imersÕes sub:'riek4annianas em formas espaciais …

X .ÜE

\

IMERSÕES suB:'RIEK4ANNiANASEM

FORMAS ESPACIAIS COMPLEXAS

Albetã Costa Mafra +

DISSERTAÇÃO APRESENTADAAO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍDA

UNIVERSIDADEDESAOPAULOPARA

OBTENÇÃO DOGRAUDE

MESTRE EM MATEMÁTICA

Área de concentração: Geometria DiferencialOrientador: Prof. Dr. José Antonio Verderesi

São IPaulo, Fevereiro de 2001

IMERSOES SUB-RIEMANNIANASEM

FORMAS ESPACIAIS COMPLEXAS

Este trabalho corresponde à reduçãofinal da dissertação devidamente corrigida

e apresentada por Albetã Costa Mafrae aprovada pela Comissão Julgadora.

São Paulo, 05 de Maio de 2001

Banca examinadora

Prof. Dr José Antânio Verderesi(Orientador) - Ih/IE-USPProf. Dr Renamo Pedrosa - IMECC-UNICAMIPProf. Dr Antõiiio Cardos Asperti - IME-USP

Agradecimentos

- ao Prof. José Antonio Verderesi pela paciência e seriedade durante os quatro anosde orientação acadêmica: 2 de iniciação ciêntifica e 2 de mestrado em matemática

ao Verderesi, amigo.

- ao Prof. e amigo Cardos Alberto Knudsen pelos incentivos diretos e indiretos.

- aos amigos do CRUSP, em especial aos que moraram comigo e ao apartamento B511

- ao amigo Vilhena.

- à Profa. Leilá Figueiredo, de quem uma pergunta me fez mudar a fi

em especial àqueles aos quais mais amo neste mundo: meus pais

rma de pensarr

111

Resumo

O objetivo deste trabalho é estudar teoremas de rigidez para um tipo especial devariedades sub-Riemannianas isometricamente imersas em um espaço de formas comple-xas

Definimos e estudamos algumas características de um tipo especial de geometria sub.-Riemanniana. Provámos a existência e unicidade de uma conexão associada à estruturasub-Riemanniana e a relacionamos com uma determinada conexão de Leva-Civita.

Após uma breve revisão da teoria de uma hipervariedade isometricamanete imersa emum variedade Riemanniana e do estudo de um caso particular de submersão Riemanniana,provámos alguns teoremas de rigidez para uma hipervariedade sub-Riemanniana isome-tricamente imersa em uma forma espacial complexa. Finalizamos analisando o caso deimersões de variedades sub-Riemannianas homogêneas tridimensionais e fazemos algunsexemplos de imersões isométricas.

lv

Abstract

The purpose of this work ís to study rigidity theorems for a special type of sub-Riemannian hypersurfaces that are isometricaly immersed in complex space forms.

We define and study a special type of sub-Riemannian manifold. We prove the exis-tence and uniqueness of a connection associated with that sub-Riemannian structure and

we also relaxe it to the Leva-Civita connection of a metric which is naturally defined fromthe sub-Riemannian one.

After doing a biief review of the theory of isometric immersions of hypersurfaces inRiemannian manifolds and examining a special type of Riemannian submersion we provetheorems related to the rigidity of isometric immersions of sub-Riemannian hypersurfacesin complex space forms. We finish this work studying the tridimensional homogeneoussub-Riemannian case and showing some examples of isometric immersions in complexspace forms.

ÍndiceP

Agradecimentos 111

Resumo lv

Abstract V

T,l+pf.'lll''n'\J. JLAux v \+ ub LA \.r l

l Espaços de curvatura holomorfa constante1.1 Espaços vetorias quase-complexos e variedades complexas

1.2 0 espaço projetivo complexo

1.3 0 espaço hiperbólico complexo

4

4

11

18

2 Geometria sub-Riemanniana

2.1 Definições e a conexão sub-Riemanniana

2.2 Propriedades da conexão sub-Riemanniana

2.3 Exemplos de variedades sub-Riemannianas homogêneas

2.4 Relação entre as conexões Riemanniana e suta-Riemanniana

20

20

23

25

34

3 Imersões lsométricas sub-Riemannianas

3.1 Hipervariedades3.2 Submersões

3.3 0 caso sub-Riemanniano

36

36

38

46

VI

Índice Vll

60

68

75

78

3.4 0 caso sub-Riemanniano tridimensional

3.5 ]mersões isométricas de $r3 em ]V(c)

3.6 Imersão isométrica de Q: em N(c)

3.7 Imersão isométrica de -/73 em JV(c)

Introdução

Geometria sub-Riemanniana pode ser entendida como uma generalização do que é clas-sicamente conhecido como geometria Riemanniana. Em resumo, geometria sub-Riemannianaé a geometria de uma distribuição métrica, isto é, a geometria de uma variedade diferen-ciável M a qual associamos um sub-vibrado 2), do vibrado tangente Ti\4, o qual esta munido

com uma métrica g. Este tipo de estrutura (M, .Z),g) tem aparecido nos mais diferentesramos da matemática pura e aplicada. O caso D :: TJI/ resgata a geometria Riemannianaenquanto que 7) :# 7'M e integrável nos levará a teoria das folheações. Ambos os casosforam e são bastante estudados. Porém, apesar do caso Riemanniano e de folheações,com folhas munidas com uma métrica, poderem ser considerados sub-Riemannianos émais comum associar o nome sub-Riemanniano ao caso no qual .Z) é um sub-vibrado nãointegrável. Alguns casos desta geometria nos quais .Z) é não integrável são amplamenteestudados, podemos citar, entre outros, o caso de conctato, isto é, o caso em que D temco-dimensão l e a aplicação bilinear

L l 'D x 'D --} TMJ'0(X, }') -+ IX, }'l modo

é não degenerada. Neste caso estão associados à distribuição .ZI) uma l-forma diferenciável0 e um campo diferenciável € de tal modo que: .D = ker0, (d0lp)" = 2"nldy, 0(O = 1 edO(e, .) = 0, sendo dL' a forma volume em 'Z) e 2rz a dimensão de 'Z)

Em nosso trabalho falemos uso de uma estrutura sub-Riemanniana que engloba asde contacto. Ta] estrutura é dada por (M, .Z),g,{), sendo € um campo diferenciáve],globalmente definido e transversalmente orientável. Este caso é equivalente a tomar umsub-fibrado do vibrado tangente de uma variedade Riemanniana M. Em verdade, definindouma métrica ã em TM da seguinte forma: ãlp*p ' g, Õ({, Z)) = 0 e ã(e, e) = 1 transforma-

l

Introdução 2

se ]\4 em uma variedade Riemanniana. Uma forma de se conseguir tais estruturas sub-Riemannianas é partir de uma varidade M de dimensão 2n + l e imerge-la em umaforma espacial complexa .N(c) de curvatura holomorfa c e definir D = TM n i(TM).desta maneira, 11) terá dimensão 2n e ficará definida em Z) uma estrutura quase-complexainduzida pela estrutura quase-complexa do ambiente N(c). Em essência, o que faremosneste trabalho pode ser relacionado com estruturas de Cauchy-Riemann e variedadesSasakianas 1221.

Uma pergunta natural, para geõmetras, é: Dadas dadas duas variedades sub-Riemannianasl.ítí, D, g, {) e (À/, D, â, e) isometricamente imersas em uma forma espacial complexa .N(c),em que condições elas diferem por uma isometria complexa W do ambiente .N(c), de formaque M = ©(M) e .Z) = ©(1))? Para a resposta desta pergunta utilizamos os trabalhos deR. Takagi e outros em j141, j151, j161, j171 e li81 que detém resultados relativos a rigidezde hipervariedades no espaço projetivo complexo. Também fazemos uso dos trabalhos deJ. A. Verderesi em j191 e 1201 que tratam de teoremas de rigidez em termos dos invariantessub-Riemannianos.

No primeiro capítulo fazemos algumas definições e teoremas concernentes aos espaçosvetoriais quase complexos e às variedades complexas. Também nesse capítulo fazemos

toda construção do espaço projetivo complexo CIP"( 4 ) a partir da esfera de raio r. De-monstramos também que certos p]anos no espaço tangente de C]P"( 4 ) invariantes pelaestrutura quase-complexa possuem as curvaturas seccionais constantes e iguais a à. Omesmo cálculo, fazendo algumas pequenas mundanças, leva-nos a verificar que os planosdo espaço tangente do espaço hiperbólico comp]exo C]H"( 4 ) possuem curvaturas seccio-nais constantes e iguais a :ii4

No segundo capítulo definimos o que é uma geometria sub-Riemanníana, enunciámos edemonstramos a existência e unicidade de uma conexão associado à estrutura (M, Z), g, e),estudamos algumas de suas propriedades e a relacionamos com a conexão de Levi-Civita deÕ. Nesta parte tombem discutimos o caso de grupos de Lie tridimensionais com métricasinvariantes à esquerda.

O terceiro capítulo, o mais relevente acredito, começa com uma breve recordação dateoria de uma imersão isométrica Riemanniana para uma hipervariedade, lá expressamosas equações de Gauss e Mainardi-Codazzi para uma hipervariedade. Como o C]P"( 4 ) eo cln"(ê) estão relacionados com espaços de curvaturas seccionais constantes de formaque uma destas relações é um caso particular de submersão Riemanniana, fazemos um

pouco da teoria desta submersão Riemanniana com o objetivo de transportar para ]V(c)

Tnt rn r] l t rã n 3

resultados dos espaços de curvaturas seccionais constante. Tratamos então o problemasub-Riemanniano e reescrevemos as equações de Gauss e Mainardi-Codazzi para estecaso, a seguir enunciámos e demonstramos alguns teoremas de rigidez e analisamos o casode imersões, em C2, C]P2( 4 ) e CIH2( 4 ), de variedades sub-Riemannianas homogêneastridimensionais. Finalizamos este capítulo com exemplos de algumas imersões

CAPÍTULO I

Espaços de curvatura holomorfaconstante

Começaremos o nosso trabalho descrevendo os espaços nos quais iremos trabalhar.Estes terão algumas propriedades essenciais para o que pretendemos fazer e serão cons-truídos a partir de variedades diferenciáveis bem conhecidas como o ]R2", a esfera de raior ( Sl!"+:) e a quádrica Q?"+i

1.1 Espaços vetorias quase-complexos e variedadescomplexas

O espaço QJ": C]onsideremos o espaço Euc]idiano ]R2" e J a transformação linear J]R2n --} ]R2n tal que se 'Íel; . . . ; e2n} e a base canónica usual de R2n teremos

J(e.Í) = e«+j se .j = 1,2,. . . ,n

J(ej) = e.j « se .j = n + 1, . . . , 2n

Podemos transformar (]R'", J) em um espaço vetorial sobre C. De fato, se (a + {Z)) € Ce u C C", definimos (a + íb)u = au + ÓJ(u). Com esta multiplicação de escaleres em Cpor vetores em aJ" verifica-se que teremos satisfeitos todos os axiomas de espaço vetorial,sendo a soma igua] a mesma do ]R2". Ao espaço vetorial sobre C obtido denotamos por C"C" possui uma métrica natura] que é a do ]R2w, que também pode ser obtida tomando-sea parte real da forma sesquilinear canónica do C" expressa por <z, w> = zii l + . . -+z.a..

Em geral, para um espaço vetorial real y com uma estrutura quase-complexa J, isto é,

/ : V --> V é linear e J l = --J, podemos fazer o produto tensorial de y por C (V On C,

4

1.1 Espaços vetorias quase-complexos e variedades complexas 5

C como um ]E{/ espaço vetorial) que claramente é um espaço vetorial sobre C. Além disso,/ se estende de maneira natural a uma J : }'' (8n C --> y (8n C tal que

J(u ® «)

A partir de agora ® :: ®n. Cromo i2 :: /, segue que os auto-valores de i são ie --{Se denotarmos

}''líl

}''l-íl{u C }''' ® C J(u) = ãu},{u C }'' ® C J(u) = -ãu},

teremos que V ® C Vlàl (D Vl--il. Um cálculo simples nos mostra que

}''l-íl{x - ãJ(x) : x c }''},{x + ãJ(X) : x c }''}.

A aplicação J V -} V induz uma J* V* + V* por

(}* ,« )(«)

Claramente J* = (J*)( 1) De forma totalmente análoga a y e) C, temos que

I''* ® c }''*líl © }''*l-il

Usando algumas propriedades do produto tensorial (ver jll) temos que

(}'' ® c) ®« (}'' ® c) (T'']ij ®.}'']ã]) © (}'']í] «I'']-í]) © (vl-íl ®«}''líl)o(}''l-il ®« }''l-il)(}''*lil ®« }''* líl) a(}''*líl ®« }''*l-íl) ©(}''*l-íl®cV*lil) © (}''*l-àl ®« }''*l-ÍI)(}''*líl ®« }''líl) © (}''*l-ál ®«t''l-íl) © (}''*l-il®cVlál) © (}''*l-ÍI ® }''l-il).

(}''* ® G) ®«(}''* ® C)

(}''* ® c) ®« (}'' ® c)

Usaremos bastante em nosso trabalho formas lineares a valores complexos. Definamo-lasprecisamente tendo em mente que AÉy é o espaço das k-formas reais para o espaço vetorialreal y

Definição 1.1.1 Uma /arma a ua/ares como/ecos sopre um espaço uetor a/ rea/ y é um

e/e«.ent. d. (A*V') ® C. O p«dul. .«le, o, .m (A*t') e) C é d«d. pe/. e«pensão /àne« do

produto eüerior de NK V


D

Proposição 1.1.2 AkV ® C B Ak(y (8 C)

Demonstração: é imediata a partir das definições de Aky (a C e de Ak(y ® G).

Como conseqüência teremos que: tomando Ak(y(8Q]) o espaço das k-formas alternadassobre y ® C e denotando por A(y (a C) = >:;:. A'(y e) C), então

'\(I'' 'a c) }: .'\'(}''lãl) A 't'(}'''l-il).r::0 p+q::r

Em um espaço vetorial y de dimensão 2n com uma estrutura quase-complexa J podemosdefinir um produto interno h da seguinte forma: tomemos el C V'\Í0} e e.+i = Jei. Efácil verificar que {ei, Jei} é L.l. Tomemos e2 C l.''\jei, Jeil e e.+2 :: Je2, analogamente aoprimeiro caso {ei, Jei, e2, Je2} é L.l., pois {ei, Jei, e2} é L.l. por construção. E suficientecontinuar nesta direção. Construída a base {ei, e2, . . . , e., Jei, Je2, . . . , Je.}, é suficiente

impor que ela seja ortonormal ao produto interno, isto é,

h(e.j,e*) - # ,

h(ej, Jek)hÇJej, JeK] -- õJk

Se X = )ll:;l:: Xjej + Xj+"Jej e y = }1: yjej + yj+"Jej,

n

h(}x, /y) h l }:(-X'''"e, + X'Jej), }:(-V'+"', + y'Jej)

}' xJ+"l''j-''" + xjl''J - h(x, }'').J

Definição 1.1.3 .A um produto nlerno h sopre um espaço uetoráaZ y com uma ezfrutziracomi)leda, J que possui J como isometria devtoTninamos Hermitiano.

Associado a h temos uma forma bilinear w definida por

«,(x, }'')

Proposição 1.1.4 .4 2-/arma w de$nàda acama é a/[ernada

T) n in n n c: 1- r n pãn'y"

«,(y, x) À(}'K JX) -h(ay,X) h(X, J}'') -w(X, }'') .

D


Em coordenadas w é dada por

«,(x, }'') « (E,*'« -- """'«, E *""« -'- *''..)

>l:(xj+"l''j - xjl'''j+").lJ

Já sabemos que J possui uma extensão natural para y e) C. Por linearidade podemosestender h a uma A sobre V (D C e portanto faz sentido

õ(x, }'') h(X, Jy) para X, y C V ® (C

De V ® C = Vlil © Vl--íl e do fato facilmente verificado que V'l€1 = {X -- {./X l X c VIe V]--í] :: {X + iJX X c 'l/']. teremos que

ej--ÍJei eA--€1e. e;+{./e] 1l ÍiJ111'l/*~2 ''''' 2 ' 2 ''''' i .r \'/

é base de y®C. Seja {f?",. .., 02"} a base dual de {ei,..., e., /ei,. .., Je«}, --J*0j(Jej) =

--0j(--e.j) = 1 e J*0j(Jek) = 0 se k # .j e J*0j(ek) = 0. Portanto, 0"+j - --/*0j. Logo,

{a: -- áJ*0 , . ..,0" -- {J*0",0: +àJ*a:,.. ., a" + ÍJ*a"} é a base dual a(#). Voltando a cDteremos, fazextdo jj -- ej fj -- ej 'F {Jej, wj :: 0j + {J*0j e üj -- 0i + ãJ*0i

õ(x, }'') À(x, J}''') - À l }l:«,'(x)Ê + d(x).íj, à l >:«,'j(}'')/. d(}'')L

)0*(}'') -- «,j(}''')Ü* (X)IÀ(/, , 7k).J J

2 : :ãt«,'(X

Portanto, denotando h.jÉ h(./), /A) teremos ã 2á >:j$x; /zjÊwj /\ ãk

Proposição 1.1.5 .,'1 /arma w de$nida acima é taZ gue co" :: w /\

da /arma uo/ume do ]R2rz/\ w é um múZtãplo

l)emonstração: a proposição é imediata a partir do fato que: em relação à base {0t,w se escreve da seguinte forma

,o'"},

W :: Ot /\ f?rz+l + 02 /\ 0rL+2 + + a" /\ 02':

D


Da forma como foi definido o C" possui uma topo]ogia natural: a topo]ogia do ]R2"

Definição 1.1.6 Z./ma /unção / : U --> C de$náda sopre o aberto U C aJ" é derzomÍnada

ho/omoz:/a se como uma aplicação de U C ]R2" em ]R2 e/a é C' e saíli/az as equações deCauch'y-Rãemann

a(-R.(/))

a(-Re( ./' ) )

para, j -- \-. . . . ,n,. Urna. aplica.ção de f . U --+ ©" será denominada hotomorfa, se cada

umcl de suas comi)OTtentes é hotomorfa.

a( -rm(/) )

a(/m(/))

Definição 1.1.7 .Dada urna ap/ácação de / de um azedo de C" ern C" dizemos que e/a écowtpatíuet com as estruturas completa,s de «P e ©' se

©.J-J.©

seTtdo aj Q diferencial da aplicação f

Lema 1.1.8 Uma ap/{cação / : U' C C" --.> Cm, C'o como uma ap/ãcação do 13,2n e7n

Kk2" , será holomorfa se e somente se ela for compatível com as estruturas complexas de/í''ln . /í'17n

Demonstração: Imediata n

Definição 1.1.9 Uma eslrufura como/ea;a sobre uma uaràedade M de classe C' e dá«e«âo p« é «m« /a«.z#ã« «.-ám«/ d. «,f« {(gÀ,UÀ) : p* : UÀ --> R:"} f«Z q«l.3Ux :: M e satisfazem a co'rtdiçã,o de trctnsição hol.amorfa, isto é, pura. todo par deíndices )~ e F teremos

ç'À " ç'l;: : P,(uÀ n uP) -} P*(uÀ n uP)

é unia a'placa,ção hol.o'm,orfã q'ua'ndo considerada, como umu a3)\icüção de «y em çy"

Deânição 1.1.10 Z./ma t/aráedade completa À/ ó uma uaráedade dli/ererzcááueZ .A4 sobrea, qwül é da,da umü está'atura co'mT)leda. As cartcts que colítpõent a, estrutura, completadenomin,am,os de cartas holomorfas.


