13/06/2013

1

Hidrologia Estatstica

2

Os processos hidrolgicos podem ser classificados em determinsticos ou estocsticos.

Processos Hidrolgicos Determinsticos: variaes espao-temporais podem ser completamente explicadas por um nmero limitado de variveis, a partir de relaes funcionais (Fsica, Qumica ou Biologia) ou experimentais unvocas. Em hidrologia, so rarssimas as ocorrncias das regularidades inerentes aos processos puramente determinsticos; e.g. resposta hidrolgica de uma superfcie completamente impermevel, de geometria simples e totalmente definida, a um pulso conhecido, uniforme e homogneo de precipitao.

Processos Hidrolgicos Estocsticos: governados por leis de probabilidades, por conterem componentes aleatrias as quais se superpem a regularidades explicitveis (variaes da radiao solar no topo da atmosfera ao longo da rbita de translao da Terra em torno do Sol). Assim, em um ponto, [Q, P, ETP, i, QSS , seo, Temp] x t so PHE.

13/06/2013

2

3

2. Variveis Hidrolgicas

As variaes temporais e/ou espaciais dos fenmenos do ciclo da gua podem

ser descritas pelas variveis hidrolgicas. Exemplos:

o nmero anual de dias consecutivos sem precipitao, em um dado local

a intensidade mxima anual da chuva de durao igual a 30 minutos

a vazo mdia anual de uma bacia hidrogrfica

o total dirio de evaporao de um reservatrio

a categoria dos estados do tempo dos boletins meteorolgicos.

As flutuaes espao-temporais das variveis hidrolgicas podem ser

quantificadas ou categorizadas por meio de observaes ou medies, as quais,

em geral, so executadas de modo sistemtico e de acordo com padres

nacionais ou internacionais. Exemplos: Pdia s 7 h, Etanque s 9h, H7 e H17.

4

3. Sries Hidrolgicas

Sries hidrolgicas temporais renem as observaes ou medies da varivel, organizadas no modo seqencial de sua ocorrncia no tempo (ou espao).

Embora instantneas ou contnuas ao longo do tempo/espao, as limitaes dos processos de medio ou observao implicam em registros separados por determinados intervalos de tempo ou de distncia, em geral, eqidistantes. Exemplos: (i) bacia do rio So Francisco em Pirapora: as vazes mdias dirias, tomadas como mdias aritmticas das leituras linimtricas instantneas das 7 e das 17 horas de cada dia, iro constituir a srie temporal representativa da varivel; (ii) bacia do ribeiro Arrudas: srie temporal mais conveniente a formada pelos registros de vazes mdias horrias.

Completas: todos os registros (ex. toda a seqncia

dos 61 anos de VMD em P. N. Paraobeba)

Sries Hidrolgicas

Reduzidas: alguns valores caractersticos (ex. as 61 VMAs em P. N. Paraopeba)

13/06/2013

3

5

Anuais: 1 nico valor anual (ex. figura, srie

Sries Reduzidas (extremos) de VMAs em P. N. Paraopeba)

Parciais: valores acima (abaixo) de limiar

(ex.figura Q>290 mcs 71,76,89)

Rio Paraopeba em Ponte Nova do Paraopeba

0,0

200,0

400,0

600,0

800,0

1000,0

1939 1949 1959 1969 1979 1989 1999

Ano Hidrolgico (out-set/aaaa)

Vaz

o M

d

ia D

iri

a M

x

ima

Anua

l

(m3/s

)

6

Populao e Amostra

Populao: conjunto finito ou infinito de todos os possveis resultados, ou

possveis realizaes, de uma varivel hidrolgica.

Amostra: sub-conjunto extrado da populao, com um nmero limitado de

observaes.

Se a amostra estacionria, homognea e representativa da populao, o

principal objetivo da hidrologia estatstica o de extrair concluses vlidas

sobre o comportamento probabilstico populacional da varivel hidrolgica,

somente a partir da informao contida na amostra.

Problema: entre 1939 e 1999, as vazes mximas anuais de P. N. Paraopeba

(figura) tem amplitude de 246 e 1017 m3/s. Com base nica e exclusivamente

na amostra, a probabilidade de valores inferiores ou superiores aos limites

amostrais nula. De modo anlogo, a enchente que dever ocorrer no prximo

ano, neste local, estaria compreendida provavelmente entre 246 e 1017 m3/s.

