República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.

Instituto Universitario de Tecnología del Estado Trujillo

Proyecto Nacional de Formación del Estado Trujillo

[Sucesiones y Series ]

Autores:

Br. Salas, Terwa C.I 21.206.500

Br.Sanguino, Reinaldo C.I 17.467.245

Br. Pérez, José C.I 14.718.394

Br. Villegas, José C.I 20.040.768

Índice Pág.

Introducción 3

Sucesiones 4

Sucesión monótona creciente 6

Sucesión monótona decreciente 6

Sucesión de Limite finito. 8

Sucesiones equivalentes. 15

Sucesión acotada.

Sucesiones monótonas convergente.

Las sucesiones aritméticas. 16

Las sucesiones geométricas. 18

Las sucesiones aritmético geométricas. 21

Sucesión de Padovan. 23

Sucesión de Cauchy. 26

Sucesión de Farey. 28

Propiedades de las series: 35

Propiedad distributiva:

Propiedad aditiva:

Serie geométrica

Serie telescópica 37

Suma de una serie telescópica

Series de términos positivos

Criterio de comparación por paso al límite

Criterio de D'Alembert

Cauchy por paso al límite 39

Series alternadas 40

Criterio de Leibnitz

Convergencia absoluta 41

Termino enésimos 43

Serie convergente.

Serie geométrica convergente

Serie divergente 45

serie armónica

serie hipergeométrica:

Desarrollo de la función por medio de serie 49

Serie de Fourier 51

Series numéricas 53

Serie de Taylor 55

Serie de Maclaurin 61

Derivación e investigación de serie de potencia. 63

Aplicación a la ingeniería eléctrica 66

Conclusión 68

Bibliografía 69

Introducción

Desde tiempo muy antiguo, el hombre determino la necesidad del

reconocimiento, de áreas de desplazamiento de objetos o ya sea partículas, de

igual manera propiedades aditivas, conmutativas, entre otras, aplicadas en dichos

desplazamientos. La Catapulta por ejemplo se usaba como una maquina portátil

lanzadora de piedra. El mecanismo de la propulsión era similar al de una

ballesta .Los artilleros experimentados apuntaban y disparaban la catapulta a

simple vista, ¿Qué tipo de trayectoria del proyectil se podría presentar, estos

artilleros preferirían, una trayectoria alta, baja relativamente baja? Todo estas

interrogantes es posibles responder mediante las sucesiones y series, las

sucesiones pueden ser definidas como el sentido efectuado, como por ejemplo

colección u orden de manera sucesiva (Suma de las diferentes trayectorias de

una partícula u objeto), las series son aplicables en la representación de “sumas

infinitas, informales, si solo si {an } es decir

∑n=1

∞

an=a1+a2+a3+…+an

Un ejemplo de uso de las series, se podría decir que si durante la primera

mitad de un intervalo de tiempo una variación una variación tiene cierta

intensidad, durante el siguiente cuarto la intensidad es doble, en el siguiente

octavo la intensidad es triple, y así de forma infinita.

Sucesiones

Los estudios al cálculo definen una sucesión, ya sea finita porque hay un

primero y un último número Ej. 2, 4, 6, 8,10. Si el conjunto de números que los

definen no tiene un primero y un último número se dice que la función es infinita

Ej. Sucesiones definidas como: 1/3,2/5,3/7,4/9. Es infinita porque los tres puntos

indican que no hay un último número. Una sucesión (o secuencia). Es una función

cuyo Dominio es el conjunto (1, 2,3,….., n….) de los enteros positivos.

Sucesión es una secuencia ordenada de números u otras cantidades, y

serie es la suma de todos los términos de dicha secuencia.

Otro modo de observar la sucesión es representarla con la letra a1,

a2…, an … Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el

primer término, a2 el segundo, y así sucesivamente. Si el último término

aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece es infinita. Una

sucesión es definida o establecida si y sólo si, existe una regla dada que

determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla

puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los

números enteros positivos, en su orden natural, forman una secuencia infinita

definida por la fórmula an=n. La fórmula an = n2 define la sucesión. La regla de

empezar con 0 y 1 y calcular cada término como la suma de los dos términos

anteriores define la sucesión como: sucesión de Fibonacci.

Ejemplos

Ejemplo1

Dado los siguientes términos de una sucesión determinar:

a) Los términos de una sucesión {an} ={3+(−1)n} son

3+(−1)1 ,3+(−1)2 ,3+(−1)3 ,3+(−1)4 ,…

2 ,4 ,2 ,4 ,…

Ejemplo 2

b) Los términos de la sucesión { bn } ={ n1−2n } son

11−2∗1 ´

21−2∗2 ´

31−2∗3´

41−2∗4 ´

,…

−1 ,−23,−3

5−4

7

Ejemplo 3

Dado los términos de sucesión {cn} =⟨ n2

2n ⟩Solución:

12

21−1´22

22−1´32

23−1´42

24−1 ´,…

11, 43, 97, 1615,…

Entre los tipos más importantes de sucesiones se encuentran las

sucesiones aritméticas (también conocidas como progresiones aritméticas), en

las que la diferencia entre dos términos sucesivos es constante; y las

sucesiones geométricas (también conocidas como progresiones geométricas).

De igual manera se puede clasificar como:

Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural an <= an+1 (a1 <= a2 <= a3 <=... <= an).

Ej 1:

an = n es monótona creciente.

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4,...

Sucesión monótona decreciente

Una sucesión es monótona decreciente si se cumple que para todo n natural an

>= an+1 (a1 >= a2 >= a3 >=... >= an).

Ej 2:

an = 1/n es monótona decreciente.

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4,...

Por lo general, los elementos de las sucesiones se listan en orden, se

represent n-enésimo elemento de la sucesión f (n).De esta forma, los

elementos de la sucesión infinita se escribe como:

1/3,2/5,4/9,…., n

2n+1

Ya que el Dominio de Esta sucesión es el mismo, se puede usar la

notación f (n) para representarla. Así solo si, la sucesión infinita se puede

representar por (n / (2n+1)). También se puede emplear la notación con sub.-

índice (an), para designar la sucesión para la cual f (n)= an

Se dice que una secuencia a1, a2, a3…..an

Es igual b1, b2, b3…..bn

Si y solo si, ai=bi para todo entero positivo i. Por lo tanto, es posible que

dos secuencias tengas los mismos elementos y sean desiguales.

Si existiese un número L tal que (an- L) sea arbitrariamente pequeña

para n suficientemente grande, decimos que la sucesión (an) tiene limite L. En

seguida enunciamos la definición precisa del límite de una sucesión.

Es decir una sucesión (an) tiene L si para toda €>0 existe un numero

N>0 tal que (an- L)< para todo entero n>N; escribimos entonces

limn+∞

❑an=L

Si limn+∞

❑ f (x )=L, y f está definida para todo entero positivo, entonces

también limn+∞

❑ f (n)=L cuando n es cualquier entero positivo.