Definição 1.1.1 1 Urrza está'atura quase-corrzp/eza em uma uaràedade dii/erencãáue/ M conriste em um cam'po tensoriat J, C' de til)o (1,1), tal. que J' = i

Lema 1.1.12 Crua/quer c07Üunto de cartas cujo domÍhÍo coZ)re a uaráedade M e sat s/az apropriedade de transição Ao/omo :/a determina uma tZn ca esfrulura quase-como/eza sobre

Demonstração: para uma variedade complexa M seja TPM o seu espaço tangente (doponto de vista rea]) no ponto p e p : U -} ]R2" uma carta holomorfa tal que p c U.Podemos então definir um operador linear JP de TPM em ZpM da seguinte maneira

Jp-- d(p'\ oJn,od(pp

E imediato que JP independe da carta pela qual ele foi definido. Portanto, temos umcampo tensoria]/m de tipo (1,1) definido sobre M e e]e é ta] que Jh = /. []

Definição 1.1.13 Sejam J14 e -N duas uarãedades como/elas e / : M -} ]V uma ap/ãcação

de classe C'' . Dizemos q'üe j é holomorfa se aj o Jõ,l -- JN o af

Não demonstraremos neste trabalho, mas é verdadeiro que se uma função / : .M -} Nentre duas variedades complexas M e .V, é holomorfa no sentido da definição acima,então para todos os pares de cartas ho]omorfas p de ]14 e @ de -/\r para os quais fazsentido

)

Ü o J o'P '

esta será holomorfa no sentido da definição 1.1.6

Sendo AÊ.M o conjunto das k-formas diferenciais da variedade M temos:

Definição 1.1.14 t/Fria A-/arma a uaZores como/ecos sobre uma uaráedade dll/erencãá'ue/

&/ é um elemento de (AkM) ) C. O produto ezteráor em (AtM) (8 ([] é dado pe/a eztenstío

linear do T)Toduto exterior de N' M


Exemplos:

C": identificando p C ]R2" com suas coordenadas canónicas, isto é,p - (sçi, . . . , z«, Z/:, . . . , g/.) podemos definir p : C" --> ]R'" porá'(u) = u. Tambémpodemos representar p C C" da seguinte forma:

E.j=i .j=t .j=i .j=t

sendo zj :: rJ +- ãZ/j e logo teremos, se olharmos p como uma aplicação de G" em ([J",p(p) = (zl, . . . , z.) se p = (zi, . . . , z.) como pp-: é a identidade, segue que C" é uma

variedade complexa.

p ' >1. zjej + g/j'«--.j ej+%leJ)(«j+áW)e.j

Superfícies orientáveis: Toda superfície orientável pode ser dotada de uma estruturacomplexa unidimensional. De fato, podemos assumir a existência de uma métricaRiemanniana g e de coordenadas tais que, localmente

g - À(dz ® d:« + dy ® dg/)

pala uma certa função À positiva. E suficiente definir @(p) = z + g/ para p no domíniodas coordenas (z, Z/). Se @ é outra carta e z = z + ãy, teremos

Xdz F. dã - Hdu N d

supondo que Ó e @ determinam a mesma orientação obtém-se dm = /(z)dz, para umacerta função holomorfa /

Toros comp]exos: Sejam ui, . . . , u2. vetores de «;" ]inearmente independentes sobre ]R

e I' um grupo disctreto de transformações da forma

.

sendo, Ara tomado em Z:. Definamos em (lJ" a seguinte relação de equivalência em C",

z ', z' se existe uma transformação / em I' tal que z' = .f(z) . O conjunto C"/I' dasclasses de equivalências possui uma estrutura de variedade complexa. Em verdade,verifica-se que existe para todo ponto z C C' uma vizinhança U satisfazendoh(U) n U = a para todo h C (I' -- {e}). Portanto, a projeção canónica n- restrita a U éinjetora. Supondo U conexo é suficiente definir as cartas (t/, @) em C"/I' por Z./ = a-(U)e @

2n

l

1.2 0 espaço projetivo complexo 11

1.2 O espaço projetivo complexo

Seja C"+t o espaço complexo n+l-dimensionar. Definimos Sr2"+1 :: .[z C C2"+i ] <z, z> =cozo + . . . + z.2. :: r2}. E fato assumido neste trabalho que S2"+i possui uma estruturade variedade diferenciáve] para todo n c ]N. Podemos também verificar que a aplicaçãoque associa a cada (z,À) C S'"+: x Si o elemento R(z,À) = Àz C S'"+t é uma ação àdireita do grupo de Lie S: sobre S'"+:. De fato, R(z, 1) = z, R(R(w, OÀ) = R((m, À) =À(w = (Àw = R(w,(À). Que a ação R pertence à C-(Sl?"+: x S:,Sl?"+:) é óbvio. Éimediato também que fixado À C Si, .RÀ : S2"+1 --> S2"+1 é um difeomorfismo. Sob estaação R, Si age livremente sobre S2"+1, isto é, se R(z,À) = z para algum z C Sr2"+1,

então À = 1. Em outras palavras, se definirmos lzl = { C Sl?"+i m = R(z,À) paraalgum À C Si} teremos para z e z' em S2"+idiferentes lzl = lz'l ou lzl í") lz'l = 0. Defato, se existe À tal que z' = r(z,À) e ?o C lz'l, então por definição m = -R(z',O paraalgum (, portanto *« = R(z',O = R(R(z,À),O = -R(z,ÀO C lzl, isto é, lz'l C lzl. Dez = R(z', i) segue que lzl C lz'l, isto é, lzl = lz'l. Se não existe À C S: tal que z' = R(z, À)e lzl n lz'l / ü, teremos, tomando w em lzl n lz'l, que existem (.XI, À2) C S: x S:, tal que-R(,, ,à:) = «, = R(;', À,), portanto -R(««, Ê-) = -R(R(,, .X:), É) = R(,, 1) = z). Por ou-

tro lado, -R(to, Ú-) = R(R(z', À2), É-) = R(z', t), o que é um absurdo. Podemos então

definir o seguinte conjunto CP'"(3) = {1zl l z C S'"+:} e «- : Sl?"+: --> CI'"(3) pora-(z) = lzl. Dotamos CI'"(3) da seguinte topologia: um subconjunto U c Ca'"(3) éaberto se a- :(U) é aberto em S'"+'. É fácil verificar que isto realmente dota Ca'"(3) deuma topologia. Podemos ir ainda mais longe e dotar CIP"( 4 ) de uma estrutura complexa

Comecemos a construção da estrutura definindo K = {lzl C CIP"(3) 1 zi # 0},ã = 1,2,. ..,n. Ui é aberto. Com efeito, r':(Zl4) = {z C S?"+: q :# 0}. Definimospj : C& --} ]R'" por

pj(1;1) -..,;,,. -.,,.--:).

pj está bem definida, p é claramente injetora, pois e lml = lzl, teremos w = Àz e portanto

, új,. . . ,«,.--o - .xL-o;-,. . ., ,x4,

J

pj ( 1««1) ,Àz.+l)

,;j,,.+:)

Em Ut n q = {lzl c CF'"($)( zk / 0 e q # 0} fará sentido Pk(uk n Q) e este

conjunto é igual a C"\{(zt,. .. ,2*,. ..,z«) C CP'' q = 0}, que é aberto. Faz sentido

"tãoç,j'g;:: C"\l; C C" l ;J -0} --> C" e pj'p;'(,:,. .,,«) - !(;«,..,:,...,..) é

claramente C". Na verdade, pj o g;t é mais do que diferenciável, ela é holomorfa. Como


U;.: t& = C]P"( 4 ) e ç'j o ç'i. : é diferenciável se ã # .j, tomando a família maximal decartas que contêm {pi, . . - , 'p«+i} teremos uma estrutura complexa sobre CIP"(3).

(Sr2"+:, Si, a-, C]P"( 4 )) esta quadra possui algumas propriedades que explicitaremos.Já sabemos que a ação à direita R do Si sobre Sr2"+1 age livremente e diferenciavelmente.n- é uma ap]icação C- de Sr2"+1 sobre C]P"( 4 ). De fato, esta afirmação decorre do fatoque a aplicação de S2"+i/{z l zi = 0} em C", que associa a cada z, i(zi, . . . , z:, . . - , z.+l) é

diferenciável e igual a gi OT. Também é evidente que Si age transitivamente sobre a-'i (lzl)para todo lzl c C]P"( 4 ). Menos evidente que as propriedades acima é a trivialidade local

para a (quadra (Sr2"+", S:, a-, CIP"(3')), isto é, para todo lzl C CIP"(3') podemos tomar umaberto Ui C CIP"(3-) tal que lzl C Ui e n-':(t/.) e C/i x S: são difeomorfas. Em verdade,podemos definir uma / : «-(Uj) --> S: dada por /(z) = («-(z), F'(z)), sendo FJ«-':(Uj) --> S:

uma aplicação C' tal que Fj(-R(w,À)) = Fj(w)À, dada por 4(z) = n/lql. A quadra(S?"+: , S: , n-, CiP"(3-)) com as propriedades anteriores é o que se denomina de um vibradoprincipal.

Para z C Sr2"+1 determinaremos Tz$2"+1. Se 7(--c,c) --> S2"+i é uma curva tal que7(0) = , e 'r(0) = « teremos, difere«cia«do <'y(t), '(f)> = ,', <'y(t), "r'(t)>+<7'(t), '(t)> = 0,para t - 0 obteremos <z,u> + <u,z> = 0 (Re<z,u> = 0). Reciprocamente, se u C alJ"+'

e Re<z,u> = 0 para z C Sr2"+1, então u C TzS?"+:. Em verdade, façamos ' : (--c,c) -->

Sr2"+1 tal que 7(t) - r z+tu . Um cálculo simples nos mostra que 7'(0) = u e portantoTzSr2"+1 . {u C C"+i l Re<z,u> :: 0}. Podemos em S2"+1 definir uma distribuição .Z)

como sendo D(z) = {u C TzS:"+: l <z,u> = 0}, teremos então (lue dimZ)(z) = 2n sobre

]R. Um fato que será muito usado é que se u C Z)(z), então iu C Z)(z)

Fazendo e, = f, teremos <z, (,> - i<z, z> = illzll2 e portanto e, C TzS2"+1 e e, g1 2)(z).Para a aplicação r temos associado dn', : TzSl?"+: --> q,jCtP"(3'). da-,(E,) = 0, pois se7(t) = e"z, 'r'(0) = r(,. Por definição teremos

apj«,(e,) - iZ(ç'j" ' '(t))I'-o - ;9j«('"')I'-o - IZ'pj(1'1)1:-o - o.Podemos então concluir que dr,ip(,) : D(z) --> q,iCIP"(3) é um isomorfismos e isto nospossibi[itará munir C]P"( 4 ) com um produto sesqui]inear do qua] obteremos uma métrica

sobre CiP"(â). Para lzl c CIP"($) a aplicação lzl -} z c C"+i denomina-se coordenada

homogênea de lzl, enquanto lzl C Uí -+ :-(zi,. . . ,2:,. - . ,z.+i) C C" denomina-se coor-

denada não-homogênea de lzl C Ui. Tomemos uma curva ' C C-, ' : (--E',c) --> Sr2"+1,

co«- '(0) = ' e ' '(0) = «. ?(t) = «- . '(t) é «ma c«r- C- em CF'"($). Par- «etores

u, u c Zl;lCIP"(3') sabemos que existem ã, ü C TzS:"+: tais que u = dn-;(ã) e u = dn-;(i)).Portanto, podemos definir a aplicação bilinear « , >) por <(u, u)>t,l :: <ã, 0>;. Este produto


está bem definido. Com efeito, se m C Sl?"+i e r(w) = lzl, então existem ãi e 0i c ZwSr2"+1tais que u = da-.({Zi) e u = da«(üi). Portanto, basta mostrar que <ã,ü>; = <ãi,Oi>., o

que é elementar, pois w = Àz para algum À C Si e como RÀ é tal que dRx(u) = Àu, segueo que queremos, isto é, <ã,ü>, = <ãt, üi>. Escreveremos agora <<u,u>>t,] em coordenadas.Para tal, seja 0 C TzSl?"+' tal que d«-,(0) = u e seja '(--c,c) --> S?"+: tal que '(0) = z e

'y'(0) = ü. A componente de '7'(0) em D(z) é dada por ''(0) >'y'(0),(,>(, e portanto

<<« , «>> <'y'(0) <7'(0), e;>e;,7'(0) <7'(0), e,>e,>

<v'(o), 'r'(o)> - 1<v'(o),(,>1'

<,v'(o), ''(o)> - -;1<v'(o), ,>1:7''

Conseqüentemente, se tomarmos uma curva ? : (--c,c) --> C"+' tal que ,y(t) «êf ,

''*'w - ,?»}Q}Ü3KO - «}w, ?'w> -ul«:o, ;?« > ?ue portanto para <( , )> obteremos

«d«',U('y'(t)), d«-,m(7'(t))»:lll(t)ll'lll'(t)ll: - l<1(t), }'(t)>1'

ll{(t)l a

Formalmente, podemos escrever

«*« , » - ,, <'A dz,zA dz>

sendo <z A dz, z A dz> = <z, z><dz, dz> <z, dz><dz, z>.

Como já sabemos, da-,ip. : D' '} ZÍ,tCK'"(3-) é um isomorfismo. Também sabemosque se u C .Z); o mesmo é verdade para !u, isso nos leva a definir um campo sensorial Jdo tipo (1,1) sobre CI'"($) da seguinte maneira: J],](dn,(u)) = da-,(ãu). J definido destaforma é um tensor C" e J'(dr(u)) = da-(u) e, portanto, uma estrutura quase-complexa de

CIP"( 4 ). A estrutura quase-complexa induzida pelas cartas holomorfas do CIP"($) e ainduzida por dn- são equivalentes. E um fato, não difícil de demonstrar, que toda variedade

clue possui um censor J de tipo (1,1) que é C- e J2 = / é orientáve] e portanto C]P"( 4)é orientáve]. Uma orientação é dada pe]a seguinte forma vo]ume. Defina co € A2(C]P"( 4 ))por

«,(X, }'') <<X, Jy>>

A w (n-«zes).e façamos z? = w /\


Sejam {eol . . .;e.} a base canónica de C"+t e t/(n + 1) o grupo unitário. Podemosentão definir n + l funções de C/(n + 1) em S'"+:,

-3L--> S2n+l C Cn+lLJ \. \l/

g ) - EE.o gf'*A {bo; . . . ; ó.} denominaremos um referencial unitário. Podemos então diferenciar Z)j, do

ponto de vista complexo, e obteremos

t/(n + l)

E «} ', z'*, 'k-o

sendo uf l-formas complexas, isto é, (wk)g é uma forma qJ-linear. Verifica-se que ulk+coZ =0. Em geral, para referenciais unitários temos que <Z)j(g), óÃ;(g)> = õJ+, diferenciando aúltima igualdade e aplicando em u C TgU(n + 1), temos que

<(dÓj),(u), bk(g)> + <Ój(g), (dbi;),(u)> = 0.

Portanto, ('«j)S(u) + («,Í)g(u) = 0. Diferenciando exteriomente dój

levando em consideração que bj = bÇe!

aó. - >1: «f ® z,* - }l: «fót ® '.,k }ç.l

aó} - }l: «jól,

a(az'}) - >1: ú«fót «,f A az'',

E ló{«,f « «rl - o,kLmJ

; 1; ':«f - : ''~j « «*l * .: - .,E a«} ® z,* ® ó« - o,k k,m

A

k

Ecolk (8 bt, teremos

ü«f " «ãl ®ó*-o,k \ m

a«f "«E -o.

