grupos abelianos

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Álgebra Moderna - notas de aulas Profª Ana Paula

CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS

DATA / /

O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da matemática.Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetods bem definidos. Os objetos em um conjunto, como veremos nos exemplos, podem ser qualquer coisa: números, pessoas, letras, rios, etc.... Esses objetos são chamados os elementos de um conjuntos.

Representação:letras maiúsculas para conjuntos: A, B, C, D, …letras minúsculas para elementos de um conjunto: a, b, c, d, …

Formas de representação:Forma de listagem: A = {a, e, i, o, u} = {e, o, a, u, i}, onde os elementos do conjunto são

apresentados um a um, separados por vírgulas, sob a forma de uma lista linear não necessariamente ordenada.

Pela propriedade:A = x/x é um vogal do alfabeto da língua = {x/P(x)} =

x/x goza da propriedade , o conjunto passa a ser referido pela propriedade de seus elementos, e a leitura é a seguinte: “A é igual ao conjunto dos x, tal que x é uma vogal da Língua Portuguesa”. O x é uma variável que representa cada um dos elementos cuja propriedade é a de ser uma vogal do alfabeto da Língua Portuguesa, o que não permitirá incluir, no conjunto A, o b como vogal.

Pelo Diagrama de Venn-Euler:

Exemplos:A: os números 1,3,7 e 10.B: As soluções da equação x2 – 3x – 2 = 0C: As pessoas que habitam a Terra.D: Os estudantes Carlos, José e Roberto. E: Os alunos que faltaram à aula.F: Os países: Inglaterra, França e Espanha. G: Os números 2,4,6,8,...H: Os rios do Brasil

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OBS: A repetição não cria novos elementos no conjunto.Exemplo: A = {a, e, i, o, u} = {a, a, a, e, o, u, e, i, o, u}.

O símbolo < é usado para especificar se um elemento pertence a um conjunto e øquando não pertence a este conjunto.

Exemplos: Seja A = {a, e, i, o, u}. Então a < A (o elemento a pertence ao conjunto A) eb ø A. (b não é elemento do conjunto A).

Definição 1: Um conjunto é vazio quando não contém elementos.

Notação: Ø = {} = {x/P(x) $ ~P(x)} = {x/x m x}

OBS:1) O conjunto vazio é único.2) Ø m {Ø}

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Definição 2: Um conjunto é finito se consiste de um número específico de elementos diferentes, isto é, se, ao contarmos os diferentes elementos de um conjunto, o processo de contagem chega a um final. De outro modo, o conjunto é infinito.

SUBCONJUNTOS

Definição 3: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, dizemos que A está contido em B (A é um subconjunto de B) se, somente se, todo elemento de A pertence a B, isto é,A < B ¤ 6x < A / x < B.

Exemplos:

Teorema 1: Seja A um conjunto qualquer. O conjunto vazio é um subconjunto do conjuntoA.

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Definição 4: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, dizemos que dois conjuntos são iguais quando um está contido no outro e vice-versa, isto é, A = B ¤ 6x, x < A ¤ x < B ou A = B ¤ A < B e B < A.

OBS:1) A ¢ B significa A não está contido em (não é subconjunto) B e A não é igual a B.2) B > A significa B contém A.3) B \ A significa B não contém A e B não é igual a A.4) A Ç B significa que A está contido propriamente em B (A < B e A m B).5) B \ A significa que B contém propriamente em A (A < B e A m B).

Propriedades:1) Reflexiva: A < A. (Demonstração Imediata)2) Transitiva: Se A < B e B < C ‹ A < C.3) Antissimétrica: Se A < B e B < A ‹ A = B. (Demonstração decorrente da

definição).

São equivalentes as três afirmações:1) A < B.2) Se x < A, então x < B.3) Se x ø B, então x ø A.

Definição 5: Chamamos de conjunto universo U o conjunto em que todos conjuntos são subconjuntos deste conjunto U.

Definição 6: Se os conjuntos A e B não possuem elementos em comum, isto é, se não há nenhum elemento A em B e se não há nenhum elemento de B em A, dizemos que A e B são disjuntos.

A

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COMPLEMENTAR

Definição 7: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se B < A, dizemos que o complementar de B em relação a A é todo elemento de A que não pertence a B, isto é, (BC ) = {x < A/x ø B}.

Definição 8: Considerando U, o conjunto universo e A < U, chama-se complementar deA em relação a U a parte de U formada pelos elementos de U que não pertencem a A.

(Ac )U = {x < U/x ø A}

Outras notações: Ac, A , A‘, ‡UA = ‡A.

OBS:1) Uc = Ø2) Øc = U3) (Ac )c = A

CONJUNTO DAS PARTES

Definição 9: O conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto de todos os subconjuntos de A.

Exemplo:A = {1, 2} P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}}.

Teorema 1: Se um conjunto A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos.

Definição 10: A cardinalidade de A é quantidade de elementos distintos deste conjunto.Notação: n(A) ou #(A).

OBS:1) n(Ø) = 0 ou #(Ø) = 0.2) n(A) = 1 ou #(A) = 1 se A é um conjunto unitário,3) Se A é um conjunto com n elementos escreveremos #(A) = n ou n(A) = n.

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OPERAÇÕES

Definição 11: A interseção de dois conjuntos A e B é conjunto dos elementos que são comuns a A e B, isto é, os elementos que pertencem a A e também pertencem a B.

A ß B = x/x < A e x <

OBS: Se A ß B = { } = Ø , então dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Definição 12: A união de dois conjuntos A e B é conjunto dos elementos que são comuns a A ou B, isto é, os elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos.

A † B = x/x < A ou x <

Propriedades da interseção:1) Associativa: A ß (B ß C) = (A ß B) ß C.2) Comutatividade: A ß B = B ß A.3) A < B ¤ A ß B = A.4) A ß Ø = Ø.

Propriedades da união:1) Associativa: A † (B † C) = (A † B) † C.2) Comutatividade: A † B = B † A.3) A < B ¤ A † B = B.4) A † Ø = A.5) A † B = Ø ¤ A = Ø e B = Ø.

Propriedades:1) A ß Ac = Ø e A † Ac = U. ———————————–Lei de De Morgan.2) (A ß B)C = Ac † Bc e (A † B)c = Ac ß Bc——————Lei de De Morgan. 3)A < B ¤ BC < AC

Definição 13: A diferença entre dois conjuntos, A e B, é o conjunto de elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B.

A – B = x < A/x < A e x ø B .OBS:1) (A – B) < A2) Os conjuntos (A – B), (A ß B) e (B – A) são mutuamente disjuntos.3) (A – B) = A ß Bc

+–

b

++

–1

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos números naturais:A = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }A+ = {1, 2, 3, 4, . . . }.= A – {0}

Conjunto dos números inteiros:A = {0, ±1, ±2, ±3, …} = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…}A+ = {±1, ±2, ±3, …} = {…, –3, –2, –1, 1, 2, 3,…} = A – {0}A+ = {0, 1, 2, 3,…} = conjunto dos números inteiros não-negativos.A– = {…, –3, –2, –1, 0} = conjunto dos números inteiros não-positivos.A+ = {1, 2, 3,…} = conjunto dos números inteiros positivos ou estritamente positivos.A+ = {…, –3, –2, –1} = conjunto dos números inteiros negativos ou estritamente negativos.A2n = {k < A/k = 2n, n < A} =conjunto dos inteiros pares.A2n+1 = k < A/k = 2n + 1 ou k = 2n – 1, n < =conjunto dos inteiros ímpares.

Conjuntos dos números racionais:= a /a < A e b < A+

Conjuntos dos números irracionais: ( C ) = ‘

Conjunto dos números reais: = x/x = a0, a1a2a3… an…; a0 < A e ai = {0, 1, 2,… 9}, com i m

Conjunto dos números complexos:¢ = z/z = a + bi, a, b < e i =

De forma geral:A+ = A – {0}A+ = {x < A/x Ç 0} A– = {x < A/x Ç 0} A+ = {x < A/x > 0} A– = {x < A/x < 0}OBS: A < A < < < ¢.

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Exemplos:1.) – = 2) – = Ø3) ¢ – = 4) – = 5) – A = A

Resumo

Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X. Então temos:(a) Os elementos neutros:

(b) As leis de idempotência:

(c) As leis comutativas:

(d) As leis associativas:

(e) As leis distributivas:

A † Ø = A A ß X

= A

A † A = A A ß A

= A

A † B = B † A A ß B =

B ß A

A † (B † C) = (A † B) † C.

A ß (B ß C) = (A ß B) ß C.

(f) As leis de identidade

A ß (B † C) = (A ß B) † (A ß C)A † (B ß C) = (A † B) ß (A † C)

A † Ø = A A † U = U A ß Ø = Ø A ß U = A

(g) Leis de Complementariedade

(h) Leis de De Morgan

A † Ac = U(Ac)c = A

A ß Ac = Ø Uc = Ø Øc = U

A ß Ac = Ø e A † Ac = U.(A ß B)C = Ac † Bc e (A † B)c = Ac ß Bc

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Exercícios do Livro: Páginas 13 a 16 : 1 a 6, 7a, 8,9, 11 a 16.

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CAPÍTULO 2 - RELAÇÕES

DATA / /

Definição 1: Dados dois conjuntos, E e F, não vazios. O produto cartesiano de E por F é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), com x < X e y < F.

E ✕ F = (x, y)/x < E e y < Exemplo: E = {0, 1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}.E ✕ F =

A idéia informal de "relação" é um sistema R constituído de:1) um conjunto E (conjunto de partida);2) um conjunto F (conjunto de chegada);3) uma sentença p(x, y)/6(a, b) < E ✕ F, p(a, b) é verdadeira ou falsa.

Se p(a, b) é verdadeira, então dizemos que "a está relacionado com b mediante a R", aRb.Se p(a, b) é falsa, então dizemos que "a não está relacionado com b mediante a R", aŔb.

Exemplos:1) E = {0, 1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}. São exemplos de relações:R1 = {(x, y) < E ✕ F/x + y = 6}R2 = ØR3 = {(0, 4), (0, 5), (0, 6)}R4 = {(2, 5), (3, 6)}

2) Se E = F = A, então E ✕ F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de números inteiros.

É um relaçãoR = {(x, y) < A ✕ A/x = –y} = {…, (–n, n), …, (–2, 2), (–1, 1), (0, 0), (1, –1), (2, –2), …(n, –n), … }.

3) Se E = F = , então E ✕ F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de números reais.

É um relação R = (x, y) < ✕ /x “ 0 e y “ 0 .

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Definição 2: Chama-se relação binária de E em F todo subconjunto R de E ✕ F, isto é, R é relação de E em F se e somente se R < E ✕ F. Ou seja R é um conjunto de pares ordenados (a, b) < E ✕ F.

