hygino h. domingues - espaços métricos e introdução à topologia

5/14/2018 Hygino H. Domingues - Espaos Mtricos e Introduo Topologia

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Espacos Metricose Introducaoa Topologia


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HYGINO H. DOMINGUES- C4mpuI de S. l doRioPmo -

Espaco s Metrico se Introducaoa Topologia

ATUAl EDITORAEDITORA DA UNIVERSIDADE DE sao PAULO


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CsptJ : S y lv lo U I ho a C in tr a~910 " .: PA lKA Re al lz a of S es G rM lc a s ltda.RrMIo: Maria Stefla de Ol iv e ir a. P a u la de C on ce i9 io H en riq ue s R oc he,E va V .. 11coHebda, Maria de F 6 tlma Ga ll uc c i.Ma ria d e lourdes F. d e Ca rv al ho

Fotol; tO$: Ponto R ep ro du e6 es G rlfic as S C LImpressao:LIS Graflca e Editora Ltda.

CIP - Brasil Catalopviio-na-Publi.aoc a m a r a Brasi.. . do Livro, SPDomingues. Higino Hugueros. 1934 -

071. Esp890Sm6tricos e introdUQio " topologialHygino H. Domingues. - - s a o Paulo: Atual,1982.

Bibl iogrnia.1. ~ metrioos 2. Topologia I.Titulo.

17. COD - 513.8382 - 1326

- 614- 514.3

1.E~ ritricos: Topologia: Matemitica613.83 (17.) 514.3 (1&1

2. TopoIogia:Matem6tica 513.83 (17.) Sf (18.1

Tod o l 0 I itw I t.w , . . . .. . ..A TU AL E DIT OR A. L TD A.RUI I Jot6 Antonio Coelho, 786T .Iefon es: 5 71 7 79 6 - &4 8 1720 - 549 0928C EP 04011 - SIo PtuIo - SP - Bralil

PREFAcIOA b ib li o gr a fi a ma t e rr :u i ti ca b ra s il ei ra e ., d e u rn m od o g era l, ba sta nte lim ita da

n o aspec to q uan tita tiv o. N o q ue se refere a t op o lo gi a, e m p a rt ic u la r, a c re d it am o squ e esse estad o d e ooisas e reJativamente mais a cen tu ad o, in clu siv e p elo f ato d en lO s e tra ta r d e d is cip lin a o brig at6 ria e m n en hu rn de n os so s c un ic ul os m i ni m os .N o e nta nto se u valor ma tem at ic o i nt rf ns ec o, s ua s liga.;Oes c om o utr as partes dam a te m at ic a, a le m d e s ua s m U lt ip la s a pl ic ~, SIo i nd u bi ta v ei s, a j us ti fi ca r t al ve za~ su a in clu sl"o (p elo m en os a n iv el in trod ut6 rio d e esp89 0s me tr ic os ) n as l ic en -c iaturas em matemat ic a .o presen te texto e fru to d e n ossa e xpe ri en e ia como p ro fe ss or d e t op o lo g iapo r v8rlos ano s na P U C-S P e na UNESP (C am pu s d e S . J. d o R io P re to ). Ta l alusfov is a a p a te n te ar 0 can iter d id atico d o liv ro - n a v erd ad e u ma in ic i~io a o a ssu nto ,nascida de no tas de aulas, c uja p re oc up ay lo m aio r e a pro xim a l u rn p ou co maisessa m ateria d o estu da nte d e grad~ em m atem atica , a p artir d e u rn en foq ueclassico,

A e n fa se d o t ra !> a lh o e para os esp~ IM tricos. Nesse sentido 0 capitulo I,s obre c an ju nto s e m 1m ero s rem, e uma p re pa ra s :f o d e terrene: q u an ta a c on ju nt oso realce e para os c on ce ito s d een um en iv e1 e n40 e nw n era ve l; n o que~se refere80S nUme r o s r ea i s a objetivo e , a p ar ti r d e um a axiom a~o d isfa r~d a de corpoo rd en ad o c om ple to , e stu da r u rn p on ca a " to p ol og ia d a reta", co m vistas inc lusivea g en e~ O es qu e s eri o f eit as p os te ri or me nt e. D o c ap it ul o II a o c ap it ul o V IIestud anH e os ~ m etrico s, n os seus aspec tos mais b8sicos e e 1emen t ar es , 0qu e se 'c on stitu i n o tro nc o p rin cip al d es te tra ba lh o. P or 6 ltim o 0 c ap it ul o V I IIe w na bre ve introd~ a ta po lo gia g era l, o nd e 0 graD d e g en e~ e d eabst~ a q ue s e procu ra chegar deeorrem natura1mente do s capltulos precedentes.. Q uere mo s lin da d eix ar re gis tra do s o s n os so s a gra de cim en to s a os s eg uin tescolegas: P ro fs . S an to S cu deri, Maria Cecilia C . e Silva (pUC-SP) e H erm es A .Pedroso (IB IL CE - R i o P r et o) , n o ss os p ar ce ir os em d iv en o s CUlSO$ d e t o po l og i aqu e m in istram os - s u as s u ge st oe s au a o bs elV l\= (o d e s eu tra ba lh o n os fo ra mm u it o u te is ; P ro f. P ete r Almay (puC-SP) co m qu e nfcl raro t ro cam o s i de ia s s o br et6 pi co s d es se s c ur so s - 0qu e s O n o s t ro u xe b as ta n te p ro v ei to .

S. J. d o R io P re to , 1 98 2Oau to r


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iNDICE

Q minha mile

cAPtruLo I: CONJUNTOS - NOMEROS REA IS . . . . . . . . . . . . . 1 1 - Coo jun to s . . . .. .. . . . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. 1

l.In~...................................... 12 . Con ce it o de CODjun to ..... .. 23. Uniio- Interse~ - Complemen~. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. Produtos Cartesianos de Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7S . Rela'tOes BinM ias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. Fun~s........................................ 87. Conjuntos Enumeraveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 . Re i a' tl Ses de Equivalencia .................... 179. Re~ de Ordem ............................. 19

2 - N6 Jneros R eais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201. Introdu'tio . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 202.0 Corpo R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 214. 0 Corpo Ordenado e Completo R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2SExercfcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Dedicado

eQ minha esposa:

cAPfrULO D : E S PA f; O S MTIucos . . . . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . 37 1 - In trodU 9io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37 2 - ~tricas ... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381. Defini'tiO de EsJl8'tO Metrico - Subespayos . . . . . . . . . . . 38

2. Exemplos de E s p ; l ' t O S ~tricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393. Produtos de E s p B ' t O S Metrico s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


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3 - Distint;ia entre Ponto e Conjunto - Distincia entre Conjuntos -D iim etro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 474 - Bolas A bertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50

I. Defmi9io de Bola Ahem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 502. B ol as A b ert as e P ro du to C a rte si an o de Espaco s Metricos . . . . . .. 543 . P rop riedad es B is icas das Bolas A bertas . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55

5 . - Metricas e Nonnas Equ iva1en tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57I. M etricas Equ iva len tes ..... .... , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572. Nonnas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59

6 - Sequ en c ias em ~ Metrioos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62I.S e q ii in c ia s - Umite de um a S equen cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622. SeqiiSnc ias nwn Espayo Produ to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 663 . S eq u en cia s e m Es~ V etoria is Norm ados. . . . . . . . . . . . .. 6 7

Exerc icio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71

CAPtruLo VI: CONJUNTOS CONEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133 1 - C onexidade .... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2 - C o ne xo s e m R - C on ex id ad e d o Rn . . . . . . 136 3 - A p li~O es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371. Teorema do V alor In term ed iario . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1372 . T eo rem a d o Ponto Fixo de Brower. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 8 4 - C onexid ade poi" C am inhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5 - Com ponen tes C onexas .................. , . . . . . . . . . . .. 141Exerc ic io s , . . . . . . . . . . . 142

CAPf r uLO m: A TO POLOG IA DO S ESPA ~O S MTR lCO S . .. .. ... .. 77Exerc icios ........... , . ........ , ........... ". . .. 86

C AP IT UL o V U: F SP AC ;O S M T RIC OS C OM PL ET OS 14 5 1 - S equen cias de C au ch y , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2 - E spaeos C om p leto s , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148 3 - Comp le tamen to de wn Bspaeo Metrico . . . . . . . . . . . . .. 1514 - Pon to F ixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153Exerc ic io s ............................ , .... , . . . . . . . .. 155

CAPfrULO IV: CONTINUIDADE. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1 - Fun~s Continuas , . . . . . . . . .. 89

1. C onceito e Exem plos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892. P rop osi~ s so bre C on tinu idade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973. Opers com FunfiiiesContinuas , , .. , 994. Coo t inu idade da s Transforma~ L ineares .. , . , , . 100

2 - FW1~ U n iform em cn te C on tin uas , ..... . , . . . .. 102I. Concerto , , , ,. 1022 . Exem plos , , , , . .. 1033. P roposi9i)es .. , ................. , , .. , , . . . 104

3 - Espaeos Homeotnorfos ......... , ..... , 1061. HO JR eon ao rf isn to s. . . . . . . . . . . , . , . , . . . . , . . . . . . . , . . . , 1062 . H om eom orfism os U nifo rm es .... , .. , . , . . . . . . . . . . . . . . . 113

Exercfc ios . . . . . . . . . . . , . , . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . 11 5

cAPfrULO VIll: ESPAt;OS roPOLOGICOS 15 9 1 - Introd~ . , , , ". . . . . . . . . .. 159 2 - Topologias ..... , .......... , , ..... , . . 1603 - Axiomas de Separayao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1644 - Bases ~ . .. . . .. . . . . . . 16 6 5 - Bases , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16 7 6 - E spacos S epadv eis .... ..................... , . . . .. .16 9 7 - Fun~s Contfnuas ........... , ............. , . . . 170 8 - Com pactos .. , . ................. , . . , . . . . . . . . . 1739 - Conexos , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 5Exercicios ................... , , . , ................ 175

CAPtruw V: CONJUNTOS COMPACfOS .... '............... , 119I-C om pacid ad e , .......................2 - Compae to s no ltD . 3 - Cont inu idade e C om pacid ad e . ................... , . .. , , 4 - C om pa cid ad e e C on tinu idade U niform e ... , ......... , . , 5 DisUn' tr Coo' CoCJ3 en e JW 1tos m pacto s , .... " .. 6 - Ahertos e C om paci.dade . .. , , , .. . , ,B xercfcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , . , ,

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CAPiTULOl

CONJUNTOS -NUMERO S REA IS

1- CON]UNTOS

1. Introdu~oPor volta de 1870 0 matematico Georg Cantor estudava 0 problema da

representll9!o li as fun~ikS rea is por meio de se ries trigonometricas. Uma dasquestoes a que s e d e d ic a v a era a d e e s te n d er a unicidade da representscao a fun~sdotadas de " infini tos" pontos s ingulares. Fo i assim, indiretamente portanto , fluea ateneao de Cantor se encaminou no sent ido de diversas questoes l igadas aconjuntos infinitos. E suas pesquisas e contribuieoes a respeito vieram a se constituirna base da teoria dos conjuntos como disciplina matematica independente.

Contudo jli em 1632 Galileu chamava a aten~ para a fato de que um acorrespondenc ia biunivoca pode se r e s tabe lee ida entre 0 conjunto dos numerosnaturals e 0 dos quadrados perfeitos, no obstante estes Uitimos se tomarem cadavez mais raros imedida que se avan~a na sequencia do s niuneros naturais. Muitoembora t ivesse percebido que 0 mimero de quadrados perfeitos nlo e menor queo de numeros naturais, Galileu nio encontrou fundamento para considers -losiguais. Afirmou inclusive (e erradamente como e sabido boje ) Rio se r possive l acomparaejo entre "mimeros mflni tos" em termos de "menor" , "igual' au "maier".

Dutro precursor da teoria des conjuntos foi Bolaano, Segundo Carl B. Boyer[2] Bolzano jii teria percebido, ao redor de 1840, que " . . _a inf inidade dos numerosreais e diferente da infmidade dos inteiros, sendo nio enume ravel" . Em sua obrapt' is tuma surgida em 1850, "Paradoxien des Unendlichen" ("Paradoxos sobre 0infin i to"), Bolzano mostrou se rem comuns correspondencias biunivocas entreconjuntos e subconjuntos proprios desses conjuntos. Bolzano e considerado, dentre

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os seus contemporaneos, 0 matematico com ideias mais apropriadas a respeitodessas questOes.Em 1872 Dedekind emseu "Stet igkeitund irrat ionale zahlen" cuja tradU!;io e"A continuidade e os n6meros irracionais" apresentou a primeira deflI\i~o corretade conjunto infmito:"~se q u e, u rn sistema ~ e infmi~ ~uan~o ~ semelhan.te auma parte propria dele mesmo; caso eontrario S se diz infinite Quer dizer,em Jinguagem matematica mais atual, S e infurito se existe A C S, A = # S, e seexiste urna ~!o bijetora f:A -+ S. Mas embora tenha atingido assim a carac-ter ist ica fundamental dos conjuntos inf initos, Dedekind ,010 chegou a perceber aexistencia de infmitos de especies diferentes. A percepeao deste fato, pedra-de-toquepara 0 desenvolvimento da incipiente teorla dos conjuntos , foi 0 grande rneritoinicial de Cantor.

