geometria intuitiva

8/13/2019 Geometria Intuitiva

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g e o m e t r i a

I n t u i t i l a

Obra-premiada en las Exposiciones de ParisySt. lois Jlisouri.N U E V A E D I C I O N .

O b r e r a d e l a V d a . d e C h . B o u r e tM E X I C O

- o . a UZ.>.~j o I =G U A D A L A J A R A

A v a n i a ' C o i a . , :1 9 0 5


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I ^ A t i -r F O W O OHUMBERTO foMQgj . LQZAN0

E l M a g i s t e r i o R a c i o n a l .E s l a n i c a r e v i s t a p e d a g g . c a m e x i c a n a q u e a b r e l i t e r a l m e n t e s u s p g m a s p a r a q u e s in d i s t i n c i n d e c l a s e s n i c a t e g o r a s , p u e d a n e s c r i b i r e ne l l a t o d o s l o s P . o f e s o r e s d e l a R e p b l i c a . S u fi n i n m e d i a t o e s : c r e a r r e -l a c o n e s i n t e l e c t u a l e s e n t i e l o s m a e s t r o , , q u e p u e d a n m s t a r d e t r a n s f o r -m a r s e e n r e l a c i o n e s d e a m i s t a d , d e f r a t e r n i d a d y d e a f e c t o .

CONDICIONES:E l M a g i s t e r i o N a c i o n a l s e p u b l i c a e l d . a l t i m o d e c a d a m e s . C o n s -t a p o r a h o r a d e 3 2 p g i n a s e n 4 m a y o r c o n f o r r o d e c o l o r .T o d a s u b s c r i p c i n l a s e r v i m o s d e s d e e l m e s d e E n e r o , y c o n l o s n -m e r o s 6 y , 2 r e g a l a r e m o s u n a p o r t a d a y u n n d i c e p a r a q u e l o s t o m o sp u e d a n s e r e m p a s t a d o s .

L o s p r e c i o s d e s u b s c r i p c i n s o n l o s s i g u i e n t e s :En la Repblica En el Eitranjero.N me ro sue l to S o 15 ~~

U n s e m e s t r e a d e l a n t a d o 0 g 0Un a o ad e la n ta do " . r r> i r "P r e c i o d e c a d a t o m o d e V & Z Z Z 9 0 ^ ^

ESTA N A LA VE NTA LOS TOMOS I Y II .S e r e c o m i e n d a e l p a g o p o r m e d i o d e g i r o s p o s t a l e s n u e s t r o f a v o r 6

p o r m e d i o d e e s t a m p i l l a s d e c o n e o d e c i n c o c e n t a v o s . S i e m p r e q u en o s o t r o s t e n g a m o s q u e g i r a - J o h a r e m o s p , r u n a f i d a S e l a n t a d o . A n e st r o s c o r r e s p o n s a l e s q u e p i d a n d e c i n c o e j e m p l a r e s d e c a d a n m e r o e na d e l a n t e b i e n q u e c o lo q u e n m s d e c in c o s u t e c r i S & e l e s l i q u i d a r e

* ^ ^ e m t a V S d n m e r 0 ' S e m p r e V ^ n s us p ag os a de -T 0 J 0 p e d i d o q u e se h a g a d e l as o b r a s a n u n c i a d a s , v e n d r a c o m p a a -d o s d e s u i m p o r t e , s i n c u y o r e q u i s i t o n o p o d r s e r v i r s e .L a c o r r e s p o n d e n c i a s e d i r i g i r a l D i r e c t o r : S ? > JulioS.Hernndez

C a l l e d e I g n a c i o H e r n n d e z n u r a . 1 2 . - M x i c o , D . F .


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L I B R E R I A D E L A V D A . D E C H . B O U R E TM E X I C O . 5 D E M A Y O 14 - M E X I C O .

Obras de Ju l io S . Hernndez .Premiadasfen la Exposicin Universal de Pars de 1900,y'e njl a de St. Louis Misouri. E. U A.E s t a s " o b r a s , d e s t i n a d a s d e p r e f e r e n c i a l a e n s e a n z a p r i m a r i a c i e r n e n -

t a l y s u p e r i o r , h a n ' s i d o ' e s c r i t a s d e a c u e r d o c o n l o s p r i n c i p i o s m s a v a n -z a d o s d e l a P e d a g o g a m o d e r n a , y l a m a y o r p a r t e d e e l l a s s e h a n d e c l a -r a d o d e t e x t o y ' d e c o n s u l t a e n l a C a p i t a l y e n v a r i o s E s t a d o s d e l a R e -p b l i c a , t a n t o e n la s E s c u e l a s o f i c i a l e s c o m o e n l a s p a r t i c u l a r e s . L a s u l -t i m a s e d i c i o n e s s e v e n d e n ' l a s p r e c i o s s i g u i e n t e s :

L E N G U A N A C I O N A L1 Lectura y Escritura simultneas. M t o d o H e r n n d e z . C o n e s -

te mt odo exce s iva me nte " [rp ido se ens ei leer lo su moe n 4 0 d a s , a u n ' n i o s n o t o r i a m e n t e t o r p e s 6 d e s a p l i c a d o s ;s u u s o e s m u y f c i l y l o p u e d e n p r a c t i c a r c o n b u e n x i t o t o d ac l a s e . d e M a e s t r o s . U n e j e m p l a r c o n g i a b a d o s S o 3 02 Silabario popular. L e c t u r a E s c r i t u r a . L a I e d i c i n T d e e s t ao b r a s e h i z o d e 3 0 0 , 0 0 0 ' e j e m p l a r e s . L a n u e v a e d i c i n s e h am o d i f i c a d o n o t a b l e m e n t e ; e s u n c u a d e r n o d e 6 4 p g i n a s y s ev e n d e a l n f i m o p r e c i o d e 0 ' 53 Silaba* io popular*Escri tura-Lec tura . E l mis mo l ibro an te r ior ,i m p r e s o c o n c a r a c l e r e s m a n u s c r i t o s , s e v e n d e a l p r e c i o d e . . . 0 1 54 Silabario popular. La mism a obra an te r i or en CARTELES, con

g r a n d e s t i p o s d e i m p r e n t a . E n p r e p a r a c i n .5 Coleccin de 50 lminas p ara descripcin de estampas. E > t a o b r i -t a f o r m a d a c o n m a g n i f i c a f o t o g r a b a d o s s e v e n d e a l p r e c i o d e . o 2 0. A R I T M E T I C A .

6 Primer afo de Aritmtica. C l c u l o o b j e t i v o , re p r e s e n t a t i v o ,m e n t a l y e s c r i t o d e l 1 al i c , c o n t o d a c l a s e d e o p e r a c i o n e sn u m r i c a s y a p l i c a d o t o d o s l o s p r o b l e m a s d e l a v i d a r e a l .U n e j e m p l a r c a r t n 0 2 57 Seguido ao di Aritmtica. C l c u l o o b je t i v o , m e n t a l y e s c r i t o

O C f t . - 3 3 1 O O

d e l 1 a l 1 0 0 , c o n t o d a c l a s e d e o p e r a c i o n e s n u m r i c a s y a p l i -c a d o l o d o s l o s p r o b l e m a s d e l a v i d a r e a l - - 0 5 o

8 Tercer ao de Aritmtica. C l c u l o o b j e t i v o , m e n t a l y e s c r i t o d e l, a l . 0 0 0 , s i g u i e n d o l a m i s m a m a r c h a d e l o s a >s a n t e a o s o 7S9 Cuarto ao de Aritmtica. C l c u l o o b j e t i v o , m e n t a l y e s cr i t o d en m e r o s > ,in l i m i t e , s i g u i e n d o l a m s m a m a r c h a a n t e r i o r , . r c o

