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IAVE INSTITUTO DE AVALIAÇÃO EDUCATI VA1 1.P.

estões de Exames Nacio e de Testes Inter ,

1997-2 (10.0, 11.0 e

ÍNDICE

Apresentação . .. . . . . . . . .. . . . . .... . . . . . . .. .. . . . ... . . . .. . .. . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . .. . . . . 5

Itens de seleção .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . ... . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . .. . .. .. . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 7

Geometria no plano ........................................................................................................ 8

Geometria no espaço ...................................... ............................................... ................. 11

Cálculo combinatório. Problemas de contagem ............................................................. 17

Triângulo de Pascal. Propriedades das combinações ...................................................... 21

Binómio de Newton ........................................................................................................ 23

Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace .................................................................. 24

Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades .................... 27

Probabilidade condicionada ........................................................................................... 29

Funções exponenciais e logarítmicas .............................................................................. 33

Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy .................................... 40

Derivadas .................................................................................... .................................... 55

Funções Trigonométricas .................................................................................... ............ 71

Complexos ....................................................................................................................... 79

Itens de construção . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . 89

Geometria no plano ........................................................................................................ 90

Geometria no espaço ..................................................................................... ................. 94

Cálculo combinatório. Problemas de contagem ............................................................. 105

Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace .................................................................. 106

Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades .................... 114

Probabilidade condicionada ........................................................................................... 116

Funções exponenciais e logarítmicas .............................................................................. 123

Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy .................................... 131

Derivadas ...................................................................................................................... .. 136

Funções Trigonométricas ................................................................................................ 153

Complexos . .............................................. ...................................... .................................. 177

3

Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Itens de seleção

Geometria no plano 186

Geometria no espaço ............... ........... ....................................................................... 188

Cálculo combinatório. Problemas de contagem ......................................................... 192

Triângulo de Pascal. Propriedades das combinações ................................................. 195

Binómio de Newton ................................................................................................... 196

Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace ............................................................. 197

Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades ............... 200

Probabilidade condicionada ....................................................................................... 201

Funções exponenciais e logarítmicas ......................... ................................................ 203

Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy ............................... 206

Derivadas . . . . ............................ . . . ........ ......................................................................... 214

Funções Trigonométricas ...... . . . .................................................................................. 220

Complexos ........................... . . ............................... ...................................................... 226

Itens de construção

Geometria no plano 232

Geometria no espaço ........... ............................... ....................................................... 239

Cálculo combinatório. Problemas de contagem ......................................................... 263

Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace ............................................................. 264

Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades ............... 274

Probabilidade condicionada .................... .................................. . . . . ............................. 276

Funções exponenciais e logarítmicas ......................................................................... 282

Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy ............................... 291

Derivadas .............................. . . . . . . ....... ......................................................................... 299

Funções Trigonométricas ........................................................................................... 329

Complexos .................... . . . . .......................................................................................... 364

Formulário ............ ......... ................................ .. ...... ...................... .......................................... 380

4

Apresentação

Aos alunos

Esta publicação apresenta uma seleção de questões incluídas em exames nacionais e testes

intermédios.

Para facilitar a organização do teu trabalho, as questões estão agrupadas por temas.

É apresentada a chave de resposta para cada questão, acompanhada por uma breve justificação

da escolha correta, assim como propostas de resolução para questões que implicam a elaboração

de cálculos ou de justificações. Só deves consultar as soluções após teres tentado resolver as

questões.

Embora possas resolver as questões individualmente, sugerimos a possibilidade de trabalhares

em conjunto com um ou mais colegas. Colaborando com outros colegas, podes debater as

estratégias a adotar e avaliar a sua adequação à resposta pretendida. Podes também resolver

cada questão individualmente e depois comparar os teus resultados e processos de resolução

com os dos outros colegas.

Recomendamos-te que uses esta publicação ao longo do ano, sendo a resolução das questões

uma tarefa complementar de outras que realizes nas aulas ou em casa. Resolvendo as questões,

ficarás mais familiarizado(a) com as provas que irás realizar. Também perceberás que se torna

mais fácil consolidar o que já aprendeste, identificar as tuas dificuldades e fazer uma melhor

autoavaliação do teu trabalho.

A consulta atenta das propostas de resolução pode ajudar-te a compreender melhor como deves

resolver cada questão, além de te permitir orientar o teu raciocínio e melhorar a linguagem

utilizada nas respostas que implicam a expressão escrita, contribuindo para aumentar a tua

confiança nos momentos em que serás avaliado(a).

A resolução das questões ajuda-te a identificar as tuas dificuldades e a aprender com os teus

erros, o que aumentará as tuas possibilidades de êxito na realização de testes ou de exames

nacionais.

Nas questões em que são apresentadas propostas de resolução, estas poderão não esgotar todas

as possibilidades. Há outros processos alternativos igualmente válidos a que tu e os teus colegas

podem recorrer. Se isso acontecer e não te sentires confiante com a validade da resolução por ti

encontrada, pede ajuda a um professor.

Bom trabalho!

5

Aos pais e encarregados de educação

Como pai, mãe ou encarregado de educação, deve ter em atenção que esta publicação não se

destina somente à preparação para testes ou para exames nacionais nos dias que antecedem

a sua realização. Ou seja, esta é uma ferramenta de trabalho que deve ser consultada e usada

regularmente ao longo do ano letivo.

A resolução das questões proporciona momentos de verificação e de consolidação do que

se aprendeu. Serve também para identificar e diagnosticar, atempadamente, lacunas na

aprendizagem. Fazê-lo com a antecedência necessária, permitindo solicitar a intervenção

do professor e garantir a possível superação dessas lacunas, constitui talvez uma das maiores

vantagens de poder contar com esta publicação como auxiliar na aprendizagem do seu(sua)

filho(a) ou educando(a), prevenindo insucessos indesejados num momento formal de avaliação.

Aos professores

O conjunto de coletâneas que o IAVE agora publica, visa principalmente constituir uma ferramenta

de trabalho que complementa outros suportes de aprendizagem utilizados pelos alunos.

Tal como referido nas mensagens aos alunos e aos pais e encarregados de educação, são inúmeras

as oportunidades e os contextos de utilização desta publicação, dentro ou fora da sala de aula.

Reitera-se a importância de o professor, enquanto figura incontornável na formação académica

dos alunos, estimular a utilização regular desta publicação. Pode ainda ser realçada a opção pelo

trabalho colaborativo entre alunos, contribuindo assim para minimizar a eventual tendência

para um estudo predominantemente centrado na preparação para a realização de avaliações

formais, que, como sabemos, não constitui a estratégia mais adequada para uma aprendizagem

de qualidade, progressiva e sustentada.

A criação de hábitos de trabalho que levem os alunos a explicitar e a registar as operações

mentais desenvolvidas na procura da resposta correta ajuda a promover a metacognição e a

desenvolver uma consciência mais profunda das suas dificuldades e potencialidades. Do mesmo

modo, a valorização do erro como uma oportunidade para a reflexão e para a consolidação de

uma aprendizagem alicerçada num processo cognitivo mais rico constitui uma opção facilitadora

da integração de diferentes aprendizagens, do recurso a raciocínios críticos ou da reconstrução e

reutilização do que se aprendeu nos mais diversos contextos.

Muitos outros exemplos e sugestões de utilização poderiam aqui ser aflorados, mas, no essencial,

espera-se que esta publicação possa constituir um contributo adicional para a melhoria da

aprendizagem dos alunos, que é o grande objetivo de todos quantos participam, direta ou

indiretamente, no processo educativo.

6

Helder Diniz de Sousa

Outubro de 2017

ITENS DE

SELEÇÃO

Geometria no plano

1. De dois vetores p e q sabe-se que têm ambos norma igual a 3 e que p. q = -9

(p. q designa o produto escalar de p por q)

Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira.

(A) p +q = 0 (B) p - q = Õ

(C) p J_ q (D) O ângulo dos vetores p e q é agudo

2. Na figura, estão representados dois vetores, AD e AÊ, de normas 12 e 15, respetivamente.

No segmento de reta [AD] está assinalado um ponto B

No segmento de reta [ AE] está assinalado um ponto C

O triângulo [ABC] é retângulo e os seus lados têm

3, 4 e 5 unidades de comprimento.

. D

Indique o valor do produto escalar AD. AÊ +------- 15 -----+

{A) 108 (B) 128 (C) 134 {D) 144

3. Considere, num referencial o.n. xOy, as retas r e s, definidas, respetivamente, por:

r:(x,y)=(1,3)+k(2,0), kElR s:y = � x+l

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas retas (valor arredondado às unidades)?

(A) 37° (B) 39° {C) 41 o (D) 43°

4. Considere, num referencial o.n. xOy, a reta r de equação y = - � x + � Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1, 4)

Qual é a equação reduzida da reta s?

8

(A) y = 2x + 2

(C) y = -Zx + � 3

(B) y = -2x + 6

{D) y = 2x + �

ITENS DE SELEÇÃO

5. Considere a condição (x+1)2+(y -1)2:o;2 /\ x2'0

Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. xOy, o conjunto de pontos

definido por esta condição?

(A) (B) y

o X

(C) (D) y

o X

6. De um triângulo isósceles [ABC] sabe-se que:

y

y

0 X

X

• os lados iguais são [AB] e [AC], tendo cada um deles 8 unidades de comprimento;

• cada um dos dois ângulos iguais tem 30° de amplitude.

Qual é o valor do produto escalar AÊ. Aê?

(A) -3213

(B) -32

(C) 64

(D) 6413

9

GEOMETRIA NO PLANO

7. Considere, num referencial o.n. xOy , a circunferência definida pela equação

Esta circunferência intersecta o eixo Ox em dois pontos. Destes pontos, seja A o que tem abcissa

positiva.

Seja r a reta tangente à circunferência no ponto A

Qual é a equação reduzida da reta r?

(A) y =X+ 1 (B) y = x-1 (C) y = 2x + 2

8. Considere, num referencial o.n. xOy, o quadrado definido pela condição

O:<'.x:<'.4 li 1:<'.y:<'.5

(D) y = 2x-2

Qual das condições seguintes define a circunferência inscrita neste quadrado?

(A) (x-4)2+(y-5)2=16 (B) (x -4 )2 + (y -5 )2 = 4

(C) (x-2)2 + (y-3)2 = 4 {D) (x -2)2+(y-3)2=16

9. Considere, num referencial o.n. xOy, a região definida pela condição

(x+1)2+(y+1)2 :<'.1 /\ x+ y+22:0

Qual é o perímetro dessa região?

(A) ir+ 1 {B) K. + 1 2 (C) iT + 2

10. Considere, num referencial o.n. xOy, dois pontos distintos, R e S

(D) K.+2 2

Seja A o conjunto dos pontos P desse plano que verificam a condição PR.PS= O

(PR.PS designa o produto escalar de PR por PS).

10

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) O conjunto A é a mediatriz do segmento de reta [RS]

(B) D conjunto A é o segmento de reta [RS]

(C) D conjunto A é o triângulo [ROS]

(D) O conjunto A é a circunferência de diâmetro [ RS]

Geometria no espaço

1. Num referencial o.n. Oxyz, considere um ponto A pertencente ao semieixo positivo Ox e um ponto B pertencente ao semieixo positivo Oy

Quais das seguintes podem ser as coordenadas do vetor AB ?

(A) (-2, 0, 1) (B) (2, O, -1)

(C) (-2, 1, 0) (D) (2, -1, O)

2. Seja [AB] um diâmetro de uma esfera de centro C e raio 4 Qual é o valor do produto escalar CÃ. CE ?

(A) 16 (B) -16 (C) 4Vz (D) -4Vz

3. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma reta PQ

• O ponto P pertence ao plano yOz

• O ponto Q pertence ao plano xOy

Indique qual das condições seguintes define a reta PQ

(A) 3x + Sy + 4z = 0

(B) (x, y, z) = (3, 0, -4) + k(3,5, 0 ) , k E R

(C) X = 3 /\ y = 5 /\ Z = 4

(D) (x, y, z) = (3, 5, 0) + k(3, 0, -4) , k E R

3 X

4. Qual das condições seguintes define, num referencial o.n. Oxyz, uma reta paralela ao eixo Oz ?

(A) (x, y, z) = (7, 0, 0 ) + k(1, 1, 0 ) , k E R

(B) (x, y, z) = (1, 1, O) + k(O, 0, 7 ) , k E R

(C) (x, y, z) = (1, 1, 0) + k(7, 0, 0) , k E R

(D) (x, y, z) = (0,0, 7) + k(1, 1, 0) , k E R

y

11

GEOMETRIA NO ESPAÇO

5. Num referencial o.n. Oxyz, considere os pontos P(O, O, 4) e Q(O, 4, O)

Qual dos seguintes pontos pertence ao plano mediador do segmento de reta [PQ]?

(A) A(l, 0, 0) (B) B(l, 2 , O)

(C) C(2, 1 , O) (D) D(l, 0, 2)

6. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta 2

Sabe-se que:

• a face [ ABCD] está contida no plano xOy

• a aresta [ DC] está contida no eixo Oy

• o ponto D tem coordenadas (O, 2, O)

Os pontos de coordenadas (2, 2 , O ) e (O, 4, O) são vértices do cubo.

z

E

o X A

H

1 'D ·"--

/ /

Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices?

(A) ABC (B) ACG (C) BDH (D) BCF

7. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cubo.

• O vértice O é a origem do referencial

• O vértice A pertence ao eixo Oz

• O vértice G pertence ao eixo Oy

• O vértice E pertence ao eixo Ox

• H é o centro da face [ OGFE]

• Uma equação do plano que contém os pontos D, B e H

é x + y = lO

Qual é a medida da aresta do cubo ?

X

(A) 5 (B) 10 !CJ srz (D) lOVz

z

G F

e y B

8. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta r definida por (x , y, z) = (1, 2, 3 ) + k(O, O, 1) , k E R

12

Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta r ?

(A) (x y, z) = (1, 2, 3) + k(0, 1, 0 ) , k E R

(C) X = 2 /\ y = 1

(B) (x, y, z) = (0, 0, l) + k(l, 2, 3 ) , k E R

(D) X = 2 /\ Z = 1

ITENS DE SELEÇÃO

9. Indique qual dos pares de equações seguintes define, num referencial o.n. Oxyz, um par de planos perpendiculares.

(A) X + y = 3 e X + y = Ü

(B) -x + y - z = l e 3x + 2y + 2z = 2

(C) X = y e Z = Ü

(D) 2x + 2y + z = 9 e x - 3z = O

10. Considere, num referencial o .n . Oxyz, um plano a de equação x + 2y - z = 2

Seja f3 o plano que é paralelo a a e que contém o ponto (O, 1, 2 )

Qual das condições seguintes é uma equação do plano f3 ?

(A) X + 2y - Z = 1 (B) x + z = 2

(C) -x - 2y + z = 0 (D) X - y + Z = 1

11. Num referencial o.n. O;ryz, um plano a é perpendicular ao plano xOz

Qual das seguintes pode ser uma equação do plano a?

(A) Z = x + 2

(B) Z = X + y

(C) z = y

(D) y = 2

12. Num referencial o.n. Oxyz, considere a reta r de equação vetorial

(x, y, z) = (0, 1, 2) + k(3, 0, -1) , k c R.

A reta r

(A) é paralela ao plano xOy

(B) é paralela ao plano xOz

(C) é paralela ao plano yOz

(D) não é paralela a nenhum dos planos coordenados.

13


13. Sejam a e f3 dois planos perpendiculares.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) Qualquer reta paralela a a é paralela a f3

(B) Qualquer reta paralela à intersecção de a e f3 é paralela a f3

(C) Qualquer reta perpendicular a a é perpendicular a f3

(D) Qualquer reta perpendicular à intersecção de a e f3 é perpendicular a f3

14. Num referencial o.n. Oxyz, qual das seguintes retas intersecta os três planos coordenados (xOy, xOz e yOz)?

(A) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(l, O, O), k E R

(B) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(O, 2, O), k E R

(C) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(l, 2, O), k E R

(D) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(l, 2, 3 ), k E R

15. Num referencial o.n . Oxyz uma esfera tem centro no ponto C(2, 3, 4) e é tangente ao plano xOy Uma condição que define a esfera é

(A) xZ + yZ + zZ :S 42

(B) (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 4)2<::22

(C) (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 4)2 :S 3 2

(D) (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 4)2:S4z

16. Qual das seguintes equações define, num referencial o.n. Oxyz, uma superfície esférica tangente aos planos de equações x = 4 e y = O ?

(A) (x - 2)2 + (y - 2)2 + z2 = 4

(C) x2 + y2 + (z - 2f= 4

17. Num referencia l o.n . Oxyz, a condição (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 25 /\ x =y define

(A) uma circunferência. (B) um ponto.

(C) um segmento de reta. (D) o conjunto vazio.

14

ITENS DE SELEÇÃO

18. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica centrada na origem do referencial e cuja i ntersecção com o plano de equação z = 3 é uma circunferência de perímetro 8 Tr

Qual das seguintes é uma equação desta superfície esférica?

(A) x2 + y2 + z2 = 9 (B) x2 + y2 + z2 = 16

(C) xZ + yZ + zZ = 25 (D) x2 + y2 + z2 = 36

19. Considere, num referencial o .n . Oxyz, as superfícies esféricas definidas pelas equações x2 + (y - 2 )2 + z2 = 2 e x2 + (y - 3 )2 + z2 = 2

A intersecção destas superfícies esféricas é

(A) um ponto.

(C) o conjunto vazio.

20. Num referencial o .n . Oxyz, considere:

(B) uma circunferência.

(D) um segmento de reta.

• a esfera E definida pela condição x2 + y2 + z2 :S 4

• a reta r de equação vetorial (x, y, z) = (O, O, 2 ) + k(O, 1, O ) , k E lR.

A intersecção da esfera E com a reta r é

(A) o conjunto vazio. (B) um segmento de reta de comprimento 2

(C) um ponto. (D) um segmento de reta de comprimento 4

21. Na figura, está representado um sólido que se pode decompor no cubo [ ABCDEFGH] e na pirâmide triangular não regular [ Gl]K]

Sabe-se que:

• o cubo tem aresta 6

• o ponto l é o ponto de intersecção do segmento [ BK] com a aresta [ GF]

• o ponto ] é o ponto de intersecção do segmento [ DK] com a aresta [GH]

• o ponto G é o ponto médio do segmento [ CK]

Qual é o valor do volume da pirâmide [GI]K] ?

(A) 36 (B) 27 (C) 18 (D) 9

H J , , , / F E ,<..--+-

,-/-,''---"<'

6

A

. , ' , D (:::�'',,,

K

G I

e

15


22. Seja a um número real.

Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta s e o plano f3 definidos, respetivamente, por

(x, y, z) = (-1, 0, 3) +k(1, 1, -1) , kE R e 3 x + 3y + az = 1

Sabe-se que a reta s é paralela ao plano f3

Qual é o valor de a?

(A) -3 (B) 1 (C) 3 (D) 6

23. Num referencial o.n. Oxyz, considere um ponto P que tem ordenada igual a -4 e cota igual a 1. Considere também o vetor u de coordenadas (2, 3, 6)

Sabe-se que os vetores OP e u são perpendiculares.

Qual é a abcissa do ponto P?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

24. Considere, num referencial o.n. Oxyz, o ponto A, de coordenadas (1, O, 3), e o plano a, definido por 3x + Zy - 4 = O

Seja f3 u m plano perpendicular ao plano a e que passa pelo ponto A

Qual das condições seguintes pode definir o plano f3?

(A) 3x + 2y - 3 = 0 (B) 2 x - 3y - z + 1 =Ü

(C) 2x - 3y + z = 0 (D) 3x + 2y = O

16

Cálculo combinatório. Problemas de contagem

1. Uma sequência de algarismos cuja leitura da d ireita para a esquerda ou da esquerda para a direita dá o mesmo número designa-se por capicua. Por exemplo, 103301 é capicua.

Quantos números com seis algarismos são capicuas ?

(A) 729 (B) 900 (C} 810 000 (D) 900 000

2. Quantos números naturais de três algarismos diferentes se podem escrever, não utilizando o algarismo 2 nem o algarismo 5 ?

(A) 256 (B) 278 (C} 286 (D) 294

3. Considere uma turma de uma escola secundária, com oito rapazes e doze raparigas.

Pretende-se eleger o delegado e o subdelegado da turma.

De quantas maneiras se pode fazer essa escolha, de modo que os alunos escolhidos sejam de sexos diferentes?

(A) 96 (B) 190 (C} 192 (D) 380

4. Na figura está representado um círculo dividido em quatro setores circulares diferentes, numerados de 1 a 4

Estão disponíveis cinco cores para pintar este círculo.

Pretende-se que sejam respeitadas as seguintes condições:

• todos os setores devem ser pintados;

• cada setor é pintado com uma única cor;

• setores com um raio em comum não podem ficar pintados com a mesma cor;

• o círculo deve ficar pintado com duas ou com quatro cores.

De quantas maneiras diferentes pode o círculo ficar pintado?

(A) 140 (B) 230 (C} 310

2 1 3

4

(D} 390

17

CÁLCULO COMBINATÓRIO - Problemas de contagem

5. A Ana, a Bárbara, a Catarina, o Diogo e o Eduardo vão sentar-se num banco corrido, com cinco lugares.

De quantas maneiras o podem fazer, ficando uma rapariga no l ugar do meio?

(A) 27 (B) 72 (C) 120 (D) 144

6. Dois rapazes e três raparigas vão fazer um passeio num automóvel com cinco lugares, dois à frente e três atrás.

Sabe-se que:

• apenas os rapazes podem conduzir;

• a Inês, namorada do Paulo, tem de ficar ao lado dele.

De acordo com estas restrições, de quantos modos distintos podem ficar dispostos os cinco jovens no automóvel?

(A) 10 (B) 14 (C) 22 (D) 48

7. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze rapazes e oito raparigas.

Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes e cinco raparigas.

De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo?

(C) 12 X 8 X 52 (D) 12 ! X 8! 5!

8. A Joana comprou dez discos, todos diferentes, sendo três deles de música clássica e os restantes de jazz.

Pretende oferecer esses dez discos aos seus dois irmãos, o Ricardo e o Paulo, de modo que:

• cada irmão fique com o mesmo número de discos;

• o Ricardo fique com exatamente dois discos de música clássica.

De quantas maneiras o poderá fazer?

18

ITENS DE SELEÇÃO

9. Admita que tem à sua frente um tabuleiro de xadrez, no qual pretende colocar os dois cavalos brancos, de tal modo que fiquem na mesma fila horizontal.

De quantas maneiras diferentes pode colocar os dois cavalos no tabuleiro, respeitando a condição indicada?

(A) 8 x 8C2 64Cz (C) 8

10. Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores.

Supondo que participaram no torneio dez jogadores, o número de partidas disputadas foi

(C) 10! (D) 10 x 9

11. Numa caixa com 12 compartimentos, pretende-se arrumar 10 copos, com tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento pode ser arrumado apenas um copo.

De quantas maneiras d iferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa?

12. Quatro raparigas e quatro rapazes entram num autocarro, no qual existem seis lugares sentados, ainda não ocupados.

De quantas maneiras diferentes podem ficar ocupados esses seis lugares, supondo que ficam dois rapazes em pé?

(A) 3560 (B) 3840 (C) 4180 (D) 4320

13. Os códigos dos cofres fabricados por uma certa empresa consistem numa sequência de cinco algarismos como, por exemplo, O 7 7 5 7

Um cliente vai comprar um cofre a esta empresa. Ele pede que o respetivo código satisfaça as seguintes condições:

• tenha exatamente três algarismos 5

• os restantes dois algarismos sejam diferentes;

• a soma dos seus cinco algarismos seja igual a dezassete.

Quantos códigos diferentes existem satisfazendo estas condições?

(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80

19


14. Queremos colocar 6 bolas indistinguíveis em 4 caixas distintas, de forma que cada caixa contenha pelo menos uma bola.

De quantas maneiras diferentes podem as bolas ficar colocadas nas caixas?

(A) 4 (B) 8 (C) 10 (D) 12

15. Os três irmãos Andrade e os quatro irmãos M artins vão escolher, de entre eles, dois elementos de cada família para um jogo de matraquilhos, de uma família contra a outra.

De q uantas maneiras pode ser feita a escolha dos jogadores de modo que o Carlos, o mais velho dos irmãos da família Andrade, seja um dos escolhidos?

(A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 20

16. Considere todos os números que se podem obter alterando a ordem dos algarismos do número 12 345. Quantos desses números são ímpares e maiores do que 40 000 ?

(A) 18 (B) 30 (C) 120 (D) 240

17. Considere todos os números naturais de dez algarismos que se podem escrever com os algarismos de 1 a 9. Quantos desses números têm exatamente seis algarismos 2 ?

18. Considere todos os números ímpares com cinco algarismos.

Quantos desses números têm quatro algarismos pares e são superiores a 20 000 ?

(A) 54 (B) 55 (C) 3 x 54 (D) 4 X 54

19. Considere todos os números naturais de cinco algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5

Destes números, quantos têm os algarismos pares um a seguir ao outro?

(A) 24 (B) 48 (C) 72 (D) 96

20

Triângulo de Pascal. Propriedades das combinações

1. Uma certa l inha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos.

Qual é o sexto elemento dessa l inha?

2. O penúltimo número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 10

Qual é o terceiro número dessa linha?

(A) 1 1 (B) 19 (C) 45 (D) 144

3. A soma dos dois últimos elementos de uma certa l inha do Triângulo de Pascal é 31

Qual é o quinto elemento da l inha anterior?

(A) 23 751 (B) 28 416 (C) 31 465 (D) 36 534

4. No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma 2006ck

Quantos elementos desta l inha são menores do que 2006C4?

(A) 8 (B) 6 (C) 5 (D) 3

5. A soma dos dois primeiros elementos de uma certa l inha do Triângulo de Pascal é 13

Quantos elementos dessa l inha são menores do que 70 ?

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

6. De uma l inha do Triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois primeiros termos é 21

Qual é o maior termo dessa l inha?

(A) 169 247 (B) 175 324 (C) 184 756 (D) 193 628

21

TRIÂNGULO DE PASCAL- Propriedades das combinações

7. A soma dos três primeiros elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 121

Qual é o terceiro elemento da l inha seguinte?

(A) 78 (B) 91 (C) 120 (D) 136

8. A soma de todos os elementos de uma certa l inha do Triângulo de Pascal é igual a 256

Qual é o terceiro elemento dessa l inha?

(A) 28 (B) 36 (C) 56 (D) 84

22

Binómio de Newton

1. Quantas são as soluções da equação (x+ 1 )4 = x4 + 4x3 + x + 1 ?

(A) 1 (B) 2 (C) 3

2. Um dos termos do desenvolvimento de (ir+ e)" é 120ir7 e3

Indique o valor de n

(A) 10 (B) 12 (C) 20

(D) 4

(D) 2 1

3. Um dos termos do desenvolvimento de (x + 2 )5 é um monómio da forma k x3 , sendo k um número natural.

Qual é o valor de k ?

(A) 20 (B) 30 (C) 40

4. Do desenvolvimento de (x2 + 2 )6 resulta um polinómio reduzido.

Qual é o termo de grau 6 desse polinómio?

(A) 8x6 (B) 20x6 (C) 64x6

(D) 50

(D) 160x6

5. Um dos termos do desenvolvimento de ( ; + x )1º, com x #O, não depende da variável x

Qual é esse termo?

(A) 10 240 (B) 8064 (C) 1024 (D) 252

23

Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace

1. Considere um dado cúbico com as faces numeradas de 1 a 6, e um saco que contém cinco bolas, indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente: O, 1, 2, 3 e 4. Lança-se o dado uma vez e retira-se, ao acaso, uma bola do saco, registando-se os números que saíram.

Qual é a probabilidade de o produto desses números ser igual a zero?

(A} O 1 (B} lS 1 (C} 30 (D} 1_ 5

2. Dois cientistas, que vão participar num congresso no estrangeiro, mandam reservar hotel na mesma cidade, cada um sem conhecimento da marcação feita pelo outro.

Sabendo que nessa cidade existem sete hotéis, todos com igual probabilidade de serem escolhidos, qual é a probabilidade de os dois cientistas ficarem no mesmo hotel?

(A} 1_ 7 (B} 1_ 7 (C} � 7 (D} .§_ 7

3. A Maria gravou nove CD, sete com música rock e dois com música popular, mas esqueceu-se de identificar cada um deles. Qual é a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, um ser de música rock e o outro ser de música popular?

7 (A} 36 (B} 1_ 4 (C} 2 9

7 (D} 18

4. O João tem num bolso do casaco uma moeda de 50 cêntimos, duas moedas de 1 euro e três moedas de 2 euros. Retirando duas moedas ao acaso, qual é a probabilidade de, com elas, perfazer a quantia exata de 2,5 euros?

(A} 1_ 2 (B} 1_ 3 (C} 1 4 (D} 1

5

5. Um saco contém vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Ao acaso, extraem-se simultaneamente três bolas do saco e anotam-se os respetivos números.

Qual é a probabilidade de o maior desses três números ser 10 ?

24

ITENS DE SELEÇÃO

6. Sete amigos vão ao futebol ver um desafio entre o clube Alfa e o clube Beta. Três deles são adeptos do clube Alfa e quatro são adeptos do clube Beta. No estádio sentam-se na mesma fila, uns ao lado dos outros, distribuídos ao acaso.

Qual é a probabilidade de os adeptos do clube Alfa ficarem todos juntos e os adeptos do clube Beta ficarem também todos juntos ?

{A) 3 !x4! 7! {B) 2 X 3! X 4!

7! 2 ! {C) 3! X 4!

1 {D) 3 ! X 4!

7. Para assistirem a um espetáculo, o João, a Margarida e cinco amigos sentam-se, ao acaso, numa fila com sete lugares.

Qual é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro?

{A) 2x5! 7 ! (B) fil

7! {C) 1-7 {D) � 7

8. Lança-se quatro vezes consecutivas um dado com as faces numeradas de 1 a 6. No primeiro lançamento sai face 1 e no segundo sai face 2 . Qual é a probabilidade de os números saídos nos quatro lançamentos serem todos diferentes?

{A) 6 X 5 X 4 X 3 64 {B) 6 X 5

64 {C) 6 X 5 62 {D) 4 X 3

62

9. Uma certa l inha do Triângulo de Pascal é constituída por todos os números da forma 24CP Escolhendo ao acaso um número dessa linha, q ual é a probabilidade de ele ser 1 ?

1 {A) IT 1 {B) 24 1 {C) 25 2 {D) 25

10. Considere a l inha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais?

1 {C) 35C2

11. Escolhem-se aleatoriamente dois vértices distintos de um cubo.

Qual é a probabilidade de o centro do cubo ser o ponto médio do segmento por eles definido?

{A) _L 8C2 1 {C) 8T 4 {D) 8f

25

CÁLCULO DE PROBABILIDADES- Regra de Laplace

12. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um paralelepípedo retângulo.

Qual é a probabilidade de que esses dois vértices sejam extremos de uma aresta?

(A) 12 8C2

(B) 11_ 82

13. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um octaedro regular em que cada um dos seus vértices pertence a um dos eixos coordenados (dois vértices em cada eixo).

Escolhendo, ao acaso, três vértices desse octaedro, qual é a probabilidade de eles definirem um plano perpendicular ao eixo Oy ?

(A) 1_ 3 (B) 2 3 (C) 1_ 5 (D) 1_ 5

14. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ ABCDEF], cujos vértices pertencem aos eixos coordenados.

z A

Escolhem-se, ao acaso, três vértices desse octaedro.

Qual é a probabilidade de esses três vértices definirem um plano paralelo ao plano de equação z = 5 ?

(A) 1 (B) 4 6C3 6C3

(C) 8 (D) 12 6C3 6C3

e y

:F

15. Uma pessoa lança um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e regista o número da face que ficou voltada para cima.

26

Uma outra pessoa lança um dado com a forma de um tetraedro regular, com as faces numeradas de 1 a 4, e regista o número da face que ficou voltada para baixo.

Admita que ambos os dados são equil ibrados.

Qual é a probabilidade de, pelo menos, uma dessas pessoas registar o número 4?

(A) 3 8

5 (C) 12

(B) � 8

7 (D) 12

Definição axiomática de probabilidade

Propriedades das probabilidades

1. Um saco contém bolas azuis, bolas brancas e bolas pretas.

Tira-se, ao acaso, uma bola do saco. Sejam os acontecimentos: A: «a bola retirada é azul» B : «a bola retirada é branca»


(A) A e B são contrários. (B) A e B são contrários.

(C) A e B são incompatíveis. (D) A e B são incompatíveis.

2. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) A soma das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1 (B) O produto das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1 (C) A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1

(D) O produto das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1

3. Seja Q o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A e Q e B e Q). Sabe-se que: P(A) = 30%

Qual é o valor de P(B) ?

(A) 21 %

P(AUB) = 70%

(B) 40%

A e B são incompatíveis

(C) 60% (D) 61%

4. Seja E o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A e E e B e E) . Tem-se P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5

Qual dos números seguintes pode ser o valor de P(A U B) ?

(A) 0,1 (B) 0,4 (C) 0,6 (D) 0,9

5. Seja Q o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A e Q e B e Q). Sabe-se que P(A) = 0,3

Qual dos acontecimentos seguintes pode ter probabilidade inferior a 0,3 ?

(A) AUB (B) A U B (C) A n B

27

DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADES - Propriedades das probabilidades

6. Abre-se, ao acaso, um livro, ficando à vista duas páginas numeradas.

A probabil idade de a soma dos números dessas duas páginas ser ímpar é

(A) O (B) 1_ 3 (C) 1_ 2

7. Seja Q o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória.

28

Sejam A e B dois acontecimentos (A e Q e B e Q). Sabe-se que P(A n B) = �. Qual é o valor de P(A u (A n .8)) ?

(A) 1_ 5 (B) 1_ 5 (C) � 5

(D) 1

(D) 4 5

Probabilidade condicionada

1. Uma caixa A contém duas bolas verdes e uma bola amarela.

Outra caixa B contém uma bola verde e três bolas amarelas.

As bolas colocadas nas caixas A e B são indistinguíveis ao tato.

Lança-se um dado cúbico perfeito, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair o número 5, tira-se uma bola da caixa A; caso contrário, tira-se uma bola da caixa B.

Qual é a probabilidade de a bola retirada ser verde, sabendo que saiu o número 5 no lançamento do dado?

(A) 1_ 4

(C) l 7

(B) 1_ 3

(D) 1_ 3

2. Numa caixa há bolas de duas cores: bolas verdes e bolas pretas. O número de bolas verdes é seis.

De forma aleatória, extraem-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa.

A probabilidade de a segunda bola extraída ser preta, sabendo que a primeira bola extraída foi verde, é � . Quantas bolas pretas havia inicialmente na caixa?

(A) 4 (B) 5

(C) 6 (D) 7

3. Uma caixa 1 tem uma bola verde e três bolas amarelas.

Uma caixa 2 tem apenas uma bola verde.

Considere a experiência que consiste em tirar, simultaneamente e ao acaso, duas bolas da caixa 1, colocá-las na caixa 2 e, em seguida, tirar, também ao acaso, uma bola da caixa 2.

Sejam M e V os acontecimentos: M : «as bolas retiradas da caixa 1 têm a mesma cor» V: «a bola retirada da caixa 2 é verde»

Indique o valor da probabilidade condicionada P(VIM )

(A) O

(C) 1_ 3

(B) 1_ 3

(D) 1

llliJ Caixa 1 Caixa 2

29

PROBABILIDADE CONDICIONADA

4. Extrai-se, ao acaso, uma bola de uma caixa que contém vinte bolas, numeradas de 1 a 20

Considere os acontecimentos:

A : «A bola extraída tem número par»

B : «A bola extraída tem número múltiplo de 5»

Qual é o valor da probabilidade condicionada P(BIA) ?

(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4

5. Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras (as figuras são círculos ou quadrados e estão pintadas de branco ou de preto).

Para cada opção, considere:

• a experiência que consiste na escolha a leatória de uma das quatro figuras

• os acontecimentos:

X : «a figura escolhida é um quadrado»

Y: «a figura escolhida está pintada de preto»

Em qual das opções se tem P(XI Y) � � ?

(A)

(C)

OD

••

••

•D

(B)

(D)

eo

D li

00

li D

6. Admita que um estudante tem de realizar dois testes no mesmo dia. A probabilidade de ter classificação positiva no primeiro teste é 0,7, a de ter classificação positiva no segundo teste é 0,8, e a de ter classificação negativa em ambos os testes é 0,1

30

Qual é a probabilidade de o estudante ter negativa no segundo teste, sabendo que teve negativa no primeiro teste?

(A) 1_ 8 (B) 1_ 7 (C) 1 3 (D) 1_ 2

ITENS DE SELEÇÃO

7. Um saco contém um certo número de cartões. Em cada cartão está escrito um número natural. Tira-se, ao acaso, um cartão do saco.

Considere os acontecimentos:

A : «o cartão extraído tem número par» B: «o cartão extraído tem número múltiplo de 5 » C : «o cartão extraído tem número múltiplo de 10 »

Sabe-se que: P(C) = � e P(BIA) = i�

Qual é o valor de P(A) ?

(A) 1_ 5 (B) 1_ 5 (C) 1_ 3

8. Escolhe-se, ao acaso, um professor de uma certa escola secundária.

Sejam A e B os acontecimentos:

A : «o professor escolhido é do sexo masculino»

B : «O professor escolhido ensina Matemática»

Sabe-se q ue:

• P(A ) = 0,44

• P(A u B) = 0,92

(D) 2 3

Qual é a probabilidade de o professor escolhido ensinar Matemática, sabendo que é do sexo feminino?

(A) 1_ 5 (B) 1_ 6 (C) 1_ 7 (D) 1

8

9. Um saco contém nove bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 9. As bolas numeradas de 1 a 5 são pretas e as restantes são brancas.

Retira-se, ao acaso, uma bola do saco e observa-se a sua cor e o seu número.

Considere os seguintes acontecimentos, associados a esta experiência aleatória:

A : «a bola retirada é preta»

B : «o número da bola retirada é um número par»

Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A IB) ?

(A) 2 5 (B) 1

2 (C) 3 5 (D) l_ 4

31


10. Seja Q, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (A e Q e B e Q).

Sabe-se que:

• P(A)=0,2 • P(B)=0,3 • P(AnB)=0,6

Qual é o valor de P( AIB) ?

(A) 1_ 3 (B) 1 2 (C) 2 3 (D) � 6

11. Uma turma é constituída por rapazes e por raparigas, num total de 20 alunos.

Sabe-se que:

• ! dos rapazes tem olhos verdes;

• escolhido, ao acaso, um aluno da turma, a probabilidade de ele ser rapaz e de ter olhos verdes é 110

Quantos rapazes tem a turma?

(A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 16

32

Funções exponenciais e logarítmicas

1. Seja f a função de domínio [ � , � ] definida por f(x) = 4x

Qual é o contradomínio de f?

(A) [1, 4] (B) [1, 8 ] (C) [2, 4]

2. Para um certo valor de a E R considere a função f definida em ]a, +oo[ por f(x) = ln (x - a) Y

Na figura junta está representada parte do gráfico da função f

Ta l como a figura sugere, o gráfico de f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 4

Qual é o valor de a ?

(A) -3

3. Sabe-se que log2 a = �

(B) -2

Qual é o valor de log2 ( �) ?

(A) - 1 (B) -2

(C) 3

(C) -3

o

(D) [2, 8 ]

4 X

(O) 4

(D) -4

4. Indique qual das expressões seguintes é, para q ualquer número real a superior a 1, igual a a2+ Iog,3

(A) 3 a2 (B) 2 a3

5. Considere a função f definida por f(x) = ln (3x) ( ln designa logaritmo de base e )

(C) 3 + a2

Indique qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função f

(A) (e, ln 3 ) (B) (e, 1 + ln 3 ) (C) (e, e + ln 3)

(D) 2 + a3

(D) (e, e ln 3 )

33

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

6. Considere a função f definida por /( x) = ex+3

Indique qua l dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função f

(A) A (-3, 0) (B) B(ln 2, 2 e3 ) (C) C(-1, ln 2 ) (D) D(ln 5, 8)

7. Considere uma função f, de domínio R, definida por f(x) = ex+ a, onde a designa um certo número real.

O gráfico de f intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada 2

Indique o valor de a

(A) ln 2 (B) 2 (C) e2 (D) e + ln 2

8. Na figura estão representadas graficamente duas funções, f e g, definidas em JR+ por /(x) = log3x e g(x) = -2 + log3 (x2)

9.

34

y 1

o g

Os gráficos de f e de g intersectam-se no ponto I

Qual é a abcissa do ponto I?

(A) 6 (B) 7 (C) 8

Seja h a função, de domínio lR, definida por h(x) = ln (W) 2

(ln designa logaritmo de base e )

Qual das seguintes expressões pode também definir h ?

(A) IX (B) K 2 (C) K 4

X

(D) 9

(D) IX 2

ITENS DE SELEÇÃO

10. Indique o número real que é solução da equação ex-Z = Je

{A) 1_ 2

(C) � 2

(B) l 2

(D) l_ 2

11. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log3 ( 1 - x) :S 1

(A) [-2, 1 [ (B) [- 1, 2 [

(C) ]-ao, -2 ] (O) [-2, +ao[

12. De um número real x sabe-se que log5 (x) = 7r: - 1

Indique o valor de 5x

(AJ 25ir-1 (B) 5ir-1

(C) 5 ir (D) 5(71:- 1)5

13. Seja a um número real maior do que 1

Indique qual das expressões seguintes é igual a loga3 + 2 loga5

(C) Ioga 75

14. Sabe-se que o ponto P(l, 3) pertence ao gráfico da função f definida por


(A) -2 (B) O

(C) 1 (D) 2

35


15. Na figura abaixo estão representadas, em referencial o. n. xOy :

• parte do gráfico da função f, de domínio R definida por /( x) = ex

• parte do gráfico da função g, de domínio JR+, definida por g (x) = ln x (ln designa logaritmo de base e )

O ponto A é o ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo Oy e o ponto B é o ponto de intersecção do gráfico de g com o eixo Ox

y f

E g

o B X

Na figura está também representado um triângulo [ CDE]

O ponto C pertence ao eixo Oy, o ponto D pertence ao gráfico de f e o ponto E pertence ao gráfico de g

Sabe-se ainda que:

• a reta BD é paralela ao eixo Oy e a reta CE é paralela ao eixo Ox • AC = OA

Qual é a área do triângulo [ CDE] ?

(A) (e - l ) ln 2 2

(C) e(e - 2) 2

(B) (e2 - l) ln 2 2

(D) e2 (e - 2 ) 2

16. Seja x um número real positivo.

Qual das expressões seguintes é igual a e4lnx - lo2 Iogx ? (ln designa logaritmo de base e; log designa logaritmo de base 10 )

(A) ln x4 - log x2 (B) x4 + x2 (C) x4 - x2

36

(D) ln x4 logx2

ITENS DE SELEÇÃO

17. Sejam a e b dois números reais superiores a 1 e tais que b = a2

Qual dos valores seguintes é igual a 1 + logba ?

{A) 1_ 3 {B) ]_ 4 (C) 4

3

y

{D) 3 2

18. Na figura, está parte da representação gráfica da função f, de domínio R+, definida por f(x) = log9 (x)

P é o ponto do gráfico de f que tem ordenada � f

i - - · - � Qual é a abcissa do ponto P?

(A) l 2 (B) 2

o

(C) 3 (D) 9 2

19. Sejam a, b e e três números reais tais que a E ]1, +oo[, b E R+ e e E R+

Sabe-se que logab =e e que Ioga /C = 3

Qual das expressões seguintes é equivalente a Ioga /bXC?

{A) e+ 3 (B) e - 3

20. Para certos valores de a e de b (a > 1 e b > 1), tem-se logab = 2

Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de logba + Ioga lb?

(A) � + /2

(C) 1_ 2

(B) - 2 +12

(D) l 2

21. Sejam a e b dois números reais tais que 1 < a < b e logab = 3

(D) _f_ - 3 2

Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de Ioga (a5 x o/b) + alog"b ?

(A) 6 + b {B) 8 + b

(C) 6 + ah (D) 8 + ah

X

37


22. Seja a um número real positivo.

Considere o conjunto S = {x E lR: ln (e-x - a):". O}

Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto S ?

(A) ]- ln (1 + a ), - ln a[ (B) [- ln (l + a), - ln a[

(C) ]-oo, - ln (l + a)] (D) [- ln (l + a), +oo[

23. Seja b um número real.

Sabe-se que log b = 2014 (log designa logaritmo de base 10 )

Qual é o valar de log (100b) ?

(A) 2016 (B) 2024

(C) 2 114 (D) 4028

24. Para certos valores de a e de b (a > l e b > l) , tem-se 1ogba = �

Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de Ioga ( a2 b) ?

(A) l_ 3

(C) 2

(B) � 3

(D) 5

25. Sejam a e b dois números reais superiores a 1, tais que a = b3

38

Qual dos valores seguintes é igual a log0 b + logb a ?

(A) .±_ 3

(C) lQ_ 3

(B) 1

(D) 3

ITENS DE SELEÇÃO

26. Seja f a função, de domínio [-3, 3 ], cujo gráfico está representado na figura.

Tal como a figura sugere, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras.

Seja g a função, de domínio R+, definida por

g(x) = lnx

Quais são as soluções da equação (!o g) ( x) =O ?

(o símbolo o designa a composição de funções)

(A) .1 · e2 e , (B) e ; e2

(C) 1 ; e (D) .1 ; e e

27. Seja a um número real superior a 1

Qual é o valor de 4 +Ioga (5lna) ?

(A) ln(10e) (B) ln (Se4) (C) ln (Se2)

y

2

X

,- ---+

(D) ln(20e)

39

Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy

1. O valor de lim (i + 1-)2" é

n -+oo n

(A) 1 (B) +oo

2. Considere a função g definida por g (x) = Z x -15

X -

Indique qual é o valor de lim g(x) x_,_1 + (A) O

3. lim ln x é x--o+ X

(A) -oo

(B) 2

(B) O

4. Indique o valor de lim log2x x_,.o+ ex - 1

(A) O

(B) 1 (C) -00

(D) +oo

(CJ re

(C) -oo

(C) 1

5. Na figura está representada parte dos gráficos de duas funções f e g, contínuas em lR

40

O gráfico de f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 3

Indique o valor de lim g(x) x-3- f(x)

(A) O

(B) 1

(C) -oo (D) +oo

(D) e2

(D) +oo

(D) +oo

y

o X

ITENS DE SELEÇÃO

6. O gráfico da função f, de domínio JR, definida por f(x) = 0,1 + 0,2eº·3x, tem uma única assíntota.

Qual das condições seguintes é uma equação dessa assíntota?

(A) y = O (B) y = 0,1 (C) y = 0,2 (D) y = 0,3

7. Na figura está a representação gráfica de uma função f, da qual a reta t é assíntota.

y f t

o 2 X

O valor de lim [f(x) - (x - 2 )] é X-++oo

(A) -ao (B) O (C) 1

8. Na figura está representada graficamente uma função f, de domínio JR+

y f

(D) +ao

A reta s, que contém os pontos (-2, O ) e (O, 1) , é assíntota do gráfico de f

Indique o valor de lim f( x) x_,_+oo X

(A) -2 (B) O (C) 1 2 (D) 1

41

LIM ITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

9. De uma função f, de domínio JR+, sabe-se que a reta de equação y = -2x + 1 é assintota do seu gráfico.

Qual é o valor de lim /( x) ? x-+oo

(A) -oo (B) -2 (C} 1

10. Na figura está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio [O, 5 [ U ]5, +oo [

As retas de equações x = 5 e y = 3 são as únicas assintotas do gráfico de h

Indique o valor de lim h(x) x-+oo 3 +e-x

(A} O (B} 1 (C} 5

(D) +oo

y3·········� o 5 X

(D) +oo

11. Seja f uma função de domínio R e seja g a função definida por g(x) = f(x + 1)

A reta de equação y = 2x + 4 é a única assintota do gráfico de f

Qual das seguintes é uma equação da única assintota do gráfico de g?

(A} y = 2x + 6 (B} y = 2x + 4 (C} y = 2x - 4 (D) y = 2x - 6

12. De uma função h, de domínio JR-, sabe-se que a reta de equação y = 2 é assintota do seu gráfico.

Qual é o valor de lim h (x) ? X---+-oo ex

(A) +oo (B) -oo (C} o (D) 2

13. Seja g a função definida em lR por g(x) = x5 - x + 1

42

O teorema de Bolzano-Cauchy permite-nos afirmar que a equação g(x) = 8 tem pelo menos uma solução no intervalo

(A) [-1, O] (B) (O, 1] (C} (1, 2] (D) (2, 3]

ITENS DE SELEÇÃO

14. Seja f a função de domínio ]-4, +oo[ definida por /(x) = x + log4 (x + 4)

Em qual dos intervalos seguintes é possível garantir, pelo teorema de Bolzano-Cauchy, a existência de pelo menos um zero?

(A) [-3, -2] (B) [-2, 0] (C) [0, 4]

15. Seja h uma função contínua, de domínio lR

Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio de h ?

(A) lR (B) lR\{O} (C) JR-

16. Na figura está parte da representação gráfica de uma função g, polinomial do terceiro grau.

A função g admite máximo relativo igual a 3 para x = -1 e admite mínimo relativo igual a -2 para x = 1

Qual é o conjunto dos valores de b para os quais a equação

g(x) = b tem três soluções distintas?

(A) ]-oo, 3 [ (B) ]-2, +oo[

(C) [-2, 3 ] (D) ]-2, 3 [

(D) [4, 12]

(D) ]O, 1[

y

. .. 3

1 - 1

17. Considere a função f definida em lR+ por /(x) = lnx (ln designa logaritmo de base e ).

Seja (un) a sucessão de termo geral Un = ( 1 + � r

Qual é o valor de limf(un) ?

(A) +oo

(B) O

(C) 1

(D) e

X

43

L IM ITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

18. Na figura está parte da representação gráfica de uma função g de domínio lR e contínua em JR\{O}

Considere a sucessão de termo geral Un = 1-n

Indique o valor de lim g(un) n->+oo

(A) +oo (B) O

y

2

1

o

(C) 1

19. Na figura está desenhada parte da representação gráfica de uma função /, cujo domínio é JR\ {2}

As retas de equações x = 2, y = 1 e y = O são assíntotas do gráfico de f Seja (xn) a sucessão de termo geral

Xn = 2 - n2

Indique o valor de lim/(xn )

(A) O (B) 1

20. De uma função /, contínua em lR, sabe-se que:

• f é estritamente crescente

• /(0 ) = 1

(C) -00

X

(D) 2

o 2

(D) +oo

• o eixo Ox e a bissetriz dos quadrantes ímpares são assíntotas do gráfico de f


{A) [1, +oo[ (B) ]-oo, 1 ] (C) ]O, +oo[ {D) ]-oo, O [

44

X

ITENS DE SELEÇÃO

21. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio JR, contínua em JR\{3}

As retas de equações x = 3 e y = -4 são as únicas assíntotas do gráfico de g

y

o 3

-4

Seja ( Xn ) uma sucessão tal que limg( Xn ) = +oo

Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão (xn ) ?

1 (A} 3 --n

(B) 3 + l n

(C} -4 -l n

(D} -4 +l n

22. Considere uma função h, , contínua em JR\{-3}, tal que:

lim h(x) = 5 x--oo

lim h(x) = -oo X-+-3 lim h(x) = D x-+oo


(A) O gráfico da função h não tem assíntotas verticais.

(B} O gráfico da função h não tem assíntotas horizontais.

(C} A função h tem mínimo absoluto.

(D) A equação h (x) = 2 tem pelo menos uma solução.

X

45

L IM ITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

23. Considere uma função /, de domínio lll'\ {5}, contínua em todo o seu domínio.

Sabe-se que:

• lim /(x) = -3 x-5 • lim /(x) = 2

X-++oo

• lim (f(x) - x] = O x--oo Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cada uma delas uma reta.

Em qual das opções as duas retas assim definidas são as assintotas do gráfico da função /?

(A) y = X e y = 2 (B) y = 2 e X = 5 (C) y = X e X = 5 (D) y = -3 e X = 2

24. Considere a função f, de domínio JR\{3}, definida por /(x) = x - z3 X -

Em cada uma das opções seguintes estão escritas duas equações. Em qual das opções as duas equações definem as assintotas do gráfico de f ?

(A) X = 2 e y = 1 (B) X = 2 e y = 2 (C) X = 3 e y = 1 (D) X = 3 e y = 2

25. De duas funções, f e g, sabe-se que:

46

• o gráfico de f é uma reta, cuja ordenada na origem é igual a 2 • o gráfico de g é uma hipérbole.

Nas figuras seguintes estão representadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole.

y

2

o X

A reta de equação x = 1 é assintota do gráfico de g

Indique o valor de

(A) O

lim /(x) x-1' g (x)

(B) 2 (C) +oo

y

o

(D) -oo

ITENS DE SELEÇÃO

26. Seja ( Xn ) a sucessão de termo geral Xn = ( 1 + � )"

Seja (Yn) a sucessão de termo geral Yn = 1 + ln ( Xn ) ( ln designa logaritmo de base e )

Qual é o valor de limyn ?

(A) 2 (B) 3 (C) 1 +e

27. Seja g uma função de domínio JR+

Sabe-se que a reta de equação y = 2x + 3 é assintota do gráfico de g

Indique o valor de lim [g(x) x (g(x)- 2x)] X--++oo X

(A) O (B) 5 (C) 6

28. Seja f uma função de domínio R contínua no intervalo [-2, 2 ]

Tem-se f(-2 ) = 1 e f(2 ) = 3

(D) 2 + e

(D) +ao

Indique qual das expressões seguintes define uma função g, de domínio R para a qual o teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de pelo menos um zero no intervalo [-2, 2 ]

(A) g (x) = x + f(x) (B) g(x) = x - f(x)

(C) g(x) = x2 + f(x) (D) g(x) = x2 - f(x)

29. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f de domínio [O, +ao[

A reta r, de equação y = � x + 2, é assíntota do gráfico de f

Seja h a função definida em [ O, +ao [ por

h(x) = J(x)

O gráfico de h tem uma assintota horizontal.

Qual das equações seguintes define essa assintota?

(B) y = 1_ 2 (C) y = 2

o X

(D) y = 3

47

L IMITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

30. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f de domínio ]-oo, 2 [

y f

X

A reta t, de equação y = -x - 1, é assíntota do gráfico de f quando x tende para -oo

Qual é o valor de x�l11oo (!(x) + x + 1) ?

{A) +oo {B) 1 (C) o

31. Na figura está representado o gráfico de uma função f, de domínio JR+

y

o X

f

(D) -1

Tal como a figura sugere, a reta de equação y = 1 é assintota do gráfico de f

Indique o valor de

(A) -1

lim [ ln(x) - /(x )] x_,.+oo X

(B) O (C) 1

32. Para um certo valor de a, é contínua em IR a função f definida por

!x2 - 2x f(x) =

x2 - x + 3

se x < a

se x 2: a


(A) -3 (B) -2 (C) 2

48

(D) +oo

(D) 3

ITENS DE SELEÇÃO

33. Na figura estão representadas parte do gráfico de uma função f, de domínio [-3, +oo[ , e parte da reta r, que é a única assíntota do gráfico de f

Qual é o valor de lim /( x) ?

(A) -1

X-++co X

(B) O

-3

y

f

o -1

34. Seja g a função, de domínio [O, +oo[, definida por

/ X

(C) 1

se OS x < 2

l

3 x_fX

g (x) = x -5 + log2 (x -1) se x 2' 2

(D) 2

Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a existência de pelo menos um zero da função g ?

(A) [0,1] (B) [1, 3] (C) [3, 5]

35. Considere a função g, de domínio R, definida por

{

ex g(x) =

lnx

Considere a sucessão de termo geral u = 1_ n n

Qual é o valor de lim g (un ) ? n -++oo

(A) + oo (B) 1

se x S O

se x > O

(C) o

(D) [5, 9]

(D) -oo

49


36. Seja a um número real diferente de zero.

Qual é o valor de Jim eªx - 1 ? x-D ax2 + a2x

(A) 1_ a (B) _1_ 2 a (C) O (D) +oo

37. Seja f uma função de domínio [O, +oo[ , definida por

f(x) = lzx - 9

1 - eX X

se O-S x < S

se x 2: 5

Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a existência de, pelo menos, um zero da função f?

(A) (0, 1 ] (B) [1, 4] (C) [4, 6] (D) [6, 7]

38. Na figura, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico de uma função g, de domínio ]-3, +ao[

so

y g

o

A reta de equação y = Zx - 4 é assíntota do gráfico de g


(A) lím (g(x) - Zx - 4) = 0 X-•+oo

(B) lim _x_ = 2 X-•+oo g( X)

(C) lim (g(x) - 2x + 4) = 0 x-..+oo

(D) lim (g(x) - Zx) = O x_,.+oo

X

ITENS DE SELEÇÃD

39. Considere a função f, de domínio ]O, +oo[, definida por

f(x) = leX - 1

_±_ + 1 X

se O < x :S 2

se x > 2

Seja (un ) uma sucessão de números reais, de termos positivos, tal que limf(un ) = 3

Qual das expressões seguintes pode definir o termo geral da sucessão (un ) ?

(A) 2 - .1 n

(B) 2 + .1 n

(D) 3 + .1 n

40. Considere uma função f, de domínio R\{3}, contínua em todo o seu domínio.

Sabe-se que:

• lim f(x) = l x_,.+oo

• lim f(x) = -2 x- 3

• x��00 (!(x) + 2x) = ü

Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de f?

(A) X = -2 e y = 1 (B) X = 3 e y = -2x

(C) y = -2x e y = 1 (D) y = 2x e y = -1

41. Seja f uma função de domínio R, contínua no intervalo [-1, 4]

Tem-se f(-1 ) = 3 e f( 4) = 9

Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio R, para a qual o teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de pelo menos um zero no i ntervalo [-1, 4] ?

(A) g(x) = 2x + f(x) (B) g (x) = 2x - f(x)

(C) g(x) = x2 + f(x) (D) g (x) = x2 - f(x)

51

LIMITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

42. Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que:

• têm domínio [2, 3 ] • são funções contínuas • /(2 ) - g(2) > 0 e /(3 ) - g(3 ) < 0

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) Os gráficos de f e g intersectam-se em pelo menos um ponto.

(B) A função f - g é crescente.

(C) Os gráficos de f e g não se intersectam.

(D) A função f - g é decrescente.

43. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função g, de domínio [a, +oo[, com a < - �

y

Para esse valor de a, a função f, contínua em JR, é definida por

---------- ------ 2

llog3 (-x - � ) /(x) =

g(x)


(A) _ lª-3 (B) _ li

3

se x < a

sex::O:a

(C)

44. Sejam f e g funções de domínio ]O, +oo[. Sabe-se que:

19 3

• a reta de equação y = 3 é assíntota horizontal do gráfico de f • f não tem zeros • g (x) = e-x _ 3

f(x)

a

Qual das opções seguintes define uma assíntota horizontal do gráfico de g?

(A) y = 3 (B) y = e

(C) y = O (D) y = -1

52

(D) _ ll_ 3

o X

ITENS DE SELEÇÃO

45. Seja f uma função de domínio JR+ . Sabe-se que lim lnx; f(x) = 1

x-+oo X

Qual das equações seguintes pode definir uma assíntota do gráfico da função f?

(A) y = 1-x 3 (B) y = 1-x 3 (C) y = X (D) y = 3x

46. Para um certo número real k, positivo, seja f a função, de domínio ]-oo, 1[ definida por r,_,) se x S O /(x) =

z ex +_l_ se O < x< 1 ln x

Sabe-se que f é contínua.


(A) ln 2 (B) e2 (C) ln 3

47. Seja f uma função de domínio JR+

A reta de equação y = 2x - 5 é assíntota do gráfico da função f

Qual é o valor de lim 6X - l ? x-+oo /(x) ·

(A) O (B) 2 (C) 3

(D) e3

(O) +oo

48. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio R, definida por /(x) = kex + x

O teorema de Bolzano-Cauchy garante que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo [O, 1 ]

A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k ?

(A) ] -e, - ! [

(B) ]-! , o[

(C) ]o . ! [

(D) ] ! , 1 [

53

L IMITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

49. Seja f uma função de domínio JR-

Sabe-se que: !. f(x) + ex - x

• IID = 1 X---+-co X

• o gráfico de f tem uma assíntota oblíqua.

Qual é o declive dessa assíntota?

(A) -2 (B) -1 (C) 1

50. Considere a função /, de domínio JR+, definida por /( x) = lnx

Considere a sucessão de termo geral Un = _Tl_ e"

Qual é o valor de limf(un) ?

(A) - oo (B) O (C) e

51. Sejam f e g duas funções de domínio JR+

(D) 2

(D) +oo

Sabe-se que a reta de equação y = -x é assíntota oblíqua do gráfico de f e do gráfico de g

54

Qual é o valor de lím /( x) X g( x) ?

(A) +oo

x-+oo X

(B) 1 (C) -1 (D) -oo

Derivadas

1. Na figura estão representados:

• o gráfico de uma função f y s r

• a reta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2 e de equação y = � x + �

• a reta s, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 6 o X

Sabendo que as retas r e s são perpendiculares, indique o valor de f'( 6 ), derivada da função f no ponto 6

(A) 3 2 (B) 4

5 (C) _1_ 5 (D) � 3

2. A reta de equação y = x é tangente ao gráfico de uma certa função f, no ponto de abcissa O

Qual das seguintes expressões pode definir a função f?

(A) x2 + X (B) x2 + 2x (C) x2 + 2x + 1

3. Seja g : Jl:+ � R a função definida por g( x) = lnx

(D) x2 + X + 1

No gráfico da função g existe um ponto onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Qual é a abcissa desse ponto?

(A) O (B) 1 (C) e

4. Seja f a função definida em R por /( x) = 4 + lnx

(D) ln 2

( ln designa logaritmo de base e )

Sabe-se que a reta tangente ao gráfico de /, num certo ponto P, é paralela à reta de equação y = � + 2 3

Qual é a abcissa de P ?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

55

DERIVADAS

5. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f, de domínio JR, definida por J( x) = eªx + 1 ( a é uma constante real positiva).

r

-6 o X

Na figura está também representada a reta r, que é tangente ao gráfico de f no ponto em que este intersecta o eixo Oy

A reta r intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa -6


(A) 1_ 2 (B) 1

3 (C) 2 3 {D) 3

2

6. Na figura abaixo estão representadas graficamente duas funções:

56

• a função f, definida em lR por J( x) = ex

• a função g, definida em JR+ por g(x) = lnx ( ln designa logaritmo de base e )

r

a X

A reta r é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a e é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa b

Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

(A) eª = 1_ b (B) eª = lnb (D) In(ab) = l

ITENS DE SELEÇÃO

7. Sendo f a função definida por J( x) = xe, a expressão analítica de J' é

(A) xe (B) xe-1 (C) exe-1

8. De duas funções f e g, de domínio [O, l ] , sabe-se que

f'(x) = g' (x), Vx E [o, 1]

(D) xelnx

Em qual das figuras seguintes podem estar representados os gráficos de f e de g ?

(A)

y

X

(C)

y

o 1 X

9. Seja f uma função de domínio R

(B)

y

(D)

y

o

Sabe-se que a sua derivada, f', é tal que J' ( x) = x - 2 , Vx E R

Relativamente à função J, qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) f é crescente em R (B) f é decrescente em R (C} f tem um mínimo para x = 2 (D) f tem um máximo para x = 2

1 X

1 X

57

DERIVADAS

10. Se a representação gráfica de uma função g é

y

-2

então a representação gráfica de g' pode ser

{A)

y Q

-2 : o X

(C}

X

58

{B)

{D)

y

-2 o X

y

-2 o X

ITENS DE SELEÇÃO

11. Na figura abaixo estão representadas graficamente duas funções d iferenciáveis f e g

As duas funções têm extremo para x = -1

y f

-2 · -1 : o : 1 X

O conjunto solução da condição f' ( x) < g'( x) é

(A) ]-2, -1(

(C) ]-1, 1(

g

(B) ]-2, -1]

(D) (-1, 1 (

12. Seja f uma função de domínio lR, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio.

Na figura encontra-se parte do gráfico de f' , função derivada de f

Sabe-se ainda que f( O ) = 2

Qual pode ser o valor de f(3) ?

(A) 1

(C) 5

y

o 3 X

(B) 2

(D) 7

59

DERIVADAS

13. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f' , derivada de f, ambas de domínio R em que o eixo Ox é uma assintota do gráfico de f'

y

!'

X

Seja a função g, de domínio R, definida por g(x) = f(x) + x

Qual das figuras seguintes pode representar parte do gráfico da função g', derivada de g ?

(A) (B)

y y

X o X

(C) (D)

y y

2

o X o X

60

ITENS DE SELEÇÃO

14. Sejam f e g duas funções deriváveis em R

Sabe-se que:

• /(1 ) = /'(1) = 1

• g(x) = (2x - 1) x /(x), para todo o valor rea l de x

Qual é a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1?

(A) y = 3x - 2

(B) y = 3x + 4

(C) y = 2x - 1

(D) y = -3x + 2

15. Seja g uma função cujo gráfico tem um ponto de i nflexão de abcissa 1

Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da segunda derivada de g ?

(A) (B)

y y

o 1 X

(C) (D)

y y

o 1 X o 1

X

61

DERIVADAS

16. De uma função f, de domínio R, sabe-se que a sua segunda derivada é dada por

f"(x) = (x2 - l )(x2 + s)(x + 6)2

Quantos pontos de inflexão tem o gráfico de f ?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

17. Seja g uma função, de domínio R, tal que a sua segunda derivada é definida por

g" (X) = 1 -x2

Em qual das figuras seguintes poderá estar parte da representação gráfica da função g ?

(A) (B)

y y

X

(C) (D)

y y

o X o X

62

ITENS DE SELEÇÃO

18. Seja f uma função de domínio lR e a um ponto do domínio de f tal que f' (a) = O


(A) a é zero de f

(B) /(a) é extremo relativo de f

(C) (a, f( a)) é ponto de inflexão do gráfico de f

(D) A reta de equação y = /(a) é tangente ao gráfico de f

19. De uma função f, de domínio JR, sabe-se que a sua derivada é dada por

Em qual dos conjuntos seguintes o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo?

(A) ]-1, 1 [ (B) ]-ao, -1[ (CJ ]o, 3 [

20. Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial f

(D) ]-ao, O [

Ta l como a figura sugere, o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em ]-ao, O ] e voltada para baixo em [O, +ao[

y r

-2 o X

A reta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa O, é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa -2

Sabendo que f' e f" designam, respetivamente, a primeira e a segunda derivadas de f, indique o valor de /(O) + f'(O) + f"(o)

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

63

DERIVADAS

21. Na figura abaixo está parte do gráfico de uma função h, de domínio lR

y

o X

Sejam h' e h" a primeira e a segunda derivadas de h, respetivamente.

Admita que estas duas funções também têm domínio lR

Qual das expressões seguintes designa um número positivo?

(A) h (O ) + h" (O) (B) h(O) - h'(O)

(C) h'(O ) - h"(O) (D) h'(o ) x h"(o)

22. Para um certo número real a, seja a função f, de domínio JR, definida por f( x) = ax2 -1

64

Na figura, está representada, num referencial o. n. xOy, parte do gráfico da função f" segunda derivada da função f

y

o X

Í"

Qual dos valores seguintes pode ser o valor de a ?

(A) O (B) IT

(C) 3 (D) -3

ITENS DE SELEÇÃO

23. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função afim f, de domínio lR

y

f

o X

Seja h a função definida por h( x) = f( x) + ex Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h", segunda derivada de h ?

(A) (B)

y

o X o X

(C) (D)

y y

1 o X

o X . . . . . . . . . . . . - 1

65

DERIVADAS

24. Na figura, está o gráfico de uma função f cujo domínio é o intervalo ]1, 3 [

y

o

r ' ' : ' ' ' ' ' ' ' ' 1 3 X

A função f tem primeira derivada e segunda derivada finitas em todos os pontos do seu domínio.

Seja X E ]1, 3 [


(A) f'(x) > O /\ f"(x) > O

(C) f'(x) > O /\ f"(x) < O

(B) f'(x) < o /\ /"(x) > O

(D) f'(x) < O /\ /"(x) < O

25. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f, de domínio lR

66

2 1

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2

-1 f -2

X

Sejam f' e /", de domínio R a primeira derivada e a segunda derivada de f, respetivamente.

Qual dos valores seguintes pode ser positivo?

(A) f' ( 1 )

(C) /" (-3)

(B) f'(-3)

(D) /"(1)

ITENS DE SELEÇÃO

26. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f, de domínio ]-6, +oo[ , definida por J( x) = ln(� + 2 )

Sabe-se que:

y r

f

0 X

• a reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a

• a inclinação da reta r é, em radianos, �


{A) -4 (B) _2_ 2 (C) _11_

2 (D) -5

27. Seja f a função, de domínio R_+ , definida por f( x) = xª + a2 lnx (a é um número real maior do que 1), e seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a

Qual é o declive da reta r ?

(A) aª-l + aZ (B) aª + a2 (C) aª-1 + a (D) aª + a

28. Seja f uma função de domínio R. e seja f" a segunda derivada da função f

Sabe-se que f" tem domínio R. e é definida por J" ( x) = e-x x2 ( x - 1 )


(A) O gráfico da função f tem exatamente quatro pontos de inflexão.

(B) O gráfico da função f tem exatamente três pontos de inflexão.

(C) O gráfico da função f tem exatamente dois pontos de inflexão.

(D) O gráfico da função f tem exatamente um ponto de i nflexão.

67

DERIVADAS

29. Considere, para um certo número real a superior a 1, as funções f e g, de domínio JR, definidas por f(x) = ax e g(x) = a-x

Considere as afirmações seguintes.

1) Os gráficos das funções f e g não se intersectam.

II) As funções f e g são monótonas crescentes.

III) f' (-l ) _ g' ( 1 ) = 2 ln a a

Qual das opções seguintes é a correta?

(A) II e III são verdadeiras.

(B) 1 é falsa e III é verdadeira.

(C) 1 é verdadeira e III é falsa.

(D) II e III são falsas.

30. Sejam f' e f", de domínio lR, a primeira derivada e a segunda derivada de uma função f, respetivamente.

68

Sabe-se que:

• a é um número real

• P é o ponto do gráfico de f de abcissa a

• lim f(x) - f(a) x - a x - a

• f"(a) = -2

o


(A) a é um zero da função f

(B) f( a) é um máximo relativo da função f

(C) f( a) é um mínimo relativo da função f

(D) P é ponto de inflexão do gráfico da função f

31. Seja f uma função de domínio ]-5, 5 [

ITENS DE SELEÇÃO

Sabe-se que o gráfico da função f tem exatamente dois pontos de i nflexão.

Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função f", segunda derivada da função f?

(A) y

-5 o 5

(C)

y

5

32. Seja f uma função de domínio R

(B)

X

(D)

X

Sabe-se que /'(2) = 6 (!' designa a derivada de f)

Qual é o valor de lim /(x) - !(2)? x- 2 x2 - 2x

(A) 3

(C) 5

(B) 4

(D) 6

y

5 X

y

-5 o X

69

DERIVADAS

33. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função polinomial f Sabe-se que o único ponto de i nflexão do gráfico de f tem abcissa O

Seja J" a segunda derivada da função f


(A) J" ( 1 ) + J" (2 ) < O

(B) f" (-2 ) + /" (- l ) > O

(C) f" (-l ) x f" (-2 ) < 0

(D) J" ( 1 ) X J" (2 ) > O

y f

o X

34. De uma função f, de domínio lll'., com derivada finita em todos os pontos do seu domínio, sabe-se ]. x2 - 2 x 4 que xu:1 /(x) - /(2) =

Qual é o valor de /'(2 ) ?

