grupos abelianos bornológicos

7/23/2019 Grupos Abelianos Bornolgicos

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Grupos Abelianos Bornologicos

d. p. pombo jr.

Conteudo

Introducao 17

1 Conjuntos bornologicos 18

2 Grupos abelianos: algumas construcoes basicas 21

3 Grupos abelianos bornologicos 25

4 Uma propriedade universal da b ornologia da equilimitacao 38

5 Uma propriedade universal da bornologia da equicontinuidade 43

Referencias 48

Introducao

Como Hogbe-Nlend observou em seu artigo de divulgacao [10], varios aspectos importantes da Analise

Funcional nos quais o conceito de limitacao desempenha um papel central motivaram a introducao da

nocao de bornologia convexa em um espaco vetorial real ou complexo, que apareceu explicitamente pela

primeira vez nos artigos pioneiros [20] e [21] de Waelbroeck. A importancia das bornologias convexas na

Analise Funcional classica foi enfatizada nos livros [11], [12] e [22], embora tambem tenha sido natural

considerar a nocao de bornologia em outros contextos, como pode ser visto, por exemplo, em [1], [13],

[15], [16], [18] e [19].

O ponto de partida para o presente trabalho e a observacao de que a maioria das estruturas bor-

nologicas estudadas ate o momento satisfaz a propriedade comum de ser compatvel com uma estrutura

de grupo abeliano. Esse fato nos motivou a introduzir a no cao de grupo abeliano bornologico, onde um

grupo abeliano bornologico e simplesmente um grupo abeliano munido de uma bornologia de grupo (ou

seja, de uma bornologia compatvel com a sua estrutura de grupo). Nas secoes 3, 4 e 5 deste trabalho

discutimos as construcoes fundamentais na classe dos grupos abelianos bornologicos e as propriedades

universais satisfeitas pelos grupos abelianos bornologicos construdos, estabelecemos uma versao do teo-

rema de isomorfismo de Noether no nosso contexto e provamos a exatid ao de certas sequencias de grupos

Palavras-chave: grupos abelianos bornologicos, sequencias exatas, bornologia da equilimitacao, bornologia da equicon-

tinuidadeInstituto de Matematica, UFRJ, Caixa Postal 68530, 21945-970, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

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18 Cadernos do IME Serie Matematica Vol. 24 (impresso)/Vol. 6 (online) (2012)

abelianos bornologicos. Os pre-requisitos sobre conjuntos bornologicos e grupos abelianos sao includos,

respectivamente, nas secoes 1 e 2. Cabe tambem mencionar que varios resultados deste trabalho foraminspirados em resultados basicos de Algebra Linear [6].

1 Conjuntos bornologicos

Nesta secao nos limitaremos aos resultados sobre conjuntos bornologicos necessarios ao desenvolvimento

do presente trabalho. Uma exposicao mais completa sobre o assunto pode ser encontrada em [12] ou

[18].

Definicao 1.1. Sejam G um conjunto e Bum conjunto de partes de G. B e dita uma bornologia emG

quando as seguintes condicoes sao satisfeitas:

(a) se B1, B2 B, entaoB1 B2 B;

(b) se B1 Be B2 B1, entaoB2 B;

(c) {x} Bpara todo x G.

Os elementos deBsao ditos os limitadosdeB. Um conjunto bornologico e um par (G, B), ondeG e um

conjunto eB e uma bornologia em G. Dados dois conjuntos bornologicos (G, B) e (H, C), diz-se que uma

aplicacao u : (G, B) (H, C) e limitada seu(B) Cpara todo B B.

Definicao 1.2. SejamG um conjunto e B1, B2 duas bornologias em G. Diz-se queB1 e mais fina do

queB2 (ou queB2 e menos fina do que B1) se a aplicacao identidade

1G : (G, B1)(G, B2)

e limitada.

Exemplo 1.3. SeG e um conjunto, entao o conjunto de todas as partes finitas de G e uma bornologia

em G, dita a bornologia discreta em G, a qual e a bornologia mais fina em G. Se G e um conjunto

munido da sua bornologia discreta eH e um conjunto bornologico arbitrario, entao toda aplicacao deG

emH e limitada.

Exemplo 1.4. SeG e um conjunto, entao o conjunto de todas as partes de G e uma bornologia em G,dita a bornologia trivial emG, a qual e a bornologia menos fina emG. SeG e um conjunto bornologico

arbitrario e H e um conjunto munido de sua bornologia trivial, entao toda aplicacao de G em H e

limitada.

Exemplo 1.5. Se G e um espaco topologico de Hausdorff e B e o conjunto de todas as partes relativa-

mente compactas deG, entao (G, B) e um conjunto bornologico. Seu e uma aplicacao contnua do espaco

topologico de HausdorffG no espaco topologico de HausdorffHeB(respectivamenteC) e o conjunto de

todas as partes relativamente compactas de G(respectivamenteH), entaou : (G, B) (H, C) e limitada.


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D.P. Pombo Jr. Grupos Abelianos Bornologicos 19

Exemplo 1.6. SeGe um espaco uniforme eB e o conjunto de todas as partes precompactas deG, entao

(G, B) e um conjunto bornologico. Se u e uma aplicacao uniformemente contnua do espaco uniformeG no espaco uniforme H e B(respectivamente C) e o conjunto de todas as partes precompactas de G

(respectivamenteH), entaou : (G, B) (H, C) e limitada.

Exemplo 1.7. Sejam (G, B) e (H, C) dois conjuntos bornologicos. Diz-se que um conjunto X de

aplicacoes de G em H e equilimitado (ou, mais precisamente, B C-equilimitado) se, para todo B B,

o conjunto

X(B) =

u(x); x B, u X

C.

Entao o conjunto de todos os conjuntos equilimitados de aplicacoes de G em H e uma bornologia no

conjunto de todas as aplicacoes limitadas de (G, B) em (H, C), dita a bornologia da equilimitacao.

Exemplo 1.8. Sejam G um espaco topologico e Hum espaco uniforme. Entao o conjunto de todos os

conjuntos equicontnuos de aplicacoes de G em H e uma bornologia no conjunto de todas as aplicacoes

contnuas de Gem H, dita a bornologia da equicontinuidade.

Definicao 1.9. Sejam (G, B) um conjunto bornologico e B1 B. Diz-se que B1e umsistema fundamental

de limitados para Bse todo elemento deBesta contido em algum elemento de B1.

Proposicao 1.10. Sejam G um conjunto e B1 um conjunto de partes de G. Para que exista uma

(necessariamente unica) bornologia em G para a qualB1 seja um sistema fundamental de limitados, e

necessario e suficiente que as seguintes condicoes sejam satisfeitas:

(a)BB1

B= G;

(b) para quaisquerB1, B2 B1 existeB3 B1 tal queB1 B2 B3.

Demonstracao. Seja Buma bornologia em Gpara a qual B1 e um sistema fundamental de limitados.

Se x G e arbitrario, {x} B, e entao existe B B1 com {x} B, mostrando a validade de (a). Se

B1, B2 B1, B1 B2 B. Logo, existe B3 B1 comB1 B2 B3, mostrando a validade de (b).Reciprocamente, suponhamos que B1 satisfaca as condicoes (a) e (b) e definamosBcomo o conjunto

das partes de G contidas em algum elemento de B1. E facil ver que B e uma bornologia em G e, por

construcao, B1 e um sistema fundamental de limitados paraB.

Teorema 1.11. SejamG um conjunto,

(Gi, Bi)iI

uma famlia de conjuntos bornologicos e, para cada

i I, seja ui uma aplicacao de G em Gi. Entao existe uma unica bornologiaB em G inicial para a

famlia

(Gi, Bi), uiiI

, no seguinte sentido: para todo conjunto bornologico(H, C) e para toda aplicacao

u : HG, tem-se queu : (H, C) (G, B) e limitada se e somente seui u : (H, C) (Gi, Bi) e limitada


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para todo i I.

(H, C) u(G, B)

ui u ui

(Gi, Bi)

Demonstracao. E facil ver que

B= {B G; ui(B) Bi para todo i I}

e uma bornologia em G. E, pela definicao deB, ui : (G, B) (Gi, Bi) e limitada para todo i I. Sejam

(H, C) e u como no enunciado. E claro que, se u : (H, C) (G, B) e limitada, entao ui u : (H, C)

(Gi, Bi) e limitada para todoi I. Reciprocamente, admitamos que cadauiuseja limitada e sejaC C

arbitrario. Logo,u(C) B, poisui

u(C)

= (ui u)(C) Bi para todoi I; assim, u : (H, C) (G, B)

e limitada. Portanto, a existencia esta provada.

Finalmente, para mostrar a unicidade, seja B uma bornologia em G tal que ui : (G, B) (Gi, Bi)

e limitada para todo i I. Entao 1G : (G, B) (G, B) e limitada, ja que ui 1G : (G, B

) (Gi, Bi) e

limitada para todo i I. Consequentemente, B e a bornologia menos fina em G que torna todas as ui

limitadas, e a unicidade esta estabelecida.

Observacao 1.12. Nas condicoes do Teorema 1.11, se Bi e a bornologia trivial em Gi para todo i I,

entaoB e a bornologia trivial em G.

Definicao 1.13. Sejam (G, B) um conjunto bornologico e KG. A bornologia induzida por Bem K,

denotada porBK, e a bornologia inicial para o par

(G, B), u

, ondeu designa a inclusao de K emG.

Definicao 1.14. Sejam G um conjunto e (Bi)iI uma famlia de bornologias em G. A bornologia

intersecao da famlia (Bi)iI, denotada poriI

Bi, e a bornologia inicial para a famlia

(G, Bi), uiiI

,

ondeui= 1G para todo i I.

E claro que B iI

Bi se e somente se B Bi para todo i I.

Definicao 1.15. Sejam (Gi, Bi)iI uma famlia de conjuntos bornologicos, G o conjunto produtoiI

Gi e, para cada i I, seja pri a projecao de G em Gi. A bornologia produto em G, denotada poriI

Bi, e a bornologia inicial para a famlia

(Gi, Bi), priiI

.