, o Aritmtica superior. C u r s o c o m p l e t o d e c l c u l o p a r a e l 5 " y 6: o s , c o m p e n d i a d o , a d e m s : l a U o r a c o m p l e t a d e l a s e c u ac iones , l a e levac i n potenc ias y ex t ra cc ion es de ra ces , e lc l c u l o a l g e b r a i c o y D s i m p l i f i c a c i n - l e o p e r a c i o n e s . T o d o se s t o s e s t u d i o s s on i n d i s p e n s a b l e s p a r a t o d o s l o s q u e d e s e a n i n -g r e s a r l a E s c u e l a P r e | a r a t o r i a 1 5

11 Sistema mhia, decimal. E s t a o b r a e s u n c u r s o c c m p l c t o q u eesuid ia todos los S is temas de pesas , medidas y m rnedas : a i - t i -g u - , m o d e r n o , c o m p a r a d o , i n t e r n a c i o n a l y a p l i c a c i o i . e s g < -om t r i c a s

12 E j e r c i c i o s y problemas de Aritmtica. E s t a t b r a e s u n a c o l e c -c i n d e 3 , 0 0 0 e j e r c i c i o s y p r o b l e m a s d e c l c u l o a r i t m t i c o , < sc r i t a d e c o n f o r m i d a d c < n l a s d o c t r i n a s e x p u e s t a s e n l o s t e x t o sr e s p e c t i v o s . U n g r u e s o v l u o - e n s t i c a 2 0 0La m i . -ma obr a se vend e e a t res t >roos en a r to nad os .

1 3 l i b r o s i y 2 s a c l c u l o d e l 1 a l u o 514 Libro 3 o , c lcu lo de l 1 a 1 1000 0 7515 Libro 4 o , c l c u l o d e n m e r o s s i n l m i t e 1 c o, 6 Aritmtica elemental. E d i c i n d e l 4 0 de Ar i tu l ca cons i s t em a m t r i c . 1 v o l u m e n c a r t c n 1 5 oL a m i s m a o b r a a n t e r i o r , e m p a s t a d a e n t e l a 2 1o

T E X T O S E S C O L A R E S D I V E R S O S .17 Curso de lecciones de cosas O b r a e s c r i t a p a r a l o s a l u m n o s d e l

4 a o e l e m e n t a l ; c o m p i e n d e a d e i r s t o d a s l a s n o c i o ne s d e lp r o g r a m a r e s p e c t iv o - - 0 5 3

18 Geometra intuitiva. O b r a e s c r i t a d e a c u e r d o c o n l o s p r i n c i - .p i o s m e t o d o l g ic o s m o d e r n o s . C o m p r e n d e : n o m e n c l a t u r a g e o -m t r i c a d e c u e r p o s , s u p e r f i c i e s y l n e a s ; m e d i c i n y c o n s t r u c -c i n d e l i n e a s , s u p e r f i c i e s y v o l m e n e s 0 3 o

19 Instruccin cvica y m oral. C o m p r e n d e : l a e x p l i c a c i n c l a r a ys e n c i l l a d e l a s n o c i o n e s m o r a l e s y c v i c a s d e l 3 0 y 4 cS e m e n t a l e s 0 ' 5


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2 0 Conferencias c ucas los nios. T e x t o d e p l t i c a s i n f a n t i -l e s s u b r - c i e n c i a s f s i c a syn a t u r a l e s , h i s t o r i a , g e o g r a f a ,. . . r . s f .v .ne renc i as fuero n dad as por e l au tor en laE s c u e l af tuimal de Mx ico

21 Silabario popular. E d i c i n a n t i g u a O B R A S D E C O N S U L T A P A R A L O S M A E S T R O S .

22 Album pedaggicoyescolar. C o m p r e n d e a r t c u l o s c i e n t f i c o s ,p e d a g g i c o syl i t e r a r i o s . U n v o l u m e n p a s t a d e t e l a 2 oo1.a n v s m a o b r a a n l e r i o r ,l a - t ica 15o2 3 Arculospedaggicos. C o l e c c i n e n 3 6 e s t u i i o s p e d a g g i c o s , s o -b r e e d u c a c i n , d i s c i p l i n a , e l c o n c e p t o c i e n t f i c o d e l a E s c u e -l a , m e t o d o l o g a , o r g a n i z a c i nyl e g i s l a c i n e s c o l a r , d o c t r i n a sp e d a g g i c a s l a s m s r e c K i , t e s , e t c . , e t c . U n v o l u m e n d e m a sd e 5 0 0 p a g i n a sal a rus t ica J2 4 Metodologa de la Aritmtica. L a p u b l i c a c i n d e s t a o b r a in i -c i a u n a e v o l u c i n n u e v a d e l a m a t e m t i c a , d e ^ u s d e t a n t o sa n o s d e e s t a c i o n a m i e n t oy sup o d e r e s t e n q u e l a s i m p l i f i c at a n t o , q u e s i n e x a g e r a r s e p u e d e a f i r m a r q u e l a s i m p l i f i c a c i nl l e n a h a s t a l o i n v e r o s m i l . U n v o l u m e n r s t i c a 2 0 0U n i d e m e m p a s t a d o e n t e l a > _25 Programa de Lengua Nacional. P r i m e r a o e l e m e n t a l . . . . . . . o ,

26 Programa de Aritmtica. P r i m e r a o e l e m e n t a l 0'52 7 ElMagisterio Nacional. R e v i s t a m e n s u a l p e d a g g i c a e n l aq u e c o l a b o r a n l o s p e d a g o g o s m s n o t a b l e s d elaR e p b l i c a .P r e c i o d e s u l s c ; i p c i o n a i . u a l , un peso cincuenta centavos. Es -t nl a v e n t a l o s t o m o sIy I I , c o s t a nd o c a d a e j e m p l a r 0 9 '

B I B L I O T E C A E S C O L A R E C O N O M I C A .E s t e e s e l t i t u l o d e u n a e x t e n s a B i b l i o t e c a , d e l i b r o s e l e m e n -t a l e s m o d e r n o s d e p o c o p r e c i oys o b r e t o d a s l a s a s i g n a t u r a sq u e c i r c u l a r n e n b r e v e enn u m e r o s a s e d i c i o n e s , e n t r e t o d o sk s m a e s t r o sya ' u m n o s d e l a s E s c u e l a s P r i m a r i a s d e l a R e p -b l i c a . C a d a e j e m p l a r e o s ' a r . 0

D I R I J A N S E L O S P E D I D O S A L A U T O R4 C A L ' E D E I G N A C I O H E R N A N D IZ N U M . 1 2 . M E X I C O , D .P

o r e n l o s s e r v ir i n m e d i a t a m e n t ev u e l t a d e c o r r e oy c o d e p o r. e A. d o p e d i d o s e a c o m p a a r e l i m p o r t e c o r r e s p o n d i e n t e e n e s t t a n . p l a s ; p o s -ta les , en g : ro s d e c o r r e oe n d i n e r o e f e c t i v o p o r E x p r e s sp or c u a l q u . e ro t r o c o n d u c t o .

f

T E X T O S E S C O L A R E S M O D E R N O S .

G E O M E T R I I N T U I T I VP O R

J U L I O S . H E R N A N D f c ZA u t o rd e

varias obras cientficas y pedaggicas.

Obra premiada en las Exposiciones de Pars y St, Louis fllisouii.

U N D E C I M A E D I C I O N .R e v i s a d a , c o r r e g i d aya u m e n t a d a p o r e l A u t o r .

M E X I C OL I B R E R I A I D E C H - 33

C A L L B D E L C I N C O D K M A Y O N M R K O I 4 .1 9 0 5


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Q A A g I

\ 4 A| C | 0 s qu e t en g anf >rmas semejantes, def in iciones, e t c . 18. Observacionesen los poliedro,i r regu 'ares , sgu iemloel mi smo rdenque en1.san ter io res , bases, al tu rasc-ipide; ejemplosde f . rm. is p r is t icasyp i r ami d a l es , la p i rmi d e t r n -c a l a . 9 Lo s cuerpos re'dondos: usode las p a l ab r as esfr ico , hemisf-rico,ov -lal, el ipso idal; e j emp l*divers sdevar ios ob j-tos. 20. Obser-vacindelo scu rpos mixtosen el m sn oo rden que los an ter io res ejem-plosdefr r o a - c i l n d masy cn icas, el cono t runcado . Dibu jodetodoslos cuerpos geon .reos.

