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8MATEMÁTICA

Guia Didático

Apresentação ....................................................................................................3

Projeto Apoema .................................................................................................4

1. Ensino de Matemática .....................................................................................61.1 A razão de aprendermos Matemática .......................................................................................................... 61.2 Uma proposta para ensinar e aprender Matemática .................................................................................... 71.3 O papel do professor .................................................................................................................................. 81.4 O papel do aluno ........................................................................................................................................ 91.5 Nossas escolhas para um livro didático de Matemática ............................................................................. 9

2. Competências e habilidades ..........................................................................10

3. Organização do Projeto .................................................................................123.1 Estrutura ................................................................................................................................................. 123.2 Quadros de conteúdos ............................................................................................................................. 14

4. Orientações deste volume .............................................................................204.1 Objetivos de cada unidade ....................................................................................................................... 204.2 Comentários das atividades ..................................................................................................................... 22

5. Avaliação ....................................................................................................245.1 Respostas ................................................................................................................................................ 30

6. Bibliografia .................................................................................................316.1 Educação matemática .............................................................................................................................. 316.2 História da Matemática ............................................................................................................................ 316.3 Conteúdos da Matemática ....................................................................................................................... 32

Sumário

Vivemos numa época em que as informações podem ser acessadas com poucos coman-dos e em telas transparentes que interagem de modo assustador. Equipamentos e ferramen-tas computacionais menores e mais poderosos são criados a cada instante, tornando outros ultrapassados. Testemunhamos transformações diversas, que acabam modificando formas e meios de acesso ao conhecimento. No caso da educação, exemplos de ensino a distância são realidade, e livros digitais ou com apelos computacionais estão tomando o espaço dos tradicionais. Será que o folhear das páginas de um livro de papel será totalmente substituído pelo arrastar do dedo em uma tela? E o papel do professor diante dessa verdadeira revolução, perderá o valor?

Não acreditamos numa resposta definitiva ou mesmo temporária para essas duas perguntas. Entretanto, estamos convictos de que o papel do professor jamais terá fim, mesmo que sofra algumas transformações geradas por tantas outras. Talvez o giz vire um pincel ou apenas um toque num quadro digital, talvez o livro possa de fato ser apresentado em outro formato; quem sabe a participação dos alunos será de um modo diferente, as avaliações on-line, as pesquisas direcionadas diretamente para sites confiáveis... Apesar disso tudo, algo parece que não será ex-tinto, muito pelo contrário, sofrerá valorização cada vez maior: o trabalho do professor. Alguém precisará organizar, gerenciar e filtrar as informações que produzem conhecimentos, promover a interação necessária dos objetos digitais com os alunos para que eles possam, assim, sis-tematizar conteúdos de forma significativa. Não adianta apresentar-lhes belíssimas imagens da natureza ou mesmo criadas por computador, se não conduzirmos adequadamente uma reflexão sobre elas. Se a ideia é abordar o assunto simetria, por exemplo, boas perguntas serão necessárias para que os alunos pensem em respostas motivadoras. Um livro didático até poderá propor algumas dessas questões condutoras, mas, sem a interpretação e a motivação dada pelo professor, não haverá construção alguma.

Professor, o Projeto Apoema foi elaborado para ser um referencial importante para o tra-balho em sala de aula. A disciplina de Matemática sofreu inúmeras modificações nos últimos anos. Poucos perceberam que sua importância aumentou substancialmente em razão das transformações tecnológicas já mencionadas aqui.

Apoema é uma palavra da língua tupi que significa “aquele que vê mais longe”; então, acreditamos que pensar e praticar a matemática de forma autônoma são o grande desafio que se espera de todos os envolvidos, que veem mais longe. Assim, uma coleção de livros de Matemática deve ter o apelo que estimula o folhear das páginas pelo aluno, além de organizar objetivamente seu trabalho, professor.

O autor

Apresentação

MATEMÁTICA E CIDADANIAExplorando regiões do nosso planeta

Vivemos em um mundo onde a tecnologia é uma aliada cada vez mais presente. É o mun-do ao alcance das mãos com um simples clique. Você já deve conhecer o Google, um site de busca muito utilizado pelos internautas. Por meio de um de seus serviços, conhecido como Google Earth, é possível que uma pessoa, em sua casa, sentada diante do computador, veja qualquer ponto de nosso planeta por meio de imagens de satélite.

2013

Goo

gle

Eart

h

2013

Goo

gle

Eart

h

86

As imagens mostram parte da Terra vista do espaço. Em sequência, elas vão representando aproximações cada vez maiores, até exibirem o local do Estádio do Maracanã na cidade do Rio de Janeiro, palco da grande final e da cerimônia de encerramento da Copa do Mundo de 2014.

Assim, usando apenas um computador e uma conexão com a Internet podemos ver a planta de uma cidade em terceira dimensão.

2013

Goo

gle

Eart

h

2013

Goo

gle

Eart

h

87

1 (Saresp)

Robson utilizou 34

de 1 litro de tinta para pintar a sala de sua casa. Sabendo que o restante da casa

equivale a 3 vezes a área pintada da sala, quantos litros de tinta ele precisará para pintar os outros cômodos?

a) 2 14

litros

b) 3 34

litros

c) 912

litros

d) 124

litros

2 (Prova Brasil)

A figura ao lado representa uma figura dividida em partes iguais.

A parte pintada de preto corresponde a que fração da figura?

a) 12

b) 16

c) 26

d) 62

SUPERANDO DESAFIOS

Explorando

MDMat – UFRGShttp://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/Homepage vinculada à UFRGS com alguns objetos digitais de aprendizagem. Para essa unidade em especial, clique em “Números e operações”, em seguida, clique em “Frações” para ter acesso às atividades relacionadas ao conteúdo de frações.

http

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esso

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013

Matemática e Origami Trabalhando FraçõesAutor: Eliane Moreira da CostaEditora:!Ciência Moderna40 páginas[...] Trabalhar o ensino de Matemática pelo Origami fundamenta-se em dois pressupostos: é possível ensinar Matemática de forma lúdica e prazerosa; a construção da linguagem matemática deve ser feita cuidadosamente, a partir da compreensão dos conceitos à que se refere. Reconhecidamente, um dos grandes desafios para os professores

tem sido ensinar matemática para quem não gosta de matemática. Entre os alunos, alguns assuntos, como por exemplo as frações, costumam ter um alto índice de rejeição. Por esta razão, escolhi o trabalho com frações como tema deste volume. Nele são apresentadas algumas atividades para aulas de matemática, relacionando frações ao Origami. E vice-versa. Os modelos aqui escolhidos são bem simples, interessantes e fáceis de construir. Alguns, bem populares. O importante – para os professores interessados em tornar suas aulas mais criativas e atraentes – é a certeza de que este recurso pode render excelentes resultados.

Edito

ra C

iênc

ia M

oder

na

197

BAGAGEM CULTURALRecursos visuais e infográficos

possibilitam explorar a

interdisciplinaridade.

SUPERANDO DESAFIOS

Questões de avaliações!oficiais,

vestibulares e do Enem preparam os alunos

e!os desafiam a ir além.

MATEMÁTICA E CIDADANIAA prática e a formação

cidadãs são valorizadas

por meio de textos

relacionados à disciplina.

EXPLORANDOSugestões de livros, sites, filmes, vídeos, jogos etc. para explorar ao máximo cada assunto.

CONHEÇA OS RECURSOS E AS POSSIBILIDADES DO PROJETO. Base

base

Faces laterais

face lateral

face lateral

face lateral

face lateral

A base da Pirâmide de Quéops é quadrada. Observe a plani!cação de uma pirâmide desse tipo.

COM BASE NOS TEXTOS E NAS IMAGENS,

RESPONDA AO QUE SE PEDE.

1) Quais !guras geométricas

podemos identi!car na Pirâmide

de Quéops?

2) Quantas faces laterais a Pirâmide

de Quéops tem? O número de faces

laterais tem relação com o polígono

da base?3) Pesquise como está a Pirâmide

de Quéops hoje. Sua estrutura sofreu

alguma alteração ao longo dos anos?

Em caso a!rmativo, explique.

Alexandria

Assuan

Abu Simbel

Suez

Sharmel-Sheikh

EGITO

SUDÃO

0 300

km

LÍBI

A

ISRAEL

CHIPRELÍBANO

Mar Mediterrâneo

Lago Nasser

Rio Nilo

Mar Vermelho

Cairo

GuizéLocal da Pirâmide de Quéops

232,805 m

221,046 m

232,805 m

base

face lateral

VOCÊ SABIA QUE AS QUATRO

FACES DESSA PIRÂMIDE TÊM

UM SIGNIFICADO? Segundo estudiosos, cada uma das

faces representaria uma estação do

ano, os quatro elementos da natureza

(terra, fogo, água e ar) e as quatro

letras combinadas do DNA.

Embora a sigla seja composta de apenas

três letras, o DNA é formado por uma base

nitrogenada, que pode ser adenina,

guanina, citosina ou timina.

75

A GRANDE PIRÂMIDEComo foi estudado no início desta unidade, das

Sete Maravilhas do Mundo Antigo, a única que

resiste até hoje, praticamente intacta,

é a Pirâmide de Quéops. Construída em

c. 2650 a.C., ela surpreende, devido a sua

arquitetura, mesmo após 5 mil anos.

