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GRUPO E

Ariane da Silva Paiva RA: ��Mayara de Souza Gomide RA: ��

Viviane Silva Freire RA: ��

Agradecimentos:

Henrique N. Sá SaerpGuilherme Tavares da Silva

Prefácio

Através da disciplina MA��-Análise de Livros e MateriaisDidáticos de Matemática oferecida no segundo semestre de ��pela Universidade Estadual de Campinas-Unicamp, vamos ela-borar nessa tarefa uma parte de um livro didático.

O grupo escolheu o nível e o conteúdo que foram, respec-tivamente, Ensino Fundamental II (�º ano) e números naturais.Iremos abranger dois capítulos: sistemas de numeração e ope-rações básicas.

Para a escrita de conteúdos dos capítulos, nos baseamosna "Base nacional comum curricular". Lembrando que os conteú-dos abordados no segundo capítulo, um aluno de sexto ano jáconhece, porém agora serão tratados com um pouco mais de ri-gor e profundidade.

Sobre este livro...

Oii, pessoal!

Prestem bem a atenção,

aqui explicaremos como

este livro funcionará.

Vamos lá?

O que você

precisa saber?

B Conteúdos que vocêjá viu, mas vamosprecisar.

,! O que vamos conquistar com nossos estu-dos!

Exercícios Propostos/ Complementares

Quando este ícone aparecer teremos um exercício decálculo mental. Responda rapidinho!

Este ícone indica um desa�o, está preparado?!

Exercícios Propostos após a apresentação de cada conteúdo.

Exercícios Complementares ao �nal do capítulo.

Exemplo

Exercício resolvido para você seinspirar!

Atenção!

Fique de olhonas

informaçõesimportantes!

Resumo

⇧ Principais ideias vistas no capítulo.

Colocando em prática

Que tal acabar uma unidade colocando a"mão na massa"com os amigos?!

Sumário

I NÚMEROS NATURAIS

1 Sistemas de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1 Sistema de numeração na antiguidade . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Sistema de numeração indo-arábico . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Operações básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Unidade I

�

Capítulo �

Sistemas de Numeração

Por milhares de anos, a humanidade desen-volveu diversas formas de fazer registros de seusacontecimentos. Hoje, para fazer algum registro,usamos números e letras. Mas, você sabia quenem sempre os registros foram feitos com os nú-meros e as letras que usamos hoje? Neste capítulo,veremos como os Egípcios, Mesopotâmicos, Ro-

manos, Maias e Indo-arábicos registravam seusnúmeros e as principais características dos siste-mas de numeração usados por eles.

O que você

precisa saber?

B Composição e decompo-sição de um número pormeio de adições e multi-plicações por ��.

,! Conhecer diferentes sistemas de numeração e suas principaiscaracterísticas;

,! Reconhecer o sistema de numeração decimal posicional indo-arábico;

,! Aprender a representação decimal dos números naturais;,! Entender o sentido do número.

�

1.1 Sistema de numeração na antiguidade

Os nossos antepassados começaram a contar objetos envolvidos na sua vidatribal, tais como pessoas, comidas, animais, dias...

Para essa contagem, eram usados objetos como pedras. Por exemplo, cadaovelha do seu rebanho equivalia a uma pedra, ou seja, havia uma correspondência

de um para um entre ovelhas e pedras. Para cada ovelha que saía de manhã parapastar era separada uma pedra em um monte e, no final do dia, quando o rebanhovoltava, o pastor retirava do monte uma pedrinha para cada ovelha, sabendo, assim,se algum animal não havia voltado.

Os primeiros registros de contagem eram feitos em ossos de animais e em

madeira.Porém esses registros estavam longe do ideal, e foi em civilizações antigas

que o aperfeiçoamento do registro e da ideia de número começou.

Matemática, � ��

Sistema de numeração EgípcioHá cerca de �� anos, os egípcios criaram símbolos para expressar números.

Na tabela a seguir, observe como é feita a representação:

| 2 3 4 5 6 7� ��

Agora, veja como são representados os números de � a ��:

� = | � = |||||| �� =2| �� =2||||||� = || � = ||||||| �� =2|| �� =2|||||||� = ||| � = |||||||| �� =2||| �� =2||||||||� = |||| � = ||||||||| �� =2|||| �� =2|||||||||� = ||||| �� =2 �� =2||||| �� =22

O número �� poderia ser expresso com:

||||||||||Porém, vemos que ele é representado por:

2Isso significa que:

||||||||||=2O mesmo acontece para representar o número ��, ao invés de expressar

por:

2222222222Matemática, � ��

Ele é representado por:

3Ou seja:

2222222222 = 3E assim, ocorre para � ��, �� , �� e � �� .

Os egípcios contavam formando grupos de �� em ��, as-sim como o nosso sistema de numeração. A cada �� unidadesde uma ordem, as transformamos em � unidade da ordem supe-rior. Esse sistema é chamado de decimal ou chamado de base

��.