Ejemplo 4 Límite de una sucesión

Hallar el limite de una sucesión cuyo termino n−enesimo es

an=[1+ 1n ]

n

, para la solución se parte del teorema

limn+∞

❑an=L

Es decir limn→∞ (1+ 1

n )n

limn→∞ (1+ 1

x )x

=e

Sucesión de Límite infinito

Una sucesión es infinita, porque es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros mayores o iguales que un entero dado. Si I representa el conjunto de los enteros y k es un entero dado, entonces la función.

F= { ﴾ n ,m ﴿ [y= F(n¿ , nεI ,N>k}es una sucesión infinita.

lim an = +inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K.

Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos

encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores

que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con

tal de que n sea lo suficientemente grande.

Del mismo modo se define lim an = -inf <=> para todo K<0 existe N

natural / para todo n > N an < K.

Sucesión de Limite finito

Consideremos la sucesión an = 1/n.

a1 = 1

a2 = 1/2 = 0.5

a3 = 1/3 ≈ 0.33

a4 = 1/4 = 0.25

a5 = 1/5 = 0.2

a6 = 1/6 ≈ 0.17

a7 = 1/7 ≈ 0.14

a8 = 1/8 ≈ 0.12

a9 = 1/9 ≈ 0.11

a10 = 1/10 = 0.1

A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más

cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto

significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme

n crece.

Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0.

Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la

notación abreviada an -> 0.

lim an = a <=> para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a - ε < an

< a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε.

Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos

encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en

adelante se tiene que |an - a| < ε.

Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un

subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión

pertenecen a dicho entorno.

Si se encontrase una sucesión ya sea; convergente o divergente se

reconocería solo si, solo la sucesión (an) tiene un límite, se dice que es

convergente y que an, converge a ese límite. Si la sucesión no es convergente,

se dice que es divergente.

Es decir, cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es

convergente y converge a an.

Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.

Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.

La sucesión an = 1/n converge a 0.

La sucesión an = n2 es divergente.

La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.

De igual manera las sucesión explicita cuando se da una fórmula que

permite hallar un mediante un cálculo único donde no interviene otra variable

que n. En otras palabras, un es una función de n: un = f(n).

Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es

polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos,

cuyas abscisas son los enteros naturales.

Cuando la función f es definida también en los reales (como en la figura),

el estudio de f (límite en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer

perfectamente u:

Si f tiende hacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es

errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π·x), que no tiene límite

mientras que un = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero.

Si f es creciente en un intervalo [a; b] entonces u lo es para los valores

enteros positivos del intervalo (o sea sobre [a; b] ∩ ).

Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de f no

corresponden a valores enteros de x, entonces se tiene que considerar

los naturales más próximos y comparar los un correspondientes. En la

figura, f tiene un mínimo relativo en el intervalo]2; 3[, y como u2 < u3, u2

es un mínimo relativo de u. El máximo relativo de f en ]6; 7[ da dos

máximos relativos de u porque u6 = u7.

Sin embargo, existen métodos para estudiar u sin estudiar f: el sentido

de variación se puede determinar con el signo de un+1 - un (si es positivo, u

crece), o comparando la fracción un+1/un con 1 (apropiado cuando u es de signo

constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos

cuando f tiene una función derivada complicada.

En algunos casos, la función f que aparece en un = f(n) no puede

extenderse a . Es el caso si definimos un como el número de factores propios

de n por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la

Función de Möbius µ. El estudio clásico de las funciones, mediante la

derivación, es entonces imposible.

Se considera que una sucesión es implícita cuando un no sólo depende

de n sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que

calcular antes.Por ejemplo se puede fijar uo = 1 y decidir que para cualquier

natural n > 0, un = n·un-1. Para hallar u3 digamos, hay que calcular u2 lo que

necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo.

Obtenemos: u1 = 1×u0 = 1, luego u2 = 2×u1 = 2 y por fin u3 = 3×u2 = 6. Son los

factoriales.

Ejemplo muy conocido es la sucesión de Fibonacci definida por

un+2 = un+1 + un.

La fórmula que define un término con relación a los anteriores se llama relación

de inducción.

Cuando el término general un sólo depende del término anterior , un-1, es

decir cuando existe f tal que un = f(un-1) o; lo que viene a ser lo mismo un+1 = f(un) (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla,

muy instructivo (ver imagen):

En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de

ecuación y = x). Se empieza por el punto de abscisa del eje horizontal uo y se

sube (o baja) verticalmente hasta encontrar la curva de f. Como u1 = f(uo), la

ordenada de este punto es u1. Sin embargo para obtener u2 necesitamos tener

u1 en las abscisas. Por esto nos desplazamos horizontalmente hasta encontrar

la diagonal. En la diagonal, abscisa y ordenada son iguales (por su ecuación y

= x), luego bajamos hasta encontrar el eje de las abscisas lo que nos permite

leer el valor de u1. A partir de ahí el proceso se repite igual, pues u2 = f(u1)

etcétera.

En la práctica, basta trazar la escalera entre la curva y la diagonal para

evidenciar el comportamiento de la sucesión ( creciente, decreciente u

oscilatoria) y su eventual límite denotado l (ele): si es finito, tiene que ser la

abscisa de un punto de intersección de la curva de f y de la diagonal porque

tiene que verificar l = f(l), relación obtenida tomando el límite de un = f(un-1)

( con f continua). Si se acepta la notación f(+ ∞) para designar el límite en el

infinito, entonces la relación anterior se extiende tal cual a los infinitos.

f continua y derivable en l, límite potencial de la sucesión. Entonces se

puede predecir su comportamiento local cerca de l (es decir si un es próximo a

l, cómo evoluciona la sucesión a partir de este término). Este comportamiento,

en primera aproximación, sólo depende de f '(l), el valor derivado en l:

Sucesiones equivalentes

Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando el límite de su cociente es

1.

Sucesión acotada

M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.

m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.

Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.

Sucesiones monótonas convergentes

((an),(bn)) es un par de sucesiones monótonas convergentes si

a) an es creciente y bn decreciente.

b) Para todo n natural an <= bn

c) Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε

Las sucesiones aritméticas.

Una sucesión aritmética puede ser definida como una función de n:

un=u0+r . n(r∈R)

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

u0=a (a∈R )

un+1=un+r (r∈R)

Al número real r se le denomina razón de la sucesión (revisión).

Si la razón es positiva, la sucesión crece, y tiende hacia + ∞. Si es

negativa, decrece y tiende hacia - ∞. Si es nula, la sucesión es constante.

Ej:

Existe una fórmula muy sencilla para sumar números en progresión

aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética): se

multiplica el término medio, que es el promedio de los términos extremos, por el

número de términos. Esta fórmula toma las formas siguientes, según el

contexto:

S=numero de terminos∗( primer termino+ultimo termino)2

S=u0+u1+…un=(n+1 ) .(u0+un)

2

S=U1+U 2+…¿n .(u1+un)

2

Como caso particular muy frecuente:

1+2+3+…+n=n(n+1)2

A veces lo más difícil es encontrar el número de términos para poder

aplicar la fórmula. Si el primer término a sumar vale a, el último vale b, y la

razón es r, entonces el número de términos en la suma es:

[b−a]r

+1

Por ejemplo, para la suma: S = 1492 + 1499 + 1506 + ... 2003 de

términos consecutivos de una sucesión de razón 7, encontramos

2003−14927

+1=74términos, y la suma es

74∗(1492+2003)2

=129315

Las sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica puede ser definida como función de n:

un=b∗rn(r∈R)

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

u0=b(b∈ R)

un+1=r∗un(r∈ R)

Al número real r se le denomina también razón de la sucesión. A

menudo se la denota q.