Observacao 1.16. E facil ver que todos os conjuntos da formaiI

Bi(Bi Bi)

constituem um sistema fundamental de limitados para a bornologiaiI

Bi.


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Proposicao 1.17. Sejam(G, B) um conjunto bornologico, Hum conjunto eu : G H uma aplicacao

sobrejetora. EntaoC=

u(B); B B

e uma bornologia emH.

Demonstracao. E claro que Csatisfaz as condicoes (a) e (c) da Definicao 1.1. Finalmente, se B B

e T u(B), entao T = u

u1(T) B

, sendo que u1(T) B B, pois u1(T) B B. Portanto,

T C, e a condicao (b) da Definicao 1.1 tambem se verifica.

Definicao 1.18. Nas condicoes da Proposicao 1.17, C e dita a bornologia imagem direta deBpor u e e

denotada poru(B).

Exemplo 1.19. SejamG um conjunto,B1 (respectivamenteB2) a bornologia discreta (respectivamente

trivial) em G e H e u como na Proposicao 1.17. Entao a bornologia u(B1) (respectivamente u(B2)) e a

bornologia discreta (respectivamente trivial) em H.

2 Grupos abelianos: algumas construcoes basicas

Esta secao e dedicada, essencialmente, aos conceitos de limite projetivo e limite indutivo no contexto dos

grupos abelianos. Nossas principais referencias foram [6] e [14].

Todos os grupos considerados neste trabalho serao supostos abelianos e denotados aditivamente; oelemento neutro de qualquer grupo sera denotado por0. Para qualquer homomorfismo de gruposu, seu

nucleo sera representado porKer(u) e sua imagem porIm(u).

Lembremos que, para quaisquer grupos G e H, o conjunto Hom(G; H) de todos os homomorfismos

de grupos de G em H e um grupo abeliano.

Definicao 2.1. Sejam (Gi)iIuma famlia de grupos e G o conjunto produtoiI

Gi. Entao a aplicacao

(xi)iI, (yi)iI

G G(xi+ yi)iIG

tornaG um grupo abeliano, dito o grupo produto da famlia (Gi)I.Para cada i I, a projecao pri : G Gi e um homomorfismo de grupos.

Observacao 2.2. Nas condicoes da Definicao 2.1, a seguinte propriedade universal se verifica: para todo

grupo H, a aplicacao

u Hom

H;iI

Gi

(pri u)iI

iI

Hom

H; Gi

e um isomorfismo de grupos.


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Definicao 2.3. Seja (I, ) um conjunto parcialmente ordenado. Diz-se que

Gi, uijiI

e um sistema

projetivo de grupos se Gi e um grupo para todo i I, uij e um homomorfismo de grupos de Gj em Gi

parai, j I comi j ,uii = 1Gi para todo i Ieuij ujk =uik para i, j, k Icomi j k. SejaG

o grupo produto da famlia (Gi)iI. Entao

lim

Gi =

x G; (uij prj)(x) = pri(x) parai, j I comi j

e um subgrupo de G, dito o limite projetivo do sistema

Gi, uijiI

. Para cadai I, sejaui a restricao

de pri a limGi; ui : lim

Gi Gi e dito o homomorfismo de grupos canonico. Assim, parai, j I com

i j , o diagrama

lim

Gi

uj ui

Gj uij

Gi

e comutativo.

Observacao 2.4. Seja (Gi)iIuma famlia de grupos. Munamos Ida relacao de igualdade e definamos

uii = 1Gi para todo i I. Entao

Gi, uiiiI

e um sistema projetivo de grupos e lim

Gi =iI

Gi.

Exemplo 2.5. Consideremos o grupo aditivo Z dos numeros inteiros. Para cada inteirom 1 definamos

Gm = Z e, para quaisquer inteiros 1 m n, definamos umn : x Gn 3nmx Gm. EntaoGm, umn

m1

e um sistema projetivo de grupos e, portanto, podemos considerar o grupo lim

Gm.

Proposicao 2.6. Seja

Gi, uijiI

como na Definicao 2.3. Entao a seguinte propriedade universal e

valida: para todo grupoHe para toda famlia(i)iI tal quei e um homomorfismo de grupos deH em

Gi parai I euij j =i parai j, existe um unico homomorfismo de gruposu deH emlimGi tal

queui u= i para todo i I, ondeui e o homomorfismo de grupos canonico.

Gjuij

Gi

j i

H

H ulim

Gi

i ui

Gi

Demonstracao. Para cada y H, ponhamos u(y) =

i(y)iI

iI

Gi. Como, por hipotese,

uij j =i para i j , u(y) limGi para todo y H. Logo, u e um homomorfismo de grupos de H

em lim

Gi tal que ui u= i para todo i I, provando assim a existencia. Finalmente, a unicidade e

clara.

Corolario 2.7. Sejam

Gi, uijiI

e

Hi, vijiI

dois sistemas projetivos de grupos e, para cada i I,


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sejai um homomorfismo de grupos deGi emHi de modo que, parai j, o diagrama

Gjj

Hj

uij vij

Gii

Hi

e comutativo. Entao existe um unico homomorfismo de gruposu delim

Gi emlimHi de modo que, para

todo i I, o diagrama

lim

Giu

lim

Hi

ui vi

Gi i Hi

e comutativo, ondeui evi sao os homomorfismos de grupos canonicos.

Demonstracao. Para cada i I, ponhamos i = i ui . Como, para i j ,

vij j =vij (j uj) = (vij j) uj = (i uij) uj

=i (uij uj) =i ui = i ,

segue da Proposicao 2.6 que existe um unico homomorfismo de grupos u de lim

Gi em limHi tal que

vi u= i= i ui para todo i I. Assim, a demonstracao esta concluda.

Definicao 2.8. Seja (Gi)iI uma famlia de grupos. Seja G o grupo produtoiI

Gi e, para cada i I,

seja pri a projecao de G em Gi. Entao o conjuntoiI

Gi = {x G; pri(x) = 0 exceto para um numero finito de ndices}

e um subgrupo de G, dito a soma diretada famlia (Gi)iI. Para cada i I, a injecao canonica de Gi

emiI

Gi e o homomorfismo de gruposui : xi Gi(yj)jIiI

Gi, onde yj = 0 se j =i e yi= xi.

No caso em que I e finito, tem-seiI

Gi=iI

Gi.

Observacao 2.9. Nas condicoes da Definicao 2.8, a seguinte propriedade universal se verifica: para todo

grupo H, a aplicacao

u Hom

iI

Gi; H

u ui

iI

iI

Hom

Gi; H


Definicao 2.10. Seja (I, ) um conjunto parcialmente ordenado. Diz-se que

Gi, ujiiI

e um sistema

indutivo de grupos se Gi e um grupo para todo i I, uji e um homomorfismo de grupos de Gi em Gj

parai, j I comi j , uii = 1Gi para todo i I eukj uji = uki para i, j, k I comi j k.


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Gi, ujiiI

um sistema indutivo de grupos. SejamG=

iIGi eNo subgrupo

deG formado por todas as somas finitas de elementos da forma uj uji(xi) ui(xi), ondeui : Gi Ge a injecao canonica, xi Gi e i j. Seja : G G/N a sobrejecao canonica e, para cada i I,

seja vi = ui o homomorfismo de grupos canonico (por construcao, vj uji = vi para i j ). Entao

vale a seguinte propriedade universal: para todo grupo H e para toda famlia (i)iI tal que i e um

homomorfismo de grupos deGi emHparai Iejuji = i parai j, existe um unico homomorfismo

de gruposu deG/N emH tal queu vi= i para todo i I.

Giuji

Gj

i j

H

G/N uH

vi i

Gi

Demonstracao. Pela Observacao 2.9, existe um unico homomorfismo de grupos w : G H tal que

w ui = i para todo i I. Notemos ainda que, para xi Gi e i j arbitrarios, tem-se w

(uj

uji)(xi) ui(xi)

= (w uj)

uji(xi)

(w ui)(xi) =

j uji

(xi) i(xi) = i(xi) i(xi) = 0,

mostrando que N Ker(w). Logo, pelo teorema do isomorfismo, existe um unico homomorfismo de

grupos (injetor)u : G/N H tal que u = w . Finalmente, para i I e xi Gi arbitrarios, tem-se

(u vi)(xi) = (u ui)(xi) = (w ui)(xi) =i(xi). Portanto, a existencia esta provada.

Finalmente provemos a unicidade. Com efeito, seja

u : G/N Hum homomorfismo de grupos tal

queu vi= i para todo i I. Para y G arbitrario, existe um subconjunto finitoJ deIe, para cadai J, existe xi Gi de modo que y=iJ

ui(xi). Logo,

(u )(y) = iJ

u( ui)(xi) = iJ

(u vi)(xi) = iJ

i(xi)

=iJ

(w ui)(xi) =w

iJ

ui(xi)

=w(y).

Consequentemente,u= u, e a unicidade esta provada.Definicao 2.12. Nas condicoes da Proposicao 2.11, o grupo G/N e dito o limite indutivo do sistemaGi, ujiiIe denotado por lim Gi.Observacao 2.13. Seja (Gi)iIuma famlia de grupos. Munamos Ida relacao de igualdade e definamos

uii = 1Gi para todo i I. Entao

Gi, uiiiI

e um sistema indutivo de grupos e lim

Gi=iI

Gi.

Exemplo 2.14. SejaG um grupo e seja (Gi)iI a famlia de todos os subgrupos finitamente gerados

de G. Definamos a seguinte relacao de ordem parcial em I: para i, j I, i j se Gi Gj. Para

i j , sejauji a inclusao deGi emGj. Entao

Gi, ujiiI

e um sistema indutivo de grupos e, portanto,

podemos considerar lim

Gi.


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Gi, ujiiI

e

Hi, vjiiI

dois sistemas indutivos de grupos e, para cadai I,

sejai um homomorfismo de grupos deGi emHi de modo que, parai j, o diagrama

Gii

Hi

uji vji

Gj j

Hj

e comutativo. Entao existe um unico homomorfismo de gruposu delim

Gi emlimHi de modo que, para

todo i I, o diagrama

lim

Giu

lim

Hi

vi wi

Gi i

Hi

e comutativo, ondevi ewi sao os homomorfismos de grupos canonicos.