13/06/2013

4

7

Soluo:

Populao: todos os resultados

possveis de uma varivel hidrolgica,

descrita por uma ou mais distribuies de probabilidade, definidas por

parmetros i.

),...,,(21 kX

xf

x

Amostra:

homognea e

representativa, a partir da qual so

produzidas as

estimativas dos

parmetros

populacionais. deduo

induo

Hidrologia Estatstica : usar as estimativas amostrais k

,...,,21

para prever

o comportamento populacional sob cenrios ou condies diversas.

8

PARTE 2 ANLISE PRELIMINAR DE DADOS HIDROLGICOS

Conjunto de mtodos e tcnicas que visam extrair as caractersticas empricas

essenciais do padro de distribuio de uma varivel hidrolgica. Trs grupos:

Apresentao Grfica de Dados Hidrolgicos

Sumrio Numrico e Estatsticas Descritivas

Mtodos Exploratrios

1. Apresentao Grfica de Dados Hidrolgicos

Grficos essncia do padro de distribuio da VA com facilidade e nitidez.

Diagrama de Linha

Histograma

Polgono de Freqncias

Diagrama de Freqncias Acumuladas

Curva de Permanncia

13/06/2013

5

9

Diagrama de Linha

Aplicao: nmero de ocorrncias de uma varivel hidrolgica discreta

Eixo Horizontal: valores possveis da varivel

Eixo Vertical: nmeros de ocorrncias = alturas das linhas verticais

N=34 anos

Cheia Limiar=300 mcs

Razovel Simetria

Valor Central=4 cheias anuais

Nmero de Anos de Cheias do Rio Magra em

Calamazza (Itlia)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nmero de Cheias Anuais

N

mero

de

Oc

orr

n

cia

s

10

Histograma

Apropriado para amostras de tamanho mdio (25 a 70) e grande (>70).

Agrupar as observaes em classes, definidas por intervalos de largura fixa ou

varivel (LIC), e, em seguida, contar o nmero de ocorrncias (ou a freqncia

absoluta) em cada classe. NC depende do tamanho da amostra:

ou nos limites de 5 a 25 para cada classe.

LIC~Amplitude/NC Tabela de Freqncias:

NNC NNC 10log3,31

Classe j Intervalo de

Classe (m3/s)

Freqncia

Absoluta fj

Freqncia

Relativa frj

Freqncia Acumulada

j

jfrF

1 (30,50] 3 0,0484 0,0484

2 (50,70] 15 0,2419 0,2903

3 (70,90] 21 0,3387 0,6290

4 (90,110] 12 0,1935 0,8226

5 (110,130] 7 0,1129 0,9355

6 (130,150] 3 0,0484 0,9839

7 (150,170] 1 0,0161 1

Total 62 1

13/06/2013

6

11

Exemplo: Histograma das vazes mdias anuais do Rio Paraopeba em Ponte

Nova do Paraopeba Perodo 1938 a 1999.

Concentrao no terceiro IC (valor central), Assimetria Leve, Outliers (?).

Histograma de Vazes Mdias Anuais do Rio

Paraopeba em Ponte Nova do Paraopeba

0

5

10

15

20

25

30 50 70 90 110 130 150 170

Intervalos de Classes (m/s)

Fre

q

n

cia

Ab

so

luta

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

Fre

q

n

cia

Re

lati

va

12

Polgono de Freqncias

Pontos mdios dos topos dos retngulos do histograma, depois de estend-lo

por uma classe adicional de cada um de seus lados (ordenadas inicial e final

nulas e rea igual do histograma). Maior ordenada=moda. Ex. p/ Xmo=80mcs.

Polgono de Freqncias Relativas das Vazes

Mdias Anuais do Rio Paraopeba em Ponte Nova

do Paraopeba

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 50 100 150 200

Vazo Mdia Anual (m/s)

Fre

q

n

cia

Re

lati

va

13/06/2013

7

13

Diagrama de Freqncias Acumuladas

(1) Pares formados pelos limites superiores dos ICs e pelas ordenadas

consecutivamente acumuladas do histograma, desde a menor at a maior ou

(2) Classificao em OC e atribuio de probabilidade emprica m/N

Pontos de Interesse:

- Mediana Q2

- Quartis Q1 e Q3

- Decis, percentis, quantis

- AIQ=Q3 - Q1

Pontos Atpicos

(outliers)

(critrio)

superior: >Q3 + 1,5AIQ

inferior: < Q1 - 1,5AIQ

Diagrama de Freqncias Relativas Acumuladas

das Vazes Mdias Anuais do Rio Paraopeba em

Ponte Nova do Paraopeba

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Vazo Mdia Anual (m/s)