(A) _1_ 2 (B) 1

4

35. Seja f uma função de domínio lR

(C) 1 2 (D) 1

4

A tabela de variação de sinal da função /", segunda derivada de f, é a seguinte.

+

Seja g a função definida por g(x) = -/(x - 5 )

Em qual dos intervalos seguintes o gráfico de g tem concavidade voltada para baixo?

(A) ]-15, -5[ (B) ]O, 10[ (C) ]-5, 5[ (D) ]5, 15[

70

Funções Trigonométricas

1. Dos quatro ângulos seguintes, um deles tem 1 radiano de amplitude. Indique-o.

(A) (B)

(C) (D)

2. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma reta r

Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, o ponto P encontra-se à distância de 2 unidades da reta r

l d(a)

a : '·-� " e

r r

Seja d( a) a distância de P a r, após uma rotação de amplitude a

Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo a ?

(A) d(a) = l + cosa (B) d(a) = 2 + sena

(C) d(a) = l - cosa (D) d(a) = 2 - sena

71

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

3. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy

• um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1

• uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto ( 1, O) • um ponto A pertencente a esta semirreta

• um ângulo de amplitude a, cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta DA

Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de a ?

(A)

(C)

rc tg a - + --4 2

tg a 7C + --2

(B) II. + _2_ 4 tg a

(D) 7C + -2-t g a

y

A

o 1 X

4. Na figura está representado um trapézio retângulo [ ABCD ], cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.

B 10 C

Í"� A 30 D

Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [ AB]

Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo PDA

Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [ PD] divide o trapézio em duas figuras com a mesma área.

Qual das equações seguintes traduz este problema?

(A) 302 senx 100 2

(C) 30 x 10 senx - l50 4

(B) 302 tgx 100 2

(D) 30 X 10 tgx _ 150 4

5. Um navio encontra-se atracado num porto.

72

A distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré.

Admita que h é dada, em função do tempo x, por h( x) = 10 - 3 cos( Zx)

A distância desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da maré-alta, é

(A) 4 (B) 10 (C) 13 (D) 16

6.

ITENS DE SELEÇÃD

Seja D o domínio de uma função g tal que g( x) = 1 1

- tgx

Indique qual das afirmações seguintes é necessariamente falsa.

(A) O E D (B) 3rr E D 4 (C) 7t E D

7. Uma função f tem domínio R e contradomínio R+

Qual das seguintes pode ser a expressão analítica da função f ?

(A) senx (8) ex (C) 1 + x2

8. Seja f uma função par, de domínio R, que não admite zeros.

Qual das seguintes expressões pode definir a função f?

(A) /(x) = x2 (B) /(x) = ex (C) /(x) = cosx

(D) S 7t E D 4

(D) lnx

(D) /(x) = rr

9. Indique qual das expressões seguintes define uma função injetiva, de domínio R

(A) cosx (B) x2 - x (C) l x l + l

10. Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função f definida por

f(x) = cos(rrx) . ln(x - 1 )

Os pontos A, B, C e D são pontos de intersecção do gráfico da função f com o eixo das abcissas.

A abcissa do ponto A é:

(A) 1 2

(B) 1 (C) 3 2

11. Qual é o limite da sucessão de termo geral Un = tg( � + � ) ?

(A) -ao (B) +ao (C) O

(D) x3

y f

o A

(D) 2

(D) 1

D X

73


12. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) lim senx = O X--++co

(B) lim senx = +oo x.-..+oo

(C) lim senx = 1 (D) Não existe lim senx X--++oo

2 13. lim _X_ x_,_ o senx

(A) é O (B) é 1 (C) é +oo

14. Considere a função h definida em lR por h( x) = senx

x-+co

(D) não existe

Qual das seguintes equações pode definir uma reta tangente ao gráfico de h ?

(A) y = 2x + ir (B) y = -2 (C) y =Vzx - 9

15. Considere a função f definida por /( x) = sen ( x2 )

Indique qual das expressões seguintes define f', função derivada de f

(A) 2x cos(x2 ) (B) cos(x2 ) (C) 2x cos(2x)

16. De uma função f sabe-se que f( x) + f"(x) = O, para qualquer x E lR

Qual das seguintes pode ser a expressão anal ítica da função f?

(A) senx (B) ex

17. Considere, em R a equação senx + cosx = 4


(C) X

(D) y = X

(D) -cos(x2 )

(D) lnx

(A) A equação é impossível.

(C) A equação tem exatamente duas soluções.

(B) A equação tem exatamente uma solução

(D) A equação tem uma infinidade de soluções.

18. Quantas são as soluções da equação 3 senx = 1 que pertencem ao intervalo [O, 10ir] ?

(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20

74

ITENS DE SELEÇÃO

19. Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica.

y

Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função?

(A) K 9 (B) 2 7r 9 (C) k 3

X

(D) 47r 3

20. De uma função f sabe-se que f( x + y) = f(x) x f(y ), para quaisquer dois números reais positivos x e y

Qual das seguintes pode ser a expressão analítica da função f?

(A) senx (B) cosx (C) lnx

21. Seja g a função definida em lR por g( x) = /x + 5 + cosx

22.

Considere a sucessão de termo geral u - n + 1 n - n2

lndique o valor de lim g(un ) n ->+oo

(A) 1 (B) 2 (C) 3

Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco AB, que está contido na circunferência de equação x2 + y2 = 1

O ponto e pertence ao eixo Ox e o segmento de reta [AC] é perpendicular a este eixo.

a é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB

Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada, em função de a ?

(A) Jr x a + sena + cosa (B) Jr x a + sena + 1 - cosa

(C) l + a - sena + cosa (D) l + a + sena - cosa

(D) ex

(D) 4

y A

o e B X

75


23. Na figura está representada a circunferência trigonométrica.

Tal como a figura sugere, O é a origem do referencial, Q pertence à circunferência, P é o ponto de coordenadas ( 1, O) e R é o ponto de coordenadas (-1, O )

A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é 5; Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo [OQR] ?

(A) 0,39 (B) 0,42 (C) 0,46

R

24. Seja a função /, de domínio [-� , � ] , definida por /(x) = cos(x)


(A) [-1, O] (B) [O, 1]

25. Sejam a, b, e e d, as funções reais de variável real definidas por:

a(x) = 3 + lnx b(x) = ex c(x) = 10 senx d(x) = 2 + tgx

y

p X

(D) 0,49

(O) [o, ?]

Considere que o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais para os quais tem significado a expressão que a define.

Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assíntota?

(A) A função a (B) A função b (C) A função e

26. Para um certo número real positivo, k, a função g definida em lR por

j""' se x > O 3x g(x) = é contínua.

ln(k - x) se x :S O


(A) Ve (B) e3 (C) e 3

76

(D) A função d

(D) 3 e

ITENS DE SELEÇÃO

27. Na figura, estão representados, num referencial y o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo [OAB]

Sabe-se que:

• O é a origem do referencial

• a circunferência tem centro no ponto O e raio 1 A • A é o ponto de coordenadas (-1, O )

• B pertence à circunferência e tem ordenada negativa

• o ângulo AOB tem amplitude igual a 2 7[ 3

radia nos

Qual é a área do triângulo [ OAB] ?

(A) /3 (B) 1_ (C) 1 (D) /3 4 2 4

28. Seja g a função, de domínio JR, definida por g( x) = cos2 ( 1� )- sen 2 ( 1� )

Qual das expressões seguintes também define a função g ?

(B) cos ( 2�) (C) sen( � )

29. Na figura, está representada a circunferência trigonométrica.

Sabe-se que:

• o ponto A pertence ao primeiro quadrante e à circunferência;

• o ponto B pertence ao eixo Ox • o ponto e tem coordenadas ( 1, o)

• o ponto D pertence à semirreta ÔA • os segmentos de reta [AB] e [DC] são paralelos ao eixo Oy

Seja a a amplitude do ângulo COD (a E ] O, � [)

(D) cos( � )

y

X

D

C X

Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero [ ABCD ] , representado a sombreado, em função de a ?

(A) tga _ sen (2a) 2 2

(e) sen (2a) tga - 4

(B) tga _ sen (2a) 2 4

( ) sen(2a)

D tga - z

77


30. Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 1. Sabe-se que:

• os diâmetros [ AC] e [BD] são perpendiculares;

• o ponto P pertence ao arco AB

• [ PQ] é um diâmetro da circunferência;

• o ponto R pertence a [ OD] e é tal que [ QR] é paralelo a [ AC]

Seja a a amplitude, em radianos, do ânguloAOP

B

D

Qual das seguintes expressões dá a área do triângulo [ PQR ], representado a sombreado, em função de a ?

(A) cos (2a) 4 (B) sen (2a)

4 (C) cos (2a)

2 (D) sen (2a)

2

31. Seja f a função, de domínio A e contradomínio ]-1, +oo[, definida por f(x) = tgx

Qual dos conjuntos seguintes pode ser o conjunto A ?

(A) ]- �' � [ (B) ] 3;, 3; [ (C) ]�· 3:[ (D) ] s;, 3;[

78

Complexos

1. Seja z um número complexo de argumento �

Qual poderá ser um argumento do simétrico de z ?

(A) -� (B) rr + K 5 (C) 7t - � (D) 2rr + K

5

2. Em IC, conjunto dos números complexos, o número complexo i satisfaz uma das condições a seguir indicadas.

Qual delas?

(A) � = z - i l (B) 1� 1 = i (C) Arg(z) = O

3. Na figura estão representadas, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos: w, z1, z2, z3 e z4

Qual é o número complexo que pode ser igual a 1 - w ?

(A) z1 (B) Zz

4. Em IC, conjunto dos números complexos, considere z = 2 cis(B - �) Para qual dos seguintes valores de B é que z é um número real?

(A) 6rr 5 (B) J..K 5 (C) Sir

5

(D) z2 = z

(D) 9 ir 5

1

w •

ºz �

5. Considere, no plano complexo, um ponto A, afixo de um certo número complexo z. Sabe-se que A não pertence a qualquer um dos eixos do plano complexo.

Seja B o ponto simétrico do ponto A, relativamente ao eixo imaginário.

Qual dos números complexos seguintes tem por afixo o ponto B ?

(A) z (B) 1_ z (C) -z (D) -z

79

COMPLEXOS

6. Para um certo número real positivo p e para um certo número real a, compreendido entre O e � , o número complexo peisa tem por afixo o ponto P, representado na figura.

Qual é o afixo do número complexo i eis(Za) ?

(A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C

7. Seja (J um número real pertencente ao intervalo ]o, � [ Considere o número complexo z = i eis( B)

Qual dos números complexos seguintes é o conjugado de z ?

(A) eis(- � - B) (B) eis (� - B) (C) eis(� + B)

8. Na figura, está representada, no plano complexo, uma circunferência de centro na origem do referencial.

Os pontos A, B e C pertencem à circunferência.

O ponto A é o afixo do número complexo 3 + 4 i

o ponto e pertence ao eixo imaginário.

O arco BC tem � radianos de ampl itude.

Qual é o número complexo cujo afixo é o ponto B ?

(A) 5 eis 10 rr 9 (B) 5 eis 25 rr 18 (C) 7 eis 10rr 9

9. Na figura, estão representadas, no plano complexo, os afixos de quatro números complexos zv z2, z3 e z4

lm(z)

80

Qual é o número complexo que, com n E N, pode ser igual a i4n + i4n +l + i4n +2 ?

(B) Zz

(C) Z3

o

A p • . B ,

C •

D

(O) O ponto D

(D) eis (3; + B)

Im(z)

A

B e

(D) 7 cis 25rr 18

Re(z)

Re(z)

ITENS DE SELEÇÃO

10. Na figura, estão representadas, no plano complexo, os afixos de seis números complexos

Im(z)

o Re(z)

Qual é o número complexo que pode ser igual a ( z2 + z4) x i ?

(C) Z5

11. Na figura, estão representados, no plano complexo, seis pontos M, N, P, Q, R e S

Im(z)

N R Q p M • • • •

s o Re(z)

Sabe-se que:

• o ponto M é o afixo do número complexo z1 = 2 + i • o ponto N é o afixo do número complexo z1 x z2

Qual dos pontos seguintes pode ser o afixo do número complexo z2 ?

(A) O ponto P (B) O ponto Q

(C) O ponto R (D) O ponto S

81

COMPLEXOS

12. Sejam k e p dois números reais e sejam z1 = (3 k + 2 ) + p i e z2 = (3p - 4) + (2 - S k)i dois números complexos.

Quais são os valores de k e de p para os quais z1 é igual ao conjugado de z2 ?

(A) k = -1 e p = 3 (B) k = 1 e p = 3 (C) k = O e p = -2 (D) k = 1 e p = -3

13. Seja w um número complexo diferente de zero, cujo afixo pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

O afixo de w4 pertence a uma das retas a seguir indicadas.

A qual delas?

(A) Eixo real

(B) Eixo imaginário

(C) Bissetriz dos quadrantes pares

(D) Bissetriz dos quadrantes ímpares

14. Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém os afixos das raízes quadradas de 3 + 4 i ?

(A) (B)

(C) (D)

3

82

ITENS DE SELEÇÃO

15. Seja w um número complexo cujo afixo pertence à parte negativa do eixo real.

Os afixos das raízes quadradas de w pertencem a uma das retas abaixo indicadas.

A qua l delas?

(A) Eixo real (B) Eixo imaginário

(C) Bissetriz dos quadrantes pares (D) Bissetriz dos quadrantes ímpares

16. Em IC, conjunto dos números complexos, considere z1 = 2 eis � e z2 = 2 i

Sejam P1 e P2 os afixos, no plano complexo, de z1 e de z2 , respetivamente.

Sabe-se que o segmento de reta [P1 P2] é um dos lados do polígono cujos vértices são os afixos das raízes de índice n de um certo número complexo w

Qual é o valor de n ?

(A) 4 (B) 6

(C) 8 (D) 10

17. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?

(A) 1 e i (B) - 1 e i

(C) 1 - í e 1 + í (D) 1 - i e - 1 + í

18. Em IC, conjunto dos números complexos, seja i a unidade imaginária.

Seja n um número natural tal que i" = - í

Indique qual dos seguintes é o valor de ;n+l

(A) 1

(C) - 1

(B) í

(D) -i

83

COMPLEXOS

19. Seja b um número real positivo, e z1 = b i um número complexo.

Em qual dos triângulos seguintes os vértices podem ser os afixos dos números complexos z1, ( z1 )2

e ( z1)3 ?

W (B)

(C) (D)

20. Seja w o número complexo cujo afixo está representada na figura.

Im(z)

o Re(z)

w

A qual das retas seguintes pertence o afixo de w6 ?

(A) Eixo real (B) Eixo imaginário

(C) Bissetriz dos quadrantes ímpares (D) Bissetriz dos quadrantes pares

84

ITENS DE SELEÇÃO

21. Na figura, está representado, no plano complexo, a sombreado, um sector circular.

Sabe-se que:

• o ponto A está situado no 1.0 quadrante

• o ponto B está situado no 4.0 quadrante

• [AB] é um dos lados de um polígono regular cujos vértices são os afixos das raízes de índice 5 do complexo 32 eis ( � )

• o arco AB está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a DA

Im(z)

o

Qual dos números seguintes é o valor da área do sector circular AOB ?

(A) JI 5

(B) 4 rr 5

(C) 2 )'[ 5

22. Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário?

(A) z + z = O (B) Im(z) = l

23. Considere o número complexo z1 = 3 Vz eis 34rr

(C) l z l = O

O afixo de z1 pertence à região do plano complexo definida pela condição

(A) l z l > 3

(C) Re(z) = 3 Vz

24. Seja w um número complexo.

(B) O < Arg(z) < �

(D) Im(z) = 34rr

B

(D) -ªII 5

(D) z - z = O

Re (z)

O afixo, no plano complexo, de uma das raízes cúbicas de w pertence à região definida pela condição

O < Arg(z) < �

A que quadrantes pertencem os afixos das outras raízes cúbicas de w ?

(A) Primeiro e terceiro. (B) Segundo e terceiro.

(C) Segundo e quarto. (D) Terceiro e quarto.

85

COMPLEXOS

25. Qual das seguintes condições, na variável complexa z, define, no plano complexo, uma circunferência?

(A) l z + 4 I = 5 (B) 1 z 1 = l z + Z i l (C) O :S Arg(z) :S rr (D) Re(z) + Im(z) = 2

26. Seja k um número real, e sejam z1 = 2 + i e z2 = 3 - ki dois números complexos.

Qual é o valor de k para o qual z1 X z2 é um imaginário puro ?

(A) ]_ 2 (B) 3 2 (C) 1 (D) 6

27. Sejam k e p dois números reais tais que os números complexos z = 1 + i e w = (k - 1 ) + 2pi 11

sejam inversos um do outro.

Qual é o valor de k + p ?

(A) 1 4 (B) 1

2 (C) � 4 (D) 7 4

28. Em C, conjunto dos números complexos, seja z = eis 8, em que 8 é um número real pertencente

ao intervalo ] 34rr , ir[ Seja w = z2 - 2

A que quadrante do plano complexo pertence o afixo de w ?

(A) Primeiro (B) Segundo

(C) Terceiro (D) Quarto

29. Considere, em C, conjunto dos números complexos, z = 2 + bi, com b < O

86

Seja a E ] O, � [

Qual dos números complexos seguintes pode ser o conjugado de z ?

(A) � eis (a)

(C) 3 eis (a)

(B) 3 eis (-a)

(D) � eis (-a)

ITENS DE SELEÇÃO

30. Considere, em IC, conjunto dos números complexos, a condição

l_ < 1 z - 3 + i 1 < 3 /\ K < Arg(z - 3 + i) < 2 rr 2 - - 3 - - 3

Considere como Arg( z) a determinação que pertence ao intervalo [-rr, rr[

Qual das opções seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos definido pela condição dada?

(A) (B)

lm(z) o

Im(z)

o o Re(z) o

(C) (D)

Im(z) Im(z) o

Re(z) o

31. Em IC, conjunto dos números complexos, considere w = ( 1 + i)2º13

A qua l dos conjuntos seguintes pertence w ?

Re(z)

Re(z)

(A) { z E IC : 1 z 1 > 1 z - 1 I} (B) { z E IC : 1 z 1 :o; 12}

1ci { z E ic : z = .z} (D) {z E IC : Re (z) = lm (z)}

32. Na figura, está representado, no plano complexo, um polígono regular [ ABCDEF]

Os vértices desse polígono são os afixos das n raízes de índice n de um número complexo z

O vértice C tem coordenadas (-2/2, 212)

Qual dos números complexos seguintes tem por afixo o vértice E ?

(A) 2 /2 eis( g rr) (C) 2 /2 eis( g rr)

(B) 4 eis( g rr) (D) 4 eis( g rr)

lm(z)

D

E

B

87

COMPLEXOS

33. Na figura, está representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com a origem e em que cada lado é paralelo a um eixo.

Os vértices deste quadrado são os afixos dos complexos Z1, Zz1 Z3 e Z4

Qual das afirmações seguintes é falsa?

(C) Z4 = Z1 l

34. Em IC, conjunto dos números complexos, seja z = 3 + 4i

lm (z) z2

Z3

Sabe-se que z é uma das raízes de índice 6 de um certo número complexo w

ZI

Re (z)

Z4

Considere, no plano complexo, o polígono cujos vértices são os afixos das raízes de índice 6 desse número complexo w

Qual é o perímetro do polígono?

(A) 42 (B) 36

35. Seja z um número complexo de argumento �

(C) 30

Qual dos seguintes valores é um argumento do número complexo -5 iz ?

88

(A) - 3 ir 10 (B) _ 4ir

5 (C) _ 7ir

5

(D) 24

(D) _ 13ir 10

ITE NS DE

CO NSTRU ÇÃO

Geometria no plano

1. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, a circunferência que tem centro no ponto A(4, 7) e q ue passa pelo ponto D(B, 10)

Sabe-se q ue:

• [ CF] é a corda da circunferência contida no eixo Oy • [CD] é uma corda da circunferência, paralela ao eixo Ox • [ AE] é um raio da circunferência, paralelo ao eixo Oy • [ ABCD] é um trapézio retângulo

a) Determine a área do trapézio [ ABCD]

b) Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento [AD]

e) Defina, por uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.

2. Na figura, está representada uma circunferência de centro O e raio r

Sabe-se que:

• [ AB] é um diâmetro da circunferência

• o ponto e pertence à circunferência

• a é a amplitude do ângulo COB • [OD] é perpendicular a [AC]

Prove que AB . Aê = 4r2 cos2 ( � )

3. Na figura, está representado o quadrado [ ABCD] A

Sabe-se q ue:

• o ponto l é o ponto médio do lado [DC] • o ponto ] é o ponto médio do lado [BC]

D

Prove que Af . AJ = li AB f

90

y

o X

B

J

I e

4. Considere, num referencial o.n. xOy:

ITENS DE CONSTRUÇÃO

• a reta r, definida pela equação y = 2x - 1

• o ponto A de coordenadas (O, -2 )

a) Escreva uma equação vetorial da reta r

b) Escreva a equação reduzida da reta paralela à reta r que passa no ponto A

c) Na figura ao lado, estão representados a reta r, o ponto A e a circunferência que tem centro no ponto A e que passa em O

y r

Defina, por uma condição, a região representada a sombreado, incluindo a sua fronteira.

5. No referencial o.n. xOy da figura, estão representados o y quadrado [OABC] e o retângulo [OPQR]

Os pontos A e P pertencem ao semieixo positivo Ox e os pontos C e R pertencem ao semieixo positivo Oy

O ponto Q pertence ao interior do quadrado [ OABC]

Sabe-se que:

• OA = a • OP = b

Prove que as retas QB e RP são perpendiculares.

6. a) Na figura junta estão representados, em referencial o.n. xOy,

• o círculo trigonométrico

• a reta r, de equação x = 1

• o ângulo de amplitude a, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta ÔA

• o ponto B, intersecção do prolongamento da semirreta ÔA com a reta r

Como a figura sugere, a ordenada de B é 18 Sem recorrer à calculadora, determine o valor de

5 sen( � + a) + 2 cos (3 ir - a)

b) Considere agora um ponto P, do primeiro quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1

Sejam (r, s) as coordenadas do ponto P

Seja t a reta tangente à circunferência no ponto P

Seja Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox

Prove que a abcissa do ponto Q é .1 r

y

y t

s .

o

X

A X

B

X

r

Q X

91

GEOMETRIA NO PLANO

7. Na figura, estão representadas, em referencial o.n. xOy, uma reta AB e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5 Os pontos A e B pertencem à circunferência.

O ponto A também pertence ao eixo das abcissas.

a) Admitindo que o declive da reta AB é igual a � , resolva as três alíneas seguintes:

al) Mostre que uma equação da reta AB é x - 2y + 5 = O

a2) Mostre que o ponto B tem coordenadas (3, 4)

a3) Seja C o ponto de coordenadas (-3, 16)

Verifique que o triângulo [ABC] é retângulo em B

.l. b) Admita agora que o ponto B se desloca ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.

Para cada posição do ponto B, seja a a amplitude do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox A

y

5 X

y

e cujo lado extremidade é a semirreta OB --<l""'---0--JL-'--<-+5,,.-�x Seja d o comprimento do segmento [ AB]

bl) Mostre que d2 = 50 + 50 cos a

b2) Para uma certa posição do ponto B, tem-se tg a = 124 Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de d

8. Na figura, está representada, em referencial o.n. xOy, a circunferência de centro em O e raio 5

92

Os pontos A e B são os pontos de intersecção da circunferência com os semieixos positivos Ox e Oy, respetivamente.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B

Para cada posição do ponto P, sabe-se que:

• o ponto Q é o ponto do eixo Ox tal que PO = PQ • a reta r é a mediatriz do segmento [ OQ] • o ponto R é o ponto de intersecção da reta r com o eixo Ox • a é a ampl itude, em radia nos, do ângulo AOP (a E ] O, � [) Seja f a função, de domínio ] O, � [, definida por /(x) = 25sen x cos x

y B

o

r

p

R A Q X


Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

a) Mostre que a área do triângulo [OPQ] é dada por /(a)

b) Determine o valor de a, pertencente ao intervalo ] O, � [, para o qual se tem /(a) = 25 cos2a

c) Seja e um número real, pertencente ao intervalo ] O, � [, tal que J(B) = 5

Determine o valor de (sen B + cos 8)2

d) Considere agora o caso em que a abcissa do ponto P é 3

Determine a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P

9. Na figura, está representado um pentágono regular [ ABCDE] Sabe-se que AB = 1

Mostre que AB_.tD 1 - 2 sen2 ( 7r5 )

ll AD ll Nota: AÊ . AD designa o produto escalar do vetor AÊ pelo vetor AD

D

E

A '----'s

e

93


1. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular [ ABCDV] cuja base está contida no plano xOy

Sabe-se que:

• o ponto A pertence ao eixo Ox • o ponto B tem coordenadas (5, 3, O)

• o ponto V pertence ao plano de equação z = 6 • 6x + 18y - 5z = 24 é uma equação do plano ADV

A e Y • lSx - 6y + 5 z = 72 é uma equação do plano ABV

a) Determine o volume da pirâmide.

b) Determine as coordenadas do ponto V, sem recorrer à calculadora.

e) Seja S o ponto de coordenadas (-1, -15, 5 ) Seja r a reta que passa pelo ponto S e é perpendicular ao plano ADV Averigue se o ponto B pertence à reta r

X B

2. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um cil indro de revolução como o representado na figura.

94

• A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xOy

• [BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem coordenadas (O, -5, O)

• O ponto A pertence à circunferência que l imita a base inferior do

z

D

r

cil indro e tem coordenadas ( 4, 3, O ) C ---·--o,;::-_-_-_-_-_-_. B • A reta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz • O ponto D pertence à reta r e à circunferência que l imita a base x

superior do cilindro.

a) Justifique que a reta AC é perpendicular à reta AB

b) Escreva uma equação vetorial da reta r

e) Justifique que Aê é um vetor perpendicular ao plano ABD

Determine uma equação deste plano.

A

d) Designando por a a amplitude do ângulo BOD, mostre que o volume do cilindro é dado por

V(a) = 125ir tg a, com a E [ü, � [

y


3. Considere, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide regular de base quadrada (ver figura).

• O vértice V da pirâmide pertence ao semieixo positivo Oz • A base da pirâmide está contida no plano xOy • A aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy • O ponto Q tem coordenadas (2, 2, O)

a) Sabendo que, na unidade considerada, o volume da pirâmide é igual a 32, mostre que a cota do vértice V é igual a 6

b) Mostre que o plano QRV pode ser definido pela equação 3y + z = 6

c) Determine uma condição que defina a reta que passa na origem do referencial e é perpendicular ao plano QRV

' '

, " 1 : , , ! : : ! / ! ,' i : i 1 :

V

s.L-�- ----- R '

Ili ql ..

p Q y

4. Na figura, estão representados num referencial o.n. Oxyz, um prisma quadrangular regular e uma pirâmide.

A base [OFGE] da pirâmide está contida no plano xOy e coincide com a base inferior do prisma.

z

B C O vértice H da pirâmide coincide com o centro da base superior H do prisma.

O ponto G tem coordenadas ( 4, 4, O )

a ) Sabendo que o volume do prisma é igual a 96, mostre que H tem coordenadas (2, 2, 6 )

b ) Escreva uma equação cartesiana do plano OEH

c) Indique, justificando, uma equação vetorial da reta que é a intersecção do plano OEH com o plano ABC

d) Determine, com aproximação à centésima da unidade, o raio da esfera cuja área é igual à área total do prisma.

.. ' E :1

X

' 1 .. • ' .

, ..

... ot - - - - -' ' , F

y

95


5. Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos A(S, O, O ) e B(O, 3, 1)

a) Mostre que a reta AB está contida no plano de equação x + 2y - z = 5

b) Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja retângulo em C

A

X 5

z

1 - - - - - - � 1

o 3

B

y

e) Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo [ AOB] em torno do eixo Ox

6. Na figura, está representada, num referencial o.n . Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.

• A base da pirâmide é paralela ao plano xOy

• O ponto A tem coordenadas (8, 8, 7) • O ponto B pertence ao plano yOz

• O ponto C pertence ao eixo Oz

• O ponto D pertence ao plano xOz

• O ponto E é o centro da base da pirâmide

• O vértice V da pirâmide pertence ao plano xOy X

a) Determine o perímetro de uma face lateral da pirâmide.

b) Determine a amplitude do ângulo DVB

Apresente o resultado em graus, com aproximação à décima do grau.

e) Seja a o plano que passa no ponto E e é paralelo ao plano AVE

Mostre que o eixo Ox está contido em a

7. Considere, num referencial o.n. Oxyz,

• o ponto A(lO, O, O) • o ponto B(O, 2, 1)

• o ponto C(O, 5, O) • a reta AB • a reta BC

a) Justifique que as retas AB e BC são complanares e mostre que o plano a por elas definido admite como equação x + 2y + 6z = 10

X

z

V

z

b) Determine uma equação vetorial da reta de intersecção do plano a com o plano xOz

e) Calcule o volume da pirâmide [ OBCA J

96

y


8. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

z V

: e D . - - - - - - , , - - - - - - - B · · · · · · · · · · · · · ;:º · · · · · · · · · .. ->· _Y.,.

A X

• a base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial

• [AC] e [BD] são diâmetros da base

• o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox • o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy • o vértice V pertence ao semieixo positivo Oz

a) Sabendo que uma equação do plano ABV é 4x + 4y + 3z = 12, mostre que o comprimento do raio da base é 3 e a altura do cone é 4

b) Determine uma condição que defina a esfera cujo centro é o ponto V e cuja intersecção com o plano xOy é a base do cone.

e) Designando por a a amplitude do ângulo BVD, determine o valor de sen a

9. Na figura, está representado um cubo, num referencial o.n. Oxyz Sabe-se que:

• a face [ OPQR] está contida no plano xOy • a face [OSVR] está contida no plano xOz • a face [ OSTP] está contida no plano yOz • uma equação do plano VTQ é x + y + z = 6

a) Mostre que o volume do cubo é 27

b) Determine uma equação da superfície esférica ta l que:

• o centro é o simétrico de U, em relação ao plano xOy • o ponto Q pertence a essa superfície esférica.

e) Seja a o plano que passa no ponto S e é paralelo ao plano VTQ

Prove que a reta RP está contida em a

X

z

y

97


10. A figura ao lado representa um cubo, num referencial o.n. Oxyz z e

• [ABCD] é uma face do cubo

• [EFGH] é a face oposta à face [ABCD] (o ponto H não está representado na figura)

• [ AE], [ BF], [ CG] e [ DH] são quatro arestas do cubo

• O ponto A tem coordenadas (3, 5, 3 ) • O ponto D tem coordenadas ( -3, 3, 6)

• O ponto E tem coordenadas (1, 2, -3 ) F'-7---.J a) Determine o volume do cubo. X

b) Determine as coordenadas do ponto H e comente a seguinte afirmação: o ponto H pertence a um dos eixos coordenados.

c) O ponto P é o ponto de intersecção do eixo Oz com a face [ABCD]

Determine as coordenadas de P

y

11. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.

12.

98

O vértice O é a origem do referencial .

O vértice P pertence ao eixo Oz

O vértice R pertence ao plano xOy

O vértice V tem coordenadas (-2, 11, 5)

Uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide é (x, y, z) = (7, -1, 5) + k(6, -8, O), k E lR

z

X R

a) Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação 3x - 4y = O

b) Justifique q ue o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas ( 4, 3, 5)

c) Determine o volume da pirâmide.

Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, um sólido formado por um paralelepípedo retângulo [ ABCDEFGH] e uma pirâmide [ ABCDV] A base [ EFGH] do paralelepípedo está contida no plano xOy e a base da pirâmide coincide com a face superior do paralelepípedo.

A aresta [GF] está contida no eixo Oy

Uma equação da superfície esférica com centro A(l, 1, 1) e que contém G é (x - 1 )2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 11

a) Verifique que o ponto H tem coordenadas (1, -2, O)

b) Mostre que uma equação do plano AGH é y - 3z + 2 = O

z

V

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B D,L-;c-----�---\'�

: e . . . . . . . . . o; . . . . .,F�_ .. y

X

c) Designando por e a cota do ponto V, mostre que o volume do sólido é 2 + e


13. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

• a base do cone está contida no plano a de equação x + 2y - 2z = 11

• o vértice V do cone tem coordenadas (1, 2, 6)

• o ponto C é o centro da base do cone.

a) Determine uma equação do plano y que passa no vértice do cone e que é paralelo ao plano a

b) Seja (3 o plano definido pela equação 2x - y + z = 3

Averigue se os planos a e (3 são perpendiculares.

e) Seja W o ponto simétrico do ponto V, em relação ao plano xOy

z V

y

Indique as coordenadas do ponto W e escreva uma condição que defina o segmento de reta [VW]

d) Sabendo que o raio da base do cone é igual a 3, determine o volume do cone.

14. Na figura, está representado, em referencial o.n. Oxyz, o prisma q uadrangular regular [ ABCDEFGH]

As coordenadas dos pontos A, B e G são (11, -1, 2 ) , (8, 5, O) e (6, 9, 15) , respetivamente.

a) Determine as coordenadas do ponto H

b) Escreva uma equação que defina a superfície esférica com D

z

Hr-----c

;-:----,,W p " ' , / ,

- - - - -�- - - -{e . ' centro no ponto A e que passa no ponto B o ,: - · · ! ··!-----· ' ' ' ' e) Escreva uma equação que defina a reta que passa no ponto G A -/"----..'/

' B

e que é paralela ao eixo Oy

15. Na figura, está representado um cilindro de altura h e raio da base r

Sejam A e B os centros das bases do ci l indro.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento [ AB], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B

Cada posição do ponto P determina dois cones cujos vértices coincidem com o ponto P e cujas bases coincidem com as bases do cilindro.

Mostre que a soma dos volumes dos dois cones é constante, isto é, não depende da posição do ponto P

Sugestão: designe por a a altura de um dos cones.

X

A , . . X.. . . .

y

h

99


16. Na figura, está representado, em referencial o.n. Oxyz, o poliedro [VNOPQURST], que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

V

z

Sabe-se que:

• a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano xOy

• o ponto P pertence ao eixo Ox • o ponto U tem coordenadas ( 4, -4, -4) • o plano QTV é definido pela equação Sx + 2y + 2z = 12

o Q f---'--�Yp

X R,.' . . . . . . . . · · · · · S

u �·----�r

y

a) Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o defina.

a1) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial.

a2) Plano perpendicular à reta QN e que passa no ponto V

a3) Superfície esférica de centro em U e que passa no ponto T

b) Considere um ponto A, com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U

Sabe-se que OA . OT = 8

Determine a cota do ponto A

c) Determine o volume do poliedro [VNOPQURST]

17. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ ABCDEFGH] (o ponto E não está representado na figura).

100

Sabe-se que:

• o ponto F tem coordenadas (1, 3, -4) • o vetor FA tem coordenadas (2, 3, 6)

a) Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o defina

a1) Plano FGH

z e ,)-j------D

B

/ /

1 A O)- - - - - -

/ y

G /---J a2) Superfície esférica de centro no ponto F à qual pertence o x F

ponto G

b) Sabe-se ainda que a equação 6x + 2y - 3z + 25 = O define o plano HCD

Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto E (vértice do cubo, não representado na figura).


18. Considere, num referencial o .n . Oxyz , os pontos A(O, O, 2) e B(4, O, O)

a) Considere o plano a de equação x - 2y + z + 3 = O

Escreva uma equação do plano que passa no ponto A e é paralelo ao plano a

b) Determine uma equação cartesiana que defina a superfície esférica da qual o segmento de reta [AB] é um diâmetro.

e) Seja P o ponto pertencente ao plano xOy tal que:

• a sua abcissa é igual à abcissa do ponto B • a sua ordenada é positiva;

• BAP ='J[_ 3

Determine a ordenada do ponto P

19. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. Oxyz , o poliedro [ NOPQRSTUV] que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que:

• o vértice P pertence ao eixo Ox • o vértice N pertence ao eixo Oy • o vértice T pertence ao eixo Oz • o vértice R tem coordenadas (2, 2, 2 ) • o plano PQV é definido pela equação 6x + z - 12 = O

a) Determine as coordenadas do ponto V

b) Escreva uma equação cartesiana do plano que passa no ponto P e é perpendicular à reta OR

e) Seja A um ponto pertencente ao plano QRS

Sabe-se que:

• o ponto A tem cota igual ao cubo da abcissa;

• os vetores DA e TQ são perpendiculares.

X

z V

1 ,l----------- --------J---• /' O N y /

P�----� Q

Determine a abcissa do ponto A, recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta:

• equacione o problema;

• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver a equação, devidamente identificado(s) (sugere-se a utilização da janela de visualização em que x E [-4, 4] e y E [-2, 7] );

• apresente a abcissa do ponto A arredondada às centésimas.

101


20. Considere, num referencial o .n . Oxyz, o plano f3 definido pela condição Zx - y + z - 4 = O

a) Considere o ponto P(-2, 1, 3 a) , sendo a um certo número real.

Sabe-se que a reta OP é perpendicular ao plano {3, sendo O a origem do referencial.

Determine o valor de a

b) Considere o ponto A(l, 2, 3 )

Seja B o ponto de intersecção do plano f3 com o eixo Ox

Seja C o simétrico do ponto B relativamente ao plano yOz

Determine a amplitude do ângulo BAC

Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

e) Determine uma equação da superfície esférica de centro na origem do referencial, que é tangente ao plano f3

Na resolução deste item, tenha em conta que o raio relativo ao ponto de tangência é perpendicular ao plano f3

21. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV]

102

Sabe-se que:

• a base [ ABCD] da pirâmide é paralela ao plano xOy

• o ponto A tem coordenadas (-1, 1, 1 ) • o ponto e tem coordenadas (-3, 3, 1 ) • o plano BCV é definido pela equação

3y + z - 10 = 0

a) Escreva uma condição que defina a superfície esférica de centro no ponto A e que é tangente ao plano xOy

b) Determine as coordenadas do ponto V x

z

o

V

' ;p_ _ _ _ e

A B

e) Seja a o plano perpendicular à reta AC e que passa no ponto P(l, -2, -1)

A intersecção dos planos a e BCV é uma reta.

Escreva uma equação vetorial dessa reta.

y


22. Considere, num referencial o.n. Oxyz, o plano a definido pela equação 3x + 2y + 4z - 12 = O

a) Seja C o ponto de coordenadas (2, 1, 4)

Escreva uma equação vetorial da reta perpendicular ao plano a que passa no ponto C

b) Seja D o ponto de coordenadas ( 4, 2, 2)

Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta OD com o plano a

e) Sejam A e B os pontos pertencentes ao plano a, tais que A pertence ao semieixo positivo Ox e B pertence ao semieixo positivo Oy

Seja P um ponto com cota diferente de zero e que pertence ao eixo Oz

Justifique, recorrendo ao produto escalar de vetores, que o ângulo APB é agudo.

23. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [OABCDEFG]

Sabe-se que:

• os pontos C, A e E pertencem aos eixos coordenados

Ox, Oy e Oz, respetivamente;

• o ponto A tem coordenadas (O, 2, O) • o plano OFB é definido pela equação 3x + 3y - z = O

a) Determine uma equação do plano paralelo ao plano OFB que passa no ponto D

b) Defina a reta OB por uma condição.

e) Seja P o ponto de cota igual a 1 que pertence à aresta [BG]

Seja R o simétrico do ponto P relativamente à origem.

Determine a amplitude do ângulo RAP


z

E

X

D G

' F ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' c/L--- -- B , , o A y

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

103


24. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [OPQRSTUV] Sabe-se q ue:

• a face [OPQR] está contida no plano xOy • o vértice Q pertence ao eixo Oy e o vértice T pertence

ao eixo Oz • o plano STU tem equação z = 3

a) Seja T' o simétrico do ponto T, relativamente à origem do referencial.

Escreva uma equação da superfície esférica de diâmetro [TT'] x

b) Determine o valor do produto escalar fJJ5.'Jj§

z

p

s V

1 1 1 1 1 1 1

R ' - --'- ,

Q y

25. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ ABCDEFGH]

104

Sabe-se que: z

• a face [ABCD] está contida no plano xOy • a aresta [CD] está contida no eixo Oy • o ponto D tem coordenadas (O, 4, O )

E:;..-----,,H Fl'----+i--G'-1'

• o plano ACG é definido pela equação x + y - z - 6 = 0

,_ _____ -+ _ _ _ _ jQ _ _ _ _ _ _ - - - -·;.:-e __ ,. o

X

a) Verifique que o vértice A tem abcissa igual a 2

b) Seja P o vértice de uma pirâmide regular de base [EFGH] Sabe-se que:

• a cota do ponto P é superior a 2

• o volume da pirâmide é 4

Determine a amplitude do ângulo OGP


//,./

A B y



1. No balcão de uma geladaria existe um recipiente com dez compartimentos, cinco à frente e cinco atrás, para colocar gelado. Em cada compartimento só é colocado um sabor, e nunca existem dois compartimentos com o mesmo sabor.

Num certo dia, a geladaria tem sete sabores disponíveis: cinco são de fruta (morango, ananás, pêssego, manga e framboesa) e os outros dois são baunilha e chocolate.

a) De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente?

b) De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente, de tal forma que os cinco de fruta preencham a fila da frente?

2. Seja C o conjunto de todos os números naturais com três algarismos (ou seja, de todos os números naturais de 100 a 999).

a) Quantos elementos do conjunto C são múltiplos de 5?

b) Quantos elementos do conjunto C têm os algarismos todos diferentes?

3. De um bilhete de lotaria sabe-se que o seu número é formado por sete algarismos, dos quais três são iguais a 1, dois são iguais a 4 e dois são iguais a 5 (por exemplo: 1 5 5 1 4 1 4).

Determine quantos números diferentes satisfazem as condições anteriores.

105


1. Um fiscal do Ministério das Finanças vai inspecionar a contabilidade de sete empresas, das quais três são clubes de futebol profissional.

A sequência segundo a qual as sete inspeções vão ser feitas é aleatória.

Qual é a probabilidade de que as três primeiras empresas inspecionadas sejam exatamente os três clubes de futebol?

Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

2. Seis amigos entram numa pastelaria para tomar café e sentam-se ao acaso numa mesa retangular com três lugares de cada lado como esquematizado na figura junta.

Determine a probabil idade de dois desses amigos, a Joana e o Rui, ficarem sentados em frente um do outro.

3. Uma roda gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras, numeradas de 1 a 12, com um lugar cada uma (ver figura). Seis raparigas e seis rapazes vão andar na roda gigante e sorteiam entre si os lugares que vão ocupar.

Qual é a probabilidade de rapazes e raparigas ficarem sentados alternadamente, isto é, cada rapaz entre duas raparigas e cada rapariga entre dois rapazes?

Apresente o resultado na forma de percentagem.

4. O João e a irmã Alice querem telefonar a um amigo.

0 0 0

D 0 0 0

Ele lembra-se de q ue o número de telefone do amigo começa por 21 e tem mais sete algarismos: um 3, dois 5, dois 7, dois 8

a) Quantos números existem nestas condições?

b) A Alice também se lembra de que o número de telefone do amigo termina em 857.

Se eles digitarem ao acaso os restantes quatro algarismos, qual é a probabilidade de acertarem à primeira tentativa?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

5. Seja B o conjunto dos números de quatro algarismos diferentes, menores que 3000, que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7

a) Verifique que o conjunto B tem 240 elementos.

106


b) Escolhe-se, ao acaso, um elemento de B

Qual é a probabilidade de que esse elemento seja um número par?


c) Escolhem-se, ao acaso, três elementos de B

Qual é a probabilidade de todos eles serem maiores do que 2000?

Apresente o resultado na forma de dízima, com duas casas decimais.

6. Para inaugurar uma ponte em Cegonhas de Baixo, a respetiva Junta de Freguesia vai organizar uma feijoada.

O principal clube desportivo da região, o Cegonhas Futebol Clube, foi convidado a fazer-se representar no almoço por três quaisquer membros da sua direção.

A Srª. Manuela Si lvestre e o Sr. António Gonçalves são dois dos sete elementos dessa direção.

Se a escolha dos três representantes for feita por sorteio, entre os sete membros da direção do clube, qual é a probabilidade de a Sr•. Manuela Silvestre e o Sr. António Gonçalves irem ambos à feijoada?

Apresente o resultado na forma de uma fração irredutível.

7. Para representar Portugal num campeonato internacional de hóquei em patins foram selecionados dez jogadores: dois guarda-redes, quatro defesas e quatro avançados.

a) Sabendo que o treinador da seleção nacional opta por que Portugal jogue sempre com um guarda-redes, dois defesas e dois avançados, quantas equipas diferentes pode ele constituir?

b) Um patrocinador da seleção nacional oferece uma viagem a cinco dos dez jogadores selecionados, escolhidos ao acaso.

Qual é a probabilidade de os dois guarda-redes serem contemplados com essa viagem?


8. Na figura junta estão representados um prisma quadrangular regular H ________ G e uma pirâmide cuja base [ ABCD] coincide com a base inferior do

.. / prisma. E "-----"-"-"' :: : . F O vértice I da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma.

, . . .. :

;, : : ' .

. . . : ' ...

"

Considerando, ao acaso, cinco dos nove vértices da figura representada, qual é a probabilidade de que pelo menos quatro sejam da pirâmide? / . ·b . . . . . . \ . . . . e

A . . , •

B

107


9. Pretende-se colocar, sobre um tabuleiro situado à nossa frente, como o representado na figura, nove peças de igual tamanho e feitio, das quais quatro são brancas e cinco são pretas.

Cada casa do tabuleiro é ocupada por uma só peça.

a) Mostre que existem 126 maneiras diferentes de as peças ficarem colocadas no tabuleiro.

b) Supondo que as peças são colocadas ao acaso, determine a probabilidade de uma das diagonais ficar só com peças brancas.

10. Na figura está representado o sólido [ ABCDEFGHI]. A

Dispomos de cinco cores (amarelo, branco, castanho, preto e vermelho)

para colorir as suas nove faces.

Cada face é colorida por uma única cor.

a) De quantas maneiras diferentes podemos colorir o sólido, supondo que as quatro faces triangulares só podem ser coloridas de amarelo, de branco ou de castanho, e que as cinco faces retangulares só podem ser coloridas de preto ou de vermelho?

, ,

, , , ,

r - - - - -,."1 C .,/ : B ,____. ___ ..y,

' ' '

F , , ,

r - - - - - - -/ G H

b) Admita agora que o sólido vai ser colorido ao acaso, podendo qualquer cor colorir qualquer face.

Determine a probabilidade de exatamente cinco faces ficarem coloridas de branco e as restantes faces com cores todas distintas.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima.

11. Na figura estão representados dois polígonos:

108

• um pentágono [ ABCDE] • um quadrilátero [ FGHI]

Dos nove vértices representados, não existem três colineares.

a) Determine quantos triângulos têm como vértices três dos nove pontos, de tal modo que dois vértices pertençam a um dos polígonos e o terceiro vértice pertença ao outro polígono.

b) A Sandra e o Jorge escolheram cada um, e em segredo, um dos nove vértices representados.

e

Qual é a probabilidade de os dois vértices, assim escolhidos, pertencerem ambos ao mesmo polígono?

Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.


12. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica de equação x2 + y2 + z2 = 25 Considere todos os triângulos cujos vértices são pontos de intersecção desta superfície esférica com os eixos do referencial.

Escolhido um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por z = O

Indique o resultado em forma de percentagem.

13. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro regular. Sabe-se que:

• um dos vértices do octaedro é a origem do referencial

• a reta ST é paralela ao eixo Oz • o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox • o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy

Escolhidos ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de estes definirem uma reta contida no plano de equação x = y ?


z s

R y

p X

T

14. Na figura está representado um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares.

Q

p a) Pretende-se numerar as doze faces do poliedro, com os números de 1 a 12 (um número diferente

em cada face). Como se vê na figura, duas das faces do poliedro já estão numeradas, com os números 1 e 3.

al) De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números?

a2) De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números, de forma a que, nas faces de uma das pirâmides, fiquem só números ímpares e, nas faces da outra pirâmide, fiquem só números pares?

b) Considere agora o poliedro num referencial o. n. Oxyz, de tal forma que o vértice P coincida com a origem do referencial, e o vértice Q esteja no semieixo positivo Oy

Escolhidos ao acaso três vértices distintos, qual é a probabilidade de estes definirem um plano paralelo ao plano de equação y = O ?


109


15. Três casais, os Nunes, os Martins e os Santos, vão ao cinema.

a) Ficou decidido que uma mulher, escolh ida ao acaso de entre as três mu lheres, paga três bi l hetes, e que um homem, escolhido igualmente ao acaso de entre os três homens, paga outros três bi l hetes.

Qual é a probabilidade de o casal Nunes pagar os seis bilhetes? Apresente o resultado na forma de fração.

b) Considere o seguinte problema:

Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesma fila e em lugares consecutivos,

as seis pessoas distribuem-nos ao acaso entre si. Supondo que cada pessoa se senta no lugar

correspondente ao bilhete que lhe saiu, qual é a probabilidade de os membros de cada casal

ficarem juntos, com o casal Martins no meio?

Numa pequena composição, com cerca de quinze linhas, explique por que razão �; é uma resposta correta a este problema.

16. a) Uma coluna com a forma de um prisma hexagonal regular está assente no chão de um jardim.

Dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, dourado, encarnado e verde) para pintar as sete faces visíveis (as seis faces laterais e a base superior) desse prisma.

Admita que se pintam de verde duas faces laterais opostas.

Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas as restantes cinco faces, de tal modo

• que duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes

• e que duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor.

b) Considere um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das suas bases está contida no plano de equação z = 2

Escolhendo ao acaso dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de eles definirem uma reta paralela ao eixo Oz ? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

17. Em duas caixas, A e B, introduziram-se bolas indistinguíveis ao tato:

110

• na caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis;

• na caixa B: três bolas verdes e quatro azuis.

Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B. De seguida, retira-se, também ao acaso, uma bola da caixa B.

Sabendo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul é igual a � , mostre que a bola que foi retirada da caixa A e colocada na caixa B tinha cor verde.


18. Doze amigos vão passear, deslocando-se num automóvel e numa carrinha, ambos a lugados.

O automóvel dispõe de cinco lugares: o do condutor e mais quatro. A carrinha dispõe de sete lugares: o do condutor e mais seis.

Apenas dois elementos do grupo, a Filipa e o Gonçalo, têm carta de condução, podendo qualquer um deles conduzir, quer o automóvel, quer a carrinha.

a) Os doze amigos têm de se separar em dois grupos, de modo que um grupo viaje no automóvel e o outro na carrinha.

De quantas maneiras diferentes podem ficar constituídos os dois grupos de amigos?

b) Admita agora que os doze amigos já se encontram devidamente instalados nos dois veículos. O Gonçalo vai a conduzir a carrinha.

Numa operação STOP, a Brigada de Trânsito mandou parar cinco viaturas, entre as quais a carrinha conduzida pelo Gonçalo.

Se a Brigada de Trânsito escolher, ao acaso, dois dos cinco condutores para fazer o teste de alcoolémia, qual é a probabilidade de o Gonçalo ter de fazer o teste?

Apresente o resultado na forma de fração i rredutível.

19. Na figura estão representados dois poliedros, o cubo [ ABCDEFGH] e o octaedro [ l]KLMN] (o vértice L do octaedro não está visível).

Cada vértice do octaedro pertence a uma face do cubo.

a) Considere todos os conjuntos que são constituídos por cinco dos catorze vértices dos dois poliedros (como, por exemplo, {A,B,C,K,L}) .

al) Quantos desses conjuntos são constituídos por três vértices do cubo e dois vértices do octaedro?

a2) Quantos desses conjuntos são constituídos por cinco vértices do mesmo poliedro?

b} Escolhem-se ao acaso cinco dos catorze vértices dos dois poliedros.

Qual é a probabilidade de os cinco vértices escolhidos pertencerem todos à mesma face do cubo?


111


20. Na figura está representado um prisma pentagonal regular. Quatro dos vértices desse prisma estão designados pelas letras A, B, E e O .

a) Pretende-se designar os restantes seis vértices do prisma, utilizando letras do alfabeto português (23 letras).

De quantas maneiras diferentes podemos designar esses seis vértices, de tal modo que os cinco vértices de uma das bases sejam designados pelas cinco vogais?

Nota: não se pode utilizar a mesma letra para designar vértices diferentes.

A

b) Ao escolhermos três vértices do prisma, pode acontecer que eles pertençam todos a uma mesma face. Por exemplo, os vértices A, B e O pertencem todos a uma mesma face, o mesmo acontecendo com os vértices A, E e O

Escolhem-se aleatoriamente três dos dez vértices do prisma.

Qual é a probabilidade de esses três vértices pertencerem todos a uma mesma face?


c) Escolhe-se a leatoriamente um vértice em cada base do prisma.

Qual é a probabilidade de o segmento de reta definido por esses dois vértices ser diagonal de uma face?


21. Na figura, está representado o poliedro [ NOPQRSTUV] que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Dispõe-se de sete cores diferentes, das quais uma é branca e outra é azul, para colorir as nove faces do poliedro [ NOPQRSTUV]. Cada face vai ser colorida com uma única cor.

112

Considere a experiência aleatória que consiste em colorir, ao acaso, as nove faces do poliedro, podendo cada face ser colorida por qualquer uma das sete cores.

Determine a probabilidade de, no final da experiência, o poliedro ficar com exatamente duas faces brancas, ambas triangulares, exatamente duas faces azuis, ambas quadradas, e as restantes faces coloridas com cores todas d iferentes.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima.

V

p Q


22. Na Figura 2, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [OPQRSTUV]

Sabe-se que:

• a face [OPQR] está contida no plano xOy • o vértice Q pertence ao eixo Oy e o vértice T pertence

ao eixo Oz

Escolhem-se, ao acaso, três vértices do prisma.

Determine a probabilidade de o plano definido por esses três vértices ser perpendicular ao plano xOy


z

T

X

s V

1 1 1 1 1 1 1 R I - � '

Q y

113

Definição axiomática de probabilidade

Propriedades das probabilidades

1. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S) .

Prove que P(A )+ P(B) + P(A n E) = 1 + P(A n B)

2. Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A e S e B e S) Sabe-se que P(A) = 2P(B) e P(A U B) = 3P(B)

Prove que os acontecimentos A e B são incompatíveis.

3. Seja S um espaço amostral, finito, associado a uma experiência aleatória.

Mostre que é falsa a seguinte afirmação: «Quaisquer que sejam os acontecimentos A e B (A e S e B e S), se P(A) + P(B) = 1 então A u B é um acontecimento certo.»

4. Num saco existem qu inze bolas, indistinguíveis ao tato.

Cinco bolas são amarelas, cinco são verdes e cinco são brancas.

Para cada uma das cores, as bolas estão numeradas de 1 a 5 .

a) Retirando todas as bolas do saco e dispondo-as, ao acaso, numa fila, qual é a probabilidade de as bolas da mesma cor ficarem todas juntas?

Apresente o resultado na forma de dízima, com sete casas decimais.

b) Suponha agora que, no saco, estão apenas algumas das quinze bolas. Nestas novas cond ições, admita que, ao retirarmos, ao acaso, uma bola do saco, se tem:

• a probabilidade de essa bola ser amarela é 50% • a probabilidade de essa bola ter o número 1 é 25% • a probabilidade de essa bola ser amarela ou ter o número 1 é 62,5%

Prove que a bola amarela número 1 está no saco.

5. Seja n o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A, B e C três acontecimentos (A e Q, B e Q e C e Q) tais que (A u B) n C = fÍ

114

Sabe-se que P(A) = 0,21 e que P(C) = 0,47

Calcule P(A U C), utilizando as propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das probabilidades.


6. a) Seja íl o espaço amostra l associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis (A e Q e B e Q). Prove que P(A u E) = P(A ) - P(B) + P(A u B)

b) Numa determinada cidade, das 160 raparigas que fizeram exame nacional de Matemática, 65% tiveram classificação positiva, e dos 120 rapazes que fizeram o mesmo exame, 60% também tiveram classificação positiva.

Escolhendo, ao acaso, um dos estudantes que realizaram o exame, qual é a probabilidade de o estudante escolhido não ser rapaz ou não ter tido classificação positiva? Apresente o resultado em forma de dízima, com aproximação às centésimas.

Nota: se o desejar, utilize a igualdade referida em a). Neste caso, deverá começar por caracterizar

claramente os acontecimentos A e B, no contexto da situação apresentada; no entanto, pode optar

por resolver o problema por outro processo.

7. Um saco contém n bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a n (com n par e superior a 6).

Retira-se, ao acaso, uma bola do saco.


A: «O número da bola retirada é menor ou igual a 6»

B: «O número da bola retirada é par»

Escreva o significado de P(A U B) no contexto da situação descrita e determine uma expressão, em função de n, que dê esta probabilidade.

Apresente a expressão na forma de uma fração.

115


1. Um saco contém seis bolas, numeradas de 1 a 6. As bolas que têm números pares estão pintadas de verde. As bolas que têm números ímpares estão pintadas de azul.

Extraem-se, aleatoriamente, e de uma só vez, duas bolas do saco.

Sejam A e B os seguintes acontecimentos:

A - As duas bolas são da mesma cor.

B - O produto dos números das duas bolas é ímpar.

a) Determine P(A). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

b) Indique, justificando, o valor da probabilidade condicionada P(A 1 B)

2. Seja S o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis (A e S e B e S) .

Sabe-se que:

P(A n B) = 0,1 P(A U B) = 0,8 P(A 1 B) = 0,25

Prove que A e A são acontecimentos equiprováveis.

3. Considere:

116

• uma caixa com seis bolas, todas brancas;

• seis bolas pretas, fora da caixa;

• um dado equi l ibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

Lança-se duas vezes o dado.

Tiram-se, da caixa, tantas bolas brancas quantas o número saído no primeiro lançamento. Colocamse, na caixa, tantas bolas pretas quantas o número saído no segundo lançamento.

a) Qual é a probabilidade de a caixa ficar com seis bolas? Apresente o resultado na forma de fração irredutível .

b) Sejam A e B os acontecimentos:

A: «Sai face 5 no primeiro lançamento do dado.»

B: «Ficam, na caixa, menos bolos brancas do que pretas.»

Indique, j ustificando, o valor da probabilidade condicionada P(B IA ) . Apresente o resultado na forma de fração irredutível.


4. Um saco contém onze bolas, numeradas de 1 a 11

a) Ao acaso, tiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco.


A: «o número da primeira bola retirada é par»

B: «O número da segunda bola retirada é par»

Indique o valor de P(B 1 A ), na forma de fração irredutível, sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada. Justifique a sua resposta, começando por explicar o significado de P(B 1 A) no contexto da situação descrita.

b) Considere novamente o saco com a sua constituição inicial. Ao acaso, extraem-se simultaneamente três bolas do saco e anotam-se os respetivos números.

-,).

Qual é a probabilidade de o produto desses números ser ímpar? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.

5. a) Seja S o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois

acontecimentos possíveis (A e S e B e S).

Prove que P(A n B) = P(A ) - P(B) + P(A 1 Bl x P(B)

b) Das raparigas que moram em Vale do Rei, sabe-se que:

• a quarta parte tem olhos verdes;

• a terça parte tem cabelo louro;

• das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes.

bl) Escolhendo aleatoriamente uma rapariga de Vale do Rei, qual é a probabilidade de ela não ser loura nem ter olhos verdes?

Sugestão: se lhe for útil, pode utilizar a igualdade enunciada na alínea a) para resolver o problema.

b2) Admita agora que em Vale do Rei moram cento e vinte raparigas. Pretende-se formar uma comissão de cinco raparigas, para organizar um baile.

Quantas comissões diferentes se podem formar com exatamente duas raparigas louras?

117


6. Seis amigos, a Ana, o Bruno, a Catarina, o Diogo, a Elsa e o Fi l ipe, vão jantar a um restaurante. Sentamse, ao acaso, numa mesa redonda, com seis lugares (pode considerar que os lugares estão numerados, de 1 a 6).

a) Sejam os acontecimentos:

A: «O Diogo, a Elsa e o Fil ipe sentam-se em lugares consecutivos, ficando a Elsa no meio.»

B: «A Catarina e o Filipe sentam-se ao lado um do outro.»

al) Determine a probabi l idade do acontecimento A. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

a2) Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P(B I A) . Numa pequena composição, justifique a sua resposta, começando por explicar o significado de P(B I A), no contexto da situação descrita.

b) Depois de sentados, os seis amigos resolvem escolher a refeição. Sabe-se que:

• na ementa, existem três pratos de peixe e quatro de carne;

• cada um dos seis amigos vai escolher um único prato, de peixe ou de carne;

• só o Filipe está indeciso se vai escolher peixe ou carne;

• os restantes cinco vão escolher peixe.

De quantas maneiras diferentes podem os seis amigos escolher os seus pratos?

7. Seja .O. o espaço amostral associado a uma experiência a leatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A e Q e B e Q), ambos com probabilidade não nula.

Utilizando a fórmula da probabilidade condicionada e as propriedades das operações com conjuntos, prove que

P( (A n B ) 1 B) = P(A 1 B)

8. Seja .O. o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória.

118

De dois acontecimentos A e B (A e Q e B e Q), de probabilidade não nula, sabe-se que P(A) = P(B) e P(A U B) = SP(A n B)

Determine a probabilidade de acontecer A, sabendo que B aconteceu. Apresente o resultado na forma de fração irredutível .


9. e. a) Seja n o espaço amostral associado a uma certa experiência a leatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A e Q e B e Q), com P(A) > O

Prove que P(A) x [P(B 1 A) - 1] + P(A U B) = P(A )

b) Num encontro desportivo, participam atletas de vários países, entre os quais Portugal.

Metade dos atletas portugueses que participam no encontro são do sexo feminino.

Escolhido ao acaso um atleta participante no encontro, a probabilidade de ele ser estrangeiro ou do sexo masculino é 90%.

Participam no encontro duzentos atletas.

Quantos são os atletas portugueses? Nota: se desejar, pode utilizar a igualdade da alínea a) na resolução deste problema; nesse caso, comece

por explicitar os acontecimentos A e B, no contexto do problema.

' 10. Seja n o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A c Q e B c Q) .

Sabe-se que:

• P(B) = 0,3

• P(A 1 B) = 0,2

• P(A I B) = 0,4

Determine P(B IA )


11. Na figura, está representado um dado cúbico, não equi l ibrado, com as faces numeradas de 1 a 3, em que faces opostas têm o mesmo número.

2

3

Lança-se o dado uma única vez e observa-se o número da face voltada para cima.

Sejam A e B os acontecimentos seguintes.

A: «sair número ímpar»

B: «sair número menor do que 3»

Sabe-se que:

• P(A u B) - P(A n B) = � • P(B I A ) = Â

7 Determine a probabilidade de sair o número 3

119


12. Considere nove fichas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 9

120

a) Considere duas caixas, U e V

Colocam-se as fichas numeradas de 1 a 5 na caixa U e as fichas numeradas de 6 a 9 na caixa V Realiza-se a seguinte experiência.

Retira-se, ao acaso, uma ficha da caixa U e retira-se, também ao acaso, uma ficha da caixa V


A : «A soma dos números das fichas retiradas é igual a 10»

B : «O produto dos números das fichas retiradas é ímpar»

Determine o valor de P(BIA ) , sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada.

Na sua resposta:

explique o significado de P( EIA) no contexto da situação descrita;

indique os casos possíveis, apresentando cada um deles na forma ( u, v) , em que u designa o número da ficha retirada da caixa U e v designa o número da ficha retirada da caixa V indique os casos favoráveis;

apresente o valor pedido na forma de fração irredutível.

b) Na figura, está representado um tabuleiro com 16 casas, dispostas em quatro filas horizontais

(A, B, C e D) e em quatro filas verticais ( 1, 2, 3 e 4) Pretende-se dispor as nove fichas (numeradas de 1 a 9) no tabuleiro, de modo que cada ficha ocupe uma única casa e que cada casa não seja ocupada por mais do que uma ficha.

De quantas maneiras diferentes é possível dispor as nove fichas, de tal forma que as que têm número par ocupem uma única fila horizontal?

A

B

e

D

2 3 4


13. Um saco contém n bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a n, sendo n um número par maior do que 3

a} Retiram-se, em simultâneo e ao acaso, três bolas do saco.

Escreva uma expressão, em função de n, que dê a probabilidade de, dessas três bolas, duas terem número par e uma ter número ímpar.

Não simplifique a expressão que escrever.

b} Admita agora que n � 8

Ao acaso, extraem-se sucessivamente duas bolas do saco (primeiro uma e depois outra} e observa-se o número de cada uma delas.


A : «A primeira bola extraída tem número par.»

B : «A segunda bola extraída tem número par.»

Determine o valor de P(A n B) no caso em que a extração é feita com reposição e no caso em que a extração é feita sem reposição.

Justifique a sua resposta, tendo em conta que P( A n B) � P(A) x P(BIA)

Na sua resposta:

interprete o significado de P(A n B), no contexto da situação descrita;

indique o valor de P(BIA), no caso de a extração ser feita com reposição;

indique o valor de P(BIA), no caso de a extração ser feita sem reposição;

apresente o valor de P(A n B), em cada uma das situações (designe esse valor por a no caso de a extração ser feita com reposição e por b no caso de a extração ser feita sem reposição).

121


14. Uma escola secundária tem alunos de ambos os sexos.

a) Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola.

Seja A o acontecimento «o aluno escolhido é rapariga», e seja B o acontecimento «O aluno escolhido frequenta o 10º ano».

Sabe-se que:

• a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz ou não frequentar o 10º ano é 0,82 1

• a probabilidade de o aluno escolhido frequentar o 10º ano, sabendo que é rapariga, é 3

Determine P(A)

b) Uma das turmas dessa escola tem trinta alunos, numerados de 1 a 30

Com o objetivo de escolher quatro alunos dessa turma para formar uma comissão, introduzem-se, num saco, trinta cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de 1 a 30. Em seguida, retiram-se quatro cartões do saco, simultaneamente e ao acaso.

Qual é a probabilidade de os dois menores números saídos serem o 7 e o 22 ?

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

15. Considere duas caixas, C1 e C2 . A caixa C1 tem 12 bolas, das quais cinco são brancas e as restantes são pretas. A caixa C2 tem sete bolas, umas brancas e outras pretas.

122

Considere a experiência que consiste em retirar, simu ltaneamente e ao acaso, duas bolas da caixa C1 , colocá-las na caixa C2 e, em seguida, retirar, também ao acaso, uma bola da caixa C2


A : «As bolas retiradas da caixa C1 têm a mesma cor.»

B : «A bola retirada da caixa C2 é branca.»

Sabe-se q ue P(B 1 A) � �

Interprete o significado de P(B 1 A ) e indique, justificando, quantas bolas brancas e quantas bolas pretas existiam inicialmente na caixa C2


1 . A pressão atmosférica de cada local da Terra depende da altitude a que este se encontra.

Admita que a pressão atmosférica P (medida em quilopascal) é dada, em função da altitude h (em quilómetros), por P(h) = 101e-o,tzh

a) A montanha mais alta de Portugal é o Pico, na ilha do Pico - Açores.

A altitude do cume do Pico é 2350 metros.

Qual é o valor da pressão atmosférica, nesse local?

Apresente o resultado em quilopascal, arredondado às unidades.

b) Determine x tal que, para qualquer h, P(h + x) = � P(h) Apresente o resultado arredondado às décimas.

Interprete o valor obtido, no contexto desta igualdade.

2. Num lago onde não havia peixes, introduziram-se, num determinado momento, alguns peixes.

Admita que, t anos depois, o número de peixes existentes no lago é dado aproximadamente por

( t ) - 2000 f - 1 k -O 13 t + e , onde k designa um número real.

a) Determine o valor de k, supondo que foram introduzidos 100 peixes no lago.

b) Admita agora que k = 24. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos, resolva o seguinte problema:

Ao fim de quantos anos o número de peixes no lago atinge o meio milhar? Apresente o resultado arredondado às unidades.

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

123


3. A acidez de uma solução é medida pelo valor do seu pH, que é dado por pH = - log10 ( x) , onde x

designa a concentração de iões H3o+, medida em mol/dm3

4.

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes:

a) Admita que o pH do sangue arterial humano é 7,4

Qual é a concentração (em moljdm3) de iões H3ü+, no sangue arterial humano?

Escreva o resultado em notação científica, isto é, na forma a x lOb, com b inteiro e a entre 1 e 10. Apresente o valor de a arredondado às unidades.

b) A concentração de iões H3ü+ no café é tripla da concentração de iões H3ü+ no leite. Qual é a diferença entre o pH do leite e o pH do café? Apresente o resultado arredondado às décimas.

Sugestão: comece por designar por 1 a concentração de iões H3ü+ no leite e por exprimir, em função de /, a concentração de iões H3o+ no café.

A figura representa um reservatório com três metros de altura.

Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e que, num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado.

O reservatório fica vazio ao fim de catorze horas.

T h(t) i

T 3 m

l Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após este ter começado a ser esvaziado, é dada por h ( t) = log2 (a - bt) , t E [O, 14] , onde a e b são constantes reais positivas.

a) Mostre que a = 8 e que b = �

b) Prove que a taxa de variação média de h no intervalo [6, 11 ] é -0,2

Interprete este valor no contexto da situação descrita.

5. A magnitude aparente (m) e a magnitude absoluta (M) de uma estrela são grandezas utilizadas em Astronomia para calcular a distância (d) a que essa estrela se encontra da Terra.

124

As três variáveis estão relacionadas pela fórmula 100A(m- M) = 1�2

0 (d é medida em parsec, unidade utilizada em Astronomia para grandes distâncias.)

a) A Estrela Polar tem magnitude aparente m = 2, sendo a sua magnitude absoluta M = -4,6

Qual é a distância da Terra à Estrela Polar? (Apresente o resultado em parsec, arredondado às unidades.)

Sempre que1 nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas

decimais.


b) Prove que, para quaisquer m, M e d, se tem: m = M - 5 (1 - log10d)

6. Seja e um número real maior do que 1

Na figura está representada uma parte do gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = ex - e Tal como a figura sugere

• A é o ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo Ox • B é o ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo Oy

Mostre que:

Se o declive da reta AB é e - 1, então e = e

y

o X

B

7. Considere, num referencial ortonormado xOy, os gráficos das funções f e g, de domínio [O, 3] , definidas por f(x) = ln (x + Z) e g(x) = e - ex-l

Determine a área de um triângulo [OAB], com aproximação às décimas, recorrendo às capacidades

gráficas da sua calculadora.

Para construir o triângulo [ OAB], percorra os seguintes passos:

• visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções, no domínio indicado;

• reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora;

• assinale, ainda:

- a origem O do referencial;

- o ponto A de intersecção dos gráficos das duas funções, indicando as suas coordenadas, com aproximação às décimas;

- o ponto B de intersecção do gráfico da função g com o eixo Ox

8. Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação

log2 (x - 1 ) + log2 (13 - x) S: 5

Apresente a sua resposta na forma de união de intervalos de números reais.

125


9. Quando uma substância radioativa se desintegra, a sua massa, medida em gramas, varia de acordo com uma função do tipo

m ( t ) = a eht , t 2: O ,

em que a variável t designa o tempo, medido em milénios, decorrido desde um certo instante inicial . A constante real b depende da substância e a constante real a é a massa da substância no referido instante inicial.

