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5° semestre - Engenharia Civil

HIDROLOGIA – AULA 14

Profª. Priscila Pini

[email protected]

HIDROLOGIA ESTATÍSTICA

INTRODUÇÃO

Estatística em Hidrologia:

Estimativa da probabilidade de ocorrência de eventoshidrológicos de uma determinada magnitude no futuro, com basena análise dos dados do passado.

→ Técnicas de probabilidade e estatística

→ Variáveis hidrológicas são consideradas ALEATÓRIAS,ou seja, não podem ser previstas com exatidão

Chuva e vazão → Grande variabilidade no tempo!

HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS

Gráfico que permite visualizar a frequência de ocorrência dedeterminado estudo.

Histograma de frequência de chuvas anuais (Lamounier – MG)

Nú

mer

o d

e an

os

entr

e 1

94

2 e

20

01

Chuva anual (mm)

1 ano com chuva anual entre 600 e

700 mm

9 anos com chuva anual entre 1200

e 1300 mm

CURVA DE PERMANÊNCIA

→ É equivalente a um histograma de frequências acumuladasrelativas das vazões de um rio em um local

A CURVA PERMITE RESPONDERALGUMAS PERGUNTAS:

O rio tem uma vazão

aproximadamente constante

ou extremamente variável

entre períodos de cheia e

estiagem?

Qual a porcentagem do

tempo em que o rio

apresenta vazões em

determinada faixa?

Qual a porcentagem do

tempo em que um rio tem

vazão suficiente para atender

determinada demanda?


Expressa a relação entre a vazão e a frequência (estimada empiricamente) com que essa vazão é superada ou igualada

• Pode ser elaborada a partir de dados diários ou mensais devazão

• Pode ser elaborada a partir do HIDROGRAMA


Hidrograma de vazões diárias do rio Taquari (Muçum – RS)


Curva de permanência com os mesmos dados do Hidrograma(Muçum – RS)

A vazão de 1000 m³/s é igualada ou superada em menos de 10% do tempo

Em 20% do tempo a vazão ≈ 500 m³/s é

igualada ou superada


Para destacar mais a faixa de vazões mais baixas, a curva de permanência é apresentada com eixo vertical logarítmico

Em 50% do tempo a vazão ≈ 200 m³/s é

igualada ou superada


Alguns pontos de destaque da curva:

• A vazão que é superada em 50% do tempo, corresponde àmediana das vazões diárias: 𝑸𝟓𝟎

• A vazão que é superada em 90% do tempo, tem sido utilizadacomo referência para legislação na área de Meio Ambiente eRecursos Hídricos em muitos Estados: 𝑸𝟗𝟎

• A vazão que é superada em 95% do tempo é, por vezes,utilizada para definir a capacidade de produzir energia deforma confiável em uma usina hidrelétrica construída ouprojetada no local: 𝑸𝟗𝟎


Legislação do Paraná: MANUAL DE OUTORGA INST. ÁGUAS


EXEMPLO 1: Um empreendedor solicita outorga de 25 m³/s no rioTaquari, em um local que possui a curva de permanência aseguir. Considerando que a legislação permite outorgar apenas20% da 𝑸𝟗𝟎 a cada solicitante, é possível atender à solicitação?

𝑸𝟗𝟎 = 57 m³/s

20% de 𝑸𝟗𝟎 = 0,2 x 57 = 11,4 m³/s

25 >11,4 m³/s

Não é possível atender à solicitação!

Estatísticas descritivas

MÉDIA

→ Medida de dispersão dosvalores de uma amostra emtorno da média.

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖

𝑛 𝑥 =

→ Média de todas as séries de vazões ou

precipitações registradas

DESVIO PADRÃO

𝑠 = 𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖− 𝑥)²

𝑛 − 1

Para analisar a vazão de um rio ou a precipitação em um local, énecessário analisar alguns valores estatísticos que resumem ocomportamento hidrológico do rio ou da bacia:

Estatísticas descritivas

PROBABILIDADE E TEMPO DE RETORNO

TR: Tempo de retorno de uma dada vazão (anos)

P: Probabilidade de excedência𝑇𝑅 =1

𝑃

→ TR é o intervalo médio de tempo que decorre entre duas ocorrências

subsequentes de uma vazão maior ou igual a “Q”