Pirâmide de Quéops vista de

perto. É possível observar nitidamente os blocos de pedra calcária.

30 anosfoi o tempo que a pirâmide levou para ser construída

100 mil trabalhadoresforam usados na construção

Cerca de

2,6 milhões de blocos de pedra calcária foram utilizados, alguns

pesando cerca de 20 toneladas.

PIRÂMIDE DE QUÉOPS

BAGAGEM CULTURAL

Gamma-

Keysto

ne/Gett

y imag

es

Ilust

raçõ

es: A

lex

Argo

zino

Ost

ill/S

hutt

erst

ock

74

PROJETO APOEMAG

UIA

DID

ÁT

ICO

4

RESGATANDO CONTEÚDOS

1 Na figura abaixo, ! representa a medida

de cada um dos seis ângulos congruentes

obtidos pela divisão de um ângulo raso.

!

A medida do ângulo indicado por ! é:

a) 20° b) 30° c) 40° d) 50°

2 Um ângulo raso foi dividido em seis ângu-

los de mesma medida, na figura a seguir.

O ângulo destacado compreende quatro

dessas medidas e corresponde a:

a) 90° b) 100° c) 110° d) 120°

3 Em relação ao mesmo ângulo raso, assinale

a alternativa que indica corretamente a me-

dida do ângulo destacado na figura abaixo.

a) 100° b) 120° c) 150° d) 160°

4 Em relação ao ângulo indicado na figura a

seguir, é correto afirmar que:

a) é um ângulo reto.

b) é um ângulo agudo.

c) é um ângulo obtuso.

d) é um ângulo raso.

Ilust

raçõ

es: S

etup

5 Determinando a medida do ângulo x indi-

cado na figura a seguir, obtemos:

32°

x

a) 116° b) 112° c) 128° d) 232°

Atenção!A figura a seguir deverá ser utilizada para as

questões 6 e 7.

A

BC

D

O

x

k y

z

6 Assinale a alternativa que indica correta-

mente a soma das medidas x " y, confor-

me figura anterior.

a) 90° b) 120° c) 150° d) 180°

7 Se a medida k for 40°, é correto afirmar

que a medida y será:

a) 40° b) 140° c) 90° d) 180°

8 Considerando que # $ 35° 25' 18" e

! $ 27° 41' 32", é correto afirmar que:

a) # – ! $ 7° 43' 46"

b) # – ! $ 7° 42' 46"

c) # – ! $ 7° 43' 45"

d) # – ! $ 7° 42' 42"

9 Considerando que # $ 35° 25'18" e

! $ 27° 41' 32", é correto afirmar que:

a) # " ! $ 67° 43' 50"

b) # " ! $ 63° 6' 40"

c) # " ! $ 63° 6' 50"

d) # " ! $ 63° 26' 50"

8080

10Se a medida de um ângulo # é igual a

34°!12' 45", a medida do ângulo comple-

mentar de # é:

a) 54° 47' 55"

b) 55° 48' 15"

c) 54° 12' 45"

d) 55° 47' 15"

11A medida do suplemento do complemento

de um ângulo cuja medida é 65° 30' é:

a) 65° 30'

b) 155° 30'

c) 55° 30'

d) 145° 30'

12Duas retas que são concorrentes formam

quatro ângulos, sendo que um deles tem

medida 112°. Assinale a alternativa que

indica corretamente as medidas dos ou-

tros três ângulos.

a) 68°, 68° e 112°

b) 98°, 98° e 22°

c) 112°, 68° e 12°

d) 62°, 62° e 118°

13O triplo da medida do complemento de

um ângulo é igual a 111°. Então, a medida

desse ângulo é:

a) 44° b) 43° c) 65° d) 53°

14Assinale a alternati-

va que indica corre-

tamente a medida

do menor ângulo,

representado pelas

semirretas que têm

origem no centro do

relógio a seguir:

a) 45° b) 44° c) 64° d) 54°

15Às duas horas exata-

mente, o menor ân-

gulo formado pelos

ponteiros do relógio

tem medida 60°. As-

sinale a alternativa

que indica outro ho-

rário em que o ângu-

lo formado pelos ponteiros também é 60°.

a) 16 horas

b) 9 horas e 50 minutos

c) 22 horas

d) 14 horas e 20 minutos

16A imagem ao lado representa uma peça

de cerâmica, no formato quadrado, con-

feccionada para revestimento de pisos.

Observe que ela é formada por quatro

quadrados de mesmo tamanho e oito tra-

pézios. Descubra qual é a medida do ân-

gulo indicado pela letra #.

!

17Na figura abaixo, estão representadas as

divisões de um relógio. Para indicar as

horas, fazemos 12 divisões e, para indicar

os minutos, fazemos 60 divisões.

a) Qual é a medida em graus correspon-

dente a uma volta nessa circunferência?

b) Qual é a medida do menor ângulo for-

mado pelas semirretas azuis?

c) Qual é a medida do menor ângulo for-

mado pelas semirretas vermelhas?

18Na figura abaixo, as semirretas azuis re-

presentam os lados de dois ângulos que

são adjacentes e complementares. As se-

mirretas tracejadas vermelhas são as bis-

setrizes desses dois ângulos. Determine a

medida do ângulo formado por essas duas

bissetrizes.

Ilust

raçõ

es: E

duar

do B

elm

iro

Setu

p

8181

PARA NÃO ESQUECER Resumo esquemático

dos conteúdos desenvolvidos, que

facilita e organiza o

estudo.

RESGATANDO CONTEÚDOSSeção de atividades

de revisão no final de

cada unidade, que

possibilitam também

uma autoavaliação.

1. Um livro tem 243 páginas. Márcia já leu 35 páginas e deverá terminar de lê-lo em 16 dias. Se ela dividir o número de páginas por dia igualmente, quantas páginas deverá ler por dia?

2. Calcule:

a) 25 " 36

b) 144 % 49

c) 2! + 3" % 2"

d) 6" " 9" % 144

e) 2" & 3"

f) 3" % 2! " 9

3. Em um bufê, são utilizadas 4 laranjas para fazer um bolo “delícia de laranja”. Cada bolo ren-de 8 fatias. Sabendo que uma festa tem 280 convidados, quantas laranjas o bufê utilizará para preparar os bolos, de modo que cada pessoa coma exatamente 1 fatia?

4. Para embarcar em um avião com destino a Nova York, um passageiro pode levar até 27 kg na bagagem. Para cada quilo a mais, são cobrados 22 reais. Mariana tem 35 kg na baga-gem. Quanto de taxa ela terá de pagar para poder embarcar?

NOME: TURMA:

ESCOLA:

PROFESSOR: DATA:

Avaliação - Matemática

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GU

IA D

IDÁ

TIC

O

Para não esquecer

O esquema a seguir apresenta o conteúdo desta unidade. Utilize-o para fazer um resumo de cada tópico, que pode ser um texto com exemplos e exercícios, como forma de organizar seu estudo.

Dica: para aprender Matemática, devemos estudar um pouquinho todos os dias, assim o conhecimento será realmente efetivo.

quadradoparalelepípedo

retângulo

vista de um objeto

cubo

algumas noções de Geometria

conhecendo a história

Geometria: noções

triângulocilindro

círculo

formas geométricas planas

formas geométricas não planas

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AVALIAÇÕESSugestões de avaliação estão disponíveis para o Projeto.

CONTEÚDO DIGITALObjetos educacionais digitais, disponíveis no Portal Projeto Apoema, que exploram as potencialidades das novas!tecnologias. www.editoradobrasil.com.br/apoema

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1. Ensino de MatemáticaFruto da criação e invenção humanas, a Matemática não evoluiu de forma linear e lo-gicamente organizada. Desenvolveu-se com movimentos de idas e vindas, com rupturas de paradigmas. Frequentemente um conhe-cimento foi amplamente utilizado na ciência ou na tecnologia antes de ser incorporado a um dos sistemas lógicos formais do corpo da Matemática. Exemplos desse fato podem ser encontrados no surgimento dos números negativos, irracionais e imaginários. Uma ins-tância importante de mudança de paradigma ocorreu quando se superou a visão de uma úni-ca geometria do real, a geometria euclidiana, para aceitação de uma pluralidade de modelos geométricos, logicamente consistentes, que podem modelar a realidade do espaço físico.

Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 25.

Ao pensarmos no ensino e na aprendiza-gem da Matemática, devemos ter em mente, mesmo que de forma provisória, uma con-cepção do que vem a ser a atividade humana denominada Matemática. Um livro ou uma co-leção de livros de Matemática com finalidade didática carrega concepções não apenas do que vem a ser a Matemática, mas também do que é ensinar e aprender essa disciplina. Algu-mas vezes podemos utilizar palavras, frases ou mesmo textos diversos para tentar expressar tais concepções. Na maioria das vezes, isso se torna completamente desnecessário, bastando observar com criticidade como as atividades são propostas, como a teoria é desenvolvida, como são as sugestões de avaliação e também como os alunos são convidados a atuar diante das situações apresentadas.