2. Conceito de Conjunto

Dois conjuntos se dizern iguais se constam exatamente dos mesmos elementos,isto e, se todo elemento de urn tambem e elemento do outro e vice-versa. Assim saoiguais, por exemplo, 0 eonjunto das vogais de nosso alfabeto eo conjunto das vogaisdo alfabeto da lingua inglesa, 0 simbolo para indicar a igualdade de conjuntos eo u su a l, i st o e , =. Se todo elemento de ur n conjunto A tambem e elemento deurn conjunto B d izemos que A e st a c on ti do em B e escrevemos A C B. E claroque vale a eqcivalencia": A = B < > A C B e B C A . A rel39io assim intro-duzida e que se expressa pelo sfmbolo C tern as seguintes propriedades: (i) paratodo conjunto A, A C A (reflexwa); (ii) se A C Be Be A, ent!o A = B (anti-sime-trica); (iii) se A C B e Bee, entso A C C (t1ll l1sitiva). Se A C B dizemos que Ae ur n subconiunto de 8. Dizer que urn conjunto 8 contem um conjunto A, 0 ques e e xp re ss a por 8 JA, significa simplesmente que A e subconjunto de 8, ouseja, A C B. Portanto: 8 :> A .c > A C B. 0 conjunto de todos os sub-conjuntos de ur n dado conjunto A e chamado conjunto da s partes de A e e indiocado por .I(A). Se A e urn subconjunto de 8 tal que A = # B, entlio dizemos queA e ur n subcon;unro proprio de B e a notaeso com que se indica este tipo deinclusfo e A C B.* 'i duas mane iras usua is de se indicar urn con junto. Sempre que possivelou praticavel podemos e sc re ve r s eu s elementos entre chaves como nos seguintesexemplos: {a , 1,2} e 0conjunto dos tres prirneiros numeros naturals; {I, - 1 , i,- j}e 0 conjunto das raizes quartas da unidade; { a , 2, 4, 6, .. J e 0 con junto dosnumero s naturais pares. H a casas em que tal processo nio e pratico ou nio epossfvel, Para estes aceitarnos como premissa 0 seguinte: se A e um con junto talque seus e lementos gozam ou nlio de urna dada propriedade P, ent llo existe urnsubconjunto 8 C A que e formado exc1usivamente pelos elementos que gozamda propriedade P. A not~ usada oeste caso e a seguinte:

B = {x E AlP}

o conceito de conjunto certamente e 0 mais importante dos conceitosbasicos da matematica moderna. Como sinonimos de conjunto, no sentido queexplicitaremos a seguir, usaremos os termos " co le cs o" e " el as se ", indistintamente.Quando nos refenmos a u rn conjunto estamos via-deregra p en sa nd o em a lg un sobjetos que, por ur n motivo ou outro , n os c on v em situar coletivamente. Nio hirestri~ quanto a com o d ev ern ser esses obje tos salvo que exc1ui remos a hipo-tese, que s e ri a a li as bas tante inusi tada do ponto de vis ta intui tivo, de urn conjuntofazer parte , como membro, dele proprio. Assim Dio ha nenhurn incoveniente emse pensar num conjunto formado pol um numero real, uma bola de futebol e urnautom6vel.Certos c om u n to s, p el a s ua im po rt an ca a e peta freqiiencia com que se repetem,sio indicados po r nolaliiles especiais:

N: conjunto do s n6meros naturaisZ: conjunto do s nuOle ros i n te i rosQ: conjunto do s n ume ro s r a ci o na isR: conjunto do s n6meros reaisc: conjunto do s n6meros complexos

De urn modo geral os conjuntos sio indicados por letras maiusculas de nossoalfabeto ao passo que os objetos ou membros de ur n conjunto por letras minUscu1as,tambem de nosso alfabeto.Os objetos de urn conjunto aIern de membros desse conjunto sio chamadosem Frat de e i emen tO l do conjunto. Se 8 e urn conjunto ex e urn elemento de 8indicaremos este fa to por x E 8 0 qu e ser.1lido "x pertence a B". Se x nlio e urneJemento de 8 entilo dizemos qu e "x nao pertence a D" e simbolizamos istopar "x f /. 8". Por sim~1o de l inguagem nio raro encontraremos construcoescomo "se x E A" ou "para todo x E A" cujo significado, alias, e 6bvio.

que pod e ser lida a ss im : B e 0 conjunto dos elementos do conjunto A que gozamda propr iedade P. Po r exemplo:

I x E Rlx r$ f)}Aqui observamos que nlio ser ia possfvel descrever este conjunto, atraves dos seuselementos , seguindo a maneira anter ior de indicar urn conjunto. Vejamos algunsexemplos em que urn conjunto pode ser descri to de urn ou outro modo:

{x E N I 0 < x '" 2} ={I, 2} b e . E RI ~ E Z} = {O, 2, 4, . } {xERlx'=}}={-I,I}

.. 0 sfmbolo < > sen!. usado neste texto para relacionar duas senteneas matenuiticasp e q com 0 seguin te sentido: p < >q signif ica que p tern como conseq llencia(acane ta ) q e vice-ve rs a. Obvio, entao 0 siBnificado, pol exemplo, de p > q.

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Retornemos a p re mis sa c ita da lin h as a cim a e c on sld er em o s 0 case em quenenhurn e lem en to d e u rn c on ju nto A p ossu a urna d ad a p ro p ri ed a de P , P ar e xem plo :B = = {x e Itl XZ = = -I}. Em qualquer caso c om o e ste , 0 conjunto B,cuja exis-t en c ia e sta m os a ce it an d o, ehama-se conjunto vazio e e in dic ad o p elo s fm bo lo 0,A inda neSS8 l inha de ideias, se A e urn con ju nto n io vaz io e a e A , e n ti ioe xiste B = Ix E AI = = a}. E ste con ju nto B e UrnCOnjunto unittin'o qu e t amb eme in dica do p or B = = {a},

3. U niao - Inu:~o - ComptementaQlo Au Ba ) S eja m A e B subconjuntos de u rn d ad o c on ju nto U. A un;ao de A co m

Be 0 subconjunto de U , i nd ic ad o p or AU B, assim determinado:A U B = = Ix E U I x e A au x E B},

D ev em o s o bse rv er q ue 0 "au" usado na propriedade que detenn ina A U 8tern u rn sen tid o m ais am ple d o q ue aq uele com q ue e u sa d o n a l in gu ag em c or re n te .N e st a e le e em gera l exclu siv e, co mo por exem plo em "v ou h oje a e sco la o u aoc lu be". N o n osso ca so n io existe e ssa e xclu siv id ad e: u rn e lem en to d e A UB p od eestar sim ulta nea men te em A all em B . E x.em plo: se A = = Ix e ZI x ~ O} e B == {-2, -I, a }, e n ti a A U B = {x E Zlx ~ :""2}. N ote -s e q ue 0 elemento 0,qu e esta em A e em B, tambem rna em A U B.A ope~io de form ar unilles de su bcon jun tos de urn dado con jun to Utem a s s eg u in t es p ro p ri ed a d es -

A U (D U C) = (A U 8) U C para quaisquer A, D, C C U(a ssoc lOtiN) ; AU B =B U A, p ar a q u ai sq u er A, B C U (comutat iwz) ; AU ", = A . para q ua lq uer A C U (fJ e o e le m en to n eu tr o ); A U U = U, p a ra q u aI q ue r A C U; A U 8 =8 < > A C D , para q ua isq uer A , B C U .V ejam os com o se ju stifica parte d esta U ltim a: ( se x EA . e n tl O

x E A U B e como A U B = D (hip6tese) conclui-se qu e x E B. Como todoelemento de A est! em D , e n tio A C B. ) F ic a c om o e xe rc fc io .

N ota: P od em os visualizar a u nilo d e d oia c on ju nto s ( co mo o utra s o pe ~qu e serio introduzidas p oste rio rm en te) atrav es d 08 c ham ad os d iDgramos deEuJer .Venn . P ar a ta n to r ep re se n ta m os 0 c on ju nto U pot o m retin gu lo e cad a omdo s su bcooju otos A e B pot c ir cu lo s c on ti do s n o i nt er io r do retingulo. Quando setratar de t ep re se nt ar a uni50 e sta s era h ac ltu ra da c om o m o stra . a figura qu e segue.

b) D ad os d ais subconjWltos A e B d e um oonjunto U. a inteneq:60 de Ac om . B , q ue in dica re mo s p or A nB. ~ 0 seguinte subconjunto de U :An B = Ix E U lx E A ex e B}

V eja m os u m d ia gr am a d e E u le r- Ve nn p ara r ep re se nta r a tn te rs ec cjo :u

AnDPara a operw yio d e obter in ten ec~6es a partir d e su bc on ju nto s d e U v alemas segu in tes propriedades: ' A n (8 n C ) = (A n B) n C, p a ra q u a is q u er A, B, C C U; A nB = B nA, para quaisquer A , B C U ; An.::., p a ra q u a lq u cr ACU; AnB=AJ\CD.Nota: As opera~s umao e intenecriiO e st fo r eJ a ci on a d as atraves dasp rop ri edades d i s tr ib u t iva s qu e passamos a e n u nc ia r: A n(B U C ) :: (A nB) U(A nC); A U(B nC ) :: (A U B) n(A U C)

p a ra q u ai sq u er A, B. C C U.c) Para cad a subcon jun to A C U , in dica-se pot evA e c h am s -s e c omp l e -

menfDr de A em ~ aU , 0 segu in te su bc on ju nto d e U :euA = {x E U lx fJ A}

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Quando e st iv eJ 1l 10 5 l id an d o c om u rn d et er m in a do c on ju n to U p re -f ix ad o, anot~ C u A s ed sim pliflC ad a p ara A C apenas. Por exem plo , se U =Z e A ::={O, 2, 4, ... }, entio AC ~ {l, 3, is, ... }.

..:: ..

V ejam os um a ilustra-;io deste fato atraves de urn diagram a de Euler-Venn:

........Uu

D ados do is subconjuntos A e D de um dado con jun to U , a diferenftl entreA e D, que se d en ota p or A - D , e d ef mid a p orA - B = Ix E tn x E A e x fB}.

Evidentemente A - B = A nBC como se pode n ota r, in clu siv e, n o d ia gra ma aseguir:

4 . P ro du re s C a rt es ia no s de Conjun tosPara c a d a par de con jun tos A e B adm itirem os a existencia do conjunto

A X B, chamado produto cartedflno de A po r B. c ujo s elem en to s sa o o s pareso rd enado r (8, b), com a E A e b E B . 0 concerto de par ordenado e tornado&qUi como primitive, adrnitindo-se que, para quaisquer (a, b), (c, d) E A X D,

(a. b) = (c, d) < > a = c e b = dAssim: A X B = {(a, b)1 a e A e b E B}.

Por exemplo, se A = {I, 2, 3} e B = {O. 5}, entio A X D = = {(l, 0);(1, 5); (2, 0); (2, 5); (3, 0); (3, 5)}. Devemos notar que, em geral, nio vaie aiguald ade A X B = D X A .o produto de tres conjuntos A, Bee s e d ef in e como A X B X C == (A X B) X C e oproduto de n c on ju n to s EI'~' .,., E n ( n ;; ;.2) e definidod e m a ne ira a na to ga , p or i nd ~lo , do s eg u in te m o d o:

EI X X E n = (EI X X En-I) X E nUrn elemento x EEl X ~ X ... X E n sera indicado s im p 1e sm e nte p or x = = (Xt.Xl, , XtI)Sejam E to ~, . , E n subconjuntos q u ai sq u er . P a ra c ad a ! nd ic e i1'" i'")se jam A i e ~ s u bc o n ju n to s q u a is q ue r de E i. Vale entia 0 seguinte:

At X ... X A n =


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S. RcIa!;6es Binirias

Para ind icannos que f e urna fun~ao de A em B a notay io norm alm en teu sa da e f:A ~ B e, n es te ca so , a o inves d e x fy usa-se y = f ( x) p a ra s ig n if ic a rque (x, y) E f. Se y =f ( x) (le-se "y igual a f de x ") d iz em o s q ue y ea imogem dex por f ou que a x esta assoc iado (a u corresponde} y.Para toda fun~o f: A ~ B 0 co nju nto A e cham ado dominio de f. aopasso qu e B e 0 se u contradominio . 0 conjunto da s im a ge ns e c ham ad o imogemde fee ind icado por 1m (f):

Im(f) = {f(x) I x E A}A s vezes u sa -s e a notacao sim plificada x~ f(x) para expressar um a a p li ca ~of (com d om inic e con tra-do mfnio j a preftxad os) em qu e f(x) e a im agem doelemento generico x d o d om in io .

Exemplo 1: S e A = {I. 2, 3} e B = {4, 5}, entso f = {(I, 4) ; (2,4); (3, 5)}e f un ~io d e A em 8 e 1m (f) = B.Exem~o 2: A r el ay ao f = {(I, 3); (2, S)} e u r na f u n ~i o de A = {t, 2} em

B = {3. 4, S} e Im(f) = {3, S}.Exemplo 3: f = {en, 02) In E Z} e fu n~ao d e Z em N e 1m (f) = {a, 1,4,9, ... }.Exemplo 4: Dados E l> E " ... , En,ar a cada i1 < i E O ; n ) a fun~io

f: E, X ... X En- E i_ dada por f(xl> ... , x i, .. , xn ) =xi, para todo x == (x, '" , xn) de E , X ... X E n , chama-se pro;eriio mima. No ta y a o u s ua l: Pi ,U m a fu n~o f:A ---+ B se diz inje tora se , p a ra q u ais qu er x, yEA ,

x :1 = Y > f (x) = 1 = f (y)

A verific~1o d es ta U ltim a p ro pried ad e, p or ex em plo , s e fez d o s eg ui nt emod o :Seja x = (x, ... , xn) E (A , X ... X A n) n (8, X ... X Bn).En tia x E A, X .,. X An e x E B, X .. X B n 0 q ue s ig nif ic a q ue , p ara c ad a-fndice i. 1 < : i < : n, valem as le~O es X iE Ai e X i E 8i; donde Xi E Ai nBi paratodo fndice i,Co n se qi ie nt em e nt e x E (AI n B,) X ... X (An nOn) e f ic a p r ov a d oqu e (A. X ... X An) n (8, X ... X 80) C (AI nB,) X ... X (An n B o ) .A demonstracso d a in du sia c on tra na ta mb em ilia o ferece n en hu ma d if tcu ld ad e.

