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CEP Santa María de la Providencia

Primer Periodo 1ro. de Secundaria1

Capítulo 1


1. NOCIÓN DE CONJUNTO

La palabra conjunto es un término no definido pero se le asocia como la reunión o colección de objetos homogéneos o heterogéneos Ilamados elementos del conjunto

2. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO

2.1. Mediante una Letra mayúscula se denota al conjunto.

2.2. Los elementos del conjunto se escriben en letras minúsculas a excepción de los nombres propios, los cuales tienen su primera letra en mayúscula.

2.3. Los elementos se encuentran separados entre si de la manera siguiente:

2.3.1. Si son números mediante un punto y coma.

2.3.2. Si son letras mediante un punto y coma o por medio de una coma solamente.

Ejemplos:

1) A = {1;2;3} 2) B = {a, b, c) 3)3) C = {a; b; c; d)



3. RELACION DE PERTENENCIA

Si "x" es un elemento del conjunto "A" entonces se dice que: "x" pertenece al conjunto "A"; su notación matemática es la siguiente:

x A

Si "x" no es elemento del conjunto "A" entonces se dice que "x" no pertenece al conjunto "A"; su notaci6n matem6tica es la siguiente:

X A

Ejemplo:

1) A = {1; 2; 3) entonces:1 A 2 A 3 A4 A 8 A 7 A

Ejemplo:

01.- Si: A = { 2; 3 ; 5 ; 8 } , entonces es verdad:I. 3 AII. {5} AIII. {8} A

Solución:

I. (V) : 3 AII. (F) : Lo correcto es: {5} AIII. (V) : {8} A

02.- Sean Los conjuntos:



A = {1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7} B = {3 ; 5 ; 6 ; 8 }C = {x+y/ x A y B}

Es correcto:I. 15 CII. 3 CIII. n(C) = 20

Solución:

A = { 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7 }B = { 3 ; 5 ; 6 ; 8 }C = {x+y/ x A y B}

Los elementos de C se obtienen sumando todas las parejas que se pueden formar con los elementos de A y los B.

I. (V) 7+8 = 15 CII. (V) 3 CIII. (V) n(A) = 5 ; n(B) = 4

n(C) = 5 x 4 = 20

03.- Determinar si es V o F si: A = { 2 ; 3 ; {2} }a) 2 Ab) {2} Ac) {2} A

Solución:

a) (V) 2 Ab) (V) 2 A {2} Ac) (V) {2} es elemento de A

{2} A

PROBLEMAS



01.- Determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes si:

A = {1; 2; 3; 4}

a) 1 A b) 2 A c) 4 Ad) 8 5 e) 5 A f) 0 A

02.- Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes si:

A = {1; {2; 3}; {4}; )

a) 1 A b) 4 A c) {2; 3) Ad) A e) {4} A f) 3 A

03.- Indicar cuántas proposiciones son verdaderas si: A = {; {1; 2); 3; 4}

a) 3 A b) A c) 3; 4; Ad) {3) A e) {1; 2} A F) 3 A

04.- Se tiene el siguiente conjunto:A = {2; 3; 4} ; indicar la verdad (V) o falsedad de las siguientes proposiciones.

a) 2 A b) 3 A c) 4 Ad) 5 A e) 8 A f) 3 Ag) 9 A h) 10 A

05.- Se tiene el conjunto siguiente:A = {2; 3; {4; 5}}; indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones.

a) 3 A b) 4 A c) 5 Ad) 2 A e) {4; 5} A f) {2} A06.- Se tiene el siguiente conjunto:



B = {2; {3}; {4; 5}}, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

a) 3 B b) 2 B c) 5 Bd) 4 B e) {2} B f) {3} B

07 . - Se tiene los conjuntos:

A = { 1 ; { 2 ; 3 } ; } ; B = { 2 ; { 3 } ; 5 }

Colocar la pertenencia () o no pertenencia () en las proposiciones siguientes:

a) 2…..A b) …... A c) {2 3} …… Ad) {}…...B e) 5…...B f) 6. …...B

08.- Se tiene el conjunto:

C = {1; ; {3; 4}}

Indicar cuántas proposiciones son falsas:

a) C b) 3 C c) 4 C

d) 1C e) {3; 4} C f) {1} C

09.- Se tiene el siguiente conjunto:

A = { 2 ; 4 ; 6 ; 7 } ; indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

a ) 6 A b ) 4 A c ) 5 A

d ) 2 A __ e ) 8 A f) 2 A

10.- Se tienen los conjuntos:

A = {2; {4; 5}; } B = {3}



Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones

a) A b) {3} B c) 4 Ad) 2A e) {4; 5} A f) 8 B

11.- Se tiene el conjunto A = {3; 6; 7} . Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

a) 6 A b) 7 A c) Ad) {6} A e) 8 A f) 3 A

12.- Se tiene el conjunto:

A = { 4 ; {5;6} }; indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones

a) 6 A b) 4 A c) 5 Ad) {} A e) {5;6} A f) {4} A

13.- Se tiene el siguiente conjunto:

A = { {2} ; {3; 4} ; ; 5} ; indicar cuántas proposiciones son falsas:

a) 2 A b) 3 A c) Ad) 5 A e) {2} A f) 4 A

14.- Se tienen los conjuntos siguientes:

A = { 2 ; {4; 5} ; ); B = { ; {3} ; {1; 4}}

Colocar la pertenencia () o la no pertenencia (), según corresponda:a) 4……A b) 4……B c) ….. Ad) {3}……B e) 2..…A f) {1; 4}……B

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Un conjunto se puede determinar de dos formas:



1. Por extensión o forma tabular.- Es cuando se nombra todos los elementos del conjunto.

2. Por Comprensión o Forma Constructiva, Es cuando enuncia la propiedad o característica que tiene los elementos de un conjunto.