Atenção!Cada um dossinais da

escrita egípciaé conhecidocomo

hieróglifo.

O sistema de numeração egípcio é escrito na base ��.

Em cada ordem no sistema de numeração egípcio pode-mos representar no máximo � hieróglifos.

�ª ordem |||||||||�ª ordem 222222222�ª ordem 333333333�ª ordem 444444444�ª ordem 555555555�ª ordem 666666666�ª ordem 777777777

Vimos que os egípcios possuíam símbolos apenas paraos números �, ��, ��, � ��, �� , �� , � �� , mascomo fazemos para expressar o número �� ou o número ��?


�� =3222| �� =3332222|||||Exemplo

�. Vejamos agora outros números:

a) �� = ||||||| 2222b) �� = 333333333222 ||||||||c) �� = || 333 44 5d) � �� =76655544332222|||||No sistema de numeração egípcio, não importa a posição que os símbolos

são representados, por exemplo, 2 sempre vai representar ��, independente daposição que ele ocupa.

O sistema de numeração egípcio é não-posicional.

Exercícios Propostos

1. Represente na numeração egípcia os números:a) 65b) 123c) 1173d) 13579

2. Quais números estão representados?a) 2||b) 33222||||||||c) 444333322|||||d)7776553333332|||


Sistema de numeração MesopotâmicoOs registros das civilizações da Mesopotâmia eram

feita em placas de barro. Eram usados bastonetes para

marcar a placa, ainda mole, e depois eram cozidas no

fogo ou secas ao sol.

Para representar os números eram usados apenas

dois símbolos: e . Estes símbolos são chamados de

cunha e é por isso que sua escrita é chamada de cunei-

forme.

Veja como são representados os números de � a ��:

Agora observe como representar os números:

��

��

��

��

��


A representação do �� é:

Você achou estranho? Os pesquisadores também acharam! Então, começaram

a pesquisar. Vamos investigar como os mesopotâmicos escreviam a tabuada do �:

Até o �� nós já sabemos como escrever, agora repare como são escritos os demais

números:

�� O �� é escrito como �� + �.

�� O �� é escrito como �� + ��.




Observe que a cada �� peças de uma ordem, é trocado por uma peça na ordem

seguinte.

�� + � ��

+

�� + � ��

+

Isso significa que o sistema de numeração mesopotâmico é de base ��.

O sistema de numeração mesopotâmico é escrito na base ��.

Exemplo

�. Escreva o número � e o número �� em cuneiforme.

Para escrever o número �, você precisa de � cunhas ( ) que representam uma

unidade cada. Para escrever o número �� você precisa de � cunha ( ) que re-

presenta ��, e mais � cunha ( ) que representa uma unidade.

Perceba que para os dois números você usará os mesmos símbolos e a mesma

quantidade. O que você deve fazer para diferenciar esses dois números?

Veja a representação dos números � e ��:

� =

�� =


Atenção!Os

mesopotâmicosnão possuíamum símbolo

para representaro número zero.

Observe que cada mudança de ordem representamos por

um espaço entre as cunhas. As cunhas precisam estar devi-

damente espaçadas para não gerar confusão.

No sistema de numeração mesopotâmico, a posição das

cunhas é necessária para expressar o número, ou seja, é um

sistema posicional.

O sistema de numeração mesopotâmico é um sistema

posicional.

Em alguns casos, mesmo representando corretamente, o

espaço não será suficiente, por exemplo o número � e o nú-

mero ��, são representados da mesma forma:

� = e �� =

No final desta civilização, os mesopotâmicos criaram um

símbolo para distinguir, por exemplo, o � do ��, que é: .

Este novo símbolo era usado para representar uma ordem

vazia onde somente o espaço ainda deixava duvidas de qual

número era. Contudo este símbolo não é a representação do

número zero. Os Mesopotâmicos não possuíam uma número

para representar o vazio.


1. Quais números estão representados?a)b)c)d)


Sistema de numeração Romano

O sistema de numeração romano ainda é empregado atualmente, principal-

mente para expressar os séculos. Por exemplo, o século vinte e um é expressado

por XXI. Os símbolos usados no Império Romano para representar os números eram:

Valor � � ��

Símbolo I V X L C D M


� = I � = VI �� = XI �� = XVI

� = II � = VII �� = XII �� = XVII

� = III � = VIII �� = XIII �� = XVIII

� = IV � = IX �� = XIV �� = XIX

� = V �� = X �� = XV �� = XX

Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, seguidamente, até � vezes. Vamos ob-

servar a estrutura de dois números, são eles o � e o �:

� = IV = � - � � = VI = � + �

Repare que a mesma estrutura é usada para escrever os números: �, ��, ��, ��, ��,

��, ��, ��:

� = IX = �� - � �� = XI = �� +�

�� = IL = �� -� �� = LI = �� + �

�� = XC = �� - �� = CX = �� + ��

�� = CD = �� - �� = DC = �� +��

Podemos constatar que a posição que o I ocupa no numeral muda o valor. Se uma

letra vem depois de outra que tem valor igual ou maior, representa uma adição

de valores, como o número � (VI).Se as letras I, X ou C vêm antes de outra letra de

maior valor, elas representam uma subtração quando: I aparece antes de V ou X,

X aparece antes de L ou C e quando C aparece antes de D ou M, assim como ocorre

no � (IV).


