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Governador

Vice Governador

Secretária da Educação

Secretário Adjunto

Secretário Executivo

Assessora Institucional do Gabinete da Seduc

Coordenadora da Educação Profissional – SEDUC

Cid Ferreira Gomes

Domingos Gomes de Aguiar Filho

Maria Izolda Cela de Arruda Coelho

Maurício Holanda Maia

Antônio Idilvan de Lima Alencar

Cristiane Carvalho Holanda

Andréa Araújo Rocha

Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional

Estatística

FORTALEZA- CE2012

Transações Imobiliárias - Estatística 1


SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

CAPÍTULO I – ESTATÍSTICA

CAPÍTULO II – ORGANIZAÇÃO DE DADOS

CAPÍTULO III – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

CAPÍTUO IV – MEDIDAS DE DISPERSÃO

CADERNO DE EXERCÍCIOS

GLOSSÁRIO

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANEXOS



INTRODUÇÃO

Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados.

São objetivos da Estatística: extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam, estimar uma quantidade ou testar uma hipótese e assim tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.

Para alcançar tais objetivos a Estatística utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a sua potencialidade. Essa apostila traz informações fundamentais para o uso da Estatística, como: organização de dados, medidas de tendência central e medidas de dispersão.

Bom Estudo!



CAPÍTULO I – ESTATÍSTICA

O QUE É ESTATÍSTICA

A Estatística compreende três áreas entrelaçadas: a estatística descritiva, a teoria da probabilidade e a inferência.

A estatística descritiva compreende a organização, o resumo, a simplificação de informações, que podem ser muito complexas, com o objetivo de torná-las mais fáceis de entender, relatar ou discutir. Como exemplos para essa parte da Estatística podem ser citados a taxa de desemprego, o custo de vida, o índice de mortalidade, as médias de estudantes, etc.

A teoria da probabilidade analisa situações que envolvem o acaso como é o caso de jogos de dados e de cartas ou o lançamento de uma moeda para o ar. Os jogos esportivos, até um certo ponto, também são influenciados pelo acaso.

A inferência analisa e interpreta dados amostrais. A idéia de amostragem é fazer uma mensuração sobre uma parcela pequena, mas típica, de uma população e utilizar essa informação para fazer inferência sobre a população toda. Os exemplos para inferência são muitos como experimentar uma roupa diante do espelho, tocar na água para verificar a temperatura, folhear um livro, etc.

As três áreas da Estatística utilizam o método científico, que é composto por cinco etapas listadas abaixo:

1. Definição do problema2. Coleta de dados3. Coligir dados4. Analise e interpretação de dados5. Tomada de decisões

A estatística utiliza-se das teorias probabilísticas para explicar a frequência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto em experimento modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso.

Ou seja mais resumido: A estatística utiliza-se através das teorias probabilísticas para explicar a frequência de fenómenos e para possibilitar a previsão desses fenómenos no futuro. Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planejamento, a sumarização e a interpretação de observações. Dado que o objetivo da estatística é a produção da melhor informação possível a partir dos dados disponíveis, alguns autores sugerem que a estatística é um ramo da teoria da decisão. A estatística é uma ciência que se dedica à coleta, análise e interpretação de dados. Preocupa-se com os métodos de recolha, organização, resumo, apresentação e interpretação dos dados, assim como tirar conclusões sobre as características das fontes donde estes foram retirados, para melhor compreender as situações.


Anotações


POPULAÇÃO E AMOSTRA

A estatística parte da observação de grupos, geralmente numerosos, daí o nome População Estatística ou Universo Estatístico.Chama-se Unidade Estatística cada elemento da população estatística.

Ex: Há 45 alunos matriculados no 3º semestre do Curso Técnico em Finanças. População estatística – 45 alunos

Unidade estatística – cada aluno matriculado

Amostra é um subconjunto da população. Uma amostra deve ter as mesmas características básicas da população. A técnica da amostragem deve ser utilizada quando não for possível fazer uma observação abrangendo todos os elementos da população. Há duas maneiras de obtermos uma amostra:

Amostra simples – é obtida por meio de um sorteio onde a população é numerada de 1 a n e dela retira-se aleatoriamente K elementos que corresponderam a amostra.

Amostra proporcional estratificada – deve ser obtida quando a população dividir-se em subpopulações e a variável de estudo apresenta, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo. Assim o sorteio dos elementos da amostra deve levar em consideração esses estratos.


Anotações


CAPÍTULO II – ORGANIZAÇÃO DE DADOS

DADOS ESTATÍSTICOS

Os dados estatísticos são obtidos através de observação ou mensuração de itens como notas escolares, renda anual de uma cidade, etc. os itens observados ou mensurados são chamados de variáveis, pois ao se fazerem mensurações sucessivas originam valores com certo grau de variabilidade.

TIPOS DE DADOS

Os dados estatísticos são divididos em quatro tipos de dados: contínuos, discretos, nominais e por postos.

Contínuos – os dados podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo. Ex: altura, peso, velocidade, temperatura.

Discretos – os dados assumem valores inteiros e são resultado da contagem do número de itens. Ex: número de clientes de uma loja, de alunos de uma sala, de paradas de um ônibus.

Nominais – os dados surgem quando categorias são definidas e o número de observações pertencentes a cada categoria é contado. Ex: cor de cabelos, estado civil, sexo, profissão.

Por postos – os dados consistem de valores relativos atribuídos para gerar uma ordem: primeiro, segundo, terceiro... Ex: classificações em concursos (de beleza, culinária, etc.)

TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA

A Tabela de Distribuição de Frequencia é um quadro que resume um conjunto de observações. Para montarmos uma tabela é necessário conhecer as seguintes definições:

Frequencia Absoluta (f i) – é o número de vezes que a variável assume o valor de xi.Freqüência Absoluta Acumulada (f a) – é o valor obtido adicionando-se a cada freqüência absoluta os valores das frequencias anteriores. Frequencia Reativa (f r) – é o quociente entre a frequencia absoluta e o número de elementos da população estatística. F r = f i / N (na forma de porcentagem).


Anotações


A tabela abaixo foi montada tomando como exemplo as notas de matemática dos alunos de um curso técnico.

Notas de matemática dos alunos do curso técnicoX i (Notas) f i (nº de alunos) f a F i F r

3,0 1 1 4% 4%4,0 2 3 8% 12%5,0 4 7 16% 28%6,0 8 15 32% 60%7,0 5 20 20% 80%8,0 3 23 12% 92%9,0 2 25 8% 100%

Observando a tabela podemos concluir que:

20% dos alunos obtiveram nota 7,060% dos alunos obtiveram nota inferior a 7,0100% - 60% = 40% dos alunos obtiveram nota igual ou superior a 7,0

DIAGRAMAS

Iniciaremos o estudo de diagramas pelo Polígono de frequencias que obtemos quando unimos, por segmento de reta, as extremidades das barras.

Ex:

Idade (X i) Número de alunos (f i)15 516 817 1218 5


Anotações


DIAGRAMA DE BARRAS

O exemplo acima também pode ser feito no diagrama de barras. Veja:

A distribuição de frequências absolutas geralmente pode ser representada pelo diagrama de barras.


Anotações


HISTOGRAMA DE FREQUENCIAS

É a representação gráfica de distribuição de frequências com dados agrupados.

Considere o seguinte exemplo: a idade em anos de 40 pessoas que trabalham em um mesmo escritório de advocacia.

Idade (X i) Número de pessoas (f i) Centro de intervalo[15;25[ 10 15+25/2=20[25;35[ 24 25+35/2=30[35;45[ 12 35+45/2=40[45;55[ 4 45+55/2=50

Note que os intervalos têm amplitude 10, pois 25 – 15 = 35 – 25 = 45 – 35 = 55 – 45 = 10.

GRÁFICO DE SETORES

É um gráfico de base circular. É empregado quando se quer ressaltar a participação do dado no total. O total é o círculo que é dividido em tantos setores quantas forem as partes. Veja:


Anotações


A tabela abaixo mostra o número de alunos de uma escola que praticam alguma atividade esportiva.

Atividade esportiva Número de alunosVoleibol 800

Basquetebol 300Futebol 400Natação 100Outros 200

Para colocarmos os dados acima em ma circunferência devemos lembrar que toda circunferência tem 360° e por meio de uma regra de três simples calcularemos o ângulo correspondente para cada atividade esportiva. Veja:

1800 ------- 360°800 ------- X

X = 800 . 360° / 1800 = 160° ( voleibol )

1800 ------- 360°300 -------- Y

Y = 300 . 360° / 1800 = 60° ( basquetebol)

1800 ------- 360°400 -------- Z

Z = 400 . 360° / 1800 = 80° ( futebol)

1800 ------- 360°100 -------- W

W = 100 . 360 ° / 1800 = 20° (natação)

1800 ------- 360°200 -------- K

K = 200 . 360° / 1800 = 40° (natação)


Anotações


GRÁFICO POLAR

É usado para representar séries temporais cíclicas, ou seja, que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade. Ex: consumo de energia durante o ano, passageiros de uma linha de ônibus durante a semana, etc.

Ex: Precipitação pluviométrica do município de Recife em 1989.

Mês Precipitação (mm) Mês Precipitação (mm)Jan 174,8 Jul 538,7Fev 36,9 Ago 323,8Mar 83,9 Set 39,7Abr 462,7 Out 66,1Mai 418,1 Nov 83,3Jun 418,4 Dez 201,2

Fonte IBGE


Anotações


CARTOGRAMA

É uma representação sobre uma carta geográfica. O cartograma é usado quando o objetivo é figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

Ex: População projetada da Região sul do Brasil em 1990.

População projetada da Região Sul do Brasil em 1990Estado População (hab) Área DensidadeParaná 9.137.700 199.324 45,8

Santa Catarina 4.461.400 95.318 46,8Rio Grande do Sul 9.163.200 280.674 32,6

PICTOGRAMA

É uma representação gráfica constituída de figuras e por sua forma atraente prende a atenção do público. Veja alguns exemplos:


Anotações



Anotações


CAPÍTULO III – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

NOTAÇÃO SIGMA

A maioria dos processos estatísticos exige o cálculo da soma de um conjunto de números e para denotar este tipo de soma usa-se a letra maiúscula grega Σ (sigma). Assim, se a variável x tiver os valores 2, 4, 6, 8 e 10, então: Σx = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.

É possível agregar outros cálculos para os valores da variável x, além da soma, ao utilizarmos o Σ. veja abaixo alguns exemplos.

X = 2,4,6,8,10

Σx2 = 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 4 + 16 + 36 + 64 + 100 = 220

(Σx)2 = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) = (30)2 = 900

Se apenas uma parte dos valores deve ser somada, indicamos esses valores usando índices. Veja:

3

Σxi = x1 + x2 + x3

i=1nΣxi significa que devemos somar n observações.i=1

Propriedades:

1. Quando cada valor de uma variável deve ser multiplicado ou dividido por uma constante, essa constante pode ser aplicada após os valores serem somados.