Seja R uma relação de E em F.Definição 3: Chama-se domínio de R o subconjunto de E constituído pelos elementos x

para cada um dos quais existe algum y em F tal que xRy.D(R) = {x < E/Ey < F : xRy}

Definição 4: Chama-se imagem de R o subconjunto de F constituído pelos elementos ypara cada um dos quais existe algum x em E tal que xRy.

Im(R) = {y < F/Ex < E : xRy}Exemplos: Indique o domínio e a imagem de cada relação:1) E = {0, 1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}. São exemplos de relações:R1 = {(x, y) < E ✕ F/x + y = 6} D(R1) = Im(R1) =R2 = Ø D(R2) = Im(R2) =R3 = {(0, 4), (0, 5), (0, 6)} D(R3) = Im(R3) =R4 = {(2, 5), (3, 6)} D(R4) = Im(R4) =

2) Se E = F = A, então E ✕ F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de números inteiros.

É um relaçãoR = {(x, y) < A ✕ A/x = –y} = {…, (–n, n), …, (–2, 2), (–1, 1), (0, 0), (1, –1), (2, –2), …(n, –n), … }.D(R) = Im(R) =

3) Se E = F = , então E ✕ F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de números reais.

É um relação R = (x, y) < ✕ /x “ 0 e y “ .D(R) = Im(R) =

Representações:a) Gráfico Cartesiano.b) Esquema de flechas.

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Definição 5: Seja R uma relação de E em F. Chama-se relação inversa de R, e, indica-se por R–1, a seguinte relação de F em E:

R–1 = {(y, x) < F ✕ E/(x, y) < R}Exemplos:1) Sejam E = {0, 1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}, ondeR = {(0, 4), (0, 5), (0, 6)} = {(x, y) < E ✕ F/x = 0}.Então R–1 = {(4, 0), (5, 0), (6, 0)} = {(y, x) < F ✕ E/x = 0}.D(R) = Im(R) =D(R–1) = Im(R–1) =

2) E = e F = . R = {(x, y) < 2/y = 2x}. Então R–1 = {(y, x) < 2/y = 2x} = {(x, y) < 2/x = 2y}. D(R) = Im(R) =D(R–1) = Im(R–1) =

3) E = e F = . R = {(x, y) < 2/y = x2 }. Então R–1 = {(y, x) < 2/y = x2 } = {(x, y) < 2/x = y2

}. D(R) = Im(R) =D(R–1) = Im(R–1) =

Propriedades:1) D(R–1) = Im(R)2) Im(R–1) = D(R)3) (R–1 )–1 = R

Representação1) Se a relação R admite um gráfico cartesiano, então o mesmo ocorre com

R–1. Notando-se que (x, y) < R se, e somente se, (y, x) < R–1, então o gráfico de R–1 é simétrico do gráfico de R relativamente à reta de equação y = x.

2) Dado o diagrama de Euler-Venn de uma relação R, obtém-se o diagrama de R–1

simplesmente invertendo o sentido das flechas.

Exercícios do livro: Página 70: todos, exceto 5.

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RELAÇÃO SOBRE UM CONJUNTO

Definição 6: Quando E = F e R é uma relação de E em F, diz que R é uma relação sobreE, ou ainda, R é uma relação em E.

Propriedades:1) ReflexivaDizemos que R é reflexiva quando todo elemento de E se relaciona consigo mesmo, isto

é,6x < E, vale xRx

Negação: Ex < E, vale xŔxFlechas: Em cada ponto do diagrama deve haver um laço.Exemplos:1) Considerando E = {a, b, c} e R uma relação sobre E.a) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c)} é reflexiva.b) R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c)} não é reflexiva.

2) SimétricaDizemos que R é simétrica se vale yRx sempre que vale xRy, isto é,

6x, y < E, se xRy, então yRx.Contrapositiva:6x, y < E, se yŔx, então xŔy.Negação:Ex, y < E, xRy e yŔx.Flechas: Todas as flechas têm duas pontas.Exemplos:1) Considerando E = {a, b, c} e R uma relação sobre E.a) R = {(a, a), (a, b), (b, a), (c, c)} é simétrica.b) R = {(a, a), (a, b), (b, b), (b, c)} não é simétrica.2) Considerando E = e R = {(x, y) < 2/x2 = y2 } é simétrica.3) Considerando E = conjunto das retas do espaço euclidiano e R = {(x, y) < 2/x ±

y} é simétrica.

1

3) Transitiva.Dizemos que R é transitiva se vale xRz sempre que vale xRy e yRz, isto é,

6x, y, z < E, se xRy e yRz, então xRz.Contrapositiva: 6x, y, z < E, se xŔz, então xŔy ou yŔzNegação:Ex, y, z < E, (xRy e yRz) e xŔzFlechas: Para todo par de flechas consecutivas, existe uma terceira flecha cuja origem é a

origem da 1ª e a extremidade da 2ª.Exemplos:1) Considerando E = {a, b, c} e R uma relação sobre E.a) R = {(a, b), (b, b), (b, c), (a, c), (c, c)} é transitiva.b) R = {(a, b), (a, a), (b, c), (c, c)} não é transitiva.2) Considerando E = A e R = {(x, y) < A2/x Ç y} é transitiva.3) Considerando E = conjunto dos triângulos do espaço euclidiano e R = relação

de semelhança de triângulos é simétrica.

4) Antissimétrica.Dizemos que R é antissimétrica se vale x = y sempre que vale xRy e yRx, isto é,

6x, y < E, se xRy e yRx, então x = y.Contrapositiva:6x, y < E, se x m y, então xŔy ou yŔx.Negação: Ex, y < E, (xRy e yRx) e x m y. Flechas: Não há flechas de duas pontas. Exemplos:1) Considerando E = {a, b, c} e R uma relação sobre E.a) R = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, a)} é antissimétrica.b) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)} não é antissimétrica.2) Considerando E = A e R = {(x, y) < A2/x | y} é antissimétrica. (transitiva, não

simétrica e reflexiva).3) Considerando E = A e R = {(x, y) < A2/x | y} é não antissimétrica. (transitiva, não

simétrica e reflexiva).4) Considerando E = e R = {(x, y) < 2/x Ç y} é antissimétrica. (transitiva, não

simétrica e reflexiva).

1

Gráfico cartesiano e propriedadesSejam E = , R é uma relação em e GR o seu gráfico cartesiano.

1) Reflexiva: 6x < , (x, x) < R. Ou seja, as retas bissetrizes dos 1º e 3º quadrantes pertencem ao GR.

Exemplo: R = {(x, y) < 2/y Ç x – 1} é reflexiva.

2) Simétrica: Se (x, y) < R, então (y, x) < R. GR é simétrico relativamente à bissetriz dos 1ºe 3º quadrantes.

Exemplo: R = {(x, y) < 2/x2 + y2 Ç 9} é simétrica.

Exercícios do livro: Páginas 75 e 76: todos. Página 77: 17 a 20.

+

1

RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

Definição 7: Uma relação R sobre um conjunto E m Ø é chamada de relação de equivalência sobre R se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, R deve cumprir, respectivamente, as seguintes propriedades:

1) 6 x < E, xRx2) Se x, y < R e xRy, então yRx.3) Se x, y, z < R e xRy e yRz, então xRz.

Exemplos:São relações de equivalência:1) E = {a, b, c} com R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b,

a)}. 2) E = com R = {(x, y) < 2/x = y}.

3) E = conjunto das retas do espaço euclidiano com R = {(x, y) < 2/x//y}.

4) E = A com R = (x, y) < A2/x ÷ y(mod m), m < A+ e m > .

Não é relação de equivalência:5) E = A com R = {(x, y) < A2/x | y}.

6) E = A com R = {(x, y) < A2/mdc(x, y) = 1}.

Exercícios do livro: Página 79: todos.

1

Revisão:1) Divisibilidade: Diz-se que o número inteiro a é divisor do número inteiro b ou que o

número b é divisível por a se é possível encontrar q < A tal que b = aq.Pode-se dizer também que b é múltiplo de a.Notação: a | b (a divide b) ou a J b (a não divide b).

2) MDC: Sejam a e b < A. Um elemento d < A se diz máximo divisor comum de a e b se cumpre as seguintes condições:

i) d Ç 0ii) d | a e d | b.iii) Se d‘ é um inteiro tal que d‘ | a e d‘ | b, então d‘ | d (ou seja, todo divisor

comum de ae b também é divisor de d ou se d‘ é um divisor de a e b, então d‘ Ç d).

Para quaisquer inteiros a e b, existem inteiros x0 e y0, tais que d = ax0 + by0 é o máximo divisor comum de a e b.

3) Congruência: Sejam a, b números inteiros quaisquer e m um inteiro estritamente positivo. Diz-se que a é côngruo a b módulo m se m | (a – b), isto é, a – b = mq para um conveniente inteiro q. Para indicar que a é côngruo a b, módulo m , usa-se a notação

a ÷ b(mod m)A relação assim definida sobre o conjunto A chama-se congruência módulo m.

4) Números primos:Um número inteiro p é chamado número primo se as seguintes condições se verificam:

i) p m 0.ii) p m ±1.iii) Os únicos divisores de p são ±1, ±p.Um número inteiro a m 0,±1 é chamado número composto se tem outros divisores,

além dos triviais.Dois inteiros a e b dizem-se primos entre si se mdc(a, b) = 1.Para que os inteiros a e b sejam primos entre si, é necessário e suficiente que se possam

encontrar x0, y0 < A tais que ax0 + by0 = 1.

5) MMC: O Mínimo Múltiplo Comum de dois inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo que é divísel por a e b, isto é, a | m e b | m.

Notação: mmc(a, b) = mSejam a e b inteiros. Então, o mmc(a, b) divide todo outro múltiplo comum de a e b. Sejam a, b < A e m um inteiro positivo. Então, m = mmc(a, b) se e somente sem m verifica:i) a | m e b | m.ii) Se a | m‘ e b | m‘, então m | m‘.

+

1

CLASSE DE EQUIVALÊNCIA

Definição 8: Seja R um relação de equivalência sobre E. Dado a < E. Chama-se classe de equivalência determinada por a, módulo R, o subconjunto a < E constituído pelos elementos x tais que xRa.

a = {x < E/xRa}

Exemplos:1) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} de E = {a, b, c}. R é uma relação de

equivalência deE.

São classes de equivalência: a = {a, b}, b = {a, b}, c = {c}.

2) E = A com R = (x, y) < A2/x ÷ y(mod m), m < A+ e m >

3) E = A com R = {(x, y) < A2/x ÷ y(mod 6)}

+

1

CONJUNTO-QUOCIENTE

Definição 9: O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por E|R e chamado conjunto-quociente de E por R.

Exemplos1) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} de E = {a, b, c}. R é uma relação de

equivalência deE.