O sistema de numeração romano é posicional.

Veja como são representadas as ordens neste sistema de numeração:

�ª ordem �ª ordem �ª ordem �ª ordem

M C CC CCC CD D DC DCC DCCC DCM X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC I II III IV V VI VII VIII IX

O sistema de numeração romano, assim como o sistema de numeração egípcio,

é escrito na base ��.


1. Represente na numeração Romana os números:

a) 65b) 123c) 681d) 1173

2. Que horas são?


Sistema de numeração Maia

Vamos estudar agora o sistema de numeração desenvolvido pela civilização me-

soamericana Maia.

Os símbolos usados para expressar os números eram: , e .


Veja como é representado o número ��:

Sabemos que a concha representa o zero, então o ponto que está em cima da

concha vale vinte.

Agora, vamos ver como são representados os números de �� a ��:


Note que o número é representado por duas ordens, va-

mos analisar o �� para entendermos melhor:

�ª ordem ��

�ª ordem �

Na primeira ordem, representamos valores de � a ��, a par-

tir de �� representamos na ordem seguinte.

Os Maias contavam formando grupos de �� em ��. A cada

�� unidades de uma ordem é trocado por uma unidade da

ordem seguinte.

O sistema de numeração maia é escrito na base ��.

Veja como podem variar os valores em cada ordem:

�ª ordem ��

�ª ordem �� - ��

�ª ordem �� - ��

�ª ordem �� - ��

�ª ordem � - ��

Atenção!As ordens sãodiferenciadaspor um espaçoentre elas.O posiciona-mento entreas ordenstambém émuito

importante.

Agora veja um exemplo de como o espaçamento entre as

ordens é importante:

�

��

Vamos observar o posicionamento entre elas:

Para escrever ��, precisamos de um ponto para represen-

tar o vinte e dois para representar o número dois.


Para escrever ��, precisamos de dois pontos para representar o quarenta e um

para representar o número um, ou seja, precisamos da mesma quantidade e dos

mesmos símbolos para representar os dois números.

��: ��:

O sistema de numeração maia é posicional.


1. Escreva estes números usando a representação Maia.

a) 31b) 45c) 72d) 104e) 112f) 146g) 185h) 190


1.2 Sistema de numeração indo-arábico

A origem do nosso sistema de nume-

ração (o indo-arábico) começou a ser cri-

ada no vale do Rio Indo, pela civilização

Indiana, há cerca de �� anos. Esse sis-

tema de numeração possui influências

de outros povos que os indianos tive-

ram contato, e foi apenas por volta do

século V que o sistema de numeração

indo-arábico se configurou como conhe-

cemos hoje.

Já no século VII, com a expansão do estado islâmico pelo Oriente

Médio, norte da África e sul da Europa, o povo árabe apropriou-se do

sistema de numeração indiano e divulgou por todo território que do-

minava. Foi o matemático Leonardo Fibonacci, em ��, com a pu-

blicação do seu livro, Liber Abaci que propiciou o uso do sistema de

numeração indo-arábico por toda Europa.


A base do sistema numérico indo-arábico

No nosso sistema, usamos apenas �� símbolos para expressar qualquer número,

são eles: �, �, �, �, �, �, �, �, �, �.

A contagem no sistema indo-arábico é feita em agrupamos de �� em ��, ou seja,

a cada �� unidades temos � dezena, e a cada �� dezenas temos uma centena. Isso

caracteriza o sistema de base decimal.

O sistema numérico indo-arábico é escrito na base ��.

�� unidades= � dezena

�� unidades = � dezenas

�� unidades = � dezenas + � unidades

�� unidades = �� dezenas

�� dezenas = � centena + � dezenas

Com esses algarismos, conseguimos expressar qualquer número que imagina-

mos.

Vejamos como é a decomposição de um número na base ��.

�� = � centenas +� dezenas +� unidades

�� = �� + �� + �

�� = �⇥ �� + �⇥ �� + �

Todo número indo-arábico pode ser decomposto em soma de múltiplos de ��.


Exemplo

�. Veja como fica a decomposição com números maiores de � casas:

a) �� = �⇥ �� + �⇥ �� + �⇥ �� + �⇥ ��

b) �� = �⇥ �� + �⇥ �� + �⇥ �� + �⇥ �� + �


1. Decomponha os números em soma de múltiplos de 10 :

a) 918b) 104c) 7263d) 64551e) 48127

2. Quais outros sistemas, estudado em sistema de numeração da an-tiguidade, é escrito na base 10?

Sistema Posicional indo-arábico

Vamos observar os números �� e ��.

O número �� é composto por � e �.

O número �� é também é composto por � e �.

O valor que o número � representa no �� e no �� são iguais?