Um a reklfiio b i n 4 r U z d o c o nj un to A n o c o nju n to Be q u a lq u e r s u bc on ju n tode A X B, o u s eja :(R e r el ay lo b ir ni ri a d e A e m 8) < > RCA X 8

Como 5 6 lid are m os c om e ste tipo de r e lay i ks , e n tl io s e r a comum no s referirmosa ela s sim p1 es men te c om o relaes o bje tiv an do m a io r b re vid ad e d e e xp re SS io .Exemplo: Se A = {O, neB = {2, 3, 4}, entio A X 8 = {CO. 2); (0, 3);(0. 4); (1, 2); (1, 3); (1, 4)} e, p or exem plo , R = {CO, 3)}, S = "e T = {(a, 2);(I, 2); (1. 3)} sio relaes de A em B. Obs er v e- se q u e 0 numero de r el ay 6 es d eA em 8, neste caso, e 26 Em geral, se A tern m elem en to s e B tern n elementos ,21 M e 0 nUmero de rel~s de A em 8.

Se R e um a re~io de A em Be se (x , y) E R este fato e indicado comu-mente p or x Ry . N atu ra lm en te xR y s.ig nific a q ue ( x, y) E RUma rel~ R de conjunto A , n o p ro prio c on ju nto A , c h ama - se r el ay i osobre A . Assim:

ou equivalentemente

(R e rela yio s ob re A ) RCA X Af(x) = fey) > x = Y

No s ex em plo s a cim a a pen as a seg un da f u~ io e in jeto ra .Diz-se qu e um a a p li ca y ao f : A - B e sobre je to r t l se 1m (f) = B, au seja,se para todo y E B e xi st e x E A de maneira q ue f (x ) =y.A a plic ar;io d o E xe mp lo 1 ac ima e sonrejetora; as QQ:i DA..... ~ ..... z v ~

ni o sic s o br ej et o ra s . No caso do Exemplo 3 o bs er ve m os q u e 0 contradominio eN e qu e Im (f) = {O, I, 4, 9, ... }.. U m a fun~o f: A - 8 ao m esm o tempo i nje to ra e s ob re je to ra c ham a- sebijetora.D a p ro pria d ef tn iy io d e fu n~a o decorre 0 c on ceito d e igu I l ldade d e d ua sf u~ eies: d ad as f: A - 8 e g :A - 8, f = g se, e som en te se, f (x) = g ( x ),pa m todo x E A.

b ) S eja X u rn subcon ju nto d e u m con jun to A. A aplica~o j: X ~ A ,definida por j (x) = x, p ar a to do x EX, chama-se . inclusBo de X em A. No casep aJ tic ula rd e X = A esta a plic ~a o c ha ma -se aplicIJf8Q idhat iaJ de A e e indicadap or id A ' Assim

6.~a) V am os in dicar em geral poI ie tra s m in U sc ula s, q ua se s em p re f , g au h,

01membros da importante classe da s r e layOe s de urn conjunto A nu m conjunto 8,ch IJD1das funrOes (o u ap/ictIes); assim defutidas:

:-. C A X B e um a fun~ de A em B se , p ar a c ad a x E A , e xi ste ur nuruco y E B de m a ne ira q ue x fy ."


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idA:A-A Provamos entia que f e injetora. Par outro lado, dado b E B, como fog =idB,entia (fog)(b) = b, 0 qu e eo mesmo que f(g (b)) = b. Mas, (b) EA e, portanto,dado bED, existe a = g (b) E A ta l que f (a) = b, o que prova que f e sobrejetora. ) Como pOI hip6tese f e bijetora a 'rel~lIo g = {(y, x) E B XX AI(x, y) E f} e uma fun~ao de D em A. De fato, dizer que f e bijetora significaque para cada y E B existe urn unico x E A tal que f(x) = yo que equivale a(x, y) E f e da f (y, x) E g. Ass im temos

f(x) = y < > g (y) = xe portanto, para todo x EA, (gof)(x) =g (f(x)) =x a que mostra que gOf =idAAnalogamente fog = idB.E facit provar qu e se f e bijetora entlo C -I t ambem e bijetora e que(C-1rl = r.Devemos notar que a condi~io suficiente da proposi~o acima nos mostracomo achar r-1, um a vez dada a aplicacao bijetora f:A - B. Em resumo

f-I:D-A

e idA (x) = x.cpara todo x E A.".Seja f:A- 8 uma apl icayao qualquer. Para todo X CAica definida

a restrlfiio de f ao conjunto A que e a aplicay lo i n di ca d a po r fl X e assim defin ida:fIX:X-B

e (f Ix)(x) = f (x),para todo x EX. Por exemplo, se A = {I, 2}, 8 = {2:3, 4}, f = {(I, 2); (2, 4)} eX = {2}, entso fiX = {(2, 4)}.c) Dadas duas funcoes f :A - Beg: B - C, a {un~Qc composta def e g e a funyao, denotada por go f. go f: A - C, definida de maneira que(g0f)(x) =g ( f ( xj), para todo x E A .

e f-l(y) = X < > f(x) = y

A B c

caracterizam f-I. Por exemplo Se A =B ={I, 2, 3} e f ={(l, 2); (2, 3); (3, I)}, entao f-1 ={(2. I);

(3,2); (I, 3)}. S e f:lt- R e dada por f(x) =x + I, isto e , f= {(x, x + 1)lxER},entao f-1 = {(x + I, x)1 x E R} = {(x, x - 1)1x E R J - . Assim, r-I (x) = x - I,

para todo xEIt.d) Consideremos um a fuoylo f: A-B. uaao urn IIUtn.v"J->..o x C A,

chama-se imogem direta de X por f, e indica-se por f (X), 0 seguinte subconjuntode B :

Por exemplo, se f:R.- Ite dada por f(x) = x', para todo x ER, eg:R--+ It esti definida por g(x) = x:" I, entio gOf:R- Rea funylotal que (g 0 f)(x) = g (X2) = x2 - I,para todo x E It.

Para fun~6es quaisquer f:A- B,-g:8- C e h:C- D e facilprovar que ho(goO = (h ag) of .Se f:A - B e g :8-Csloinjetoras(sobrejetoras), entlo gOf:A-

- C e tambem injetora (sobrejetora). Provemos apenas a segunda parte doqu!l afirmamos. Rnllln "rl.......... ""pnnd ... f ..e l>O...... jato~AII. Dado, pois. z E C ,existe y E 8 de modo que g (y) = z: E, ainda devido A s hip6teses, exlste x EAtal que f(x) = y. Donde g(f(x = (gof)(x) = z. Como consequencia dessesfatos resulta que se f: A - Beg: B - C sio bijetoras 0 mesmo ocorrecom gof.

~da uma fu~io f:A - 8, se existir g :B - A tal que gof = idA efOg = IdB, entlo g e chamada bwersa de f. A notacso usual para a inversa def e f-I. -,.- .~ .1: Para que exista a inversa de urna funcso f:A- B enecessano e suficrente que f seja bijetora.

~ t 1 r l f 6 o _ : (= Suponbamos x, yEA e f(x) = f(y). D af g(f(x)) =- g(f(y, ISto e, (gof)(x) = (gof)(y) e como gor = idA. entiio x = y.10

f(X) =U(x)lx EX}.Por exemplo, se a funyao e f:It -- It dada por f (x) =x2 e se X = {- a , a}.quaIquer que seja a ER, entao f (X) ={a2}, ao passo que se X ={x E R 1- a .;;.;; x';; a}, onde a> 0, ent lo foo =Ix EItIO '" x';; a

2}.Com relaylo ao conceito de irnagem direta valem as seguintes propriedades,

para toda furu;1lo f': A - 8: f(t)) = " x cv s: > r e X ) C f(Y) f (X UY) =f (X)Uf (y), para quaisquer X , v s: f (X n Y) C f (X) n f C l J , para quaisquer X, v c s. Esta inclusio e f a c n

de provar observando qu e das iric1us6es X o v c X e X n v c Y decorre quef(X nY) C f(X) e f(X nY) C f(Y) e dal rrx nY) C r(X) nf(Y). II


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Se ( ~ injetora. entio (X n Y) = (X) n ((Y). De fato, dado z E (X) nn ((y), existem x E X eye Y tais que z = f'(x) = C(y). Ma s sendo finjetora,entfo x = y E X n Y. Donde z E C (X n Y) e provamos assim que (X) n C (Y) cC f (X . ~ Y). Como a inc1usio contnUia vale sempre , entlo fica provada a igualdadese (e mjetora,

Sejam Elo . .' ' E n conjuntos quaisquer e AI> " An subconjuntos deE lo .. , E n . re spect tvamente. Entio, para cada fndice iI < i< n), tem-sePi (AI X . X A i X .. X An) =A i

e ) ~O~iderem: f:A- D . P ar a qualquer E- C D , a imagem inversa deE pot f, indicada f- (E), e 0 subconjuntoC-1(E) = Ix E AI(x) E E}

Por exemplo, se C:R- It e afu~ definida pot f'(x) =I x2 e se E = Ix EE ItII..;I I i i ; 2}. entaoC-1(E) = Ix ERI-V2 -c x ~ -l}U Ix E Itll '" x'" .,f2}Destaquemos as seguintes propriedades: ECFeB=- C-I(E) CC-I(F) (-I(E UF) = f-I (E) U(-I(F), para quaisquer E, FeB C- 1 (E n F) = f-I (E) n f-I (F).para quaisquer E. FeB C -l ( E C) = (f- (Ec. para todo E C B (-1 (E - F)=f-I (E) - f-1 (F), para quaisquer E, FeB Canaid._clo f; A- Beg: B -- C entio (go f)-I (E) == C-I (g-I (E, para todo E C C ' C o ns rd ere m os as proj~s Pi: EI X ... X E n - ~ (i = 1,2 ... ,n ).Para cada A i C E i vale a seguinte igualdac ie:

pIt (A i) ~ E I X X E i - I X A i X EI+1 X .. X EnRelacionando, ainda, i m ag em d ir et a e imagem inversa temos os seguintes

resultados, dada f ;A - B: Para todo X C A, X C f-I (f(X e, no caso de f set in-il.tOra, ent . .~X = f-I (f(X. -'r .....De f~to, se x E X. entlo f (x) E C (X) e dai x E f-1 (f ( X . Suponhamosagora f injetora e tomemos x E f-I (f(X. Dai f(x) E f(X) e portanto existe

XI E X tal que f(x) = f(xI) do que decorre, levando em conta a hipltte3equ e x =x. e portanto x EX.' Para todo E C B f (f-1 (E C Ef(f-I (E = E. De' ' , . e, no caso de f ser sobrejetora,lXamos como exercrcso a ver if ic~1o des te fato.

f) Consideremos uma fun~io f que a cada e1emento ide om conjunto Iauocia urnsubconjunto fO) E JP(A) (conjunto d as p ar tes de A ), ou seja,f: 1---+ JP(A) . Para muitas des tas fuoy6es 0 aspecto que mais importa e 0conjuntO-imagem. Quando este e 0 c as o u sa -s e u m a designaylo especW para estasfun~s: sio elas chamadas famlios de mbconiuntofJ de A; e usa-se tam bem um anot~o especial para indica-la s: a o in ve s de C (i) para a imagem de ur n elementoiE I, escolhe-se uma Ietra arbitraria maniscula, por exemplo X. e indica-se essaimagem por Xi, isto e , f (i) = )4. e a Cun~o f passa a sec entio indicada por( X V i E IOU apenas X2, , Xn ) de subconjuntosde A. No caso de 0 conjunto de indices set N* = {l, 2, ... } vamos tel um a

sequencia (XI> X2 ) de subconjuntos de A. S e para cada k E R fizermos {(x, y) Ix =y + k} =Xk, entlo (Xt.>t E IRe um a familia de subconjuntos de R X It. Cada conjunto e u rn a r eta do R2 ==RXIt. .S e (XUi E I6 uma familia de subconiuntos d e A d ef in e-s e a un iBo U v.~ iEI-OoJ.

ou simplesmente U~, se nlo Ita duvidas quanto ao conjunto de indices. assim:UXi = Ix E Alexiste iE I e x E Xi}

Assim urn elemento I.le It. < > ; . . . 4...._ --=- ~q ~ ft......._,t .. ! I P . _ esta em alRUm do sconjuntos da familia. '

A tnterseo iQ I Xi> ou apenas n Xi> com a mesma ressa1va fei ta aeana, edeflnida por:

nXi = {x E Alx E Xi> para qualquer iEn.Logo urn elemento x de A pertence a nXi se, e somente se, X per tence a todosos conjuntos Xi da familia considerada. nQuando 0 conjunto de indices e {I, 2, ... , n} entio escreve-se {; IXi en.U Xi para indicar a interseylo e a uniio da familia (Xt. x . . : , . . . , X n ) E quandolsi .. ..1= N*, entlo as not~s tespectivamente usadas slo .n Xi e .UXi'1=1 1stDaremos agora om ro1 de propriedades envolveodo oper~s com fanuliasde atbconjuntos de urn dado conjunto.

i~l(j~JXi,i ) = (i.j)~IXJXi.j (i~IXi ) n (j:tJ Vi) = (itj)~1 XJ(Xi n Yj)

1'1


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(UXi)C = ox] e (nxve = ux]Agora, s e te m os \l lD a C un ~io f: A - B e se (XUi E Ie (Y j) j E J s io C am f ii asde subconjuntos, respectivamente de A e de B, ent!o:

0ntervale 1- I,+ I[ = Ix E R-I < x < I}e 0 conjunto Itdo smimeros reais sio equipotentes.. A funlJio f: 1- I, + t[ - Itdefinida por f (x) - == 1 _x Ix Ie bijetora.