Resolva as a l íneas seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos.

a) O carbono-14 é uma substância radioativa utilizada na datação de fósseis em que esteja presente.

Relativamente a um certo fóssil, sabe-se que:

• a massa de corbono-14 nele presente, mil anos depois de um certo instante inicial, era de 2,91 g

• a massa de carbono-14 nele presente, dois mil anos depois do mesmo instante inicial, era de 2,58 g

Tendo em conta estes dados, determine:

• o valor da constante b para o carbono-14

• a massa de carbono-14 que existia no fóssil, no referido instante inicial.

Apresente os dois valores arredondados às centésimas

Nota - Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas

decimais.

b) O rádio-226 é outra substância radioativa. Em relação ao rádio-226, sabe-se que b = -0,43

Verifique que, quaisquer que sejam os valores de a e de t, m � 1 t\6) é constante.

Determine o valor dessa constante, arredondado às décimas, e interprete esse valor, no contexto da situação descrita.

10. Admita que a magnitude, M, de um sismo, é dada, na escala de Richter, por

126

M = 0,67 log E - 3,25 ( log designa logaritmo de base 10 )

sendo E a energia, em joules, l ibertada nesse sismo.

Resolva, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, os dois itens seguintes.

A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos,

use duas casas decimais.

a) Sejam E1 e E2 as energias l ibertadas em dois sismos de magnitudes M1 e M2 , respetivamente.

Determine �� , com aproximação às unidades, sabendo que M1 - M2 = 1

Interprete o valor obtido no contexto da situação apresentada.


b} O sismo que ocorreu nos Açores, no dia 1 de Abril de 2009, teve magnitude 4,7 na escala de Richter.

Qual foi a energia libertada nesse sismo?

Escreva o resultado em notação científica, isto é, na forma a x 10b , sendo b um número inteiro, e a um número entre 1 e 10.

Apresente o valor de a arredondado às unidades.

11. Numa certa região, uma doença está a afetar gravemente os coelhos que lá vivem. Em consequência dessa doença, o número de coelhos existentes nessa região está a diminuir.

Admita que o número em milhares, de coelhos que existem nessa região, t semanas após a doença ter sido detetada, é dado aproximadamente por

f( t ) = 3 - 2�-0,13t ( k designa um número real positivo)

Resolva, usando exclusivamente métodos analíticos, os dois itens seguintes.

A calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos; sempre que, em cálculos intermédios, proceder a

arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

a) Suponha que k = 10

Ao f im de quantos dias, após a doença ter sido detetada, é que o número de coelhos existentes na referida região é igual a 9000 ?

b} Admita agora que o valor de k é desconhecido.

Sabe-se que, durante a primeira semana após a deteção da doença, morreram dois mil coelhos e não nasceu nenhum.

Determine o valor de k, arredondado às décimas.

12. Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação

log3 (7x + 6) 2: 2 + log3 (x)

Apresente a sua resposta usando a notação de intervalos de números reais.

127


13. Na década de sessenta do século passado, uma doença infeciosa atacou a população de algumas regiões do planeta.

Admita que, ao longo dessa década, e em qualquer uma das reg1oes afetadas, o número, em milhares, de pessoas que estavam infetadas com a doença, t anos após o início de 1960, é dado, aproximadamente, por

3 kt / ( t ) = e l + p é'

em que k e p são parâmetros reais.

Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos.

a) Admita que, para uma certa região, k = � e p = 1

Determine o ano em que o número de pessoas que estavam infetadas, nessa região, atingiu 2500

Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo1 três casas

decimais.

b) Numa outra região, constatou-se que havia um milhar de pessoas que estavam infetadas no início de 1961.

Qual é, para este caso, a relação entre k e p ? Apresente a sua resposta na forma k = - ln (A + B p ), em que A e B são números reais.

14. Na figura, está representada, num

128

referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f, de domínio J-oo, 6[, definida

por /(x) = 2 + 15 ln (3 - � x)

Considere que um ponto C se desloca ao longo do gráfico de f, e que C tem coordenadas positivas.

Para cada posição do ponto C, considere o retângulo [OACB], em que o ponto A

e B f------'�

o A

pertence ao eixo das abcissas e o ponto B pertence ao eixo das ordenadas.

p

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto A para a qual a área do retângulo [ OACB] é máxima.

Na sua resposta, deve:

• escrever a expressão que dá a área do retângulo [ OACB] em função da abcissa do ponto A; • reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na

calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

• indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas.


15. Considere a função f, de domínio R e a função g, de domínio ]O, +oo[, definidas por

J(x) = ex-z _ 4e-x + 4 e g(x) = - ln (x) + 4 e2

a} Mostre que ln (2 + 2 Vz) é o único zero da função f, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

b} Considere, num referencial o.n. xOy, os gráficos das funções f e g e o triângulo [OAB]

Sabe-se que: • O é a origem do referencial • A e B são pontos do gráfico de f • a abcissa do ponto A é o zero da função f • o ponto B é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o gráfico da função g

Determine a área do triângulo [ OAB] , recorrendo à calculadora gráfica.


• reproduzir os gráficos das funções f e g, devidamente identificados, incluindo o referencial;

• assinalar os pontos A e B

• indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às centésimas;

• apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas.

16. Considere, num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função f, de domínio [-1, 2] , definida por f(x) = -x - 31+ln(x'+l ) , o ponto A de coordenadas (2, 0) e um ponto P que se desloca ao longo do gráfico da função f

Existe uma posição do ponto P para a qua l a área do triângulo [AOP] é mínima.

Determine a área desse triângulo, recorrendo à calculadora gráfica.


• reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

• indicar o valor da área do triângulo [ AOP] com arredondamento às centésimas.

129


17. Considere, num referencial o .n . xOy, a representação gráfica da função f, de domínio [O, 1 0] , X

definida por /(x) =-e 2 + x2 + 8, e dois pontos A e B

Sabe-se que:

• o ponto A é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o eixo das ordenadas;

• o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa positiva;

• a reta AB tem declive -2

Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificados;

- indicar o valor da abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.

18. O movimento de uma nave espacial é um movimento de propulsão provocado pela l ibertação de gases resultantes da queima e explosão de combustível .

Um certo tipo de nave tem por função o transporte de carga destinada ao abastecimento de uma estação espacial.

Designemos por x a massa, em milhares de toneladas, da carga transportada por uma nave desse tipo e por V a velocidade, em quilómetro por segundo, que essa mesma nave atinge no instante em que termina a q ueima do combustível.

Considere que V é dada, em função de x, por V( X)= 3 Jn ( XX: 36°0° ) ( x ?': 0)

Nos itens a) e b), a calculadora só pode ser utilizada em cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.

a) Admita que uma nave do tipo referido transporta uma carga de 25 mil toneladas.

Determine quanto tempo demora essa nave a percorrer 200 qui lómetros a partir do instante em que termina a queima do combustível, sabendo que a velocidade da nave se mantém constante a partir desse instante.

Apresente o resultado em segundos, arredondado às unidades.

b) Determine qual deve ser a massa da carga transportada por uma dessas naves, de modo que atinja, após a q ueima da totalidade do combustível, uma velocidade de 3 quilómetros por segundo.

Apresente o resultado em milhares de toneladas, arredondado às unidades.

19. Seja k um número real positivo.

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Considere a função g, de domínio ]-k, +oo[, definida por g(x) = In(x + k)

Mostre que: se g(O ) x g(k) < O, então k E g , 1[ Na resolução deste item, não utilize a calculadora.


1. Aqueceu-se água num recipiente, durante um determinado tempo, num local onde a temperatura ambiente é constante e igual a 25º Celsius. I nterrompeu-se o processo de aquecimento, e nesse instante, a água começou a arrefecer.

O arrefecimento da água segue a Lei do arrefecimento de Newton, de acordo com o modelo matemático T( t ) � 25 + 48e-o,ost, em que T( t ) representa a temperatura da água em graus Celsius, t minutos após o in ício do arrefecimento.

Em eventuais cálculos intermédios, sempre que proceder a arredondamentos, use quatro casas decimais.

a) Determine T( O) e lim T( t ) t_,.+oo

Interprete os valores obtidos, no contexto do problema.

b) Determine ao fim de quanto tempo, após o início do arrefecimento, a temperatura da água atinge os 36° Celsius. Apresente o resultado em minutos e segundos, com estes arredondados às unidades.

2. Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu formar uma associação desportiva. Admita que, t dias após a constituição da associação, o número de sócios é dado, aproximadamente, por

N( t ) - 2000 t :O: O -1 + 199e-0,01t '

Em eventuais cálculos intermédios, sempre que proceder a arredondamentos, use aproximações às milésimas.

a) Determine N(O) e lim N(t) t-----+oo

Interprete os valores obtidos, no contexto do problema.

b) Ao fim de quantos dias se comemorou a inscrição do sócio número 1000?

131

LIM ITES, ASSÍNTDTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

3. De uma função g, de domínio R+, sabe-se que a bissetriz dos quadrantes ímpares é uma assíntota do seu gráfico.

Seja h a função, de domínio R+, definida por h(x) = g(;) X Prove que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico de h

4. De uma certa função f, de domínio R, sabe-se que: • f é contínua; • a reta de equação y = x é assíntota do gráfico de f, quer quando x - +oo, quer quando x - -oo

Mostre que o gráfico da função g, definida, em R, por g(x) = xf(x), não tem qualquer assintota.

5. Seja f : [0, 2 ] - R uma função contínua tal que /(0) = /(2 ) = 0 e /(1) > 0

Prove que existe pelo menos um número real e no intervalo [O, 1] tal que /(e )= f(c + 1 ) Sugestão: considere a função g : [0, 1] - ll:, definida por g(x) = f(x) -f(x + l)

6. De uma função g, de domínio ]O, +oo[, sabe-se que: • não tem zeros; • a reta de equação y = x + 2 é assíntota do seu gráfico.

2 Seja h a função, de domínio ]O, +oo[, definida por h(x) = g(x)

Prove que a reta de equação y = x - 2 é assíntota do gráfico de h

7. Sejam f e g duas funções, ambas de domínio R+

Sabe-se que:

• lim (f(x) - Zx) = O x----+oo

• a função g é definida por g(x) = /(x) + x2

Prove que o gráfico de g não tem assintotas oblíquas.

132


8. Considere a função h, de domínio R definida por h(x) = 2 1R+:4 - x

e2x - 1 X

se x > O se x = O

se x < O

Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, os dois itens seguintes.

a) Estude a continuidade de h no domínio R

b) Estude a função h quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva as suas equações.

9. Considere a função g, de domínio lR, definida por g (x) = ex + 3 ex

Estude, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, a função g, quanto à existência de assíntotas do seu gráfico e, caso existam, escreva as suas equações.

10. Seja f a função, de domínio R+, definida por /(x) = 2 + log3x

Resolva os três itens seguintes sem recorrer à calculadora.

a) Determine o conjunto dos números reais para os quais se tem

Apresente a sua resposta na forma de intervalo de números reais.

b) Determine o valor de /(361000) - /(41000)

c) Seja g a função, de domínio R+, definida por g (x) = x + f(x)

Mostre q ue :Jc E [1, 3 ] : g(c) = 5

11. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio [-a, a]

Sabe-se que f(-a) = f(a) e f(a) > /(O)

Mostre que a condição /(x) = f(x + a) tem, pelo menos, uma solução em [-a, O ]

133


12. Considere duas funções g e h, de domínio R+ Sabe-se que:

• a reta de equação y = 2x - 1 é assintota do gráfico da função g

• a função h é definida por h (x) = l - [g;x)]2 X

Mostre que o gráfico da função h tem uma assíntota horizontal.

13. Considere a função f, de domínio R, definida por

l ex-4 - 3x + 11 4 - x f(x) = ln (2ex - e4)

se x < 4

se x 2:: 4

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Averigue se a função f é contínua em x = 4

b) O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando x tende para +=, de equação y = x + b, com b E R Determine b

14. Considere a função f, de domínio )-=, -1[ U )1, +=[, definida por f(x) = ln(�� i )

134

Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

b) Seja a um número real maior do que 1 Mostre que a reta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissas a e -a passa na origem do referencial.


15. O José e o António são estudantes de Economia. O José pediu emprestados 600 euros ao António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mensais sujeitas a um certo juro.

Para encontrarem as condições de pagamento do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma fórmula que tinham estudado e estabeleceram um contrato.

Nesse contrato, a prestação mensal p, em euros, que o José tem de pagar ao António é dada por

p = 600x (x > 0) 1 - e-nx

em que n é o número de meses em que o empréstimo será pago e x é a taxa de juro mensal.

Resolva os itens a) e b) recorrendo a métodos analíticos.

Na resolução do item a), pode utilizar a calculadora para efetuar eventuais cálculos numéricos.

a) O José e o António acordaram que a taxa de juro mensal seria 0,3% ( x = 0,003)

Em quantos meses será pago o empréstimo, sabendo-se que o José irá pagar uma prestação mensal de 24 euros?

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

b) Determine lim 600x em função de n, e interprete o resultado no contexto da situação x--+O 1 - e-nx 1

descrita.

16. Seja g uma função contínua, de domínio R, tal que:

• para todo o número real x, (go g ) (x) =x

• para um certo número real a, tem-se g( a) > a+ 1

Mostre que a equação g( x) = x + 1 é possível no intervalo [a, g( a)]

135

Derivadas

1. Considere a função f, de domínio R_+, definida por /( x) = ln( x + ; )

Sem recorrer à calculadora, resolva as alíneas seguintes:

a) Estude a função quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.

b) Calcule lim (!( x ) - lnx) x-+oo

2. Considere a função f, de domínio R_+, definida por /(x) = 2x - xlnx Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as alíneas seguintes:

a) Determine a abcissa do ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo Ox b) Estude f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

c) Na figura está, em referencial o. n . xOy, parte do gráfico da função f

y r

f B

A o 1 X

A reta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1, intersecta o eixo Oy no ponto B e o eixo Ox no ponto A. Determine a área do triângulo [ AOB]

3. Prove que, para qualquer função quadrática g, existe um e um só ponto do gráfico onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

136


4. Seja h a função de domínio ] -1, +oo[ definida por h(x) = 4 - x + ln(x + l )

Resolva, usando métodos analíticos, as alíneas seguintes.

A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos,

use, pelo menos, duas casas decimais.

a) Estude a função h, quanto à monotonia, no seu domínio.

Indique os intervalos de monotonia e, se existir algum extremo relativo, determine-o.

b) J ustifique, aplicando o Teorema de Bolzano-Cauchy, que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo [ 5, 6]

5. Considere a função f, de domínio JR\ { 1} , definida por /( x) = x e: 1

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as a l íneas seguintes:

a) Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

b) Resolva a equação ln[/( x)] = x ( ln designa logaritmo de base e )

c) Estude a função f quanto à existência de assintotas verticais e horizontais do seu gráfico.

6. Seja f a função, de domínio ]1, +ao[, definida por /( x) = x + x ln( x - 1 )


a) Estude a função quanto à existência de assintotas do seu gráfico.

b) Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, uma reta r

e um trapézio [ OPQR] y

• Q tem abcissa 2 e pertence ao gráfico de f (o qual não está R 1-------1 representado na figura)

• r é tangente ao gráfico de f no ponto Q

• P é o ponto de intersecção da reta r com o eixo Ox

• R pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à do ponto Q

Determine a área do trapézio [ OPQR]. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

o

r

X

137

DERIVADAS

7. Considere a função f, de domínio JR\ {O}, definida por f( x) = 1 + ln( x2)

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos:

a) Determine os pontos de intersecção do gráfico de f com o eixo Ox

b) Estude a função quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.

se O < x < l 8. Seja f a função de domínio JR+, definida por f(x) =

j ,:x

X e2-x se x 2: 1

a) Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes:

al) Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.

a2) Mostre que 3x E [4, 5 ] : f(x) + f(e-1 ) = 0

a3) Estude a função f quanto à monotonia, no intervalo Jo, 1 [

b) Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2

Seja s a reta que passa na origem do referencial e é paralela à reta r

A reta s intersecta o gráfico de f num ponto.

Utilizando a sua calculadora, determine as coordenadas desse ponto. Apresente os valores arredondados às centésimas. Explique como procedeu, apresentando o gráfico, ou gráficos, obtido(s) na calculadora.

9. Admita que a concentração de um produto químico na água, em gramas por litro, t minutos após a sua colocação na água, é dada, aproximadamente, por

138

e( t ) = 0,5 t2 x e-0•1 ', com t 2: O

Resolva as al íneas seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

a) Mostre que, durante os primeiros 15 minutos após a colocação desse produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi 13 gramas por litro.

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais.

b) Determine o valor de t para o qual a concentração desse produto químico na água é máxima.


10. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Ql -Ul

1 o o._

o N

'* f(x) o 1 o._

o �

X 30m

Considere a função f definida por f( x) = 5( el-O,lx + eü,lx-1)

Admita que /( x) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado x metros à d ireita do primeiro poste.

a) Determine a diferença de altura dos dois postes. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três

casas decimais.

b) Recorrendo ao estudo da derivada da função f, determine a distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próximo do solo.

e) Determine, com aproximação à décima de metro, a distância ao primeiro poste dos pontos do fio que se encontram a 15 metros do solo. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três

casas decimais.

139

DERIVADAS

11. Admita que a intensidade da luz solar, x metros abaixo da superfície da água, é dada, numa certa un idade de medida, por

I(x) = ae-hx (x ::> O )

a e b são constantes positivas que dependem do instante e do local onde é efetuada a medição.

Sempre que se atribui um valor a a e um valor a b, obtemos uma função de domínio Ró

a) Medições efetuadas, num certo instante e em determinado local do oceano Atlântico, mostraram que, a 20 metros de profundidade, a intensidade da luz solar era metade da sua intensidade à superfície da água.

Determine o valor de b para esse instante e loca l. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

b) Considere agora b = 0,05 e a = 10

Estude essa função quanto à monotonia e existência de assíntotas do seu gráfico. Interprete os resultados obtidos no contexto da situação descrita.

12. Considere a função f, de domínio R, definida por j x + 1 + 1 se x 7' -1 1 - ex+l

/( x) = (a é um número real)

a + 2 se x = -1

Resolva as alíneas seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

a) Determine a sabendo que f é contínua em x = -1

b) Seja f' a derivada de f

Mostre, sem resolver a equação, que J'( x) = ! tem, pelo menos, uma solução em ] O, 1 [

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos num é ricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.

13. Considere a função f, de domínio [O, +ao[, definida por

140

f(x) =

eZ-x - 1 x - 2

x + l ln(x + l )

se O :S x < 2

se x ::> 2

Resolva as alíneas seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

a) Estude f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.


b} Mostre, sem resolver a equação, que f( x) = -3 tem, pelo menos, uma solução em [O, � ] e) Estude f quanto à monotonia em ]2, +oo[

14. Pretende-se ligar uma fábrica F a uma central de tratamento de resíduos C, por meio de uma conduta, conforme a figura.

• A conduta deve seguir ao longo de um muro, até um certo ponto B, e daí deve seguir em linha reta até à central de tratamento.

• Designou-se por A o ponto do muro mais próximo da central de tratamento.

• A distância da fábrica ao ponto A é de 4 Km, e a distância deste ponto à central é de 2 Km.

• Designou-se por x a distância entre A e B (em quilómetros).

O preço de colocação da conduta é:

• três mi l contos por quilómetro, ao longo do muro;

• cinco mi l contos por quilómetro, do muro à central de tratamento.

--- 4 Km __ ..,

Muro F B t

2 Km

í e

a) Mostre que o preço de colocação da conduta, em milhares de contos, é dado, em função de x,

por p(x) = 12 - 3 x + S/x2 +4 (x c ]0, 4[)

b} Determine o valor de x para o qual o preço de colocação da conduta é mínimo.

15. De uma função f, de domínio lR, sabe-se que:

• f tem derivada finita em todos os pontos de R

• f(ü) = -1

• f é estritamente crescente em R- e é estritamente decrescente em JR+

Seja g a função, de domínio R, definida por g( x) = [!( x) J2

Prove que 1 é o mínimo da função g

16. Seja f uma função de domínio R, com derivada finita em todos os pontos do domínio, e crescente. Sejam a e b dois quaisquer números reais. Considere as retas r e s, tangentes ao gráfico de f nos pontos de abcissas a e b, respetivamente.

Prove que as retas r e s não podem ser perpendiculares.

141

DERIVADAS

17. De uma certa função f : R+ � R sabe-se que:

• /(1 ) = 0

• a sua derivada, f' , é definida por f' ( x) = 1 + ;nx

a) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1

b) Poderá concluir-se que f é contínua para x = 1 ? Justifique a sua resposta.

e) Mostre que /" ( x) = -J�x e estude f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e à X existência de pontos de inflexão.

se x < 1 18. Considere a função f, de domínio R, definida por /( x) =

l x� l a) O gráfico de f admite uma assíntota horizontal.

2 + Jnx X se x 2: 1

Seja P o ponto de intersecção dessa assíntota com a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e Determine as coordenadas do ponto P recorrendo a métodos exclusivamente anal íticos.

b) Existem dois pontos no gráfico de f cujas ordenadas são o cubo das abcissas.

Determine as coordenadas desses pontos recorrendo à calculadora gráfica.


• equacionar o problema;


• assinalar esses pontos;

• indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento às centésimas.

19. De uma função f, de domínio R, sabe-se que a sua derivada é dada por

142

f'(x) = (x + l)ex - lOx

Seja A o único ponto de inflexão do gráfico de f

Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A, arredondada às décimas. Explique como procedeu. Inclua, na sua explicação, o(s) gráfico(s) que obteve na calculadora.


20. Considere, para cada a E ] O, 1 [, a função, de domínio Jl'.+, definida por f( x) = xª

Prove que, qualquer que seja o valor de a E ] O, l[ , o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo.

21. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento cuja concentração C( t ) no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado, é dada por

e( t ) = z t rº·3 ' ( t 2: o)

Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, as alíneas seguintes.

a) Calcule lim C( t ) e interprete esse valor no contexto da situação apresentada. t-+oo

b) Determine a que horas se verificou a concentração máxima.

Apresente o resultado em horas e minutos, arredondando estes às unidades.

Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a

arredondamentos, use três casas decimais.

22. Considere a função f, de domínio R definida por f( x) = 3 + 4x2e-x

Resolva as alíneas seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos.

a) Mostre que o gráfico da função f tem uma única assíntota e escreva uma equação dessa assíntota.

b) Mostre que a função f tem um único mínimo relativo e determine-o.

e) Seja g a função, de domínio ll'.\ {O} , definida por g( x) = x + ln[f( x) - 3 ] Determine os zeros da função g

143

23. De uma certa função f, sabe-se que:

• o seu domínio é ]1, +oo[

DERIVADAS

• a sua derivada é dada por f'(x) = x2 - 4x + � - 4 ln(x - 1)

a) Na figura, estão representadas:

• parte do gráfico da função f • a reta r que é tangente ao gráfico da função f no

ponto A, de abcissa 2

• a reta s que é tangente ao gráfico da função f no ponto B

As retas r e s são paralelas.

Seja b a abcissa do ponto B

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o valor de b



y

o 2 b X

• reproduzir e identificar o(s) gráfico(s) que tiver necessidade de visualizar na calculadora para resolver graficamente a equação;

• assinalar o ponto relevante para a resolução do problema;

• apresentar o valor de b arredondado às centésimas.

b) Tal como a figura sugere, o gráfico da função f tem um ponto de inflexão.

Determine a abcissa desse ponto, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

24. Considere a função f, de domínio lll!.\ {O}, definida por l ex - 1 e4x - 1 f(x) =

x ln(x)

se x < O

se x > O

Resolva as alíneas a) e b) recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Estude a função f quanto à existência de assintotas verticais do seu gráfico.

b) Seja g a função, de domínio Jll!.+, definida por g( x) = J( x ) - x + ln 2 x

Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em ] O, e] 144


Resolva a alínea seguinte recorrendo à calculadora gráfica.

c) Considere, num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função g, de domínio JR+, definida por g(x) =/(x) - x + ln2x

Sabe-se que:

• A é o ponto de coordenadas ( 2, O )

• B é o ponto de coordenadas (5, O )

• P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função g

Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ ABP]

Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ ABP] é 1

Na sua resposta, deve: • equacionar o problema; • reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na

calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; • indicar as abcissas dos pontos P com arredondamento às centésimas.

25. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio lR, definida por

/(x) =

3x 1 - e2x

lnk

L - ln (_fu_) 2 x + 1

se x < O

se x = O

se x > O

Resolva as alíneas seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Determine k de modo que lim /( x) = f( O) x - o-

b} Mostre que ln ( IJ) é um extremo relativo d a função f no intervalo ] ü, +oo[

26. Considere as funções f e g, de domínio ]-oo, o[, definidas por

ln(-x) /(x) = x - 1 + e g(x) = -x + /(x) X Resolva as alíneas seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico e, caso existam, indique as suas equações.

b) Mostre que a condição /( x) =-e tem, pelo menos, uma solução em [-e, -1]

c) Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso existam, os valores de x para os quais a função g tem extremos relativos.

145

DERIVADAS

27. Considere a função g, de domínio JR+, definida por g(x) = 1 +1nx X

a) Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso existam, os valores de x para os quais a função g tem extremos relativos.

b) Considere, num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função g, os pontos A e B, e a reta r de equação y = mx, com m < O

Sabe-se que:

• os pontos A e B pertencem ao gráfico da função g • a abcissa do ponto A é o zero da função g • o ponto B é o ponto de intersecção da reta r com o gráfico da função g • a área do triângulo [OAB] é igual a 1

Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica.


equacionar o problema;

reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizados, devidamente identificados;

indicar a abcissa do ponto A e a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.

se x :S O

28. Seja f a função, de domínio R, defin ida por f ( x) =

12x+ 1 + e-x

3x+ lnx X

146

se x > O

Resolva as alíneas seguintes recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Seja t a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1

Determine a equação reduzida da reta t

b) Estude a função f quanto à existência de assintotas do seu gráfico.


• mostrar que existe uma única assintota vertical e escrever uma equação dessa assintota;

• mostrar que existe uma assintota horizontal quando x � +oo e escrever uma equação dessa assintota;

• mostrar que não existe assintota não vertica l quando x � -oo


e) Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f, os pontos A e B, ambos pertencentes ao gráfico de f, e a reta AB

Sabe-se que:

• a reta AB é paralela à bissetriz dos quadrantes pares;

• os pontos A e B têm abcissas simétricas;

• a abcissa do ponto A pertence ao intervalo ]ü, 1 [

Seja a a abcissa do ponto A

Determine o valor de a, recorrendo à calculadora gráfica.



y

f B

A

o X

• reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s);

• indicar o valor de a, com arredondamento às milésimas.

29. Na figura, está representado um recipiente cheio de um líquido viscoso.

Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa à sua base, encontra-se uma esfera. Essa esfera está ligada a um ponto P por uma mola esticada.

Num certo instante, a esfera é desprendida da base do recipiente e inicia um movimento vertical. Admita q ue, t segundos após esse instante, a distância, em centímetros, do centro da esfera ao ponto P é dada por

d( t ) = 10 + (5 - t)e-o,ost (t 2- ü)

a) Sabe-se que a distância do ponto P à base do recipiente é 16 cm

Determine o volume da esfera.

Apresente o resultado em cm3, arredondado às centésimas.

p

b) Determine o instante em que a distância do centro da esfera ao ponto P é mínima, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

147

DERIVADAS

30. Seja f a função, de domínio R, definida por

31.

148

j ex - fe Zx- 1

f(x) = (x+ l ) lnx

se x < � se x > .1 - z

Resolva as a l íneas a) e b) recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Averigue da existência de assíntotas verticais do gráfico da função f

b} Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de

pontos de inflexão, no intervalo ] � , +oo[

Na sua resposta, apresente:

• o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo;

• o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima;

• as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f

c) Mostre que a equação f (x) = 3 é possível em [ 1, e] e, utilizando a calculadora gráfica, determine a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas.

Na sua resposta:

• recorra ao teorema de Bolzano-Cauchy para provar que a equação f(x) = 3 tem, pelo menos, uma solução no intervalo (1, e]

• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s);

• apresente a solução pedida.

{1 + xex Seja f a função, de domínio R, definida por f( x) =

( ) ln(x - 3 ) - ln x se x :S 3 se x > 3


a) Estude a função f quanto à existência de assíntotas horizontais do seu gráfico.

b) Resolva, em J-oo, 3 J , a condição f( x) - Zx > 1

Apresente o conjunto solução, usando a notação de intervalos de números reais.

c) Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 4


32. Admita que, ao longo dos séculos XIX, XX e XXI, o número de habitantes, N, em milhões, de uma certa região do globo é dado aproximadamente por

N = 200 (t 2: 0 ) 1 + 5oe-o,zs t

em que t é o tempo medido em décadas e em que o instante t = O corresponde ao final do ano 1800.

a) Determine a taxa média de variação da função N no intervalo [ 10, 20]

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Interprete o resultado, no contexto da situação descrita.

33, Seja f uma função, de domínio JR, cuja derivada, f', de domínio R, é dada por

f'(x) = ex(x2 + x + l)


a) Sejam p e q dois números reais tais que

p = lim X-+-1

f(x) - f(-1 ) x + l e q = -1_

p

Determine o valor de q e interprete geometricamente esse valor.

b} Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de i nflexão.

Na sua resposta, apresente:

- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo;

- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima;

- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f

149

DERIVADAS

34. Na figura, está representada uma secção de uma ponte pedonal que liga as duas margens de um rio.

150

A ponte, representada pelo arco PQ, está suportada por duas paredes, representadas pelos segmentos de reta [OP] e [RQ]. A distância entre as duas paredes é 7 metros.

O segmento de reta [OR] representa a superfície da água do rio.

"1'4--- 7 m

Q

o R

Considere a reta OR como um eixo orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto O e em que uma unidade corresponde a 1 metro.

Para cada ponto situado entre O e R, de abcissa x, a distância na vertical, medida em metros, desse ponto ao arco PQ é dada por

/(x) = 9 - 2,S(e1 - 0,2x + eo,zx -1 ), com x E [O, 7]

Resolva as alíneas a) e b} recorrendo a métodos analíticos; utilize a calculadora apenas para efetuar eventuais cálculos numéricos.

a) Seja S o ponto pertencente ao segmento de reta [OR] cuja abcissa x verifica a equação

Resolva esta equação, apresentando a solução arredondada às décimas, e interprete essa solução no contexto da situação descrita.


b} O clube náutico de uma povoação situada numa das margens do rio possui um barco à vela. Admita que, sempre que esse barco navega no rio, a distância do ponto mais alto do mastro à superfície da água é 6 metros.

Será que esse barco, navegando no rio, pode passar por baixo da ponte?

Justifique a sua resposta.


35. Seja / : R+ � R+ uma função tal q ue f'(x) < O, para qualquer número real positivo x

Considere, num referencial o.n. xOy,

• um ponto P, de abcissa a, pertencente ao gráfico de f

• a reta r, tangente ao gráfico de f no ponto P

• o ponto Q, ponto de intersecção da reta r com o eixo Ox

Sabe-se que OP = PQ

Determine o valor de f'(a) + f(a) a

36. Considere a função f, de domínio R+, definida por /(x) = lnx X

Resolva as alíneas a), b) e c) recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados.

b) Resolva a inequação /(x) > 2 ln x

Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais.

e) Para um certo número real k, a função g, de domínio R', definida por g(x) = k + f(x), tem X um extremo relativo para x = 1

Determine esse número k

151

DERIVADAS

37. Pretende-se el iminar um poluente diluído na água de um tanque de um viveiro. Para tal, é escoada água por um orifício na base do tanque e, em simultâneo, é vertida no tanque água não poluída, de tal modo que a quantidade total de água no tanque se mantém.

152

Admita que a massa, p, de poluente, medida em gramas, t horas após o início do processo, é, para um certo número real positivo k, dada por

p( t ) � 12o e-"' (t 2: 0)

Resolva os itens a) e b) recorrendo exclusivamente a métodos analíticos. Na resolução do item b}, pode utilizar a calculadora para efetuar eventuais cálculos numéricos.

a) Determine o valor de k, sabendo que, duas horas após o início do processo, a massa de poluente é metade da existente ao fim de uma hora.

Apresente o resultado na forma ln a, com a > 1

b) Admita agora que k � O, 7

Determine a taxa média de variação da função p no intervalo [O, 3] e interprete o resultado obtido no contexto da situação descrita.

Apresente o valor da taxa média de variação arredondado às unidades.



1. Na figura está representado um quadrado [ ABCD ], de lado 1

O ponto E desloca-se sobre o lado [AB], e o ponto F deslocase sobre o lado [AD], de tal forma que se tem sempre AE = AF

Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do ângulo BEC ( x E l � , � [)

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, resolva as alíneas seguintes:

E

a) Mostre que o perímetro do quadrilátero [ CEAF] é dado, em função de x, por

f(x) - 2 - _2_ + _2_ tgx senx

b} Calcule lim f( x) e interprete geometricamente o valor obtido. rr-x-z

e) Mostre que f'( x) = 2 - 2 �osx e estude a função f quanto à monotonia. sen x

2. Considere a função g definida em [ o, ir] por g(x) = senx + sen(2x)

a) Determine os zeros da função g

b) Estude, quanto à existência de assintotas, a função h definida em [ O, ir J\{ ir2} por h ( x) = g( x) cosx

e) Mostre que, para qualquer x E ] o, �[, g(x) é a área de um triângulo [ABC], em que:

• x é a amplitude do ângulo BCA B • BC = 2

• [EH] é a altura relativa ao vértice B 2

• AH = 1 X

A e H

153


3. Considere a função /, de domínio ]-ir, ir[ , definida por f(x) = 1 cosx + cosx

Sem recorrer à calculadora, resolva as alíneas seguintes.

a) Estude a função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.

b) Mostre que a função f tem um máximo e determine-o.

e) Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma parte do gráfico da função f

y f

X

Na mesma figura está também representado um trapézio [ OPQR]

O ponto O é a origem do referencial, e os pontos P e R pertencem aos eixos Ox e Oy, respetivamente.

Os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f

Sabendo que o ponto R tem ordenada � , determine a área do trapézio.

4. Considere a função f, de domínio [ O, � [ • definida por f(x) = Zx - tgx

Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes:

a) Estude f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.

b) Estude f quanto à monotonia e existência de extremos relativos.

154


5. De uma função f, de domínio [-rr, rr ], sabe-se que a sua derivada f' está definida igualmente no

intervalo [-rr, rr] e é dada por f'(x) = x + Z cosx

a) Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas a l íneas seguintes:

al) Determine o valor de lim f(x) - f(O) x-0 X

a2) Estude a função f quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de inflexão.

b) O gráfico de f contém um único ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo Ox. Recorrendo à sua calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a abcissa desse ponto. Explique como procedeu.

6. Considere a função, de domínio JR+, definida por f( x) = x + sen JS. X

a) Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as três alíneas seguintes:

al) Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

a2) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa 2

a3) Prove que, no intervalo ]l, +ao[, a função f não tem zeros.

b) Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o número de zeros da função f, no intervalo [ � , +ao [ Explique como procedeu, apresentando o gráfico, ou gráficos, em que se baseou para dar a sua resposta.

7. Considere a função f, de domínio [-� , 32IT ] , definida por f(x) = x + senx

Sem recorrer à calculadora, resolva as alíneas seguintes.

a) Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule f'(ü)

b) Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

c) Determine os valores de x, pertencentes ao intervalo [-� , 3; ], tais que f( x) = x + cosx

155


8. Seja f a função, de domínio [ O, 2 rr ] , definida por /( x) = senx

a) Na figura junta estão representados: y r

• o gráfico da função f

• duas retas, r e s, tangentes ao gráfico de f, nos b pontos de abcissas a e b, respetivamente. o a X

Prove que, se a + b = 2rr, então as retas r e s são s paralelas.

b} Sem recorrer à calculadora, estude, quanto à existência de assintotas do seu gráfico, a função g, de domínio J O, 2 rr[\ { rr}, definida por g( x) =

J(x)

9. Considere as seguintes funções:

• f, de domínio lR., definida por /( x) = 2 senx • g , de domínio JR.\{ü}, definida por g(x) = senx

X


a) Estude a função g quanto à existência de assintotas verticais do seu gráfico.

b) Determine as abcissas, pertencentes ao intervalo ] O, rr J dos pontos de intersecção dos gráficos das duas funções.

c) Determine os valores de k para os quais a equação /( x) = k tem exatamente uma solução no

intervalo [-rr, rr J

10. Considere a função g, de domínio lR., definida por g( x) = 2 + sen( 4x)

Resolva, usando métodos analíticos, as alíneas seguintes.

a) Determine g'(ü), recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto.

b} Estude a monotonia da função g, no intervalo ] O, � [, indicando o valor dos extremos relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.

11. Considere a função f, de domínio [ O, rr ], definida por /( x) = 2 sen( x) cos ( x) + 2

O gráfico da função f intersecta a reta y = 1 num só ponto.

Determine, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, as coordenadas desse ponto.

156


12. Seja f a função, de domínio [-rr, +oo[, definida por: lr4x+l

f(x) = 3 sen(x) xz

se x ::> O

se - rr <:'. x < O

Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados, escrevendo as suas equações, caso existam.

13. Considere a função f, de domínio [ O, 2 rr ], definida por

ll + ln(rr - x) f(x) =

cos (Zx)

a) Estude f quanto à continuidade.

b) Determine os zeros de f

se O <:: x < rr

se rr <:'. x <:'. 2 rr

c) Seja a E [ rr, 2 rr] tal que cos a = � . Determine f( a)

14. Considere a função f : lR - R, definida por

f(x) =

1 1 + xZex+l x + senx

X

a) Estude a função f quanto à continuidade.

se x <:'. O

se x > O

b) Mostre que f admite um único máximo no intervalo ]-oo, o [ e determine-o.

e) Seja r a reta de equação y = 1

Mostre que existem infinitos pontos de i ntersecção da reta r com o gráfico de f

157


15. Considere as funções f e g, definidas em lR por

/(x) = ex-l e g(x ) = senx

Considere ainda a função h, definida em lR por h (x) = f'(x) - g'(x)

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as al íneas seguintes:

a) Mostre que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo [O, � ]

b) Tendo em conta a alínea a), justifique que existe a E [O, � ] tal que as retas tangentes aos

gráficos de f e g, nos pontos de abcissa a, são paralelas.

16. Seja f : lR - lR a função definida por 1 e-X X

f(x) = sen(2x) - cosx

se x < O

se x 2: O

a) Recorrendo exclusivamente a processos analíticos (ou seja, sem utilização da calculadora), resolva as alíneas seguintes:

al) Estude a função f quanto à existência de assintotas verticais do seu gráfico.

a2) Verifique se a função f tem máximo no intervalo ]-oo, O [ e, em caso afirmativo, determine-o.

a3) Determine os zeros de f no intervalo ] -3, 3 [

b) Recorrendo à sua calculadora, determine as soluções inteiras da inequação /( x) > x - 4 pertencentes ao intervalo [-6, 6] . Explique como procedeu.

17. Para a, b e n, números reais positivos, considere a função f, de domínio R definida por /( x) = a cos(nx) + b sen(nx)

Seja /" a segunda derivada da função f

Mostre que /" ( x) + n2 f( x) = O, para qualquer número real x

158


18. Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da outra, estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, localizada em F

Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se indica na figura abaixo. A canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até um ponto P e dois que partem de P, um para A e outro para B. O ponto P está a igual distância de A e de B

F

T 4 km

A

Tem-se ainda que:

• o ponto M, ponto médio de [ AB ], dista 4 km de F

• x é a amplitude do ângulo PAM ( x E [ O, � ])

a) Tomando para unidade o quilómetro, mostre que

o comprimento total da canalização é dado por

g(x) = 4 + 8 - 4senx cosx

(Sugestão: comece por mostrar que PA = -4- e que FP = 4 - 4 tgx ) cosx

b) Calcule g( O ) e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente comprimento.

e) Determine o valor de x para o qual o comprimento total da canalização é mínimo.

159


19. Duas bolas de plástico com o mesmo raio, uma branca e outra preta, flutuam na superfície de um líquido contido num recipiente.

160

Por ação de uma força exterior, o líquido perdeu o estado de repouso em que se encontrava, tendo a distância de cada uma das bolas à base do recipiente deixado de ser constante.

Tº b(t)

Designando por b( t ) e p( t ) as distâncias, em cm, dos centros das bolas (branca e preta, respetivamente) à base do recipiente, t segundos após o início da perturbação, admita que se tem:

b( t) = 10 + e-0•1' sen(rrt) t :>: O

p( t ) = 10 - 1,37e-0•1'sen(rrt) t :>: O

a) Sem recorrer à calculadora, resolva o seguinte problema:

Durante os primeiros cinco segundos após o início da perturbação (instantes O e 5 inclu ídos), houve alguns instantes em que as duas bolas estiveram a igual distância da base do recipiente. Quantas vezes isso aconteceu?

b) Determine a distância que vai do centro da bola

branca ao centro da bola preta, meio segundo após o início da perturbação, sabendo que, nesse instante, a distância entre as respetivas projeções horizontais (na base do recipiente) é de 2,5 cm. Apresente o resultado em cm, arredondado às décimas.

o 1 1 1 1

• 1

r-2,s cm �

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas

casas decimais.


20. Seja f a função, de domínio [ O, � ], definida por /( x) = sen(Zx) cosx

a) Determine, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa O

b) No domínio ind icado, determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, um valor, aproximado às décimas, da área do triângulo [ABC], em que:

• A é o ponto do gráfico da função f cuja ordenada é máxima

• B e C são os pontos de intersecção do gráfico da função f com a reta de equação y = 0,3

Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou gráficos, visualizado(s) na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial.

Desenhe o triângulo [ABC] assinalando os pontos que representam os seus vértices.

Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casas

decimais.

21. Seja a função f, de domínio [ O, ir [ , definida por /( x) = ex cosx

a) Estude, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, a função f, quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, indicando os intervalos de monotonia e, caso existam, os extremos relativos.

b) Determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, um valor aproximado às décimas, da área do trapézio [ OABC], em que:

• O é a origem do referencial

• A é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o eixo Oy

• B é o ponto do gráfico de f tal que a reta AB é paralela ao eixo Ox

• C é o ponto de intersecção do gráfico da função f com o eixo Ox

Reproduza, na folha de respostas, o gráfico visualizado na calculadora, incluindo o referencial. Desenhe o trapézio [ OABC], assinalando os pontos que representam os seus vértices.

Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredonda mentos, utilize duas casas

decimais.

161


22. Considere a função /, de domínio ] o, � [, definida por /( x) = e2x + cosx - 2x2

Sabe-se que:

• B é um ponto do gráfico de f

• a reta de equação y = Bx é paralela à reta tangente ao gráfico de f no ponto B

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto B




• indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.

23. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo [ OAB J

162

y

o 1 A X

Sabe-se que:

• a circunferência tem diâmetro [ OA J • o ponto A tem coordenadas ( 2, O )

• o vértice O do triângulo [ OAB J coincide com a origem do referencial;

• o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.

Para cada posição do ponto B, seja a a amplitude do ângulo AOB, com a E ] O, � [

Resolva as duas alíneas seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

a) Mostre que o perímetro do triângulo [ OAB J é dado, em função de a, por

f(a) = 2 (1 + cos a + sena)

b) Determine o valor de a, para o qual o perímetro do triângulo [ OAB] é máximo.


24. Seja f a função, de domínio ] O, 3 [, definida por f( x) = x lnx + sen ( 2x)

O ponto A pertence ao gráfico da função f Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto A tem declive 3 Determine a abcissa do ponto A

Na resolução deste item deve:

• traduzir o problema por uma equação;

• resolver graficamente essa equação, recorrendo à calculadora;

• indicar o valor pedido arredondado às centésimas.

Deve reproduzir e identificar o gráfico, ou os gráficos, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, incluindo o referencial, e deve assinalar, no(s) gráfico(s), o(s) ponto(s) relevante(s).

25. De duas funções f e g sabe-se que:

• f tem domínio R e é definida por f( x) = 7r - 4 sen(Sx)

• g tem domínio ]- 237r , -� [ e g' , primeira derivada de g, tem domínio ]- 237r , - � [ e é

definida por g' ( x) = log2 (-� - x)

Resolva as alíneas a) e b} recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

a) Calcule o valor de lim r)x x- D f X - 1l:

b} Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de

pontos de inflexão no intervalo ]- 237r , -� [

Resolva a alínea seguinte, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.

c) Seja h a função, de domínio ]- 237r , -� [, definida por h( x) = f( x) - g( x)

O ponto A pertence ao gráfico da função h

Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função h no ponto A é paralela ao eixo Ox

Determine a abcissa do ponto A.

Na sua resposta deve:


• reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

• indicar a abcissa do ponto com arredondamento às décimas.

163


26. Considere a função J, de domínio ]-oo, 2 ir] , definida por jax + b + ex

/(x) = x - se;(2x)

se x :S O

se O < x :S 2 ir

com a, b E R

Resolva as alíneas seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

a) Prove que a reta de equação y = ax + b, com a 1 O, é uma assintota oblíqua do gráfico de f

b) Determine o valor de b, de modo que f seja continua em x = O

27. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função J, de domínio R definida por /( x) = 4 cos(2x)

Sabe-se que:

• os vértices A e D do trapézio [ ABCD] pertencem ao eixo Ox

• o vértice B do trapézio [ ABCD] pertence ao eixo Oy

• o vértice D do trapézio [ ABCD] tem abcissa

• os pontos A e C pertencem ao gráfico de f

• a reta CD é paralela ao eixo Oy

7t 6

Resolva as a l íneas seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

a) Determine o valor exato da área do trapézio [ ABCD]

y

e B

b) Seja f' a primeira derivada da função f e seja f" a segunda derivada da função f

Mostre que /(x) + f'(x) + /"(x) = -4(3 cos(2x) + 2 sen(2x)) para qualquer n úmero real x

164


28. Considere a função f, de domínio R, definida por

senx se x< O 1 - /1 - x3

f(x) = 1 - ek+l se x = 0

1 - e4x se x > O

X

com k c R


a) Determine k, de modo que lim f( x) = f( O) X--+ Ü+ b) Estude a função f quanto à existência de assintotas verticais do seu gráfico.

e) Seja g uma função, de domínio JR+, cuja derivada g', de domínio R+, é dada por

g'(x) = f(x) -1-. Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e X

quanto à existência de pontos de inflexão.

29. Relativamente à figura, sabe-se que:

• o segmento de reta [ AC] tem comprimento 4 • o ponto B é o ponto médio de [ AC] • o segmento de reta [BD] é perpendicular a [ AC] • o arco de circunferência CD tem centro em B

D p

2 B Q

Admita que um ponto P se desloca ao longo do arco CD, nunca coincidindo com C nem com D, e que um ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [Bc] de tal forma que [PQ] é sempre perpendicular a [ BC]

Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radia nos, do ângulo CBP e seja A( x) a área do triângulo [ APQ]


a) Mostre que A(x) = 2 senx+ sen(2x) (x c ] o, � [)

b) Mostre que existe um valor de x para o qual a área do triângulo [ APQ] é máxima.

165


30. Na figura, está representado o quadrado [ ABCD]

Sabe-se que:

• AB = 4 • AE = AH = BE = BF = CF = CG = DG = DH • x é a amplitude, em radianos, do ângulo EAB • X E l 0, � [

a) Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por a( x) = 16( 1 - tgx)

b) Mostre que existe um valor de x compreendido entre �2 e � para o qual a área da região sombreada é 5

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.

31. Considere as funções f e g, de domínio R., defin idas, respetivamente, por

f(x) = -x + sen ( �) e

l f(x)

g(x) = X

é - 1

se x 7" O

com k E lll:. se x = O

Resolva as al íneas seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

a) Determine k de modo que a função g seja contínua.

b) Determine, em ] -2ir, Sir(, as soluções da equação 2f'(x) = (f(x) + x)2 - 1

{3x + 1 - xex 32. Seja f a função, de domínio R., definida por f( x) =

X + COSX

se x < O

se x 2: O

Resolva as al íneas seguintes recorrendo a métodos anal íticos, sem utilizar a calculadora.

a) Determine f' ( � ) recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto.

b) O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando x � -ao

Determine a equação reduzida dessa assíntota.

166


33. Considere a função g, de domínio ] -� , o[, definida por g(x) = sen(Zx ) - cosx

Seja a um número real do domínio de g

A reta tangente ao gráfico da função g no ponto de a bcissa a é paralela à reta de equação y = � + 1

Determine o valor de a, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

34. Considere a função f, de domínio JR, definida por jxe3+x + Zx

f(x) = 1 - IX + sen ( x - 1 )

1 - x

Resolva as a líneas seguintes sem utilizar a calculadora.

a) Averigue se a função f é contínua em x = 1

se x <:: 1

se x > 1

b} Mostre que o gráfico da função f admite uma assintota oblíqua quando x tende para -ao

35. Considere a função f, de domínio ] O, ir[ , definida por f ( x) = lnx + cos x - 1

Sabe-se que:

• A é um ponto do gráfico de f • a reta tangente ao gráfico de f, no ponto A, tem inclinação J radia nos.

Determine a abcissa do ponto A, recorrendo à calculadora gráfica.




• indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas.

167


36. Na figura, estão representados a circunferência de centro no ponto C e de raio 1, a semirreta éB, a reta AD e o triângulo [ ACE]

E

Sabe-se que:

• os pontos A e B pertencem à circunferência

• os pontos D e E pertencem à semirreta éB • a reta AD é perpendicular à semirreta éB

B

A

D C X

• o ponto A desloca-se sobre a circunferência, e os pontos D e E acompanham esse movimento de modo que DE = 6

• x é a amplitude, em radianos, do ângulo ACB • x E ] o, � [

a) Mostre que a área do triângulo [ACE] é dada, em função de x, por f(x) = 3 senx + ! sen(Zx)

b) Mostre, sem resolver a equação, que f( x) = 2 tem, pelo menos, uma solução em [ �, l ]

37. Seja f uma função cuja derivada f' , de domínio R é dada por f'( x) = x- sen(Zx)

168

f(x) - t(;) a ) Determine o valor de lim -�2�-'--�

TC X - 1[ X__,.2

b) Estude o gráfico da função f, quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de

pontos de inflexão em ]-� , � [ , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para cima, o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para baixo e, caso existam, as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função f


38. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio ]-oo, e [ , definida por lx ex-2 f(x) = sen(Z - x) + k

x2 + x - 6

se X :S 2

se Z < x < e

Resolva as alíneas seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Determine k, de modo que a fUnção f seja contínua em x = 2

b) Estude a função f quanto à existência de assíntota horizontal do seu gráfico e, caso exista, indique uma equação dessa assíntota.

39. Sejam f e g as funções, de domínio JR, definidas, respetivamente, por

f(x) = 1 - cos (3x) e g(x) = sen(3x)

Seja a um número real pertencente ao intervalo ] �, � [ Considere as retas r e s tais que:

• a reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a

• a reta s é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a + �

Sabe-se que as retas r e s são perpendiculares.

Mostre que sen(3 a ) = - �

169


40. Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por uma mola.

A figura esquematiza esta situação. Nesta figura, os pontos O e A são pontos fixos. O ponto P representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta OA

o ------

Admita que não existe qualquer resistência ao movimento.

Sabe-se que a distância, em metros, do ponto P ao ponto O é dada por

d( t) = 1 + � sen( rrt + �)

A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi iniciada a contagem do tempo ( t E [o, +oo[).

Resolva as al íneas seguintes, sem recorrer à calculadora.

a) No instante em que se iniciou a contagem do tempo, o ponto P coincidia com o ponto A Durante os primeiros três segundos do movimento, o ponto P passou pelo ponto A mais do que uma vez.

Determine os instantes, diferentes do inicial, em que tal aconteceu.

Apresente os valores exatos das soluções, em segundos.

b} Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que houve, pelo menos, um instante, entre os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância do ponto P ao ponto O foi igual a 1,1 metros.

41. Seja a um número real.

170

Considere a função f, de domínio R, definida por f( x) = a senx

Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa z3rr

Sabe-se que a inclinação da reta r é igual a � radianos.

Determine o valor de a


42. Num dia de vento, são observadas oscilações no tabuleiro de uma ponte suspensa, construída sobre um vale.

Mediu-se a oscilação do tabuleiro da ponte durante um minuto.

Admita que, durante esse minuto, a distância de um ponto P do tabuleiro a um ponto fixo do vale é dada, em metros, por

h( t ) = 20 + 2\. cos(2 7rt) + tsen(27rt) (t é medido em minutos e pertence a [ 0,1 ])

a) Sejam M e m, respetivamente, o máximo e o mínimo absolutos da função h no intervalo [ 0,1]

A amplitude A da oscilação do tabuleiro da ponte, neste intervalo, é dada por A = M - m

Determine o valor de A, recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora apenas para efetuar eventuais cálculos numéricos.

Apresente o resultado em metros.

b) Em [0,1 ], o conjunto solução da inequação h( t) < 19,5 é um intervalo da forma ]a,b[

Determine o valor de b - a arredondado às centésimas, recorrendo à calculadora gráfica, e interprete o resultado obtido no contexto da situação descrita.

Na sua resposta:

- reproduza o gráfico da função h visualizado na calculadora (sugere-se que, na janela de visual ização, considere y E [ 19,21 ]);

- apresente o valor de a e o valor de b arredondados às milésimas;

- apresente o valor de b - a arredondado às centésimas;

- interprete o valor obtido no contexto da situação descrita.

43. Seja f a função, de domínio ]- � , +oo[, definida por

!'"'"' se _K < x < o 2 -

se x > O


a) Estude a função f quanto à existência de assíntota oblíqua do seu gráfico.

171


b) Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, no

intervalo ]-; ' o [

e) Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa � Além do ponto de tangência, a reta r intersecta o gráfico de f em mais dois pontos, A e B,

cujas abcissas pertencem ao intervalo ]- ; , o [ (considere que o ponto A é o de menor abcissa).

Determine analiticamente a equação reduzida da reta r e, utilizando a calculadora gráfica, obtenha

as abcissas dos pontos A e B

Apresente essas abcissas arredondadas às centésimas.

Na sua resposta, reproduza, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver o problema.

44. Seja f a função, de domínio ]- 3{ , +oo[, definida por

172

l-1x2 + cosx f(x) = 4

ln(ex + x) se x ;:: o


a) Determine lim [t ( x) - x] x-+oo

Interprete o valor obtido em termos de assíntotas do gráfico de f b) Estude a função f quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de pontos de

inflexão do seu gráfico, no intervalo ]- 32ir , o [

Na sua resposta, indique:

- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo;

- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima;

- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f


e) Na figura, estão representados:

• parte do gráfico da função f • um ponto A, pertencente ao gráfico de f, de abcissa a • a reta t, tangente ao gráfico da função f no ponto A

Sabe-se que:

• a E ]ü, 1 ( • a reta t tem declive igual a 1, 1

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto A

Na sua resposta :

- equacione o problema;

y

X

reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, que lhe permite(m) resolver a equação;

- apresente a abcissa do ponto A arredondada às centésimas.

45. Seja g a função, de domínio R, definida por

1 - x2 1 - eX- 1

g(x) = 2

3 + s en(x - 1) 1 - x

s e x < 1

se x = l

s e x > l

Resolva os itens a) e b) recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

a) Estude a função g quanto à continuidade no ponto 1

b) Resolva, no intervalo ]4, 5[, a equação g(x) = 3

173


e) Na figura, estão representados, num referencial o.n . xOy, parte do gráfico da função g e um triângulo [OAP]

Sabe-se que:

• o ponto A é o ponto de abcissa negativa que é a intersecção do gráfico da função g com o eixo das abcissas;

• o ponto P é um ponto do gráfico da função g, de abcissa e ordenada negativas;

• a área do triângulo [OAP] é igual a 5

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto P

Apresente o valor obtido arredondado às décimas.

Na sua resposta:

determine analiticamente a abcissa do ponto A

equacione o problema;

reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação

y g

X

p

46. Considere o desenvolvimento de ( Zxsena + co:a r, em que a E lR. e X 1' o

174

Determine os valores de a, pertencentes ao intervalo ] 7C, 2 7C [, para os quais o termo independente de x, neste desenvolvimento, é igual a 1

Resolva este item recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.


47. Num jardim, uma criança está a andar num baloiço cuja cadeira está suspensa por duas hastes rígidas. Atrás do baloiço, há um muro que l imita esse jardim.

A figura esquematiza a situação. O ponto P representa a posição da cadeira.

·\... y; ,/,. '•,, __ ,:J.( d(t) �� ·1_ p .......... ... ........

solo

e o E

Num determinado instante, em que a criança está a dar balanço, é iniciada a contagem do tempo. Doze segundos após esse instante, a criança deixa de dar balanço e procura parar o baloiço arrastando os pés no chão.

Admita que a distância, em decímetros, do ponto P ao muro, t segundos após o instante inicial, é dada por

d(t ) = {30 + t sen(irt) se O :S t < 12 30 + 12e12 - ' sen(irt) se t 2: 12

a) Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o número de soluções da equação d( t ) = 27 no intervalo [O, 6], e interprete o resultado no contexto da situação descrita.

Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema.

b) Admita que, no instante em que é iniciada a contagem do tempo, as hastes do baloiço estão na vertical e que a distância do ponto P ao chão, nesse instante, é 4 dm Treze segundos e meio após o instante inicial, a distância do ponto P ao chão é 4,2 dm Qual é o comprimento da haste?

Apresente o resultado em decímetros, arredondado às unidades.


48, Seja f a função, de domínio ] 1 - ir, +ao [, definida por l se�(;!l ) f(x) = 2

e-2x+4 + ln (x - 1 ) se

se se

1 - ir< x < l X = l x > l

Resolva a al ínea a) recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, sem util izar a calculadora.

a) Escreva a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1 - ;

175


b) O gráfico da função f tem um único ponto de inflexão, cuja abcissa pertence ao intervalo ]1, 2 [

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa desse ponto.

Na sua resposta :

• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema;

• apresente a abcissa do ponto de inflexão arredondada às centésimas.

49. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, a circunferência de centro na origem e raio 1

176

Sabe-se que:

• o ponto A está no segundo quadrante e pertence à circunferência;

• o ponto D tem coordenadas (1, O )

• o ponto e pertence ao primeiro quadrante e tem abcissa igual à do ponto D

• o ponto B pertence ao eixo Oy e é tal que o segmento de reta [AB] é paralelo ao eixo Ox

• os ângulos AOC e COD são geometricamente iguais e

cada um deles tem amplitude a (a E ] � , � O tga cos2 (2a) Mostre que a área do triângulo [ABC], representado a sombreado, é dada por 2

X

Complexos

1. Em IC, conjunto dos números complexos, considere

z1 = 1 + í ( í designa a unidade imaginária)

a) Determine os números reais b e e para os quais z1 é raiz do polinómio x2 + bx + e

b) Seja z2 = eis a Calcule o valor de a, pertencente ao intervalo [ O, 2 IT ], para o qual z1 X z2 é um número real negativo ( z2 designa o conjugado de z2).

2. Seja IC o conjunto dos números complexos; í designa a unidade imaginária.

a) Considere w = 21 + í - í - 1

Sem recorrer à calculadora, escreva w na forma trigonométrica.

b) Considere z1 = eis (a) e z2 = eis(� - a)

Mostre que o afixo, no plano complexo, de z1 + z2 pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.


a) Considere z1 = (2 - í) (2 + eis � ) e z2 = � eis(-� )

Sem recorrer à calculadora, escreva o número complexo !1_ n a forma trigonométrica. Zz

b) Seja z um número complexo cujo afixo, no plano complexo, é um ponto A situado no primeiro quadrante.

Seja B o afixo de z , conjugado de z

Seja O a origem do referencial.

Sabe-se que o triângulo [ AOB] é equilátero e tem perímetro 6

Represente o triângulo [ AOB] e determine z na forma algébrica.

177

COMPLEXOS

4. Considere, em IC, um número complexo w, cujo afixo no plano complexo é um ponto A, situado no 1.0 quadrante. Sejam os pontos B e C, respetivamente, os afixos de w (conjugado de w) e de -w

Sabe-se que BC = 8 e que 1 w 1 = 5

Determine a área do triângulo [ABC]

5. Considere, em IC, o número complexo z1 = 3 - 2 i

Determine, sem recorrer à calculadora, o número complexo z = Z1 + Zf + 2 i 43

8 cis(3;)

Apresente o resultado n a forma algébrica.

6. Seja IC o conjunto dos números complexos.

Considere a equação z3 - z2 + 4z - 4 = O

Esta equação tem três soluções em IC, sendo uma delas o número real 1

Os afixos, no plano complexo, dessas três soluções são vértices de um triângulo.

Determine, sem recorrer à calculadora, o perímetro desse triângulo.


Resolva as a l íneas seguintes sem recorrer à calculadora.

a) Considere z1 = 1 + 2 i e z x i4n+3 - b w = 1 , com b E lR. rz eis ( S47I )

Determine o valor de b para o qual w é um número real.

b) Seja z um número complexo tal que 1 z 1 = 1

Mostre que 1 1 + z l2 + 1 1 - z l2 = 4

e n E N

8. Em IC, conjunto dos números complexos, resolva as alíneas seguintes sem recorrer à calculadora.

178

a) Seja w o número complexo com coeficiente da parte imaginária positivo que é solução da equação z2 + z + 1 = O

Determine 1-w Apresente o resultado na forma trigonométrica.


b) Seja z um número complexo.

Mostre que (z + i) x (z - i) = 1 z - i 12 , para qualquer número complexo z

(z designa o conjugado de z)

9. Em IC, conjunto dos números complexos, considere z1 = 16 eis � Sem recorrer à calculadora, resolva as alíneas seguintes.

a) Mostre que z1 é solução da equação i z = - z

( i designa a unidade imaginária e z designa o conjugado de z )

b) Determine a área do polígono cujos vértices são os afixos, no plano complexo, das raízes quartas de Z1

10. Em IC, considere os números complexos: Z1 = 1 + i e Zz = rz eis ! ][

a) Verifique que z1 e z2 são raízes quartas de um mesmo número complexo.

Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica.

b) Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que:

• A é o afixo de z1 • B é o afixo de z2 • O é a origem do referencial

Determine o perímetro do triângulo [AOB]

11. Em IC, conjunto dos números complexos, considere:

z2 = Z i x z1

a) Determine, na forma trigonométrica, as raízes quadradas de I �� I

b) Sejam A e B os afixos, no plano complexo, de z1 e de z2 , respetivamente. Seja O a origem do referencial.

Sabendo que a área do triângulo [ OAB] é igual a 16, determine, na forma algébrica, o número complexo z1

179

COMPLEXOS

12. Considere o número complexo z = 1 + 2 i

a) Sabe-se que z é uma raiz cúbica de um certo número complexo w

Sem recorrer à calculadora, determine w, na forma algébrica.

b) Designando por a um argumento de z, determine, na forma trigonométrica, o número complexo i z2 , apresentando o argumento em função de a


a) Resolva a equação (1 + 2 i)z = 6 + z1 x z1 Apresente a solução na forma algébrica.

b) Determine o menor valor de n natural para o qual ( z1 x z2 )" é um número real positivo.

14. Determine o valor 8, pertencente ao intervalo [ O, � ] , de modo que o afixo do número complexo

(2 eis 8)2 X (1 + /3i) pertença à bissetriz do 3.0 quadrante.

15. Em IC, conjunto dos números complexos, considere z1 = eis (; ) e z2 = 2 + i


3 - i x (z1)7 a) Determine o número complexo w = ---�� zz

( i designa a unidade imaginária e :Z2 designa o conjugado de z2 )

Apresente o resultado na forma trigonométrica.

b) Mostre que l z1 + z2 12 = 6 + 4cos(; ) + 2 sen(;)

16. Seja IC o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.

Para um certo número inteiro k, a expressão

Determine esse número k

180

( l2i)3 x cist k + i designa um número real.


17. Em IC, conjunto dos números complexos, seja z1 = 2 eis�

a) Sem recorrer à calculadora, verifique que Z13 + 2

imaginário puro. é um

b) No plano complexo, o afixo de z1 é um dos cinco vértices do pentágono regular representado na figura. Este pentágono está i nscrito numa circunferência centrada na origem do referencial.

Defina, por meio de uma condição em IC, a região sombreada, excluindo a fronteira.

18. Seja A o conjunto dos números complexos que satisfazem a condição

l z l = l /\ Re(z) ::O: O

a) Mostre que o número complexo rz + i pertence a A 2 eis rr

b) A representação geométrica, no plano complexo, da condição z E A /\ - � $ Arg( z) $ � é uma linha.

Represente graficamente essa linha e determine o seu comprimento.

19. Em IC, conjunto dos números complexos, seja z1 = 1 - i

a) Determine, na forma trigonométrica, os valores, não nulos, de z para os quais z2 = z x z1

b) Represente, no plano complexo, a região do plano definida por


a) Considere a equação í z3 - 13 - í = O

Uma das soluções desta equação tem o seu afixo no terceiro quadrante do plano complexo.

Sem recorrer à calculadora, determine essa solução, escrevendo-a na forma trigonométrica.

b) Seja B a região do plano complexo definida pela condição

i z l :S 2 /\ Re(z) ::O: O /\ i z - l l :S i z - í l

Represente graficamente B e determine a sua área.

181

COMPLEXOS


a) Seja n um número natura l .

13 x i4"-6 + 2 cis (-� ) Determine

2 eis ( �) sem recorrer à calculadora.

Apresente o resultado na forma trigonométrica.

b) Seja a E ] � , � [ Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que z1 = eis a e z2 = eis (a + � ) Mostre, analiticamente, que o afixo de z1 + z2 , no plano complexo, pertence ao 2.0 quadrante.


a) Considere z = 1 + /3 í + i 22 e z = -=L 1 2 2 Í Z1 Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que (z2)" é um número real negativo.

CDS ( 7t - a) + i CDS ( � - a ) b) Seja a E J - ir, ir [ . Mostre que -----�-=-�

cos a + isena eis(ir - Za)


) e 'd ( - 1 + /3 í )3 . a ons1 ere z1 = 1 . e z2 = c1s a,

- 1 com a E [O, ir [

Determine os valores de a, de modo que z1 x ( z2 )2 seja um número imaginário puro, sem utilizar a calculadora.

b) Seja z um número complexo tal que l 1 + z 12 + l 1 -z 1 2 :<: 10

Mostre que 1 z 1 :<: 2

-2 + 2 i19 24. Em IC, conjunto dos números complexos, considere z = �---12 eis B

182

Determine os valores de B pertencentes ao intervalo J ü, Z ir [ , para os quais z é um número imaginário puro.

Na resolução deste item, não utilize a calculadora.


25. Em IC, conjunto dos números complexos, seja Z1 = - l + i 12 eis {z

Determine os números complexos z que são solução da equação z4 = z1, sem utilizar a calculadora.

Apresente esses números na forma trigonométrica.

6 S i 26. Em IC, conjunto dos números complexos, seja z1 = (1 + i) e z2 = ----eis(- 65ir )

Sabe-se que os afixos dos complexos z1 e z2 são vértices consecutivos de um polígono regular de n lados, com centro na origem do referencial.

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de n

27. Em IC, conjunto dos números complexos, sejam

1 - 3 i19 ( 3 ir ) � z1 = l + i e z2 = -3kcis 2 , com k E IR

Sabe-se que, no plano complexo, a distância entre o afixo de z1 e o afixo de z2 é igual a /5

Qual é o valor de k ? Resolva este item sem recorrer à calculadora.

28. Em IC, conjunto dos números complexos, sejam z1 e z2 tais que z1 = 2 + i e z1 x z2 = 4 - 3 i Considere a condição 1 z - z1 1 = 1 z - Zz I

Mostre que o número complexo 12 eis � verifica esta condição e interprete geometricamente este facto.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.


• z - 1 - i com i - 12 eisB ' - 4 • W = Z1 X Z1

Seja A = {z E IC : Re (z) < O /\ Im (z) > O /\ l z l = l}

Justifique que o número complexo w pertence ao conjunto A

183

-SOLUÇOES

ITENS DE SELEÇÃO

Geometria no plano

1· (A) p. q = 11 !Jil X li q li X CDS (P A q) - 9 = 3 x 3 x cos (p A q) "" cos (p A q) = -1 Logo, p A q = 180º e, portanto, os vetores p e q têm sinais contrários.

Por outro lado, como li p li = li q li, conclui-se que os vetores p e q são simétricos.

Portanto, p + q = Õ

3. (A) Vetor director da reta r : (2, O ) Vetor director d a reta s : ( 4, 3 ) li (2, o) li = 2 ll (4, 3 J ll = V42 + 3 2 = 5 Sendo a o ângulo das retas r e s,

cos a = 1 (2, o ) . (4, 3 ) 1 =-8- = 0 8 pelo que ª "' 37' 2 x 5 2 x 5 '

4. (A) A reta r tem declive -� , pelo que o declive da reta s é 2

Este facto exclui as opções (B) e (C).

Entre as opções (A) e (D), a que corresponde a uma reta que passa no ponto de coordenadas (1, 4) é a opção (A).

5. (C) A condição (x + 1 )2 + (y - 1 )2 -<: 2 define o círculo de centro no ponto (-1, 1) e raio /2 A condição x ?. O define o conjunto dos pontos de abcissa não negativa.

A conjunção das duas condições, isto é, a condição (x + 1 )2 + (y - 1)2 -<: 2 /\ x ?. O define, portanto, o conjunto de pontos representado na opção (C).

6. (B) Como os lados [AB] e [AC] são iguais, os ângulos internos iguais são os ângulos de vértices B e C. Dado que cada um destes ângulos tem 30º de amplitude, o ângulo BAC tem 120º de amplitude.

186

Tem-se:

AÊ. Aê = llAÊ ll x llAê ll x cos (A8 A Aê) = 8 x 8 x cos 120º = 64 x (-� ) = -32

SOLUÇÕES

7. (B) A circunferência definida pela condição x2 + (y - 1)2 = 2 tem centro no ponto (O, 1) Como x2 + (y - 1)2 = 2 /\ y = 0 <> x2 = 1 /\ y = O <> (x = -1 V x = l) /\ y = O, a circunferência intersecta o eixo Ox nos pontos de coordenadas (-1, O ) e (1, O ) Como o ponto A tem abcissa positiva, o ponto A tem coordenadas (1, O ) Designando por C o centro da circunferência, tem-se:

CÂ = A - C = (l, 0 ) - (0, 1) = (1,-1) Logo, o declive da reta CA é -1, pelo que o declive da reta r, que é perpendicular à reta CA, é 1. Este facto permite-nos excluir as opções (C) e (D).

Como o ponto A pertence à reta r, a opção correta é a opção (B).

8. (C) A circunferência pedida tem centro no ponto de coordenadas ( O; 4, 1; 5 ) = (2, 3) e tem raio igual a 2

Portanto, a condição que define a circunferência pedida é (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4

9. (C) A região definida pela condição é a intersecção do círculo de centro no ponto de coordenadas (-1, -1) e raio 1 com o semiplano fechado definido pela condição y 2: - x - 2 . O centro do círculo pertence à reta de equação y = - x - 2, pelo que a região referida é um semicículo de raio 1 Raio = 1 Diâmetro = 2 Comprimento da semici rcunferência = 7C � 2 = rc Perímetro da região = 7C + 2

y

X

10. (D) Seja P um ponto do plano tal que PR . PS = O. Concluímos daqui que os vetores PR e PS

são perpendicu lares e que, portanto, o ângulo RPS é um ângulo reto.

