IMPLEMENTAO DO MTODO DOS PAINIS PARA O ESTUDO DE

PROPRIEDADES AERODINMICAS DE AEROFLIOS

Joo de S Brasil Lima joaobrasil.lima@gmail.com Resumo. Este artigo trata da implementao computacional do Mtodo dos Painis, tendo como foco o projeto aerodinmico de

asas. Para tal, feito um estudo prvio da Teoria da Linha de Sustentao, para em seguida serem feitas consideraes tericas e desenvolvimento das equaes que descrevem o Mtodo dos Painis. Com a fundamentao terica, elabora-se uma rotina computacional para simular tal mtodo sobre um perfil de asa dado, para obter propriedades da asa tais como distribuio do coeficiente de presso, circulao e arrasto induzido. No final so apresentados os resultados obtidos, bem como suas respectivas anlises para o caso bidimensional. Palavras chave: Engenharia Mecnica, Aerodinmica, Mtodo dos Painis, Escoamento Potencial, Teoria da Asa Finita

1. Introduo

O objetivo do trabalho aqui proposto o de desenvolver uma rotina de simulao computacional para o Mtodo dos

Painis, visando o projeto aerodinmico de asas. Sendo o Mtodo dos Painis de fcil implementao, o software

necessrio para tal rotina ser o MatLab, um software comercial, que pode ser utilizado em mquinas consideradas

simples, e os resultados so satisfatrios.

Primeiramente so feitas consideraes tericas sobre a Teoria da Linha de Sustentao, bem como sua modelagem

matemtica que a torne passvel de simulao para serem obtidos alguns resultados preliminares que sero utilizados

para fins de comparao ao longo do trabalho. Com esses resultados faz-se as anlises convenientes para a validao do

cdigo e dos resultados obtidos. Em seguida parte-se para a modelagem matemtica do Mtodo dos Painis, para o caso bidimensional,

incompressvel. Inicialmente faz-se uma modelagem genrica, para, com a metodologia de simulao correta, introduzir

o dipolo como elemento de singularidade e obter, assim, os resultados desejados. Resultados esses que so propriedades

do aeroflio, tais como sustentao, arrasto, velocidade de downwash, circulao, distribuio de presso e diferena de

presso.

Por fim feita a modelagem matemtica para o caso tridimensional utilizando o Vrtice Ferradura como elemento

de singularidade. Elabora-se uma rotina de simulao e valida-se o cdigo analisando e comparando os resultados para

uma asa com distribuio elptica de corda, com os resultados obtidos atravs da Teoria da Linha de Sustentao.

Validando-se o cdigo possvel utiliz-lo a fim de obter resultados para diferentes formas planas de asas.

2. Metodologia

Esta seo trata de todas as etapas de modelagem matemtica e das metodologias empregadas nas simulaes para a

Teoria da Linha de Sustentao e para o Mtodo dos Painis.

2.1. A Teoria da Linha de Sustentao

Para a implementao do referido mtodo, o escoamento em torno da asa dever satisfazer as seguintes equaes:

(1) (2) (3)

Como as equaes utilizadas na teoria do escoamento potencial so lineares pode-se utilizar o princpio da

superposio de escoamentos pra gerar outro escoamento caracterstico. Dessa forma, partindo da superposio do

escoamento uniforme caracterizado pela velocidade ao longe com a superposio de vrios painis de fontes,

sorvedouros ou vrtices, possvel gerar a superfcie da asa desejada por meio de clculos numricos. Conhecendo-se a

geometria da asa, calculam-se os parmetros necessrios para avaliar as caractersticas da asa e comparam-se os

resultados obtidos com os mesmos resultados provenientes da Teoria da Linha de Sustentao. Para tal, sero feitas

algumas consideraes sobre a Teoria da Linha de Sustentao de Asa Finita.

A Teoria de Asa Finita visa incluir no estudo de aeroflios efeitos de velocidades induzidas bem como os efeitos da

distribuio vortical ao longo do aeroflio. O principal objetivo dessa teoria determinar a distribuio de esforos ao

longo de um perfil de asa, sob dadas condies do escoamento. Para isso, assume-se que a esteira de vrtices que se forma na direo do aeroflio permanece constante, e que o escoamento pode ser assumido como bidimensional. A

existncia de vrtices, causar no aeroflio os efeitos de downwash e de arrasto induzido. To importante quanto

quantifica-los, determinar sua interferncia nas foras de arrasto e sustentao, como possvel observar na Fig. (1).