Σ kx = k Σx

Ex: 4 4 Σ 2xi = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 (x1 + x2 + x3 + x4) = 2 Σxi i=1 i=1


Anotações


2. A soma de uma constante é igual ao produto da constante pelo número n de vezes que ela ocorre.

nΣ ki = nk

i=1

Ex: 6 Σ 3i = 3 + 3 + 3 +3 + 3 + 3 = 18 i=1

3. A soma de uma soma ou diferença de duas variáveis é igual à soma ou diferença das somas individuais das duas variáveis.

n n n n n nΣ ( xi + yi ) = Σ xi + Σ yi ou Σ ( xi - yi ) = Σ xi - Σ yi

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

Ex:

i x y (x – y)1 8 5 32 3 2 13 4 0 44 5 4 1

20 11 9

Σ (x – y) = 9Σ x – Σ y = 20 – 11 = 9

MÉDIA ARITMÉTICA (X)

A média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores de uma variável pela quantidade deles. É utilizada quando desejamos obter a medida de posição que possui maior estabilidade ou quando houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.

X = Σ xi / n

X = x1 + x2 + x3 + ... + xn / n


Anotações


Onde: X - é a média aritmética Xi - os valores da variável (x1, x2, x3, ... xn) n - a quantidade de valores

Ex: sabendo-se que a produção diária de uma padaria, em uma semana, foi de 12, 14, 16, 13, 15, 18 e 10 quilos de pão, qual a produção média da semana?

x = 12 + 14 + 16 + 13 + 15 + 18 + 10 / 7 = 98 / 7 = 14

x = 14 quilos

MÉDIA HARMÔNICA

Em Matemática, a média harmônica é um dos vários métodos de calcular uma média. A média harmônica dos números reais positivos x1,…,xn é definida como sendo o número de membros dividido pela soma do inverso dos membros, como segue

A média harmônica nunca é maior do que a média geométrica ou do que a média aritmética.

MÉDIA DESARMÔNICA

A média desarmônica surgiu da necessidade de obter uma média que, ao contrário da média harmônica, beneficiasse uma alta disparidade entre os números. Em outras palavras, ela fornece um valor que tende ao valor do maior número conforme a diferença entre os números positivos aumenta. A média desarmônica de um conjunto de valores é definida como a média harmônica entre a média aritmética desse conjunto e o quadrado da média aritmética do conjunto dividida pela média harmônica do mesmo.

Para dois números a e b, a fórmula da média desarmônica resulta em:

M.D. =


Anotações


MÉDIA PONDERADA

A média ponderada é o quociente da divisão da soma dos valores de uma variável multiplicados por suas freqüências pela soma de todas as frequências.

x = Σ xi.fi /N

Usando o quadro de distribuição de frequência, o cálculo da média ponderada é bem mais fácil. Veja.

x fi xifi

10 5 5012 11 13213 4 5215 8 12016 2 32

N = 30 Σ xifi = 386

Logo, x = 386 / 30 = 12,86

O cálculo da média ponderada utilizando o exemplo acima seria da seguinte forma:

x = 10.5 + 12.11 + 13.4 + 15.8 + 16.2 / 5 + 11 + 4 + 8 + 2x = 50 + 132 + 52 + 120 + 32 / 30x = 386 / 30 = 12,86

Observação: o número de vezes que o valor se repete chama-se peso.

MÉDIA ARITMÉTICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE VALORES COM DADOS AGRUPADOS

Em se tratando de dados agrupados, aceita-se que as freqüências se distribuem uniformemente ao longo da classe e que, portanto, o seu ponto médio é o valor representativo do conjunto.


Anotações


Veja a distribuição de frequência seguinte:

Altura Marca da classe Xi Frequência fi

158 | 162˗ 160 11162 | 166˗ 164 8166 | 170˗ 168 5170 | 174˗ 172 3

∑ = 27Para calcular a altura média, devemos fazer o seguinte cálculo:

x = 160.11 + 164.8 + 168.5 + 172.3 / 11 + 8 + 5 + 3

x = 1760 + 1312 + 840 + 516 / 27

x = 4428 / 27

x = 164 cm

MEDIANA (Md)

Mediana é uma medida definida como o número que se encontra no centro de uma série de números dispostos em ordem crescente ou decrescente.

Há duas formas de se calcular uma mediana:

1. Para uma série de números PAR – utiliza-se o ponto médio, ou seja a média aritmética do números centrais.

Ex: Considere a seguinte série de números: 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22. Calcule a mediana da série.

Md = 14 + 16 / 2 = 30 / 2 = 15


Anotações


2. Para uma série de números ÍMPAR – a mediana será o elemento que ocupa a posição central da série de ordem k + 1.

Ex: Considere a série seguinte: 3, 5, 6 ,4 ,8, 9, 7, 1, 2, 6, 8, 5, 3. Calcule a mediana.Observe que a série tem 13 números, ou seja, um número ímpar de dados. Para encontrar a mediana devemos ordenar os dados. Veja:

1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9

O número 5 está na 7ª posição, logo: Md = 5

MEDIANA SEM INTERVALOS DE CLASSE

Para encontrarmos a mediana, neste caso, é preciso identificar a frequência acumulada superior à metade da soma das frequências.

Ex: Considere a tabela abaixo

Nº de alunas fi Fi

0 2 21 6 82 10 183 12 304 4 34

∑ = 34

Temos que, para uma distribuição, a partir de qualquer um dos extremos, a mediana é dada por:

∑ = fi / 2 Logo,

∑ = fi / 2 = 34/2 = 17

Assim, a menor frequência acumulada que supera 17 é 18 que corresponde ao valor 2 da variável e portanto será o valor da mediana.

Md = 2 alunas


Anotações


MEDIANA COM INTERVALOS DE CLASSE

Neste caso, para encontrarmos a mediana primeiramente devemos determinar em que ponto ela está compreendida. Para tanto, primeiro determina-se a classe que está compreendida a mediana-classe. Evidentemente esta será a classe que corresponderá à frequência acumulada imediatamente superior a ∑ fi /2.