Ejemplo:

El comportamiento de la sucesión geométrica depende del signo del

primer término y del valor de su razón.

Si la razón es positiva, entonces la sucesión es monótona, y tiene un

aspecto muy regular, que se puede prolongar por una función de tipo

exponencial de base r: un=b∗rnse prolonga en f(x) = b·rx.

Se distinguen cuatro casos, como se ve en la figura siguiente; las

ordenadas de los puntos negros son los valores de la sucesión, y la curva

representa la función:

Si la razón es negativa, entonces la sucesión es oscilante. Se distinguen

dos casos en función de si r es menor que -1 ó no. El signo del primer término

no modifica el aspecto general de la sucesión (cambiar de signo equivale a una

simetría alrededor del eje horizontal, y aquí no se nota mucho). Las potencias rn

con r negativo no se generalizan a los reales, salvo convención particular, y por

lo tanto no existe una función natural que prolongue la sucesión. En la figura

siguiente se ha multiplicado la función |r|x por el factor cos πx para simular el

cambio periódico de signo.

Si el término inicial es nulo, o si la razón vale -1, 0 ó 1, la sucesión no

entra en la clasificación anterior, pero no importa pues en tal caso carece de

interés.

Descartando estos casos particulares, se puede decir que la

convergencia de la sucesión depende del valor absoluto de la razón:

si |r| > 1, no converge, y si |r| < 1, converge hacia cero.

Notemos q la razón, y supongamos q ≠ 1. Entonces la suma de números

en progresión geométrica es dada por la fórmula siguiente, bajo tres formas

equivalentes:S

numero de terminos−termino que sirgue alultimode la suma ¿ ¿1−razon

S=u0+u1+…+un=u01−qn+1

1−q=u0−un+1

1−q

S=u1+u2+…+un=u11−qn

1−q=u1−un+1

1−q

Si -1 < q < 1, la suma de todos los términos de la sucesión es:

S=u0

1−q

Suponiendo que An sea el término cualquiera, Ak el término que ocupa la

posición "k", y A1 el primer término de la sucesión:

Para hallar un término cualquiera en una sucesión geométrica, se debe

usar:

An=A k∗rn−k

Para sumar los "n" primeros términos de una sucesión geométrica:

Sn=An∗r−A1

r−1

Para sumar todos los números de una sucesión (Suma infinita):

S∞=A1

1−r . Esta fórmula sólo es aplicable cuando −1<r<1

Para calcular el producto de los nº primeros términos de una sucesión:

pn=√(An∗A1)n

Las sucesiones aritmético geométricas

Es, como lo indica su nombre, una mezcla de las dos definiciones

anteriores. Se pueden definir por inducción de la siguiente forma:

w0=c (c∈ R )

wn+1=q∗wn+r (q , r ε R)

La fórmula de inducción hace intervenir la suma de la sucesión

aritmética, y el producto de la sucesión geométrica.

Descartemos los casos q = 1 (sucesión aritmética) y r = 0 (sucesión

geométrica). Entonces se puede afirmar que el comportamiento de la sucesión

es de tipo geométrico, y determinado por q, y que su carácter aritmético solo

aparece como una translación.

Más precisamente, sea l el único número que verifica l = ql + r.

Si w0 = l (lo que equivale a w1 = w0 ) entonces w será una sucesión

constante. Si no es fácil ver que v1 = wn - l es una sucesión geométrica (no

nula) de razón q, y que por lo tanto:

Si |q| > 1, w no converge (porque no lo hace v)

Si |q| < 1, w converge hacia l (porque v tiende hacia 0).

Lógicamente, la clasificación del párrafo anterior según los valores de q

sigue siendo válida si trasladamos las curvas verticalmente de l unidades.

Sucesión de Padovan

Espiral de triángulos equiláteros dónde la longitud de los lados siguen la

sucesión de Padovan.

La sucesión de Padovan es la secuencia de números enteros P(n)

definida por los siguientes valores iniciales

P(0) = P(1) = P(2) = 1,

y la siguiente relación de recurrencia

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3).

Los primeros valores de P(n) son

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37,...

Relaciones recursivas

La sucesión de Padovan también satisface las siguientes relaciones:

P(n) = P(n − 1) + P(n − 5)

P(n) = P(n − 2) + P(n − 4) + P(n − 8)

P(n) = 2P(n − 2) − P(n − 7)

P(n) = P(n − 3) + P(n − 4) + P(n − 5)

P(n) = P(n − 3) + P(n − 5) + P(n − 7) + P(n − 8) + P(n − 9)

P(n) = P(n − 4) + P(n − 5) + P(n − 6) + P(n − 7) + P(n − 8)

P(n) = 4P(n − 5) + P(n − 14).

Existe otra sucesión llamada Secuencia de Perrin que satisface las

mismas relaciones recursivas con diferentes valores iniciales. Se puede

obtener a partir de la de Padovan mediante la siguiente fórmula.

Perrin (n )=P (n+1 )+P (n−10 ).

En matemáticas, los números de Perrin están definidos por la relación de

recurrencia

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2,

y

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) si n > 2.

La serie comienza

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39...

Considérese n para la cual n divide P(n). El resultado es

n= 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

o sea, 1 seguido de números primos. Ha sido probado que para todos

los primos p, p divide P(p).

Lo contrario no es cierto. Dichos números compuestos n son llamados

Pseudo primos de Perrin, siendo el menor 271441 = 521².

Extensión para valores negativos

Las sucesión de Padovan se puede extender con valores negativos

empleando la siguiente relación:

P( − n) = P( − n + 3) − P( − n + 1).

Esta extensión es parecida a la establecida para la Sucesión de

Fibonacci con el mismo propósito:

Extendiendo P(n) a valores negativos se obtienen los siguientes valores:

..., −7, 4, 0, −3, 4, −3, 1, 1, −2, 2, −1, 0, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1,

La sucesión de Padovan también satisface la siguiente identidad:

P(n)2−P (n+1 ) P (n−1 )=P (−n−7)

Se puede relacionar con la suma de los coeficientes coeficientes bino

míales como sigue:

∑2m+n=k

mn

=P(k−2)

La fórmula de Binet

La sucesión de Padovan puede expresarse en términos de las potencias

de las raíces de la ecuación

X3−X−1=0

Esta ecuación tiene tres raíces; una raíz real p conocida como el número

plástico y dos raíces complejas conjugadas q y r. Con estas tres raíces

podemos relacionarla con la sucesión de Fibonacci mediante la fórmula:

P (n )= pn

(3 p2−1)+ qn

(3q2−1)+ r n

(3 r2−1)

El módulo de las raíces q y r es menor que la unidad, por lo que si la

elevamos a n cuando tiende a infinito, la potencia tiende a cero, y se llega a la

siguiente expresión

P (n )≈ Pn

(3P2−1)= Pn

S≈ Pn

4 ;264632…

Siendo s la única raíz perteneciente a la recta real de s3 − 3s2 − 23 = 0.

