, da zona 1 para a zona 2 se veri� a umarotação de 90o nas tensões prin ipais. Com efeito, na zona 1 a maior tensão prin ipal é atensão horizontal, ao passo que na zona 2 a maior tensão prin ipal é a verti al. A análisedos ír ulos de Mohr re orrendo ao pólo permite on luir que as linhas indi adas a traço-ponto orrespondem às das fa etas em que as tensões prin ipais o orrem (verti al na zona 1e horizontal na 2).Tal rotação das tensões prin ipais é possível devido à existên ia do plano de des ontinui-dade de tensões anteriormente referido. Pode ompreender-se, no entanto, que é possível queuma melhor solução possa ser obtida usando mais do que um plano de des ontinuidade detensões e fazendo, om isso, om que a rotação das tensões prin ipais se faça de forma maisprogressiva.

66 Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti aisAnalise-se, assim, o aso de se onsiderarem dois planos de des ontinuidade, que fazemângulos β1 e β2 om a horizontal, onforme sugerido pela Figura 4.7.3

PSfrag repla ementsA

B

qqr

12

β1β2

Figura 4.7: Determinação da apa idade resistente verti al através do teorema estáti o em ondições não drenadas e admitindo dois planos de des ontinuidade de tensões.Come e-se por admitir que β1 = 60o e, posteriormente, que β2 toma o valor ne essáriopara que a rotação das tensões prin ipais seja, no total, igual a 90o. O estado de tensão nazona 1 é onhe ido, pelo que o ír ulo de Mohr pode ser representado (Figura 4.8):σv1 = γz + q; σh1 = σv1 + 2cu (4.13)

1 32

PSfrag repla ements

cu

σ

τ

γz + q σh1 γz + qr

oo60oβ1 = 60o

45o75o120o P1

P2

P3

θA = 30o θB = 60o2cusen θA 2cusen θB

Figura 4.8: Determinação da apa idade resistente verti al através do teorema estáti o em ondições não drenadas e admitindo dois planos de des ontinuidade de tensões: ír ulos deMohr.O pólo do ír ulo de Mohr 1 é P1, pelo que o estado de tensão no plano A pode ser onhe ido gra� amente rodando a fa eta horizontal do ângulo β1 = 60o. O ponto assimobtido, orrespondendo ao estado de tensão no referido plano, é igualmente um ponto do ír ulo de Mohr da zona 2. Este pode ser en ontrado fa ilmente, bus ando o ír ulo om raioigual a cu e que passa neste ponto.En ontrados os dois ír ulos de Mohr 1 e 2, pode veri� ar-se que a fa eta em que o orrea maior tensão prin ipal da zona 1 é uma fa eta verti al ( om a dire ção da linha a traço-ponto que passa por P1). Por outro lado, atendendo a que o pólo do ír ulo de Mohr 2 é P2, onstata-se que a fa eta em que o orre a maior tensão prin ipal da zona 2 é a linha a traço

Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti ais 67ponto que passa por P2. Esta linha faz um ângulo de 30o om a fa eta verti al (em que o orrea maior tensão prin ipal na zona 1), pelo que se on lui que o orreu uma rotação de tensõesde 30o, de 1 para 2.Como en ontrar, então, o ír ulo de Mohr da zona 3? Se β2 fosse onhe ido, o pro edimentoseria análogo ao anterior. No entanto, β2 não é onhe ido e deverá ser tal que, de 2 para 3, ause uma rotação da tensão prin ipal de 60o. O leitor poderá veri� ar que isso obriga a que opólo do ír ulo de Mohr da zona 3 seja um ponto P3 lo alizado sobre o eixo das ab issas (paraque a dire ção da fa eta onde o orre a máxima tensão prin ipal da zona 3 seja horizontal).Desta forma, tem-se que o ír ulo da zona 3 terá que ser o representado e o plano B o que seindi a, pelo que � a en ontrada, gra� amente, a tensão verti al na zona 3, igual a γz + qLIr .Considerações geométri as que não estão no âmbito do presente texto permitem on luirque as distân ias entre os entros dos ír ulos de Mohr estão rela ionadas om o ângulo derotação das tensões prin ipais da forma indi ada na Figura 4.8. Tem-se, assim, queγz + qLIr = γz + q + cu + 2cusen θA + 2cusen θB + cu (4.14)pelo que

qLIr =FLI

B= (1 + 2sen 30o + 2sen 60o + 1) cu + q = 4.73cu + qNote-se, no entanto, que a es olha da lo alização dos planos A e B poderia ser tal que ausasse, ada um deles, uma rotação das tensões prin ipais idênti a, isto é de 45o. Note-se,igualmente, que tal omo se onsiderou dois planos se poderia ter onsiderado três ou mais.No aso de se pretender que esses planos provoquem uma rotação idênti a (isto é, de 45o seforem dois planos, de 30o se forem três, et .) pode hegar-se aos resultados que se apresentano Quadro 4.1.Quadro 4.1: Estimativas da região inferior das argas de olapso de fundações super� iais em ondições não drenadas em função do número de des ontinuidades.Número de des ontinuidades FLI/B1 4.00cu + q2 4.83cu + q3 5.00cu + q5 5.09cu + q

∞ 5.14cu + q [= (2 + π)cu + q]Como se pode ver da análise deste quadro, os resultados tendem paraFLI/B = (2 + π)cu + q (4.15)4.2.7 Melhoria da solução obtida pelo teorema inemáti oConsidere-se o me anismo representado na Figura 4.9(a). Utilizando-o para determinaçãoda arga de olapso, o leitor deverá obter qLSr = 6cu + q. Pro ure-se, então melhorar esteme anismo onsiderando o que se representa na Figura 4.9(b). Trata-se de uma variante do

68 Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti aisanterior, em que o blo o entral é dividido em dois, admitindo o desenvolvimento de umasuperfí ie de deslizamento verti al om o omprimento ℓ.PSfrag repla ementsB

Fq

45o

45o45

o45

o (a) Me anismo APSfrag repla ements B

Fq

ℓ

ℓ45

o45o

45o45

o(b) Me anismo BPSfrag repla ements

oB

F

R

R

δθ

δa

δb

δf

δaδθ

45o45

o45

o45o ( ) Me anismo CFigura 4.9: Me anismos para determinação da apa idade resistente às a ções verti ais atravésdo teorema inemáti o.

Usando este me anismo, obtém-se:qLSr = 5.314cu + q (4.16)Atendendo a que o resultado assim obtido om o me anismo B é melhor do que o quese obtém do me anismo A, pode tentar-se melhorar ainda este me anismo através de novadivisão dos dois blo os entrais. Tal divisão tem omo limite o me anismo C, representado naFigura 4.9( ). Neste me anismo, a zona entral é dividida num número in�nito de blo os e,portanto, num número in�nito de superfí ies. Atendendo ao diagrama de deslo amentos quese representa na mesma �gura, tem-se que:

δWe = FLSδf + qBδf (4.17)

Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti ais 69eδWi = 2 × cuR× δa+ ΣcuR× δaδθ + ΣcuRδθ × δa

= 2 × cuB

√2

2×

√2δf + 2 ×

∫ π/2

0cuB

√2

2

√2δfdθ

= 2cuBδf + [2cuBδfθ]π/20 = (2 + π)cuBδf (4.18)Fazendo δWe = δWi obtém-se

FLS/B = (2 + π)cu + q (4.19)4.2.8 Observações ao resultados obtidosA análise do resultado obtido através do teorema da região inferior (teorema estáti o),expresso na equação (4.15), e do resultado obtido através do teorema da região superior(teorema inemáti o), expresso na equação (4.19), mostra que a solução exa ta foi obtida,pelo queFEX/B = (2 + π)cu + q (4.20)4.3 Capa idade resistente às a ções verti ais em ondições dre-nadas, para fundação de omprimento in�nito e arrega-mento verti al e entrado4.3.1 IntroduçãoO problema da determinação da apa idade resistente às a ções verti ais em ondiçõesdrenadas para um solo om peso volúmi o γ, ângulo de resistên ia ao orte φ′ e om umasobre arga q′ (tensão efe tiva) apli ada ao nível da base da fundação é um problema omplexoque, habitualmente, não é resolvido om esta generalidade. Assim, as determinações tradi i-onais da apa idade resistente para o aso de um solo om ângulo de resistên ia ao orte φ′pro uram não uma solução, mas duas: uma solução, qr;q′=0;γ 6=0, para a situação om q′ = 0 e

γ 6= 0 e uma outra solução qr;q′ 6=0;γ=0, para o solo om q′ 6= 0 e γ = 0. É, depois, assumido,simpli� adamente e do lado da segurança, queqr ≃ qr;q′=0;γ 6=0 + qr;q′ 6=0;γ=0 (4.21)4.3.2 Apli ação do método de equilíbrio limite: primeiras abordagensConsidere-se, omo primeira abordagem, o método do equilíbrio limite e o me anismorepresentado na Figura 4.10.Considerando, em primeiro lugar, que q′ 6= 0 e γ = 0, tem-se que, admitindo que, do ladoesquerdo, se mobiliza um impulso a tivo de Rankine e, do lado direito, um impulso passivo

70 Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti aisPSfrag repla ements F

B

q′

h

45o + φ′/2 45o − φ′/2Figura 4.10: Me anismo para determinação da apa idade resistente às a ções verti ais atravésde equilíbrio limite, em ondições drenadas.de Rankine, numa situação de equilíbrio limite, um é igual ao outro, pelo que:Kaq

ELr h = Kpq

′h⇒ qELr = K2pq

′ = q′NELq (4.22) om

NELq = K2

p (4.23)Para o aso q′ = 0 e γ 6= 0 vem:1

2Kaγh

2 +KaqELr h =

1

2Kpγh

2 (4.24)qELr =

1

2γBNEL

γ (4.25) omNELγ =

[

1

2

(

K2p − 1

)√

Kp

] (4.26)De a ordo om esta solução, � a, então:qELr =

1

2γBNEL

γ + q′NELq (4.27)sendo NEL

γ e NELq dados pelas equações (4.23) e (4.26), respe tivamente.4.3.3 Apli ação do teorema inemáti o: primeiras abordagensConsidere-se o mesmo me anismo apresentado na Figura 4.10 para apli ação do teorema inemáti o (Figura 4.11).Usando, tal omo anteriormente, ξa = 45o+φ′/2 e ξb = 45o−φ′/2, obtém-se, para φ′ < 30o:

NLSq =

tg(

45o + 32φ

′)

tg 3(

45o − φ′

2

) (4.28)eNLSγ =

1

2

tg(

45o + 32φ

′)

tg 4(

45o − φ′

2

) − cotg

(

45o − φ′

2

)

(4.29)

Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti ais 71PSfrag repla ements

F

B

q′

h

ooa b

ξa ξb

δfδa

δb

δ′q

ξa − φ′

ξb − φ′

φ′Figura 4.11: Me anismo para determinação da apa idade resistente às a ções verti ais atravésdo teorema inemáti o, em ondições drenadas.Convida-se o leitor a obter ambos os resultados.4.3.4 Apli ação do teorema estáti o: primeiras abordagensConsiderando um plano de des ontinuidade de tensões verti al, tal omo anteriormenteapresentado na Figura 4.5 e onsiderando o aso γ = 0 e q′ 6= 0, tem-se que (Figura 4.12):σ′v1 = q′

σ′h1 = σ′h2 = Kpq′

σ′v2 = σ′h2/Ka = Kpσ′h2 = K2

pq′ (4.30)

2

1PSfrag repla ementsφ′

σ′

v2 = qLIrσ′

v1 = q′ = σ′

h2σ′

h1 σ′

τ

Figura 4.12: Apli ação do teorema estáti o à determinação da apa idade resistente às a çõesverti ais, em ondições drenadas.Tem-se, assim, que, para γ = 0 e q′ 6= 0:qLIr = NLI

q q (4.31) omNLIq = K2

p (4.32)Faz-se notar que não é possível obter uma solução do mesmo tipo para o aso γ 6= 0 e

72 Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti aisq′ = 0.4.3.5 Melhoria da solução obtida pelo teorema inemáti oConsidere-se agora o me anismo representado na Figura 4.13. A superfí ie urva tem aforma de uma espiral logarítmi a, pelo que

rb = raeπ2tg φ′ (4.33)

PSfrag repla ements

F

B

q′

ooa b

ℓ

δf

δa

δb

δq

ra rbrFigura 4.13: Me anismo para determinação da apa idade resistente às a ções verti ais atravésdo teorema inemáti o, em ondições drenadas.De forma análoga, os deslo amentos dos blo os a e b podem ser rela ionados através de:δb = δae

π2tg φ′ (4.34)Atendendo a que

cos(45 + φ/2) =B/2

ra(4.35)vem que:

ra =B

2

1

cos(45 + φ/2)(4.36)pelo que

rb =B

2

1

cos(45 + φ′/2)e

π2tg φ′ (4.37)Tem-se, também, que

sen (45 + φ′/2) =ℓ/2

rb(4.38)o que onduz a

rb =ℓ

2

1

sen (45 + φ′/2)(4.39)sendo

ℓ = Btg (45 + φ′/2)eπ2tg φ′ (4.40)

Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti ais 73Os deslo amentos são:δa =

δfcos(45 + φ′/2)

δb =δf

cos(45 + φ′/2)e

π2tg φ′

δq = δbsen (45 + φ′/2) = δf tg (45 + φ′/2)eπ2tg φ′ (4.41)O trabalho das forças exteriores é

δWe = FLSδf − q′ℓδq (4.42)pelo que, sendo δWi = 0 e δWe = δWi

FLSδf = q′ℓδq (4.43)FLS/B = q′NLS

q (4.44) omNLSq = tg 2(45 + φ′/2)eπtg φ′ (4.45)De uma forma mais omplexa poderia deduzir-se igualmente o valor de Nγ usando o mesmome anismo. Tal dedução é, no entanto, substan iamente mais omplexa e onsidera-se queex ede os obje tivos do presente texto.4.3.6 ObservaçõesSe se pro urasse melhorar a solução obtida para Nq através do teorema estáti o, hegar-se-ia à on lusão de que este fa tor de apa idade de arga (admitindo um número in�nito deplanos de des ontinuidade, tal omo se fez para o aso não drenado) tomaria um valor dadopela mesma expressão (4.45) agora obtida para o teorema inemáti o. Tal signi� a que seria,portanto, en ontrada a solução exa ta de Nq:

NEXq = tg 2(45 + φ′/2)eπtg φ′ (4.46)Mostra-se, na Figura 4.14, a omparação entre os resultados de Nq anteriormente obtidos.Para o fa tor de apa idade de arga Nγ não é onhe ida ainda solução exa ta.A solução proposta pela formulação de apa idade resistente às a ções verti ais propostanum anexo do Euro ódigo 7 éNEC7γ = 2(Nq − 1)tg φ′ (4.47)A Figura 4.15 apresenta os resultados dos valores de Nγ anteriormente referidos, assim omoda solução obtida por usando resultados da região superior e da região inferior e que deveráestar muito próxima da solução exa ta (Hjiaj et al., 2005).

