Grandezas e Medidas

MedidasAntigamente, depois que o ser humano deixou de

ser nômade e passou a ser residente de um lugar fixo, surgiu a necessidade de medir. Porém, não havia os instrumentos que possuímos hoje.

Mas afinal de contas, o que é medir?

Medir é comparar uma grandeza com outra, e através dessa comparação obtemos um valor. Por exemplo, quando nos posicionamos ao lado de fita métrica. Dos nossos pés até a cabeça, vemos até onde nosso corpo ‘acompanha’ a fita, e assim obtemos um valor numérico que diz respeito a nossa altura.

Alguns exemplos de grandezas são: Comprimento, massa, temperatura e volume.E a seguir, vamos estudar cada uma delas.

Você já se mediu em uma fita parecida com a da imagem ao lado?

Você sabe sua altura atualmente?Qual a importância de saber a

própria altura?

Você já tentou medir alguma coisa mas não tinha uma régua por perto?Há muitos anos, as pessoas não possuíam instrumentos de medidas e por isso elas

mediam com ‘o corpo’. Parece um pouco estranho imaginar medidas feitas com o corpo mas era feito assim. Medir terrenos, comprimentos de plantas, construções são alguns exemplos de medidas feitas pelos antigos

Mas todas as pessoas possuem o mesmo tamanho de corpo? A experiência a seguir vai nos ajudar a ver isso melhor.

EXPERIMENTO

Com uma régua, calcule quantos centímetros possui a sua mão aberta, do polegar até o mindinho, como na imagem ao lado.

Agora, compare o seu resultado com o resultado dos seus colegas de sala e com o do(a) professor(a).

Os resultados são iguais?

Comprimento

Conseguimos ver que, ao medirmos, os resultados obtidos são diferentes. Mas essa diferença é significativa? Podemos pensar “são só 2 centímetros de diferença entre a minha mão e a mão de meu colega”. Porém, quando trabalhamos com comprimentos maiores, essa diferença se torna maior e mais evidente. Vemos isso no exemplo a seguir.

Exemplo

A professora Márcia gostaria de saber o comprimento da lousa e, por isso, pediu para Rafael e Marcos medirem. Porém, nenhum deles possuía uma régua e então decidiram medir com as mãos. Quando terminaram de medir, Rafael viu que o comprimento da lousa é igual a 30 palmos; já Marcos, obteve como resultado 26 palmos. Eles recontaram o número de palmos e descobriram que não houve erro na contagem. Então, notaram que o comprimento da mão deles é diferente. Qual deles será que possui a mão maior?

Chegando em casa eles mediram suas mãos com uma régua e viram que a mão Rafael possuía 13 centímetros e a de Marcos 15 centímetros.

LEMBRANDO

100 centímetros = 1 metro = 0,01 quilômetro

Com base no exemplo que vimos podemos pensar que 1 metro são 100 centímetros colocados lado a lado, assim como as mãos de Rafael e Marcos ao medir a lousa.

No exemplo dado, a diferença obtida entre as duas medidas foi de 4 mãos mas, se medirmos comprimentos ainda maiores, como itens quilométricos, essa diferença pode aumentar muito.

Como vemos na imagem, para medir eles colocaram uma mão ao lado da outra, repetidas vezes, até percorrerem toda a lousa, e foram contando cada uma das vezes.

Desse modo podemos ver que o número 13, que é o comprimento da mão de Rafael, se repete trinta vezes ao longo da lousa; e o número 15, que é o comprimento da mão de Marcos, se repete vinte e seis vezes ao longo da lousa.

Assim, para sabermos o comprimento da lousa em centímetros, podemos somar o número 13 trinta vezes, ou somar o número 15 vinte e seis vezes. Entretanto, nós já aprendemos que podemos reescrever somas como multiplicações.

Então, se Rafael reescrevesse a sua soma como uma multiplicação seria: 13 x 30

E se Marcos reescrevesse a sua soma como uma multiplicação seria: 15 x 26Ambas as multiplicações tem como resultado o número 390. Como estávamos medindo o comprimento da lousa e usando mãos com comprimento

em centímetros, sabemos então que a lousa possui 390 centímetros de comprimento. E se quisermos descobrir quanto isso é em metros, basta dividirmos por 100. Ao final, temos que:

390 ÷ 100 = 3,90E concluímos que a lousa possui 3,90 metros.

Agora que observamos que o tamanho do corpo de cada pessoa ser diferente traz considerável alteração no resultado final, podemos perceber que é justamente por isso que antigamente havia uma complicação ao medir o comprimento do que se desejava. Com o crescimento das cidades e da necessidade de medir, os desentendimentos com relação a medidas também cresceram. Para resolver esse problema, passados muitos anos, decidiram instaurar uma padronização nas grandezas.