Ejemplo:

Si: A = {2x/x N; 1 x 4},

Este conjunto está determinado por comprensión, su determinación por extensión será:

A = {2; 4; 6; 8}

Ejemplo:

Determinar por extensión:

P = { x+6 / x N x < 5 }

Solución

Dando los valores a “x” x = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4De donde:x+6 = 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10

P = { 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 }

PROBLEMAS

01.- Determinar por extensión el siguiente conjunto: A= {2x - 1 /x N; 1 x 6}



02.- expresar por extensión el siguiente conjunto: B= {x2+1 /x N; 1 < x 5}

Dar la suma de sus elementos.

03.- Hallar la suma de los elementos del conjunto: A = {3x+2/x N; 1 < x < 5}

04.- Se tiene el siguiente conjunto: A = {3x - 2/x N; 1 < x 6}

Indicar la suma de los elementos del conjunto A.

05.- Determinar por extensión los siguientes conjuntos: 1) A = {2x/x N; 1 < x 5}2) B = {2x - 1/x N; 2 < x < 6} 3) C = {x2 + 1/x N; 1 < x 5}

4) D = { /x N;1 x 6)

06.- Determinar por comprensión los siguientes conjuntos: 1) A = {2; 4; 6; 8, 10; 12}

2) B = {4; 9; 16; 25; 36} 3) C = {17; 19; 21; 23; 25} 4) D = {20; 25; 30; 35; 40}

07.- Se tiene el siguiente conjunto: A = {2x + 5/x N; 1 x 6}

Indicar, ¿cuántas proposiciones siguientes son verdaderas?

a) A b) 9 A c) 17Ad) 8 A e) 11 A f) 11; 13 A

08.- Se tiene el conjunto siguiente: B = {x + 1/x N; 1 < x < 6}Indicar cuantas de las siguientes proposiciones son verdaderasa) 1 B b) B c) 6 C d) 4 B e) 3 B

09.- Determinar por extensión el conjunto siguiente: A = {5x - 1/x N; 1 < x < 6}



10.- Hallar la suma de los elementos del siguiente conjunto A = {4x - 5/x N; 2 < x 6}

11.- Hallar la suma de los elementos del conjunto: B = {x + 2/x N; 1 < x 8}

12.- Determinar por extensión los siguientes conjuntos: 1) A = {3x/x N; 1 x 4}2) B = {x2 - 1/x N; 1 x < 6} 3) C = {4x - 2/x N; 1 < x < 7} 4) D = {3x2 -1/x N; 1 < x 4}

13.- Se tiene el siguiente conjunto: A = {3x - 1/x N; 1 < x 5}

Determinar la suma de los elementos del conjunto "A".

14.- Se tiene el conjunto siguiente:A = {2x - 1 /x N; 1 < x 6}

Determinar, cuántas proposiciones son verdaderas.a) 3 A b) 11 A c) A d) 1 A e) 5 A f) {9} A

15.- Se tiene el siguiente conjunto:A = (x2 + 2/x N; 1 x 5}

Indicar la suma de los elementos del conjunto "A".

16.- Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

1) A = {18; 20; 22; 24; 26}2) B = {8; 27; 64; 125}3) C = {25; 27; 29; 31; 33} 4) D = {5; 10; 17; 26}



Departamento de Publicaciones


Capítulo 2


1. RELACIÓN DE INCLUSIÓN

Se dice que un conjunto "A" está incluido en otro conjunto "B", cuando todos los elementos del conjunto "A" se encuentran en el conjunto "B". Su notación matemática es la siguiente

A B

La representación gráfica de la inclusión se realiza mediante el diagrama de Venn - Euler.

A B

Ejemplos:

A = {1; 2; 3} A B B = (1; 2; 3; 4)

2. PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE INCLUSIÓN

2.1. El conjunto nulo o vació es subconjunto de todo conjunto.

A A; B; C; …

2.2. Todo conjunto es subconjunto de si mismo:

A A A; B ; C ; . . .

2.3. Propiedad transitiva

Si:



A B y B C A C

3. CONJUNTOS IGUALES

Se dice que dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.

Ejemplo:

A = {1; 2; 3}B = {1; 2; 3} A = B

4. CONJUNTOS DISJUNTOS

Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.

A = {1; 2} A y B son disjuntosB = (3; 4)

Su representación gráfica es:

5. CONJUNTOS ESPECIALES

5.1. Conjunto Unitario.- Es aquel que tiene un solo elemento.

5.2. Conjunto Nulo o Vació.- Se llama así al conjunto que no tiene elementos.



5.3. Conjunto Finito.- Es aquel conjunto cuyos elementos se puede enumerar o contar.

5.4. Conjunto Infinito.- Es el conjunto cuyos elementos no se pueden contar.

5.5. Conjunto de Conjuntos.- Se llama as! al conjunto cuyos elementos son otros conjuntos.

Ejemplo:

A = { { 3 } ; { 4 } ; { 5 } }

5.6. Conjunto Potencia: Se llama así a aquel conjunto que tiene por elemento a todos los subconjuntos de un conjunto dado, por ejemplo:

Dado: A = {m, n, p}Luego su conjunto potencia, que se denota por P(A), será:

P(A) = {{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}, }

El número de elementos del conjunto potencia, se puede determinar en la siguiente relación:

nP(A) = 2 n(A)

Donde: n(A) es el número de elementos del conjunto “A”.