E|R = {{a, b}, {c}}

2) E = A com R = (x, y) < A2/x ÷ y(mod m), m < A+ e m > A|R = Am = { 0 , 1 , 2 , …, m – 1}

3) E = A com R = {(x, y) < A2/x ÷ y(mod 6)}A6 = { 0 , 1 , 2 , …, 5 }

Proposição 1: Seja R uma relação de equivalência sobre E e sejam a < E e b < E. As seguintes proposições são equivalentes:

1) aRb2) a < b3) b < a4) a = bDem:


1

CAPÍTULO 3 - APLICAÇÃO

DATA / /

Definição 1: Seja f uma relação de E em F. Dizemos que f é uma aplicação de E em Fse, e somente se,

1) D(f) = E;2) 6a < D(f), existe um único b < F/(a, b) < f.

Notação: f : E ‹ Fx > f(x)b = f(a)

Exemplos:1) Sejam E = {a, b, c, d} e F = {m, n, p, q, r}. As relações de R : E ‹ F dadas por:R1 = {(a, n), (b, p), (c, q)}R2 = {(a, m), (b, n), (c, q), (d, r)}R3 = {(a, n), (b, n), (c, q), (d, r)}R4 = {(a, m), (b, n), (b, p), (c, r), (d, q)}Então somente R2 e R3 são aplicações.

2) E = F = As relações de R : E ‹ F dadas por:R1 = {(x, y) < 2/x2 = y2 }.R2 = {(x, y) < 2/x2 + y2 = 1}.R3 = {(x, y) < 2/y = x2 }.Então somente R3 é uma aplicação.

Definição 2: Se f : E ‹ F e g : E ‹ F, então f = g se f(x) = g(x), 6x < E.


–

1

IMAGEM DIRETA

Seja uma aplicação f : E ‹ F.Definição 3: Dado A < E. f(A) = {f(x)/x < A} < F é a imagem direta de A, segundo f.

Dado B < F. f–1(B) = {x < E/f(x) < B} < E é a imagem inversa de B, segundo f.

Exemplos:1) Se E = {1, 3, 5, 7, 9}, F = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} e f : E ‹ F dada por f(x) = x + 1.f({1, 5, 7}) =f(E) =f(Ø) =f–1({2, 4, 10}) =f–1({0, 12}) =

2) Se E = F = e f : E ‹ F dada por f(x) = x2.f({1, 2, 3}) =f([0, 2]) =f(]–1, 3[) =f–1({0, 4, 16}) =f–1([1, 9]) =f–1( + ) =

3) Se E = F = e f : E ‹ F dada por f(x) =

f( ) =f( – ) =f([2, 3]) =f–1({0}) =f–1([4, 5]) =


0 se x <1 se x <

–

2

APLICAÇÕES INJETORES E SOBREJETORAS

Seja uma aplicação f : E ‹ F.Definição 4: f é uma aplicação injetora se para 6x1, x2 < E/x1 m x2 ‹ f(x1) m f(x2) ou

6x1, x2 < E/f(x1) = f(x2) ‹ x1 = x2.OBS: f não é injetora se Ex1, x2 < E/x1 m x2 e f(x1) = f(x2).

Definição 5: f é uma aplicação sobrejetora se Im(f) = F.OBS:

1) Para provar que Im(f) = F é necessário provar queIm(f) < F F < Im(f)

. Im(f) < F já é válida

pela definição. Então, basta provar F < Im(f), isto é, que 6y < F, Ex < E/f(x) = y.

2) f não é sobrejetora se Ey < F/6x < E, f(x) m y.

Definição 6: f é uma aplicação bijetora ou bijeção quando f é injetora e sobrejetora.

Exemplos:1) Dados os conjuntos E = {a, b, c, d} e F = {0, 1, 2, 3, 4} e f : E ‹ F uma aplicação

tal quef = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} é injetora e não é sobrejetora.

2) Dados os conjuntos E = {a, b, c, d} e F = {0, 1, 2} e f : E ‹ F uma aplicação tal que

f = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (d, 2)} não é injetora e é sobrejetora.

3) Dada f : ‹ uma aplicação tal que f(x) = 3x – 1 é bijetora.

4) Dada f : ‹ uma aplicação tal que f(x) = x2 não é injetora e não é sobrejetora.

Exercícios do livro: Página 100: Todos exceto 78.

2

APLICAÇÃO INVERSA

Proposição 1: Sejam f : E ‹ F uma aplicação e f–1 a relação inversa de f. Uma condição necessária e suficiente para que f–1 seja uma aplicação de F em E é que f seja bijetora. Isto é,

f é bijetora ¤ f–1 é uma aplicação de F em E.Dem:

3

2

OBS: (f–1 )–1 = f

Exemplos:1) Dados os conjuntos E = {a, b, c, d} e F = {0, 1, 2, 3, 4} e f : E ‹ Ff = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} é uma relação de E em F e f–1 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4,

d)} é uma relação inversa de F em E. Existe a relação inversa, mas f–1 não é uma aplicação inversa, pois D(f–1) = {1, 2, 3, 4} m F.

2) Dados os conjuntos E = {a, b, c, d} e F = {0, 1, 2} e f : E ‹ F .f = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (d, 2)} é uma relação de E em F e f–1 = {(0, a), (1, b), (2, c), (2,

d)} é uma relação inversa de F em E. Existe a relação inversa, mas f–1 não é uma aplicação inversa, pois não é injetora.

3) Dada f : ‹ uma aplicação tal que f(x) = 3x – 1 é bijetora, portanto f–1 = x+1 éaplicação inversa.


2

2x

COMPOSIÇÕES DE APLICAÇÕES

Sejam f : E ‹ F e g : F ‹ G duas aplicações.Definição 7: Chama-se composta de f e g a aplicação de E em G definida da seguinte

maneira:(gof)(x) = g(f(x)) 6x < E

OBS:1) A composta de f e g só está definida quando o contradomínio de f coincide com o

domínio de g.2) A composta de f e g tem o mesmo domínio de f e o mesmo contradomínio de g.3) Quando E = G, ou seja, f : E ‹ F e g : F ‹ E, então é possível definir, além de

gof, a composta de g e f, que é a aplicação de F em F que obedece à lei:(fog)(x) = f(g(x)) 6x < F

4) gof m fog, em geral.

Exemplos:1) Sejam E = {a1, a2, a3, a4 }, F = {b1, b2, b3, b4, b5 } e G = {c1, c2, c3 }.

Consideremos as aplicações:f = {(a1, b1), (a2, b2 ), (a3, b4 ), (a4, b5 )} de E em F e

g = {(b1, c1), (b2, c1 ), (b3, c2 ), (b4, c2 ), (b5, c3 )} de F em G. A aplicação composta gof : E ‹ G é dada por:

gof = {(a1, c1), (a2, c1 ), (a3, c2 ), (a4, c3 )}Im(gof) =D(gof) =f é injetora e não sobrejetora e g é sobrejetora e não injetora.gof é não injetora e sobrejetora.

2) Sejam f : ‹ uma aplicação tal que f(x) = 3x e g : ‹ uma aplicação tal queg(x) = x2. A aplicação composta gof : ‹ é dada por gof(x) = 9x2. E a aplicação compostafog : ‹ é dada por fog(x) = 3x2. Portanto gof m fog.

3) Sejam f : ‹ + uma aplicação tal que f(x) = 2x e g : + ‹ uma aplicação tal queg(x) = x . A aplicação composta gof : ‹ é dada por gof(x) =composta fog : + ‹ + é dada por fog(x) = 2 x . Portanto gof m fog.

. E a aplicação

4) Sejam f : ‹ uma aplicação tal que f(x) =

aplicação tal que g(x) = 3x – 2.

x + 1 se x Ç 0–x + 1 se x < 0

e g : ‹ uma

A aplicação composta fog : ‹ é dada por fog(x) =

2

Proposição 2: Se f : E ‹ F e g : F ‹ G são aplicações injetoras, então gof é injetora também.

Dem:

Proposição 3: Se f : E ‹ F e g : F ‹ G são aplicações sobrejetoras, então gof é sobrejetora também.

Dem:

OBS: fog é injetora também, se estiver definida. fog é sobrejetora também, se estiver definida.

2

OBS: Se uma aplicação é injetora e a outra é sobrejetora, nada podemos afirmar da composta.

Exemplo: Sejam E = {a1, a2, a3, a4 }, F = {b1, b2, b3, b4, b5 } e C = {c1, c2, c3 }. Consideremos

as aplicações:f = {(a1, b1), (a2, b2 ), (a3, b4 ), (a4, b5 )} de E em F e

g = {(b1, c1), (b2, c1 ), (b3, c2 ), (b4, c2 ), (b5, c3 )} de F em G. A aplicação composta gof : E ‹ G é dada por:gof = {(a1, c1), (a2, c1 ), (a3, c2 ), (a4, c2 )}Im(gof) =D(gof) =f é injetora e não sobrejetora e g é sobrejetora e não injetora.gof é não injetora e não sobrejetora.

Exercícios: Página 105: todos

APLICAÇÃO IDÊNTICA

Definição 8: Dado E m Ø. Chama-se aplicação idêntica de E a aplicação iE : E ‹ E dada pela lei iE(x) = x, 6x < E.

Proposição 4: Se f : E ‹ F é bijetora, então fof–1 = iF e f–1of = iE.Dem:

2

Proposição 5: Se f : E ‹ F e g : F ‹ E, entãoa) foiE = f iFof = f goiF = g iEog = gb) Se gof = iE e fog = iF, então f e g são bijetoras e g = f–1.Dem:

Exercícios do livro: Página 107: 94,95,98,99,100

y

2

OPERAÇÕES

Definição 9: Sendo E m Ø. Toda aplicação f : E ✕ E ‹ E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E).

Notação: f : E ✕ E ‹ Ef(x, y) = x + y

OBS: E é um conjunto munido da operação +.

Símbolos para operações:+: adição•: multiplicação6, w, ±, ✕, , , Ⓢ, …: genéricos

Exemplos:1) f : A ✕ A ‹ A onde f(x, y) = x + y, operação de adição sobre A.2) f : A+ ✕ A+ ‹ A+ onde f(x, y) = xy, operação de potenciação sobre A+.3) f : + ✕+ ‹+ onde f(x, y) = x , operação de divisão sobre +.4) h : P(E) ✕ P(E) ‹ P(E) onde h(X, Y) = X ß Y, operação de interseção sobre

P(E), conjunto das partes de E.5) f : E ✕ E ‹ E, E = Mmxn( ), onde f(x, y) = x + y, operação de adição sobre Mmxn( ).6) : E ✕ E ‹ E, E = conjunto das funções de em , f : ✕ ‹ e g : ✕ ‹

onde (f, g) = fog, operação de composição sobre .

Tábua de operaçãoSeja E = {a1, a2, a3, … an } finito com n > 1 e f : E ✕ E ‹ E onde ai + aj = aij.

‹ linha fundamental

~ coluna fundamental

Exemplos: Faça a tábua para as seguintes operações definidas no conjunto E dado. 1) E = {1, 2, 3, 6} com x + y = mdc(x, y)2) E = {Ø, {a}, {b}, {a, b}} com x + y = X † Y.3) E = {0, 1, 2, 3} com x + y = resto da divisão em A de x + y por 4.

