OS CAMPOS CONCEITUAIS COMO FUNDAMENTOS DA

EDUCAÇÃO

Atividade, metas, conceitos e razão

Gérard Vergnaud

O QUE É QUE SE DESENVOLVE?

Ao mesmo tempo, numa variedade de registros

GestosCompetências científicas e técnicas

Formas de interação com o outroAtividades de linguagem

Afetividade

AO LONGO DA VIDA

• No curto período de tempo de uma conscientização

• No longo período de tempo da experiência.

NA INTERAÇÃO

• Com as situações

• Com o outro

DEFINIÇÕES DA COMPETÊNCIA

1 « A » é mais competente do que « B » se souber fazer

algo que « B » não sabe fazer

« A » é mais competente durante um período de tempo

t' do que durante um tempo t se ele souber fazer algo que,

antes, não sabia fazer.

2 « A » é mais competente se atuar da melhor maneira

3 « A » é mais competente se tiver ao seu dispor

um arsenal de recursos alternativos que permitam que

ele adapte a sua conduta em função das diferentes

circunstâncias que possam ocorrer

4 « A » é mais competente se estiver menos

desmunido diante de uma situação

OS ESQUEMAS DA ENUMERAÇÃO

Esquema elementar - correspondência biunívoca - cardinal

. No estádio de Nantes - partilha Card (A U B) = Card(A) + Card(B) - escrita Escrita (soma) = escrita(a) +++ escrita(b) algoritmo da adição

- Bloco retangular Card (F X C) = Card(F) * Card(C) X produto cartesiano * multiplicação aritmética Canto do estádio Média= (Nmax + Nmin)/2

CONCEITO, TEOREMA, REGRA

•Conceito-em-ato = conceito considerado pertinente

na ação que está sendo executada

•Teorema-em-ato = proposta considerada como

verdadeira

•Exemplos de regra: não contar duas vezes o mesmo

objeto; contá-los todos

A MESMA OPERAÇÃO NUMÉRICATRÊS PROBLEMAS COM DIFERENTES NÍVEIS

•Pedro tinha 7 bolinhas de gude. Ele ganhou 5. Quantas

ele tem agora?

•Roberto acabou de perder 5 bolinhas de gude; agora

ele tem 7. Quantas bolinhas ele tinha antes de jogar?

•Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude. Ele não

se lembra mais do que aconteceu na primeira

partida. Na segunda partida, ele perdeu 7 bolinhas

de gude. Fazendo as contas, ele percebeu que, no

total, ele ficou com 5 bolinhas. O que é que

aconteceu na primeira partida?

Mudanças de sentido

•Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude.

•Ele não se lembra mais do que aconteceu na

primeira partida.

• Na segunda partida ele bolinhas.

•Fazendo as contas, ele percebeu que, no total, ele

bolinhas.

•O que é que aconteceu na primeira partida?

Mudanças de sentido

•Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude.

•Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira

partida.

• Na segunda partida ele ganhou 7 bolinhas.

•Fazendo as contas, ele percebeu que, no total, ele ganhou

15 bolinhas.

•O que é que aconteceu na primeira partida?

Mudanças de sentido

• Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude.

• Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira partida.

Na segunda partida ele ganhou 15 bolinhas.

• Fazendo as contas, ele percebeu que, no total, ele ganhou 7

bolinhas.

• O que é que aconteceu na primeira partida?

Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude.

Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira partida.

Na segunda partida ele ganhou 15 bolinhas.

Fazendo as contas, ele percebeu que,

no total, ele ganhou 7 bolinhas.

O que é que aconteceu na primeira partida?

Mudanças de sentido

Seis relações aditivas

VÁRIOS ESQUEMAS PARA UMA MESMA SITUAÇÃO

•André jogou duas partidas de gude e ele tenta saber

quantas bolinhas tinha antes de jogar; ao contá-las, ele

constata ter 63 bolinhas de gude.

•Ele se lembra que ganhou 16 bolinhas na primeira partida

e perdeu 8 na segunda.

•Quantas bolinhas ele tinha antes de começar a jogar?

Esquema 1:

partir da situação final, acrescentar o que ele perdeu e subtrair o que

ele ganhou

Esquema 2:

Formular uma hipótese em relação à situação inicial, aplicando as

transformações sucessivas; comparar o resultado obtido com a

situação final apresentada no enunciado; corrigir a hipótese em função

da diferença entre as duas situações.

Esquema 3:

compor as duas transformações para saber se, no

total, André perdeu ou ganhou bolinhas de gude, e

quantas. Aplicar à situação final a transformação

recíproca dessa transformação composta.