Cuestionario -Cmose d iv iden los cuerpos geomtr icos?- -Qu son po l iedros 'En qu se d is t inguen los po l iedros regu laresdelos i r regu lares '-Qu son cu e r p o s r ed i n d o s? - Q u son cuerpos mixtos?- Cuntosy cules son los po l iedros r eg u l a r es quese conocen? Quesel tet raedro ,elh ex aed r o , el o c t aed r o ,eld o d ecaed r o , el icosaedro?Cuntas caras , a r i s u s , ngulos d iedros, t r iedros pol iedros yvr t icesha yencad a un ode lospo liedross regu lares ? S e a l e Ud. en los mismoscuerpos: superf iciesyl neas, perpendicu lares , paralelas , ob l icuas, ver t ica-le sy h i zu n t a l c s . C mo son los perir.etrosencad a ca r adeestoscu e r p s ' C u l es son les po l iedros i r regu lares? Qu son prismas?Seale Ul. lasbases, la al tu rayl as ca r as lateralesde unp r isma. C-mi sed iv iden los pu>mas segu suposicin ysegn sus bases. - Cmose su b i i v i d en i o s p r i smas cu ad r an g l a r es?-Cules son losp r ismas:tra-pezoidales , t rapecialesy paralel ip pedos?Cuntas clases de paralel ip -pedosseconocen> - Qa son paralel ip ipedos, rom bales, r ec t an g u l a r es ,ro nboidals? Qa es un romboedro?-Qa son las p i r mi d es ' S e a -le U d. las caras lateiales , la base, laal tu raylac sp i d e d eu n a p i r mi d e .- ' ifiosed iv iden laspi> nides se gnsu posicinylaf > r madesus ba-ses ' C u l es son los cuerpos redondos qu eseconocen? Queslaesfe-ra? A qu se l lama: hemisfer io , casquete esfr ico , segmento esfr ico?A qu se l l a m a : c rcu lo mximo, ci rcu lo menor , zonn . huso esfrico?c Q u es rad io , d imetro , ejeypolos enlaes f e r a?Qu eselipsoide? Qu es ovoide? -Cules son los cuerpos m ix tos?Qu es un cilindro?Ques un cono? -Expl ique Udloquesapa delasbases, al tu ra, carasJatera 'es , etc. , delci l indroy delcono .


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CAPITULO V.NOM E NC L AT UR A DE S UP E R F I C I E S .Sumario:21. Clasi f icacin desupei f icies .22. Supei f icie- p lanas rec-tilneas de per metro r eg u l . r . - 23 Superfic es p l an as i cc t i l n eas d e p e -r me t r o i r regu lar .24. Superf icies p lanas curv i l neas.25. Supei f iciesp lanas mix t i t ineas.27. Superf icies curvas. - 2 7 . Superf i ies mix tas .21. Las superficies en los cuerpos geomtricos son de

tres clases:1 ;} S u p e r f i c i e s p l a n a s que puede hacerse coincidiren toda su extensin el borde de una regla en todas di-recciones.Las superfic ies planas p u e d e n ser de tres c lases: rec-t i l n e a s , l i m i t a d a s por l neas reac ta s , cu rv i l neas l imi tadas po r l neas cu rvas , y mix t i l neas l imi tadaspo r rectas y curvas.L a s s u p e r f i c i e s p l a n a s r e c t i l n e a s son de dos clases:de p e r m e t r o r e g u l a r que su con to rno e s t fo rmad ode lados iguales y todos igual d is tancia del centro; dep e r m e t r o i r r e g u l a r , cuyo con to rno es t fo rmado delados desiguales y por consiguiente tambin desigualdis tancia del centro .2 ? S u p e r f i c i e s c u r v a s quen icamen te puede hace rse co in -cidir en el las e l borde de una re-gla ms que en un solo punto.S u p e r f i c i e s m i x t a s que es -tn . formadas de partes planas ycu rvas la vez.22 . L assupe r f ic ie s p l an as rec - F ig 33.t i l i n e a s d e p e r m e t r o r e g u l a r s o n l a s s iguientes:1? Superfic ie t r i a n g u l a r de tres lados igualesseen -cuentra en el te traedro, e l octaedro y el icosaedro, tam- F ig . 37- F i g - 39-

Fig . 34 . F ig . 35 . F i g . 36.31.1 Supe r f ic ie pen tagona l de cinco lados iguales , seencuen t ra en el dodecaedro y tambit 'n en las bases dlosp r i smas y p i rmides pen tagona le s (f ig . 35).4 ? S u p er f ic i es : h e x a g o n a l , h e p t a g o n a l , o c t a g o n a l ,eneagona l , e tc , de seis, siete, ocho, nueve, etc., la -dos iguales , se encuentran en la s bases de le s p r i smas yde la s p i rmides (f ig . 36 ) .2 3 . L a s s u p e r f i c i e s p l a n a s r e c t i l n e a s d e p e r m e t r oi r r e g u l a r s o n las s iguientes:

bin en las bas.s de los prismas v pirmides tr iangulares(f ig . 33).2? Supe r f ic ie cua d r an gu la r de cuat ro lados igua le s ,se encuen tran en el hexae dro cubo y tamb in en las ba-ses de los prismas y pirmides cuadrangulares (f ig . 34).

Fig. 3.


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1? Tring ulos: e l issce les form ado por dos ladosiguales y uno desigual, se encuentra en las caras la terales de las p irmides (f ig , 37); e l escaleno formado portres lados desiguales , se encuentra en las pirmides obli-cuas (f ig . 38.)

F ig . 4 0 . Fig . 41 .2? Cuadril teros: el p a r a l e l g r a m o r e c t n g u l o for-mado de cua t ro lados paralelos y perpendiculares , dosmayores y dos menores; se encuentra en las caras la te-rales de los p r i smas ( f ig . 39 ) ; el r o m b o , de cuatro ladosiguales paralelos y oblicuos, de ngulos desiguales , seencuentra en los paralel ip peds rombales y romboida-le s y tambin en el rombo edro (f ig 40); e l r o m b o i d e

F>g. 4 ' . Fig 4.Vsemejante a l r mbo con des lados mayores y dos111= 1 ti-r e s ( f ig . 41 ) ; e l t r apec io que slo t iene dos lados opues-

tos paralelos y dos no, se encuentra en las caras la tera-rales en las pirm ides trun cada s y en las bases de losp r i smas t r apec iale s ( f ig 42 ) ; e l t r ap ez o id e de cua t rolados, pero que ninguno es paralelo , se encuentra en lasbases ele los prismas trapezoidales (fig. 43).3? Polgonos: todas las superfic iescerradas por c inco ms lados desigua-l es , s e e n c u e n t r an en l os p o li e dr o s d e / ^ I j j l f l i 'caras irregulares (f ig . 44).2 4 . L a s s u p e r f i c i e s p l a n a s c u r v i -l ineas son las s iguientes:1? El c irculo que es una superfic ieplana l imitada por una l nea curva ce-r rada , que rec ibe e l nom bre de c i rc un f e ren c ia , cuyospuntos estn todos igual d is tancia de otro in terior l la-mado centro (f ig . 46).El c rculo se encuentra en la mayor parte de las sec-ciones esfricas, en las bases del cilindro y del cono y enalgunas secciones del e l ipsoide.