E

Seja agora a- : U(n + 1) --> S?"+: dado por a-(g) = g(reo) = róo. Mostraremos que(U(rz+l), Z./(n), S'"+: , n-) é um t/(n)-vibrado principal. Para tal fim, necessitamos verificarn': cpallintpç fn t.nq-vu vvt) uxxx vvv Awu vu ç


la U(n) age à direita em U(n + l)

R : U(n + 1) x U(n) --> U(n + l)

"'.,«,-'. (z :Estaaçãoélivre,istoé,seg. l = 1. 1 =g,então/z=/Ê emU(n). Tambémtemos

que a ação acima é C'. Que a ação é transitiva nas fibras decorre do fato que: dadosdois pontos ./: e g na mesma fibra, isto é, na órbita de um go C U(n + 1), então

1 0g - go

1 0o k

-""«", "« . - ' l h tk0

2g A ação é localmente trivial. Seja w = (mo, . . . , m.) C Sl?"+:. Como m # 0 existe umwj # 0, suponhamos que seja mo, os outros casos são análogos. Consideremos então

UO = {z C Sr2"+1 : z. :# 0} é um aberto e contém «,. Fazendo (z«0, . . . ,««.) = (mo, z)teremos

« :(h)

:-h2t h.too

Não é difícil mostrar que / é um difeomorfismo

Uo x U(n)

((«,o, .) , h)

Tomemos g : Sl?"+: --> U(n + 1) tal que «- . g(:«) = z e g C C-(S?"'' :, C/(n + 1)), istoé, g é uma secção do vibrado principal acima. A partir do que fizemos, temos que

1«, Z,:lg(z)l, . . . , Ó.IP(«)1)

é um referencial unitário tangente a S2"+i. Temos também que

TreoS2n+l :: jÍíeo, ei, e2, ,..}]

De n- . g(z) = z tiramos que

g(Z) : Tr..S:"+: --> TzS'"+:


e portanto

{g(«) ({eo) , g(«)(e:) , , g(«)(e.) }

é uma base de T=S2"+t. De z rbojg(z)l, diferenciando, obtemos

dz ,(dZ,o),(,) . dg(«),dz

« l>1:G,#),(4«,a,(,)l . g(«),dz g* (wlÍ )g(d (bk )g(,)

e logo {rg*wo,rg*wi, . . . ,rg*u.} e {bo o g, . . . ,b. o g} são bases duais. Denotando 0

--ãrg*c.;o e por 0j - rg*wg poderemos escrever

dz 0 ® (ãÓo) + 0' ® Z,: + +o"®b.

Diferenciando as formas 0 e 0j teremos

-í,g*la«:l -à, }: g*wá ,~ g*;,' -l)x "' « ,

Z

}

d01 ,g*ló«,gl -, }:(g*«'/) A (p*«,â) -!E «? " ,' !o','\ o.r

"' -- :E'«Í iria) ». o' 0, d rg*ul

Já sabemos que para as l-formas wÍ

a«,Z + }: «,/ « wl 0

Vejamos então qual é a expressão de (2Í

o{ - ad+ :o?AO ,z-l

sendo 0Í (d iõio), t,j 1, 2, ,n e Oil

liw«z - :'z") - 1; (-; x,? « «l - g E «' «#z-ol-o

-ÃE: l('a7 + õ?o) A('ol+íólo)+õZo' Aõl ,z-on

''{ E ,' « ,' + 3-X , « ol'í[-] /-]õ/ol),

[-]

aoZ + }: a7 « ol À- I'' « õ*


ou em uma forma equivalente

a* ,A #: .if \' o' /. ê'

Lembremos que todas as l-formas que apareceram até agora são complexas.

Da forma como obtivemos (z, bi, . . . , b.) segue que {Z,i(z), . . . , ó.(z)} é uma base de

2), e logo {0:(z), . . . , 0"(z)} é base de Z);. Podemos então definir h = }:;1.: 0j ® # umaforma sesquilinear sobre .D. As Of nos dão uma boa derivação em .Z), definida por

l l

>ll: q ® '*k-l

E fácil verificar que V é compatível com <( , >> (usando o isomorfismo dn-lp : 7) -} q,tCIP")Como 0k e 0j são formas complexas, podemos escrevê-las da seguinte forma:

0j - wj + {wj+",

a{ - «,Z +í«.,Z''" 0, 1J , 72,)

l prp nnq pnt n n nllp

a«,j + ía«,'' " + }:(«,Z + {«,Z'''") A («,* + {«,*''") - o,

a«'+E:«Z««' "««*'''" -o,A-0

a«'' " + }: «Z'''" « «* + «Z « «*'' " - o,

que, usando wZ+" :: --wh,., pode ser reescrita

Í ü«' + E «Z " «* + «,j.... « «*-'" - o,

l dwj+" + )l: «,Z+" A uk + wZ A u*+" = 0,

«- iE«'«p'-;E«'««''''".Para todo .j, k = 1, . . . , n temos

õ{ - o{ + {oZ'''" - A{G,' + í«''''") « («'

+õZ }:(«' + «'''D G,' - d«,) } ,o{ - á(«'' ''-«*+«''" ,~«*'''"),

l .l .J*« A «,* - «,j ,A «.,*+" + óZ2 >1' w"''" /.. .' 'l''L " = J

1.3 0 espaço hiperbólico complexo 18

Em .Z) temos que todo vetor X é da forma

x - Xibi, bj = fj-+ ifi+..,

2ui+" A coi + 2 }l. un" ,A wz

Qj4

c..;j A wj+", quando restrita ar2

isto é,

oj''"(/'''", /') - 3'Disto tiramos que as curvaturas seccionais de planos gerados por vetores da forma u e/u são constantes. A este tipo de p]ano denominamos p]anos ho]omorfos. Portanto, C]P"possui curvatura dos planos holomorfos constante, resumidamente curvatura holomorfaconstante.

1.3 O espaço hiperbólico complexo

O espaço hiperbó]ico complexo, C]H"( 4 ), pode ser obtido de forma totalmente análoga ausada para construir o C]P"( 4 ). De fato, consideremos em C"+i o produto sesquilinear À

h(,, ««) - ,:'ü- .Zn'tOn

definimos a seguinte hipervariedade real do ([J"+i

Q'«--: {. C C"+: : h(z, z) = r'}

E fácil verificar que isto realmente é uma hipervariedade. R : Q2"+i x Si --> Q2"+t dadapor

lz,À)

é uma ação C'" do St em (22"+i. Em Q2"+i definimos a seguinte relação de equivalênciaz «. z' se existe À C St tal que z' = Àz. Definimos então

R

cm"(;) - Q:"''':/ -

denotando as classe de equivalência de z por lzl teremos CEi"(3) = {1zl : z c Q2n+lCIH"( 4 ) possui uma topologia induzida pela projeçào a- : Q:"+i --.-> Cm"(3) dada por

1.3 0 espaço hiperbólico complexo 19

n(z) = lzl. A estrutura de variedade diferenciável sobre CIH"(3) é obtida definindo acarta (@, U) da seguinte forma

" -'-"'"(:D@([,]) - l(,:,

zo,;.)

temos assim um recobrimento de C]H"( 4 ) por abertos, é suficiente então pegar a famíliamaximal holomorficamente compatível com este aLIas. Repetindo todos os passos feitospara o C]P" termos que (Q?"+i, CP:i"(3), Si, a) é um vibrado principal com espaço totalQ2"+i, espaço base CIH" e fibra St. O espaço tangente de (2r2"+1 em z é dado por

Z;Q'«+: {« c c"+: : h(., «) + };(;:ã' 0}

Também verifica-se que e; :: f pertence ao espaço tangente de .H2"+i em z. da-lp é umisomorfismo entre Z), e o espaço tangente em z do espaço hiperbólico complexo que nospossibilitará mugir ([J]H"( 4 ) de uma métrica <<, >>. Em verdade, como ól..!.í*P é negativa

definida é suficiente defini-la por

<(d«-,W(7'(t)), dr,U(7'(t))» h(q(t), ?(t))À(+'(t), ?'(t)) - lh(?(t), +'(t))l:À(+(t), q(t))'

Formalmente, podemos escrever

«-*« , )> - ,,À(; .A dz,zA dz)

(1 1 1 )i

De forma aná]oga ao C]P"( 4 ), pode-se demonstrar que o C]H"($) possui curvaturasholomorfas constantes e negativas.

CAPÍTUI,0 2

Geometria sub-Riemanniana

2.1 Definições e a conexão sub-Riemanniana

Agora que já definimos e obtivemos alguns resultados dos espaços nos quais iremostrabalhar, começaremos as definições dos objetos que "habitação" esses espaços e a buscade alguns de seus principais resultados. Pala tal, façamos algumas definições.

Definição 2.1.1 Seja .714 uma uaráedade dli/erencÍáue/ de dãmerzsão n e TiU o ./íórado

tange'nte de M. A um conjunto 'D -- UpcM'Dp, sendo 'Dp um sabes'paço uetorial de TpM,den,ominamos de distribuição. Se Q co-dimensão de'Dp for covtstünte e água,l a, k dizemosq'üe'D possui co-dimensão k. Dizemos que'D é de cl,asse C'':' se para, todo p € M existemuma. 'lãzinha'n,çu U de p e k l-jorurLas \0\ ,0'z ,. . . ,0k \ de classe Cm eTn U tal (lue 'DaB

nJ::k«o: P«« f.do :« c u

Quase sempre uma definição em TM nos leva a uma definição no vibrado co-tangenteT*M

Definição 2.1.2 Sega &/ uma uarãedade dii/erencàáueZ de d mze7zsâo n e T*M o ./obrado

co-tangente de M. A um conjunto 'D* -- UpcM'Dp, se7tdo 'D+p um subespaço uetoria! dodual de TpM, denom,inamos de co-distribuição. Se a, diTTtensão de'D+n for constante e iguala, k dizemos q'üe'D* possui dimensão k. Dizemos q'üe'D é de classe C- se para todo p C Mezástem uma uázáAança t/ de p e n À campos /ãzzearmezzte ándeperzdenÉes e de c/asse C' em

U {X:,.X:,...,X"-*} ta/queda;={«,cTz.M* : «,(Xj)=0, .j=1,...,n-k}.

Definição 2.1.3 Uma uar idade suó-Rjemanrzãana consiste em uma terna (M, D, g), sen-do M hma variedade diferenciáuel, 'D uma distribuição C' de co-dimensão k e g umcl

20

2.1 Definições e a conexão sub-Riemanniana 21

métrica. de$ni,da, sobre 'D e tcLI, q' e, pctfct quaisquer dois cam'pos X e Y (C') em '0,g(X, y) é «m« /u«ção C'

Observe que no caso em que l.Z), .Z)l C 2) ( Z) integrável) teremos um decomposição deÀ4 em subvariedades integrais maximais de .D ( folhas, como são comumente denominadas

). Em j211 verifica-se que é possível demonstrar que dotando o conjunto das distribuiçõesC" de uma certa topologia o conjunto das distribuições integráveis será magro.

Definição 2.1.4 Uma d slribuÍção .D em uma uarãedade dll/erenc áue/ M é alfa como/fa-

lam,e'nte 'r\ão i'r\tegráuet se TM pode ser obtido T)elü soma, de'D com se'us colchetes, isto é,rM- D +lp,pl+llp,PI,nl+

O caso que realmente nos interessa neste trabalho é o obtido quando Z) é não integrável,em especial o de co-dimensão um, isto é, TIW = .D + IP, Z)l.

Definição 2.1.5 (1/ma curda de c/asse C" ' : 10, 11 ta adm ssábe/ se o uetor

'-g.«f. +(t) p'de«ce « d{.f,áZ,«{ção D pa« f.do t c 10, tl.

Enunciaiemos abaixo, sem demonstração, um teorema muito importante para a geometriasub-Riemanniana. Esse teorema é a "luz" em muitos problemas de teoria de controle eotimização. Alguns autores atribuem esse teorema ao matemático W. L. Chow enquantooutros a W. L. show e P. A. Rashvskii.

Teorema 2.1.6 Para quaisquer dois pontos p e q em uma uaràedczde sub-Rãemzann anal.M.'n,g) colrl uma, distribuiçã,o comptetamebte l\ão integráuel 'D existe um curdo. nd-«{«í«e/ C' p« p«d« 7 /{g«"". p « q, {sfo é, 7(0) 1)

Em nosso trabalho estaremos interessados em um tipo particular de variedade sub-Riemanniana: as que possuem .D de codimensão l e um campo € globalmente definido etal que ZPM :: .Z)z, a) (p, para todo p C M. Neste caso g pode ser estendida a uma métricaÕ definida em todo espaço tangente de M, na maior parte das vezes denotado por <, >, istoé feito definindo Õ : 7'M x TM --> IR bilinear tal que ãlpxn = g, ã(e, {) = 1 e Õ((l, X) = 0se X c D. Podemos então definir uma l-forma tal que f?(X) = Õ({, X). Desta definiçãotiramos que .D = ker0 e 0({) = 1. .Z) recebe algumas denominações conforme a formabilinear dali seja não-degenerada ou definida ou nula. Dizemos que Z) é de contado se0 /\ dé? é não-degerlerada, .D é fortemente pseudo-convexa se dO restrita a .Z) é definida e .D

2.1 Definições e a conexão sub-Riemanníana 22

será integrável se dO = 0 quedo restrita a .ZI). Neste último, M é uma variedade folheada

Temos, como em geometria Riemanniana, uma conexão associada à estrutura (M, D, g, e)A existência e unicidade da conexão adaptada é provada no teorema abaixo.

Teorema 2.1.7 Ez sfe ma única conexão V soZ,re (M, Z),e,g) com as seguánÉes proprãedüães:

aJ Vxy € Z) para bodas X, y C 'Z);

OiJ Vx{ 0 P«« f.do X C Í«.M);

ÕÍi2 Vxg 0 P«« t.d. X C É«M);

Ú«J I'(x, }''') da(X, }''){ p«« f.do X, }'' c D;

r«) 7'(e, X) T(X) + dO({, X){ p«« l.do X c D

Demonstração: Seja {ei;

então escrevere.; (} um referencial ortonormal (local) em M Podemos

je:, eÍI E '4'* -' d:.{k-l

E q'* + 'ç'.k-l

le,.jl

Sendo V a conexão, poderemos escrever

k

0,

sum*l'fe*

De T(ei,ej) = V.iej V.,ei jei, ejl e de (iv) tiramos que dO(ei,e.j)e = (1'8--l'f: (IJ$)eÊ--dí.je e portanto (.4 = 1'8 -- I'j:. De (iii) obtemos que I't + I'h = 0. Conseqüentemente,

teremos I'$ = {((1,% + (q. -- (-8x;). Isto prova a existência e unicidade de (i), (ii) , (iii) e

parte de (iv) e (v). Para determinarmos r procederemos da mesma maneira.

r(e, ej) Veej - le, ejl (I'j - q)e* dje

e portanto escrevendo 7'((, ej) = #et+dj{ teremos d = 1'j C:l;. Usando que dO((, X) =0(le,XI) tiramos que dj = df?({,X) para todo X C D Novamente, de (iii), tiramos

2.2 Propriedades da conexão sub-Riemanniana 23

que I'j; + 1'} = 0. Da simetria de r tiramos que 'd = d e portanto I'j = 1 (C'b -- CnJ) e

d - -{('# + c'Z). []

2.2 Propriedades da conexão sub-Riemanniana

Examinemos algumas propriedades da conexão adaptada à estrutura sub-Riemanniana de

M. Abaixo, dada uma 2-forma w, usamos ã(o para denotar a um forma {ew(X) = u(C, X).

Proposição 2.2.1 Se € é ta/ gue áed0 :: 0, então a der Dada de Zãe de a na dÍreção de {é ««l. ([0

Demonstração: sabemos que em relação a métrica é? se escreve como 0(X)Daí temos

(,ceo) (x) CP(x) - o(z:(x)

<v(x, e> - <zex, e><vcx - le, xl, (>0

Corolário 2.2.2 Se Z) e de cantata, erztão Z:(é?(.D) C Z)

Demonstração: se X C 'Z), da proposição anterior

o(z(x)(,c(x, e>

rea(x)0

n

Proposição 2.2.3 Para campos C-X e y ern D lemos <r(X), y> !(.ceg)(x, }'')

2.2 Propriedades da conexão sub-Riemanniana 24

Demonstração: da substituição de r(X) = V(X 1{, XI em g(,-(X), }')

g(,-(«) , }'') g(vcx, r) - p(le, xl, }'')(g(x, }'') - g(x, vcl'') + (g(x, }''') + g(x, l{, }''l) + (reg) (x, r)-g(X, r(}'')) + (,Cd) (X, }')

-g(.'-(x), y) + (reg) (x, }'')

e portanto segue clue <r(X), y> {(cd)(x, }'') . D

Coro[ário 2.2.4 $e € tí rrz campo de ](áZ/ ng para g então r é nu/a

Em geral, para uma variedade sub-Riemanniana de co-dimensão l com um ( global-mente definido e transversalmente orientável, verifica-se que existe um campo tensorial Ade tipo (1,1) tal que

do(x, }'') <h(x) , }''> para campos X, y C .Y(.A'f)

e podemos definir o operador /z da seguinte forma

h(x) (x) - <x, (>e

Portanto, podemos calcular a derivada covariante sub-Riemanniana de dO na direção {

(vejo)(x, y) {do(x, }'') - do(v(x, }''') - do(x, v€1'')g(Veh(X), y) + g(h(X), Vey g(h(VeX), }'") - g(A(X), V(yg((V@)(X) + h(VeX), }''') - g(h(VeX), y) g(A(X), V€1'')

g((v@) (x) , v> .