Esta fórmula se puede utilizar para calcular rápidamente valores de la sucesión

de Padovan para valores grandes de n. La relación entre términos sucesivos

tiende a p, número plástico, que tiene un valor aproximado a 1.324718.

También cumple con esta función en la sucesión de Perrin como o hace el

número áureo en la sucesión de Fibonacci.

Sucesión de Cauchy

En matemáticas, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la

distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza en la

sucesión. Se llama así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy

(1805). El interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en un espacio

métrico completo todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en

general más fácil verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto

de convergencia.

Una sucesión X1 ; X2 ; X3 ;…

de números reales se dice que es de Cauchy, si para todo número real ε

> 0 existe un entero positivo N tal que para todos los números naturales m,n >

N

[ X m−Xn] ¿∈;

Donde las barras verticales denotan el valor absoluto.

De igual forma, se pueden definir sucesiones de Cauchy de números

complejos.

Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes

propiedades:

1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.

2. Toda sucesión de Cauchy está acotada

3. Criterio de convergencia de Cauchy: Una sucesión de

números reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy.

Es decir, el conjunto de los números reales es un espacio métrico

completo.

se dice de Cauchy si para todo número real ε > 0 existe un número natural

N, tal que para todos m, n > N, la distancia

d (Xm , Xn)<∈

Esto implica que los elementos de la sucesión se van acercando uno con

otro de tal forma que convergen a un límite en M.

Sucesión de Farey

Una sucesión de Farey es una sucesión matemática de fracciones

irreductibles entre 0 y 1 que tienen un denominador menor o igual a n en orden

creciente.

Cada sucesión de Farey comienza en el 0, denotado por la fracción 0⁄1, y

termina en el 1, denotado por la fracción ¹⁄1, aunque algunos autores suelen

omitir ambos términos.

Longitud de la sucesión

La sucesión de Farey de orden n contiene todos los miembros de las

sucesiones de Farey de un orden menor. En particular Fn contiene todos los

miembros de Fn−1 así como una fracción adicional de cada número que es

menor que n y con primo con n. Por ejemplo, F6 contiene a F5 junto con las

fracciones ¹⁄6 y 5⁄6. El término medio de una sucesión de Farey es siempre ¹⁄2

para todo n > 1.

De este hecho se puede extraer una relación entre Fn y Fn−1 utilizando la

función φ(n) de Euler:

[Fn ] = [Fn−1 ]+φ(n)

Y dado que |F1| = 2, podemos derivar una expresión de la longitud de Fn

como:

|Fn|=1+∑m=1

n

φ(m)

Por otra parte, el comportamiento asintótico de |Fn| es:

[Fn ] 3n2

π2

Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta f10

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ,…,

El primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la

suma de los dos anteriores:

f 1={ 01

f ( i−2)+ f (i−1)

Si i=0

Sii=1

Si i>1

Los números de Fibonacci f 0 , f 1 , f 2 , f 3 ,…, quedan definidos por las

ecuaciones

(1) f 0=0

(2) f 1=1

(3) f n=f n−1+ f n−2para n=2,3,4,5 ,…

Esto produce los números

f 0=0 f 1=1 f 2=1 f 3=2 f 4=3 f 5=5 f 6=8 f 7=13 f 8=21

y así sucesivamente hasta el infinito.

La sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es

conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

Una función generadora para una sucesión cualquiera a0 , a1 , a2 ,… es la

función f ( x )=a0+a2x2+a3x3+a4x4+…, , es decir, una serie de potencias donde

cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci

tienen la función generadora

(4) f ( x )= x1−x−x2

Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes

resultan ser la sucesión de Fibonacci:

x1−x−x2 =0 x0+1 x1+1 x2+2 x3+3 x4+5 x5+8 x6+13 x7 ,…,

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se

necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término

específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci

(que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1),

(2) y (3) definen la relación de recurrencia.

f n+2−f n+1−f n ¿0

con las condiciones iníciales

f 0Y f 1

El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t2 − t − 1 =

0, y sus raíces son.

t=1±√52

De esta manera, mediante diagonalización de endomorfismos, la fórmula

explícita de la sucesión de Fibonacci tiene la forma

f n b (1+√52 )

n

+ d ( 1−√52 )

n

Si se toman en cuenta las condiciones iníciales, entonces las constantes

b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que

satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser

expresado como

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

se reduce a

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente

demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de

Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita

incluye al número irracional . De hecho, la relación con este número es

estrecha.

Para el Teorema de sucesión ya se, (an) y (bn) convergente o

divergente con respecto a cada uno de los para metros siendo representado

por (c) es una constante, entonces:

(i) La sucesión constante (c ) tiene c como su límite;

(ii) limn+∞

cann=c limn+∞

an;

(iii) limn+∞

(an±bn)=limn+∞

an± limn+∞

bn;

(iv) limn+∞

anbn=( limn+∞ an)( limn+∞

bn);

(v) limn+∞

anbn

=limn+∞

an

limn+∞

bn Si limn+∞¿ bn ≠0 y todo bn ≠0

De igual manera se encuentran las sucesiones monótonas y acotadas,

es decir una sucesión (an) se dices que es.

(i) Creciente si an ≤an+1 para toda n;

(ii) Decreciente si an an+1 para toda n.

Si una sucesión es creciente o decreciente, se denomina monótona.

Si an<an +1 (un caso especial an<an +1), la sucesión es estrictamente

decreciente.

Si solo si, el numero C recibe el nombre de cota inferior de la sucesión

(an) si C≤ an para todo entero positivo n; y el numero D se llama cota superior

de la sucesión (an) si an ≤ D para todo entero positivo n .

Ej: 13 , 2

5 ,37 , 4

9 ….., n2n+1,…

Si A es una cota inferior de una sucesión (an) y A tiene la propiedad de

que para toda cota C de (an), C≤ A, entonces A se denomina máxima cota

inferior de la sucesión.

Se dice que una sucesión (an) es acotada si y solo si tiene una cota

inferior.

= 0. La sucesión (n) cuyos elementos son 1, 2,3,….n monótona (ya que

es creciente) pero no es acotada (ya que no hay cota superior).No es

convergente porque limn+∞n=+∞ . La sucesión monótona acotada es

convergente, es decir B - € <B.

Sea (an) una sucesión creciente, y supongamos que D es una cota

superior de esta sucesión. Entonces (an) es convergente y limn+∞an≤D

Sea (an) una sucesión decreciente, y supongamos que C es una

cota inferior de la misma .Entonces (an) es convergente y

limn+∞

an≥C

Una sucesión monótona convergente es acotada.