Fig . 45 . F ig . 46 .2 a La elipse es una superfic ie p 'ana alargada y s im-tr ica , l imitada por una l infa curva cuyos puntos estn desigual d is tancia del centro .La elipse resulta de una seccin del e l ipsoide tomada


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3 2 J U L I O S . H E R N N D E Z . s u pa r te X . l a rga 6 b ien de co ion es ob l icu a , de l

va lo^ue e^una^supe r f ic ie p lana a la rgada y^ i -mi tad a ptn- un a l inea cu rva ce r rada , an ch ap or un ex t rc -^ j r r S a d T u n a Secei6n longitudinal del ovoi-d e 2 5 f i g L t ? S u p e r c i e s p l a n , , m i t i n e a s s on l as s i-g dientes:

F ig 5 0 . F i g . 5 ' -q u j r c c i 6 n d l a s s u p e r e s p l a n a s cnvviHneas ee-ada po r una ms l neas rec ta s ( f ig . 48 ) .

F ig .1 E l c u a d r a n t e d e c r c u l o . .4 s e m i c r c u l o , e i s e c -

2" La parte plana de la s s iguientes secciones cnicas:la p a r b o l a que resulta de un corte paralelo la gene-rtr iz de l cono (f ig . 49): la h iprbola que consis te enun corte paralelo a.1 eje sea la l nea p erpen dicul arque cae de la cspide al centro de la base del cono (fi-gu ra 50 ) .3? Hay otra mu l t i tud de supe r f ic ie s p lanas mix t i l -neas, regulares irregulares , cerradas por tres ms l -neas rectas y curvas combinadas (fig. 5 1 ) .26 . Las supe r f ic ie s cu rvas son de dos clases:T.1 Supe r f ic ie s cu rvas cncavas sea la pared in te-r ior de todos los cuerpos redondos (f ig . 52).

Fig . 52 .2 ' Superfic ies curvas co nv ex as sea la pared exte-r ior de los mismos.

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V III27 . Las supe r f ic ie s m ix ta s son combinac iones de su -perf ic ies plan as y curvas; se enc uentra n en el c i l indr o

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34 J U L I O S. H E R N N D E Z .en el conoy en la mayor pa r te de las seccionesde ioscuerpos redondos.Com aplicacin ele las supe r f ic ie s mix ta s seobser-va n las s igu ien te s combinac ionesenlos lentes (fig.53):1 . Bicn cavo . 2. Biconvexo . 3 . C ncavo-convexo(men isco conve rgen te ) .4. Cncavo-convexo (m en is -co d ive rgen te ) . 5 . P lano -cncavo .- 6 . P lano -con -vexo.

E j e r c i c i o s y o b s er v a c i o n es . - 2 1 l l g a s e l a c l a -s if icac inde superfic iesen p l a n a s , c u rv a s y m ix ta sen la ca ja de s l idosya d e m sen la ca ja espec ia l desuperfic ies -22. Clas if icac in del a s s u p e r -fic ies p lanas segn su p e r m e t ro en r e c t i l n e a s , c u rv i l n e a s y mix ti l neas .Superfic ies p lanas de p e r m e t ro r e g u la r : t r i a n g u la re s , c u a d ra n g u la re s ,p e n ta g o n a le s , h e x a g o n a le s , etc., ngulo s , l ineas , e tc .23 . E x a m e ndela s superfic ies p lanasde p e r m e t ro i r r e g u la r : t r i n g u lo s , c u a d r i l t e ro s ,po-l fonos . 24 . O b s e rv a c i n de las superfic ies p lanas curv il neasen las sec -c ionesde l o s c u e rp o s r e d o n d o s y m ix to s ; uso de los ad je t ivos , c ircu la r ,e l p t icoy oval.25 . S u p e r f i c i e s p l a n a s m ix t i l n e a s o b s e rv a d a sen lassec-c ionesde losm ia m o s c u e rp o s g e o m t r i c o s ; u s odel o s a d j e t i v o s s e m i -c i r c u -l a r , p a ra b l i c o , h ip e rb l i c o . 2 6 . E j e m p l o sdes u p e r f i c i e s c n c a v a sy convexas :- -27 Obser vac ion es de superfic ies mix tas en las secc iones de lo sc u e r -p o s r e d o n d o s y m ix to s , c o m b in a c io n e sde lassuperfic iesen losl e n t e s

C u e s t i o n a r i o . - D e c u nt as c la se s p ue de n s er l as s up er fi ci ese n lo s c u e rp o s g e o m t r i c o s ? E n qu sec o n o c e n las superfic ies p lanas ,l a s c u rv a sy las mix tas?- C m osec las if ican las superfic ies p lanas segns u p e r m e t r o ? - C m o ses u b d iv id e n las superfic ies p la nas rec t i l neas?Cules sonl assuperfic ies p lana s rec t i l neas de p e r m e t r o r e g u l a r ? - L as u p e r f i ci e t r i a n g u la r dep e r m e t ro r e g u la r en qu c u e rp o s g e o m t r i c o ssee n c u e n t r a ? L a c u a d r a n g u l a r e n cu l e s o t r os ? L a p e n t a g o n a l ? - L ah e x a g o n a l , h e p ta g o n a l , e t c . ? C u le s s o n l a s s up e r f i c ie s p l a n a s r e c t i l n e a sd e p e r m e t ro i r r e g u la r? A q u se l l a m a n t r i n g u lo s i s s ce l e sy esca lenosyen q u c u e rp o s s e e n c u e n t r a n ?- R e s p e c to del o s c u a d r i l t e ro s q u se

G E O M E T R A I N T H T V . 35l l a m a p a ra l e l g ra m o s : r e c t n g u lo , ro m b o y r o m b ide y en q u c u e rp o sg e o m t r i c o ssee n c u e n t r a n ? Q u Sun t r a p e c io y un t r a p e z o id e y enq u c u e rp .s see n c u e n t r a n ? E n t re lassuperfic iesde p e r m e t ro i r r e g u la r cu lesse l l a m a pol g nos? 4C u ' e s s o n las su 1 e r f i ces p lanas curv il -neas? Quesc r c u loy en q u c u e rp o s g e o m t r e o s s e e n c u e n t r a ? C -m ose l l a m a el p e r m e t ro del c i r c u .?- Q u


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29 . Las l neas r e c t a s a i s l a d a s t ienen tres posicionesdiferentes:1:.1 Lnea recta v e r t i c a l cuya posic 'n es seme jan te la de un h ilo plomo (f ig . M ).

2? Lnea recta horizontal cuya posicin es semejante la de una perpendicular la vert ical (f ig . 55).3 Lnea recta inclinada cuya posicin es dis t in ta dela de la vertical y horizontal ' 'fig. 56).

3 0 . L a s l ne a s r e c t a s c o m b i n a d a s p u e d e n s er p e r -p e n d i c u l a r e s , o b l i c u a s , p a r a l e l a s , c o n v e r g e n t e s , d i -v e r g e n t e s y q u e b r a d a s .

Fig- 58-ig. 57-

T.1 L n e a s r e c t a s p e r p e n d i c u l a r e s s o n d o s rectas dela-i cuales una cae sobre la otra s in inclinarse n ingnlado ( t ig . 57).H a y pe rpend icu la re s la horizontal , la vertical y la inc l inada .2.' Lneas rectas o b l i c u a s so n dos rectas de las cualesuna cae sobre la otra inclinndose ms un lado que otro (f ig . 58).H a y oblicuas la horizontal , la vert ical y la incli-nada.

Fig- 59 Fig . 6o .3 a Lneas rec ta s pa ra l e la s son dos ms rec ta s quegua rdan en t re s y en todos sus pun tos una misma dis-tancia , y por ms que se prolonguen nunca l legan j u n -ta r se (f ig . 59).H a y paralelas vert icales , horizontales inclinadas.