Ex: Considere a distribuição da tabela abaixo.

i Altura (cm) fi Fi

1 150 | 154˗ 4 42 154 | 158˗ 9 133 158 | 162˗ 11 24 classe mediana

4 162 | 166˗ 8 325 166 | 170˗ 5 376 170 | 174˗ 3 40

∑ = 40

Temos,

∑ fi / 2 = 40/2 = 20

As primeiras três classes da distribuição possuem 24 valores. Supondo que as frequências dessas classes estejam uniformemente distribuídas, deveremos determinar o valor que ocupa a 20ª posição, a partir do início da série, este valor deve estar localizado na terceira classe (i=3).

A terceira classe possui 11 elementos e seu intervalo é igual a 4, a distância deve ser tomada a partir do limite inferior:

20 – 13 x 4 = 7 x 411 11

Assim, a mediana será dada por:

Md = 158 + 7 x 4 = 158 + 28 = 158 + 2,54 = 160,54 11 11

Logo,

Md = 160,5 cm


Anotações


COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIA E MEDIANA

Observe a figura abaixo.

A primeira seta indica a mediana e a segunda seta indica a média.

A escolha entre a média ou a mediana como medida de tendência central de um conjunto depende de alguns fatores. A média é influenciada por cada valor do conjunto, inclusive os extremos. A mediana não é influenciada pelos valores extremos.

Assim valores muito grandes inflacionam a média aritmética e tornam a mediana uma medida descritiva mais adequada. Mas, de um modo geral, a média aritmética tem propriedades matemáticas que a torna mais atraente, como poder ser calculada em uma calculadora. Já o cálculo da mediana, que requer ordenação de dados, torna o cálculo enfadonho e não pode ser efetuado em uma máquina de calcular.

MODA (Mo)

Moda nada mais é do que o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Podemos determinar a moda de dados não agrupados e com dados grupados.

MODA COM DADOS NÃO AGRUPADOS

Para determinarmos a moda com dados não agrupados é bastante fácil, basta procurarmos o valor que mais se repete.

Ex: determine a moda da série de dados a seguir.

10,2,3,6,10,4,9,10,8,7,10,2,6,10

Logo percebemos que a série acima tem moda 10.


Anotações


Série Amodal – são séries que não apresentam moda.

Ex: 8,10,12,14,16

Série Modais – são séries que possuem duas ou mais modas.

Ex: 3,4,5,6,3,4,8,9,3,4,7

A série acima tem duas modas 3 e 4.

MODA COM DADOS GRUPADOS

Para determinarmos a moda com dados grupados, primeiro observaremos se os dados são caracterizados como: Sem intervalos de classe ou Com intervalos de classe.

DADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE

Para determinarmos a moda de dados grupados sem intervalo de classe, basta fixar o valor da variável que ocorre com maior frequência.

Ex: Observe a tabela de distribuição abaixo com uma distribuição relativa a 30 famílias de três filhos, tomando como variável o número de filhos do sexo masculino.

Número de meninos fi

0 21 62 103 12

∑ = 30

Assim, de acordo com a distribuição, a frequência máxima corresponde ao valor 3 da variável. Logo,

Mo = 3

DADOS COM INTERVALOS DE CLASSE

A classe modal é a classe que apresenta maior frequência. A moda, neste caso, é o valor dominante que stá compreendido entre os limites da classe modal.


Anotações


O cálculo da moda consiste em encontrarmos o ponto médio da classe modal. Veja o exemplo abaixo.

i Estatura (cm) fi

1 150 | 154˗ 42 154 | 158˗ 93 158 | 162˗ 11

∑ = 24

Mo = l* + L* 2

Onde:l* é o limite inferior da classe modalL* é o limite superior da classe modal

Assim, para a distribuição acima, temos:

i= 3 ; l* = 158 ; L* = 162

Mo = l * + L* 2

Mo = 158 + 162 = 320 = 160 2 2

Logo, Mo = 160 cm


Anotações


CAPÍTULO IV – MEDIDAS DE DISPERSÃO

DESVIO MÉDIO

O desvio médio mede o desvio dos valores em relação à média do grupo. Analisaremos dois tipos de desvios: desvio médio para dados brutos e desvio padrão.

DESVIO MÉDIO PARA DADOS BRUTOS

É o tipo de desvio para dados não dispostos em tabela. Para calcularmos o desvio médio para esses dados devemos aplicar as seguintes fórmulas:

n

∑ | xi – x |D m = i=1

n

Onde di = (xi – x ) = desvio em relação à média aritmética.

n

∑ | xi – Md |D m = i=1

n

Onde di = xi – Md = desvio em relação à mediana.

Exemplo:Calcule o desvio médio do conjunto de número abaixo.

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7_XA = 1+2+3+4+5+6+7 = 28 = 4 7 7

MdA = 4


Anotações


xi xi – x |xi – x| xi – Md |xi –Md|1 1 – 4 = - 3 3 1 – 4 = - 3 32 2 – 4 = - 2 2 2 – 4 = - 2 23 3 – 4 = - 1 1 3 – 4 = - 1 14 4 – 4 = 0 0 4 – 4 = 0 05 5 – 4 = 1 1 5 – 4 = 1 16 6 – 4 = 2 2 6 – 4 = 2 27 7 – 4 = 3 3 7 – 4 = 3 3

∑ = xi – x = 0 ∑ = |xi – x| = 12 ∑ = |xi – Md| = 12

Neste caso, o desvio médio terá o mesmo resultado se calculado a partir da média ou da mediana, pois: x = Md = 4.

