Prof. Gil - Engenharia Aeroespacial/UFABC

LLaabb ddee GGNN&&CC -- aabboorrddaaggeemm aa ppaarrttiirr ddaa ssoolluuoo ddee pprroobblleemmaass Proposta.

Soluo de problemas propostos a partir de modelagem e simulao no MATLAB.

Os problemas sero propostos como atividades.

Sua soluo acompanhar um ou mais arquivos .m (script do MATLAB), onde o problema modelado e a soluo, via simulao, obtida e apresentada.

PROBLEMA 1

Tema: Problema restrito de dois corpos. Integrao numrica da equao do

movimento em coordenadas cartesianas (X, Y, Z). Visualizao via grfico 3D da

rbita junto ao elipsoide terrestre.

Obs.: 1a integrao=> Vx, Vy, Vz; 2a integrao => x, y, z; necessidade de duas condies iniciais

V(t0) e R(t0).

Objetivo: Reviso do problema restrito de dois corpos. Comprovao numrica da lei das rbitas

elpticas de Kepler. Desenvolvimento de habilidades no uso do MATLAB: integradores numricos

e visualizao de resultados (grficos).

Enunciado: Deseja-se conhecer e visualizar a rbita que um V/E descreve em torno da Terra em

coordenadas cartesianas. Para tanto, reveja o problema restrito dos dois corpos. Descreva o

problema em termos de suas equaes diferenciais em coordenadas cartesianas, sabendo que num

certo instante do seu movimento o V/E tem vetores R e V dadas como se segue. Crie um relatrio

com os passos tomados no estudo e soluo deste problema. Apresente o grfico 3D da trajetria

em torno da Terra como resultado, alm do script do MATLAB que resolve o problema.

R = 4337,4I -3904,3J + 4212,4K (Km)

V = 2,3 I -3,9 J -5.9 K (Km/s)

Soluo: A) Reveja o problema restrito de dois corpos (ver material de apoio: aula de Introduo

Astronutica sobre este tema: entendendo.orbitas.pdf) e obtenha a equao que rege o movimento de um corpo sujeito apenas uma fora gravitacional central.

B) Reescreva a equao tradicional (em coordenadas polares) deste movimento em coordenadas

cartesianas. Observe que o sistema de referncia para as coordenadas utilizado aqui o SGI

(sistema geocntrico inercial).

C) Para resolver o problema no MATLAB, preciso identificar um integrador adequado. Estude os

integradores disponveis (com uso da ajuda do programa) e escolha um deles. Justifique sua

escolha.

D) Sabendo que os integradores numricos do MATLAB so dedicados soluo de equaes e

sistemas de equaes diferenciais de 1a ordem, do tipo y' = M(t,y), com necessidade de uma

condio inicial, y(t0) = y0, reescreva o sistema de 2a ordem com 3 equaes diferenciais obtido

anteriormente, passando-o para um sistema de 1a ordem com 6 equaes diferenciais. Reescreva

tambm o novo vetor com as condies iniciais dadas, y0 (vetor: 6x1). E) Realize a integrao, obtendo uma matriz com as coordenadas X,Y,Z do movimento para uma

rbita completa. Que valor de tempo voc deve usar para obter o grfico de uma rbita completa?

Explique.

F) Crie um nico grfico 3D contendo as coordenadas obtidas contra a Terra (modelo GRS80) ao

fundo.

G) Componha um relatrio em doc word contendo os estudos efetuados e seus respectivos

resultados, incluindo o grfico e o arquivo .m criado, para entrega ao professor. Lembre-se de

comentar os resultados obtidos em funo do esperado.

Obs.: Se for solicitado, prepare-se para apresentar a sua soluo para este problema turma da

disciplina.

Referncias para esta atividade:

BRUM, A. G. V. de Aulas da disciplina EN 3212 - Introduo Astronutica (pdf). UFABC, 2010.

SELLERS , Jerry Jon Understanding Space: An Introduction to Astronautics (Third Edition). McGraw-Hill, 2005. 642 p.

MATLAB - Manual e ajuda do programa.