Proposição 2.2.5 Se r é para/e/o, ao /ongo do ./Zuzo de e, em relação à comerão suZ)

Riemctnnia'n,a, 'V, então CeN(X -- 'VtLeX para, todo X em'D

Demonstração: sabemos que

(ve.'-) (x ) vP-(x) - ,'-(vex)VeV(X - VeC((X) V(Vex - ,CeVeX

(,cevex ve,ce)(x)

2.3 Exemplos de variedades sub-Riemannianas homogêneas 25

Definição 2.2.6 Dadczs duas uaráedades suó-Ráemannãanas (M, Z),g,e) e (M, D,Õ,e) euma apl'lcação diferencia'uel f . M ---+ M dizemos que jé uma isometria sub-Riemannia'rta,tocctt se:

i) afçn)

íi) â(d/'(x), d/'(r))

ií0 aF({)

para campos X e y em D

Definição 2.2.7 C/ma uaráedade sub-Ráemanniana (M,Z),g,e) é dela Aomogênea se oconjunto da,s isometrias süb-riemannianas de M age transitiuamevtte evrl M

2.3 Exemplos de variedades sub-Riemannianas ho.mogeneas

Começaremos os exemplos de variedades sub-Riemannianas homogêneas com as vari-edades homogêneas mais simples: os grupos de Lie de dimensão 3 com uma métrica(sub-Riemanniana) invariante à esquerda.

Grupos de Lie Tridimensionais

Seja G um grupo de Lie de dimensão 3, g sua álgebra de Lie associada e D um subespaço deg de dimensão 2. Sendo {ei; e2} uma base de Z), assumimos que jei, e21 çl Z). Poderemos,portanto, definir uma métrica em .Z) invariante à esquerda sobre o G impondo que ei e e2são ortonormais. Teremos assim a terna (G, D, g) sendo uma estrutura sub-Riemannianasobre (;. Se .[f?il 02;03} for a base dual à base {etl e2; jei, e2j}, o elemento de área serádado por d-A := Ot /\ 02 e d03lp :: À01 A 02 para a]guma constante À # 0 c ]R.

Poderemos então definir é? :: bOa. Deste modo teremos kei é) :: Z) e dr? :: 20i A 02,isto é, f? é o que denomina-se uma forma de contado. Não é difícil mostrar que existe umcampo (l tal que 0(e) = 1 e ã(da = 0. Tomando como base de g {etl e2;(} teremos paraos colchetes as seguintes expressões:

[.:, .,] I'let + I'2e2 2€,


je,,€1

[{, .:]I'ei + Àe2,

Àel + 're2

(2.1)

Fazendo uso da conexão associada à distribuição .Z), poderemos escrever as equações deestrutura para este exemplo:

Vei

Ve2

u 6) e2

0

Para o co-referencial {0tl 021 é?} teremos

0,

e portanto em relação a esta base teremos

dOi

d02

w A02+riA0,--w /\ 0i + l-2 /\ 0,20t /\ é?2

Mas, olhando para (2.1) teremos que

ÍdOi:: I'.ai/\02 1'02A0+ÀOi/\O,1. d02 = 1'20t/\02 -- À02/\ 0+ TOi/\O,

e um processo de amei-simetrização em 0i e 02 nos leva a

dOi

dOe( F:0: + -!#-0) .". 0' + (.à0: + -E?-0:) AO(r:o: + r,o: l#-o) A o: + (IP,xa') A o,

isto é,

T+FI',o:+I'i0'2

T F2

.Ot2


e um cálculo simples nos dará

(i'í + i'g + T + I')O: A O'

-(i'f+i'g+ T +i'),ÀI'i+ TI'2,I'tl'+ ÀI'2.

(ÀI':+ TI',)O: ,'\ éJ+(I':l' + I',,X)O' A O,

tol

t02

K é denominado curvatura seccional sub-Riemanniana

Para uma melhor análise dos grupos de Lie tridimensionais necessitamos de algumasdpGnipãpq

Definição 2.3.1 Um grupo de -Lje (? será derzominado unámodu/ar se qua/quer /armauotume in'uariaTtte à esquerda tavrtbém for i'rt'Daria'r\te à direita.

Lembremos (-lue dd : G -} Aut(g) é definida como .4d(g) = d(Rs o Zg)., sendo .Ls(-RP)

a translação à esquerda (direita).

Lema 2.3.2 0 grupo G é unámodu/ar se e somente se daLI.4d(g)l ül, para todo g c G

Demonstração: Sela w uma forma volume sobre G. Suponhamos que -L;u = w, Vg c GDe

..4.Z(g) (-R, - . -L,).

tiramos que

(d-R, ),- -

R;«,, (u: , u: , «;)

,'ld(g :)(dÉ,),-:«,,((dR,),--(u:),(d.R,), :(u:),(d-R,),-:(u:))det .4d(g :))l«,,((dZ,),-:(u:),(dl,),-:(u,), «,,((dZ,),-:(us))det .Ad(g :)IZ.;w,(u-,u:,u3)det .4d(g :)l«,.(u:,u,,u3).

portanto, se G for unimodular, da igualdade acima temos que det.4d(g) = :EI . E daigualdade acima temos que a recíproca também é verdadeira. []


Lema 2.3.3 Um grupo de Záe conCHa é unimoduZar se e somerzfe se a aplicação ad(X)g --> g, a«a« p« «a(x)(v) }''l, p«.«{ '"ç;. -/..

Demonstração: Sabemos que exp g -+ G é C" e que

.4d(exp(X))k-o

gl"v"det(ad(exp(X)))

Se tr(ad(X)) = 0 para todo X C g, então det(.4d(g)) = 1 em uma vizinhança y de e e por-tanto como G = U=. y", segue que det(-4d(A)) = 1, para todo h c G. Reciprocamente,se det(..4d(g)) = 1, para todo G, então

l = >: 11Çil1llfÇ))i! implica em trjad(X)l - o, vx C g.k-o

n

Definição 2.3.4 g é denominada uma áZgeóra de Z;ãe un moeu/ar se trjaa(x)l = 0 paralodo X c g.

Para prosseguirmos no exemplo tridimensional, dividiremos o estudo em dois casos: Gunimodulai e G não-unimodular e usaremos algumas idéias e definições de l81

Lema 2.3.5 27 {X c g l trl«.Z(X)l 0} é um ideal em g

Demonstração: De «alX, }''l = «d(X) . ad(}'') --ad(y) . «d(X) e de trl«d(X) . «d(}')l =trjad(y) o ad(X)l segue que g: = lllx, rl l x, y € all C Z/ e portanto Z/ é um ideal. []

Definição 2.3.6 Z/ é denominado o ádeaZ unimodu/ar de G

Se g é a álgebra de Lie de G (dimG = 3) podemos, fixado um produto interno em ge ramal orientação, definir um produto vetorial A em g por

<u A u, ««> = (iet(u, u, l«)


Lema 2.3.7 0 co/cÀele 1 , 1 está re/aciorzado com A pe/a /órmu/a lu,ul = .L(u A u),sendo L uma aplicação linectr de $ em $ de$nida uniuoca'm,ente. O grupo de Lie G seráubimod'alar se e somente se L é auto-a,dã'finta. (L = L' ).

Demonstração: escolhemos {ei; e2; e3} como sendo uma base ortonormalmos -L , como em l81 , uma aplicação linear tal que

-L(.: )

L(e,)L(e;)

Se .Xj := X;ei + .X2e2 + .X3Je3) J :: 1, 2 ,

Z,(X: AX:) - Z](X:]X{ X]X:])e:+(X]XÍ XIXJ)e,+(XIXj -(X]XÍ X]XJ)l.:,e31 +(X:lX? XIXf)l.;, e:l+(XIX? - XIXf)je:, e,llx:,x:l.

Escrevendo a matriz de L em relação à base {ei; e21 e3}, teremos

.L('j) - }: -L}':

3

lZ

de g. Defina.

[.,, .;],[.;, .:],[.: , .:].

X?XJ )e; l

«d(e:)(e:)«d(e:)(e: )

«d(.:)(e; )

trl«d(e:)l

Oei + 0e2 + Oes,

jei, e21 = 1,(e3) = -Ljei + .L:e2 + .L:e;,je:, e;l ) - -Lje: - Z,je, - -L:.s,.L: - Z,:.

De forma análoga,

trl«d(':)ltrl«d(e;)l

Assim, se G é unimodular .L é simétrica e claramente vale a recíproca. D

Lema '2.3.8. Se o grupo de Làe G de distensão 3 nãa é hbimodular, então sua álgebra, deZ){e g possua uma Z)ase {ei, e2, ea} taZ que

jel,e2

[.-, .;][.,,.;]

ae2 -- be3,

del + de3

0


ea+d=2

Demonstração: como la, al c Z/, segue que dimZ/ :: 2, caso contrário G seria unimodu-lar. Sendo 27 uma álgebra de Lie de dimensão 2 e unimodular, segue que Z/ é comutativa.Podemos então tomar ei C g\Z/ tal que trjczd(ei)l = 2 e portanto T : U --> Z/ dada por]"(X) = jei, XI possui traço 2 (tr(7') = 2). ü

Do lema anterior, existe uma base tal que {ei; eu, (}

[.: , .:][.: , e][.,,e]

I'2e2 2{Te2

0.

Vejamos qual é o grupo G associado à álgebra g, para a qual existe uma base nascondições do lema 2.3.8. O subgrupo -H, simplesmente conexo, obtido integrando Z/ éc[aramente R2 (-H = ]R2). Como je:l é uma sub-á]gebra, integrando-a obteremos ]R.ad(el) induz uma aplicação de ]R em gJ(lm,') = g/(Z/), dada por t -+ ad(tet). Podemosentão definir

a(t) - exp(«d(t.:))

Portanto, G :: ]R x ]R2 com produto dado por

(t, («, y)).(s, (,, «,)) (t + ., exp('d(t.:))(,, ««) +(«, Z/))

Resta-nos então calcular exp(ad(tei)).

Mas sendo .4 = 1 I'2 0 l o calculo de et''l dependerá da relação entre I'2 e T. Defato, calculando os auto-valores encontramos,

I'2+ I'2zl e z2

22

Temos então dois casos

2.3 Exemplos de variedades sub-Riemannianas homogêneas

CASO l: I'2 # 2v2T. Neste caso Á é diagonalizável e

r r, TI F-T -TI F«. o lr «: T l

L , .]'t «, «: ]t. «,]t «, «J

31

«,*l:; :l- l:: :rll'=' .:, 11:: &l= ~/f?':ãY teremos

ZP(t.4) - l sinh$t+acosha2t sinhgt--acosha2t l

CASO ll: I'g = 8'r. Neste caso temos zi = z2 = !? e

11 :1-1-J -;ll; ll lPortanto, para a matriz neste caso

««''",-.«ll! l: l *'lResumindo então, obtivemos para B = 1 e2 0l

e? j3se«h('f)B + cosh('f)ll , se '« >0

.'" - -l .#l-a + /l , « « - o

e{ j2senh(--igt)B + cos($t)ll , se a C ãm.

ular, já sabemos que existe uma base {ei, e2, e3} de g tal que

je:, e:l

1.,, e;ljes, ':l - ',.,

Pa.ra. aT'

e

Voltando ao caso unimod


Cllaramente os Ài's dependem da orientação dada a g, mas se mudarmos a orientação os

auto-valores ficam multiplicados por (--1). Se assumirmos que 'D é gerada por {eí, e2},teremos € C je31 e tal que

[.: , .,][.,,e][{, .:]

-- 2/'

Temos então os seguintes casos

(1) s. À:S; e S0(3);

1, os grupos simplesmente conexos associados a esta álgebra são o

(2) se ÀI = --1 e À2 = 1, os grupos de Lie simplesmente conexos associados são S.L(2, ]R)e O(1, 0);

(3) se Ài = --1 e À2 = 0, o grupo associado é o E(2);

(4) se Ài = 1 e À2 = 0, o grupo associado é o -B(1, 1);

(5) se Ài = À2 = 0, o grupo associado é o grupo de Heisenberg

No caso unimodular, comparando com (1.1) temos que I'i = 1'2 = 0. Se tomarmosuma métrica sobre .Z) tal que ei, e2 são ortogonais unitários, teremos que: para $s, .K :: 2,wi = 0 e m2 = 0; para SL(2, ]R) temos -K = 0, wi = 0 e m2 = 0; para -E(2) temos -K = 1,

wi = 0 e w2 = 0; para -E(1,1) temos K :: --l, mi = 0 e w2 = 0. Para o grupo de

Heisenberg todas as curvaturas são nulas.

O grupo de Heisenberg Generalizado

Em C"+: consideremos b(z, w) = zi 1 + . - + z.a. -- ã(zo?O.+i -- z.+tMo) e definimos

Q"(1,,:,...,;.+:) c c"+: l ó(,,.)

isto é, se z.+l = z + íg/ para z e y reais,

o" - I':,':,. q C C,.j = 1,...,n

2.3 Exemplos de variedades sub-Riemannianas homogéneas 33

Claramente Q" é uma variedade. Seja U(n+l, 1) o seguinte conjunto de aplicações lineares

U(n + l, l) {l" c GL(n + 2, c) : z,(ru, ru) b(«, «)},

Se T é tal que r(eO) = eo + Ceei +e, portanto, estas aplicações são da

r . 1 1 0 .L € 'i ]

Se, além disso, b(Tu, 7'u) = ó(u, u),

+ e«+:'«--:, e«tão T(je:,.. ., e«--:l) c je:,forma

,e«+il

f C (pn+l e .A C GL(n + 1, C)

teremos que

0

Á

:$"eo + u, u c jel, , ..--:l e r(l.:,

Z

« + {ll,ll'

Portanto, o grupo G tal que 7'(eo)por

,e«+:l) é dado

' -Í[ , *Ê, ,Temos então uma ação de G em Q"

'l i.''"(«), ,'''' . ,'nl(g, z) --> g(z)

E fácil verificar

G l g.eo

que esta ação é C" e transitava. A isotropia de eo éportanto um cálculo simples nos mostra que

À C U'(n)

dada por Go - {g c

Go

o l0 1

Q" é homogênea. Q" pode ser identificada com úly'

:«}

x ]R. De b(z, z)

Q" Z

2z+ Z2

z C aJ", z

Isto mostra quetiramos que

Ó(,, d.) + Z,(dz, ,)

Reb(,, d,)n . n

: ;j+il('z'«---)+E:'jM,.j=i .j=i

:la'«--: ()

2.4 Relação entre as conexões Riemanniana e sub-Riemanniana 34

Seja

D, (":, . . . , «.-.:) c C"'''': l X4«j + ;«.,-:

.Z) é não...integrável. De fato, t; :: ãa + 2ã2,}ã;:+i C l)' se u = ul + ãu2

â * «««: * ««á * : l úâ * : (««ú * ««ú) ,

'ã;;ii + 'Õ;=.i - 'M=ii g D,verdadeiro que b restrita à distribuição .Z) é positiva definida.

'n:c T;Q"

ul

U2

[«: , «,]

Também é

2.4 Relação entre as conexões Riemanniana e sub-Riemanniana

Associado a variedade Riemanniana (M, <,>)temos a conexão de Leva-Civita, isto é, aúnica conexão em JW que satisfaz:

(i) x<y, .z> <Dxy, .Z> + <y, DxZ>;

(Ü) .Oxl'' - 0*X IX, rl ( Torção «la );

Esta afirmação é demonstrada em qualquer livro de geometria Riemanniana, em especialé demonstrado em jdo Carmol. Relembrando a definição h e h temos que df?(X, y) =<À(X), }'> e h(X) = À(X) -- 0(À(X)){ para todo X C Í«À/). Te:nos então o seguinteteorema

Teorema 2.4.1 Para campos X C é21iw) e y C Z) ueri$ca-se

G2 DxY'' + 0(X)A(}') <Dxe, y> ;

rji2 -0xe h(X) + ,(X).

2.4 Relação entre as conexões Riemanniana e sub-Riemanniana 35

Demonstração: definimos, para X c gW)

Dxl'' 0(X)A(y) <A(X) + .'-(X), }''>e+ 0(y)(h(X) + .-(X) 0(X)A(e))

que D é uma conexão é imediato. Z) é compatível com a métrica. De fato, para y., Z C Z)

x<y,z> <Vxy,Z>+<y,VxZ><DxK Z> + <y, OxZ> + é?(X)(<A(y), Z> + <y, h(Z)>

<-0xy, Z> + <y, OxZ>

para y C .Z) e .Z = {

que -D possui torção nula poderemos verificar através de um cálculo simples. Primeiramente suponhamos que os campos X e y pertencem a distribuição .D

r(x, }''') Oxl'' - D*X - IX, }''lVxy - <0xe, }''> - VTX <Dr(, X>

(Vxl'' - VTX - IX, rl) + (<D*e, X>ao(x, }'')e + a(lx, }''l)((ao(x, v) + o(lx, rl)e0

<Dxe, }'''>){

r({, x) 0(X - Oxe - 1€, XIv(x + À(x) - <-oe{, x>( - h(x) .-(x) - le, xl(vcx le, xl) - ,'-(x) + <oc(, x>c0

D

CAPÍTUI,0 3

Imersões lsométricassub-Riemannianas

Como já sabemos que a esfera S2"+1 ( o hiperboloide Q:"+i) é um vibrado principal sobre

C['"(Cm") com fibra S:. Sabemos também que n- :S?"+:--> C]P" ( a: Q?"+:--> C]H")nos dá uma submersão Riemanniana e portanto as propriedades geométricas de umasubmersão podem ser aplicadas para o estudo de uma hipervariedade M em uma forma

espacia[ complexa, isto é, podemos "]evantar" M para uma ]Ü em S2"+i( C?:"+i) e estudaras propriedades de M e tentar inferir resultados para M através dos resultados adquiridosde M. Para tal, recordemos um pouco de geometria diferencial para uma imersão em umespaco de formas e para uma submersão.