De fato, sejam x, y E J- I, + I[ tail que f(UXJ = Uf(XJ C(nXi) c nC(Xu. va lendo a igualdade entre os dots membros quando

C for injetora. C-1(UYl) = UC-1(yU C-J(nYU=nf-1(yU

x _ y1- Ixl- I-Iyl

0--+01--22-43---6

-.1--+1-2-3-3-5-4-7

Como 01 denominadores dessas f~i5es sio rn im ero s m aio res q ue zero entia oux e y do nulos (dondc iguais), au x, y > 0e da f Ix l = x, lyl = ye portanto-1 x = -1 Y do qu e vai resultar x = y ou, ainda, x, y < 0 caso em que, pot-x -yradocinio aruUogo ao anterior, se chega 1igualdade x =y. Provamos pots quef e injetola.

Agora,. dado b E R. sempre existira x no intervalo J- 1, + 1[ tal queI _ x I x l = b. De fato. s e b =O. entio x =0; s e b > 0, enUlo x > 0 e da igualdade1 ~ x = b se tUa x = 1!qu e obviamente pertence a ]-1. + 1[; 0 caso b 0, e fen) = (-2)0 - I, para todo 0


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que (Ma)a EA e uma parti9io de M. (i) Como f e sobrejetora, para cada a E A,ex iste x E M ta l que f(x) = a; logo Ma "'0, para todo a E A . (ii) Dado x EM ,seja a = f(x); entio x E Ma e portanto x E UMa ; isto prova que M C UMa ecomo, obviamente, va le a mc lu ss o c on tr ar ia , entio se tern a igualdade exigida.(iii) Suponbamos Ma ". Mb, por exemplo suponbamos que exi st a x EM. tal quex ($ . Mb, e admitamos a existencla de u m e le m en to y EM . n Mb' T em o s entio'as seguintes igualdades: f (x) = a, f (y) = a, f (y) = b e, ao mesmo tempo, adesigualdade f (x) ". b e portanto uma cont radicao,

Admiti remos axiomaticamente que, dada uma parti~ao (MihE I de urnconjunto M, existe urn subconjunto L C M que co ntem u rn , e um s O elementode cada conjunto Mi. Cada conjunto L nessas condi~Oes sera chamado conjunto-escolha relativamente a parti~o dada . Por exemplo, se em Z consideramos aparti~1o ({3 nl n E Z}; {3 n + 11n E Z}; {3n + 21n E Z}) entao L ={O, 1, 2},po r exemplo, e urn conjunto-escolha associado a essa parti~io.

Com esses p re -re qu is ito s p od em o s m o st ra r a lg un s resultados basicos sobreenumerabilidade.

"U rn conjunto A e e nu m era ve l s e, e somente se, existe LeN'" e existef:L - A sobrejetora".~ cla ro que se A e enumeravel existem L e f: L - A nas cond icoesenunciadas. Reciprocamente, se f e sobrejetora seja MeL urn conjunto-escolhadeterminado pela parti~io (L.). E A, onde La = Ix E LI f(x) = a} para todoa E A. Obviamente fl M :M- A e bi jetora e como MeL C N, entia Ae enumeravel,

"Se existe f:A - B sobrejetora e se A e enumertvel, entso B tam bem _e enumeravel",Sendo A e n ume ra v el , e xi st e g :M - A bijetora, onde M e urn subconjunto

de N, Entia fog:M- B e sobrejetora pois se compoe de duas apli~ssobrejetoras. Devido ao resultado anterior podemos concluir entlo que B eenumeravel.

"Todo subconjunto de urn conjunto e nu m era ve l A t am b em e enumedvel".Seja B C A nio vazio e f ixernos b E B. A apli~1o f: A - B tal que

f(x) = x, Vx E B, e f(x) = b para todo x E A - B, e s ob re je to ra , 0 resu1tadoanterior nos garante entio que B e enumeravel.

Em particular todo subconjunto de Z e enumertvel. Por exemplo e enume-ravel 0 conjunto K =Om , 3n Im, n E N}. "Slo enumeraveis os cor juntos :h I X :h I e N'" X N"'''.De fato, a aplica\:io f: K - N X :h I dada po r f (2m 3D) = (m, n) e

sobrejetora. Sendo K e nume ra v el , entio N X N tam bem e enumeravel e 0rnesmoentio ocorre com W ~ N* por ser subconjunto de N X N.

"0 oonjunto 0: dos numeros racionais maiores que zero e enumeravel".A aplic~o f:N* X N'" - Q ! definida por f(m, n) = B !. e sobrejetora;ndecorre ent io que 0: tamhern e enumeravel,

"S e AI, A2, ~3"" slio subconjuntos enumeraveis de urn rnesmo conjuntoU, entio A = Al UA2U... tambem e enumeravel".Para cada Aj(i = 1, 2 , 3 , . _ .) existe urn subconjunto Mi C N' " e existe

um a bije~io fj:Mj - Aj_ Seja M= UM j e def inamos f:N'"XM- A por:fe r, s) = fr(s), se s E Mr, e f'(r, s) = k (elemento fixo de A), se s f F . ~ . DadoyEA, existe r E W* tal que yEAr e, como f, 6 sobrejetora, y = fr(s) = f (r , s ),para urn certo s EMr, 0 que mostra que f e sobrejetora, Mas como N'" X M 6enumeravel (subconiunto de N* X N), entio A tambem e enumeravel,

Notemos que a mesma demonstraeso poderia ser feita, com ligeiras mudancas,para provar que se A I> .. , A n slio enumeraveis, entio Al U . _. U A n tam beme enumeravel.

"0 coniunto Q dos nume ro s r a ci on a is e enumeravel".Com efe ito, va le a parti~ Q = Q! U {O J U Q~ onde Q~ = {x E Q I - x E

E fa!}, Ora, fa! ~ fQ~ atraves da apli ca~o dada po r x ~ - x, e portantoQ~ e enumenivel. Sendo Q a Wliio de t re s c on ju n to s e num e ra v el s temos a con-c lusao desejada.

"Se A e um conjunto Infinite existe entlo urn subconjunto E C Aenurnenivel e infinite",P ara ju stifica r esta propriedade vamos usar sucessivamente 0 axioma da

exl st encia de um con junto-escolha para cada parti~io de urn dado conjunto.Ass im, seja Xl E A e consideremos 05 subconjuntos {XI} e A - {XI}' A

par ti~i io determinada em A po r estes subconjuntos nos permi te considerar 0subconjunto {XI>X2} C A , onde X2 E A - {xl}, ou seja, X2 * ' xr . Considerandoagora a p~o d e A formada po r {xl}, {X2} e A - Ix I , X2}p o d emo s g a ra n ti rque existe X3EA tal que X3'" Xl e X3". X2' Assirn sucessivamente 0 suboonjuntoE = txt. Xl, '" }C A, obtido segundo 0 raeiocfnio aeima, e inf in ito e enume-ravel poise equipotente aN"'.

8. Re~ de EquivalMciaSeja R uma rel~o sobre urn conjunto A( RCA X A). Dizemosqu e R e uma re la fao de equ iv a le n c il l s o b re A se sio vatidas as seguintes proprie-dades:(l) xRx, para todo X E A (ref lexwa);(ii) xRy > yRx (simetn'ca);(iii) xRy e yRz => xRz ( t ransi t iva) .Exemplo 1: Se A = {I, 2, 3}, entia R = {(l, I); (2, 2); (3, 3); (I, 2);(2, I)} e uma rel~io de equivalencia sobre A; mas

S = {(1, 1); (2, 2); (1, 2);(2, 1)}1. ,


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T = = to . 1); (2, 2); (3, 3); (I, 2)}L = = to . 1); (2, 2); (3, 3); (I, 2); (2, 3)} onde [a ] ={x E AI xRa}

n Jo sIo re~s de equivalencia sobre 0 m esm o con ju nto A .Exemp lo 2: Se A = Z, para cad a m > 1 a rel~fo d e con,gruencio def inida

para to do a E A.

po r 9. Re~ de Ordem"x =: y ( mo drn )


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2 - N iJ ME R OS R E AIS It e a p artir d ela s, to m ad as p ra tic am en te c om o a xio ma s, alguns r es u lt ad o s i m p o r -tan tes e necessanos poster iormente, embora n em s em pre hem c on h ec id o s p el osa lu n o s, s er io c on s eg u id o s.l.inuodupoU rn a con s~ axiomitica fo rm a l e rig oro sa dos n 6m ero s rea il fez-se

necessaria no secu lo passad o ao longo de um a fase da matematica chamada,d ev id o a F. Klein, de "ar itmet~lo da a n a li s e" . Ne s ta 0 que se lev ou a te rmo,em resume, fo i a fu nd am en ta cjo rig oro sa d o ca lcu lo (a te en tio gra nd em en teapoiado na intui~io geometrica), c om b as e n a i de ia de mimero.

N a v erd ad e mas f ora m o s m a te m tti co s do seculo XIX qu e c o n tr ib u ir amneue s eo tid o. A lia s, re gi str em o s d e passagem que os n6mero s i rr ac io n ai s j 3 eramc on h ec id os p elo s gregos a nt es d e C ri sto . A ri st6 te le s (384 a 322 a .C .) d ei xo u eg js tr ad a um a d em on s tr ac jo da ir rac ionalidade de V2 atr ibufda 80S pitag6r icos.Natu r a1mente 0 conhec imento de que 0 lado e a d ia go na l d e u rn q ua dra do s a oinccmensuraveis lev a a ur n re pe ns am e nt o n o c on ce it o d e r az io . Ma s ja n o liv ro Vd e E u cl id es , a tri bu fd a por m uito s a E ud ox io (406 a 35 5 a .C .) , e nc on tra -s e aformu1~io de t al c on ce it o d e m a ne ira a bs olu ta m en te c or re ta ,

F oi Dedekind, em sua obra ja c itad a , 0 prim eiro m atem atico a ch ega r aum a concei~ rigorosa e s atis fa t6 ria d e n 6m ero real. E se b em q u e p ro va v el -men te tenha se in spira do n as id eia s d e E ud oxio , essa def~io e ra p u ram e nt earitm etica . D edekind d eixou de lad o a ideia de qu e a coo tinu id ad e repou savasobre urna s up os ta p ro pr ie da de d e ~fo entre os pontes da reta p a ra t ra b a lh a r ,con tra riam en te, sobre a obse~o d e qu e cada pon te d e um a reta a divide emd u as p a rt es qu e podem se r c ar acte ri z adas ar i tme t i c amen te.

U rn "co rte" d e D ed ekin d n o con ju nto d es ra cion ais e , em sfntese, deter-m inado par u m subcon jun to C de II I q u e t ern as segu in te s p r op riedades :

(i) Se x E C eyE Q e ta l q ue y < x, entlo y E C ;(0) P ara tod o pon to x E C , existe z EC ta l qu e z > x . D e d uz -s e da f qu e

C n lo possui m ixim o n em m in im o. S e a E 4 1 0 conjunto C (a ) ={xE I I I I x < a}determina urn corte ao qua l se chama cone IVcional. 0 subconjuoto C == Ix E Qlx < 0 o u ( x; ;" 0 e x2 < 2)} tambem determina urn co rte e m Q.Oc on ju n to d os n U m ero s re lis , nessa l inha de icUias, nada mais e do que 0 conjuotod os c or te s de D ed ek in d e m fl. Ne ss a s c on d i~ 6 es pode-se m ostra r q ue a co rres-pondencia a""'-'- C (a) de Q n o c o nj un to de todos os cortes racionais e ur n isomor-f i smo 0 q ue n os p erm ite c on sid era r II I com o su bco nju nto d e R. O s n 6m ero sirracionais s5 0 d ete rm in ad os p elo s co rtes d e D ed ekin d 010 r ac io n ai s, c om o 0s eg un d o e xe m pl o d a do acima e qu e define 0 numero .J2.o " co rp o o rd e na d o" Itd o s n um er os reais tern p ap el f un da m en ta l n a te or iado s esp. ro s rMtricos, objeto principal deste tra ba lh o. C on tu do n io f are mo s u m aCOIlS~ l6gico- formal de Ita partir do corpo Q, seja p el os c orte s d e D e de kin dau par alpm o utro p ro ce as o e qu iv ale nte . A d mitire mo s c on he cid a a n ~o intui-tiva de Dimlero re al, c ita re mo s a s propr iedadcs algebricas e de ordem b a s i c a s de20

2.0 CorpoRCons ide r emos a a diy io ( x, y) - x + y ea m u1tip li~!o (x, y) t---+ xyem R. Valem as s eg u in te s p ro p ri ed a d es p a ra e ss a s operaeees:r ox+~+~=~+r l+~Y~~zEI t(0) x + y = y + x, Vx, y E It(iii) x + 0 = x, p ara to do x E It( iv ) P a ra cada x E It, existe ur n ele men to e m F .. ind icado par - x, de

m a ne ira q u e x + (-x) = 0(v ) x (y z) = (xy )z. Y x , y , zE it(vi) xy = yx, V x, Y E R(vii) xl = x, p ar a t od o x E R(viii) Para cad a x E It = R - { o J , existe u m elem en to em R, indicado

por x-t, ta l q ue xx'" = 1(ix) x( y + z) =xy + xz, V X, y, z E Ro fato de a ad i~o e a m ultip lic~o em Itgozarem das propr iedades acima

permitem que n o s r ef ir am o s a R c om o s en do ur n corpo, em r el ~l o a e ss as duasope~6es, c on f or m e d e si gn a yi o u s a d a em A l ge br a.