Consideremos a circunferência de diâmetro [RS] . Tem-se que o ângulo RPS é um ângulo reto se e só se for um ângulo inscrito numa semicircunferência de diâmetro [RS], ou seja, se e só se o vértice P pertencer à circunferência de diâmetro [RS]

Assim, o conjunto A dos pontos P do plano que verificam a condição PR . PS= O é a circunferência de diâmetro [RS]

187


1. (C) Seja A(x, 0, 0) e B(O, y, O), sendo x e y dois números reais positivos.

Tem-se:

AÊ = B - A = (O, y, 0 ) - (x, 0, 0 ) = (-x, y, O), com x > O e y > O

2. (B) CÂ. CE = ll CJi ll x ll Cff ll x cas (CJi A Cff) = 4 x 4 x cos 180º = 4 x 4 x (- 1 ) = -16

3. (D) Podemos excluir as opções (A) e (C), pois a condição apresentada na opção (A) define um plano e a condição apresentada na opção (C) define o ponto de coordenadas (3, 5, 4) Tem-se:

PQ = Q - P = (3, 5, 0) - (0, 5, 4) = (3, 0, - 4) Assim, um vetor diretor da reta PQ é o vetor de coordenadas (3, O, -4), pelo que uma condição que define esta reta é (x, y, z) = (3, 5, O ) + k(3, O, -4), k E R

4. (B) Para que uma reta seja paralela ao eixo Oz, terá que ter vetor diretor da forma (O, O, y), com r 7' o Assim, a reta definida pela equação (x, y, z) = (1, 1, O ) + k(O, O, 7), k E R é paralela ao eixo Oz, pois tem vetor diretor (O, O, 7 )

5. (A) Tem-se, PA = /(1 - 0)2 + (0 - 0)2 + (0 - 4)2 = ill e

QA = V(l - 0)2 + (0 - 4)2 + (0 - 0)2 = m, pelo que PA = QA Como o plano mediador de um segmento de reta é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos desse segmento, tem-se que o ponto A pertence ao plano mediador do segmento de reta [PQ]

6. (C) Tem-se que o ponto de coordenadas (2, 2, O) é o ponto A e o ponto de coordenadas (O, 4, O ) é o ponto e Cada um dos pontos B, D e H é equidistante dos pontos A e C. Portanto, o plano mediador do segmento de reta [AC] é o plano BDH

7. (B) Designemos por a a medida do comprimento da aresta do cubo. Assim, o ponto B tem coordenadas (O, a, a)

188

Como o ponto B pertence ao plano definido pela equação x + y = 10, tem-se que O + a = 10, donde a = 10

SOLUÇÕES

8. (C) Sendo (O, O, 1 ) um vetor diretor da reta r, tem-se que esta reta é paralela ao eixo Oz. A condição x = 2 /\ y = 1 também define uma reta paralela ao eixo Oz (dado que corresponde à intersecção de dois planos paralelos a este eixo).

9. (C) O plano definido pela condição x = y (equivale a x - y = O) tem vetor normal (1, -1, O) O plano definido pela condição z = O tem vetor normal (O, O , 1 ) Como (1, -1, O ) . (O, O, 1 ) = 1 x O + (-1 ) X O + O X 1 = O, osdoisvetoressãoperpendicularespelo

que os planos definidos pelas equações x = y e z = O são perpendiculares.

10. (C) Como o plano f3 é paralelo ao plano a, o vetor (1, 2, -1), que é vetor normal ao plano a, é vetor normal ao plano /3

Assim, uma equação do plano f3 tem a forma x + 2y - z = d . Como o ponto (O, 1, 2 ) pertence ao plano f3, tem-se O + 2 X 1 - 2 = d, donde d = O Portanto, a equação x + 2y - z = O é uma equação do plano /3 e, consequentemente, a equação equivalente - x - 2y + z = O é, também, uma equação do plano f3

11. (A) Um vetor normal ao plano xOz é o vetor de coordenadas (O, 1, O ) Os vetores de coordenadas (1, 1, -1 ) , (O, 1, -1 ) e (O, 1, O ) são normais aos planos de equações z = x + y (equivalente a x + y - z = O), z = y (equivalente a y - z = O ) e y = 2, respetivamente. Como nenhum destes vetores é perpendicular ao vetor de coordenadas (O, 1, O) , nenhum daqueles planos é perpendicular ao plano xOz Um vetor normal ao plano de equação z = x + 2 (equivalente a -x + z = 2) é o vetor de coordenadas (-1, O, 1 ) . Este vetor é perpendicular ao vetor de coordenadas (O, 1, O ), pois (0, 1, 0) . (- 1, 0, 1) = 0 x (-1 ) + 1 x O + O x 1 = 0. Portanto, o plano definido pela equação z = x + 2 e o plano xOz são perpendiculares.

12. (B) O vetor de coordenadas (3, O, -1) é vetor diretor da reta r e é perpendicular ao vetor de coordenadas (O, 1, O) , que é vetor normal ao plano xOz Então, a reta r é paralela ao plano ou está contida no plano.

Dado que o ponto de coordenadas (O, 1, 2 ) pertence à reta r e'não pertence ao plano xOz, conclui-se q ue a reta r é paralela ao plano xOz

13. (B) Uma reta paralela à reta de intersecção de dois planos é paralela a qualquer dos planos.

14. (D) A reta definida na opção (A) é paralela aos planos xOy e xOz e a reta definida na opção (B) é paralela aos planos xOy e yOz. Na opção (C) está definida uma reta paralela ao plano xOy Portanto, as retas definidas nas opções (A), (B) e (C) não intersectam, pelo menos, um dos planos coordenados.

Só a reta definida na opção (D) intersecta os três planos coordenados.

189


15. (D) Uma esfera é tangente ao plano xOy se e só se o seu raio for igual ao módulo da cota do seu centro.

A esfera definida pela condição (x - 2 )2 + (y - 3 )2 + (z - 4 )2 S: 42 tem raio 4 e a cota do seu centro é 4

16. (A) A superfície esférica é tangente aos planos de equações x = 4 e y = O se e só se o seu centro estiver a igual distância dos dois planos e essa distância for igual ao raio da superfície esférica.

Seja C (a, b, e) o centro da superfície esférica. O ponto C está a igual distância dos dois planos se e só se l a - 4 l = l b l Esta condição não é satisfeita pelas coordenadas do centro de cada uma das superfícies esféricas definidas nas opções (C) e (D).

Nas opções (A) e (B) as coordenadas de C são (2, 2, O) . Estas coordenadas satisfazem a referida condição e permitem concluir que o raio da superfície esférica é igual a 2 Rejeita-se, portanto, a opção (B) .

17. (A) A condição dada define a intersecção de uma superfície esférica com um plano.

O centro da superfície esférica é o ponto de coordenadas (1, 1, 1)

Dado que, neste caso, o plano passa no centro da superfície esférica, a intersecção é uma circunferência.

18. (C) Dado que a circunferência tem comprimento 871" , tem-se 2 7r r = 87r e, portanto, r = 4

z

Podemos determinar o raio R, da superfície esférica, recorrendo ao teorema de Pitágoras.

Atendendo a que a superfície esférica tem centro no ponto de coordenadas (O, O, O), tem-se:

R2 = 3 2 + 42 .,, R2 = 9 + 16 <> R2 = 25 <> R = 5 Então, uma equação da superfície esférica é x2 + y2 + z2 = 2 5 X

. . 4 · . . .

3 ; . R

19. (B) A superfície esférica de equação x2 + (y - 2 )2 + z2 = 2 tem centro no ponto de coordenadas (O, 2, O) e raio /2

190

A superfície esférica de equação x2 + (y - 3 )2 + z2 = 2 tem centro no ponto de coordenadas (0, 3, 0) e raio /2 A distância entre os centros das superfícies esféricas é igual a 1 e os raios das superfícies esféricas são ambos iguais a 12, pelo que a intersecção destas superfícies esféricas é uma circunferência.

SOLUÇÕES

20. (C) A esfera definida pela condição x2 + y2 + z2 S 4 tem centro na origem do referencial e raio 2, pelo que o ponto de coordenadas (O, O, 2) pertence à superfície da esfera.

O ponto de coordenadas (O, O, 2) também pertence à reta r

O raio da esfera definido por esse ponto tem a direção do vetor (O, O, 2 ) Como a reta r tem a direção do vetor (O, 1, O), ela é perpendicular a esse raio.

Ora, uma reta que passa num ponto da superfície de uma esfera e é perpendicular ao raio dessa esfera, definido por esse ponto, é tangente a essa esfera.

Então, r é tangente a E, pelo que a interseção de E com r é um ponto.

21. (D) Tem-se: KG = IG "" _Q_ = IG <> IG = 3 KC BC 12 6 - -

Volume da pirâmide [GIJK] = .1 x IG X G] X GK = .1 x 3 X 3 x 6 = 9 3 2 3 2 .

22. (D) O vetor s (1, 1, -1) é um vetor diretor da reta s e o vetor n (3, 3, a) é um vetor normal ao plano fJ Como a reta s é paralela ao plano (J, o vetor s é perpendicular ao vetor n e, portanto, s . n = º Tem-se s . n = 0 <> (1, 1, -1) . (3, 3, a) = D <> 6 - a = D <> a = 6

23. (C) Os vetores GP e u são perpendiculares se, e só se, GP . u = O

Designemos por x a abcissa do ponto P

Então, as coordenadas do vetor GP são (x, -4, 1 )

Portanto,

GP . u = 0 <> (x, -4, 1 ) . (2, 3, 6) = 0 <> 2x - 12 + 6 = 0 <> x = 3

24. (B) Das quatro condições apresentadas, apenas as condições das opções (A) e (B) definem planos que passam pelo ponto A

Um vetor normal ao plano a é o vetor (3, 2, O)

Um vetor normal ao plano fJ tem que ser perpendicular ao vetor (3, 2, O)

Umvetor normal aoplanodefinido pela condição da opção (A) éovetor (3, 2, O ) eumvetor normal ao plano definido pela condição da opção (B) é o vetor (2, - 3, O); destes dois vetores, apenas o vetor (2, - 3, O ) é perpendicular ao vetor (3, 2, O )

191


1. (B) Existem nove hipóteses para o primeiro algarismo (1 a 9) e uma hipótese para o último, dado que este é igual ao primeiro. Para cada escolha do primeiro algarismo, existem dez hipóteses para o segundo algarismo (O a 9) e uma hipótese para o penúltimo. Para cada escolha dos dois primeiros algarismos, existem dez hipóteses para o terceiro algarismo e uma hipótese para o quarto, pois este é igual ao terceiro.

Portanto, existem 9 x 10 X 10 X 1 xl X 1 = 900 números que verificam a condição do enunciado.

2. (D) Existem sete hipóteses para o primeiro algarismo (todos os algarismos de 1 a 9, com exceção de 2 e 5) . Para cada escolha do primeiro algarismo, existem sete hipóteses para o segundo algarismo (tem que ser diferente do primeiro e não pode ser 2 nem 5). Para cada escolha dos dois primeiros algarismos, existem seis hipóteses para o terceiro algarismo (tem que ser diferente do primeiro e do segundo e não pode ser 2 nem 5) .

Portanto, existem 7 x 7 x 6 = 294 números que verificam as condições do enunciado.

3. (C) Há duas opções em alternativa: o delegado ser do sexo masculino e o subdelegado ser do sexo feminino ou o delegado ser do sexo feminino e o subdelegado ser do sexo masculino. Sendo 8 o número de rapazes e 12 o número de raparigas, existem, em qualquer das situações, 8 x 12 opções. Portanto, o valor pedido é 8 X 12 X 2 = 192

4. (A) A última condição do enunciado sugere que a resposta seja dada pela soma de d uas parcelas, correspondendo uma ao caso do círculo ser pintado com duas cores e a outra ao caso de se utilizarem quatro cores. Sendo cinco as cores, e sendo os sectores todos diferentes, há 5A4 formas de fazer a pintura utilizando quatro cores. Se usarmos apenas duas cores, terá de utilizarse uma cor nos sectores com número ímpar e a outra cor nos sectores com número par. Há 5A2 possibilidades de escolher as duas cores e a sua posição nos sectores.

O número de maneiras diferentes de pintar o círculo é 5A4 + 5A2 = 140

5. (B) O lugar do meio pode ser ocupado por qualquer uma das três raparigas. Para cada um desses casos, existem 4! maneiras de as restantes pessoas se sentarem. Portanto a resposta é 3 X 4J = 72

6. (B) Dado que apenas os rapazes podem conduzir, existem duas h ipóteses em alternativa: conduz o Paulo ou conduz o outro rapaz.

192

1.ª hipótese - Se conduz o Paulo, ao seu lado fica a Inês e no banco de trás ficam os outros três jovens, existindo 3! maneiras de estes se sentarem. Nesta hipótese, o número de maneiras de os cinco jovens se disporem é 1 x 1 x 3 !

SOLUÇÕES

2.ª hipótese - Se conduz o outro rapaz, ao seu lado fica uma de duas raparigas (não pode ser a Inês, pois ela fica ao lado do Paulo) e no banco de trás fica o Paulo, ao lado da Inês, e a outra rapariga. O número de maneiras de estes três jovens se disporem no banco de trás é 2 x 2. Nesta hipótese, o número de maneiras de os cinco jovens se disporem é 1 x 2 x 2 x 2 .

Assim, de acordo com as restrições do problema, existem 1 x 1 X 3! + 1 x 2 x 2 x 2 = 14 maneiras de os jovens ficarem dispostos.

7. (A) Há 12C5 maneiras diferentes de formar um conjunto de cinco rapazes e 8C5 maneiras diferentes de formar um conjunto com cinco raparigas. O grupo pode ser formado de 12C5 x 8C5 maneiras diferentes.

8. (A) Cada irmão deve receber cinco discos, tendo o Ricardo de receber exactamente dois discos de música clássica e, consequentemente, três discos de Jazz. Escolhidos os discos a oferecer ao Ricardo, o Paulo receberá os restantes. A resposta a este problema pode, então, ser dada pelo número de maneiras de escolher dois discos de música clássica de entre os três discos desse tipo de música e três discos de Jazz escolhidos de entre os sete discos de Jazz, o que pode ser feito de 3C2 x 7 C3 maneiras diferentes.

9. (A) Em cada fila, existem 8C2 maneiras de escolher um conjunto de duas "casas" para colocar os dois cavalos, que são peças iguais. O mesmo acontece em qualquer das outras filas e, portanto, a resposta é dada por 8 x 8C2

10. (A) O número de partidas disputadas é igual ao número de maneiras de escolher dois jogadores, dos dez que participam no torneio. Esse número é 1ºc2

11. (D) O número de maneiras de arrumar os sete copos brancos nos doze compartimentos é 12c7 Para cada uma destas, existem 5A3 maneiras de arrumar os restantes três copos nos cinco compartimentos que sobram. Portanto, o número pedido é 12C7 x 5A3

12. (D) Há 4C2 maneiras diferentes de escolher os dois rapazes que vão viajar de pé. Para cada escolha destes rapazes, há 6! hipóteses de sentar os outros seis jovens nos seis lugares disponíveis. A resposta pode ser dada por 4C2 x 6! = 4320

13. (A) A exigência de que o código tenha três algarismos 5 obriga a que a soma dos dois outros algarismos tenha de ser igual a 2. Sendo esses dois algarismos diferentes, um tem de ser O e o outro 2. Há 5C3 possibilidades para posicionar os a lgarismos 5 e, restando dois lugares, há duas possibilidades para os preencher com o O e o 2. Temos então, apenas, 5C3 x 2 = 20 códigos nas condições do enunciado.

193


14. (C) Temos duas hipóteses em a lternativa: colocar duas bolas em cada uma de duas caixas e uma bola em cada uma das outras ou colocar três bolas numa caixa e uma bola em cada uma das três outras caixas.

Como as caixas são diferentes, na primeira hipótese que apresentámos, temos de escolher, de entre as quatro caixas, quais as duas onde vamos colocar duas bolas e isso pode ser feito de 4C2 modos diferentes. Na segunda hipótese, temos de escolher, das quatro caixas, aquela onde vamos colocar as três bolas e isso pode ser feito de 4 modos diferentes. Como 4C2 = 6 temos, ao todo, 6 + 4 = 10 possibilidades.

15. (B) Sendo escolhido o Carlos, existem duas maneiras de escolher o outro irmão da família Andrade. Para cada uma destas, existem 4C2 maneiras de escolher os dois irmãos da família Martins.

Portanto, o número de maneiras de fazer a escolha dos jogadores é 2 x 4C2 = 12

16. (B) Para que o número seja maior do que 40 000, o primeiro algarismo só pode ser 4 ou 5

Se o primeiro algarismo for 4, para que o número seja ímpar, existem três hipóteses para o último alagarismo: 1, 3 ou 5. Quanto aos restantes três algarismos, o número de maneiras de os colocar é 3 ! . Assim, se o primeiro algarismo for 4, existem 1 x 3 ! X 2 números.

Se o primeiro algarismo for 5, para que o número seja ímpar, existem duas hipóteses para o último algarismo: 1 ou 3 . Quanto aos restantes três algarismos, o número de maneiras de os colocar é 3 ! . Assim, se o primeiro algarismo for 5, existem 1 x 3! x 2 números.

Portanto, existem 1 x 3! x 3 + 1 x 3 ! x 2 = 30

17. (A) Existem 10C6 maneiras de colocar os seis algarismos 2. Para cada uma destas, existem 84

maneiras de colocar os restantes quatro algarismos (estes podem ser iguais, mas não podem ser 2). Portanto, existem 1ºc6 x 84 números que verificam as condições do enunciado.

18. (D) Para que o número seja ímpar e tenha quatro algarismos pares, o último algarismo tem que ser ímpar e os restantes quatro têm que ser pares.

Existem quatro hipóteses para o primeiro algarismo (2, 4, 6 e 8) , dado que se pretende que o número seja superior a 20 000. Para cada uma destas, existem cinco hipóteses para cada um dos outros três algarismos pares (O, 2 , 4, 6 e 8) e cinco hipóteses para o último algarismo ( 1, 3 , 5 , 7 e 9) . Portanto, existem 4 x 54 números que verificam as condições do enunciado.

19. (B) Designemos as posições dos algarismos por p1, p2, p3, p4 e p5

194

P1 P2 P3 P4 ..], Ps

Existem quatro maneiras de os algarismos pares ficarem um a seguir ao outro. Podem ocupar as posições {p1, p2} ou {p2, p3} ou {p3, p4} ou {p4, p5} . Para cada uma delas, o algarismo 2 pode ocupar a primeira posição e o 4 a segunda, ou vice-versa .Escolhidas as posições para os algarismos pares, os 3 algarismos ímpares podem distribuir-se de 3! maneiras. Assim, existem 4 x 2 x 3 ! = 48 números nas condições pedidas.

Triângulo de Pascal. Propriedades das combinações

1. (A) A l inha que tem quinze elementos é a l inha que contém os números da forma 14CP . O sexto elemento dessa linha é 14C5

2. (C) A l inha cujo penúltimo elemento é 10 é a l inha que contém os números da forma 10Cp e o terceiro elemento dessa l inha é 10C2 = 45

3. (A) Dado que a soma dos dois últimos elementos da linha é igual a 31 e uma vez que o último elemento é igual a 1, concluímos que o penúltimo elemento é igual a 30. A l inha anterior é, portanto, a l inha que contém os elementos da forma 29CP . O quinto elemento da linha anterior é 29[4 = 23 751

4. (A) O número 2ºº6c4 é o quinto elemento da l inha. Os elementos dessa l inha que são menores do que 2ºº6C4 são oito: os quatro primeiros e, atendendo à simetria, também os quatro últimos.

5. (C) Dado que a soma dos dois primeiros elementos da linha é igual a 13 e uma vez que o primeiro elemento é igual a 1, concluímos que o segundo elemento é igual a 12. A linha em causa é, portanto, a l inha que contém os elementos da forma 12Cp . O terceiro elemento dessa l inha é 66 (12C2) e o quarto é 220 (12c3) . Portanto, os elementos da l inha que são menores do que 70 são seis: os três primeiros e os três últimos.

6. (C) Como a soma dos dois primeiros termos é 21, conclui-se que o segundo termo é 20, dado que o primeiro é 1. Assim, a linha tem 21 termos, pelo que o maior termo é o termo centra l . Esse termo é 2ºc10 = 184 756

7. (C) O terceiro elemento da l inha seguinte é 120, como se i lustra no esquema abaixo: 121

120 ,........,___._ 1 "C1 "C2 ""--,...---'

j 1 n+lcl n+lc2

8. (A) A soma de todos os elementos da l inha de ordem n do Triângulo de Pascal é 2 " .

Tem-se, então: 2" = 256 "" 2" = 28 . Vem então que n = 8 .

A l inha de ordem 8 é a que contém os elementos da forma 8Ck com k E {O, 1, . . . , 8 } .

O terceiro elemento dessa linha é 8C2 = 28

195

Binómio de Newton

1. (B) A equação dada é equivalente à equação x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 = x4 + 4x3 + x + 1( ver item 1). Esta equação é equivalente à equação 6x2 + 3x = O e tem-se:

6x2 + 3x = 0 .,, 3x(2x + 1 ) = 0 .,, x = O V X = - �

2. (A) Tem-se n = 7 + 3 e, portanto, o valor de n é 10

3. (C) No desenvolvimento de ( x + 2 )5 o monómio da forma kx3 é 5Czx3 2 2 . Portanto, tem-se k = 5C2 X 22 = 40

4. (D) O termo geral do desenvolvimento de (x2 + 2)6 é 6Ck x (x2)6-k x 2k = 6Ck x 2" x x12-2 k A expressão 6Ck x 2 k x x12-2k tem grau 6 se, e só se, 12 - 2k = 6 "" k = 3 .

O termo de grau 6 é , portanto, 6C3 X 23 X x6 = 160x6

5. (B) O termo geral do desenvolvimento de (; + x )1º , com x # O, é

196

( 2 )10-k 10ck X X X xk = 10ck X 210-k X x-!O+k X xk = IOck X 210-k X x-10+2k

A expressão 10Ck x 210-k x x-10+2k não depende da variável x se, e só se, -10 + 2 k = O "" k = 5

O termo que não depende da variável x é, portanto, 10C5 x 210-5 = 8 064


1. (D) Casos possíveis: 6 x 5 = 30 - 6 para o número saído no dado, 5 para o número saído na extração da bola.

Casos favoráveis: 6 x 1 = 6 - para o produto ser zero, no dado pode sair qualquer um dos 6 números, mas apenas uma bola (a numerada com zero) poderá ser extraída.

A probabilidade pedida é assim 360

= �

2. (A) Número de casos possíveis: O número de casos possíveis é 7 x 7 pois qualquer um dos dois cientistas tem 7 opções para escolher o hotel.

Número de casos favoráveis: Como há sete hotéis, há 7 casos favoráveis a que os dois cientistas fiquem no mesmo hotel.

Probabilidade pedida: 7 3 7 = �

3. (D) Número de casos possíveis: Há 9C2 possibilidades de escolher dois CD de entre os nove que a Maria gravou.

Número de casos favoráveis: Há sete h ipóteses de escolher um CD de música rock e duas hipóteses de escolher um CD de música popular. O número de casos favoráveis é 7 x 2

Probabilidade pedida: 7 X 2 = 14 = _]__

9c2 36 18

4. (D) Número de casos possíveis: O João tem no bolso seis moedas e há 6C2 maneiras diferentes de tirar um conjunto de duas moedas de entre seis.

Número de casos favoráveis: Para perfazer 2,5 euros com duas moedas é necessário retirar uma moeda de 2 euros e outra de 50 cêntimos. Há uma possibilidade de retirar uma moeda de 50 cêntimos e há três hipóteses de retirar uma moeda de 2 euros. O número de casos favoráveis é 1 x 3 = 3 Probabilidade pedida: 6�

2 = i35 = �

5. (D) Número de casos possíveis: O número de casos possíveis é o número de conjuntos de três números, escolhidos de entre os vinte números. Há 2ºC3 casos possíveis.

Número de casos favoráveis: Para que o maior dos números das bolas extraídas seja 10, é necessário que a bola com o número 10 faça parte do conjunto de três bolas que foram extra ídas e é necessário que as outras duas bolas tenham número inferior a 10. Como há nove bolas com número inferior a 10, o número de casos favoráveis é 1 x 9C2 = 9C2 Probabilidade pedida: 2

90C2 =--ª-º-C3 2ºC3

197

CÁLCULO DE PROBABILIDADES - Regra de Laplace

6. (B) Número de casos possíveis: Os sete amigos podem dispor-se de 7! maneiras diferentes.

Número de casos favoráveis: Os adeptos do clube Alfa podem trocar entre eles de 3 ! maneiras e os adeptos do clube Beta podem trocar entre eles de 4! maneiras. Como as duas claques podem ordenar-se de duas formas (Alfa Beta ou Beta Alfa), o número de casos favoráveis é 2 x 3 ! x 4!

Probabilidade pedida: 2 X 3 1 X 41 7!

7. (D) Casos possíveis: 7! - número de maneiras dos 7 amigos se sentarem.

Casos favoráveis: 7! - 6! x 2 - os casos favoráveis serão todos menos aqueles em que o João e a Margarida se sentam juntos; o João e a Margarida podem sentar-se juntos de 6! x 2 maneiras distintas.

7 ! - 6! x 2 __ 1 _ _ 2 __ _ 5 A probabilidade pedida é assim 7 1 7 7

8. (D) Número de casos possíveis: Considerando o espaço amostral associado aos dois últimos lançamentos, o número de casos possíveis é 6 x 6 = 6 2

Número de casos favoráveis: Para que os algarismos sejam todos diferentes, há quatro hipóteses para o primeiro dos dois últimos lançamentos e três hipóteses para o segundo.

Probabilidade pedida: 4 x 3 62

9. (D) Número de casos possíveis: A l inha constituída pelos números da forma 24Cp tem 25 elementos. Portanto, o número de casos possíveis é 25

Número de casos favoráveis: Os únicos elementos dessa l inha que são iguais a 1 são o primeiro e o último. Logo, existem dois casos favoráveis.

Probabilidade pedida: }5

10. (D) Número de casos possíveis: A l inha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35 é a l inha cujos elementos são os números da forma 35CP . Essa linha tem 36 elementos. O número de casos possíveis é 36C2 pois a experiência consiste em escolher dois elementos de entre os 36 da referida linha.

198

Número de casos favoráveis: Há 18 casos favoráveis a que os dois elementos escolhidos sejam iguais, pois o primeiro elemento da linha é igual ao último, o segundo é igual ao penúltimo, o terceiro igual ao antepenúltimo, e assim sucessivamente até esgotar os elementos que constituem a primeira metade da linha.

Probabilidade pedida: 3�8 C2

SOLUÇÕES

11. (B) Número de casos possíveis: Como o cubo tem oito vértices, há 8C2 formas de escolher dois vértices distintos de entre os oito.

Número de casos favoráveis: Escolhidos dois vértices do cubo, eles podem definir uma aresta, uma diagonal facial ou uma diagonal espacial . O centro do cubo é o ponto médio do segmento apenas no caso de os vértices escolhidos serem extremos de uma diagonal espacial. Como o cubo tem quatro diagonais espaciais, existem 4 casos favoráveis.

Probabilidade pedida: 84 Cz

12. (A) Número de casos possíveis: O número de casos possíveis é 8C2 , pois a experiência consiste em escolher dois vértices diferentes de entre os oito vértices de um paralelepípedo retângulo.

Número de casos favoráveis: Como um paralelepípedo retângulo tem 12 arestas, o número de casos favoráveis é 12 Probabilidade pedida: 12

8Cz

13. (C) Número de casos possíveis: Atendendo a que o octaedro tem 6 vértices, o número de casos possíveis é o número de conjuntos com três elementos que se podem formar a partir de um conjunto de seis elementos. Portanto, o número de casos possíveis é 6C3 Número de casos favoráveis: Dos planos definidos por três vértices do referido octaedro, o único que é perpendicular ao eixo Oy é o plano xOz. Como o octaedro tem quatro vértices nesse plano, o número de casos favoráveis é o número de maneiras de escolher três de entre esses quatro vértices. Assim, o número de casos favoráveis é 4C3 4C3 4 1 Probabilidade pedida: 6C3

= 20 = S

14. (B) Casos possíveis: 6C3 - número de maneiras de escolher em simultâneo três dos seis vértices

Casos favoráveis: 4C3 = 4 - o plano xOy é paralelo ao plano de equação z = 5, dos quatro vértices pertencentes ao plano xOy deverão ser escolhidos três.

A probabilidade pedida é assim � C3

15. (A) Casos possíveis: 6 x 4 = 24 - 6 para o dado cúbico, 4 para o dado tetraedrice.

Casos favoráveis: 6 X 4 - 5 X 3 = 9 - os casos favoráveis serão todos menos aqueles em que em nenhum dos dados sai o número 4; não sair 4 no dado cúbico pode acontecer de 5 maneiras e não sair o 4 no dado tetraédrico pode acontecer de 3 maneiras.

A probabilidade pedida é assim z94 = �

199

Definição axiomática de probabilidades. Propriedades das probabilidades

1. (C) Dado que cada bola só tem uma cor, uma bola não pode ser, simultaneamente, branca e azul, de onde se conclui que A n B = 0. Portanto, os acontecimentos A e B são incompatíveis.

2. (C) A partir da axiomática de Kolmogorov, prova-se que P(A ) = 1 - P(A) . Esta condição é equivalente a P( A ) + P(A ) = 1 que, em linguagem corrente, se traduz na afirmação «A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é igual a 1 ».

3. (B) P(A) = 30% ; P(A u B) = 70% Como A e B são acontecimentos incompatíveis, tem-se P( A U B) = P( A) + P( B) 70% = 30% + P(B) <> P(B) = 40%

4. (C) A probabilidade da união de dois acontecimentos não pode ser inferior à probabilidade de qualquer deles, o que permite rejeitar as opções (A) e (B); por outro lado, a probabilidade da união de dois acontecimentos não pode ser superior à soma das probabilidades dos dois acontecimentos, o que permite reje'1tar a opção (D).

5. (C) Sabe-se que P(A ) = 0,3 e, portanto, P(A) = 0,7. Dado que a probabilidade da união de dois acontecimentos não pode ser inferior à probabilidade de qualquer deles, rejeitam-se as opções (A) e (B). O mesmo argumento permite rejeitar a opção (D), tendo em consideração que A n B = A U B

6. (D) Quando se abre qualquer l ivro, independentemente do seu número de páginas, das duas páginas que ficam à vista, uma tem número par e a outra tem número ímpar. Como a soma de um número par com um número ímpar é, sempre, um número ímpar, o acontecimento em causa é um acontecimento certo e, portanto, tem probabilidade igual a 1

7. (D) p [A u (A n s)] = P[(A u A) n (A u s)] = P[Q n (A u s)] = P[(A u s)] = = P(A n B) = 1 - P(A n B) = 1 - � = �

200


1. (D) Se saiu o número 5 no lançamento do dado, então retira-se uma bola da caixa A

Como a caixa A contém três bolas das quais duas são verdes, a probabilidade pedida é igual a 1_

3

2. (B) Depois de tirar uma bola verde, ficam na caixa 5 bolas verdes. Dado que a probabilidade de a segunda bola retirada ser preta é igual a � , conclui-se que o n úmero de bolas pretas também é igual a 5

3. (C) No contexto do problema, P(V 1 M ) designa a probabilidade de reti rar da caixa 2 uma bola verde, sabendo que se retiraram da caixa 1 duas bolas de cores diferentes. Dado que as bolas retiradas da caixa 1 têm cores diferentes e são colocadas na caixa 2, esta caixa fica com duas bolas verdes e uma bola amarela. Então, a probabilidade pedida é igual a �

4. (B) No contexto do problema, P(B 1 A) designa a probabil idade de a bola extraída ter um número múltiplo de 5, sabendo que a bola extraída tem um número par.

No espaço amostral constituído pelas dez bolas com número par, a probabilidade de a bola extraída ter um número múltiplo de 5 é igual à probabilidade de o número da bola terminar em zero.

Assim, há 10 casos possíveis e há 2 casos favoráveis, pois existem duas bolas com números que terminam em zero: a bola com o número 10 e a bola com o número 20. A probabilidade pedida é igual a 1

20 , ou seja, 0,2

5. (B) No contexto do problema, P(X 1 Y) designa a probabilidade de a figura escolhida ser um quadrado, sabendo que a figura escolhida está pintada de preto. Como esta probabilidade é igual a � , na resposta correcta, metade das figuras pintadas de preto têm de ser quadrados.

Na opção (B) há duas figuras pintadas de preto, sendo um quadrado e um círculo e essa é, portanto, a opção correcta. Nas opções (A) e (D) tem-se P(X 1 Y) = 1 e na opção (C) tem-se P(X I Y) = §

6. (C) Designando por A o acontecimento «Ter classificação positiva no primeiro teste» e designando por B o acontecimento «Ter classificação positiva no segundo teste», e entendendo que ter classificação negativa é o acontecimento contrário de ter classificação positiva, a probabilidade pedida é P(B 1 A) P(B 1 A ) =

P(B n A) P(A )

0,1 _ 1_ 0,3 - 3

201


7. (B) Os múltiplos de 5 que são números pares terminam em O e, portanto, são múltiplos de 10 Então, A n B = e

3 15 P(A n B) 15 P(C) 15 B 15 P( B 1 A) = 16 ""

P( A) 16 "" P( A)

= 16 "" P( A)

= 16 ""

"" P(A) = � x i� "" P(A) = �

8. (C) A probabilidade pedida é

P(B I A ) = P(B n A) = 1 - P(BnÂ) = 1 - P(B u A) = 1 - 0,92 = 1_

P(A ) P(A ) 1 - P(A) 1 - 0,44 7

9. (B) P(A 1 B) designa a probabilidade de a bola retirada ser preta, sabendo que foi retirada uma bola com número par.

No saco existem 4 bolas com número par (as bolas com os números 2, 4, 6 e 8). Destas, apenas duas são pretas (as bolas com os números 2 e 4).

Portanto, P(A 1 B) = � = � 10. (A) P(A n B) = 0,6 "" P(A U B) = 0,6 "" 1 - P(A U B) = 0,6 "" P(A U B) = 0,4

P(A u B) = 0,4 "" P(A) + P(B) - P(A n B) = 0,4 "" 0,2 +0,3 - P(A n B) = 0,4 ""

"" P(A n B) = 0,1

P(A I B) = P(A n B) 0,1 1 P(B) 0,3 = 3

11. (A) Sejam R e V os acontecimentos:

202

R : «o aluno escolhido é rapaz»

Tem-se:

V : «o aluno escolhido tem olhos verdes»

P(V I R) = ! P(R n V) = lo

"" 10P(R) = 4 "" P(R) = l� "" P(R) = �

Assim, o número de rapazes é � X 20 = 8


1. (D) Dado que a função f é uma função crescente, o contradomínio de f é o intervalo 1 3 [t( � ). � � )], ou seja, D' = [42, 42] = [14, 143] = [2, 8]

2. (C) O ponto em que o gráfico de f intersecta o eixo Ox é o ponto de coordenadas ( 4, O). Então, tem-se: /( 4) = O <> ln( 4 - a) = O <> 4 - a = e0 <> - a = 1 - 4 <> a = 3

3. (B) log2 ( �5 ) = log2 (a5) - log2 (8) = 5 log2 (a) - log2 (23) = 5 log2 (a) - 3 =

= 5 X 1_ - 3 = 1 - 3 = -2 5

5. (B) Um ponto (a, b ) pertence ao gráfico de uma função / se e só se a E Dt e f(a) = b Como, em todas as opções, a abcissa do ponto é igual a e, vamos calcular a imagem de e pela função f /(e ) = ln(3e) = ln3 + ln e = ln 3 + 1 Então, ln 3 + 1 é a ordenada do ponto do gráfico da função f que tem abcissa e

6. (B) Um ponto (a, b) pertence ao gráfico de uma função f se e só se a E D f e /(a) = b A opção (A) deve rejeitar-se pois uma função exponencial não toma o valor zero. O ponto de coordenadas (ln 2, 2 e3) pertence ao gráfico da função f se e só se /(ln 2) = 2 e3

/(ln 2) = eln2+3 = eln 2 X e3 = 2e3

7. (A) O ponto em que o gráfico de f intersecta o eixo Oy é o ponto de coordenadas (o, 2 ) . Então, /(0) = 2 e tem-se: J(ü ) = 2 <> eº+ª = 2 <> eª = 2 <> a = ln 2

8. (D) Sendo x a abcissa do ponto /, tem-se f(x) = g(x) Como /(x) = g(x) <> log3x = -2 + log3 (x2 ) e, atendendo a que x > O, tem-se: f( x) = g(x) <> log3x = -2 + 2 log3x <> log3x - 2 log3x = -2 <> <> - log3x = - 2 <> log3x = 2 <> x = 3 2 <> x = 9

9. (c) ( ) ln( VeX) 1 ( )t 1 1 ( x) 1 X Tem-se g x = 2 =z-ln ex =z- X z-ln e =4x x =4

11. (A) log3 ( 1 - X) :S 1 <> 1 - X :S 3 1 /\1 - X > Ü <> -X :S 3 - 1 /\ -X > -1 <> � - x :S 2 fl x < 1 <> x 2 -2 fl x < 1

203

EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

12. (C) log5 (x) = 7r - l "" x = Sir-1 Assim, Sx = 5 x 5ir-l = 5 1+ir-1 = 5 ir

14. (D) Dado que o ponto P pertence ao gráfico da função f, tem-se f(l) = 3, ou seja, 2ax1 _ 1 = 3 Então, f(l ) = 3 "" 2axl - 1 = 3 "" 2ª = 3 + 1 "" 2 ª = 4 "" a = 2

15. (D) Vamos tomar [CE] para base. CE é igual à abcissa do ponto E e o ponto E é o ponto do gráfico de g que tem ordenada igual à do ponto c A ordenada do ponto A é f( O ) = e0 = 1 . De DA = 1 e de AC = DA , conclui-se que a ordenada do ponto c é 2

Portanto, a abcissa do ponto E é a solução da equação g( x) = 2

g( x) = 2 "" lnx = 2 "" x = e2

A altura do triângulo [ CDE ] , relativa à base [CE], é igual à diferença entre as ordenadas dos pontos D e C A abcissa do ponto D é igual à abcissa de B e a abcissa do ponto B é a solução da equação g( X) = Ü

g( x) = O "" lnx = O "" x = e0 "" x = 1

Concluímos então que a abcissa do ponto D é igual a 1 e, portanto, a sua ordenada é f(l ) = e1 = e

Assim, a altura do triângulo é igual a e - 2 e, sendo a base CE = e2 , a área do triângulo e2 X (e - 2) [CDE] é dada por 2

16. (C) Para x > O, tem-se:

e4lnx - 102 logx = elnx4 - 10logx2 = x4 _ x2

17. (D) Para a > 1 e b > 1, tem-se b = a2 "" a = lb 1

Então: 1 + logb (a ) = 1 + logb ( /b) = 1 + logb (b 2) = 1 + � = � 1

18. (C) f( X) = � "" log9 X = � "" X = 9z "" X = 19"" X = 3

1 19. (C) log0 1lJXC = log0 (/b X IC) = log0 /b + log0 /C = logabZ + 3 =

= � log0 b + 3 = � + 3

204

SOLUÇÕES

22. (B) ln( e-x - a) :S O<> e-x - a :S 1 i\ e-x - a > O<> e-x :S 1 + a i\ e-x > a <> <> -x :S ln ( 1 + a) i\ -x > ln a <> x 2: - ln ( 1 + a) i\ x < - ln a

Portanto, S = [-In(l + a), - !na[

23. (A) log( lOOb) = log 100 + logb = log102 + logb = 2 + 2014 = 2016

25. (C) Tem-se: a = b3 <> b = Va 1

logab + logba = Ioga Va + logbb3 = log0a 3 + 3 = � + 3 = 13º

26. (D) (f o g )(x) = O <> J[g(x)] = O <> f(lnx) = O .,, Jnx = -1 V ln x = 1 ""

<> X = e-1 v x = e <> x =.lv x = e e

27. (B) Tem-se:

4 + log0 (5 1nª ) = 4 + ln a X logaS = 4 + ln a X 11n 5 = 4 + ln 5 = ln (e4) + ln 5 = ln(S e4) n a

205


1. (D) Tem-se lim( 1 + � r = e ( l imite notável). Portanto:

2. (C)

3. (A)

4. (C)

5. (D)

lim ( 1 + � )2 n = ( lim ( 1 + � r r = e2

lim g( x) = lim 2x - 5 X_,_ 1+ X --+ l r X - 1

lim lnx = -oo = _ 00 x _,_ Q+ X o+

Tem-se lim g(x) = B(3) x- 3-/(x) o+

2 - 5 -3 --=-= - oo o+ o+

com g(3 ) E JR+; portanto, lim g((x)) = + oo

x-3- fl x

6. (B) lim ( 0,1 + 0,2eº·3x) = 0,1 + 0,2e-00 = 0,1 + 0,2 x O = 0,1 x_,_-oo Portanto, a reta de equação y = 0,1 é assíntota do gráfico da função f

7, (B) A equação reduzida da reta t é y = x - 2 Como a reta t é assíntota do gráfico da função f em JR+, conclui-se que J im (!(X) - (X - 2)) = 0 x_,.+oo

8. (C) Se a reta de equação y = mx + b é assíntota do gráfico de f, de domínio JR+, então

m = lim f(x) x_,_+oo X

O declive da reta s é 1 - 0 0 - (-2)

Tem-se, portanto, lim /( x) = 21

x_,.+oo X

1 2

9, (A) Dado que a feta r, de equação y = -2x + 1, é assíntota do gráfico da função f, cujo domínio é JR+, então lim [f(x) - (-2x + 1 )] = 0 . X--++oo Tem-se, então, lim /(x) = lim [/(x) - (-2x + 1 ) + (-2x + l )] = x_,_+oo x_,.+oo = lim [f(x) - (-2x + 1 )] + lim (-2x + 1 ) = x_,.+oo x_,_+oo = o + ( -oo) = - 00

10. (B) Como a reta de equação y = 3 é assíntota do gráfico de h, quando x -+oa, conclui-se

206

que lim h (x) = 3 e, portanto, lim h(x) 3 = -3- = l = l X--++oo x-+oo3 + e-x 3 + e-00 3 + 0 3

SOLUÇÕES

11. (A) O gráfico da função g pode obter-se aplicando ao gráfico da função f a translação definida pelo vector (-1, O) . Aplicando a mesma translação à única reta que é assíntota do gráfico de f, obtém-se a única assíntota do gráfico da função g A equação dessa reta é y = 2(x + 1) + 4, que é equivalente a y = 2x + 6

12. (A) Como a reta de equação y = 2 é assíntota do gráfico da função h, que tem domínio R_-, conclui-se que lim h( x) = 2

X-.-oo

lim h(x) =l=+oo x_,_-00 ex o+

13. (C) Como a função g é contínua em R, é contínua em qualquer interva lo fechado. Opção (A): g(-1 ) = (-1)5 - (-1) + 1 = 1 e g(0) = 05 - 0 + 1 = 1 Portanto, o teorema de Bolzano-Cauchy não permite garantir que a equação g( x) = 8 tem solução no intervalo [-1, O ] Opção (B) : g(O ) = l e g (1 ) = 15 - 1 + 1 = 1 Portanto, o teorema de Bolzano-Cauchy não permite garantir que a equação g( x) = 8 tem solução no intervalo [o, 1] Opção (C): g(1) = 1 e g(2 ) = 2 5 - 2 + 1 = 31 Tem-se g( 1) .;; 8 ,,;; g( 2 ) e, portanto, o teorema de Bolzano-Cauchy permite afirmar que a equação g( x) = 8 tem pelo menos uma solução no interva lo [ 1, 2 ]

14. (B) Sendo f contínua em ]-4, + oo[, é contínua em qualquer dos intervalos apresentados. Procuremos, de entre esses intervalos, aquele em que as imagens dos extremos têm sinal contrário. Opção (A): /(- 3 )= -3 + log4 (-3 + 4) = -3 + log4 (1) = -3 + 0 = -3 /(-2) =-2 + log4 (-2 + 4) =-2 + log4 (2) = -2 + � = - � Portanto, o teorema de Bolzano-Cauchy não permite garantir a existência de pelo menos um zero no intervalo [-3, -2] Opção (B): /(-2) = - � e /(0) = 0 + log4 (0 + 4) = 1og4 (4) = 1 Como /(-2) < O e /(O ) > O, o teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir que a função f tem pelo menos um zero no intervalo [-2, O ]

15. (B) Uma função contínua, de domínio R, não pode passar de valores negativos a valores positivos, ou de valores positivos a valores negativos, sem tomar o valor O Portanto, o contradomínio de uma função contínua de domínio lR. não pode ser R \ {O}

16. (D) A equação g( x) = b tem três soluções distintas se e só se a reta de equação y = b intersectar o gráfico de g em, exactamente, três pontos. Os valores de b para os quais isso acontece são os do intervalo ]-2, 3 [

207

17. (C)

18. (D)

L IM ITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO·CAUCHY

Jim Un = e ( l imite notável). Então, dado que conclui-se que Jim /( Un ) = 1

lim lnx = lne = 1, x- e

A sucessão ( Un) tende para O, conclui-se que lim g(un ) = 2

por valores superiores a O. Então, dado que Jim g( x) = 2, x_,.o+

n_,.+oo

19. (B) A sucessão (xn ) tende para -oo. Dado que Jim /(x) = l, conclui-se que lim /(xn ) = l x_,.-oo

20. (C) Sendo a função estritamente crescente, tendo o gráfico que passar no ponto (O, 1) e sendo o eixo Ox assíntota do gráfico, tem-se Jim fl x) = O. Como a bissectriz do 1º X->-oo quadrante também é assíntota do gráfico, tem-se Jim /( x) = + oo x-.-oo O contradomínio de qualquer função nas condições indicadas é Jü, + oo( No referencial seguinte apresenta-se uma representação gráfica de uma função que cumpre as condições do enunciado.

11

/ / /

/ /

' ' '

:r

21. (A) Da informação do enunciado e da observação da representação gráfica da função g conclui-se que Jim g(x) = + oo

x- 3 A sucessão ( xn ) lim g(xn) = + oo

definida por 3 _ 1_ tende para 3, por valores inferiores a 3 e, portanto, n

22. (D) Dado que lim h(x) =-oo, conclui-se que a reta de equação x = -3 é assíntota vertical do x--.-3

208

gráfico da função h e conclui-se também que a função h não tem mínimo absoluto. Devem, portanto, rejeitar-se as opções (A) e (C). Por outro lado, pode também concluir-se que as retas de equações y = 5 e y = O são assíntotas do gráfico da função h, porque Jim h ( x) = 5 e lim h( x) = O x_,.-oo x ........ +oo Assim, a opção (B) não é a opção correta. A opção correta é, então, a opção (D): sendo h uma função contínua em J-oo, -3(,

]-oo, s[, pois o contradomínio da sua restrição Jim h(x) = - oo e Jim h(x) = 5 X--+-3 x--oo

a este intervalo contém o intervalo

Assim, 2 pertence ao contradomínio da função h e, portanto, a equação h(x) = 2 tem, pelo menos, uma solução.

SOLUÇÕES

23. (A) A reta de equação y = 2 é assíntota do gráfico de f pois lim /( x) = 2 X--++oo

A reta de equação y = x é assíntota do gráfico de f pois lim [!( x ) - x J = O X->-00

O gráfico de f não pode ter outras assíntotas não verticais, o que permite rejeitar a opção (D). A reta de equação x = 5 não é assíntota do gráfico de f pois rejeitar as opções (B) e (C).

lim/(x) = -3, o que permite x- S

24. (C) A função f tem domínio R \ {3} e é uma função contínua. Portanto, só a reta de equação x = 3 pode ser assíntota vertical do gráfico de f Como lim x - 2 = _1_ = + oo a reta de equação x = 3 é efetivamente assíntota do

x_,. 3+x - 3 o+ ,

gráfico de f Tem-se lim x - 2 = lim L = 1 · portanto, a reta de equação y = 1 é a única assíntota

x--±ooX - 3 x.--,.±ooX ' horizontal do gráfico da função f

25. (A) Tem-se lim !(_ x) = f( 1 ) (o gráfico de f é uma reta, pelo que f é contínua). X-+ 1 +

Então, lim!(_x) =

J\l ) = O x-1+g(x) -oo

26. (A) Tem-se lim lnx = ln e = 1. Então, dado que limxn = e ( l imite notável), tem-se:

limyn = 1 + lim(lnxn) = 1 + 1 = 2

27. (C) Dado que a reta de equação y = 2x + 3 é assíntota do gráfico da função g, cujo domínio é

JR+, então lim g(x) = 2 e lim (g(x) - 2x) = 3 X-++oo X x_,_+oo

Portanto, lim [ g(x) x (g(x) - 2x)] = 2 x 3 = 6 X->-+oo X

28. (A) Na opção (A), tem-se:

g(-2 ) = -2 + /(-2 ) = -2 + 1 = -1 e g(2 ) = 2 + /(2) = 2 + 3 = 5

Dado que g(-2 ) e g(2 ) têm sinais contrários e como g é uma função contínua no intervalo [-2, 2], o teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir que a função g tem pelo menos um zero no interva lo [-2, 2 ]

Está, portanto, encontrada a opção correta.

Em cada uma das restantes opções, g(-2) e g(2 ) têm o mesmo sinal e, portanto, o teorema de Bolzano-Cauchy não permite garantir a existência de pelo menos um zero no intervalo [-2, 2 ]

209

29. (D)

LIMITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

Como a reta de equação y = � x + 2

conclui-se que lim !( x) = 13 x_,.+oo X

lim h(x) = lim _x_ = 1 x-+oo x-+oof(x) . f(x) hm --

x---->+oo X

é assíntota do gráfico de f, cujo domínio é [O, + oo[,

_1__ = 3 1 3

Então, a reta de equação y = 3 é assíntota do gráfico da função h

30, (C) Tem-se lim (f(x) + x + l ) = lim [/(x) - (-x - 1)] X---->-oo x-+oo

Dado que a reta de equação y = - x - 1 é assíntota do gráfico da função f, quando x � - oo, conclui-se que o limite pedido é igual a O

31, (A) Dado que a reta de equação y = 1 é assintota do gráfico de f em R+, conclui-se que ln( X) lim /( x) = 1; tem-se também lim -- = O (limite notável).

X---->+oo x_,.+oo X

Então lim [ ln(x) - f(x)] = Ü - 1 = -1 X->+oo X

32. (A) Dado que a função f é contínua em R, é contínua, em particular, para x = a e, portanto, lim_f(x) = lim f(x) = f(a), ou seja, a2 - 2 a = a2 - a + 3

x_,_a x_,_a+ Ora, a2 - 2 a = a2 - a + 3 "" -2 a = - a + 3 "" a = -3

33. (C) Se a reta de equação y = mx + b é assíntota do gráfico da função f, cujo domínio é

3, + oo , entao, m = 11m --[ [ _ . f(x) x-+oo X f(x)

A reta r tem declive 1, portanto, lim --= 1 X-++oo X

34. (C) Tem-se g(ü) = 3º -Vo = 1 e g(1) = 31 - l:l = 2 Como g(O ) e g(l ) são ambos positivos, o teorema de Bolzano-Cauchy não permite garantir a existência de pelo menos um zero no intervlo [O, 1] Como lim g( x) = 9 - /2 e lim g( x) = -3, a função g não é contínua no ponto 2, pelo

x_,.z·· x_,.z+ que o teorema de Bolzano-Cauchy não permite garantir a existência de pelo menos um zero no intervalo [ 1, 3 ] Tem-se g(3) = 3 - 5 + log2 (3 - 1 ) = -2 + 1 = -1 e g(5) = 5 - 5 + log2 (5 - 1 ) = 0 + 2 = 2. Como a função g é contínua em [3, 5] e como g(3) e g(5) têm sinais contrários, o teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a existência de pelo menos um zero no intervalo [3, 5 ]

35, (D) lim g(un) = lim ln (l) = ln(o+) = - oo n ----+oo n _,.+oo n

210

36. (A) lim eªx - 1 x----- O ax2 + a2x

]. eªx - 1 lill x- o ax(x + a)

SOLUÇÕES

lim-1 - X lim eªx - l x_,.ox + a x- 0 ax

1_ X lim eªx - 1 = a x - o ax y = ax

37. (B) Tem-se /(0) = 2 º - 9 = -8 e /(1) = 21 - 9 = -7 Como /(O) e /( 1) são ambos negativos, o teorema de Bolzano-Cauchy não permite garantir a existência de pelo menos um zero no intervalo [O, 1 J Tem-se /(1 ) = -7 e /(4) = 24 - 9 = 7 Como a função f é contínua em [ 1, 4 J e como f( 1 ) e /( 4) têm sinais contrários, o teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a existência de pelo menos um zero no intervalo [ 1, 4]

38. (C) Uma vez que o domínio é minorado, o facto de a reta de equação y = 2x - 4 ser assintota do gráfico de g significa que lim (g( x ) - (2x - 4 )) = O pelo que lim (g( x ) -2x + 4) = O

X--++oo x -.+oo

39. (B) Como 1im (2 + 1-) = 2 + ü+ = 2+, tem-se lim fl2 + 1-) = lim /(x) = 42 + 1 = 3 n 1 \ n x_,_ z+

40. (C) Como lim (f( x) + 2x) = O tem-se lim (f(x ) - (-2x )) = O, pelo que a reta de equação X--+-00 X--+-oo

y = -2x é assintota do gráfico de f Como lim /( x) = 1, a reta de equação y = 1 é assintota do gráfico de f

X--++oo

41. (D) Para que o teorema de Bolzano-Cauchy garanta a existência de pelo menos um zero da função g no intervalo [-1, 4], é necessário que a função g seja contínua no intervalo [-1, 4 J, e que g( -1) e g( 4) tenham sinais contrários. Em cada uma das três primeiras opções é verificada a continuidade de g no intervalo [-1, 4 J , mas g( -1 ) e g( 4 ) têm sinais iguais. No caso em que g é definida por g( x) = x2 - f( x ), tem-se que g é contínua no intervalo [-1, 4], e que g(-1) e g(4) têm sinais contrários, pois g(-1) = (-1 )2 -1(-1) = 1 -3 = -2 e g( 4) = 42 - f( 4) = 16 -9 = 7

42. (A) A função f - g é contínua no intervalo [2, 3] , pois as funções f e g são ambas contínuas nesse intervalo. Além disso, (f - g)(2 ) e (/ - g)(3) têm sinais contrários, pois (f - g)(2 ) = 1(2) - g(2) > o e (f - g)(3) = /(3) - g(3 ) < o Pelo teorema de Bolzano-Cauchy, concluímos que a função f - g tem pelo menos um zero no intervalo ]2, 3 [ . Assim, existe um número e E ]2, 3 [ tal que (! - g )(e) = O, donde f( e) - g( e) = O e, portanto, /(e) = g( e) Concluímos, assim, que existe um objeto e cujas imagens por meio das funções f e g são iguais, o que, do ponto de vista gráfico, significa que os gráficos de f e g se intersetam no ponto (e, /( e)) . Portanto, os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto.

211

L IM ITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO·CAUCHY

43. (A) Tem-se lim f(x) = lim g (x) = g(a) = 2 e lim_f(x) = lim_log3 (-x - 13) = log3 (-a - 3

1 ) x ........ a+ x_,_a+ x_,_a x-a

44. (D)

45. (D)

Como f é contínua em JR, é contínua no ponto a, pelo que

lim f( x) = lim f( x) "" log3 (-a _ 1_) = 2 "" - a _ 1_ = 3 2 "" a = _ l_fl_ X-+ Q- X-+Q+ 3 3 3

Como o domínio de f é ]O, + oo[ e a reta de equação y = 3 é assintota horizontal do gráfico de f, conclui-se que lim f( x) = 3

X->-+oo

Assim, lim g( x) = lim e-t _)3

X -++co X _,.+oo fl X

Portanto, a reta de equação y = -1 é assintota horizontal do gráfico de g

lnx + f(x) 1 lnx + f(x) Tem-se lim = 1 "" - lim = 1 ""

x-+oo 3x 3 X-++oo X

"" lim ( lnx + f(x) ) = 3 "" lim lnx + lim f(x) = 3 ""

x-+oo X X X-++oo X x_,.+oo X

"" O + lim f( x) = 3 "" lim !( x) = 3 x-..+oo X x-+oo X

Portanto, a assintota oblíqua do gráfico de f, se existir, tem declive igual a 3 . Apenas na opção (D) está a equação de uma reta com declive igual a 3 .

46. (B ) Dado que f é contínua em ]-oo, 1[, f é contínua no ponto O, pelo que se tem

47. (C)

lim f(x) = lim f(x) = f(o ) x---- 0- x_,_Q+ Ora, f( O ) = lim f( x) = ln k e lim f( x) = lim (2 ex + -1 1 ) = 2 x 1 + -1- = 2 + O = 2,

x_,_ o- x ..... o+ x-o+ nx -oo pelo que se conclui que lnk = 2 .

Portanto k = e2

6x - l lim 6x - 1 = lim x

x-+oo f(x) x-+oo f(x) X

1 . 6x - 1 lill X->+co X lim f(x)

X-++co X

= Q_ = 3 2

(Note-se que lim f( x) = 2 pois a reta de equação y = Zx - 5 é asssíntota do gráfico de X-++co X

f, de domínio JR+ )

48. (B) Qualquer que seja o valor de k, a função f é contínua em JR, pelo que é contínua no intervalo [O, 1 ]

212

Para que o teorema de Bolzano-Cauchy possa garantir que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo [O, 1 ], tem que se ter f( O) x f( 1) < O

f( o ) X f( 1 ) < o "" ( k X e0 + o) X ( k X e1 + 1 ) < o "" k( ke + 1 ) < o"" "" k E ]-!, o [

SOLUÇÕES

49. (D) Dado que o gráfico de f tem uma assíntota oblíqua quando x � - oo, o declive dessa reta

é igual a lim /(x) X---'>-CO X

Ora, lim !( x) + ex - x = 1 <> lim ( /( x) + � -�) = 1 .,, x--oo X x--co X X X

.,, lim /( x) + lim � - 1 = 1 <> lim /( x) + _O_ = 2 .,, lim !( x) = 2 x--oo X X-+-00 X X---'>-OO X -oo X-+-00 X

50. (A) Tem-se lim un = Jim_!l_ = lim_L = 1 = _l_ = o+ en en . en +oo - hm-n n

Portanto, limf( un) = lim f(x) = lim lnx = - oo x-o+ x- o+

51. (A) Como as funções f e g têm domínio JR+ e a reta de equação y = -x é assíntota dos seus gráficos, tem-se:

lim /(x) = - oo ; lim g(x) = - oo ; lim /(x) = -1 ; lim g(x) = -1 X-++oo x-+oo x -..+oo X x-+oo X

Portanto, lim /(x) x g(x) _ lim /(x) x lim g(x) = -l x (-oo) = + oo x -..+oo X x-+oo X x-+oo

213

Derivadas

1. (A) O valor de /'( 6) é igual ao declive da reta s. Como as retas r e s são perpendiculares, o declive de uma é igual ao inverso do simétrico do declive da outra, ou seja, ms = _ _1_ mr Então, sendo o declive da reta r igual a � , o declive da reta s é igual a -�

2. (A) Podemos rejeitar as opções (C) e (D), pois as expressões que apresentam definem funções cujos gráficos não passam no ponto de tangência, que é o ponto de coordenadas (O, O ) Como a reta de equação y = x tem declive igual a 1, a função que procuramos tem de ter derivada igual a 1, para x = O. Calculemos então, por exemplo, a derivada da função definida pela expressão x2 + x, para x = O (x2 + x)' = Zx + 1 que, para x = O, toma o valor 1, sendo, portanto, esta a opção correta.

3. (B) O declive da reta tangente ao gráfico da função g, num ponto A, é igual à derivada da função g, na abcissa do ponto A. Como retas paralelas têm declives iguais e como a bissetriz dos quadrantes ímpares tem declive igual a 1, a abcissa que procuramos é a solução da equação g'(x) = 1. Ora, g'(x) = 1 <> (lnx)' = 1 <> 1- = 1 <> x = 1

X

4. (A) Dado que o declive da reta de equação y = � + 1 é igual a § , tem-se que a abcissa de P é a

solução da equação f'(x) = § . Ora, f'(x) = § <> ( 4 + lnx)' = § <> ; = § <> x = 3

5. (B) Dado que /(ü) = eº + l = l + l = Z, a reta r passa nos pontos de coordenadas (-6, 0 ) e (O, 2 ) . O declive m da reta r é, então, � = § Como a reta r é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa O, tem-se m = f' (O), ou seja, § = f'(ü)

Tem-se f'(x) = (eªx + 1)' = (ax)' eªx = aeªx Portanto 1- = /'(O) "" 1- = aeªxo ""1- = a , 3 3 3

6. (A) O declive da reta r é igual, quer a f'(a) quer a g'(b) Então, f'(a) = g'(b) Como f'(x) = (ex)' = ex e g'(x) = (lnx)' = 1_ , tem-se

X

7. (C) f'(x) = (xe)' = exe-l

eª = 1_ b

8. (D) As funções f e g têm derivadas iguais. Logo, para um certo número real k, tem-se J\ x) = g( x) + k, V x E [O, 1 ] . Assim, o gráfico de uma das funções pode ser obtido, a partir do gráfico da outra, por meio de uma translação vertical.

214

SOLUÇÕES

9. (C) A função f é derivável em R, f' tem um zero em x = 2, é negativa em ]-oo, 2[ e é positiva em ]2, + oo[ Então, a função f é decrescente em ]-oo, 2 ], é crescente em [ 2, + oo[ e atinge um mínimo para x = 2

10. (C) A opção (A) deve ser rejeitada, pois dado que a função g é constante em ]-oo, -2[, a derivada é nula nesse intervalo.

A opção (B) deve ser rejeitada, pois a função g não é derivável em -2 e em 2 A opção (D) deve ser rejeitada, pois dado que a função g é decrescente em ]-2, 2 [ , a função derivada é negativa nesse intervalo.

11. (A) As duas funções têm extremos para x = -1 . Logo, dado que são deriváveis, f'(-1) = 0 e g'(-1 ) = 0 e, portanto, f'(-l ) = g' (-1) . Assim, rejeitam-se as opções (B) e (D), pois -1 não pertence ao conjunto-solução da condição f'(x) < g'(x) Como f é decrescente em ]-2, -1[ , f' toma valores negativos nesse i nterva lo; no mesmo intervalo, g' toma valores positivos, pois a função g é crescente. Como qualquer número negativo é menor do que qualquer número positivo, tem-se f'(x) < g'(x) no intervalo ]-2, -1[ . No i ntervalo ]-1, 1[ , tem-se f' ( x) > g' ( x ), o que permite concluir que o conjunto solução da condição f'(x) < g'(x) é ]-2, -1[

12. (A) No intervalo [O, 3 ], a função derivada é negativa e, portanto, a função f é decrescente neste intervalo. Como se sabe que f (O) = 2 , o valor de f (3) tem de ser inferior a 2 Dos valores apresentados nas opções, só 1 é inferior a 2

13. (D) Dado que g' ( x) = f' ( x) + ( x )' = f' ( x) + 1, conclui-se que o gráfico de g' se obtém a partir do gráfico de f' pela translação definida pelo vetor de coordenadas (o, 1 ) , ou seja, deslocando o gráfico de f' uma unidade para cima. Como o eixo Ox é uma assintota do gráfico de f' , a reta de equação y = 1 é uma assintota do gráfico de g'

14. (A) Tem-se g( 1 ) = ( 2 x 1 - 1 ) x !( 1) = 1 Como g'(x) = ((2x - 1 ) x f(x))' = (2x - 1 )' x f(x) + (2x - 1) x f'(x) =

= 2 !( x) + ( 2 x - 1) X f' ( x ), tem-se

g'(1 ) = 2f(1) + (2 X 1 - 1 ) X f'(l ) = 2 X 1 + (2 X 1 -1 ) X 1 = 3

Portanto, a reta tangente ao gráfico da função g, no ponto de abcissa 1, tem equação reduzida da forma y = 3x + b. Como g(1) = 1, a reta passa no ponto de coordenadas (1, 1 ) , pelo que 1 = 3 + b, donde vem b = -2 Portanto, a equação pedida é y = 3x - 2

215

DER IVADAS

15. (B) Se o gráfico da função g tem um ponto de inflexão com abcissa 1, o sentido da concavidade muda nesse ponto. Existindo segunda derivada, tem-se g" ( 1 ) = O e a função g" muda de sinal em x = 1. As opções (C) e (D) podem rejeitar-se pois as funções representadas não se anulam para x = 1 A função representada na opção (A) tem um zero em x = 1, mas não muda de sinal; não é, portanto, a opção correta.

A função representada na opção (B) tem um zero no ponto de abcissa 1 e muda de sinal nesse ponto, pode, portanto, ser a segunda derivada de uma função que tem um ponto de inflexão no ponto de abcissa 1

16. (B) As abcissas dos pontos de inflexão do gráfico de f são os zeros de /" onde haja mudança de sinal. Tem-se:

f', (X) = o "'°' x2 - 1 = o V x2 + 5 = o V (X + 6 )2 = o "" "" x = -1 V x = 1 v x = -6 (A condição x2 + 5 = O é impossível)

Em x = -6, a segunda derivada anula, mas não muda de sina l .

Portanto, dos três zeros de /", só o -1 e o 1 são abcissas de pontos de inflexão do gráfico de f

17. (C) Na tabela seguinte apresenta-se a variação de sinal de g" e a sua relação com o sentido da concavidade do gráfico de g

X -oo -1 1 +oo sinal de g " - o + o -

concavidade do gráfico de g (\ P.I. u P.I. (\ As opções (A) e (B) podem rejeitar-se pois os gráficos têm apenas um ponto de inflexão.

A opção (D) deve ser rejeitada pois, por exemplo, a concavidade do gráfico está, inicialmente, voltada para cima.

18. (D) Dado que existe derivada em a, também existe reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a e o declive dessa reta é igual a /' (a) . Como, neste caso, se tem f' (a) = O, a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é a reta paralela ao eixo Ox que passa no ponto (a, J(a)). A equação reduzida dessa reta é y = f(a) (Note-se que o facto de se ter f' (a) = O não garante que /(a) seja um extremo da função f ).

19. (A) Tem-se /"(x) = (x3 - 3x + 1 )' = 3x2 - 3 f" (X) = Ü <o> 3 X2 - 3 = Ü "" X = -1 V X = 1

216

O gráfico de /" é uma parábola com a concavidade voltada para cima que intersecta o eixo das abcissas nos pontos de abcissa -1 e 1 Portanto, f"(x) < O "" x E ]-1, 1 [ Assim, no intervalo ]-1, 1 [ , o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo.

SOLUÇÕES

20. (C) Dado que a função f é uma função polinomial, sabe-se que admite primeira e segunda derivada em lR

A informação de que o gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima em ]-oo, O] e voltada para baixo em [O, + oo[ permite concluir que o gráfico tem um ponto de inflexão para x = O e, portanto, /"(0 ) = 0 O facto de a reta r ser paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares, permite concluir que a reta r tem declive igual a 1. Então, f'( O ) = 1 A reta r tem declive 1 e passa no ponto de coordenadas (-2, O); a sua equação reduzida é y = x + 2 e, portanto, /(O) = 2 Assim, /(O) + f'(O) + /"(0) = 2 + 1 + 0 = 3

21. (C) A observação do gráfico da função h permite concluir que, numa vizinhança de O, a função h é crescente e o gráfico tem a concavidade voltada para baixo.

Então, h'(O) > o e h"(O) < O Portanto, h'(O ) - h"(O) > O

22. (D) A partir da observação do gráfico, concluímos que a função /" é negativa em lR. Portanto, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo em lR

O gráfico da função quadrática f, definida por fi x) = ax2 - 1, é uma parábola em que o sentido da concavidade depende do sinal de a. Como o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo, o valor de a é negativo. Portanto, só pode ser a = -3 Podemos chegar à mesma conclusão por processos analíticos: f' ( x) = ( ax2 - 1 )' = 2 ax f" ( x) = ( 2 ax )' = 2 a Como a função /" é negativa em JR, tem-se Za < O, pelo que a < O

23. (A) A função afim f, cujo gráfico está representado, é definida por uma expressão do tipo f(x) = ax + b. Tem-se f'(x) = (ax + b)' = a, donde /"(x) = a' = O Logo, h"(x) = (fix) + ex)" = /"(x) + (ex)" = O + (ex)' = ex, cujo gráfico está representado na opção (A).

24. (C) A partir da observação do gráfico, concluímos que a função f é crescente e tem a concavidade voltada para baixo em ]1, 3 [ Portanto, dado x E ]l, 3[ , tem-se f'(x) > O e /"(x) < O

25. (C) O ponto 1 pertence a um intervalo onde a função f é decrescente e o seu gráfico tem a concavidade voltada para baixo. Portanto, f' ( 1) e f" ( 1 ) são ambos negativos.

O ponto -3 pertence a um intervalo onde a função f é decrescente e o seu gráfico tem a concavidade voltada para cima. Portanto, f'(-3) é negativo e /"(-3) é positivo.

217

DERIVADAS

26. (D) Dado que a reta r tem inclinação � , o seu declive é tg( � ) = 1 . Como a reta r é a reta

tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a, tem-se f' (a) = 1 (L + z)' l

Ora, /'(x) = (ln(L + z ))' = 3 _3_ =_1_ 3 L + z L + z x + 6 3 3

Portanto, f'(a) = 1 .,, _1_ = 1 .,, a = -5 a + 6

27. (D) Tem-se f'(x) = axª-l + a2 x l X

Portanto, o declive da reta r é f'(a )= aaª-1 + a2 x l = aª + a a

28. (D) Tem-se a seguinte tabela:

X -oo o 1 +oo e-X + + + + + xz + o + + + x - 1 - - - o +

f" - o - o +

f n n P.l . u

29. (B) Tem-se:

218

y

X

As afirmações 1) e l i ) são falsas. Os gráficos intersectam-se no ponto de coordenadas (o, 1 ), f é crescente, mas g é decrescente. Tem-se f'(x) = ax x ln a pelo que f'(-1) = a-1 x lna = l x lna a Tem-se g'(x) = - a-x x !n a pelo que g'(l ) = - a-1 x ln a = _l_ x ln a a Vem, então: f' (-1 ) - g' ( 1 ) = l x ln a + l x ln a = 2 ln ª

a a a Portanto, a afirmação I l i ) é verdadeira.

30. (B)

SOLUÇÕES

Tem-se lim f(x) - f(a) o .. f'(a) = O x-a X - a

Como f" (a) < O, o gráfico de f, numa vizinhança de a, terá de ser da forma

y

/]\ o a X

Logo, f( a) é um máximo relativo da função f

31. (A) O gráfico representado na opção (A) tem exatamente dois zeros e em cada um deles há mudança de sinal.