Figura 1. Distribuio de esforos em asa finita. Adaptado de Kuethe (1986)

A velocidade do escoamento em cada ponto da envergadura, e a velocidade do escoamento ao longe determinam

um ngulo de ataque induzido , dado por:

( ) (

) (4)

Sendo w a velocidade de downwash e V a velocidade do escoamento ao longe. Como a sustentao normal velocidade absoluta do escoamento, V, a nova fora de sustentao, j incluindo os

efeitos de downwash dada por:

(5) E o arrasto induzido dado por:

(6)

Todos os esforos so calculador por unidade de envergadura da asa, e a circulao sobre a asa. Para os estudos, ser admitida uma distribuio de circulao arbitrria, que ser expressada em termos de uma

srie infinita. Para tal realiza-se uma expanso em srie de senos, representada da seguinte forma:

(7)

Aps manipulao algbrica, derivaes e integraes, chega-se na expresso para o clculo do ngulo efetivo de

ataque:

( )

(8)

Sendo cs o comprimento de corda no plano de simetria, c o comprimento de corda da asa, RA a razo de aspecto da

mesma, o ngulo de um determinado ponto na superfcie da asa e An os coeficientes da srie infinita. Estruturando-se o problema na forma de um sistema linear como representado abaixo, encontram-se os coeficientes

da srie que permite chegar a resultados apresentados na Fig. (2), para uma asa elptica:

Distribuio de Circulao (y)

Velocidade de

downwash

Esteira de vrtices

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2. Grficos das simulaes para a Teoria da Linha de Sustentao com asa de perfil elptico: (a) Distribuio de circulao sobre a asa; (b) Distribuio de sustentao; (c) Distribuio de arrasto induzido; (d) Distribuio da

velocidade de downwash.

2.2 Mtodo dos Painis Caso Bidimensional

Como dito anteriormente, o mtodo dos painis se baseia no princpio da superposio, onde busca-se uma soluo

na qual a soma do escoamento ao longe com os escoamentos induzidos pelos painis de dipolos obedeam as condies

impostas pelas equaes (1), (2) e (3).

A implementao do mtodo dos painis realizada seguindo uma metodologia que pode ser resumida em seis

passos.

2.2.1 Escolha do mtodo de singularidade

Nesta etapa do trabalho, determinado qual o elemento de singularidade ir ser usado e qual ser a sua distribuio

ao longo de cada painel. Neste trabalho, foi escolhida uma distribuio de dipolos constantes como elemento de

singularidade.

2.2.2 Gerao da malha

Aps a escolha do elemento de singularidade, deve-se escolher a forma como a geometria em estudo ser

discretizada. No presente trabalho, definiu-se que a geometria ser dividida em painis planos. Junto com a definio

dos painis, que podem ser definidos pelos seus pontos iniciais e finais, importante a definio dos pontos de controle,

que sero os locais onde sero impostas as condies de contorno a serem verificadas onde, neste mtodo, eles sero posicionados no centro de cada painel.

2.2.3 Clculo dos coeficientes de influncia

Os coeficientes de influncia sero calculados impondo a condio de contorno de Neumman, que afirma que o

escoamento na direo normal em cada painel deve ser nulo.

Para isso, inicialmente, devemos elaborar uma rotina que calcule a velocidade induzida por um painel de dipolos

constantes em todos os outros pontos de controle. Dessa forma, a velocidade induzida em um ponto (x,z) devido a um

painel cujas extremidades so ( ) ( ) :

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

(9)

Entretanto, esta velocidade ser calculada segundo o sistema de coordenadas do painel, havendo, dessa forma, a

necessidade de uma transformao de coordenadas para o sistema global, exibida na Fig (3).

Figura 3. Sistemas de coordenadas utilizados no mtodo dos painis. Adaptado de Katz (2001)

( ) (

) ( ) (10)

Assim, os coeficientes de influncia podem ser calculados como sendo a velocidade normal induzida pelo j-simo

painel no i-simo ponto de controle como segue:

( ) (11)

2.2.4 Condio de contorno

A condio de contorno de Neumman impe que a soma de todas as velocidades induzidas em um dado painel seja

zero. Assim, para o i-simo painel temos:

( )

( ) (12)

2.2.5 Montagem e resoluo do sistema linear

Aps o estabelecimento das condies de contorno em todos os painis, podemos montar um sistema linear no qual

as incgnitas so as intensidades dos dipolos. Dessa forma temos:

(

)(

) (

) (13)

Entretanto, temos que a vorticidade causada por dois dipolos adjacentes pode ser calculada como:

(14)

Coordenada global

Coordenada do painel

Conseqentemente, a vorticidade no bordo de fuga do aeroflio ser de:

(15)

Assim, necessria a imposio da condio de Kutta o qual determina que a condio de Kutta deva ser nula no

bordo de fuga. Isso pode ser feito atravs da modelagem da esteira como uma distribuio de dipolos constantes,

conforme a Fig (4).