3.0 CorpoOrdenadoRC on sid erem os ag ora a re~1o sa bre It d efin id a p or "x


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eonforme i tem anterior , e pelo fato de a relacao "";;; " ser uma re1a~1[ode ordemtotal sobre IR , compativel com a e s tr n tu r a a l ge b rl ca de IR .E 6bvio 0 significado da rel~o "x < y" a qual pode ser traduzida formal-mente por "x '" y ex*" y".

Para cada par de elementos a, b E IR ta is que a < b 0 conjunto{x E IR I a < x < b} charna-se intervale aberto de origem a e extremidade b ese indica por ]a , b].0 conjunto {x E RI 0 ; ; ; ; x (b)x (c)Oo;;;y-x=>O+(-y)o;;;y-x+(-y) -yo;;;;-x(e) (a)-y (-y) + (x + Y ) '" (-x) + (x +Y=>x'" y

(A) Pan qualquer par de mimeros reais x, y vale uma e uma so dasseguintes rel~O es: x < Y, x = Y ou Y < x,Justificl1fDo: Suponham os x * y. Como devemos ter x ~ Y ou Y ~ x, em virtudede 3 - (iv), entao x < y ou Y < x. Mas ambas essas hipoteses 030 se verificamsimultaneamente, visto queisto teria como conseqaencia x = y, devido a 3 - (ii),Logo, no caso de x*" y, vamos ter x yz < x z. D a s h lp or es es decorreque: 0'" y - x eO'" - z. Donde 0 o ;; ;( y - x)(- z) e entao 0'" xz - y t:iPortantoy z .;;;;xz, Se t ivessemos yz = x z , m u l ti p li ca n do esta ig ua ld ad e p or Z-I (Iembrarque z * 0) , obteriamos y = x 0 qu e e contrario a hip6tese. Ass im: yz < XZ.

( G) (R eg ra s de sinais) Para quaisquer x , y E :R valem as implicacoes :(a) a < x e 0 < y => 0 < xy(b) a < 1 X e Y 0 => xy < : 0

- -- t: ;. -{ c) x . ;. a e y < a => 0 < xy* Ern Itobviamente Y - J( =Y + (- xl,22

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JustijicaQ: Vejamos (c). Da hip6tese tira-se que 0 < -x e 0 < -yo Dondeo < (- x)(- y). S e rnos trarmos que (- x)(- y) = 'l.y estara. conclufda a justifi.c a ti v a . Ob s er v emo s que, dado s a, b E JR , tern os: a ( - b) y-' < X-I(d) x < y < 0==> y-~ 0 em R , existe a E Ad e m an eira q ue S - < a.Demorutrao: ( ) Ternos de provar apenas a segunda a fm n ttf io . O ra ,suponhamos que dado E > 0 l.ivessemos x < ;; S - E, para todo x EA. EntiaS - E: s er ia u rn l im i te superior de A e como S - : < S haveria uma eO l lt ra d iy i ocom a d ef in iy li o d e supremo. L og o d ev e existir a E A de maneira que S - : < a ..

o u s eja ,y-l < X-I < 0e n Dados Xh X1., .. " Xt, E ~ entlio x .1 + xi + ~,' + x! ~ 0 e x.~ +. 2+ ... + xn = 0 Xl = .. , = Xn = O.

Justijicaf50: P a ra c ad a Xi t em - se : 0 , .; ;; ;;i au X i '" O . Em ! l Il1bo so s c asas (F) nosa ss eg ura q ue 0 ,.;;;;;? O af en t i:o , d eco rre de (e) qu e 0


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==) S eja S ' u rn lim ite superior de A e suponltamos s' < S . SendoE = S - S ' en tlo E > 0 e S ' = S - E;., P o r h ip 6t es e d ec orre entlo qu e emtea E A tal que S' < a 0 qu e e a bsu rd o u ma v ez q ue S' e urn l im i t e s u p er io r de A. -

Dem.onstlDfao:(i) ==> (ti)Seja A C R . A :F~. urn subconjunto l imitado inferiormente. Consideremos

o subconjunto nio vazio - A ={- x I x E A }. Se ~ e ur n l imite infer ior de A ,en tlo ~ " x, \t x E A, e po rtan to - x '" -~, para todo x E A, 0 q ue m os tra q ue- 2 e u rn limi te superior de (- A ). S eja S = su p (-A) e m ostrem os q ue s = = - Se 0 {nfuno de A . Como -x C ;; S , para todo elernento -x E (-A). entio s == - S (i) Dernonstraejo anlloga. -Nota : A o eontra rio do que acon tece com R 0 cOJPO ordenado Q dosmimeros racionais oi o e completo . Eo q u e m o s tr 3l ln D o s n es ta nota., 1(I) No e xis te n tim ero ra eio na l : (p. q E 'r) de m aneira que ( :) = 2.

D e fato , suponham os m de [p, q) = 1 0 que afgnifiea qu e P e q nJ o t e r n fatoresprim os com uns. M as com o p2 = 2 q1 resu lts que p e p ar , e p o rt an to , q d ev e s erimpar. Supondo p = = 2 t e q = = 2 r + 1 v amo s ter:

4f Z = 2(4r2 + 4r + 1)

2t 2=4 r1+4r+ Io que e absurdo j' que 0 primeiro membra e pa r eo segundo fmpar .n n 0 conjunto A = {x E fJl x > 0 e x2 < 2} nlo admi te supremo em Q.E claro qu e A e limitado superiormente. Mostremos que n en hu rn d os scusIimites super iores e sta e m A, ou seja, qu e A nA o tem m axim o, D ado x E A v am osencontrar t E Q tal que x + t > x e x + tEA 0 qu e justificart noaal~lo ... 2 - x2 2 _ x2Ora tomemos t de maneira que 0 < t < 1 e t < -2 + 1 . Notando que -- >0x 2x+ 1para tod o x E A , essa esco lh a e s emp re p o ss i ve l. Da f v am os ter x2 + 2 tx + t < 2e, co m o t2 < t, e nt li o x2 + 1x + t1 =(x + t)2 < 2.S upon ha mo s a gora q ue existisse 8 E fJ cal que 8 = sup (A ). D ev id o bconsideracoes anteriores deveremos ter 82 > 2. Tomemo s entlo urn nUmero

. a t de .' 0 < < 82 - 2" . 1 .rac ion r m aneira q ue r 2S qu e 0; s em p re p O SS Iv e v is to qu eS1 ~ 2 " . al mai D .- 0 em R . exiate a E A'de m odo ta l q ue a < s + EoDemons t rao : AruUoga.-o co rpo o rdenado R e completo p orq ue v ale 0 seguinte re su lt ad o c uj ademonst~ depends da def~j[o de m sm ero rea l e que, portan to , n ao s e r afeita aqui,

Teorema do Sup: Dado A C R, A * 0, se A e llmitado superiormente,entia existe 0 s up rem o d e A em R.

Prop~ S: &seguintes a fi rma vGes s lo equivalentes:(i) P ara to do s ub co nju nto 010 v az io e lim ita do su periorm en te A C R

existe SUpremo .(il) Para todo subconjunto 010 vazio e linritado Inferiormente A C R

e xi st e i nf im o .

Algumas Propnedades do Corpo Ordenado e Complete R(A ) 0 subcon jun to N dos m im e ro s n atu ra ls _ ni o e l im i ta d o s u p er io rmen t e.

Justi/icao: Suponham os que fosse e seja S = sup(N ). A P r~o 4 no sgarante ent50 que existe n E N de rnaneira .que S - 1 < n. Dai S < 0 + 1.Absur do pols n + 1 ENe S =sup (N).

(8) Para todo E. > 0, E E It, existe urn n6m ero na tu ral n > 0 tal que1.< E..nJust i / i c t l faQ; S upon bam os q ue para todo num ero n atu ra l n > 0 t iv6ssemosE ,,1.. Entio n


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a a dJustificao: Suponhamos a > O. Entso tornando to; :=; 2 vamos ter a " ; ; ; : 2 e a1a na + 1 > p > nae dar a < . l ! . < b. 0 numero r = . E . e racional e satisfaz 0 exigido,n b n bSe a = 0, entao 0 < "2 < b e tomando r E Q tal que 2 : < r < b estaraconcluida a demonstracao neste caso.Se a < 0 0 tal que _ !_ < k. Is to e conseqnencia do1 1 2Dfato de que - 0 (n E ..[].2 D n ..,

(I) (Teorema de Heine-Borel) Se .!T= (13j, ~[)iEI e uma famil ia deintervalos abertos tais que U Iaj, bil :> [0, I], entlfu exist em indices it. ... ,in E I de modo que ]3i1' bit lu ... U] a in ' b in [:> [0, I]. .JU$t i f icarKo: Fa9aIDOS [0, II= J. Se, com as h ip6 teses feitas, a tese nio se veri-ficasse para J, entao tambem nio se verificaria para pelo menos urn dos inter-valos: Pr incipio do menor Dumero natura l que admnlmos oonbec ldo.

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e

e

e > 0 a interseceso ]p - e, p + e] n A e infinita (quer dizer, ]p - E, P + dnAe urn eonjunto infinito].1 1Exemplo: Se A:=:{ 1, '2 ' " 3 ' . . . } 0 Unico ponto de acumulayiio de A e

o m im ero O. De fato, dado >0 e xi st e u rn nfunero n atu ra l r > 0 18 1que.!. < E:. 1 r(propriedade 4 - ( B . Donde todo numero n' com n ENe n > r, pertence ai-c, d.

Se ja pois, J I = [el, d1] urn do s intervalos acima, com a propr iedade de que umareunilo finita qualquer. de membros de .Tnio contem J1 . Considerando agora

urn des tes inrervalos pelo menos, que cfuunaremos de 12, e tal que nenhuma unisofinita de membros deTontem )2.

Ass im sucessivamente vam06 obter tuna sequencia I :> J 1 J12 :> .. . deintervalos fechados todos com es ta mesma propriedade: nao estao contidos emnenhuma uniio de tun mimero f inito de membros de.T. Se ja p E J n J 1n)2 n ...(existe , em mtude de (G. Como p E), entao existe um fndice rEI tal quep E J a r , br[. O bserv em os q ue os intervalos J. JI > )2, .. tern amplitude, respec-

liN ..1 ; .. "" ( '- -" ial) v~...mamente, 1, -2' -, '" es tas con ... .. .. .. .. ver oeservacao ImCI e........ urn2 2m1mero n EN, n > 0, de maneira que

] o. II1+1 Ir f- E

[

Dutr a nOyiio envolvida na propriedade em pauta e a de conjunto limitado.Um conjunto A C R se diz limit a do se existe tun intervalo I =[a. bl de modoque A C I. Por exemplo , 0 conjunto A ={t, i,~,..e limitado porqueA C [0, tl, 0 conjunto N obviamente nao e l imitado.

Vejamos agora 0 teorema de Balzano-Weierstrass: Seja A C :R urn subeon-junto inf inito e l imitado. Bntso existe urn ponto de acumulaeso de A em R.Justijicao: Seja I = [a, bl tal que A C L Conside rando 05 interva los

e(Natura1mente estamos supondo J. = [0,1] e In = [ e n . dIll. n :> 0).

[ ! . . . . . E ], 2 eAssim (ver figura) )n esta contido em Jar' br[ Mas isto e uma contradicao como fato de que In nio est3 contido em nenhuma uniio de urn nurnero finite demembros de .T.

Nota: Observemos que com 0 Intervale )0, 1], por exemplo, noo aconteceo mesrno. De fato, temos que a familia T (]!., 2[), n = 1, 2, .. . e talnque a reuniao de seus membro s , tOO05 intervalos abertos, contem ]0. 1 1 . Mas seconsiderarmos uma subfanulfa fmita

T = (1.!., 2 [, _.. ,]..!.., 2[)nl Dr

pelo menos urn deles deve conter inf initos pontos de A uma vez que A e inf lnito .Seja II= [a r- btlum dos intervalos (.) que contem Infinitos pontos de 'A.Considerando agora

evamos ter a m esma situayio: urn deles, que chamaremos de 12 = [a2, b:z], devecanter infinitos pontos de A . Dessa forma vamos obter urna sequencia deintervalos encaixantes

1 1 1 . b d t1r'de f, supondo - < - < ... < -, entiio a reuniao do.s mem ros e Jnl n2 nrs er a i gu a l a J ~I 2 [ e portanto n a o contem ]0, 1] .

(J) (Teorema de Bolzano-Weierstrass)Daremos inic ialmente a def'miylo de ponto de OC' I Jm~. Seja A. C R.U rn ponto pER se diz ponto de acurn~io de A se para todo numero re81

de amplitudes, respectivamenteb~a b-ab-a, -2- 22' ...