3.1 Hipervariedades

Estaremos interessados em imersõesisométricas de variedades sub-Riemannianas (M, .D, <, >)em formas espaciais comp]exas ]V(c) (curvatura holomorfa constante c) de modo queD, = TPM n i(TPM), sendo J a estrutura complexa de JV(c). Queremos então que 'Z)seja invariante pela ação de J. Algumas abordagens deste problema tem sido feita de va-riadas maneiras: podemos citar o estudo de estruturas CR e variedades Sasakianas 1221.

De modo mais rigoroso, dada uma variedade sub-Riemanniana (.IW, 2), (, <, >) de dimensão2n + l queremos imergi-la em JV(c) de dimensão 2(n + l)

.f : (M', D, {) --> -N(c),

de forma quedy(D) dy(TA/) n zla/(rM)l

36

3.1 Hipervariedades 37

Para análise do caso acima mencionado vejamos primeiramente o caso Riemanniano geral.

Seja -N uma variedade Riemanniana de dimensão n+l (dem.N = n + 1) com métrica <, >.Seja também / : M --> N uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana Mde dimensão n. Identificaremos M com sua imagem /(M). Para campos locais X e ytangentes a M e 77 normal a M, se denotarmos por D e D as derivadas covariantes de Ne M respectivamente, teremos que

DxyDxH

Dxl''' + Z,(X, }'''),7,

-B(X).

Sendo b denominada segunda forma fundamental e -B o tensor de Weingarten. Em l3jprova-se que b e -B são tensores de tipo (0,2) e (1,1) , respectivamente. Em l3j tambémse prova que b é simétrica e que -B é simétrico em relação a métrica Riemanniana.

Sejam -R e -R os censores curvatura de .V e M respectivamente. Para campos X, y eZ tangentes a ]W e v7 normal a .M teremos que

DxDvZ x{ vZ + Ó(y, Z),7}

OxDTZ + b(X, D*Z')? + Xb(y, .Z)q + b(y, Z)Dx,7ox-o-z - b(x .z)B(x) - lxó(r, .z) + b(y, oxz)l,7,

DvDxZ -0*tDxZ + Z,(X, .Z)q}

0r-0xZ + Z,(y, -0xZ)q + yÓ(X, .Z),7 + Ó(X, .Z)D*,7

.0vOxZ b(X, Z).B(}'') ll''Z,(X, Z) + Z,(y, 0x.Z)l,7,

olx,}'lz 0[x,,'] Z + Z,(IX, rl, .Z)q

Portanto, a relação entre R e R é dada por

R(X, }'') .Z R(X, }'')Z + b(X, Z)-B(y) Ó(y, Z)B(X)+ <R(X, }'')Z, q>,7,

3.2 Subversões 38

sendo

<-R(X, }''')Z, ,7> xz,(y,z) }''b(x, .z) + b(x, .o*z) b(X -0x.Z) - b(IX, rl, Z)

Para W tangente a M as equações acima nos dão as equações de Gauss

<R(X, y)Z, W> <R(X, }")Z, }r> + b(X, Z)Z,(y, W) b(x, w)z,(y, z) ,

e olhando para a componente normal temos as equações de Mainardi-codazzi

<-R(X, }'')Z, q> Xb(y, Z) - yb(X, Z) + Z,(X, -0rZ) - Z,(y, 0x.Z) Z,(IX, rl, Z)IXb(y, Z) - b(-0xy, .Z) - b(y, -0x.Z)l - ll'''Z,(X, .Z) Z,(-0rX, Z) - b(X, DvZ)l(-0xÓ)(y, .Z) (0*Z,)(X, Z)

<((-0x.B)(y) - (Dr-B)(X), Z>,

que serão bastante usadas em secções futuras. Algumas vezes no texto R(X, y).Z serádenotado por R(X A y)Z. Sendo A usado somente para indicar anel-simetria em X e y

3.2 Submersões

Sejam M eJV variedades diferenciáveis de dimenões n e n + l respectivamente e n]V --> M uma submersão ( dn- sobrdetora ). Sabemos que para todo z C M, a-':(aç) é uma

subvariedade diferenciável unidimensional de -/\r, que costumeiramente é denominada abrada submersão a- sobre z, ou brevemente, fibra sobre z. Aqui suporemos a-'i(z) conexapara todo z C À/. Supondo N uma variedade Riemanniana com um campo Killing {tangente às fibras da submersão a- poderemos munir M de uma métrica Riemanniana<, >h/. Em verdade, é suficiente impor

<d«(X,),dr(yg)>«.. Xy>«,,

para X,, yP C TgN. Cromo todo vedor tangente a M é da forma da(V) para algum ytangente a ]V e € é geradopor isometrias ao longo das fibras segue que acima temos umaboa definição. Em ]V temos uma distribuição 'X dada por

H, C Tpv : <"' Cp>

Um campo vetorial y será denominado horizontal se ele é a- relacionado com um campoX de M ( da-(y) = X o a-) e yP C H, para todo ponto p C ]V; neste caso y será denotadopor X e será denominado levantamento de X. Um campo X é vertical se dn-(X) = 0.

3.2 Submersões 39

Semelhantemente ao que foi feito para uma imersão, no caso de uma submersào a-também temos campos sensoriais associados, estes surgirão do lema abaixo.

Lema 3.2.1 Sejam .D e -D as agradadas coçar antes hemanniarzas de JV e .IW respecfáua-mente. Parca ca'mãos X e Y tangentes Q M seljam, X e Y os seus respectivos le'ua'rLtamentos,

0 <.X, y>x <X, }''>«. . «-;. . . . --''''''''------#

Íi2 IX, rl <lX, }''l,e>we

iii) DRY DxY é vertical;

iu) DkE. -..'l(X) é Ao,{«nf /

Demonstração: Como X = dn-(X) e y = dn(y) ã) é imediato. A verificação de ãà)também é direta

a«-(lx, }''l - <lx, }''l, c>xc) a«-(lx, }''l) - lx, }''l

Para provar íe{) notemos que X<y, Z> = X<y., Z> o n-. Daí, usando a fórmula de Koszulpala a conexão de Leva-Civita, teremos

2<-0.Íy, .Z> x<1''', z> + v<x, z> z<x, }''> - <x, ll'', .ãl> + <1'', lz, xl> + <z, l-k, }'''l>

(x<r,z> + }'<x,z> - .z<v,x><x,lv, .zl> +<r, l.z,xl> + <z, lx,}l>) .«-2<-Dxy, .Z> o a-,

logo -D.Íy e .Dxy são a--relacionados. (iv) é verificado pelo fato que € é um campo deKi[[ing unitário. []

A componente vertical de -D.fy denotaremos por a(X, y). Verifica-se club a(X, y)<..4(X ) , }'''> «, .

Lema 3.2.2 Sejam a e ,4 como no /ema anZer or, erztão

02 «(x, x) 0 P«« tod. X C qW),'

(ü) -, é «««, te«sor de ti'po (0,2) sobre o «,el dns fh«iões q-«e são leda.«ta«e«-tos;

3.z bubm ersoes

lüi) A é «,« te«-se« d. tipo (1,1).

Demonstracão: De rX. X} ser con bus teremos que

teremos então

..---'''''qk ...-''

40

nata,nte ao longo aas n

(<x , x><-o(x, x> + <x, .oex>2<.D(X, X>

-2<-0XX , e>-2«(X, X) .

Assim, (i) está demonstrado. Pala a prova de (ii) tomemos / c C"(M) e seja .f

fDxV+02VD.fx+zy + «(./'X + Z, }''){ + /«(X, }'')e + Ozl'' + «(Z, }'')e

.f o «-

da igualdade acima tiramos que

«(/x + .z, y)(x, }'')+,/«(x,}'') + «(z, y).

(íáá) pode ser concluída de ({ã) pelo fato que a(X, y) = <,4(X), y>.

Lema 3.2.3 Para campos X e y sobre iV temos a(X, y) = {<lX, }'l,(>

T) o rn n n a+ I' n r' n n'u:yUvB

D

l.x,}''l'''''''''''''''''''''''' .

lx, }''l + {«(x, r) - «GX)}e"""""'""''' '--r ,..,

lx, }''l + 2«(x, }''')e

portanto, 2a(X, y) = <lx, rl, {> D

Do lema logo acima temos que a está relacionado com a integrabilidade de 7{

3.2 Submersões 41

Teorema 3.2.4 Seja a- : .nr --> À/ uma submersão Riemannáana e X e y campos ueforáaãs

sobre M com leda'r\tü'm,entes horizontais X e Y respectivamente. Então as cur'uctturas

seccionais K de M e K de N satisfazem

K'(x, }'') - Ã'(-X, P') + ; <1-Í, ?)l, (>:

Demonstração: Lembremo-nos que Z).fy = .Dxy + a(X, y){. Portanto,

D.foto - .OxDTZ + «(y, Z)0X{ + {X«(}'', Z) + «(y, D*.Zl{,

D?DkZ DvOxZ + «(X, Z)-0Pe + {y«(X, Z) + «(X, .OxZl{,

0[X,?]Z - [x,r] + <lX,rl,{>-0eZ + «(IX, }''l, Z)e

Supondo W c qm) teremos

(-R(X, }'')Z, W> <R(X, }''')Z, H'>+«(}'', Z) < 0X{, W'> «(X, .Z)<D?e, W> <lx,}''l, >< cz, w'>

substituindo .Z = y e W'

- <ox{, y>y , supondo-os unitários e usando que a(X, }') <-ox y, (>

Ã'(x, y) K'(X, }'')+ «(X, y)«(y, X) + 2«(X, }'')«(}'', X)K'(X, }'') 3«(-í, ?)'

e isto encerra a demonstração. n

O teorema acima nos permite, por exemplo, relacionar as curvaturas seccionais da

esfera Sj?"+:com as do C]P". De fato, já sabemos que a- :Sl?"+i (3), que associaa cada z C Sr2"+la classe de equivalência lzl é uma subn-versão Riemanniana (ver capítulo1). Que { = íz é um campo de Killing é decorrente da expressão de seu fluxo g:

P.(;)

Resta-nos então descobrir a expressão que descreve a(X, y), para levantamentos de campos X e y tmitários em gCtP")

«(x, }'') <D.t y, e>

ÇDRJY , JÜ

3.2 Su bm ersões 42

l.Dx.JE. , JV )

;<-o.f,, J}''>

;<X, J9'> .Portanto, as curvaturas seccionais se relacionam pela fórmula

k(x, r) - A' + â'<.í, Ji;'>'Que, obviamente, coincide com o resultado já encontrado no primeiro capítulo

Consideremos duas submersões n-j : Nj --> Mj, para .j - 1, 2, com fibras unidimensi-onais conexas e duas imersões //v : .Ni -} J\i2 e /.\4 : Mi --> À/2 tais que as variedadesimersas possuem codimensão l e, além disso, o diagrama abaixo comuta e leva fibra emfibra difeomorficamente

N\ J!--» Nzn'i l n'2 l

M: -:!!L-} M2

sob estas hipóteses, temos que {Jv: = dFw((Jv:) e que dFw(X) = dFw(X). Teremos tambémque se 77 é um campo normal unitário, em uma vizinhança de um ponto z C JMt, então Õserá um campo unitário normal a Art.

Denotando por -Di e Z.)2 as derivadas covariantes de .Ni e .Aí2 respectivamente e porZ,)t e D2 as derivadas covariantes de Mt e À/2 respectivamente teremos que

-0'ÓF,., (.© aF«, (}''') @«,(D:X}'') + <.B(X), y>õ

dyw(Oji1'' + <.4(X), y>e) + <.B(X), y>Õ

aK«,(-o.kl'') + <.A(x), }''>{«.,) + <-e(x), r>õ

aj:.. çnaf~ÇE,~3 ay.«(-o:.i{.«.) + <-B((.«.), x>õ

E fácil verificar que

.'l, . dyw (X) . .,'l:(X) + <X, U>,7

..'!: (,7)

3.2 Submersões 43

para um certo U tangente a Mt

i.eln.a. 3.'2.5 No diagrama, aciuí\a, se o censor de Weigarte'n BN jor paralelo, e'r\tão BM e.42 comufam r' .BW o .42 :: .42 o .BW ).

DemnHstFarão

(w, <B«.X, y> . «-'''''''''''''-'--''''# .

e«,, <-B«.X, y>

e«., <-B. (X ) , }''>

<(D(«, -BW) (X) + -B«, (-0€~, X) , }''> + <-B«.X , -00.,, }''>

<-B«, (0a., X), y> + <-B«,X, DPe.«>--'''''''''---..--'= . . --''''''''------=

- <-B«,(.A,(X)), }''> - <-B«.X, .4,(}'')>

<-B«.-,'l, (X) , }''> + <.4,-B«.(X), }''>

<(.A, . -B«. -B«. . .4,) (X), y> . «-

sendo <, > não degenerada segue o ]ema. []

A partir de agora, no diagrama acima, iremos supor .nr2 " S2"+t e À42 " C]P". Mas,com mudanças convenientes em algumas das igualdades que aparecem, tudo continuaválido para os espaços de curvatura holomorfa constante. Para este caso existe um campo{ satisfazendo /( = ?7. Os próximos lemas e teoremas serão enunciados tendo em menteque o diagrama acima é satisfeito para as variedades que fazem parte do enunciado.

Lema 3.2.6 Se uma imersão ásométrica ./, de urna variedade Rãemann ana ]M de di-mensão 2n + l e«z um espaço projefÍuo como/e:«o CIP"+:(3) , é fa/ gue o tensos deWeinguüen B satisfaz JB -. BJ e

B:(X)-aB(X) X+<{,X>e p««tod.XC íq.W) e .Zg«m«/u«çã. a,

eTttão Q função cl é constante

Demonstração: do (lue fizemos acima segue que grau(w(e)) = /3€, sendo PPortanto

e« ({)

0x (g,.d(«, (e)) (0)Z.e (X) .

Do fato <Ox(g,«d(«,({)), }'> = <X, -Or(g«d(«,(é:))> tir«mos

XP<e, }''> +P<jB(x), v>

}''#<e, x> XP<e, }''>}'',6<e, X> + #<jB(}''') , X>2,6<J-B(X) , }''> ,

3.2 Submersões 44

para X e y em .D a igualdade acima se transforma em

P<J.a(x) , }''>

Se em um ponto p c M temos /i :# 0 seremos levados a 4-B,(X,)absurdo (usando o fato que .B'(X) -- a.B(X) X + <{, X>{ = 0).

0 e aí teríamos umD

Lema 3.2.7 Se o censor de l.'reázzgarfen .B de uma imersão {somélráca / de uma uar idadeRiemannãana M de dimensão 2n + l em um espaço CtP"+:(fÇ), sat l@z BJ = J.B eB'(X) - .«B(X) - X + <{,X>( «. f.d. X C íqW) e «.« ««.t-*' a, .nl". .

l,ensor de Weingarten B do leda'ntamento de f à esfera de raio r bati,slaz

.Õ'(.Í) - a-Ó(.f) -Í P«. f.do .f C é«M')

Demonstração: Vo]tando ao diagrama acima e fazendo ]Vt = M e tomemos X c !Z{À4i).Como todo y c éZ{.A42) pode ser escrito na forma y = .2 + <y, {x>ex, sendo Z c gÍIV:)teremos então

<.eR,(-.f) - aBw(.Í) - -.t, }''> < .ai, (-Í) aB,»(.Í) .f, .2>+<.aÊ.(-Í) a.B.«(X) - X, («,>

De .BW(O = <-BW(O,e>( = cv{ e da simetria de -BW segue clue <Bm(X),e -- a<X,e>Verifica-se também que <Bx((/v) , X> = -- <(, X>oa- e que isto nos leva a <BW(-BW(X)), Cw>

--a<C, X> o n- usando também que <Bw(X), Z> = <-Bw(X), Z> o « tem-se. ''''''''''''''''''''''''' .

B.«(X) + <-B«,(X), e«.>e"

-Bm (X) (<X, (> . «-)e«,.

Portanto,B:,(.k) - (<X, e> . «-){«, - (<X, e> . «-)-Bw(e«.),

consequentemente temos

<.eX,(.f) - aB«.(.k) - ..f, r> <.BÍ, (X ) aB«.(X) X + <X, e>e, y> 0

D

Teorema 3.2.8 Selva Jü/2 uma Aàpersuperl/]Záe do espaço projetàoo compZezo C]P" satis-fazendo as condições do diagrama Clama. Para que J e BI.,i cometem é necessário esu$cie'nte que BN selva paralelo.

3.2 Submersões 45

Demonstração: Suponhamos que J o -BW :: Bw o J. Sabemos então que existem cons-tantes a e k

Bâ(-Í)(.DPBx)(X) e o tensor de .ü6 se relaciona com o da esfera pelacomo (-0.Í-B.«)(y)

expressão abaixo

R(X, }'') k<y,z>x <..{, Z)>1''+ <-B«.(y), .Z)>B.«(X) <-B«. (X) , Z> -B«, (}'')

será válida então a igualdade

DkD?BN 0PD.fB«, - 0[X,?]Z , }'')-e«.(Z) - Bw(-R(X, }'')Z)kl<y, -B«.Z>X <..K, -Bw.Z)>y} + <.B«.(}'''), -B«,Z)>-B«,(X)

kl<i', .2>.e,«(-f) - <-k, .2)>n«,(};')} <-e«,(}'), .2>-eâ.(.Í)

<.e,« (..f) , .2> -aR. (Í) .