74 Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti ais

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Nq

φ’ (o)

LI (1 plano); EL (mec. planar)LS (mec. planar)LS (mec. espiral)

Figura 4.14: Comparação entre valores de Nq

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Nγ

φ’ (o)

EL (mec. planar)LS (mec. planar)EC7Hjiaj et al. (2005)

Figura 4.15: Comparação entre valores de Nγ

Veri� a-se da análise da �gura que os valores de Nγ forne idos pelo Euro ódigo 7 sãoligeiramente superiores à estimativa de Hjiaj et al. (2005).

Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti ais 754.4 Nota à apa idade resistente para arregamento verti al e entradoA expressão de apa idade resistente às a ções verti ais, admitindo-se a simpli� ação an-teriormente referida implí ita na equação (4.21), � a, para o aso analisado de arregamentoverti al e entrado na formaqr =

1

2γBNγ + q′Nq (4.48)para ondições drenadas, om Nγ e Nq dados por expressões omo as (4.47) e (4.46) e sendo

q′ a tensão efe tiva transmitida pelo solo à profundidade do plano de fundação eqr = (2 + π)cu + q (4.49)em ondições não drenadas, sendo q a tensão total transmitida pelo solo à profundidade doplano de fundação.Faz-se notar que os fa tores de apa idade resistente às a ções verti ais (fa tores de a-pa idade de arga � Nγ , Nq e, omo se verá, Nc) são função, ex lusivamente, do ângulo deresistên ia ao orte.Refere-se ainda que há uma outra simpli� ação implí ita na equação 4.48. Com efeito, omo se viu, o solo a ima do plano da fundação apenas é ontabilizado pelo efeito do seu pesona apa idade resistente; não é onsiderada qualquer resistên ia deste solo. Há, no entanto,variantes da expressão assim de�nida que, dire tamente ou através de orre ções, pro uram ontabilizar esse efeito. Tais formulações não serão abordadas neste texto.4.5 In�uên ia do nível freáti oA equação (4.49) admite que o solo está saturado e que responde em ondições não drena-das, sem que se analise separadamente as tensões efe tivas e as pressões intersti iais, devidoà di� uldade em estimar estas últimas e, portanto, em onhe er as primeiras.A equação (4.48) admite que o solo apresenta o nível freáti o a grande profundidade, nãoafe tando a zona envolvida pelas superfí ies de deslizamento. Para o nível freáti o lo ali-zado a profundidade oin idente om o plano de�nido pela base da fundação (Figura 4.16), aexpressão vem:qr =

1

2γ′BNγ + q′Nq (4.50)em que γ′ é o peso volúmi o submerso. Para asos em que o nível freáti o esteja um pou omais abaixo deste plano mas numa zona abrangida pelas eventuais superfí ies de deslizamentoque se formarão em aso de rotura, o ál ulo pode ser feito, simpli� adamente e do lado dasegurança, admitindo-o oin idente om o plano da base da fundação.Para nível freáti o a ima do plano da base da fundação o ál ulo da tensão q′ deve, na-turalmente, ter isso em atenção. Por outro lado, omo se verá, as a ções devem onsiderar a

76 Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti aisPSfrag repla ements q′

B

F

Figura 4.16: Capa idade resistente às a ções verti ais: nível freáti o oin idente om o planoda base da fundação.impulsão da água sobre a base da fundação.4.6 In�uên ia da ex entri idade da argaA ex entri idade, e, do arregamento (Figura 4.17) é tida em onsideração através daalteração da largura para o valor B′:B′ = B − 2 e (4.51)

PSfrag repla ementsq

B

B′

e

F

Figura 4.17: Capa idade resistente às a ções verti ais: ex entri idade do arregamento.Esta largura B′ é a largura na qual a arga F , om ex entri idade e � a entrada. Os ál ulos são, assim, realizados, substituindo a largura B pela largura B′.Conforme se verá, quando, na se ção seguinte, se abordar as fundações om omprimentoL �nito, a ex entri idade pode também existir segundo L. Se F tiver a ex entri idade eL nadire ção de L, então onsidera-se um omprimento L′ tal que:

L′ = L− 2 eL (4.52)4.7 In�uên ia da forma da fundação e da in linação da argaA forma e a in linação da arga são tidas em onsideração através de fa tores orre tivosapli ados às par elas da expressão de apa idade resistente em relação às a ções verti ais.

Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti ais 77Desta forma, as expressões (4.49) e (4.48) assumem, respe tivamente, a formaqr = (2 + π)cuscic + q (4.53)e

qr =1

2γBNγsγiγ + q′Nqsqiq (4.54)Nestas expressões os fa tores s são os fa tores de forma, que orrigem a expressão para o aso de fundação om omprimento L �nito e os fa tores i orrigem a expressão para o asode arregamento in linado.Estes fa tores, dos quais há diversas propostas, foram obtidos de diversas formas, omoensaios em modelo reduzido, ál ulos numéri os, et . A se ção seguinte apresenta as expressõesda formulação da apa idade resistente proposta num anexo do Euro ódigo 7.Refere-se ainda que os valores de qr determinados pelas expressões (4.53) e (4.54) orres-pondem a tensões de rotura normais à base da fundação, pelo que, quando multipli ados por

B′, forne em o valor da omponente verti al, V , da força F .4.8 A formulação proposta no Euro ódigo 7Apresenta-se nesta se ção a formulação proposta no Euro ódigo 7. Esta formulação, na suaversão em ondições drenadas apresenta, omo é o aso de outras formulações, uma ter eirapar ela que tem em onsideração a eventual existên ia de oesão efe tiva c′ (ou seja, se sepretender ara terizar a resistên ia do solo através de τ = c′ + σ′ tg φ′).A formulação onsidera ainda outra orre ção (a orrespondente à in linação da base, quenão se apresenta neste texto.4.8.1 Em ondições não drenadas

qr = (2 + π)cuscic + q (4.55)sc = 1 + 0.2

B′

L′(4.56)em que sc é o fa tor de forma, sendo B′ e L′ as largura e omprimento efe tivos da fundação(B′ < L′), om

B′ = B − 2eB (4.57)eL′ = L− 2eL (4.58)

78 Capítulo 4. Capa idade resistente às a ções verti aissendo eB e eL, respe tivamente, as ex entri idades do arregamento segundo B e segundo L.ic =

1

2+

1

2

√

1 − H

A′cu(4.59)em que ic é o fa tor de in linação do arregamento, om H ≤ A′cu e A′ = B′L′, sendo H a omponente horizontal da força apli ada F .4.8.2 Em ondições drenadas

qr =1

2γ′B′Nγsγiγ + c′Ncscic + q′Nqsqiq (4.60)

Nq = eπtg φ′tg 2(

45 + φ′/2) (4.61)

Nc = (Nq − 1) cotg φ′ (4.62)Nγ = 2 (Nq − 1) tg φ′ (4.63)em queNq , Nc eNγ são os fa tores de apa idade de arga (ou fa tores de apa idade resistenteàs a ções verti ais).

sγ = 1 − 0.3B′

L′(4.64)

sq = 1 +B′

L′senφ′ (4.65)

sc =sqNq − 1

Nq − 1(4.66)em que sγ , sc e sq são os fa tores de forma, que orrigem a expressão para o aso de fundação om omprimento L′ �nito. Nestas expressões B′ e L′ são, respe tivamente, as largura e omprimento efe tivos, onforme anteriormente des ritos.

iγ =

[

1 − H

V +A′c′cotg φ′

]m+1 (4.67)iq =

[

1 − H

V +A′c′cotg φ′

]m (4.68)ic = iq −

1 − iqNctg φ′

(4.69)em que iγ , iq e ic são fa tores de in linação do arregamento, sendo H e V as omponenteshorizontal e verti al do arregamento, A′ a área efe tiva (igual a B′ L′) e c′ a oesão efe tivado solo e sendo:m = mB =

2 +B′/L′

1 +B′/L′H com direccao de B (4.70)

m = mL =2 + L′/B′

1 + L′/B′H com direccao de L (4.71)

Capítulo 5Colapso de ma iços em talude5.1 IntroduçãoO ter eiro e último problema de olapso que será abordado neste texto é o de ma içosem talude (ver Figura 2.1( )). Tal omo a propósito da determinação de outras argas de olapso, utilizar-se-á as té ni as anteriormente des ritas: análise limite (teoremas estáti o e inemáti o) e equilíbrio limite.Aborda-se o problema do olapso de ma iços em talude onsiderando as seguintes situações:

• talude verti al formado por solo respondendo em ondições não drenadas;• talude in�nito formado por solo em ondições drenadas ou não drenadas;• talude om geometria genéri a deslizando om superfí ie ir ular (solo em ondiçõesdrenadas e não drenadas).5.2 Talude verti al, solo em ondições não drenadas5.2.1 IntroduçãoConsidere-se, em primeiro lugar, o problema a que se refere a Figura 5.1, de um soloargiloso, respondendo em ondições não drenadas formando um talude verti al, ara terizadopor uma resistên ia não drenada cu e pelo peso volúmi o γ.PSfrag repla ements h

cu

γ

Figura 5.1: Talude verti al, solo em ondições não drenadas.79

80 Capítulo 5. Colapso de ma iços em taludeO problema pode ser olo ado omo a determinação da altura h que ausa o olapso dotalude. Este problema será resolvido re orrendo aos três métodos que têm vindo a ser referidos:equilíbrio limite, teorema inemáti o e teorema estáti o.5.2.2 Apli ação do método do equilíbrio limite à análise não drenada daestabilidade de um talude verti alA análise por equilíbrio limite impli a a onsideração de um me anismo e do estudo doequilíbrio das forças que a tuam sobre o blo o ou blo os que o me anismo forma. Considere-se, assim, o me anismo sugerido pela Figura 5.2, orrespondente a um blo o formado por umasuperfí ie planar, formando um ângulo ξ om a horizontal.PSfrag repla ementsh

cuγ

ξ

ξ

ξ

Ws

Ws N

NT

T

ℓ

LFigura 5.2: Análise por equilíbrio limite da estabilidade de solo argiloso respondendo em ondições não drenadas formando um talude verti al.As forças a a tuar no blo o são o peso, Ws, a força T , resultante das tensões de orte aolongo da superfí ie de onta to do blo o om o restante ma iço, e a força N , normal à referidasuperfí ie. O equilíbrio de forças verti ais exige que:Ws = T sen ξ +N cos ξ (5.1)e o equilíbrio de forças horizontais que

T cos ξ −Nsen ξ = 0 ⇒ N = T cos ξ/sen ξ (5.2)pelo que, substituindo N na equação 5.1, se obtém:Ws = T sen ξ + T

cos2 ξ

sen ξ= T/sen ξ (5.3)Tendo em atenção que:

tg ξ = h/ℓ⇒ ℓ = h/tg ξ; sen ξ = h/L⇒ L = h/sen ξ (5.4)vemWs =

1

2γhℓ =

1

2γh2/tg ξ (5.5)

Capítulo 5. Colapso de ma iços em talude 81Por outro lado, T toma o valor máximo:cuL = cu

h

sen ξ(5.6)pelo que, atendendo às equações (5.3) e (5.5):

1

2γh2/tg ξ = cu

h

sen ξ

1

sen ξ(5.7)resultando:

hEL =cuγ

2

sen ξ cos ξ=cuγNELs (5.8)sendo

NELs =

2

sen ξ cos ξ(5.9)Veri� a-se que o valor mínimo de NEL

s é obtido para ξ = 45o e toma o valor de 4 (Figura 5.3)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

NE

Ls

ξFigura 5.3: Valores de NELs em função de ξ obtidos através de me anismo planar.5.2.3 Apli ação do teorema inemáti o à análise não drenada da estabili-dade de um talude verti alA análise através do teorema inemáti o impli a a de�nição de um me anismo (será adop-tado um me anismo análogo ao da se ção anterior na análise por equilíbrio limite) e igualar otrabalho das forças exteriores à energia dissipada.Assim, atendendo ao me anismo que se apresenta na Figura 5.4, tem-se que o peso doblo o é, omo se viu na equação (5.5):

Ws =1

2γh2/tg ξe o deslo amento virtual na dire ção verti al δy rela iona-se om o deslo amento do blo o δw

82 Capítulo 5. Colapso de ma iços em taludeatravés de:δy = δwsen ξ (5.10)PSfrag repla ements

hcuγ

ξξ

Ws

ℓ

L

δwδwδy

Figura 5.4: Análise através do teorema inemáti o da estabilidade de solo argiloso respondendoem ondições não drenadas formando um talude verti al.O trabalho das forças exteriores é:δWe = Wsδy = Wsδw sen ξ =

1

2γh2 1

tgξδw sen ξ =

1

2γh2 cos ξδw (5.11)e a energia dissipada é:

δWi = cuLδw = cuh

sen ξδw (5.12)Igualando o trabalho das forças exteriores à energia dissipada obtém-se:

δWi = δWe ⇒ hLS =cuγ

2

sen ξ cos ξ=cuγNLSs (5.13)ou seja,

hLS =cuγ

2

sen ξ cos ξ=cuγNLSs (5.14) om

NLSs =

2

sen ξ cos ξ(5.15)Atendendo a que se trata de resultados do teorema inemáti o, esta expressão forne e, paraqualquer valor de ξ, resultados de NLS

s que onduzem a hLS para os quais o orre olapso.Assim, a melhor solução será a que orresponde ao seu menor valor. Atendendo a que aexpressão (5.15) oin ide om a que se obteve na se ção anterior (equação 5.9), a Figura 5.3mostra também os resultados da equação (5.15), pelo que o melhor resultado obtido atravésdeste me anismo é, também, NLSs = 4.