Figura 4. Distribuio de dipolos. Adaptado de Katz (2001)

Assim, deve ser acrescentada mais uma incgnita ao sistema, que a intensidade do dipolo utilizado para modelar a

esteira, e mais uma equao, que a condio de Kutta.

( ) (16)

2.2.6 Clculo das presses

Uma vez conhecida as intensidades dos dipolos, possvel calcular os coeficientes de presses nos dorsos superior

e inferior conforme as equaes:

( )

( )

(17)

2.2.7 Simulaes e resultados

Assim, com a metodologia acima, pode-se plotar a seguinte distribuio de presses para um aeroflio tipo

NACA0012, exibida na Fig. (5), e na Fig. (6) a diferena de coeficientes de presso entre as partes superior e inferior do

aeroflio. Para um ngulo de ataque de 4, o resultado est exibido a seguir:

Figura 5. Distribuio dos coeficientes de presses

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Coeficiente de presso

x/c

Cp

Figura 6. Distribuio da diferena dos coeficientes de presses

Um argumento que valida os resultados dado atravs da observao da tendncia do valor da diferena do

coeficiente de presso (Fig. (6)) no bordo de fuga. Sabemos que, como a vorticidade no bordo de fuga deve ser zero, no deve haver fora de sustentao nesta regio

que, por outro lado, pode ser interpretado como a inexistncia de diferena de presso nesta mesma regio. Este

resultado pode tambm ser observado na Fig. (6).

2.3 Mtodo dos Painis Caso Tridimensional

Nessa seo apresentado o Mtodo dos Painis para o caso Tridimensional. Isso inclui modelagem matemtica,

equacionamento, simulaes, resultados e anlises. Para a elaborao do cdigo foi empregada uma soluo pelo

Mtodo do Vrtice Ferradura (Horseshoe Vortex).

2.3.1 Mtodo do Vrtice Ferradura

Esse mtodo utiliza um vrtice ferradura como elemento de singularidade. O vrtice ferradura composto por um

segmento de vrtice para modelar as propriedades de sustentao, e dois vrtices semi-infinitos para modelar a esteira.

Nesse caso, deve-se respeitar o Teorema de Helmotz, que afirma que um segmento de vrtice no possa simplesmente

terminar no interior de um fluido, mas deve estender-se at a fronteira do sistema ou ainda se fechar formando um anel.

E a intensidade do vrtice deve ser constante por toda a sua extenso. Um modelo de vrtice ferradura est exibido na

Fig. (7).

Figura 7. Modelo de vrtice ferradura. Adaptado de Katz (2001)

Nessa situao, a esteira deve ser paralela velocidade do escoamento ao longe, o que acarreta em algumas

dificuldades de modelagem. Posto isso, h duas possibilidades para que isso ocorra, que esto expostas na Fig. (8), onde

o ngulo de ataque e a velocidade do escoamento ao longe.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Coeficiente de presso

x/c

-dC

p

Figura 8. Possibilidades de modelagem utilizando o vrtice ferradura. Adaptado de Katz (2001)

Dessa forma, pode-se estruturar o mtodo para simulao. Na Fig. (9) possvel ver a representao espacial da discretizao da superfcie. Baseado na teoria para o mtodo bidimensional, j descrita nesse trabalho, coloca-se o

segmento de vrtice na linha de quarto de corda e assume-se a intensidade do vrtice como sendo constante.

Figura 9. Superfcie da asa discretizada com vrtices ferradura. Adaptado de Katz (2001)

Na Fig.(10) tem-se o elemento de vrtice ferradura completo com seus pontos principais.