→ Ex: A vazão máxima de 10 anos de TR é excedida em média 1 vez a

cada dez anos, ou seja, P = 1/10 = 0,1 = 10%

Chuvas anuais e distribuição normal

A chuva total anual em determinado posto fluviométrico pode serconsiderada uma variável aleatória, com distribuiçãoaproximadamente normal

→ Um gráfico da função densidade de probabilidade e da distribuição

normal tem uma forma de sino e é simétrico em relação à media, que é

o valor central


Para o caso mais simples, onde a média da população é zero e odesvio padrão é igual a 1, segue o gráfico da distribuição normal:

A área hachurada representa

a probabilidade de ocorrer

um valor maior do que z

A área hachurada representa

a probabilidade de ocorrer

um valor menor do que z

A área total sob a curva é igual a 1


Para o caso mais simples, onde a média da população é zero e odesvio padrão é igual a 1, segue o gráfico da distribuição normal:

-z

Probabilidade de ocorrer um valor menor do que - z é igual à

probabilidade de ocorrer um valor maior do que z


→ A área sob a curva é encontrada em tabelas que relacionam o valor

de z calculado com a probabilidade de ocorrer um valor maior ou menor

do que z

→ A forma de sino indica que existe uma probabilidade maior de

ocorrerem valores próximos à média, do que valores extremos

𝑧 =𝑥 − 𝑥

𝑠

x: variável aleatória

𝑥: média

s: desvio padrão

→ Para isso, uma variável aleatória x pode ser transformada em uma

variável aleatória z com média zero e desvio padrão 1, pela equação:

→ Esta transformação pode ser utilizada para estimar a probabilidade

associada a um determinado evento hidrológico, em que a variável

segue uma distribuição normal


Tabela A: Probabilidade de ocorrer um valor maior do que z,

considerando uma distribuição normal com 𝑥 = 0 e s = 1

z Probabilidade z Probabilidade z Probabilidade

0,0 0,5 1,1 0,1357 2,2 0,0139

0,1 0,4602 1,2 0,1151 2,3 0,0107

0,2 0,4207 1,3 0,0968 2,4 0,0082

0,3 0,3821 1,4 0,0808 2,5 0,0062

0,4 0,3446 1,5 0,0668 2,6 0,0047

0,5 0,3085 1,6 0,0548 2,7 0,0035

0,6 0,2743 1,7 0,0446 2,8 0,0026

0,7 0,242 1,8 0,0359 2,9 0,0019

0,8 0,2119 1,9 0,0287 3,0 0,0013

0,9 0,1841 2,0 0,0228

1,0 0,1587 2,1 0,0179


Tabela B: Probabilidade de ocorrer um valor maior do que z,

considerando uma distribuição normal com 𝑥 = 0 e s = 1

z Probabilidade TR

0,000 0,5 2

0,842 0,2 5

1,282 0,1 10

1,751 0,04 25

2,054 0,02 50

2,326 0,01 100

2,878 0,002 500

3,090 0,001 1.000

3,719 0,0001 10.000


EXEMPLO 2: As chuvas anuais no posto pluviométrico localizado em

Lamounier, MG, seguem, aproximadamente, uma distribuição normal,

com média igual a 1433 mm e desvio padrão igual a 299 mm. Qual a

probabilidade de ocorrer um ano com chuva total superior a 2000 mm?

𝑧 =𝑥 − 𝑥

𝑠𝑧 =2000 − 1433

299𝑧 = 1,8963

De acordo com a Tabela A, a probabilidade de ocorrência de um valor

maior do que z = 1,9 é de aproximadamente 0,0287 = 2,87%

O tempo de retorno é de:

𝑇𝑅 =1

𝑃𝑇𝑅 =

1

0,0287

𝑇𝑅 = 34,84 ≈ 35 𝑎𝑛𝑜𝑠

Em média, 1 ano a cada 35 anos

apresenta chuva total superior a

2000 mm nesse local


EXEMPLO 3: Considerando os dados do exercício anterior, qual a

probabilidade de ocorrer um ano com chuva total inferior a 550 mm?

𝑧 =𝑥 − 𝑥

𝑠𝑧 =550 − 1433

299𝑧 = −2,9532

A distribuição normal é simétrica, ou seja, a probabilidade de ocorrer um

valor superior a z é igual a probabilidade de ocorrer um valor inferior a – z.