Series

Dada una sucesión an es posible formar una nueva sucesión Sn del

siguiente modo:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

S4 = a1 + a2 + a3 + a4

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an

La sucesión Sn se llama serie y se denota por Σn=1 an o simplemente Σ an

Los elementos a1, a2, a3, ..., an, ... de la sucesión original son los términos

de la serie y S1, S2, S3, ..., Sn, ... se denominan las sumas parciales de la serie.

Una serie es una sucesión de sumas parciales.

Clasificación de una serie

Si la sucesión Sn tiene límite finito S, la serie es convergente (converge a

S). A S se le llama suma de la serie.

Si lim Sn = +inf o -inf se dice que la serie es divergente.

Si Sn no tiene límite, se dice que la serie es oscilante.

Sn es la sucesión de sumas parciales, no la sucesión an.

Propiedades de las series:

Propiedad asociativa:

En toda serie se pueden sustituir varios términos por su suma efectuada,

sin que var_iacutee el carácter ni la suma de la serie.

La propiedad asociativa no es válida en series oscilantes.

La propiedad disociativa no es válida para series convergentes o

divergentes.

Propiedad distributiva:

Σ an converge y su suma es S

Σ kan converge y su suma es kS

Propiedad aditiva:

Sean Sn = Σ an y Tn = Σ bn dos series convergentes con sumas S y T

respectivamente.

La serie Σ an+bn es convergente y su suma es S + T.

Propiedad de linealidad:

Sean Sn = Σ an y Tn = Σ bn dos series convergentes con sumas S y T

respectivamente, y sean h y k dos constantes.

T) La serie Σ kan+hbn es convergente y su suma es kS + hT.

Serie geométrica

Aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término

es igual al anterior multiplicado por una constante).

Es decir es el primer término y k a la constante,

Sn = a + ak + ak2 + ak3 +... + akn-1 = Σ akn-1

Se multiplica ambos miembros por k:

kSn = ak +ak2 + ak3 + ak4 + ... + akn = Σ akn

Se resta ambas ecuaciones:

Sn - kSn = a - akn

Para |k| < 1 lim Sn = a/(1-k) pues kn -> 0, la serie geométrica converge.

Para |k| > 1 la serie diverge pues kn -> inf.

Para |k| = 1 la serie diverge pues Sn = na.

Para |k| = -1 la serie es oscilante.

Serie telescópica

Serie tal que cada término se expresa como una diferencia de la forma

an = bn - bn+1.

Suma de una serie telescópica

Sean an y bn dos sucesiones tales que an = bn - bn+1.

La serie telescópica Σ an converge si y sólo si la sucesión bn converge y se

cumple que Σ an = b1 - L donde L = lim bn+1.

Sn = Σ an = Σ (bn - bn+1) = (b1 - b2) + (b2 - b3) + ... + (bn - bn+1) = b1 - bn+1

lim Sn = lim b1 - lim bn+1

Por lo tanto Σ an converge si y sólo si bn converge, y en ese caso su suma

es b1 - L, donde L = lim bn+1. (Si bn diverge, Σ an también).

Series de términos positivos

Serie de términos positivos (STP)

Es una serie Σ an tal que an>=0 para todo n.

(La serie es siempre una sucesión creciente).

Criterio de comparación por paso al límite

Sean Σ an y Σ bn dos series de términos positivos.

Si lim an/bn = k > 0, entonces Σ an converge si y sólo si Σ bn converge. (Σ an y Σ bn

son de la misma clase).

Criterio de D'Alembert

Sea Σ an una serie de términos positivos.

    An+1/an <= k < 1 para todo n >= N

Corolario de D'Alembert

Sea Σ an una serie de términos positivos.

    Lim an+1/an = L < 1

Lim an+1/an = L => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0

existe N / para todo n > N |an+1/an - L| < ε o sea L - ε < an+1/an < L + ε

Para que L + ε < 1 basta elegir ε < 1 - L

Para todo n>N an+1/an < L+ε < 1 => Σ an converge.

Sea Σ an una serie de términos positivos.

    lim an+1/an = L > 1

Σ an diverge.

Demostración:

lim an+1/an = L => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0

existe N / para todo n > N |an+1/an - L| < ε o sea L - ε < an+1/an < L + ε

Para que L - ε > 1 basta elegir ε < L - 1

Para todo n>N an+1/an > 1 => por el teorema anterior Σ an diverge.

Criterio de Cauchy

Sea Σ an una serie de términos positivos.

\|an <= k < 1 para todo n >= N

Σ an converge.

\|an <= k => an <= kn

k<1 => Σ kn converge => por el criterio de comparación Σ an converge.

Sea Σ an una serie de términos positivos.

\|an > 1 para todo n >= N

Σ an diverge.

Cauchy por paso al límite

Sea Σ an una serie de términos positivos.

lim \|an = L < 1

Σ an converge.

lim \|an = L => (por def. de límite finito de una sucesión)

para todo ε > 0 existe N / para todo n > N |\|an - L| < ε o sea

L - ε < \|an < L + ε

Para que L + ε < 1 basta elegir ε < 1 - L

\|an < L + ε < 1

=> por el teorema anterior Σ an converge.

Sea Σ an una serie de términos positivos.

lim \|an = L > 1

Σ an converge.

lim \|an = L => (por def. de límite finito de una sucesión)

para todo ε > 0 existe N / para todo n > N |\|an - L| < ε o sea

L - ε < \|an < L + ε

Para que L - ε > 1 basta elegir ε < L - 1

\|an > L - ε > 1

=> por el teorema anterior Σ an diverge.

Series alternadas

Son series de la forma: Σ (-1)n+1.an donde an > 0

Sus términos son alternadamente positivos y negativos:

Σ (-1)n+1.an = a1 - a2 + a3 - a4 +... + (-1)n-1.an

Criterio de Leibnitz

H) Σ (-1)n+1.an, an>0

    an -> 0

    an monótona decreciente

T) Σ (-1)n+1.an converge.

Se considera las sumas parciales pares S2n por un lado y las sumas

parciales impares S2n-1 por otro.

S2n+2 - S2n = a1 - a2 + ... - a2n + a2n+1 - a2n+2 - (a1 - a2 + ... - a2n)

= a2n+1 - a2n+2 > 0 => S2n es creciente (1)

S2n+1 - S2n-1 = a1 - a2 + ... - a2n + a2n+1 - (a1 - a2 + ... + a2n-1)

a2n+1 - a2n < 0 => S2n-1 es decreciente (2)

(3) Para todo n S2n < S2n-1 pues S2n-1 - S2n = a2n > 0

lim a2n = 0 => lim S2n - S2n-1 = 0 => (por def. de límite finito de una sucesión)

para todo ε > 0 existe N / para todo n > N |S2n-1 - S2n - 0| < ε (4)

De 1), 2), 3) y 4) por definición de PSMC, (S2n,S2n-1) es un PSMC

=> por la propiedad de que todo PSMC tiene frontera, existe c

perteneciente a R+ / lim S2n = lim S2n-1 = c

S2n y S2n-1 son sucesiones contenidas en Sn

Por el teorema anterior, lim Sn = c => Σ (-1)n+1.an converge

Convergencia absoluta

Una serie Σ an es absolutamente convergente si Σ |an| converge.

