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Geometria

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Prof. Marcelo Lopes www.geometriamar.com.br


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1

GEOMETRIA PLANA – EsPCEx - POWER

1. Os lados AB , BC e CD de um quadrilátero ABCD tem,

respectivamente, medidas 4, 5 e 20. Os ângulos, internos, de vértices B e C

são obtusos e 5

3BcosCsen ====−−−−==== . Então AD tem medida:

a) 24 b) 24,5 c) 24,6 d) 24,8 e) 25

2. Na figura, ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo eqüilátero. F é o

ponto de intersecção da diagonal BD com o lado AE do triângulo. FG

é a altura relativa ao lado AB do triângulo ABF. Se 31AB ++++==== e

considerando que a área S do triângulo ABF é FGAB2

1S ××××××××==== , então

S é igual a:

a) 1 b) 2

2 c)

2

3 d) 324 −−−− e)

4

3

2

1++++

3. Cada um dos três círculos da figura é extremamente tangente aos outros

dois círculos e cada lado do triângulo é tangente a dois círculos. Se cada

círculo tem raio 3r ==== , então o perímetro do triângulo é:

a) 2936 ++++ b) 3636 ++++ c) 3936 ++++

d) 31818 ++++ e) 45

4. O ângulo B de um ABC∆∆∆∆ é tricectado por BD e BE que

interceptam AC em D e E, respectivamente. Então:

a) DC

AE

EC

AD==== b)

BC

AB

EC

AD==== c)

BE

BD

EC

AD====

d) BCBE

BDAB

EC

AD

××××

××××==== e)

BEDC

BDAE

EC

AD

××××

××××====

5. Um ABC∆∆∆∆ de lados a, b e c são opostos aos ângulos A , B e C ,

respectivamente. AD bissecta o ângulo A e intercepta BC em D.

Então, se CDx ==== e BDy ==== , a proposição correta é:

a) cb

a

a

x

++++==== b)

ca

a

b

x

++++==== c)

cb

c

c

y

++++====

d) cb

a

c

y

++++==== e)

b

c

y

x====

6. A base de um triângulo isósceles é 6m e um dos lados iguais é 12m. O raio

da circunferência que passa pelos vértices do triângulo é:

a) 5

157 b) 34 c) 53 d) 36 e) n.d.a.

7. Na figura abaixo, são dados cm8AC ==== e cm4CD ==== . A medida de

BD em cm:

a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16

8. O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se

m12AB ==== e m6AC ==== , o lado do losango mede, em metros:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

9. Julgue: Num triângulo retângulo de catetos a e b, a medida da bissetriz do

ângulo reto vale ba

2ab

++++.

10. Sendo a, b e c, respectivamente os raios das circunferências menor,

intermediária e maior, de acordo com a figura abaixo. Pode-se afirmar que:

a) os raios a, b e c nesta ordem formam uma P.G.; b) os raios a, b e c nesta ordem formam uma P.A.; c) os raios a, b e c nesta ordem formam uma P.H.; d) os raios não possuem nenhuma relação entre si; e) n.d.a..

A B

F

D

C

E

A

B C D

θθθθ

θθθθ

A

C B

D C

B A

E

F

G

A

D C

B

20

5

4


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11. Julgue: Na figura abaixo o valor de x é ba

ba

++++

××××.

12. Julgue: A relação que se obtém entre x e y é m

p

y

x==== .

13. Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e 6. Calcular o raio da

circunferência com centro na hipotenusa e que tangencia os catetos do triângulo.

14. Dada uma circunferência de centro O e diâmetro cm24AB ==== . Traçando-

se as circunferências com diâmetro OA e OB, achar o raio da circunferência tangente a essas três circunferências.

15. Julgue: De um círculo, conhece-se apenas a parte que é representada na

figura abaixo. Então, a medida de seu raio é 55 .

16. Duas polias de raios 8cm e 3cm são tais que a distância entre seus centros

é 13cm. Determinar o comprimento da correia que envolve essas polias mas que não está em contato com elas.

17. Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ

com vértice I sobre o lado AB do retângulo e o vértice J sobre o lado

CD . Se as medidas dos lados do retângulo são cm25AB ==== e

cm15BC ==== , então a medida do lado do losango é:

a) 13cm b) 15cm c) 17cm d) 18cm e) cm215

18. Sejam AB um diâmetro de uma circunferência e BC um segmento de

reta tangente a essa circunferência, m53AB ==== e m5BC ==== . Por C

traça-se uma reta perpendicular a BC que intercepta a circunferência em

D e E. Se DECD < , então a medida de CD , em m, é:

a) 2

53 b)

2

553 −−−− c)

2

55 −−−− d)

2

53 −−−− e)

2

35

19. A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90° e 60°, respectivamente. Sabendo-se que a distância

entre seus centros é igual a 13 ++++ , determine os raios dos círculos.

20. Num triângulo ABC, retângulo em A e hipotenusa igual a 45 , inscreve-

se um quadrado com um dos vértices coincidindo com o vértice A do triângulo. Sabendo que o lado do quadrado vale 2, calcular a área do triângulo.