Cálculo pela média: 7

∑ | xi – 4 |D m = i=1 = 12 = 1,714 7 7

D m = 1,714

Cálculo pela mediana:

7

∑ | xi – 4 |D m = i=1 = 12 = 1,714 7 7

D m = 1,714

DESVIO PADRÃO

É representado pelo símbolo: S e é a medida de dispersão mais usada. Assim como no desvio médio, o desvio padrão também considera os desvios em relação à média. Mas, no cálculo do desvio padrão não se usa os valores absolutos e sim o quadrado dos desvios. _____________

S = √ ∑ (xi2 – x2) / n


Anotações


Simplificando temos:

∑ (xi – x)2 = ∑ x 2 – (∑ xi) 2 n n

__________________ S = √∑ x2 / n – ((∑ xi)2 / n)

O método acima além mais prático também é mais preciso. Caso o valor da média não seja exato, deve ser arredondado, cada desvio ficará ligeiramente afetado pelo erro devido ao arredondamento.

DADOS NÃO AGRUPADOS

Temos abaixo um exemplo de desvio padrão para dados não agrupados. Um conjunto de valores da variável x com 7 elementos ( n = 7 ).

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

xi xi2

3 94 165 256 367 498 649 81

∑ = 42 ∑ = 280

________________S = √ 280 / 7 – (42 / 7)2 _______ S = √40 – 36 ___S = √ 4

S = 2


Anotações


DADOS AGRUPADOS

O desvio padrão para dados agrupados é calculado dependendo do tipo de agrupamento : sem intervalos de classe e com intervalos de classe.

SEM INTERVALOS DE CLASSE

Os dados agrupados sem intervalos de classe devem levar em consideração a presença das frequências para o cálculo do desvio padrão. Assim, o resultado é a seguinte fórmula:

___________________S = √∑ fixi

2/n – (∑ fixi / n)2

Exemplo: O método mais prático para se calcular o desvio padrão é construir uma coluna para os produtos fixi e fixi

2.

xi fi fixi fixi2

0 2 0 01 4 4 42 10 20 403 8 24 724 6 24 96

∑= 30 ∑ = 72 ∑ = 212

_________________ S = √ 212 / 30 – (72 / 30)2 __________ S = √7,06 – 5,76 ___S = √ 1,3

S = 1,14

COM INTERVALOS DE CLASSE

Para calcularmos o desvio padrão de dados agrupados com intervalos de classe devemos considerar a amplitude das classes.


Anotações


Assim, calculamos o desvio padrão através da seguinte fórmula:

__________________ S = h √∑ fiyi2/n – (∑ fiyi

/ n)2

Veja o exemplo abaixo, temos uma distribuição a partir da estatura de um certo grupo de pessoas.

i Estatura fi xi yi fiyi fiyi2

1 150| 154˗ 4 152 -2 -8 162 154| 158˗ 9 156 -1 -9 93 158| 162˗ 11 160 0 0 04 162| 166˗ 8 164 1 8 85 166| 170˗ 5 168 2 10 206 170| 174˗ 3 172 3 9 27

h = 4 ∑ = 40 ∑ = 80

________________S = 4√ 80 / 40 – (10 /40)2 __________ S = 4 √2 – 0,0625 ______S = 4 √ 1,9375

S = 5,57 cm

VARIÂNCIA

A variância nada mais é que o quadrado do desvio padrão. Dizemos também que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

O símbolo da variância é: S2

A variância toma por base os desvios em torno da média aritmética, porém a média aritmética do quadrado dos desvios.

Assim, sua fórmula é:

S2 = ∑ (xi – x)2 / ∑ fi


Anotações


Observe o uso da variância no exemplo abaixo.

Calcule a variância dado o conjunto de números A= 17,18,19,20,21,22,23

x = 20

S2 = ∑ (xi – x)2 / ∑ fi onde, ∑ fi = n

S2 = ∑ (xi – 20)2 / 7

S2 = 4,667


Anotações


CADERNO DE EXERCÍCIOS

CAPÍTULO I

1. Quais as três áreas principais da estatística?

2. Defina os termos: Estatística, População e Amostra.

3. Quando devemos usar a técnica da amostragem?

4. Cite 5 situações onde a estatística é utilizada.

5. Quais as duas formas de obtermos uma amostra? Explique cada uma delas.

CAPÍTULO II

Um dado foi lançado 15 vezes e o resultado foi o seguinte: 2,5,6,6,1,4,2,6,5,1,3,3,2,4,6.Construa uma distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutas acumuladas.

Usando o gráfico em barras represente a tabela abaixo:

Produção de ovos de galinha no Brasil em 1988Região Quantidade (mil dúzias)Norte 66.092

Nordeste 356.810Sudeste 937.463

Sul 485.098Centro-Oeste 118.468

Represente a tabela abaixo por meio de gráfico de setores.

Área Terrestre do BrasilRegião Relativa (%)Norte 45,25

Nordeste 18,28Sudeste 10,85

Sul 6,75Centro-Oeste 18,86

Total 100

A sequência abaixo representa o número de atendimentos diários em um ambulatório.

72,81,57,64,87,90,74,69,77,73,80,96,55,58,88,92,91,60,68,80,77,76,59,57,83,81,90,68,65,74,91,97,86,82,73,64,69,71,88,94,77,72,81,91,96,59,52,50,63,70,82,53,76,82,60,75.

Escolha um intervalo de amplitude conveniente e faça a representação da distribuição de



frequências usando um histograma de barras.

No quadro abaixo está a distribuição das vendas mensais de 40 funcionários de uma loja.

Classe (nº de vendas) Nº de funcionários[80; 100[ 4[100; 120[ 18[120; 140[ 10[140; 150[ 5[150; 160[ 3

Represente por um meio de um histograma de barras essa representação de frequências absolutas.