No ��, o � representa � unidades, já no �� o � representa � dezenas.

Qual é o valor do � no número ��? E no número ��?

No ��, o � representa � dezenas, já no �� o � representa � unidades.

Veja a representação no quadro de centena:

CENTENA DEZENA UNIDADE

�� II III

�� III II


A posição que o algarismo ocupa no número indica o valor que ele representa.

Essa é uma característica do sistema posicional.

O sistema de numeração indo-arábico é posicional.

Exercícios Propostos3. Quais outros sistemas, dos sistemas de numeração da antiguidadeestudados, são sistemas posicionais?

Observe como são organizadas as ordens no sistema de numeração indo-arábico.

A cada três ordens, temos uma nova classe:

Classe Milhões Milhares Unidades

Ordem C D U C D U C D U

Exercícios Propostos4. Qual é o número que está representado ?

a)Unidade de Milhar Centena Dezena Unidade

IIIII IIIIIII

b)Unidade de Milhar Centena Dezena Unidade

III IIII IIIII

c)Unidade de Milhar Centena Dezena Unidade

I II IIIIIIII

d)Unidade de Milhar Centena Dezena Unidade

IIIIIII IIIIIIII

e)Unidade de Milhar Centena Dezena Unidade

I II

f)Unidade de Milhar Centena Dezena Unidade

IIIII IIIIIII

g)Unidade de Milhar Centena Dezena Unidade

IIII


O zero

Vimos que a criação dos números surgiu a partir da necessidade do homem de

contar objetos, porém não existia um número para representar o vazio, o que não

existe ou contar o que não temos.

Quando representamos um número ou operamos usando um quadro de cente-

nas ou um ábaco não precisamos representar a posição vazia. Observe:

Centena Dezena Unidade

� � III IIIII

�� III IIIII

Porém na escrita precisávamos diferenciar os números �� e ��, precisávamos de

uma representação para a posição vazia.

Os números naturais

Os primeiros números criados a partir da contagem foram os números naturais

que são representados pelo conjuto

N = �, �, �, �, �, �, �, �, ...

O sucessor

Vamos observar a sequência dos números naturais:

�, �, �, �, �, �, �, �, �, �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, . . .

Sucessor é o número que vem imediatamente depois do outro na sequência

dos números naturais.

Observe que para obter o próximo número da sequência dos números naturais fa-

zemos:


Sucessor = número +�

O sucessor de � é � = �+�.

O sucessor de � é � = �+�.

O sucessor de �� é �� = ��+�.

O sucessor de �� é �� = ��+�.

O primeiro número natural é o zero e para obter o próximo número basta

somar um.

Exemplo

�. Vamos observar o número �� na sequência dos números naturais.

a) Qual é o sucessor do número ��?

Temos que a única possibilidade para sucessor do número �� é o ��, pois

��+�=��.

b) O �� pode ser sucessor do ��?

Não, o �� é sucessor do ��.

Cada número natural possui apenas um sucessor.

Exercícios Propostos5. Complete a tabela com os sucessores.

0 1 3 4 5 7 910 12 14 15 17 1820 21 23 26 29

32 3744 48


Todo número natural tem um sucessor.

O antecessor

Vamos observar a sequência dos números naturais:

�, �, �, �, �, �, �, �, �, �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, . . .

Antecessor é o número que vem imediatamente antes do outro na sequência

dos números naturais.

Observe que para obter um número da sequência dos números naturais:

antecessor = número -�

O antecessor de � é � = �-�.

O antecessor de � é � = �-�.

O antecessor de �� é �� = ��-�.

O antecessor de �� é �� = ��-�.

Existe algum número natural que não tenha antecessor?

O Zero é o único número natural que não tem antecessor e não é sucessor de

nenhum número.

Exercícios Propostos6. Complete a tabela com os antecessores.

0 2 3 4 6 7 910 12 14 15 17 18

21 23 27 2932 36

43 49


O sentido do número

Vimos que os números naturais foram criados para auxi-

liar na contagem, mas essa é a única função do número hoje

em dia?

Vamos conhecer outros sentidos que os números têm.

a) Ordinal

O número ordinal expressa uma ordem.

Exemplo: Pedro ficou em �º (lê-se terceiro) lugar na com-

petição de natação.

O �º indica uma posição.

b) Cardinal

O número cardinal expressa uma quantidade.

Exemplo: A cidade de Campinas possui ��.�� habitan-

tes.

��.�� indica uma quantidade, neste caso, da popula-

ção de Campinas.

c) Medida

O número pode expressar uma medida, como o tempo,

tamanho, peso.

Exemplo: O nosso intervalo dura �� minutos.

O número �� está expressando uma duração de tempo.

d) Nominal

O número expressa uma identidade.

Exemplo: O número do celular da Joana é ��-��.

O número ��-�� expressa o telefone da Joana.

O número do RG, CPF, cartão de crédito também.


Exercícios Complementares�. Já vimos como os números estão pre-

sentes no nosso dia a dia. Cite � exem-

plos de situações em que você usa os

números naturais.

