(IME) Se o número complexo é tal que , calcular o valor máximo de .

Solução do Coimbra (algébrica):

(I)

* Fazendo , com , vem:

* Note agora que foi colocado em função de . Note ainda que, como , então é máximo quando também for máximo. Assim, vem:

a)

b) Só existirá se o discriminante for positivo ou nulo, logo:

c) Sabendo da trigonometria que , o intervalo ao qual deve pertencer para satisfazer

a existência de é , destacado de preto na figura abaixo. Observe que o intervalo , destacado de

vermelho na figura abaixo, satisfaz a existência de , mas não a de . Note agora que, no

intervalo , a função dada por é monótona decrescente, o que nos

garante que seu valor máximo ocorrerá em .

(II)

(III) Como , vem:

(Obs.: implica em , e isto não pode ocorrer visto que está no denominador.)