7/21/2019 graueradiano

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ONDE USAR O GRAU? ONDE USAR O RADIANO?

Autor: Alzir Fourny Marinhos

As vezes ficamos perguntando: Por que os livros didáticos não apresentam as

 justificativas para o uso das medidas angulares em radiano? Essa pergunta surge nosestudos da Trigonometria e em alguns tópicos da Geometria Plana. Na trigonometria osângulos são definidos, de um modo geral, em radiano. Na geometria, como umexemplo, podemos citar o problema: Ache a área do setor circular de raio 2 cm e ângulocentral    igual a 60 0.

A fórmula da área do setor circular é:2

2

1r  x xS       

Poderíamos fazer assim?

20

4602

1cm x xS    = 120

0 .

cm2

Graus . cm 2 é unidade de área? Não é. Logo, não podemos fazer desta maneira.

Seja a figura em que definimos um arco AB:

  A unidade radiano determina quantas vezes o raio está no arco AB.  Esse valor é igual ao ângulo central.

Por exemplo: Achar a medida, em radianos, do arco AB, de comprimento4,8 cm, num círculo de raio 2 cm.

Se dividirmos o comprimento do arco, 4,8 cm, pelo comprimento do raio, 2 cm,estaremos achando um número que estabelece quantas vezes o raio está no arco.

Arco AB = rad cm

cm4,2

2

8,4   (rad é abreviatura de radiano).

Significa que o arco tem 2 vezes o raio mais 2/5 do raio.

Observe que simplificamos as unidades de comprimento gerando o número 2,4.Este número não tem dimensão.

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  Consequëntemente, para medir um ângulo em radianos, convém calcular adivisão entre o comprimento do arco e o raio , ou seja, calcular quantos radianos

mede o arco . Portanto, como consequência da definição de radiano, podemosestabelecer a seguinte relação:

e devem estar na mesma unidade de comprimento.

Agora vamos definir um radiano: É um arco de circunferência cujo comprimentoé igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido.

Como fazer uma relação entre as medidas dos arcos na unidade grau e emradiano?

Por exemplo, quando fazemos a leitura de um arco, que tem o seu ângulo centralde 360 0, num círculo de raio r, podemos ter, na forma de radiano:

  

2..2

r 

r    ( sem dimensão, já que simplificamos os raios e consequentemente as

unidades de comprimento). Significa dizer que 3600  mede 2   rad   ou 6,28aproximadamente. Isso indica que qualquer circunferência tem, como comprimento,aproximadamente 6,28 vezes o seu raio.

Voltando ao exercício da área do setor circular:

Vamos definir o ângulo central 60 0como .3rad 

 

( rad 3

 

 é a medida do arco que

corresponde o ângulo central de 600).

Então:

S = 2)2(

32

1cm

 =   2

432

1cm

  = 2

3

2cm

 .

Se substituirmos     por 3,14 teremos a área do setor circular igual,aproximadamente, a 2,09 cm2.

Devemos usar a unidade grau quando estamos definindo um ângulo formado pordois segmentos de reta ou duas semi-retas. Como exemplo: Os ângulos do triângulo são60  0, 110 0 e 10 0. Devemos usar a unidade radiano quando estamos definindo umângulo central que representa um arco de circunferência. Como exemplo: O ângulo doarco de meia volta da circunferência é   rad.