21. Julgue: Os raios das circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo

eqüilátero de lado l são dados respectivamente pelas expressões 6

3l e

3

3l.

22. No triângulo ABC da figura, I é o incentro e a BC//MN . Se

cm3AB ==== e cm2AC ==== então o perímetro do triângulo AMN, em cm,

valerá:

23. Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e o raio da

circunferência é 2cm. Então x vale:

a) cm)5,232( −−−− b) 1cm c)3,5cm d) cm3 e) 0,5cm

r

t // s

2,5 cm

A

s // r

x

60° 60°

C B

M I

A

N

2O 1O 60°

1

3 3

x

y

m

p

a

b x


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24. As retas r e s da figura seguinte interceptam-se no ponto P e tangenciam a

circunferência nos pontos A e B. Se a medida do ângulo BPA é 50°,

então a medida do ângulo BQA é:

a) 40° b) 45° c) 50° d) 60° e) 65°

25. O valor de x, na figura abaixo é:

a) 40° b) 35° c) 50° d) 60° e) 65°

26. Considere as cordas AB e CD de uma circunferência, as quais se

interceptam num ponto P, e um ponto E da corda AB, tal que o quadrilátero

ACED seja um paralelogramo. Se 13AB ==== e 12CD ==== . Então EB é

igual a:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

27. Os pontos A, B, C, D, E e F pertencem a circunferência. O valor de 00é:

28. Sabendo que AB e CD são duas cordas perpendiculares de uma

circunferência, P o ponto de encontro dessas cordas, 4PA ==== , 6PB ==== ,

e 2PC ==== , o raio da circunferência é:

a) 6 b) 7 c) 1 d) 25 e) 26

29. Qual o valor de x na figura abaixo, sendo 9AB ==== , 8BC ==== e 7CA ==== ?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 4,5 e) 3,5

30. Seja o triângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro 'O e

circunscrito em uma circunferência de centro O. O segmento, que une A com O, intercepta a circunferência maior em D. Então podemos ter:

a) D'OBDCD ======== b) ODCDAD ========

c) BDCOCD ======== d) BDODCD ========

e) ODC'OB'O ========

31. ABCD é um trapézio cujo ângulo D tem o dobro da medida do ângulo B .

Se aAD ==== e bCD ==== , então a medida de AB é:

a) b22

a++++ b)

4

a3

2

b3++++ c) ba2 −−−− d)

2

ab4 −−−− e) ba ++++

B A

C D

a

b

B A

C

D

O

O’

A

9

8 7

B

C

x

A

B

C

D

E

F

αααα

120°

110°

A

B C

D

E

P

40° 30°

x

A

B

P

Q

s

r


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32. Seja AB o diâmetro D de uma circunferência. Traçam-se as tangentes

aAD ==== e bBC ==== . AC e BC interceptam-se em P, um ponto sobre

a circunferência. Se ba ≠≠≠≠ , o diâmetro d da circunferência mede:

a) ba −−−− b) 2

ba ++++ c) b.a d)

ba

b.a

++++ e)

)ba.(2

b.a

++++

33. Seja ABCD um trapézio de bases AB e CD . CD2AB ××××==== e AC e

BD interceptam-se em E. Se a medida da diagonal AC é 11, então a

medida do segmento EC é igual a:

a) 3

11 b) 4

15 c) 2

7 d) 3 e) 2

5

34. Na figura abaixo, calcular a distância do vértice D a reta r sabendo que

ABCD é um paralelogramo e que cm4'AA ==== , cm2'BB ==== e

cm11'CC ==== .

35. Observe a figura:

Depois que o Prof. de Geometria da EsPCEx tirou a roupa e as medidas de uma modelo, um aluno da mesma turma, resolveu fazer uma brincadeirinha:

I. esticou uma linha AB , cujo comprimento é metade da altura dela;

II. ligou B ao seu pé no ponto C;

III. fez uma rotação de BA com centro B, obtendo o ponto D sobre BC ;

IV. fez uma rotação CD com centro C, determinando E sobre AC .

Para surpresa da modelo, CE é a altura do seu umbigo.

Tomando AB como unidade de comprimento e considerando 2,25 ==== ,

a medida CE da altura do umbigo da modelo é:

a) 1,3 b) 1,2 c) 1,1 d) 1,0

36. As diagonais de um trapézio isósceles medem 10cm. Calcule o perímetro

do quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados consecutivos.

37. Na figura abaixo ABC é um triângulo eqüilátero. Sabe-se que PM , PN e

PQ são paralelos aos lados do triângulo e que cm15PQPNPM ====++++++++ .

Calcule o perímetro do triângulo ABC.

38. Num polígono regular ABCDE... traçam-se todas as diagonais do vértice A.

O ângulo formado pela 1ª com a última vale 100º. Calcule quantos lados têm esse polígono.

39. Em um triângulo ABC as medianas que partem de A e B são

perpendiculares. Se 8BC ==== e 6AC ==== , calcular o valor de AB .