32. (A) Tem-se f'(2 ) = 6 .,, Jim f(x) - !(2) 6 . Portanto, tem-se: x-2 x - 2

lim f(x) - !(2) lim [t(x) -!(2) x 1-] = lim f(x) - !(2) x lim1- = 6 x 1- = 3 x-· 2 x2 - 2x x- 2 x - 2 x x-2 x - 2 x - 2 X 2

33. (D) O gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo em ]-oo, O] e tem a concavidade voltada para cima em [O, + oo[ . Portanto, f'(x) < O em ]-oo, O[ e f'(x) > O em ]O, + oo[ . Logo, f'( l ) > O ; ['(2 ) > 0 ; f'(-1) < 0 ; f'(-2 ) < 0 f'( l ) X ['(2) > 0

34 (C) \' x2 - 2x 4 l' (x - 2 )x · x':'1 f(x) - [(2 ) ""

x':'1 f(x) - [(2 ) 4"" }� f(x) � [(2 ) limx

<=> x -.. 2 lim �f(�x�) -�ji�(2�) x-2 X - 2

x - 2

35. (C) O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em ]-oo, -10] e em [O, 10] e voltada para cima em [- 10, 0] e em [10, +oo[

Portanto, o gráfico da função definida por f(x - 5) tem a concavidade voltada para baixo em ]-oo, -5] e em [5, 15] e voltada para cima em [-5, 5] e em [15, +oo[

Logo, o gráfico da função g tem a concavidade voltada para baixo em [-5, 5] e em [15, +oo[

Das quatro opções, a opção correta é ]-5, 5[

219


1. (C) Tem-se:

180° rr rad

x 1 rad

X = 180 X l "°' 5 7° 7[

2. (A) 1.0 Processo (procurando argumentos para rejeitar as opções não corretas)

3.

Na posição inicial tem-se a = O e a distância d é o diâmetro da circunferência, ou seja, d = 2 Este resultado permite-nos rejeitar a opção (C), pois 1 - cos O = 1 - 1 = O Quando P percorre um quarto da circunferência, tem-se a = ; e d igual ao raio da circunferência, ou seja, d = 1. Então, podemos rejeitar a opção (B), pois 2 + sen ; = 2 + 1 = 3 Quando P percorre metade da circunferência, tem-se a = 7f . P está sobre a reta r e, portanto, d = O. Como, na opção (D), se tem 2 - sen7f = 2 - O = 2, esta opção é rejeitada.

Portanto, só a opção (A) pode estar correta.

2.0 Processo (determinando uma expressão que dê a distância de P a r, em função de a)

Considerando o referencial xOy representado na figura, tem-se que a distância d do ponto P à reta r pode ser dada pela soma de 1 (distância de C a r) com a abcissa do ponto P. Repare que essa abcissa é positiva quando P está no 1.0 quadrante e é negativa quando P está no 2.0 quadrante e tenha em consideração que a abcissa de P, na circunferência trigonométrica, é o cosseno do ângulo a, O que j ustifica que d( Q') = 1 + CDS Q'

y

p

X

' a '

e

r

(A) A área da região sombreada pode obter-se adicionando as áreas do quarto de círculo e do

triângulo. A área do quarto de círculo de raio , 1 X tga e dada por 2 Portanto, a área pedida é dada por � + t�a

7f X 12 1 é dada por 4 e a área do triângulo

4. (B) A igualdade que se pretende traduzir é equivalente à área de cada uma das figuras ser igual a metade da área do trapézio.

220

A área do trapézio [ ABCD J é 3o ! 10 x 10 = 200 e, portanto, metade da área do

trapézio é 100. A área do triângulo [ APD J é dada por AD� AP 30 � AP De tgx = ��, conclui-se que AP = 30 tgx e, portanto, a área do triângulo [APD] é dada

3 0x 30tgx 302 tgx por 2 2 Assim, o problema pode ser traduzido pela equação 30�tgx = 100

SOLUÇÕES

5. (C) A distância do casco do navio ao fundo do mar varia com a maré e, no momento da maré alta, atinge o seu valor máximo. O maior valor que a expressão 10 - 3 cos(2x) toma é obtido sempre que cos(2x) = -1. Então, o máximo da função h é igual a 10 - 3 x (-1) = 10 + 3 = 13

6. (D) Tem-se tg( s: ) = tg( �) = 1 e, portanto, 1 - tg( 5:) = O. Então,

denominador da fração anula-se quando x assume o valor 5:

pois o

7. (B) A opção (A) deve ser rejeitada, pois o contradomínio da função seno é [-1, 1 ]. A função, de domínio IR, definida por !( x) = 1 + x2 tem contradomínio [ 1, + oo[ e, portanto, não é a opção correta.

A opção (D) deve ser rejeitada porque a função definida por lnx não tem domínio R, pois só existe logaritmo de números positivos.

8. (D) A exigência relativa ao domínio não permite excluir nenhuma das expressões, pois todas admitem domínio R . A função definida por f( x) = ex não é uma função par (por exemplo, f(- 1 )7' /(1 ) , pois e-1 i" e) . Rejeita-se, portanto, a opção (B) .

As opções (A) e (C) devem ser rejeitadas pois as funções que apresentam têm, pelo menos, um zero: O é zero da função f definida por !( x) = x2 e a função definida por !( x) = cosx tem uma infinidade de zeros (todos os números da forma � + kn:, com k E Z).

9. (D) Uma função f, de domínio IR, é injetiva se V x1, x2 E R, x1 7' x2 => f( x1 ) 7' f( x2 ) . Assim, se identificarmos dois objectos diferentes com imagens iguais, podemos garantir que a função não é injetiva.

As funções definidas nas opções (A), (B) e (C) não são injetivas pois, por exemplo:

• cos o = cos ( 2 71:) • o 2 - o = 1 2 - 1 • 1 -2 1 + 1 = 1 2 1 + 1 Podemos também recorrer à representação gráfica: quando existe, pelo menos, uma reta paralela ao eixo das abcissas, que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto, a função não é injetiva.

Apresentam-se, em seguida, representações gráficas das funções definidas nas quatro opções, que evidenciam que as funções definidas nas opções (A), (B) e (C) não são injetivas .

y = cosx y = x2 - X Y = l x l + l y = x3

221


10. (C) As abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da função f com o eixo das abcissas são os zeros da função f e tem-se:

11. (A)

!(X) = o "" ( cos ( irx) = o V ln (X - 1 ) = o) /\ X > 1 A abcissa do ponto A é o menor zero da função f ln(x - 1 ) = O "" x - 1 = e0 "" x - 1 = 1 "" x = 2 cos( irx) = O "" 3 k E l : irx = � + kir "" 3 k E l : x = � + k A menor solução desta equação, que é maior do que 1, é � + 1 = � Dado que � < 2, conclui-se que � é o menor zero da função f e é, portanto, a abcissa

do ponto A

Dado que lim ( tgx) = - oo e dado que a sucessão de termo geral x-(f )'

� por valores superiores a � , tem-se lim Un = lim ( tgx) = - oo x- (fr

!I. + 1- tende para 2 n

12. (D) A sucessão (un) de termo geral mr tende para +oo, tendo-se

lim( senun ) = lim( senn ir) = O

13. (A)

A sucessão (vn) de termo geral � + 2nir também tende para +oo, tendo-se

lim(senvn ) = lim( sen ( � + 2 nir )) = 1 Portanto, não existe lim( senx)

2 ( *) lim _x_ = lim _x_ x limx = x_,.o senx x _. Q senx x_,.o

14. (D) Pode-se começar por rejeitar a opção (B) porque não existem, no gráfico de h, pontos com ordenada igual a 2, dado que o maior valor que o seno toma é 1 Por outro lado, o decl ive da reta tangente ao gráfico de uma função num ponto é o valor da derivada da função na abcissa desse ponto. A função derivada da função seno é a função cosseno e como o cosseno só toma valores entre -1 e 1, podemos rejeitar as opções (A) e (C), que apresentam equações de retas com declive superior a 1. Resta a opção (D), que apresenta a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa O

15. (A) f'(x) = (sen(x2))' = (x2 )' cos(x2) = 2xcos(x2 )

16. (A) ( senx )' = cosx pelo que ( senx )" = ( cosx )' = - senx Tem-se, então, /( x) + /"( x) = senx - senx = O

17. (A) Dado que as funções seno e cosseno não tomam valores superiores a 1, a equação senx + cosx = 4 é impossível.

222

SOLUÇÕES

18. (B) A equação dada é equivalente à equação senx = � . Esta equação tem duas soluções em

cada um dos intervalos [ü, 2ir[ , [2ir, 4ir[ , [4ir, 6ir[ , [6ir, 8ir[ e [8ir, 10 ir] Ao todo são, portanto, 10 soluções.

19. (D) O período da função não pode ser:

• �' pois, por exemplo, !(-\ir + �) = !(-�) e !(- 49ir ) # !(- �)

• 29ir ' pois, por exemplo, !(- 49ir + 29ir ) = !(- 29ir ) e !(- 4;) # !(- 2;)

• 23ir ' pois, por exemplo, !(- 4; + 23ir ) = !( 29ir ) e !(- 4;) # !( 29ir )

ou

O período da função pode ser obtido, por exemplo, pela diferença entre as abcissas de dois pontos em que a função atinge o máximo: l�ir - 29ir = 43ir

20. (D) As expressões que conhece para sen(x + y) e para cos(x + y) permitem rejeitar as opções (A) e (B) . Por outro lado, as regras operatórias relativas a potências e a logaritmos apontam para a opção (D). Confirmemos:

f( X + y) = ex+y = ex X eY = f( x) X f(y)

21. (B) lim (un ) = lim n + 1 = lim (_11_ + _L) = lim (1- + _L) = O e, dado que n---->-+co n_,.+oo nZ n -+oo n2 n2 n -+co n nZ

lim g ( x) = lim ex + 5 x- 0 x- 0 2 + COSX

1 + 5 = 2 , conclui-se que lim g( un) = lim g( x) = 2 2 + 1 n-+oo x--.. 0

22. (D) A circunferência tem raio 1 e, portanto, AC = sena e OC = cosa. Então, CE = 1 - cos a O arco AB tem comprimento a, pois a circunferência tem raio 1 e a é a amplitude do ângulo ao centro, em radia nos.

Então, o perímetro da região sombreada é sena + 1 - cos a + a

23. (A) Tomando [ RO] para base do triângulo, a altura correspondente é a ordenada do ponto Q, 1 X sen 5 ir

que é igual a sen 5; . Portanto, a área do triângulo [OQR] é igual a 2 7

Recorrendo à calculadora, conclui-se que o valor pedido é 0,39

24. (B) O contradomínio de uma função é o conjunto das suas imagens. A função f é contínua, mas não é monótona no intervalo indicado: cresce em [-�, O], tomando todos os valores de O a 1, e decresce em [O, � ] , tomando todos os valores de 1 a � . Conclui-se, então, que

o contradomínio de f é o intervalo [O, 1 J

223


25. (D) O gráfico da função a tem uma única assíntota, que é a reta de equação x = O O gráfico da função b tem uma única assíntota, que é a reta de equação y = O

O gráfico da função e não tem assíntotas.

O gráfico da função d tem uma infinidade de assíntotas verticais: todas as retas de equações x = � + kn: com k E Z, são assíntotas verticais do gráfico da função d

26. (A) Dadoqueafunçãoécontínuaem IR, écontínuaem x = O, peloque,como lim g( x) = g(O) = lnk, x__,Q+ tem que ser lim_ g(x) = lnk x-0 Ora, lim g ( x) = lim senx = 1- x lim senx = 1- x 1 =1-

x-o- x-o · 3x 3 x-o- X 3 3 1

Vem, então, ln k = � "" k = e 3 "" k =o/e

27. (A) Considerando [AO] como base do triângulo [OAE] , a altura h correspondente a essa

base é igual ao módulo da ordenada do ponto E A ordenada do ponto E é igual ao seno do ângulo cujo lado extremidade é a semirreta ou seja, a ordenada do ponto E é igual ao seno de n: + 23

71:

Tem-se sen(n: + 2 n: ) = sen Sn: = sen(2n: - n: ) = - senK = - 13 3 3 3 3 2

Portanto h = I - 131 =

13 , 2 2

Área do triângulo [ AOE]

28. (D) Tem-se:

cos2a - sen2a = cos(2a), pelo que

cos2 ( 1� ) - sen2 ( 1X2 ) = cos( 2 x 1� ) = cos( �)

OE,

29. (B) Área do quadri látero [ AECD J = área do triângulo [ OCD J - área do triângulo [ OEA J =

224

OExCJ5 2

OE x EA 2

tga 2

sen(2 a) 4

Outro processo:

= 1 x tga _ cos a - sena = tga 2 2 2

Área do quadri látero [ AECD J = - -CD ; EA X EC tg a +

2 sena X ( 1 - CDS a) =

2 X cos a x sena = 2 x 2

= ( tga + sena ) x (1 - cosa) = tga - tga x cos a + sena - sena x cos a = 2 2 2 2 2 2 tg a tg a x cosa sena sena x cosa 2 2 + -

2-

2

= tga _ sena + sena _ 2 x sena x cosa 2 2 2 2 x 2

tga _ sen(2a) 2 4

SOLUÇÕES

30. (D) Considerando [ QR] como base do triângulo [PQR], a altura h correspondente a essa

base é igual a 2 sen a

31. (B)

Tem-se QR = 1 cos (ir + a) 1 = 1 - cos a 1 = CDS a

Então, tem-se: , CDS a x ( 2 sena ) Area do triângulo [ PQR] = 2

D = ]-�, � [ D = ]k k[ 4 ' 2

D' = ]-1, 1( D' = ]-1, +oo(

A resposta correta é ]3.:, 32ir [

2 cos a sen a 2

D = ]K k[ 2 ' 4 D' = ]-oo, -1(

sen(Za ) 2

D = ]k k[ 4 ' 2

D' = ]1, +oo(

225

Complexos

1. (B) Um argumento do simétrico de z é 7r + � 2. (B) A opção (A) rejeita-se, pois l = 1 f i - i l

A opção (C) rejeita-se, pois O não é um argumento do número complexo A opção (D) rejeita-se, pois i2 = -1 f i

A opção (B) está correta, pois m = i = i

3. (C) Como o afixo de w pertence ao primeiro quadrante, o afixo de -w pertence ao terceiro quadrante. O afixo de 1 - w obtém-se a partir do afixo de -w pela translação associada ao vetor (1, O) (note-se que 1- w = - w + 1 ) . Assim, das opções apresentadas, o único número complexo que pode ser igual a 1 - w é z3

4. (A) Substituindo B por cada um dos valores apresentados nas opções, verificamos que z é um número real para B = 657r , pois z = 2 eis( 65

7r - �) = 2 cis(7r) = -2

5. (C) Seja A o afixo do número complexo z = a + bi. Como o ponto A não pertence a qualquer um dos eixos do plano complexo, tem-se A(a, b ) , com a f O e b f O

Como o ponto B é simétrico do ponto A, relativamente ao eixo imaginário, ele tem coordenadas (-a, b ), sendo, portanto, afixo do número complexo - a + bi Tem-se -a+ bi = - (a - bi) = - (a + bi ) = - z

6. (B) Designemos por z o número complexo cujo afixo é o ponto P. Tem-se z = p cis(a) O módulo do número complexo i cis(Za) é igual a metade do módulo de z, pelo que podemos excluir as opções (A) e (D). Por outro lado, como a está compreendido entre O e ; , 2 a está compreendido entre O e 7r. Tal facto permite excluir a opção (C).

7. (A) Tem-se z = i cis(B) = cis( ;) cis(B) = cis(; + B) Portanto, o conjugado de z é o número complexo eis(-; - 8)

8. (B) O número complexo cujo afixo é o ponto B tem módulo igual ao do número complexo cujo afixo é o ponto A

226

Tem-se j 3 + 4 i l = V9 + 16 = 5 Um argumento do número complexo cujo afixo é o ponto B é 3 7r _ ][_ = 25 7r 2 9 18

Assim, o número complexo cujo afixo é o ponto B é 5 eis 2{ 87r

SOLUÇÕES

9. (B) i4n + i4n +1 + i4n+ 2 = (i4)" + (i4)" X i + (i4)" X i2 = l + i + i2 = 1 + i - 1 = i

10. (C) Im (z)

Z5 0 Re (z)

Tem-se z2 + z4 = z3 , pois z4 + OZz = Dz; z3 x i = z5 (multiplicar um número complexo não nulo por i corresponde a aplicar, ao afixo desse complexo, uma rotação de centro na origem do referencial e ampl itude � ).

11. (C) Seja z3 o número complexo cujo afixo é o ponto N, ou seja, z3 = z1 X z2 Sejam Arg(z1) = B e Arg(z2 ) = a Seja p o módulo de z2 Tem-se: z1 = 2 + i = IScis B e z2 = pcisa , pelo que z1 x z2 = 15 x pcis (B + a) Portanto, z3 = IS x p eis (B + a)

Como o afixo de z3 é o ponto N, tem-se 3: < B + a < rr:

Como o afixo de z1 é o ponto M; tem-se O < B < � Tem-se, então, O < B < � e 3: < B + a < rr:, donde vem -� < - B < O e

3: < B + a < rr:, pelo que, adicionando membro a membro as desigualdades, vem

� < a < rr:

Podemos assim concluir que o afixo de z2 terá de ser R

12. (B) Z1 = (3 k + 2 ) + pi e Zz = (3p - 4) + (2 - 5k)i

z1 é conjugado de z2 se e só se 3k + 2 = 3p - 4 e p = -2 + 5k

{ 3 k + 2 = 3 p - 4 .. { 3 k + 2 = 3(-2 + 5k) - 4 .. { 3k + 2 = - 6 + 15 k - 4 .. { k = l p = -2 + 5k p = -2 + 5 k p = -2 + 5k p = 3

13. (A) Como o afixo de w pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, tem-se

w = p cis � ou w = p eis 5: (com p E lR.+)

Vem, então, w4 = (P eis � r ou w4 = (P eis s: r, donde w4 = p4 eis rr: ou

w4 = p4 cis (Srr:) = p4 eisrr: Portanto, w4 = p4 eis rr:, que é um número real.

227

COMPLEXOS

14. (A) Seja Arg(3 + 4i) = 8, com 8 pertencente ao intervalo ]o, ; [ Assim, as ra ízes quadradas de 3 + 4í terão argumentos � e � + n:, pelo que os seus afixos pertencem ao 1.0 e 3.0 quadrantes.

15. (B) Tem-se w = p eis n:, com p E R+

Vw = /p cis n: = IP eis n: +}kn: = IP eis (; + kn:), com k E {0, 1} Logo, os afixos das raízes quadradas de w pertencem ao eixo imaginário.

16. (C) Na figura está representado o polígono referido no enunciado.

Im (z!

Por observação da figura, concluímos que n = 8

Re Cil

17. (D) Para que dois números complexos distintos sejam raízes quadradas de um mesmo número complexo têm de ter o mesmo módulo e os seus argumentos têm de diferir um múltiplo de n:, isto é, têm de ser simétricos. Das opções apresentadas, apenas na opção (D) estão dois números complexos simétricos.

18. (A) in + 1 = í" X í = - í X í = - i2 = - (-1 ) = 1

19. (C) z1 = bi, b E R+ ; (z1)2 = (bi)2 = b2 i2 = - b2 ; (z1 )3 = (bí)3 = b3 i3 = b3 x (-í) = - b3 i Portanto, z1 e (z1)3 têm afixo no eixo imaginário e (z1) 2 tem afixo no semieixo negativo dos reais.

20. (A) Um argumento de w é 327r . Consequentemente, um argumento de w6 é 6 x 32

n: = 9n: Outro argumento de w6 é 9 n: - 4 x 2 n: = n: Assim, w6 é um número real negativo e, portanto, o seu afixo pertence ao eixo real.

228

SOLUÇÕES

21. (B) Os afixos das raízes de índice cinco de 32 eis � são os vértices de um pentágono regular inscrito numa circunferência centrada na origem do referencial e raio rn = z Como A e B são dois vértices consecutivos do pentágono regular, a amplitude do ângulo

AOB é 257r radianos.

Assim, o sector circular AOB tem raio 2 e amplitude 257r radianos. A sua área é, pois,

27r x z2 5

2 47r 5

22. (A) O eixo imaginário pode ser definido pela condição cartesiana x = O Fazendo z = x + yi, com x e y reais, tem-se:

Z + Z = Ü _,,, (X + yi) + (X - yi) = Ü _,,, 2 X = Ü _,,, X = Ü Portanto, a condição z + z = O define o eixo imaginário.

23. (A) Tem-se que 1 z1 1 = 3 Vz

Dado que 3 Vz > 3, tem-se que 1 z1 1 > 3

Portanto, z1 é solução da condição 1 z 1 > 3, pelo que o afixo de z1 pertence à região do plano definida pela condição 1 z 1 > 3

24. (B) Seja w0 a raiz cúbica de w cujo afixo pertence à região definida pela condição O < Arg(z) < � . Seja 80 o argumento de w0 tal que O < 80 < � Designemos as restantes duas raízes cúbicas de w por w1 e w2 . Estas duas raízes cúbicas

têm argumentos 81 = 80 + 2,f e 82 = 80 + 437r , respetivamente.

Como O < 8 < !L vem O + 2 7r < 8 + 2 7r < !L + 2 7r donde 2 7r < 8 < 5 7r pelo que o 6 3 o 3 6 3 ' 3 1 6 ' o afixo de w1 pertence ao segundo quadrante.

Por outro lado tem-se O + 47r < 8 + 47r < !L + 47r ' 3 o 3 6 3 ' donde 47r < 8 < 3 7r pelo que 3 2 2 ' o afixo de w2 pertence ao terceiro quadrante. Assim, os afixos de w1 e w2 pertencem ao segundo e terceiro quadrantes.

25. (A) A condição 1 z + 4 I = 5 define a circunferência de centro no afixo de -4 e raio 5

26. (D) Z1 X Zz = (2 + i) X (3 + ki) = 6 + 2ki + 3 i + ki2 = (6 - k) + (2 k + 3)i Então, o complexo z1 x z2 é imaginário puro para k= 6

229

COMPLEXOS

27. (D) 1- = w ., __L, = (k - 1 ) + 2pi11 ., l - i (k - 1 ) + 2pi3 ., z 1 + 1 (l + i)(l - i)

., 1 - i = (k - 1) - 2pi ., 1_ _ 1_i = (k - 1) - 2pi ., 2 2 2

., k = l /\ p = l_ 2 4

Então, k + p = l + 1- = _z_ 2 4 4

28. (C) Como z 2 = cis(2 B) e 28 pertence ao intervalo J 327r, 2 7r [ , o afixo de z2 pertence ao

arco de circunferência de centro na origem e raio 1 contido no 4.0 quadrante.

Como o afixo de w é o transformado do afixo de z2 pela translação associada ao vetor (-2, O ) , podemos concluir que o afixo de w pertence ao 3.0 quadrante.

29. (C) Dado que z = 2 + bi , com b < O , o afixo de z pertence ao 4.0 quadrante, pelo que o afixo do conjugado de z pertence ao 1.0 quadrante. Isto exclui as opções (B) e (D).

Tem-se 1 z 1 = V2 2 + b 2 = V 4 + b 2

Ora, para qualquer valor real de b , V 4 + b2 representa um número real maior do que 2 , o que exclui a opção (A).

30. (A) A condição l < l z - 3 + i l < 3 2 - - define a coroa circular compreendida entre duas

circunferências de centros no ponto de coordenadas (3, -1 ) , pelo que as opções (B) e (C) estão excluídas.

A condição � :S Arg (z - 3 + i) :S 2{ define o ângulo cujo vértice é o ponto de coordenadas

(3, -1) e cujos lados são as semirretas com origem nesse ponto e que são paralelas às

semirretas definidas por Arg(z) = � e Arg(z) = 237r , pelo que a opção (D) está excluída.

31. (D) w = (l + i) 2º13 = (12 cis(�))2º13 = V22º13 cis( 2º�3 7r ) = l22º13 cis( 5:)

230

Como 5: é um argumento de w , tem-se que o afixo de w pertence à bissetriz do

terceiro quadrante, pelo que Re ( w) = Im ( w)

SOLUÇÕES

32. (D) O polígono representado é um hexagano regular com centro na origem do referencial, pelo

que a amplitude do ângulo COE é igual a 2 x 2J: , ou seja, 23Tr e OC = OE

Seja w1 o número complexo cujo afixo é o ponto C Tem-se:

l w1 I = oc = /(-2 12)2 + (212)2 = v's + s = 4

W1 = 4 eis( 3:) Seja w2 o número complexo cujo afixo é o ponto E Tem-se:

w = 4 cis ( 3Tr + 2Tr ) = 4 cis ( 17Tr ) 2 4 3 12

33. (C) Analisemos, uma a uma, as diversas opções.

Opção (A):

1 z - w 1 representa a distância entre os afixos, no plano complexo, dos números complexos z e w

Então, como as diagonais de um quadrado são iguais, a afirmação é verdadeira.

Opção (B):

Seja z1 = a + aí Tem-se: z1 + z4 = (a + aí) + (a - ai) = 2 a = 2 Re (z1 )

Portanto, a afirmação é verdadeira.

Opção (C):

Seja z1 = a + aí Tem-se: -ai + a = - a - aí = Z3 1

Z4 a - ai (a - aí) x (-í) -=-- = i x (-í)

Portanto, a afirmação é fa lsa.

-ai + aí2 -Í2

34. (C) O polígono a que o enunciado se refere é um hexágono regular inscrito na circunferência com centro na origem do referencial e raio igual a 1 z 1 Tem-se l z l = V3 2 + 42 = ill = 5

Como o lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio da circunferência, o perímetro do hexágono é igual a 6 X 5 , ou seja, é igual a 30

35. (A) Seja z = pcis � -5 íz = 5 cis(-� ) x pcis� = 5pcis(-� + �) = 5pcis(-��) Logo, um argumento de -5 íz é -��

231


Geometria no plano

1.

a) [CD] é a base maior do trapézio. Como CD é igual à abcissa do ponto D, tem-se CD = 8

[ EA] é a base menor do trapézio. Como EA é igual à abcissa do ponto A, tem-se EA = 4

A altura do trapézio é igual à diferença entre a ordenada do ponto D e a ordenada do ponto A, ou seja, é 1 0- 7 = 3

A área do trapézio é, portanto, 8; 4 x 3 = 18

b) Seja P(x, y) um ponto genérico da mediatriz do segmento [AD]

Tem-se:

PA = PD .,, (x - 4)2 + (y - 7 )2 = (x - 8)2 + (y - 10 )2 .,,

.,, -8x + 16 - 14y + 49 = -16x + 64 - 20y + 100 .,,

.,, 6y = -8x + 99 .,, y = -"ª-x + 99 .,, y = -±x + li 6 6 3 2

Assim, a equação reduzida da mediatriz do segmento [AD] é y = - j x + 3]

e) A região sombreada é l imitada pelas retas de equações x = O, x = 4 e y = 7 e pela circunferência de centro no ponto A( 4, 7) e raio igual à norma de AD

AD = D - A = (8, 10 ) - (4, 7 ) = (4, 3 ) pelo que ll AD ll = / 42 + 3 2 = 5

Assim, uma condição que define a região sombreada, incluindo a fronteira, é

(x - 4)2 + (y - 7 )2 :S 25 li O :S x :S 4 11 y :S 7

2. Como OA = OC , o triângulo [OAC] é isósceles.

232

Como o triângulo [OAC] é isósceles, a altura [OD] intersecta [ AC] no ponto médio deste segmento, donde AD = DC , pelo que AC = ZAD

Como o ângulo COE é um ângulo ao centro, a amplitude do arco CE é igual à amplitude do ângulo COE

Portanto, a amplitude do arco CE é igual a Q'

O â ngulo CAE é um ângulo inscrito na circunferência, pelo que a sua amplitude é igual a metade da amplitude do arco CE

SOLUÇÕES

Logo, a amplitude do ângulo CAB é igual a � Como CDS ( � ) = �g vem AD = AO CDS ( �) = r cos ( �) Tem-se AÊ . Aê = ll ffB li X ll Aê li X CDS ( � ) Como ll ffB ll = AB = 2 r

e como ll Aê li = AC = 2AD = 2 r cos ( �) vem AÊ . Aê = 2 r x 2 r cos (�) x cos (� ) = 4r2 cos2 (� )

3. Tem-se Ai = AD + m e A] = AÊ + w

4.

Então, Ai . Aj = (AD + m) . (AÊ + BÍ) = AD . AÊ + AD . B] +m . AÊ + m . BJ = = o + AD . s1 + m . A§ + o = AD . BJ + m . AÊ =

= AD. (� AD) + (� AB) . ffB = � (AD . AD) + � (ffB . AÊ) =

= � ll AD 112 + � ll ffB 112 = � llffB 11 2 + � ll ffB ll2 = ll ffB ll2

a) Como a reta r tem declive 2 e ordenada na origem -1, as coordenadas de um vetor diretor da reta r são (1, 2 ) e as coordenadas de um ponto da reta são (O, -1) Portanto, uma equação vetorial da reta r é: (x, y) = (O, -1) + k(l, 2 ), k E lR

b) Seja s a reta paralela à reta r que passa no ponto A. A reta s tem declive 2, pois é paralela à reta r, e tem ordenada na origem -2 , pois passa no ponto A Portanto, a equação reduzida da reta s é: y = 2x - 2

e) A região representada a sombreado é limitada pela circunferência que tem centro no ponto A(O, -2) e raio 2, pelo eixo Oy e pela reta r

Uma condição que define esta região, incluindo a sua fronteira, é:

x2 + (y + 2)2S 4 A x ::>: O A y S 2x - 1

233

GEOMETRIA NO PLANO

5. As retas QB e RP são perpendiculares se QB . RP = O

Tem-se: P(h, O ), B(a, a), R(O, a - h) e Q(h, a - h)

6.

Então, QB = B - Q = (a, a) - (h, a - h) = (a - h, a - a + h) = (a - h, h) e

RP = P - R = (h, 0) - (0, a - h) = (h, - a + h)

QB . RP = (a - h, h) . ( h, - a + h) = (a - h) x h + h X ( -a + h) =

= ah - h2 - ah + h2 = O

Portanto, as retas QB e RP são perpendiculares.

a) Resulta da figura que tg a = /8

Pretende-se saber 5 sen( � + a) + 2 cos (3 7f - a)

Ora, S sen(� + a) + 2 cos (37r - a) = 5 cos a - 2 cos a = 3 cos a

Portanto, sabemos que tg a = /8 e queremos saber o valor de 3 cos a

Tem-se: 1 + tg2 a = 1 cos2 a

Vem, então: 1 + ( /8)2 = \ cos a

"" 9 = 1 "" cos 2 a = 1-cos 2 a 9

Como a é um ângulo cujo lado extremidade está no terceiro quadrante, tem-se que cos a < O

Portanto, cos a = - §

Vem então que 3 cos a = -1

b) Apresentamos a seguir três possíveis processos de resolução:

1.0 Processo:

Seja (3 a amplitude do ângulo QOP

Por um lado, tem-se que cos (3 = r

Por outro lado, tem-se que

234

cos /3 = OP = 1 OQ OQ

Portanto, 1 = r , donde OQ = 1-0Q r

Portanto, a reta t intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 1 r

y t

Q X

7.

SOLUÇÕES

2.0 Processo:

Seja x a abcissa do ponto Q. Como este ponto pertence ao eixo Ox, a sua ordenada é zero.

Tem-se assim que Q tem coordenadas (x, O )

Como a reta t é tangente à circunferência no ponto P, os vetores GP e PQ são perpendiculares,

pelo que GP . PQ = O

Como PQ = Q - P = (x, 0) - (r, s) = (x - r, -s) , vem:

GP . PQ = 0 "' (r, s) . (x - r, - s) = O "' r x - r2 - s2 = 0 "'

"' r x = r2 + s2 "' r x = 1 "' x = -1 r 3.0 Processo:

Tem-se que GP= (r, s) , pelo que um vetor diretor da reta t é o vetor u = (-s, r) O declive da reta t é, portanto, igual a _r_ s A equação reduzida da reta t é, assim, da forma y = _r_x + b s Como o ponto P(r, s) pertence a esta reta, tem-se que s = -fr + b ,

2 2 2 1 donde vem b = s + Lr = s + r__ = s + r - _ s s s s

A equação reduzida da reta t é y = _ r_x + -1 s s A abcissa do ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox é a solução da equação

O = _r_x + -1 (onde x é a incógnita). s s 1 .;:=;> X = S r s

al) Como o declive da reta AB é igual a � , a equação reduzida desta reta é da forma y = � x + b Como a reta passa no ponto A(-5, O), tem-se O = � x (-5) + b

0 = -1 x (-5 ) + b "' 0 = -� + b "' b=� 2 2 2

Vem, então:

y = 1-x + � "' Zy = x + 5 "' x - Zy + 5 = O 2 2

a2) O ponto B é o único ponto do primeiro quadrante que pertence simultaneamente à reta AB e à circunferência centrada na origem do referencial e raio 5, cuja equação é x2 + y2 = 25

Portanto, para mostrar que o ponto B tem coordenadas (3, 4 ) , é suficiente verificar que este par ordenado satisfaz, quer a equação da reta quer a equação da circunferência.

235

GEOMETRIA NO PLANO

Tem-se:

3 - 2 x 4 + 5 = 0 "" 3 - 8 + 5 = 0 "" 0 = 0, o que é verdade;

32 + 42 = 25 .,, 9 + 16 = 25 <> 25 = 25, o que também é verdade.

Portanto, o ponto B tem coordenadas (3, 4)

a3) O triângulo [ABC] é retângulo em B se, e só se, os vetores BA e BC são perpendiculares.

Tem-se:

BA = A - B = (-5, 0) - (3, 4) = (-8, -4)

BC = C - B = (-3, 16 ) - (3, 4) = (-6, 12 ) Estes dois vetores são perpendiculares se, e só se, o produto escalar BA . BC é igual a zero.

Vejamos: BA . BC = (-8, -4) . (-6, 12) = 48 - 48 = O

O triângulo [ABC] é, de facto, retângulo em B

Tem-se que as coordenadas do ponto B são (5 cos a, 5 sen a) Como as coordenadas do ponto A são (-5, O), tem-se:

AB = B - A = (5 cos a, 5 sen a) - (- 5, O ) = (5 + 5 cos a, 5 sen a) Portanto, d2 = li AB 112 = (5 + 5 cos a)2 + (5 sen a)2 =

= 25 + 50 cos a + 25 cDs2 a + 25 sen2 a =

= 25 + 50 cos a + 25(cos2 a + sen2 a) = = 25 + 50 cos Q' + 25 = 50 + 50 cos Q'

b2) Tem-se 1 + tg2 a = \ Como tg a = 124 vem: cos Q'

8.

1 + 24 = 1 "" 1 25 "" cDs2 a = _L cDs2 a cos2 a 25

Como a é um ângulo do primeiro quadrante, tem-se CDS a = �

Portanto, d2 = 50 + 50 cos a = 50 + 50 x � = 50 + 10 = 60

Vem, então, d = l60

a) No triângulo [OPQ] , o segmento de reta [PR] é a altura relativa à base [OQ] OQ x PR Assim, a área do triângulo [OPQ] é dada por 2

Tem-se:

236

- -

• cos a = g� = ºt , pelo que OR = 5 CDS a e, portanto, OQ = 10 cos a

• sen a = PR = PR pelo que PR = 5sen a OP 5 '

Portanto, a área do triângulo [OPQ] é

10 cos a x S sen a = 25sen a cos a = f(a) 2

SOLUÇÕES

b) f(a) = 25 cos2a "" 25 sen a cos a = 25 cos2 a "' sen a cos a = cos2 a

Como a E ] O, � [, tem-se cos a cfa O

Portanto, para a E ] O, � [, tem-se sen a cos a = cos2 a "' sen a = cos a "' a = J

e) /(8) = 5 "' 25sen 8 cos 8 = 5 "' sen 8 cos 8 = �

(sen 8 + cos 8)2 = sen2 8 + 2 sen 8 CDS 8 + cos2 8 = sen2 8 + cos2 8 + 2 sen 8 cos 8 =

= 1 + 2 sen 8 CDS 8 = 1 + 2 X � = 1 + � = �

Portanto, (sen 8 + cos 8)2 = �

d) A ordenada do ponto P é PR

Como o triângulo [OPR] é retângulo, por aplicação do teorema de Pitágoras, tem-se

Assim, as coordenadas do ponto P são (3, 4)

Vamos determinar a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P por dois processos.

1.0 Processo:

A reta tangente à circunferência no ponto P é perpendicular à reta OP. Como o vetor OP tem coordenadas (3, 4 ), o declive da reta OP é � e, portanto, o declive da reta tangente à

circunferência no ponto P é -!

Assim, a equação reduzida d a reta pedida é da forma y = - ! x + b Como P pertence a esta reta, vem

4 = -lx 3 + b "" 4 = -1. + b "' b =li 4 4 4

Portanto, a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P é y = - ! x + 21

2. 0 Processo:

O ponto G(x, y) pertence à reta tangente à circunferência no ponto P se e só se os vetores

OP e GP forem perpendiculares, ou seja, se e só se OP . GP= O

237

GEOMETRIA NO PLANO

Tem-se:

O? = P - 0 = (3, 4) - (0, 0) = (3, 4)

GP = P - G = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y)

OP. GP = o "' (3, 4) . (3 - X, 4 - y) = o "' "' 3(3 - x) + 4(4 - y) = 0 "' 9 - 3x + 16 - 4y = 0 "'

"' -4y = 3x - 25 "' y = - ! X + 21

Portanto, a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P é y = - ! x + 21

9. Comecemos por determinar !firAD, amplitude do ângulo BAD, ângulo dos vetores AB e AD Ora BAD é um ângulo inscrito na circunferência que contém os vértices do pentágono, pelo que a sua amplitude é igual a metade da amplitude do arco DB

238

A amplitude do arco DB é igual a 2 x 2;, ou seja, 4t 47'

Então, ifB'AD = . 5 = 2 7r 2 5

Tem-se, então, AH . AD llAD ll

li AB li X li AD li X cos CTB'AD) llAD ll

= llflB li x cos ( 257r ) = 1 X cos (2 x � ) = cos2 ( � ) - sen2 ( � ) = = 1 - sen2 ( � ) - sen2 ( �) = 1 - 2 sen2 ( �)


1.

a) A altura da pirâmide é a cota do ponto V, que é igual a 6 O ponto A tem coordenadas (x, O, O ) Como o ponto A pertence ao plano ADV, tem-se

6x + 18 X o - 5 X o = 24 "" 6x = 24 "" X = 4 Portanto, as coordenadas do ponto A são ( 4, O, O ) Tem-se, então, AB = /(5 - 4)2 + (3 - 0)2 + (O - 0 )2 = f:iO A área da base da pirâmide é, portanto, igual a 10 O volume da pirâmide é igual a 10 { 6 20

b) O ponto V é o ponto de intersecção de três planos: o plano de equação z = 6, o plano ADV e o plano ABV

( z = 6 Resolvendo o sistema 6x + 18y - 5z = 24 , obtemos as coordenadas do ponto V

18x - 6y + 5z = 72 l z = 6 1 z = 6 1 z = 6 6x + 18y - 5z = 24 "" 6x + 18y - 30 = 24 "" 6x + 18y = 54 18x - 6y + 5z = 72 18x - 6y + 30 = 72 18x -6y = 42 l z = 6 1 z = 6 1 z = 6

"" -60y = l20 "" y = 2 .,, y = 2 18x - 6y = 42 18x - 12 = 42 x = 3

e) O plano ADV é definido pela equação 6x + 18y - 5z = 24

Deste modo, tem-se V(3, 2, 6 )

Então, o vetor de coordenadas (6, 18, -5) é perpendicular ao plano ADV, sendo portanto um vetor diretor da reta r

Uma condição que define a reta r é x � 1 = Y ;815 z - 5

-5 É referido no enunciado que o ponto B tem coordenadas (5, 3 , O) Como é verdade que 5 + 1 = 3 + 15 = O - 5 conclui-se que o ponto B pertence à reta r 6 18 -5 '

239


2.

a) O ângulo BAC está inscrito numa semicircunferência, sendo, por isso, um ângulo reto. Como o ângulo BAC é reto, a reta AC é perpendicular à reta AB

Outro processo de resolução deste exercício consiste em mostrar que os vetores AC e AB são perpendiculares.

Tem-se:

AZ' = e - A = (o, -5, o ) - ( 4, 3, o) = (-4, -8, o )

AB = B - A = (0, 5, 0 ) - (4, 3 , 0) = (-4, 2, 0 ) Uma vez que os vetores AC e AB são diferentes do vetor nulo, se o produto escalar de AC por AB for igual a zero, poder-se-á concluir que os vetores AC e AB são perpendiculares.

Vejamos:

AC . AB = (-4, -8, 0 ) . (-4, 2, 0) = (-4) X (-4) + (-8) X 2 + o X o = 16 + (-16) + O = o

Os vetores AC e AB são, de facto, perpendiculares, pelo que a reta AC é perpendicular à reta AB

b) Para se escrever uma equação vetorial de uma reta, é necessário conhecer:

• um ponto da reta;

• um vetor com a direção da reta.

Neste caso, tem-se:

Ponto da reta: o ponto B(O, 5, O)

Vetor com a direção da reta : como a reta r é paralela ao eixo Oz, tem-se que o vetor (O, O, 1) tem a direção da reta r

Equação vetorial da reta r

(x, y, z) = (O, 5, O ) + k(O, O, 1), k E lR

e) Se o vetor AC for perpendicular a dois vetores não colineares do plano ABD, então o vetor AC é perpendicular ao plano ABD

Dois vetores não colineares do plano ABD são, por exemplo, o vetor AB e o vetor (O, O, 1) (recordese que este vetor tem a direção da reta r, a qual está contida no plano ABD)

Já mostrámos, na alínea a), que o vetor AC é perpendicular ao vetor AB

Se provarmos que o vetor AC é perpendicular ao vetor (O, O, 1) , fica provado o pretendido.

Vejamos:

(-4, -8, O) . (O, 0, 1) = (-4) X O + (-8) X O + O X 1 = O + O + 0 = 0 Está provado.

240

SOLUÇÕES

Determinemos agora uma equação do plano ABD

Como o vetor Aê = (-4, -8, O ) é perpendicular ao plano ABD, este plano pode ser definido por uma equação do tipo -4x -8y + Oz = k

Determinemos o valor de k

Como o ponto B(O, 5, O ) pertence ao plano ABD, tem-se:

-4 x O - 8 x 5 + O x O = k , ou seja k = -40 Vem, então, que uma equação do plano ABD é -4x - By = -40, equação esta equivalente à equação x + 2y = 10

d) Tem-se que tg a = BD = BD pelo que BD = S tg a OB 5

3.

Portanto, a altura do cilindro é dada, em função de a, por S tg a

Como a área da base do ci l indro é igual a 7f X S2 = 25Jr, vem que o volume do cilindro é dado, em função de a, por 25Jr x S tg a, que é igual a 125Jr tg a

a) Como o ponto Q tem coordenadas (2, 2, O) , a aresta da base da pirâmide mede 4, pelo que a área da base da pirâmide é igual a 16 Designando por h a altura da pirâmide, tem-se então que § X 16 X h = 32 Resolvendo esta equação, vem h = 6 Como a cota do vértice V é igual à altura da pirâmide, vem que a cota do vértice V é igual a 6

b) Para mostrar que o plano QRV pode ser definido pela equação 3y + z = 6, basta mostrar que os pontos, não colineares, Q, R e V pertencem ao plano definido por esta equação.

Vejamos:

Ponto Q(2, 2, O) : 3 X 2 + O = 6 <> 6 = 6 Afirmação verdadeira.

Ponto R(-2, 2, 0): 3 x 2 + 0 = 6 <> 6 = 6 Afirmação verdadeira.

Ponto V(O, O, 6 ): 3 x O + 6 = 6 <> 6 = 6 Afirmação verdadeira.

Está provado.

Outro processo de resolução deste exercício consiste em obter uma equação do plano QRV e mostrar que ela é equivalente à equação 3y + z = 6 Comecemos então por determinar as coordenadas de um vetor perpendicular ao plano QRV. Para isso, vamos determinar as coordenadas de dois vetores (não colineares) do plano QRV, para depois obtermos as coordenadas de um vetor perpendicular a esses dois. Este terceiro vetor, sendo perpendicular a dois vetores (não colineares) do plano QRV, será perpendicular ao plano QRV

241


QR e QV são dois vetores não colineares do plano QRV Tem-se:

QR = R - Q = (-2, 2, 0) - (2, 2, 0 ) = (-4, 0, 0 ) QV = V - Q = (O, 0, 6) - (2, 2, 0 ) = (-2, -2, 6)

Pretendemos agora determinar um vetor u = (x, y, z) que seja perpendicular a QR e a QV Tem-se:

u J_ QR <> (x, y, z) . (-4, 0, 0 ) = 0 "" -4x + 0 + 0 = 0 <> x = O u J_ QV <> (x, y, z) . (-2, -2, 6) = 0 <> -2x - 2y + 6z = 0 { x = O { X = O { X = O Vem, então: <:=> <:=>

-2x - 2y + 6z = 0 -2y + 6z = 0 y = 3z

Portanto, um vetor perpendicular a QR e a QV é, por exemplo, o vetor (O, 3, 1 ) Como o vetor (O, 3, 1 ) é perpendicular ao plano QRV, este plano pode ser definido por uma equação do tipo Ox + 3y + z = k Como o ponto Q(2, 2, O ) pertence ao plano QRV, tem-se:

O x 2 + 3 x 2 + O = k, ou seja, k = 6 Vem, então, que uma equação do plano QRV é 3y + z = 6

e) Um vetor perpendicular ao plano QRV é o vetor (O, 3, 1 )

4.

Portanto, a reta q ue passa na origem do referencial e é perpendicular ao plano QRV pode ser definida pela equação vetorial (x, y, z) = (O, O, O ) + k(O, 3, 1 ), k E IR

a) Como o ponto G tem coordenadas ( 4, 4, O) , a aresta da base do prisma mede 4, pelo que a área da base do prisma é igual a 16

Designando por h a altura do prisma, tem-se então que 16 x h = 96 Resolvendo esta equação, vem h = 6 Como a cota do vértice D é igual à altura do prisma, vem que a cota do vértice D é igual a 6. A abcissa e a ordenada do vértice D são iguais às do vértice G. Por isso, as coordenadas do vértice D são ( 4, 4, 6) Por outro lado, tem-se que as coordenadas do vértice B são (O, O, 6) O vértice H é o ponto médio do segmento [BD]

Por isso, as coordenadas do vértice H são ( O + 4 O + 4 6 + 6 ) ou sei· a as coordenadas do vértice 2 1 2 J 2 1 1

H são (2, 2, 6 )

242

SOLUÇÕES

b) Comecemos por determinar as coordenadas de um vetor perpendicular ao plano OEH Para isso, vamos determinar as coordenadas de dois vetores (não colineares) do plano OEH, para depois obtermos as coordenadas de um vetor perpendicular a esses dois. Este terceiro vetor, sendo perpendicular a dois vetores (não colineares) do plano OEH, será perpendicular ao plano OEH EH e OfI são dois vetores não colineares do plano OEH

Tem-se:

EH = H - E = (2, 2, 6 ) - (4, 0, 0 ) = (-2, 2, 6)

OfI = H - O = (2, 2, 6 )- (O, O, O ) = (2, 2, 6)

Pretendemos agora determinar um vetor u = (x, y, z) que seja perpendicular a EH e a OfI Tem-se:

u J_ EH <> (x, y, z) . (-2, 2, 6 ) = 0 <> -2x + 2y + 6z = 0 u J_ OfI <> (x, y, z) . (2, 2, 6) = 0 <> 2x + 2y + 6z = 0

Vem, então: { -2x + 2y + 6z = O 2x + 2y + 6z = O

{ x = y + 3z "" 2 (y + 3z) + 2y + 6z = 0 "" { x = y + 3z "" { X = O

y = -3z y = -3z

{ x = y + 3z "" ""

4y + 12z = O

Portanto, um vetor perpendicular a EH e a OfI é, por exemplo, o vetor (O, -3, 1 ) Como o vetor (O, -3, 1 ) é perpendicular ao plano OEH, este plano pode ser definido por uma equação do tipo Ox - 3y + z = k Determinemos o valor de k Como o ponto 0(0, O, O) pertence ao plano OEH, tem-se que

O x O - 3 x O + O = k, ou seja, k = O Vem, então, que uma equação do plano OEH é -3y + z = O

243


e) Na figura aba ixo está representada a reta r, que é a intersecção do plano OEH com o plano ABC

z

' ' ' '

X

' ' ' ' ' F

y

A reta r é paralela ao eixo Ox, pelo que tem a direção do vetor (1, O, O) Como o ponto H(2, 2 , 6 ) pertence à reta r, podemos concluir que uma equação vetorial da reta r é

(x, y, z) = (2, 2, 6 ) + k(1, 0, 0 ), k E lR

d) A área da base do prisma é 4 x 4 = 16

5,

A área de uma face lateral do prisma é 4 X 6 = 24 Portanto, a área total do prisma é 2 x 16 + 4 x 24 = 32 + 96 = 128 A área de uma esfera é dada, em função do raio, por 4 ir r2 O valor pedido é, portanto, a solução positiva da equação 4ir r2 = 128 Tem-se que 4 ir r2 = 128 "" ir r2 = 32

O valor pedido é {J!"' 3,19

"" rz =R J[

a) Para mostrar que a reta AB está contida no plano de equação x + 2y - z = 5, basta mostrar que os pontos A e B pertencem a este plano.

O ponto A tem coordenadas (5, O, O ) Tem-se que 5 + 2 x O - O = 5 , pelo que o ponto A pertence ao plano.

O ponto B tem coordenadas (O, 3, 1 ) Tem-se que O + 2 x 3 - 1 = 5, pelo que o ponto B pertence ao plano.

Portanto, a reta AB está contida no plano.

244

SOLUÇÕES

b) O triângulo [ABC] será retângulo em C se, e só se, o ângulo ACB for reto, ou seja, se, e só se, Aê for perpendicular a Bê Um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, tem coordenadas (O, O, e), com e > O

Tem-se, assim,

AC = C - A = (O, O, c) - (5, 0, 0 ) = (-5, 0, c) Bê = e - B = (O, O, c) - (0, 3, 1) = (O, -3, c - 1)

Aê .l BC "" Aê . Bê = 0 "" (-5, 0, c) . (0, -3, c - 1 ) = 0 "" "" -5 x O + O x (-3 ) + c x (c - 1) = 0 "" c(c - 1) = 0 "" c = O V c = l

Como e > O, tem-se que e = 1

c) O cone que resulta da rotação do triângulo [AOB] em torno do eixo Ox tem altura igual a OA e base de raio OB , tal como ilustrado na figura.

y

A

X

Tem-se que OA = 5 e OB = /32 + 12 = /iO Portanto, o volume do cone é � x ir x ( /i0)2 x 5 = 5�ir

6.

a) O ponto A tem coordenadas (8, 8, 7). Por isso, tem-se que AB = 8 O ponto V tem coordenadas (4, 4, O). Por isso, tem-se que

AV = /(8 - 4)2 + (8 - 4)2 + (7 -0)2 = V16 + 16 + 49 = rsl = 9 O perímetro de uma face lateral da pirâmide é, portanto, 9 + 9 + 8 = 26

b) O ponto B tem coordenadas (O, 8, 7) O ponto D tem coordenadas (8, O, 7) O ponto V tem coordenadas (4, 4, O)

245


Portanto,

VB = B - V = (0, 8, 7 ) - (4, 4, 0 ) = (-4, 4, 7) VD = D - V = (8, O, 7 ) - (4, 4, O) = (4, -4, 7) VB . V5 = (-4, 4, 7) . (4, -4, 7 ) = -16 + (-16) + 49 = 49 - 32 = 17 Por outro lado, tem-se que

VB . VD = li VB l i x li VD li x cos x ( x é a amplitude do ângulo DVB ).

Como se tem li VB li = l i VD li = 9, vem que 17 = 9 x 9 x cos x, pelo que cos x = �i , donde vem

X "' 77,9°

e) Como o ponto E pertence ao plano a e este plano é paralelo ao plano AVB, os pontos E + AV e E + BV também pertencem ao plano a

7.

Tem-se:

AV = V - A = (4, 4, 0 ) - (8, 8, 7 ) = (-4, -4, -7) BV = V - B = (4, 4, 0 ) - (0, 8, 7 ) = (4, -4, -7)

Portanto,

E + AV = (4, 4, 7 ) + (-4, -4, -7) = (0, 0, 0) E + BV = (4, 4, 7 ) + (4, -4, -7) = (8, 0, 0) Concluímos, assim, que os pontos (O, O, O) e (8, O , O) pertencem ao plano a

Como estes dois pontos pertencem ao eixo Ox, podemos concluir que o eixo Ox está contido em a

a) As retas AB e BC são complanares porque são concorrentes (têm o ponto B em comum e não são coincidentes). O plano a por elas definido é o plano ABC. Para mostrar que o plano a admite como equação x + Zy + 6z = 10 basta verificar que as coordenadas de cada um dos três pontos não colineares A, B e C satisfazem esta equação.

Vejamos:

Ponto A : 10 + 2 x O + 6 x O = 10 É verdade.

Ponto B : O + 2 x 2 + 6 x 1 = 10 É verdade.

Ponto C : O + 2 x 5 + 6 x O = 10 É verdade.

Está verificado.

246

SOLUÇÕES

b) O plano a admite como equação x + Zy + 6z = 10 O plano xOz admite como equação y = O A reta de intersecção do plano a com o plano xOz pode, então, ser definida pela condição x + Zy + 6z = 10 /\ y = O, a qual é equivalente à condição x + 6z = 10 /\ y = O Para escrevermos uma equação vetoria l desta reta precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor da reta.

Basta, então, determinar dois pontos da reta.

Atribuindo a z o valor O, obtemos:

X + 6 X 0 = 10 li y = 0 <> X = 10 li y = 0 O ponto (10, O, O) pertence à reta (observe-se que este ponto é o ponto A, que, pertencendo ao eixo Ox, pertence ao plano xOz, pertencendo portanto à reta de intersecção deste plano com o plano ABC) Atribuindo a z o valor 1, obtemos:

x + 6 X l = 10 li y = O <> x = 4 /\ y = O O ponto (4, O, 1) pertence à reta. Designemos este ponto por D

Um vetor diretor da reta é o vetor AD Tem-se que AD = D - A = (4, 0, 1) - (10, 0, 0 ) = (-6, 0, 1 ) Uma equação vetorial da reta é, assim, (x, y, z) = (10, O, O )+ k(-6, O, 1), k E lR

e) Considerando que a base da pirâmide [OBCA] é o triângulo [OBC], tem-se que a altura correspondente a essa base é OA

z

X

B

e Y

Determinemos a área do triângulo [OBC]. Se tomarmos para base do triângulo o lado [OC], a altura correspondente é a cota do ponto B Portanto, a área do triângulo [OBC] é igual a 5 � 1 , ou seja, �

O volume da pirâmide é, portanto, .1 x ii_ xlO =�=li 3 2 6 3

247


8.

a) O raio da base do cone é igual à abcissa do ponto A O ponto A é o ponto de intersecção do plano ABV com o eixo Ox As coordenadas do ponto A podem, portanto, ser obtidas resolvendo o sistema 1 4x + 4y + 3z = 12 j x = 3 y = O , sistema este equivalente a y = O Z = Ü Z = Ü

As coordenadas do ponto A são (3, O, O), pelo que o raio da base do cone é igual a 3 A altura do cone é igual à cota do ponto V

O ponto V é o ponto de intersecção do plano ABV com o eixo Oz As coordenadas do ponto V podem, portanto, ser obtidas resolvendo o sistema l 4x + 4y + 3z = 12 X = Ü y = O l z = 4

, sistema este equivalente a x = O y = O

As coordenadas do ponto V são (O, O, 4), pelo que a altura do cone é igual a 4

b) O raio da esfera pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras (ver figura).

Tem-se que r2 = 42 + 32, donde vem r = 5

z

y

Portanto, uma condição que define a esfera é x2 + y2 + (z - 4 )2 '.". 25

248

SOLUÇÕES

e) O ângulo BVD é o ângulo formado pelos vetores VB e VD

9.

Tem-se: VB = B - V = (0, 3, 0 ) - (4, 0, 0 ) = (-4 ,3, 0 ) VD = D - V = (0, -3, 0) - (4, 0, 0 ) = (-4, -3, O ) VB . VD = (-4, 3, 0) . (-4, -3, O ) = 16 + (-9 ) + 0 = 7 Por outro lado, tem-se: VB . VD = li VB li x li VD li x cos a ( a é a amplitude do ângulo BVD)

Como se tem llffB ll = ll® ll = /(-4)2 + 32 + 02 = 5, vem que 7 = 5 x 5 x cos a, pelo que cos a = J5 Como sen2a + cos2 a = 1, vem sen2a + (J5 )

2 = 1

Portanto sen2a = 1 - (_]_)2 donde sen a = /576 = li ' 25 ' 25 25

a) Designemos por a a aresta do cubo. As coordenadas do ponto Q são (a, a, O) Como este ponto pertence ao plano VTQ, cuja equação é x + y + z = 6, tem-se que a + a + O = 6, donde vem que a = 3 O volume do cubo é, portanto, 33 = 27

b) As coordenadas do simétrico de U, em relação ao plano xOy, são (3, 3, -3) Como o ponto Q pertence à superfície esférica, vem que o raio é 3 Portanto, uma equação da superfície esférica é (x - 3)2 + (y - 3)2 + (z + 3)2 = 9

e) Como o plano a é paralelo ao plano VTQ, qualquer vetor do plano VTQ é vetor do plano a. Portanto, pertence a a qua lquer ponto que seja a soma de um ponto de a com um vetor do plano VTQ Tem-se que R = S +SR= S + TQ. Logo, R pertence a a

Tem-se também que P = S + SP = S + VQ . Logo, P pertence a a

Portanto, a reta RP está contida em a

Outro processo de resolução deste exercício consiste em determinar uma equação do plano a e, em seguida, mostrar que os pontos P e R pertencem a a

249

10.


Como o plano a é paralelo ao plano VTQ, este plano pode ser definido por uma equação do tipo x + y + z = k. Atendendo a que o ponto S (O, O, 3 ) pertence a a, tem-se que k = 3 , pelo que uma equação do plano a é x + y + z = 3 Como o ponto R tem coordenadas (3, O, O) e como 3 + O + O = 3, vem que R pertence a a

Como o ponto P tem coordenadas (O, 3, O) e como O + 3 + O = 3, vem que P pertence a a

Portanto, a reta RP está contida em a

a) Comecemos por determinar a aresta do cubo. Tem-se: AD = /(3 + 3 )2 + (5 - 3)2+ (3 - 6)2 = /36 + 4 + 9 = 7

Portanto, o volume do cubo é 73 = 343

b) Tem-se que H = D + Dlf = D + AÊ Como AÊ = E - A = (l, 2, -3) - (3, 5, 3 ) = (-2, -3, -6) , vem que H = D + AÊ = (-3, 3, 6 ) + (-2, -3, -6) = (-5, 0, O ) Portanto, H pertence ao eixo Ox

c) Comecemos por determinar uma equação do plano que contém a face [ABCD]

11.

Como o vetor AÊ é perpendicular a este plano, o plano pode ser definido por uma equação do tipo -2x - 3y - 6z = k Determinemos o valor de k Como o ponto A (3, 5, 3) pertence ao plano, tem-se que -2 x 3 - 3 x 5 - 6 x 3 = -39, ou seja, k=- 39 Vem, então, que uma equação do plano é -2x- 3y- 6z = -39, que é equivalente a 2x + 3y + 6z= 39 Sendo P o ponto de intersecção do eixo Oz com este plano, vem que as coordenadas de P resultam do sistema 2x + 3y + 6z = 39 /\ x = O /\ y = O

Vem então z = 12_ = li /\ x = O /\ y = O 1 1 6 2 Portanto, as coordenadas de P são (o, O, 1} )

a) É referido no enunciado que uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide é (z, y, z) = (7, -1, 5) + k(6, -8, O ), k E R . Isto significa que um vetor diretor desta reta é o vetor de coordenadas (6, -8, O)

250

Portanto, o vetor de coordenadas (6, -8, O) é perpendicular ao plano que contém a base da pirâmide. Este plano pode, portanto, ser definido por uma equação do tipo 6x- 8y + Oz = k

SOLUÇÕES

Determinemos o valor de k. Como o ponto 0(0, O, O) pertence ao plano, tem-se que 6 x O - 8 x O + O x O = k, ou seja, k = O Vem, então, que uma equação do plano é 6x- By = O, que é equivalente a 3x - 4y = O

b) O centro da base da pirâmide é o ponto de intersecção da reta que contém a altura da pirâmide com o plano de equação 3x - 4y = O Portanto, para justificar que o ponto de coordenadas (4, 3, 5) é o centro da base da pirâmide, basta verificar que o ponto de coordenadas (4, 3, 5) pertence à reta que contém a altura da pirâmide e pertence ao plano de equação 3x - 4y = O • o ponto de coordenadas (4, 3, 5) pertence à reta que contém a altura da pirâmide, pois

(4, 3, 5 ) = (7, -1, 5 ) - � (6, -8, 0 ) • o ponto de coordenadas (4, 3 , 5 ) pertence ao plano de equação 3x- 4y = O pois 3 x 4 - 4 x 3 = O O ponto de coordenadas (4, 3, 5) é, de facto, o centro da base da pirâmide.

e) Tendo em vista determinar a área da base, comecemos por determinar a distância do ponto O (O, O, O)ao centro da base da pirâmide.

12.

Tal distância é /(4 - 0)2 + (3 - 0 )2 + (5 - 0)2 = V16 + 9+ 25 = ISO Portanto, a diagonal da base da pirâmide tem comprimento igual a 2 1SO Como a base da pirâmide é um quadrado, e um quadrado é um caso particular de um losango, a área da base da pirâmide é dada por

2!50x21SO _ 100 2 A altura da pirâmide é a distância do centro da base ao vértice da pirâmide. Tal distância é /(4 + 2 )2 + (3 - 11)2 + (5 - 5)2 = /36 + 64 + O = 10 O volume da pirâmide é, portanto, 1- x 100 x 10 = 1000 3 3

a) O ponto H tem abcissa 1, porque os pontos A e H têm a mesma abcissa. O ponto H tem cota O, porque pertence ao plano xOy O ponto H tem ordenada igual à de G

Comecemos então por determinar a ordenada do ponto G

O ponto G é um dos pontos de intersecção do eixo Oy com a superfície esférica de equação (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2= 11 Portanto, a ordenada do ponto G é uma das soluções d a equação (o - 1 )2 + (y - 1 )2 + (o - 1 )2 = 11

251


Resolvendo a equação, vem: (o - 1 )2 + (y - 1 )2 + (o - 1 )2 = 11 "" 1 + (y - 1 )2 + 1 = 11 "" "" (y - 1 )2 = 9 "" y - 1 = 3 V y - 1 = - 3 "" y = 4 V y = - 2 Como o ponto G tem ordenada negativa, tem-se que a ordenada de G é - 2 Portanto, H tem coordenadas (1, -2, O)

b) O ponto H tem coordenadas (1, -2, O) O ponto G tem coordenadas (O, -2, O) O ponto A tem coordenadas (1, 1, 1) Como estes três pontos não são colineares, para mostrar que uma equação do plano AGH é y - 3z + 2 = O, basta verificar que os três pontos pertencem a este plano. Vejamos se assim é: Ponto A (1, 1, 1) Tem-se que 1 - 3 X 1 + 2 = O "' O = O (igualdade verdadeira). O ponto A pertence ao plano. Ponto G (O, -2, O) Tem-se que - 2 - 3 X O + 2 = O "' O = O (igualdade verdadeira). O ponto G pertence ao plano. Ponto H (l, -2, O) Tem-se que - 2 - 3 X O + 2 = O "" O = O (igualdade verdadeira). O ponto H pertence ao plano. Portanto, uma equação do plano AGH é y - 3z + 2 = O

e) Tem-se que: GF = 3, EF = 1, BF = 1 O volume do paralelepípedo é 3 x 1 x 1 = 3 A área da base da pirâmide é 3 x 1 = 3 e a altura da pirâmide é e - 1 O volume da pirâmide é igual a � X 3 x (c - 1 ) = e - 1 O volume do sólido é, portanto, igual a 3 + e - 1 = 2 + e

252

SOLUÇÕES

13.

a) O vetor de coordenadas (1, 2, -2) é perpendicular ao plano a, pelo que também é perpendicular ao plano r Assim, o plano r pode ser definido por uma equação do tipo x + 2y- 2z + d = O

Como o vértice do cone, que tem coordenadas (1, 2, 6), pertence ao plano y , tem-se que 1 + 2 x 2 - 2 x 6 + d = O, donde resulta d = 7

Portanto, uma equação do plano y é x + 2y- 2z + 7 = O

b) O vetor de coordenadas (1, 2, -2) é perpendicular ao plano a

O vetor de coordenadas (2, -1, 1) é perpendicular ao plano /3

Os planos a e /3 são perpendiculares se, e só se, os vetores de coordenadas (1, 2, -2) e (2, -1, l)forem perpendiculares, ou seja, se e só se o produto escalar (1, 2, -2) . (2, -1, 1) for igual a zero. Ora, (1, 2, -2) . (2. -1. 1 ) = 1 X 2 + 2 X (-1) + (-2) X 1 = -2

Portanto, os planos a e f3 não são perpendiculares.

c) Tem-se que o ponto W tem coordenadas (1, 2, -6) A reta VW pode ser definida pela condição x = 1 /\ y = 2 Assim, uma condição que define o segmento de reta [VW] é X = l /\ y = 2 /\ -6 -<; z -<; 6

d) O volume de um cone é igual a � X Área da base X Altura

Relativamente ao cone em causa, tem-se: • a área da base é igual a 7r x 3 2 = 9 7r

• a altura é igual a llVê ll

Para determinarmos li Vê li, precisamos de saber as coordenadas do ponto C O ponto C é o ponto de intersecção do plano a com a reta perpendicular a este plano e que passa por V Tem-se: • uma condição que define o plano a é x + 2y- 2z = 11

• uma condição que define a reta perpendicular a este plano e que passa por V é (x, y, z) = (l, 2, 6) + À (l, 2, -2), À E R

253

14.


Assim, as coordenadas de C satisfazem a condição (x, y, z) = (1, 2, 6 ) + íl (1, 2, -2) /\ x + 2y - 2z = 11, que é equivalente a (x, y, z) = (1 + íl, 2 + 2íl, 6 - 2íl ) /\ x + 2y - 2 z = 11 Tem-se: 1 + íl + 2 (2 + 2íl ) - 2(6 - 2íl ) = 11 "" 1 + íl + 4 + 4íl - 12 + 4íl = 11 "" 9íl = 18 "" íl = 2 Portanto, o ponto C tem coordenadas (1 + 2, 2 + 2 X 2, 6 - 2 X 2 ) = (3, 6, 2 ) Vem, então: llVê li = ll C - V II = li (2, 4, -4) 11 = /2 2 + 42 + (-4)2 = 6 Portanto, o volume do cone é igual a � x 9 7r: x 6 = 18 7r:

a) Tem-se H = G + BÃ BA = A - B = (11, -1, 2 ) - (8, 5, O) = (3, -6, 2 ) Portanto, H = G + BÃ = (6, 9, 1 5 ) + (3, -6, 2 ) = (9, 3, 17)

b) O raio da superfície esférica é a distância do ponto A ao ponto B

Uma equação da superfície esférica é, portanto, ( x- 11)2 + (y + 1)2 + (z - 2 )2 = 49

e) A reta que passa no ponto G( 6, 9, 15) e é paralela ao eixo Oy pode ser definida pela condição x = 6 /\ z = 15 ou pela condição (x, y, z) = (6, 9. 15) + k(O, 1, O ), k E R

15. Designando por a a altura de um dos cones, a altura do outro cone é h - a

254

Designemos por C1 o cone de altura a e por C2 o cone de altura h - a Tem-se:

7r:r2a Volume do cone C1 = --3 Volume do cone C2 =

7r:r2 (h - a) 3

A soma dos volumes dos dois cones é igual a u2a 7r:r2 (h - a)

-3- + 3 7r:r2 a + 7r:r2 h - 7r:r2 a = 7r:r2 h 3 3

Portanto, a soma dos volumes dos dois cones não depende de a, pelo que não depende da posição do ponto P

SOLUÇÕES

16.

al) Dois planos paralelos admitem o mesmo vetor normal. Portanto, uma condição cartesiana do plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial é Sx + 2y + 2z = O

a2) Um plano perpendicular à reta QN é paralelo ao plano yOz Portanto, o plano pedido pode ser definido por uma equação da forma x = k

Como o ponto V tem abcissa 2, uma condição cartesiana do plano perpendicular à reta QN e que passa no ponto V é x = 2

a3) O ponto U tem coordenadas (4, -4, -4) e o raio da superfície esférica de centro em U e que passa no ponto T é UT = 4 Uma equação cartesiana dessa superfície esférica é: (x - 4)2+ (y + 4)2 + (z + 4)2 = 16

b ) Seja z a cota do ponto A Então o ponto A tem coordenadas (4, -4, z) e, portanto, o vetor OA tem coordenadas (4, -4, z) O ponto T tem coordenadas (4, 0,-4) e, portanto, o vetor OT tem coordenadas (4, 0,-4) OA . OT = 8 "" (4, -4, z) . (4, 0, -4) = 8 "" 16 - 4z = 8 "" z = 2 Portanto, o ponto A tem cota 2

e) O volume do poliedro [VNOPQURST] pode obter-se como soma do volume do cubo [NOPQURST] com o volume da pirâmide [VNOPQ]

O cubo tem aresta 4 e, portanto, o seu volume é 43 = 64 Para calcular o volume da pirâmide é necessário determinar a sua altura. A altura da pirâmide é igual à cota do ponto V. Este ponto é o ponto do plano QTV que tem abcissa 2 e ordenada -2

Substituindo x por 2 e y por -2 na equação do plano QTV, obtém-se: S x 2 + 2 x (-2 ) + 2z = 12 "" 2 z = 6 "" z = 3 Tem-se, então, que a altura da pirâmide é igual a 3 . Como a base da pirâmide é um quadrado de lado 4 o volume da pirâmide é 16 { 3 = 16 O volume do poliedro [VNOPQURST] é 64 + 16 = 80

255


17.

al) O vetor FÃ é perpendicular ao plano FGH, pelo que uma equação deste plano é da forma 2x + 3y + 6z + d = 0 Como o ponto F tem coordenadas (1, 3, - 4), tem-se 2 x 1 + 3 x 3 + 6 X (- 4) + d = O Portanto, d = 13 Assim, uma condição cartesiana que define o plano FGH é 2x + 3y + 6z + 13 = O

a2) A superfície esférica de centro no ponto F à qual pertence o ponto G tem raio igual a FA Tem-se FA = llFÃ ll = V22 + 32 + 62 = ffl = 7 Assim, uma condição cartesiana que define a superfície esférica é

b) O ponto E é o ponto de intersecção da reta EF com o plano HCD Como a reta EF é perpendicular a este plano, que é definido por 6x + 2y - 3z + 25 = O, uma equação vetorial da reta é (x, y, z) = (l, 3, - 4) + k (6, 2, - 3), k E lR Tem-se: (x, y, z) = (l, 3, - 4) + k (6, 2, - 3 ) "" "" X = l + 6k /\ y = 3 + 2 k /\ Z = - 4 - 3 k Portanto, qualquer ponto da reta EF tem coordenadas da forma (1 + 6k, 3 + 2k, - 4 - 3 k) sendo k um número real. O ponto E é o ponto desta reta cujas coordenadas satisfazem a equação 6x + 2y- 3z + 25 = O Vem, então:

18.