<-Bw (X) , -Bw Z> .B«. (}'')

Seja {ei(p); ...; e2.+i(p)} uma base ortonormal de ZPS?"+:. Podemos então estendê-laa uma base ortonormal em uma vizinhança de p de maneira que .Dej = 0 para J -

1, 2, . . . , 2n+l. Em .fl)?BW --Z)?Z).t.BW .[;llx,?jZ - 0 substituindo y := Z :: ej e usandonovamente que (Ow«txB/.,)(f') = (.O?-Bx)(.f) e também que Xji:l': -O-Í(Z).,-B«,))ej = 0teremos

2n+1 2n+l

}: -0.,(-0.f-B«,))ej - >1: n.,(-o.,.a,«)).Í - 0?=1 7=l

usando que tr(.B%) é constante e derivando covariantemente tr(-BÂ,) obtém-se

;?-Í(t'(-ei)) - t"(oç;oxB.«))-a«, + t'l(-o?.a«')(-o.t-e«,)l - opara y " X

trÇ.DXBN'f trÇDRÇDRBN)BN )

2n+l

E xÇDXÇ.DXBu)e3 , BNej )

Assim temos

kDB.,DBN)2n+l

}: t,(-o.,-B«.y2n+l

}l: <(o., (D., B.«)ej, .B«,e*>.j,k=i

0

e isto finaliza a demonstração D

3.3 0 ca.se sub-Riemanniano 46

Faremos agora alguns exemplos de imersões em .N(c).

Exemplos:

Em C"+' sejam S2+;= {(zi, . . . , z.+2) C (]"+' : )ll:;lliz 1%l' = R'} eS = {(zi, . . . , z.+:) c S +3: >1."+: 1%l2 = r:lz.+2 :} Claramente .g é uma hipervariedadede S#'+3. Também é fácil ver que a ação do Si sobre Sjlr+3deixa invariante S. Portanto,a projeção canónica de SP+3em C]P"+i projeta .g em uma hipervariedade S = a(S) deIP"+i. Usando as equações

n+2

>ll:tol' --n'n+l

}: l;JI' - ,'l;.*.:l:,tiramos que

S - {],] c cip"' ' : ':'- + . . . + ;«--:;"--: - fiÍ%, 1,«--,1 - Í'il-?}e daí S é difeomorfa a uma esfera. Este exemplo é facilmente generalizado. De fato, emS2n+3definâmos

n+2

}:lol' -,'( }: lql'), }:lql' - R'}.j=1 j=m+l j=t

Como S(n, m, r) é invariante pela ação de $i em S2'+3segue que sua projeçãoS(m, n, r) = a-li(m, n, r)j é uma hipervariedade de CI'"+:

m n+2

.g(n,«.,,) ...,;«-..,)cc"'''':>1:10I' }: lql')

Do teorema 3.2.8 e dos teoremas em jlll que caracterizam as hipervariedadeshomogêmas da esfera de raio r segue que as variedades S(m, n, r) do exemplo acima são

as únicas hípersuperfícies homogêneas do espaço projetivo comp]exo ( C]P"+i(3) )nas quais o tensor de Weingarten .B comuta com a estrutura complexa J.

3.3 O caso sub-Riemanniano

O caso de uma imersão isométrica / de uma variedade sub-Riemanníana (M, 'D, e, <, > emum espaço de forma complexa induzirá em Z) uma estrutura quase-complexa J e ?7 = J(éi)

3.3 0 caso sub-Riem anUlaDo 47

e podemos escrever para campos X, y c É21iW)

1.)xy

DxH

Dxy + b(X, }'') ;{

-,A(X) - «,(X){, ..'l(X) C D

De b(X, y) = <---Dx77, y> obtemos que

<.Oxy, ,7> + <y, 0x,7>

b(x, y) }''>(x), }''>+ «,(x)<y, {>

e «,(X) (X, {).

Proposição 3.3.1 -4 e w são censores de lapa r],]) e rO,J2, respecf lamente

Demonstração: É imediato. De fato, de w(X) = b(X,O segue que w é do tipo (0,1) edo fato que d(..K) = --Dxq -- w(X)e segue que .Á é um tensor do tipo (1,1). []

Também podemos concluir que o operador linear que para todo X C .Z) associa

,4(X) -- <X, e>(1 é simétrico. Como -DJ = 0,

DxJY - JDxY,Vxly + 0(X)h . J(}'') + <Dxy, e>e + b(X, J}''),7

a(.X)J . h(}''') - b(X, y)e + <-0xy, e>,7. (3.1)

Desta equação tiramos que

b(X, }') <OxJX e> e ó(X, J}'')

Dxy + 0(X)h(y) + Z,(X, J}'')e + Z,(X, y),7

(3.1) também nos mostra que

VxJ}'' + a(X)h . J(}'') }'' + 0(X)Jh(}'')

Para X, y C .D teremos que

<.4 . J(X), }''> ::: b(JX, }'')

<J . ..'l(X), }''> <-.4(X), Jy>

<(A. J + J . .,a)(x),}''> }'1,e>.

< DxXe>

3.3 0 caso sub-Riem anniano 48

Logo, se 'D é integtável, .4 o J = --J o .4. Assim, M é folheada e as folhas são

hipervariedades complexas de N e como -B o J = --J o B, elas são mínimas. Em verdade,se i\4t é uma variedade integral de D, teremos que o censor de Weingarten será dado por,4. Como ,4 é simétrico, existe uma base de auto-vetores para .4. Se ej é um auto-vedorassociado ao auto-valor Àj, teremos que .AJej = --J.4ej = J(.àjej) = Àj(Jej),portanto existe uma base de auto-vetores da forma 13 = {ei, . . . , e., Jet, . . . , Je.}, isto é,

a matriz de .4 em relação à base 6 é dada por

0

À.

0 -À.

logo, tr.4 = 0

Proposição 3.3.2 S©a .f : M --> JV(c) uma imersão {sométrãca de variedade sub-Rãernannáarza

ÇM,'D,g,e] de dimensão '2'n, -F \ em um espaço de formas complexas NÇcà de dimensiíocompl,e=a n-F \.. Suponha'm,os q'ue f é tal que j*Çn) -- j*ÇTM) n Jf*(TM). Então aseg\buda forma fundamental jca, determinada por

b(X, }'') e, }''> <JO(e, X>a(y) + «,({)0(X)0(}''')

e o censor de PreángarÉen por

B(X) -JDxe - 1<0((, X> - «,({)0(X)le

'y"

Dxq /-0x{ Z,(X, e)e,

«, (x) Z,(X, {) q, e> D€0,X>

< Jne{,x> + <-z,(e,0(-e),x>- <J-0(e, X> + «,(e)0(X),

Dxq JDxE, -} ÇÇJDt;t,, X) «, (e)o(x)) {D


Coro[ário 3.3.3 ovas condições da proposição Jogo acãrrza, se as tra#etórãas de { sãogeodésicos Riemannianüs de M, então ei. é ullla cur'u Lura pri'rtcipal de M

Demonstração: Se .De( 0 então .B(e) será dado por

B({) /o(C + l<-o(e, e> - «.,({)o(e)1€

«(e){

n

queDa integrabilidade da estrutura complexa do espaço de forma complexa .N(c) temos

IJX,J}''l lx,}''l Jrl) + J(IJX,rl).Portanto, como .Z) é invariante por J teremos para X e y em .Z)

IIX,J}'''l IX,Vlc D

e daí podemos escrever

a(IJX, J}''l - lx, rl)o(ljx, /}''l) (lx, rl).

Lembremos que sendo .D a derivada covariante Riemanniana de M temos -De r+h

Proposição 3.3.4 -Nas corzdáções acima teremos AIP Ao/omz07:/o e 7-lo anÉá-Ào/om07:/o

(h . J ..- . J ..-).

Demonstração: Sabemos que 0(lzx, irl) 0(X, y) para X, y C Z) e que

do(x, y) xo(}'') - }''o(x) o(lx, }''l)

Tomando X, y C 'D,

ao(x, r) ::: o(lx, yj),aa(JX, J}'') o(lax, J}'''l)<h . JX, /y> < (x), }'''>,

<h . JX, J}''> (x), }''>,

<(;h - h . J)(x), }''>

-o(lx, rl) (x, }''),

3.3 0 caso sub-Riemanniano 50

e portanto J o A h o J. Quanto a r temos que Z,(X, }') b(y, x),

ÇJDx(,Y) = ÇJDve,X),<Jh(x) + J.'-(x), }''> zh(r) + J,'-0''), x>,<(JA - hJ)(X), }'> <(J,- + rJ)(X), }'>

e portanto J o r :: 'r o J. n

Já vimos a relação entre -R e R para uma hipervariedade isometricamente imersa, masno caso sub-Riemanniano temos direções privilegiadas, a saber: .Z) e {. Podemos paracampos X pertencente a ÉZim) e y pertencentes a .Z) decompor -Dxy em uma componentepertencente a .Z), que denotaremos por Z)3ir, e em sua componente na direção de {, quedenotaremos por X;(X, y):

D.*l'' + k(X, y)e

De forma semelhante a feita para a segunda forma fundamental de uma imersão e para aderivada covariante induzida pelo espaço ambiente teremos que k será um campo sensorialde tipo (0,2) e D'r será uma derivação para campos em D

Proposição 3.3.5 Soam X e y campos em D. Então DÇJy = /DÇy e k(X,y)b(x, J}'') .

Demonstração: para campos X c giW) e y c D ( estamos identificando Z) com dy(D) )temos

JDxY/(-0xl''' + b(X, }'')Je)

/(nÇr + k(x, r)C + ó(x, }'')JQ

JDÇy b(X, }''){ + k(X, y)Je

DxJYOxJ}''' + b(X, J}'')J{DÇ Jy + k(X, J}'')e + b(X, J}'')J{DÇJ}'' + k(X, Jy){ + b(X, Jy)Je

da igualdade acima segue a proposição. n

Definindo -Ra"(X, y)Zentre R e Rl"

0'kDTyZ - 0ÇOVxZ Z)I" ,rlZ obteremos a seguinte relação

DxDvZ o.* {oT.z + k(v, z)c}

3.3 0 ca.se sub-Riemarlniarlo

n.*.oT.z + k(x, o{.z)e + xk(y, z)Dx(Ç Z+ k(y,Z)Dx(+(A(X,D{Z) +XA(y, Z))e

51

DvDxZ D*l-0çZ + A(X, .Z){}

.0« 0ÇZ + A(y, DÇ.Z)e + }''k(X, Z) Oxe

T çz + A(x, z)n*e+(k(v, nçz) + }''k(x, z))c

0[x,v']Z D&,rlZ + k(IX, }''l, Z){

R(X A }'')Z A }'')Z + k(X Z)Oxe - k(X, Z) Ove + <-R(X A }'')Z, {>e:

Portanto, tiramos que

<x(XA}'')z,C> (v,z) rA(x,z)+k(x,nTz) -k(r,nÇz) k(lx,rl,z)

<-n(x A }')z,(>(r,z) - }'k(x,.z)+ k(x,-oTz) k(v, nÇz) - k(lx,}'l,z)Substituindo -R(X, y)Z nas ecluações de Gauss obteremos

<-Ê(X, y)Z, P}''> (X ,'\ y)Z, W> + k(y, Z)<0xe, W'> - k(X, .Z)<D*e, W>+<R(X A }'')Z, {> <W:, {> + b(X, Z)b(y. }t'') - b(X, T'i'')b(y, Z),

que para H'' C .Z) nos dará

<-R(x, }'')z, n'> <-R'(X A }''')Z, H'> + k(y, Z)<-0xél, W> - k(X, Z) <D*e, }Ç'>

+ó(x, z)ó(y, m'') z,(x, w)b(y, .z)

e para W - € temos

<R(x, r)z, e> <R(x A }'')z, {> + ó(x, z)ó(v, e) - ó(x, 0z,(y, .z)

que será usado na demonstração da proposição a seguir.

3.3 0 caso sub-Riemarliliailo 52

Proposição 3.3.6 Z)ada uma imersão ásométrjca Ráemannãana, /, de (M, Z), e) ern N(c),

se ajçn) -- afçTM)n JafçTM), então a, cvruat'ürn de Rica na direção E, ÇRicÇ(]) é da,da.

Rãc(é:)(e)t,(J.A) llZA(e)11'

Demonstração: das equações de Gauss temos

<-R(X, y) .Z, (> <-R(X A }'').Z, é:> + Z,(X, Z)b(y, e) b(x, {)ó(y, z)

Tomando uma base {eil ,e2«} de .Z)

Rã.(e)2n

}: <-R(e, 'j)ej , e>2n

>l:{ <-ã({, ej)ej, e> + Z,(e, OZ'(ej, ej)

n. + «,(e)t,(-B) - ll-e(Qll:

ó((, e.jy}

e suficiente notar que .B / o (h + r), que r é anui-holomorfo e (lue 'r(O 0 D

Definição 3.3.7 1)enománaremos imersão sub-Ráemannãana somzétrãca de (M, .D, (, g)e'm, umü formei esta,ciat complexa. N(.cà Q toda 'imersão i,sométrica Riemanniana, de ÇM, ã)e'm NÇcà tal que afçn) Jaf(TM).

l.ema 3.3.8 Dadas duas imersões sub-Riemünniunas isométriccLS f e j em llli espaço

de forma co'mpte=ü NÇcà, se os teTtsores q'base-comi)ledos J e J ind' lidos em 'D por f ef resT)ectiuamente forevít ig'cais, e'ntão as seg'üvtdas jo'renas b de f e b de j serão ig'anis.

Demonstração: E suficiente notar que para campos X e y em éqw)

b(x, }'') <jDx{, }'''> <J-0€e, , X>0(y) «, (e)o(x)o( }'')

e

z,(x, }'') </Oxe, }'''> <aoee, , x>o(}'') «, ({)o(x)a( }'')n


Teorema 3.3.9 Soam M uma uaráedade suó-Ráemanniana de dimensão 2n+l e N(c) umesT)aço de forma co'moleza de dãmeTtsão complexa n-\- \.. Dadas duas imersões isométricas

sub-Rie7nanvtian,ns f e f de M em NÇcà, então elas T)osswem nma direção l)rin,cipal e'mcomum.

Demonstração: Denotaremos por B e -B os censores de Weingarten de / e / respectiva-mente. Como .BIP é simétrico, localmente existe uma base ortonormal {ei; . . . , 22«} de .D

que diagonaliza -B, isto é, uma base de autovetores. Sendo À.j o auto-valor associado a ejpoderemos escrever

.B(ek) = ,àkek + bÉe

B(0

.B(e.)

B(0

2n

:l: ü.* + z,*'

Olhando para as equações de Gauss teremos

(i) usando <R(ej, ek)ei, e> = 0 obtemos para .j # k :# Z :# .j

z,Çó* - z,i;z,j

(ii) usando que <R(ej, ek)ek,C> = 0 para .j # k obtemos

Hkbk - Z,EÓj

(iii) usando que <R(ej, C)eA, e> 0 para .j :# k obtemos

ó$z,* - z,I'j o (.j # k # z :/ .j);

(iv) façamos e2«+i = € temos então

<R(ej, eÉ)ek, ej> + b(ej, el)ó(.j, .k) - b(ej, e.j)b(eÉ, et)

<R(ej, ek)ek, ej> + b(ej,ek)Z,(ej,ek) b(e.Í, e.j)Z,(et, ek)


Somando os dois lados de l até 2n + l obtemos2n 2n 2n

(Ój):+ >1:(ó$r q('«+ }l:ÓE) - (8j)' +Àj .xj(Õ+>ll:.x*);k-l k-l k-l

lv) de -Dxy = DÇy+k(X, y)( tiramos que b(X, Jy) = â(x, i:r) para todos os camposX e y em .Z). Portanto, tomando .j e k em {1, . . . ; 2n} a igualdade abaixo é satisfeita

.&'.

Seja r o número de ój não nulos. Temos então vários casos, façamos a demonstraçãodividindo-a em casos:

CASO 1: r = 0. Se r = 0 temos B(2)) C Z).Como B é simétrico ( é uma direçãoprincipal de .B. Revisitando (u)

b(X, J(}'''))<-B(X), J(}'')>

Z,(X, J(}''))

<-B(X) , J(y)>

façamos X = €

<B({), J(}'')> - <B(e), J(y)><aC, J(}'')> <É(e),j(}'')>

0 (e), J(}'')>

como J é invertível, existe À tal que B(e) = Àe. Portanto ( é uma direção principalcomum aos tensores de Weingarten de / e ./'

CASO 11: r = 1. Neste caso, podemos supor bi # 0 e bj = 0 para .j ? 2. Em (ã), .j = lproduz para 1 :/ X; 7é Z :# l

ó{, o - ói:ó:

ói;':

logo, é verdadeiro que bÍ; = 0 para A,Z ? 2 e k # /. Mas, de ({áã), tomando-se k,Z 2 2 e

ókbz = cv.0 -- 0.0

0


Consequentemente, existe um índice m (2 $ m $ 2n) tal que b.k = 1 em (àã)

0. Usando .j 7n e

ÓTZ,: - z,}.o

expressão da qual tiramos que Z)T 0 e

B(e.)2n

ek + 0.ek-lÓZ'«

isto é, e. é uma direção principal comum a B e B.

CASO lll (r=2). Podemos supor bi e óa não nulos e bjk = le .j,Z ? 3 em(ã) se transforma em

0 para 3 .$ .j $ 2n. Para

z,}b:

isto é, b! = 0 para .j, Z ? 3 e .j # Z. Disto e de (áeã) tiramos bjbt = 0 para .j, 1 ? 3 e .j / ZPortanto, existe um índice m em (ã) (3 $ m $ 2n) tal que Z)« = 0. Fazendo .j = m em (á)

brb* - ót.o 0.Àk

0

o que nos dá -BÍ" :: 0 , -B2m = 0 e

B(e«)2n

ek + 0.(le-lb='«

isto é, e. é uma direção principal comum a -B e -B.

CIASO IV: r > 2. Neste caso podemos supor bt, ó2 e b3 não nulos.temos

Portanto, de ({)

bebi qb2 ::: 0 param )' 2

o que sugere a existência de funções p.Í para .7 - 1, . . . , 2n tais que

H ::: pjb: e q = pjZ,,


Também de (ã)

b?z,: z,{z,: - ',

b:(ó} P.bj)bz = pzbj para 3 $ .7 5; 2n.