CAPÍTULO III

1. Desenvolva as expressões abaixo.

5a. ∑ xi

i=1

5b. ∑ fixi

2

i=1

nc. ∑ xi n para n=8

i=1

2. Escreva em notação sigma.

a. X1 + X2 + X3 + ... + Xn

b. (x1 + x2 + ... + xn)2

c. X12 + X2

2 + X32 + X4

2 + X52

3. Complete a tabela para o cálculo da média aritmética da distribuição.

xi 1 2 3 4 5 6F i 2 4 6 8 3 1



xi fi xifi

∑ = ∑ =

4. Calcule a média aritmética da distribuição abaixo.

Classe Marca da classe xi fi

[4; 5[ 10[5; 6[ 7[6; 7[ 16[7; 8[ 9[8; 9[ 8

5. Calcule a mediana do conjunto de dados abaixo.

1,1,3,4,4,6,6,3,3,5,5,1,1,1,9

6. Ache a mediana do conjunto de dados dispostos na tabela abaixo.

xi fi

10 915 2120 1025 3230 835 2

7. Calcule a moda da distribuição abaixo.

i Custos R$ fi

1 500 | 600˗ 52 600 | 700˗ 103 700 | 800˗ 15

∑ = 30



CAPÍTULO IV

1. Você acha que o desvio padrão pode ser zero ou ter um valor negativo? Explique.

2. E o desvio médio, poder ser zero ou negativo?

3. Abaixo temos o lucro de um pequeno comércio no primeiro semestre de 2009. Calcule a média e o desvio padrão desses lucros.

R$ 8.100; R$ 5.600; R$ 7.350; R$ 10.325; R$ 4.890; R$ 9.640

4. Considere a tabela abaixo

Mês Preço de venda (R$)Janeiro 28,00

Fevereiro 26,70Março 23,99Abril 30,00Maio 27,30Junho 25,00

Calcule o desvio padrão e a variância dos preços de venda.

5. A tabela abaixo expõe o tempo em minutos que um cliente aguarda na fila de um banco para ser atendido. Considere que o banco tenha 10 guichês para atender seus clientes. Calcule o desvio padrão e a variância do tempo de atendimento.

Guichê Tempo (min)1 32 23 54 45 36 57 28 49 710 3



GLOSSÁRIO

Amostra

Uma amostra é um subconjunto de indivíduos da população alvo. Existem dois tipos de amostras, as probabilísticas, baseadas nas leis de probabilidades, e as amostras não probabilísticas, que tentam reproduzir o mais fielmente possível a população alvo. Entretanto, somente as amostras probabilísticas podem, por definição, originar uma generalização estatística, apoiada no cálculo de probabilidades e permitir a utilização da potente ferramenta que é a inferência estatística.

Amostragem Aleatória

A amostragem é dita aleatória, probabilística ou ao acaso se todos os elementos da população tiveram probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencerem a amostra.

Amostragem estratificada

Método de amostragem na qual os elementos são retirados de subpopulações agrupadas por algum critério.

Atípico

É um valor de um conjunto de dados que se afasta dos demais. É um valor normalmente muito grande ou muito pequeno quando comparado com o restante do conjunto. Pode ter sido resultado de um erro de medida ou, então, pode ser um indicativo de um comportamento atípico do conjunto sob determinadas condições.

Dados

Os números e atributos que são coletados, analisados e interpretados.

Desvio

A diferença entre o valor de um conjunto (dado) e a média deste conjunto.

Desvio Padrão

É a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de elementos, ou dito de outra forma, é raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios.

Estatística

A arte e a Ciência de coletar, analisar, apresentar e interpretar dados.



Estatística ou estimador

É uma função dos valores da amostra, ou seja uma variável aleatória, pois seu resultado depende dos elementos selecionados naquela amostra. São utilizados para estimar os parâmetros populacionais, para isto é preciso conhecer sua distribuição de probabilidades, que via de regra, pressupõe normalidade ou amostras grandes. Por exemplo: a média amostral, a proporção amostral, a variância amostral, etc.

Hipótese

Uma hipótese é um enunciado formal das relações esperadas entre pelo menos uma variável independente e uma variável dependente. Nas pesquisas exploratórias, as hipóteses podem se tornar questões de pesquisa. Estas questões pela sua especificidade, devem dar testemunho do trabalho conceitual efetuado pelo pesquisador e, pela sua clareza, permitir uma resposta interpretável.

n tamanho da amostra

N tamanho da população

População

Toda questão de pesquisa define um universo de objetos aos quais os resultados do estudo deverão ser aplicados. A população alvo, também, chamada população estudada, é composta de elementos distintos possuindo um certo número de características comuns (pelo menos uma). Essa característica comum deve delimitar inequivocamente quais os elementos que pertencem à população e quais os que não pertencem. Estes elementos, chamados de unidades populacionais, são as unidades de análise sobre as quais serão recolhidas informações.

Variância É a média do quadrado das distâncias euclidianos que cada ponto do conjunto está da média aritmética.

Variável

É uma característica da população. Toda questão de pesquisa define um número de construções teóricas que o pesquisador quer associar. O grau de operacionalização destas construções não faz parte de um consenso. Por essa razão, a seção que trata das definições das variáveis deve permitir ao leitor avaliar a adequação dos instrumentos utilizados, as variáveis escolhidas e as construções teóricas descritas no quadro conceitual.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Curso de estatística . Martins, Gilberto de A. e Fonseca, Jairo Simon da - Editora Atlas.

Educar: programa de estudo e pesquisa. São Paulo. Difusão Cultural do Livro, 2002.

Estatística aplicada à administração e economia - 4.ed. Kazmier, Leonard J. - Editora Bookman .

Estatística aplicada a administração. Stevenson, William J - Editora Harbra.