Demonstracao. Basta argumentar como na demonstracao do Corolario 2.7, aplicando a Proposicao

2.11 em lugar da Proposicao 2.6.

3 Grupos abelianos bornologicos

Nesta secao, cujo embriao foi [17], consideraremos uma nocao ja implcita na Definicao 2.1 da pagina 45

de [22].

Definicao 3.1. Uma bornologia Bem um grupo G e dita uma bornologia de grupo, e (G, B) e dito um

grupo bornologico, se a aplicacao

(x, y) (G G, B B)x y (G, B)

e limitada.

E claro que uma bornologia Bem um grupoG e uma bornologia de grupo se e somente se as aplicacoes

(x, y) (G G, B B)x + y (G, B) e x (G, B) x (G, B) sao limitadas.

Exemplo 3.2. Se G e um grupo, a bornologia discreta emG e uma bornologia de grupo.

Exemplo 3.3. Se G e um grupo, a bornologia trivial emG e uma bornologia de grupo.

Exemplo 3.4. Sejam G um grupo e || || uma seminorma em G ([23], Definicao 6.7). Consideremos

o conjunto B formado pelos subconjuntos B de G satisfazendo a seguinte propriedade: B Bse existe

M >0 tal que ||x|| Mpara todo x B . Entao (G, B) e um grupo bornologico.


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Exemplo 3.5. SeG e um grupo topologico de Hausdorff, entao a bornologia em G formada pelas partes

relativamente compactas de G (Exemplo 1.5) e uma bornologia de grupo emG.

Exemplo 3.6. Sejam (G, B) e (H, C) dois grupos bornologicos e Homb

(G, B); (H, C)

o grupo abeliano

de todos os homomorfismos de grupos limitados de (G, B) em (H, C) (se u Homb

(G, B); (H, C)

, seu

simetrico u Homb

(G, B); (H, C)

e dado por (u)(x) = (u(x)) para x G). Entao a bornologia

ECB induzida pela bornologia da equilimitacao (Exemplo 1.7) em Homb

(G, B); (H, C)

e uma bornologia

de grupo. De fato, para quaisquer X1, X2 ECB e B B, tem-se

(X1 X2)(B) X1(B) X2(B),

e da resulta que (X1 X2)(B) C. Logo, X1 X2 EC

B.

Exemplo 3.7. Sejam (G, ) e (H, ) dois grupos topologicos e Homc

(G, ); (H, )

o grupo abeliano

de todos os homomorfismos de grupos contnuos de (G, ) em (H, ) (se u Homc

(G, ); (H, )

, seu

simetrico u Homc(G, ); (H, )

e dado exatamente como no Exemplo 3.6). Entao a bornologia E

induzida pela bornologia da equicontinuidade (Exemplo 1.8) em Homc

(G, ); (H, )

e uma bornologia

de grupo. De fato, sejam X1, X2 E arbitrarios e seja V uma -vizinhanca arbitraria de 0 em H.

Tomemos uma-vizinhancaV1 de 0 em Htal queV1 V1 V e uma-vizinhancaUde 0 em G tal que

X1(U) V1 e X2(U) V1. Entao

(X1 X2)(U) X1(U) X2(U) V1 V1 V ,

provando a equicontinuidade de X1 X2 em 0. Logo, X1 X2 Epela Proposicao 5, p. 28 de [4].

Exemplo 3.8. SejamR um anel topologico com elemento unidade e (E, B) um R-modulo bornologico

[16], onde E e um R-modulo a esquerda unitario. Se (E, +) e o grupo aditivo sub jacente a E, entao(E, +), B

e um grupo bornologico. Em particular, se (E, ) e um R-modulo topologico a esquerda

unitario, entao

(E, +), B()

e um grupo bornologico, onde B() denota a bornologia de R-modulo

formada por todos os subconjuntos -limitados deE ([23], Definicao 15.1).

Exemplo 3.9. SejaR como no Exemplo 3.8, comR linearmente topologizado ([9], (7.1.1)), e seja (E, B)um R-modulo linearmente bornologizado [15]. Para quaisquerB1, B2 B, tem-se B1+ B2 [B1 B2]

e RB1 [B1]; assim, B1+ B2, RB1 Bpela Proposicao 1 de [15]. Portanto, (E, B) e um R-modulo

bornologico, e entao

(E, +), B

e um grupo bornologico pelo Exemplo 3.8.

Exemplo 3.10. Seja Kum corpo nao trivialmente valorizado. Se (E, B) e um espaco vetorial bornologico

sobreK ([18], p.43, Definicao 1), entao

(E, +), B

e um grupo bornologico em virtude do Exemplo 3.8.

Em particular, se K e um corpo ultrametrico nao trivialmente valorizado e (E, B) e um espaco vetorial

bornologicoK-convexo [1], entao

(E, +), B

e um grupo bornologico.


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Exemplo 3.11. Se (E, B) e um espaco vetorial bornologico convexo sobre Rou C ([12], p.19 e Exerccio

2.E.1), entao (E, +), B e um grupo bornologico pelo Exemplo 3.8.Teorema 3.12. Sejam

(Gi, Bi)

iI

uma famlia de grupos bornologicos, G um grupo e, para cadai I,

sejaui : G Gi um homomorfismo de grupos. SeB e a bornologia inicial para a famlia

(Gi, Bi), uiiI

(Teorema 1.11), entao (G, B) e um grupo bornologico.

Demonstracao. Sejam B1, B2 Barbitrarios. Como

ui(B1 B2) =ui(B1) ui(B2) Bi

para todo i I, entao B1 B2 B. Portanto, (G, B) e um grupo bornologico.

Corolario 3.13. Se(G, B) e um grupo bornologico eK e um subgrupo deG, entao(K, BK) e um grupo

bornologico.

Demonstracao. Imediata a partir do Teorema 3.12.

Corolario 3.14. Se(Bi)iI e uma famlia de bornologias de grupo em um grupo G, entao

G,iI

Bi



Corolario 3.15. Se (Gi, Bi)iI e uma famlia de grupos bornologicos, entao iIGi, iIBi e umgrupo bornologico.


Observacao 3.16. Nas condicoes do Corolario 3.15, a seguinte propriedade universal se verifica: para

todo grupo bornologico (H, C), a aplicacao

u Homb

(H, C);

iI

Gi,iI

Bi

pri uiI

iI

Homb

(H, C); (Gi, Bi)

e um isomorfismo de grupos, onde pri e a projecao de G emGi.

Proposicao 3.17. Sejam

(Gi, Bi)iI

e

(Hi, Ci)iI

duas famlias de grupos bornologicos. Para cada

i I seja ui : Gi Hi um homomorfismo de grupos e sejaiI

ui :iI

Gi iI

Hi o homomorfismo

de grupos dado poriI

ui

(xi)iI

=

ui(xi)iI

. Ent ao Ker

iI

ui

=iI

Ker(ui) e Im

iI

ui

=

iI

Im(ui). Alem disso,

iI

ui Homb

iI

Gi,iI

Bi

;

iI

Hi,iI

Ci


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se e somente seui Homb(Gi, Bi); (Hi, Ci)

para todo i I.

Demonstracao. As igualdades KeriI

ui =

iI

Ker(ui) e ImiI

ui =

iI

Im(ui) sao obvias.

Para cadaj Iseja prj a projecao deiI

Hiem Hj e sejawj: Gj iI

Gio homomorfismo de grupos

dado porwj(xj) = (ti)iI, ondeti= 0 sei=j e tj =xj. Comowj Homb

(Gj , Bj);

iI

Gi,iI

Bi

,

prj Homb

iI

Hi,iI

Ci

; (Hj , Cj)

e uj = prj

iI

ui

wj, a limitacao de

iI

ui implica a de

uj. iI

Gi,iI

Bi

iI

ui

iI

Hi,iI

Ci

wj prj

(Gj , Bj) uj

(Hj , Cj)

Reciprocamente, admitamos queui Homb

(Gi, Bi); (Hi, Ci)

para todo i I. Como

iI

ui

iI

Bi

=iI

ui(Bi),

ondeBi Bi para i I, segue que

iIui HombiIGi,iIBi ;iIHi,iICi(lembrar a Observacao 1.16). Assim, a demonstracao esta concluda.


(Gi, Bi)iI

,

(Hi, Ci)iI

e

(Li, Di)iI

tres famlias de grupos bornologicos

e, para cadai I, sejamui : Gi Hi evi : Hi Li homomorfismos de grupos. Para queiI

Gi,iI

Bi

iI

ui

iI

Hi,iI

Ci

iI

vi

iI

Li,iI

Di

seja uma sequencia exata de homomorfismos de grupos limitados, e necessario e suficiente que

(Gi, Bi) ui(Hi, Ci)

vi(Li, Di)

seja uma sequencia exata de homomorfismos de grupos limitados para todoi I.

Demonstracao. Imediata a partir da Proposicao 3.17.

Nas Proposicoes 3.19, 3.20, 3.21 e 3.36, a seguir, o grupo reduzido ao elemento neutro munido da sua

unica bornologia (de grupo) sera representado por 0.

Proposicao 3.19. Sejam(G, B) um grupo bornologico eK, M dois subgrupos deG. Entao

0

K M, BKM u

K M, BK BM v

K+ M, BK+M

0


13/34


e uma sequencia exata de homomorfismos de grupos limitados, ondeu e o homomorfismo de grupos dado

poru(x) = (x, x) ev e o homomorfismo de grupos dado porv(x, y) =x y.

Demonstracao. E facil ver queu e injetor, Im(u) = Ker(v) ev e sobrejetor. SeB BKM e arbitrario,

B BK e B BM , e entao u(B) BK BM (pois u(B) B B); portanto, u Homb

(K

M, BKM

;

K M, BK BM

. E, se B1 BK e B2 BM sao arbitrarios,B1 B2 Be B1 B2

K+M, e entao v(B1B2) =B1B2 BK+M; portanto,v Homb

(KM, BKBM); (K+M, BK+M)

.