Com relação ao comprimento, estabeleceram o metro, a jarda, a polegada e o pé, que são grandezas fixas as quais podemos usar ao redor de todo o mundo sem que haja alteração.

Curiosidade: a polegada e o pé são grandezas que foram estabelecidas fixando o valor desta parte do corpo. Por exemplo, a polegada foi

obtida com a média do polegar das pessoas no mundo. Já o pé, não há informações concretas de como foi padronizado, mas algumas pessoas dizem ser a média do tamanho do pé calçado dos homens adultos.

Agora que aprendemos sobre padronização de medias, quais instrumentos Rafael e Marcos poderiam usar para que as medidas que eles obtiveram fossem iguais?

Devemos nos atentar com relação aos instrumentos que utilizamos ao medir os objetos de estudo. Por exemplo, seria adequado medir o comprimento de uma rua utilizando uma régua? Por que?

Assim como aos instrumentos, precisamos prestar atenção às grandezas utilizadas na hora de medir.

Seria apropriado dizermos o comprimento da rua em centímetros? Por quê?

Escreva abaixo o que vocês e seus colegas discutiram em sala.

VAMOSDEBATER

Para facilitar as medidas, foram criados múltiplos e submúltiplos do metro. Assim, para medir comprimentos muito grandes poderiam ser usados os múltiplos do metro e para medir comprimentos muito pequenos poderiam ser utilizados os submúltiplos.

No dia a dia os mais utilizados são quilômetro, metro, centímetros e milímetros.Na tabela a seguir temos a representação de 1 metro em seus diferentes múltiplos e

submúltiplos

Quilômetro(km)

Hectômetro(hm)

Decâmetro(dam)

Metro(m)

Decímetro(dm)

Centímetro(cm)

Milímetro(mm)

0,001 km 0,01 hm 0,1 dam 1 m 10 dm 100 cm 1 000 mm

Podemos observar que se 0,001 km é igual a 1 metro portanto temos o seguinte.

0,001km=1m Mas podemos escrever 0,001 em forma de fração obtendo.

11000

km=1m

1km=1000m

Múltiplos do metro(unidades maiores que o metro)

Submúltiplos do metro(unidades menores que o metro)

Portanto, 1 metro é igual a 1 pedacinho de um quilômetro dividido em 1000 partes iguais. Logo com 1000 pedaços de 1 metro teremos 1 quilômetro.

Exercícios1. A Torre Eiffel localizada em Paris na França foi nomeada assim em homenagem ao seu projetista, o engenheiro Gustave Eiffel. Ela é um dos monumentos mais famosos do mundo devido a sua beleza e tamanho, tendo 300 metros de altura.A partir disso responda as perguntas:a) Qual é a altura do monumento em centímetros?

b) Sabendo que a mão de Pierre tem 25 centímetros, e utilizando esse valor como palmo. Quantos palmos de altura teria a Torre Eiffel?

2. Os monumentos acima tem as medidas de suas alturas expressas na tabela abaixo.

A partir da tabela escreva os nomes dos monumentos em ordem crescente (do menor pro maior) de altura.Dica: Coloque todas as alturas na mesma unidade de medida para comparar.

Torre de Pisa Cristo Redentor Estátua da Liberdade

Torre de Pisa Cristo Redentor Estátua da Liberdade

57 m 38000 mm 0,093 km

2. Os monumentos acima tem as medidas de suas alturas expressas na tabela abaixo.

A partir da tabela escreva os nomes dos monumentos em ordem crescente (do menor pro maior) de altura.Dica: Coloque todas as alturas na mesma unidade de medida para comparar.

3. Rebeca mediu a altura de sua amiga Thais com uma régua de 30 cm, observando que sua amiga tem 150 cm de altura. a) Quantos metros Thais tem?

b) Quantas vezes Rebeca precisou usar a régua?

4. Dorinha mediu o corredor da escola em pés, totalizando 47 pés. Sabendo que o tamanho do pé é o mesmo do antebraço e que o antebraço de Dorinha mede 24,5 cm. Qual a medida do corredor em metros?

5. Expresse as medidas a seguir nas unidades indicadas:a) 10 m = _________________hm d) 4,8 dam = __________________cmb) 5,5 km = _______________ m e) 5 hm = ____________________ m c) 123 mm = ______________ dm f) 30000 mm = ________________ dam

Dica: Use a tabela de conversão passada nas páginas anteriores.