Pelo principio dDS intervalos enca ixantes exi st e urn ponto pER comum a todosesses intervalos e mostrarernos que p e ponto de acurnul~o de A Dado. > 0

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eonsideremos 0 intervale ]p - E, P + E[ . Considerando n E N '*] f " ' " 1 ' . , , . " . . ' '' ., '' '. i""~=rr: l b) Exemplif ique mostrando que pode ocorrer a~: f a + - C ~ \~=Anc.c) S e A, B e C sia subconjuntos de U tais que ~ UB = 1 1 : Ll_t C o A ' fI T f s; == A n C, prove que B = C.p - : p+E

d e maneira que b ~ a < E, entia 0 intervalo In = [an, bnlsta contido em21p - c, P + d. Ora, se In n A e infinite, entao 1p - E, P + dnA tambem teraque ser Infinite,6. Dados n conjuntos Eb ... , E n , sejam Ai e Bj subconjuntos quaisquer deEj (i=1, , n). Prove:

(AI X X An) U (81 X ... X 8n) C (AI U 81) X ... X (An U 8n)7. Se A C X e Bey, mostre que:EXERCiCIOS (X X Y) - (A X B) = [(X - A) X Yl u [X X (Y - B)]

1. Verdadeiro ou Falso? Justifique:a) Se A = {x E Rlx > xl , entia A ~ql)b) Se A = {x E R Ix2 = 4} e B = {x E Z 1-2 ~ x ~ 2}, entao A = Bc) Se A ={x E Rlx' - 1 > OJ, B = {x E IRlx' - 2x > O} eC ={~ ,~ ,,...}, entio C cAn B

8. Esboce urn gnifico cartesiano para cada urna da s seguintes relacoes sabre It:a) A relru;ao R deflnida por xRy < > 3 n eZ tal que x E [n, n + 11eyE [n, n + 1].b) A rela~lio R definida por xRy Ix - al + Iy - b] < c, ondea, b, cElt. sNoconstantes dadas e c > O.

c) A relayio R definida por xRy < > max {lx - al, Iy - bl} < c,on de, tam bem , a , b, c E IR siio con sta ntes d ad as e c >O .Ok.: max lx , y} iadic 0msior dO $ m imec o $ x e y.

9. Mostre que a correspondencia2.O s tres conjuntas a segui r s lio diferentes entre si: A = 1 / 1 , B = HH , c = {O}.Justifique porque.

3.' Dado urn conjunto A, chamaseconjunto das partes de A. e indica-se por.9(A), 0 conjunto de todos os subconjuntos de A . P o r exemplo, se A = {I},entao .9(A) , , 0 = { 0, {I}}.a) Ache 0 conjunto das partes de A = {I, 2} e de B = {I, 2, 3}.b) Se urn conjunto A t ern n elementos mostre que 9'(A) tern 2n elementos.

x"__' 1 + Ixl~x

4, Sejam A. B e C subconjuntos arbitrarios de urn conjunto U. Prove que:a) A C B e B C C > A C Cb) A nB = 0 Be ACc) A U B = U e A n B = " > B = A Cd)ACB BCCAce) A U B = A n B > A = Bf) (A U8) - B = A A nB = f/ Jg) (A - 8) n (A - C) = A - (8 U C)h) (A - C) U (8 - C) = (A U 8) - C

define uma fun~io de Rem ]-1, + 1[e que esta fun~ao ~ bi je tora.10. Seja A = P 0 e consideremos 8 :A1_ A' dada par 8 (x, y) = (y, x).

Sendo d: A - A' definida por d (x) = (x, x), prove que 80d = d,Obs.: A" = A X A.

5. a) De urn exemplo em que A . 8 e C sao subconjuntos de urn certo conjuntoU, A U 8 = = A U C, mas B * C.

11. Se A e urn subconjunto de U. a lurlfiio caracteristico XA deste subconjuntoe definida po r XA (x ) = 1 se x E A e XA (x) = 0 se x ~ A. P ara su b-conjuntos quaisquer A, 8 C U, prove que:a) XA fiB (x) = XA (x) XB (x), \f x E Ub) XA UB (x) = XA (x) +XB (x) - XA(X ) Xs(x), V x E Uc) XA _ B (x) = XA (x)U - XB (x). Vx E U

12. S e f:A- Beg:8 -- A satisfazemgof = idA, mostre que f e injetara e g e sobrejetora.

13. Seja XCAe j:X-- A a inclUSio. Dado f:A-- 8, mostre quenx = fOj.32 33


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14. Considere as funes f: A - Beg: B -- C. Mostre que se leg saoinjetoras (respecl, sobrejetoras), entao go f e injetora (respect., sobrejetora), Suges t i io: Use (a) e use 0 fato de que umauniao enumenivel de enume-raveis e enumeravel.

I S. Prove que uma fu~io f :A -- 8 e bijetora se, e somente se, f (XC) == ( f (XC, para qualquer XC A. Mastre que sao equipotentes os intervalos [a, b), (a, b[, [a, bl e la, b[para quaisquer a < b em It16. Uma funyio f:A ~ 8 e sobrejetora se, e somente se, f-I(y) = 1 = 1 / 1 ,

para qualquer Y C 8, Y = 1= IIProve. 25. Mostre que nao e enumeravel 0 conjunto A = {f If: N -- N}.Suges t t lo: Suponha A = H..fl' ... "} construa f:N -------!if de modo quef(n) = 1 = fn(n), Vn;" O .7. Seja f:A -- B injetora e considere XC A. Mostre que f-1(f(X = x.

18. Se f:A -- 8 e sobrejetora, prove que f(f-l(y = Y, para todo Y C B. 26. Mestre que sao relacoes de equivaleneia e descreva 0 conjunto quociente:a) Sobre II: a rela~io S dada por

(x + yi) S (z + til < > x =zb) Sobre I]} a re la ca o R definida por xR y < > x - Y E Z.c) Sobre 0 conjunto dos pontos de urn plano cartesiano a rela~ao ,. ._.dadapor : P - I]} < > Xl Y l = X IY ', p ara quaisquer P = (Xl> y.) e I]} == (X 2, Y l) no plano .

19. Dada um a func;io f:A~ D, se X CAe Y C 8, mostre que:a) (A) - f(X) C f(A - X)b) (-1(8 - Y) = A - f-I(Y)e) f [X n f-l(Y)] = f(X) nY

20 . Se f': A -- B e uma func ;io injetora e (Xi) e urns familia de subconjuntos. d e A. mostre quef(n~) =nf(~) 27. Mostre que a rel~ao definida sobre N por "x Iy < > 3 z E Z' ta l que

y = xz " e urna rel~io de ordem. total?21. Dado A C R, A * " _ . urna fun~if) f:A - R se diz crescente se x f(x) .. .; f(y) e e s tr it amen t e c re s cen te se x < y f(x) 0 < anb) a < 0 > a2n > 0 e a2D+1 83 0, prove que a = b.35


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37 . D ado s a , b E R , se am bos s io po sltiv os, prov e qu e v"i"'+'b "Va +v'b. CAP/TuLoO38 . S eja A = {Xi} C R tal qu e xi > 0, \f i, e para todo c > 0 existe xr E A

d e m an e ira q ue Xl < E. Mostre qu e in f (A) = o . ESPACOS METRJCOS39. S e A C B C R ., m ostre qu e sup (A)


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nio convenctonais , esp3fO$ em que urn ponto poderia set wna CUM ou umafunio.o passo seguinte , e decisive, foi dado pot Frechet em 1906 com sua tesede doutoramento. Nes te trabalho, que marca 0 inicio do Calculo Funcional,Frechet formulou uma generalizB9io dos conceitos de limite, derivada e conti-.nuidade p ar a e SP 39 0S de fu nc oe s e, vislurnbrando a e co no m la de traba lh o e 0gr.w de general~fo que poderiam advir de um estudo con jun to dos m aisd iv er so s e sp ac os , s ug er iu u m a d ef m i., :a o g er al e a bs tr ata d o c on ce ito d e d ls ta nc tae pesquisou varias maneiras de conseguir tal objetivo, sendo este 0ponte de partidada teo ria d os espaeos m e tr ic os , E ste a ss un to f oi p os te rio rm e nte desenvollidopot Hausdorf f (1914) e ganhou sua con textura prat icamente atua l com Urysohnem 1924.

. SubeJPQf os : Sej~ (M, d) urn e sp a eo m e tr ic o , Dado S C )f (S * " _ ) seconsiderarmos a restri.,:li:od, = diS, obviamente d1 e urna m e tr ic a s ob re S e~ obtemos, de maneira natural, 0 espaeo m e t rico (S, d1). Nessas condiyi)e$dizemos qu e S e urn subespaf:o do espaco metrico M e que a metrica d f rnlnduzida por d sobre M. Em geral indica-se a metrica do su bes~ do m esm om odo que a mehica d e M , is to e , faz-se d1 = d .

Prop~io 1: S e x, y e z sa o pontes genericos de urn espaco metrieo(M, d) , entso Id (x, y) - d (x, z) I C ; ; ; d (y, z).Demonslraf4o: Da desiguaJdade triangular (M,) d e co rr e q u e

d (x, y) - d (x, z) < ;: d [z, y) (*)Por o u tr o l ad o podemos expresser a mesma desigualdade (M,) pOI

d (x, z) .;;; d (x, y) + d (y, z)2 - METRICAS do que se conchli que

d(x, z) - d(x, y) < :: d (y. z) (U)De (*) e (III*) c bte m -s e a te se :

ld (x, y) - d (x, z)] < : d (y, z)ef"~ 1: Dado urn con junto M = 1 = - . . , seja d:M X M - R+ e indi-quemos po r d (x , y) a imagem de u rn p ar genenco (x , y) E M X M, atraves d afun-;:io d. Dizemos que d ISmetrica sobre M se as seguintes oondies se verificampara quaisquer X. y, z E M:

(MI) d (x, y) = 0 -c--=-'> X = Y(M:a) d (x, y) = d (y, x)(Ms) d ( x, y)


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2. A re m UIUiI l . Considerando-se 0 con ju nto R d os num eros reais a fu~d: ItX It~ R+. dada po r d (x, y) = Ix - y l, e um a m etrica sobre ItA " erif i~ de (Nt) e (M:) e im ed iata. Q ua nte a (M,) e t am b em s im p le s:

Ix - y l = I(x - 1) + (z - y) 1 0 ; ; ; ; Ix - zl + lz- ylS a lv o o bs erv ~1 o e m c on tra rio , a o n os r ef eri rm o s a r et a u s ua l como e sp a ~ r ne tr ic o,a m!trica considerada e a q ue d ef in im os aqui ( tambsm chamada me tr ie a u s ua lem E).

3. 0 espafO R_n. 0 con ju nto IR n e f or m ad o p o r t od a s a s n -u p la s ( se 'l ue n ci asfmitas) (X I> X " . , xn)' onde cada Xi E :R . Existem tres metricas impor tantessabre JlD e q ue, de u m a c er ta f orm a , s io e qu iv al en te s. *

Sendo x = (Xl> , xu) e y = (Y t, . , Yn ) pontos arbitrarios do :R,o,sIo e ss as m e tn ea s d ef in id as d o s eg uin te m o do :

D(x , y) = .J(Xt - YI'f + ... + (xn - Yn)2D1(x, y) = IX I - Ytl + ... + IX n - Yn lD2(x. y) = ma x {lXl - yll, ... , IXn - Yo]}

A ID If ui ca D e chamada euclidiona e n atu ra lm e nt e s e i n sp ira n a f bn n u1 a da di9t.inciae ntre d ais p on to s n o e sp aco u su al. A s m etric as D, e D:, a pe sa r d e nio pareceremtio na tuWs, pelo menos nurn p rim e ir o e xa m e, do ponto de vista pratioo sl ov i s iv e1men te van t ajos as . A v erific ~io d e q u e r ea bn e nt e se tra ta d e metricas sobreo ito sO a pre se nt a d if ic uld ad es n o c as o da m etric a D co m reta yio a o axioma(M3)'Para fa zer a d em on stra ylo o este ca w v am os esta belecer prim eiro a def igwJ ldoded e Om c h y -S c hw a n no R n c u jo e n u n ci a d o e 0 seguinte:

Se xi, . , xn e y" y, ... , Yn 9lro mime ros r ea is a rb it ra ri os , e n tl o

e portanto1: Ixml


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(ii) u + v = v + U, V u, vEE(ill) Existe 0 E E de modo que 0 + u = u, VuE E(iv) Para to do u E E, existe (- u ) E E de m aneira qu e u + (- u) = 0

QU seja, E e urn grupo abeliano em rel~io a adi'rao e, ainda(v) (aP) u = a (pu) , Vet, peR e V u E E(vi) (a+ 1 3 ) u = au + fju, Vet, (j eRe V uE E(vii) a(u + v) = e m + av, V et ERe V u, vEE(viii) 1 u =u, Vue E _ ( . )Os e lemen to s de u rn e sp ae o v eto ria l s ao g en eri ca m en te c ha m ad os de vetora.S e d e fi n irmo s s o br e Rn a adi'rw e a mUltipl ic3 'Yao por escalates do segu lntem o d o :Para quaisquer x = (X I> ... , xn) e y =(rt, .. " Yo) de RD e para qualqeero:ER

Um ex em p lo imp o rt a n te de e sp ac o v et ori al n or ma do e 0 I R n j u n tamen tecom a norm a dad a porx = (X, . " xn)........__....id= v ' xi + ... + X;

Deixamos como exercfeio a verifi~o de qu e de fa to [n.], (n1) e (n3) do-vilidasn es te e xe m plo , s ug erin d o e ntr et an lo 0 u so d a d es ig ua ld ad e d e C a uc hy -S ch w arzn a d emo n st ra c ao de (03)'

s . Espt l fos COm Produto Intemos: S e E e u rn e sp aeo v eto ria l s obre R,urn produto intemo em E euma aplicacjo que assoc ia a cada (u, v) e E X Eurn namero r ea l , i n d ic a d o < u, v) e' chamado "u esca lar v", de m odo que(Pt) (etu, v) = a : < u, v), V lY. E :R e V u, veE

< P 2 ) (u,v)=(v,u) , VU,vEE(P3) (UI + U1. v) = (u), v) + < n : z , v), VU., U1,vEE(P4) (u , u ) > 0 sem pre q ue u =1 = O.