Com o objetivo de esclarecer o professor quanto à metodologia que, de alguma for-ma, permeia o Projeto Apoema Matemáti-ca, procuramos nos posicionar em relação aos seguintes aspectos relacionados: a razão de aprendermos Matemática; uma proposta para ensinar e aprender Matemática; o papel do professor e do aluno; nossas escolhas para um livro didático de Matemática.

1.1 A razão de aprendermos Matemática

O descompasso entre o que representa a Matemática na escola e a matemática na vida das pessoas é algo que chama a atenção de diversos pesquisadores.

Na escola, a Matemática é uma ciência, en-sinada em um momento definido por alguém de maior competência. Na vida, a Matemá-tica é parte da atividade de um sujeito que compra, que vende, que mede e encomenda peças de madeira, que constrói paredes, que faz o jogo na esquina.

CARRAHER, Terezinha et al. Na vida dez, na escola zero. 10. ed. São Paulo: Cortez, 1995. p. 19.

Será que temos o hábito, como professores, de dar espaço para os alunos exporem seus conhecimentos prévios, principalmente aqueles presentes em sua vida cotidiana? Pelo fato de sermos professores, estamos realmente tão distantes do conhecimento dos alunos sobre aquilo que ensinamos? A lição deixada na ci-tação parece caminhar para a diminuição das distâncias entre quem aprende e quem ensina.

Quem trabalha com o ensino de Mate-mática tem o hábito de ressaltar sua beleza presente em formas geométricas curiosas, em belas demonstrações, em regularidades curiosas na aritmética etc. Tudo isso é válido e deve ser utilizado para motivar os alunos a aprender Matemática. O que não pode acon-tecer é o exagero de dar mais ênfase a essa fração do conhecimento em detrimento de outras partes tão ou mais importantes.

Uma razão de aprendermos Matemática parece estar fortemente ligada à beleza de suas regularidades e formas, mas há tam-bém outras motivações para estudá-la: o in-comparável senso lógico que reside em sua construção, a indubitável capacidade de de-senvolvimento intelectual que potencializa, nas pessoas, formas diferentes de resolução de problemas diversos e enfrentamentos de dificuldades, pela habilidade desenvolvida na elaboração de argumentos convincentes.

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Para atender às demandas do trabalho con-temporâneo é inegável que a Matemática pode dar uma grande contribuição à medida que explora a resolução de problemas e a cons-trução de estratégias como um caminho para ensinar e aprender Matemática na sala de aula. Também o desenvolvimento da capacidade de investigar, argumentar, comprovar, justificar e o estímulo à criatividade, à iniciativa pessoal e ao trabalho coletivo favorecem o desenvolvi-mento dessas capacidades.


1.2 Uma proposta para ensinar e aprender Matemática

A educação escolar caracteriza-se pela preparação do aluno para a vida, cons-truindo a ética necessária ao convívio so-cial e à cidadania, por meio de estratégias que visam mobilizar e desenvolver várias competências cognitivas básicas, como observação, comparação, compreensão, análise, síntese, memorização, formulação de hipóteses, planejamento e resolução de problemas. Valoriza-se, assim, o desenvol-vimento cognitivo do aluno, preparando-o para a vida na sociedade moderna.

Uma escola orientada ao desenvolvi-mento de competências propõe aos alunos tarefas desafiantes, incitando-os a colocar em prática seus conhecimentos. Isso exige pedagogia ativa, visão interativa da apren-dizagem, que valorize a postura reflexiva, e capacidade de observação e de aprendiza-gem com outros alunos e com as próprias experiências.

... muitos alunos não têm nem os recursos pessoais, nem as ajudas externas necessárias para utilizar plenamente seus conhecimentos, quando essa mobilização [mobilização das capacidades e dos conhecimentos] não foi o objeto de nenhum treinamento. Sabe-se agora que a transferência de conhecimentos ou sua integração em competências não são auto-

máticas e passam por um trabalho, isto é, um acompanhamento pedagógico e didático sem o qual nada ocorrerá, a não ser para os alunos com grandes meios para isso.

PERRENOUD, Philippe. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Artmed, 1999, p. 44.

Fazemos aqui uma interpretação das pala-vras desse pesquisador: é necessário dar tempo para acomodar o conhecimento trabalhado, respeitando as etapas didáticas para que isso possa de fato ocorrer.

Howard Gardner, formulador da teoria das inteligências múltiplas, defende que a inteligência é uma composição de pelo me-nos oito competências distintas, localizadas em diferentes áreas do cérebro e das quais somos dotados em diferentes graus: linguís-tica, lógico-matemática, espacial, corporal--cinestésica, musical, interpessoal e natura-lista. Embora não tenhamos como objetivo detalhá-las, é importante observar que essas ideias influenciam a educação de modo ge-ral, pois ampliam e equilibram os espaços do trabalho pedagógico.

Em busca de um novo olhar para o conhecimento, as novas concepções da inteligência humana e os estudos de neu-rocientistas, psicólogos e pesquisadores de diversas áreas do saber impulsionam as re-flexões sobre como educar para a compre-ensão. Essas perspectivas fazem distinção entre conhecimento e compreensão – a compreensão não é um modelo mental es-tático, pois implica aquisição do conheci-mento, sua interiorização e aplicação em novas situações. Em outras palavras, o aluno compreende algo quando é capaz de apli-car o conhecimento em outros contextos, quando consegue estabelecer relações entre uma situação e outra. Assim, constrói novos conhecimentos com base nesses conceitos, reelabora explicações em diferentes níveis. Daí a importância de a escola e os materiais didáticos estarem organizados a fim de edu-car para a compreensão. Passa-se a trabalhar não só com situações didáticas, mas com

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o desenvolvimento da inteligência, ou seja, com estruturas que suportam o raciocínio.

Precisamos construir um ensino que obje-tive levar o aluno a estabelecer “pontes” entre seu conhecimento prévio e o conhecimento novo a ser trabalhado. É fundamental a apren-dizagem ter um contexto para que possa ser de fato significativa.

1.3 O papel do professorEstamos em pleno século XXI, a era em

que a velocidade das informações parece aumentar a cada dia. A rapidez no acesso a dados quaisquer pode ser confundida com a assimilação de um conteúdo ou conhe-cimento. A dinâmica produzida na tela dos computadores e as belas imagens proces-sadas e reproduzidas facilmente se contra-põem, de forma dura e nefasta, ao ritmo e aos recursos tecnológicos de nossas aulas.

Por mais que tentemos utilizar recur-sos tecnológicos em sala de aula – quando os recursos financeiros possibilitam –, ain-da assim teremos problemas de dinâmica. Mesmo que queiramos ou possamos utilizar tecnologia de ponta em nossas atividades, como faremos, por exemplo, para ensinar o aluno a resolver uma equação do 2º grau ou de que modo dinamizaremos o processo que leva o aluno a utilizar adequadamente os produtos notáveis?

Parece evidente que não podemos mais “dar” aulas em que o aluno é convidado apenas a prestar atenção no que dizemos, geralmen-te reproduzindo o que nos disseram quando estávamos nos bancos escolares. Pensemos em como nós, professores, consideramos os alunos. Se eles são vistos como “recipientes” capazes de armazenar quantidades de infor-mações, então o ensino e o papel do profes-sor serão fundamentados na transmissão cor-reta dessas informações. Por esse “método”, os alunos são forçados a se deparar com fatos, regras e princípios que devem assimilar para poder aplicá-los. Nesse contexto, atribuímos algum significado ao que fazemos em sala de aula e, em seguida, cobramos dos alunos o

que “aprenderam” – tudo de forma passiva e previsível. Não podemos concordar com isso. Seria o mesmo que fazer o “pacto da mediocridade” em que de um lado se faz de conta que ensina, do outro se faz de conta que aprende. Precisamos pensar em outra forma, outro “método”.

Numa reflexão sobre o ensino de Matemática é de fundamental importância ao professor:

identificar as principais características dessa ciência, de seus métodos, de suas ramificações e aplicações;

conhecer a história de vida dos alunos, seus conhecimentos informais sobre um dado assunto, suas condições sociológi-cas, psicológicas e culturais;

ter clareza de suas próprias concepções sobre a Matemática, uma vez que a prática em sala de aula, as escolhas pedagógi-cas, a definição de objetivos e conteúdos de ensino e as formas de avaliação estão intimamente ligadas a essas concepções.

Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 35-36.

Devemos, como professores, ter em mente que os alunos interpretam termos e conceitos de maneira original, que, em ge-ral, não corresponde ao que esperamos. Por isso, precisamos ser claros sobre o que de fato desejamos. Além disso, ao contrário do que se possa pensar, o trabalho do professor e seu real papel não perdem importância. O professor passa a ter outras funções, que descrevemos a seguir.

Organizador da aprendizagem: o pro-fessor deve, além de conhecer as reais condições socioculturais dos alunos, ter em mente as expectativas deles. Um ponto importante, nesse papel, é a escolha de situações e problemas que possibilitarão a construção dos conhe-cimentos.

Consultor do processo: cabe ao pro-fessor fornecer informações necessá-rias para que o aluno, com autonomia, construa o conhecimento.

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Mediador: deve promover as condi-ções para cada aluno intervir a fim de expor sua solução, questionar quando necessário e contestar.