Ejemplos:

01.- Sean los conjuntos A = { x N / 1< x < 5} Entonces es correcto: I. A BII. {3} A y {5} B III. n(A) B



a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III. d) I y II e) Todas

Solución:

A = {2;3;4Ç B = {2;3;4;5;6}

I. Correcto. A B II. Correcto. 3 A {3} A

5 B {5} B III. Incorrecto. n(A) = 3. No es correcto 3 B. Lo correcto es {3} B Rpta: d

02.- DadosA = { x / x+2 = 5 } ; B = { y / y – 1 = 3 } Entonces es verdadero: I. A < BII. A = 3 y B = 4 III. A {3; 4}

a) Sólo I. b) Sólo II. c)Sólo III. d) I y II e) Todas

Solución:

A = {3} y B = {4}I. Falso. A < B no tiene sentido.No existe una relación de desigualdad entre conjuntos.II. Falso. A = 3 y B = 4 no tiene sentido. A es un conjunto y no un número. Igualmente B.III. Verdadero. A = { 3 } A {3; 4} Rpta: c03.- Dado A = {2; 3; 4; 5}, determinar la falsedad o veracidad de las siguientes proposiciones.a. {3} A d. {2} Ab. {2;5} A e. {5; 3} A c. {3;6} A f. Card(A) A

a) VVVVVV b) VVVVVF c) FFVFVF d) VVVFVVe) VVVFVF



Solución:a. (V)b. (V)c. (V). {3; 6} A {2;3;4;5} = A {3; 6} A porque 6 A d. (F). Lo correcto es { 2 } Ae) (V). 5 A y 3 A {5;3} A f. (F) Card(A) = 4 y 4 A no es correcto. Cuatro no es conjunto, es elemento.

05.- Si: A = {2; 3} Entonces es correcto: i. P(A) = 4 iii. {{2}} P(A) ii. {2} P(A) IV. {3} P(A)a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo I y IV.d) III y IV e) II, III y IV.

Solución:

A = {2;3}P(A) = { ; {2} ; {3} ; {2;3} }

I. Incorrecto. P(A) = 4 no tiene sentido. P(A) es un conjunto y no puede ser igual a 4. Lo correcto es n[P(A)] = 4, esto es, 4 es el número de elementos de P(A) y no es P(A).II. Incorrecto. Para que {2} P(A), 2 debe ser elemento de P(A). El elemento de A es {2} y no 2. Lo correcto es {2} P(A).III. Correcto. {2} P(A) {{2}} P(A)IV. Correcto. {3} P(A)

PROBLEMAS

01.- Se tienen los siguientes conjuntos:A = {1; 2; 3}; B = {2; 3} y C = {2; 3; 4}Indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

a) A B b) A C c) B Cd) C A e) C B f ) B A




A = {2; 3}; B = {2; 3; 4} y C = {3}Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones

a) A B b) A C c) B Cd) C B e) C A f) B A

03.- Se tienen los conjuntos siguientes:A = {2; 3}; B = {3} y C = {1; 3} ¿Cuantas proposiciones son verdaderas?

a) B A b) C B c) Ad) A e) A C f) 3 B

04.- Si: A = {3; 6}, B = {p, q}; sabiendo además que: A = B; hallar la suma de valores de p y q.

05.- Si: A = {m + 1; n - 2}; B = {5; 8}, además A = B; Hallar el mayor valor de m x n.

06.- Si: A = {5; 11}; B = {a + 3; b - 5}; además A = B; Hallar el menor valor de a x b.

07.- Si: A = {a + 2; 5; b - 1}, sabiendo que el conjunto "A" es unitario. Hallar: a x b.

08.- Si el conjunto B = {m + 1; n - 2; p - 4; 10} es un conjunto unitario. Hallar: m + n + p.

09.- Si: A = {m+n; m-n}; B = {9; 7}. Además A = B; hallar el menor valor de A x B.

10.- Si: A = {2; 4} y B = {m; n}Además: A = B. Determinar la suma de los valores de "m" y "n"

11.- Si: A = {m+n; m-n}; B = {20;8}. Además: A = B. Determinar el valor positivo de "m x n".

12.- Si se tiene el siguiente conjunto



A = {2; 3; {4; 5}} ; B = {2; 3}

Indicar cuantas proposiciones son verdaderas

a) A b) B A c) 3 Bd) 4 A e) 8 B f) A A

13.- Si se tiene: A = {x/x N, 1 x 4} B = {2x/x N, 1 x 2}

Indicar cuantas proposiciones son falsas: a) B A b) 1 A c) 5 Ad) A e) B f) 3A

14.- Se tienen los conjuntos:A = {2; 3; {5}} ; B = {2; 3} , Indicar la verdad o falsedad

a) A b) A A c) Bd) B B e) B B f) 2 A

15.- Dar 5 ejemplos de:

a) Conjuntos unitarios b) Conjuntos nulosc) Conjuntos infinitos d) Conjuntos finitos

16.- Se tiene los siguientes conjuntos:

A = {2; 3; 4; {5}} ; B = {3; 5}Indicar cuantas son proposiciones falsas:

a) A b) B c) 5 Ad) 3 B e) B B f) A A

17.- Se tienen los siguientes conjuntos: A = {2x/x N, 1 x 4} B = {2x + 1/x N, 1 < x < 5}Indicar cuantas proposiciones son falsas:

a) 2 A b) A c) 5 B



d) B e) 11 B f) 10 A

18.- Si: A = {m+1; n-3} ; B = {6; 7}Además: A = B; Hallar el menor valor de m x n

19.- Si: A = {m - 1; n - 2; p + 3; 6} Además A es un conjunto unitario. Hallar: m + n + p

20.- Si: A = {m + n; m - n}; B = {8; 10}Además: A = B; hallar al menor valor de m x n

21.- Si: A = {4; 6} ; B = {a; b}. Hallar la suma de "a y b". Sabiendo que A = B

22.- Si: A = {a + b; a - b}B = {16; 12}

Además: A = B. Determinar el mayor valor de "a x b"


Capítulo 3


UNION DE CONJUNTOS



Dados dos conjuntos A y B se llama unión de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B.

A U B = { a / x A ó x B }

Representación de la Unión

INTERSECCION DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenece a A y a B.Notación: A intersección B A B

Intersección de dos o más conjuntos significa obtener un nuevo conjunto formado por todos los elementos comunes a los conjuntos considerados.