Σ an es absolutamente convergente.

T) Σ an converge.

Σ |an| converge por hipótesis

bn = (|an| + an)/2

Si an > 0 bn = |an|

Si an < 0 bn = 0

Como Σ an es una serie alternada (sus términos son alternadamente

positivos y negativos), bn valdrá 0 o |an|.

Por lo tanto, 0 <= bn <= |an| => (por el criterio de comparación) Σ bn

converge

an = 2bn - |an|

=> Como Σ bn y Σ |an| convergen, por la propiedad de linealidad Σ an

converge.

Una serie convergente que no es absolutamente convergente se denomina

condicionalmente convergente.

Ej: Σ (-1)n+11/n converge pero Σ | (-1)n+11/n| diverge.

Σ (-1)n+11/n cumple con el criterio de Leibnitz.

Teorema: Si sol si, (Un) es una sucesión y

Sn= U1+U2+U3+…Un

Entonces la sucesión (Sn) se llama serie infinita.Esta serie infinita se

representa por ∑n=1

+∞

Un=U 1+U 2+U 3 ,…+Un+…

Los números U 1+U 2+U 3 ,…+Un+…; se denomina términos de serie

infinita. Los números S1+¿S2+¿S 3+….+¿Sn… ,¿¿ ¿ se llaman samas parciales de la serie

infinita.

Sea ∑n=1

+∞

Un una serie infinita y sea (Sn) la sucesión de sumas parciales

que definen esta serie infinita. Entonces, si limn+∞Sn, existe y es igual a S,

decimos que la serie dada es convergente y que S es la suma de la serie

infinita dada. Si limn+∞Sn, no existe, se dice que la serie es divergente y la

serie no tiene suma.

Termino enésimos

Se dice de los términos enésimo, son el conjunto de números

indeterminados que se repite. En una simple serie. Los números a1+a2+¿ a3+an+…¿,

son los términos de la serie .En alguna series es conveniente empezar con

el índice n=0 (o algún otro entero ).Dada una serie.

∑n=1

∞

an , la n , esima suma parcial esta dada por

Sn=a2+¿ a3+an+…¿,

Si la suma parcial ⌈ Sn⌉ converge a S, Entonces la serie ∑n=1

∞

an limite de

S , sucesiva S=a1+a2+¿a3+an+…¿,

Ejemplo 5

Dado el termino enésimo de una serie ∑n=1

∞

an=limn=∞

Sn=¿¿L

Entonces como Sn=¿ Sn−1+an¿ y limn=∞Sn=¿Sn−1=L¿

Dado que: L=limn=∞

Sn=¿ lim (¿n=∞Sn−1+an)¿

limn=∞Sn=¿¿ =lim

n=∞Sn−1+ lim a

n=∞n

limn=∞Sn=¿¿ L+lim

n=∞an

Serie convergente.

Si la serie infinita ∑n=1

+∞

Un es convergente, entonces

limn+∞Un=0

Sea { Sn} la serie de las sumas parciales para la serie dada y

representada por S la suma de la serie, se obtiene limn+∞Sn=S, por lo tanto,

para cualquier €>0 existe un numero N>0 tal que si n¿N , entonces [ S−Sn] < 12ε, de igual manera :

[Un+1] = [ Sn+1−Sn]

= [ S−Sn+Sn+1−S]

≤ [S−Sn ] + [Sn+1−S ]

Por lo tanto si n>N entonces [ un+1] <12ε + 1

2ε= ε , de aquí obtenemos

limn+∞

Un=0, por lo cual se concluye que si limn+∞Un≠0 entonces la serie

∑n=1

+∞

Un es divergente.

Sea Sn la sucesión de la suma parcial para una serie convergente

∑n=1

+∞

Un. Entonces, para cualquier ε>0 existe N tal que

[SR−ST ] <ε siempre que R >N y T >N .Como la serie ∑n=1

+∞

Un ,es

convergente, se le dará por nombre S a su suma. Entonces, para cualquier

ε>0 existe una N >0 tal que [S−Sn ] <12ε siempre que n¿N . Por lo tanto R>N

y T>N , Así [SR−ST ]<ε siempre que R >N y T >N

Ejemplo 6

Determinar el intervalo de la serie de convergencia.

Ya sea

∑n=1

+∞

n(x−2)❑n

Solución:

∑n=1

+∞

Un

( x−2 )+2(x−2)2+….+n(x−2)n+(n+1 )(x−2)n+1+…

limn+∞ (U n+1

U n)=lim

n+∞ ( (n+1 )(x−2)n+1

n(x−2)n ) lim

n+∞ (U n+1

U n)=[ x−2 ] lim

n+∞

(n+1 )n

limn+∞ (U n+1

U n)=[ x−2 ]

La series totalmente convergente si [ x−2 ] <1 o bien, en forma equivalente,

-1<x-2<1, o lo que es lo mismo, 1<x<3.

Serie geométrica convergente

La serie geométrica convergente a la suma a /(1−r )❑, si [ r❑] <1, y

divergente si [ r❑] > 1

Serie divergente

Si ∑n=1

+∞

an y ∑n=1

+∞

bn conformadas por series infinitas, que solo difieren en

m de términos (es decirak=bk si k > m), entonces ambas series convergen o

divergen, con respecto al cálculo.

Sea c cualquier constante distinta de cero.

Si la serie ∑n=1

+∞

Unes convergente y su suma es S, entonces la serie

∑n=1

+∞

Cun de igual forma es convergente y su suma es c.S.

Si la serie ∑n=1

+∞

Un es divergente, entonces la serie

∑n=1

+∞

Cun

También es divergente.

Si

∑n=1

+∞

an

Y

∑n=1

+∞

bn

son series infinitas convergentes cuyas sumas son S y R respectivamente.

∑n=1

+∞

(a¿¿n+bn)¿

Representación divergente o convergente dependiendo del área en

estudio. Es S + R

∑n=1

+∞

(a¿¿n−bn)¿

Representación divergente o convergente dependiendo del área en

estudio. Es S – R

Teorema:

Si la serie

∑n=1

+∞

an

es convergente y

∑n=1

+∞

bn

es divergente, entonces la serie

∑n=1

+∞

(a¿¿n+bn)¿

Es divergente.

Sea la serie

∑n=1

+∞

Un

Una serie de términos positivos, se podría determinar que – Si

∑n=1

+∞

W n

Es una serie de términos positivos es divergente debido al hecho de la

existencia de Un > W n para todo entero positivo n , entonces

∑n=1

+∞

U n Es divergente.

En el caso de la presencia de límites viene dado ∑n=1

+∞

Un y

∑n=1

+∞

V n

dos términos de series positivas.

Si

limn+∞

(Un¿¿V n)¿= 0, entonces ambas series convergen o divergen.

limn+∞

(U n¿¿V n)¿= 0, y si ∑n=1

+∞

V n converge, entonces ∑n=1

+∞

Un

converge.

limn+∞

(U n¿¿V n)¿= + , y si ∑n=1

+∞

V n diverge, entonces ∑n=1

+∞

Un

diverge.