Controlador e incentivador: deve esta-belecer condições e prazos para a reali-zação das atividades, sem esquecer-se de dar o tempo necessário aos alunos. Quanto ao papel de incentivador da aprendizagem, espera-se que estimule a cooperação entre os alunos.

Acreditamos na perspectiva de trabalho em que o aluno é considerado protagonista da construção da própria aprendizagem. Assim, o papel do professor assume dimensões novas, como as apontadas anteriormente. Para que as aulas de Matemática não sejam monóto-nas, precisamos ter criatividade no encami-nhamento dos conteúdos, encontrar meios de envolver cada vez mais o aluno no processo e dar condições para que, mesmo provisoria-mente, ele tire conclusões, isto é, sistematize o conhecimento.

1.4 O papel do alunoQual é o verdadeiro papel do aluno no pro-

cesso ensino-aprendizagem de Matemática?

As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam capacidades de natureza prática para lidar com a atividade matemática, o que lhes permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado.Por isso é fundamental não subestimar o po-tencial matemático dos alunos, reconhecendo que resolvem problemas, mesmo que razoa-velmente complexos, ao lançar mão de seus conhecimentos sobre o assunto e buscar esta-belecer relações entre o já conhecido e o novo.


Se estamos propondo um trabalho de construção do conhecimento matemático, o papel do aluno não é, evidentemente, de

mero espectador. O aluno deve investigar, questionar e sistematizar o conhecimento, não só respondendo às questões, mas tam-bém formulando-as. Ele é o agente princi-pal da construção de seu conhecimento, ao buscar estabelecer possíveis conexões en-tre o que já conhece e o que está sendo construído.

1.5 Nossas escolhas para um livro didático de Matemática

Sabemos que as propostas curriculares embasadas em pesquisas ligadas a univer-sidades e demais instituições relacionadas à área da Matemática levam algum tempo para se concretizar na sala de aula. Assim, não é objetivo desta nossa escolha rom-per completamente com a prática desen-volvida pelo “mestre e mediador” ao longo dos anos, levando-o a perder referência. Ao mesmo tempo desejamos que haja avan-ços consideráveis, acompanhando as mu-danças repentinas no mundo. São transfor-mações sensíveis e, por isso, acreditamos que o ensino deva mudar, pois a vida está constantemente se transformando. Não mudar significa ficar ao largo de nossa pró-pria evolução.

Temos consciência da imensa respon-sabilidade que devemos assumir diante das rápidas mudanças que afloram à nossa volta. Há muito tempo o ensino deixou de significar mera transmissão de informações, passando a ensinar a pensar ou aprender a aprender.

O Projeto Apoema Matemática nasceu da discussão dos pressupostos e das con-siderações abordadas até aqui. Não acredi-tamos, entretanto, ser possível contemplar tudo o que foi exposto, já que o ser humano está em constante evolução, mas devemos considerar esses pontos fundamentais para nossa reflexão ao “fazer Matemática” com os alunos. Entendemos que um livro didático, elaborado com o objetivo de ser um instru-mento auxiliar no ensino e na aprendizagem

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de Matemática deva, entre outros pon tos, va-lorizar e potencializar:

o conhecimento prévio dos alunos;

o trabalho em grupo e individual de forma autônoma;

a criatividade tanto do professor quanto do aluno;

a capacidade de argumentação do aluno;

a construção do conhecimento mate-mático;

o desenvolvimento do raciocínio ma-temático;

o estabelecimento de relações entre blocos temáticos;

a curiosidade e o espírito investigativo;

o gosto pela aprendizagem da Mate-mática.

Não podemos esquecer que, mesmo antes de o aluno ser aluno, ele convive com algum tipo de conhecimento matemático. Assim, a escola, o livro didático e o profes-sor devem fortalecer essa ligação entre a Matemática desenvolvida na escola e aque-la vivenciada fora dela, mas com o cuidado de não passar a falsa ideia de que tudo o que se aprende em Matemática tem aplica-ção imediata.

A Matemática faz-se presente na quantifica-ção do real – contagem, medição de grande-zas – e no desenvolvimento das técnicas de cálculo com os números e com as grandezas. No entanto, esse conhecimento vai muito além, criando sistemas abstratos, ideais, que organizam, inter-relacionam e revelam fenô-menos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados quase sempre a fenômenos do mundo físico.


Com base nessas reflexões e em outras resultantes do trabalho em sala de aula, ela-boramos o Projeto Apoema Matemática objetivando a construção de um referencial importante para a edificação do conheci-mento matemático.

2. Competências e!habilidades

Recentemente foi divulgada uma resolu-ção com objetivo de normatizar e expor, de forma clara, as habilidades e competências esperadas no Ensino Fundamental: a Matriz de Referência – Matemática. Reproduzimos a seguir as ideias principais para que possa-mos refletir cada vez mais sobre nossa atu-ação como professores preocupados com as mudanças na educação. É importante observar que o foco considera a resolução de problemas um método. As habilidades e competências estão definidas em unidades chamadas "descritores". Ao todo, são 37 des-critores divididos em quatro temas.

Descritores do Tema I. Espaço e FormaD1 – Identificar a localização/movimentação de objeto, em mapas, croquis e outras repre-sentações gráficas.D2 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com suas planificações.D3 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos.D4 – Identificar relação entre quadriláteros, por meio de suas propriedades.D5 – Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas.D6 – Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não retos.D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modifi-cam ou não se alteram.D8 – Resolver problema utilizando a proprieda-de dos polígonos (soma de seus ângulos inter-nos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares).

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D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas.

D10 – Utilizar relações métricas do triângulo re-tângulo para resolver problemas significativos.

D11 – Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações.

Descritores do Tema II. Grandezas e Medidas

D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.

D13 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.

D14 – Resolver problema envolvendo noções de volume.

D15 – Resolver problema envolvendo relações entre diferentes unidades de medida.

Descritores do Tema III. Números e Opera-ções!/ Álgebra e Funções

D16 – Identificar a localização de números inteiros na reta numérica.

D17 – Identificar a localização de números racionais na reta numérica.

D18 – Efetuar cálculos com números inteiros envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

D19 – Resolver problema com números na-turais envolvendo diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

D20 – Resolver problema com números inteiros envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

D21 – Reconhecer as diferentes representa-ções de um número racional.

D22 – Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados.

D23 – Identificar frações equivalentes.

D24 – Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal identificando a existência de “ordens” como décimos, centési-mos e milésimos.

D25 – Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração,

multiplicação, divisão e potenciação).

D26 – Resolver problema com números racio-nais que envolvam as operações (adição, sub-tração, multiplicação, divisão e potenciação).

D27 – Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.

D28 – Resolver problema que envolva por-centagem.

D29 – Resolver problema que envolva varia-ções proporcionais, diretas ou inversas entre grandezas.

D30 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.

D31 – Resolver problema que envolva equação de segundo grau.

D32 – Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões).

D33 – Identificar uma equação ou uma inequação de primeiro grau que expressa um problema.

D34 – Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema.

D35 – Identificar a relação entre as represen-tações algébrica e geométrica de um sistema de equações de primeiro grau.

Descritores do Tema IV. Tratamento da Informação

D36 – Resolver problema envolvendo informa-ções apresentadas em tabelas e/ou gráficos.

D37 – Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa.

Disponível em: <http://portal.inep.gov.br/web/prova-brasil-e-saeb/33>. Acesso em: jul. 2013.

É necessário que nós, professores, ao analisarmos essa Matriz de Referência, te-nhamos uma visão abrangente do que es-peramos conquistar com nosso trabalho em sala de aula ao final do Ensino Fundamen-tal. A leitura e a discussão dos temas e dos descritores correspondentes dão muito mais objetividade à nossa função.

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3. Organização do ProjetoOrganizamos este projeto contemplando

momentos diversos que possibilitam um traba-lho variado tanto do professor quanto do aluno.

3.1 EstruturaCada um dos quatro livros do Projeto

Apoema Matemática encontra-se dividido em oito unidades. Cada unidade, por sua vez, está organizada em capítulos.

Na abertura de cada unidade, você en-contra um pequeno resumo do assunto a ser desenvolvido. Para o aluno, na primeira página da abertura há uma reflexão sobre a utilização do conteúdo trabalhado, e, na segunda pági-na, três questões para conduzir uma peque-na discussão a respeito do tema. Ao iniciar o capítulo, você encontra, de forma resumida, os objetivos principais.

Descrevemos a seguir as seções de textos e atividades em que os conteúdos dos capítulos e unidades são trabalhados. Algumas são esporá-dicas, outras podem ser encontradas em todos os capítulos.

AGORA É COM VOCÊPropomos atividades que objetivam auxi-

liar na compreensão dos assuntos abordados, além de fornecer momentos de verificação da aprendizagem. Assim, conforme sua es-colha, algumas dessas atividades podem ser resolvidas na sala de aula, enquanto outras podem ser encaminhadas como tarefa a fim de desenvolver a autonomia dos alunos. Há um bom número de atividades nessa seção.