Urn .espayo E, dotadn de u rn p ro du to in te rn o (u, v) 1-----+ (u, v), chama-see3{J1J~O vetorial com produto intemo.

S e E e um espayo vetorial com prod uto in tern e, en ta o, d ad os 0:. p , -Y .Ii EIte u, v, U1. V IEE:x + Y = (X t + Ylo ,'x n + Yn)ox = (ax , aXn)

ob t emus 0exempJo mais impor tante de espafO v e to r ia 2 s obr e ItNeste ~o = (0, o . . . . , 0) IS 0 elernento neutro da adi'rlio e, dado x = (Xl> . , xn) EE ltD, entao -x = (-XI> "', -xn).

Uma norma sobre U rn e sPA 'Yov e to ri al E sabre Ite um a funylo qu e associaa cada u E It urn numero re al n to n eg ati vo , indicado por n u~ e chamado ,.".,.de u, de maneira que :

(n.) Null=O< >u=O(n1) Iull = lallul, V et ERe Vu E E(0,) I u + v H" IIu I + IvI, V u, vEE

Um esplIfQ vetorial nQTlMdo TeIl l e urn espl lfo vetorial sabre R dotado deu rn a n orm a , S e E e u rn e sp ~o vetor ial nonnado, entao d : IiX E - - It,deft-n ida por d (u , v ) = IIu - v ~ e u m a m e tri ca sobre E p ois :

d (u , v ) = lIu - vU = 0 u = v d (u , v) = U u - vII= II(-I)(v - u )] = l-lll1v - ul = Iv - u l =d(v. u) d (u , v ) = lu - vi = In - w + w - vi" lu - w i + Iw - v l-

= d Iu, w) + dew, v )A m e tric a d a ss im o bt id a c ha m a-s e mitriaJ induzida p e ] Q ruJI111I I d ad a s abre B .

(au + (jV,rUl +8",)=(au,')'u, + 8v,> ++ (/ lv,rUt + .sVt) = (du,rut + 05vt) ++ fHv ,-YUt + SVt} = et{rUt + 8vlo u) ++ fj( rU t + SVIo v) = ar{ u,U I) + ali< u, 'It) ++ / l- y{ v, U t) + 1 3 6 (v, Vt).

N um es pa eo v eto ria l com p ro du to i nt ern o d ef in e-s e a norma d e u rn v etoru E E do segu in te m od o: H uU = . J < U , " U > . A fu ny io a ss im o btid a o bv ia me ntesatisfaz (nl) e (n1). Quan to a (n3) su a demonstracso d ep en de d a desigwlldodede Cauchy-Schwarz Duro espaco com p ro d ut o i nt er no cujo enuneiado e 0 seguinte:I(u . v )1 " .u llllv l, V u , vEE. A dem onstracso desta desigualdade no caso em .que u = 0 ou v = 0 IS im ed ia ta , S e a mbo s e ste s v eto res do Rio n u lo s , e n ta o ,para qualquer a e R:

o . ; ; lu + av l2 = < U + av , U + 0:'1) = lIuf + 2 < U, v} + Uvfa2Assim t emos um trin om io d e s eg un do g ra u em et cujo valor Ii s emp re n i lo n e g at iv o ,o qu e e q_ ui v a le a q u e

Ader~ de esp~ vetonai s oble (: ou sobre 11m C OJpo K qualquet 6 anllop. e, entfo,(u, V)1


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Agora estamos em condi~es de provar (n,,). Dados u, v E E. temos:n u + vli2 = (u + v, u + v ) ;::: (u , u ) + 2 (u , v ) + (v , v ) ;:::= IluUl + 2 ( u, v} + I Iv Q 2 ~ lu"l + 2 \( u, v > 1 + f t v P "

" IluP + 2 l Iul i M v n + I IvP = (Iu] + I Ivn)lD on de : U u + vII " lIu l + I IvR.

Assim acabamos de ver if lcar que todo espaco vetorlal com produto internee urn espa~o vetor ial normado (a reciproca deste fato n30 vale) e, por tanto , etam bem u rn esp~o mcHrico.1! s o d ef in ir , c om o jli virnos

d(u, v ) = ~u - vW

Logo P (X; R) e urn espaco metrico. A metrica induzida pela norma emquestio e dada por

d (f, g) = su p Ilf'(x) - g (x)l : x EX}para quaisquer f, g EP(X; R).A distancia entre duas funeees , segundo essa metnca, pode ser visual lzadana f lgura a seguir,

para quaisquer u, vEE.6. &pa~ de funr-6e$ r ea is l im imda s ; D ado urn conjunto X 4: 'b urna

fun~io f: X - IR se di z limitada se existe k E R de rn an ei ra q u e If(x)1 < k,para qualquer x E X Indiquemos por t3 (X ; It) 0 conjunto das fUDfj:OOSimitadasde X em J R . Para quaisquer f, g E t3 (X; R) e qualquer a E It, se deflnirmosf + g. ef e n f U do seguinte modo:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), V x E X(af)(x) = a : f ( x ) , V x E XIfl = su p {If(x):x E xl

o c on ju n to Ii (X ; R ) se tom a u rn esP 8IfO vetorial n on n ad o. D o s d eta lh es envolvidosnessa afirma9110 s 6 v er if ic ar em o s a qu el es que d l zem r es p ei to a norma .Notemos de infcio que nn esta bern definida visto que sup {If(x):x EX}

existe pelo fato de que f e Iim itada, AMm disso Uf U E R., para qualquerf E fj (X; R), 0 que e 6bvio.

UH = 0 If(x)1 = 0, V x EX f(x) :;;;0, \I x eEX< >f=O. F ica com o exercicio a v erlfiC 39Io de (n ~). D adas f, g E ~ (X ; It), en no , pa ra q ualq uer x E X :

If(x) + g(x)!" If(x)! + Ig(x)1 - c ; ; sup {If(x)l:x EX} ++ sup {lg(x)l:x EX}

C om o esta ultima soma e coastante, -e ela u rn limite superior do conjuntoflf(x) + g(x)l:x EX}

x7 . E s pa fo d e fu T lf O es r ea is c on ti nu e s d e ji ni e/ as n u m fn te rv alo f e c b e d o . Para

urn intervalo fechado [a, b} E IR indiquemos per 'If{a, bI 0conjunto da s fun~sreais contfnuas def inidas em [a, b]. Com rela '18o a adi~lo de funfj:Oese a multipli-Cllf80 de uma fUI lI f l io por urn escalar (ntimero real), definidas naturalmente comocomo no exemplo anter ior , ~[a, b] e urn espsco vetorial sobre REa funo

f~ If n = tb If(x)ldxe u ma n orm a sobre esse esp ac o u ma v ez que UfiE R+, p a ra q u a lq u er f E IF[a, h 1 e

II r a = = 0 If(x)1 = 0, V x E [a , b] (pois lf' (x)] define um afun'tio cont{nua) (x) = 0, V x E[a, h] < > f = 0

II afl = l a b l(af)(x)1 dx = 1 a : 1 tb If(x)1dx = lal Uf IIb f b J b H+gl= f l(f+g)(x)ldx= If(x)+g(x)ldx,,;;; If(x)ldx+a a a

+ I b Ig(x)ldx. = irK + ~g~e entio

sup (If(x) + g (x)l:x EX} -.; ;;up {If (x)1:x E X} + sup {Ig (x)l :x E Xlou seja

U f + g l '" U f M + K g .44 45

A s f un~Oes assim def inidas sin m etric as s obre M embora a demonstracao


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~bd (f, g) =L lf '(x) - s (x)1 dx

dos d e ta lh e s q u e caractenzam esse fato seja aqui omitida,Noternos q ue q ua nd o MJ =M2 =... = Mn = lR e dl = ... = dn = d == m e tr ic a u su a l, e nt1 io D, DJ e D, c oi nc id em r es pe ct iv am e nt e c om a s m e tr ic asD . 01 e D2 in tro du zid as n o R n (E xem plo 3 - item a nterior) .P o r o utr o la do , a s s eg ui nt es re la co es s e v erif ic am

D2(x., y) . : c ; ; ; D (x, y) . : c ; ; ; 01 (x, y) '" nDz(x, y)

A ss im ~ [a , bl e u rn e sp a~ o m e tr ic o s en d o s ua r ne tric a d ef ln id a d a s eg uin temaneira:

pa ra q ua isq uer f, g E 'C[a, b],A d is ta nc ia e ntr e d u as f un cc es f, g E ' f: f[ a, b ] e st a i lu s tr ad a n a f ig u ra a b ai xo :e a a re a da figura compreendida entre 0 graflco d e f e 0 de g. 3 - D ISTANC IA ENTRE PONTO E CON}UNTO -D ISTANCIA ENTRE CON ]UNTO S -D IAMETRO

Lembramos 0 seguinte fato tirado da ge ome tr ia e l emen t ar : a distanc ia deu rn p o nt o p a u rn p la no a e a m e d id a do s eg m en to p q ( ve r f ig ura a ba ix c) c on ti do n ap er pe n di cu la r a Q p elo p on to p.p

a b

8. Urn subespl lfO de 1 3 ([a, bI; R). H. vrmos (Exemplo 7) qu e 0 conjunto,6 a , b ]; J R . ) d a s r un c ee s f: [a . b] -- R lim itado s e u rn e sp a co v e to ri al n o rm a d oe. por tanto , u rn e sp ac o r ne tr ic o,

C om o po rem % '[a , b l (c on ju nto d as fu n~ oe s re ais c on tin ua s d ef in id as n oin te rv al e [ a, b J) e u rn s ubc on ju nto d e .6 ( [a , b ]; R ) v is to q ue to da f un ya o c on tin uag; [a, b1- It e limit a da, entia %'[a, bl t ambem e urn espaco rnetri co emrelacso a rnetrica definida po r

d (f, g ) = su p {If (x ) - g (x)1 : x E [a ; b ])para quaisquer f, g E '6"[a, b].

q xQ

3. Produtos de Espacos Metriros

Esta defu1i~lo d e d i s ti n ci a e n or m alm e nt e p re ce did a p elo s eg uin te te or em a :''0segmento de perpendicular a urn certo p la no , p or urn ponto dado, tern medidam en or ( ou e meno r ) qu e q u a lq u er s egm e nt o de oblfqua a e ss e p la no , p elo p on tod ad o". E sta def inif io esta englobada num contexte mais am plo q ue verem os aseguir,

Def'lniyio 2: S eja (M , d) u rn e sp ac o r ne tric o. D a do s p E MeA eM ( A:# ~ ),c hama- se di!Jt l incfo d e p ao con jun to A , e ln d ica-se par d (p, A ). 0 seguintemimero real nao negativo:

d ( p, A) = lnf'{d (p , x)!x E A}N otem os qu e a existen cia de d (p, A ) e sta a ss eg ura da p elo ra ta de que a

con ju n to d os d (p , x), com x E A , e l im i ta d o i nf er io rm e n te p e lo z er o.Exemplo: Consideremos sobre R a metrica usual. Se p = a e A =

= o,~,t,...},entio d (p, A) =0Sejam (M\> d1), , (MD' dn) espacos rnetricos arbitrarios. V e rem o s a g or aq ue e p o s sf v e l t o rn a r 0 eonjunto M = Ml X ... X M n em espaco m etrico , atrav es

de metricas estreitamente ligadas a s metricas dl, d2, , dn.Sendo x = _ (X l> " ' , xn) e y = (Yt> .. , Yn ) p on to s gen ericos d e M == M IX ... X M n d ef ln am os as fun ~6 es 0, DIe ~: M ----- R + d o s eg uin te m od o:D{x, y) = ..jdl(x" Yt)l + + dn(xn. Yn) 'DI(x, y) = d,(x" YI) + + dn(xn, yn,)02(X, y) =max {dt(xl> yd, ... , dn(xn, Yn)} 47

46

Para tanto e suficiente provar que, dado e > 0, existe pEA e exlste q E B de


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manelra que d (p, q) < 1 0 : . Ora, dado 1 0 : > 0, existe urn nurnero natural n > 0 demodo que ~ < E. Dai, tornando p = (0 , 0) e q = ( n , !) , teremos

d (p, q) = )n_ ) 1 + ( 0 _ ! ) 1 = *'Nota: claro que se A nB :I: ~, enta~ d (A, B) =0 pols, oeste caso, se

tEA n B, entso d (t, t) = 0 e 0 minimo do conjunto do s d (x , y), com x E AeyE B. Mas pode-se ter d (A, B) = 0 com A nB = fI como oeorreu no exemploacima.