A B = { x / x A y x B }Gráficamente:



DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Restar es sinónimo de quitar. El resultado de la sustracción se llama diferencia. Si estos conceptos lo llevamos a nuestro estudio de los conjuntos tenemos que:

Se llama diferencia entre un conjunto A y otro B, al conjunto 22formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Notación:

Diferencia entre A y B A – B

A – B = { x / x A y x B }

DIFERENCIA SIMÉTRICA

“Toda la Unión , menos la intersección”

Notación: A B ; “La diferencia simétrica de A y B”

A B = { (A – B) U (B – A) }

Gráficamente:



COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto “A”, el conjunto complemento de “A” es aquel conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al universo pero no pertenecen al conjunto “A”.

A’ = { x / x U y x A }

Gráficamente:

Ejemplos:

01.- Durante todo el mes de octubre un alumno estuvo preparándose en Aritmética y Algebra. Veinte días estudió Aritmética y 16 días Algebra. Si el 1ero de octubre fue domingo y todos los domingos descansó, ¿en cuantos días estudió ambos cursos?

Solución



Domingos de octubre1 ; 8 ; 15 ; 22 ; 29 5 domingosDías que estudió: 31 – 5 = 26 días

Estudió sóloÁlgebra 6 días

Estudió ambos cursos 16 – 6 = 10 días

02.- Si en un aula de 60 alumnos, 20 aprobaron solo Literatura, 30 aprobaron Literatura y Matemática, ¿Cuántos alumnos aprobaron sólo Matemática? (Todos los alumnos aprobaron al menos de los cursos)

Solución

No hay elementos fuera de L M porque todos aprobaron al menos un curso. La parte sombreada representa los que aprobaron sólo Matemática y son: 60 – (20+30) = 10

03.- De un grupo de 100 personas se sabe que:

a) 60 no tienen hijosb) 25 casadas tienen hijosc) 10 son madres solteras

¿Cuántos hombres son padres solteros?

Solución



Total de personas = 100

De 100 personas, 60 no tienen hijos 40 no tienen hijos

De las 40 con hijos, 25 son casadas 15 son solteras

De las 15 solteras, 10 son mujeres 5 son hombres: x = 5

Ejercicios

01.- Sean los conjuntos:

A = {1; 2; 3}B = {2; 3; 4}C = {4; 5};D = {1; 2} Hallar:



a) AB b) A D c) A - B d) B D e) C - B


A = {2; 3; 4}B = {3; 5; 6]C = {1; 3; 5}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Hallar:a) A B b) A' c) B Cd) C' e) B - C f) (C - A)'


A = {1; 2; 3}B = {2; 3; 4}C = {3; 2; 1}D = {3; 4} U = {1;2;3;4;5}

Hallar:a) A - B b) B C c) B – D d) A D e) D’ f) A C g) D – B h) (A – D)’

04.- ¿Qué operación representa cada una de las regiones sombreadas?

A) B)



C) D)

E) F)

G) H)

05.- En cada gráfico sombree el conjunto que se indica.

A) (A B) U C B) (A U B ) C C) (A – B ) U C



D) (A C) – C E) (A – B ) – C F) A – (B – C )

G) (A C)C H) AC U CC I) (A – B ) U (B – C )

06.- Si:A = {x/x N, 1 x < 4} B = {2x/x N 1 x 8} Hallar:

a) A – B b) A B c) AB d) B – A e) A B

07.- Hallar la suma de los elementos de (A B) C, sabiendo que: A = {1; 2; 3; 4}, B = [2; 3; 5} y C = {1; 3; 5; 7}

a) 12 b) 14 c) 10 d) 9 e) 1808.- Sean los conjuntos:

U = {1;2;3;4;5} A = {1;2;3} B = {2;3;4}

Efectuar:

a) A’- B b) B’ – A c) A’ – Bd) (A B’) e) A’ B’ f) A’ B’



09.- Se tienen los siguientes conjuntos:

A = {2; 3; 4} B = {3; 4; 5} C = {1; 3; 5} U = {1;2;3;4;5;6}

A) E= (A'-B')C B) E = A'B' C) E=(C'B')-A'


A = {1; 2; 3}; B = {2; 3; 4}; C = {3; 5}

Hallar:

a) AB. b) A - C c) B - Cd) A C e) B C f) B - A

11.- Se tienen los siguientes conjuntos:

A = {2; 3; 4} B = {3; 4; 5} C = {4; 5} D = {1;4} U={1;2;3;4;5;6;7}

Hallar:

a) A - B b) C D c) D Bd) B - A e) A B f) B’

12.- Se tienen los conjuntos:A = {1; 2; 3; 4} B = { 2; 3; 4}

C = {3; 5} D = {2; 4}

Hallar:

a) A B b) A C c) A - Bd) B – A e) A - D f) C D

13.- A = {1; 2; 3) B = {2; 3; 4)C = {3; 4; 5) U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}



Hallar:a) A B b) A' c) B Cd) B' e) C - B f) (A B)'

14.- Designando:

A: el conjunto de todos los nacidos en el Perú.B: el conjunto de todos los nacidos en la selva amazónica peruana.C: el conjunto de todos los nacidos en Iquitos.El diagrama de Venn que se relaciona correctamente los tres conjuntos es:

a) c)

b) d)

15.- Si: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}B = {5; 6; 7; 8; 9}C = {4; 5 }

Entonces. ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte achurada del diagrama:

a) 4, 5, 6 b) 4, 5, 6, 7 c) 4, 6, 7 d) 1,2,3 e) 6, 7



15.- Si: A = {1;2;3} ;B = {1;2;4} ; C = {2;3;4;5}

Entonces: ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte achurada del diagrama?a) 2 b) 3c) 4d) 2, 4 e) 1, 2, 4

16.- La gráfica corresponde a:

a) [(AB)–C] [AUBC]b) [(AB)–C] U [ABC]c) [(AB)–C] [ABC]d) [(A–B)–C] U [ABC]e) [(A–B)–C] U [ABC]

11.- Dados: A = {1; 2; 4; 5}B = {2; 4; 6; 8}

Hallar el cardinal de: [B – (A – B)] (A B)

a) 5 b) 6 c) 2 d) 3 e) 4PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE CONJUNTOS

01.- Se encuestó a 120 alumnas sobre sus preferencias por el vóley o la natación; se obtuvo los siguientes resultados:

- A la cuarta parte no le gusta el vóley ni la natación - A la mitad les gusta la natación- A los 5/12 les gusta el vóley

Responder a las siguientes preguntas:

i) ¿A cuántas alumnas les gusta el vóley y la natación?



ii) ¿A cuántas alumnas les gusta solamente el vóley?iii) ¿A cuántas alumnas les gusta solamente la natación?