TRABALHO EM EQUIPEAlgumas atividades são elaboradas para o

trabalho coletivo. Nessa seção desejamos que os alunos cooperem na busca de solução para as situações propostas. Além disso, espera-se criar, neles, o hábito de expressar o próprio

pensamento, compreender o pensamento do outro, discutir possíveis e esperadas dúvidas e incorporar soluções alternativas, reestrutu-rando e ampliando procedimentos adotados no enfrentamento de problemas diversos.

BAGAGEM CULTURAL

Na forma de infográfico, são apresenta-dos textos e imagens sobre curiosidades que objetivam conduzir os alunos à percepção da Matemática em outros contextos. Esses contextos relacionam conteúdos de duas ou mais disciplinas. Assim, esperamos que os alunos passem a ver a Matemática não mais de forma isolada, mas dinâmica, presente em outras áreas do conhecimento.

DIVERSIFICANDO LINGUAGENSA disciplina de Matemática tem lingua-

gem própria, símbolos, formas e representa-ções peculiares. Por sua vez, revistas e jor-nais – em geral, presentes na vida dos alunos – apresentam diversidade no tratamento de informações. Ao propormos algumas ativi-dades com tirinhas ou mesmo diagramas de palavras, por exemplo, queremos evidenciar também os conteúdos e as situações mate-máticas que são apresentados por essas for-mas de expressão, tão comuns no cotidiano das pessoas. Do aluno, em tais momentos, é exigida a interpretação e a compreensão do que a tirinha ou o diagrama apresenta.

CONEXÕESEssa seção é reservada para a história dos

conteúdos e dos personagens que os cons-truíram ou para curiosidades que envolvam tanto a Matemática quanto outro assunto abordado. Sugerimos que a leitura seja feita coletivamente envolvendo a turma no conhe-cimento de aspectos relevantes da história da disciplina.

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MATEMÁTICA E CIDADANIANessa seção, são apresentados textos am-

plamente ilustrados, que proporcionam leitura agradável e rica em informações, relacionando várias áreas do conhecimento. É uma oportu-nidade ímpar de ampliar o conhecimento dos alunos sobre a necessidade de aprender Mate-mática para a interpretação e a busca de solu-ções de situações diversas da vida das pessoas. Para exercer a cidadania, é indispensável saber calcular, efetuar medidas, argumentar, racio-cinar, compreender informações estatísticas e tomar decisões.

COM A PALAVRA, O ESPECIALISTA

tretenimento – livros, filmes e sites –, relacio-nadas aos assuntos abordados na unidade. Em cada referência, uma pequena resenha dá ao aluno uma ideia do que trata cada item. Essa é uma forma de estimular a leitura, a visualização e até a brincadeira, explorando diferentes modos de abordagem de conteú-dos matemáticos.

SUPERANDO DESAFIOSUma das características que podem ser

encontradas no aluno do Ensino Fundamen-tal II é o prazer de ser desafiado. Nessa seção, o aluno é convidado a ir além das atividades propostas no livro, resolvendo questões que o preparam para vestibulares, concursos e avaliações do governo. A Matemática repre-senta um contexto rico de ideias, problemas diversos, desafios e enigmas instigantes que possibilitam ao aluno se colocar diante de situações completamente diferentes e que exigem soluções muitas vezes inesperadas e extremamente criativas. Essa é uma forma de valorizar a capacidade e as potencialidades do aluno.

RESGATANDO CONTEÚDOSEmbora haja, ao longo dos capítulos, ati-

vidades diversas, sugerimos um grupo de atividades no final de cada unidade. A ideia é que, com a resolução dos exercícios, os alunos possam verificar, com autonomia, a compreensão dos conteúdos apresentados na unidade. Essa é também uma forma de relacionar os assuntos tratados separada-mente nos capítulos. Sugerimos que as ati-vidades sejam encaminhadas apenas após a conclusão da unidade. Também é importan-te que os alunos sejam motivados a fazê-las e que organizem as resoluções no caderno, discutindo entre eles possíveis respostas antes da resolução coletiva.

O conhecimento de qualquer disciplina ocorre também pelo contato com o traba-lho de profissionais diversos. Experiências de vida, de trabalho, de estudo precisam ser passadas aos alunos como exemplos a ser seguidos, referências a ser consideradas. Em-bora essa seção não ocorra com muita fre-quência em cada volume deste projeto, ela é extremamente importante, pois amplia, nos alunos, a visão de mundo e das pessoas.

Para não esquecerAo final de cada unidade, apresentamos

um quadro-resumo em forma de mapa con-ceitual. O objetivo é os alunos perceberem, por meio desse importante esquema, as rela-ções entre os assuntos da unidade estudada. É a visão geral do conteúdo apresentado. A utilização de esquemas também representa uma forma de leitura que auxilia na compre-ensão dos diversos tópicos.

Explorando

Ao final dos conteúdos desenvolvidos, o aluno encontra algumas referências de en-

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6o anoUNIDADE CAPÍTULO CONTEÚDO

1. Números e sistemas de numeração

Os números naturais

Processos de contagem – história dos númerosNoções sobre os sistemas de numeração egípcio e romanoSistema de numeração decimal – leitura, escrita e história dos números indo-arábicosSequência dos números naturaisSucessor, antecessor e números naturais consecutivosAplicações dos números naturaisReta numérica

Funções dos números

Aplicações dos números naturaisContagem, ordenações e códigosClassificação dos númerosOs números e o nosso dinheiroComparação de númerosReta numérica

Sistema de numeração decimalSistema de numeração dividido por classesArredondamentos e aproximações

Adição e subtração

Ideias da adição e da subtraçãoProblemas envolvendo adição e subtração de números naturaisExpressões numéricasCálculo mental nas adições e subtrações

Multiplicação, divisão, potenciação e radiciação

As ideias da multiplicaçãoDivisão – ideias e algoritmosMultiplicação e divisão – operações inversasRelação fundamental da divisãoExpressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentaisPotenciação – significado, representação e cálculosRaiz quadrada de números naturais

2. Geometria: noções

Noções fundamentaisConhecendo a históriaAs formas da natureza e as formas criadas pelo ser humanoPonto, reta, plano e segmento de reta

Formas geométricas planas e não planasCubos e paralelepípedosPerspectivas e vistasFormas geométricas planas

3. Múltiplos e divisores

Divisibilidade e números primosCritérios de divisibilidadeNúmeros primos e decomposição em fatores primosDecomposição em fatores primos

Divisores de um número naturalFatores ou divisores de um número naturalDivisores comuns e máximo divisor comum

Múltiplos de um número naturalSequência dos múltiplos de um númeroMínimo múltiplo comum

3.2. Quadros de conteúdosApresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro vo-

lumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina de Matemática.

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4. Formas geométricas planas

A ideia de ângulo

Identificação, elementos e representaçãoMedidas de ângulos Classificação de ângulos Retas paralelas e retas concorrentes

PolígonosPolígonos – características e nomenclaturaPolígonos regularesQuadriláteros – classificação

5. Frações

A ideia de fração

Frações como partes do inteiroRepresentação e leituraTipos de fração: próprias, aparentes e imprópriasFrações de uma quantidade

Equivalência e comparação entre fraçõesFrações equivalentesSimplificação de fraçõesComparação de frações

Adição e subtração de fraçõesAdição e subtração de frações com o mesmo denominadorAdição e subtração de frações com denominadores diferentes

Fração de fraçãoMultiplicação de fraçõesDivisão de frações

6. Números decimais

Frações decimais e números decimais

Notação decimalNúmeros decimais na forma de fração decimalPropriedades dos números decimaisComparações entre números decimais

Adição e subtração com números decimaisAdição de números decimaisSubtração de números decimais

Multiplicação e divisão com números decimaisMultiplicação de números decimaisDivisão de números naturais com quociente decimalDivisão de números decimais

7. Grandezas e medidas

Unidades de comprimento e de massaUnidades de comprimentoPerímetros de figuras geométricas planasUnidades de massa

Unidades de áreaUnidades de áreaÁreas de figuras geométricas planasÁrea do quadrado

Unidades de volume e capacidade

Unidades de volume Volumes do cubo e do paralelepípedo Unidades de capacidadeUnidades de volume Relação entre L e dm!