Fre

q

n

cia

de

N

o

Su

pe

ra

o

- P

(Q30

P(cara)=? ; (2) impossibilidade fsica

de se repetir um experimento um

nmero infinito de vezes, sob

condies rigorosamente idnticas e

(3) a definio no pode acomodar a

noo de probabilidade subjetiva

(baseada na experincia/julgamento

pessoal de um especialista)

13/06/2013

12

23

Definio axiomtica (Kolmogorov, 1933; base da moderna T. P.):

A probabilidade de um evento A, contido em um espao amostral S, um

nmero no negativo, denotado por P(A), que satisfaz as seguintes condies:

i. 0 P(A) 1

ii. P(S)=1

iii. Para eventos disjuntos E1 , E2 , ... .

Decorrncias:

(a) P(Ac)=1-P(A) (b) P()=0 (c) Se A e B so dois eventos em S P(A)P(B)

(d) P(A)1 (e) (Regra da adio)

(f) Para A1, A2, ... , Ak em S (Boole)

Em uma rea sujeita a terremotos, dois eventos naturais podem produzir a ruptura de uma barragem, a saber: a ocorrncia de uma

enchente maior do que a cheia de projeto do vertedouro (evento A) ou o colapso estrutural devido a um terremoto destrutivo

(evento B). Suponha que, com base em dados anuais observados em um dado local, foram estimadas as seguintes probabilidades

P(A)=0,02 e P(B)=0,01. Com base somente nesses valores, estime a probabilidade da barragem se romper em um ano qualquer.

Resposta: ~ 3%.

11 ii

ii EE

k

ii

k

ii AA

11

)()()( BABABA

24

3. Variveis Aleatrias

Uma varivel aleatria uma funo X que mapeia o espao amostral e

associa um valor numrico a cada resultado de um certo experimento.

Experimento: lanamento simultneo de duas moedas VA: X=no de faces

0 1 2 x 0 1 2 x

)(xpX

ixXX

xpxP )()(

1,0

0,5

0

1,0

0,5

0

13/06/2013

13

25

Discretas: se x um nmero inteiro

Variveis Aleatrias

Contnuas: se x um nmero real

VAD espao amostral numervel finito ou infinito

a FUNO MASSA DE PROBABILIDADES (FMP)

a FUNO ACUMULADA (FAP)

Propriedades:

Inversamente, se uma funo possui essas propriedades, ento ela pode ser

considerada uma funo massa de probabilidades.

)()( xXxpX

xx

iXX

i

xpxX)x(P todos

xxpX dealor qualquer v e todopara 0)(

x

X xp todos

1

26

VAC espao amostral no-

numervel finito ou infinito.

A funo , equivalente

FMP, no negativa e denomina-se

funo densidade de probabilidade

(FDP); o caso limite de um

polgono de freqncias para uma

amostra de tamanho infinito (LIC

tende a zero).

probabilidade de X=x0 = intensidade com que a

probabilidade de no superao de x0

alterada na vizinhana de x0..

b

a

XXX aFbFdxxfbxa )()()()(

a b x

a b x

)(xf X

FX (x)

1

)( 0xf X

)(xf X

)( 0xf X

0)()()(

xXxXxXdxxfxF

x

XX

13/06/2013

14

27

Funo Acumulada de Probabilidades (FAP):

Formas da FDP:

x

XX dxxfxF )()(

1,0,)(

)( XXX

X FFdx

xFdxf

x

fX(x)

x

fX(x)

x

fX(x)

x

fX(x)

x

fX(x)

x

fX(x)

Assimtrica Simtrica Bimodal

Exponencial Forma de U Uniforme

28

Problema Proposto 1: Considere que a varivel aleatria vazo media diria mxima anual, em

m3/s, em uma certa estao fluviomtrica, seja representada por X e que sua funo densidade de

probabilidade seja dada pela figura abaixo. Pede-se (a) P(X300 m3/s).

Problema Proposto 2: A funo definida por , para x0 e 0, a forma

paramtrica que define a famlia exponencial de funes densidade de probabilidades, ou

seja, uma FDP para cada valor numrico do parmetro . Pede-se: (a) provar que,

independentemente do valor de , trata-se de uma funo densidade de probabilidade; (b)

expressar a funo acumulada FX (x); e (c) calcular P(X>3), para o caso de =2.