De q = óli tiramos que p.j :: çbj para uma certa função q, daí obtemos

Uk = qbjbK

para 3 5; .j, k $ 2n. De (ã), substituindo / = 1, .j = 2 e k = 3

óiz,; - z,i':

ó; ,(qz,:b;).

Como b3 :# 0 temos Zgk := çbjóÀ; para l < .j :# k $ 2n.

SUB-CASO l (r = 2n Ser = 2n então q = 0. De fato, suponhamos que q é não nulaem algum ponto de M. Em (u) substituindo k = .j

2n

>1: 4(çójó.)[-]

2n

}: 4'Z,.)ÓJ

portanto >1,t;;;: Jilbz = 0 e daí temos ói = 0, o que é um absurdo. Multiplicando (ídã) porbz (Z :/ .j ), obtemos

c-b:bl -- bjbkbl = 7btt)jbK

clb:bl - t)iõ*i,. = c*qb* bjõ*b*.

Mas, usando que Z#k = 0 obtemos para k # .j # /

(btZ,l - bibe)bj = 0

concluindo que Z)i = cbz e ({áí) nos dá c2 = 1. Como Hk

qó* - z,*Àj

0, (áã) nos produz


logo tiramos que % = eÀj. Voltando a ({u) e fazendo q = cÀj encontramos

(.a â).Xj

Se ccv = â, então -B = c.B. Em verdade, já sabemos que q = 0 se l $ .j 7é X; 5; 2n, que

bj :: cbj e que q = cÀj. Portanto, todas as direções principais de -B em .Z) são direçõesprincipais de B. Se ca :# â então Àj =), daí teremos os postos (dimensões das imagens)de B e -B menores que 3. De Algebra Linear segue que

dàm(Ae,B + k«B) dá«.(Ae,.B) + d{«.(k«-B) dim(kerB n kerB) ,

sendo que dám significa dimensão e kart o núcleo de um certo operador linear 7'. Dafórmula acima e do fato que dám(ker.B) e dim(ker-B) são maiores que 2(n -- 1) tiramosque

dã«(k«B n k«B) ? l

Portanto, existe pelo menos uma direção principal comum a -B e B.

SUB-CASO 2 (2 5; r 5; 2n)

Neste caso podemos supor bi = 0. Vejamos que se supusermos bi # 0, substituindoJ - l em (í)

bi.bx; = 0 ::::> Z,{ = 0 (Z 2 2)

e substituindo .j = 2 em (íã{)

bebi;

--bibe

0

consequentemente óA; 0 para todo k ein {21 ; 2n}. Em (íá) substituindo A = l

ótz,, - o

como r 2 2, entào ót 0. Mas de (u)

2n

}1:4'z,l- ã'*z-l

substituindo k = l

o = .4ÀÀ; ::::> À. = o.Voltando a (iu) e fazendo .j = 1 produziremos bi = 0 o que é um absurdo. Temos assimque bt = bi = 0. Daí uma direção principa] comum a -B e B é boda por ei. []

3.3 0 caso sub-Riem anUlaDo 58

Em j141 é demonstrado que dadas duas imersões isométricas da mesma variedadeRiemanniana .A4 em uma forma espacial complexa, com curvaturas holomorfas não nulas,se os censores de Weingarten possuem uma direção principal em comum então as estruturascomplexas induzidas em M pelas imersões isométricas coincidem. Juntando esse fato coma proposição 3.3.2 e o teorema 3.3.8 teremos a proposição abaixo

Proposição 3.3.10 -Dadas duas ámersões suó-Ráemannáanas / e ./: de (.M, D, g, e) em um

espaço de formas compl,e=üs NÇcà, com cbr'Matuta hol,amorfa c 'não nula, então os tensoresde Weãngaten B e -B coáncãdem.

Teorema 3.3.11 Z)ada uma uar idade sub-Riem znn ana (.A4, D, <, >, {) e imersões ásométrácasshb-RiemanniaTt s j\ e fz de M em N" Çcà. Se os ten,fores de Weingctrten forem iguaise'ntão existe uma, isometria, q de N" Çcà tat q'ue f2 :: 'Qjt.

Demonstração: Usando R, para denotar o tensos curvature e JJ para a estrutura com-plexa ambos induzidos pela imersão /; em 7) e fazendo uso da equação de Gauss, tiramosque

<R: (X A y)Z, H''> A }'')Z, W'>

e fazendo Z = y e W = X teremos

<Ã(X, y)ZR: (X A }'')y, X>

<J:X, }''>'

<.R:(X ». y)y, X>

<J2X, y>'

se <JiX, y> = <JiX, y>. Da equação de Mainardi-Codazzi temos que <(-Z)d(X)--(Dx)({), Z/>li<JX, y> então Ji = Je. Neste caso, seja u um elemento do vibrado dos referenciais deM ( B(M) ) tal que ./::(u) possa ser completado a um referencial unitário de JV"(c). Éimediato que /2(u) também pode sei completado a um referencial unitário de N"(c).Portanto, existe uma única isometria @« : N"(c) --> .V"(c) tal que /2(u) = ©../'i(u). A

aplicaçãoo u --> ü. e constante. Com efeito, de /2(u) = @(u).fi(u) diferenciando teremos

d-L«(«)@: (X) + d-R/.(«)d©(X)

sendo -L.P(«) e R/i(u) as translações à esquerda e à direita respectivamente. Usando que asformas de conexão wJ são invariantes à esquerda temos que

«,' (dR/. («)dW(X) ) «,'(dF2(X) a-t«(«)ay: (X))«,' (x) - «,'(x)0


para .j = 1, 2, , 2m + 2, devido à hipótese ól b2 e portanto .f;w'"+2 /2+C02n+2

«,Z ('z-R.r. («) aa (x ) ) «,Z(dF2(X) a-L«(«)ar:(X))

«,Z(x) «,Z(x)0.

0Portanto temos que dR/:(«)dW(X) = 0 e daí d©(X)constante.

Portanto, a aplicação @ én

Teorema 3.3.12 Soam dadas uma variedade suó--RÍemann aria (M, D, e, <, >) e á rnersães

sub-RI,emanniünas isométricas fl. e fa de M em N" Çcà. Se trajo Kà :# Q então existe umaisometria. q de N" l.Jaà tül, q'ue ja -- 'Qf\.

Demonstração: É imediato que b({, O fica determinado por

ó(c, e) - ;;(iJ='©lT - -ni.({) - llJ ' h(Oll'}

e consequetemente podemos escrever

b(x, }'') - <JA(")+J'(X), }'''> -<Jh(e), X>O(}''')+ ;;(I;;-Ü { T - .Rã.(O -II J'h(O II'lO(X)O(}'') }

e pelo teorema anterior temos que existe uma isometria W tal que .f2 W o .f: D

3.4 0 caso sub-Riemanniano tridimensional 60

3.4 O caso sub-Riemanniano tridimensional

No caso de M ser homegênea no contexto sub-Riemanniano e tridimensional podemosfazer uso de algumas de suas propriedades especiais. Para este caso N(c) terá dimensão2 sobre C e, portanto, existirá uma base local { etl e2; e31 e4} de .Ar(c) tal que e2 :: Jei ee4 :: Je3. Podemos assumir que ei é um autovalor de r. De r o J = --J o 1- teremos que

{ei; e2} diagonaliza r. Do teorema 2.4.1 temos que

DE, -. 'r -t h

com h : TM 4 Z), r : TIV --> .D e r({) = 0. As representações matriciais de r e A emrelação a base acima são dadas por

a 0 0 \ / 0 P «: \

0 a 0 l ho o o / \ o o o /

Portanto, as representações matriciais de Z,){ e .B são dadas por

h-

#0

-#

0 (; -P'al :;)B

Podemos então escrever as seguintes formas de conexão, supondo que {0t; 02; 031 04}base dual de {eil e21 e31 eó} e

e a

w1l ® .: + «,Í '8 ',.

Então

«,jl p0' + «:a3

«,g .«0' + «:03

Da ortonomalidade de {eil e21 e3} e lembrando que ea :: € temos

Oe: ® e, +«,il ®{De: ® .: +«,j ®e

D{ ® e: +«,g® e:.

Pelo Teorema 2.4.1 decorre que

Oxe- + 0(X)h(e:) + <Dxe,, {>{

«,?(X)., + «,f(X)C 03(X)P.: + «,:l(X)e(«,? - #0S) ® e:.

VoeiVxet

Vei

3.4 0 caso sub-Riemarlniano tridimensional 61

T)p fnrm n nn álncrn t.pmnq

Ve2 - («,{ + p0;) ® e:

Ve-se assim que 77il := wJ p03 e 774 :: w4 +#03 são as formas de conexão sub-Riemannianasde M. Para os campos ei, e2 e € teremos

[.: , .:][.,,e][e, .:]

I'iei + I'2e2 -- 2#{,I'ei ae2 + a2C,

aei + I'e2 + aiC

Da homogeneidade de .A4 segue que todos os coeficientes são constantes e portanto cv, P, aie a2 são constantes. Em termos das constantes de estrutura podemos escrever as formasde conexão Riemanniana e sub-Riemanniana

«4 1':0: + 1'20: - (1' + #)0;

I'iOi + I'202 -- 1'03

Como I't, I'2 e I' são constantes teremos

d77:l = 1'idos + I'2da2 -- I'd03

Relembrando da secção 2.3 que k = dv?J(ei,e2), loi = d771(ei,e3) e m2obteremos as seguintes relações

aO4 (e,, e;)

-(I'iy -- (I'2y - 2pr'al'i+l'2l'+atl'

I'tl'+ I'za +l'a2.

As equações de Gauss para o caso de uma imersão isometrica sub-Riemanniana emN'(c) nos dá

<R(X, }''')Z, W'> <R(X, }'')Z, W> + b(X A y. Z A W).

Pata a base {ei; Jei; e31 Je3}, sendo e3 usado para denotar e, teremos

<-R(e- , e:)e:, e- >

l-R(e: , .,)e, , {><R(e: , e).: , e,><R(e: , e).: , {>

c,

0,

0,C

4'

3.4 O caso sub-Riemanniano tridimensional 62

usando o fato que

.Ê(ej, ek)ez - ;jl<ek, ez>ej -- <ej, ez>ek + <Jek, ez>Jej -- <Jej, ez>Jek + 2<e.Í, Jek>Jei}.

Como a segunda forma b já é conhecida podemos determinar b(ej A ek, ez /\ e«) paraj, k, Z, m variando de l a 3.

b(.: A e,, e, A .:) b(e:, e,)' Z,(e:, e:)Z,(e,, e,)

<-JO..e, e2>' -<-JO..e, e:><-JD.:e, .:>(h(e:)+ .-(e:),e->:<(e:) + ,-(e:), e:><h(e:)+ .-(e:), e,>

a' P'

b(e: A .,, e: A {) b(.:, e,)Z,(e:, e) Z,(e:, Ob(e,, .:)

.«<JA(e), .,> - <Jh(e), e:><Jh(e,), e:>

aat+Pa2

b(e: A e, e: A e,) Z,(e:, e-)b(e,, e) Z,(e:, e,)Z,(e:, e)

l3a\ -- cxaz

b(e: A e,( A e:) Z,(e: , ey - b(e:, e:)ó({, O

«: - PZ,({, e).

Como as formas de conexão Riemannianas w=1 e ug são conhecidas, bem como a forma deconexão sub-Riemanniana v74 e levando em considereação que as "constantes" de estruturasão constantes poderemos calcular explicitamente o censor curvatura de M.

Uns cálculos simples, mas trabalhosos, levam-nos às expresões de R(el, e2)e2 e deR(e: , C)e:

R(e: , e,)e, («' 3#' + k)e: + 2(P«, al'2)(

3.4 0 caso su})..Riemanniano tridimensional 63

R(e:, e)e: - «:P+ al': - I',I' + «:l')e: +(a' + «,I': -(«:y)ePortanto, voltando às equações de Gauss teremos

GI) <R(e:,e,)e:,e:><R(e-,e:)e,,e:> - b(e: A e,,e, Ae:)

c12 k :: c -- a2 + a2

k := c+ 4P2 -- 2a2

G2)<R(e:,e,)e,,e><R(e:,e,)e,,{> -ó(e: A.,,e,AO

2(#«: - al',) #«, + a":

a(ai + 2]'2) = 3/ia2

G3) <R(e:,{)e:,e,>(.:,{)e:,.:> -b(e: A{,.: Ae,)

a2a -- aiÕ + al'i -- I'2l' + ail' = aa2 -- #ai

cvl'i I'2l' + I'at := 0

G4) <-R(e:,e)e:,e>(e:,e)e:,(l> - b(e: A{,e: A{)

a' - «,I': - («:)'

a: +«:r:+(«,y(«:): - P«,(e) + ;1

Antes de vermos quais são as equações de Mainardi-Codazzi vejamos qual a expressão deb em relação aos l-formas 0i, 02 e 0. Sabemos que

b(X, y) e, }''> - <J-D({, X>0(}'') + ;(e)0(X)0(y)

usando a representação matricial de -B chega-se a

b - pé?iG)0i --cvOi6)Ou+a,0i f? a02®0t+/302®02 --a:02(80+a,0®0t a:0(802+s(e)0e)0

e portanto podemos calcular as derivadas covariantes de b nas varias direções:

C

-i - (":p + p"(on

(O.: b) (., , e: ) -b(-0..e,, e:) - ó(D.:e:, e,)

-«,:l(e:)ó(.:, e:) «,$(.:)Z,(e:,{) - «,il(e:)ó(e,, e:) «,?(e:)b(e,,e)

--l'i/3 + /3a2 + I'i# -- aai

pCL2 -- CECL'\.


De forma análoga

(O.,b) (e: , e: ) -2(aF: + #«,)

(O..Z,)(e, , e,) 2(al': - #«:)

(-o.,z,) (.: , .,) #(«: «,)

In.:Z,) (e, , O «,I': + #«,(e) + «:a - P'

(.o.,ó) (.: , 0 -«:l', #«,({) + /3' - aa,

l-o.: ó) ({, .,) a' + #w(C) + «:P - I':«,

( OeZ,) (e: , e,) («,)' («-)'

Estamos aptos a escrever as equações de Mainardi-Codazzi

MCI) <R(e:,.:),7,(> ó)(.,,{) -(D.b)(e:,{)

«:(I': + a) + «: (I', + a) + 2P(P + «,({))

MC2) <-R(e:,e:),7,e:> Z,)(e,,e:)(-0.Z,)(e:,e-)

3#a, + a(2F2 «:)

MC3) <-R(e:,.,),7,e,>(.O.:b)(e,, e:) -(O.Z,)(e:, e:)

2al': + P(a: - 3«:)

MC4) <-R(e:,e)q,e,> .b)({,e:) -(Deó)(e:,e:)

.«' -- #«,(e) -+«:# I':a2+(«:y(«:y

Passemos à análise dos casos nos quais ( gera um fluxo geodésico. Neste caso teremosZ.)(e = 0 e como consequência ai = a2 :: 0. Substituindo os valores de ai e a2 nas equaçõesacima obteremos o seguinte conjunto de equações


(i) k = (h): - (I'2y 2/3F;

lii) k = c+ 4P2 2a21

(Üi) al':

(i«) I':l' - al':

(«) a' - P«,(e) - Í

(«i) P(P +w(e))

(«Ü) al',

(«Üi) al':

(ix) a' - #«,(e) Í

Ainda com esta restrição existirá diversos casos para analisarmos. Passemos então àanálise desses casos:

l P = 0 (D é integrável) Substituindo #

conjunto de equações0 nas equações acima obteremos o seguinte

(i) A -(i':): - (i',y;

(ii) k = c 2a2;

(Üi) al',

(i«) I',r al':

(«i) aF,(«ü) .«I':

l.i P = 0 e a = 0, isto é, .Z) é integrável com torção nula . Neste caso, teremos

I'i :: I'2 :: 0 , k = 0 e c :: 0. Portanto, podemos escrever os colchetes daseguinte forma

[.:, .:][.,,(][e, .:]


Logo concluímos que se 1' = 0 então M = C x ]R e se 1' :/ 0 então M = -8(2)(o grupo dos movimentos rígidos do plano Euclidiano).

l.ii P :: 0 e a # 0, isto é, .Z) integrável com torção não nula. Neste caso uma análisenas equações de Gauss e Mainardi-Clodazzi nos mostram que: I'i = 1'2 :: 0,k :: 0 e c > 0

[.: , .:][.,,(][e, .:]

I'ei ae2aei + I'e2

Neste caso fazendo uma mudança de base ./:i !!!;liga obteremos

[/: , b][Â, {]

[e, /-]

0

(1' .«)/:

(a + I')/2

Então M = C x ]R produto semi-direto da álgebra abeliana C por IR ou ogrupo Euclidiano -E(2) ou o grupo dos movimentos rígidos do plano hiperbólico,dependendo da relação entre cv e I'

11 - /3 # 0. O caso de contacto

ll.i - /3 / 0 e a 0 ( co«tacto sem torção)

ll.i.l - Contacto sem torção e 1' :: 0. Para este caso uma análise nos mostra quek :: I'? -- I'g < 0. Portanto, de k = c + 4/32 segue que c $ --4/i2 <0

[.: , .,][.,,e][e, .:]

I'iet + I'2e2 -- 2#{

Se I'i = 1'2 :: 0 então A = 0 e o grupo correspondente é o Grupo deHeisenberg -H3. Se I't # 0 e/ou I'2 # 0 então Jk/ = ..'1(1) a) 1{ , sendo .A(1)

usado para denotar grupo afim da rega real.


ll.i.2 - Contacto sem torção e I' :# 0

I'i := 1'2 := 0, k := 2/31' e

Então I' = k/2# e

[.: , .,]

[.,,(]#

'®':k

2P''[e, .:]

Comparando com o segundo capítulo teremos as seguintes casos

ll.ii - P :# 0 e a # 0 Contacto com torção não nula. Neste caso uma análise nasequações de Gauss e Mainardi-Codazzi nos dão I'i :: I'2 = 0 e I' = .&

2B'Portanto, escreve-se da seguinte forma o colchete da base ortonorma] {ei; e21 (}

jei,e21 = 2P(

je2,€1 :: --:;Hei -- ae2

[{,.:] - ~.: á.:.Podemos supor a e /3 positivos. Temos então três casos que são mostradosna tabela abaixo e foram classificados em l51 e tratados de uma forma maisgeométrica em l2l:

k C k > O c > --4/32 $U(2)k-O c :: 4/j2

k < O c< 4P2 $u(1,1)

caso k C l k > 2cvP .> -4#(#+ a) SU(2)

11 [il iió c (# + a) E(2)111 0 < Ã; < 2a/3 .: < -4P(/3 + a) su(1, 1)

3.5 Imersões isométricas de S: em N(.c) 68

3.5 Imersões isométricas de # em N(c)

Primeiramente trataremos o caso de imersões da esfera de raio r (S:) em C2 , C]P2 e C]H2

Imersão de S3 em úl'2

Sr3 esta naturalmente imersa em C2. De fato, por definição

.q - {(«:, «,, «;,««) c m': «? + «: + «g + «Í - ,:}.