Medida de tempo Unidades de medida de tempo

8. Estatística Noções de EstatísticaPorcentagem Pesquisas, tabelas e gráficos

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1. Números inteiros

Os números inteirosOs números positivos e os números negativosExemplos de aplicações de números inteiros

Adição e subtração de números inteirosAdição de números inteirosPropriedades da adição de números inteirosSubtração de números inteiros

Multiplicação de números inteirosMultiplicação de números inteirosPropriedades da multiplicação de números inteiros

Divisão de números inteirosDivisão de números inteirosExpressões numéricas com números inteiros

2. Geometria: ângulos

ÂngulosRetomada da ideia de ângulo apresentada no volume anteriorUnidade de medida de ângulo Frações do ângulo

Operações com medidas de ângulosAdição e subtração de ângulos Multiplicação e divisão de um ângulo por um número natural

Ângulos e retasClassificação de ângulos Ângulos entre retas concorrentes

3. Números racionais

Números racionaisFormação do conjuntoReta numéricaComparação de números racionais

Adição e subtração de racionaisAdição de números racionaisPropriedades da adição de números racionaisSubtração de números racionais

Multiplicação e divisão de racionaisMultiplicação de números racionaisPropriedades da multiplicação de números racionaisDivisão de números racionais

Potenciação e radiciação de racionaisPotenciação de números racionaisRadiciação de números racionais

4. Geometria: áreas

O conceito de áreaMedida de superfícieÁrea do quadrado Área do retângulo

Área do triângulo e do paralelogramoÁrea do paralelogramo Área do triângulo

Área do losango e do trapézioÁrea do losangoÁrea do trapézio

5. Álgebra

Iniciando a ÁlgebraIdeias iniciais da ÁlgebraTermos semelhantesSoma algébrica de termos semelhantes

EquaçõesEquaçãoResolução de uma equação

Resolução de problemas Resolução de problemas

InequaçõesDesigualdadesInequações

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1. Números reais

Os números inteiros e os números racionaisNúmeros racionaisRepresentação dos números irracionais

Os números reaisNúmeros irracionaisNúmeros reaisComprimento da circunferência

2. Potenciação e radiciação

Potenciação com expoentes inteiros

PotenciaçãoPropriedades da potênciaPotências de base 10Notação científica

Radiciação: raiz quadradaRaiz quadradaDecomposição em fatores primos

3. Geometria: Triângulos

Segmentos, ângulos e retas

SegmentosÂngulosRetasÂngulos entre retas concorrentes Ângulos entre retas com uma transversal

TriângulosClassificação dos triângulos quanto aos ladosClassificação dos triângulos quanto aos ângulos

Soma das medidas dos ângulos num triânguloSoma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo

Congruência de triângulosCongruência de triângulosCasos de congruência de triângulos

4. Álgebra: cálculo algébrico

Expressões algébricasExpressão algébrica e valor numéricoTermos semelhantesMonômios e polinômios

Operações com polinômios de uma variávelAdição e subtração de polinômiosMultiplicação e divisão de polinômios

5. Produtos notáveis e fatoração

Produtos notáveis Desenvolvimento de produtos notáveis

Fatoração de polinômiosFator comum Fatoração por agrupamentoSimplificação de expressões algébricas


6. Proporções

Razões e proporçõesO conceito de razãoO conceito de proporção

Grandezas proporcionaisRegra de sociedadeProblemas de regra de trêsProblemas de regra de três composta

7. Introdução à Matemática Financeira

Porcentagens e juros simplesRetomando porcentagem trabalhada no volume anteriorJuros simples

8. Estatística

Gráficos estatísticosInformações em gráficos A construção de gráficos estatísticos

Calculando médiaMédia aritméticaMédia ponderada

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6. Geometria: quadriláteros

QuadriláterosSoma dos ângulos internos de um quadriláteroSoma dos ângulos externos de um quadrilátero

Quadriláteros notáveisClassificação dos quadriláterosPropriedades do paralelogramo

7. Álgebra: equações

Equações do 1o grauResolução de equações e problemas do 1o grauResoluções de equações literais Resolução de equações fracionárias

Sistemas de equaçõesResolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da substituiçãoResolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da adição

Interpretação geométricaRepresentação dos pontos no plano cartesianoInterpretação geométrica de uma resolução de um sistema de equações do 1o grau

8. Geometria: circunferência

Circunferência e círculo

Elementos e nomenclatura da circunferênciaPartes do círculoPosições relativas de retas e circunferênciasPosições relativas entre circunferências

Segmentos e quadriláterosPropriedades de segmentos tangentes a uma circunferênciaCircunferência inscrita num quadrilátero

Ângulos e arcos na circunferênciaArco e ângulo centralMedidas do ângulo inscrito Quadrilátero inscrito numa circunferência


1. Potenciação e radiciação

Potenciação Potência com expoentes inteirosNotação científica Propriedades da potenciação

RadiciaçãoRaiz quadradaPotência com expoente racional e raiz cúbicaSimplificações com radicais

Cálculo com radicaisAdição e subtraçãoMultiplicação e divisãoPotenciação e radiciação

2. Álgebra: cálculo algébricoCálculo algébrico

Recapitulação dos casos de produtos notáveis abordados no volume anteriorCubo de uma soma e cubo de uma diferença

FatoraçãoFator comum e por agrupamento Fatoração por produtos notáveis

3. Geometria: semelhança de triângulos

Teorema de TalesSegmentos proporcionaisTeorema de Tales e suas propriedades

Semelhança de triângulos Semelhança de triângulos e propriedadesOs três casos de semelhança de triângulos

O triângulo retângulo Relações métricas no triângulo retângulo O teorema de Pitágoras

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Razões seno, cosseno e tangenteRazões trigonométricas para ângulos notáveis

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4. Álgebra: equações do 2o grau

Equações do 2o grauResolução de equações incompletasResolução de equações por trinômios quadrados perfeitos Resolução de equações por fórmulas

Propriedades de raízes e coeficientes O discriminante – discussão das raízes Soma e produto das raízes

Equações redutíveis ao 2o grau e problemas Resolução de problemas por meio de equações do 2o grauEquações biquadradasEquações irracionais

5. Estatística e probabilidade

O tratamento da informação Tabelas e gráficosDistribuição de frequências: variáveis discretasDistribuição de frequências: variáveis contínuas

Medidas de tendência central Média aritmética e ponderadaMediana e moda

Contagem e probabilidades Principio fundamental da contagemIdeias iniciais de probabilidade

6. Geometria: polígonos e circunferências

Áreas de quadriláteros e triângulos Áreas do retângulo, do quadrado e do paralelogramoÁreas do triângulo, do losango e do trapézio

Polígonos convexosCálculo do número de diagonais de um polígono convexoSoma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Polígonos regulares

Medida dos ângulos internos e externos de polígonos regulares Polígonos inscritíveis e circunscritíveisRelações métricas no triângulo equilátero, no hexágono regular e no quadrado inscritos e circunscritos

Círculo e circunferênciaComprimento da circunferência e de um arco de circunferênciaÁrea do círculo e de um setor circular

Relações métricas na circunferência Relação entre cordas e entre secantesRelação entre secante e tangentePotência de um ponto

7. Estudo de funções

Introdução às funções Relação entre grandezas: conceito de funçãoRepresentação gráfica no plano cartesiano

Noções de função afimFunção afimGráfico da função afim

Noções de função quadrática

Função quadráticaRepresentação gráfica no plano cartesianoCoordenadas do vértice da parábolaProblemas de máximo e de mínimo

8. Geometria: triângulos quaisquer

Lei dos cossenos Obtenção da lei dos cossenos Aplicações da lei dos cossenos

Lei dos senosObtenção da lei dos senosAplicações da lei dos senos

4. Orientações deste volume4.1 Objetivos de cada unidade

UNIDADE 1Números reais

Retomar os números inteiros e os ra-cionais.

Identificar e representar números ra-cionais.

Obter frações geratrizes de dízimas pe-riódicas.

Conceituar números irracionais.

Calcular o comprimento de uma cir-cunferência.

Conceituar números reais.

Associar um número real a cada ponto de uma reta numérica.

Associar um ponto numa reta numéri-ca a cada número real.

Resolver problemas que envolvem nú-meros reais.

UNIDADE 2Potenciação e radiciação

Retomar potenciação com expoentes naturais.

Ampliar potenciação com a utilização de expoentes inteiros.

Identificar e empregar as propriedades de potenciação.

Compreender as potências de base 10.

Representar um número real positivo por meio da notação científica.

Retomar e ampliar o cálculo da raiz quadrada de números positivos.

UNIDADE 3Triângulos

Identificar congruência de segmentos e ângulos congruentes.

Identificar ângulos formados por retas concorrentes.

Identificar retas paralelas e retas per-pendiculares.

Identificar ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal.

Relacionar as medidas dos ângulos for-mados por duas retas paralelas e uma transversal.

Classificar triângulos quanto aos lados e aos ângulos.

Calcular a soma das medidas dos ân-gulos internos de um triângulo.

Calcular a soma das medidas dos ân-gulos externos de um triângulo.

Conceituar congruência de triângulos.

Identificar casos de congruência.

UNIDADE 4Cálculo algébrico

Identificar expressões algébricas.

Calcular o valor numérico de uma ex-pressão algébrica.

Conceituar e identificar termos seme-lhantes (monômios).

Identificar a parte literal e o grau de um monômio.

Conceituar polinômio como adição de monômios.

Identificar o grau de um polinômio.

Adicionar, subtrair e multiplicar polinô-mios.

Dividir um polinômio por outro poli-nômio, identificando dividendo, divisor, quociente e resto.

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UNIDADE 5Produtos notáveis e fatoração

Desenvolver o quadrado da soma de dois termos.

Desenvolver o quadrado da diferença de dois termos.

Desenvolver o produto da soma pela diferença de dois termos.

Utilizar produtos notáveis no cálculo de expressões numéricas.

Efetuar a fatoração colocando um ter-mo comum em evidência.

Efetuar a fatoração de expressões algé-bricas por agrupamento.

Fatorar binômios correspondentes à diferença de dois quadrados.

Fatorar trinômios quadrados perfeitos.

Simplificar frações algébricas pela fato-ração de seus termos.

UNIDADE 6Geometria: quadriláteros

Reconhecer os elementos de um qua-drilátero.