Fig . 6 r . F ig". 61 .4:.1 L n e a s r e ct a s c o n v e r g e n t e s y d i v e r g e n t e s s o n


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de diez, y de onceen adelante se designan po r el n m e -ro r'e sus lados.Los polgonos se dividen en r e g u l a r e s i r r e g u l a r e s ,segn que sus lados y ngulos sean iguales desiguales(figs. 79 y 80)

S e l l a m a p e r m e t r o el contorno de un polgono seala s u m a total de todos los lados.Se l l a m a a p o t e m a en un polgono regular , la perpen-

d icu la r t r azada del centro la mitad de uno de sus la-dos.Se l l a m ad i a g o n a l en un polgono, una l nea recta queune dos de sus vrt ices no contiguos,

Los polgonos pueden ser adems inscri tos y c ircuas-c r i to s Un polg ono (S inscri to cuan do est trazado enel interior de una circunferencia, y la toca con todos susvrt ices (f ig . 81); fs c ircunscri to cuando est t iazadoalexterior de ella y todos y cada ui o de sus lados le sontangentes la tocan en un solo punto (f ig . 82).35. Las l neas curvas ab ie ita s son las s iguientes:

Fig-3-1? La l nea ondulada es una curva que imita la formade un hilo en movimiento (f ig . 83).

2p La l nea espiral es una curva abierta que da vuel-tas a lrededor de s misma, pero ale jndose cada vezms del centro (f ig . (84).36. Las l neas curv as cer rad as son las s iguientes;


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1* La c i rcun fe re nc ia e s una cu rva ce r rada cuyos pun -tos estn igual d is tancia de otro punto in terior l lama-do centro (f ig . 85).Las l nea s que t ienen relacin con la c irc unfere nciason las s iguientes: e l radio que es una recta ab que pa r -te del centro cualquier punto de la c ircunferencia; e ld i m e t r o cdes un a recta que pasa ndo por e l centr o to-ca dos puntos opuestos de la c ircunferencia; la tangen-t e(jh sea la recta de magnitud indefinida, que toca ex-ter iormente un solo punto de la c ircunferencia y es per-pendicular a l radio que corresponde dicho punto; las e c a n t e ejtam bin de ma gnitu d indefinida, es una rectaque corta la c ircunferencia en dos puntos; arco bj dque es una fraccin cualquiera de la c ircunferencia;c u e r d a bd que es la recta que u ne las extrem idades deun a rco : f l echa sg i ta ij que es una recta perpendi-cular la mitad de una cuerda y comprendida entre e l lay su arco.

Se l l a m a n c i rcun fe renc ia s concn t r icas dos m s cir-cunferencias trazadas desde un mismo centro y con di-ferentes radios (f ig . 86).

Se l l aman c i rcun fe renc ia s excn t r icas dos ms c i r -cunferencias trazadas con dis t in tos radios y centros (f i-gura 87).Se l l aman c i rcu n fe ren c ia s seca n te s dos c i rcun fe ren; -cias que se cortan en dos puntos (f ig . 88).

S e l l a m a n c i r c u n f e r e n c i a s t a n g e n t e s d o s c i r cu n f e -rencias que se tocan en un solo punto (f ig . 89).2:.1 El valo que es una curva cerrada por cuatro ar-cos de c ircunferencia , dos iguales y dos desiguales , y la

F ig . 9 0 . F ig - 9 1 *superfic ie que encierra es muy parecida la que presen-tara e l corte longitudinal de un huevo de ave (f ig . 90).3? La elipse que es una curva cerrada y ms me-


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E j e r c i c i o s obse r vacione s.- 2 8 . Clasi f icacinde l neasen los cuerpos geomtr icosy en la ca j a del n e a s . - 2 9 . Dist in -gu i r b ien las tres posicionesde la l nea recta: ver t ical , h r izon tal incli-n a d a . - 3 0 . T r a z o sder ec t a s co mb i n ad as en todaslasposiciones d i fe ren-tes: perpendicu lare s , ob l icuas, paralelas , etc. 3 1. Los ngulos, dis t in -gu i r losyt razar los. 32. Traz ar las t res al tu ras en todoslos t r i n g u l o s33. Dibu jary d is t ingu ir todos los c u a d r i l t e r o s . - 3 4 . H g a s e lo mismocon los po l gonos.35. Ejemplosdel n eas cu r v as ab i e r t a s . - 3 6 . E j e r c i -cios con las curvas cerradasy lasl neas con las cuale sse r e l a c i o n a n . - 3 7 .Ejemplos d iversosde lineas mix tas .

Cuestionario.De cun tas clases son las l neasenlos cuer-pos geomtr icos?Qu son l neas rectasy de cun tos modos pueden ser?- Q u son l inees curvasyc o m ose d i v id e n ? - Q u s on l n ea s m i x t a s ? -

-3 ^nos alargada; pero debe estar trazada de manera que doSr a d i o s v e c t o r e s rf v eg sea igualal ejem a y o r91).l neacdpe rpend icu la r nby que la divide en dospartes igualessel l ama ejem e n o r .L os p u n t o s / y g equ id is tan te s del centro se l l amanfocos.La rectafg comprendida entre los focossel l a m adis-t a n c i a f o c a l .37 . Las l nea s m ix ta s re su ltan de lacombinac inderecias con curvas, como son: el con to rno de un s e m i -c r c u l o de un c u a d r a n t e dec r c u l o , de un s e c t o rde un s e g m e n t o de c rculo , el con to rno fo rmadoporu n a p a r b o l a una h i p r b o l a y la recta queuna losex t remosde dichas curvas, 'b ien en general resulta unalnea mixta por cualquiera seccin de una curva cerradapor med iode una m s rectas .

GE OM E T R A I N T U I T I V A . 4?'Cuntas posiciones t iene una l nea recta ais la da? Qu esl nea verti-ca l ?Ho r i z . n t a l ? I n c l i n ad a? - De cu n t as m a n e r a s pueden ser lasl neas rectas comb nadas?Qu son l ineas perpendicu lares ' Obl icuas? P a r a l e l a s ' -C o n v er g en t esy d i v e r gen ; es? Qu eb r a d as? - {Q u e s n-gulo? Q u clase de ngulos se con ' cep? Qu es ng u 'o recto? Ag u -d o ?. . Ob t u so ? - A qu se l lama b isect r izen un n g u l o ?Qu so nn-gulos dya en tes? Qusi nn g u l o s o p u es t oal vi t ice?Quest r in-gu lo?A qu se l lama b ise y al tu raen unt r i a n g u l o ? - D e c u n ta s ma -neras se d iv iden los t r ingulos? Cmo sed iv idan conrelacin s usla-des?Qu son t r ingulos equ i lteros, i ssceles y escalenos?C mosediv iden- los t r inguKs con relacin s u s n g u l o s ? - Q u esunt r ingulorectngulo? Acu 'ngulo? Obtusngulo?A quse l l ama catetoshipo tensaen unt r ingulo rectivguk ? Quescuadr i ltero? -C mosediv iden losc u a d r i l t e r o s ? - Q u es un p a r a l c l g r amo ?C mo sedivi-de n los parale gramos?- Quesun cu ad r ad o ?Un r ec t r g u l o ? Unr o mb o ?U n romboide?- A qu se l lama b asey al tu raen losp at a l e l -g r a m o s ? Q u es unt rapecio , y cules son sus basesyal tu ra?- Quesun t rapez de?A qu sel lama po lgono? Cmosen o mb r an los pol-gonos segneln mer o de l ad o s de que se f o r m a r? C m ose dividenlos po l gonos? Qu so n po l gonos regu lare s i r regu lares?Qu es apo-tema? Quesd ia go na l? - Qu son po l gonos insci i tosy circunscritos?Cules sonlas l neas curvas ab ier tas?Qu es l nea ondulada?Ques l nea e s p i r a l ? - Cules son las l neas curvas cerradas?- Qu eslacir-cunferencia?Cules Son las l neas que se relacionan co n laci rcunferen-c i a? - Qu es rad io? Dimetro? Tangente? Secan te?Arco?C u er d a?F l ech a s g i t a? - Q u so n c i r cu n f e ren c i as : co ncn t r i cas ,ex-cn tr icas, s ecan t es , t an g en t es? - Qu es la el ipse?Quesel valo?- j E ' . p l q u e V d .en unaelipse lo que son : rad ios vectores,ejem a y o r ymenor , focos, d is tancia focal?- l ' o n g a Vd. a l g u n o s e j emp l o s de l neasmix tas .