De~ 4: Seja A ur n subconjunto nao vazio de u rn e sp ac o metrico M.Suponhamos que exista k E R de mane ira que d (x , y) < k, para quaisque rx, yEA. Nest as c on d ic o es dizemos que A e um conjunto limitado e 0 supremodo conjunto Id (x., y) Ix, yEA} chama-se di4metro do conjunto A e e denotadopor d (A). ,Ass im;

o 1 1 1 1'4 3 2I De fato, dado c > 0, sempre existe n E N* de maneira qu e d ( 0 , k ) == I II - 0 I = * < E. Logo d(O, A) = inf {d ( 0 , f ) = f , r E N*} = 0, isto.6 d(O, A) = o .

Nota: 0 exemplo acima ilustra que e possivel se ter d (p, A) =0 e p ft . A.Mas e claro, por out ro lado , que se pEA, entso d (p, A) = 0 pelo fato de queo mimero 0 neste caso pertence ao con junto dos d(p, x), x E A.

Prop~ 2: Seja (M , d)um e sp ac o m e tr ic o, SeACM(A:#:f ,l)e p,q EM,entia Id (p, A) - d (q, A)I .,,;;d (p , q). .Demonstraeso: Tomemos um ponto x E A. Ternes entlo: d (p, A) "' d (p, x) "'...;d (p, q) + d (q, x). Dai d (p, A) - d (p, q) < ; d (q, x). Ora, como esta desigual-dade vale para todo x E A, en tao a constante d (p, A) - d (p , q) e ur n limiteinferior do conjunto dos elementos do tipo d (q, x), com x E A. Donde

d (p, A) - d (p, q) "' d (q. A)Como esta desigualdade vale analogamente permutando-se p e q, entlo

l d Ip, A) - d(q. A)I '" d(p, q).Def'lIlifio 3: S eja (M , d) u m e sp ac o m etric o, Dados dois subconjuntos A

e B do conjunto M , am bo s nlo v a zi o s, c h ama -s e dumncia de A a B , e in dic a-s epor d (A, B), 0 ruimero real nao negativo definido da seguinte maneira:d(A, B) = inHd(x, y)lx E A eyE O}

o fato de que 0 conjunto da s distancias d (x, y), com x E A eyE 8, elimltado inferiormente pelo mimero 0 garante a existencia de d (A. B) paraquaisquer subconjuntos nio v az ios A , B E M.

E xem pl o: C o ns id er em o s 0 JR1 dotado da m et ric a u su aJ (euclidiana) emostremos que a distancia entre A = {(x, y) E R2 1 y =O} e B = {(x, y) EE R11 xy = I} e zero.

d (A) = sup {d (x, y)l x., yEA)Se 0 conjunto A oio e limitado, poe defin410 temos que d (A) = 00> .Exemplo: Consideremos 0 R1 dotado da metric a euclidiana (u su aJ) e

verlfiquemos que 0 diametro de A = {(x, y) E 111\x1 + y2 < 1} e igual a 2.Indiquemos par p = (0, 0) a origem e tomemos dais pontos arbitrarios

r, qE A. Entlod (q, r)


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1. Defini~o de Bola Abertao conceito de bola abert a a ser int roduzido a seguir desempenha urn papel

fundamental na teoria dos espacos metricos, Apenas para uma tomada de pos i~ao inidal do leitor adiantarnos que esse papel e 0 mesmo dos mtervalos do tipolp - E, P + E :[ no estudo da analise na reta, Em soma . elas tern uma atu~aoequivalente ados "c" e dos "6 " do ca lcu lo au da analise real .

Definiyio 5: Seja p u m pon to de urn espaeo metrico (M, d) . Sendo E > 0urn numero real, a bola de centro p e rsio E, que indicaremos por B (p, E) , eo s eg uin te s ubc on ju nto d e M :

B(p, E ) :;; {x E Mld(x, p) < d Quando a metnca for 'Dt, uma bola de centro p e raio E> 0 e 0 conjuntoB(p, E) = {(X. Y ) E R 11 1 X - al + JY - bl < d

Ora , 0 gra nco d a rela~ fo d ad a po rIX-al+IY-bl Xl) e y =(y., Y1.)de J R : !

O(x, Y) = J (x, - YI)l + (X " - Yl)'01 (x, y) = IXl - yll + IX2 - yll~(x, y) = m{ud l Xt - yll; Ix" - Y2\}

Sendo p = (a, b) urn ponto flxo do R2, uma bola de centro p e taioe : > 0, segundo a mtHrica 0, e o conjunto

B (p, ) = {(X, Y) E R21(X ,- a)2 + (Y _ b)2


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a 2,

ou seja, B (p, c) = [a - E, a + E [ X )b - E, b + d.. 4. Bolas no e!ptlfQ das funes '6" 1 0 . b J com tl metriCil do supremo. Javunos que a funyio d ad a p or

d(f. g ) = sup {If(x ) - g(x)l:x E [a, bJ}para quaisquer I, g E '6"la. b], e uma metrica sobre este conjunto. Veremos agoraq~ e possfvel visualizar urna bola aberta d es se e sp ac o a tr av es < l o s grafleos da sfunyoes que a ela perteneem, Urna bola B ( h, E) e formada pelas funyOes cujosgra fico s se situ am T Ia regiiIo do plano em que a '" x o e ; ; ; b, est ri tamente entre osgrMiC08 de h + e h - E, confonne f igura abaixo.

para todo x E (a, bl, e da continuidade d a s fu~es cons ideradas decorre qu esup {If(x) - h(x)l:x E [a, b)} < E

o qu e prova que rEB (h, E) .S. B ok u a be rt a6 nu m lUbnpa~o . Seja (M , d) U r n e sp sc o m e tr ic o. Conslde-

r em o s U r n s ub es pa fO N C M. Dado entia pEN, 0 que e oma bola de centro pe raio E > 0, ern re lao aN? Po t de fi n iy l Io e 0 conjunto B = {x ENI d (x, p) 0 de maneira que B ( p, e) = {p}.Exemp lo s :1. Seja (M. d) om es~o cuja metrica e a "zero-urn". Ent!o todo ponto

p E M e isolado porque, tomando E E R de maneira que < E < ;; 1, entiaB (P. E) = {p} c on fo rm e ja vimos antes.

2 Pode ocorrer de todos os pontos de urn espaco metrico serem isoladossem que a rnetrica seja a "zero-urn" . De fato, se em N = {O, 1, . .. }cons iderannos a metrica induzida pe la usual de R (ou seja considerannos N subespaeode Il), p a ra q u a lq u er pEN vamos te r

B(p, E) = {x E Nil x - pi < s ]e portsnto, se 0 < e : '" 1

B(p, e) = {p}3. Num espaco normado E * {O} nlio existem pontos isolados. Mo&tremos

primeiro que 0 vetor nulo 0 niio e isolado. Seja E > 0 arbitrario. Dado u E E,o *- 0, tomemos li E R de maneira que 0 < li < E e construamos 0 vetorh-E:

b

De fato, se fEB (h, c), entia sup {1 f (x) - h (x)l: x E [a, b]) < E edal Ir(x ) - h [x ) I< E, V x E (a, b], 0 q ue m ostra q ue ftem s eu g ri fi co n a r eg il iocitada. P?r outro lado, se f E % ' [a , b] e wna fun~io cujo gillioo esta localizadonessa regtio, temos52

C o m o3d(v, 0) = IIv - 0 II = [v I = liD Ilu n =[)< E

entia v E B (0, e) e sendo v * 0 fica provado que 0 nlio e ponto isolado.53

Agora. se to~os um ponto w :F 0 e uma bola qualquer B (w, : ) , coos- 3. Ptopriedadcs Bisicas das Bobs Abettas


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truindo 0 ponto w + II u n u, onde 6 e u s a o tornados como no exemplo anterior,ent ia esse ponto e dis tinto de w e pertence Ahola B (w. : ) , posto que

d (w + I I ! n \ u , w) = ~ I : I u ~ = 6 < E2. Bolas Abertas e Produto Cartcsiano de Espa~ Meuicos

As propr iedades a seguir referem-se a bolas genericas B (p, E) de um espaeom6trioo arbitrario (M, d).

(PI) Dadas B (p, E) e B (p, 6), se E " 6, entio B (p, E) C B (p, 6).Jwti,{ "l t : IM;i io: S e x E B (p, E), entia d (x, p) < E. Como E " 6, concluimos qued (x, p) < 6 e portanto que x E 8 (p, 6).

(P,) Dado q E B (p, E) , entiio existe 6 > 0 de maneira queB(q. 6) C B(p, : )

Juftijictv;mJ: Tomernos 6 = E - d (p, q), conforme indica a int~o, e mostremosqu e efetivamente B ( q, 6) C B (p, E). Seja x E B (q, 6).

T : iv e m o s ocasi.ao de ver no it em anterior, quando tratamos de descrevcr asbolas abertas no espaeo It';em re~1o a s t re s m e tr ic as consideradas sobre esteconjunto, que quando a metri ca usada e D " definida por

D::z(x, y) =mix {lXl - yIf, IX2 - Y21}para quaisquer x = ( X l. X ::z )e Y = (y" Y ::z )d e R 2, se p = (a, b), entlO

B (P . E) = ]a - E, a + el X ]b - : , b + s]Quer dizer, B (p, E) e 0 produto cartesiano da s bolas de centro a e raio c e decentro b e raio :, ambas em Itcom a metriea usual. Em sfmbolos:

B(p, :) = 8 (a, E) X D(b, :)Bs t e resultado e bern mais geral, confonne mostraremos a seguir.Pr~o 3: Sejam (MI, dl), .. , (Mn. dn) esp~os m6tricos e considerem os sobre M =MI X ... X M n a m etr ic a D ::z de fin id a p or

D ,(x, Y ) = m a x {d1(XI, YI), ... , d o (x n, Y n)}para quaisquer x = (xt. ... , xn) e y = (Y l> . , Yn ) de M. Nessas ~vale entio a seguinte igualdada, para todo a = (al> ... , an) EM:

D(a, e) = B(alo E) X . X B(3o, E) *Demonstmflio: Seja p =(P1o . , prJ urn ponto arbitrtrio de M. Entia:

p E.~(a, E) max {d1(pt, al) .. ' dn(Pn . an)} < E< > dj(Pi> aJ < e (i = 1. 2, , n) < >< > P i. E B(Ili"E)(i = 1. 2, , n) < > P E B (alo e) X ... X B (a.., E)

A desiguaIdade triangular nOS garante qued(x, p) '" d(x, q) + d(q, p)

Como d (x, q) < 6 =E - d (p, q), entaod(x, p) < E: - d(p, q) + d(p, q) = E

o que garante que x EB (p, E) .(P3) Sejam B (P. E) e B (q, 8) bolas 010 disjuntas. Se t EB (p, E)nB (q, 1I),

entia existe ~ > 0 ta l qu eB(t, A) C B(p, E) nB(q, 6)Jus t i j ica l ;5o: Devido a (Pt) existem ).10 Aj E It!' de modo que

B(t.).I)CB(p,E) e B(t,A2)CB(q,6)Se)' = min{~10 ~::z},entio B(t,).) esti contida tanto em B(t, X.) com o emB(t. ).,) e portantoObmmente nest . i gualdade B (a, E) Ii Ulna bola segundo a met ri ca d enquanto que cada

B (ilj, ) Ii uma bola segundo di. B(t, X) C B(p. c) nB(q, 6).55

(P4) Sejarn p e q dai s pontos, di st intos ent re si, de urn esp~ M. Se


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d (p, q) = E, entao B ( p, % ) nB ( q , ~ ) = 0.JustificQ~60; Suponhamos que exlsta x E B (p, % ) n B (q, ~). Entao x EE B (p , % ) e x E B ( q , ~ ) e portanto d (x, p)


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o b v iamen te , p o r Rd'(p, E) a b ol a d e c en tro p e r ai o . q u an d o s e t ra ta r d a m e tr ic a d' .~ 7: Sejam de d ' metr icas sobre 0 me sm o c on ju n to M. Diz-se qu ed e d' slo met r ic a :> equ ivoJen tes se, para cada p E M , quaJquer qu e seja a bo la

Bd (P , E), existe X > 0 d e m an eira q ue Rd' (p, X) C Bd ( p, c ) e , v ic e- ve rs a, d ad au ma bola q ualq uer B d' (d, c) existe X > 0 de form a que Bd (p, X ) C Bd ' (p, E) .S e de d ' sio me tr ic as e q ui va le n te s, i nd ic ar em o s e st e f at o p a r d . .. ..d '.

Exemp lo : E b as ta nt e in tu iti vo q u e as m etricas D e Dl, pa r exem plo , d oespaco Rl, d ef in id as p o r

D (x, y) = .j(x, - YIP + (Xl - Yl)l

Rd' (p , r s) C Bd (p, E)De fa to , dado x E Bd' [p, re), en tso d ' (x, p) < r e e co~o r d (x, p) .;;;;d'[x, p),obtemos qu e rd(x, p) < r s, Donde d(x, p) < E e entia x E Bd (p, e),

C on std erem os a gora a bo la B d' ( p, e) e prov em os q ue B d ( p , . ) c Bd ' (p, E).Dado x E Bd (p, ~-), entso d(x, p) < ; e dai s d(x, p) < E. Po~m d'(x, p) O S ; ; ;~ sd (x, p) e portan to d ' (x, p) < c 0 qu e garan te qu e x E Rd' (p, e ) .

.xem plo: A s m etricas D . 01 e ~ do It d e fm i d a s r es p ec ti v amen t e pOID(x. y) = . J (x, - Yi)Z + ... + (Xn - Yn)2DI(x, y ) :

hygino h. domingues - espaços métricos e introdução à topologia

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