Identificar quadriláteros convexos.

Obter a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo.

Obter a soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo.

Identificar e caracterizar um trapézio.

Identificar e caracterizar um paralelo-gramo observando suas propriedades.

Identificar e caracterizar um retângulo.

Identificar e caracterizar um losango.

Identificar e caracterizar um quadrado.

UNIDADE 7Álgebra: equações

Identificar uma equação do 1º grau.

Reconhecer a solução de uma equa-ção do 1º grau com uma incógnita.

Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita.

Resolver equações literais.

Resolver equações fracionárias.

Identificar um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas.

Reconhecer a solução de um sistema de equações do 1º grau com duas in-cógnitas.

Resolver um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas pelo mé-todo da adição.

Resolver um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas pelo mé-todo da substituição.

Identificar o plano cartesiano, reconhe-cendo que a cada ponto dele podemos associar um par ordenado.

Interpretar uma equação do 1º grau com duas incógnitas como uma reta representada num plano cartesiano.

Interpretar geometricamente a solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas.

UNIDADE 8Geometria: circunferência

Conceituar circunferência e círculo.

Identificar os elementos de uma cir-cunferência.

Identificar as partes de um círculo.

Compreender as posições relativas en-tre retas e circunferências.

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Compreender as posições relativas en-tre circunferências.

Compreender as propriedades de seg-mentos tangentes a uma circunferência.

Compreender a propriedade que re-laciona as medidas dos lados de um quadrilátero circunscrito em uma cir-cunferência.

Identificar o ângulo inscrito e o ângulo central da mesma circunferência.

Relacionar as medidas de um ângu-lo inscrito e de um ângulo central na mesma circunferência.

4.2 Comentários das atividadesp. 33 – Matemática e cidadania

Abordamos aqui um problema mundial: a quantidade de lixo.

Hoje, muitos materiais que compramos e usamos podem ser reciclados, como o texto diz. A latinha de refrigerante ou de suco é um material presente no cotidiano dos alunos, por isso é comum as escolas se engajarem em projetos de reciclagem de la-tinhas de alumínio.

A escolha do texto e da atividade, que propõe medir o comprimento da circunfe-rência da latinha, é relacionada com o con-teúdo da unidade. Peça aos alunos que tra-gam de casa o material necessário para a execução dessa atividade.

É importante reforçar também que o texto aborda, além da importância da re-ciclagem, a quantidade de lixo que cada pessoa produz por dia. A discussão em aula desse assunto com os alunos favorece a conscientização da redução da produção de lixo escolar, por exemplo, na seguinte ação: manter uma caixa para armazenar papéis usados, que serão destinados pos-teriormente para reciclagem. Essa e outras pequenas ações, que podemos adotar em

sala de aula, contribuem para o desenvolvi-mento da cidadania dos alunos.

p. 72 e 73 – Bagagem culturalO infográfico mostra como a realização

de cálculos matemáticos corretos é essen-cial em projetos de construção.

Por falha na escolha do solo, uma das obras mais belas da Itália, a Torre de Pisa, tem um charme diferente: a inclinação. Relacio-nado com o conteúdo da unidade, o infográ-fico apresenta o ângulo de inclinação des-sa torre, que chega a 5,5°. Mostra ainda que também temos, no Brasil, em Santos (SP), al-guns prédios inclinados. A falha neste caso é a pouca profundidade da fundação, cerca de 7 metros, quando o correto seria de 30 a 40 metros de profundidade.

Observando com atenção esse infográfi-co, os alunos podem discutir sobre as áreas da Matemática que um engenheiro civil pre-cisa saber para exercer sua profissão, como a Geometria e o desenho geométrico. Pergun-te aos alunos se gostariam de ser engenhei-ros, se têm algum parente engenheiro ou se já tiveram a oportunidade de ver plantas de construções.

p. 129 e 130 – Com a palavra, o especialista

A Álgebra é uma das áreas da Matemática que mais apavoram os alunos.

Nessa entrevista, o professor José Ricardo de Rezende Zeni explica a origem da Álge-bra, como ela evoluiu e quais passos o aluno deve seguir para aplicar as noções algébricas na resolução de problemas. Essa entrevista é muito interessante, pois trata-se de um es-pecialista mostrando aos alunos que até um doutor em Engenharia Mecânica precisa sa-ber resolver questões que envolvem noções algébricas. A leitura do texto com eles possi-bilitará algumas discussões que os ajudarão nessa etapa inicial do estudo da Álgebra.

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p. 162 e 163 – Bagagem culturalEsse infográfico propicia o contato dos

alunos com a Etnomatemática – uma abor-dagem histórico-cultural da Matemática –, no caso, de um povo africano.

O povo cokwe é uma das etnias mais cé-lebres por sua produção artística em Angola. Seus membros têm uma tradição que mistu-ra narrativas orais com desenhos na areia, os sona. Eles fazem verdadeiras obras de arte, com uso de eixos de simetria, as quais fasci-nam muitos geômetras.

O infográfico traz uma fotografia de um desses sona, que representa uma tartaruga. A proposta da seção é levar os alunos a tam-bém elaborar um lusona.

p. 177 e 178 – Matemática e cidadaniaCom o objetivo de mostrar mais uma re-

lação entre a Matemática e o cotidiano dos alunos, esse texto propõe a observação das

placas de trânsito e suas formas, parecidas com as formas geométricas vistas na unidade.

Leia o texto com eles e discuta sobre ou-tras formas geométricas que nos auxiliam no cotidiano.

p. 244 e 245 – Com a palavra, o especialista

Nessa entrevista, o artista plástico Luiz Sa-cilotto, que, no começo de sua carreira, pintava telas relacionadas à natureza, conta porque abandonou esse tipo de pintura e se iniciou na pintura concreta. As formas geométricas utilizadas por ele e a maneira como explica seus quadros dão a impressão de que, para Luiz, a Geometria é um con teúdo fabuloso.

Cabe a você, professor, mostrar aos alunos que nem sempre é tão simples fazer quadros envolvendo figuras geométricas. É necessário criatividade e paciência para conseguir “trans-formar a matemática em arte”.

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5. AvaliaçãoNesse sentido, é preciso repensar certas ideias que predominam sobre o significado da avaliação em Matemática, ou seja, as que concebem como prioritário avaliar apenas se os alunos memorizam as regras e esquemas, não verificando a compreensão dos concei-tos, o desenvolvimento de atitudes e proce-dimentos e a criatividade nas soluções, que, por sua vez, se refletem nas possibilidades de enfrentar situações-problema e resolvê-las. Outra ideia dominante é a que atribui exclusi-vamente ao desempenho do aluno as causas das dificuldades nas avaliações.


Mesmo que se tenha iniciado o presente Guia Didático pela Metodologia, acredita-mos que não se pode externar a concepção do ensino e da aprendizagem da Matemá-tica sem a forma de enxergar o que se en-tende por avaliação. Não estamos falando apenas da avaliação do aluno, mas da ava-liação muito mais abrangente: inicia com a escolha do livro didático a ser utilizado; pas-sa pelo entendimento de que a avaliação é um componente rico em fornecer subsídios para a aprendizagem; aponta importantes indícios acerca de como a Matemática é ou será ensinada; leva em consideração as reais condições de trabalho do aluno e do profes-sor; propicia mudanças na forma de agir do professor; e respeita o tempo de aprendiza-gem do aluno e o contexto social em que ele está inserido.

Evidentemente, quando se entende que o ensino e a aprendizagem da Matemática ocorrem de forma dinâmica, desde a maneira de concebê-la até o modo de abordar seus conteúdos, torna-se inaceitável deixar de pen-sar profundamente na avaliação, no que se deve avaliar e como isso será feito. Para com-preender a avaliação mais amplamente, basta olharmos um pouco mais as mudanças ocor-ridas nas últimas décadas.

Paulo Abrantes, em Avaliação e educação matemática, organizou um importante tra-

balho a respeito da avaliação, que foi editado pelo MEM/USU-Gepem. Nesse projeto é pos-sível encontrar algumas das principais ideias que remetem a conceitos diferentes sobre avaliação. Classicamente são externados três significados distintos: avaliação como medida, como distância e como interpretação.

Avaliação como medida – Enquanto o ensino ficou associado à transmissão de conhecimentos, a aprendizagem era vista como a capacidade de o aluno reproduzir aquilo que o professor havia “ensinado”. Nes-se contexto, o processo de aprendizagem tinha forte ligação com a memorização, sen-do dada ênfase ao resultado, e não ao modo pelo qual ocorreu a aprendizagem. Nessa perspectiva temos a avaliação como medida. Tal medida era explicitada por uma nota e relacionada com a média das notas do grupo a que o aluno pertencia.

Ensino e aprendizagem Avaliação

Vamos supor que essa forma de conce-ber a avaliação seja adotada. Nesse caso, é importante perceber que ela acaba ocor-rendo no fim de determinado período de aulas. Se um aluno tem uma nota baixa, a responsabilidade geralmente recai sobre ele mesmo. A influência prática do professor é ínfima, dependendo quase exclusivamente do aluno. Os resultados são expressos por notas que, mesmo elevadas, não significam que a aprendizagem de fato ocorreu.