0 100 300 400 x

fX(x)

y

z

xxf

Xexp

1)(

13/06/2013

15

29

1. Medidas Descritivas Populacionais de Variveis Aleatrias

So sumrios das caractersticas de forma de pX(x) ou fX(x) e

obtidas por meio de mdias, ponderadas por pX(x) ou fX(x), de

funes da varivel aleatria. Exemplos: valor esperado, a

varincia, coeficientes de assimetria e curtose.

1.1 Valor Esperado E[X] ou X

ou

Abscissa do centride de pX(x) ou fX(x).

ix

iXiX xpxXE todos

dxxfxXE XX

30

Exemplo 1: Calcule o valor esperado para a funo massa de probabilidades especificada pela figura abaixo.

Exemplo 2: Considere uma varivel aleatria exponencial X, cuja funo

densidade de probabilidade dada por , para x0 e 0.

(a) calcular o valor esperado de X;

(b) empregando somente as medidas populacionais de tendncia central, a

saber, a mdia, a moda e a mediana, comprovar que se trata de uma distribuio

com assimetria positiva.

0 1 2 x 0 1 2 x

)(xpX

ixXX

xpxP )()(

1,0

0,5

0

1,0

0,5

0

xxf X exp1)(

13/06/2013

16

31

1.2 Varincia Populacional Var[X] ou

ou

Propriedades:

Var[c]=0, para c constante.

Var[cX]=c2Var[X].

Var[cX+d]=c2Var[X], para d constante.

X = desvio padro populacional= raiz quadrada positiva da varincia

= coeficiente de variao populacional

2

X

222

2Var XEXEXEX XX

222

2Var XEXEX X

X

X

X

CV

32

Exemplo 3 Para uma varivel aleatria exponencial, mostre que a varincia

2, o desvio padro e o coeficiente de variao igual a 1.

1.3 Coeficiente de Assimetria Populacional

3

3

3

3

X

X

X

XE

Assimetria/Simetria de Funes Densidade de Probabilidades

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-5 -3 -1 1 3 5

X

f(x

)

=+1,14 =-1,14 =0

Para a distribuio

exponencial, o coeficiente de

assimetria independente do

parmetro e igual a 2.

13/06/2013

17

33

1. Motivao para o uso de Modelos Probabilsticos

Modelos de distribuio de probabilidades: capazes de sintetizar o comportamento das variveis aleatrias hidrolgicas.

uma forma matemtica abstrata, a qual, por suas caractersticas intrnsecas de variabilidade e conformao, podem ser capazes de representar, de modo conciso, as variaes contidas em uma amostra de observaes de uma varivel aleatria.

tambm uma forma paramtrica, ou seja, um modelo matemtico prescrito por parmetros, cujos valores numricos o definem completamente e o particularizam para uma certa amostra de observaes de uma varivel aleatria. Uma vez estimados os valores numricos de seus parmetros, um modelo de distribuio de probabilidades pode constituir-se em uma sntese plausvel do comportamento de uma varivel aleatria e ser empregado para interpolar, ou extrapolar, probabilidades e/ou quantis no contidos na amostra de observaes.

Podem ser discretos e contnuos. Uma funo de distribuio discreta aquela empregada para modelar o comportamento de uma varivel aleatria cujo espao amostral do tipo numervel, composto por valores isolados, em geral, nmeros inteiros.

34

2. Processos de Bernoulli Jakob Bernoulli (1654-1705)

Experimento: apenas dois resultados possveis

e dicotmicos: sucesso (S) e falha( F).

Espao amostral: conjunto {S,F}.

Probabilidade de ocorrer um sucesso p.

VAD X;

Valores possveis: X=1 para S e X=0 para F.

X segue uma distribuio de Bernoulli. (irmo do matemtico Johan e

A funo massa de probabilidades dada por tio do hidrulico Daniel)

com E[X]=p e Var[X]=p(1-p).

10 e 0,1 para ,1 1 pxppxp xxX

13/06/2013

18

35

Extenso: escala de tempo de um processo estocstico discretizada em intervalos de

largura definida, por exemplo, em intervalos anuais, indexados por i=1, 2, ...

Em cada intervalo, pode ocorrer um nico sucesso , com probabilidade p, ou

uma nica falha , com probabilidade (1-p), e elas no so afetadas pelas

ocorrncias anteriores. Esta repetio de eventos tambm um processo de Bernoulli.

0 :S QQ

max

i

0 :F QQ

max

i

Q0

ndice do Ano i N

Q0

1 2

sucesso

falha

. . . .