40. No triângulo ABC, retângulo em A, a altura AH forma um ângulo de 10°

com a mediana AM . Calcular os ângulos agudos do triângulo ABC .

r

A’ B’ C’ D’

C

A

B

D

B C

P

Q

M

N

B A

C D

E

d

b

a

O

P

D

B A

C

A


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41. Num polígono regular ABCDE... a diferença entre o ângulo formado pelas

mediatrizes dos lados AB e ED e o ângulo formado pelas bissetrizes

internas dos ângulos B e D vale 40º. Calcule quantos lados têm esse

polígono. 42. ABCDE... é um polígono regular cujo ângulo interno é quatro vezes o ângulo

formado pelas mediatrizes dos lados AB e CD . Calcular quantos lados

tem esse polígono. 43. Se o perímetro de um retângulo ABCD é 20 metros, o menor valor possível

para a diagonal AC , em metros, é:

a) 0 b) 50 c) 10 d) 200 e) n.d.a.

44. O número de lados de 3 polígonos convexos são consecutivos e a soma de

todos seus ângulos internos é 2160º. Qual o gênero dos polígonos?

45. Se 654321 PPPPPP é um hexágono regular cujo apótema é 2, e iQ é o

ponto médio do lado )1i(iPP ++++ para 4,3,2,1i ==== , então o perímetro do

quadrilátero 4321 QQQQ é:

a) 6 b) 62 c) 3

38 d) 10 e) 210

46. EsSA - No triângulo ABC ao lado, se M e N são os pontos médios e a área

do triângulo DMC é 2dm1 , então a área, em 2

dm , do triangulo ABD é:

47. Na figura seguinte, ABC é um triângulo qualquer inscrito numa

circunferência, da qual AD é um diâmetro. Mostre que nm ==== .

48. Na figura seguinte, as circunferências têm o mesmo raio e seus centros são

1O , 2O e 3O . Calcule x.

49. Na figura seguinte, ABE e BCF são triângulos eqüiláteros e ABCD é um quadrado.Prove que os pontos D, E e F são alinhados (isto é, pertencem a uma mesma reta).

Sugestão: Basta você provar que º180FED ====

50. O triângulo ABC é retângulo em C . Os segmentos CD e CE trisectam

a hipotenusa AB . senxCD ==== e xcosCE ==== , onde x é um número

real, tal que, 2

x0ππππ

<<<<<<<< . A medida da hipotenusa é:

a) 3

4 b) 2

3 c)5

53 d) 3

52 e) n.d.a.

51. Na figura, CD é o diâmetro do semi-círculo com centro em O. A é um

ponto sobre o prolongamento de CD . A, B e E são colineares sendo B e E

pontos da circunferência. Se DOAB ==== e °°°°==== 45EOD , então BAC

vale:

a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°

52. Considere os círculos tangentes da figura, cujas tangentes comuns

exteriores formam um ângulo de 60°. Qual a razão entre as áreas do maior e do menor?

A

B C

D

M

N

A

B

C D

E

O

45°

C A

D

E

B

C

B

D

F

A

E

x

80º

1O 2O 3O

O

A

C B

D

m

n

H


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53. Uma semi-circunferência de diâmetro AB está inscrita no trapézio

retângulo ABCD de bases x e y, conforme a figura abaixo. Sabendo que O é ponto de tangência, o valor do raio dessa semi-circunferência é:

a) 2

yx ++++ b)

2

yx −−−− c) y.x d)

2

y.x e) y.x

54. Na figura abaixo, G é o baricentro do triângulo ABC. Calcule a distância do

ponto G à reta r sabendo que cm4'BB ==== , cm11'AA ==== e

cm3'CC ==== .

55. Na figura abaixo, EC.2BE ==== e DA.2BD ==== , calcule a área sombreada.

56. Na figura abaixo, ECAE ==== e DB.3CD ==== calcule a área sombreada.

57. Na figura abaixo, FE.3BF ==== , EAFE ==== , GB.4GH ==== e

HCGB ==== calcule a área sombreada.

58. EsSA - A área do círculo inscrito em um triângulo retângulo de lados 9, 12

e 15 é: 59. EsSA - Considere duas circunferências de raios iguais a 2 tal que,

sobrepostas, cada uma passa pelo centro da outra. A área da região comum a ambas é:

60. Na figura abaixo, FBAF ==== , AE.3AB ==== calcule a área sombreada.

61. Na figura abaixo, FCAF ==== e EBAE ==== , calcule a área sombreada.

62. Determine a área da região sombreada em função da área k do polígono

maior nos casos a seguir, sabendo que os pontos assinalados em cada lado o dividem em partes iguais (congruentes). a)

A

C’ B’ A’

C

B

G

r

A

F E

D

C B

A

B C

A B

C D

E F

A

B C

D

E

F

G H

A

B C D

E

C

A

B

D

E

O

B

y

A

D

C

x


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b)

c)

FIM

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Estude sempre e muito.

O seu sucesso é o meu descanso!!!

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