5.2.4 Apli ação do teorema estáti o à análise não drenada da estabilidadede um talude verti alA apli ação do teorema estáti o impli a o estudo do equilíbrio de tensões e a garantia deque o ritério de rotura não é violado. Desta forma, analisando o estado de tensão no elemento

Capítulo 5. Colapso de ma iços em talude 83à profundidade h (Figura 5.5), tem-se que:σv = γh (5.16)σh = 0 (5.17)PSfrag repla ements

σv

σv

σh

σh

h

τ

σ

cu

Figura 5.5: Análise através do teorema estáti o da estabilidade de solo argiloso respondendoem ondições não drenadas formando um talude verti al.Logo, hLI é tal queσv − 2cu = 0 ⇒ hLI =

cuγNLIs =

2cuγ

(5.18)o que impli a, portanto, queNLIs = 2 (5.19)5.2.5 ObservaçõesNas se ções anteriores veri� ou-se que, através do teorema inemáti o, foi possível obteruma solução para a profundidade a que se estima que o orre o olapso, dada por:

hLS =4cuγ

(5.20)e que, através do teorema estáti o, esta profundidade éhLI =

2cuγ

(5.21)Dada a origem de ada uma destas soluções pode on luir-se que2cuγ

= hLI ≤ hEX ≤ hLS =4cuγ

(5.22)o que mostra, por um lado, resultados onsistentes (a estimativa obtida pelo teorema estáti oé inferior à estimativa obtida pelo teorema inemáti o) e, por outro, que as duas soluçõesestão bastante afastadas uma da outra (uma orresponde, na realidade, ao dobro da outra).Diga-se, a este propósito, que para o problema em questão não se onhe e solução exa ta.A melhor solução obtida através do teorema da região superior om uma superfí ie ir ular édevida a Taylor (1948) (Figura 5.6):NLSs = 3.83, para xO = 1.41h e yO = 1.21h (5.23)

84 Capítulo 5. Colapso de ma iços em taludePSfrag repla ements

h

RO

xO

yO

Figura 5.6: Solução da região superior obtida por Taylor (1948).Os melhores resultados onhe idos (da região inferior e da região superior) são devidos aPastor et al. (2000) e foram obtidos numeri amente:3.7603 ≤ Ns ≤ 3.7859 (5.24)5.3 Talude in�nito; solo em ondições drenadasA o orrên ia de depósitos de vertente de espessura relativamente reduzida fa e à suaextensão orresponde, aproximadamente, a um talude in�nito, onforme se esquematiza naFigura 5.7. Trata-se, assim, de um problema práti o de grande interesse e apli ação.5.3.1 Apli ação do teorema inemáti o à análise drenada da estabilidadede um talude in�nitoConsidere-se o talude esquemati amente representado na Figura 5.7. Sendo in�nito, asforças de intera ção de uma fatia qualquer de largura B anulam-se, pelo que o peso é aúni a força exterior apli ada. Pro ure-se, assim, a in linação do talude, i, que onduz aoes orregamento do talude.PSfrag repla ements

h

B

L

F1

F2δw

δw

δy ii

i− φ′

Ws

Figura 5.7: Apli ação do teorema inemáti o à análise drenada de um talude in�nito.Atendendo a que o deslo amento δw faz um ângulo φ′ om a superfí ie in linada, tem-seque a omponente verti al do deslo amento éδy = δwsen (i− φ′) (5.25)O trabalho das forças exteriores é igual à energia dissipada que, por sua vez, é nula. Fi a,

Capítulo 5. Colapso de ma iços em talude 85assim:δWe = Wsδy = δWi = 0 (5.26)do que resulta

δy = 0 (5.27)o que onduz asen (i− φ′) = 0 (5.28)e a

iLS = φ′ (5.29)Tem-se, assim, que de a ordo om o teorema inemáti o, o ângulo de in linação do taludepara o qual este es orrega é igual ao ângulo de resistên ia ao orte do solo.5.3.2 Apli ação do teorema estáti o à análise drenada da estabilidade deum talude in�nitoAnalise-se, agora, o mesmo problema através do teorema estáti o. Considere-se, para isso,uma fatia do talude om largura B (Figura 5.8). O peso da fatia éWs = γhB = γhL cos i (5.30)PSfrag repla ements

h

B

L

F1

F2i

Ws

T

N

σ′

τ

Figura 5.8: Apli ação do teorema estáti o à análise drenada de um talude in�nito.Sendo N a força normal à superfí ie in linada, vemN = Ws cos i = γhL cos2 i (5.31)pelo que a tensão efe tiva normal é

σ′n = γh cos2 i (5.32)A força T , tangen ial éT = Wssen i = γhLsen i cos i (5.33)pelo que

τn = γhsen i cos i (5.34)

86 Capítulo 5. Colapso de ma iços em taludeDas equações (5.32) e (5.34) tira-se queτn/σ

′n = tg i (5.35)e, por outro lado, a veri� ação do ritério de rotura exige que, no máximo,

τn/σ′n = tg φ′ (5.36)pelo que:

iLI = φ′ (5.37)5.3.3 Apli ação do método de equilíbrio limite à análise drenada da esta-bilidade de um talude in�nitoApli ando o método de equilíbrio limite (Figura 5.9), tem-se que o equilíbrio de forçasexige que:PSfrag repla ements

h

B

L

F1

F2

ii

WsWs

T

T

N

NFigura 5.9: Apli ação do método de equilíbrio limite à análise drenada de um talude in�nito.N = Ws cos i (5.38)T = Wssen i (5.39)pelo que

N = Ws cos i = Bhγ cos i = (L cos ihγ) cos i = γhL cos2 i (5.40)eT = Wssen i = γhL cos i sen i (5.41)O valor máximo de T é Ntg φ′, pelo que, nesta hipótese:

T = γhL cos i sen i = γhL cos2 i tg φ′ (5.42)de onde resulta quetg i = tg φ′ (5.43)

Capítulo 5. Colapso de ma iços em talude 87ou seja,iEL = φ′ (5.44)5.3.4 ObservaçõesOs resultados obtidos apli ando o teorema inemáti o e o teorema estáti o oin idem entresi (e também om o resultado obtido pelo método de equilíbrio limite). A oin idên ia dassoluções obtidas por análise limite signi� a que foi en ontrada a solução exa ta, pelo que oângulo de in linação do talude in�nito que o onduz ao es orregamento é:iEX = φ′ (5.45)É interessante veri� ar que este resultado depende apenas do ângulo de resistên ia ao orte eé, portanto, independente da altura da amada h e do peso volúmi o γ.Poderia igualmente onstatar-se que análises semelhantes que onsiderassem o talude to-talmente submerso onduziriam igualmente ao referido resultado.5.4 Talude in�nito; solo em ondições não drenadasConsidera-se agora o aso de talude in�nito de solo om espessura h, peso volúmi o γ eresistên ia não drenada cu.5.4.1 Apli ação do método de equilíbrio limite à análise não drenada daestabilidade de um talude in�nitoApli ando o método de equilíbrio limite (Figura 5.10), tem-se que, sendo a força T dadapela expressão

T = γhL cos i sen i (5.46)PSfrag repla ements

h

B

L

F1

F2

ii

WsWs

T

T

N

NFigura 5.10: Apli ação do método de equilíbrio limite à análise não drenada de um taludein�nito.e o valor máximo desta força dado porT = cuL (5.47)

88 Capítulo 5. Colapso de ma iços em taludese tem que, multipli ando ambas as equações por 2:2γhL cos i sen i = 2cuL (5.48)o que onduz a

γh sen 2i = 2cu (5.49)e aiEL =

1

2arcsen

2cuγhque orresponde à in linação do talude, obtida por equilíbrio limite, que impli a o es orrega-mento deste.5.4.2 Apli ação do teorema inemáti o à análise não drenada da estabili-dade de um talude in�nitoAplique-se agora o teorema inemáti o ao mesmo problema. A Figura 5.11 mostra ome anismo adoptado.PSfrag repla ements

h

B

L

F1

F2

δw

δwδy i

iWs

Figura 5.11: Apli ação do teorema inemáti o à análise não drenada de um talude in�nito.A omponente verti al do deslo amento, δy éδy = δwsen i (5.50)e o peso do solo éWs = γhL cos i (5.51)O trabalho das forças exteriores é

δWe = Wsδy = γhL cos iδwsen i (5.52)e o trabalho das tensões internasδWi = cuLδw (5.53)Igualando os dois, obtém-se

γhL cos iδwsen i = cuLδw (5.54)

Capítulo 5. Colapso de ma iços em talude 89ou seja,2 cos isen i =

2cuγh

(5.55)eiLS =

1

2arcsen

2cuγh

(5.56)5.4.3 Apli ação do teorema estáti o à análise não drenada da estabilidadede um talude in�nitoA partir da Figura 5.12 e do que se viu anteriormente a propósito da análise drenada, astensões totais normal e tangen ial são dadas por:PSfrag repla ements

τ

σn

σh

cuB

N

T

L

F1

F2

iWs

Figura 5.12: Apli ação do teorema estáti o à análise não drenada de um talude in�nito.σn = γh cos2 i (5.57)τn = γhsen i cos i (5.58)Apli ando o ritério de rotura, tem-se que, no máximo, τn é igual a cu, pelo que:τn = γhsen i cos i = cu (5.59)Dado quue

τn/σn = tg i� aτn/σn =

cuγh cos2 i

= tg i (5.60)o que onduz a:iLI =

1

2arcsen

2cuγh

(5.61)5.4.4 ObservaçõesViu-se que as estimativas da in linação do talude in�nito em ondições não drenadassão idênti as usando os dois teoremas da análise limite (e, igualmente, usando o método deequilíbrio limite).

90 Capítulo 5. Colapso de ma iços em taludeA solução exa ta � ou, portanto, en ontrada:iEX =

1

2arcsen

2cuγh

(5.62)5.5 Talude in�nito; per olação paralela ao talude (EL)Considere-se agora que um talude in�nito de altura h de um material om peso volúmi o(saturado) γ e ângulo de resistên ia ao orte φ′ está sujeito a um regime de per olação per-manente, paralela ao talude, de in linação i (Figura 5.13). Qual a in linação i que o onduzao olapso?PSfrag repla ements

uP/γw

zPz = 0

hN = N ′ + U

N = N ′ + U

B

T

T

L

h cos ii

i

Ws

Ws φ′

N ′

U

P

Figura 5.13: Apli ação do método de equilíbrio limite à análise drenada de um talude in�nito om per olação paralela ao talude.Resolvendo o problema através do método do equilíbrio limite, tem-se que, na fatia delargura B:N = γhL cos2 i (5.63)e a força U (impulsão) na base da fatia é:

U = uL = γwh cos2 i× L (5.64)Haverá es orregamento se a força T apli ada, Ntg i igualar a resistên ia N ′tgφ′:T = Ntg i = N ′tg φ′ (5.65)pelo queNtg i = (N − U)tg φ′ (5.66)etg i = tg φ′

(

1 − U

N

) (5.67)ou sejatg i = tg φ′ (1 − γw/γ) (5.68)Atendendo a que γw/γ ≃ 1/2, tem-se que a in linação i a que orresponde o es orregamento

Capítulo 5. Colapso de ma iços em talude 91para per olação paralela ao talude é er a de metade da que se obteve para talude se o outotalmente submerso.5.6 Talude om geometria genéri a; ondições não drenadas(EL)5.6.1 Análise por equilíbrio limite de superfí ie ir ularConsidere-se o talude om a geometria que se indi a na Figura 5.14 e analise-se a superfí ie ir ular aí representada.O

PSfrag repla ementsτ

σ

A

B

xWs

Ws

r

Figura 5.14: Apli ação do método de equilíbrio limite à análise não drenada de um talude om geometria genéri a om superfí ie de es orregamento ir ular.Pode veri� ar-se que, sendo o peso do solo Ws e o seu ponto de apli ação onhe ido ( ombraço xWs em relação a O), tem-se que o momento a tuante, MS , em relação ao ponto O éMS = WsxWs (5.69)e o momento resistente, MR, é o que resulta da mobilização das tensões de orte ao longo dasuperfí ie de es orregamento ir ular. Se a resistên ia não drenada for cu tem-se que (5.70)sendo AB o omprimento do ar o de ir unferên ia e r o seu raio.Há es orregamento se

MS = MR ⇒WsxWs = cuABr (5.71)Naturalmente que esta análise foi feita onsiderando uma dada superfí ie de es orrega-mento. Conforme é habitual nos métodos de equilíbrio limite, deve pro urar-se o me anismo(ou seja, a superfí ie) que onduz à menor relação entre os momentos resistentes e os a tuantes.Há programas de ál ulo automáti o que permitem testar sistemati amente diversas su-perfí ies om entros numa área de�nida pelo utilizador e om raios variáveis.