E facil ver que se (G, B) e um grupo bornologico, H e um grupo e u : G H e um homomorfismo

de grupos sobrejetor, entao (H, u(B)) e um grupo bornologico. Em particular, seK e um subgrupo de

Ge : G G/K e a sobrejecao canonica, entao

G/K,(B)


Proposicao 3.20. Sejam(G, B) um grupo bornologico eK, M dois subgrupos deG. Entao

0

G/(K M), C

u

G/K G/M, C C

v

G/(K+ M), C

0

e uma sequencia exata de homomorfismos de grupos limitados, ondeu e o homomorfismo de grupos dado

poru

x+(KM)

= (x+K, x+M),v e o homomorfismo de grupos dado porv(x+K, y+M) = (xy)+

(K+ M), C= (B) (respectivamenteC = (B), C =(B), C = (B)), sendo : G G/(K M)

(respectivamente : G G/K, : G G/M, :G G/(K+ M)) a sobrejecao canonica.

Demonstracao. E facil ver que u e injetor, Im(u) = Ker(v) e v e sobrejetor. Se B B e arbitrario,

u((B)) (B) (B), e da resulta que u Homb(G/(KM), C); (G/K G/M, C C). E,se B1, B2 Bsao arbitrarios, v

(B1)

(B2)

= (B1 B2); logo, vHomb

(G/K G/M, C

C); (G/(K+ M), C)

.

Proposicao 3.21. Sejam (G, B) um grupo bornologico, (Mi)iI uma famlia de subgrupos de G e

M=iI

Mi. Para cadai I sejamvi : G G/Mi a sobrejecao canonica eBi= vi(B). Entao

0 (M, BM) u(G, B)

v

iI

(G/Mi),iI

Bi

0

e uma sequencia exata de homomorfismos de grupos limitados, onde u e a inclusao de M em G e

v(x) = vi(x)iI.Demonstracao. E claro que u e injetor, Im(u) = Ker(v) e v e sobrejetor. Finalmente, v e limitada,

pois cada vi : (G, B) (G/Mi, Bi) e limitada ev (B)iI

vi(B) para todo B B.

Definicao 3.22. Seja

(Gi, Bi), uijiI

um sistema projetivo de grupos bornologicos (isto significa que

I e um conjunto munido de uma relacao de ordem parcial, (Gi, Bi) e um grupo bornologico para todo

i I, uij Homb((Gj , Bj); (Gi, Bi)) para i, j I com i j , uii = 1Gi para todo i I euij ujk =uik

para i,j,k I com i j k. Para cada i I seja ui : limGi Gi o homomorfismo de grupos


14/34


canonico (Definicao 2.3). SeB e a bornologia inicial para a famlia

(Gi, Bi), uiiI

,

lim

Gi, B e um

grupo bornologico pelo Teorema 3.12, dito o limite projetivo bornologico do sistema (Gi, Bi), uijiI.E facil ver que Bcoincide com a bornologia induzida por

iI

Bi em limGi.

Observacao 3.23. Seja

(Gi, Bi)iI

uma famlia de grupos bornologicos. Consideremos I munido de

sua relacao de igualdade e ponhamos uii = 1Gi para todo i I. Entao

(Gi, Bi), uiiiI

e um sistema

projetivo de grupos bornologicos cujo limite projetivo bornologico coincide com

iI

Gi,iI

Bi

.

Proposicao 3.24. Nas condicoes da Definicao 3.22,

lim

Gi, B

satisfaz a seguinte propriedade uni-

versal: para todo grupo bornologico (H, C) e para toda famlia(i)iI (ondei Homb((H, C); (Gi, Bi))

para todo i I) tal queuij j =i para i j , existe um unico u Homb(H, C); lim Gi, B) tal queui u= i para todo i I.

(Gj , Bj) uij(Gi, Bi)

j i

(H, C)

(H, C) u

lim

Gi, B

i ui

(Gi, Bi)

Demonstracao. Pela Proposicao 2.6, existe um unico homomorfismo de gruposu : Hlim

Gi tal que

ui u = i para todo i I. Assim,ui uHomb((H, C); (Gi, Bi)) para todo i I, e o Teorema 1.11

garante que u Homb

(H, C);

lim

Gi, B

.


(Gi, Bi), uijiI

e

(Hi, Ci), vijiI

dois sistemas projetivos de grupos bor-

nologicos e sejam

lim

Gi, B

e

lim

Hi, C

os correspondentes limites projetivos bornologicos. Para

cadai I sejai Homb((Gi, Bi); (Hi, Ci)) tal quevij j =i uij parai j. Entao existe um unico

u Homb

lim

Gi, B

;

lim

Hi, C

tal que vi u = i ui para todo i I, onde ui : limGi Gi e

vi : limHi Hi sao os homomorfismos de grupos canonicos.

(Gj , Bj) j(Hj , Cj)

uij vij

(Gi, Bi)i

(Hi, Ci)

(lim

Gi, B) u(lim

Hi, C)

ui vi

(Gi, Bi) i

(Hi, Ci)

Demonstracao. Para cada i I ponhamos

i= i ui Homb

lim

Gi, B

; (Hi, Ci)

.

Como

vij j = (vij j) uj = (i uij) uj =i (uij uj) =i ui= i

para i j , a Proposicao 3.24 garante a existencia de um unicou Homb

lim

Gi, B);

lim

Hi, C

tal

quevi u= i para todo i I, concluindo assim a demonstracao.


15/34


O proximo resultado e uma versao do teorema do isomorfismo para grupos bornologicos. Antes de

enuncia-lo mencionemos que uma aplicacao entre dois grupos bornologicos e um isomorfismo de gruposbornologicos quando e um isomorfismo de grupos limitado cuja inversa e limitada, e que dois grupos

bornologicos sao isomorfos quando ha um isomorfismo de grupos bornologicos entre eles.

Teorema 3.26. Sejam (G, B) e (H, C) dois grupos bornologicos e u Homb((G, B); (H, C)), com u

sobrejetor. Para que exista um (necessariamente unico) isomorfismou : G/Ker(u), D (H, C) degrupos bornologicos tal que u =u , onde : G G/Ker(u) e a sobrejecao canonica eD = (B), enecessario e suficiente que para cadaC C existaB B tal queu1(C) B + Ker(u).

(G, B) u(H, C)

u(G/Ker(u), D)

Demonstracao. Estabelecamos a necessidade da condicao. Com efeito, sejaC Carbitrario. Como,

por hipotese, (u)1(C) D, existe B B tal que (u)1(C) = (B), e da resulta que u1(C) =B+ Ker(u).

Estabelecamos, agora, a suficiencia da condicao. Primeiramente, vejamos que u(B) =C. E claro que

u(B) e mais fina do que C, pois u : (G, B) (H, C) e limitada. Por outro lado, se C C e arbitrario,

existe B B tal que u1(C) B + Ker(u). Consequentemente, C = u(u1(C)) u(B), e C u(B).

Logo,C e mais fina do que u(B), eu(B) =C. Sejau : G/Ker(u) H o unico isomorfismo de grupos talque u =u . Entaou : (G/Ker(u), D) (H, C) e um isomorfismo de grupos bornologicos. De fato,u e limitada, poisu((B)) = u(B) Cpara qualquer B B. E (u)1 e limitada, pois u(B) = C e(u)1(u(B)) =(B) D para qualquer B B.

Isto conclui a demonstracao do teorema.

Corolario 3.27. Seja

(Gi, Bi)iI

uma famlia de grupos bornologicos. Para cadai I, sejamMi um

subgrupo deGi, ui : Gi Gi/Mi a sobrejecao canonica eCi= ui(Bi). Entao os grupos bornologicos

iI(Gi/Mi),iICi e iIGiiIMi , Csao isomorfos, sendo

iI

Gi munido da bornologia produtoiI

Bi e C a imagem direta deiI

Bi pela

sobrejecao canonica deiI

Gi em

iI

Gi

iI

Mi

.

Demonstracao. Pela Proposicao 3.17, Ker

iI

ui

=iI

Ker(ui) =iI

Mi, Im

iI

ui

=iI

Im(ui) =iI

(Gi/Mi) (logo,iI

ui e sobrejetor) eiI

ui Homb

iI

Gi,iI

Bi

;

iI

(Gi/Mi),iI

Ci

. Alem


16/34


disso, parai I e Bi Bi arbitrarios, tem-seiI

ui

1iI

ui(Bi)

=iI

u1i (ui(Bi)) =iI

Bi+iI

Mi=

=iI

Bi+ Ker

iI

ui

.

Portanto, o resultado segue imediatamente do Teorema 3.26.

Corolario 3.28. Sejam (G, B) um grupo bornologico eM N dois subgrupos deG. Sejau : G/M

G/No homomorfismo de grupos sobrejetor dado poru(x+M) =x +N, cujo nucleo eN/M, e sejam

: G G/M e

: G G/N as sobrejecoes canonicas. SejamC = (B), C

=

(B) eD a imagemdireta deCpela sobrejecao canonica deG/M em(G/M)/(N/M). Entao os grupos bornologicos

(G/M)/(N/M), D

e (G/N, C)

sao isomorfos.

Demonstracao. Primeiramente,u Homb

(G/M, C); (G/N, C)

, poisu((B)) = (B) para todoB

B. Se C C e arbitrario, existe B Btal que C = (B). Afirmamos que u1(C) =(B) + Ker(u).

Realmente, se x +M u1(C), x+N =u(x+M) = (b) =b +Npara algum b B , e entao existe

y N tal que x = b +y. Logo, x+M = (x) = (b) + (y), onde (y) N/M= Ker(u), mostrando

que u1(C) (B) + Ker(u). Analogamente,(B) + Ker(u) u1(C). Portanto, o resultado segue

imediatamente do Teorema 3.26.

Teorema 3.29. Sejam

(Gi, Bi)iI

uma famlia de grupos bornologicos, G um grupo e, para cada

i I, seja ui : Gi G um homomorfismo de grupos. Ent ao existe uma unica bornologia de grupo

B em G que e final para a famlia

(Gi, Bi), uiiI

, no seguinte sentido: para todo grupo bornol ogico

(H, C) e para todo homomorfismo de grupos u : G H, u Homb((G, B); (H, C)) se e somente se

u ui Homb((Gi, Bi); (H, C)) para todo i I.