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S E G U N D A P A R T E .L O N G I M E T R I A . - P L A N I M E T R I A E S T E R E O M E T R I A .

I a O I V I S T O TST.L O N G I M E R I A .C A P I T U L O V I I .C ONS TR UC C IN DE L NE AS . ( 1 )S u m a r i o . 3 8 . T r a z o de li n e a s r e c ta s e n g e n e r a l . - 3 9 . L ne a s v er t ic a -l e s y h o ri zo n t a l e s .4 0 . C o n s t ru cc i n de p e r p en d i c u l a r es . - 4 1 . L n easp a r a l e l a s . - 4 2 . A n g u l o s - 4 3 . L a c i r cu n f er en c i a . 4 4 . L a e sp i r a l .

38. Para trazar l neas rectas se emplean los s iguien-te s p roced imien tos :(1 ) Descr banse todas las p iezas de un estuche semejan te al g rabado .4


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1? Longitudes pequeas. Para trazar una l nea rectaen el papel en el pizarrn basta colocar dos puntos cierta dis tancia y colocar debajo una regla de manera

F i g . 9 ' .que coincida perfectamente con ellos; en seguida se hacepasar por su borde el lpiz el gis y se tendr la rectaque se desea (f ig . 92).2? Longitudes media nas. Para trazauna recta en unpatio , pavimento, v iga, pared, e tc . , se colocan en lospuntos extremos dos c lavos de l>s cuales se a ta fuerte-mente rest irada una cuerda frotada con gis humed< c . -

F ' g - 93-da con tinta negra, roja blanca,, segn fuere necesario,en seguida se levanta del centro , y a l dejarla caer que-da r marcada la huel la de la recta que se desea (f i su-ra 93).

G E O M E T R A I N T U I T I V A .3? Gra ndes longitudes. Para las grandes longitudesen el campo en el terreno se colocan c ie i tas d is tan-cias ja lones estacas, de manera que al d ir ig ir la v isualse confundan unos con otros los cuadritos blancos decolor que estn puestos en el extiemo superior de cada

Fig 94-ja ln. La direccin que marquen las estacas ser la l nearecta que se desea (f ig . 94).39. Pa ra el trazo de la lne a ve rtical, se u a dal lii 'o plomo que est formado de un cordn hilo en euyaex t remidad in fe r io r se suspende una bala otro objetopesado cualquiera; en seguida se aplica la pared mu-ro que se desea reconocer, y si coincide se confu ndeen toda su extensin con el hilo plomo, esa pared ten-dr exactamente la posicin vert ical (f ig . 95).Para el trazo de la lnea horizontal se usan varios ins-trum entos , pero los principales son: e l n iv el de a lba il ,e l n ive l de bu rbu ja de a i re y e l n ive l de agua .E l n i v e l d e a l b a i l est formado de un hilo plomosuspendido en un marco de madera , de forma tr iangular cuad rangu la r . Cuando la p l o m a d a pasa po r la mitad


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d e la b a r r a ab , el lugar sobre qu e descan se ser ente ra-mente hor izontal ( f igs. 96 y 97) .

Fig. 96. Fig- 97-

u n a b u r b u j a de ai re a . Para reconoce r si un a super f ic iees hor izontal , se coloca este nivel sobre e la y se notaren caso de ser lo , que la bu rbu ja se coloca pre cisam enteen el centro del tubo ( f ig . 98) .E l n i v e l d e a g u a , q u e cons i s t e en un t ubo met l i co cdd e un met r o de l ong i tud y cuyas dos ex t r emidades f o r -j a n dos ngu los r ec tos sob r e l o s cua l es descansan dost u b o s de vidr io A y B. Para servi rse de este m s t r u m e n -t 0 se coloca sob r e un t r i p i , se l lena de agua de colo, ,

E l n i v e l d e b u r b u j a d e a i r e e s u n i n s t r u m e n t o c o m -puesto de un tubo de vidr io l leno de agua colocado, den-l o de ot ro de me tal , pero abier to en el centro de tamodo que. pue da vers e el pr im ero y dist ingu irse en c

Fig. 98.

G E O M E T R A I N T U I T I V A . 5 3de man era qu e l legue hast a los tubos, y al que dar inm -vi l sealar su nivel la l nea hor izontal . S i se quiere pro-longar e^ta l nea ma yor d istancia, se colocarn m ir as

F ig . 99. reglas con divisio nes M y X y aun se pod rn busc ard i f e r enc i as de nivel y d e a l t u r a , r e s t ando l a s l ong i tudesde las dos miras ( f ig . 99) .40 . En el trazo de l a s l neas pe r pen d icu l a r e s se danlos casos siguientes:I o L e v a n t a r u n a p e r p e n d i -c u l a r e n u n p u n t o E s o b r eu n a l n e a r e c t a A B . S e colocal a pun t a de l comps en el p u n -to E y con una a b e i t u r a .a r b i -t r a r i a , se t oman dos d i s t anc i asi . j ua l es en l o s pun tos m y n, en EF ig . 100 .


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54 J U L I O S . H E R N N D E Z .seguida se hace centro en dichos puntos y con otra aber-t u r a mayor que la mitad de la l nea mn se trazan lo s dosarcos que se cortan en el punto C, cuyo punto indica ladireccin de la perpendicular pedida (f ig . 100).

2 ? B a j a r u n a p e r p e n d i c u l a r d e s d e u n p u n t o B f u e -r a d e l a r e c t a C D . Desde el pun to B se traza un arcoque corta la recta en los puntesa y m, despus se hace centro endichos p u n t o s y se trazan los ar-cos que se cortan en el punto H,el cual s irve de apoyo para bajarla pe rpend icu la r que se pide (fi---..a t n / g u r a 101).G -- -j " D 3? 1 e v a n t a r u n a p e r p e n d i c u -l a r e n e l e x t r e m o A d e u n a r e c -ta . Desde un pun to cua lqu ie ra Car r iba de la recta y co n un radioAC se traza una circunferenciaque corta la recta en el pun toD desde el cual se traza una n u e v a recta que pasa por el

centro y corta la circunferencia en el punto E que nosindicar la direccin de la lnea A E, qu e es la perpendi-cular pedida (f ig . 1(2) .4? D i v i d i r u n a r e c t a e n d o s p a r t e s i g u a l e s . P a r ad iv id i r u n a recta en do s partes iguales se consideran res-pectivamente como centros los extremos A y B d esdelos cuales se trazan los arcos que se cortan en los puntosC y D, y unidos stos por una l nea dividir la recta endos mitades exactas (f ig . 103).4 1 . Trazo de l neas paralelas y sus aplicaciones:

-'

r G E O M E T R A I N T U I T I V A . 651 ' . ' T r a z a r u n a r e c t a p a r a l e l a a o t r a d e s d e u n p u n -to d ad o. Sea A B la recta dada y O el pu nto por e l cual

C *

1

\ CA

A \ \ / BFig . i r 2 .

B-H

Fig 103.se desea pasa r la paralel a. Del punto'bO como centro conun radio arbitrar io se describe un arco CD; del punto C' con -1 mismo ra dio se describe el arco O B, se toma ladis tancia O B, se tra nsp ort a de C D, se traza la recta() 1)y ser la paralela buscada (fig. 104).

D .

A LFi g . 104 . F i g . > 05 .

2 ? D i v i d i r u n a r e c t a e n v a r i a s p a r t e s i g u a l e s . T r -cese una recta indefinida A C y otra paralela tambin in-definida B D; sobre ambas rectas y part iendo de los ex-ternos A y B se toman con una medida arbitrar ia varias


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distancias iguales , segn las divis iones que se quieranhacer de la recta , en seguida se unen los puntos de unay otra por medio de paralelas y se habr resuelto e l pro-blema (f ig . 105).3 ? D i v i d i r u n a r e c t a e n v a r i a s p a r t e s p r o p o r c i o -

Fig. >06.nales . Se resuelve de la misma manera que el anteriortransportando en las rectas indefinidas las l neas o , b, c,y uniendo despus los puntos correspondientes con rec-tas paralelas se tendr la l nea A B dividida proporci-na lmen te ( f ig . 106 ) .