92 Capítulo 5. Colapso de ma iços em talude5.6.2 Método de TaylorTaylor (1948) apresentou ába os baseados no método do ír ulo de atrito, que não éabordado neste texto, que resolve o problema atrás referido, em ondições não drenadas.Apresenta-se esses ába os na Figura 5.15.

Figura 5.15: Ába os de Taylor.A Figura apresenta, do lado esquerdo, um ába o para solos saturados em ondições nãodrenadas e, do lado direiro, um ába o que onsidera esta situação mas igualmente os asosem que o ângulo de resistên ia ao orte em ondições não drenadas é diferente de zero. Oleitor deve ignorar esta situação, que sai do âmbito do texto e deve onsiderar apenas, nestesegundo ába o, o aso de ângulo nulo (ou seja, os materiais om envolvente de rotura dadapor uma re ta horizontal de equação τ = cu).O ába o permite resolver um problema de um talude em solo om resistên ia não drenadacu, peso volúmi o γ, altura H, in linação i om a horizontal e estrato rígido à profundidadeD×H. O número de estabilidade Ns é cu/γH. A utilização deste ába o permite, por exemplo, onhe endo-se D, H, i e γ, determinar a resistên ia não drenada que impli a o olapso dotalude: o valor de D e de i permitem onhe er o valor de Ns no olapso e este permite onhe ercu. Outros tipos de utilização podem fazer-se deste ába o. Note-se que para i > 54o deveusar-se o ába o da direita. Note-se também que o método de Taylor forne e já resultados parao ír ulo ríti o, podendo dele retirar-se ainda informações relativas à sua lo alização.

Capítulo 5. Colapso de ma iços em talude 935.7 Talude om geometria genéri a; ondições drenadas (EL)5.7.1 Os métodos de fatiasO problema orrespondente a este em ondições não drenadas foi analisado de forma re-lativamente simples na se ção 5.6.1. A simpli idade dessa análise foi possível pelo fa to de astensões tangen iais serem onhe idas (e iguais a cu). Em situação drenada, no entanto, o pro-blema é substan ialmente mais ompli ado, pelo fa to de as tensões tangen iais dependeremagora do valor da tensão normal transmitida em ada ponto da superfí ie ir ular, através daequaçãoτ = σ′tg φ′ = (σ − u)tg φ′ (5.72)mas o valor de σ não pode ser determinado om fa ilidade.Assim, o pro edimento adoptado habitualmente re orre a métodos de fatias, isto é, amétodos em que a massa poten ialmente instável é dividida em fatias, da forma indi ada naFigura 5.16. Pro ede-se, então ao estudo do equilíbrio das fatias e onsidera-se, �nalmente, osomatório das ontribuições das várias fatias.PSfrag repla ements

rO

A

B

N

T

T

ℓℓ

α

θ

Ws

Ws

N ′

U

F

yF

φ′

Figura 5.16: Métodos de fatias.Veri� a-se, assim, que as forças a tuantes em ada fatia são: Ws; N ; U ; T ; F1; F2, tendoWs, N e T o signi� ado indi ado na Figura, sendo U a resultante na base da fatia das pressõesda água e sendo F1 e F2 as forças de intera ção, om resultante F , in linação θ e a tuando àaltura yF .As forças Ws e U têm valor, dire ção e ponto de apli ação onhe idos; as forças T e Ntêm apenas dire ção e ponto de apli ação onhe idos; há, portanto, 5 in ógnitas: T , N , F , yFe θ.Seria possível es rever 3 equações de equilíbrio e ainda atender a que:

T = (N − U)tg φ′ (5.73)pelo que é ne essário fazer pelo menos uma simpli� ação: as diferentes simpli� ações dãoorigem aos diferentes métodos.

94 Capítulo 5. Colapso de ma iços em taludeTal omo se fez para o aso do talude om superfí ie ir ular em ondições não drenadas,apresenta-se, separadamente, o ál ulo do momento a tuante e do momento resistente. Dadoque se pro edeu à divisão em fatias, estes momentos têm agora a forma de somatórios.O momento a tuante é dado por:ΣMS = ΣWsrsenα (5.74)o que, no fundo, se trata de uma forma de ál ulo do momento dado pela equação (5.69) onsiderando a divisão em fatias.O momento resistente é:

ΣMR = ΣTr = Σ(N − U)tg φ′r (5.75)em que o problema está na determinação de N .Os diferentes métodos de fatias diferem entre si na forma omo onsideram o ál ulo deN , ou seja, na hipótese simpli� ativa que adoptam para permitir o ál ulo de N .Neste texto estudam-se apenas dois métodos:

• o Método de Fellenius;• o Método de Bishop simpli� ado.5.7.2 Método de FelleniusO método de Fellenius é o mais simples dos métodos de fatias e onsidera a hipótesesimpli� ativa

F = 0 (5.76)Tal signi� a que N é dado porN = Ws cosα (5.77)pelo que a equação (5.75) � a:

ΣMR = ΣTr = Σ(N − U)tg φ′r = Σ(Ws cosα− uℓ)tg φ′r (5.78)A apli ação do método de Fellenius impli a, portanto, a utilização da equação (5.74) paradeterminação do momento a tuante (que é uma expressão genéri a) e da equação (5.78) parao ál ulo do momento resistente. Estima-se que o orrerá olapso se o segundo for superior aoprimeiro. A apli ação destas equações pode fazer-se om fa ilidade através de uma tabela, omo a que se apresenta no Quadro 5.1, que pode ser adaptada a uma folha de ál ulo paramaior fa ilidade de utilização.Refere-se, �nalmente, que apesar de o método de Fellenius ser espe ialmente adaptadopara a sua utilização em ondições drenadas, nada impede a sua utilização em ondições não

Capítulo 5. Colapso de ma iços em talude 95Quadro 5.1: Quadro para utilização do método de Fellenius.Fatia A Ws α Wssenα u ℓ (Ws cosα− uℓ)tgφ′

(m2) (kN/m) (o) (kN/m) (kPa) (m) (kN/m)12...drenadas. O que a onte e, simplesmente, é que a sua divisão em fatias não é ne essária, omo no aso de ondições drenadas, a não ser omo uma forma expedita de determinação domomento a tuante. Em qualquer aso, � a:ΣMS = ΣWsrsenα

ΣMR = ΣTr = Σcuℓr5.7.3 Método de Bishop simpli� adoA hipótese simpli� ativa adoptada no método de Bishop Simpli� ado é:Fv = 0 (θ = 0) (5.79)De a ordo om esta hipótese, fazendo equilíbrio de forças verti ais vem:

T senα+N cosα = Ws (5.80)o que onduz aN = (Ws − T senα)/ cosα (5.81)Substituindo esta equação na equação (5.73) � a:

T = (N − U)tg φ′ = ((Ws − T senα)/ cos α− U) tg φ′ (5.82)que, resolvendo em ordem a T , resulta em:T =

(Ws/ cosα− uℓ)tg φ′

1 + tgα tg φ′(5.83)Os momentos resistentes � am, portanto:

ΣMR = ΣT × r = Σ(Ws/ cosα− uℓ)tg φ′

1 + tgα tg φ′× r (5.84)Tal omo no aso do método de Fellenius, esta equação pode ser apli ada em ondiçõesnão drenadas, fazendo as adaptações ne essárias, on luindo-se no entanto que o resultado éequivalente ao dado pela equação (5.70).

96 Capítulo 5. Colapso de ma iços em taludeUm Quadro semelhante ao 5.1 pode ser adoptado, om as devidas adaptações, ao ál ulode taludes através do método de Bishop simpli� ado.5.7.4 ObservaçõesFaz-se ainda notar que os métodos de fatias, sendo métodos de equilíbrio limite, devemser usados pro urando o ír ulo de deslizamento que onduz à menor relação entre os momen-tos resistentes e os momentos a tuantes. O orrerá, portanto, olapso, se estes igualarem osprimeiros.Conforme se referiu, estão disponíveis programas de ál ulo automáti o que permitemtestar diversos ír ulos, om posições de entros e valores de raios que podem ser ontroladospelo utilizador.

Parte IVVeri� ação da segurança

97

Capítulo 6Veri� ação da segurança em relaçãoaos estados limites últimos. OEuro ódigo 76.1 IntroduçãoViu-se nos apítulos anteriores a determinação de argas de olapso de estruturas geo-té ni as simples. Ter-se-á, portanto, olapso se, naquelas estruturas, as a ções igualarem asresistên ias.Naturalmente que a veri� ação da segurança impli a que as a ções sejam inferiores à resis-tên ia om uma margem adequada. A adopção da margem adequada faz-se, tradi ionalmente,re orrendo à noção de oe� iente de segurança global e, a tualmente, om a utilização do Eu-ro ódigo 7 no Proje to Geoté ni o, através da metodologia que re orre aos oe� ientes desegurança par iais.A noção de oe� iente de segurança global é a forma omo, tradi ionalmente, a veri� açãoda segurança no proje to geoté ni o era realizada. A sua utilização, on eptualmente, ébastante simples: é determinada uma resistên ia, R e de�ne-se a ção admissível, Aadm omo

Aadm =R

FS(6.1)em que FS é o oe� iente de segurança global om um valor que depende do tipo de obra eda veri� ação da segurança em ausa mas que pode variar entre 1.5 e er a de 3. É, portanto,veri� ada a segurança garantindo que a a ção efe tivamente a tuante, A, é inferior ou igual a

Aadm.Este pro edimento, apesar de ainda em práti a em alguns meios, está em substituição pelaadopção dos oe� ientes de segurança par iais, que é a metodologia proposta pelo Euro ódigo7. 99

100 Capítulo 6. Veri� ação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7De a ordo om esta metodologia, om base em oe� ientes par iais que afe tam (reduzem)os parâmetros de resistên ia e (ou), eventualmente, as próprias resistên ias, é determinada umaresistên ia de ál ulo, Rd. De forma análoga, om base em oe� ientes de segurança par iaisque afe tam (majoram) as a ções, é determinada uma a ção de ál ulo, Ad. A segurança � averi� ada seAd ≤ Rd (6.2)É em relação a este último pro edimento, que re orre aos oe� ientes de segurança par iais,que se fará referên ia neste texto. Muito do que se refere é, no entanto, apli ável a uma �loso�ade segurança om base em oe� ientes de segurança globais.6.2 Os estados limitesO Euro ódigo 7 prevê os seguintes estados limites:

• EQU � Perda de equilíbrio da estrutura ou do terreno; a resistên ia do terreno e daestrutura não são relevantes.• STR � Rotura ou deformação ex essiva de elementos estruturais; a resistên ia dos ele-mentos estruturais é relevante.• GEO � Rotura ou deformação ex essiva do terreno; a resistên ia do terreno é relevante.• UPL � Perda de equilíbrio da estrutura ou do terreno devido a subpressões ou outrasa ções verti ais.• HYD � Instabilidade hidráuli a (erosão interna; �piping�).Conforme, se referiu, a segurança é introduzida através de oe� ientes par iais de segu-rança:• nas a ções (A), majorando-as;• nas propriedades dos materiais (M), minorando-as;• nas resistên ias (R), minorando-as.Para ada um dos estados limites apresentados o Euro ódigo 7 prevê valores (ou ombi-nações de valores) de oe� ientes de segurança par iais adequados.6.3 Os estados STR e GEOOs estados STR e GEO (em espe ial o GEO) são os mais habitualmente usados no proje togeoté ni o. O Euro ódigo 7 prevê para estes estados limites 3 abordagens de ál ulo, que são

Capítulo 6. Veri� ação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7 1013 formas de veri� ar a segurança, ombinando diferentes valores dos oe� ientes de segurançapar iais.Para as estruturas que são abordadas neste texto (taludes, estruturas de suporte e funda-ções super� iais) as abordagens de ál ulo são:• AC1:� Combinação 1: A1 + M1 + R1� Combinação 2: A2 + M2 + R1• AC2: A1 + M1 + R2• AC3: (A1 ou A2) + M2 + R3em que �+� tem o signi� ado de � ombinado om� e em que A1, A2, M1, et , são onjuntosdiferentes de oe� ientes de segurança para as a ções (A), para as propriedades dos materiais(M) e para as resistên ias (R).Cada país pode de�nir uma destas abordagens de ál ulo para usar internamente; Portugalirá, em prin ípio, adoptar a abordagem de ál ulo 1 (AC1). No entanto, todas as abordagensde ál ulo têm interesse, pelo que neste texto se opta por uma abordagem geral.No aso da abordagem de ál ulo 1 a ombinação 2 é normalmente ondi ionante quandoo que está em ausa é a veri� ação geoté ni a (que impli a a de�nição da geometria) e a ombinação 1 quando o que está em ausa é o dimensionamento estrutural.Os oe� ientes par iais das a ções (A) são os seguintes:• γG � apli ado às argas permanentes (favoráveis ou desfavoráveis);• γQ � apli ado às argas variáveis (favoráveis ou desfavoráveis).Apresenta-se no Quadro 6.1 os valores dos oe� ientes de segurança par iais apli áveis àsa ções para os estados limites STR e GEO e, no Quadro 6.2, os valores dos oe� ientes desegurança par iais apli áveis às propriedades resistentes dos materiais.Quadro 6.1: Valores dos oe� ientes de segurança par iais apli áveis às a ções, nos estadoslimites GEO e STR. Coe� iente tipo A1 A2

γG desfavorável 1.35 1.00γG favorável 1.00 1.00γQ desfavorável 1.50 1.30γQ favorável 0 0Os oe� ientes de segurança apli áveis às resistên ias dependem do tipo de estrutura e daveri� ação em ausa. Os valores destes oe� ientes de segurança apresentam-se no Quadro6.3.