Ejemplo 7

Determinar los valores de x para los cuales la serie de

potencias

∑n=1

+∞

n3 xn

Solución: Se utiliza la raíz y se calculalimn+∞

¿ n√U n

lim n√ n3

n+∞xn=lim

n+∞n

3n [ x ]

Para determinar limn+∞

n3n, sea y=n

3n, Luego

3n ln n

limn+∞

ln y=limn+∞

3 ln n

n

lim n√ n3

n+∞xn=[ x ]

Por lo tanto, la serie diverge cuando [ x]>1, Cuando x=1, las serias de

potencias se convierte en

∑n=1

+∞

n3

Que es divergente, puesto que limn+∞

n3≠0 en forma análoga, la serie de

potencias es divergente cuando x=−1

Serie armónica

La serie armónica se encuentra conformada por ej:

La serie armónica es divergente.

serie hipergeométrica :

Es una serie de la forma , que cumple que = .

Desarrollo de la función por medio de serie

Sea una función X y Y pertenecientes al conjunto de numero reales de los cuales

se depende una variable, es decir al considerar una función dada por f ( x )=1, en

forma de serie centrada en 0

∑n=0

+∞

ar n= a1−r ´

(r )<1

ENn otros términos, si se toma a=1y r=x, es una representación de 1

(1−x ),

en forma función en desarrollo con una serie centrada.

1(1−x )

=∑n=0

+∞

xn

1(1−x )

=1+ x+x2+x3+…(x )<1

Ejemplo 8

Hallar la siguiente serie f ( x )= 4x+2 centrada en 0

Solución: representando f ( x ) en la forma 1

(1−r) ,

Se obtiene 4

2+ x= 2

1−(−x /2)= a

1−r¿

¿ , lo cual implica que a=2 y r=-x/2 .Por

lo tanto, la serie de potencia para f ( x )es

4x+2

=∑n=0

+∞

arn

4x+2

=∑n=0

+∞

2(− x2 )n

4x+2

=21(−x2 + x4− x2

4− x3

8+…)

Esta serie de potencia converge cuando [−x2 ]<1, lo cual implica que la

convergencia es de (-2,2)

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una

función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta

matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones

periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma

infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de

senos y cósenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático

francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la

ecuación del calor

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es:

Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

De acuerdo Fourier, operando adecuadamente, si presenta identidad Euler para la exponencial.

la serie de fourier se la puede expresar como la suma de dos series:

En forma más compacta:

La serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es

decir, para funciones que cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo

se denota con L2 ([− π, π]). Este conjunto, tiene definido un producto

interno dado por:

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas

las funciones de L2([ − π,π]) puedan desarrollarse en series de Fourier. Así, el

conjunto de funciones exponenciales es una base

ortonormal del espacio L2 ([− π, π].

El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función f de

cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier cn, se verifica que:

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el

espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales

indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

Series numéricas

Los problemas de secuencias numéricas (llamadas normalmente series,

aunque el término no sea muy correcto) son clásicos en las matemáticas

recreativas. Se trata normalmente de averiguar cómo continúa una sucesión de

números enteros de la que nos dan los primeros términos.

Una serie numérica es algo así comou1, u2, u3, …, un, … , donde las ‘u’

son números reales, los 1, 2, 3, …, n son subíndices adjuntos a las ‘u’, , y un =

f(n) es el término ene-simo de la sucesión. Ejemplo: 1, 4, 9,…, n^2, … Aquí el

término ene-simo o general es n^2, del cual, dándole a n los valores 1, 2, 3, …,

van resultando los citados términos de la sucesión: 1, 4, 9, …

Ejemplo 9

Dada la siguiente serie numérica determinar tomando como criterio

∑n=1

∞

an

La serie dada

∑n=1

∞ 12n

∑n=1

∞

an=¿∑n=1

∞ 12n

=12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+…¿

Solución

S1=12

S2=12+ 1

4=3

4

S3=12+ 1

4+ 1

8+…+ 1

2n=2n−1

2n

Como

Sn=¿1− 1

n+1¿

Es decir

∑n=1

∞ 12n

=∑n=1

∞

1=1+1+1+1+1+…

Serie de Taylor

La serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o

compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente

suma:

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado

1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el

punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la

suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si

la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de

Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de

potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en

la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar

término a término, que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una

función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque

tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un

desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent.

Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es

infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la

serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el

punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son

ambos definidos como uno.

Serie Taylor

La función coseno.

Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.

Función exponencial y logaritmo natural de Taylor

Serie geométrica

Teorema del binomio

para y cualquier complejo

Funciones trigonométricas

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

Funciones hiperbólicas

Dimensiones Múltiples

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de más de una

variable con la siguiente fórmula:

Ej: para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo

orden en un entorno del punto (a, b) es::

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera

compacta así:

donde es el gradiente y es la matriz hessiana. Otra forma:

Ejemplo 10

Encontrar el tercer polinomio de Taylor para Sen x

Solución :

Al encontrar polinomio para f ( x )=Senx ,desarrollar son respecto a

c=π6

f ( x )=Sen x f ( π6 )=Sen π6 =12

f ´ ( x )=cos x f ´ ( π6 )=cos π6=√3

2

f ´ ´ ( x )=−Senx f ´´ ( π6 )=−Sen π6=−1

2

f (3) ( x )=−cos x f (3)( π6 )=−cos π6=−√3

2

Así que el tercer polinomio de Taylor paraf ( x )=Senx ,desarrollado con

respecto a c=π6 se podría decir.

P3 ( x )=f ( π6 )+ f ´ ( π6 )(x− π6 )+

f ´ ´( π6 )2! (x− π6 )

2

+f ´ ´ ´ ( π6 )

3 ! (x− π6 )

3

P3 ( x)=12+ √3

2 (x− π6 )− 1

2(2 !) (x−π6 )2

− √32(3!) (x− π

6 )3

Serie de Maclaurin

Si una función f tiene derivadas de todos los órdenes en x=c, entonces la

serie es igual

∑n=0

∞ f (n ) (c )n!

( x−c )n=f (c )+ f ´ (c ) ( x−c )+…+ f(n )(c)n!

(x−c )n+…

Se llama serie de Taylor para f (x)en c. Y si c=0, entonces la serie es serie

de Maclaurin para f .Si se conoce el patrón para los coeficientes de los polinomios

de Tailor para una función, se puede desarrollar fácilmente el patrón que forma

las series Tailor.

Ejemplo 11

Construcción de una serie de potencia.