�. Coloque os números que estão fal-

tando nas retas numéricas abaixo:

a)

b)

�. Complete a tabela:

Antecessor Número Sucessor

��

��

� ��

��

��

��

�. Super Trunfo é um jogo de cartas e

foi muito popular na década de ��.

Basicamente, cada carta lista uma sé-

rie de qualidades numéricas. Cada jo-

gador deve escolher uma das qualida-

des e comparar com a de seu adver-

sário. Quem tiver o maior número ga-

nha a carta do oponente. O objetivo

do jogo é conquistar todas as cartas

do seu adversário. Veja a seguir algu-

mas cartas:

A carta �A pertence a João e a carta

�A pertence a Paulo. Agora, responda:

Quem tem maiores chances de con-

quistar a carta do adversário? Por

quê?

�. Qual é O sucessor do número CC

XL VII escrito com algarismos indo-

arábicos?

�. Na figura temos um ábaco:

a) Qual o número formado no ábaco?

b) Qual o maior número que pode ser

formado neste ábaco

c) Quantas peças a mais são neces-

sárias para se formar o número

�.��?

�. Qual era o maior numeral que podia

ser escrito no sistema de numeração

egípcio antigo?

�. Um livro tem seus capítulos numera-

dos de � a ��, porém no sistema de nu-

meração romano. Quantos ”X” e quan-

tos ”I”foram utilizados nesta numera-

ção?

�. Mostre que:

a) A soma � + � + � é igual a � vezes o

seu sucessor dividido por �.

b) A soma � + � + � + � é igual a � vezes

o seu sucessor dividido por �.

c) E se somarmos até ��?

Resumo

⇧ Características do sistema de numeração Egípcia:

• Sistema não posicional.

• Base ��.

• Não possui representação para o zero.

⇧ Características do sistema de numeração Mesopotâmico:

• Sistema posicional.

• Base ��.

• O zero foi inventado no final desta civilização.

⇧ Características do sistema de numeração Romano:


• Base ��.

• Não possui representação para o zero.

⇧ Características do sistema de numeração Maia:


• Base ��.

• Possui representação para o zero.

⇧ Características do sistema de numeração Indo-arábico:


• Base ��.

• Possui representação para o zero.

⇧ Características dos números naturais:

• Cada número natural possui apenas um número natural.

• O Zero é o único número natural que não tem antecessor e não é su-

cessor de nenhum número.

• Todo número natural tem um sucessor.

• O conjunto dos números naturais é infinito.

⇧ O sentido do número:

• Ordinal.

• Cardinal;

• Medida;

• Nominal.


Capítulo �

Operações Básicas

Felipe tinha �� figurinhas. Num jogo, ganhou� de cada um de seus � colegas e depois comproumais ��. Chegando em casa, separou-as em � mon-tinhos.

Com quantas figurinhas Felipe ficou no total equantas ficaram em cada montinho?

O que você

precisa saber?

B Conhecer os números na-turais;

B Composição e decomposi-ção numérica;

B Leitura e interpretação;B As quatro operações.

,! Resolver problemas que envolvam cálculos com números natu-rais, por meio de estratégias variadas;

,! Compreensão dos processos envolvidos nos problemas;,! Conhecer as propriedades da cada operação.

��

Você sabe como resolver um problema?Há diversas formas para resolver um problema. Aqui, ensinaremos um método

desenvolvido em �� por um professor de matemática, George Pólya. O métodoleva seu nome: Modelo Pólya.

A seguir veremos o passo a passo para a resolução de um problema.

�. Compreensão do problema

• No problema, o que é pedido?• Que dados nos são fornecidos?• Existem condições?• Se sim, quais?• A informação fornecida é suficiente?• Faça um desenho escolhendo uma notação adequada.

�. Estabelecimento de um plano

• Alguma vez viu este problema ou semelhante?• Se sim, pode utilizar o mesmo método de resolução?• Fez utilização de todos os dados?• Que estratégias são possíveis na resolução deste problema?

�. Execução do plano

• Coloque o seu plano em ação, verificando sempre cada passo que der.

�. Verificação

• É possível verificar o resultado obtido?• Se sim, ele está de acordo com os dados do problema?• Poderia chegar ao resultado através de outro caminho?• O método utilizado pode ser utilizado em outros problemas?


Felipe e suas figurinhas!Agora, vamos resolver o problema das figurinhas de Felipe se-

guindo o Modelo Pólya.�. Compreensão do problema

• Quantas figurinhas Felipe tem e quantas ficaram emcada montinho.

a) Tinha �� figurinhas e ganhou � figurinhas de cada umdos seus � colegas.

b) Comprou �� figurinhas.c) Separou em � montinhos.

• Não há condições.• As informações são suficientes.


• Deixaremos os três primeiros itens como uma resposta pessoal e partire-mos para o quarto item.