Exercícios do Livro: Página 126: 132, 133, 134, 135, 138, 139, 140, 142, 143.

+ aj

ai aij

y

2

2

x2 + y2

Propriedades:Seja E é um conjunto munido da operação +.1) Associativa: x + (y + z) = (x + y) + z, para 6x, y, z < E.

Exemplos:1) Adição em A, A, , e ¢.2) Multiplicação em A, A, , e ¢.3) Adição em Mmxn(K), onde K = A, A, , ou ¢.4) Multiplicação em Mn(K), onde K = A, A, , ou ¢.5) Composição de funções de em .

Contra-exemplos:1) f : A+ ✕ A+ ‹ A+ onde f(x, y) = xy, operação de potenciação sobre A+.

2) f : + ✕ + ‹ + onde f(x, y) = x , operação de divisão sobre +.

OBS: Quando a operação for associativa não precisa de parêntesis. Quando não for, é obrigatório.

Exercícios do livro: 105c) E = + e x + y = 105a) E = e x + y = x+y

é associativa. não é associativa.

y

2

2

x2 + y2

2) Comutativa:x + y = y + x, para 6x, y < E.

Exemplos:1) Adição em A, A, , e ¢.2) Multiplicação em A, A, , e ¢.3) Adição em Mmxn(K), onde K = A, A, , ou ¢.

Contra-exemplos:1) Multiplicação em Mn(K), onde K = A, A, , ou ¢.2) Composição de funções de em .3) f : A+ ✕ A+ ‹ A+ onde f(x, y) = xy, operação de potenciação sobre A+.4) f : + ✕ + ‹ + onde f(x, y) = x , operação de divisão sobre +.5) f : A ✕ A ‹ A onde f(x, y) = x – y, operação de subtração sobre A.

Exercícios do livro: 108c) E = + e x + y = 108a) E = e x + y = x+y

é comutativa. é comutativa.

Tábua de operações

Uma operação + é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação à diagonal principal.

Exemplo: E = {1, 2, 3, 6} com x + y = mdc(x, y) é comutativa+ 1 2 3 61236

Exercícios do Livro: Página 114: Todos exceto 107.

3

y

2

x2 + y2

3) Elemento NeutroElemento neutro à esquerda para +: Ee < E/e + x = x, 6x < E.Elemento neutro à direita para +: Ee < E/x + e = x, 6x < E.

Se e é elemento neutro à direita e à esquerda para a operação +, dizemos que e é o elemento neutro para essa operação.

Proposição 6: Se a operação + sobre E tem um elemento neutro e, então ele é único.Dem:

Exemplos:1) Elemento neutro das adições em A, A, , e ¢ é o número 0.2) Elemento neutro das multiplicações em A, A, , e ¢ é o número 1.3) Elemento neutro da adição em Mmxn(K), onde K = A, A, , ou ¢ é a matriz

0mxn (matriz nula).4) Elemento neutro da multiplicação em Mn(K), onde K = A, A, , ou ¢ é a matriz In

(matriz identidade).5) Elemento neutro da composição de funções de em é a função idêntica I .

Contra-exemplos: Não tem elemento neutro1) f : A ✕ A ‹ A onde f(x, y) = x – y, operação de subtração sobre A.

2) f : + ✕ + ‹ + onde f(x, y) = x , operação de divisão sobre +.

Exercícios do livro:111c) E = + e x + y =

. O elemento neutro é 0.

111a) E = e x + y = x+y . Não tem elemento neutro.

x

3


Uma operação + tem elemento neutro desde que exista um único elemento cujas linha e coluna são, respectivamente, iguais à linha e coluna fundamentais.

Exemplo: E = {1, 2, 3, 6} com x + y = mdc(x, y). O elemento neutro é o 6.+ 1 2 3 61236

Exercícios do livro: Página 116: Todos exceto 115.

4) Elementos simetrizáveisSeja + uma operação sobre E que tem elemento neutro e.Dizemos que x < E é um elemento simetrizável para essa operação se

Ex‘ < E/x‘ + x = e = x + x‘. O elemento x‘ é chamado simétrico de x para a operação +.

Exemplos:1) Elementos simetrizáveis de x < A da adição em A é (–x).2) Elementos simetrizáveis de x < A da multiplicação em A são 1 e –1 são simetrizáveis.3) Elementos simetrizáveis de x < da multiplicação em são 1 , x m 0.4) Elementos simetrizáveis de A < Mmxn(K) da adição em Mmxn(K), onde K = A,, ou ¢

é (–A).5) Elementos simetrizáveis de A < Mn(K) da multiplicação em Mn(K), onde K = ,

ou ¢, somente se detA m 0, é A–1 (matriz inversa).6) Elementos simetrizáveis de f < da função composta de , se somente se f é

bijetora, é f–1 (função inversa).

3


Um elemento ai é simetrizável quando o elemento neutro figura ao menos uma vez na linha i e na coluna i da tábua, ocupando posições simétricas em relação à diagonal principal.

Exemplo: E = {1, 2, 3, 6} com x + y = mdc(x, y). Somente 6 é simetrizável..+ 1 2 3 61236

Proposição 7: Seja + uma operação sobre E que é associativa e tem elemento neutro e.a) Se um elemento x < E é simetrizável, então o simétrico de x é unico.b) Se x < E é simetrizável, então o seu simétrico x‘ também é e (x‘)‘ = x.c) Se x, y < E são simetrizáveis, então x + y é simetrizável e (x + y)‘ = y‘ + x‘.Dem:

OBS: Generalizando, por indução, Se a1, a2, a3, … an são elementos de E simetrizáveis, então (a1 + a2 + a3 +…+an )‘ = an + an–1 +…+a2 + a1.

‘ ‘ ‘ ‘

2

3

x2 + y2

Conjunto dos simetrizáveisDefinição 10: Se + é uma operação sobre E com elemento neutro e, indica U+(E) o

conjunto dos simetrizáveis de E para operação +.U+(E) = {x < E/Ex‘ < E, x‘ + x = e = x + x‘ } m Ø

OBS: e < U+(E), sempre.

Exemplos:U+(A) =U+(A) = U+(Mn( )) = U•(A) =U•( ) = U•(Mn( )) = Uo( ) =


. U+( +) =

116a) E = e x + y = x+y . U+( ) =

Exercícios do livro: Página 119: 116 e 117

5) Elementos regularesSeja + uma operação sobre E.Dizemos que a < E é um elemento regular (ou simplificável ou cumpre a lei do

cancelamento) à esquerda em relação à operação + se para 6x, y < E/a + x = a + y ‹ x = y, e à direita em relação à operação + se para 6x, y < E/x + a = y + a ‹ x = y. Se a é elemento regular à direita e à esquerda para a operação +, dizemos que a é regular para essa operação.

Exemplos:1) 3 é regular para adição em A.2) 3 é regular para multiplicação em A.3) 0 não é regular para multiplicação em A.

4)1 2

é regular para adição em M2( ).

5) não é regular para multiplicação em M2( ).

3 4

0 01 1

2

3

x2 + y2

Proposição 8: Se a operação + sobre E é associativa, tem elemento neutro e e um elemento a < E é simetrizável, então a é regular.

Dem:

Conjunto dos regularesDefinição 11: Se + é uma operação sobre E, indica R+(E) o conjunto dos regulares de E

para operação +.

OBS:1) Se a operação + tem elemento neutro e, então e < R+(E). Portanto, R+(E) m Ø.2) Se a operação + é associativa e tem elemento neutro, então U+(E) < R+(E).Exemplos:R+(A) =R+(A) = R+(Mn( )) = R•(A) =R•( ) = R•(Mn( )) = Ro( ) =


. R+( +) =

120a) E = e x + y = x+y . R+( ) =

3


a é regular quando na linha e na coluna de a não há elementos iguais.Exemplo: E = {1, 2, 3, 6} com x + y = mdc(x, y).

+ 1 2 3 61236

Exercícios do livro: Página 120 : 120, 121,122,123.

6) DistributivaSejam + e 6 duas operações sobre E.Dizemos que 6 é distributiva à esquerda em relação à operação + se para

x6(y + z) = (x6y) + (x6z) 6x, y, z < E, e à direita em relação à operação + se para(y + z)6x = (y6x) + (z6x). Quando 6 é distributiva à direita e à esquerda para a operação +, dizemos que 6 é distributiva em relação à operação +.

Exemplos:1) Multiplicação em A (ou ) é distributiva em relação à adição em A (ou ).2) Multiplicação em Mn( ) é distributiva em relação à adição em Mn( ).

Contra-exemplos:1) A potenciação em A+ não é distributiva em relação à multiplicação em A+.

2) A munido da operação de adição e da operação 6 onde a6b = a2b. 6 não é distributiva à direita em relação à adição.

3

3) Com a tábua E = {1, 2, 3, 4} com a6b = a e ± definida pela tábua± 1 2 3 41 1 2 3 42 2 1 4 33 3 4 1 24 4 3 2 1

6 é distributiva à direita em relação à operação ±.

Mas 6 não é distributiva à esquerda em relação a operação ±.

OBS:1) Se a operação 6 é distributiva à esquerda em relação à operação + e se 6

é comutativa, então 6 também é distributiva à direita em relação à operação +.2) Se a operação 6 é distributiva à direita em relação à operação + e se 6 é

comutativa, então 6 também é distributiva à esquerda em relação à operação +.3) Portanto, quando a operação 6 é comutativa, a distributiva unilateral de 6 em relação

à operação + implica a distributiva de 6 em relação à operação +.

Exemplos:A interseção de conjuntos é distributiva em relação à união e vice-versa.

Exercícios do livro:Página 123: 125 e 126Página 132: 144, 145, 147, 148, 149, 150, 151

3

PARTE FECHADA PARA UMA OPERAÇÃO

Definição 12: Sejam + uma operação sobre E e A m Ø, A < E. Dizemos que A é uma parte fechada de E para operação + se, somente se, 6x, y < A verifica-se x + y < A.

Exemplos:1) A m Ø, A < A. A é parte fechada para as operações + e • em A.

2) m Ø, < . é parte fechada para as operações + e • em .

3) + m Ø, + < . + é parte fechada para a operação • em .

4) D2( ) m Ø, D2( ) < M2( ), onde D2( ) é conjunto das matrizes diagonais 2 ✕ 2.D2( ) é parte fechada para as operações + e • em M2( ).

Contra-exemplos:1) A– não é parte fechada para a operação • em , mas é para a operação + em .

2) – não é parte fechada para as operações + e • em .

Exercícios do livro: Página 123: 127, 128, 129 e 130.