102 Capítulo 6. Veri� ação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7Quadro 6.2: Valores dos oe� ientes de segurança par iais apli áveis às propriedades dosmateriais, nos estados limites GEO e STR.Coe� iente M1 M2γφ′ 1.00 1.25γc′ 1.00 1.25γcu

1.00 1.40Quadro 6.3: Valores dos oe� ientes de segurança par iais apli áveis às resistên ias nos estadoslimites GEO e STR.Estrutura Resistên ia Coe� iente R1 R2 R3Talude terreno γR;e 1.00 1.10 1.00Fundação superf./Estrut. suporte Resist. vert. γR;v 1.00 1.40 1.00Fundação superf./Estrut. suporte Deslizamento γR;h 1.00 1.10 1.00Estrut. suporte terreno γR;e 1.00 1.40 1.00As a ções são, assim, majoradas om os oe� ientes γG e γQ:Ad = γGAG + γQAQ (6.3)as propriedades resistentes são minoradas om os oe� ientes γφ′ , γc′ ou γcu:φ′d = arctg

tgφ′

γφ′(6.4)

c′d =c′

γc′(6.5)

cud =cuγcu

(6.6)e as resistên ias são minoradas om os oe� ientes γR:Rd = R/γR (6.7)6.4 O estado EQUConforme referido, no estado EQU a resistên ia do terreno e da estrutura não são relevan-tes. Trata-se, simplesmente, de uma veri� ação de equilíbrio da estrutura em que há a çõesque tendem a ausar a desestabilização (ou instabilização) e outras que tendem a ausar aestabilização.Os oe� ientes de segurança par iais são os indi ados no Quadro 6.4 e os oe� ientesapli ados às propriedades dos materiais são os do Quadro 6.5.

Capítulo 6. Veri� ação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7 103Quadro 6.4: Valores dos oe� ientes de segurança par iais apli áveis às a ções, no estadolimite EQU. Coe� iente A ção ValorγG;dst desfavorável 1.10γG;stb favorável 0.90γQ;dst desfavorável 1.50γQ;stb favorável 0Quadro 6.5: Valores dos oe� ientes de segurança par iais apli áveis às propriedades dosmateriais, no estado limite EQU. Coe� iente Valor

γφ′ 1.25γc′ 1.25γcu

1.40A veri� ação que deve ser feita é:Adst;d ≤ Astb;d (6.8)em que Adst;d é o valor de ál ulo da a ção instabilizante e Astb;d é o valor de ál ulo da a çãoestabilizante.6.5 Os estados UPL e HYDOs estados UPL e HYD não são abordados neste texto. A onsulta do Euro ódigo 7permitirá onhe er os valores dos oe� ientes de segurança e apli á-los aos asos em que estesestados possam ser relevantes, não apresentando di� uldade signi� ativa.

104 Capítulo 6. Veri� ação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7

Capítulo 7Veri� ação da segurança em relação àestabilidade de taludes. Estabilizaçãode taludes

Parte do apítulo é baseado em Guedes de Melo (1993).7.1 Instabilização de taludesOs taludes, sejam eles naturais, de es avação ou de aterro, quando são sujeitos a alteraçõesdas ondições de serviço (por exemplo a alteração da sua geometria, das soli itações apli a-das, do nível de água no solo, et .) podem instabilizar. Esta instabilização traduz-se pelomovimento de uma massa do ma iço, no sentido des endente, no qual a gravidade desenpenhao papel de prin ipal motor. Este fenómeno pode envolver pequenos ou grandes volumes doma iço, limitados por superfí ies mais ou menos profundas.Os movimentos podem ser lassi� ados em função da velo idade:• desmoronamento:� extremamente rápido (>3 m/s);� muito rápido (0.3 m/min a 3 m/s);• es orregamento:� rápido (1.5 m/dia a 0.3 m/dia);� moderado (1.5 m/mês a 1.5 m/dia);• �uimento:� lento (1.5 m/ano a 1.5 m/mês); 105

106 Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes� muito lento (0.06 m/ano a 1.5 m/ano);� extremamente lento (<0.06 m/ano).Os desmoronamentos estão em geral asso iados à queda de blo os ro hosos, motivada pelaorientação desfavorável das des ontinuidades existentes no ma iço nas quais se veri� a umasu essiva diminuição da resistên ia ao orte, motivada por pro essos de meteorização ou naa ção da vegetação (Figura 7.1(a)).

Figura 7.1: Exemplos de desmoronamentos.Outra situação que pode levar ao desmoronamento é aquela em que a falésia de materialro hoso repousa sobre um meio mais deformável (Figura 7.1(b)) ou ainda por erosão diferen ialnuma falésia. Neste aso, a erosão de estratos inferiores pode deixar os estratos superiores em onsola, originando assim a sua queda (Figura 7.1( )).Os es orregamentos são movimentos relativamente rápidos de massas de terreno, em regrabem de�nidas quando ao seu volume, uja duração é, na maioria dos asos, urta. O movi-mento o orre em geral em solos ou ao longo de des ontinuidades de ma iços ro hosos, podendoser do tipo rota ional (asso iado a superfí ie de deslizamento urva (Figura 7.2(a)) ou planar(asso iado a uma superfí ie de deslizamento plana (Figura 7.2(b)).Os es orregamentos rota ionais o orrem em taludes onde não existam anisotropias mar- adas e em ma iços ro hosos fra turados de forma aleatória. Os es orregamentos planares

Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes 107

Figura 7.2: Exemplos de es orregamentos.o orrem em terrenos om anisotropias mar adas, nos quais as superfí ies de instabilizaçãosão ondi ionadas pela existên ia de planos de menor resistên ia que a do material sobreja- ente. Este tipo de movimento pode o orrer em taludes de in linação relativamente suave e égeralmente extenso, podendo atingir entenas ou milhares de metros.Para além do tipo de movimento, os es orregamentos podem também ser lassi� ados dea ordo om a máxima profundidade atingida pela superfí ie de deslizamento, podendo assimser super� iais (profundidade < 1.5 m), pou o profundos (1.5 a 5 m), profundos (5 a 20 m) emuito profundos (profundidade > 20 m).Os �uimentos são movimentos lentos e ontínuos que o orrem prin ipalmente em taludesnaturais de solo. Podem envolver grandes massas de solo sem que, ontudo, seja possívelde�nir a superfí ie de rotura, assemelhando-se o seu me anismo de deformação ao de umlíquido muito vis oso).7.2 Causas da instabilização de taludesA instabilização de um talude pode ser determinada por ausas externas (isto é, asso iadaa a ções a tuando exteriormente ao talude), a ausas internas (asso iada a a ções a tuando nointerior do próprio talude) ou a ausas intermédias (asso iadas a a ções exteriores ao ma içoque desen adeiam me anismos de instabilização a tuando no seu interior).

108 Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes

Figura 7.3: Exemplo de �uimento.Nas ausas externas estão in luídas as seguintes:• aumento da in linação dos taludes, por es avação ou por erosão provo ada pela água oupelo vento;• aumento da altura do talude, através da es avação no pé ou aterro na rista;• apli ação de sobre argas no talude, em parti ular na sua parte superior;• variação sazonal da temperatura e humidade, podendo onduzir à abertura de fendassuper� iais de retra ção no solo, que favore em a in�ltração de água nos terrenos;• abalos sísmi os ou vibrações induzidas nos terrenos;• erosão super� ial do terreno, favore endo a in�ltração de água;• efeito da vegetação no talude que onstitui uma sobre arga e ausa uma perda de resis-tên ia quando se dá o apodre imento de raízes.Nas ausas internas estão in luídas:• aumento das pressões intersti iais, om a onsequente redução da resistên ia ao orte;• aumento das tensões de origem te tóni a.Nas ausas intermédias estão in luídos os efeitos de:• rebaixamento rápido do nível das águas exteriores;• erosão interna, provo ada pela ir ulação de água no interior do talude;• liquefa ção do solo.

Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes 1097.3 Métodos de análise e veri� ação da segurança7.3.1 Veri� ação da segurança om base em oe� ientes par iaisOs métodos de análise da estabilidade de taludes foram já apresentados no Capítulo 5. Osprin ípios de veri� ação da segurança baseados no Euro ódigo 7, que se viram no Capítulo 6,re orrendo a oe� ientes de segurança par iais, podem apli ar-se a quaisquer dos métodos e asos de análise então referidos.Exempli� a-se esta apli ação om o aso ilustrado pela Figura 7.4. Trata-se de um taludede solo argiloso, respondendo em ondições não drenadas, pretendendo-se veri� ar a segurançapara o ír ulo de es orregamento representado na Figura.OPSfrag repla ements

A

B

C

q

xWs

xQ

Ws

r

Figura 7.4: Veri� ação da segurança de taludesExempli� ando a apli ação dos prin ípios referidos, o momento a tuante de ál ulo, MSdé al ulado através de:MSd = γGWsxWs + γQqACxQ (7.1)sendo os oe� ientes de segurança γG e γQ obtidos a partir do Quadro 6.1.O valor de ál ulo da resistên ia (neste aso, a resistên ia não drenada) é determinadoatravés de:

cud = cu/γcu (7.2)em que o oe� iente par ial γcu é obtido a partir do Quadro 6.2.O valor de ál ulo do momento resistente é, portanto:MRd = cudAB r/γR;e (7.3)sendo γR;e o oe� iente de segurança par ial obtido do Quadro 6.3.

110 Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes7.3.2 Veri� ação da segurança om base no oe� iente globalA veri� ação da segurança om base na noção de oe� iente de segurança global passariapela determinação de um momento admissível dado por

Madm =MR

FS(7.4)em que FS é o oe� iente de segurança global e MR o momento resistente, dado por:

MR = cuAB r (7.5)A segurança seria veri� ada através do ontrolo da vera idade da inequaçãoMS ≤Madm (7.6)Equivalente a este pro edimento seria o ál ulo do valor do oe� iente de segurança dotalude e da omparação desse oe� iente om um valor mínimo:

FS =MR

MS≤ FSmin (7.7)A de�nição de oe� iente de segurança subja ente às equações anteriores tem, no aso dométodo de Fellenius a forma:

FS =ΣMR

ΣMS=

Σ(Ws cosα− uℓ)tg φ′ × r

ΣWssenα× r(7.8)e, no aso do método de Bishop Simpli� ado

FS =ΣMR

ΣMS=

Σ (Ws/ cosα−uℓ)tg φ′

1+tgα tg φ′ × r

ΣWssenα× r(7.9)A onte e, no entanto, que no aso dos taludes, era práti a orrente a de�nição do oe� i-ente de segurança global não propriamente omo a relação entre a a ção resistente e a a çãoa tuante mas sim omo um fa tor de redução das propriedades resistentes. Os programasde ál ulo automáti o a que se fez referên ia no Capítulo 5 usam, de fa to esta de�nição de oe� iente de segurança global.No aso do método de Fellenius, essa de�nição impli ava a forma:

1 =Σ(Ws cosα− uℓ)tg φ′/FS × r

ΣWssenα× r(7.10)que, na realidade, é equivalente à expressa pela equação (7.8), que lhe é matemati amenteequivalente.

Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes 111No aso do método de Bishop simpli� ado, no entanto, tal de�nição impli a que:1 =

Σ (Ws/ cosα−uℓ)tg φ′/FS1+tg α tg φ′/FS × r

ΣWssenα× r(7.11)que, omo se pode ver, não é matemati amente equivalente à equação (7.9).A onsequên ia práti a mais relevante desta diferença (para além de os valores dos oe-� ientes de�nidos de um outro modo serem diferentes) é o fa to de a determinação do o-e� iente FS a partir da equação (7.11) impli ar a adopção de um pro edimento interativo(habitualmente asso iado ao método de Bishop), ao passo que a partir da equação (7.9) a suadeterminação seria imediata.7.4 Té ni as de estabilização de taludesUma vez dete tada uma poten ial situação de instabilização num talude e quanti� ado o oe� iente de segurança a ela asso iado é ne essário on eber e dimensionar uma solução deestabilização que permita evitar o seu es orregamento ou travar o movimento, aumento o nívelde segurança. As té ni as de estabilização de taludes podem ser englobadas em in o grupos:alteração da geometria do talude, drenagem, reforço om in lusões, onstrução de estruturasde suporte e olo ação de re obrimento vegetal.7.4.1 Alteração da geometria do taludeA alteração da geometria de um talude, através da exe ução de aterros e (ou) es avaçõesé, em muitos asos, a forma mais e� az de aumentar a estabilidade, em parti ular nos asosem que as superfí ies de deslizamento estiverem lo alizadas a elevada profundidade.A forma de a tuação mais dire ta onsiste em remover o solo instabilizado, om eventualsubstituição por outro om melhores ara terísti as me âni as. Nos asos em que tal não épossível a alteração da geometria pode onsistir na redução da in linação média do talude,removendo material do topo da zona instável e olo ando-o no pé do talude (ver Figura 7.5).