Solución:

Cálculos previos:

ni vóley, ni natación = . 120 = 30

natación = . 120 = 60

Vóley = . 120 = 50

Sea: x = # de alumnas que les gusta ambos deportes.Del gráfico: (50-x) + x + (60-x) + 30 = 120 140 - x = 120 x = 20 Finalmente:

i) # de alumnas que les gusta el vóley y la natación = 20ii) # de alumnas que les gusta solamente vóley = 50 - 20 = 30iii) # de alumnas que les gusta solamente natación = 60 - 20 = 40

02.- A una reunión asistieron 68 turistas, de los cuales:

20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el número de los que conocen Tacna es igual al número de los que no conocen ni Tacna ni Arequipa. ¿Cuántos turistas conocen sólo Arequipa?



Solución:

Sea:

# turistas que conocen sólo Tacna = x # turistas que conocen Tacna = x+20 # turistas que conocen Arequipa = 2x# turistas que conocen sólo Arequipa = 2x – 20 = ?

Del gráfico: x + 20 + 2x – 20 + x + 20 = 68

4x + 20 = 68x = 12

Conocen sólo Arequipa = 2(12) – 20 = 4

Rpta: 4 turistas conocen sólo Arequipa

PROBLEMAS

01.- Se tiene el siguiente diagrama:



Indicar el número de elementos en cada caso:

a) Sólo Inca Kola e) Inca Kola o Coca Colab) Só1o Coca Cola F) Sólo una gaseosac) Inca Kola y Coca Cola G) Inca Kolad) No Inca Kola H) No Coca Cola

02.- Se tiene el siguiente diagrama:

Indicar el número de elementos si:

a) Sólo A e) no Bb) A y B f) ni A ni B c) A o B g) A pero no B d) no A h) A03.- A un campamento concurren 48 alumnos: 22 no saben cocinar; 32 no saben armar carpas y 12 no saben ni cocinar, ni armar carpas. ¿Cuántos alumnos realizan las dos actividades?

a) 4 b) 8 c) 6 d) 5 e) 3

04.- A una reunión asistieron 68 turistas, de los cuales:20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el numero de los que conocen Tacna es igual al numero de los que no conocen ni Tacna ni Arequipa. ¿Cuántos turistas conocen solo Arequipa?

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 24



05.- A un certamen de belleza se presentaron 250 señoritas. Se sabe que:- Hubieron 180 rubias de las cuales 80 usaban anteojos.- El número de candidatas que no eran rubias y que tampoco usaban anteojos eran los 2/5 de las que solamente usaban anteojos.

i) ¿Cuántas usaban anteojos?ii) ¿Cuántas usaban anteojos pero no eran rubias?iii) ¿Cuántas no eran ni rubias ni usaban anteojos?

06.- En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos de Aritmética y Biología, se obtuvieron los siguientes resultados:60 prefieren Aritmética50 prefieren Biología20 no prefieren ninguno de estos cursos

¿Cuántos prefieren sólo uno de estos cursos?

a) 35 b) 29 c) 40 d) 21 e) NA

07.- De un grupo de 200 pacientes examinados en una clínica se encontró que 100 no tenían cáncer, 80 no tenían diabetes y 25 no tenían ninguna de estas enfermedades. ¿Cuántos tenían ambos?

a) 20 b) 45 c) 50 d) 55 e) 75

08.- En el mes de Marzo, Gerardo comió en el desayuno pan con hot-dog (19 días) o con chicharrón (15 días), si durante 4 días dicho mes Gerardo estuvo en ayuna. ¿Cuántos días comió pan con chicharrón solamente?

a) 19 b) 15 c) 8 d) 7 e) 12



09.- En un cesto hay manzanas, peras y naranjas. Un grupo de 80 niños comieron las frutas de la siguiente manera: 32 niños comieron manzanas, 33 niños comieron peras y 20 niños comieron naranjas; 4 niños comieron manzanas y peras; 7 niños comieron peras y naranjas y 5 niños comieron naranjas y manzanas. ¿Cuántos niños comieron los tres tipos de frutas diferentes?

a) 15 b) 10 c) 12 d) 13 e) 11

10.- De 40 alumnos de un aula el número de los que estudian Matemática y Lenguaje es la mitad de los que no estudian para nada esos cursos. Además, 8 estudian sólo Matemática y 2 sólo Lenguaje. ¿Cuántos estudian Matemática?

a) 12 b) 18 c) 22 d) 28 e) 10

11.- De un grupo de 65 alumnos:30 prefieren Lenguaje;40 prefieren Matemática; 5 prefieren otros cursos.¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje?

a) 8 b) 10 c) 5 d) 15 e) 12

12.- De 50 estudiantes encuestados:

20 practican sólo fútbol;12 practican fútbol y natación;10 no practican ninguno de estos deportes.¿Cuántos practican natación y cuántos sólo natación?

a) 32 y 20 b) 12 y 8 c) 8 y 4 d) 20 y 8 e) 30 y 12

13.- En un salón de 100 alumnos: 65 aprobaron Raz. Matemático;25 aprobaron Raz. Matemático y Raz. Verbal;15 aprobaron solamente Raz. Verbal.



¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

14.- En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen solamente la revista "Gente"; 60 leen solamente la revista "Caretas"; 12 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos leen ambas revistas?

a) 8 b) 68 c) 48 d) 20 e) 38

15.- De 38 estudiantes que desfilaron en un batallón:

18 usaban anteojos9 usaban anteojos y saco19 llevaban saco7 usaban saco y corbata20 usaban corbata7 usaban anteojos y corbata ¿Cuántos estudiantes usaban anteojos, saco y corbata?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16.- En una encuesta realizada a 129 televidentes:

37 ven el canal 417 ven los canales 5 y 234 ven el canal 515 ven los canales 4 y 252 ven el canal 212 ven los canales 4 y 540 ven otros canales. ¿Cuántos televidentes ven los canales 4; 5 y 2?

a) 15 b) 17 c) 8 d) 20 e) 10



Departamento de Publicaciones


Capítulo 4


RAZÓN

Es la comparación que se puede establecer entre dos cantidades.



Ejemplo: Se tiene 2 hermanos: Miguel de 15 años y Luis de 5 años; se puede decir que Miguel es 10 años mayor que Luis o que la edad de Miguel contiene 3 veces la edad de Luis; de estas se desprende que las clases de razones son:

RAZÓN ARITMÉTICA

Es la comparación de dos cantidades mediante una sustracción.

En general para dos cantidades A y B se tiene:

A – B = r

RAZON GEOMÉTRICA

Es la comparación de dos cantidades mediante una división.

Para nuestro modelo anterior.



En general para dos cantidades A y B se tiene:

Elementos de una razón

Antecedente : 15 ; A Consecuente : 5 ; B Valor de la razón aritmética : 10 ; r Valor de la razón geométrica : 3 ; K

Conceptos Importantes

Cuando se tiene los enunciados como: “la razón de….” ; “la relación de….” ; “son entre sí …..” ; “son proporcionales ….” ; en cualquiera de los casos se refiere a una razón geométrica.

Cuando se tiene la relación: se lee: “A es a B”

Cuando se tiene la razón geométrica:

Cuando se tiene la razón geométrica:

Cuando se tiene la razón geométrica



Propiedad:

Cuando se tiene:

Ejemplo:

Si:

PRÁCTICA DIRIGIDA

01.- Dos números son entre sí como 7 es a 4, además la suma de los números es 220, hallar el número mayor.

02.- La relación de dos números es de 5 a 3, si la diferencia es 40, hallar el número menor.

03.- El dinero de Juan es al dinero de Pedro como 7 a 3; si, Juan gasta S/.200, le queda aún S/.150. ¿Cuánto dinero tiene Pedro?.



04.- La razón de dos números es de 4 a 5; si el producto de dichos números es 180; cual es el valor del número mayor.

05.- Si se sabe que: ; además: a2 - b2 = 36; Hallar el valor

de "a+b".

06.- La edad de un Padre es a la de su hijo como 7 es a 2; además entre las dos edades suman 72. Hallar ¿qué edad tenía el hijo hace 2 años?

10.- En una fiesta por cada 5 mujeres hay 4 varones, si hay 20 mujeres más que varones; Hallar cuantas personas hay en total.

11.- En una granja hay pollos y gallinas, si el número de pollos es al total de aves como 4 a 7; además la diferencia entre gallinas y pollo es 15, hallar el número de pollos.

12.- La base y la altura de un rectángulo están en la relación de 4 a 3, si su área es 48. Hallar el valor de la altura.

TAREA DOMICILIARIA

01.- La relación de dos números es como 3 a 5, si la suma es 160. Hallar el número menor?

A) 60 B) 80 C) 70 D) 20 E) 10

02.- Dos números son entre sí, como 3 a 7, si la diferencia de ambos números es 60. Hallar el número mayor?



A) 15 B) 45 C) 105 D) 60 E) 65

03.- El dinero de Rosa esta en relación con el dinero de María como 3 a 5; respectivamente si entre las dos tienen 720; Hallar cuánto dinero tiene María?

A) 270 B) 90 C) 450 D) 360 E) 290

04.- En una reunión hay 4 varones por cada 7 damas, si la diferencia entre las damas y los varones es 45. Hallar el total de personas?

A) 15 B) 165 C) 81 D) 120 E) 110

05.- En una granja el número de gallinas es al número de pollos como 5 a 2; Además entre pollos y gallinas suman 140. Hallar el número de gallinas?

A) 20 B) 40 C) 100 D) 120 E) 110

06.- Si se cumple: ; además: a + b = 220, hallar el valor de

"a".

A) 40 B) 20 C) 120 D) 100 E) 60

07.- Si se cumple que: . Además: b+c-a = 56, hallar "b".

A) 8 B) 32 C) 24 D) 48 E) 10

08.- Se cumple que: ; además: a.b – b.c = 54; hallar el

valor de "c".

A) 3 B) 18 C) 9 D) 12 E) 10



09.- Si: ; además: 2a – b = 35; hallar: "2c".

A) 7 B) 35 C) 70 D) 14 E) 19

10.- La edad de un padre y la de su hijo están el la relación de 7 a 4; si hace 5 años el padre tenia 37 años ¿Cuántos años tendrá el hijo dentro de 10 años?

A) 32 B) 6 C) 46 D) 40 E) 20

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTES (SRGE)

Se llama así al conjunto de 2 o más razones geométricas, las cuales tienen una misma razón:

En general:



* a = b.k * c = d.k

* e = f.k * g = h.k

PROPIEDADES.

En una serie de razones geométricas equivalentes se cumple que:

"La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes y esto igual a la misma razón de la serie".

Si:

Ejemplo:

"El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes y esto es igual a la razón elevado al número de razones que se consideran".

Si:

Ejemplo:



Si:

Ejemplo:

Si:

“La suma de cada antecedente elevando a un exponente determinado es a la suma de cada consecuente elevado a dicho exponente e igual a la razón elevado al mismo exponente”

Si:

Además:

Serie de Regiones Equivalente CONTINUAS

Se llama así cuando el consecuente de la primera razón es antecedente de la segunda razón y así sucesivamente.