42. En la construccin de ngulos se presentan los s i-guientes casos:1 T ra za r un n gu lo ig ua l o t r o . Se t r aza con unmis mo radio d esde el pu nto A el arco mn y desd e elpunto B de la recta B D con la misma medida el arcoinde f in ido p r y tomando la d i s tanc ia pg igual m n elngulo en B ser el que se pide (fig. 107).

G E O M E T R A I N T U I T I V A . 57

u

2? Div i d i r un ng u lo en dos mi tad es . Se t r aza des -de el punto O con un radio cual-quiera e la rco m n y desde los pun-to s m y n se trazan unos arcos cu-ya interseccin en B dar la di-reccin de la bisectriz OB que di-vide el ngulo en dos mitades(f ig . 108).

3 ? T r a z a r u n n g u l o i g u a l la sum a de o t ro s dos . Se trazala recta inde f in ida OC y con elmismo radio (pie se han trazadolo s arcos A y B se traza el arcoinde f in ido mn , en seguida part ien-do del punt o m se tran spo itan eneste lt imo los primeros arcos formando una aberturaque l legue hasta e l punto S por e l cual se hace pasar larecta OS y quedar resuelto e l problema (f ig . 109).

F>g. 107.

F i g . 10843. Los problemas grficos que se relacionan con lacircunferencias son los s iguientes:1? T r a z a r u n a c i r c u n f e r e n c i a c o n e l c o m p s c o n


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un co rdn . Po r medio del comps basta apoyar la pun-ta de l en el p u n t o C llamado centro , en seguida se des-cribe la cu rva con la abertura que se desee (f ig . 110).

F i . t 1 0 .E l el terreno basta colocar en el centro C una estaca clavo en el cual se ata un co rdn de l t amao que sequiera y con un fuerte punzn enel otro extremo, se describir lac i rcun fe renc ia pedida (f ig . 111).

2 ? D a d c s t r e s p u n t o s q u e n oe s t n e n l i n e a r e c t a , h a c e r p a -s a r p o r e l l o s u n a c i r c u n f e r e n -c i a . Sean lo s pun tos dados AP> yC, se unen p o r m e d i o de las rec-tas AB y BC; se levantan en lami tad de ellas dos perpendicula-res que se cortan en el punto 0 , el cual ser el centrode donde se trazar la circunferencia pedida (f ig . 112).Si se tra tara de buscar el centro de un arco de unacircunferencia , se emplear el m i s m o p roced imien to .

'i


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nea hor izon tal?En qu consis te el r .kel de alba i l y cmo se usa?El n ivel de burbu ja de ai ie? - El n ivel de agua? )u casos p r incipa-les se p resen tan en el t razo de las l neas perpendicu lares? -Cmo se t ra-zan las perpendicu lare s en c ad i uno de e. -os casos? - Q u casos se p re-sen tan en la ci nst ruccin de las l neas pa ral ela s?- C m o se t razan?Cmo se d iv ide una recta en dos ms par tes iguales?Cmo se d iv i -de en par tes p roporcionales?Qu casos se p resen tan en la const ruccind e n g u l o s?C mo se r e su e l v en ? tQu prob lema s grf icos se relacio-n an co n l a c i r cu n f e r en c i a? - De cu n t o s mo d o s s e p u ed e L aza r u n a c i r -cunferencia?Cmo se t raza una ci rcunferencia que pase por t res pun-tes dad . s?Cmo se resuelven los p rob lemas de las tangentes? - Cmose rect i f ica una ci rcunferencia? -Cmo se t raza la l inea esp i ral?

C A P I T U L O V I I I .P R OP I E DADE S Y M E DI C I N DE L AS L NE AS .

S u m a r i o - 45 . Pr incipales p rop iedades de la l nea recta. - 4 6 Medi-cin de l neas rectas . - 47 . P rop iedades p r incipa 'e s de los ngulos 48. Medicin de n u los 49. Prop iedade s p r incipales de la ci rcun-ferencia y l ineas que se rela con an con el la - y Modo de medir lalongi tud de la ci rcunf erem ia -5 1 . Algunas ap l icaciones de la Longi-metr a.52. Prob lemas y ejemplos concretos.45. Las principales propiedades de la l nea recta son

las s iguientes: 1? Es la ms corta que pued e trazarseentre dos puntos dados. 2'.1 Slo puede trazarse una sola

recta entre dos puntos. 3? Su direccin est marca dasiempre con dos puntos. 4? Slo puede prolongarse enla misma direccin.

Fig. 120. pi g 121.me tro y tran spor tarla despus var ias reces en la rectaque se tra ta de medir (f ig . 120).Respecto del decme tro de cinta , su uso es. extrem a-damente sencil lo y no necesita explicacin.

4 6 . E n la medicin de las l neas rectas seusa :para laspequea s e l dec me t ro dob le decmetro (f ig . 118); pa-ra la s med ianas , el me t ro li -neal; para las grandes e l de-cmet ro de cinta (fig. 119),SN la cadena mtrica de fie-- rro . El hectmetro , e l k i l-p. met ro y e l mirim etro slose usan en los clculos espe-c ia lmen te pa ra d i s tanc ia s geogrficas.Para medir una recta por medio del decmetro do-ble decmetro , basta colocar dicha med ida deba jo de larecta , leyendo en seguida sobre la p r imera la s un idadesde medida que tenga la segunda.Por medio del comps se puede tambin med i r unal nea rec ta , tomando una med ida fija en el doble dec-


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nea horizonta l? En qu cons is te e l r .ke l d e a lba il y cm o se usa?El n ive l de burb uja de a i ie? --El n ive l de ayua? )u casos princ i pa-l e s s e p re s e n ta n e n e l t r a z o d e l a s l n e a s p e rp e n d ic u la re s ? - C m o s e t r a -zan las pe rpe ndicu l a res en c ad i uno de e .-os casos? - Qu casos se pre -s e n ta n e n l a c i n s t ru c c i n d e l a s l n e a s p a ra l e l a s ? - C m o s e t r a z a n ? C m o s e d iv id e u n a r e c t a e n d o s m s p a r t e s i g u a l e s ? C m o s e d iv i -de en partes p roporc iona les?Qu casos se presen tan en la cons trucc ind e n g u lo s ? C m o s e r e s u e lv e n ? t Q u p ro b le m a s g r f i c o s s e r e l a c io -n a n c on l a c i r c u n fe re n c i a ? - D e c u n to s m o d o s s e p u e d e L a z a r u n a c ir -c u n fe re n c i a ? C m o se t r a z a u n a c i r c u n fe re n c i a q u e p a s e p o r t r e s p u n -tes dad . s?Cmo se resue lven los problemas de las tangentes? - Cmose rec t if ica una c ircunfe renc ia? -Cmo se traza la l inea esp ira l?

C A P I T U L O V I I I .P R O P I E D A D E S Y M E D I C I N D E L A S L N E A S .

S u m a r i o - 4 5 . P r in c ip a l e s p ro p ie d a d e s d e l a l n e a r e c t a . - 4 6 Me d i -c in de l neas rec tas . - 47 . P ropied ades p rinc i pa ' es d e los ngul os 48. Medic in de n u los 49. Pr opie dade s princ ipa le s de la c ircun-fe renc ia y l ineas que se re l aco na n con e l la - y Mod o de med ir lalo n g i tu d d e l a c i r c u p f e re n i i a . -5 1 . A lg u n a s a p l i c a cio n e s d e l a L o n g i -m e t r a . 5 2 . P ro b le m a s y e j e m p lo s c o n c re to s .45. Las principales propiedades de la l nea recta son

las s iguientes: 1? Es la ms corta que pued e trazarseentre dos puntos dados. 2 ll Slo puede trazarse una sola

recta entre dos punto s. Su direccin est mar cadasiempre con dos puntos. 4? Slo puede prolongarse enla misma direccin.