DEFININDONum polígono, a soma dos comprimentos de seus lados é denominada perímetro.

Vamos ver então como calcular o perímetro do retângulo abaixo.

Vamos somar os comprimentos dos lados então: 7 + 14 + 7 + 14 = 42Assim, temos que o perímetro desse retângulo é 42. Mas será que conseguimos

descobrir o tamanho da superfície desse retângulo? Qual medida se refere a essa superfície? Essas e outras questões serão abordadas no próximo tópico.

14 cm

14 cm

7 cm7 cm

ÁreaVocê já ouviu falar em mosaico?

Mosaicos são composições de itens como pedra, vidro, azulejo, papel, conchas, feitas colocando esse itens ao lado um do outro (normalmente com cores diferentes) para que seja formado desenhos específicos ou imagens abstratas a fim de que, depois de prontos, esses mosaicos decorem algum lugar (como igrejas, casas, prédios) ou objetos (como bolsas e esculturas).

Exemplo

Observe este quadrado abaixo. Quantos quadradinhos são colocados para que todo um lado do quadrado grande seja preenchido? É importante saber que os quadradinhos são iguais.

Vamos começar preenchendo a linha de baixo do quadrado. Pintemos ela de verde e contemos quantos quadradinhos foram pintados.

Assim temos 10 quadradinhos pintados.

Se colocarmos mais linhas de quadradinhos como a primeira que foi pintada, conseguimos preencher toda a parte de dentro do quadrado grande.

Mas, quantas linhas precisamos colocar para que o quadrado grande seja totalmente preenchido?

Assim pintamos 10 linhas com 10 quadradinhos cada.

Agora resta a seguinte questão: Quantos quadradinhos foram usados para preencher o quadrado grande?

Podemos descobrir isso contando um por um dos quadradinhos e chegando a resposta de 100 quadradinhos.

Outro jeito de descobrir vem do processo que utilizamos anteriormente para preencher o quadrado grande:

Se pintamos uma linha, pintamos 10 quadradinhos, então ao pintarmos 10 linhas, pintamos 10 quadradinhos 10 vezes podendo somar o número 10 (dos quadradinhos) 10 vezes (pelas linhas). Isso também é dado pela seguinte multiplicação: 10 x 10

Em todos os casos obtemos 100 como o número total de quadradinhos. Assim fizemos a área

da figura. Mas o que é área?

É a medida da superfície.

Por isso fizemos o preenchimento do quadrado grande para

descobrir a área!

LEMBRANDO

No final do tópico anterior aprendemos sobre perímetro e deixamos as seguintes questões sobre o retângulo abaixo: Conseguimos descobrir o tamanho da superfície desse retângulo? Qual medida se refere a essa superfície?

14 cm

14 cm

7 cm7 cm

Como vimos antes a medida a que se refere essa superfície é a área. Então para determinar a área desse retângulo podemos usar um processo similar ao utilizado no exemplo anterior. Tracemos uma malha quadriculada sobre o retângulo respeitando seu comprimento, ou seja, faremos 7 linhas e 14 colunas nessa malha, já que o retângulo tem 7 cm de altura e 14 cm de base. Assim teremos vários quadradinhos iguais com 1 cm de altura e 1 cm de base.

Agora é a sua vez! Faça o mesmo processo do exemplo anterior e diga quantos quadradinhos compõe a superfície do nosso retângulo. Assim, saberemos a área em quadradinhos.

14 quadradinhos

14 quadradinhos

7 quadradinhos7 quadradinhos

Vamos ver agora que a unidade de área, diferente do comprimento é dada em metros quadrados, ou seus múltiplos e submúltiplos quadrados.

Isso porque o quadradinho tem 1m de base por 1m de altura, de modo que 1m x 1m vai dar 1 m ².

Seguindo esse raciocínio no retângulo anterior teremos a unidade de área como cm ². Ou seja, um quadradinho é equivalente a um centímetro quadrado.

1 m

1 m

Os mosaicos também podem ser feitos com quadradinhos como os que vimos anteriormente. Ao lado, temos um exemplo disso nesse mosaico que forma a bandeira do Brasil.

1 m

2- Camilla quer comprar pisos de 1m² x 1m² para colocar em seu quarto mas não sabe quantos pisos ela terá que comprar. A largura do cômodo é 12m e o comprimento é 2m. Quantos pisos ela terá que comprar? (Ao lado temos a vista de cima do cômodo, sem móveis)

1- Jonas joga futebol aos domingo com seus amigos em um campinho perto de sua casa. Em uma dessas vezes, eles decidiram medir o campo para saber a área total. Qual a área e o perímetro do campo de futebol, sendo que sua largura é 80 metros e seu comprimento é 30 metros?