PRÁCTICA DIRIGIDA

01.- Se tiene S.R.G.E. : donde la suma de los

antecedentes es 30; Hallar el segundo antecedente.



02.- Se tiene la S.R.G.E.: ; en la cual la suma de

los tres primeros antecedentes es 60; Hallar el último antecedente.

03.- Si: ; además el producto de los dos primeros

antecedentes es 80; Hallar el tercer antecedente.

04.- Si: además se cumple: (b + d) - (a + c) = 15;

Hallar "b + c"

05.- Si: ; además: 2a - 3c = 60. Hallar el valor de "b".

06.- Si: ; Hallar el valor de M, sí:

07.- Si: , Hallar el valor de "E" si:

E =

08.- Se tiene: ; cuya suma de las cuatro razones

es 28, Hallar la suma de los antecedentes.

09.- Los ángulos de un triángulo están en la relación de 2; 3 y 4. Calcular el ángulo mayor.



10.- Se tiene: ; si se cumple que:

(b+d) - (a+c) = 32. Hallar el último antecedente.

11.- Si:

Además:

Hallar k2

12.- Se tiene la siguiente S.R.G.E.

; además

; hallar el valor de 5k.

TAREA DOMICILIARIA

01.- Se tiene la serie de razones geométricas equivalentes:

; además la suma de los antecedentes es 240, Hallar

el mayor antecedente.



a) 80 b) 60 c) 90 d) 10 e) 104

02.- Se tiene la S.R.G.E.: ;

además: (a + b) - (b + c) = 60. Hallar "b".

a) 20 b) 40 c) 50 d) 80 e) 100

03.- Se tiene la S.R.G.E.: ; si el producto de los dos

últimos antecedentes es 72; Calcular el primer antecedente.

a) 4 b) 32 c) 2 d) 18 e) 16

04.- Se tiene la siguiente S.R.G.E.: ; si la suma de las

tres razones es 6. Hallar la suma de los antecedentes.

a) 30 b) 18 c) 22 d) 40 e) 25

05.- Se tiene la siguiente S.R.G.E. : ; la suma de

las tres primeras razones es 12; Hallar el último antecedente.

a) 18 b) 20 c) 23 d) 24 e) 12

06.- Si: ; además la suma del primer y ultimo

antecedente es 130, determinar el segundo antecedente.

a) 10 b) 40 c) 70 d) 60 e) 50

07.- Si: ; Hallar el valor de E.



E =

a) 3 b) 6 c) 9 d) 15 e) 20

08.- Si: ; Hallar el valor de M si:

09.- Si: ; además:

Hallar “3k”

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 18

10. Si se cumple que: ; Además

a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) 0


Capítulo 5


1. CONCEPTO



Es la comparación de dos razones iguales, pueden ser:

1.1. PROPORCION ARITMETICA.

Es cuando se comparan (dos rezones aritm6ticas iguales).

18 – 12 = 10 - 4

En general. a - b = c - d

1.2. PROPORCIÓN GEOMETRICA.

Se llama así cuando se comparan dos razones geométricas iguales.

En general:

2. ELEMENTOS DE UNA PROPORCIÓN.

2.1. LOS ANTECEDENTES : a y c2.2. LOS CONSECUENTES : b y d2.3. LOS TERMINOS EXTREMOS : a y d2.4. LOS TERMINOS MEDIOS : b y c3. ORDEN DE TERMINOS DE UNA PROPORCION

3.1. En una proporción aritmética

1erT. – 2doT. = 3erT. – 4toT.

3.2. En una proporción geométrica



4. NOTACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

4.1. PROPORCIÓN ARITMETICA

a . b : c . d

4.2. PROPORCIÓN GEOMETRICA

a . b : : c : d

5. PROPORCIÓN CONTINUA

Se llama así a la proposición cuyas términos medios son iguales.

5.1. PROPORCIÓN ARITMETICA CONTINUA (P.A.C.)

Un ejemplo numérico seria el siguiente:

8 – 5 = 5 – 2 En general:

a - b = b - cDonde:

c tercera diferencial b Media diferencial o Media Aritmética



5.2. PROPORCION GEOMETRICA CONTINUA (P.G.C.)Un ejemplo numérico seria el siguiente:

En general:

Donde:

c Tercera proporcionalb Media proporcional o Media geométrica

6. PROPORCION DISCRETA

Se llama así cuando (los cuatro términos son diferentes).

6.1. PROPORCION ARITMETICA DISCRETA (P.A.D.)

Un ejemplo numérico seria: 12 – 4 = 17 - 9

En general: a - b = c - d

Donde:d cuarta diferencial.

6.2. PROPORCION GEOMETRICA DISCRETA (P.G.D.)

Un ejemplo numérico seria:

En general:



Donde:

d cuarta proporcional

7. PROPIEDADES

7.1. En toda proporción aritmética se cumple que: "La suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios".

* 10 – 8 = 6 – 4 10 + 4 = 8 + 6

En general: a – b = c - d a + d = b + c

7.2. En toda proporción geométrica se cumple que: "El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios".

* (16).(2) = (8)(4)

En general: a . d = b . c

7.3. Si se tiene una proporción geométrica:



de () se obtiene:

de () se obtiene:

de () y (Y)se obtiene:

de () y (Y)se obtiene:

PRÁCTICA DIRIGIDA

01.- Hallar el valor de "x" en cada una de las proporciones aritméticas siguientes.

a) 7 – x = 4 - 3 d) 9 – 6 = x – 1

b) 6 – 1 = 9 - x e) 12 – 6 = 7 – x

c) x – 1 = 6 – 3 f) x – 4 = 11 – 9



02.- Hallar la incógnita en cada proposición geométrica que se muestra a continuación:

a) b) c)

d) e) f)