• O plano a ser traçado é interpretar a partir do dado "a"até chegar ao dado"c"e obter as respostas que queremos.

a) Começaremos as operações através deste item. Se ganhou, significa que va-mos somar � figurinhas com o que ele já tinha, ��, porém, foi de � colegas,então teremos que descobrir quantas figurinhas ganhou de seus amigosno total.

b) Se comprou �� figurinhas, somaremos elas ao total obtido em a), e assim,teremos a resposta para a primeira pergunta.

c) Ao separar, significa que dividiu as figurinhas em � partes, pegaremos ototal em b) e dividiremos por �, e assim, teremos a resposta da segundaparte da pergunta.


Agora, faremos as operações para descobrirmos os valores.


�. Verificação

• Felipe tinha �� figurinhas e dividiu-as em � montinhos com � figurinhasem cada um.

• Faremos a volta, se Felipe tinha � figurinhas em � montinhos, �⇥ � = �� eobtemos o total de �� figurinhas. Logo, o que fizemos está correto.

• Tente com seu professor e seus amigos outras formas de resolver o mesmoproblema!

2.1 Adição

No nosso dia-a-dia, estamos sempre fazendo contas. Uma delas é a de adição,que usamos quando queremos juntar, acrescentar ou somar.


• A menina precisa de �� reais pra comprar um brinquedo.• Ela tem �� reais guardado.• Ganhou mais �� reais da sua avó.• Ganhou �� reais da sua tia.• Ganhou �� reais do seu primo.


• Precisamos somar todo o dinheiro que a menina tem.• Verificar se esse valor é igual ou maior que �� reais.



• Para resolver o problema da menina fazemos:

�� + �� + �� + �� = ��

• temos que �� é maior que ��.

Ela já tem �� reais, que é mais do que o preço do brinquedo, ou seja, ela podecomprar o brinquedo e ainda terá dinheiro sobrando.


1. Usando o método Pólya, resolva o problema do menino.

NomenclaturaJá estamos habituados a resolver este tipo de contas, mas você se lembra como

são chamados os termos da adição ?

��!parcela ou termo

+ ��!parcela ou termo

��! soma ou total

Propriedades

ComutativaQual é o resultado de:

�� + �?

E o resultado de:

� + ��?


Reparou que o resultado é o mesmo?�� + � = � + �� = ��

Na adição de números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.

Se a e b são números naturais, temos que:

a + b = b + a

Isto é, não importa a ordem dos números que estamos somando, o resultadosempre será o mesmo.

AssociativaPrecisamos somar � + � + �.Para resolver, precisamos somar primeiro dois números e depois somar a este

resultado o terceiro número.A escolha dos dois primeiros números pode interferir no resultado?Vejamos:

� + � = �� => �� + � = ��

ou

� + � = � => � + � = ��

Reparou que o resultado é o mesmo?

As parcelas da adição podem ser agrupadas de maneiras diferentes e, mesmo

assim, o total não será alterado.

Se a, b e c são números naturais, temos que:

a + (b + c) = (a + b) + c

Vamos ver mais exemplos:


Exemplos�. (�� + �) + � = �� + � = ��

�� + (� + �) = �� + � = ��=) (�� + �) + � = �� + (� + �)

�. (�� + �) + �� = �� + �� = �� + (� + ��) = �� + �� = ��=) (�� + �) + �� = �� + (� + ��)

Existência do Elemento NeutroQual é o resultado de:

�� + � ?E o resultado de:

� + �� ?O que você percebeu com os resultados?O zero não interfere no resultado da soma, ou seja, se somarmos o zero a qual-

quer número, o resultado será o próprio número. Por isso, chamamos o zero de ele-mento neutro da adição.

Ao somarmos zero a qualquer número, o resultado é o próprio número, pois o

zero é elemento neutro da adição.

Se a é um número natural, temos que:

a + � = a

Exemplos�. � + � = ��. �� + � = ��. �� + � = ��. � + �� = �� + � = ��


Exercícios Propostos�. Você consegue calcular mentalmente? Registre suas respostas.

a) (�� + ��) + �b) � + ��c) �� + (�� + �) + �d) � + �� + (� + �)e) �� + ��

2.2 Subtração

No início do ano, uma classe da escola possuía um certo número de alunos. Nofinal do �º semestre, saíram �� alunos e, no início do �º semestre, foram matricu-lados mais �, totalizando, agora, �� alunos. Quantos alunos havia nessa classe noinício do ano?

Vamos analisar o problema usando o modelo Pólya:�. Compreensão do problema

• Precisamos saber: quantos alunos havia no começo do ano.O que sabemos:

a) Saíram �� alunos no primeiro semestre.b) Entraram � alunos no segundo semestre.c) Totalizando com �� alunos.



• Sabemos que saíram �� alunos e entraram �, portanto,de um semestre para outro, diminuíram � alunos. Ouseja, do total no início, diminuíram � e restou ��.


�. Verificando

• Iniciamos com �� alunos, saíram ��, ficando �� alu-nos e, no segundo semestre, entraram �, ficando ��alunos.