De acordo com Tabela A, a probabilidade de ocorrência de um valor

maior do que z = 2,95 está entre 0,0019 e 0,0013

Probabilidade de ocorrer valor menor que z = - 2,95 é igual à

probabilidade de ocorrer valor maior que z = 2,95

A probabilidade de ocorrência de um ano com chuva inferior a 550 mm

é de, aproximadamente, 0,16%

O tempo de retorno é de, aproximadamente, 625 anos

Análise de frequências empíricas de vazões máximas

Conhecendo-se as vazões máximas de cada ano, em um determinado

local, é possível realizar análises estatísticas relacionando vazão e

probabilidade.

Estimativas de probabilidade são atribuídas a cada um dos valores

observados, depois que os valores são organizados em ordem decrescente

Ano Q máx (m³/s)

1984 1796,8

1985 1492,0

1986 1565,0

1987 1812,0

1988 2218,0

1989 2190,0

1990 1445,0

1991 1747,0

Ano Q máx (m³/s) Ordem

1988 2218,0 1

1989 2190,0 2

1987 1812,0 3

1984 1796,8 4

1991 1747,0 5

1986 1565,0 6

1985 1492,0 7

1990 1445,0 8

Tabela 1: Vazões máximas do rio Cuiabá, em Cuiabá, entre 1984 e 1991


A probabilidade pode ser estimada a partir do valor correspondente de

m e do tamanho da amostra (N).

Existem várias equações para estimar a probabilidade empírica de

excedência, onde m é a ordem e N é o tamanho da amostra:

Ano Q máx (m³/s) Ordem (m)

1988 2218,0 1

1989 2190,0 2

1987 1812,0 3

1984 1796,8 4

1991 1747,0 5

1986 1565,0 6

1985 1492,0 7

1990 1445,0 8

𝑃 =𝑚

𝑁 + 1

Equação de Weibull (EUA):

𝑃 =𝑚 − 0,5

𝑁

Equação de Hazen (França):


Utilizando a fórmula de Weibull, as probabilidades são apresentadas a

seguir, com os tempos de retorno.

Ano Q máx (m³/s) Ordem (m) Probabilidade TR (anos)

1988 2218,0 1 0,11 9,0

1989 2190,0 2 0,22 4,5

1987 1812,0 3 0,33 3,0

1984 1796,8 4 0,44 2,3

1991 1747,0 5 0,56 1,8

1986 1565,0 6 0,67 1,5

1985 1492,0 7 0,78 1,3

1990 1445,0 8 0,89 1,1

Tabela 2: Vazões máximas e probabilidade de ocorrência (rio Cuiabá,

entre 1984 e 1991)

Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas

Permite a extrapolação da análise de eventos extremos para tempos de

retorno maiores

Distribuição log-normal

Uma vazão máxima pode ser estimada pela equação:

log(𝑥) = log(𝑥) + 𝑧 ∙ 𝑠log 𝑥

log (x): logaritmo da vazão máxima

log(𝑥) : média dos logaritmos das vazões máximas anuais

𝑠log 𝑥 : desvio padrão dos logaritmos das vazões máximas anuais

z: fator de frequência (obtido das tabelas A e B)


EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto

fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo.

Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100

anos de tempo de retorno.

Ano Máxima Ano Máxima

1978 760 1986 728

1979 780 1987 809

1980 653 1988 945

1981 537 1989 1380

1982 945 1990 falha

1983 1650 1991 falha

1984 1165 1992 falha

1985 888 1993 639

Falhas são períodos em

que não houve

observação e são

desconsideradas.

Amostra com 16 – 3 = 13

valores







log (x): logaritmo da vazão máxima

log(𝑥) : média dos logaritmos das vazões máximas anuais

𝑠log 𝑥 : desvio padrão dos logaritmos das vazões máximas anuais

z: fator de frequência (obtido das tabelas A e B)






Ano Máxima Log Ano Máxima Log

1978 760 2,880814 1986 728 2,862131

1979 780 2,892095 1987 809 2,907949

1980 653 2,814913 1988 945 2,975432

1981 537 2,729974 1989 1380 3,139879

1982 945 2,975432 1990 falha -

1983 1650 3,217484 1991 falha -

1984 1165 3,066326 1992 falha -

1985 888 2,948413 1993 639 2,805501

log(𝑥) = 2,94 𝑠log 𝑥 =0,137






log(𝑥) = 2,94 𝑠log 𝑥 =0,137

Na Tabela B: TR = 100 anos, Prob. = 0,01, z = 2,326


log(𝑥) = 2,94 + 2,326 ∙ 0,137 = 3,2587

𝑥 = 103,2587 ≈ 1814 𝑚3/𝑠

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