(G, B) u(H, C)

ui u ui

(Gi, Bi)

Demonstracao. Seja B1o conjunto de todos os subconjuntos de G da forma T+ui1(Bi1)+ +uim(Bim),

onde T e um subconjunto finito de G, m N, i1, . . . , im I, Bi1 Bi1 , . . . , Bim Bim . Claramente,BB1

B= G. E, para quaisquer dois elementos

B1= T1+ ui1(Bi1) + + uim(Bim) eB2= T2+ uj1(Cj1) + + ujn(Cjn)


17/34


deB1, tem-se

B1 B2 (T1 T2) + ui1(Bi1 {0}) + + uim(Bim {0})

+ uj1(Cj1 {0}) + + ujn(Cjn {0}).

Logo, pela Proposicao 1.10, existe uma (unica) bornologia Bem G para a qual B1 e um sistema funda-

mental de limitados. Alem disso, B e uma bornologia de grupo em G, pois

B1 B2= (T1 T2) + ui1(Bi1) + + uim(Bim) + uj1(Cj1) + + ujn(Cjn) B1 .

Por construcao,ui Homb((Gi, Bi); (G, B)) para todoi I. Sejam (H, C) eu como no enunciado do

teorema. Entaou ui Homb((Gi, Bi); (H, C)) para todo i I seu Homb((G, B); (H, C)). Reciproca-

mente, se cada u ui e limitada, entao u(B) Cpara todo B B1; logo, u Homb((G, B); (H, C)).

Finalmente, provemos a unicidade. Com efeito, sejaB uma bornologia de grupo em G tal queui : (Gi, Bi) (G,B) e limitada para todo i I. Entao 1G : (G, B) (G, B) e limitada, em vista dapropriedade satisfeita por B. Assim, B e a bornologia de grupo mais fina que torna cada ui limitada,

provando a unicidade.

Isto conclui a demonstracao do teorema.

Observacao 3.30. (a) Se cada Bi e a bornologia discreta em Gi, B e a bornologia discreta emG.

(b) SeG = iIIm(ui), todos os conjuntos da forma ui1(Bi1) + + uim(Bim) constituem um sistemafundamental de limitados para B.Observacao 3.31. Se (G, B) e um grupo bornologico,H e um grupo eu : G H e um homomorfismo

de grupos sobrejetor, entao u(B) coincide com a bornologia de grupo final para o par ((G, B), u). Em

particular, se K e um subgrupo de G e : G G/K e a sobrejecao canonica, entao (B) coincide com

a bornologia de grupo final para o par ((G, B), ).


(Gi, Bi)iI

uma famlia de grupos bornologicos. SejaG o grupoiI

Gi e, para

cada i I, seja ui : Gi G a injecao canonica. Se

iIBi e a bornologia de grupo final para a famlia

(Gi, Bi), ui

iI

,

G,iI

Bi

e dita a soma direta bornologica da famlia

(Gi, Bi)iI

.

Observacao 3.33. Nas condicoes da Definicao 3.32, a seguinte propriedade universal se verifica: para

todo grupo bornologico (H, C), a aplicacao

u Homb

iI

Gi,iI

Bi

; (H, C)

(ui u)iI

iI

Homb((Gi, Bi); (H, C))



18/34


Observacao 3.34. Se (Gi, Bi)iI e uma famlia finita de grupos bornologicos, iIGi, iIBi =iI

Gi,iI

Bi

.

Proposicao 3.35. Sejam(G, B), (Mi)iI, M, (vi)iI, (Bi)iI ev como naProposicao 3.21, e suponha

que existaj Ital queMj B. Entao os grupos bornologicos(G/M, D) e(H, C) sao isomorfos, ondeD

e a imagem direta deBpela sobrejecao canonica deG emG/M, H= Im(v) eC e a bornologia induzida

poriI

Bi emH.

Demonstracao. Consideremos v como uma aplicacao de G em H; entao v e um homomorfismo de

grupos sobrejetor e a Proposicao 3.21 assegura que Ker(v) =Mev Homb((G, B); (H, C)). Agora, para

uma famlia arbitraria (Bi)iIde elementos de B, tem-se

v1

H

iI

vi(Bi)

=iI

(Bi+ Mi) Bj+ Mj,

sendo Bj +Mj um elemento de B. Consequentemente, v1(C) B para todo C C. Portanto, pelo

Teorema 3.26, (G/M, D) e (H, C) sao isomorfos.

Proposicao 3.36. Sejam (G, B) um grupo bornologico, (Mi)iIuma famlia de subgrupos deG eM o

subgrupo deG gerado poriI

Mi. Para cadai I sejaui a inclusao deMi emG, e sejau :iI

Mi G

o homomorfismo de grupos dado poru

(xi)iI

=

iIui(xi). Entao

iI

Mi,iI

BMi

u(G, B)

v(G/M, C) 0

e uma sequencia exata de homomorfismos de grupos limitados, ondev e a sobrejecao canonica deG em

G/M eC= v(B).

Demonstracao. E conhecido ([6], A II.16) que Im(u) = Ker(v). Como v Homb((G, B); (G/M, C)),

resta mostrar que uHomb

iI

Mi,iI

BMi

; (G, B)

. De fato, sejamj I arbitrario e j: Mj

iI

Mi a injecao canonica. Comouj Homb((Mj , BMj ); (G, B)) e u j =uj, a limitacao de u resulta

da arbitrariedade de j em vista do Teorema 3.29.iI

Mi,iI

BMi

u (G, B)

j uj

(Mj , BMj )


(Gi, Bi)iI

e

(Hi, Ci)iI

duas famlias de grupos bornologicos. Para cada

i I seja ui : Gi Hi um homomorfismo de grupos e sejaiI

ui a restricao deiI

ui aiI

Gi.


19/34


Entao iIui e um homomorfismo de grupos de iIGi em iIHi tal que KeriIui =iIKer(ui) eImiI

ui

=iI

Im(ui). Alem disso,

iI

ui Homb

iI

Gi,iI

Bi

;

iI

Hi,iI

Ci

se e somente seui Homb((Gi, Bi); (Hi, Ci)) para todo i I.

Demonstracao. E conhecido ([6], A II.14) queiI

ui e um homomorfismo de grupos deiI

Gi em

iIHi satisfazendo as duas propriedades mencionadas. Para cada j I, sejam j: Gj iIGi ej: Hj

iI

Hi as injecoes canonicas.

Suponhamos queiI

ui Homb

iI

Gi,iI

Bi

;

iI

Hi,iI

Ci

e seja j I arbitrario. Afirma-

mos que wj, a restricao aiI

Hida projecao deiI

Hiem Hj, pertence a Homb

iI

Hi,iI

Ci

; (Hj , Cj)

.

Realmente, comowj k = 0 para k =j ewj j = 1Hj, entaowj k Homb((Hk, Ck); (Hj , Cj)) para

todok I, o que implica

wj Homb

iIHi,

iICi

; (Hj, Cj)

(Teorema 3.29).

iI

Hi,iI

Ci

wj (Hj , Cj)

k wj k

(Hk, Ck)

Finalmente, como uj =wj

iI

ui

j, segue que uj Homb((Gj , Bj); (Hj , Cj)).

iI

Gi,iI

Bi

iI

ui

iI

Hi,iI

Ci

j wj

(Gj , Bj)uj

(Hj, Cj)

Reciprocamente, suponhamos queui Homb((Gi, Bi); (Hi, Ci)) para todoi Ie sejaj Iarbitrario.

Como

iI

ui

j =juj, entao

iI

ui

j Homb

(Gj, Bj);

iI

Hi,iI

Ci

e da arbitrariedade


20/34


dej resulta a limitacao de

iIui (Teorema 3.29).

iI

Gi,iI

Bi

iI

ui

iI

Hi,iI

Ci

j

iI

ui

j

(Gj , Bj)


(Gi, Bi)iI

,

(Hi, Ci)iI

e

(Li, Di)iI

tres famlias de grupos bornologicos.

Para cadai I sejamui : Gi Hi evi : Hi Li dois homomorfismos de grupos. Para que

iI

Gi,iI

BiiI

ui

iI

Hi,iI

CiiI

vi

iI

Li,iI

Diseja uma sequencia exata de homomorfismos de grupos limitados, e necessario e suficiente que

(Gi, Bi) ui(Hi, Ci)

vi(Li, Di)

seja uma sequencia exata de homomorfismos de grupos limitados para todoi I.

Demonstracao. Imediata a partir da Proposicao 3.37.


(Gi, Bi), ujiiI

um sistema indutivo de grupos bornologicos (isto significa que

I e um conjunto munido de uma relacao de ordem parcial , (Gi, Bi) e um grupo bornologico para

todo i I, uji : (Gi, Bi) (Gj , Bj) e um homomorfismo de grupos limitado para i, j I com i j,uii = 1Gi para todoi Ieukj uji = uki parai ,j, k Icomi j k). Consideremos o grupo lim

Gi,

limite indutivo do sistema indutivo

Gi, ujiiI

de grupos, e seja vi : Gi limGi o homomorfismo de

grupos canonico (i I); lembrar a Proposicao 2.11 e as Definicoes 2.10 e 2.12. SeB e a bornologia de

grupo final para a famlia

(Gi, Bi), viiI

, (lim

Gi, B) e dito o limite indutivo bornologico do sistema(Gi, Bi), uji

iI

.


(Gi, Bi)iI

uma famlia de grupos bornologicos. Consideremos I munido de

sua relacao de igualdade e ponhamos uii = 1Gi para todo i I. Entao

(Gi, Bi), uiiiI

e um sistema

indutivo de grupos bornologicos cujo limite indutivo bornologico coincide com

iIGi,iI

Bi.

Proposicao 3.41. Nas condicoes daDefinicao 3.39,(lim

Gi, B)satisfaz a seguinte propriedade universal:

para todo grupo bornologico (H, C) e para toda famlia (i)iI (onde i Homb((Gi, Bi); (H, C)) para

todo i I) tal que j uji = i para i j, existe um unico u Homb((limGi, B); (H, C)) tal que

u vi= i para todo i I.