1

2

k

36

repetio de processos independentes de Bernoulli: 3 tipos de VADs Y

a varivel dita binomial, quando Y refere-se ao nmero de sucessos em N

repeties independentes;

a varivel geomtrica, quando Y refere-se ao nmero de repeties

independentes necessrias para que um nico sucesso ocorra; e

a varivel binomial negativa, quando Y o nmero de repeties

independentes para que um certo nmero r de sucessos ocorram.

13/06/2013

19

37

2.2 Distribuio Geomtrica

A varivel geomtrica Y est associada ao nmero de experimentos (ou tentativas)

necessrios para que um nico sucesso ocorra. Funes:

Valor Esperado:

Nesta equao, com 0

13/06/2013

20

39

Tempo de Retorno:

Exemplo 3: Considere a FDP da figura. Determine (a) o tempo de retorno da vazo

X=300 m/s e (b) a vazo de tempo de retorno T=50 anos.

P(X>xT)=1-FX(xT)

fX(x)

y

z

0 100 300 400 x

40

Tempo de Retorno:

Exemplo 3: Considere a FDP da figura. Determine (a) o tempo de retorno da vazo X=300

m3/s e (b) a vazo de tempo de retorno T=50 anos.

b) A vazo de tempo de retorno T=50 anos est entre 300 e 400 m/s, com ordenada na FDP

igual a w. A primeira equao a ser escrita (400-X50).w/2=1/50. A segunda equao decorre

da semelhana entre tringulos, ou seja, [(400-300)/z]=[(400-X50)/w]. Sabendo-se que z=1/600

e combinando as duas equaes, resulta: X50 2-800X50+157000=0. Uma das razes dessa

equao maior do que 400 m/s e, portanto, est fora do domnio de definio de X. A outra,

resposta do problema, X50=351 m/s.

P(X>xT)=1-FX(xT)

fX(x)

y

z

0 100 300 400 x

Soluo:

(a)A varivel X, nesse caso, refere-se a vazes mximas

anuais e, portanto, o tempo de retorno igual ao inverso da

probabilidade de superao. Exemplo anterior:

P(X>300)=0,083. Logo, o tempo de retorno de X=300 m3/s

T=1/0,083=12,05 anos.

13/06/2013

21

41

Risco Hidrolgico: Dado um quantil de referncia XT, de tempo de retorno T, o risco

hidrolgico definido como a probabilidade de que XT seja igualado ou superado pelo

menos uma vez, em um perodo de N anos. Em geral, o quantil de referncia XT a

cheia de projeto da estrutura hidrulica e N (anos) corresponde sua vida til.

N

TR

111

Tempo de Retorno da Cheia de Projeto x Vida til

1

10

100

1000

10000

1 10 100 1000

Vida til da Estrutura Hidrulica (anos)

Te

mp

o d

e R

eto

rno

da

Ch

eia

de

Pro

jeto

(a

no

s)

R=5% R=10% R=20% R=25% R=50%

Aplicao: Se R previamente fixado,

em funo da importncia e das

dimenses da estrutura hidrulica, e/ou

das conseqncias de seu eventual

colapso para as populaes ribeirinhas,

pode-se empregar a equao para

determinar para qual tempo de retorno

deve ser calculada a cheia de projeto de

uma estrutura cuja vida til de de N

anos.

42

Extenso do conceito de Tempo de Retorno para Vazes Mnimas:

Exerccio Proposto: A figura mostra o esquema de desvio de um rio

durante a construo de uma barragem. Duas ensecadeiras A e B

garantem que o canteiro de obras esteja a seco durante o perodo de

construo, enquanto o rio desviado de seu curso natural por meio

de um tnel T, escavado em rocha, pela margem fluvial direita.

Suponha que o perodo de construo de 5 anos e que a empresa

projetista tenha fixado o risco de 10% para que o canteiro de obras

seja inundado pelo menos uma vez nesse perodo. Com base nesses

elementos, determine para qual perodo de retorno deve ser calculada

a cheia de projeto a ser escoada pelo tnel.