NomenclaturaJá estamos habituados a resolver este tipo de conta, mas

você se lembra como são chamados os termos da subtração ?

��!minuendo

- �! subtraendo

�!diferença ou resto

PropriedadesObserve essas operações:

• � – ��• �� – ��• �� – ��

Note que não podemos fazer essas operações nos núme-ros naturais, pois não conseguimos retirar �� unidades de �,nem �� de ��.

Para realizar uma subtração nos números naturais, o mi-nuendo deve ser maior que o subtraendo.

Atenção!As proprieda-des da adiçãonão se aplicamà subtração.


Na subtração dos números naturais, o minuendo deve ser maior que o

subtraendo.

Exercícios Propostos�. Calcule.

a) �� – �� =b) �� – �� =c) �� – �� =d) �� – �� =e) �� – �� =

�. Realize as subtrações no seu caderno.

a) �� – �� =b) �� – �� =c) �� – �� =d) �� – �� =e) �� – �� =

2.3 Multiplicação

Um edifício tem � andares. Em cada andar há � apartamentos. Quantos aparta-mentos tem o edifício todo?


Vamos analisar o problema usando o modelo Pólya:


• Precisamos saber: quantos apartamentos tem o edifício.• O que sabemos:

a) Há � andares.b) Em cada andar há � apartamentos.

c)


• Podemos pensar no edifício como um retângulo de lados � e �. Para desco-brir o número de apartamentos, precisamos multiplicar � por �.


�⇥� = �� ou � ·� = ��. Verificando

• Usamos a multiplicação para somar parcelas iguais. No caso do nosso pro-blema, podemos reescrever a conta acima como:

� + � + � + � + � + �| {z }� vezes

= �� apartamentos no total

NomenclaturaVocê se lembra como são chamados os termos da multiplicação ?

��! fator

⇥ �! fator

��!produto


PropriedadesComutativaAssim como na adição, a ordem também não importa na multiplicação:�� · � = �� · �� = ��Ou seja,�� · � = � · ��

Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto.

Se a e b são números naturais, temos que:

a ·b = b ·a

Isto é, não importa a ordem dos números que estamos multiplicando, o resul-tado sempre será o mesmo.

AssociativaTambém já vimos essa propriedade na adição.Precisamos multiplicar � ·� ·�.

Para resolver, precisamos multiplicar primeiro dois números e depois multiplicar aeste resultado o terceiro número.A escolha dos dois primeiros números pode interferir no resultado?Vejamos:

� ·� = �� => �� ·� = ��ou

� ·� = � => � ·� = ��Reparou que o resultado é o mesmo?

Quando multiplicamos dois ou mais números, podemos associá-los de

maneiras diferentes e o produto não será alterado.


a · (b · c) = (a ·b) · c



Exemplos�. (� · �) · � = � · � = ��

� · (� · �) = � · �� = ��=) (� · �) · � = � · (� · �)

�. (�� ·�) ·� = �� ·� = �� · (� ·�) = �� · �� = ��=) (�� ·�) ·� = �� · (� ·�)

Existência do Elemento NeutroQual é o resultado de:

�� · � ?E o resultado de:

� ·�� ?O número um não interfere no resultado do produto, ou seja, se multiplicarmos

qualquer número por um, o resultado será o próprio número. Por isso, chamamoso número um de elemento neutro da multiplicação.

Ao multiplicarmos qualquer número por �, o resultado é o próprio número,

pois o número um é elemento neutro da multiplicação.

Se a é um número natural, temos que:

a · � = a


Exemplos�. � · � = ��. �� · � = ��. �� · � = ��. � ·�� = �� · � = ��


Distributiva

Como você resolveria essa conta � · (�� + �) ?Agora veremos uma propriedade que nos ajudará a resolve-lá.

O produto de um número natural por uma soma é igual a soma dos produtos

desse número por cada uma das parcelas.


a · (b + c)= a ·b + a · c

Isto quer dizer que se tivermos, por exemplo, � · (�� + �) podemos distribuir o nú-mero � para os termos de dentro do parênteses, da seguinte forma:

� · (�� + �) = � · �� + � · � = �� + �� = ��

Repare que, usando esta propriedade , podemos calcular:

�� · � + �� · � = �� · (� + �) = �� · �� = ��Vejamos mais alguns exemplos:

Exemplos�. � · (� + �) = � ·� + � · � = � + �� = ��. � · (�� + �) = � · �� + � ·� = �� + �� = ��. � · (�� + �) = � · �� + � · � = �� + �� = ��. � · �� + � ·� = � · (�� + �) = � ·�� = ��


Exercícios Propostos�. Letícia sabe fazer algumas multiplicações de cabeça. Observe:

Agora, faça como Letícia: elabore um modo e calcule mentalmente cadamultiplicação.a) � ·��b) � · ��c) � · ��d) � ·��

�. Escolha a forma mais conveniente, multiplique mentalmente e es-creva o resultado no caderno.a) � · � ·��b) �� · �c) �� ·� + �� ·�

�. Efetue as multiplicações e anote o que perceber.

a) �� ·�b) �� · ��c) �� · ��d) �� · ��


2.4 DivisãoNa aula de educação física do �º ano A, a professora Érica vai montar alguns gru-

pos para uma aula de ginástica. A sala de aula possui �� alunos e, então, ela pensouem formar � grupos. Quantos alunos terão em cada grupo?