Estatística Básica - 6ª Ed. Morettin, Pedro Alberto; Bussab, Wilton de Oliveira . Editora Saraiva.

Estatística básica - para os cursos de administração, ciências contábeis, tecnológicos e de gestão. Tiboni, Conceição Gentil Rebelo - Editora Atlas.

Estatística. In: Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em:http://pt.wikipedia.org. Acesso em:11 de maio de 2011.



ANEXOS

TABELAS FINANCEIRAS


i = 0,5%n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| iS

n| i

1 1,00500 0,99502 0,99502 1,000002 1,01002 0,99007 1,98510 2,005003 1,01508 0,98515 2,97025 3,015024 1,02015 0,98025 3,95050 4,030105 1,025025 0,97537 4,92587 5,050256 1,03038 0,97052 5,89638 6,075507 1,03553 0,96569 6,86207 7,105888 1,04071 0,96089 7,72296 8,141419 1,04591 0,95610 8,77906 9,1821210 1,05114 0,95135 9,73041 10,2280311 1,05640 0,94661 10,67703 11,2791712 1,06168 0,94191 11,61893 12,3355613 1,06699 0,93722 12,55615 13,3972414 1,07232 0,93256 13,48871 14,4642315 1,07768 0,92792 14,41662 15,5365516 1,08307 0,92330 15,33993 16,6142317 1,08849 0,91871 16,25863 17,6973018 1,09393 0,91414 17,17277 18,7857919 1,09940 0,90959 18,08236 19,8797220 1,10490 0,90506 18,98742 20,9791221 1,11042 0,90066 19,88798 22,0840122 1,11597 0,89608 20,78406 23,1944323 1,12155 0,89162 21,67568 24,3104024 1,12716 0,88719 22,56287 25,4319625 1,13280 0,88277 23,44564 26,5591226 1,13846 0,87838 24,32402 27,6919127 1,14415 0,87401 25,19803 28,8303728 1,14987 0,86966 26,06769 29,9745229 1,15562 0,86533 26,93302 31,1243930 1,16140 0,86103 27,79405 32,28002



i = 1%n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| iS

n| i

1 1,01000 0,99010 0,99010 1,000002 1,02010 0,98030 1,97040 2,010003 1,03030 0,97059 1,94099 3,030104 1,04060 0,96098 3,90197 4,060405 1,05101 0,95147 4,85343 5,101016 1,06152 0,94205 5,79548 6,152027 1,07214 0,92348 6,72819 7,213548 1,08286 0,91434 7,65168 8,285679 1,09369 0,91434 8,56602 9,3685310 1,10462 0,90529 9,47130 10,4622111 1,11567 0,89632 10,36763 11,5668312 1,12683 0,88745 11,25508 12,6825013 1,13809 0,87866 12,13374 13,8093314 1,14947 0,86996 13,00370 14,9474215 1,16097 0,86135 13,86505 16,0969016 1,17258 0,85282 14,71787 17,2578617 1,18430 0,84438 15,56225 18,4304418 1,19615 0,83602 16,39827 19,6147519 1,20811 0,82774 17,22601 20,8109020 1,22019 0,81954 18,04555 22,0190021 1,23239 0,81143 18,85698 23,2391922 1,24472 0,80340 19,66038 24,4715923 1,25716 0,79544 20,45582 25,7163024 1,26973 0,78757 21,24339 26,9734625 1,28243 0,77977 22,02316 28,2432026 1,29526 0,77205 22,79520 29,5256327 1,30821 0,76440 23,55961 30,8208928 1,32129 0,75684 24,31644 31,1291029 1,33450 0,74934 25,06579 33,4503930 1,34785 0,74192 25,80771 34,78489



i = 1,5%n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| iS

n| i

1 1,01500 0,98522 0,98522 1,000002 1,03022 0,97066 1,95588 2,015003 1,04568 0,95632 2,91220 3,045224 1,03136 0,94218 3,85438 4,090905 1,07728 0,92826 4,78264 5,152276 1,09344 0,91454 5,69719 6,229557 1,10984 0,90103 6,59821 7,322998 1,06699 0,93722 7,55615 8,397249 1,14339 0,87459 8,36052 9,5593310 1,16054 0,86167 9,22218 10,7027211 1,17195 0,84893 10,07112 11,8632612 1,19562 0,83639 10,90751 13,0412113 1,21355 0,82403 11,73153 14,2368314 1,23176 0,81185 12,54338 15,4503815 1,25023 0,79985 13,34323 16,6821416 1,26899 0,78803 14,13126 17,9323717 1,28802 0,77639 14,90765 19,2013618 1,30734 0,76491 15,67256 20,4893819 1,32695 0,76361 16,42617 21,7967220 1,34686 0,74247 17,16864 23,1236721 1,36706 0,73150 17,90014 24,4705222 1,38756 0,72069 18,62082 25,8375823 1,40838 0,71004 19,33086 27,2251424 1,42950 0,69954 20,03041 28,6335225 1,45095 0,68921 20,71961 30,0630226 1,47271 0,67902 21,39863 31,5139727 1,49480 0,66899 22,06762 32,9868828 1,51722 0,65910 22,72672 34,4814829 1,53988 0,64936 23,37608 35,9987030 1,56308 0,63976 24,01584 37,53868