13/06/2013

22

EEUFMG PPG SMARH

Hidrologia Estatstica

Variveis Aleatrias Contnuas:

Distribuies e Aplicaes

44

VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS: DISTRIBUIES E APLICAES 1/2

Seqncia:

1. Motivao para os Modelos Probabilsticos

2. Distribuio Normal

3. Distribuio Log-Normal

4. Distribuio Exponencial

5. Distribuio Gumbel Mximos

6. Distribuio Gumbel Mnimos

13/06/2013

23

45

1. Motivao para o uso de Modelos Probabilsticos

Modelos de distribuio de probabilidades: capazes de sintetizar o comportamento das variveis aleatrias hidrolgicas.

uma forma matemtica abstrata, a qual, por suas caractersticas intrnsecas de variabilidade e conformao, podem ser capazes de representar, de modo conciso, as variaes contidas em uma amostra de observaes de uma varivel aleatria.

tambm uma forma paramtrica, ou seja, um modelo matemtico prescrito por parmetros, cujos valores numricos o definem completamente e o particularizam para uma certa amostra de observaes de uma varivel aleatria. Uma vez estimados os valores numricos de seus parmetros, um modelo de distribuio de probabilidades pode constituir-se em uma sntese plausvel do comportamento de uma varivel aleatria e ser empregado para interpolar, ou extrapolar, probabilidades e/ou quantis no contidos na amostra de observaes.

Uma funo de distribuio contnua aquela empregada para modelar o comportamento de uma varivel aleatria cujo espao amostral do tipo no-numervel, composto por nmeros reais.

46

3. Distribuio Normal (ou de Gauss ou de De Moivre-Gauss)

Usada para descrever o comportamento de

uma VAC que flutua simetricamente em

torno de um valor central. Em decorrncia

do TLC, apropriada modelao de uma

VAC que resulta da soma de um grande n

mero de outras VACs independentes. Tam

bm est presente na formulao terica da

construo de ICs, testes de hipteses e

na teoria de regresso e correlao.

Johan Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

x

xexpxfX para

2

1

2

12

2

1

2

2

x

X dxx

expxF 2

1

2

12

2

1

2

2

13/06/2013

24

47

Momentos:

Distribuio Normal - 1=8 e 2=1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

4 6 8 10 12

x

F(x

) e

f(x

)

1XE

2

2

2Var X

0 =3

48

Porque 1= e 2=, pode-se expressar a FDP Normal como

e que X~N(,).

x

xexpxf X para

2

1

2

12

Funo Densidade Normal - Efeito do Parmetro

de Posio

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-4 -2 0 2 4 6

x

f(x

)

=0, =1 =1, =1 =2, =1

Funo Densidade Normal - Efeito do Parmetro de Escala

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-4 -2 0 2 4 6

x

f(x

)

=0, =1 =0, =1,5 =0, =2

13/06/2013

25

49

Propriedade Reprodutiva: se X~N(X,X), a VAC Y=aX+b tambm

Normal com e . Extenso a n VAs

normais e independentes: se , ento Y~N(Y,Y),

com e . Exemplo 3.18 (livro): se Y

a mdia aritmtica de uma AAS de Xi ~ N(X,X), Y~N .

A FAP Normal no tem integrao analtica. Soluo 1: integrao

numrica para cada par de valores (X,X). Soluo 2: pela prop.

reprodutiva, se , ento Z~N . A

integrao numrica de FZ (z) fornece a Dist. Normal Padro (z).

ba XY XY a

n

i

ii bXaY1

n

iiiY ba

1

n

i

iiY a1

22

n, XX

XZ 10 ZZ ,

50

(existem excelentes aproximaes de (z) por meio de polinmios ver livro pg.136-137)

Para calcular P(Xx), para X~N(X,X), calcula-se z=(x-X)/X e P(Xx)= .

Para calcular x(P), veja na tabela o valor de z para P= e x=X+zX.

Fatos: 68,26% da rea entre 1. 95,44% entre 2. 99,74% entre 3.

Concluso: se X>3X, a Normal pode ser usada para modelar VAs hidrolgicas no-negativas porque a chance de se obter um valor de X negativo quase desprezvel.

zezzFz z

Zd

2

12

2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 z

0,4

0,3

0,2

0,1

fZ(z)

z

(z)

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5606 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8585 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

z z

13/06/2013

26

51

Exemplo 2: Suponha que as vazes naturais mdias anuais Q de um afluente do rio Amazonas sejam

normalmente distribudas com mdia de 10.000 m3/s e desvio padro de 5000 m3/s. Calcule (a) P(Q

13/06/2013

27

53

Exemplo 3 - Suponha que, a partir dos registros pluviomtricos de uma certa localidade, plausvel a

hiptese de que as alturas de precipitao do trimestre mais chuvoso so distribudas segundo o modelo Log-