E suficiente então definir .f da seguinte forma: façamos zl :: zi + {z2 e z2 = zs + iz4 , eportanto podemos identificar Sr3 = {(zl, z2) C C2 : ziã + z2Õ = r2} e finalmente definir

/(«:, «:, «;, «.) - (,:, ,:).

Um cálculo simples nos mostra que se definirmos o como sendo a um forma complexadada por

u = zidzi + ã2dz2 + zid21 + z2dã2,

teremos (lue no ponto z = (zl, z2)

TzSl} C' : «.,;(«)

Daí teremos que .ft = !(--,õ, â) e /3 = }(zi,z2) são vetores tangentes à esfera. Como

--ã/a é normal à esfera Sa a distribuição holomorfa .Z) é dada por

D(;) a.f: : a c C}

Podemos tomar o seguinte referencial ortonormal {/i,/2 = {/i, ./:3} e {w, --Íw, 0} o co-

referencial associado. Como neste caso z7 o vedor normal é dado por ?7 = !(zi, z2)

;l(a;:,a',)

:(0: e' ./: + 0' ® /2 + "3 ® /3)

Sendo {ei; e2} a base canónica do C2, poderemos escrever

/: (-Õe: +ãe,)u d;: +,:d,:)

.Ü - .:(,-e:+;,.,)q- ;(ãd;:+ãd;,)

3.5 Imersões isométricas de S: em N(c) 69

'#l

dF3

-;(,:d4 + ;,ã) ® +/--;(Õdã - ãdã) ® /3T' r'

-;(-,: , + ;,d;,) ® .f: + -;(& ,: + Õd;:) ® /3r' r'

'Fi; 1

-=0 ® /i - :ã ® /3

1 ;:W ® /l + -=ó ® /3

e logo tiramos que

du

Z-- u b. Ür2ã

r

E fácil verificar que 0 restrita ao espaço tangente à esfera é uma l-forma real . escrevendou :: 0i + ã02, sendo 0i e 02 formas reais, teremos

d l

d02

9-=02 /\ 0r9

.=0 AOir9

.=0i A 0uT

e logo as equações podem ser reescritas como

.zo: + =? . o' + e A "

.zo' + :l . o: + :g- A ,

ao:+ p.o: ::g- ,'xo'

expressão da qual tiramos que wg :: =i1:0t e w] :: !02 e portanto

D( = L0' ® f~ -- \0~ ® f2.

3.5 Imersões isométricas de S: em N(c)

Podemos então calcular a representação matricial de D{

-o/:c - -;o:UO/2 ' ';/2

n/,( - :o'UJ/: ' ;/-

representado por

Um cálculo simples nos leva a k :: $

Imersão de Sl} em CP''(:ê):

Antes de começarmos imersões em C]P2 relembremos que

Si --> Ss --> C]P2

é uma vibração de Hopf. Sendo z = (zi, z2,z3) as coordenadas usuais do

Z;Ss = {« C C; : Re<z, u> = 0}.

A distribuição .Z), é obtida tomando o núcleo da 1- forma complexa

w; :: zidzt + z2dz2 + z3dz3.

A esfera Sl} pode ser imersa em C]P2( 4 ) da seguinte forma: Seja S a hiSi deânida por

.g ,;,,;3)eS%:8'':+%;, %;;}.

Podemos projetar, por motivos já exp]icados, S em C]P2( 4 ) e obter uma hipervaried

S de CI':(]$)

S , ;,, ,;)l c Cjp:( :) : 8';: + a;: ©;,

h-

Oehée portanto r

C3 teremos1'

pervariedade dei'va.ri

ade

70

3.5 imersões isométricas de S: em NI.cÜ 71

Portanto, definindo / : Sr3 --.> S% por

.R,:,,J - :(;:,.,,teremos uma imersão isométrica de Sr3 em S%. Daí / = q' o / nos dá uma imersãoisométrica de S: em C]P2(-â).

Começaremos o cálculo de r, h e b para esta imersão. Consideremos inicialmente oseguinte referencial unitário do CJ3 restrito a Sr5

À

Ã

À

(-©, 8', 0)

s(.:, .,, -i-);(': , ', , «),

sendo a uma constante dada por asatifaz

'Êf r2. Sabemos que o referencial {/i, /2, /3)

d/:d/2

a.h

«,i®.À +«,?®./L+«,il®.À«,] ® .Ã + «,g ® .Ã + «,g ® ./i

«,jl ® .Ã + «,g ® ./b + «,g ® .ã

para certas l-formas wÍ, temos então usando os resultados da primeira seção a derivada

covariante -Õ do C]P2(]#)

0/i0/2

(«,i «,:) ® /: + «,? ® /2

«,:l ® /: + («,: - o!) ® /2

Restrito à esfera S% temos que d/2 $d/s e consequetemente

t«ã «g t«g «{ - f«}Denotando por {0i; 02; 0S]. o referencial dual a {/i; /2; /3} e por {ei; e21 e3] a base canónicado C3 poderemos escrever

d/i : (-'% e' ': + .H ® e,)

(3õ' + .i®) ® /: /2


d/2 : ,: ',.:+';: ',',(âo ® /: -- Çl:;o' -- ÉoD ® /2 ''" q,"' + =oD ® .&

d/s -;(d,: ® ': + 'Z', '8 ',

(.ioD ® .f: -- qlÉ;o' -- =oD ® /2 ''" G;"' -- ;:aD ® /3

Definindo 0 ã(;%0' + i0;) poderemos escrever para as formas de conexão

«{«j: -á$-0 ug

podemos escrever

0/l

D/2

í1lÇo /:+( %F')®/2

á 0: /:+(-à0)®/2

imersão da esfera é dada por .D = {p./:i-J(/2)

âa: / +o®

-;l;o: ® (i/:) + (-o) '8 '7

(í/i). Temos assim tudo que necessitamos

A distribuição holomorfa 2) destavoltando a notação ?7 = /2 e (l -

p € C}. Dai

e disto tiramos que -D( = ;%0i (D

a representação matricial de -De

para calculei

D.f.e

Dif.E,

e dai concluímos que r = 0 e

h. oarR


Além disso Z)((, {) = <Z)ev7, {> = --é?(e) = ;% :# 0. Temos então pelo teorema anterior que

qua[que outra imersão da esfera Sr3 em C]P2(é) ta] que b({, {) for não nu]o diferirá desta

imersão por uma isometria de C]P2o$). Em verdade, b(e, {) :# 0 implicará no traço de hnão-nulo , portanto, podemos aplicar um dos teoremas de rigidez.

Imersão de Sr3 em Cm2(li$')

Relembremos que À(z, w) = ziüi+z2ü2 z3üs, Qsa = {z C C;e que

h(;,;) }

s:

é uma vibração de Hopf. Sendo z = (zi, z2, zs) as coordenadas usuais do Ca teremos

{« C C; : h(z, «) + h(«, ,) 0}

a distribuição .D, é obtida tomando o núcleo da 1- forma complexa

u, := 2i'dzi + z2dz2 -- z3dza

esfera Sr3 pode ser imersa em ([lIH2( 4 ) da seguinte foi'ma: Seja S a hipervariedade de Q%definida por

2

.g , ;:, ;;) C Qsx : ,:q- + ,,6 - liiÍ-i-?';&}pode verifar-se que esta hipervariedade em Q: é invariante pela vibração de hopf. Assim

sendo, podemos projetá-]a em CiU'(iig) e obter uma hipervariedade S de C]H'( 4 )

s - {l(':,',,,;)l c cm'(];): n'': +%,, ' -n'+'}Portanto, definindo / : Sr3 ---} Q5n por

Ã;:, .J - .lp:, .,,teremos uma imet'são isométrica de Sr3 em QÕ . Dai /

isométrica de Sl} em C]H2( 4 ).

Tomemos o referencial unitário do Cs restrito a S

n- o f nos dá uma imersão

Â

À

À

l-z,,z-,o)

3p: , ;,,:);(': , ;, , «)


sendo cl uma constante dada por atemos

rJ?2 + r2. Sabemos que para o referencial {./:i , ./2, /3}

d/id/2

d/3

«,i®.Ã +«,?®.À +«,?®./i«,: ® .Ã + wj ® ./b + «,j ® .Ã

«,] ® .Ã -.p «,ã ® ./b + «,â ® ./i

temos então usando os resultados da primeira seção a derivada covariante 1) do CIH2( 4 )

.Õ.f: «,:) ® /: + «,? ® /2

.Õ/2 ' ": 'a /: + («,: «,g) ® /2

restrito à quádrica Q% temos que d/2 ad/3 e conseqüetemente

«8 - f«g «$ - }«ã «3 - f«}.

Denotando por {0il 02; 03l} o referencial dual a {/i; /2; /3} e por {etl e21 e3} a base canónicado C3 poderemos escrever

; (-'% e' e: + dí2Í ® e:)

(âõ' - ;õo ® .r:

d/:

;"*«

d/2á w,: « .: -- ';: « ':

(Sono/:+Çl;;o' $oD®/2 ($0' aD®/3

d/3 iw, ',.: --';:®',

(ioD /:+ÇIÊo:-=oD®/2 (='' ;-"D * .Ü

Definindo 0 .= í(;%f?' l d3), poderemos escrever para as formas de conexão

«{"::

-ío «,:l

-d$" «:

3.6 Imersão isométrica de Q: em N(c) 75

usando a igualdade acima teremos

-õ/: - i1lálo /:+( Sp')®/2

bf, - i'!ào''' ®f*-t t-io)®j,2) será dada por .Z) = {p/i : /z C C}. Daí, por analogia ao caso da imersão da esfera de

raio r em CIP'(é), faremos 77 = /2 e € ' J(/2)

.õ,z - J:o:®.f:+a®(

.õ{ - ;%0:®(e/:)+(-0) e''7

e disto tiramos que .D{ = -- ;%0: (8 ({/i). Temos assim tudo que necessitamos para calculara representação matricial de Z,){

D/.e

Dií.e = -iiE,ft

e daí concluímos que r = 0 eâ l0 1

Como tr(-B) = b((,O = <-Õa,(1> = 0({) = t :# 0 outra imersão da esfera Sl} emC]H2( 4 ) diferirá desta por uma isometria de C]H2( 4 ).

3.6 Imersão isométrica de Q? em .N(c)

Imersão de Q? em (t:m'(â-):

A imersão da quádrica Q: pode ser obtida da seguinte forma: Sabemos que

TzQ: = {u C C; : ReZ,(z, u) = 0}

e que a distribuição 'Z) é obtida tomando o núcleo da 1- forma complexa

coz :: --2odzo + IZidzi + 22dz2.

Seja $ a hipervariedade de C?sx definida por

S ,':, ;,) C QóX : -%;. + q';:2

3.6 Imersão isométrica de Qsr em N(c) 76

podemos projetar, por motivos já exp]icados, S em C]H2( 4 ) e obter uma

S de Cm:(]#)hipervariedade

s - {l('o, ;:, ,,)l c cm:(iib') : %;o + g'.: «'}

Portanto, definindo / : Q: ----> QsR por

Ã,:, ,J - .i(.., ,:,teremos uma imersão isométrica de Q: em Q%. Daí /

isométrica de Q: em C]H'(:&).

Começaremos o cálculo de r, h e ó para esta imersão. Consideremosseguinte referencial unitário do C3 restrito a S

;(,. , ': , ~); (q', 2o , 0)

a , r'.à('. , ': , i)

no / nos dá uma imersão

inicialmente o

Ã

Ã

À

sendo a uma constante dada por a = d7'2 -- R2. Sabemos que o referencial {/i, /2, /3}

pode ser estendido a um aberto de C3. Neste caso temos

a./b - «,8®.Ã+«,.l ®.Ã+«,g®./ia.À - «,? ® ./b + «,i ® .Ã +«,f ® .Ã

a.À - «,g ® .ã + «,4 ® .À +«,g ® .Ã

temos então usando os resultados da primeira seção a derivada covariante D do Clfl2( 4 )

.õ./: «,j) ® /: + «,il ® /2

Õ/, ® /: + («,! «,:) ® /2

restrito à quádrica QL temos que d/2 ad/o e conseqüetemente

«,g - f«,8, «.,j - t«,g, «,4 = f«,i.

Denotando por {0t; 02; a3} o referencia] dual a {/i; /21 /3} e por {eil e21 e3] a base canónicado C3 poderemos escrever

d.Ã - -;(d«.®'. +';: ®.:)

3.6 Imersão isométrica de Q3r em N(cà 77

(=0: + ;;aD ® .6 + (;0D ® ./: -' ql:;0' + =0D ® /2

d/: ; (M: e' ': + &. ® .:)

.iÕ: ® /o(áê: + .IP) ® .f: 3i: ', /2

d/2 s( ;: ®.: +',, ®.,)

(:Ça' + SoD ® /o -- (3aD ® .f: + Çli;o' + $oD ® /2'

Definindo 0 á(;%0: + é0') poderemos escrever para as formas de conexão

«{«j: -i$o «,8

e logo temos

iSo ® /. + (-:@') ® /2

í;lo: /:+(-Ía)®/2-.Z) desta imersão da qüádrica é dada por .Z) = {p./'i= ia e ( = -- JÇfa]

.õ,z - ;l;a: /:+o {

-õe - -;:a:®({/:)+(-a) 6''7

--;%a: ®(á/t). Temos assim tudo que necessitamos parade -De

-o./::

0/2

A distribuição holomorfaDaí voltando a notação ?7

e disto tiramos que D( ::a representação matricial

calcular

o/.e

Dif.E,

e dai concluímos que r = 0 e

«-1:

3.7 Imersão isométrica de H3 em N(.c) 78

Além disso ó({,O = --<-D€77, (> = 0({) = $ #: 0. Temos então pelo teorema anterior que

qua[que outra imei'são da esfera Sr3 em C]P'( 4 ) ta] que Z)(e, O for não nu]o diferir desta

imersão por uma isometria de C]P2( 4 ).

3.7 Imersão isométrica de -/73 em .N(c)

[mersão de -H3 em C]H2( 4 )

Fixada uma base {/ol /i; /2} de Ca sejam b : C3 x C3 ---> ([J3 a forma sesqui]inear dadapor

b(,, .«) ,:Ü: + ã(.oÜ, - ;,üo)

e SU(2, 1) = {T : C: -+ C; : T é G..linear, det(7') = 1 e ó(Tz,7'z«) = b(z, w) para todos

z,w C C3}. Em SU(2, 1) o sub-grupo G definido por

G { c su(2, i) : r(/:)Em C3 deíinamos

H'; (1, ,:, ;,) c C; : b(,, .)

.17S é uma subvaiiedade de C2. A distribuição holomorfa de -Zl3 é dada pelo espaçocomplexo gerado por a -- á2t11€;. O grupo (; age em r/3 da seguinte forma

G x H3 --} Ha

(T, z) -+ Tz

De resultados anteriores sabemos que

:'c,,'RIe que -ü3 B (]?. Mudando abafe / = {/o;./i;/2] para a base e dada por eo

ei :: ./:l e e2 :: {:l:i8a, então o grupo G se escreve na nova base como

b+{/2«ã '

0 0lZ 1 0

22 lZ 'ã2 :,'c . ,'nlG

3.7 Imersão isométrica de Hs em N(.c) 79

Í/ i+4 {z {(«+ l,ID \ lC'-ll $ 1 â. l:.CCe «cnl-

l.\ {(«+âl,I') {z i-il,l:+{«/ JPela forma como chegamos ao grupo G é imediato que ele deixa invariante o hiperboloidecomplexo Cl?? :: {zoeo + zlel + z2e2 : zo2o + zi2i + z222 :: --r2}. De fato, é suficienteverificar que --gozo + zt2i + z222 e zi2t + á(zo22 z22o) diferem apenas pela mudança de

base feita acima. Como reo c Q: sua órbita O(reo) pela ação de G estará contida em Oli

2

}(« + âl,I'

{,r(eo) : T c 6'}

{,o-.--lf-;«,;,i(«--g,i c:Uma imersão de / de -H3 em CIH2, usando a idetificação de C]H2 com o disco D2, é dadapor

0(«o)

O(,eo) z c C, z c ]R}.

f l Hs --} D2

/>, «) - ,Ç:í-r#f:m, ;111i/yl).

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