Figura 7.5: Estabilização de um talude através da alteração da sua geometria.

112 Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes7.4.2 DrenagemA a ção da água sobre um talude onstitui normalmente um fa tor instabilizador, quer pe-los efeitos erosivos quer pela diminuição na resistên ia ao orte quando aumentam as pressõesintersti iais no interior.A água super� ial deve ser interse tada e desviada por forma a diminuir os efeitos daerosão super� ial e reduzir o volume de água in�ltrada no talude. A interse ção do es oa-mento é onseguida om sistemas de retenção e aptação de água onstituídos por valetas, quepoerão ser simplesmente abertas no terreno natural, preen hidas por materiais granulares ourevestidas por betão, por vezes om elementos pré-fabri ados (Figura 7.6).Figura 7.6: Se ção tipo de uma valeta revestida om betãoAs valas (Figura 7.7) e os ontrafortes drenantes (Figura 7.8) são apli áveis em taludes om superfí ie freáti a relativamente próxima da superfí ie do terreno, pretendendo rebaixar areferida superfí ie freáti a. Os ontrafortes drenantes, podendo ser levados a profundidades re-lativamente elevadas, poderão interse tar poten iais superfí ies de deslizamento, aumentandoassim a resistên ia ao orte.

Figura 7.7: Se ção tipo de uma vala drenante.As más aras drenantes são dispositivos de drenagem apli áveis quando a água emerge àsuperfí ie do terreno, sendo onstituídas por uma obertura de material drenante, olo adasobre o talude, om espessura res ente do topo para a base e om interposição de um elemento�ltrante sempre que julgado onveniente (Figura 7.9). As águas emergentes aptadas pelosistema são re olhidas em ole tor olo ado no pé e são onduzidas a um exutor natural. Paraalém do efeito drenante, a más ara onstitui um sobre arga no pé do talude, fun ionando omoum elemento estabilizador e omo uma prote ção do terreno natural ontra o ravinamento.Os drenos sub-horizontais (Figura 7.10) são utilizados em taludes om o obje tivo de re-

Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes 113

Figura 7.8: Estabilização de um talude om ontrafortes drenantes.Figura 7.9: Más ara drenante.baixarem a superfí ie freáti a quando esta se en ontra a uma profundidade não a essível porqualquer outra té ni a de drenagem, permitindo a tuar sobre massas de solo relativamenteimportantes, apesar do raio de a ção de ada dreno ser limitado quando apli ado em terrenosrelativamente pou o permeáveis. São onstituídos por furos om 10 a 12 m de diâmetro,abertos no talude om uma orientação aproximadamente horizontal mas permitindo o es oa-mento gravíti o das águas. Para evitar o seu olapso são olo ados no interior dos furos tubosde aço ou PVC, perfurados em vários metros na sua extremidade de montante.A estabilidade de um talude pode ser melhorada através da abertura de uma galeria depequenas dimensões, que assegura a drenagem profunda do talude. Representa, no entanto, uminvestimento bastante elevado, estando por isso a sua apli ação limitada a obras importantesou de grande porte. Normalmente não são utilizadas em obras re entes mas sim omo medida orre tiva das já existentes.7.4.3 Reforço om in lusõesA estabilização de taludes pode ser onseguida re orrendo ao reforço dos solos pela in-trodução de in lusões, que se traduz numa melhoria do omportamento global do onjuntosolo-in lusões. O efeito é, assim, essen ialmente estrutural, podendo ser realizado om pre-gagens (Figura 7.11), an oragens (Figuras 7.12 e 7.13), esta as (Figura 7.14) e mi ro-esta as(Figura 7.15).

114 Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes

Figura 7.10: Estabilização de um talude om drenos sub-horizontais.7.4.4 Construção de estruturas de suporteO reforço da estabilidade de um talude pode ser onseguido om o aumento da forçaresistente no pé do talude através da olo ação de uma estrutura de suporte (Figuras 7.16e 7.17). Esta estrutura deverá estar fundada abaixo das superfí ies ríti as e num estrado om boas ara terísti as de resistên ia, que permita a mobilização de uma rea ção e� az àssoli itações. É indispensável que nestas estruturas seja instalado um e� iente sistema dedrenagem, uma vez que a água através da diminuição da resistên ia ao orte que provo a (poraumento das pressões intersti iais) e pelo signi� ativo aumento dos impulsos por a umulação

Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes 115

Figura 7.11: Estabilização de um talude om pregagens

Figura 7.12: Estabilização de um talude om an oragens

Figura 7.13: Estabilização de um talude om an oragens asso iadas a revestimento ontínuode betãono tardoz da estrutura onstitui um importante elemento instabilizador.7.4.5 Colo ação de re obrimento vegetalO re obrimento vegetal dos taludes é normalmente realizado om o obje tivo de forne eruma prote ção super� ial ontra a erosão. No entanto, os seus efeitos bené� os podem serbastante mais alargados. As folhas das plantas, inter eptando a água das huvas, reduzem porabsorção e evaporação a quantidade de água que atinge o talude. Por outro lado, as raízes,fazendo diminuir o teor em água no solo, aumentam a sua resistên ia ao orte. As plantas

116 Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes

Figura 7.14: Estabilização de um talude om esta as

Figura 7.15: Estabilização de um talude om mi ro-esta as

Figura 7.16: Estabilização de um talude om um muro de suporte gravidade.de grande porte podem ainda ter uma ontribuição me âni a para a estabilidade, através dassuas raízes (Figura 7.18).A presença de vegetação pode, no entanto, ter efeitos negativos, devido à se agem super-� ial do terreno, dando origem à abertura de fendas que aumenta a apa idade de in�ltraçãoda áhua. Por outro lado, fun iona omo sobre arga, podendo o seu efeito não ser desprezável,prin ipalmente em zonas densamente arborizadas.

Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes 117

Figura 7.17: Estabilização de um talude om uma estrutura de suporte an orada.

Figura 7.18: Efeito de �an oragem� das raizes de uma árvore.

118 Capítulo 7. Veri� ação da segurança de taludes. Estabilização de taludes

Capítulo 8Veri� ação da segurança de fundaçõessuper� iais8.1 Tipos e funçõesAs fundações, assegurando a ligação de qualquer estrutura ao terreno, são elementos fun-damentais na estabilidade destas. A forma omo se dá a transmissão depende da geometria dafundação, sendo os vários tipos de fundação determinados pelas diferenças da sua geometria.A ara terização de uma fundação pode ser realizada, num aso simples, através da menordimensão em planta, B e da profundidade do plano de fundação, D (Figura 8.1).

ELEMENTO DEFUNDAÇÃO

D

BFigura 8.1: Representação esquemáti a de uma fundação super� ial.Desta forma, é orrente dividir as fundações em três tipos:• fundações super� iais ou dire tas (D < 4B);• fundações semi-profundas (4B < D < 10B);• fundações profundas ou indire tas (D > 10B).Neste apítulo tratar-se-á de fundações super� iais. O aso mais orrente de fundação super-� ial é o aso de uma sapata isolada, de dimensão B×L, sendo B, onforme referido, a menordimensão em planta e L a dimensão na outra dire ção (Figura 8.2).Se onsiderarmos o aso de um edifí io, uma situação omum será a de fundar em elementosseparados ada um dos pilares do edifí io. Se, no entanto, se veri� ar a proximidade dospilares num determinado alinhamento, poderá onsiderar-se a hipótese de realizar uma sapata119

120 Capítulo 8. Veri� ação da segurança de fundações super� iaisCorte

PlantaFigura 8.2: Representação esquemáti a de uma sapata isolada.� orrida�, isto é, uma sapata em que L >> B (na práti a, em que L > 10B), tal omo semostra na Figura 8.3. Este será o tipo de fundação que, naturalmente, será utilizado numaestrutura de suporte ou numa parede.Corte

Planta

Figura 8.3: Representação esquemáti a de uma sapata orrida ou ontínua.Voltando ao aso dos edifí ios, uma outra hipótese de fundação é a de ensoleiramentogeral, isto é, a situação em que todos os pilares são fundados numa úni a laje de fundação, onforme se exempli� a na Figura 8.4. Mesmo sem atender a onsiderações geoté ni as, estasolução é habitualmente adoptada quando a área em planta o upada pela solução de sapatasfor superior a 60% da área em planta da edi� ação.8.2 Critérios de segurançaA veri� ação da segurança de uma fundação super� ial deverá passar pela onsideraçãodos seguintes estados limites:• rotura global• arregamento verti al• deslizamento• assentamentos ex essivos

Capítulo 8. Veri� ação da segurança de fundações super� iais 121Planta

Corte

Figura 8.4: Representação esquemáti a de um ensoleiramento geral.O problema dos assentamentos ex essivos não é abordado neste apítulo.8.3 Rotura globalO problema da veri� ação da segurança em relação à rotura global (Figura 8.5) é analisado omo a veri� ação da segurança de um talude. Deve ser analisada esta possibilidade sempreque seja onsiderada relevante. Trata-se de uma veri� ação que envolve a zona da obra e asua vizinhança e tem em atenção o efeito que a obra tem nesta mas igualmente o efeito domeio envolvente no problema em estudo.

Figura 8.5: Veri� ação da segurança em relação à rotura global8.4 Carregamento verti alA observação do omportamento de fundações sujeitas a arregamento normal ao plano defundação tem mostrado que a o orrên ia de rotura por orte do solo de fundação pode dar-sede três modos diferentes:• por rotura global;• por rotura lo al;

122 Capítulo 8. Veri� ação da segurança de fundações super� iais• por punçoamento.A existên ia destes três modos de rotura está asso iada à ompressibilidade do terreno e àgeometria da fundação. A rotura global ara teriza-se pela existên ia de uma �gura de roturabem de�nida, onstituída por uma superfí ie ontínua entre o anto da fundação e a superfí iedo terreno; a rotura lo al o orre demonstrando a existên ia de uma zona imediatamenteabaixo da fundação om plasti� ação e om tendên ia para se prolongar até à superfí ie sem,no entanto, a atingir; a rotura por punçoamento é ara terizada pela zona muito limitada deo orrên ia de plasti� ação, restringindo-se apenas à região imediatamente abaixo da fundação, om desenvolvimento de superfí ies de rotura verti ais. Neste último tipo de rotura nãoo orrem indí ios de plasti� ação à superfí ie do terreno, ao ontrário do que se passa om asroturas global e lo al.Apesar da nítida in�uên ia da deformabilidade no modo omo o orre a rotura, o métodode avaliação da apa idade de arga de fundações super� iais mais orrentemente utilizadoparte do omportamento rígido-plásti o, om rotura global (ver Capítulo 4).O problema da veri� ação da segurança em relação ao arregamento verti al (Figuras 8.6e 8.7) pode, assim, traduzir-se pela veri� ação da inequação:

Vd ≤ Rd (8.1)em que Vd é o valor de ál ulo da omponente verti al da a ção e Rd o valor de ál ulo daresistên ia.PSfrag repla ements VFigura 8.6: Veri� ação da segurança em relação ao arregamento verti al. Caso de arrega-mento verti al e entrado.PSfrag repla ements FFigura 8.7: Veri� ação da segurança em relação ao arregamento verti al e ao deslizamento.O valor de ál ulo da a ção, Vd, é determinado através das omponentes verti ais das a çõespermanentes e variáveis VG e VQ, adequadamente majorados pelos oe� ientes de segurançapar iais γG e γQ obtidos do Quadro 6.1:Vd = γGVG + γQVQ (8.2)O valor de ál ulo da resistên ia é al ulado om base nos valores minorados dos parâmetrosresistentes (através dos oe� ientes par iais obtidos do Quadro 6.2) e reduzido do oe� ientepar ial γR;v (Quadro 6.3).

Capítulo 8. Veri� ação da segurança de fundações super� iais 123A resistên ia pode ser determinada através de formulações de apa idade resistente omoas que se apresentam na se ção 4.8. A título de exemplo, o valor de ál ulo da resistên iaem ondições não drenadas seria al ulado, para fundação orrida e arregamento verti al e entrado, através de:Rd = B

[

1

2γBNγd + c′dNcd + q′Nqd

]

/γR;v (8.3)e, em ondições não drenadas, seria:Rd = B [(2 + π)cud + q] /γR;v (8.4)Para outras situações, as adaptações ao referido podem ser fa ilmente ompreendidas peloleitor.8.5 DeslizamentoQuando o arregamento é in linado, para além da veri� ação da segurança em relação ao arregamento verti al, há que fazer a veri� ação da segurança ao deslizamento:

Hd ≤ Rd +Rpd (8.5)em que Hd é o valor de ál ulo da omponente horizontal da a ção (que, para este efeito,não deve in luir impulsos passivos), Rd é o valor de ál ulo da resistên ia ao deslizamentodesenvolvida na base da fundação e Rpd é o valor de ál ulo da resistên ia passiva, que podeser desprezada.Em ondições drenadas o valor de ál ulo da resistên ia ao deslizamento na base é:Rd = V ′

d tg δd/γR;h (8.6)e, em ondições não drenadas:Rd = A′cud/γR;h (8.7)Nestas expressões os oe� ientes γR;h devem ser obtidos do Quadro 6.3, δd é o valor de ál ulo do ângulo de atrito entre o solo e a estrutura, dado por:δd = arctg

tgδ

γφ′(8.8)e A′ é o produto A′ = B′ × L′ (ver Capítulo 4).