Normal. A mdia e o desvio padro das alturas pluviomtricas trimestrais so respectivamente 600 e 150

mm. Calcule (a) a probabilidade da altura pluviomtrica do trimestre mais chuvoso de um ano qualquer ficar

compreendida entre 400 e 700 mm; (b) a probabilidade da altura pluviomtrica do trimestre mais chuvoso de

um ano qualquer ser pelo menos igual a 300 mm; e (c) a mediana das alturas pluviomtricas. Soluo:

a) Denotemos a varivel em questo por X. O coeficiente de variao de X CV=150/600=0,25. Com esse

valor na equao , obtm-se . Com esse resultado e com X=600 na

equao de E[X], tem-se ln(X)=6,366617. Portanto, X~LN( ). A probabilidade

pedida

(b) P(X>300)=1-P(X

13/06/2013

28

55

5. Distribuio Exponencial

Distribuio empregada para modelar (i) tempo contnuo entre duas ocorrncias

sucessivas de um processo de Poisson; (ii) tempo de falha (ou de vida til) de

componentes de um sistema eletrnico; e (iii) magnitudes das excedncias {X-X0}das

ocorrncias de Poisson acima (ou abaixo) de um limiar (threshold) X0 [em hidrologia,

SDP; em ingls, POT (peaks over threshold) ou PUT (pits under threshold).

FDP:

FAP:

Momentos:

0 para ,ou 1

xxexpxf

xexpxf XX

xexpxFx

expxF XX

1ou 1

Distribuio Exponencial - =2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 2 4 6 8 10

x

f(x

), F

(x)

1

ou XEXE

2

21

Varou Var

XX

2

56

6 Distribuio Gumbel Max (EV1, Fisher-Tippet 1 ou Dupla Exponencial)

FAP

FDP Hidrologia: Curvas IDF, Q Cheias

Quantis

Momentos

Cheia Mdia: T=2,33 anos (T. Dalrymple)

0 para

,,y

yexpexpyFY

yexp

yexpyfY

1

TlnlnTyFlnlnFy

11ou

57720,YE

6

Var

22

2

YY

13961,

Funo Densidade Gumbel (Mximos)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

-5 0 5 10 15 20 25 30

y

f(y

)

=2, =4 =4, =4 =2, =2

13/06/2013

29

57

Exemplo 2 - Denote por X a varivel aleatria vazes mdias dirias mximas anuais; suponha que, em um certo local, E[X]=500 m3/s e E[X 2]=297025 (m3/s)2. Utilize o modelo de Gumbel para calcular (a) a vazo mdia diria mxima anual de tempo de retorno 100 anos.

(a) Lembrando que Var[X]=E[X 2]-(E[X] )2, resulta que Var[X]=47025 (m3/s)2. Resolvendo o sistema formado pelas equaes

obtm-se =169,08 m3/s e =402,41 m3/s. Com esses valores numricos dos parmetros na equao de quantis, a vazo mdia diria mxima anual de tempo de retorno 100 anos x(100)=1180 m3/s.

57720,YE 6

Var

22

2

YY

58

7 Distribuio Gumbel para Mnimos (EV1 min)

FAP:

FDP:

Quantis:

Momentos:

0 para 1

,,z

zexpexpzFZ

zexp

zexpzfZ

1

TlnlnTyFlnlnFz

11ou 1

Funo Densidade Gumbel (Mnimos)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

z

f(z)

=2, =4 =4, =4 =2, =2

57720,ZE

6

Var

22

2

ZZ

13961,

13/06/2013

30

59

Exemplo 4 - Alguns estados brasileiros adotam como vazo de referncia, para a outorga de

direito de uso da gua, a vazo mdia mnima anual de 7 dias de durao e de tempo de retorno 10

anos, geralmente representada por Q7,10; para um dado ano de registros fluviomtricos, o valor Q7 anual corresponde menor mdia de sete vazes consecutivas ocorridas naquele perodo.

Suponha que as Q7 anuais sejam denotadas pela varivel aleatria Z e que, em um dado local,

E[Z]=28,475 m3/s e [Z]=7,5956 m3/s. Calcule a vazo Q7,10 pelo modelo de Gumbel (mnimos).

Soluo:

As solues simultneas do sistema formado pelas equaes dos dois primeiros momentos

resultam em =5,9223 e =31,8933. Com esses valores e T=10 anos na equao de quantis,

conclui-se que a Q7,10 pelo modelo de Gumbel (mnimos) z(T=10)=18,6 m3/s.