+

3

CAPÍTULO 4 - GRUPO

DATA / /

Definição 1: Seja G m Ø munido de uma operação:(x, y) > x + y sobre G

A operação + sobre G é chamada de grupo se essa operação se sujeita aos seguintes axiomas:

1) Associatidade: x + (y + z) = (x + y) + z, para 6x, y, z < G.2) Existência de Elemento neutro: Ee < G/e + x = x + e = x, 6x < G.3) Existência de simétricos: 6x < G, Ex‘ < G/x‘ + x = e = x + x‘.Se a comutativa for válida, além dos axiomas anteriores, o grupo é chamado de grupo

abeliano (Em honra ao matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829)). Se não for válida a comutativa, o grupo é chamado de grupo não-abeliano.

Notação: (G, +) G tem uma estrutura de grupo em relação à operação +.(G, +) grupo aditivo (simétrico é chamado de oposto (–x)).(G, •) grupo multiplicativo (simétrico é chamado de inverso (x–1)).

Exemplos:1) (A, +) grupo aditivo dos números inteiros.2) ( , +) grupo aditivo dos números racionais.3) ( ,+) grupo aditivo dos números reais.4) (¢, +) grupo aditivo dos números complexos.5) (Mn(K), +) grupo aditivo de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K =

A, , ou ¢, ou qualquer outro conjunto K.6) ( +, •) grupo multiplicativitivo dos números racionais.7) ( +,•) grupo multiplicativo dos números reais.8) (¢+, •) grupo multiplicativo dos números complexos.9) ( +, 6) onde a6b =

ab é um grupo abeliano.2

10) ( , ±) onde a ± b = a + b – 5 é um grupo abeliano.

3

Contra-exemplos:1) (A, •) não é grupo multiplicativo dos números inteiros.

2) ( + ✕ , +) onde (a, b) + (c, d) = (ac, bc + d) é um grupo não-abeliano.

PropriedadesSeja (G,*) um grupo.1) O elemento neutro do (G, +) é único.2) O elemento simétrico de cada elemento de G é único.3) Se e é o elemento neutro, então o e‘ = e. 4) (a‘ )‘ = a, 6a < G.5) (a + b)‘ = b‘ + a‘.6) (a1 + a2 + a3 +…+an )‘ = an + an–1 +…+a2 + a1‘ ‘ ‘ ‘

7) Todo elemento de G é regular para a operação +, ou seja,6x, y < G/a + x = a + y ‹ x = y e x + a = y + a ‹ x = y.

8) No grupo G, a equação a + x = b (ou x + a = b) tem conjunto solução unitário, constituído do elemento a‘ + b.

GRUPOS FINITOS

Definição 2: Um grupo (G, +) em que G é finito, chama-se de grupo finito. Definição 3: o(G) é o número de elementos de G, chamado de ordem do grupo.

Exemplo: G = {–1, 1}, (G, •) um grupo multiplicativo é grupo finito e o(G) = 2.

OBS:Se o grupo finito (G, +) é abeliano, então a sua tábua é simétrica em relação à

diagonal principal.

Exemplo: Tábua de um grupo finito (G, +)G = {a, b, c, e}

+ e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

A operação + é comutativa, associativa, tem elemento neutro, todo elemento é simetrizável e regular.

4

GRUPOS IMPORTANTES

1) Grupos lineares de grau n (multiplicativo, não comutativo se n > 1)

(Mn(k), •) onde K = , ou ¢ não é grupo porque nem toda matriz tem um simétrico (é inversível).

Seja GLn(k) = {A < Mn(k)/ det A m 0}.In < GLn(k)GLn(k) é um grupo não-abeliano, chamado de grupo linear racional, real ou complexo, de

grau n conforme K = , ou ¢

2) Grupos aditivos de classes de restos (comutativo)

(Am, +) é um grupo abeliano, chamado de grupo aditivo das classes de restos módulo m.Lembrando que Am = { 0 , 1 , …, m – 1} onde 6 a , b < Am, chama-se soma a + b a classe

a + b.0 é o elemento neutro de Am. O simétrico de a < Am é m – a. Exemplo: (A3, +)

+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

3) Grupos multiplicativos de classes de resto.

(Am, •) não é um grupo, apesar de 1 ser o elemento neutro, valer a associativa e comutatica, nem todo elemento é simetrizável.

Exemplo: (A4, •)

somente 1 e 3 são simétrizáveis.

OBS: 6a, b < Am, chama-se produto a • b a classe a • b.

• 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

4

m m

+

4

Exemplo: (A+, •)

não é grupo porque não é uma operação binária.

OBS: A+ = A – { 0 } com operação • nem sempre é grupo multiplicativo abeliano.

Proposição 1: (Am, •) é um grupo multiplicativo abeliano se e somente se m é primo.Dem:

• 1 2 31 1 2 32 2 0 23 3 2 1

4

4) Grupos das permutações

Permutação é o termo específico usado na teoria dos grupos para designar um bijeção de um conjunto nele mesmo.

Definição 4: Seja E m Ø. Chama-se permutação de E toda função bijetora f de E em E(f : E ‹ E).

OBS: Se E é finito, toda função injetora ou sobrejetora f : E ‹ E é bijetora e, portanto, f é uma permutação em E.

Exemplo: A função idêntica de E. IE : E ‹ E. IE(x) = x, 6x < E é bijetora. Portanto, IE é uma permutação de E.

Definição 5: O conjunto de todas as permutações de um conjunto E indica-se por S(E).S(E) = f : E ‹ E/f é onde E = {1, 2,…, n}.

Exemplo: (S(E), o) é um grupo.1) Associativa: (fog)oh = fo(goh), 6f, g, h < S(E).2) Elemento neutro: foIE = IEof = f, 6f < S(E).3) Todo elemento f < S(E) é simetrizável e seu simétrico é a permutação inversa

f–1 < S(E).fof–1 = f–1of = IE

Portanto, (S(E), o) é chamado o grupo das permutações sobre E.

4

OBS: (S(E), o) onde E = {1, 2,…, n} é de ordem n!, isto é, o(S(E)) = n!.

Definição 6: Chama-se Sn para (S(E), o) o grupo das permutações de ordem n ou grupo simétrico de grau n.

OBS: (S(E), o) é um grupo não-abeliano para n > 2.

Exemplos:1) n = 1o(S(E)) = 1 e E = {a}.f(a) = a, 6a < E.Então S(E) = {IE } é um grupo abeliano.

2) n = 2o(S(E)) = 2! = 2 e E = {a, b}.

a bS(E) = {f1, f2 } onde f1 =

b a

a be f2 = .

a b

A tábua fica:

o f1 f2

f1 f2 f1

f2 f1 f2

Portanto, (S(E), o) é um grupo abeliano.

3) n = 3o(S(E)) = 3! = 6 e E = {1, 2, 3}.

S(E) = {f0, f1, f2, g1, g2, g3 } onde f0

=1 2 31 2 3

, f1

=1 2 32 3 1

, f2 =1 2 3

,3 1 2

g1 = 1 2 31 3 2

, g2 = 1 2 33 2 1

e g3

=1 2 32 1 3

A tábua fica:

Tábua não é simétrica.

Portanto, (S(E), o) é um grupo. Mas C3 = {f0, f1, f2 } é um grupo abeliano.

o f0 f1 f2 g1 g2 g3

f0 f0 f1 f2 g1 g2 g3

f1 f1 f2 f0 g3 g1 g2

f2 f2 f0 f1 g2 g3 g1

g1 g1 g2 g3 f0 f1 f2

g2 g2 g3 g1 f2 f0 f1

g3 g3 g1 g2 f1 f2 f0

4

,

GRUPOS DA SIMETRIA

1) Simetria do triângulo equiláteroDefinição 7: Denomina-se simetria de um triângulo equilátero T qualquer

aplicação bijetora f : T ‹ T que preserva distâncias.Preservar distâncias significa que, se a e b são pontos arbitrários do triângulo, então a

distância de f(a) e f(b) é igual a distância de a e b.

FIGURA 1 - Simetria do triângulo equilátero (Rotação no sentido anti-horário)

Define-se T = {1, 2, 3} o conjunto dos vértices do triângulo, D3 = {R0, R1, R2, X, Y, Z} o conjunto das simétrias do triângulo:

R0, R1, R2 as rotações de 0○, 120○ e 240○ em torno do seu centro O, no sentido anti-horário;X, Y, Z as reflexões de n radianos em torno das retas x, y e z.dadas por:

R0

=

X =

1 2 31 2 3

1 2 31 3 2

, R1

=

Y =

1 2 32 3 1

1 2 33 2 1

, R2

=

e Z =

1 2 3,

3 1 2

1 2 32 1 3

(D3, o) é um grupo não-abeliano, pois R0 é o elemento neutro, todos os elementos são simétrizáveis, a associativa vale por se tratar de particular composição de aplicações e não é válida a comutativa.

A tábua fica:

. A composta de duas rotações é uma rotação. A composta

de duas reflexões é uma rotação.A composta de uma rotação com uma reflexão e vice-versa é uma reflexão.

o R0 R1 R2 X Y ZR0 R0 R1 R2 X Y ZR1 R1 R2 R0 Z X YR2 R2 R0 R1 Y Z XX X Y Z R0 R2 R1

Y Y Z X R1 R0 R2

Z Z X Y R2 R1 R0

4

,

2) Simetria do quadradoDefinição 8: Denomina-se simetria de um quadrado Q qualquer aplicação bijetora

f : Q ‹ Q que preserva distâncias.

FIGURA 3 - Simetria do quadrado (Rotação no sentido anti-horário)

Define-se Q = {1, 2, 3, 4} o conjunto dos vértices do quadrado,D4 = {R0, R1, R2, R3, X, Y, Z, W} o conjunto das simétrias do quadrado:

R0, R1, R2,R3 as rotações de 0º, 90º, 180º e 270º em torno do seu centro O, no sentido anti-horário;

X, Y, Z, W as reflexões de n radianos em torno das retas x e y, e z e w.dadas por:

R0

=

X =

1 2 3 41 2 3 4

1 2 3 41 4 3 2

, R1

=

Y =

1 2 3 44 1 2 3

1 2 3 43 2 1 4

, R2

=

, Z =

1 2 3 43 4 1 2

1 2 3 42 1 4 3

, R3

=

, W =

1 2 3 42 3 4 1

1 2 3 44 3 2 1

(D4, o) é um grupo não-abeliano, pois R0 é o elemento neutro, todos os elementos são simétrizáveis, a associativa vale por se tratar de particular composição de aplicações e não é válida a comutativa.

4

A tábua fica:

.

A composta de duas rotações é uma rotação. A composta de duas reflexões é uma rotação.A composta de uma rotação com uma reflexão e vice-versa é uma reflexão.