COMO EXPRIMIR OS CONHECIMENTOS UTILIZADOS NA AÇÃO?

Si F = T(I) então I = T-1 (F)

MULTIPLICIDADE DE SENTIDOS DO SINAL DE « MENOS »

•Jorge tem 9 euros na sua carteira. Ele quer comprar

um doce que custa 3 euros. Quanto lhe sobrará?

Ana Lucia tinha 9 euros. Sobraram-lhe 3 euros. Quanto

ela gastou?

•Maria acabou de ganhar 3 euros da sua avó. Agora, ela

tem 9 euros. Quanto ela tinha antes de chegar na casa da

avó?

•Teresa convidou 9 crianças para o seu aniversário:

meninas e meninos. Havia 3 meninos; quantas meninas

havia?

A escrita convencional 9 – 3 = não representa a diversidade dos raciocínios que as crianças devem efetuar para decidir que é necessário subtrair 3 de 9

Piaget Vygotski

• esquema• Teoria da atividade

• Invariante operatório • Conceito cotidiano / conceito cientifico

• Função simbólica• linguagem e significado das palaras

• consciência e abstração reflectiva• consciência e metacognição

• interação sujeito / objeto • interção adulto / criança

• Estados e equilibração• Zona de desenvolvimento proximal

• Imitação e interiorização• internalização

CAMPO CONCEITUAL

• Conjunto de situações cujo domínio progressivo demanda uma variedade de conceitos, de esquemas e de representações simbólicas em estreita conexão

• Conjunto de conceitos que contribuem para o domínio dessas situações

CONCEITOS ORGANIZADORES DAS ESTRUTURAS ADITIVAS

• Quantidades discretas e contínuas• Medida

• parte/todo• Estado/transformação

• Comparação referido/referente• Composição binária (medidas,

transformações, relações)

• Operação unária

• Inversão

• Número natural/número relativo

• Posição/abscissa/valor algébrico

PROPORCIONALIDADE SIMPLES(multiplicação, partição, cotição, quarta proporcional)

DOIS CASOS DE PROPORCIONALIDADE

•285 kg de cortiça por 0,70 euros o kg

•Para calcular o custo total, é necessário fazer

uma multiplicação ou uma divisão?

•0,70 toneladas de concreto por 285 euros a

tonelada

•Para calcular o custo total, é necessário fazer

uma multiplicação ou uma divisão?

ANÁLISE CONCEITUAL DOS DOIS CASOS

• A escolha da operação correta poderá ser

contestada pelo caráter crescente da função

• E pela falsa ideia de que a multiplicação

fornece um resultado maior do que a divisão

1 o,70

285 custo

• escalar maior que 1 285 >1 f (285) > f (1)

• não há problema!

1 285• • 0,7

custo • escalar menor que 1 0,7 < 1 f (0,7)

< f (1)• Problema!

Conceito = ( S, I, L)

• conjunto de situações que dão sentido ao conceito

•I conjunto de invariantes operatórios que fundamentam a operacionalidade dos esquemas

•L conjunto de formas simbólicas e de linguagem que permitem que se tenha uma representação dos conceitos, das situações e das formas de tratamento

CONCEITOS E TEOREMAS ORGANIZADORES DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS

Multiplicação/divisão; proporcionalidade;

grandezas e dimensões; função linear, bilinear,

n-linear; escalar, produto e quociente de

dimensões

Teoremas-em-ato

isomorfismos da função linear

f(x + x') = f(x) + f(x')f(nx) = nf(x)f(nx + n'x') = nf(x) + n'f(x')

f(n) = nf(1) Casos

particulares f(1) = f(n)/n n = f(n)/f(1)

coeficiente de proporcionalidade

f(x) = ax x = 1/a f(x) produto cruzado e regra de três

x' * f(x) = x * f(x’) f(x') = x' * f(x) / x

dupla linearidade f (n1x1, n2x2) = n1n2 f(x1, x2)

DOS INVARIANTES OPERATÓRIOS AOS SABERES FORMALIZADOS

(invariantes operatórios, conscientes, explicitáveis, explícitos, saberes formalizados)

Simetria ortogonal

Simetria ortogonal

Quatro formas predicativas com diferentes níveis 1 - A fortaleza é simétrica 2 - O triângulo A'B'C' é simétrico ao triângulo ABC em relação à reta d 3 - A simetria mantém os comprimentos e os ângulos 4 - A simetria é uma isometria

OBRIGADO