i = 2%n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| iS

n| i

1 1,02000 0,98039 0,98039 1,000002 1,04040 0,96117 1,94156 2,020003 1,06121 0,94232 2,88388 3,060404 1,08243 0,92385 3,80773 4,121615 1,10408 0,90573 4,71346 5,204046 1,12616 0,88797 5,60143 6,308127 1,14869 0,87056 6,47199 7,434288 1,17166 0,85349 7,32548 8,582979 1,19509 0,83676 8,16224 9,7546310 1,21899 0,82035 8,98259 10,9497211 1,24337 0,80426 9,78685 12,1687212 1,26824 0,78849 10,57534 13,4120913 1,29361 0,77303 11,34837 14,6803314 1,31948 0,75788 12,10625 15,9739415 1,34587 0,74301 12,84926 17,2934216 1,37279 0,72845 13,57771 18,6392917 1,40024 0,71416 14,29187 20,0120718 1,42825 0,70016 14,99203 21,4123119 1,45681 0,68643 15,67846 22,8405620 1,48595 0,67297 16,35143 24,2973721 1,51567 0,65978 17,01121 25,7833222 1,54598 0,64684 17,65805 27,2989823 1,57690 0,63416 18,29220 28,8449624 1,60844 0,62172 18,91393 30,4218625 1,64061 0,60953 19,52346 32,0303026 1,67342 0,59758 20,12104 33,6709127 1,70689 058586 20,70690 35,3443228 1,74102 0,57437 21,28127 37,0512129 1,77584 0,56311 21,84438 38,7922330 1,81136 0,55207 22,39646 40,56808



i = 2,5%n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| iS

n| i

1 1,02500 0,97561 0,97561 1,000002 1,05062 0,95181 1,92742 2,025003 1,07689 0,92860 2,85602 3,075624 1,10381 0,90595 3,76197 4,152525 1,13141 0,88385 4,64583 5,256336 1,15969 0,86230 5,50813 6,387747 1,18869 0,84127 6,34939 7,547438 1,21840 0,82075 7,17014 8,736129 1,24886 0,80073 7,97087 9,9545210 1,28008 0,78120 8,75206 11,2033811 1,31209 0,76214 9,51421 12,4834712 1,34489 0,74356 10,25776 13,7955513 1,37851 0,72542 10,98318 15,1404414 1,41297 0,70773 11,69091 16,5189515 1,44830 0,69047 12,38138 17,9319316 1,48451 0,67362 13,05500 19,3802217 1,52162 0,65720 13,71220 20,8647318 1,55966 0,64117 14,35336 22,3863519 1,59865 0,62553 14,97889 23,9460120 1,63862 0,61027 15,58916 25,5446621 1,67958 0,59539 16,18455 27,1832722 1,72157 0,58086 16,76541 27,1832723 1,76461 0,56670 17,33211 30,5844324 1,80873 0,55288 17,88499 32,3490425 1,85394 0,53939 18,42438 34,1577626 1,90029 0,52623 18,95061 36,0117127 1,94780 0,51340 19,46401 37,9120028 1,99650 0,50088 19,96489 39,8598029 2,04641 0,48866 20,45355 41,8563030 2,09757 0,47674 20,93029 43,90270

Hino do Estado do Ceará

Poesia de Thomaz LopesMúsica de Alberto NepomucenoTerra do sol, do amor, terra da luz!Soa o clarim que tua glória conta!Terra, o teu nome a fama aos céus remontaEm clarão que seduz!Nome que brilha esplêndido luzeiroNos fulvos braços de ouro do cruzeiro!

Mudem-se em flor as pedras dos caminhos!Chuvas de prata rolem das estrelas...E despertando, deslumbrada, ao vê-lasRessoa a voz dos ninhos...Há de florar nas rosas e nos cravosRubros o sangue ardente dos escravos.Seja teu verbo a voz do coração,Verbo de paz e amor do Sul ao Norte!Ruja teu peito em luta contra a morte,Acordando a amplidão.Peito que deu alívio a quem sofriaE foi o sol iluminando o dia!

Tua jangada afoita enfune o pano!Vento feliz conduza a vela ousada!Que importa que no seu barco seja um nadaNa vastidão do oceano,Se à proa vão heróis e marinheirosE vão no peito corações guerreiros?

Se, nós te amamos, em aventuras e mágoas!Porque esse chão que embebe a água dos riosHá de florar em meses, nos estiosE bosques, pelas águas!Selvas e rios, serras e florestasBrotem no solo em rumorosas festas!Abra-se ao vento o teu pendão natalSobre as revoltas águas dos teus mares!E desfraldado diga aos céus e aos maresA vitória imortal!Que foi de sangue, em guerras leais e francas,E foi na paz da cor das hóstias brancas!

Hino Nacional

Ouviram do Ipiranga as margens plácidasDe um povo heróico o brado retumbante,E o sol da liberdade, em raios fúlgidos,Brilhou no céu da pátria nesse instante.

Se o penhor dessa igualdadeConseguimos conquistar com braço forte,Em teu seio, ó liberdade,Desafia o nosso peito a própria morte!

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vívidoDe amor e de esperança à terra desce,Se em teu formoso céu, risonho e límpido,A imagem do Cruzeiro resplandece.

Gigante pela própria natureza,És belo, és forte, impávido colosso,E o teu futuro espelha essa grandeza.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada,Brasil!

Deitado eternamente em berço esplêndido,Ao som do mar e à luz do céu profundo,Fulguras, ó Brasil, florão da América,Iluminado ao sol do Novo Mundo!

Do que a terra, mais garrida,Teus risonhos, lindos campos têm mais flores;"Nossos bosques têm mais vida","Nossa vida" no teu seio "mais amores."

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, de amor eterno seja símboloO lábaro que ostentas estrelado,E diga o verde-louro dessa flâmula- "Paz no futuro e glória no passado."

Mas, se ergues da justiça a clava forte,Verás que um filho teu não foge à luta,Nem teme, quem te adora, a própria morte.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada, Brasil!



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n| iS

n| i

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n| iS

n| i

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n| iS

n| i

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governador - secretaria da educação · essa apostila traz informações fundamentais para o uso...

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