2 m

12 m

Exercícios

80 m

30 m

Volume

O primeiro protótipo do cubo mágico foi criado em 1974 pelo húngaro Ernö Rubik, quando ele era professor do Departamento de Desenho de Interiores da Academia de Artes e Trabalhos Manuais Aplicados de Budapeste Hungria.

A primeira peça do cubo foi feita com o objetivo de ajudar seus alunos de arquitetura a entender melhor a ideia de terceira dimensão. Essa peça foi feita de madeira e cada lado foi pintado de uma cor.

Um pouco mais tarde, em 1980, esse cubo virou um brinquedo e ganhou o nome de Cubo de Rubik, onde o objetivo era alinhar todas as cores.

Uma curiosidade sobre esse caso é que o próprio criador do cubo demorou um mês para conseguir resolvê-lo! (insira aqui

uma frase motivadora para que o aluno nunca desista!)

Hoje em dia existem diversos modelos de cubo mágico, inclusive alguns que deixaram de ser no formato cúbico, como por exemplo o chamado Megamix, que é um sólido de 12 lados, e cada um desses lados é um pentágono. Matematicamente ele recebe o nome de dodecaedro.

Temperatura

Segundo o Inmet (Instituto Nacional de Meteorologia), o dia mais frio do ano já registrado aqui no Brasil foi em 20 de Julho de 1953 em Xanxerê, Santa Catarina, o qual chegou a -11,1°C. E o dia mais quente foi 21 de novembro de 2005, em Bom Jesus do Piauí, Piauí, o qual chegou a 44,7°C.

O termômetro é um instrumento que foi criado para medir a temperatura, seja ela do ambiente, de alguém ou de algo. Antigamente, os termômetros eram feitos de vidro e mercúrio. Hoje, há termômetros eletrônicos como os que vemos acima.

Você ou os seus familiares costumam olhar a previsão do tempo antes de saírem de casa? Por que?

Exercícios1- Isabelle ligou o ar condicionado na sala de aula, que estava em 25°C. Depois de alguns minutos, Pedro diminuiu 3°C e Julia achou que não era suficiente e abaixou mais 4°C. Passada 1 hora, os alunos começaram a sentir muito frio e decidiram aumentar 5°C. Em quantos graus o ar condicionado ficou depois de todas essas mudanças?

2- Temperatura de várias coisas diferentes e comparar.

3- Coloque as temperaturas das cidades a seguir em ordem crescente

Massa

Há registros de a balança ser um dos instrumentos mais antigos inventados pelo homem. Em hieróglifos egípcios datados de aproximadamente 5000 a. C., há a presença da balança pois era parte do que acreditavam ser o ritual pós morte. Nesse ritual, o rei dos mortos (Anubis) coloca o coração da pessoa que morreu em uma balança de um lado e uma pluma, que representava a justiça, do outro lado. Se o coração do morto fosse mais leve que a pluma, ele iria para o Paraíso. A crença dos egípcios na pós morte era o motivo deles mumificarem seus mortos, para que seus corpos puderem estar intactos no ‘Paraíso’ ou no ‘Inferno’.

Algo muito importante para cidades grandes desde o mundo antigo até os dias de hoje é o comércio. Muitos povos se desenvolveram por causa do comércio e, por terem um produto característico da sua cidade ou país que era abundante ou que o povo produzia em grande quantidade. Mas para que o comércio pudesse ser realizado com efetividade e ninguém fosse prejudicado, medidas corretas eram necessárias. E para isso, a balança se tornou muito importante.

Atualmente, as pessoas têm se referido à grandeza ‘Massa’ como “peso”

mas esse termo não é correto pois envolve força (conceito da Física) e não a massa absoluta. Portanto, no decorrer do livro, trataremos como ‘Massa’ o que comumente é chamado de “peso”.

Peso ou massa?

ExercíciosProblemas com balanças

2- Quanto falta para essas balanças ficarem em equilíbrio?

3- Susana foi ao mercado e quer comprar 3 kg de carne, 2kg de queijo e 700g de presunto. Quanto falta em cada balança para chegar ao quanto Susana deseja de cada produto?

TempoAntigamente, não existia os relógios como

conhecemos hoje, estes só foram inventados por volta de 1500 d.C. Os relógios usados pelos povos antigos eram chamados relógios solares, pois funcionavam através do sol. Como na imagem ao lado, uma vara era fincada no chão, onde marcações também eram feitas. Durante o dia, por causa do movimento de rotação da terra, a sombra projetada pela vara no chão vai mudando e percorrendo todas as marcações feitas indicando as horas.