(Gi, Bi) uji(Gj, Bj)

i j

(H, C)

(lim

Gi, B) u(H, C)

vi i

(Gi, Bi)


21/34


Demonstracao. Pela Proposicao 2.11, existe um unico homomorfismo de grupos u : lim

Gi H tal

que u vi = i para todo i I. Finalmente, como i Homb(Gi, Bi); (H, C) para todo i I, oTeorema 3.29 garante que u Homb

(lim

Gi, B); (H, C)

.

Exemplo 3.42. Sejam G,

GiiI

, uji e limGi como no Exemplo 2.14. Consideremos a bornologia de

grupo Bem G para a qual os subgrupos finitamente gerados de G constituem um sistema fundamental

de limitados e, para cada i I, seja Bi a bornologia trivial em Gi. Entao

(Gi, Bi), ujiiI

e um

sistema indutivo de grupos bornologicos. Alem disso, usando a Proposicao 3.41 e argumentando como

no Exemplo 3.3 de [7], conclui-se que os grupos bornologicos (G, B) e (lim

Gi,B) sao isomorfos, onde(lim

Gi,B) designa o limite indutivo bornologico do sistema (Gi, Bi), ujiiI.Corolario 3.43. Sejam (Gi, Bi), ujiiI e (Hi, Ci), vjiiI dois sistemas indutivos de grupos bor-nologicos e sejam(lim

Gi, B) e(lim

Hi, C) os correspondentes limites indutivos bornologicos. Para cada

i I seja i Homb

(Gi, Bi); (Hi, Ci)

tal que vji i = j uji para i j. Entao existe um unico

u Homb

(lim

Gi, B); (limHi, C)

tal que u vi = wii para todo i I, onde vi : Gi lim

Gi e

wi : Hi limHi sao os homomorfismos de grupos canonicos.

(Gi, Bi) i(Hi, Ci)

uji vji

(Gj , Bj)j

(Hj , Cj)

(lim

Gi, B) u(lim

Hi, C)

vi wi

(Gi, Bi) i

(Hi, Ci)

Demonstracao. Basta argumentar como na demonstracao do Corolario 3.25, aplicando a Proposicao

3.41 em lugar da Proposicao 3.24.

Observacao 3.44. (a) Sejam G e H dois grupos arbitrarios e seja Hom(G; H) o grupo abeliano de

todos os homomorfismos de grupos de G e H. Como

Hom(G; H) = Homb((G, 2G); (H, 2H)),

onde 2G (respectivamente 2H) e a bornologia trivial em G (respectivamente H), entao a Observacao

3.16, as Proposicoes 3.17, 3.19, 3.20, 3.21, 3.24 e 3.35, os Corolarios 3.18, 3.25, 3.27 e 3.28, e o Teorema

3.26 implicam os resultados correspondentes para grupos abelianos.

Por outro lado, os resultados que acabamos de mencionar implicam os resultados correspondentes para

R-modulos bornologicos (Exemplo 3.8), R-modulos linearmente bornologizados (Exemplo 3.9), espacosvetoriais bornologicos sobre K e espacos vetoriais bornologicos K-convexos (Exemplo 3.10), e espacos

vetoriais bornologicos convexos sobre Rou C (Exemplo 3.11), como e facil verificar.

(b) SejamG, He Hom(G; H) como em (a). Como

Hom(G; H) = Homb((G, B); (H, C)),

ondeB(respectivamenteC) e a bornologia discreta em G (respectivamenteH), entao a Observacao 3.33,

as Proposicoes 3.36, 3.37 e 3.41 e os Corolarios 3.38 e 3.43 implicam os resultados correspondentes para

grupos abelianos.


22/34


4 Uma propriedade universal da bornologia da equilimitacao

O objetivo principal desta secao e provar o Teorema 4.2, cuja demonstracao e analoga aquela do caso

linear do Teorema 3.6 de [7].


(G, B), uI

um sistema indutivo de grupos bornologicos e

(H, C), vI

um sistema projetivo de grupos bornologicos. Para (, ), (, ) IJ, com (, ) (, ), seja

(,)(,)

o homomorfismo de grupos de Homb((G , B); (H, C)) emHomb((G, B); (H, C)) dado por

(,)(,)(w) =v w u. Entao

Homb((G, B); (H, C)), ECB

, (,)

(,)

(,)IJ

e um sistema projetivo de grupos bornologicos.

Demonstracao. (,)(,) e E

CB

ECB-limitada pois, para X ECB

e B B arbitrarios, tem-se

(,)(,)(X)(B) =v

X(u(B))

C .

Como as outras condicoes da Definicao 3.22 sao facilmente justificaveis, a demonstracao esta concluda.

Nas condicoes da Proposicao 4.1, sejam (G, B) o limite indutivo bornologico do sistema

(G, B), uI

e (H, C) o limite projetivo bornologico do sistema

(H, C), vJ

. Para cada Isejau : G G

o homomorfismo de grupos canonico, e para cada J seja v : H H o homomorfismo de grupos

canonico. Para cada (, ) I J seja (,) o homomorfismo de grupos de Homb((G, B); (H, C)) em

Homb((G, B); (H, C)) dado por (,)(u) = v u u. Raciocinando como na demonstracao daProposicao 4.1, verifica-se que (,) e E

CB E

CB

-limitada. Alem disso, a famlia

(,)(u)(,)IJ

pertence ao grupo lim

Homb((G, B); (H, C)) para qualqueru Homb((G, B); (H, C)). Realmente, se

(, ), (, ) I J e (, ) (, ), tem-se

(,)(,)

(,)(u)

=v (,)(u) u = (v v) u (u u)

=v u u= (,)(u).

(G, B) w(H, C)

u v

(G, B) (,)

(,)(w)

(H, C)

(G, B) u(H, C)

u v

(G, B) (,)(u)

(H, C)

Podemos entao enunciar o seguinte

Teorema 4.2. Nas condicoes acima, o homomorfismo de grupos

: u

Homb((G, B); (H, C)), E

CB

(u) =

(,)(u)

(,)IJ

lim

Homb((G, B); (H, C)), D


23/34


e um isomorfismo de grupos bornologicos, onde o contradomnio de e o limite projetivo bornologico do

sistema dado naProposicao 4.1.

Antes de provar o Teorema 4.2, estabelecamos um resultado auxiliar:

Lema 4.3. Sejam

(Gi, Bi)iI

uma famlia de grupos bornologicos, G um grupo e, para cada i I,

sejaui : Gi G um homomorfismo de grupos. Suponhamos queG =iI

Im(ui)

e sejaBa bornologia

de grupo final para a famlia

(Gi, Bi), uiiI

. Entao, para todo grupo bornol ogico (H, C) e para todo

conjunto X de homomorfismos de grupos deG emH, as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) X ECB;

(b) X ui = {u ui; u X} ECBi

para todo i I.

Demonstracao do Lema 4.3. Como (a) claramente implica (b), provemos que (b) implica (a). Comefeito, seja B Barbitrario. Pela Observacao 3.30(b), existem i1, . . . , im I, Bi1 Bi1 , . . . , Bim Bim

tais que B ui1(Bi1) + +uim(Bim). Como, por hipotese, (X uik)(Bik) C para k = 1, . . . , m, a

inclusao

X(B) (X ui1)(Bi1) + + (X uim)(Bim)

implica que X(B) C. Portanto, X ECB.

Passemos a

Demonstracao do Teorema 4.2. Primeiramente, provemos que e um isomorfismo de grupos.

Realmente, seja

g=

g(,)(,)IJ

lim

Homb((G, B); (H, C)) arbitrario.

Fixemos Je consideremos a famlia

g(,)I

. Como

g(,) u = v g(,) u = (,)(,)

g(,)

=g(,)

para , a Proposicao 3.41 garante a existencia de um unico Homb((G, B); (H, C)) tal que

g(,) = u para todo I. Por outro lado, tem-se =v para . De fato, para todo

I,

u= g(,)= (,)

(,)g(,) =v g(,) u = v g(,)= v u ,e do fato de que todo elemento de G pode ser expresso como uma soma finita de elementos da forma

u(x) resulta que = v . Logo, pela Proposicao 3.24, existe um unicou Homb((G, B); (H, C))

tal que = v u para todo J. Alem disso,

(u) =

v u u(,)IJ

=

u(,)IJ

=

g(,)(,)IJ

=g,

sendou o unico elemento de Homb((G, B); (H, C)) cuja imagem por eg . Portanto, e um isomorfismo

de grupos.


24/34


Provemos que e um isomorfismo de grupos bornologicos. Com efeito, seja X ECB arbitrario. Como

(X) D se e somente se (,)(X) ECB para todo (, ) IJ e como cada aplicacao (,) e

ECB ECB

-limitada, entao (X) D. Logo, e limitada. Finalmente, verifiquemos que 1 e limitada.

De fato, sejaYum conjuntoD-limitado arbitrario. Para cada (, ) IJ, sejaG(,)o homomorfismo

de grupos g(,)

(,)IJ

lim

Homb((G , B); (H, C))g(,)

Homb((G, B); (H, C)).

EntaoG(,)(Y) ECB

para todo (, ) IJ. Pela bijetividade de , para cadag =

g(,)(,)IJ

Y existe um unico ug Homb((G, B); (H, C)) tal que (ug) = g. Afirmamos que X = {ug; g Y}

= 1(Y)pertence a ECB. Realmente, comoC e a bornologia inicial para a famlia (H, C), vJ,X ECB se e somente sevX E

CB para todo J. Mas, para Jfixado,G(,)(Y) = (vX)u

ECB para todo I, e o Lema 4.3 garante que v X ECB . Portanto,

1(Y) ECB , provando que

1 e limitada.

Isto conclui a demonstracao.


(G, B)I

e

(H, C)J

duas famlias de grupos bornologicos, (G, B) a

soma direta bornologica da famlia

(G, B)I

e(H, C)o produto bornologico da famlia

(H, C)J

.