EEUFMG

Hidrologia Estatstica

Anlise Local de Freqncia de VAs Hidrolgicas

13/06/2013

31

61

1.Introduo

Anlise de freqncia de VAs hidrolgicas: relacionar a magnitude dos eventos

(QT) freqncia com que eles so igualados ou superados [P(Q>QT) ou T], por

meio de uma distribuio de probabilidades emprica ou paramtrica (terica).

Local: uma nica srie (fluviomtrica, pluviomtrica ou

Classificao da AF climatolgica) usada para a AF.

(extenso geogrfica) Regional: informaes de vrios postos de uma regio

homognea so agrupados para a AF regional.

Usos da anlise de freqncia :

projetos de vertedores de barragens,

pontes, bueiros e outras estruturas.

estimativas de valores caractersticos para

o planejamento de RH, como a Q7,10 .

cotejar custorisco para tomada de

decises em projetos de engenharia.

62

de Sries de Valores Mximos (Mnimos) Anuais

Classificao da AF

(valores da srie) de Sries de Durao Parcial ou POT (PUT)

Out/77 Set/78 Out/78 Set/79

Q

m3/

s

Dia

POT

PUT

Q0

Q0

Srie de Mximos Anuais Srie de Durao Parcial

Srie Total

Ano Hidrolgico i Ano Hidrolgico i+1

13/06/2013

32

63

Emprica: uso de grficos de probabilidade

Classificao da AF

( probabilidade e estatstica) Analtica: distribuio de probabilidade+parmetros+quantis

Requisito fundamental: A amostra deve ter elementos independentes entre si (valores

mximos e mdiosano hidrolgico; valores mnimosano civil), consistentes

(isentos de erros de observao), representativos, homogneos e estacionrios.

Etapas da Anlise Local de Freqncia de VAs Hidrolgicas:

Optar pela utilizao de sries anuais ou sries de durao parcial.

Avaliar os dados das sries, quanto aos atributos de consistncia, homogeneidade, independncia e

representatividade.

Propor uma ou algumas distribuies tericas de probabilidade, com a estimativa de seus

parmetros, quantis e intervalos de confiana, seguida de verificao de aderncia distribuio

emprica.

Realizar a identificao e tratamento de pontos atpicos, com eventual repetio de algumas etapas

precedentes.

Selecionar o modelo distributivo mais apropriado.

64

2. Anlise de Frequncia com o Fator de Frequncia

2.1 AF Local com uso do Fator de Freqncia

onde depende da distribuio de X, de T e de N, podendo ser expresso por

onde kT denominado FATOR DE FREQNCIA (Chow, 1964). Com as

estimativas amostrais, tem-se a frmula geral .

Distribuio Normal: kT =Z(1-1/T) onde Z a varivel Normal padro

Distribuio Log-Normal: com kT =Z(1-1/T)

Distribuio Log-Pearson III: e kT dado pela eq. de Wilson-Hilferty

na qual Y representa o coeficiente de assimetria de Y=ln(X) e Z a varivel Normal padro.

XX X X

XTkX

XTT skxx

TxlnxlnT k.Sxexpx

TxlnxlnT k.Sxexpx

543

2

2

32

63

1

661

66

3

1

61

YYYYYT .Z.Z.Z.Z.ZZk

13/06/2013

33

65

Distribuio Gumbel (Max):

N=tamanho da AAS

Onde,

Se N,

i

i

Y

YT

T

YNk

11lnln

N

iNYi

Tlnln.

,,kT

11

2831

1450

TlnlnYT

11

66

Exemplo 2 - Calcular o fator de freqncia da distribuio Gumbel, referente ao tempo de retorno de 50 anos

para uma amostra de 10 elementos.

Soluo:

Com as estimativas de Y = 0,4952 e Y = 1,9496, o fator de freqncia pode ser calculado por

Importante: ver Ex. 8.5 pg. 325

11

n

ilnlnnYi

i 1n

i nYi I

1n

i nYi

1 0,090909 2,350619 8 0,727273 -0,26181

2 0,181818 1,60609 9 0,818182 -0,53342

3 0,272727 1,144278 10 0,909091 -0,87459

4 0,363636 0,794106 iY

0,4952

5 0,454545 0,500651 iY

0,9496

6 0,545455 0,237677

7 0,636364 -0,01153

9019350

11

11 ,lnln

TlnlnYT

5874394960

495209019310 5050 ,

,

,,Yk

Y

Y