Al aplicar la función f (x)=sen x de la forma de Maclaurin

∑n=0

∞ f (n ) (0 )n!

xn=f (0 )+ f ´ (0 ) x+ f´´ (0)2 !

x2+f 3(0)

3 !x3+

f 4(0)4 !

x4+…

Solución: La derivación sucesiva de f (x) es dada

f ( x )=Sen x f (0 )=Sen0=0

f ´ ( x )=cos x f ´ (0 )=cos0=0

f ´ ´ ( x )=−Senx f ´´ (0 )=−Sen0=1

f (3) ( x )=−cos x f (3) (0 )=−cos0=−1

f (4 ) (x )=Sen x f (4 ) (0 )=Sen0=0

f (5 ) ( x )=Cosx f (5 ) (0 )=cos0=1

Y así sucesivamente. El patrón se repite después de la tercera derribada

por lo tanto, la serie de potencia es

∑n=0

∞ f (n ) (0 )n!

xn=f (0 )+ f ´ (0 ) x+ f´´ (0)2 !

x2+f 3(0)

3 !x3+

f 4(0)4 !

x4+…

∑n=0

∞ (−1)( n) x2n+1

(2n+1 )!=( 0 )+(1 ) x+(0)

2!x2+

(−1)3 !

x3+(0)4 !x4+ 1

5 !x5+ 0

6 !x6+

(−1)7 !

x7+…

¿ x− x3

3 !+ x

5

5 !− x7

7 !

Por el criterio determinado se puede concluir que esta serie converge para

todo x, no se puede presentar el hecho que la serie de potencia de Maclaurin

converja en Senx para todo x, se podría decir que ella converge en alguna función

Ejemplo 12

Encontrar la serie de Maclaurin para f ( x )=Sen x2

Solución: Para encontrar los coeficientes directamente para esta serie

Maclaurin, debe calcularse derivadas sucesivas de f ( x )=Sen x2 ,calculando solo las

dos primeras

f ´ ( x )=2 xCos x2 y f ´´ ( x )=−4 x2Senx2+2Cosx2 Ahora bien , como

g g (x )=Sen x

¿ x− x6

3 !− x

10

7 !+…

La clave se encuentra en desarrollar series para una función básica de

funciones elementales, funciones mediantes funciones aditivas, multiplicación,

derivación, integración entre otros.

Derivación e investigación de serie de potencia.

Una serie de la forma ∑i=0

∞

a1(x−b)i o a0+a1 (x−b )+a2(x−b)

2+…,

f ´ ( x )=∑i=0

∞

an(x−c)n

f ´ ( x )=nan(x−c )n−1

f ´ ( x )=a1+2a2 ( x−c )+3a3 ( x−c )2+…

∫ f ( x )dx=C+∑i=0

∞

an(x−c)n+1

n+1

∫ f ( x )dx=C+¿a0 ( x−c )+a1(x−c)2

2+a2

(x−c)3

3+…¿

En cada an es un numero real y b es un numero real. Es evidente que la

serie de potencia converge a a0 cuando x es igual a b. Si la serie de potencia

∑i=0

∞

ai xies convergente en x0 en donde x0 ≠ 0, entonces la serie es absolutamente

convergente en cualquier numero de x1 para el cual ﴾x1 ﴿ < ﴾x0 ﴿. Si la serie de

potencia ∑i=0

∞

ai xi es divergente en x1, entonces es divergente en cualquier

numero x0 tal que ﴾x1 ﴿ > ﴾x0 ﴿.

Ya sea de la forma Σ anxn.

Se puede demostrar que converge en un entorno simétrico de 0.

Determinación del radio de convergencia R

Para hallar el radio de convergencia podemos utilizar cualquiera de las

siguientes fórmulas:

D'Alembert:

L = lim |an+1/an|

Cauchy:

n __

L = \|an

L distinto de 0 => R = 1/L

L = +inf => R = 0

L = 0 => R = +inf

D ? C ? D

-----|-----|-----

-R R

La serie se debe clasificar en x=R y x=-R

Ejemplo 13

Hallar la convergencia ∑i=0

∞

n! xn

Solución:

f (0 )=∑i=0

∞

n!0n=1+0+0+…=1

Para cualquier valor fijo de x tal que [ x ]>0 , SeaU n=n ! xn

De tal manera que limn=∞ [U n+1

U n ] =limn=∞ [ (n+1 )! xn+1

n! xn ]limn=∞ [U n+1

Un ]=[x ] limn=∞

(n+1 )

limn=∞ [U n+1

U n ]=∞Por lo tanto el criterio del cociente, la serie diverge para x>0y converge en

su centro 0 es decir R=0

Ejemplo 14

Considerar la función dada

f ´ ( x )=∑i=0

∞ xn

n=x+ x

2

2+ 33

3¿

¿

Calcular los intervalos de convergencia para cada una de las

siguientes expresiones

a) ∫ f ( x )dx , b)f ( x )

Solución

a)f ´ ( x )=∑i=0

∞

xn−1

¿1+x+ x2+x3+…

Y

∫ f ( x )dx=C+∑i=0

∞

an(x−c)n+1

n+1

∫ f ( x )dx=C+ x2

1∗2+ x3

2∗3+ x4

3∗4

Para a) ∫ f ( x )dx ∑i=0

∞ xn+1

n (n+1 )¿

¿

Converge para x=±1, su intervalo de convergencia es (-1,1)

b) ∑i=0

∞ xn

n

Converge para x=-1 y diverge para x=1, por lo tanto su termino de convergencia es de [-1,1)

Aplicación a la ingeniería eléctrica

El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de

las series de Fourier o ya sea a través Maclaurin, por cuanto es muy común,

reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

∑n=0

∞ f (n ) (c )n!

( x−c )n=f (c )+ f ´ (c ) ( x−c )+…+f (n )(c)n!

(x−c )n+…

O´

Por lo tanto:

Aplicaciones

1. Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por

medio de la superposición de senoidales generados y observados

por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias

ya están determinadas.

2. Análisis en el comportamiento armónico de una señal.

3. Reforzamiento de señales.

4. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuí tal

eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal,

mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en

regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

5. La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas

parciales admiten soluciones particulares en forma de series de

Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas,

en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

Conclusión

Las series y la sucesiones las utilizamos día a día y muchas veces, hasta

sin percatarnos de los sucesos que ocurren a nuestro alrededor; un ejemplo claro

seria las series de Fourier, las cuales se utiliza para pasar al «dominio

frecuencial» una señal para así obtener información que no es evidente en el

«dominio temporal». Se demuestra matemáticamente que una señal periódica se

puede descomponer en una suma de senos y cósenos formando una base

ortogonal, de esta forma, señales como la voz o las ondas se pueden

descomponer en un sumatoria de señales trigonométricas. El conjunto de

constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de

frecuencias.Por así decirlo: La voz humana recorre el espectro de los 100Hz a los

5.000Hz y el oído humano se encuentra entre los 20 Hz y los 20.000 Hz, de igual

manera las sucesiones pueden ser utilizadas en secuencias numéricas, suma de

cálculos de artículos, calculo de distancias, entre otros .

.

Bibliografía

Introducción al análisis matemático de una variable (Bartle, Sherbert, 2º

edición, año 1996).

El Cálculo con Geometría Analítica (Louis Leithold Sexta Edición).

Calculo Diferencial e Integral (Tailor / Wade).

Calculo Octava edición (Larson, Hostetler, Edwards).

Sitios web:

www.wikipedia.com