03.- Hallar la cuarta diferencial de:

a) 12; 8 y 7 g) 6; 4 y 10

b) 9; 6 y 4 h) 4; 2 y 5

c) 10; 7 y 6 f) 8; 7 y 12

d) 21; 7 y 16 I) 7; 3 y 10

e) 14; 4 y 21 j) 13; 6 y 9

04.- Hallar la cuarta proporcional de:

a) 10; 5 y 4 f) 10; 4 y 20 z

b) 3; 8 y 6 g) 16; 4 y 8c) 4; 6 y 2 h) 12; 9 y 4

d) 9; 3 y 6 I) 6; 9 y 2

e) 4; 2 y 6 j) 8; 12 y 2

05.- Hallar la tercera diferencial:

a) 12 y 7 b) 4 y 3 c) 9 y 6 d) 10 y 8 e) 11 y 6



f) 9 y 7 g) 14 y 10 h) 12 y 8 i) 13 y 7 j) 8 y 5

06.- Hallar la tercera proporcional:

a) 5 y 10 b) 4 y 12 c) 9 y 6 d) 4 y 2 e) 12 y 6

f) 20 y 10 g) 5 y 20 h) 4 y 8 i) 27 y 9 j) 25 y 10

07.- Hallar la media diferencial de:

a) 9 y 7 b) 4 y 2 c) 12 y 2 d) 21 y 9

e) 17 y 3 f)13 y 1 g)14 y 2 h) 22 y 12

08.- Hallar la media proporcional de:

a) 4 y 9 b) 25 y 4 c) 20 y 5 d) 3 y 27 e) 2 y 8

f) 16 y 4 g) 1 y 16 h) 80 y 20 i) 102 y 106 j) 37 y 33

TAREA DOMICILIARIA

01.- Hallar "x” en cada proporción:

a) 12 – x = 6 – 4 c) x – 3 = 4 – 2 b) 9 – 6 = x -1 d) 10 – 4 = 12 - x

02.- Hallar "x" en cada proporción:

a) c)



b) d)

03.- Hallar la cuarta diferencial de:

a) 9; 7 y 5 c) 20; 17 y 15b) 12; 10 y 7 d) 19; 16 y 10

04.- Hallar la tercera diferencial de:a) 12 y 10 b) 11 y 7 c) 20 y 16 d) 12 y 8

05.- Hallar la media diferencial de: a) 14 y 2 b)11 y 9 c) 18 y 10 d) 12 y 8

06.- Hallar la cuarta proporcional de:

a) 8; 4 y 6 c) 4; 5 y 8b) 12; 16 y 3 d) 2; 7 y 6

07.- Hallar la tercera proporcional de:a) 6 y 12 c) 27 y 9b) 9 y 6 d) 2 y 4

08.- Hallar la media proporcional de:

a) 2 y 32 c) 27 y 3b) 3 y 48 d) 18 y 2

PRACTICA DIRIGIDA

01.- Se tiene una P.A.D. cuya suma de los cuatro términos es 42; Hallar la suma del primer antecedente y el último consecuente.

02.- Si: 2a; a; 4b y b; forman una P.A.D. si: a + b = 8; Hallar la suma de los cuatro términos.

03.- Se tiene una P.A.C. cuya suma de sus términos es 32. Hallar la media diferencial.



04.- Se tiene una proporción geométrica continua cuyos productos de los términos extremos es 81. Hallar la media proporcional.

05.- En una proporción geométrica continua se cumple que la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cual es su media proporcional?

06.- Si: "A" es la media proporcional de 16 y 4; "B" es la tercera diferencial de 20 y 18; Hallar A + B.

07.- Dos números están en la relación de 2 a 5, si se aumenta cada uno de los términos en 9 unidades, entonces la nueva razón es de 7:13 ; Hallar el mayor de los números.

08.- Si: "M" es la media diferencial de 18 y 12; "N" es la tercera diferencial de 16 y 14; Hallar el valor de: "M + N".

09.- Se tiene una proporción aritmética continua, cuya suma de los cuatro términos es 64; Hallar la media diferencial.

10.- Las edades de Juan y Pedro son 40 y 30 años respectivamente, dentro de ¿Cuantos años la razón será de 5 a 4?

TAREA DOMICILIARIA

01.- Hallar la suma de los términos medios de una proporción aritmética discreta, si la suma de los términos de la proporción es 64.a) 12 b) 41 c) 32 d) 16 e) 34

02.- Se tiene una proporción aritmética continua, cuya suma de sus términos es 80; Hallar la media diferencial.a) 20 b) 30 c) 25 d) 45 8)29



03.- Se tiene una proporción geométrica continua, cuyo producto de términos extremos es 144; Hallar la media proporcional.a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 13

04.- En una proporción geométrica continua se tiene que la suma de los términos extremos es 30 y su diferencia es 24; Hallar la media diferencial.a) 12 b) 9 c) 8 d) 3 e) 6

05.- Si "Q" es la tercera proporcional de 27 y 9 ; "R" es la media proporcional de 32 y 2; "S" es la cuarta proporcional de 6; 5 y 12; Hallar el valor de: Q + R + S. a) 21 b) 30 c) 18 d) 16 e) 23

06.- Si; "A" es la media diferencial de 17 y 7 "B" es la tercera diferencial de 12 y 10; "C" es la cuarta diferencial de 14; 13 y 10; Hallar A + B + C.a) 17 b) 29 c) 28 d) 27 e) 18

07.- Si: a; 2a; 4a y 8a; son los términos de una proporción geométrica discreta; donde la suma de los términos de dicha proporción es 30; Hallar la suma de los términos extremos de la proporción.a) 9 b) 18 c) 20 d) 12 e) 25

08.- Se tiene una proporción aritmética, cuya suma de términos es 24, si la diferencia de los términos medios es 2; Hallar el producto de los términos medios. a) 14 b) 2 c) 35 d) 42 e) 31


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