Avaliação como distância – Nessa perspectiva, estabeleceu-se um conjunto de objetivos previamente definidos como referência, deixando de considerar o mo-delo do professor. Em forma de testes, as questões eram preparadas com base em matrizes de objetivos/conteúdos. O resul-tado, nesse tipo de avaliação, passava sim-plesmente a ser uma medida da distância entre a resposta do aluno e o objetivo pre-viamente definido. Nessa visão de avalia-ção, duas novas formas foram introduzidas:

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avaliação de diagnóstico (modo de avaliar que visava verificar se o aluno tinha ou não os pré-requisitos necessários para aprender os tópicos seguintes do programa) e avalia-ção formativa (ocorria durante o processo ensino-aprendizagem, com a finalidade de verificar se os alunos estavam ou não pron-tos para alcançar aqueles objetivos previa-mente estabelecidos). Curtos períodos de ensino eram seguidos por momentos for-mais de avaliação e, além disso, conforme os resultados obtidos, atividades de reme-diação eram propostas.

Atividades de

remediação

Ensino e

aprendizagem

Ensino e

aprendizagem

Avaliação

Avaliação

Avaliação como interpretação – Nessa visão, para aprendizagem, não são importan-tes apenas respostas corretas ou incorretas dos alunos numa avaliação, mas também os processos que os levam a elaborar essas res-postas. A função do professor não é controlar, mas interpretar e identificar possíveis pro-blemas no processo ensino-aprendizagem. Importa encontrar e compreender os moti-vos que geram possíveis erros. Nesse caso, o erro passa a ser considerado uma fonte de informação essencial para tomadas de deci-sões e mudanças de métodos. Além disso, a avaliação como interpretação não é previa-mente demarcada no calendário escolar. Ela é contínua e estreitamente ligada ao proces-so como um todo.

Ensino e

aprendizagemAvaliação

E como devemos encarar a avaliação?

Caminhamos cada vez mais no sentido da concepção da avaliação como interpre-tação, pois é muito mais que uma medida. Representa a percepção do aluno no de-senvolvimento de atitudes, na aquisição e no domínio de conceitos e procedimentos matemáticos. Não acreditamos, porém, em uma forma única de avaliação. Aspectos como participação em aula, colaboração, comportamento nas atividades em grupo, interesse e desempenho nos diversos mo-mentos fazem parte do processo de avalia-ção, pois fornecem dados mais reais sobre o desenvolvimento dos alunos. Assim, acre-ditando numa avaliação cujo objetivo seja voltado à dimensão educativa, somos favo-ráveis a:

diversos momentos da avaliação;

diferentes instrumentos, tais como ati-vidades do livro, atividades individuais, em duplas, em pequenos grupos, em pesquisas;

observação contínua das atitudes do aluno, de suas intervenções orais, na lousa e no desenvolvimento de peque-nas tarefas;

instrumentos previamente preparados para registros de observações cotidianas;

autoavaliação do aluno, de tal modo que até seja possível obter uma avaliação do professor sob a ótica do aluno.

Em relação à autoavaliação, propomos algumas questões que podem ser amplia-das em discussão com toda a turma. A discussão possibilita melhor compreensão daquilo que se pretende com a autoavalia-ção, e conscientiza o aluno em relação a seu desempenho e suas atitudes. É numa situação de aprendizagem que ele começa a se dar conta de suas potencialidades e dificuldades. Além disso, propicia que re-flita sobre seu papel no processo ensino--aprendizagem.

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QUESTÕES PARA AUTOAVALIAÇÃO

I – AVALIANDO AS ATITUDES

Quanto às tarefas individuais que foram propostas, realizei:

( ) muitas vezes.

( ) poucas vezes.

( ) nunca.

Quanto às atividades propostas em grupo, procurei auxiliar meus colegas:

( ) muitas vezes.

( ) poucas vezes.

( ) nunca.

Quando algum colega apresentou algu-ma dúvida:

( ) ajudei sempre.

( ) nunca ajudei.

( ) não soube o que fazer.

Quando tenho alguma dúvida em sala de aula:

( ) não faço perguntas.

( ) pergunto.

( ) não sei o que fazer.

Durante a explicação do professor sobre determinado assunto:

( ) sempre estou atento.

( ) nem sempre estou atento.

( ) não presto atenção.

II – AVALIANDO O CONTEÚDO DESEN-VOLVIDO

Assuntos ou atividades que apresentei dificuldades de desenvolver:

Assuntos ou atividades que considerei de resolução imediata sem ter dificuldades:

Conteúdos ou atividades que achei in-teressantes:

Conteúdos ou atividades que não achei interessantes:

Essas são apenas algumas ideias que po-dem compor a autoavaliação. Para ampliar uma reflexão sobre a avaliação, reproduzi-mos a seguir cinco princípios de avaliação que constam no trabalho publicado por Paulo Abrantes.

1 – A avaliação deve gerar, ela própria, novas situações de aprendizagem.

2 – A avaliação deve ser consistente com os objetivos, os métodos e os principais tipos de atividades do currículo.

3 – A avaliação deve ter um caráter positivo, isto é, focar aquilo que o aluno já é capaz de fazer em vez daquilo que ele ainda não sabe, não se requerendo necessariamente o mesmo nível de desenvolvimento a todos os alunos.

4 – A avaliação, nas formas e instrumentos que utiliza, não deve estar dependente das possibilidades de se atribuírem classifica-ções quantitativas aos alunos.

5 – A avaliação deve ocorrer num ambiente de transparência e confiança, no qual as críticas e sugestões sejam encaradas como naturais.

Boletim MEM/USU Gepem. p. 17 e 18 (s.d.).

Em relação à avaliação dos conteúdos desenvolvidos ao longo do 8º ano do Ensino Fundamental, além das ideias vistas anterior-mente, sugerimos a seguir uma sugestão de avaliação, que pode ser utilizada no 1º bimestre. Quanto aos bimestres seguintes, as sugestões de avaliação estarão disponíveis para download no Portal Projeto Apoema.

NOME: TURMA:

ESCOLA:

PROFESSOR: DATA:

Avaliação - Matemática

1. Nas afirmativas a seguir, assinale com V, para verdadeiro, ou F, para falso.

a) ( ) O número 0,5 é racional.

b) ( ) O número 0,4444... é racional.

c) ( ) Todo número que é inteiro é racional.

d) ( ) Existem números inteiros que são irracionais.

e) ( ) A medida da diagonal de um quadrado de lado medindo 1 cm é expressa por um número irracional.

2. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica: 0,41414141...

3. Escreva a forma decimal dos seguintes números racionais escritos na forma fracionária:

a) 225

b) 790

4. Observe o quadrado representado ao lado.

Determine:

a) o perímetro desse quadrado;

b) a área desse quadrado.

2 5 cm

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5. Joana mediu o comprimento aproximado de uma circunferência e obteve 628 cm. Então:

a) determine a medida do diâmetro da circunferência;

b) determine a medida do raio da circunferência.

6. Numa cartolina, foram desenhados uma circunferência de diâmetro 8 cm e um quadrado de lado 8 cm.

Responda:

a) Qual tem maior perímetro: o quadrado ou a circunferência?

b) Qual medida é maior: o diâmetro da circunferência ou a diagonal do quadrado?

7. Determine a área do retângulo conforme as medidas dos lados indicadas.

8. Escreva a seguinte expressão em uma só potência de base 2:

23 ! (22)3

26 ! 2"2

9. Em cada igualdade a seguir, a letra k deverá ser substituída por um número inteiro.

Determine-o.

a) 400 000 # 4 ! 10k

b) 0,000004 # 4 ! 10k

(8 $ 5 ) cm

(8 " 5 ) cm

8 cm

8 cm

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10. Indique entre quais números inteiros consecutivos encontra-se cada uma das seguintes raízes quadradas.

a) 8

b) 80

c) 500

11. Escreva todos os números que são quadrados perfeitos entre 90 e 200.

12. A área de um quadrado é igual a 2 025 cm!. Determine:

a) a medida do lado desse quadrado;

b) o perímetro desse quadrado.

13. Qual número é maior:

a) 10" ou 210?

b) 46 ou 64?

14. Quantos cubos pequenos são necessários para formar o cubo representado na figura a seguir?

15. Nas afirmativas a seguir, escreva V, para verdadeiro, ou F, para falso.

a) ( ) O quociente entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâme-tro é um número inteiro.

b) ( ) O quociente entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâme-tro é um número racional.

c) ( ) O quociente entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâme-tro é um número irracional.

d) ( ) O quociente entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâme-tro é um número real.

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5.1. Respostas1. a) V

b) V

c) V

d) F

e) V

2. 4199

3. a) 0,08

b) 0,07777...

4. a) 8 5 cm

b) 20 cm!

5. a) 200 cm

b) 100 cm

6. a) O quadrado.

b) A diagonal do quadrado.

7. 59 cm!

8. 2"

9. a) k = 5

b) k = !6

10. a) Entre 2 e 3.

b) Entre 8 e 9.

c) Entre 22 e 23.

11. 100, 121, 144, 169 e 196.

12. a) 45 cm

b) 180 cm

13. a) 210

b) 46

14. 125

15. a) F

b) F

c) V

d) V

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