124 Capítulo 8. Veri� ação da segurança de fundações super� iais

Capítulo 9Veri� ação da segurança de estruturasde suporte9.1 IntroduçãoConsidera-se, no presente texto, dois tipos de estruturas de suporte:

• as estruturas de suporte �rígidas�;• as estruturas de suporte ��exíveis�.Os muros de suporte rígidos são, nos asos mais omuns, muros de alvenaria, muros debetão não armado, muros de betão armado e muros de gabiões (Figura 9.1). Poderá estranhar-se a in lusão dos muros de gabiões na ategoria de �estrutura de suporte rígida�, sobretudo sese tiver em atenção que aqueles muros sofrem, em serviço, deformações muito signi� ativas.No entanto, omo se verá, a expressão �estrutura de suporte �exível� está asso iada a umoutro tipo de estruturas, veri� ando-se adi ionalmente que os mesmos prin ípios apli áveis aestruturas de suporte omo as de alvenaria, as de betão não armado ou as de betão armado,são-no também aos muros de gabiões.É igualmente omum a designação de �muros gravidade� para os asos dos muros de alve-naria, de betão não armado e de gabiões, não se in luindo nesta designação, habitualmente,os muros de betão armado. Faz-se notar que em todos os asos, no entanto, as forças graví-ti as assumem um importante papel na estabilidade das estruturas. Veri� a-se, ontudo, queno aso das estruturas de betão armado o próprio terreno é, de alguma forma, envolvido naestabilidade da estrutura, ao passo que nas restantes (�muros gravidade�) as forças gravíti asenvolvidas são sobretudo as do próprio muro.Os muros de betão armado são frequentemente designados por �muros em L� ou �em Tinvertido�, dada a sua forma. Uma variante destes muros é a dos muros de ontrafortes ou degigantes, usados para muros bastante altos (habitualmente a partir dos 8 a 10 m de altura),por razões e onómi as. 125

126 Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte������������������������������������

������������������������������������(a) Muro de alvenaria ����

��������������������������������

������������������������������������

(b) Muro de betão não armado������������������������������������������������������

������������������������������������������������������

( ) Muro de betão armado (d) Muro de gabiõesFigura 9.1: Muros de suporte �rígidos�.No aso de estruturas de suporte �rígidas�, os movimentos mais importantes a que es-tão sujeitas são, sobretudo, movimentos de orpo rígido e as pressões de terras que neles sedesenvolvem puderam ser determinadas por diversas teorias de ál ulos de impulsos.As �estruturas de suporte �exíveis�, são aquelas que experimentam em serviço deformaçõespor �exão sus eptíveis de ondi ionar a grandeza e a distribuição das pressões de terras quea tuam sobre elas e, logo, dos esforços para que são dimensionadas (Terzaghi, 1943). Assim,a deformabilidade da estrutura de suporte altera o diagrama de pressões, o que modi� a osesforços e novamente as deformações da estrutura. Nestes asos, o problema em ausa é deintera ção solo-estrutura.Refere-se ainda que a grandeza e distribuição das pressões de terras dependem, para alémda deformabilidade da ortina, das suas ondições de apoio (posição e rigidez de es oras ean oragens) e, omo se verá, do estado de tensão ini ial do terreno.No que respeita ao pro edimento onstrutivo, as ortinas de ontenção �exíveis podemser de diversos tipos: esta as-pran has, paredes moldadas, paredes de esta as, paredes tipoBerlim, et . No que respeita à forma omo é assegurada a estabilidade (e, portanto, no querespeita também ao tipo de dimensionamento realizado) podem ser:• simplesmente en astradas, ou auto-portantes (Figura 9.2(a));• mono-apoiadas � mono-an oradas ou mono-es oradas (Figura 9.2(b));• multi-apoiadas � multi-an oradas ou multi-es oradas (Figura 9.2( )).

Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte 127

(a) Auto-portante (b) Mono-apoiada ( ) Multi-apoiadaFigura 9.2: Tipos de estruturas de suporte �exíveis.Em qualquer aso, uma ortina �exível é normalmente uma estrutura esbelta e, por isso,fun ionando sobretudo à �exão.As veri� ações de segurança fundamentais são, nas estruturas de suporte, às veri� ações:• à rotura global;• a movimentos ex essivos;• nos muros �gravidade� e em �L�:� ao deslizamento;� ao arregamento verti al;� ao derrubamento• nas paredes de ontenção (estruturas �exíveis):� à rotação e (ou) translação da estrutura� por perda de equilíbrio verti al.9.2 Veri� ação da segurança de estruturas de suporte rígidas9.2.1 IntroduçãoO pro esso de dimensionamento de uma estrutura de suporte rígida traduz-se, na maioriados asos, numa série de veri� ações de segurança em que a sua geometria é su essivamentealterada até ser obtido o nível de segurança desejado.Os impulsos de terras são normalmente determinados om base nas teorias que se apre-sentaram no Capítulo 3.Conforme se viu, a estabilidade de muros de suporte deve ser veri� ada atendendo aosseguintes estados limites:• rotura global;

128 Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte• deslizamento;• arregamento verti al.• derrubamento;Nos três primeiros o muro de suporte é analisado omo uma fundação pelo que, omo severá, a sua análise é análoga à apresentada no apítulo anterior. O aso do derrubamento éespe í� o das estruturas de suporte.Tratando-se de veri� ações da segurança em que os aspe tos geoté ni os são os relevantes,o dimensionamento destas estruturas deverá ser ondi ionado pela ombinação 2, se se adoptara abordagem de ál ulo 1.9.2.2 Veri� ação da segurança em relação à rotura globalA veri� ação da segurança em relação à rotura global (Figura 9.3) faz-se da mesma formaanteriormente apresentada para a rotura global de fundações e para os taludes. Não se fará,portanto, qualquer referên ia adi ional.

Figura 9.3: Veri� ação da segurança em relação à rotura global9.2.3 Veri� ação da segurança em relação ao deslizamentoA veri� ação da segurança em relação ao deslizamento faz-se da forma anteriormenteapresentada na se ção 8.5. Apresenta-se neste ponto a adaptação do que então se viu ao asode uma estrutura de suporte.Considere-se, assim, a estrutura de suporte que se representa esquemati amente na Figura9.4.Para a veri� ação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de suporte omo ada Figura, há que determinar os parâmetros de resistên ia de ál ulo do terreno. De formaanáloga, há que determinar o valor de ál ulo do ângulo de atrito entre o solo e a estrutura,δd.

Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte 129PSfrag repla ements δ

Fa

Ia

IpFigura 9.4: Veri� ação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de suporte rígida.Com base nestes parâmetros de resistên ia, são avaliados os impulsos a tivos de ál ulo,determinados om os parâmetros de resistên ia minorados e onsiderando os oe� ientes demajoração de a ções, γG e γQ, respe tivamente para as a ções permanentes e variáveis. Osimpulsos passivos são onsiderados resistên ias, na veri� ação da segurança ao deslizamento.Deve, assim, veri� ar-se que a a ção de ál ulo na dire ção da base da estrutura de suporte(horizontal, na Figura) seja inferior à resistên ia de ál ulo no onta to solo estrutura a res idado impulso passivo, ou seja, que:Hd ≤ Rd +Rpd (9.1)em que Hd é a resultante dos impulsos a tivos na dire ção da base da estrutura de suporte,

Rd é a resistên ia ao deslizamento de ál ulo que se desenvolve na base da estrutura e Rpda resistên ia passiva de ál ulo. No aso da Figura 9.4 Hd toma o valor Hd = IaHd (sendoIaHd a omponente horizontal de ál ulo do impulso a tivo) e Rd é a força de orte na baseda estrutura. Em ondições drenadas, esta força toma o valor:

Rd = Vdtgδd/γR;h (9.2)em que Vd é o valor de ál ulo da arga efe tiva normal à base da fundação. Em ondiçõesnão drenadas Rd é o resultado da adesão na superfí ie efe tiva da base da estrutura:Rd = A′cad/γR;h (9.3)em que A′ é o produto A′ = B′ × L′.9.2.4 Veri� ação da segurança em relação ao arregamento verti alO assunto da veri� ação da segurança em relação ao arregamento verti al foi já abordadona se ção 8.4. O que se apresenta neste ponto é, apenas a adaptação do que se referiu para o aso das estruturas de suporte rígidas.Para a veri� ação da segurança em relação à rotura da fundação usando a metodologiados oe� ientes de segurança par iais, há que determinar as a ções de ál ulo, ou seja, Vd,

Hd e Md, respe tivamente as argas verti al, horizontal e momento de ál ulo ( al ulado no entro da fundação).

130 Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporteNo aso da Figura 9.5 estas argas podem ser determinadas a partir de:Vd = Wd + IaV d (9.4)Hd = IaHd − Ipd (9.5)(note-se que o impulso passivo é, para este efeito, uma a ção).

Md = IaHd ×H

3− IaV d ×

B

2− Ipd ×

h

3−W × b (9.6)PSfrag repla ements

δ

Ia

Iph

h/3

H

B

B′

H/3

b

2e

Wb

Figura 9.5: Veri� ação da segurança ao arregamento verti al de uma estrutura de suporterígida.A partir dos parâmetros de resistên ia de ál ulo e da utilização de uma formulação de apa idade de arga de fundações (ver se ção 4.8) estima-se a tensão resistente de ál ulo, q′rd.Sendo B′ a largura efe tiva da fundação (igual a B−2ed), a veri� ação da segurança exigeo respeito pela inequação:Vd ≤ Rd = B′qrd (9.7)9.2.5 Veri� ação da segurança em relação ao derrubamentoConsidere-se a estrutura de suporte representada na Figura 9.6. Admitindo a possibilidadede rotação da estrutura em torno do ponto O, há que garantir que os momentos instabilizadoresde ál ulo em relação a este ponto são inferiores ou iguais aos momentos estabilizadores de ál ulo, ou seja, que se veri� a a inequação:Mdst,d ≤Mstb,d (9.8)Trata-se de um aso de equilíbrio, EQU, que foi abordado na se ção 6.4.No exemplo da Figura, o momento instabilizador de ál ulo é dado por:

Mdst,d = IaHd ×H

3− IaV d ×B (9.9)

Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte 131PSfrag repla ementsδ

Fa

Ia

Iph

h/3

O

H

B

H/3

aWb

Figura 9.6: Veri� ação da segurança ao derrubamento de uma estrutura de suporte rígida.e o momento estabilizador de ál ulo é:Mstb,d = Wb × a+ Ipd ×

h

3(9.10)Os parâmetros resistentes devem ser minorados de a ordo om o oe� ientes de segurançaindi ados no Quadro 6.5. As a ções estabilizantes devem onsiderar os oe� ientes indi adosno Quadro 6.4.Faz-se notar que não há, aqui, resistên ia; apenas a ções favoráveis e desfavoráveis.9.2.6 Estabilidade internaAs estruturas de suporte devem ainda ser dimensionadas internamente, isto é, para osesforços estruturais a que � am sujeitos. Como exemplo, apresenta-se o aso de um muro em�L� (Figura 9.7), em que haverá, por exemplo, que determinar o momento a tuante na baseda parede, onforme representado na Figura.

Figura 9.7: Dimensionamento estrutural.Naturalmente que, neste aso, os impulsos que são relevantes são os que a tuam dire ta-mente no paramento da parede de betão armado, independentemente de se ter adoptado opro edimento de dimensionamento externo (o abordado nas se ções anteriores) sugerido pelaFigura 9.8.Refere-se ainda que será natural que seja, para esta veri� ação, a ombinação 1 a ondi i-

132 Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte

Figura 9.8: Muro de betão em �L� ou �T� invertidoonante, se se adoptar a abordagem de ál ulo 1.9.2.7 DrenagemA existên ia de uma toalha freáti a no ma iço suportado é altamente desfavorável, uma vezque agrava substan ialmente o impulso total. Muitos a identes envolvendo muros de suporteestão, aliás, rela ionados om a a umulação de água no solo ontido.A onstrução de sistemas de drenagem e� ientes é um aspe to de fundamental importân iapara o omportamento adequado de estruturas de suporte. A es olha do sistema mais ade-quado depende sobretudo da permeabilidade do terreno suportado pela estrutura de suporte.Em solos muito permeáveis, é su� iente a onstrução de boeiros, se não houver in onveni-ente em que a água seja drenada para a frente do muro, e um dreno longitudinal (Figuras 9.9(a)e (b)). A es olha do diâmetro e do afastamento dos boeiros deve ter em atenção a ne essidadede es oar o audal que a�ui à estrutura. O dreno longitudinal é onstituído por tubo furadona zona superior e fun iona omo aleira na zona inferior, onduzindo a água por gravidade.Deverão ser envolvidos por material de �ltro onstituído por material granular ou geotêxtil,para impedir a olmatação e o arraste de partí ulas.No aso de solos menos permeáveis, para além dos dispositivos já indi ados, devem ser olo adas faixas drenantes verti ais (Figuras 9.9( ) e (d)), havendo, nos solos �nos que instalartapete drenante subverti al ou in linado (Figuras 9.9(e) e (f)).9.3 Veri� ação da segurança de estruturas de suporte �exíveis9.3.1 IntroduçãoAs estruturas de suporte analisadas nas se ções anteriores são estruturas rígidas. Comefeito, os movimentos a que estão sujeitos são, sobretudo, movimentos de orpo rígido e aspressões de terras que neles se desenvolvem puderam ser determinadas por diversas teorias de ál ulos de impulsos.

Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte 133

Figura 9.9: Dispositivos de drenagem (adaptado de Brito (1988)).Isto signi� a que os impulsos de terras foram al ulados independentemente da estrutura desuporte, uma vez que o aspe to que ondi iona a determinação desses impulsos é a o orrên iado referido deslo amento de orpo rígido.Há, no entanto, estruturas de suporte que não podem ser onsideradas rígidas. Estasestruturas, habitualmente designadas generi amente por �estruturas de suporte �exíveis� têmtratamento diferente sob dois pontos de vista:• em primeiro lugar porque os diagramas de pressões a que estão sujeitos, devido à �exi-bilidade da ortina, não são, em alguns asos, os provenientes das teorias de ál ulo deimpulsos estudadas;• em segundo lugar porque, omo se viu na se ção 9.1, as veri� ações da segurança sãodiferentes.Em relação ao primeiro destes aspe tos, faz-se notar que para as estruturas que serão ana-lisadas neste texto ( ortinas auto-portantes e mono-apoiadas) e para as metodologias simplesque serão abordadas, ele não será onsiderado. Isto é, as pressões de terras são determinadasusando as teorias de ál ulo de impulso estudadas. Quanto ao segundo, haverá, naturalmente,que o ter em atenção e será a veri� ação em relação à rotação e (ou) translação da estruturaque ditará a veri� ação da segurança (não se aborda neste texto a questão da veri� ação emrelação ao equilíbrio verti al).

134 Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporteFaz-se ainda uma outra observação em relação à abordagem que tem sido seguida. Colo ou-se, até aqui, os diferentes problemas de veri� ação da segurança na perspe tiva de de�nição deuma geometria e de, posteriormente, veri� ação da segurança nos seus vários aspe tos. Seráfá il de ompreender, no entanto, que na maioria das situações o trabalho que é exigido aosengenheiros é o de de�nição dessa geometria, pro urando a e onomia da solução.Naturalmente que, em determinadas situações, há que pro eder a um pré-dimensionamentoe, posteriormente, à veri� ação da segurança, seguindo-se a eventual orre ção da geometria.Noutros asos, no entanto, é possível pro eder-se à determinação das dimensões que fazem om que a segurança �que veri� ada. Por ser o aso das ortinas �exíveis que se apresentamneste texto e por ser útil o leitor � ar om essa perspe tiva do problema, será assim que estasestruturas serão abordadas.9.3.2 Dimensionamento de ortinas simplesmente en astradas ou auto-portantesConsidere-se a estrutura de suporte simplesmente en astrada esquemati amente represen-tada na Figura 9.10. Para o dimensionamento deste tipo de estrutura, admite-se que dolado do terreno suportado se desenvolvem impulsos a tivos e, do lado da es avação, impulsospassivos (ver Figura 9.10 à esquerda).PSfrag repla ementsf0

f = 1.2f0

R

OFigura 9.10: Dimensionamento de ortinas simplesmente en astradas (ou auto-portantes).Para o ál ulo de impulsos é habitualmente usada a teoria de Rankine. A determinaçãodestes impulsos e o respeito pelas ondições de equilíbrio permite es rever a equação:∑

MO = 0 (9.11)que tem f0 omo in ógnita. O oe� iente de segurança pode ser onsiderado, tradi ionalmente,apli ado ao impulso passivo ou, de a ordo om o Euro ódigo 7, o ál ulo pode ser realizadoatravés de oe� ientes de segurança par iais. O valor de f0 assim obtido é, portanto, o valorde ál ulo.Uma vez onhe ido f0, a equação de equilíbrio de forças horizontais onduz a um valor deR om a dire ção indi ada na Figura 9.10 à direita e que é designada omo � ontra-impulsopassivo�.

Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte 135A materialização da possibilidade de mobilização desta força impli a, ne essariamente, oprolongamento da altura enterrada f0 para um valor f que, do lado da segurança, se onsiderahabitualmente igual a 1.2f0. Note-se que este oe� iente de 1.2 não é um oe� iente desegurança. A sua apli ação tem implí ita a ne essidade de mobilização no pé da ortinado referido � ontra-impulso passivo�, pelo que não está rela ionado om qualquer noção desegurança (a não ser, naturalmente, pelo fa to de ser superior ao estritamente ne essário).O diagrama de momentos �e tores tem a on�guração também esquemati amente repre-sentada na Figura 9.10. Com base neste diagrama pode, assim, pro eder-se ao dimensiona-mento da ortina.Apesar de, na maior parte das situações, se re orrer à teoria de Rankine para o ál ulode impulsos, pode, naturalmente, querer onsiderar-se, na avaliação dos impulsos de terras, oatrito solo�estrutura, pelo que outras teorias de ál ulo de impulsos, omo a de Coulomb oua de Caquot�Kérisel poderão ser usadas.Tratando-se de uma estrutura de suporte uja segurança está muito dependente do impulsopassivo e, portanto, da altura enterrada, o Euro ódigo 7 prevê que a profundidade de es avaçãode ál ulo hd seja igual ahd = h+ ∆h (9.12)em que ∆h é dado por

∆h = min(0.5 m; 0.1h) (9.13)Exemplo de ál uloConsidere-se a estrutura de suporte simplesmente en astrada esquemati amente represen-tada na Figura 9.11. O solo é uma areia om φ′ = 30o, γh = 18kN/m3 e γsat = 20kN/m3.PSfrag repla ementsf0

f

O

x

H1 = 4m

H2 = 2m

Ia1d

Ia2d

Ia3dIpd

Figura 9.11: Exemplo de ál ulo de uma ortina de ontenção auto-portante.Usando a abordagem de ál ulo 1 do Euro ódigo 7 ( ombinação 2) e a teoria de Rankinepara o ál ulo de impulsos, tem-se que:φ′d = 24.79o; Kad = 0.409; Kpd = 2.445 (9.14)

136 Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suportesendo os impulsos (admitindo que são tomadas medidas espe ialmente uidadosas para on-trolo da profundidade de es avação e, portanto, não onsiderando o a rés imo de profundidade∆h dado pela equação 9.13):

Ia1d = γG1

2KadγhH

21 = 1.0 × 1

2× 0.409 × 18 × 42 = 58.9kN/m (9.15)

Ia2d = γGKadγhH1 (H2 + f0) = 1.0 × 0.409 × 18 × 4 × (2 + f0) = 29.448 (2 + f0)(9.16)Ia3d = γG

1

2Kadγ

′ (H2 + f0)2 = 1.0 × 1

2× 0.409 × 10 × (2 + f0)

2 = 2.045 (2 + f0)2(9.17)

Ipd =1

2Kpdγ

′f20 /γR;e =

1

2× 2.445 × 10 × f2

0 /1.0 = 12.225f20 (9.18)A equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto O onduz a:

∑

M0 = 0 ⇒ 58.9 ×(

2 +4

3+ f0

)

+ 29.448 (2 + f0)2 + f0

2+ 2.045 (2 + f0)

2 2 + f0

3

− 12.225f20

f0

3= 0 ⇒ f0 = 10.02m (9.19)o que resulta em:

f = 1.2f0 = 1.2 × 10.02 = 12.02m (9.20)Sento frequentemente este tipo de estrutura asso iada à utilização de esta as-pran hasmetáli as, é habitual pretender-se, simplesmente, determinar o momento máximo, em lugardo diagrama de momentos que seria preferível obter se se tratasse de uma estrutura de betãoarmado. A determinação do ponto em que o momento �e tor é máximo pode ser feita atravésda pro ura do ponto em que o esforço transverso é nulo. Este ponto lo aliza-se à distân iax da superfí ie do terreno do lado passivo, onforme se poderá on luir da observação daFigura 9.11.A equação de esforço transverso nulo onduz a:

VSd = 0 ⇒ 58.9 + 29.448(2 + x) + 2.045(2 + x)2 − 12.225x2 = 0 ⇒ x = 5.82m (9.21)e o momento máximo é:MmaxSd = 58.9

(

4

3+ 2 + x

)

+29.448(2+x)2 + x

2+2.045(2+x)2

2 + x

3−12.225x2 x

3= 962kNm/m(9.22)Convida-se o leitor a fazer os mesmos ál ulos usando a ombinação 1 da mesma abordagemde ál ulo.A veri� ação da segurança obriga a que MRd ≥ MSd pelo que haverá que es olher uma ortina (per�l metáli o) que veri�que esta ondição.

Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte 1379.3.3 Dimensionamento de ortinas mono-apoiadas através do método doapoio simplesO dimensionamento de ortinas mono-apoiadas é tradi ionalmente feito re orrendo a doistipos de métodos: métodos de apoio simples, que onsideram a existên ia, no pé da ortina,de um apoio simples (ou móvel) e métodos de apoio �xo, que onsideram a existên ia, no péda ortina, de um apoio �xo. Neste texto apenas se aborda o primeiro.Conforme referido, o método do apoio simples onsidera que, no pé da ortina, existeum apoio simples (ver Figura 9.12), o que signi� a que não existe a mobilização de umaforça horizontal do tipo � ontra-impulso passivo� que se des reveu a propósito das ortinassimplesmente en astradas ou auto-portantes.AF

PSfrag repla ementsf0Figura 9.12: Dimensionamento de ortinas mono-apoiadas através do método do apoio móvel.Tal omo para o ál ulo das ortinas simplesmente en astradas, admite-se que, no aso daFigura, se mobilizam impulsos a tivos do lado direito da ortina e impulsos passivos do ladoesquerdo.Também omo no ál ulo de ortinas simplesmente en astradas, onsidera-se habitual-mente a teoria de Rankine para o ál ulo de impulsos. A equação de equilíbrio de momentosrelativamente ao ponto A permite onhe er a altura enterrada f = f0.Tal omo para as ortinas auto-portantes, o Euro ódigo 7 onsidera um valor de ál uloda profundidade dado também pela equação (9.12), sendo ∆h dado por:

∆h = min(0.5 m; 0.1h′) (9.23)em que h′ é a distân ia entre o nível de es oras ou an oragens e o fundo da es avação.A equação de equilíbrio de forças horizontais permite determinar a força no apoio (es oraou an oragem) que, habitualmente, para efeitos de dimensionamento, deverá ser multipli adapor 1.2 a 1.3.O diagrama de momentos �e tores tem o andamento aproximado apresentado na Figura9.12, podendo, om base neste diagrama, pro eder-se ao dimensionamento da ortina.

138 Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporteExemplo de ál uloConsidere-se a estrutura de suporte mono-apoiada esquemati amente representada na Fi-gura 9.13. O solo é uma areia om φ′ = 30o, γh = 18kN/m3 e γsat = 20kN/m3.PSfrag repla ements

f0

x

H1 = 4m

H2 = 2m

H3 = 2mAF

Ia1d

Ia2d

Ia3dIpdFigura 9.13: Exemplo de ál ulo de uma ortina de ontenção mono-apoiada.Usando a AC1 ( omb, 2) do Euro ódigo 7 e a teoria de Rankine para o ál ulo de impulsos,tem-se que:φ′d = 24.79o; Kad = 0.409; Kpd = 2.445 (9.24)sendo os impulsos (admitindo que são tomadas medidas espe ialmente uidadosas para on-trolo da profundidade de es avação e, portanto, não onsiderando o a rés imo de profundidade

∆h dado pela equação 9.23):Ia1d = 58.9kN/m (9.25)Ia2d = 29.448 (2 + f0) (9.26)Ia3d = 2.045 (2 + f0)

2 (9.27)Ipd = 12.225f2

0 (9.28)A equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto A:∑

Ma = 0 ⇒

0 = 58.9 × 2

3+ 29.448 (2 + f0)

(

3 +f0

2

)

+ 2.045 (2 + f0)2

(

10

3+

2

3f0

)

−(9.29)− 12.225f2

0

(

4 +2

3f0

) onduz a:f0 = 4.16m (9.30)A equação de equilíbrio de forças horizontais:

∑

H = 0 ⇒ Fd + 12.225f20 − 58.9 − 29.448 (2 + f0) − 2.045 (2 + f0)

2 = 0 (9.31)

Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte 139que onduz a a:Fd = 106.3kN/m (9.32)Pretendendo-se onhe er o momento máximo, há que onhe er a lo alização do ponto da ortina em que o esforço transverso é nulo. Considerando este ponto à distân ia x do nível deágua, tem-se que:

V = 0 ⇒ 58.9 + 29.448x + 2.045x2 − 106.3 = 0 (9.33)que resulta em:x = 1.46m (9.34)O momento máximo é, assim:

MmaxSd = 58.9

(

x+4

3

)

+ 29.448xx

2+ 2.045x2 x

3− 106.3(x + 2) = −169.8kNm/m (9.35)Com base neste momento (ou no que se obteria da ombinação 1, ujos ál ulos se onvidao leitor a realizar), poderá pro eder-se ao dimensionamento estrutural da estrutura de suporte.

140 Capítulo 9. Veri� ação da segurança de estruturas de suporte

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