6(1 + 6k) + 2(3 + 2k) - 3 (- 4 - 3k) + 25 = 0 "" "" 6 + 36k + 6 + 4k + 12 + 9k + 25 = 0 "" 49k = - 49 "" k = - 1 Portanto, o ponto E é o ponto de coordenadas (-5, 1, -1)

a) Como o plano é paralelo a a, pode ser definido por uma equação da forma x - 2y + z + d = O Como o plano passa no ponto A(O, O, 2 ) tem-se O - O + 2 + d = O pelo que d = -2 Então, uma equação do plano é x - 2y + z - 2 = O

256

SOLUÇÕES

b) O centro C da superfície esférica é o ponto médio do segmento de reta [AB] ( 0 + 4 O + O 2 + 0 ) ( ) Tem-se C = -2-,-2-, -2- = 2, 0, 1

r = AC = /(2 - 0)2 + (0 - 0)2 + (1 - 2 )2 = 14+1 = IS

Uma equação cartesiana que define a superfície esférica é (x - 2)2 + y2 + (z - 1)2 = 5 e) A figura ilustra a situação descrita.

19.

z

A 2

o

B - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4 X

Tem-se BA P = AB " ifP = !!_ 3

, , , , ,

p

, , , y

y

Uma condição que traduz o problema é AÊ . AP = li AÊ li X li AP li X cos (AJ3 " A?) Seja y a ordenada do ponto P (y > O) . Tem-se P ( 4, y, O ) AÊ = B - A= ( 4, O, O) - (O, O, 2 ) = ( 4, O, -2 ) AP = P - A = (4, y, 0) - (0, 0, 2 ) = (4, y, -2) AÊ . AP = llAÊ ll x lllfP ll x cos (AJ3 " A?) '"' 16 + 0 + 4 = V16 + 4 x /16 + y2 +4 x cos � '"'

ç:, 20 = /2Q X /20 + y2 X � ç:, � = /20 + y2 ç:, 20 + y2 = 80 ç:, y2 = 60

Como se tem y > O, a ordenada do ponto P é /60

a) A abcissa e a ordenada do ponto V são, respetivamente, iguais à abcissa e à ordenada do centro da face superior do cubo, pelo que ambas são iguais a 1 Como o ponto V pertence ao plano de equação 6x + z - 12 = O, tem-se 6 x 1 + z - 12 = O, pelo que z = 6 V é o ponto de coordenadas (1 , 1 ,6 )

b) Um vetor normal ao plano é o vetor DR= (2, 2 , 2 ) Então o plano é definido por uma equação do tipo 2x + 2y + 2 z + d = O

Como o plano passa no ponto P(2, O, O) , tem-se 2 X 2 + O + O + d = O pelo que d = -4 Uma equação do plano é 2x + 2y + 2z - 4 =O ou, o que é equivalente, x + y + z - 2 = O

257


e) Dado que o ponto A pertence ao plano QRS e dado que este plano é definido pela equação y = 2, podemos concluir que o ponto A tem ordenada 2. Como, além disso, a cota do ponto A é igual ao cubo da abcissa, podemos afirmar que as suas coordenadas são do tipo (x, 2, x3 )

20.

Tem-se, DA = (x, 2, x3 ) e TQ = Q - T = (2, 2, 0 ) - (0, 0, 2 ) = (2, 2, -2 ) Assim, DA J_ TQ '"' DA . TQ =o '"' (x, 2 , x3) . (2, 2 , -2 ) = o '"' 2x + 4- 2x3 = o Utilizando a calculadora para representar graficamente a função polinomial definida pela expressão y = -2x3 + 2x + 4, concluímos que 1,52 é o valor arredondado às centésimas do seu zero. Portanto, a solução da equação -2x3 + 2x + 4 = O é 1,52 Assim, a abcissa do ponto A é 1,52

X

a) Dado que a reta OP é perpendicular ao plano {3, OP é colinear com qualquer vetor perpendicular a f3

Um vetor perpendicular a f3 é o vetor u de coordenadas (2, -1, 1) Tem-se OP = (-2, 1, 3a ) Como OP e rr são colineares, tem-se -2

2 = _\ = 3t

Portanto, 3 a = -1, donde vem a = - �

b) Seja x a abcissa do ponto B Dado que B pertence ao eixo das abcissas, tem-se B(x, O, O) Como B pertence ao plano {3, tem-se 2x - O + 0 - 4 = O, pelo que x= 2 Portanto, B é o ponto de coordenadas (2, O, O ) Logo, C é o ponto de coordenadas (-2, O, O ) Tem-se: AB = B - A = (2, O, 0 )- (1, 2, 3 ) = (1, -2, -3 ) AC = C - A = (-2, O, 0) - (1, 2, 3 ) = (-3, -2, -3) Vem: AB .Aê = lllfB ll x llAê ll x cos BÂC '"' -3 + 4 + 9 = v'l + 4 + 9 x v'9 + 4 + 9 x cos BÂC '"'

258

- 10 <o> cos BAC = = y 308

Portanto, BÂC "' 55 °

SOLUÇÕES

e) Uma condição que define a reta que passa por O e é perpendicular ao plano f3 é (x, y, z) = (O, O, O ) + k(2, -1, 1), k E lR

21.

Determinemos as coordenadas do ponto T, ponto de interseção desta reta com o plano f3 l 2x - y + z - 4 = O x = 2 k y = - k z = k

l 4k + k + k - 4 = 0 X = 2k

'"' '"' y = - k z = k

T é o ponto de coordenadas ( j, - � , � )

Então Of = ( j, - � , � ) pelo que o raio da superfície esférica é igual a

Uma equação da superfície esférica é, então, (X - 0)2 + (y - 0)2 + (Z - 0)2 = 1± ou seja, 9 x2 + y2 +z2 = -ª-

3

a) (x + 1)2 + (y - 1 )2 + (z - 1)2 = 1

b) A abcissa e a ordenada do ponto V são, respetivamente, iguais à abcissa e à ordenada do centro da base da pirâmide, o qual é o ponto médio, M, do segmento de reta [ AC] M = ( -\- 3 , 1� 3 , 1; 1 ) = (-2, 2, l )

Como o ponto V pertence ao plano de equação 3y + z - 10 = O, tem-se: 3 x 2 + z - 10 = O, pelo que z = 4 V é o ponto de coordenadas (-2, 2, 4)

e) Como o plano a é perpendicular à reta AC, o vetor Aê é um vetor normal ao plano a

Tem-se Aê = C - A = (-2, 2, O) Assim, o plano a pode ser definido por uma equação da forma -2x + 2y + d = O Como o ponto P pertence ao plano a, tem-se: -2 x 1 + 2 X (-2) + d = O '"' d = 6 Então, uma equação do plano a é -2x + 2y + 6 = O

259


A reta de intersecção dos planos a e BCV pode ser definida por ! -2x + 2y + 6 = O

3y + z - 10 = 0

Determinemos dos pontos da reta: • para y = O vem x = 3 e z = 10 ; ponto (3, O, 10) • para y = 1 vem x = 4 e z = 7 ; ponto ( 4, 1, 7)

Então um vetor diretor da reta é o vetor de coordenadas (1, 1, -3) Portanto, uma equação vetorial da reta pedida é (x, y, z) = (3, O, 10) + k(l, 1, -3 ), k E lR

22.

a} (x, y, z) = (2, 1, 4) + k(3, 2, 4), k E lR

b} Um vetor diretor da reta OD é o vetor de coordenadas (4, 2, 2 ) Logo, uma equação vetorial da reta OD é (x, y, z ) = (O, O, O )+ k(4, 2 , 2 ), k E lR

Assim, qualquer ponto da reta OD é da forma (4k, 2 k, 2 k), sendo k um número real. O ponto de intersecção da reta OD com o plano a é o ponto da reta OD cujas coordenadas satisfazem a equação 3x + 2y + 4z - 12 = O Vem, então: 3 (4k) + 2(2k) + 4(2k) - 12 = 0 "" l2k + 4k + 8k - 12 = 0 "" k = � Portanto, as coordenadas do ponto de intersecção da reta OD com o plano a são (2, 1, 1 )

e} Seja z a cota do ponto P Tem-se: P(O, O, z), A(4, O, O ) e B(O, 6, O ) FÃ = A - P = (4, 0, 0) - (0, 0, z) = (4, 0, - z)

PB = B - P = (O, 6, O) - (O, O, z) = (O, 6, - z)

260

- - 2 PA . PB = (4, 0, - z) . (0, 6, -z) = (-z) Z = z Como z i O, o produto escalar é positivo, pelo que o ângulo APB é um ângulo agudo.

SOLUÇÕES

23.

a) O ponto D tem abcissa -2 e ordenada O. A sua cota é a cota do ponto F, que vamos determinar a partir da equação do plano OFB (3x + 3y - z = O) . Como o ponto F pertence ao plano OFB e tem abcissa O e ordenada 2 (que são a abcissa e a ordenada do ponto A), tem-se 3 x O + 3 x 2 - z = O .,,, z = 6 . Assim, como o ponto F tem cota 6, podemos concluir que o ponto D tem coordenadas (-2, O, 6) O vetor de coordenadas (3, 3 , -1) é um vetor normal ao plano OFB. Assim, qualquer plano paralelo ao plano OFB admite uma equação da forma 3x + 3y - z + d = O . Como o plano cuja equação é pedida passa no ponto D(-2, 0, 6) tem-se 3 x (-2) + 3 x 0 - 6 + d = 0 .,,, d = l2 . Portanto, uma equação do plano é 3x + 3y - z + 12 = O

b) O ponto B tem coordenadas (-2, 2, O) . Portanto, a reta OB tem vetor diretor DÊ = (-2, 2, O) . Como passa no ponto 0(0, O, O ) , pode ser definida pela condição (x, y, z) = (O, O ,O ) + k(-2, 2 , O), k E lR

e) A abcissa e a ordenada do ponto P são iguais à abcissa e à ordenada do ponto B. Portanto, o ponto P tem coordenadas (-2, 2, 1 )

24.

O ponto R, simétrico do ponto P relativamente à origem do referencial, tem coordenadas (2, -2, -1) Como o ângulo RAP é o ângulo formado pelos vetores AP e AR, tem-se: AP = p - A = (-2, 2, 1) - (O, 2, o) = (-2, O, 1 )

AR = R - A = (2, -2, -1) - (0, 2, O )= (2, -4, -1)

( ' ) (-2, 0, 1) . (2, -4, -1) cos RAP = li (-2, 0, lJ ll X li (2, -4, -lJ ll -5 -5

1105

Recorrendo à calculadora, obtemos 119° para o valor da amplitude, em graus, arredondado às unidades, do ângulo cujo cosseno é � e cuja ampl itude está compreendida entre 0° e 180°

V 105 Portanto, a amplitude do ângulo RAP, nas condições pedidas, é 119°

a) Tem-se: T(O, O, 3 ) e T'(O, O, -3) Assim, a superfície esférica tem centro em O( O, O, O) e raio 3 Portanto, uma equação da superfície esférica é x2 + y2 + z2 = 9

b) VP . RS = llVP li X llRS ll X cos (VP'R5) = 3 X 3 X (-1 ) = -9

261


25.

a) Os pontos A e D têm a mesma ordenada, e o ponto A tem cota O Designemos por a E lR a abcissa do ponto A . Tem-se A(a, 4, O)

Como A E ACG , vem a + 4 - O - 6 = O "" a = 2 , pelo que o vértice A tem abcissa 2

b) A (2, 4, O) ; D (O, 4, O) ; AD = 2 ; Área[EFGH] = 4

V = � x 4 x altura "" 4 = § x 4 x altura "" altura = 3

Logo, as coordenadas de P são (1,4 + 1,2 + 3) = (1, 5, 5)

As coordenadas de G são (2,4 + 2,2) = (2, 6, 2) Gõ = 0 - G = (-2, -6, -2 ) GP = P - G = (l, 5, 5 ) - (2, 6, 2 ) = (- 1, -1, 3 )

262

Gõ. G? = (-2, -6, -2 ) . (-1, -1, 3) = 2 + 6 - 6 = 2

ll GiJ ll = /4 + 36 + 4 = 144 = 2/iT l lGP ll = v'1 + 1 + 9 = IIT

( - ) Gõ . GP - 2 - 1 cos OGP = llGõ ll x llGP ll

., cos (OGP) = 2 fil x fil

., cos (OGP) = IT

Portanto, OGP "" 85 °


1.

a) Pretende-se o número de diferentes maneiras de distribuir sete tipos d iferentes de gelado em dez compartimentos distintos (ficando, assim, três compartimentos vazios). Ta l número é 1ºA7 = 604 800

b) Existem 5! maneiras d iferentes de distribuir os cinco gelados de fruta pelos cinco compartimentos da fila da frente. Para cada uma destas maneiras, existem 5 A2 maneiras d iferentes de distribuir os gelados de baunilha e chocolate pelos cinco compartimentos da fila de trás. Então, o número pedido é 5! x 5A2 = 2 400

2.

a) Existem nove hipóteses para o primeiro algarismo (de 1 a 9); para cada escolha do primeiro algarismo, existem dez hipóteses para o segundo algarismo (de O a 9); para cada escolha dos dois primeiros algarismos, existem duas hipóteses para o terceiro algarismo (O ou 5).

O número pedido é, portanto, 9 X 10 X 2 = 180

b) Existem nove hipóteses para o primeiro algarismo (de 1 a 9); para cada escolha do primeiro algarismo, existem nove hipóteses para o segundo algarismo, dado que não pode ser igual ao primeiro; para cada escolha dos dois primeiros algarismos, existem oito hipóteses para o terceiro algarismo, dado que tem de ser d iferente dos dois primeiros. O número pedido é, portanto, 9 x 9 x 8 = 648

3. Existem 7 C3 maneiras d iferentes de escolher as três posições do algarismo 1 . Para cada uma destas, existem 4C2 maneiras diferentes de escolher as duas posições do algarismo 4. Uma vez selecionadas as posições que os algarismos 1 e 4 vão ocupar, restam duas posições disponíveis, que serão obrigatoriamente preenchidas pelo algarismo 5. Existem, assim, ao todo, 7C3 x 4C2 , ou seja, 2 10 números diferentes que satisfazem as condições do enunciado.

263


1. Número de casos possíveis: O número de casos possíveis é o número de maneiras de ordenar a sequência das sete inspeções, ou seja, 7! Número de casos favoráveis: O número de casos favoráveis é o número de maneiras de ordenar a sequência das sete inspeções, de tal forma que as três primeiras empresas inspecionadas sejam exatamente os três clubes de futebol ( _E_ _E_ _E_ _ _ _ _ ) .

Existem 3 ! maneiras de ordenar a sequência das inspeções dos clubes de futebol e, para cada uma destas, existem 4! maneiras de ordenar a sequência das inspeções das restantes quatro empresas. Portanto, o número de casos favoráveis é 3 ! x 4! Probabilidade ped ida: 3 1�! 41 "' 3%

2. Número de casos possíveis: O número de casos possíveis é o número de maneiras de os seis amigos se sentarem nos seis lugares disponíveis, ou seja, 6!

Número de casos favoráveis: O número de casos favoráveis é o número de maneiras de os seis amigos se sentarem, de tal forma que a Joana e o Rui fiquem sentados em frente um do outro. Existem três pares de lugares possíveis para a Joana e o Rui :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 l l 1 1 l 1 1 l 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Para cada um desses pares de lugares, a Joana e o Rui podem trocar de posição. Para cada maneira de a Joana e o Rui se sentarem, existem ainda 4! maneiras de os restantes quatro amigos se sentarem nos restantes quatro lugares. Portanto, o número de casos favoráveis é 3 x 2 x 4! Probabil idade pedida: 3 x �r 4! = �

3. Número de casos possíveis:

264

O número de casos possíveis é o número de maneiras de os doze jovens se sentarem nos doze lugares disponíveis, ou seja, 12! Número de casos favoráveis: Para os doze jovens se sentarem de tal forma que rapazes e raparigas fiquem sentados alternadamente, existem duas hipóteses: as raparigas nos lugares com número par e os rapazes nos lugares com número ímpar, ou ao contrário.

4.

SOLUÇÕES

Para cada uma destas duas hipóteses, existem 6! maneiras de as raparigas se sentarem nos seus seis lugares e 6! maneiras de os rapazes se sentarem nos seus seis lugares. Portanto, o número de casos favoráveis é 2 x 6! x 6! Probabilidade pedida: 2 x 6! x 6! � 0,2% 12 !

a) Existem sete posições possíveis para o algarismo 3.

Para cada uma delas, existem 6C2 posições possíveis para os dois algarismos 5 (das seis posições disponíveis, escolhemos duas). Para cada uma das maneiras de os algarismos 3 e 5 ficarem posicionados, existem 4C2 posições possíveis para os dois algarismos 7 (das quatro posições disponíveis, escolhemos duas). Selecionadas as posições dos algarismos 3, 5 e 7, existe apenas uma maneira de colocar os dois algarismos 8: eles vão ocupar as duas posições disponíveis. Portanto, o número pedido é 7 x 6C2 x 4C2 x 1 = 630

b) Número de casos possíveis:

5.

O número de telefone tem este aspeto: 2_ j_ _ _ _ _ ..ª-í J_ Dos quatro algarismos que faltam, sabe-se que são: um 3, um 5, um 7 e um 8, mas não se sabe a ordem correta. Portanto, o número de casos possíveis é o número de maneiras de ordenar os quatro algarismos, ou seja, 4! = 24 Número de casos favoráveis: Existe apenas um caso favorável, que corresponde à ordenação correta dos quatro algarismos. Probabilidade pedida: z14

a) Para que o número tenha quatro algarismos e seja menor do que 3000, o primeiro algarismo (o dos milhares) pode ser 1 ou 2.

j_ _ _ _ ou 2_ _ _ _

Para cada uma destas duas hipóteses, existem seis hipóteses para o segundo algarismo (não pode ser igual ao primeiro), cinco para o terceiro (não pode ser igual, nem ao primeiro, nem ao segundo) e quatro para o quarto algarismo (não pode ser igual, nem ao primeiro, nem ao segundo, nem ao terceiro). O número pedido é, portanto, 2 x 6 x 5 x 4 = 240

265


b) Número de casos possíveis: O número de casos possíveis foi determinado na alínea anterior: 240

Número de casos favoráveis: Como vimos na alínea anterior, os elementos do conjunto B podem ser de dois tipos:

j_ _ _ _ ou 2 _ _ _

Vejamos agora, para cada um destes dois casos, quantos são os números pares. No primeiro caso, existem três hipóteses para o quarto algarismo (pode ser 2, 4 ou 6), cinco para o segundo (não pode ser igual, nem ao primeiro, nem ao quarto) e quatro para o terceiro algarismo (não pode ser igual, nem ao primeiro, nem ao segundo, nem ao quarto). No segundo caso, existem duas hipóteses para o quarto algarismo (pode ser 4 ou 6), cinco para o segundo (não pode ser igual, nem ao primeiro, nem ao quarto) e quatro para o terceiro algarismo (não pode ser igual, nem ao primeiro, nem ao segundo, nem ao quarto). Portanto, o número de casos favoráveis é 3 X 5 x 4 + 2 x 5 x 4

Probabil idade pedida· 3 X 5 X 4 + 2 x 5 x 4 - --º--. 240 12

e) Número de casos possíveis: O número de casos possíveis é o número de coleções de 3 elementos que se podem formar a partir de um conjunto com 240 elementos, ou seja, 24°C3 Número de casos favoráveis: O número de casos favoráveis é o número de coleções de 3 elementos que se podem formar a partir de um conjunto com 120 elementos, ou seja, 12ºC3 . De facto, existem, em B, 120 elementos maiores do que 2000 (são todos os números que começam por 2).

12oc Probabilidade pedida: 240 3 "' 0,12 C3


266

7 C3 (número de maneiras de escolher três pessoas, de entre sete). Número de casos favoráveis: Para que duas das três pessoas que vão à feijoada sejam a Srª. Manuela Silvestre e o Sr. António Gonçalves, é necessário escolher mais uma pessoa, a qual tem de ser selecionada de entre as cinco restantes. Portanto, o número de casos favoráveis é o número de maneiras de escolher uma pessoa, de entre cinco, que é se! = 5 . Probabilidade pedida: f-C3

1 7

SOLUÇÕES

7.

a) É preciso escolher um guarda-redes, de entre dois, dois defesas, de entre quatro, e dois avançados, de entre quatro. O número pedido é, portanto, 2C1 X 4Cz X 4Cz = 72

b) Número de casos possíveis: 10C5 (número de maneiras de escolher cinco jogadores, de entre dez). Número de casos favoráveis: Para que dois dos cinco jogadores contemplados com a viagem sejam os dois guarda-redes, é necessário escolher mais três jogadores, os quais têm de ser selecionados de entre os oito restantes. Portanto, o número de casos favoráveis é o número de maneiras de escolher três jogadores, de entre oito, que é 8C3 Probabilidade pedida: 1

80C3 = 2 Cs 9


9.

9Cs (número de maneiras de escolher cinco vértices, de entre nove). Número de casos favoráveis: Para que pelo menos quatro dos cinco vértices escolhidos sejam da pirâmide, temos duas hipóteses, em alternativa: l.ª hipótese: quatro vértices pertencem à pirâmide e o outro não pertence - sc4 x 4C1

2.ª hipótese: os cinco vértices pertencem à pirâmide - ses = 1

Portanto, o número de casos favoráveis é SC4 X 4C1 + 1 5C4 x 4C1 + 1 21 Probabilidade pedida: -��-

9Cs 126

a) O número de maneiras d iferentes de as peças ficarem colocadas no tabuleiro é o número de maneiras de escolher quatro, das nove casas do tabuleiro, para colocar as peças brancas. As peças pretas ficam colocadas nas restantes cinco casas. O número pedido é, portanto, 9C4 = 126

b) Número de casos possíveis: 126 (número calculado na alínea anterior). Número de casos favoráveis: Existem duas diagonais, pelo que existem duas hipóteses em alternativa, cada uma delas com seis possibilidades: três peças brancas numa diagonal e a quarta peça numa das seis casas restantes. Portanto, o número de casos favoráveis é 2 x 6

Probabilidade pedida: 2 x 6 = l 126 21

267


10.

a) Cada maneira resulta de um processo com duas etapas:

1.ª etapa: pintar as faces triangulares; como cada face pode ser pintada com uma de três cores, existem 3 x 3 x 3 x 3 = 34 maneiras diferentes de o fazer;

2. ª etapa: pintar as faces retangulares; como cada face pode ser pintada com uma de duas cores, existem 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 25 maneiras diferentes de O fazer.

O número pedido é, portanto, 34 x 25 = 2 592


11.

59 (cada face pode ser pintada com uma de cinco cores).

Número de casos favoráveis:

Cada caso resulta de um processo com duas etapas:

1.ª etapa: escolher as faces que vão ser pintadas de branco; existem 9C5 maneiras diferentes de o fazer;

2.ª etapa: pintar as restantes faces; como sobram quatro faces e quatro cores, e não podem existir duas faces com a mesma cor, existem 4! maneiras diferentes de o fazer.

O número de casos favoráveis é, portanto, 9C5 x 4! 9Cs X 4! Probabilidade pedida: � 0,0015

59

a) Existem duas hipóteses, em alternativa: ou dois vértices pertencem ao quadrilátero e um ao pentágono (existem 4C2 x 5 triângulos deste tipo) ou dois vértices pertencem ao pentágono e um ao quadrilátero (existem 5C2 X 4 triângulos deste tipo).

O número pedido é, portanto, 5C2 x 4 + 4C2 x 5 = 70


9 x 9 = 92 (cada pessoa escolhe um de nove vértices).


Existem duas h ipóteses, em alternativa: ou os dois vértices escolhidos pertencem ao quadri látero (existem 42 casos) ou os dois vértices escolhidos pertencem ao pentágono (existem 52 casos). O número de casos favoráveis é, portanto, 42 + 52

Probabilidade pedida: 42 +252

- 51% 9


268

6C3 (como a superfície esférica tem centro na origem do referencial, existem seis pontos de intersecção dessa superfície com os eixos do referencial, dos quais é preciso escolher três, para serem os vértices de um triângulo).

SOLUÇÕES


Dos seis vértices referidos acima, existem quatro no plano xOy (plano de equação z = O). O número de casos favoráveis é, portanto, 4C3 Probabilidade pedida: :c3 = 20%

C3


14.

6C2 (dos seis vértices do octaedro, é preciso escolher dois, para definir uma reta).


Dos seis vértices do octaedro, existem quatro no plano de equação x = y (os pontos O, S, Q e T). O número de casos favoráveis é, portanto, 4C2

4Cz 2 Probabilidade pedida: -6C2 - 5

al) Número de maneiras de colocar dez números em dez lugares: 10! = 3 628 800

a2) Cada maneira resulta de um processo com três etapas:

1.ª etapa: numerar as faces da pirâmide que já tem os números 1 e 3; existem 4A2 maneiras diferentes de o fazer;

2.ª etapa: numerar as faces da outra pirâmide; existem 6A4 maneiras diferentes de o fazer;

3.ª etapa: numerar as restantes quatro faces do poliedro com os quatro números que sobram; existem 4! maneiras diferentes de o fazer.

O número pedido é, portanto, 4A2 x 6A4 x 4! = 103 680

b) A figura representa o poliedro em referencial o. n . Oxyz, nas condições do enunciado. Assinalaram-se, a sombreado, as bases das duas pirâmides, as quais são paralelas ao plano de equação y = O

Três vértices do poliedro definem um plano paralelo ao plano de equação y = O se, e só se, pertencerem a uma dessas bases.

Número de casos possíveis:

Q

10C3 (o poliedro tem dez vértices, dos quais é preciso escolher três, para definirem um plano).


Temos duas hipóteses, em alternativa:

y

1.ª hipótese: os três pontos escolhidos pertencem à base da pirâmide de vértice P (existem 4C3 casos);

269

15.


2.ª h ipótese: os três pontos escolhidos pertencem à base da pirâmide de vértice Q (existem igualmente 4C3 casos).

O número de casos favoráveis é, portanto, 2 x 4C3

Probabil idade pedida: _L 15

a) Número de casos possíveis:

3 x 3 = 3 2 (existem três hipóteses para a mulher que vai pagar os bilhetes; para cada uma destas três hipóteses, há também três hipóteses para o homem que vai pagar os bi lhetes).


Existe apenas um caso favorável, que é o par Sr.ª Nunes, Sr. Nunes.

Probabil idade ped ida: 1z 3 1 9

b) De acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis à realização desse acontecimento e o número de casos possíveis, se estes forem todos equiprováveis.

16.

O número de casos possíveis é 6! (número de maneiras de seis pessoas permutarem).

O número de casos favoráveis é 24. De facto, ficando o casal Martins no meio, ou os Nunes se sentam à direita dos Martins e os Santos à esquerda, ou vice-versa. Para cada uma destas duas maneiras de os três casais se sentarem, existem 2 x 2 x 2 maneiras de as seis pessoas ocuparem os seus lugares (para cada casal, há duas maneiras de as duas pessoas se sentarem).

A probabilidade pedida é, portanto, �;

a) Duas faces laterais opostas já estão pintadas de verde.

Existem mais dois pares de faces laterais opostas. Para um dos pares, existem 5 cores disponíveis (as seis iniciais, menos o verde). Uma vez pintado esse par de faces opostas, restam quatro cores para o outro par.

Uma vez que a base superior tem uma aresta em comum com cada uma das faces laterais, tem de ser pintada de cor diferente das utilizadas nas faces laterais, pelo que existem três cores disponíveis para pintar a base superior.

O número pedido é, assim, 5 x 4 x 3 = 60


270

12C2 (existem doze vértices num prisma hexagonal, dos quais se escolhem dois).

SOLUÇÕES


Para que os vértices escolhidos definam uma reta paralela ao eixo Oz, têm de pertencer à mesma aresta lateral. Como existem seis arestas laterais, existem seis casos favoráveis.

Probabilidade pedida: 126 Cz

1 11

17. Sabe-se que, após a transferência de uma bola da caixa A para a caixa B, a probabilidade de retirar

uma bola azul da caixa B passou a ser igual a � . Logo, nesta caixa, o número de bolas verdes passou a ficar igual ao número de bolas azuis.

18.

Na caixa B havia, inicialmente, três bolas verdes e quatro azuis. Por isso, teve de se colocar lá uma bola verde, para que o número de bolas verdes ficasse igual ao número de bolas azuis.

a) Comecemos por observar que, uma vez escolhidas as cinco pessoas que vão viajar no automóvel, o grupo que vai viajar na carrinha fica univocamente determinado.

Podemos pensar na escolha das cinco pessoas que vão viajar no automóvel como um processo com duas etapas:

l.ª etapa: escolha do condutor, para a qual existem duas hipóteses;

2.ª etapa: escolha dos restantes quatro ocupantes, para a qual existem 10C4 hipóteses.

Existem, portanto, 2 x 10C4 , ou seja, 420 maneiras diferentes de os dois grupos de amigos ficarem constituídos.


19.

5C2 (dos cinco condutores, escolhem-se dois).


1 x 4 (o Gonçalo e um dos outros quatro condutores).

Probabilidade pedida: -54 1-c2 s

al) O cubo tem 8 vértices e o octaedro tem 6 vértices. Por isso, o número de conjuntos que são constituídos por 3 vértices do cubo e 2 vértices do octaedro é 8C3 x 6C2 , ou seja, 840

a2) Existem duas hipóteses, em alternativa: ou os 5 vértices pertencem todos ao cubo, ou pertencem todos ao octaedro. Por isso, o número de conjuntos que são constituídos por 5 vértices do mesmo poliedro é 8C5 + 6C5 , ou seja, 62


14C5 (número de maneiras de escolher cinco dos catorze vértices).

271

20.



6 (número de faces do cubo).

Probabilidade pedida: 6 14Cs

_3_ 1001

a) Existem 2 maneiras diferentes de colocar as vogais I e U na base em que três dos vértices são as vogais A, E e O. Para cada um destas maneiras, existem 17 A4 maneiras de designar os quatro vértices em falta da outra base (por haver ainda dezassete letras disponíveis). Assim, o número de maneiras diferentes de designar os seis vértices é 2 x 17 A4 � 114 240

b) Número de casos possíveis: 10C3 (número de maneiras diferentes de escolher três vértices de um total de dez).


O prisma representado tem 7 faces, duas das quais são bases. Cada uma das bases tem cinco vértices e cada uma das restantes cinco faces tem quatro vértices. Para que os três vértices pertençam todos a uma mesma face, ou pertencem a uma das bases, ou pertencem a uma das outras faces. No primeiro caso, temos de escolher uma base, de entre duas, e, para cada uma delas, temos de escolher três vértices, de entre cinco, pelo que existem 2 x 5C3 maneiras diferentes de o fazer. No segundo caso, temos de escolher uma face, de entre cinco, e, para cada uma delas, temos de escolher três vértices, de entre quatro, pelo que existem 5 x 4C3 maneiras diferentes de o fazer.

O número de casos favoráveis é, então, 2 x 5C3 + 5 x 4C3

Probabilidade pedida: 2 5

e) Número de casos possíveis:

272

Cada uma das duas bases do prisma representado tem cinco vértices; como se escolhe um vértice de cada base, o número de casos possíveis é 5 x 5


Para ser diagonal de uma face, o segmento de reta definido pelos dois vértices só pode ser diagonal de uma das cinco faces laterais; como cada uma dessas faces tem duas diagonais, o número de casos favoráveis é 2 x 5

Probabilidade pedida: � � � 2 5


SOLUÇÕES

Dado que cada face pode ser colorida com qualquer uma das sete cores, há 79 maneiras diferentes de colorir as nove faces do sólido. ou Existem sete possibilidades para colorir, por exemplo, a face [PQRU] . Para cada uma destas sete possibilidades, existem também sete possibilidades para colorir, por exemplo, a face [URV], e assim, sucessivamente, até colorir cada uma de todas as nove faces do poliedro. Portanto, o número de casos possíveis é 79


Existem 4C2 x sc2 maneiras de escolher duas das quatro faces triangulares para ficarem brancas e duas das cinco faces quadradas para ficarem azuis. Para cada uma destas 5C2 x 4C2 maneiras de pintar quatro faces do poliedro nas condições exigidas, existem S! maneiras de colorir as restantes cinco faces com as cinco cores ainda não utilizadas, ficando estas faces coloridas com cores todas diferentes. Portanto, o número de casos favoráveis é 4C2 x 5C2 x S !

Probabilidade pedida:

22. Número de casos possíveis: 8C3 = 56

Número de casos favoráveis: 243

Existem 6 planos perpendicula res ao plano xOy que podem ser definidos por 3 vértices do prisma: os 4 planos que contém as faces laterais, o plano OQV e o plano PRS. Cada um destes planos pode ser definido por 3 dos 4 vértices que lhe pertencem. Portanto o número de casos favoráveis é 6 X 4C3 = 24

Probabilidade pedida

273

Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades

1. P(A )+ P(B) + P(A n B) = P(A )+P(B)+P(A u B ) = P(A)+P(B)+ 1 - P(A u B) = = P(A) + P(B) + 1 -[P(A)+ P(B) - P(A n B)] = P(A) + P(B)+ 1 - P(A) - P(B)+ P(A n B) = = l + P(A n B)

2. Sabemos que P(A U B) = P(A)+ P(B) - P(A n B) Por hipótese, tem-se P(A) = 2P(B) e P(A U B) = 3P(B) Substituindo, obtém-se 3P(B) = 2P(B)+ P(B) - P(A n B), donde P(A n B) = O Portanto, A e B são incompatíveis.

3. Sabemos que P(A u B) = P(A)+P(B) - P(A n B) Portanto, se P(A)+P(B) = l, vem: P(A u B) = l - P(A n B) Como P(A n B) pode não ser igual a O, vem que P(A U B) pode não ser igual a 1 Portanto, A U B pode não ser um acontecimento certo.

4.


15! (número de maneiras de dispor ordenadamente, em fila, quinze bolas diferentes).


(5 ! )3 X 3! ( 3! é o número de maneiras de dispor ordenadamente as três cores; para cada uma destas ordenações, existem (5 ! )3 maneiras de dispor as quinze bolas, dado q ue existem 5 ! maneiras de dispor as cinco bolas de cada cor).

Probabilidade pedida: (5 !ts� 31 "' 0,0000079

b) Designemos a probabilidade de «sair bola amarela» por P(A) e a probabilidade de «sair bola com o número 1» por P(B)

274

Então P(A u B) designa a probabilidade de «sair bola amarela ou com o número 1» e P(A n B) designa a probabilidade de «sair a bola amarela número 1».

Sabemos que P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B), donde

62,5% = 50% +25% - P(A n B) Concluímos então que P(A n B) = 12,5% Ora, sendo positiva a probabilidade de «sair a bola amarela número 1», tal significa que é possível retirar essa bola do saco, pelo que ela lá está.

SOLUÇÕES

5. Tendo em conta a propriedade distributiva da intersecção de conjuntos, relativamente à união de conjuntos, tem-se que (A U B) n C = 0 "' (A n C) U (B n C) = 0

Como a união de dois conjuntos é vazia se, e só se, os dois conjuntos forem vazios, vem:

( A n C) u ( BnC) = 0 <> A n C = 0 A B n C = 0

Tem-se, assim, que A n C = 0, pelo que, tendo em conta a Axiomática das Probabilidades,

P(A U C) = P(A) + P(C) = 0,21 + 0,47 = 0,68

6.

a) P(A u B) = P(A nB ) = 1 - P(A n B) = 1 - [P(A) +P(B) - P(A u B)] =

= 1 - P(A) - P(B) + P(A u B) = P(A ) - P(B)+ P(A U B)

b) Tem-se que:

• o número total de raparigas é 160 e o número total de rapazes é 120 • o número total de estudantes é 280 (160 +120) • o número de raparigas com classificação positiva é 104 (0,65 X 160) • o número de rapazes com classificação positiva é 72 (0,6 x 120) • o número de estudantes com classificação positiva é 176 (72 + 104) • o número de estudantes que são rapazes ou têm classificação positiva é 224

(número de rapazes + número de raparigas com classificação positiva = 120 + 104)

Sejam agora os acontecimentos: A: «o estudante escolhido é rapaz»

B: «o estudante escolhido teve classificação positiva»

Queremos saber P(A U B) Utilizando a igualdade da a l ínea anterior, vem: P(A u B) = P(A ) - P(B) + P(A u B)

• P(A ) é a probabilidade de o estudante escolhido ser uma rapariga, pelo que P(A) = �� • P(B) é a probabilidade de o estudante escolhido ter tido classificação positiva, pelo que P(B) = �� • P(A U B) é a probabilidade de o estudante escolhido ser rapaz ou ter tido classificação positiva,

pelo que P(A U B) = ��Ó

(- -) 160 176 224 208 Portanto, p A u B = 280 - 280 + 280 = 280 "' O, 7 4

7. No contexto da situação descrita, P(A u B) significa «probabilidade de o número da bola retirada ser superior a 6 ou ser par».

Ora, das n bolas contidas no saco, somente em três delas (as bolas numeradas com 1, com 3 e com 5) há um número que não é par nem superior a 6.

Portanto, P(A u B) = n - 3 n

275


1.


6C2 (número de maneiras de escolher duas bolas, de entre seis).


Para que as duas bolas tenham a mesma cor, temos duas hipóteses, em alternativa :

1.ª hipótese: as duas bolas são azuis - 3C2 2.ª h ipótese: as duas bolas são verdes - 3C2 Portanto, o número de casos favoráveis é 3C2 + 3C2 = 2 x 3C2

Probabilidade pedida: 2: 3Cz 2 c2 5

b} P(A 1 B) = 1 visto que, se o produto dos números é ímpar, ambas as bolas têm números ímpares, pelo que são ambas azuis, sendo, assim, da mesma cor.

2.

3.

P(A n B) Tem-se que P(A I B) = P(B) Como, do enunciado, se tem P(A 1 B) = 0,25

Portanto, P(B) = 0°:}5 = 0,4 ,

0 1 e P(A n B) = 0,1 , vem: 0,25 = P(B)

Como, por outro lado, se tem P(A U B) = P(A ) + P(B) -P(A n B),

vem 0,8 = P(A) + 0,4 - 0,1. Portanto, P(A) = 0,5

Como P(A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,5 = 0,5 tem-se que P(A) = P(A) , ou seja, A e A são acontecimentos equiprováveis, como se pretendia provar.

a) A caixa ficará com seis bolas se o número de bolas que entram for igual ao número de bolas que saem. Isto acontece se, e só se, o número saído no segundo lançamento do dado for igual ao número saído no primeiro lançamento.

276

A probabilidade de a caixa ficar com seis bolas é, assim, igual à probabilidade de serem iguais os números saídos nos dois lançamentos do dado.

Número de casos possíveis:

6 X 6 (existem seis hipóteses para o primeiro lançamento; para cada uma destas, existem igualmente seis h ipóteses para o segundo lançamento).

SOLUÇÕES


6 x 1 = 6 (existem seis h ipóteses para o primeiro lançamento; para cada uma destas, existe apenas uma hipótese para o segundo lançamento, dado que o número saído terá de ser igual ao do primeiro lançamento).

Probabilidade pedida: 6 � 6 = �

b) P(B jA ) = � , pois P(B jA ) designa a probabilidade de ficarem na caixa menos bolas brancas do que pretas, sabendo que saiu a face 5 no primeiro lançamento. Ora, tendo saído a face 5 no primeiro lançamento, ficou apenas uma bola branca na caixa. Para que fiquem, na caixa, menos bolas brancas do que pretas, terá de sair face 2, 3, 4, 5 ou 6 no segundo lançamento.

4.

a) P(B 1 A ) designa a probabilidade de o número da segunda bola retirada ser par, sabendo que o número da primeira bola retirada é ímpar. Inicialmente, existem seis bolas com número ímpar e cinco com número par. Após a primeira extração, ficam dez bolas na caixa, das quais cinco têm número par.

( -) 5 1 Portanto, P B j A = N = Z b) Para o produto de três números ser ímpar, os números têm de ser todos ímpares. De 1 a 11 existem

seis números ímpares.

Portanto, a probabil idade pedida é :

5.

a) P(A n B) = P(A UB ) = 1 - P(A U B) = 1 - [P(A) +P(B) - P(A n B)] = = 1 - P(A) - P(B) + P(A n B) = P(A ) - P(B) +P(A n B) = = P(A ) - P(B) + P(A j B) X P(B)

bl) Designando por A o acontecimento «a rapariga tem olhos verdes» e por B o acontecimento «a rapariga é loura», vem que a probabilidade pedida é P(A n E) .

. Do enunciado, sabemos que, das raparigas que moram em Vale do Rei,

• a quarta parte tem olhos verdes, ou seja, P(A) = �

• a terça parte tem cabelo louro, ou seja, P(B) = �

• das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes, ou seja, P(A 1 B) = �

Vem, então: P(A n B) = P(A ) - P(B) + P(A j B) x P(B) = 3 1 1 1 3 1 1 9 4 2 7 = 4 - 3 + z X 3 = 4 - 3 + 6 = Ll - Ll + Ll = Ll

277


b2) Em Vale do Rei moram 120 raparigas, a terça parte das quais são louras.

6.

Existem, assim, 40 raparigas louras, das quais se devem escolher duas para integrar a comissão. Das restantes 80 raparigas de Vale do Rei, temos de escolher 3, para completar a comissão.

O número pedido é, portanto, 4°C2 x 8°C3 = 64 084 800

al) Número de casos possíveis:

6! (número de maneiras de os seis amigos se sentarem nos seis lugares disponíveis).


A Elsa pode ocupar seis lugares. Para cada um destes lugares, o Diogo e o Filipe podem sentar-se ao lado da Elsa de duas maneiras distintas. Para cada disposição do Diogo, da Elsa e do Filipe, os restantes três amigos podem sentar-se de 3 ! maneiras diferentes. O número de casos favoráveis é, pois, 6 X 2 X 3 ! Probabilidade pedida· 6 x 2 x 31 1 - . 6! 10

a2) É pedida a probabilidade de a Catarina e o Fil ipe se sentarem ao lado um do outro, sabendo que o Diogo, a Elsa e o Filipe estão sentados em lugares consecutivos, com a Elsa no meio.

Nestas circunstâncias, existem três lugares possíveis onde a Catarina pode estar sentada, que são os seis lugares da mesa, menos os três ocupados pelo Diogo, a Elsa e o Filipe. Dos três lugares onde a Catarina pode estar sentada, apenas um é favorável ao acontecimento «a Catarina e o Filipe ficam ao lado um do outro», pois o Fil ipe já tem a Elsa ao seu lado.

A probabilidade pedida é, portanto, igual a �

b) O Filipe tem sete escolhas possíveis (existem sete pratos, ao todo) e cada um dos restantes cinco amigos tem três (existem 3 pratos de peixe para serem escolhidos).

7.

Portanto, o número pedido é 7 x 35 = 1 701

P((A n B ) I B) = P((A u B) I B) = P((A u B)n B) P(B)

= P((A n B) u 0) P(B)

P(A n B) P(B) P(A I B)

8. Tem-se P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

P((A n B) u (BnB)) P(B)

Donde S P(A n B) = P(A) + P(B) - P(A n B), pelo que

6P(A n B) = P(A )+ P(B) = 2P(B), pois P(A) = P(B) Vem, então,

278

SOLUÇÕES

9.

a) P(A) x [P(B I A) - 1] + P(Au B) = P(A) x P(B IA ) - P(A) + P(A n B) = = P(A n B) - P(A) + 1 - P(A n B) = 1 - P(A) = P(A )

b) Em relação à experiência a leatória «escolher, ao acaso, um atleta participante no encontro desportivo», sejam A e B os acontecimentos:

A: «O atleta é português»; B: «0 atleta é do sexo feminino».

Consequentemente:

• a informação «metade dos atletas portugueses que participam no encontro são do sexo feminino» traduz-se por P(B 1A ) = 0,5

• a informação «escolhido ao acaso um atleta participante no encontro, a probabilidade de ele ser estrangeiro ou do sexo masculino é 90%» traduz-se por P(A U B) = O, 9

Portanto, de acordo com a igualdade da alínea anterior, tem-se:

P(A) x (0,5 - 1) + 0,9 = P(A)

Donde: -0,5 P(A) + 0,9 = 1 - P(A) "" 0,5 P(A) = 0,1 "" P(A) = �

Como � x 200 = 40, participam no encontro 40 atletas portugueses.

10. Tem-se: P(A n B) = P(B) x P(A 1 B) = 0,3 x 0,2 = 0,06

P(A n 8) = P(B) x P(A 1 B) = 0,7 x o,4 = 0,28

11.

Como P(A n B) = P(A u B ) , conclui-se que P(A u B ) = 0,28 Assim, P(A UB) = 0,72

Por outro lado, tem-se P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) e portanto:

0,72 = P(A) + 0,3 - 0,06 "" P(A) = 0,48 • P(A n B) 0,06 1 Entao, P(B I A) = P(A) 0,48 = s

P(AUB) - P(A n B) = � .. P(A nB ) - P(A n B) = � .. 1 - P(A n B) - P(A nB) = � ""

$;-2P(A nB ) = � - 1 .. -2P(A nB) = - � <> P(A nB) = �

P(B I A ) =1_ P(A n B) 7 "" P(A)

2 2 - -2 9 _ 2 ( ) - 9 ( ) 7 7 "" P(A) -7 "" P A - 2 <> P A =g

7 Dado que A = {1, 3 } e A n B = {1 } , conclui-se que a probabilidade de sair o número 3 é dada por

P(A ) - P(A n B), ou seja, é igual a � - �

Assim, a probabilidade pedida é �

279


12.

a) P( B 1 A ) significa «probabilidade do produto das fichas retiradas ser ímpar, sabendo que a soma é igual a 10».

Casos possíveis: (1, 9), (2, 8), (3, 7 ) e (4, 6 )

Casos favoráveis: (1, 9) e (3, 7)

P(B I A ) = � = � b) 4 X 4! X 12As = 9123840

13.

a)

b)

14.

O número de casos possíveis é o número de maneiras diferentes de tirar três das n bolas do saco, o qual é igual a nc3 Dado que n é um número par, existem � bolas numeradas com número ímpar e � bolas numeradas com número par. Assim, o número de casos favoráveis, que é o número de maneiras de retirar do saco duas bolas com o número par e uma com o número ímpar, é dado por f C2 X f C1 = f C2 x �

Portanto, a probabilidade pedida é

" 'e n 2 x -2

nc3 P( A n B) é a probabilidade de as duas bolas extraídas terem ambas número par.

Dado que n = 8, existem quatro bolas com número par e quatro bolas com número ímpar. Assim, P( A) = � é a probabilidade de a segunda bola extraída ter número par, sabendo que a primeira tem número par.

No caso em que a tiragem é feita com reposição, P( B 1 A ) = � = � , pois, aquando da segunda tiragem, existem novamente, dentro do saco, oito bolas, das quais quatro têm número par.

Portanto, P( A n B) = P( A) x P( B 1 A) = � X � = ! A . 1 ss1m, a =4 No caso em que a tiragem é feita sem reposição, P( B 1 A) = � , pois, aquando da segunda tiragem, existem dentro do saco apenas sete bolas, das quais apenas três têm número par.

Portanto, P( A n B) = P( A) x P( B 1 A) = � X � = 134

Assim, b = 134

a) Tem-se: P(A u B) = 0,82 = �6 e P(B I A) = �

280

!P(A U B) =11 lP(A n B) =11 11 - P(A n B) =n lP(A n B) = ia !P(A n B) =-2_ 50 "" 50 "" 50 "" 9 "" 50 P(B I A ) =l_ P(A n B) = 1_ P(A n B) 1_ 50 _ 1_ P(A ) =ll 3 P(A) 3 P(A) 3 P(A) - 3 50

Logo, P(A) = �b = 0,54

b) Número de casos possíveis: 30c4 = 27405

SOLUÇÕES

Número de casos favoráveis: 1 x 1 x 8c2 = 28 y y '-v-' (1 ) (2 ) (3)

(1) escolher o 7 ; (2) escolher o 22 ; (3) escolher dois dos oito números superiores a 22

15. Designemos por x o número de bolas brancas existentes i nicialmente na caixa C2 P(B 1 A ) é a probabilidade de se retirar uma bola branca da caixa C2 , sabendo que se retiraram duas bolas de cores diferentes da caixa C1

Após se terem retirado duas bolas de cores d iferentes (uma branca e outra preta) da caixa C1 e se terem colocado na caixa C2, a caixa C2 ficou com 9 bolas, das quais x + 1 são brancas. Pela regra de Laplace, tem-se que P(B 1 A ) = x � 1 Assim, P(B 1 A ) = � <> x � 1 = � <> x = 5

Portanto, na caixa C2 existiam inicialmente cinco bolas brancas e duas (7 - 5) bolas pretas.

281


1. a) P(2,35 ) "' 76 (em quilopasca/)

b) P(h + x) = i P(h) <> 101 . e-O,lZ(h + x) = i . 10 1 . e-O,lZh .,,

2.

.,, 101 . e-O,l2h - O,l2x = � . lOl . e-O,l2h .,,

.,, 101 . e-O,l2h . e-0,12x = � . lOl . e-O,l2h .,,

1 ln (-1) <> e-O,lZx = 1- <> -O 12x = ln (-) <> x = 2

2 , 2 -0,12 Conclusão: x "' 5,8 Interpretação: quando se sobe 5,8 Km (em altitude), a pressão atmosférica passa para metade.

a) Tem-se /(O ) = 100 "" ; �ºf = 100 <> k = 19

b)

3.

Tem-se /( t) = 500 .,, -�2�º�º�º�-1 + 24 e-0,13 t 500 ""

<> 2 000 = SOO (1 + 24 e-0,13 ') .,, 2 000 = 1 + 24 e-0,13 t .,, 500

'* 4 = 1 + 24 e-0, 13 t .,, 3 = 24 e-0,13 t .,, l = e-0,13 t .,, 24

.,, � = e-0,13 t .,, -0,13 t = ln ( � ) '* -0,13 t = - ln 8 <>

<> 0,13 t = ln 8 "" t = ln 8 0,13

Portanto, t "' 16

a) Tem-se: -log1o (x) = 7,4 '* log10 (x) = -7,4 <> x = l0-7•4

282

Logo, x "' 4 x 10-8 . Portanto, a concentração de iões H3 o+, no sangue arterial humano é, aproximadamente, de 4 x 10-8 mol/dm3

SOLUÇÕES

b) De acordo com a sugestão, designemos por 1 a concentração de iões H3 o+ no leite.

4.

a)

b)

5.

a)

Então, a concentração de iões H3 o+ no café é dada por 31 (pois, de acordo com o enunciado, a concentração de iões H3 o+ no café é tripla da concentração de iões H3 o

+ no leite). Assim, a d iferença entre o pH do leite e o pH do café é igual a - log10 ( / ) - [ - log10 ( 3 1)] � ,_,_,

pH do leite pH do café

Tem-se que: - log10 ( 1 ) - [- logio (3 1)] = - log10 ( / ) + log10 (3 1) =

= - log10 ( 1 ) + log10 (3) + log10 ( 1 ) = log10 (3 ) "' 0,5

Portanto, a d iferença entre o pH do leite e o pH do café é igual a 0,5

{log2 (a - b x O ) = 3 {log2 (a) = 3 log2 (a - b x 14) = 0

"' log2 (a - 14b) = 0

"'

"' "' "' a = 8 /\ b =l_ {a = 8 {ª = 8 a - 14b = l 8 - 14b = l 2

h (1 1 ) - h(6) 1 1 - 6

logz ( f ) - logz (5) Jog2 (5 ) - log2 (2) - log2 (5) 5 = 5

- logz (2) -1 = -O 2 - 5 5 '

I nterpretação: a altura da água no reservatório diminuiu, em média, 20 centímetros por hora, entre os instantes correspondentes a seis e a onze horas após a abertura da válvula.

100,4 x 6,6 = __ct__ .,,, d2 = 100 x 10°Ax6,6 pelo que d "' 209 (parsec) 100

b) 10º·4 x (m - M) = 1�20 "' 0,4(m - M) = log10 (d2 ) - log10 (100) "' 0,4(m - M) = 2 . log10 (d) - 2 "'

"' 0,4(m - M) = 2[log10 (d) - 1] "' m - M = 5[1og10 (d) - 1] "' m = M - 5[1 - log10 (d)]

283


6. Tem-se que /(O ) = e0 - e = 1 - e pelo que o ponto B tem coordenadas (O, 1 - e) Tem-se também que /(x) = O "" ex - c = O "" ex = c "" x = ln (c ) pelo que o ponto A tem coordenadas (ln (e) , O )

Portanto, AB = B - A = (O, 1 - c) - (ln (c ), O) = (- ln (c), 1- e)

O declive da reta AB é, portanto, 1 - c - ln ( e )

c - 1 ln (e )

Tem-se, então, 1�( ;) = e - 1 "" ln ( c ) = 1 "" e = e

7. Na figura estão representados, de acordo com o enunciado, os gráficos das funções f e g, bem como o triângulo [OAB]

f 1,2

B o 1,4 2

A área do triângulo, com aproximação às décimas, é igual a 2 x/,2 - 1,2

8. Comecemos por observar que, em JR, apenas os números positivos têm logaritmo.

284

Portanto, para que a expressão log2 (x - 1 ) + log2 (13 - x) tenha significado, em JR, é necessário que x - 1 > O /\ 13 - x > O

Tem-se: X - 1 > o /\ 13 - X > o "" X > 1 /\ X < 13 "" X E ] 1, 13 [

Neste intervalo, tem-se: log2 (x - 1 ) + log2 (13 - x) :S 5 "" log2 [(x - 1 )(13 - x)] :S 5 ""

"" (x - 1 )(13 - x) :S 25 "" 13x - x2 - 13 + x :S 32 ""

"" x2 - 14x + 45 2: O ""

"" x :S 5 V x 2: 9 Cálculo auxil iar:

x2 - 14x + 45 = 0 "" x = 14 ± V142 - 4 x 1 x 45 "" 2

9.

SOLUÇÕES

O conjunto solução da inequação é, portanto, o conjunto dos números reais que satisfazem a condição: x E ] 1, 13 [ /\ (x � 5 V x ?' 9)

Podemos fazer um esquema: • I I •

I I 1 5 9 1 3

Tem-se, assim, que o conjunto solução da inequação é : ] 1 , 5 ] U [ 9 , 13 [

a) Tem-se, de acordo com o enunciado:

b)

• a massa de carbono-14, mil anos após o instante inicial, era de 2,91 g • a massa de carbono-14, dois mil anos após o instante inicial, era de 2,58 g

Portanto, m(l) = 2,91 e m(2) = 2,58 ou seja ' {a e2h = 2 58 a eh = 2,91

Donde: a e2h = 2,58 h = 2,58 b = 1 ( 2,58 ) h 2 91 "" e 2 91 "" n 2 91 a e 1 1 ,

Portanto, b "' -0,12

Por outro lado, como a eh = 2,91 e como eh = �,�� vem: , 2,58 2 91 2 912 a x 2 91 = ' "" a = Z 58 Portanto, a "' 3,28 , ,

Assim, no instante inicial, a massa de carbono-14 que existia no fóssil era de 3,28 g

Tem-se m(t + 1,6) m( t )

a e-0,43(t + 1,6) a e-0,43 t

-0,43 t - 0,688 e _ e-0,43 t - 0,688 + o,43 t = e-0,688 "' 0,5 e-0,43 t

Concluímos assim que m(t + l,6) _ 0 5 m(t ) - ' o que significa que, durante o processo de desintegração do rádio-226, a sua massa diminui para metade, sempre que passam 1600 anos.

285


10.

a) Tem-se: Mi = 0,67 log Ei - 3,25 M2 = 0,67 log E2 - 3,25

Mi - M2 = 1 "" 0,67 log Ei - 3,25 - (0,67 logE2 - 3,25) = 1 ""

"" 0,67 log Ei - 3,25 - 0,67 log E2 - 3,25 = 1 ""

"" 0,67 log Ei - 0,67 log E2 = 1 "" 0,67(log Ei - log E2) = 1 ""

"" 0,67 log (i� ) = 1 "" log (i�) = 0,�7 "" i� = 10 ºi'

E Portanto, E� "" 31

Interpretação:

Quando a diferença entre as magnitudes de dois sismos é de uma unidade, a energia libertada no sismo de maior magnitude é 31 vezes maior do que a energia libertada no sismo de menor magnitude.

b) 0,67 log E - 3,25 = 4,7 "" 0,67 log E = 7,95 "" log E = 6'�� "" E = 106::; ,

Portanto, E "" 7 x 10i1

11.

a) Como 9000 são 9 milhares, começamos por escrever a equação /( t ) = 9

f( t ) 9 10 9 "" 3 _ 2e-o,i3 t = 1Q_ "" _2e-0,13 t = 1º_ _ 3 "" = "" 3 - 2e-o,13 t 9 9

1 ( 17 ) "" _2 e-o,i3t = -17 "" e-o,i3 t = 1I "" -O l3 t = ln (1I) "" t =

n IS 9 18 , 18 -0,13

Portanto, t "" 0,4397

Como 0,4397 x 7 "" 3, é ao fim de 3 dias, após a doença ter sido detetada, que o número de coelhos é igual a 9000

b) Ao longo da primeira semana, morreram dois mil coelhos e não nasceu nenhum. Por isso, no i nstante em que a doença foi detetada, havia mais dois mil coelhos do que uma semana depois.

286

No instante em que a doença é detetada, o número de coelhos (em milhares) é igual a /(O)

Ao fim de uma semana, o número de coelhos (em milhares) é igual a /(1)

Portanto, /(O ) - /(1 ) = 2

Tem-se: /(O) - k -3 - 2e0

k 3 - 2 = k

/(1 ) = 3 - 2:-0,13

Vem, então k - k 2

3 - 2 e-0,13

Como 3 - 2 e-0·13 "' 1,2438 , vem

SOLUÇÕES

k 2,4876 k - 1,2438 2 "" 1,2438k - k = 2,4876 "" 0,2438k = 2,4876 "" k = 0,2438

Tem-se, assim, k "' 10,2

12. Comecemos por observar que, em IR, apenas os números positivos têm logaritmo.

13.

Portanto, para que a expressão log3 (7x + 6) 2: 2 + log3 (x) tenha significado, em IR, é necessário que 7x + 6 > 0 /\ x > O

7x + 6 > 0 /\ x > O "" x > - � /\ x > O <> x > O

Para x > O, tem-se: log3 (7x + 6) 2: 2 + log3 (x) <> log3 (7x + 6) 2: log3 (9) + log3 (x) <> log3 (7x + 6) 2: log3 (9x) <>

<> 7x + 6 2:9x <> -2x 2: -6 <> x :'.S 3

O conjunto solução da inequação é, portanto, o conjunto dos números reais que satisfazem a condição x > O /\ x :'.S 3

Portanto, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação é J O, 3 ]

a) Como 2500 são 2,5 milhares, o problema pode traduzir-se pela equação /( t ) = 2,5 Para k = � e p = 1, tem-se

'

/( t ) = 2,5 "" 3 e'_ = 2,5 "" 3ef = 2,5(1 + ef) "" 1 + e'

' ' 3 e' = 2,5 + 2,5e2 <>

t t t _t 2 5 t t <> 3 e2 - 2,5e2 = 2,5 <> 0,5e2 = 2,5 <> e ' =-'- <> e2 = 5 <> - = ln (5 ) <>

"" t = 2 ln (5 ) <> t = ln (52) <> t = ln (25 )

Portanto, t ,,, 3,219

0,5 2

Assim, foi em 1963 que o número de pessoas que estavam infectadas, nessa região, atingiu 2500

287


b) Como o in ício de 1961 corresponde a t = 1, tem-se 1(1) = 1

1(1 ) = 1 "" 3e" = 1 "" 3 e" = 1 + p e" "" 3e" - p e" = 1 "" e"(3 - p) = 1 "" 1 + p e"

"" é = 3�p "" k = ln ( 3�p ) "" k = ln [(3 - pt1] "" k = - ln (3 - p)

14. Seja x a abcissa de A

288

O ponto A está entre a origem do referencial e o ponto P

Por isso, x varia entre O e o zero da função f

f(x) = O "" 2 + 15 ln (3 - � x) = ü "" ln (3 - � x) = - 125 "" 3 - � x = e- 1

2s ""

2 2 "" 1-x = 3 - e -IT "" x = 6 - 2 e -IT 2 2 Então, X E l O, 6 - 2 e -12s [ Tem-se: 6 - 2e - 15 "' 4,25

Tem-se, ainda: Área do retângulo [OACB] = OA x OE = x x [ 2 + 15 ln (3 - � x )] = = 2x + 15xln (3 - � x)

Na figura está o gráfico da função definida por y = 2x + 15x ln ( 3 - � x) obtido na janela de visualização [O; 4, 25] x [O; 30]

y

o 2,47 X

Esta função tem o seu valor máximo para x "' 2,47

Portanto, a abcissa do ponto A para a qual a área do retângulo [OACB] é máxima é 2,47

15.

a)

"" ex - _±_ - 4 = O ex

SOLUÇÕES

4 ± /16 - 4 x 1 x (-4) 4 ± 132 4 ± 412 "" Y = "" Y = "" Y= "" 2 2 2

"" y = 2 ± 212 "" ex = 2 + 2 12 V ex = 2 - 212 "" ex = 2 + 212 "" '-----v-----' Equação impossível

<ó X = ln (2 + 212)

Portanto, ln (2 + 212) é o único zero da função f

b) Na figura estão representados os gráficos das funções f e g y A abcissa do ponto A é ln (2 + 212) "'" 1,57

As coordenadas do ponto B podem ser obtidas com recurso à ferramenta adequada da calculadora. A área do triângulo [OAB] é aproximadamente igual a 1,57 X 2,83 _ 2 2 2 - ,

2,83 g

X

16. Para qualquer posição do ponto P, a altura do triângulo [AOP], relativa à base [OA], é a distância do ponto P ao eixo Ox, ou seja, é o valor absoluto da ordenada do ponto P. Então, a posição do ponto P para a qual a área do triângulo [AOP] é mínima é a que corresponde ao ponto aonde a função f atinge o seu máximo.

y A

-1 o 2 X

Recorrendo à calculadora, verifica-se que o máximo de f é aproximadamente -2,92

A área do triângulo é, portanto, aproximadamente, OA � 2,92 2 x 2,92 _ 2 92 2 ,

289


17. Tem-se /(O) = 7 e, portanto, as coordenadas do ponto A são (O, 7) Como a reta AB tem declive -2, a sua equação reduzida é y = -Zx + 7

A abcissa do ponto B é a solução positiva da equação /(x) = -Zx + 7 no intervalo [O, 10] Para resolver esta equação, recorremos à calculadora gráfica. Na figura está representado o gráfico da função f no intervalo [O, 10] e a reta de AB

y f

A

o

A abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas é 9,35

18. a) Se a nave transporta uma carga de 25 mil toneladas, então, no instante em que termina a queima

do combustível, a sua velocidade é V( 25) = 3 ln( 2255 +/6º0º ) "' 4,02 quilómetros por segundo.

b)

Dado que a velocidade da nave se mantém constante a partir do instante em que termina a queima do combustível, o tempo t que ela demora a percorrer 200 qui lómetros, a partir daquele instante, verifica a equação 200 = 4,02 t, donde t "' 50 Portanto, o tempo pedido é 50 segundos.

V(x) = 3 "" 3 ln( X + 300 ) = 3 "" ln( X + 300 ) = 1 "" X + 300 e "" X + 300 = e(x + 60) "" x + 60 x + 60 x + 60 "" x + 300 = ex + 60e "" x - ex = 60e - 300 .,,, x(l - e) = 60e - 300 .,,, x = 60� - 300 - e

Como 60 e - 300 "' 80 podemos concluir que a massa da carga transportada deve ser de 1 - e ' 80 milhares de toneladas.

19. Tem-se g(O) = ln k e g(k) = ln(k + k) = ln(2k)

290

g(O) x g(k) < O "" lnk x ln(2k) < O "" lnk x (ln 2 + lnk) < O "" (lnk)2 + ln 2 x lnk < O "" Y "" lnk

.,,, y2 + (ln 2 )y < O .,,, - ln 2 < y < O "" ln� < ln k < ln 1 .,,, � < k < 1 y = � k (� y = � k

Podemos, então, concluir que k E ]�, 1 [

Ili Como y2 + (ln 2 )y = O "" y(y + ln 2 ) = O "" y = O V y = - ln 2 e como a concavidade da função quadrática g, definida por g(y) = y2 + (ln 2 )y, é voltada para cima, o conjunto solução da inequação y2 + (ln 2 )y < o é ]- ln 2, o [


1.

a) T(0) = 25 + 48e-o,os x o = 25 + 48e0 = 25 + 48 = 73

b)

2.

a)

b)

lim T( t ) = lim (25 + 48e-o,OS t) = 25 + 48 e-00 = 25 + 48 x O = 25 t-----+oo t--->- +oo Interpretação: a água estava a 73º e quando começou a arrefecer; com o decorrer do tempo, a temperatura da água tende a igualar a temperatura ambiente.

( 11 ) ln ( ��) � -0,05 t = ln 48 � t = _0 05 pelo que t "' 29,4661 '

Como 0,4661 x 60 "' 28, é ao fim de 29 minutos e 28 segundos, após o início do arrefecimento, que a temperatura da água atinge os 36° Celsius,

N(O) - 2000 2000 = lO - 1 + 199 e-O,Ol x o 1 + 199

lim N( t ) = lim 2000 _ 2000 _ 2000 2000 t-+oo t-+oo 1 + 199 e-O,Olt 1 + 199 e-00 1 + 199 X O

Interpretação: o grupo que formou a associação desportiva era constituído por dez pessoas; com o decorrer do tempo, o número de sócios tende a igualar 2000,

N( t ) = lOOO � 2DOO - 1000 � 2000 = 1000(1 + 199 e-o,Ol t) � 1 + 199 e-O,Olt

� 2DOO = 1 + 199 e-O,Olt � 2 = 1 + 199 e-O,Ol t � 1 = 199 e-O,Olt � 1000

� _1_ = e-O,Olt 199 ( 1 ) ln ( 1 �9 ) � -0,0l t = ln 199 � t = -0 01 ' pelo que t "' 529,330

291

LIMITES, ASSÍNTOTAS, CONTINUIDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

Considerando que o primeiro dia é o da fundação da associação, a inscrição do sócio número 1000 ocorre no 530. 0 dia, como se mostra no esquema seguinte:

529 ,330 i

1 º dia 2º dia 1 530º dia 1 Instantes: O

Nota: se considerarmos que o primeiro dia é o dia a seguir ao da fundação da associação, a inscrição do sócio número 1000 ocorre no 529.0 dia.

3. Como o domínio de g é R+ e como a bissetriz dos quadrantes ímpares é uma assíntota do gráfico de g, tem-se que lim

g(x) = 1 x-+oo X

Portanto,

= lim ( g(x) ) x lim (1-) = l x O = O x-+oo X x-+oo X

Concluímos assim que o eixo Ox é assintota do gráfico de h

4. A função g é contínua em R, pois é produto de duas funções contínuas, a função f e a função definida por y = x . Podemos assim concluir que o gráfico de g não tem assíntotas verticais.

292

Por outo lado, tem-se que:

• lim g(x) = l im

x f(x) = lim f(x)= + oo x-+oo X x-+oo X x-+oo

(tem-se que lim f(x)= + oo pois a reta de equação y = x é assintota do gráfico de f, quando x - +oo) X-++oo

Portanto, o gráfico de g não tem assintotas não verticais, quando x - + oo

• lim g(x) = lim

x f(x) = lim f(x)= -oo x--oo X x--oo X x--oo

(tem-se que lim f(x)= - oo pois a reta deequação y = x é assíntota dográfico de f, quando x - - oo) x--oo

Portanto, o gráfico de g não tem assintotas não verticais, quando x - -oo Assim, o gráfico da função g não tem qualquer assintota.

SOLUÇÕES

5. Consideremos, de acordo com a sugestão, a função g : [ O, 1] � R, definida por g(x) = /(x) - /(x + 1 ) Tem-se que: • a função g é contínua em [O, 1] , uma vez que a função f é contínua • g(l ) = /(1 ) - /(1 + 1) = /(1 ) -/(2) = /(1) - 0 = /(1) > o

• g(0) = /(0) - /(0 + 1 ) = /(0) - /(1) = 0 - /(1 ) = -/(1 ) < 0

Portanto, pelo teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo menos um número real e no interva lo [O, 1 ] tal que g(c ) = O

Como g(c) = O <> /(e ) - /(c + l) = O <> /(e ) = /(c + l ) , podemos concluir que existe pelo menos um número real e no intervalo [O, 1] tal que /(e) = /(e + 1 )

6. Dado que a reta de equação y = x + 2 é assíntota do gráfico de g, tem-se

lim g(x) = 1

X->+ oo X e lim (g(x) - x) = 2

x_,.+oo

Tem-se, sucessivamente, x'

lim h(x) = lim g(x) = lim _x_ = lim -1- = 1

x-+oo X X--++co X x_,.+co g(x) X--++co g(x) -X-

e lim (h(x) - x) = lim ( x(2) - x) = lim

x2 -( �(x) x-+oo X--++oo g X X-•+oo g X

1. x(x - g(x)) 1m

x-+oo g(x)

= l im ((x - g(x)) x -(x ) ) = lim (-(g(x) - x) x -(

x ) ) = x_,_+oo g X x.-.+oo g X

= - lim (g(x) - x) x lim _(x) = -2 x 1 = -2 x-+oo X->-+oo g X

Portanto, a reta de equação y = x - 2 é assíntota do gráfico de h

7. Como lim (J(x)- 2x) = O, tem-se que a reta de equação y = 2x é assíntota do gráfico de f, X--++oo

pelo que lim /(x) = 2

X--++co X

Vem, então: lim g(x) = lim

f(x)+ x2 x-----+oo X x-----+oo X

= 2 + (+ co) = + co

Como lim g(x) = + co

x-.+oo X

lim ( /(x) + .i!__) = lim ( /(x) + x) = X-++co X X X_,_+oo X

podemos concluir que o gráfico de g não tem assíntotas oblíquas.

293


8.

a) A função h é contínua em ] -ao, O [ pois é quociente de duas funções contínuas. A função h é contínua em ] O, +ao [ pois é d iferença de duas funções contínuas. Vejamos se h é contínua no ponto O Tem-se:

e2x - 1 lim h (x) = lim �-� x_,_o- x_,.o- x lim _2�(e_z_x_-_1�) x-o- 2x

2x 1 = 2 x lim e - 2 x 1 = 2 x-o- 2x

lim h (x) = lim /x2 + 4 - x =f4- 0 = 2 x_,.Q " x_,_o+

lim (z x e2x - 1 ) = x-,o- 2x

Como h(0) = 2, concluímos que lim h(x) = lim h(x) = h(O) x_,_o- x_,_o+ Portanto, h é contínua no ponto O Concluímos, assim, que a função h é contínua em lR

b) Como a função h é contínua em JR, não existem assíntotas verticais.

Tem-se: 2x 1 lim h(x) = lim = e -X--+-00 X--+-CO X

e-oo - 1 = -=1_ = O - oo - 00

lim h(x) = lim (/x2 + 4 - x) = lim (rxz+4- x)(rxz+4+x)

X-++oo x-+oo x.-.+oo V x2 + 4 + X

= lim x2 + 4 - x2 = lim 4 - _4_ = O x-+00 I x2 + 4 + X X--++oo / x2 + 4 + X + 00

Concluímos, assim, que o gráfico de h tem uma única assíntota, que é a reta de equação y = O

9, A função g é contínua em lR pois é quociente de duas funções contínuas.

294

Como a função g é contínua em JR, o seu gráfico não tem assíntotas verticais.

lim g(x) = lim ex + 3 = lim (i + 3;) = 1 + O = 1 X->-+co x-+oo eX x-+oo e

Portanto, a reta de equação y = 1 é assíntota horizontal do gráfico de g

lim g(x) = lim ex + 3 = e-oo + 3 = _:3__ = + ao X--+-CO X->-00 e X e-oo o+

Portanto, o gráfico de g não tem assíntota horizontal, quando x � - ao

10.