Vamos analisar o problema usando o modelo Pólya:


• Precisamos saber: Quantos alunos terão em cada grupo.• O que sabemos:

a) São �� alunos.b) Queremos dividí-los em � grupos.


• Podemos dividir �� por �.


Temos que, serão � grupos de � alunos cada.

�. Verificando

• Basta somarmos a quantidade de alunos de cada grupo e verificar se é iguala ��: � + � + � + � = ��


Nomenclatura

dividendo �� | �!divisor- �� ! quociente

�! resto

• Dividendo é o número que pode ser dividido.• Divisor é que ou quem divide.• Quociente é o resultado da divisão.• Resto é o valor que sobra para o quociente ser um nú-

mero natural.

Agora, vamos identificar dividendo e divisor no nosso pro-blema.

Nosso dividendo é ��, pois é o número total de alunos quevamos dividir.

Nosso divisor é �, pois é o número de grupos que vamoster.

Propriedades• Zero dividido por qualquer número tem como resultado

o próprio zero. Exemplo: � ÷ � = �• Nenhum número pode ser dividido por �.

O divisor deve ser diferente de �.

Atenção!As proprieda-des da multi-plicação nãose aplicam àdivisão.

Exercícios Propostos�. Efetue rapidamente.

a) �÷�b) ��÷ �c) ��÷ �d) ��÷ ��


Exercícios Complementares�. Roberto tinha �� figurinhas. Deu � para An-

dré, �� para João e ganhou � de Tomas. Comquantas figurinhas ficou Roberto?

�. Antônio foi ao mercado com �� reais. Com-prou biscoito, que custa � reais, suco, quecusta � reais, e bombom, que custa � reais.Com quanto dinheiro Antônio voltou do mer-cado?

�. Quando Júlia tinha �anos,seu pai ti-nha �� anos. Se hoje ela tem �� anos,qual a soma da sua idade com a deseu pai?

�. Telma comprou uma boneca, usando�� reais. Se o troco foi �� reais, quantocustou a boneca?

�. Jonas nasceu em ��. Quantos anostinha em ��?

�. Em uma partida de basquete, os”Abelhas” venceram os ”Legumes” por

uma diferença de �� pontos. Se os”Abelhas” fizeram �� pontos, quan-tos pontos fizeram os ”Legumes” ?

�. João deu �� reais para cada um deseus filhos. Quanto João tinha se elepossui � filhos?

�. Jade tem � blusas e � calças. De quan-tas maneiras diferentes Jade pode sevestir?

�. Um engradado de refrigerantes com-porta � garrafas. João conseguirá co-locar �� garrafas em �� engradados?

��. Cinco dados foram lançados e asoma dos pontos obtidos nas facesde cima foi ��. Em cada um dessesdados, a soma dos pontos da face decima com os pontos da face de baixoé sempre �. Qual foi a soma dos pon-tos obtidos nas faces de baixo?

Resumo

⇧ Traçar estratégia para resolução de problemas: modelo Pólya.• Compreensão do problema.• Estabelecimento de um plano.• Execução do plano.• Verificação.

⇧ Adição

• Nomenclatura.• Comutativa: a + b = b + a.• Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c.• Elemento Neutro: a + � = a.

⇧ Subtração

• Nomenclatura.• Nos naturais, o minuendo deve ser maior que o subtraendo.

⇧ Multiplicação

• Nomenclatura.• Comutativa: a ·b = b · a.• Associativa: a · (b · c) = (a ·b) · c.• Elemento Neutro: a · � = a.• Distributiva: a · (b + c) = a ·b + a · c.

⇧ Divisão

• Nomenclatura• O divisor deve ser diferente de �.


Colocando em práticaJogo corrida da matemática

Você vai precisar de:• Caixas de ovos: para fazer o "tabuleiro"• CD's usados: para fazer roletas com os números (os números são uma es-

colha do grupo)• Palitos e cola quente• Tampinhas de garrafa: para fazer os jogadores• EVA: confeccionar cartas com as � operações (cada uma com uma opera-

ção)

Como jogar

• Junte-se com mais três amigos;• O jogo possui um tabuleiro de seis níveis, para � jogadores;• Após o sorteio do primeiro jogador, vire as cartas de modo que as opera-

ções fiquem para baixo, embaralhe e escolha uma carta;• Rode as duas roletas e descubra quais números vai resolver;• Você só passará de nível quando responder corretamente;• Ganhará aquele que passar por todos os níveis e alcançar a "Che-

gada"primeiro.


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grupoe - ime.unicamp.brma225/2017tarefa4-grupoe.pdf · note que o número é representado por duas...

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