Entao os grupos bornologicos

Homb((G, B); (H, C)), E

CBe

(,)IJ

Homb((G, B); (H, C)),

(,)IJ

ECB

sao isomorfos.

Demonstracao. Consideremos I(respectivamente J) munido da relacao de igualdade. Como, nesse

caso, os grupos bornologicos lim

Homb((G, B); (H, C)), D

e

(,)IJHomb((G, B); (H, C)), (,)IJ ECB

coincidem, o resultado segue imediatamente do Teorema 4.2.

Sejam

(Gi, Bi), uijiI

um sistema projetivo de grupos bornologicos e (H, C) um grupo bornologico

arbitrario. Para i, j I, i j , consideremos o homomorfismo de grupos limitado

uHij: vj Homb((H, C); (Gj , Bj)), E

BjC

uij vj

Homb((H, C); (Gi, Bi)), E

BiC

.

Pela Proposicao 4.1, Homb((H, C); (Gi, Bi)), E

BiC

, uHij

iI


25/34


e um sistema pro jetivo de grupos bornologicos.


(Gi, Bi), uijiI

como acima e seja (G, B) o limite projetivo bornologico desse

sistema. Sejam(H, C)e(L, D)dois grupos bornologicos arbitrarios eu Homb((H, C); (L, D))arbitrario,

e consideremos os homomorfismos de grupos limitados

u : v Homb((L, D); (G, B)), EBD v u Homb((H, C); (G, B)), EBCe ui : viHomb((L, D); (Gi, Bi)), EBiD vi uHomb((H, C); (Gi, Bi)), EBiC (i I).Entao uiiI e um sistema projetivo de homomorfismos de grupos limitados de(Homb((L, D); (Gi, Bi)), EBiD ), uLijiI em (Homb((H, C); (Gi, Bi)), EBiC ), uHij iI. Alem disso,

Homb((L, D); (G, B)), EBD

RL lim

Homb((L, D); (Gi, Bi)),

D

u limui

Homb((L, C); (G, B)), EBC

RH

lim

Homb((H, C); (Gi, Bi)),De um diagrama comutativo de homomorfismos de grupos limitados, onde

lim

Homb((H, C); (Gi, Bi)),D(respectivamente

lim

Homb((L, D); (Gi, Bi)),

D

) e o limite projetivo bornologico do sistema

(Homb((H, C); (Gi, Bi)), E

BiC ), u

Hij iI

(respectivamente

(Homb((L, D); (Gi, Bi)), E

BiD ), u

LijiI

),

limui(vi)iI = ui(vi)iI para (vi)iI limHomb((L, D); (Gi, Bi)) (obviamente, limui e um ho-momorfismo de grupos), RH(v) =

ui v

iI

parav Homb((H, C); (G, B)) eRL(v) =

ui viI

para

v Homb((L, D); (G, B)), sendo ui : G Gi o homomorfismo de grupos canonico.

Demonstracao. Para provar a primeira afirmacao devemos mostrar que o diagrama

Homb((L, D); (Gj, Bj)) uj Homb((H, C); (Gj , Bj))

uLij uHij

Homb((L, D); (Gi, Bi))uiHomb((H, C); (Gi, Bi))

e comutativo para i j ([5], p.79). Realmente, para qualquer vj Homb((L, D); (Gj , Bj)),uHij uj(vj) =uij (vj u) = (uij vj) u=ui(uij vj) = (ui uLij)(vj).

Para provar a segunda afirmacao, notemos inicialmente que limui e uma aplicacao limitada. De fato,

para cada i Iseja THi o homomorfismo de grupos de limHomb((H, C); (Gi, Bi)) em Homb((H, C); (Gi, Bi))

dado porTHi

(wj)jI

=wi. Entao, pelo Teorema 1.11, limui e limitada se e somente se THi limui e

limitada para todo i I. Mas, para cada i I,THi lim

ui

(vj)jI

=THi

(

uj(vj))jI

=

ui(vi) =vi u


26/34


para qualquer (vj)jIlimHomb((L, D); (Gi, Bi)), e da resulta a limitacao deT

Hi lim

ui . Alem disso,

RHeRLsao isomorfismos de grupos bornologicos em virtude do Teorema 4.2. Finalmente, para qualquerv Homb((L, D); (G, B)),

limui RL(v) = limui(ui v)iI = ui(ui v)iI

=

(ui v) uiI

=

ui (v u)iI

=RH(v u) = (RH u)(v),concluindo assim a demonstracao da segunda afirmacao.

Sejam

(Gi, Bi), ujiiI

um sistema indutivo de grupos bornologicos e (H, C) um grupo bornologico

arbitrario. Para i, j I, i j , consideremos o homomorfismo de grupos limitado

uHij: j Homb((Gj , Bj); (H, C)), ECBj j uji Homb((Gi, Bi); (H, C)), ECBi.Pela Proposicao 4.1,

Homb((Gi, Bi); (H, C)), ECBi

, uHij

iI

e um sistema pro jetivo de grupos bornologicos.


(Gi, Bi), ujiiI

como acima e seja (G, B) o limite indutivo bornologico desse

sistema. Sejam(H, C)e(L, D)dois grupos bornologicos arbitrarios eu Homb((H, C); (L, D))arbitrario,

e consideremos os homomorfismos de grupos limitados

u : v Homb((G, B); (H, C)), ECB u v Homb((G, B); (L, D)), EDB e ui : i Homb((Gi, Bi); (H, C)), ECBi u i Homb((Gi, Bi); (L, D)), EDBi(i I).Entao (ui)iI e um sistema projetivo de homomorfismos de grupos limitados de

Homb

(Gi, Bi); (H, C)), ECBi

, uHij

iI

em

Homb

(Gi, Bi); (L, D)), EDBi

, uLij

iI

. Alem disso,Homb((G, B); (H, C)), E

CB

RH lim

Homb((Gi, Bi); (H, C)),E

u lim

ui

Homb((G, B); (L, D)), EDB RL lim Homb((Gi, Bi); (L, D)),

Ee um diagrama comutativo de homomorfismos de grupos limitados, onde

lim

Homb((Gi, Bi); (H, C)),E(respectivamente

lim

Homb((Gi, Bi); (L, D)),

E

e o limite projetivo bornologico do sistema(Homb((Gi, Bi); (H, C)), E

CBi

, uHij

iI

(respectivamente

(Homb((Gi, Bi); (L, D)), EDBi

, uLij

iI

,

limui(i)iI = ui(i)iI para (i)iI limHomb((Gi, Bi); (H, C)) (obviamente, limui e um ho-

momorfismo de grupos), RH(v) = (v vi)iI para v Homb((G, B); (H, C)) e RL(v) = (v vi)iI para

v Homb((G, B); (L, D)), sendo vi : Gi G o homomorfismo de grupos canonico.

Demonstracao. Analoga a da Proposicao 4.5.


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5 Uma propriedade universal da bornologia da equicontinui-

dade

O objetivo desta secao e provar o Teorema 5.12, cuja demonstracao e analoga aquela do Teorema 4 de

[8]. Mas antes, vejamos alguns preliminares sobre grupos topologicos.

Proposicao 5.1([23], Teorema 1.9). Sejam((Gi, i))iI uma famlia de grupos topologicos, G um grupo

e, para cada i I, seja ui : G Gi um homomorfismo de grupos. Se e a topologia inicial para

a famlia

(Gi, i), ui

iI

([3], pp. 28-31), entao (G, ) e um grupo topologico. Logo, para todo grupo

topologico (H, ) e para todo homomorfismo de gruposu : HG, tem-se queu Homc((H, ); (G, ))se e somente seui u Homc((H, ); (Gi, i)) para todo i I.

(H, ) u(G, )

ui u ui

(Gi, i)

Como consequencia imediata da Proposicao 5.1, temos o seguinte

Corolario 5.2. (a) Se (G, ) e um grupo topologico e M e um subgrupo de G, entao (M, M) e um

grupo topologico, ondeM e a topologia induzida por emM.

(b) Sejam (Gi, i)iI uma famlia de grupos topologicos, iI

Gi o grupo produto e iI

i a topologia

produto emiI

Gi. Entao

iI

Gi,iI

i

e um grupo topologico.

(c) Se (i)iI e uma famlia de topologias de grupo em um grupo G, entao

G, supiI

i

e um grupo

topologico.

Definicao 5.3. Seja

(Gi, i), uijiI

um sistema projetivo de grupos topologicos (isto significa queI e

um conjunto munido de uma relacao de ordem parcial , (Gi, i) e um grupo topologico para todoi I,

uij Homc((Gj , j); (Gi, i)) para i, j I com i j , uii = 1Gi para todo i I e uij ujk =uik para

i,j,k I com i j k). Para cada i I seja ui : limGi Gi o homomorfismo de grupos canonico

(Definicao 2.3) e sejaa topologia inicial para a famlia (Gi, i), uiiI. O grupo topologico (lim Gi, )(Proposicao 5.1) e dito o limite projetivo topologico do sistema

(Gi, i), uij

iI

.


(Gi, i)iI

uma famlia de grupos topologicos. Munamos I da relacao de

igualdade e definamos uii = 1Gi para todo i I. Entao

(Gi, i), uiiiI

e um sistema projetivo de

grupos topologicos cujo limite projetivo topologico coincide com

iI

Gi,iI

i

.

Argumentando como na demonstracao da Proposicao 3.24, usando a Proposicao 5.1 em lugar do

Teorema 1.11, obtem-se a seguinte


28/34


Proposicao 5.5. Nas condicoes daDefinicao 5.3, (lim

Gi, ) satisfaz a seguinte propriedade universal:

para todo grupo topologico (H, ) e para toda famlia(i)iI (ondei Homc((H, ); (Gi, i)) para todoi I) tal queuij j =i parai j , existe um unicou Homc((H, ); (lim

Gi, )) tal queui u= i

para todo i I.