PRODUTO DIRETO

Sejam G e L grupos multiplicativos (ou aditivos).(G ✕ L, •) é um grupo. Se G e L forem abelianos, então (G ✕ L, •) também será.(G ✕ L, •) onde (a, b) • (c, d) = (ac, bd), 6(a, b), (c, d) < G ✕ L.Provando que é um grupo.1) Associativa: [(a. b) • (c, d)] • (e, f) = (ac, bd) • (e, f) = ((ac)e, (bd)f) = (a(ce), b(df)) =(a, b) • (ce, df) = (a, b) • [(c, d) • (e, f)]2) Elemento neutro: se eG e eL são elementos neutros de G e L, respectivamente, então

(eG, eL ) é o elemento neutro de G ✕ L.3) Elemento oposto: Se (a, b) < G ✕ L e a‘ e b‘ os inversos de a e b em G e L. Então(a, b) • (a‘, b‘) = (aa‘, bb‘ ) = (eG, eL )

Exercícios do livro: Página 155: 1 a 6, 8,11,14 a 20.

o R0 R1 R2 R3 X Y Z WR0 R0 R1 R2 R3 X Y Z WR1 R1 R2 R3 R0 Z W Y XR2 R2 R3 R0 R1 Y X W ZR3 R3 R0 R1 R2 W Z X YX X Z Y W R0 R2 R1 R3

Y Y W X Z R2 R0 R3 R1

Z Z Y W X R3 R1 R0 R2

W W X Z Y R1 R3 R2 R0

4

SUBGRUPOS

Definição 8: Seja (G, +) um grupo. Diz-se que um subconjunto não-vazio H < G é subgrupo de G se:

a) H é fechado para operação +, isto é, 6a, b < H, a + b < H.b) (H, +) também é um grupo.

Exemplos:1) A < é fechado para a operação + em .(A, +) é um grupo.Portanto, (A, +) é um subgrupo de .2) (P, +) dos números inteiros pares é um subgrupo de (A, +).3) (I, +) dos números inteiros ímpares não é um subgrupo de (A, +).4) (A, +) é um subgrupo de ( , +), que é de ( , +).5) ( +, +) é um subgrupo de ( +, +).6) Sejam S3 = {f0, f1, f2, g1, g2, g3 }, conjunto das permutações, e C3 = {f0, f1, f2 } < S3.

C3 é fechado para a composição de funções. C3 é subgrupo de S3.

OBS:1) A associatividade da operação + em G garante a associatividade desta operação em

H, porque H < G.2) O elemento neutro e de um grupo (G, +) também é o elemento neutro de todos os

seus subgrupos.3) O simétrico de 6a < H no subgrupo (H, +) coincide com o simétrico de a < G no grupo

(G, +).

4

OBS: Todo grupo (G, +) em que o conjunto G tem mais de um elemento admite pelo menos dois subgrupos:

(G, +) ({e}, +)

chamados de subgrupos triviais ou impróprios de G.

Exemplos:

1) Todos subgrupos de (A4, +) :

(A4, +).

(A4, +) ({ 0 }, +)

({ 0 , 2 }, +)

(A6, +) ({ 0 }, +)

. Mas ({ 0 , 3 }, +) não é subgrupo de

2) Todos subgrupos de (A6, +) : .({ 0 , 3 }, +)

({ 0 , 2 , 4 }, +)

3) Todos os subgrupo de ({e, a, b, c}, +) onde são

({e, a, b, c}, +) ({e}, +)({e, a}, +) .({e, b}, +)({e, c}, +)

O par ({e, a, b}, +) não é subgrupo pois a + b = c ø {e, a, b, c}.4) Todos os subgrupos do grupo (D3, o) das simetrias do triângulo equilátero, onde

(D3, o)({R0 }, o)({R0, X},

o)D3 = {R0, R1, R2, X, Y, Z} são:

.({R0, Y}, o)({R0, Z}, o)

({R0, R1, R2 }, o)

Teorema 1: Sejam (G, +) um grupo e H uma parte não vazia de G. O par (H, +) é um subgrupo de (G, +) se, e somente se, são válidas as duas seguintes condições:

1) 6a, b < H ‹ a + b < H.2) 6a < H ‹ a‘ < H.Dem:

+ e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

4

Teorema 2: Sejam (G, +) um grupo e H uma parte não vazia de G. O par (H, +) é um subgrupo de (G, +) se, e somente se, é válida aseguinte condição: 6a, b < H ‹ a + b‘ < H.

Dem:

Exemplo: Consideremos ( 2, +) onde (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e o conjuntoH = {(x, y) < 2/y = 2x}.

Mostrar que (H, +) é um subgrupo do ( 2, +).

Exercícios do livro: Página 158: 28,29,31 a 34, 36 a 39, 41,42,44.

5

+

+

+

+

+

HOMOMORFISMO E ISOMORFISMOS DE GRUPOS

Definição 9: Dá-se o nome de homomorfismo de um grupo (G, +) num grupo (J, 6) a toda aplicação f : G ‹ J tal que, quaisquer que sejam x, y < G tem-se f(x + y) = f(x)6f(y).

OBS: Se J = G e a operação é a mesma, chama-se homomorfismo de G.

Definição 10: Seja f : G ‹ J um homomorfismo de grupos. Se f for também uma bijeção, então será chamada de isomorfismo do grupo (G, +) no grupo (J, 6). Neste caso, diz-se que f é um isomorfismo de grupos.

OBS: Se J = G e a operação é a mesma, f é um isomorfismo de G.Notação: (G, +) ÷ (J, 6).

Exemplos: + +1) Sejam ( , +) um grupo aditivo e ( +, •) grupo multiplicativo. A função f : ‹ + dada

por f(x) = 2x é um homomorfismo de ( , +) em ( +, •).É um homomorfismo injetor? simÉ um homomorfismo sobrejetor? sim É um isomorfismo de grupos? sim

2) Sejam (¢+, •) um grupo multiplicativo e ( +, •) grupo multiplicativo. A função f : ¢+

dada por f(z) = |z| é um homomorfismo de (¢+, •) em ( +, •).É um homomorfismo injetor? nãoÉ um homomorfismo sobrejetor? sim É um isomorfismo de grupos? não

‹ +

3) Sejam (A, +) um grupo aditivo e (Am, +) grupo aditivo com m > 1. A função f : A ‹ Am

dada por f(x) = x é um homomorfismo de (A, +) em (Am, +).É um homomorfismo injetor? nãoÉ um homomorfismo sobrejetor? sim É um isomorfismo de grupos? não

4) Sejam (M2( ), +) um grupo aditivo e ( , +) grupo aditivo. A função f : M2( ) ‹ dada

a bpor f = a + d é um homomorfismo de (M2( ), +) em ( , +).

c d

É um homomorfismo injetor? nãoÉ um homomorfismo sobrejetor? sim É um isomorfismo de grupos? não

+ +5) Sejam ( +, •) grupo multiplicativo e ( , +) um grupo aditivo. A função f : + ‹ dada

por f(x) = log x é um isomorfismo de ( +, •) em ( , +).

5

6) Sejam (A4, +) um grupo aditivo e (G, •) grupo multiplicativo onde G = {±i, ±1} cuja a tábua é dada por:

. A função f : A4 ‹ G dada por f( 0 ) = 1, f( 1 ) = i, f( 2 ) = –1 e

f( 3 ) = –i é um isomorfismo de (A4, +) em (G, •). Mas não é única: g : A4 ‹ G dada porg( 0 ) = 1, g( 1 ) = –i, g( 2 ) = –1 e g( 3 ) = i é um isomorfismo de (A4, +) em (G, •) também.

PropriedadesSejam (G, +) e (J, 6) dois grupos cujos elementos neutros respectivos são e1 e e2 e

f : G ‹ J um homomorfismo de (G, +) em (J, 6).1) f(e1) = e2

2) Se 6a < G, então f(a–1) = [f(a)]–1.3) f(a + b–1) = f(a)6[f(b)]–1

4) Se H é um subgrupo de G, então f(H) é um subgrupo de J.Dem:

• 1 –1 i –i

1 1 –1 i –i–1 –1 1 –i ii i –i –1 1–i –i i 1 –1

5

Proposição 1: Sejam G, J, e L grupos. Se f : G ‹ J e g : J ‹ L são homomorfismos de grupos, então o mesmo se pode dizer de gof: G ‹ L.

Dem:

Corolário 1: Se f e g são homomorfismo injetores (sobrejetores) então gof também é homomorfismo injetor (sobrejetor).

Proposição 2: Se f : G ‹ J é um isomorfismos de grupos, então f–1 : J ‹ G também é um isomorfismo de grupos.

Dem:

Exercícios do livro: Páginas 171: 48,49,52,54, 55, 56, 58 (sem fazer o núcleo quando épedido), 59, 60,62,63,64,66,67 e 68,

5

5

GRUPOS CÍCLICOS

Definição 11: Seja (G, •) grupo multiplicativo. Se a < G e m < A, então am < G definido da seguinte maneira:

Se m Ç 0, então a0 = e elemento neutro de G e am = am–1 • a se m Ç 1.Se m < 0, então am = (a–m )–1

OBS: em = e.

Exemplo: (A+, •).

Proposição 3: Seja (G, •) grupo multiplicativo. Se m e n são números inteiros e a < G, então:

1) am • an = am+n

2) a–m = (am )–1

3) (am )n = amn

Definição 12: Seja (G, +) grupo aditivo. Se a < G e e m < A, a • m < G definido da seguinte maneira:

Se m Ç 0, então 0 • a = e elemento neutro de G e m • a = (m – 1) • a + a se m Ç 1.Se m < 0, então m • a = –[(–m) • a]

Proposição 4: Seja (G, +) grupo aditivo. Se m, n < A e a < G, então:1) ma + na = (m + n)a2) (–m)a = –(ma)3) n(ma) = (nm)a

Definição 13: Se a < G onde (G, •) é um grupo multiplicativo. Define-se[a] = {am/m < A} = {a0, a1, a2, …, am, … }

onde [a] < G e [a] m Ø

Proposição 5:1) O subconjunto [a] é um subgrupo abeliano de G.2) Se H é um subgrupo de G ao qual a pertence, então [a] < H.OBS: De 2), tem-se que [a] é o menor subgrupo de G que inclui o elemento a.Dem:

5

Definição 14: Um grupo multiplicativo G será chamado de grupo cíclico se, para algum elemento a < G, se verificar a igualdade [a] = G.

Nessas condições, o elemento a é chamado gerador do grupo G.G = {am/m < A} para algum a < G.

OBS:1) No caso do grupo aditivoG = {ma/m < A} = {…, (–2)a, –a, e = 0. a, a, 2a, … }2) [a] não é necessariamente infinito.3) Um grupo cíclico pode ter mais do que um gerador.

Teorema 3: Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.Dem:

Exemplos:1) ( +, •) grupo multiplicativo–1 < + e temos [–1] = {(–1)m/m < A} = {–1, +1}.Portanto, ({–1, +1}, •) é um grupo cíclico de ( +, •) gerado pelo elemento –1.

2) (A, +) é um grupo cíclico pois 1 < A é um elemento gerdor, assim com –1 < A tambémé.

A = {1k/k < A} = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… }

3) (A, +) grupo aditivo.3A = {3k/k < A} = {…, –9, –6, –3, 0, 3, 6, 9,… }(3A, +) é um subgrupo cíclico de (A, +) gerado pelo elemento 3 ou –3.