Figura 10. Pontos principais do vrtice ferradura. Adaptado de Katz (2001)

Dessa forma, pode-se calcular a velocidade induzida por cada trecho de vrtice, cujo campo de velocidade V

funo de um conjunto de variveis, representadas a seguir:

Vrtice Ferradura

Ponto de Controle

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(18)

Com isso, a velocidade induzida pelos trs segmentos de vrtice que compem o vrtice ferradura dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) (19)

Para o clculo do arrasto induzido utiliza-se apenas a componente de velocidade relativa esteira. Essa componente

obtida somando-se as contribuies de velocidades dos trechos AB e CD do vortices ferradura, obtendo-se:

( ) ( ) ( ) (20)

Com a asa discretizada em N painis, como mostrados na Fig. (9), obtm-se os vetores normais para cada painel de

indce j, cuja expresso dada por:

( ) (21)

Aplicando-se a equao abaixo para os pontos de colocao de cada painel, atendem-se todas as condies de

contorno:

(22)

Com as expresses para clculo das velocidades induzidas pelos vrtices ferradura conhecidas, tem-se, aplicando as

condies de contorno:

[( ) ( ) ( ) ( )] (23)

Na expresso acima, as intensidades da circulao so desconhecidas. Os coeficientes de influncia representam a

influncia do vrtice ferradura de ndice i, no vrtice de ndice j e so calculados para um intensidade unitria de circulao Tais coeficientes so dados por:

( ) (24)

Da equao (22), chega-se em N equaes com N termos cada uma:

( ) ( ) ( ) ( )

(25)

Que pode ser escrito na forma de um sistema linear:

(26)

Onde:

( ) (27) Com as circulaes de cada painel obtidas, pode-se calcular os esforos de sustentao e arrasto induzido, dados

por:

(28)

2.3.2 Simulaes e resultados

Com a metodologia descrita na seo anterior, elaborou-se um cdigo para o clculo da circulao, sustentao,

arrasto induzido e distribuio de velocidade de downwash em asas, empregando o mtodo do vrtice ferradura. Para

validao do cdigo, simulou-se para uma asa elptica e comparou-se o resultado com os obtidos atravs da Teoria da

Linha de Sustentao. Com o cdigo validado, pde-se simular para diferentes perfis de asa. Na Fig. (11) esto exibidos

os resultados para uma asa elptica, bem como sua forma tridimensional e plana, utilizados na validao do cdigo.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 11. Resultados da simulao para o mtodo do vrtice ferradura. Em vermelho o resultado para o Mtodo dos

Painis e em azul tracejado, para a Teoria da Linha de Sustentao: a) Asa com distribuio elptica de corda e perfil

NACA 0012; b) Forma plana da asa, utilizada na simulao; c) Distribuio de circulao; d) Distribuio de sustentao; e) Distribuio da velocidade de downwash; f) Distribuio de arrasto induzido.

Analisando os grficos acima, possvel notar que o resultado para o mtodo empregado prximo dos obtidos

atravs da Teoria da Linha de Sustentao, o que torna o cdigo elaborado vlido. Com isso, utiliza-se o cdigo para

obter resultados para outras formas planas de asa. A seguir sero apresentados resultados para uma asas de forma plana

trapezoidal com enflechamento de 30 e 45. Na Fig. (12) esto exibidas a forma plana da asa e a distribuio de

sustentao para a asa com enflechamento de 30 e na Fig. (13), idem para 45.

(a) (b) Figura 12. Resultados para asa com enflechamento de 30; a) Forma plana da asa trapezoidal com enflechamento de

30; b) Distribuio de sustentao para asa com enflechamento de 30.

(a) (b) Figura 13. Resultados para asa com enflechamento de 45; a) Forma plana da asa trapezoidal com enflechamento de

45; b) Distribuio de sustentao para asa com enflechamento de 45.

Analisando os grficos possvel concluir que a sustentao diminui com o aumento do ngulo de enflechamento.

3. Referncias

Anderson, J.D., 1991, Fundamentals of Aerodynamics McGraw-Hill Katz, J.,Plotkin, A., 2001, Low Speed Aerodynamics, Cambridge Press Kuethe, A.M., Chow, C.,1986, Foundations of Aerodynamics,Wiley White, F.M., 2002, Mecnica dos Fluidos, McGraw-Hill

AN IMPLEMENTATION OF THE PANEL METHOD WING DESIGN

Joo de S Brasil Lima joaobrasil.lima@gmail.com Abstract. This article describes the computational implementation of the Panel Methods. It has as its main objective the aerodynamic design of finite wings. To that end, we have considered the Lifting Line Theory as well as the mathematical modeling of Panel Methods, in potential flow. A set of computational routines was developed to implement those methods. Those routines have been validated against known results for elliptical wings of high aspect ratio. Then, the same routines

have been used to tackle some additional test cases, for which the results are presented and analyzed below.

Keywords. Mechanical Engineering, Aerodynamic, Panel Methods, Potential Flow, Slender Wing Theory