(Gj , j) uij(Gi, i)

j i

(H, )

(H, ) u(lim

Gi, )

i ui

(Gi, i)

Como todo grupo abeliano topologico e um Z-modulo topologico (Z munido da topologia discreta),

a Proposicao 1.4.2 de [2] fornece o seguinte resultado:

Proposicao 5.6. Sejam (Gi, i)iI uma famlia de grupos topologicos, G um grupo e, para cadai I, sejaui : Gi G um homomorfismo de grupos. Entao existe uma unica topologia de grupo em

G que e final para a famlia

(Gi, i), uiiI

, no seguinte sentido: para todo grupo topologico (H, ) e

para todo homomorfismo de grupos u : G H, tem-se que u Homc((G, ); (H, )) se e somente se

u ui Homc((Gi, i); (H, )) para todo i I.

(G, ) u(H, )

ui u ui

(Gi, i)

Definicao 5.7. Sejam (Gi, i)iI uma famlia de grupos topologicos, G o grupoiI

Gi e, para cada

i I, seja ui : Gi G a injecao canonica. SeiI

i e a topologia de grupo final para a famlia(Gi, i), ui

iI

,

G,iI

i

e dita a soma direta topologicada famlia

(Gi, i)

iI

.

Definicao 5.8. Seja

(Gi, i), ujiiI

um sistema indutivo de grupos topologicos (isto significa que I

e um conjunto munido de uma relacao de ordem parcial , (Gi, i) e um grupo topologico para todo

i I, uji Homc((Gi, i); (Gj , j)) para i, j I com i j , uii = 1Gi para todo i I e ukj uji =uki

para i,j,k I com i j k). Para cada i I seja vi : Gi limGi o homomorfismo de grupos

canonico (lembrar a Proposicao 2.11 e a Definicao 2.12) e seja a topologia de grupo final para a

famlia (Gi, i), viiI . O grupo topologico lim Gi, e dito o limite indutivo topologico do sistema(Gi, i), uji

iI

.


(Gi, i)iI

uma famlia de grupos topologicos. Munamos I da relacao de

igualdade e ponhamos uii = 1Gi para todo i I. Entao

(Gi, i), uiiiI

e um sistema indutivo de

grupos topologicos cujo limite indutivo topologico coincide com

iI

Gi,iI

i

.

Argumentando como na demonstracao da Proposicao 3.41, usando a Proposicao 5.6 em lugar do

Teorema 3.29, obtem-se a seguinte


29/34


Proposicao 5.10. Nas condicoes daDefinicao 5.8, (lim

Gi, ) satisfaz a seguinte propriedade universal:

para todo grupo topologico (H, ) e para toda famlia(i)iI (ondei Homc((Gi, i); (H, )) para todoi I) tal quej uji = i para i j, existe um unicou Homc((lim

Gi, ); (H, )) tal queu vi = i

para todo i I.

(Gi, i) uji(Gj, j)

i j

(H, )

(lim

Gi, ) u(H, )

vi i

(Gi, i)


(G, ), u

I

um sistema indutivo de grupos topologicos e

(H, ), v

J

um sistema projetivo de grupos topologicos. Para (, ), (, ) I J, com (, ) (, ), seja

(,)(,) o homomorfismo de grupos de Homc((G , ); (H, )) em Homc((G, ); (H, )) dado por

(,)(,)(w) =v w u . Entao

Homc((G, ); (H, )), E

, (

,)(,)

(,)IJ

e um sistema projetivo de grupos bornologicos.

Demonstracao. Mostremos que (,)(,) e E

E

-limitada. De fato, sejam X E e V uma -

vizinhanca de 0 em H. Comov : (H, ) (H, ) e contnua, existe uma -vizinhanca V de

0 em H tal que v(V) V ; e, como X E , existe uma -vizinhanca U de 0 em G tal que

X(U) V. Finalmente, comou : (G, ) (G , ) e contnua, existe uma-vizinhancaU de 0

emG tal que u(U) U . Portanto,

(,)(,)(X)(U) =

v X u

(U) =

v X

(u(U))

v X

(U) v(V) V ,

e (,)(,)(X) E

. Como as outras condicoes da Definicao 3.22 sao facilmente justificaveis, a demons-

tracao esta concluda.

Nas condicoes da Proposicao 5.11, sejam (G, ) o limite indutivo topologico do sistema (G, ), uIe (H, ) o limite projetivo topologico do sistema (H, ), vJ . Para cada I seja u : G Go homomorfismo de grupos canonico, e para cada J seja v : H H o homomorfismo de grupos

canonico. Para cada (, ) I J seja (,) o homomorfismo de grupos de Homc((G, ); (H, )) em

Homc((G, ); (H, )) dado por (,)(u) = v u u. Raciocinando como na demonstracao da

Proposicao 5.11, verifica-se que (,) e E E

-limitada. Alem disso, a famlia

(,)(u)(,)IJ

pertence ao grupo lim

Homc((G, ); (H, )) para qualquer u Homc((G, ); (H, )). Realmente, se

(, ), (, ) I J e (, ) (, ), tem-se

(,)(,)

(,)(u)

= (,)(u).


30/34


(G, ) w(H, )

u v

(G, ) (,)

(,)(w)

(H, )

(G, ) u(H, )

u v

(G, ) (,)(u)

(H, )

Podemos entao enunciar o

Teorema 5.12. Nas condicoes acima, o homomorfismo de grupos

: u

Homc((G, ); (H, )), E

(u) =

(,)(u)

(,)IJ

lim

Homc((G, ); (H, )), D

e um isomorfismo de grupos bornologicos, onde o contradomnio de e o limite projetivo bornologico dosistema dado naProposicao 5.11.

Antes de provar o Teorema 5.12, estabelecamos um resultado auxiliar:

Lema 5.13. Sejam ((Gi, i))iI uma famlia de grupos topologicos, G um grupo e, para cada i

I, seja ui : Gi G um homomorfismo de grupos. Seja a topologia de grupo final para a famlia(Gi, Bi)), ui

iI

. Ent ao, para todo grupo topologico (H, ) e para conjunto X de homomorfismos de

grupos deG emH, as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) X E;

(b) X ui = {u ui; u X} E

i para todo i I.

Demonstracao do Lema 5.13. Como (a) claramente implica (b), provemos que (b) implica (a). Com

efeito, seja F(X; H) o grupo abeliano das funcoes de X em H, munido da topologia da convergencia

uniforme (u), a qual o torna um grupo topologico. Consideremos o homomorfismo de grupos g : G

F(X; H) dado por g (x)(u) =u(x) para x G e u X. E claro que X E se e somente se g : (G, )

(F(X; H), u) e contnuo. E, pela Proposicao 5.6, g : (G, ) (F(X; H), u) e contnuo se e somente

se g ui : (Gi, i) (F(X; H), u) e contnuo para todo i I. Fixemos entao i I e seja V uma

-vizinhanca de 0 em H. Como, por hipotese, X ui Ei

, existe uma i-vizinhanca Ui de 0 em Gi tal

que (X ui)(Ui) V. Portanto,

(g ui)(Ui) {h F(X; H); h(X) V},

mostrando a continuidade de g ui e concluindo a demonstracao de (a).

Passemos a

Demonstracao do Teorema 5.12. Primeiramente, provemos que e um isomorfismo de grupos.

Realmente, seja g =

g(,)(,)IJ

lim

Homc((G, ); (H, )) arbitrario. Fixemos J e

consideremos a famlia

g(,)I

. Como

g(,) u = v g(,) u = (,)(,)(g(,)) =g(,)


31/34


para , a Proposicao 5.10 garante a existencia de um unico Homc((G, ); (H, )) tal que

g(,) = u para todo I. Por outro lado, tem-se =v para . De fato, para todo I,

u= g(,)= (,)(,)(g(,)) =v g(,) u= v g(,)= v u ,

e do fato de que todo elemento de G pode ser expresso como uma soma finita de elementos da forma

u(x) resulta que =v . Logo, pela Proposicao 5.5, existe um unicou Homc((G, ); (H, ))

tal que = v u para todo J. Alem disso,

(u) =

v u u(,)IJ

=

u(,)IJ

=

g(,)(,)IJ

=g,

sendou o unico elemento de Homc((G, ); (H, )) cuja imagem por eg . Portanto, e um isomorfismo

de grupos.

Provemos que e um isomorfismo de grupos bornologicos. Com efeito, seja X E arbitrario. Como

(X) D se e somente se (,)(X) E

para todo (, ) IJ e como cada aplicacao (,) e

E E

-limitada, entao (X) D. Logo, e limitada. Finalmente, verifiquemos que 1 e limitada.

De fato, sejaYum conjuntoD-limitado arbitrario. Para cada (, ) IJ, sejaG(,)o homomorfismo

de grupos g(,)

(,)IJ

lim

Homc((G , ); (H, ))g(,)

Homc((G, ); (H, )).

EntaoG(,)(Y) E para todo (, ) IJ. Pela bijetividade de , para cada g = g(,)(,)IJY existe um unico ug Homc((G, ); (H, )) tal que (ug) = g. Afirmamos que X = {ug; g Y}

(= 1(Y)) pertence a E . Realmente, como e topologia inicial para a famlia

(H, ), vJ

, X E

se e somente se v X E para todo J. Mas, para J fixado, G(,)(Y) = (v X) u E

para todo I, e o Lema 5.13 fornece v X E . Portanto,

1(Y) E , mostrando que 1 e

limitada.

Isto conclui a demonstracao.


(G, )

I

e

(H, )

J

duas famlias de grupos topologicos, (G, ) a

soma direta topologica da famlia (G, )I e(H, ) o produto topologico da famlia (H, )J.Entao os grupos bornologicosHomc((G, ); (H, )), E

e

(,)IJ

Homc((G, ); (H, )),

(,)IJ

E

sao isomorfos.

Demonstracao. Consideremos I(respectivamente J) munido da relacao de igualdade. Como, nesse

caso, os grupos bornologicos lim

Homc((G, ); (H, )), D


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e

(,)IJ

Homc((G, ); (H, )), (,)IJ

Ecoincidem, o resultado segue imediatamente do Teorema 5.12.

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i0 ui0. P. 549, l. 4 e l. 5: FiI

vi(B) em lugar de iI

vi(B). P. 550, l. -4 e p. 551, l. 5:

em lugar de =.]

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grupos abelianos bornológicos

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