4) ({1, –1, i, –i}, •) é um grupo cíclico pois i é um elemento gerador, assim com –i tambémé.

5

5) ({3, 5, 7, 9}, +) definido pela tábua é um grupo cíclico, . 5 é o elemento

gerador. 9 também é.

6)(A5, +) é um grupo cíclico. 3 é o elemento gerador. Mas 1 , 2 e 4 também são.

7) Devido à teorema anterior, são subgrupo cíclicos de A[0] = {0}[1] = [–1] = A[2] = [–2] = {…, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6,… }[3] = [–3] = {…, –9, –6, –3, 0, 3, 6, 9,… }

+ 3 5 7 93 3 5 7 95 5 7 9 37 7 9 3 59 9 3 5 7

f0 f2

5

Teorema: Em grupo cíclico finito de ordem n, para o qual a é o elemento gerador, n é o menor número natural tal que an = e

Definição 15: A ordem, de um subgrupo cíclico finito é igual ao menor número natural npara qual an = e (n. a = e) para n Ç 1.

Exemplos:1) ( +, •) grupo multiplicativo. Subgrupo cíclico gerado por -1 é ([–1], •) = ({–1, 1}, •).o(–1) = o([–1]) = 2.Portanto, ([–1], •) tem ordem finita.

2) (A6, +) grupo aditivo.([2], +) = ({ 0 , 2 , 4 }, +)o([ 2 ]) = 3 tem ordem finita.o([ 0 ]) = 1, o([ 3 ]) = 2, o([ 1 ]) = o([ 5 ]) = 6, o([4]) = 3

3) No grupo das permutações (S3, o), a ordem do elemento g2 < S3 é 3, ondeS3 = {f0, f1, f2, g1, g2, g3 }([g2 ], o) = ({f0, g2, g3 }, o)o = 1, o f1 = o = o([g3 ]) = 2, o([g1 ]) = 3.

Exercícios do livro: Página 183: 74, 75,76, 78 a 82, 84 a 87, 94 a 98.

5

Capítulo IV:

Página 155; 1,4,7,14 a 20.Página 158: 28,29,31,32,36,38Página 160: 39,41,44Página 171: 48,49Página 172: 54,59,60,62,63,64,66,67Página 183: 74,82,85,86

5

CAPÍTULO 5 - ANEL

DATA / /

Definição 1: Seja A m Ø munido de duas operações:(x, y) > x + y adição

(x, y) > x. y multiplicação O conjunto A com as duas operações é chamado anel se:1) (A, +) é um grupo abeliano2) Se x, y, z < A, então x(yz) = (xy)z3) Se x, y, z < A, então x(y + z) = xy + xz e (x + y)z = xz + yz

Isto é, os itens 2 e 3 dizem que a multiplicação é associativa e distributiva em relação à adição.

Obs: Adição e multiplicação podem ser outras operações, como + e 6.

Notação: (A, +, •) ou (A, +, 6)

Exemplos:1) (A,+,•) anel dos números inteiros.2) ( ,+,•) anel dos números racionais.3) ( ,+,•) anel dos números reais.4) (¢,+,•) anel dos números complexos.5) (Mn(K), +,•) anel de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K = A, , ou

¢, ou qualquer outro anel K.6) (Am,+,•) anel das classes de resto módulo m, m > 1.

7) (A, +, •) é um anel das funções de A em A onde A = AA = {f/f : A ‹ A}.Se f, g < A, define-se soma f + g e produto f • g como sendo:f + g : A ‹ A e (f + g)(x) = f(x) + g(x), 6x < Af • g : A ‹ A e (fg)(x) = f(x) • g(x), 6x < A

5

3

Obs: Sejam A um anel e X m Ø um conjunto. (AX, +, •) é um anel onde f : X ‹ A, com as operações análogas ao que foi feito em AA.

8) Sejam X = {a, b}, A = A2 = {0, 1}. e f uma função f : X ‹ A2 onde:a b a b

f = , g =0 0 1 1

a b, h =

0 1

a be u =

1 0. (AX, +, •) é um anel.

9) A = a + b /a, b < A . (A, +, •) é um anel.

10) ({0A}, +, •) é um anel.

Propriedades:Seja (A, +,•) um anel. Como (A,+) é um grupo abeliano, tem-se:1) O elemento neutro OA é único (é o elemento neutro do (A, +)).2) O oposto –a de um elemento de A do anel é único.3) Se a1, a2,…, an < A, então –(a1 + a2 +…+an) = –(a1) + (–a2) +…+(–an).4) Se a < A, então –(–a) = a.5) Se a + x = a + y, então x = y (Todo elemento de A é regular). Vale a lei do

cancelamento para adição.6) A equação a + x = b tem uma e única solucão (x = b + (–a)).7) Se a < A, então a. 0A = 0A. a = 0A.

6

8) Se a, b < A, então a(–b) = (–a)b = –(ab).

9) Se a, b < A, então (–a). (–b) = a. b.

Definição 2: Sejam a, b < A. Chama-se diferença entre a e b e indica-se por a – b o elemento a + (–b) < A.

Portanto, a – b = a + (–b).

10) Se a, b, c < A, então a(b – c) = ab – ac e (a – b)c = ac – bc.

Exercícios do livro: Página 226: 1,2,4,5,12,16,17 e 18.

TIPOS DE ANÉIS

1. Anel comutativoDefinição 3: Seja A um anel. Se a multiplicação de A goza da propriedade comutativa,

isto é, ab = ba para quaisquer a, b < A, então se diz que A é um anel comutativo.

Exemplos:São anéis comutativos:1) (A, +, •) anel dos números inteiros.2) ( , +, •) anel dos números racionais.3) ( , +, •) anel dos números reais.4) (¢, +, •) anel dos números complexos.5) (Am, +, •) anel das classes de resto módulo m, m > 1. 6) (AX, +, •)

6

Contra-exemplo: (Mn(K), +, •).

2. Anel com unidade

Definição 4: Seja A um anel. Se A conta com elemento neutro para a multiplicação, isto é, se existe um elemento 1A < A, 1A m 0A tal que:

a • 1A = 1A • a = a, 6a < Aentão se diz que 1A é a unidade de A e que A é um anel com unidade.

Exemplos:1) (A, +, •) anel dos números inteiros.2) ( , +, •) anel dos números racionais.3) ( , +, •) anel dos números reais.4) (¢, +, •) anel dos números complexos.5) (Am, +, •) anel das classes de resto módulo m, m > 1.6) (Mn(K), +, •) anel de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K = A, , ou

¢.7) (AX, +, •) um anel com unidade.

u : X ‹ A onde u(x) = 1A é a unidade do anel AX.6f < AX e 6x < X / (f • u)(x) = f(x) • u(x) = f(x) • 1A = f(x).

Contra-exemplo: (nA, +, •) não possuem unidade quando n m ±1.

Exemplo: (A4, +, •)

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

• 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

6

Potências em um anelDefinição 4:. Seja A um anel com unidade. Se a < A e n é um número natural, define-se

an por recorrência:a0 = 1A

an+1 = an • a (n Ç 0)

Propriedades:Seja A um anel com unidade. Se a < A e n, m são um números naturais, então:

1) am • an = am+n

2) (am )n = amn

3. Anéis comutativos com unidadeDefinição 5: Um anel cuja multiplicação é comutativa e que possui unidade chama-se

anel comutativo com unidade.

Exemplos:1) (A, +, •) anel dos números inteiros.2) ( , +, •) anel dos números racionais.3) ( , +, •) anel dos números reais.4) (¢, +, •) anel dos números complexos.5) (Am, +, •) anel das classes de resto módulo m, m > 1.6) (AX, +, •) um anel com unidade.

6

3

4. Anéis FinitosDefinição 6: Seja (A, +, •) um anel. Se A é um conjunto finito então (A, +, •) é um anel

finito.

Exemplos:1) (Am, +, •) anel das classes de resto módulo m, m > 1.2) (AM, +, •) onde M é um conjunto finito de m elementos e A um conjunto finito de a

elementos. Então AM tem am elementos.

SUBANÉIS

Definição 7: Sejam (A, +, •) um anel e L um subconjunto não vazio de A. Diz-se que L é um subanel de A se:

1) L é fechado para as operações que dotam o conjunto A da estrutura de6a, b < L ‹ a + b < L

anel: .6a, b < L ‹ a • b < L

2) (L, +, •) também é um anel.

Exemplos:1) A é um subanel de , e ¢.2) é um subanel de e ¢.3) é um subanel de ¢4) Mn(A) é um subanel de Mn( ), Mn( ) e Mn(¢).5) Mn( ) é um subanel de Mn( ) e Mn(¢).5) Mn( ) é um subanel de Mn(¢).6) Seja B = a + b /a, b < A . (B, +, •) é um subanel de ( , +, •).

Obs: Todo anel não-nulo (A, +, •) admite pelo menos dois subáneis: (A, +, •) e ({0}, +, •).

2

6

Proposição 1: Sejam A um anel e L < A, L m Ø. Então L é um subanel de A, se e somente se, se a – b < L e a. b < L, sempre que a, b < L.

Dem:

Obs: A proposição acima pode ser enunciada como: Sejam A um anel e L< A, L m Ø. Então L é um subanel de A se e somente se, L é um subgrupo do grupo aditivo(A, +) e a. b < L, sempre que a, b < L.

Exemplos:1) B é um subanel de , onde B = a + b 2 /a, b < A= A .

2) (A, +, •) é um anel das funções de em onde A = = {f/f : ‹ }.L = {f < A/f(1) = 0} é um subanel de A.

6

Sejam A um anel com unidade e L um subanel de A. As seguintes possibilidades podem ocorrer:

1) L possui unidade e essa unidade é a mesma de A.Ex: A subanel de .

2) L não possui unidade, mesmo A sendo um anel com unidade.Ex: 2A subanel de A.

3) L e A são anéis com unidade, mas as unidades são diferentes.

Ex: L =

a 0 1 0/a < é subanel de M2( ).

0 0 0 1é unidade de M2( ) e

1 0é unidade de L.

0 0

Sejam A um anel e L um subanel de A. As seguintes possibilidades podem ocorrer:4) Nem L nem A possuem unidades.Ex: 4A subanel de 2A.

5) A não é um anel com unidade, mas L possui unidade.Ex: A = 2A ✕ A não possui unidade.L = {0} ✕ A é subanel de A cuja unidade é o par (0, 1).

Exercícios do livro: Página 226: 3,6,9,10,12,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29.

6

22 2

HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO DE ANÉIS

Definição 8: Dá-se o nome de homomorfismo de um anel (A, +, •) num anel (B, +, •) a toda aplicação:

f : A ‹ B/6x, y < A : f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).

Obs:1) Se A = B com as mesmas operações, então f será chamada de homomorfismo de A.2) Se f é injetor, então f é um homomorfismo injetor.3) Se f é sobrejetor, então f é um homomorfismo sobrejetor.