SOLUÇÕES

Vejamos se tem assíntota oblíqua.

lim g(x) = lim ex + 3 = lim �+ lim -3- = lim 1- + 3 lim 1 = x ...... -00 X x--oo X eX X--+-CO X ex X-+-co X ex x--co X x--co X ex

-x IY � - xl y y = O + 3 lim !:é_ = 3 lim _1'_ = -3 lim L = -3 x ( + oo) = - oo X->-CO X y ...... +oo -y y-+co y

Portanto, o gráfico de g tem uma única assíntota, que é a reta de equação y = 1

a) Em JR:., apenas os números positivos têm logaritmo. Portanto, para que a expressão 2 + log3 x 2: 4 + log3 (x - 8) tenha significado, em JR:., é necessário que x > O e que x - 8 > 0

x > O /\ x - 8 > 0 <> x > 8 <> x E ] 8, + oo[

No intervalo ] 8, + oo [ , tem-se: 2 + log3 x 2: 4 + log3 ( x - 8) <> log3 x 2: 2 + log3 ( x - 8) <>

<> log3 x 2: log3 9 + log3 (x - 8) <> log3 x 2: log3 (9x - 72 ) <>

.,, x 2: 9x - 72 <> -8x 2: -72 <> x :S 9 Portanto, o conjunto dos números reais que verificam a condição dada é ] - oo, 9 ] n ] 8, + oo [ = ] 8, 9]

b) /(361000) - /(41000) = 2 + Jog3 (36 1000) - 2 - log3 (41000) = Jog3 (361000) - log3 (41000) =

= 1000 log3 (36) - 1000 log3 ( 4) = 1000(log3 (36) - log3 ( 4 )) = 1000 log3 ( 3: ) = 1000 log3 (9) = = 1000 X 2 = 2000

e) g (x) = x + /(x)= x + 2 + log3 x

A função g é contínua em JR.+, pelo que é contínua em [1, 3] Tem-se: • g(1) = 1 + 2 + log3 (1 ) = 1 + 2 + 0 = 3 • g(3 ) = 3 + 2 + log3 (3) = 3 + 2 + 1 = 6

Portanto, g(l ) .;; 5 .;; g(3)

Logo, o teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir que :J c E [1, 3 ] : g( e ) = 5

11. Tem-se /(x)= /(x + a) <> /(x)-/(x + a)= O

Portanto, mostrar que a condição /(x ) = /(x + a) tem, pelo menos, uma solução em [-a, O ] equivale a provar que a função definida por g(x) = /(x)- /(x + a) tem, pelo menos, um zero em [-a, O]

295


Tem-se: • g é contínua em [ - a, O J por ser a diferença de duas funções contínuas • g(-a) = f(-a) -f(-a + a) = f(-a) - f(O ) = f(a) - f(O) > O • g(O) = f(O ) - f(O + a) = f(O) - f(a) < O

Logo, o teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir o pretendido.

12. Dado que Dg = JR+, a reta de equação y = 2 x- l é assintota oblíqua do gráfico de g quando x - + oo. Concluímos daqui que lim g(x) = 2 x-+oo X

13.

a)

Portanto, lim h(x) = lim l - [g(x)J2 = lim [...L - [g(x)J2 ] = x-+oo x-+oo x2 x-+oo xZ x2

= lim [...L - ( g(x) )2] = O - 22 = -4. Assim, o gráfico da função h tem uma assintota horizontal, x-+oo x2 X que é a reta de equação y = -4

lim f(x)= lim ex-4 _ 3x + ll lim eY - 3(y + 4) + 11 = x-4- x-4- 4 - x y = x - 4 y-0 - y

= lim eY - 3y - 12 + 11 = lim eY - l - 3y = lim (- eY - 1 + 3 ) = -l + 3 = 2 y-o - y y-o - y y-o y

lim f(x)= lim ln (zex - e4) = ln (ze4 - e4) = ln (e4) = 4 x ...... 4+ x-4+

Dado que lim f(x)# lim f(x) , concluímos que a função f não é contínua em x = 4 x-4- x-4+

b) A reta de equação y = x + b, com b E lR, tem declive igual a 1

296

Tem-se: lim (f(x) - lx) = lim (ln (zex - e4) - x) = lim (ln (zex - e4) - ln ex) = x-+oo x-+co x-+co

= lim ln (z -�) = ln 2 x-+co eX

Portanto, b = ln 2

SOLUÇÕES

14.

a) Uma vez que a função f é contínua em ]-oo, -1[ e em ]1, + oo[, apenas as retas de equações x = -1 e x = 1 poderão ser assíntotas verticais do gráfico de f

lim _!(x) = lim _(1n( x - l1 J) = ln( -� ) = ln( +oo) = + oo

x--1 x--l X + O Portanto, a reta de equação x = -1 é assíntota vertical do gráfico de f

lim f(x) = lim (1n ( x - 11 J) = ln( 02+ ) = ln(o+) = - oo x- 1+ x- 1+ x + Portanto, a reta de equação x = 1 é assíntota vertical do gráfico de f

b) Seja A o ponto da reta de abcissa a e seja B o ponto da reta de abcissa -a

15.

Tem-se: A ( a, ln(�� i )) e s(-a, ln(=�� i )) 1 ( ª - 1 ) 1 ( -a - 1 )

O declive da reta AB é igual a n a+T - n -a + 1

a - (-a)

ln( ª - l ) - ln( -a - 1 ) a + l -a + l ( a - 1 ) ( -(a + 1 ) ) ln a+T - ln -(a - l ) ln(�)- ln(�)

a - (-a) ln ( a - 1 x a - 1 ) a + l a + l =-��--�� 2a

ln( ª - 1 )2 a + l 2a

2a - 2a 2 ln( ª - 1 ) a + l ln ( a - 1 ) a + l

2a a

A equação reduzida da reta AB é, então, da forma 1 ( a - 1 )

y = n a+T x + b a

Como o ponto A( a, ln(�� i ) ) pertence à reta, tem-se:

1 ( a - 1 ) ln( ª - 1 ) =

n a+T x a + b,,,, 1n( ª - 1 ) = 1n( ª - 1 ) + b <> b = O a + l a a + l a + l Como b = O, a reta passa na origem do referencial.

a) 24 = �O� :-�O��; ., 24(1 - e-D,003n) = 1,8 .,

<> 1 - e-D,003n = 1,8 ., e-D,003n = lZ_ ., -O 003 n = ln (R) ., 24 40 ' 40 ln(fo-)

<> n = -0 003 ' Portanto, n "' 26 Logo, o empréstimo é pago em 26 meses.

297

b)


lim 600x x----- 0 1 - e-nx

600 (-L) lim n y-0 1 - eY

]. -600y lffi -y-on (l - eY)

= - 600 lim-Y-= 600 lim-Y- = 600 lim 1 n y-Dl - eY n y-DeY - 1 n y-o eY - 1

= 600 X 1 = 600 n n

y

l ntemretacão: Quando a taxa de juro tende para zero, a prestação mensal tende para o quociente entre o valor do empréstimo e o número de prestações mensais.

16. Tem-se g( X) = X + 1 <> g( X) - X - 1 = o

298

Portanto, mostrar que a condição g( x) = x + 1 é possível em [a, g( a)] equivale a provar que a função definida por h( x) = g( x) - x - 1 tem, pelo menos, um zero em [a, g( a)]

Tem-se:

• h é contínua em [a, g( a)], por ser a diferença de duas funções contínuas

• h(a) = g(a) - a -l > O

• h(g(a)) = g(g(a)) - g(a) - l = a - g(a) - 1

Como g(a) > a + l, vem -g(a) < - a - 1, donde a - g(a) < -1, pelo que a - g(a) - 1 < -2, donde vem h (g(a)) < O

Logo, o teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir o pretendido.

1.

a)

b)

2.

( x + 1 J f'(x) = X

x +l X =

1 1 --x2 x + l X

Derivadas

x2 - 1 x2 = x2 - 1

x2 + 1 x(x2 + 1) X

Como o domínio da função f é, de acordo com o enunciado, JlC+, tem-se que f'(x) = O <> x2 - 1 = 0 f\ x > O <> x = l

X o 1 +oo f' n.d . - o + f n.d . ' mín. !' n.d. - não definida

Concluímos assim que f é decrescente em ] O, 1 ] e crescente em [ 1, +oo[ Concluímos também que /( 1) é o único mínimo de f

( x +l ) lim (!( x ) - lnx) = lim [in(x + l) - lnx] = lim ln __ x =

x_,_+co x-----+oo X X-++oo X

lim (in(1 +-\)) = ln(1 + 0 ) = 0 X-++oo X

a) /(x) = O <> 2 x- x lnx = 0 <> x(2 - lnx) = 0

b)

Como x não pode ser igual a O, vem 2 - Jnx = O, ou seja, lnx = 2, pelo que x = e2

lim /(x) = lim (2 - lnx) = -oo x_,_+oo X x-.+oo

Logo, o gráfico de f não tem assíntotas não verticais.

e) f' ( x) = 2 - ( lnx + x . � ) = 1 - lnx

Como f'(1 ) = 1 e /(1 ) = 2, uma equação da reta r é y = x + l Esta reta intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada 1 e intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa -1. Área do triângulo [ AOB] = 1� 1 = �

299

DERIVADAS

3. Uma função quadrática g é uma função definida por uma expressão do tipo

4.

a)

g(x) = ax2 + bx + c, com a i" O

Um ponto ( x, y) do gráfico de g onde a reta tangente, nesse ponto, é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares é um ponto tal que g' ( x) = 1 Como g'(x) = Zax + b, vem g'(x) = l "" 2ax + b = l

Dado que, sendo a 7' O, esta equação tem uma e uma só solução, que é 12-ah podemos concluir

que o gráfico de g admite um e um só ponto nas condições do enunciado.

h'(x) = -l + (x + l)' = -1 +-1- = --=L x + l x + l x + l

h'(x) = O "° x = O

X -1 o

h' n.d . + o -h n.d. í' máx. \.

Podemos, assim, concluir que: • h é crescente em ]-1, O ] • h é decrescente em [O, +oo[

+oo

n.d. - não definida

• h tem máximo relativo para x = O, que é h(0) = 4 - 0 + In(1) = 4

b) Tem-se h(5) = 4 - 5 + In (6 ) "' 0,79 e h(6) = 4 - 6 + ln(7 ) "' -0,05

5.

a)

300

Como a função h é contínua em todo o seu domínio, também o é no intervalo [ 5, 6] Como a função h é contínua no intervalo [5, 6] e como h(5) > O e h( 6) < O, podemos concluir, pelo teorema de Bolzano-Cauchy, que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo [5, 6]

ex (x - 1 ) - ex ex (x - 2 ) (x - 1)2

-(x - 1 )2

f'(x)

f'(x) = O *> x = 2

X -CQ 1 f' n.d. f \. n.d.

.__ __

j__ ____ ___j. __ __, ___ ,

__ _j__m_�_ín-.

--'--:---

+

-

oo

_ _,I o.d. - oão defloido

SOLUÇÕES

Podemos, assim, concluir que: • f é decrescente em ]-oo, 1 [ e em ]1, 2 ] • f é crescente em [ 2 , +oo[ • f tem mínimo relativo para x = 2

b) O domínio da expressão ln( x e: 1 ) é ]1, +ao[

Para x > 1, tem-se: ln(/:"1 ) = x '"' ln(ex) - ln(x - 1 ) = x '"'

'"' x - ln(x - 1) = x '"' ln(x - 1) = 0 '"' x - 1 = 1 '"' x = 2

c) Tem-se que lim /( x) = +oo e lim /( x) = -oo x-1+ x ..... 1-

Portanto, a reta de equação x = 1 é assíntota vertical do gráfico de f Como f é contínua em lR\{ 1 }, podemos concluir que não existem outras assíntotas verticais do gráfico de f

Como lim /( x) = +oo, podemos concluir que não existe assíntota horizontal do gráfico de f, X -++oo quando x -+ao

Como lim /(x) = O, podemos concluir que a reta de equação y = O é assíntota horizontal do x_,_-co

gráfico de J, quando x - -ao

6.

a) Como f é uma função contínua em todo o seu domínio ]1, +oo[, só a reta de equação x = 1 poderá, eventualmente, ser assíntota vertical do gráfico de f Tem-se lim /(x) = lim [x+ xln(x - 1 )] = 1 + 1 x ln(o+) = 1 + (-oo) = -oo X--+1'' X-+1 +

Portanto, a reta de equação x = 1 é assíntota vertical do gráfico de f

Por outro lado, tem-se: lim /(x) = lim x + xln(x - 1) x-+oo X x-+oo X

[ xln(x - 1) ] = lim .K + = lim [1 + ln(x - 1 )] = +oo X-++oo X X X-++oo

Portanto, o gráfico de f não tem assíntotas não verticais.

301

DERIVADAS

b) Para se determinar a área de um trapézio, é necessário conhecer as bases e a altura.

7.

a)

b)

8.

A base maior é RQ . Tem-se que RQ = abcissa de Q = 2

A altura é OR . Tem-se que OR = ordenada de Q = f(2) = 2 + 2 x ln(1 ) = 2

A base menor é OP . Tem-se que OP = abcissa de P

Com vista a determinar a abcissa de P , determinemos a equação reduzida da reta r

O declive desta reta é f' ( 2 )

Tem-se que f'(x) = 1 + 1 x ln (x - 1 ) + x x xJ.. 1 , pelo que f'(2 ) = 3

Como a reta r passa no ponto Q(2, 2 ) e tem declive 3 , a sua equação reduzida é y = 3x - 4 . Ora, 3x - 4 = O .,, x = 1 . Portanto, a abcissa de P é 1

A área do trapézio é, assim, 4 2 + 3 10 --X 2 =-

2 3

f(x) = O .,, 1 - ln(x2 ) = 0 .,, ln(x2 ) = 1 .,, x2 = e .,, x = ±Ve

Os pontos de intersecção do gráfico de f com o eixo Ox são (!e, O ) e (-!e, O )

Tem-se que f'( x ) = - 2; = _1_, pelo que f' não tem zeros. X X

A função é crescente no intervalo J-oo, o [ e é decrescente no intervalo ]o, +oo[ A função não tem extremos relativos.

al) Como f é uma função contínua no intervalo J ü, 1 [ e no intervalo ]1, +oo[, só as retas de equações x = O e x = 1 poderão, eventualmente, ser assíntotas verticais do gráfico de f

302

Tem-se lim f(x) = lim -1 x =_O_ = O x_,.o+ x_,.o+ nx -oo

SOLUÇÕES

Portanto, a reta de equação x = O não é assíntota vertical do gráfico de f

Tem-se lim /(x) = lim -1 x =�=-ao x-1- x-1- nx O

Portanto, a reta de equação x = 1 é assintota vertical do gráfico de f

Vejamos agora se o gráfico de f tem assíntota não vertical.

lim /( x) = lim xeZ-x = lim e2-x = e-00 = O x-+co X x__,.+oo X X--->-+co

lim [/(x) + O . x] = lim f(x) = lim (xeZ-x) 00;'º x-+co x-+co x-+co

= lim _x_= lim x x-+oo ex-2 x---+co ex . e-2

= O x -1-= 0 e-z (note que lim �=+ao)

X--->-+co X

Portanto, o gráfico de f tem uma assíntota horizontal, de equação y = O a2) Como f é uma função contínua no intervalo ]1, +ao[, também é contínua no intervalo [ 4, S] , pelo

que a função g definida por g( x) = /( x) + J( e-1) também é contínua neste intervalo.

g( 4) = /(4) + /(e-1) = 4e-2 +�=_±_+ e-l =_1__1_= 4 - e ln e-1 e2 -1 e2 e e2

Como e "' 2,7, tem-se que 4 > e, pelo que 4-; e > O e

Como e "' 2, 7, tem-se que 5 < e2 , pelo que 5 -3e2 < O

e

Dado que g( 4) > O e g(S ) < O e dado que g é contínua em [ 4, S] , o teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir que 3xE [4, S] : g(x) = 0, ou seja, 3x E [4, S ] : /(x) + J(e-1 ) = 0

a3) No intervalo ] o, 1 [ tem-se:

1 , l x lnx - x x -f'(x) = ( ,;x ) = (inx)2

x lnx - 1 (lnx )2

Como, Vx E ]0, 1 [ , lnx < O, vem que Vx E ]0, 1 [ , f'(x) < O , pelo que a função/ é estritamente decrescente neste interva lo.

303

DERIVADAS

b) No intervalo ]1, +oo[ tem-se

9.

f' ( x) = ( xe2-x)' = 1 x e2-x + x x (-e2-x) = e2-x - x . e2-x

f' ( 2 ) = e2-2 - 2 e2-2 = 1 - 2 = 1

Portanto, o declive da reta r é -1

Como a reta s passa na origem d o referencial e é paralela à reta r, uma equação da reta s é y = - x

N a figura está parte d o gráfico d a função f, parte da reta de equação y = -x, bem como o ponto de intersecção e as respetivas coordenadas (obtidas com recurso à calculadora). O ponto pedido tem coordenadas (0,37; -0,37)

e

s

a) A função C é contínua em [ O, +oo[ e, portanto, é contínua em [ O, 15] Tem-se, também, que: C( 0) = 0,5 X 0 2 X e-0,lxO = 0 C(15 ) = 0,5 X 152 X e-O,lxlS "" 25,102

y

X

Como a função C é contínua em [ O, 15] , e como se tem c(o) < 13 < C(lS) , podemos concluir, pelo teorema de Bolzano-Cauchy, que :Jt E [O, 15 J : C( t ) = 13

Portanto, durante os primeiros 15 minutos após a colocação do produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi 13 gramas por litro.

b) C' ( t ) = 0,5[ ( t2 )' e-0·1 ' + t2 ( e-o.l t )'] = 0,5( 2 t e-o,l t - 0, 1 t2 e-0,H)

10.

C'( t ) = O <> 0,5(2 te-O,l t _ O,l t2e-O,l t) = 0 <> 0,5 te-0,1 t (2 - 0,1 t) = 0 <>

<> t = O V 2 - O,l t = O <> t = O V t = 20

t o 20 +oo C' o + o -

e mín. /' máx. '

O valor de t para o qual a concentração do produto químico na água é máxima é 20

a) /(30) - f(0 ) "" 22,2

304

SOLUÇÕES

b) f' ( x) = 5 [ ( el-0,lx)' + ( eO,lx-1 )'] = 5 (-0,1 el-0,lx + eO,lx-l) = -0,5 el-0,lx + 0,5 eO,lx-1 f' ( x) = o .,,,, -0,5 el-0,lx + 0,5 eO,lx-l = 0 .,,,, el-0,lx = eO,lx-1 .,,,,

"" 1 - 0,lx = O,lx - 1 "" 0,2x = 2 "" x = 10

X o 10 30 f' - o +

f '. mín. /

Conclusão: a distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próximo do solo é de 10 metros.

e) 5(e1-0,1x + eO,lx-l ) = 15 "" el-0,lx + eO,lx-l = 3 .,,,, el-0,lx + e-(1-0,lx) = 3 ""

"" el-O,lx + ( el-O,lxf 1 = 3 "" (escrevendo y = el-O,lx) "" y + y-1 = 3 "" y + 1-= 3 "" y2 + 1 = 3y "" y2 - 3y + 1 = 0 ""

y

"" y = 3 ±215 "" el-0,lx = 3 ±215 "" 1 - O,lx = ln ( 3 ±215 ) ""

ln ( 3 ±215) - 1 "" X = -O 1 Logo, X "' 0,376 V X "' 19,624 , As distâncias ao primeiro poste dos pontos do fio que se encontram a 15 metros do solo são: 0,4 metros e 19,6 metros.

11.

a) Do enunciado, vem que 1(20) = � 1(0)

Tem-se, então: 1(20) = � 1(0 ) "" ae-20h = � a .,,,, e-20b = � ""

"" -2ob = lnn ) "" -20 b = ln(1) - 1n(2) "" -2ob = - ln(2) ""

"" 20 b = ln(2) "" b= ln2�)

Portanto, b "' 0,03

305

DERIVADAS

b) Estudemos então a função, de domínio [ O, +oo [, definida por I( x) = lOe-o,osx

12.

a)

306

Monotonia: Tem-se I' ( x) = (10e-O,OSx)' = lO(e-O,OSx)' = 10 x (-0,05) x e-o,osx = -O,se-o,osx

Como e-o,osx > O, \ix E [ O, +oo [, vem que [' ( x) < O, \ix E [ O, +oo [

Portanto, a função 1 é estritamente decrescente em [ O, +oo [

Assíntotas: Sendo a função I contínua, no intervalo [ O, +oo [ , o seu gráfico não tem assíntotas verticais. Tem-se

lim I(x) = lim (10e-O,OSx) = 10e-00 = 10 x 0 = 0 x-+oo x-+oo

pelo que a reta de equação y = O é assíntota do gráfico da função, quando x � +oo

Como o domínio da função l é [ O, +oo[, não faz sentido calcular lim 1( x) X--+-oo

Conclusão: o gráfico da função 1 tem uma única assíntota, que é a reta de equação y = O

l nteroretacão: com o aumento da profundidade da água do mar, a intensidade da luz solar vai diminuindo e tendendo para zero.

Como f é contínua em x = -1, tem-se lim /( x) = lim /( x) = /(-1 ) x--1- x--1+

Como lim /(x) = lim /(x), vamos calcular apenas um destes limites. x--1- x--1+

f(-1 ) = a + 2

lim J(x) = lim ( x + l 1 + 1) = l y = x + l I x--1- x--1- 1 - ex+ (%)

lim (-Y- + 1) = lim ( 1 + 1) =_1_1 + 1 = 0 y-o- 1 - eY y-o- _ eY - 1 -y

Então, a + 2 = O, ou seja, a = -2

SOLUÇÕES

b) Para x E ] O, 1 [, tem-se:

13.

a)

f' x = ( x + l + l)' = ( x + l )' = ( x + 1)' (1 - ex+1) - (x + 1)(1 - ex+l)' ( ) 1 - ex+l 1 - ex+l (1 - e"+1)2

l + x ex+l (1 - ex+l )2

Ora, como f' é contínua no seu domínio, também é contínua em [o, 1 ]

Tem-se, por outro lado, f' ( 0) = 1 + 0 X eO+l = 1 "' 0,34

(1 - eo+1)2 (1 - e)2

f'(l ) = 1 + 1 x e1+1 (1 - el+l )2

Como f' é contínua em [O, 1 ] , f' (O) > ! e f' ( 1 ) < ! , o teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir o pretendido.

Jim f(x) = f(2 ) = 1 33 x_,_z+ n

2-x 1 lim f(x) = lim e Z x_,.z- x_,.z X - -

(%) (fazendo y = 2 - x)

_ 1. eY - 1 _ 1. ( eY - 1 ) - 1 - 1m-- - 1m --- --y-o -y y-o y

A reta de equação x = 2 não é assíntota vertical do gráfico. Como a função é contínua em [O, 2 [ e em ]2, + oo[, podemos concluir que o seu gráfico não admite assíntotas verticais.

b) f é contínua em [O, � ] por ser o quociente de funções contínuas.

f(D ) = e�Zl "' -3,19 < -3

2-1- 2 1(1..) = e z - 1 e 2 3 1 "' -2,32 > -3

2 1.. _ 2 2 2 Logo, pelo teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo menos um objeto em [O, � ] cuja imagem é -3, ou seja, a equação f( x) = -3 tem, pelo menos, uma solução em [O, � ]

307

DERIVADAS

e) Seja x E ]2, +ao[

14.

( 1 )' (X + 1 )' ln (X + 1 ) - (X + 1 J(!n (X + 1 l)' f'(x) = x + =------��--� ln(x + l) (tn(x + 1))2

ln(x + l ) - (x + l )xh _ ln(x + l ) - 1 (1n(x + 1))2

-(1n(x + 1 ))2

'( ) ln(x + l ) - 1 f X = 0 <> 2 (1n(x + 1 )) O <> ln(x + l) - 1 = 0 ""

"" ln(x + l ) = l "" x + 1 = e "" x = e - 1

Como e - 1 < 2, f' não tem zeros em ] 2, +ao [ Tem-se que f' é sempre positiva em ] 2, +ao[, pelo que f é estritamente crescente nesse intervalo.

a) FB = 4 - x

b)

Pelo teorema de Pitágoras, BC2 = x2 + 22, ou seja, BC = / x2 + 4 Portanto, p( X) = 3 ( 4 - X) + 5 V x2 + 4 = 12 - 3x + 5 V x2 + 4

p'(x) = -3 + 5 x � = -3 + � 2 x + 4 x2 + 4

p'(x) = O "" �=3 <> 5x = 3Vx2 + 4 · "" 25x2 = 9(x2 + 4) "" x2 + 4 pois x::::>: O

X o _1 4 2 p' - o + p \. mín. /

O valor de x para o qual o preço de colocação da conduta é mínimo é 1,5 (em quilómetros).

15. f tem derivada finita em todos os pontos de R pelo que é contínua em lR

308

Dado que f é estritamente crescente em JR-, estritamente decrescente em ]R+ e contínua em R conclui-se que /(O) = -1 é máximo absoluto de f Portanto, /( x) :S -1, 'v'x E JR,

Consequentemente, g( x) = [!( x) J2 2: 1, 'v'x E lR

Como g( O) = [!( O) ]2 = ( -1 )2 = 1, conclui-se que 1 é o mínimo absoluto de g

SOLUÇÕES

16. Os declives das retas r e s são, respetivamente, iguais a /'(a) e a f' ( b ) Dado que f é uma função crescente, tem-se que f' (a) ?_ O e f' ( b ) ?_ O

Logo, não é verdade que f'(b ) = - f'(a) As retas r e s não podem, assim, ser perpendiculares.

17.

a) Como /'( 1 ) = 1+{n 1 - 1 e como /( 1 ) = O, uma equação da reta tangente a o gráfico de /, no ponto de abcissa 1, é y = x - 1

b) Como o valor de f' ( 1 ) é finito e como toda a função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto, podemos concluir que f é contínua para x = 1

e)

18.

Tem-se que 1- . x - (l + lnx)

/"(X) = �x ___ _ x2

/"(x) = O <=> x = l

X o 1 f" n.d. + o f n.d. \__) p.i.


-

- lnx xz

+ao

n

Portanto, o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em ]o, 1] e voltada para baixo em [ 1, +ao[, tendo um ponto de inflexão.

a) x�oo /( x) = x�llloo x � 1 = O, pelo que a equação da assíntota horizontal é y = O

Determinemos a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e :

·( 2 + lnx )' = (2 + lnx)'x - (2 + lnx)x' X X2

1 - 2 - lnx - 1 - lnx = xZ xZ

f'(e) = - 1 - ln e ez

2 ez

1-x x - (2 + lnx) X -xZ -

309

DERIVADAS

Deste modo, a equação da reta é do tipo y = _ _f_ x + b ez

Como f(e) = 2 + lne = -ª-, tem-se -ª- = -l x e + b e e e ez Portanto, b = ii e A equação da reta é: y = _ _f_ x + ii ez e

Determinemos o ponto de intersecção desta reta com a reta de equação y = O

O ponto P é ( 52e , O)

b) O problema pode ser equacionado por f( x) = x3 Esboçados, na janela de visualização (-5, 5 ] X (-5, 5 j, os gráficos da função f e da função g definida por g( x) = x3, obtém-se:

f

y g

f X

Os pontos A e B são os pontos de intersecção dos gráficos de f e de g

Tem-se: A(l,12; -1,41) e B(l,22; 1,80)

19. O processo mais usual para determinar a abcissa de um ponto de inflexão do gráfico de uma função é procurar um zero da segunda derivada onde exista mudança de sinal, isto é, onde a segunda derivada passe de positiva a negativa ou de negativa a positiva. Como sabemos, do enunciado, que o gráfico de f tem um, e um só, ponto de inflexão, tal significa que existe apenas um zero de f" onde esta função muda de sinal. Só temos de o encontrar.

310

Como f'(x) = (x + l)ex - 10x, tem-se:

f"(x) = ((x + l)ex - 10x} = = ex + ( x + 1 )ex - 10 = ( x + 2 )ex - 10

Na figura está representada uma parte do gráfico de f", obtido na calculadora, bem como um valor aproximado do seu zero. A abcissa do ponto de inflexão do gráfico de f, arredondada às décimas, é 1,2

1 , 1 5

SOLUÇÕES

20. Tem-se que f(x) = x" , donde f'(x) = ax"-1 pelo que f"(x) = a(a - l) x"-2

21.

a)

Estudemos agora o sinal de f" Como, do enunciado, se tem que o domínio da função f é R+, vem que x E R+, pelo que x"-2 é positivo. Como, do enunciado, se tem que a E ] o, 1 [, vem que a é positivo e que a - 1 é negativo. Portanto, o produto a( a - 1 )x"-2 é negativo. Como, para qualquer X pertencente ao domínio de f, se tem f" (X) < 0 , a concavidade do gráfico de f está voltada para baixo.

lim e( t) = lim (ue-0•3 ') = lim ...1.L t---+co t-++oo t-+oo eü,3 t

Seja x = 0,3 t . Tem-se então que t = 0x

3 '

Vem, então: 2x

l im ...1.L = lim _Qd_ = lim ---ª-- = t-+oo e0,3t X--++oo eX x--+oo Ü,3 ex

Interpretação: com o passar do tempo, a concentração do medicamento no sangue do Fernando tende para zero.

b) c' ( t ) = (2 trº·3')' = (2 t)' e-0•3 ' + 2 t(e-0•3 ')' =

= 2 e-0•3' + 2 t(-0,3 e-o,3t) = 2 e-o,3 t - 0,6te-0•3 ' = = e-o,3t (2 - 0,6 t)

c'( t ) = O '"' e-0•3 ' (2 - 0,6 t) = O '"' 2 - 0,6t = O

t o 10 3 +oo

C' + + o -e o j' máx. \.

311

DERIVADAS

Concluímos que a função C atinge o valor máximo quando t = 13º

Como 13º = 3 + � e como a terça parte da hora corresponde a 20 minutos, a concentração máxima foi atingida três horas e vinte minutos após a toma do medicamento.

Como o medicamento foi tomado às 9 horas da manhã, a concentração máx'1ma foi ating'1da às 12 horas e 20 minutos.

22. A função f é contínua em lR, pelo que o seu gráfico não tem assíntotas verticais.

312

Quanto à existência de assíntotas não verticais, tem-se:

• lim f(x) = lim 3 + 4x2e-x

x-----+oo X x ...... +co X

= lim (l + 4xze-x ) = lim (l +4xe-x) = x-.+oo X X X-++oo X

= Jim (J_ + 4 X -"-) = 0 + 4 X 0 = 0 X-++oo X ex

• lim [f(x) - O x x] = lim f(x) = lim (3 + 4x2e-x) = x-+oo x_,.+oo X-++co

•

= !im (3 + 4 X �) = 3 + 4 X 0 = 3 X-++oo eX

Portanto, a reta de equação y = 3 é assíntota do gráfico da função f

lim f(x) = lim 3 + 4x2e-x = x -•-oo X X-+-oo X

= lim (l + 4xze-x ) = lim (l +4xe-x) = X--+-oo X X X_,.-oo X

= O + 4 X (-oo) X e+oo = 4 X ( -oo) X ( +oo) = -oo

Portanto, o gráfico da função f não tem assíntota não vertical, quando x �-oo

Conclusão: a reta de equação y = 3 é a única assíntota do gráfico da função f

SOLUÇÕES

f'(x) = O "" e-x (sx- 4x2) = 0 "" 8x - 4x2 = 0 "" "" 4x(2 - x) = 0 "" x = O V x = Z

1 � -()()

+ í'

+oo

Portanto, a função f tem um único mínimo relativo que é igual a 3 (!(O ) = 3 )

e) g(x) = O "" x + ln[f(x) - 3] = 0 "" x + ln(3 + 4x2e-x - 3 ) = 0 ""

"" x + ln(4x2 e-x) = 0 "" x + ln(4x2) + ln(e-x) = 0 ""

"" x + ln(4x2) - x = 0 "" ln(4x2) = 0 "" 4x2 = 1 "" x2 = 1_ "" 4

23.

1 1 <* X = -- V X = -2 2

O domínio de g é JR\ {O} e, portanto, a função g tem dois zeros: - � e �

a) O declive da reta r é f'(Z) . O declive da reta s é f'(b)

Como as retas r e s são paralelas, tem-se f'(b) = f'(Z )

Portanto, uma equação que traduz o problema é f'(x) = f'(z)

Tem-se f'(Z ) = 2 2 - 4 x 2 + _2_ - 4 ln 1 = 4 - 8 + _2_ =1_ 2 2 2 Portanto, f'( x) = f'(Z) "" f'( x) = �

Temos, portanto, de resolver a equação f'( x) = �

Recorrendo à calculadora, podemos visualizar o gráfico de f' e a reta de equação y = �

Como era de esperar, 2 é uma das soluções da equação f'(x) = �

A outra solução é b

Portanto, b "' 4,14

y

1 2 o X

313

b)

24.

DERIVADAS

Tem-se f"(x) = [x2 - 4x + 2- - 4 Jn (x - 1J]' = 2x - 4 --4-2 x - 1 Como X e ) 1, +oo [ , tem-se:

2x - 4 - -4-= 0 "" (2x - 4)(x - 1 ) - 4 = 0 "" x � l pois x-1#0

"" 2x2 - 2x - 4x + 4 - 4 = O "" 2x2 - 6x = O ""

"" x(2x - 6 ) = 0 "" 2x - 6 = 0 "" x = 3 pois x#oO

Como o único zero da segunda derivada é 3, é esta a abcissa do ponto de inflexão.

a) Como a função f é contínua em ) -oo, o [ e em ) o, +oo[, só a reta de equação x = O pode, eventualmente, ser assíntota vertical do gráfico de f

Tem-se:

lim f(x) = lim �x-l x_,_o- x-o- e x � 1

1 = ----�--4 X lim e4x - 1 Y � 4x

x-o- 4x

o ex-1 o lim -�X __ x-o- e4x - 1 X

1 4 ] . eY - 1 X Iill ---y-o- y

lim f(x) = lim (xlnx) Oxoo

x-o+ x_,_Q+

] . ex -1 1m --x---- o- X lim e4x - 1 x_,_o- x

1 1 -- -4 x 1 4

!y = ; 1 ln(1-)

= lim [1_ ln(1-)] = lim y lim -lny = O y-.+oo Y y-+oo Y Y y-+oo Y

Como ambos os limites laterais são finitos, pode concluir-se que a reta de equação x = O não é assíntota do gráfico de f. Portanto, o gráfico de f não admite qualquer assíntota vertical .

b) Tem-se, para x e J O, e J :

314

g'(x) = (f(x) - x + In2x)' = (xlnx - x + (Inx)2)' =

= 1 x lnx + x x .1 _ 1 + 2 x lnx x .1 = Inx + 2 lnx X X X

g'(x) = O "" lnx + 2 lnx = Ü "" xlnx + 2 lnx = 0 "" xlnx + 2 lnx = 0 "" X X

"" (x + 2 )lnx = 0 "" lnx = O "" x = l

SOLUÇÕES

e + + I' máx.

Portanto, g é decrescente em ] O, 1 ] e crescente em [ 1, e], atingindo um mínimo relativo para x = 1 e um máximo relativo para x = e

c) Ta l como as figuras abaixo ilustram, para qualquer posição do ponto P, a altura do triângulo [ ABP], relativa à base [ AB ], é dada, em função da abcissa x do ponto P, por 1 g(x) 1

y y g B

o X o

AB x l g(x) I Então, a área do triângulo [ ABP] é dada por 2

Vem: 3 l g(x) I 2 1 <> � l g(x) l = l <> l g(x) I = �

3 l g(x) I 2

B X

Na figura estão representados o gráfico da função definida por y = 1 g(x) 1 e a reta de equação y = � , bem como os pontos de intersecção destas duas linhas.

y

2 3 o 0,31 0.61 1,56 2,52 X

Também se indicam as abcissas destes pontos, arredondadas às centésimas. Assim, as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ ABP] é 1 são: 0,31, 0,61, 1,56 e 2,52

Nota: para x > 2,52, as funções g e g' são positivas, pelo que, para x > 2,52, tem-se que 1 g(x) 1 = g( x) e tem-se que g é estritamente crescente; portanto o problema não tem outras soluções para além das

referidas.

315

25.

a)

DERIVADAS

lim /(x) = lim 3\ = - 32 lim }x = _l lim _Y_=

x- o- x-0- 1 - e x x-o- e x - l l y = 2xl 2 y-o- eY - 1

= - l lim 1 2 y-o- eY - 1

y

3 1 3 -- X- =--2 1 2

3 _]_ lim /( x) = /(O) "" -- = ln k "" k = e 2 x-o- 2

b) Para x > O tem-se: f'(xJ = (� - ln( x�1 ))' = (�)' - (ln( x:\ ))' =

26.

1 2

6x )' (x+r 6x

x + l

1_ _ 1 2 x(x + 1 )

( 6x )' X ( X + 1 ) - ( 6x) X (X + 1 )'

1 2

(x + 1)2 1 ----��----- = 6x 2

x2 + x - 2 2x(x + l )

x + l

Para x > O tem-se: /'(x) = O "" x2 + x - 2 = 0 "" x = l

X o 1 +oo

f' - o + f " mín. /

6 X (x + 1 ) - 6x 6x(x + l )

Concluímos então que /( 1 ) é um extremo relativo da função f no interva lo ] O, +oo [

Como /(1 ) = � - ln 3 = lnet - ln 3 = lnve - ln 3 = ln( 1} concluímos que ln(".{ ) é um extremo relativo da função f no intervalo ] o, +oo[

a) Comecemos por estudar as assíntotas verticais do gráfico de f

316

Como f é contínua no seu domínio ] -oo, O [ , a única candidata a assíntota vertical é a reta de equação x = O

( ln(-x) ) ln(o+) Tem-se: lim /( x) = lim x - 1 + = O - 1 + _ x_,_o- x_,.o- x O

= -1 + �00 = -l + (+oo) = +oo

Concluímos assim que a reta de equação x = O é a única assíntota vertical do gráfico de f

SOLUÇÕES

Vejamos agora se existe assíntota não vertical do gráfico de f, quando x - -oo ln(-x) A observação da expressão f( x) = x - 1 + sugere-nos aplicar diretamente a definição de X

assíntota não vertical para verificar se a reta de equação y = x - 1 é, ou não, assíntota oblíqua do gráfico de f

ln(-x) Tem-se lim (f(x) - (x - 1)) = lim x--oo x--oo X

= - lim ln(y) = O y-+co Y

lim ln(y) = Y=-X y-+oo �y

Portanto, como lim (!( x ) - ( x - 1 )) = O, concluímos que a reta de equação y = x - 1 é assíntota x--oo

oblíqua do gráfico de f, quando x - -oo

b) A função f é contínua no seu domínio ] -oo, O [

e)

Como [-e, -1] e J-oo, O [ tem-se que f é contínua em [-e, -1]

Tem-se ainda J(-e) = - e - 1 + ln(-(-e )) = - e - 1 - 1. que é inferior a -e -e e

ln(-(-1)) f(-1 ) = -1 - 1 + _1 - -2 que é superior a -e

pelo que f(-e) < - e< J(-1 )

Assim, como f é contínua em [-e, -1] e f(-e) < - e< f(-l ) , podemos concluir pelo teorema de Bolzano-Cauchy que a equação J(x) = - e tem, pelo menos, uma solução em [-e, -1]

ln(-x) ln(-x) Tem-se g(x) = -x + J(x) = - x+ x - l + = -1 + -�� X X

ln(-x) Portanto, a função g é definida em ] -oo, O [ por g( x) = -1 + -�� X

Para estudar a monotonia de g, determinemos a sua função derivada:

g'(x) = (- l + ln(-x) )' = (ln(-x))' x - ln(-x)x' X x2

�x - ln(-x) 1 - ln(-x) x2 x2

Determinemos os zeros de g' 1 - ln(-x) Para x E ]-oo, O [ tem-se: g'(x) = D "" - O "" x2

317

!

27.

a)

318

DERIVADAS

"" 1 - ln(-x) = O "" ln(-x) = l "" - x = e "" x = - e

Estudemos o sinal de g'

Para X E ]-ao, 0 [ tem-se: 1 - ln(-x) g'(x) > O "" 2 > O <> X "" 1 - ln(-x) > O "" ln(-x) < l "" -x < e "" x > - e "" x E ] - e, O [

Consequentemente, g'(x) < O "" x E ] -ao, - e [

Organizemos toda a informação numa tabela:

1 >---� ---+---1 -

ao

-\. -1--1 m:---+-: 1-:----+--I :___,º: l o.d. - o5o "'"'"

Podemos, assim, concluir que: • g é decrescente em ] -ao, - e [ • g é crescente em [ - e, O [ • g atinge mínimo relativo em x = - e

'(xJ = ( l + lnx )' = ( 1+ lnx)' x x2 - (1 + lnx) x (x2)' g xZ (x2)2

1- x x2 - (1 + lnx) x (2x) X x4

x - 2x - 2xlnx x4

- x - 2xlnx x4

-1 - 2 lnx x3

Para x E �+, tem-se: g'(x) = O "" -1 - Z lnx = O .,, lnx = - � .,, x = e-1/2 "" x = fe

X o 1 +ao re g' + o -g / máx. \.

Podemos, assim, concluir que: • g é crescente em ] O, fe] • g é decrescente em [ fe, +ao [ • g tem máximo relativo para x = fe

SOLUÇÕES

b) A figura abaixo ilustra a situação apresentada no problema:

g A

Pretende-se determinar a abcissa do ponto B do gráfico de g, pertencente ao 4.0 quadrante, de modo que a área do triângulo [ OAB] seja igual a 1 A altura do triângulo [ OAB] relativa ao lado [ OA] é o simétrico da ordenada de B já que esta ordenada é negativa.

Determinemos OA , ou seja, o zero de g Para x E JR+, tem-se: g(x) = O .,. l + lnx = 0 .,. l + lnx = O .,. x2 <> lnx = -1 <> x = e-1 .,. x = 1-e

Área do triângulo 1- x [-g(x)]

[OAB] = e 2

1- x [-g(x)] �e-�2�-- = 1

pelo que uma equação que traduz o problema é

1- x [-g(x)] e 2 = 1 <> ! x [-g(x)] = 2 <> -g(x) = 2 e <> g(x) = -2 e

A solução da equação é a abcissa do ponto de intersecção do gráfico da função g com a reta de equação y = -2 e

Com recurso à calculadora, podemos obter parte do gráfico da função g, parte da reta de equação y = -2 e, bem como a abcissa do ponto de intersecção do gráfico da função com a reta

0,26 O i A

B

. .

A abcissa do ponto B, com arredondamento às centésimas, é 0,26

319

DERIVADAS

28.

a) Para x > O, tem-se:

f'(x) = ( 3x + lnx )' = (3x + lnx)' x x - (3x + lnx) x (x)' = X x2

( 3 + ;) X x - (3x + lnx) x 1 x2

3 x + 1 - 3 x - lnx 1 - lnx �� = ��

1 - 0 = 1 1

x2 x2

Assim, a reta t tem declive 1. A equação reduzida da reta t é, portanto, da forma y = x + b

Como f( 1 ) = 3 + in l - 3 r O = 3, o ponto de tangência tem coordenadas (1, 3 ) Assim, 3 = 1 + b , pelo que b = 2

A equação reduzida da reta t é, portanto, y = x + 2

b) Assintota vertical

320

Uma vez que a função f é contínua em ]-oo, O[ e em ] O, +oo[, apenas a reta de equação x = O poderá ser assíntota vertical do gráfico da função f

Tem-se: lim /( x) = lim 3x + lnx x_,.o+ x_,_ 0 1· X

3 X 0 + ( -oo) _00 ---�� - --= -oo o+ o+

Portanto, a reta de equação x = O é a única assíntota vertical do gráfico de f

Assintota horizontal

Tem-se: lim /( x) = lim 3x + lnx x-+oo x __,_+oo X lim (3 + lnx ) = 3 + O = 3

x-+oo X

Assim, a reta de equação y = 3 é assíntota do gráfico de f quando x - +oo

Assintota não vertical

Tem-se: lim /( x) = lim 2x + 1 + e-x = lim (2 + .1 + e-x ) =

x--oo X x --oo X x--oo X X

= 2 + 0 + lim e-x = 2 + lim � = 2 - lim � = 2 - (+oo) = -oo x-.-oo X y_,.+oo -y y-.+oo y

Como lim /(x) = -oo , X->-oo X

quando x - -oo conclui-se que não existe assíntota não vertical do gráfico de f

SOLUÇÕES

e) Como a reta AB é paralela à bissetriz dos quadrantes pares, o seu declive é igual a -1

29.

Tem-se: f(a) = 3 a + lna a 3 + lnª e f( -a) = -2 a + 1 + eª , pelo que o ponto A tem coordea

nadas (a, 3+ 1�ª ) e o ponto B tem coordenadas (-a, -2a+ 1+ eª)

3 + l!!.g__ - (-2 a + 1 + eª) 2 + l!!.g__ + 2 a - eª Portanto, o declive da reta AB é dado por ª

( ) = ª 2 a - -a a

2 + lnx + 2x - ex Assim, a solução da equação x

2x = -1, no intervalo ]o, 1 [ é o valor de a

Ora, 2 + lnx + 2x - ex X =-1 "" 2x 2 + lnx + 4x - ex = 0 X

Para resolver esta equação, recorremos às potencia lidades gráficas da calculadora. Na figura, está representada parte do gráfico da função definida por y = 2 + lnx + 4x - ex

X O zero desta função, no intervalo ] o, 1 [, é o valor de a Conclusão: a "" 0,413

y

o 0,413 X

a) Designemos por r o raio da esfera. Tem-se r = 16 - d(0) = 16 - (10 + Seº) = 16 - 15 = 1

Assim, o volume da esfera é dado por j rr x 1 3 , ou seja, j rr

Logo, o valor do volume da esfera, arredondado às centésimas, é 4,19 cm3

321

DERIVADAS

b) Tem-se:

30.

d'( t ) = [10 + (5 - t)e-0,0St]' = (5 - t)' X e-0,0S t + (5 - t) X (e-0,0S t)' =

= - e-o,ost + (5 - t )(-0,05 e-O,OSt) = e-o,ost (-1 - 0,05(5 - t )) =

= e-o,ost (-1 - 0,25 + 0,05 t) = e-O,OSt ( 0,05 t - 1,25 )

d'( t ) = O .,, e-O,OSt (o,05 t - 1,25) = 0 .,,

.,; e-O,OSt = 0 V 0,05 t - 1,25 = 0 .,; 0,05 t - 1,25 = 0 .,; t = 25 '-r----' eq. impossível

Tem-se o seguinte quadro: t o 25 +oo

d' - - o +

d 15 "' Mín. /' Portanto, a distância do centro da esfera ao ponto P é mínima no instante t = 25

a) Uma vez que a função f é contínua em ] -oo, � [ e em ] � , + oo[, apenas a reta d e equação x = � poderá ser assíntota vertical do gráfico da função f

Tem-se:

Tem-se:

lim /(x) = lim ex - re x - (�f x- (tr 2x - 1

1_ e Z lim 2 x - (tr

x - .l e z - 1 x -1-

2

lim /( x) = f(l) = l ln (l) (1_)+

2 2 2 x- 2

1_ X 2 lim e - e

x -,(tr 2x - 1

1_ ( X 1 ) e Z e - 2 - 1 2 ( X - � )

Como ambos os limites laterais são finitos, pode concluir-se que a reta de equação x = � não é assíntota do gráfico de f. Portanto, o gráfico de f não tem qualquer assíntota vertical.

b) Seja x E ] � , +oo [

322

f'(x) = ((x + l) ln x)' = (x + l )' In x + (x + l )(ln x)' = ln x + x + 1 X

/"(x) = (ln x)' + ( x + l )' = l + (x + l )' x - (x + l )(x)' X X X2

f"(x) = O .,, x - l = 0 .,, x - 1 = 0 .,, x = l xZ

1 1 x - 1 - --= --x xZ xZ

SOLUÇÕES

Tem-se o seguinte quadro:

X 1_ 1 +oo 2 r - o + f n p.i. u

O gráfico de f tem concavidade voltada para baixo no intervalo ] � , 1 ] e tem concavidade voltada para cima no intervalo [ 1, +oo [ ; o ponto de inflexão tem coordenadas (1,f(l)), ou seja, (1, O)

c) No intervalo [ 1, e ] , a função f é definida pela expressão y = (x + 1) ln x

31.

Assim, podemos afirmar que a função f é contínua no interva lo [ 1, e ] Tem-se f(1 ) = (1 + 1) x ln 1 = 2 x 0 = 0 e f(e) = (e + 1 ) x ln e = e + 1 "' 3,7

pelo que podemos concluir que /(1) < 3 < f(e)

O teorema de Bolzano-Cauchy permite-nos então concluir que a equação f(x) = 3 tem, pelo menos, uma solução no intervalo [l, e J Recorrendo à calculadora, podemos obter o gráfico da função f no intervalo [ 1, e J e a reta de equação y = 3

y e+l - - - - - - - - - - - - - - - -

3

o 1

f

X

A abcissa do ponto de intersecção destas duas l inhas é a solução da equação f(x) = 3 no intervalo [1, e J Assim, 2,41 é o valor arredondado às centésimas da única solução da equação f(x) = 3 no interva lo [1, e J

a) Tem-se: lim J(x) = lim (l + x ex) = l + lim (x ex) = 1 + lim (-y e-Y) = x_,. -co X-> -CO X -> -CO y = -X y - +oo

= 1 - lim _L= l - lim __L = l - -1- = 1 - 0 = 1 y _,_ +oo eY y - +co � +oo y

Assim, a reta de equação y = 1 é assintota horizontal do gráfico da função f, quando x - -oo

323

DERIVADAS

Tem-se: lim f(x) = lim (ln (x - 3) - ln (x)) = lim ln x - 3 = lim ln (1 -1-) = ln l = O

X -• +oo x _,. +oo x -. +oo X x _,. +oo X

Assim, a reta de equação y = O é assintota horizontal do gráfico da função f, quando x -+oo

b} Em ] -oo, 3 ] , tem-se: f(x) - 2x > l ., l + x ex - 2x > l "" x ex - 2x > O "" x(ex - 2 ) > 0

Para determinar o conjunto solução da condição x(ex - 2 ) > O pode-se construir um quadro de sinais. Assim, tem-se:

X -oo o ln 2 3 X - o + + +

ex - 2 - - - o +

x(ex - 2 ) + o - o +

Portanto, o conjunto solução é ] -oo, O [ U ] ln 2, 3 ]

e) Para x > 3, tem-se: f'(x) = (ln (x - 3 ) - ln (x))' =__l___

3 _ .!. X - X

32.

a)

324

Portanto, f' ( 4) = 1 - ! = !

Assim, a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 4 tem declive ! A equação reduzida desta reta é, portanto, da forma y = ! x + b Como /(4) = - ln 4, o ponto de tangência tem coordenadas (4, - ln 4)

Assim, - ln 4 = ! x 4 + b, pelo que b = -3 - ln 4

A equação reduzida da reta pedida é, portanto, y = ! x - 3 - ln 4

A taxa média de variação da função N, no intervalo [ 10, 20] , é dada por N(20) - N(lO) 20 - 10

Tem-se: 200 200

l + Soe-o,zsx zo -

l + Soe-o,2s x 10 tmll[10, zo] = 10 "' 11

No contexto da situação descrita, tmll[zo, io] "' 11 significa que, ao longo do século XX, o número de habitantes da referida região do globo aumentou, em média, aproximadamente 11 milhões por década.

b)

33.

a)

SOLUÇÕES

N = 200 "" N(l + 5oe-O,ZSt) = 200 "" N + 50N rD,ZSt = 200 "" 1 + 5oe-o,2st

-O 2st 200 - N 25 l ( 200 - N ) 1 l ( 200 - N ) "" e , = 50N "°' -O, t = n 50N "" t = - 0 25 n 50N "" ,

( 200 - N ) ( 200 - N )-4 ( 50 N )4 "" t = -4 ln 50 N "" t = ln 50 N "" t = ln 200 - N

p = lim f(x) - f(-l)

f'(-l ) = e-1 ((-1)2 - l + l) = e-1 = 1e x--1 x + l

I nterpretação : -e é o declive de qualquer reta perpendicular à reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa -1

b) /" ( x) = (ex)'( x2 + x + 1 ) + ex (x2 + x + 1 )' = ex ( x2 + x + 1) + ex ( 2x + 1 ) = ex ( x2 + 3x + 2 )

f" ( x) = O "" ex ( x 2 + 3 x + 2 ) = O "" U V x2 + 3 x + 2 = O "" eq. impossível

<o> X2 + 3x + 2 = 0 <o> X = -2 V X = -1

X 1 -· 1 -2 1 1 -1

1 "00 1 f" + o o +

f V p.1. n p.i. V

O gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ]-oo, -2[ e em ]-1, + oo[ e tem concavidade voltada para baixo em ]-2, -1[ ; existem dois pontos de inflexão, um com abcissa -2 e um com abcissa -1

325

DERIVADAS

34.

a) Tem-se /(0 ) = 9 - 2,5(e1-0 + e0-1) = 9 - 2,5(e + ! ) = 9 - 2,5e -� logo /(f(o))2 + x2 = 2 <* (/(0))2 + x2 = 4 <> x2 = 4 - (/(0))2 <> x = /4 - (/(0))2 .,

<* X = /4 - (/(0))2 <> X =l4 - (9 - 2,5e - 2�5 )2

Portanto, x "' 1,5

<>O

p

f(O)L_

() s

Interpretação: Na secção representada, 1,5 é a abcissa do ponto da superfície da água do rio que d ista dois metros do ponto P

b) O barco pode passar por baixo da ponte se e só se a distância máxima da superfície do rio à ponte for superior ou igual a 6 metros. Determinemos então o máximo da função f

326

Para qualquer x E [O, 7 ] , tem-se: f' ( x) = [ 9 _ 2,5(el-0,2x + eO,Zx-1 )]' = -2,5 (-0,2 el-0,Zx + 0,2 eO,Zx-1) = 0,5 (el-0,2x _ eO,Zx-1)

f'(x) = o .. 0,5 (el-0,2x - eO,Zx-1) = o .. el-0,Zx - eO,Zx-1 = o .. el-0,Zx = eO,Zx-1 ., <> 1 - 0,2x = 0,2x - 1 <* 0,4x = 2 "" x = 5 f'(x) > o <> 0,5(el-O,Zx _ eO,Zx-1) > o "" el-0,Zx _ eO,Zx-1 > o "" el-0,Zx > eO,Zx-1 "" "" 1 -0,2x > 0,2x - 1 <> 0,4x < 2 <> x < 5 f'(x) < o ., 0,5(el-0,2x _ eo,Zx-1) < O <> el-0,Zx _ eo,zx-1 < O <> el-0,Zx < eo,zx-1 ., <> 1 -0,2x < 0,2x - 1 <> 0,4x > 2 <> x > 5

X o -2 5 -1 7 f' + + o - -f /(O ) I' /(5 ) '... /(7)

A função admite um máximo absoluto para x = 5 e esse máximo é /(5 ) = 9 - 2,5(el-0,2 x 5 + eo,z x s -1) = 9 - 2,5(eº + eº) = 9 - 2,5 X 2 = 4

Portanto, a distância máxima da superfície do rio à ponte é 4 metros. Logo, o barco não pode passar por baixo da ponte, porque 6 > 4

SOLUÇÕES

35. Tem-se que o declive da reta r é f' (a)

36.

Como o triângulo [ OPQ] é isósceles, as coordenadas do ponto Q são (Za, O )

De P(a, /(a)) f(a) - O

e Q(Za, O ) - /(a) m -, - a - Za a

vem que o declive da reta r é

Logo, f'(a) = - f�a) "" f'(a) + f�a) = O

f

a) Como o domínio de f é JR.+ e f é contínua em todo o seu domínio, apenas a reta de equação x = O poderá ser assíntota vertical do seu grático. lim f(x) = lim lnx = -oo = -oo , logo a reta de equação x = O é assíntota vertical do grático

x .... o+ x _,. o + X O + de f

Como o domínio da função é limitado inferiormente, apenas poderá existir assíntota horizontal quando x tende para +oo

lim f(x) = lim lnx = O , logo a reta de equação y = O é assíntota horizontal do grático de f, X ->+oo X --++oo X

quando x tende para +oo

b) Para x E JR.+, tem-se:

e)

f(x) > Z ln x "' ln x > Z ln x "' lnx - Zx lnx > O "' (l - Zx) lnx > O "' (l - Zx)lnx > O X X X

o 1 X 2

1 - Zx + o

lnx - -

( 1- Zx) lnx - o

Conjunto solução: ] � , 1 [

g(x) =k + lnx = k + ln x, Dg = JR.+ com k E R. X X X

--

+

( k 1 )' 1- X x - (k + lnx) 1 _ k - lnx g'(x) = + nx = -"x�-�---x xz xZ

y > o

1 +oo - -

o +

o -

Como a função g tem um extremo relativo para x = 1, tem-se g'(l) = O

g'(1 ) = 0 "" l - k - ln l = 0 .,,, 1 - k = O "' k = l 12

327

DERIVADAS

37. a) Ao fim de uma hora a massa de poluente é P(l ) = 120 e-k gramas.

Dado que, duas horas após o início do processo, a massa de poluente é metade da existente ao fim de uma hora, tem-se P(2 ) = p�) , donde

12oe-2k = 12oe-" "" 2e-2" = e-k "" e-2k = .l"" e-k = .1"" 2 e-k 2 2 "" - k = ln l- "" - k = - ln 2 "" k = ln 2 2

b) Tem-se P( t ) = 12oe-o,7t

328

Assim, t _ P(3 ) - P(O) mv[o,3] - 3 _ 0

120e-0,7 x3 - 120eº = 40c2,1 - 40 "' -35 3 No contexto da situação, tmv[o,3] "' -35 significa que ao longo das três primeiras horas, a massa de poluente diluído na água diminuiu, em média, 35 gramas por hora.

1.

a)

b)

e)

2.


Tem-se que senx = ClE pelo que CE = _l_ senx

Tem-se ainda que tgx = 1 pelo que EB = _l_ donde AE = 1 - EB = 1 --1-� �X �X f(x) = 2 X AE + 2 X CE = 2 -L+_2_ tgx senx

lim /(x) = lim (2 --2-+-2-) = 2 - 0 + 2 = 4 rr - rr- tgx senx X---+T X---+T

I nterpretação: quando x - � , o ponto E aproxima-se de B e o ponto F aproxima-se de D. Assim, o quadrilátero tende a coincidir com o quadrado [ ABCD ], pelo que o seu perímetro tende para o perímetro do quadrado.

, ( 2 )' 2 ' f (x) = O - - + (-) =-tgx senx

2 2 cosx 2 - 2 cosx cos2x . tg2x sen2x sen2x

+ -2 cosx sen2x

Tem-se que f' ( x) > O, para qualquer x E ] � , � [, pelo que a função f é crescente.

a) senx + sen(2x) = O "" senx=- sen(2x) "" senx = sen(-2x) "" "" x = -2x + 2 krc V x = rc - (-2x) + 2 krc, k E Z .,. "" 3x = 2krr V x = rr + 2x + 2krc, k E Z "" "" 3x = 2 krc V - X = JC + 2krr, k E Z "" "" X = Zkrc V X = - rr - 2krr, k E Z 3

Para x = 2 ;rr , só pertencem ao intervalo [ O, rr] as soluções que correspondem a k = O e a k = 1, ou seja, O e 23JC

Para x = -rr - 2 krr, só pertence ao intervalo [ o, rc ] a solução que corresponde a k = -1, ou seja1 rr

Os zeros da função g são, portanto, O, z3rr e rc

329


b} Pelo facto de o domínio de h ser um conjunto l imitado, não tem sentido procurar assíntotas não verticais.

e)

3. a)

b}

330

Pelo facto de h ser contínua em todo o seu domínio, que é [ O, n ] \ { � } , só poderá haver assíntota

vertical em 1f_ 2

Tem-se que lim_ h(x) = +oo e lim h(x) = -oo rr rr" x-z x_,.z

Portanto, a reta de equação x = � é assíntota vertical do gráfico de h

Tem-se que: cosx = CH = CH pelo que CH = 2 cosx BC 2

Portanto, tem-se: Base do triângulo = 1 + 2 cosx

Por outro lado, senx = �� = Bf pelo que BH = 2 senx

Portanto, tem-se: Altura do triângulo = 2 senx

, ( 1 + 2 cos x) . 2 sen x Area do triângulo = 2 = ( 1 + 2 cosx ) senx =

= senx + 2 senx cosx = senx + sen(Zx)

lim f( x) = -l = -oo, pelo que a reta de equação x = - n é assíntota vertical do gráfico de f X ---+-7[+ o+

lim f( x) = -l = -oo, pelo que a reta de equação x = n é assíntota vertical do gráfico de f x- n- o+

O gráfico de f não tem outras assíntotas verticais, uma vez que f é contínua em ]-rr, rr[

O gráfico de f não tem assíntotas não verticais, uma vez que o domínio de f é l imitado.

'( ) - senx(l + cosx) + senx cosx f X = --�--�-----

(1 + cosx)2 - senx

(1 + cosx )2

f'(x) = ü <> senx = O.

Como x E ] - n, n [ vem que x = O

SOLUÇÕES

X - 7[ o 7[

f' n.d. + o - n.d. f n.d. )' máx. ' n.d.

A função f tem um máximo, para x = O, que é /(O) = �

e) O comprimento da base maior do trapézio é a abcissa do ponto P

Tem-se: /(x) = O <> cosx = O /\ x E ] -rr, rr [ "" 1 + cosx "" COS X = Ü /\ x E ]-rr, rr[ .. X = - � V X = �

A abcissa do ponto P é, portanto, �


O comprimento da base menor do trapézio é a abcissa do ponto Q. Tem-se:

4.

f(x) =1- .,, cosx 13 /\ x E ] -rr, rr [ .,, 3 l + cosx

<> 1 + cosx = 3 cosx /\ x E ] -rr, rr [ <>

"" 1 = 2 cosx /\ x E ]-rr, rr [ ""

"" cosx = 1- /\ x E ] -rr rr[ <> x = -!i_ V x =!i_ 2 , 3 3

A abcissa do ponto Q é, portanto, � . Vem, então, que:

Área do trapézio =

a) lim /(x) = -oo

b)

X-+ �-Portanto, a reta de equação x = � é assintota do gráfico de f

Como a função é contínua em [ O, � [ , o seu gráfico não tem mais assintotas verticais. Uma vez que o domínio da função é limitado, o seu gráfico não tem assintotas não verticais.

f'(x) = (Zx - tgx)' = 2 - -1- = Z coszx - 1 cos2x cos2x

f'(x) = O "" 2 cos2x - 1 = 0 .,, cos2x = �

331

5.

al)


Como x E [ O, � [, tem-se cosx = IJ, donde x = �

o 7[ 7[ X 4 2

f' + + o - n.d.

f mín. / máx. ' n.d. n.d. - não definida

A função é crescente em [ O, � ] e decrescente em [ �, � [

A função tem um máximo relativo para x = � e um mínimo relativo para x = O

lim _f(�x�) -_f�( º�) X --+ Ü X /'(0) = 2

a2) /" ( x) = 1 - 2 sen x f"(x) = O "" senx = �

Tendo em conta que x E J-rr, rr [ , conclui-se que x = � V x = 56rr

Análise do sinal de /"

X -7[ K Srr 7[ 6 6 f" + o - o +

f u p.i. n p.i . u

O gráfico de f tem concavidade voltada para cima em [-rr, � ] e em [ 56rr , rr ] e tem concavidade

voltada para baixo em [ �, 56rr ]

O gráfico de f tem dois pontos de inflexão, de abcissas � e 56rr

b) Atendendo à interpretação geométrica do conceito de derivada de uma função num ponto,

determinar a abcissa do ponto do gráfico de f onde a reta tangente é paralela ao eixo Ox equivale

a determinar o zero da derivada de f

Tem-se: f'(x) = O "" x + 2 cosx = 0

332

SOLUÇÕES

Com recurso às capacidades gráficas da calculadora, podemos obter parte do gráfico de f' e um valor aproximado do seu zero:

Conclusão: x "' -1,03

6.

y

f'

- 1 ,03 Q X

al) Tem-se que: ( ) x + sen K ( sen K )

lim L!_= lim x - lim 1 +--x-= 1 + 0 = 1 x .-..+oo X x--+oo X x ...... +oo X

lim [!( x ) - x J = lim sen K = seno = O x-+oo X-++oo X

Portanto, a reta de equação y = x é assíntota do gráfico de f quando x - +oo

Como o domínio de f é minorado, não existe outra assíntota não vertical .

a2) f'(x) = (x + senK)' = l + (K)' cosK = 1 --1L cosK X X X x2 X

Como f'(2) = 1 - � cos � = 1 e /(2 ) = 2 + sen � = 3, uma equação da reta pedida é y = x + 1

a3) Tem-se -1 � senK � 1, para qualquer x do domínio de f X

Como sen K 2- -1 e x > 1, vem x + sen K > O X X

Logo, no intervalo ]1, +oo[, a função f não tem zeros.

333


b) Tendo em conta a alínea anterior, basta investigar o número de zeros no intervalo [ !' 1 J

A figura abaixo mostra a parte do gráfico de f para x neste intervalo .

. � V -=

Portanto, o número de zeros da função f, no intervalo [ ! +ao[, é quatro.

7. a) f'(ü ) = lim

f(x) - f(O) x- 0 X - Ü

lim x + sen x - O x-.. 0 X

lim x + senx lim ("'- + senx ) = lim (i + senx ) = x_,.o X X -+ Ü X X x ---- 0 X

= 1 + lim sen x = 1 + 1 = 2 X -+ Ü X

b) f'(x) = l + cosx f"( x) = - senx

Como x E [- ;, 32ir ] , vem: f"(x) = O "" x = O V x = ir

X ir 2 o ir

f" + o - o

f V p.i . (\ p.i .

3 ir 2

+ V

X

O gráfico de f tem concavidade voltada para cima em [ -; , O ] e em [ ir, 32ir ] e tem concavidade voltada para baixo em [ O, ir] O gráfico de f tem do is pontos de inflexão, de abcissas O e ir

e) f( x) = x + cosx "" x + senx = x + cosx "" senx = cosx

No intervalo [ - ; , 32ir ] tem-se: senx = cosx "" x = � V x = \ir

8.

a) Designemos por mr e m5 os declives das retas r e s, respetivamente. Tem-se: mr = f'(a) = cos(a) e m5 = f'(b) = cos (b)

334

SOLUÇÕES

Como a + b = ZK, então b = Z K - a, pelo que cos ( b) = cos ( 2 K - a) = cos (a) donde se conclui que mr = m 8 , logo as retas são paralelas.

b) Como a função g é contínua em todo o seu domínio (por ser o quociente de duas funções contínuas), as únicas retas que poderão, eventualmente, ser assíntotas verticais do gráfico de g são as retas de equações: x = O, x = 7C e x = 2 K

9.

Vejamos: • lim g(x) = lim _(

x) = lim _x_= 1

x - o + x _,. o+ f x x .... o + senx pelo que a reta de equação x = O não é assíntota vertical do gráfico de g

• lim g(x) = lim _x_= lim . -x- = 2� =-oo

x - zn- x - 2 7t- f(x) x - 2 n . . senx O pelo que a reta de equação x = ZK é assintota vertical do gráfico de g

• lim g( x) = lim _(x ) = lim _x_ = _'l[_ = +oo

X -· IT- x - TC f X X -> 1r- SellX Q+

lim g( x) = lim _x_ = lim _x_ =_ir_= -oo x - JI+ x _,_ n+ f(x) x - IT+ senx o-

pelo que a reta de equação x = 7C é assintota verticaldo gráfico de g

O gráfico de g não admite assíntotas não verticais, pois o domínio de g é um conjunto l imitado.

a) A função g é contínua em todo o seu domínio, por ser o quociente de duas funções contínuas. Portanto, só a reta de equação x = O poderá, eventualmente, ser assintota vertical do gráfico de g. Tem-se que lim g( x) = lim senx = 1

x - 0 x - 0 X

Portanto, o gráfico da função g não tem assíntotas verticais. b) As abcissas pedidas são as soluções da equação f( x) = g( x) que pertencem ao intervalo ] O, 7C]

Ora, f(x) = g(x) "" Z senx = senx X

Para x pertencente ao intervalo ] o, 7C], tem-se x ofa O . Por isso, tem-se que

Z senx = senx "" Zxsenx = senx "" senx(Zx - 1 ) = 0 "" X "" senx = O V Zx - 1 = 0 "" x = K V x = .1 2 Portanto, as abcissas, pertencentes ao intervalo ] O, 7C ] , dos pontos de intersecção dos gráficos das duas funções são � e 7C

335


e) Tem-se que f(x) = k "" 2 senx = k "" senx = �

10.

a)

Para que esta equação tenha exatamente uma solução no intervalo [-ir, ir ] , � tem de ser igual a 1 ou a -1. Portanto, k = -2 V k = 2

'( ) . g(x) - g(ü) 1 . 2 + sen(4x) - [2 + sen(ü )] g O = hm = im --�-��--�� x -. o x- 0 x_,.o x

. 2 + sen(4x) - 2 = hm --��--x-. o X

. sen(4x) hm -�� X -> Ü X

sen(4x) = 4 x lim - 4 x 1 = 4 x-0 4x

1 . 4sen(4x) im --�� x-0 4x

b) g'(x) = [2 + sen(4x)]' =4 cos(4x)

g'(x) = O "" cos(4x) = ü "" 4x = � + kir, k E l "" x = � + k4ir , k E l

No intervalo ] O, � [• existem duas soluções: � e 3;

ir 3 ir ir X o 8 8 2 g ' + o - o + g !' máx. ' mín. !'

Portanto, no intervalo ] o, � [. tem-se que:

• a função é crescente em ] O, � ] e em [ 38ir, � [

• a função é decrescente em [ �, 3; ]

• a função tem um máximo relativo para x = � e um mínimo relativo para x = 38ir

• g( � ) = 2 + sen( \ir ) = 2 + sen( � ) = 2 + 1 = 3 (máximo )

• g( 3;) = 2+ sen(1�ir ) = 2 + sen( 32ir ) = 2 - 1 = 1 (mínimo)

336

SOLUÇÕES

11. Tem-se: 2 sen(x) cos(x) + 2 = 1 ""' sen(2x) + 2 = 1 ""' ""' sen(Zx) = -1 ""' Zx = 3F + Z kir, k E Z ""' x = 34

ir + kir, k E Z

12.

Como x E [O, ir ] , vem x = 34ir

As coordenadas do ponto de intersecção do gráfico de f com a reta y = 1 são ( 34ir , 1 )

lim /(x) = lim 3 senx x_,_o- x_,.o- x2

] . [ 3 senx ] 1 IID - X -- = -oo X = -oo x_,_Q- X X

Portanto, a reta de equação x = O é assíntota vertical do gráfico de f

Como f é contínua em [-ir, o [ e em ]o, +oo[, o gráfico de f não tem mais assíntotas verticais.

13.