Você consegue dizer que horas está sendo marcada no relógio solar ao lado?

Não sabemos com precisão que horas está sendo marcada, e essa era uma das dificuldades que temos ao usar relógios de sol. Outro ponto importante a ser considerado é a questão de que, por ser um relógio solar, ele só funciona quando há a presença do sol, ou

Portanto, com o avanço da tecnologia, criaram os relógios como conhecemos. De bolso, de pulso, de parede, gigantes como o de Londres (como na imagem ao lado), até embutirmos em computadores e celulares.

seja, durante o dia. Há também o fato de o relógio de sol depender do local onde ele está fixado para que seja corrigida a inclinação e a hora marcada esteja, de fato, correta.

Em nosso dia a dia para nos referirmos a algum momento do dia geralmente utilizamos as unidades de medidas horas, minutos e segundos para medir tempo.De forma que:

1 hora equivale a 60 minutos1 minuto equivale a 60 segundos

Além destes quando iremos falar de tempos muito grandes podemos utilizar também dias, meses, anos, décadas, séculos e milênios.Onde temos:

1 dia é aproximadamente 24 horas1 mês aproximadamente 30 dias (mas varia de acordo com o mês) 1 ano aproximadamente 365 dias (ou 366 dias caso seja ano bissexto)

Exercícios1- Eliane precisa chegar em seu trabalho às 7:45h e demora 37 minutos de carro, 80 minutos de ônibus e 53 minutos de metrô. Que horas ela precisa sair de casa para ir ao trabalho com cada meio de transporte?

2- Se Gabriel saiu de casa às 8:15 e demora 26 minutos para chegar à escola, que horas ele chegará lá?

ÂngulosObserve a imagem. Qual menina aparenta estar com a perna mais aberta?

Quando dizemos que a bailarina da frente está com as pernas mais aberta, isso significa que a abertura do ângulo é maior, enquanto que a da frente está mais fechada significa que a abertura do ângulo da perna dela é menor.

Exercício: na figura abaixo, quais ângulos são maiores e quais são menores?

Para pensar: Será que é possível medir o quão aberta está a perna da bailarina? Existe alguma forma de medir um ângulo? Pense nas unidades de medida que você conhece: metros, centímetros… Será que é possível medir um ângulo com alguma dessas unidades de medida?

O quão aberto ou fechado está algo é o que chamamos de ângulo.

Nesse caso, diremos que cada uma das pernas da bailarina são os lados do ângulo.

Para que se possa medir um ângulo, utiliza-se uma unidade de medida chamada grau.Dessa forma, a quantidade de graus representa o quão aberto ou fechado algo está. (por exemplo as pernas da bailarina)

Um outro modo de se referir à medida em graus de um ângulo é usando o símbolo º depois do número.

Assim, dizer que um ângulo mede 90 graus é o mesmo que dizer que o ângulo mede 90º.

Veja os exemplos a seguir:

A princípio, os ângulos podem ser classificados em 3 tipos:Ângulo reto: quando o ângulo possui a medida igual a 90 graus. Que é equivalente a ¼ de volta. Ângulo agudo: quando o ângulo possui a medida menor que 90 graus.Ângulo obtuso: quando o ângulo possui a medida maior que 90 graus.

Geralmente conseguimos saber, apenas de olhar para uma figura, se o ângulo é maior ou menor que 90 graus. Basta comparar com a ângulo de 90. Mas e quando o ângulo é muito próximo ao de 90 graus? Ou quando precisamos medir o valor de um ângulo com precisão?

Existe um instrumento chamado transferidor, que é muito útil para que se possa medir um ângulo. Esse instrumento pode ser encontrado na maioria das papelarias e pode ser feito de plástico, madeira, metal etc. Existem dois tipos principais de transferidor:

Como medir um ângulo?

Para que se possa medir um ângulo com o transferidor, é preciso seguir alguns passos.

Atividade: Pegue um transferidor e vamos tentar medir o ângulo da figura:Coloque o centro do transferidor sobre o vértice (origem, ponto em comum entre os dois lados do ângulo)Coloque o lado do ângulo na posição de 0º (ficando sobre a linha de 0º)Observe em que posição ficou o outro lado do ângulo: qual a medida em graus indicada no transferidor?O valor encontrado no passo 3 será a medida do ângulo.

Qual foi o resultado que você achou? Nessa figura, a medida do ângulo era 120º ! Que tal tentarmos medir o ângulo das outras imagens deste capítulo?