Definição 9: Sejam (A, +, •) e (B, +, T) dois anéis e f : A ‹ B um homomorfismo de (A, +, •) e (B, +, T). Diz-se que o homomorfismo f é um isomorfismo de (A, +, •) em (B, +, T), se e somente se, a função é bijetora.

Exemplos:1) f : A ‹ B com (A, +, •) e (B, +, T)f(x) = 0B (x < A) é um homomorfismo de anéis.

2) f : A ‹ A2 com (A, +, •) e (A2, +, T) com (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e(a, b)T(c, d) = (ac, bd).

f(x) = (x, 0) é um homomorfismo de (A, +, •) em (A2, +, T).

3) Af : A

= a + b 2 /a, b < ‹ A 2 onde f(a + b 2 ) = a – b 2 . f é um homomorfismo em A .

6

2 2 2 2 2

4) Sejam ( , +, •) e ( , +, T) onde a + b = a + b + 1 e aTb = a + b + ab.f : ‹ definida como f(x) = x – 1 é um isomorfismo de ( , +, •) em ( , +, T).

5) Sejam ( , +, •) e (A, +, •) onde A = {(a, a)/a < }.f : ‹ A definida como f(x) = (x, x) é um isomorfismo de ( , +, •) em (A, +, •).

6) f : A ‹ A onde f(a + b

) = a – b

. f é um isomorfismo em A .

7) Sejam (A6, +, •) e (A2 ✕ A3, +, •)f : A6 ‹ A2 ✕ A3 definida como f( a ) = ( a , a ) é um isomorfismo de (A6, +, •) e (A2 ✕ A3, +, •).Se substituirmos as entradas das tábuas +, • de A6 pelos correspondes elementos

correspondentes de A2 ✕ A3, obtém-se como resultado exatamente as tábuas de A2 ✕ A3

A6 A2 ✕ A30 ( 0 , 0 )

1 ( 1 , 1 )2 ( 0 , 2 )3 ( 1 , 0 )4 ( 0 , 1 )5 ( 1 , 2 )

6

Contra-exemplo:1) f : A ‹ 2A com (A, +, •) e (2A, +, •). f(x) = 2x não é um homomorfismo de (A, +,

•) em(2A, +, •).

2) Sejam (A4, +, •) e (A2 ✕ A2, +, •). A4 e A2 ✕ A2 não são isomorfos.

A4 A2 ✕ A20 ( 0 , 0 )

1 ( 1 , 1 )

2 ( 0 , 0 )

3 ( 1 , 1 )

Proposição 2: Se f : A ‹ B é um homomorfismo de anéis, então: 1) f(0A) = 0B

2) f(–a) = –f(a)

3) f(a – b) = f(a) – f(b)

Teorema 1: Se f : A ‹ B um homomorfismo sobrejetor de anéis e suponhamos que A possua unidade. Então

1) f(1A) é a unidade de B e, portanto, B também é um anel com unidade.2) Se a < A é inversível, então f(a) também é e [f(a)]–1 = f(a–1).Dem:

6

Contra-exemplo: f : A ‹ A2 com f(x) = (x, 0) é homomorfismo, mas não é sobrejetor, pois

Im(f) = {(n, 0)/n < A} m A2. Neste caso, f(1) = (1, 0) m (1, 1).

Proposição 3: Se f : A ‹ B um homomorfismo de anéis e L é um subanel de A, então f(L)

é um subanel de B.Dem:

Exemplo: f : A ‹ A2 com f(x) = (x, 0) é homomorfismo, então Im(f) = {(n, 0)/n < A} é um subanel de A2.

Proposição 4: Sejam f : A ‹ B e f : B ‹ C homomorfismos de anéis. Então, gof : A ‹ C

também é um homomorfismo de anéis.Dem:

7

Definição 10: Sejam A um anel e L um subanel de A, ambos com unidade. Se 1A = 1L, diz-se que L é um subanel unitário de A.

Exemplo: L é um subanel do anel ( , +, •). L possui unidade, então essa unidade é a mesma de , ou seja, é o número real 1.

Proposição: Se f : A ‹ B um isomorfismo de anéis. Então f–1 : B ‹ A também é um isomorfismo de anéis.

Dem:

7

ANEL DE INTEGRIDADE

Definição 11: Seja A um anel comutativo com unidade. Se para esse anel vale a lei do anulamento do produto, ou seja, se um igualdade do tipo

ab = 0A

em que a, b < A, só for possível para a = 0A ou b = 0A. Então se diz que A é um anel de integridade ou domínio.

Isto é, se a m 0A e b m 0A, então ab m 0A para 6a, b < A.Se ab = 0A, então a = 0A ou b = 0A.

Exemplos: São anéis de integridade:1) (A, +, •) anel dos números inteiros.2) ( , +, •) anel dos números racionais.3) ( , +, •) anel dos números reais.4) (¢, +, •) anel dos números complexos.

Contra-exemplos:1) (6A, +, •) não é um anel de integridade, onde 6A = {0, ±6, ±12, … }, porque é

um anel comutativo sem unidade.

2) (A, +, •) não é um anel integridade, onde A = AA = {f/f : A ‹ A}.Se f, g < A, define-se soma f + g e produto f • g como sendo:f + g : A ‹ A e (f + g)(x) = f(x) + g(x), 6x < Af • g : A ‹ A e (fg)(x) = f(x) • g(x), 6x < A.Considere f, g: A ‹ A da seguinte maneira:

f(x) = 1 se x = 0 0 se x m 0 e g(x) = 0 se x = 0

1 se x m 0

3) (Mn(K), +,•) é um anel com unidade I, mas não é anel de integridade.

Obs: Se não vale a lei do anulamento do produto, então no anel há pelo menos um par de elementos a, b m 0A tais que ab = 0A. Quando isso se verificar, diz-se que a e b são divisores próprios do zero do anel.

7

Conclusão: Um anel de integridade pode ser definido com um anel comutativo com unidade que não possui divisores próprios do zero.

Exemplo: (Am, +, •) é um anel comutativo com unidade 1 , mas não é anel de integridade.

Exemplo: (A, +, •) não possui divisores de zero.

Exercício: Encontrar os divisores próprios de zero do (A6, +, •).

Proposição 4: Um anel de classes de restos Am é um anel de integridade se, e somente se, m é um número primo.

Dem:

Proposição 5: Seja A um anel comutativo com unidade. Então A é um anel de integridade se, e somente se, todo elemento não nulo de A é regular para a multiplicação.

Dem:

3 3

3

7

CORPODefinição 12: Seja A um anel comutativo com unidade. U(A) é o conjunto de todos os

elementos de um anel que têm simétrico multiplicativo (elementos inversíveis).

Obs: U(A) m Ø e 0A ø U(A).

Exemplos:1) (A, +, •) ‹ U(A) = {–1, +1}2) ( , +, •) ‹ U( ) = +

3) ( , +, •) ‹ U( ) = +

4) (¢, +, •) ‹ U(¢) = ¢+

Definição 13: Seja K um anel comutativo com unidade. Se U(K) = K+ = K – {0}, então K recebe o nome de corpo.

Exemplos: São corpos: , e ¢. Mas A não é corpo.

Outra forma de definir: Corpo é todo (K,+, •) tal que são válidas:1) (K, +) é um grupo abeliano.2) (K+, •) é um grupo abeliano.3) A multiplicação é distributiva em relação a adição.

Exemplos: São corpos:1) (Am, +, •) com m primo.

2) , +, •sendo = a + b 3 /a, b < .

Contra-exemplo: Não é corpo: A , +, •

7

Propriedades: Seja (K,+, •) um corpo. Sejam a, b, c < K1) –(–a) = a

2) x + a = b ‹ x = b – a.

3) a + b = a + c ‹ b = c

4) a. 0 = 0. a = 0

5) a(–b) = (–a)b = –(ab)

6) (–a)(–b) = ab

7) a(b – c) = ab – ac

7

Teorema 2: Todo corpo (K, +, •) não possui divisores de zero.Dem:

Proposição 6: Todo corpo é um anel de integridade.Dem:

Proposição 7: Todo anel de integridade finito é corpo.Dem:

7

APÊNDICE A

DEFINIÇÕES

Hipótese = Na lógica tradicional, a proposição particular compreendida como implícita à tese, ou inclusa nela; na lógica moderna, fórmula que figura como pressuposto de uma dedução e que, distintamente de um axioma, tem apenas um caráter transitório. Em matemática, conjunto de dados de que se parte para procurar demonstrar por via lógica uma proposição nova.

Tese = Proposição que se enuncia, que se expõe, que se sustenta.Axioma ou Postulado = Na lógica aristotélica, ponto de partida de um raciocínio

considerado como indemonstrável, evidente.Proposição = palavra utilizada para designar os teoremas de uma certa teoria. É uma

sentença declarativa à qual se pode atribuir um valor lógico.Teorema = Proposição científica que pode ser demonstrada. Formulação fechada de

uma teoria, que pode ser obtida a partir dos axiomas desta teoria através de uma seqüência finita de aplicações das regras de dedução.

Corolário = Consequência imediata de um teorema.Lema = É um teorema cuja utilidade está na prova do próximo teorema.

CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTECaso: P ‹ Q (vale Q se valer P ou vale P somente se valer Q)A hipótese P é a condição suficiente de Q (suficiente para a validade de Q); A tese Q é a condição necessária de P.

Caso: P ¤ Q (P se e somente se Q)Qualquer uma das proposições P e Q é ao mesmo tempo necessária e suficiente para a

validade da outra.P e Q são proposições equivalentes.

TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO1. Principio da indução.Muito útil para demonstrar proposições que se referem a números inteiros. Ele está

implícito em todos os argumentos onde se diz “e assim por diante”, “ e assim sucessivamente” ou “etc...”

a) Verificar a proposição para o 1º valor de n;b) Suponha verdadeira a proposição para n qualquer dado.c) Mostre que a proposição é verdadeira para n + 1 usando b) como hipótese.

2. Demonstração DiretaHipótese ‹ Tese

7

3. Demonstração indireta~Tese ‹

~Hipótese(Prova-se a contrapositiva da condicional)

4. Demonstração por absurdoHipótese verdadeira e a tese é falsa ‹ Negação da Hipótese

5. Demonstração de existênciaA demonstração muitas vezes é feita simplesmente exibindo-se um objeto que cumpre

a(s) condição(ões) desejada(s).

6. Demonstração por contra-exemploPara demonstrar que uma proposição ou propriedade é falsa, basta dar um

contra-exemplo.

OBS:O principio da não contradição afirma que uma proposição não pode ser verdadeira

juntamente com sua negação. Em outras palavras, se uma proposição P for verdadeira, sua negação ~P não pode ser verdadeira.

O principio do terceiro excluído afirma que qualquer proposição P é verdadeira ou falsa. Em outras palavras, ou P é verdadeira, ou ~P é verdadeira, não sendo possível uma terceira alternativa.

P ‹ Q é equivalente a ~Q ‹ ~P

grupos abelianos

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