Tem-se lim /( x) = lim e-4x+l = e-00 = O x_,.+oo x_,.+co

Portanto, a reta de equação y = O é assíntota horizontal do gráfico de f

Como o domínio de f é minorado, o gráfico de f não tem mais assíntotas.

a) A função f é contínua em [ O, ir[, pois neste intervalo é definida pela soma de duas funções contínuas: uma função constante e uma função que é composta de uma função logarítmica com uma função afim. A função f é também contínua em ] ir, 2 ir], pois neste intervalo é definida pela composta de duas funções contínuas: uma função trigonométrica e uma função afim.

b)

A função f não é contínua no ponto ir, pois lim /( x) = -oo x- rr

Para O :S x < ir: l + ln(ir - x) = ü ""' ln(ir - x) = -1 ""' ir - x = e-1 ""' x = ir - .1 e

Para ir :<::; x :<::; Z ir: cos(Zx) = ü ""' x = 54ir V x = 74

ir

Portanto, os zeros de f são: ir _ .1 S ir e 7ir e ' 4 4

e) /(a) = cos(2a) = cos2a - sen2a= � - � = -�

337


14.

a) f é contínua em JR-, pois é soma de duas funções contínuas: uma função constante e uma função que é produto de uma função quadrática pela composta de uma função exponencial com uma função afim. f é contínua em JR+, pois é quociente de duas funções contínuas, em que uma é a soma de uma função afim com uma função trigonométrica e a outra é uma função afim. f não é contínua no ponto O, pois lim f(x) = l e lim f(x) = lim (1 + senx ) = 2 x-o- x-o+ x-o+ X

b) Para x < O, tem-se: f'( X) = (x2)' ex+l + x2 ( ex+l )' = 2xex+l + xZex+l 2xex+1 + x2ex+1 = 0 "" ex+1 (2x + x2) = 0 "" x(2 +x) = 0

Concluímos assim que - 2 é o único zero de f' para x < O

X -oo -2 o

f' + o -f /' máx. '

Portanto, f admite um único máximo no intervalo ] -oo, o [ , que é f(-2 ) = 1 + ± e

c) Para x > O, tem-se: f(x) = l "" senx = O "" x = krc, com k E N

Existem, portanto, infinitos pontos de intersecção da reta r com o gráfico de f

15.

a) h(x) = (ex-1)' - (senx)' = ex-1 - cosx

338

A função h é contínua no interva lo [ O, � ], pois é diferença de duas funções contínuas.

Tem-se que: h( O ) = e-1 - cos O = 1- _ 1 "" -0,63 e

Como a função h é contínua no intervalo [ O, � ] e como h ( O) < O e h( � ) > O, o teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo [O, � ]

SOLUÇÕES

b) Da alínea a) resulta que existe a E [O, �] tal que h ( a) = O

16.

Ora, h(a) = O � f'(a) - g'(a) = O � f'(a) = g'(a)

Tem-se que : f' (a) é o declive da reta tangente ao gráfico de /, no ponto de abcissa a

g' (a) é o declive da reta tangente ao gráfico de g, no ponto de abcissa a

Como f' (a) = g' (a), as duas retas têm o mesmo declive, pelo que são paralelas.

al) Pelo facto de f ser contínua em R.\ {O}, só a reta de equação x = O poderá, eventualmente, ser assintota vertical do gráfico de f

Como lim /( x) = lim e-x = -1=- = -oo, a reta de equação x = O é assintota do gráfico de f

x-o- x-o- X Ü

a2) (e-x)' x - e-x No intervalo J-oo, O [, tem-se: f' ( x) =

2 X

1 � -oo +

o n.d .

í' n.d. n.d. - não definida

Conclusão: a função f tem máximo no i ntervalo J -oo, o [ , que é /(-1 ) = - e

-X a3) No intervalo ] -3, o [, não tem zeros, já que a equação §____ = O é impossível . X

Em [ 0, 3 [ tem-se: f(x) = O � sen(2x) - cosx = 0 � sen(Zx) = cosx

Em R., tem-se: sen(Zx) = cosx � sen(Zx) = sen( � - x) �

� 2x = � - x + 2 kir V 2x = ir - (� - x) + 2 kir, k E Z �

� 3x = � + 2kir V X = � + 2kir, k E Z �

� x = -"- + 2kir V X = '/rz + 2kir, k E l 6 3

No intervalo [ O, 3 [ , as soluções são: � , � e 56ir

339


b) Na figura está a parte do gráfico de f que corresponde ao intervalo [-6, 6] do eixo das abcissas.

17.

Na figura está também a parte da reta de equação y = x - 4 correspondente ao mesmo intervalo. Da análise do gráfico, concluímos que as soluções inteiras da inequação /( x) > x - 4 que pertencem a [-6, 6] são: -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3 e 4

-3,1

f'(x) = (a cos (nx) + b sen(nx))' = (a cos(nx))' + (b sen(nx))' =

y

= a(nx)' (-sen(nx)) + b(nx)' cos(nx) = - n a sen(nx) + n b cos(nx) f"(x) = (-n a sen(nx) + n b cos(nx))' = (- n a sen(nx))' + (n b cos(nx))' =

18. a)

= - n a(nx)' cos (nx) + n b (nx)' (-sen(nx)) = - n2a cos(nx) - n2bsen(nx) = = - n2 (a cos(nx) + b sen(nx)) = - n2 f(x)

Então, vem, Vx E R, /"(x) + n2 f(x) = - n2 f(x) + n 2 f(x) = O

Tem-se: cosx = MA = 4 pelo que PA = -4-PA PA cosx

tgx = �� = p� pelo que PM = 4tgx donde FP = 4 - 4tgx

Portanto, o comprimento total da canalização é igual a FP + 2 x PA = = 4 - 4tgx + 2 x -4-= 4 - 4senx +-ª-= 4 + 8 - 4 senx

cosx cosx cosx cosx

b) g( o ) = 12

X

Interpretação: quando x = O, a canalização tem a forma _!_, pelo que o seu comprimento (sendo FM + AB) é 12 km

340

e)

19.

SOLUÇÕES

g'(x) -4 . cosx . cosx + senx( 8 - 4 senx) cos2x

-4 cos2x + 8 senx - 4 sen2x cos2x

-4( cos2x + sen2 x) + 8 senx

-4 X 1 + 8 senx -4 + 8 senx cos2x cos2x

g' (x) = O � -4 + 8 senx = 0 � senx = �

X o '/[_ 6

g' - o + g " mín. !'

cos2x

7t 4

=

O valor de x para o qual é mínimo o comprimento total da canalização é, portanto, �

a) O problema reduz-se a encontrar o número de soluções da equação b( t ) = p( t ) , para t E [0,5 ] Ora, b( t ) = p( t ) � 10 + e-o,l t sen( rrt) = 10 - 1,37 e-O,l t sen( rrt) �

� e-0,Hsen (rrt) = -1,37e-0·1 t sen (rrt) �

� 2,37e-0,1 tsen (rrt) = 0 � sen(rrt) = O Ora, sen(rrt) = O /\ t E [0, 5] � t E {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Conclusão: durante os primeiros cinco segundos, as duas bolas estiveram seis vezes à mesma distância da base do recipiente.

b) Tem-se que:

b( � ) = 10 + ro,ixo,5 sen(� ) = 10 + e-o,o5 "' 10,95

P(l_) = 10 - 1 37 e-O,lxo,5 sen( '/[_) = 10 - 1 37 e-o,o5 � 8 70 2 } 2 1 ,.__, 1

341


10,95

2,25 h

8,70 2,5

Pelo teorema de Pitágoras, vem, então, h2 = 2,252 + 2,5 2 , pelo que h "' 3,4 A distância entre os centros das bolas é de 3,4 cm

20.

a) f'( x) = ( sen(2x) cosx )' = ( sen(2x ))' . cosx + sen(2x) . ( cosx )' = = 2 cos(2x )cos ( x) + sen(2x )(-senx) = 2 cos(2x ) cos( x ) - sen(2x )senx

Tem-se f'( O) = 2. Portanto, o declive da reta é igual a 2 Como /(O) = O, a reta passa na origem do referencial. A equação reduzida é y = 2x

b) A figura ilustra a situação.

21.

BC = 1,15 - 0,15 = 1 A altura correspondente é 0,77 - 0,3 = 0,47 A área do triângulo [ABC] é l x 0,47 _ 0 2 2 - '

a) f'(x) = (excosx)' = (ex)' cosx + ex (cosx)' = = ex cosx - ex senx = ex ( cosx - senx)

y 0,77 A

0,3

o 0, 1 5

f'(x) = O "" ex (cosx - senx) = O "" cosx - senx = O <> cosx = senx

342

1 , 1 5 1' X 2

SOLUÇÕES

No intervalo [ O, rr[ , tem-se que cosx = senx "" x = �

X o K 7[ 4 f' + + o -f mín. !' máx. '

A função f é estritamente crescente no intervalo [O, � ]

A função f é estritamente decrescente no intervalo [ �, rr [

A função f tem um mínimo relativo, igual a 1, para x = O

A função f tem um máximo relativo, igual a 1 err/4 , para x = �

b) Representa-se ao lado parte do gráfico da função /, bem como o trapézio [ OABC]

A ordenada do ponto A é /(O), que é igual a e0 cos O = 1 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, obtém-se 1,29 como valor aproximado da abcissa do ponto B e 1,57 como valor aproximado da abcissa do ponto C

Área do trapézio = AB +OE x OA "" l,29 + l,57 x 1 "" 1,4 2 2

o X

22. Dado que a reta tangente ao gráfico de f no ponto B é paralela à reta de equação y = Sx, uma equação que traduz o problema é f' ( x) = 8

Tem-se: f'(x) = (e2, + cosx - 2x2)' = (e2x)' + (cosx)' + (-2x2)' = 2 e2x - senx - 4x

Podemos obter, com recurso à calculadora, o gráfico da função f' e a reta de equação y = 8, na janela de visualização [ O, � ] X [ -1, 40]

A abcissa do ponto B, ponto de intersecção das duas l inhas, arredondada às centésimas, é 0,91

y

0,91 X

343


23. a) Comecemos por observar que o ângulo OBA é reto, pois é um ângulo inscrito numa semicircun

ferência. Portanto, o triângulo [ OAB] é retângulo, sendo [ OA] a hipotenusa.

Tem-se assim· sena= AB = AB ' . OA 2 e cos a = OB = OB OA 2 Daqui vem: AB = 2 sena e 0B = 2 cos a

Portanto, o perímetro do triângulo [ OAB] é OA + OB + AB = = 2 + 2 cos a + 2 sena= 2 ( 1 + cosa + sena)

b) f'(a) = [2(1 + cosa + sena)]' = 2(1 + cosa + sena)' = = 2 ( - sena + cosa) = 2 (cosa - sena)

f' (a) = O "" 2 (cosa - sena) = O "" cosa - sena = O "" cosa = sena

No interva lo ] o, � [ existe apenas um ângulo para o qual o cosseno e o seno são iguais, que é �

Portanto, � é o único zero de f'

Vem:

o K '/[ X 4 2 f' + o -f í' máx. "'

Portanto, o valor de a para o qual o perímetro do triângulo [ OAB] é máximo é �

24. Designando por x a abcissa do ponto A, o declive da reta tangente ao gráfico da função f, no ponto A, é igual a /'( x) Trata-se, assim, de encontrar o valor de x tal que f' ( x) = 3 f'(x) = 3 "" (x lnx + sen(2x))' = 3 "" lnx + 1 + 2 cos(2x) = 3

344

25.

a)

SOLUÇÕES

Na figura, estão representados o gráfico da função f' e a reta de equação y = 3, bem como o ponto de intersecção destas duas linhas. Também se indica a abcissa deste ponto, arredondada às centésimas.

y

3

o X

Portanto, a abcissa do ponto A, arredondada às centésimas, é 2,63

lim senx = lim senx = lim senx = x - o f(x) - rr x - o rr - 4 sen(5x) - rr x- o - 4sen(5x) senx x x

= _ _1 lim sen x = _ -1 lim __ ,,x ____ = 4 x - o sen(Sx) 4 x - o sen(Sx) Sx x 5x

lim senx = -_1 X _1 X _,,_x -=O-"X __ = -_1 X _1 X _1 = - _l_

4 5 . sen(Sx) 4 5 1 20 hm _ _,__!_ x - 0 Sx

b) g"(x) = (log2 (-� - x))' (-� -x)'

- (� + x) ln 2 (� + x) ln 2 -1 1 =

(-� - x)ln 2

Tem-se, para x E ] - �'[[ , - � [, g"(x)< O, pelo que o gráfico de g tem a concavidade sempre voltada para baixo e não tem pontos de inflexão.

345


e) Seja a a abcissa do ponto A. Como a reta tangente ao gráfico da função h no ponto A é paralela ao eixo Ox, tem que ser h'( a ) = O

26.

h'(x) = f'(x) - g'(x) = ( rr - 4 sen(5x) )' - log2 (- � - x) =

= -4(5x)' cos(5x) - log2 (- � - x) = -20cos(5x) - log2 (- � - x)

Utilizando a calculadora gráfica, podemos visualizar o gráfico de h'

- 1 ,6

- ...1L 3

O valor de a, zero de h' , arredondado às décimas, é -1,6

y

X

a) Uma reta de equação y = ax + b é assintota do gráfico de uma função f, quando x � -oo, se e só se lim [/(x) - (ax + b )] = O

x_,_-oo

Tem-se, neste caso, lim [/( x ) - ( ax + b)] = x--oo

= Jim [ax + b + ex - (ax + b)] = Jim (ex) = e-"" = 0 x--oo x--oo

Portanto, a reta de equação y = ax + b (com a 1 O ) é assintota oblíqua do gráfico da função f

b) Para a função f ser contínua em x = O é necessário que lim /( x) = lim /( x) x-o- x_,_Q+

346

lim /(x) = lim /(x) <> lim (ax + b + ex) = Jim x - sen(Zx)

"" x__,.o- x_,_o+ x-. o- x - o + X

<> a x O + b + eº = lim (](_ - sen(Zx) )

<> x - o+ X x

<> b + l = l - lim Zse�

(Zx) <> b + l = l - 2 x lim

se�

(Zx) $>

x----- o+ X X -- + Ü + X

"' b + 1 = 1 - 2 X 1 $> b = -2

SOLUÇÕES

27. a) Determinemos a abcissa do ponto A

f(x) = O "" 4 cos(2x) = O "" cos(2x) = O <> 2x= � + krr, k E Z <>

<> x = K + krr k E '}', 4 2 '

Como a abcissa do ponto A é o menor zero de f pertencente a JR+, vem A( � , O )

Determinemos a ordenada do ponto C

t(- � ) = 4 cos(2 (- � )) = 4 cos(- � ) = 4 x � = 2 , pelo que se tem e(- � , 2 )

Então: Área do trapézio = DA ; CB x OB =

= 2 rr + K = 7rr 6 4 12

(t +t) + t 2 X 2 =

b) f'(x) = (4 cos(2x))' = 4 x (2x)'(-sen(2x)) = -8 sen(2x)

/"( x) = (-8 sen(2x ))' = -8 X (2x )'( cos(2x )) = -16 cos (2x)

28. a)

Então, f(x) + f'(x) + f"(x) = 4 cos(2x) - 8 sen(2x) - 16 cos(2x) =

= -12 cos (2x ) - 8 sen(2x) = -4(3 cos(2x) + 2 sen(2x ))

1 4x Tem-se: lim /( x) = lim - e x_,_o+ x_,_o+ X

. -(e4x - 1) hm �--� x_,_Q+ X

= lim (-4 x e4x - 1 ) = -4 x lim e4x - 1 = -4 x lim eY - l = -4 X 1 = -4 x_,_o+ 4x x_,_o+ 4x I Y= 4xl y_,_o+ y

Dado que /(ü) = 1 - é+1, tem-se lim f(x) = f(O) <> -4 = 1 - é+1 "" X--+Ü+

"" é+1 = 5 "" k + l = ln S "" k = -l + ln 5

347


b) Uma vez que a função f é contínua para x < O e para x > O, apenas a reta de equação x = O poderá ser assíntota vertical do gráfico de f

c)

29. a)

348

Tem-se:

lim /( x) = lim senx x- o- x-o- 1 - /1 - x3

= lim x----- o··

= lim x-o-

senx x (1 + /l=x3) 1 z - ( / 1 - x3 )2

senx x (1 + /1 - x3 ) x3

� � o lim senx x ( 1 + v 1 - x3 ) = x-o- ( 1 - / 1 - x3 ) x ( 1 + / 1 - x3 )

lim senx x ( 1 + /l=x3) = x- o- 1 - (1 - x3 )

lim ( senx X 1 +/l=x3 ) = x_,.o- x xZ

= lim senx x lim 1 + /1=x3 1 x 02+ = 1 X ( +oo) = +oo x_,.o- X x-o- x2

Portanto, a reta de equação x = O é assíntota do gráfico de f

, 1 1 4x 1 4x Em JR+, tem-se: g (x) = /(x) -- = - e - - = --e-x X X X

Portanto, g" ( x) = (- e:x J = e4x (1 - 4x) g"(x) = O "" x2

X o 1 4

g" + o g u p.i.

(e4x)' x - e4x (x)' x2

4e4x x - e4x X 1 x2

O "" 1 - 4x = 0

+oo -n

<> X = l_ 4

e4x (1 - 4x) x2

Concluímos assim que o gráfico de g tem concavidade voltada para cima no intervalo ] o, ! ] e voltada para baixo no intervalo [ !' +oo[; o ponto do gráfico de abcissa ! é ponto de inflexão .

Tem-se PQ PQ senx = PB =2, pelo que PQ = 2 senx

Tem-se COSX = !� = B2Q ' pelo que BQ = 2 cosx

A(x) = AQ�PQ (2 + 2 cosx) x 2 senx 2

= 2 senx + 2 senx cosx = 2 senx + sen(2x)

(2 + 2 cosx) x senx =

SOLUÇÕES

b) A'(x) = [2 senx + sen(2x)]' = 2 cosx + 2 cos(2x)

30.

A'(x) = O <> 2 cosx + 2 cos (2x) = 0 <> cosx + cos(2x) = 0 <>

<> cosx = - cos(2x) <> cosx = cos( ir - 2x)

Em lR, tem-se: cosx = cos (ir -2x) <>

<> x = ir - 2x + 2 kir V X = - (ir - 2x) + 2 kir, k E l <>

<> 3x = ir + 2kir V -X = - ir + 2 kir, k E l <>

<> x = K + 2 kir V x = ir - 2 kir k E l 3 3 ,

Portanto, no intervalo ] o, � [, a equação A'(x) = O tem apenas uma solução: �

Vem, então:

o K ir X 3 2 A' n.d. + o - n.d. A n.d. i' n.d. " n.d.

Portanto, existe um valor de x, � , para o qual a área do triângulo [ APQ] é máxima.

a) A área da região sombreada é igual à diferença entre a área do quadrado [ ABCD] e o quádruplo da área do triângulo [ ABE]

Determinemos a área do triângulo [ ABE]

Seja E' a projeção ortogonal do ponto E sobre o lado [ AB]

Tem-se AE' = Af = 2 , pelo que tgx = Ef ,

donde EE' = 2 tgx

[ AB x EE' 4 x 2 tgx Assim, a área do triângulo ABE] é igual a 2 = 2 - 4tgx

A área do quadrado [ABCD] é igual a 42 = 16

Portanto, a(x) = 16 - 4 x 4tgx = 16(1 - tgx)

349


b} A função a é contínua no seu domínio, ] O, � [

31.

Como [ :2 , � ] e ]o, � [, tem-se que a função a é contínua em [ :2 , � ] Tem-se: a( 1

rr2 ) "' 11,71 e a(�) "' 4,38

Como a(� ) < 5 < a( :2 ) , o teorema de Bolzano-Cauchy garante que existe um valor de x compreendido entre :Z e � para o qual a área da região sombreada é igual a 5

a} A função g é contínua em JR\{ü}, porque é o quociente de duas funções contínuas. A função g é contínua no ponto O se, e só se, lim g(x) = lim g(x) = g(o)

x - o + x - o -

Como lim g(x) = lim g(x), é suficiente calcular um dos limites. x _,_ Q + x _,. o -

J( ) -x + sen (.!5._) sen (li..) lim g(x) = lim _x_ = lim 2 = lim -x + lim 2 -

x _,. o- x - o - X x --- o- X x - o- X x - o- X

sen (.!5._) = -1 + 1- x lim 2 = -1 + 1- x lim _se_n_y = -1 + 1- x 1 = -1_ 2 x - o - � jY =f I 2 y - o - y 2 2

Então, lim g(x) = lim g(x) = g(o) x - o - x - o+

'°" k = ln 1- '°" k = - ln 2 2

b} 2 f'(x) = (f(x) + x)2 - 1 '°"

350

'°" 2 (-1 + � CDS ( � ) ) = (-X + sen ( � ) + X t - 1 '°"

'°" -2 + cos (� ) = sen2 (� ) - 1 '°" -2 + cos(� ) = - [1 - sen2 (� )] '°'

( X ) - 1 ± /12 - 4 x (-2) '°" cos 2 = 2 '°"

'°" � = 2 krr, k E z '°" X = 4 krr, k E z

cos(� ) = -2 V '-e---' equação impossível

As soluções desta equação que pertencem ao intervalo ] -2rr, Srr [ são O e 4rr

32.

a)

b)

!(li_ + h ) - t(]i_) f' (li_) = lim 2 2

2 h-0 h

h + cos (Ii_ + h ) = lim 2 = lim h - sen h

h - 0 h h - 0 h

SOLUÇÕES

lim (1 - sen h ) = 1 - 1 = O h - 0 h

lim f( x) = lim 3x + l - xex = lim (3 + .1 _ ex) = 3 + -1- - e-00 = 3 + O - O = 3

x_,.-oo X X ---+-oo X x --oo X -oo

lim [f(x) - 3x] = lim (3x + 1 - xex - 3x) = lim (1 - xex) = X --->--oo x --oo x.-.-oo

ooXO = 1 - lim (xe x) 1 - lim __)(___ = 1 - lim

-y = X--+-00 X---'>-00 e-X IY = -xl y -+oo eY

= 1 + lim -1- = 1 + -1- = 1 + 0 = 1 y -+oo eY +oo

y

Portanto, a reta de equação y = 3x + 1 é assíntota oblíqua do gráfico da função f, quando x - -oo

33. Para que a reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a seja paralela à reta de equação y = � + 1, tem de se verificar a condição g'( a) = �

g'(x) = ( sen(2x ) - cosx )' = ( sen(2x ) )' - ( cosx )' = 2 cos(2x) + senx

g'(a) = � .,, 2 cos(2a ) + sena = � .,, 2 (cos2 a - sen2 a) + sena = � <>

.,, 2 (1 - 2 sen2a) + sena = � "" 2 - 4sen2a + sena - � = O <>

<> -4 sen 2 a + sena + � = O <> 8 sen 2 a - 2 sena - 3 = O <>

2 ± /4 - 4 x 8(-3) <> sen a = 16 <>

.,, sena = � V sena = - �

sen a = 2 + 10 "" 16

Das duas condições anteriores, somente a segunda admite solução em ]- �' o [

Essa solução é -� . Portanto, a = -�

351

34.

a)


lim f(x) = lim X-+ 1+ X-+1+

� 1 - Vx + sen (X - 1 ) O

= 1 - x

1 e sen(x - 1 ) lim - v x + lim x_,.1+ 1 - x x-· 1+ 1 - x

l . (1 - Vx)(l + Vx) 1 . sen(x - 1) lill + lill

x - 1 ' ( 1 - X)( 1 + Vx) x- F 1 - X

1 sen(x - 1 ) = lim - x + lim

x-F (1 - x)(l + Vx) x-1' 1 - x

. 1 . sen ( x - 1 ) 1 . sen ( x - 1 ) = hm + hm = - + hm

x-F l + Vx x-1� 1 - x 2 x-1� 1 - x IY=�-1 1

= 12 + lim seny y-0" -y

1 2

lim f(x) = lim (xe3+x + zx) = e4 + 2 x_,_ 1- x_,_1-

Como = lim J( x) ofa lim f( x ), conclui-se que não existe lim f ( x) e, portanto, a função f x-· 1+ x-1 - x_,_1

não é contínua em x = 1

b) Seja y = mx + b a equação reduzida dessa assintota.

352

. f(x) . xe3+x + zx � m = hm -- = hm = 3+x z lim ](_f__ + lim __JS_ =

x--oo X X-·-= X = lim e3+x + 2 = e-00 + 2 = O + 2 = 2

X--+-co

x--co X x--oo X

h = lim (f(x) - Zx) = lim (xe3+x + zx - 2x) = lim (xe3+x) X-+-00 X_,_-cc X--+-00

= e3 x lim (xex) = e3 x lim � x_,_-oo x-·-= e-x

ooxO

Seja y = - x e, portanto, -y = x . Como x - -oo, tem-se que y - +oo

Então, e3 x lim � = e3 X lim -y = - e3 x --�1--x_,.-co e-x Y-++co eY lim eY

= - e3 x -1- = - e3 x O = O +oo

y-+oo Y

Portanto, a reta de equação y = Zx é a assintota oblíqua do gráfico da função f, quando x tende para -oo

SOLUÇÕES

35. Designando por x a abcissa do ponto A, o declive da reta tangente ao gráfico da função f no ponto A é igual a f'(x). Como a incl inação da tangente ao gráfico de f, no ponto A, é igual a � , o seu declive é igual a tg � , ou seja, é igual a 1

36.

Trata-se, assim, de encontrar o valor de x tal que f'(x) = 1 f'(x) = l "" (Inx + cosx - 1 )' = 1 "" 1. - senx = l

X

Na figura estão representados o gráfico da função f' e a reta de equação y = 1, bem como o ponto de intersecção destas duas linhas. Também se indica a abcissa deste ponto, arredondada às centésimas. Portanto, a abcissa do ponto A, arredondada às centésimas, é 0,63

y f'

o n X

a} Dado que a circunferência de centro no ponto C tem raio 1, podemos imediatamente concluir que DC = cosx e que DA = senx

Por outro lado, sabemos que para qualquer posição do ponto A se tem DE = 6, pelo que podemos concluir que CE = 6 + cosx

Assim, a área do triângulo [ ACE] é dada por Bi x Díf

2 ( 6 + cosx) X senx

2 6 senx + cosx senx _ 3 senx + 1. cosx senx = 2 2

= 3 senx + ! (2 cosx senx) = 3 senx + ! sen(2x)

b} A função f definida por f(x) = 3 senx + ! sen(2x) é contínua no seu domínio ] o, � [, pois é soma de funções contínuas. Como o intervalo [ �, � ] está contido em ] o, � [, a função f é contínua em [ �, � ]

Tem-se:

t(K) = 3 senK +1- sen (2 x K) = 3 x 1. + 1. sen (K) = 6 6 4 6 2 4 3

= l_ + 1_ X /3 = 12 + 13 ,,, 1 7 2 4 2 8 '

f(K) = 3 senK +1- sen (2 x K) = 3 X Vz +1- sen (K) = 4 4 4 4 2 4 2

312 +1-= 1 + 612. - 2 4 2 4 4 ,

Podemos, portanto, afirmar que !( � ) < 2 < !( �)

Pelo teorema d e Bolzano-Cauchy, podemos concluir que a equação f( x ) = 2 tem, pelo menos, uma solução em [ �' � ]

353

37.

a)


/(x) - t(K) f(x) - f(K) lim 2 - lim 2 x-K 2X - 1C x-K z(x - K) 2 2 2

f(x) - f(K) 1_ lim 2 2 rr rr X -+ - X -� 2 2

= � ( ; - sen 22rr ) = � (; - sen rr) = � ( ; - O) = �

� t(; ) =

b) f"(x) = (x)' - (sen(2x))' = 1 - 2 cos(2x)

38.

f"(x) = O <> 1 - 2 cos (2x) = 0 <> cos(2x) = � <>

<> 2x = -� + 2 krr V 2x = � + 2 krr, k E Z <>

"" X = -� + krr V X = � + krr, k E z

No intervalo ]- ;, � [, tem-se: f"(x) = O <> x = -� V x = �

7[ 7[ K X 2 6 6 f" + o - o +

f V p. i . í\ p.i. V

K 4

O gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ]-; , - � ] e em [ �, � [ e tem concavidade voltada para baixo em [-�, � ] O gráfico de f tem dois pontos de inflexão, de abcissas -� e �

a) lim /( x) = /( 2 ) = 2 e2-2 = 2 x 1 = 2 x - 2-

354

( sen(2 - x) ) % ( sen (2 - x) ) lim /( x) = lim 2 + k = lim 2 + k =

x _,. z + x _,. z+ X + x - 6 x - z -i- X + X - 6

(Fazendo a mudança de variável y = 2 - x, vem x = 2 - y)

l ' ( seny ) k l' ( seny ) k = y1.�- (2 - y)2 + (2 - y) - 6

+ =yi.�- 4 - 4y + y2 + 2 - y - 6

+ =

= 1m + = 1m + = 1. ( seny ) k 1. ( seny

) k y-o- y2 - 5y y-o- y(y - 5 )

= lim ( seny ) x lim (-1�) + k = 1 x (-1-) + k = -1-+ k y-o- y y-o- y - 5 5 5

Para que a função seja contínua em x = 2, tem que ser -� + k = 2, ou seja k = V

SOLUÇÕES

b) Como o domínio de f é superiormente limitado, basta verificar se o gráfico de f admite assíntota horizontal, quando x tende para -oo

ooxO lim J(x) = lim (xex-2) = (Fazendo a mudança de variável y = -x) X-+-CO X->-00 = lim (-ye-Y-2 ) = lim (-_l'_) = lim (-_1_ x L) =

y - + oo y.-.-+oo eY+2 y-+oo e2 eY

O gráfico de f admite assíntota horizontal de equação y = O, quando x - -oo

39. Como a reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a, o declive desta reta é igua l a f'(a)

40.

Tem-se f'(x) = (1 - cos (3x))' = 3 sen (3x). Logo, mr = f'(a) = 3 sen (3a)

Como a reta s é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a + � , o declive desta reta é igual a g'(a + � )

Tem-se g'(x) = (sen (3x))' = 3 cos (3x)

Logo, m5 = g'(a + � ) = 3 cos (3(a + � )) = 3 cos (3 a + � ) = -3 sen (3a)

Dado que as retas r e s são perpendiculares (e nenhuma delas é vertica l), tem-se mr = _ __1_ ms Assim, 3 sen (3a) = - _3 se� (3a) "" 9 sen2 (3a) = 1 "" sen2 (3a ) = �

Como a E ] �, � [ vem que 3 a E ] rr, 3 { [ , ou seja, 3a pertence ao terceiro quadrante e, portanto,

sen (3a) = - �

a) O problema reduz-se à resolução da equação d( t) = d( O ) , para t E ] O, 3 ]

Tem-se:

d( t ) = d(O ) "" 1 + � sen (rr t + �) = � "" sen (rr t + � ) = � �

� 7!: t + � = � + 2 k 7!: V 7!: t + � = 7!: - � + 2 k rr, k E Z� <>

355


Para k = O vem t = O V t = � (apenas interessa cons"1derar a solução � )

Para k = l vem t = 2 V t =li_ 3 Para outros valores de k, obtêm-se valores de t que não pertencem ao intervalo J O, 3 ] Portanto, durante os primeiros três segundos d o movimento, os instantes, d iferentes d o inicial, em

2 8 que o ponto P passou pelo ponto A foram 3s , 2s e 3s

b) Como a função d é contínua em todo o seu domínio, também o é no intervalo [3, 4] Tem-se: d(3) = 1 + 1-sen (3JI + II.) = 1 -.lsen (II.) = 1 - .1 x .1 = ]_ 2 6 2 6 2 2 4

d( 4) = 1 + � sen ( 4JI + � ) = 1 + � sen ( � ) = 1 + � x � = !

Assim, d(3 ) < 1,1 < d(4)

O teorema de Bolzano-Cauchy permite, então, concluir que houve, pelo menos, um instante, entre os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância do ponto P ao ponto O foi igual a 1,1 metros.

41. f'(x) = (a sen x)' = a cos x

42.

Portanto, f'( 237I ) = a cos 23JI = a CDS (JI - � ) = - a CDS � = -�

Assim, a reta r tem declive -� Como esta reta tem inclinação igual a JI6 radianos, tem-se que _Q_ = tg lI. 2 6 Logo, _il_ = tg lI. "' _ il_ = /3 "' -3 a = 213 "' a = - 213 2 6 2 3 3

a) Tem-se:

356

h'( t ) = ( 20 + }JI cos(2 Jit) + tsen(2 irt) )' = - sen(2 irt) + 2 irtcDs (2 irt) + sen(2 irt) = = 2irtcos (2 irt)

h' ( t ) = Ü "' 2 Jrt CDS ( 2 Jrt) = Ü "' 2 Jrt = Ü V CDS ( 2 Jrt) = Ü "' "' t = O V 2irt = � + kir, k E Z "' t = O V t = � + �, k E Z

SOLUÇÕES

No intervalo [0, 1 ] , tem-se f'( t ) = O o d = O V t = � V t = � V t = l

t o 1 4

h' + o -

h mín. � máx. �

h( o ) = 20 + l7[ "' 20,16

h( � ) = 19,25

h( � ) = 20,25

Assim, M = h( � ) = 20,25

h( 1 ) = 20 + 217f "' 20,16

e m = h( � ) = 19,25

Logo, A = 20,25 - 19,25 = 1

b) Recorrendo à calculadora gráfica obtém-se: y

h

3 4

o

mín.

X o 0,61 0,88 1

1

+

� máx.

Os pontos de intersecção do gráfico da função h com a reta de equação y = 19,5 têm abcissas a "' 0,61 e b "' 0,88. Assim, b - a "' 0,27

Podemos, portanto, concluir que, no decorrer da medição, a distância do P ao ponto fixo do vale foi inferior a 19,5 metros durante 0,27 minutos.

43.

a) lim /(x) = l im x - lnx

X--++oo X X--++oo X 1 - lim lnx = 1 x -+oo X

lim [/(x) - x] = lim (x - lnx - x) = lim (-lnx) = - oo X--++oo x ...... +oo x-+oo

Portanto, o gráfico da função f não tem assintota oblíqua.

b) No intervalo ]-�, o [ tem-se:

f' ( x) = ( 2 + sen x )' = ( 2 + sen x )' cos x - ( 2 + sen x )( cos x )'

cosx cos2x cos2x + 2senx + sen2x 1 + 2 senx =--�-��--

cos2x cos2x

cos2x + (2 + senx) cos2x

357


f'(x) = Ü ., 1 + 2 sen x º "" 1 + Z senx= o ., senx = - 21 "" x = - 7f6 cos2x

X _j[_ _j[_ o 2 6 f' - o +

f � mín. �

Portanto, a função f é decrescente em ]-�, - � ] e é crescente em [-�, o[ . Tem um mínimo para X = -j[_ 6

c) Para x > O, tem-se:

358

f'(x) = (x - lnx)' = 1 -1_ X

rO) = l - i = -1 2

Portanto, a reta r tem declive -1, pelo que a sua equação reduzida é da forma y = -x + b

Como o ponto de tangência tem coordenadas ( �, � + ln 2 ) , tem-se: � + ln 2 = - � + b "" b = 1 + ln 2

Assim, a equação reduzida da reta r é y = -x + 1 + ln 2 Recorrendo à calculadora gráfica, obtém-se:

f y

o -y -1.19 -0,17 X

Portanto, a abcissa do ponto A é -1,19 e a abcissa do ponto B é -0,17

SOLUÇÕES

44.

a) lim [J(x) - x] = lim [ln(ex + x) - x] = x_,.+oo x-+oo

= lim [ln(ex (l + -"-)) - x] = lim [ln(ex) + ln(l + -"-) - x] = X_,.+oo ex x-+oo e X

= lim [x + ln(l + -"-) - x] = lim [ln(l + -"-)] = x-+oo ex x-+oo ex

= lim rln(l + _L)j= ln(l + -1 ) = ln(l + o) = ln(l) = o x-+oo ex +oo

X Portanto, lim [!( x) - x] = O, o que significa, tendo em conta a definição de assíntota oblíqua, que

X --++co

a reta de equação y = x é uma assíntota oblíqua do gráfico da função f, quando x � + oo

b) No intervalo ]- 3f, o [, tem-se:

f' (X) = ( � x2 + CDS X)' = � X - sen X

/"(x) = (� x - senx) ' = � - cosx

f" (X) = Ü ""' � - CDS X = Ü $> CDS X = � ""' X = - �

X 3ir _!L 2 3

1_ _ cosx + o -2

f V {\

o

Portanto, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima no intervalo ]- 3 {, - � [ , e concavidade voltada para baixo no intervalo ]-�, o [ . Tem um ponto de inflexão de abcissa -�

e) A abcissa do ponto A é a solução da equação f' (a) = 1,1, no intervalo ]o, 1 [

No intervalo ]o, 1[ , tem-se: f'(x) = (ln(ex + x))' = (e

x + x) ex + l ex + x ex + x

Logo, f'(a) = l,l"" eª + l = 1,1 eª + X

359

45.

a)

b)


Recorrendo à calculadora gráfica obtém-se: y

f' 1 '1

1 o 0,72 X

Portanto, a abcissa do ponto A é a "' 0,72

Tem-se: lim g(x) = lim l - x2 x_,_1- x_,_1- 1 - ex-l lim x2 - 1

x-1- ex-l _ l l . (x + l )(x - 1 ) 1m

x-1- ex-l _ l lim_ [(x + 1 ) �-� 1 ) ] =

x- 1 e - 1 x - 1

2 = lim (x + l ) x lim x - l = Z x lim x - 1 x_,_ 1- x_,_ 1- ex-l _ l x - 1- ex-l _ l

1 - Z x ---�ex-1 1y�-;-1

lim ---� lim eY - 1 --= l_ = 2 1

x - 1 x-1- x - 1 y--o- y

l . ( ) 1 . (3 sen(x - 1 ) ) 1. (3 sen(x - 1 ) ) 3 1 . sen(x - 1) 1m g x = 1m + = 1m - = - 1m -x_,_1+ x_,_1+ 1 - x x -. 1+ x - 1 x_,_ 1+ x - 1 y�x-1

= 3 - lim seny = 3 -1 = 2 y - 0" y

g(l) = 2

Como lim g(x) = lim g(x) = g(l), podemos concluir que g é continua no ponto 1 X_,_1 " X -+ 1+

sen(x - 1 ) Para x E ]4, 5 [, g(x) = 3 + l - x

( ) 3 3 sen(x - 1) g x = ""' + 1 - x sen(x - 1 ) 3 ""' 1 = O ""' sen(x - 1 ) = O ""' x -1 = Jr ""' x = 1 + 7l" - X no mtervalo ]4.5(

Logo, a solução da equação, no intervalo referido, é 1 + 7l"

e) Para x < O, tem-se:

360

g(x) = O ,,,., 1 - x2 O ""' 1 - x2 = O ""' x2 = 1 ,,,., x = -1 1 - ex-1

Logo, a abcissa do ponto A é -1

Designemos por (a, g( a)), com a < O e g( a) < O, as coordenadas do ponto P

46.

47.

SOLUÇÕES

Consideremos a base do triângulo AO = 1 . A altura correspondente será -g(a)

1 - a2 -3 .. • () .\"

Vem então 1 X (-g(a)) = 5 "" , 2

A abcissa do ponto P é -3, 3 - 10

2 a z a 2 (2xsena + cos ª ) = 4x2 sen2a + 4xsena x � + .fQL_ = 4x2sen2a + 4sena cos a + cos a X X x2 '--..-----J 2

termo independente X "" '

4sen a cos a = 1 "" 2 sen a cos a = � "" sen(2a) = � "" 2a = � + 2 k7f V 2 a = s;: + 2 k7f, k E Z ""

"" a = 1� + k7f V a = �� + k7f, k E Z

Como a E ]7f, 2 7f[, vem a = l3 7f v a = 17 7f 12 12

a) 30 + t sen(7ft) = 2 7

N o intervalo [0, 6], a equação 30 + t sen(7ft) = 27 tem quatro soluções. Interpretação: Durante os seis primeiros segundos, após o instante inicial, houve quatro instantes em que a distância do ponto P ao muro foi de 2 7 decímetros.

b) d(O) = 30

d(13,5) = 30 + 12 e12 -13,5sen(13,5 7f) = 27,32 h

' " ,

h-0.2 d(O) - d(13,5) "' 30 - 27,32 = 2,68

r---27.32 2,6� 0,2 _ ... ·I 4.2

4,2 - 4 = 0,2 l+--- 30

Pelo teorema de Pitágoras, vem: h2 = (h - 0,2)2 + 2,682 "" h2 = h2 - 0,4h + 0,04 + 2,682 "" 0,4h = 7,2224 "" h = 18,06

Portanto, o comprimento da haste é aproximadamente igual a 18 dm.

361

48.

a)


Tem-se que 1 - ; E ] 1- 7r, l [ 2 (1 -K) - 2

Portanto, f( 1 - ; ) = 27[ sen(l - z- - 1 )

Para x E ]1 - 7r, 1 [ , tem-se:

7[ sen(-;)

f'(x ) = ( 2x - 2 ) = (2x - 2 )' sen(x - 1 ) - (2x - 2 )(sen( x- 1 ))' _ sen(x - 1 ) sen2 (x- 1 )

2 sen( x- 1 ) - (2x - 2) cos (x - 1 ) - sen2 (x - 1 ) Assim, o declive da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1 - ; , é

f' 1 - K - 2 sen( ( 1 -t ) - 1 ) - ( 2 ( 1 -t ) - 2 ) CDS ( ( 1 -t ) - 1 ) -( 2 ) - sen 2 ( ( 1 - ; ) - 1 ) 2 sen(-;) + 7r cos (-; ) 2 x (-1 ) + 7r x o = = =-2

sen2 (-;) (-1)2

A reta pedida tem equação y - f(l - ; ) = f'(l - ; )(x - (1 - ;)) <>

<> y - 7r = -2 (x - (l - ;)) <> y - 7r = -2x + 2 - 7r <> <> y = -2 x + 2 Portanto, a equação reduzida d a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa y = -2x + 2

b) No intervalo ]l, 2[, tem-se:

362

f'(x) = (e-2x+4 + ln (x - 1) )' = (-2x + 4)' e-2x+4 + ( x- 1 )' - -2e-2x+4 + _l_ x - 1 x-1

f"(xJ = (-2e-2x+4 + _1_)' = -2(-2x + 4)' e-2x+4 _ ( x - 1 )' = 4e-2x+4 _ 1 x - 1 (x - 1)2 (x - 1 )2

Recorrendo à calculadora gráfica obtém-se o gráfico da restrição da função f" ao intervalo ]1, 2[. A abcissa do ponto de intersecção do gráfico com o eixo Ox é o zero da função f'' no intervalo ]1, 2 [ A abcissa do ponto de inflexão do gráfico de f no intervalo ]1, 2[ é, arredondada às centésimas, 1,23

o 1 l.:l3

1 -K é 2

: :r

49. Tem-se: CD = tga OB = sen(2a) AB = - cos (2a)

SOLUÇÕES

Assim, a área do triângulo [ABC] é dada por AB X (CD - OE)

2 - CDS (2a) x ( tg a - sen (2a))

2 =

- cos (2a) x tg a x (1 - sen (2a) ) sen a - cos (2 a) x tg a x (1 - 2 sena cos a ) tg a - CDS a

= �� 2 2 - CDs (2a) x tg a x (1 - 2 CDs2a)

2 - cos (2a) x tg a x (sen2a + CDs2a - 2 cos2a)

2 - cos (2a) x tg a x (sen2a - cos2a) - CDS (2a) X tg a X (- CDS (2a))

2 = 2 tg a CDs2 (2a)

= �� 2

363

Complexos

1. a) Para que z1 seja raiz do polinómio x 2 + bx + e tem de se verificar a igualdade z12 + b z1 + e = O

Como z1 = l + i , vem: (1 + i)2 + b(l + i) + c = O

2. a)

Tem-se: (l + i)2 + b(l + i) + c = 0 "" 1 + 2 i + i2 + b + b i + c = 0 ""

"" 2 i + b + b i + c = 0 "" b + c + ( b + 2 )i = 0 ""

"" b + e = O A b + 2 = O "" e = - b A b = -2 "" b = -2 A e = 2

Para que z1 x z2 seja um número real negativo, � - a tem de ser da forma rr + 2 k rr (k E Z) .

Ora, � - a = rr + 2 k rr "" a = - 34rr - 2 k rr (k E Z)

Pretende-se que a pertença ao intervalo [ O, 2 rr ] . Para isso, deve considerar-se k = -1.

Vem, então:

2 + i . (2 + i)(l + i) . 2 + 2 i + i + i 2 . 2 + 2 i + i -1 W =--- l = - 1 = - I = i = 1 - i (1 - i)(l + i) 1 - i 2 1 + 1

= 1 + 3 i - i =l +li 2 2 2

Vamos agora escrever este número complexo na forma trigonométrica.

tg B =2-= 1 1

l B E 1. 0 �uadrante

=> B = rr4 . Portanto, l_ + l; = Vz eis K 2 2 2 4

b) z1 + z2 = cis(a) + cisG - a) = (cos a + i sen a J+ [cos (� - a) + í sen(� - a)] =

364

= (cos a + i sen a) + (sen a + i cos a) = cos a + i sen a + sen a + i cos a =

= (cos a + sen a ) + i( cos a + sen a)

Portanto, z1 + z2 tem parte real igual ao coeficiente da parte imaginária, pelo que o seu afixo pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

SOLUÇÕES

3.

a) Tem-se z1 = (2 - i)(2 + eis ;) = (2 - i)(2 + i) = 4 - i2 = 4 + 1 = 5 = 5 cis 0 e Zz = � eis (-;)

Portanto, 3-Zz

5 eis O 25 eis ;

b) Como o triângulo [AOB] é equilátero, cada um dos seus ângulos internos tem 60° de amplitude. Como os pontos A e B são os afixos de dois números complexos conjugados, os pontos A e B estão simetricamente dispostos em relação ao eixo real. Por isso, o segmento [OA] faz um ângulo de 30° com o eixo real.

A

o

B

Como o perímetro do triângulo [AOB] é 6, cada lado tem comprimento 2

z = 2 eis 30º = 2 (cos 30º + i sen 30º) = 2( IJ + � i) = 13 + i

4. A figura i lustra a situação.

5.

A 5

5 C B

� 8 �

�z �z �z �z Tem-se AB + BC = AC , ou seja, AB + 64 = 100, donde vem AB = 6

Portanto, a área do triângulo [ABC] é 6 X 8 = 24 2

3 - 2 i + (3 - 2 i)2 + z i 43 Z = ��-8 eis ( 32

71' )

(8 - 16i) x í = ��--8í x í

8í + 16 8

3 - 2 i + 9 - 12 i - 4 - 2 i -8i

Z + i

8 - 16í = -8i

365

COMPLEXOS

6. Como 1 é um zero do polinómio z3 - z2 + 4z - 4 , o polinómio é d ivisível por z - 1

7.

a)

366

Efetuando a divisão do polinómio z3 - z2 + 4z - 4 por z - 1, utilizando a regra de Ruffini, tem-se:

1

1 1

Portanto,

-1

1

o

4

o

4

-4

4

o

z3 - z2 + 4z - 4 = 0 "" (z - 1 )(z 2 + 4) = 0 "" z - l = O V z2 + 4 = 0 "" z = l V z = 2 í V z = -2 í

N a figura, está representado o triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexos 1 , 2í e -2í

Im(z) 2

o

-2

O perímetro deste triângulo é 4 + 2 15

1

(1 + 2 í) x í4"+3 - b (1 + 2 i) x í3 - b w = = -�-��----

12 eis ( 5:) 12 ( cos 54rr + í sen 54rr )

Re(z)

(2 - b) - í ( b - 2 ) + í =

((b - 2 ) + í)(l - í) (l + i)(l - i)

b - 2 - (b - 2 )í + í - í2 --�-��-�= l + í l + í

b - 2 - b í + 2 í + i + 1 2

b - 1 + í(-b + 3 ) 2

1 - í 2

b - 1 3 - b . -- + --1 2 2

(-í + 2 ) - b - 1 - í

Conclui-se então que, para w ser um número real, tem que ser 3 z b = O "" b = 3

SOLUÇÕES

b) Seja z = x + y i um número complexo qualquer. Tem-se:

8. a)

= 1 + 2x + x2 + y2 + 1 - 2x + x2 + y2 = 2 + 2x2 + 2y2 = 2 + 2(x2 + yZ) =

= 2 + 2 1 Z 12 = 2 + 2 X 1 2 = 4 _., � 1

z 2 + z + 1 = 0 <> z = -1 ± � "" z = -1 ± /=3 ,,,, z = -1 ± 13i 2 2 2

Então w = - 1- + 13 i = cis 2 rr ' 2 2 3

Portanto, 1 = 1 w eis 2rr 3

cisO . ( 2 rr ) = ClS -3 eis 2 rr 3

b) Seja z = x + y i um número complexo qualquer.

9.

(z + i) x (z - i) = (x - y i + i) x (x + y i - i) = (x + ( 1- y)i) x (x + (y - l )i) =

= (x + (1 - y)i) x (x - (1 - y)i) = x2 - ((1 - y)i) 2 = x2 - (-(1 - y)2) = x2 + (1 - y)2

Está provado que (z + i) x (z - i) = 1 z - i 1 2

a) Substituindo, na equação i z = -Z, a variável z por 16 eis � , vem:

i (16 cis � ) = - (16 eis � ) , que é equivalente a

(eis � )( 16 eis � ) = - [ 16 eis (-� )] , que, por sua vez, é equivalente a

16 eis ( � + �) = 16 eis (-� + 7t) , que, por sua vez, é equivalente a

16 eis 3,;: = 16 eis 34rr , que é uma igualdade verdadeira.

Portanto, z1 é, efetivamente, solução da equação í z = -z

367

COMPLEXOS

b} O polígono cujos vértices são os afixos, no plano complexo, das raízes quartas de z1 é um quadrado inscrito numa circunferência centrada na origem do referencial e de raio Z(fü = z )

10.

Portanto, a diagonal do quadrado tem comprimento 4. Como um quadrado é um caso particular de um losango, e como a área de um losango é igual ao semiproduto das diagonais, vem que a área do quadrado em questão é 4 X 4 = 8 2

a} z1 e z2 serão raízes quartas de um mesmo número complexo, se for verdadeira a igualdade (z1 )4 = (zz )4

(z1 )4 = (1 + i)4 = [(1 + ;)2]2 = (1 + Z i + ; 2) 2 = (2 i)2 = 4i2 = -4

(z2)4 = (12 eis 3: )4 = ({2)4 eis (4 x 3:) = 4eis 3rr = 4cis rr = -4

O número complexo pedido, do qual z1 e z2 são raízes quartas, é -4

b} Representemos, no plano complexo, o triângulo [AOB]

B �--1---� A

- 1 o 1

O perímetro do triângulo [AOB] é, portanto, 2 + f2 + f2 = 2 + zf2

11.

a} Como z1 = p eis � , vem 1 z1 1 = p

368

Tem-se, então: p eis rr3 -��= cis ll p 3

K + z k rr V eis � = eis 3 2 , k E {o, 1}

Portanto, as raízes quadradas de I ��

I são eis � e eis 76

rr

SOLUÇÕES

b) z2 = 2 í x z1 = 2 eis � x p cis � = 2p cis (� + � )

Na figura está representado, no plano complexo, o triângulo [OAB], onde A e B são os afixos de z1 e de z2 , respetivamente.

12.

2p p

o

O triângulo [OAB] é retângulo. Como a sua área é igual a 16 , vem P X 2P 16 , pelo que p = 4 2 Vem, então: z1 = 4 eis � = 4( cos � + í sen �) = 4( i + i 1) = 2 + 2 13 i

a) Como z é uma raiz cúbica de w, tem-se z3 = w

z3 = (1 + 2í )3 = 13 + 3 x 1 2 x 2 í + 3 x 1 x (2í)2 + (2 í)3 = 1 + 6 i - 12 - B í = -11 - 2 í

b) l z l = V12 + 22 = IS

Portanto, z = /5 eis a Logo, i z2 = cis � x (/Scis a)2 = cis � x 5 cis(2a) = 5 cisG + 2 a)

13. a) (1 + 2 i)z = 6 + z1 x z1 <> (1 + 2i )z = 6 + 4 <> (1 + 2 í)z = 10 <> z = 1�

º2 1 <>

10(1 - 2 í) {:::} Z = � (1 + 2 í)(1 - 2i) z = lü(l - 2 i) <> z = 2(1 - 2 í) <> Z = 2 -4 i 5

Seja e um argumento de Z1. Vem: tg B = /3 => B =K ll E 1.º Q 3

Portanto, (z1 x z2 )" = [2 cis � x eis (-� )]" = [2cis ( � - � )]" = (2 cis i� )" = 2 " eis 21n5rr

369

COMPLEXOS

Para que 2 n eis 2 tsrr seja um número real positivo, terá de ser verdadeira a igualdade 21

nS rr = 2 k rr,

com k inteiro. 2 n rr = 2 k rr "" n rr = lS k rr <> n = lSk (k inteiro). lS '

Portanto, o menor valor de n natural para o qual (z1 X z2 )" é um número real positivo é n = lS x l = lS

14. ( 2 eis 1:1)2 x (1 + /3i) = 4 eis(2 1:1) x 2 eis(� ) = Seis (2 1:1 + � )

15.

a)

Este número complexo pertence à bissetriz do terceiro quadrante se, e só se, 2 1:1 + � = S4

rr + 2 k rr (k E Z)

Tem-se:

Para k = O, tem-se 1:1 = 1z1: , valor que pertence ao intervalo [O, � ] Para qualquer outro valor de k (inteiro), o correspondente valor de 1:1 não pertence ao intervalo [ O, � ] Portanto, 1:1 = ll rr

24

w 3 - i x (císf)7

2 - i 3 - i x eis rr

2 - i 3 - i X (-1) 3 + i (3 + i)(2 + i)

2 - i = 2 - i = (2 - i)(2 + i)

= 6 + S i - 1 = S + S i = l + i = 12 eis E. 4 + 1 5 4

6 + 3 i + 2 i + i 2 22 · 2 - 1

b) l z1 + z2 12 = i cís ; + 2 + i l2 = i cos ; + i sen ; + 2 + i l2 = 1 (2 + cos ;J + (l + sen ;) i l2 =

16.

370

= 4 + 4 cos ; + ( cos ; ) 2 + 1 + 2 sen ; + ( sen ; ) 2 =

= 5 + 4 cos ; + 2 sen ; + 1 = 6 + 4 cos ; + 2 sen ;

k + i 2 12 i 3 x ( cos t + i sen t)

k + i -212 i x (lf + lf i)

k + i

-2 i - 2 i 2 = 2 - 2 i (2 - 2 i)(k - i) (k + i)(k - i)

2 k - 2 i - 2k i + 2 i 2 _ k + i k + i

2 k - 2 + (- 2 - 2 k)i 2 k - 2 -2 - 2 k . = + 1 k2 + 1 k2 + 1 k 2 + 1

k2 + 1 -

Para esta expressão designar um número real, -2 - 2k tem de ser igual a zero, pelo que k = -1 k 2 + 1

17.

a) 8 eis ir + 2

6i é um imaginário puro.

SOLUÇÕES

-8 + 2 -6 -6x (-i) i X (-i)

b) Como o pentágono é regular, os arcos de circunferência compreendidos entre dois vértices consecutivos são iguais. Cada um deles tem, portanto, amplitude igual a z

5ir

Por outro lado, o afixo de Z cis � é o ponto A (único vértice do pentágono que se encontra no primeiro quadrante).

18.

a)

A • 1 · fi · B · z · ( ir + 2 ir ) 2 . ( 1 1ir ) ssim, o numero comp exo CUJO a xo e o ponto e c1s 3 5 = c1s �

2rc 5

Portanto, uma condição que define a região sombreada (excluindo a fronteira) é l z l< Z A K < Arg(z) < ll ir 3 15

- l + i rz eis ir

Vzeis 3 ir 4 rz eis ir eis(-� )

Este número complexo tem módulo 1

Por outro lado, eis(-� ) = cos (-� ) + i sen(-�)

Cálculo auxiliar: l - l + i l =i1+1 = Vz

tg B = -1 "" B = 3 ir ÜE2.ºQ 4

Como cos (-� ) > O, trata-se de um número complexo cuja parte real é positiva.

Como o complexo tem módulo 1 e a sua parte real é positiva, pertence ao conjunto A

371

COMPLEXOS

b) A condição 1 z 1 = 1 define a circunferência de centro na origem e raio 1

19.

372

O conjunto A é a parte desta circunferência que está representada na figura seguinte:

1

Portanto, à condição z e A /\ - J :S Arg(z) :S J corresponde o arco de circunferência representado a seguir:

1

O seu comprimento é a quarta parte do comprimento da circunferência, ou seja, z: = �

Escrevendo z = p eis 8, vem:

(p cis 8) 2 = (p cis 8) x Vzcis(-J) "" p2 cis(28) = p cis(-8) x Vzcis(-J) ""

"" p2 cis(2 8) = Vz p cis (-J - 8) "" p2 = Vzp /\ 2 8 = - J - 8 + 2 k rr , k c l ""

"" p 2 - Vzp = 0 /\ 3 8 = - J + 2 k rr , k c l "" p(p - Vz) = O /\ 8 = - 1� + Z� rr , k c l ""

"" (p = O V p = /2) /\ 8 = - 1� + 2 � rr , k e l

b)

20. a)

SOLUÇÕES

Os valores, não nulos, de z para os quais z2 = z x z1 são portanto da forma: h · ( 7[ 2 k ic ) Z = V L. CIS -rr + -3 - , k E '[,

Existem, assim, três valores, não nulos, distintos: k = O -Vzeis(-;2 )

k = 1 - rz eis(-:2 + 237[ ) = rz eis( i�)

k = 2 -rz eis(-I'z + 437[ ) = rz eis(1{;)

A condição O <:: Arg(z - z1) <:: 3: corresponde à região compreendida entre as duas semirretas com origem no afixo de z1 (a semirreta contida na bissetriz dos quadrantes pares corresponde à condição Arg(z - z1) = 34

ic ; a semirreta paralela ao eixo real corresponde à condição Arg(z - z1) = O)

A condição 1 z - z1 I <:: 1 corresponde ao círculo de centro no afixo de z1 e raio 1 Portanto, a condição O <:: Arg(z - z1 ) <:: 34

ic /\ 1 z - z1 1 <:: 1 corresponde à região assinalada em tom mais escuro (que é a i ntersecção das duas regiões referidas).

i z3 -l3- i = 0 "" z3 = 13_+ i "" z3 = (/3_+ ;) x (-i) "" z3 = 1 -/3i "" z3 = 2 cis(-1'_) 1 1 x (-1) 3

3 ( -� + 2 k n ) 3 ,.-;;- ( - ic + 6 k ic ) Portanto, z = Vzeis 3 = v 2 cis 9 , k E {0, 1, 2 }

A solução que tem afixo no terceiro quadrante obtém-se fazendo k = 2 : V2 eis 1� 7C

373

COMPLEXOS

b) À condição 1 z 1 � 2 corresponde o círculo centrado na origem do referencial e raio 2.

374

2

À condição Re (z) 2: O corresponde o semiplano representado a seguir (semiplano limitado pelo eixo imaginário).

À condição 1 z - 1 I � 1 z - i 1 corresponde o semiplano representado abaixo (semiplano limitado pela mediatriz do segmento cujos extremos são os afixos de 1 e de i )

À condição 1 z 1 � 2 /\ Re (z) 2: O /\ 1 z - 1 I � 1 z - i 1 corresponde a intersecção das três regiões referidas, pelo que corresponde à região aba ixo representada.

2

A área desta região é igual a 38 da área do círculo, ou seja, 1- x rr x 2 2 = 3 ir

8 2

21.

a)

SOLUÇÕES

Tem-se: /3 x i4"-6 + 2 eis(-f)

2 eisG )

13 x i4n x i-6 + 2 [cos(-f) + i sen(-f )]

2 eis(� )

r;; ( • 4) " ( ·6)-1 2(13 1 ·) =

V .5 X l X l + 2 - 21 = 13 x l" x (-1 )-1 +13 - i 13 x l x (-1 ) +/3 - i 2 cisG) 2 cis(� )

_ -13 + 13 - i _ -i 2 eis(� ) 2eis (�)

eis( f)

2 eis(� ) 1 . ( 3 rr rr ) 1 . ( 1 3rr ) TCls --z - s =zc's 10

2 eis(� )

b) z1 + z2 = eis a + eis( a+ � ) = cos a + i sen a + CDS (a + �) + i sen (a + �) =

22.

a)

b)

= cos a + i sen a - sen a + i cos a = (CDS a - sen a) + ( sen a + cos a) i

Dado que a E J l, � [, tem-se: • sen a > cos a, pelo que cos a - sen a < O

• sen a > O e cos a> O , pelo que sen a + CDS a > O

Portanto, Re (z1 + Zz) < O e Im (z1 + Zz ) > O, donde se conclui que o afixo de z1 + z2 , no plano complexo, pertence ao 2.º quadrante.

-2 -2 Zz =-. -=

I ZJ . - 1 +/3i I X 2

-4

= 4/3 - 4i = 13 - i = 2 eis(-E.) 3 + 1 6

-4

1 = -1 + 13i 2

-4(-13 + i) -13 - i (-13 - i)(-13 + i)

Portanto, (z2) " = (2cis(-� ))" = 2 " cis(- n6rr )

Para que (z2) " seja um número real negativo tem de ser _ n;: = rr + 2 k rr , com k E Z e n EN

_ n rr = rr + 2 k rr "" n rr = - 6 rr - 12 k rr <> n = -6 - 12 k 6 O menor natural n, nestas condições, obtém-se para k = -1, tendo-se n = 6

CDS ( rr - a) + i CDS ( t- a) cos a + i sen a

cos ( rr - a) + i sen a cos ( rr - a) + i sen ( rr - a) cos a + i sen a cos a + i sen a

eis(rr - a) = eis(rr - a - a) = cis(rr - 2a) eis a

375

COMPLEXOS

23. a) Tem-se:

376

l - 1 + /3i [ = li+3 = 2

tg B = -13 "" B = '/[ - K = 27[ B E 2.ºQ 3 3

Portanto, - 1 + /3i = 2 eis z;

Tem-se: [ 1 - i [ =l.1+1 = 12

Portanto, 1 - i = 12 eis 7:

Assim, ( . 2 '/[ )3

(- l + /3i)3 2 cis3 Z1 = . = l - i l2cis 77[

4

8 eis 27[ _ 812 cis(27[ - 7'/[ ) = 4l2eis(K) � . 77[ 2 4 4 V � ClS -4

z1 x (z2 ) 2= 412 cis(� ) x eis(2a) = 412 eis (� + 2a)

Para que z1 X (z2)2 seja um n úmero imaginário puro é necessário que � + 2a = � + k 'l[ , k E Z

Como a E [ O, 7[ [ , tem-se:

k = O - a = �

k = l - a = 5 7[ 8

Para outros valores de k, os correspondentes valores de a não pertencem ao intervalo [ O, 7[ [

Portanto, os valores de a pertencentes ao interva lo [ O, 7[ [ para os quais z1 x (z2 )2 é um número , '/[ 5 7[ imaginaria puro são B e 8

SOLUÇÕES

b) Seja Z = X + y i Tem-se:

"" ( 1 + X) 2 + y 2 + ( 1 - X) 2 + y 2 :S 1 o "" 1 + 2 X + x2 + y2 + 1 - 2 X + x2 + y2 :S 10 ""

'°" 2 + 2x2 + 2y2 :S 10 '°" 2x2 + 2y2 :S 8 '°" x2 + y2 :S 4 '°" 1 Z l 2 :S 4 '°" 1 Z 1 :S 2

Outro processo: l 1 + z l 2 + 1 1 - z l 2 :S 10 "" (1 + z)(1 + z) + (1 - z)(1 - z) :S 10 ""

"" (1 + z)(1 + :Z) + (1 - z)(1 - :Z) :S 10 ""

"" l + :Z + z + z z + 1 - z - z + z z :S 10 "" z + zz :Z :S lO ""

24. Comecemos por escrever o complexo z na forma trigonométrica. -2 + 2 i19 -2 + z ;4 x 4 + 3 z - - �""'-='=-'------ /2 eis e - /2 eis e

= l8cis(9f) = 2 cis(� - e)

12 cis e 4

-2 + 2 x i3 12 eis e

-2 + 2 x (-í) 12 eis e

Assim, o número complexo z é um imaginário puro se e só se S ir - e =]J_ + k ir k E Z "" e = 3 ir - k ir k E Z 4 2 , 4 ,

- 2 - Z i 12 cis e

Portanto, os valores de 8, pertencentes ao intervalo ] O, 2 ir [ , para os quais z é um imaginário puro são: 34ir (que se obtém fazendo k = O ) e 7: (que se obtém fazendo k = -1)

25. Comecemos por escrever o complexo z1 na forma trigonométrica. � . 3 ir V ,O CIS-

( 3 ir ) 2 12 . � = eis 4ir -TI = eis( 3

ir ) C!STI

Portanto, tem-se que o conjugado de z1 é z1 = cís( 23ir ) = cis(- 23ir )

Assim, (-k+ 2 k ir ) z4 = z1 "" z4 = cis(- 23ir ) "" z = cis 3

4 , k E {0, 1, 2, 3} ""

ç; Z = Cis(-� + \ir ) , k E {0, 1, 2, 3 }

377

Fazendo k = O, obtemos z = eis(-� )

Fazendo k = 1, obtemos z = eis(� )

Fazendo k = 2 , obtemos z = eis( 56ir )

Fazendo k = 3, obtemos z = eis( 43ir )

COMPLEXOS

Concluímos que os números complexos z que são soluções da equação z4 = z1 são os elementos do conjunto

{eis(-� ) , eis(� ) , eis( 56ir ) , eis( 43

ir )}

26. Comecemos por escrever os complexos z1 e z2 na forma trigonométrica.

27.

378

z1 = (l + i)6 = (12 eis (� ))6 = 23 cis( 64ir ) = Seis(3;)

Si S eis (�) ( ( 67r)) ( 17ir ) Zz = = S eis ir2 - -5 = S eis 10 · ( 6ir ) . ( 6 ir ) ClS -5 ClS -5

Designemos por A1 e A2 os afixos de z1 e z2 , respetivamente. Como A1 e A2 são vértices consecutivos de um polígono regular de n lados com centro na origem O do referencial, tem-se que a amplitude do ângulo A1 O A2 é igual a 2 ir radia nos. n Por outro lado, como os argumentos de z1 e z2 , no intervalo [ O, 2 ir [ , são 3

2ir e 1 {0ir ,

respetivamente, tem-se que a amplitude do ângulo A1 OA2 é igual a 1{; - 3; = �

Portanto, podemos estabelecer a igualdade 2nir = � , o que nos permite concluir que n = 10

1 - 3 i19 1 - 3 i3 1 - 3(-í) Zi = l + í l + í l + í = 1 - i + 3 í + 3 = 4 + 2 í = 2 + i 1 + 1 2

z2 = -3keis( 32ir ) = -3k(-i) = 3 ki

1 + 3 i 1 + 1

( 1 + 3 í)(1 - í) (l + í)(l - í)

l - í + 3 i - 3 i2 1 ·2 - 1

z1 - z2 = 2 + i - 3 kí = 2 + (1 - 3 k) í ; l z1 - z2 i = /22 + ( 1 - 3k)2

l z1 - zz i =IS <> /2 2 + (1 - 3k)2 = IS <> 4 + (1 - 3 k)2 = 5 <> <> (1 - 3k)2 = 1 <> l - 3k = 1 V l - 3 k = -1 <> k = O V 3 k = 2 <> k = O V k = �

Portanto, k = 1-3

SOLUÇÕES

28. z1 = 2 + i - 4 3 · - 4 - 3 í - (4 - 3 i)(2 - í) - 8 - 4i - 6 í - 3 Z1 X Zz = - 1 "" Zz = 2+T "" Zz = (2 + í)(2 - í) "" Zz = 5 ""

"" Zz = 1 - 2 í "" Zz = 1 + 2 í

l2eis � = l + í

Tem-se: l l + í - 2 - í l = l l + í - 1 - 2 í l .,. l -1 l = l - í l "" 1 = 1

Logo, podemos concluir que /2 eis � verifica a condição 1 z - z1 1 = 1 z - Zz I

Interpretação: O afixo de /2 eis � é equidistante do afixo de z1 e do afixo de z2

29. Tem-se 1 - í z

i = -l2o=2=-c�is�B-

12 cis( 7n: ) ��4� = eis( 7n: - B)

12 eisB 4

w = z1 x z14 = cis(7: - B) x (eis(7: - B)t = eis(B - 7:) x eis(7n: - 48) =

= cis ( 2�n: - 3 B) = eis( 5: - 3 8)

Por outro lado,

_7[__ < B < '/[_ "" -3 X _7[__ > -3 B > -3 X '/[_ "" 5 n: -3 X _7[__ > 5 n: -3 B > 5 n: -3 X '/[_ "" 12 4 12 4 4 12 4 4 4 .,. n: > 5 n: -3 B > '/[_ .,. n: < 5 n: -3 B < n: 4 2 2 4

Portanto, o afixo do complexo w pertence ao segundo quadrante, pois o seu argumento está compreendido entre � e n: . Daqui concluímos que Re ( w) < O /\ Im ( w) > O

Como, para além disso, se tem 1 w 1 = 1 eis( 5: ) - 3 B 1 = 1, podemos afirmar que o número complexo w pertence ao conjunto A = {z E lC : Re (z) .< O /\ Im(z) > O /\ 1 z 1 = 1}

379

Formulário

Geometria

Comprimento de um arco de circunferência:

ar (a - amplitude, e1n radianos, do ângulo ao centro; r - raio)

Área de um polígono regular: Semiperímetro x Apóten1a

Área de u m sector circular:

ª�2 (a - amplitude, e1n radianos, do ângulo ao centro; r - raio)

Área lateral de um cone: 7f r g ( r - raio da base; g - geratriz)

Área de uma superfície esférica: 47rr2 ( r - raio)

Volume da pirâmide: t x Área da base x Altura

Volume do cone: t x Área da base x Altura

Volume da esfera: ±irr3 (r - raio) 3

Progressões

Soma dos n primeiros termos de urna progressão ( Un) :

Progressão aritmética: ui � Un x n

1 - ,.11 Progressão geométrica: u1 x --:r=-r

Trigonometria

sen ( a + b) = sena cos h + senb cosa

cos (a + b ) = cosa cos b - sena sen b

1 (a + b) = tga + tgb g 1 - tga tgb

Complexos

(p cislJ)" = p " cis ( n lJ)

"/p cis lJ = "/Pcis( B +n2k ir ) (k E {O, . . . , n - 1} e n E N)

380

Probabilidades

µ = P1X1 + . . . + PnXn !5 = /PI (x1 - µ f + . . . + p,, (x,, - µ)2

Se X é N(µ, !1), então: P(µ - !5 < X < µ + !5) "' 0,6827 P(µ - 2!5 < X < µ + 2!5) "' 0,9545 P(µ - 3!5 < X < µ + 3!5) "' 0,9973

Regras de derivação

( u + v)' = u' + v' (u v)' = u' v + u v' (y_)' = u' v - u v'

V v2 (u")' = n u"- 1 u' (n E R) (sen u)' = u' cosu

(cos u)' = - u' sen u

( tg u )' = --'4--cos u

(e11)' = u1 e11

(a")' = u' a" lna (a E R+ \ { l })

(!nu)' = JL u

Limites notáveis

lirn senx = 1 x � O X

lirn e-' - 1 = ! X--+0 X

lirn ln(x + l ) X --+ Ü X

lirn lnx = O X-++ oo X

1

X lirn -"-- = + oo ( p E R) X--++ oo xP

iave instituto de avaliaÇÃo educati va · apresentação aos alunos esta publicação apresenta...

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