Fig . 120 . p i g r a .me tro y tr ansp ortar la d espus v arias veces en la rectaque se tra ta de medir (f ig . 120).Respecto del decme tro de cinta , su uso es. extrem a-damente sencil lo y no necesita explicacin.

4 6 . E n la medicin de las l neas rectas seusa :para laspequea s e l dec me t ro dob le decmetro (f ig . 118); pa-ra la s med ianas , el me t ro li -neal; para las grandes e l de-cmet ro de cinta (fig. 119),SN la cadena mtrica de fie-- rro . El hectmetro , e l k i l--r>. metr o y e l miri metro slose usan en los clculos espe-c ia lmen te pa ra d i s tanc ia s geogrficas.Para medir una recta por medio del decmetro do-ble decmetro , basta colocar dicha med ida deba jo de larecta , leyendo en seguida sobre la p r imera la s un idadesde medida que tenga la segunda.Por medio del comps se puede tambin med i r unal nea rec ta , tomando una med ida fija en el doble dec-


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47 . Las p r inc ipa l es p r op i edades de l o s ngu los sonla s siguientes: 1* Dos ngulos a d y a c e n t e s t r azados e nuna r ec t a sum an dos n gu los r ec tos . 2 Los cua t r o n -gu los opuestos al vr t ice son siempre iguales entre sx ysum an cua t r o ngu lo s r ec tos . 3 a Los ngu los compar a -dos entre s de dos en dos : p u e d e n s e r i g u a l e s si t ienenl a m i s m a a b e r tu r a , c o m p l e m e n t a r i o s s i s u s u m a o d i -f e r enc i a es i g ua l u n r e c to , s u p l e m e n t a r i o s s i s u s u m a6 diferen cia es igua l dos recto s 4" En dos l ine as pa-r a l e l a s co r t adas po r u n a ob l i cua r e su l t an ocho ngu losu n o s i n t e r n o s y o t r os ex t e r nos , que , compar ados en t r es , r e su l t an l a s combinac iones s i g u i e n t e s : cua t r o a t e r -n e s e x t e r n o s c o l o c a d o s e x t e r i o r m e n t e a d i s t i n t o l a d o d ela obl icua iguales de do s en do s: B C D = E H \ A C B - -( I H F ; cua t r o a l t e r n o s i n t e r n o s co locados in t e r i o r men-te t ambin d i s t i n to l ado de l a ob l i cua i gua l es en res de dos en dos : DC I = E H C , A C H = C H G ; se l l a-man po r l t imo n g u l o s c o r r e s p o n d i e n t e s l os q u e es -tn colocados un mi smo l ado de l a ol . l icua m ^ inter -no , o t r o ex t e r no iguales de d o s en do s: A C B - M 1 L ,B C D - - C H G , G H F D C I I , E H F = A , C H ( fa g. 1 2 1 ).

4 8 Med i r un n g u l o es ave r iguar l a mayor o menora b e r t u r a c o m p r e n d i d a en t r e s u s dos l ados b i en de t e r -m i n a r l a med ida de l a r co i n t e r cep t ado en t r e el los y t ra-/ado desde su vr t 'ce con un radio c u a l q u i e r a .P a r a p r e c i a r el valor de u n a r co de c i r cun f e r enc i a , seh a con ven ido en d iv id i r s t a en 360 pa r t e s i gua les que sel l a m a n g r a d o s , cada g r ado se d iv ide en 60 pa r t e s i gua -les que se l l a m a n m i n u t o s , cada minuto se divide, en bUpar t es i gua l es que se l l a m a n s e g u n d o . Los g r ados , m i -u tos y segundos se escr iben asi : bU bu w .

Los ngu los se m iden po r med io de un i n s t r u men tol l a m a d o t r a n s p o r t a d o r , q u e co n s is t e e n u n s e m i c r c u l ode meta l de a lgun a subs t anc i a t r anspar en t e , en e l cua lse anotan los grados y medios grados hasta 180, que esl a suma de l o s ngu los que con t i ene una semic i r cun f e -rencia. Par a medir u n ngu lo basta colocar el centro de lt ranspor tador en el vr t ice del ngulo A, su dimetro se

hace coincidi r con el lado AC y el lado AB sealar engrados el valor del ngulo que se mide ( f ig . 122) .El n gul o recto vale 90 grados, e l agud o men os de 90,y el obtus o m s de 9 Todo s los ngulos que se t razansobre una recta con un vr t ice com n su ma n 180 gra-dos; todos los ngulos que se t razan al rededor de un pun-to suman 360 g r ados .P a r a med i r un ngu lo en e l t e r r eno se u sa de l g r a f -met r o , que es un semic r cu lo de me ta l , en cuyo con to r -no l imbo es t n mar ca dos l o s g r ados y med ios g r ados .Ti ene dos a l i da da s r eg l as me t l i cas ; l a una f i ja A Bque sigue la di reccin del dimetro, y la ot ra CD movi-b l e a l r ededor de l cen t r o y adap t ada a l m i smo p l ano de ll imbo . Cada a l i dada t i ene en sus ex t r emos dos p inu l as

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6 6 J U L I O S . H E R N N D E Z . travs de las cuales se dirigen los rayos visuales. Esteinstrumento est puesto sobre un pie de manera que per-mita a l operador dar a l l imbo cualquiera posicin: vert i-

Fig . 123 .cal , horizontal incli nada (f ig . 123). Para medir unngulo en el terreno por medio del grafmetro se colocasu centro en el vrt ice del ngulo, procurando que la a l i-dada fija siga la direccin de un laclo del ngulo y colo-cando en seguida la a l idada movible en la d ireccin delotro , e l l imbo marcar la medida del ngulo propuesto .Los ngu los en relacin con la c ircunferencia tomand i fe ren te s nombres y t ienen adems un modo especial

G E O M E T R A I N T U I T I V A . 67de medirse , saber: El ngulo en el centro ABC se for-ma por dos radios y t iene por medida el arco que in ter-ceptan sus lados (f ig . 124); e l ngulo inscri to MDO se

Fig . 124 .

(f ig . 126); e l ngu lo DEF fo rmado po r tangen te y cuer-da t iene por m e d i d a la mitad del arco que la cuerda sub-t iende (f ig . 1 2 7 ) ; e l ngulo GHI formado por dos tan- '

forma por dos cuerdas y t ieoe por medida la mitad delarco que in terceptan sus lados (f ig . 125); e l ngulo AHFformado por dos secantes t iene por med ida la mi tad dela diferencia de los dos arcos que abrazan sus lados

Fig . 126 . Fig . 127 .


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gentes, t iene por m edid a el arco LK qu e resu l ta de losr ad ios p r o longados co r r espond ien t es cada t angen t e ( f i -gura 128) ; e l ngu lo exc ntr ico AB C t iene por me did a

la mita d de la su ma de los arcos AC y DE que se for -man por la prolongacin de sus lados ( f ig . 129) .49 . Las p r inc ipa l es p r op i edades de l a c i r cun f e r en c i ay de las l neas que se relacionan con el la son las siguien-t e s : Todos l o s r ad ios y l o s d i me t r os de una mi sm ac i r cun f e r enc i a son i gua l es en t r e s ; 2? Todo d i m et r o mi -de dos radios y por consig uiente un ra dio es la mi tad d eun d i met r o ; 3 El d i met r o d iv ide l a c i r cun f e r enc i a endos par tes iguales; 4 ' Toda euerda cor responde dos ar -cos desigua les; 5? El dim etro es la may or de todas lascuer das ; 6? Todas l a s cue r das i gua l es de una mi sma c i r -cun f e r enc i a e s t n equ id i s t an t es de l cen t r o ; 7? Toda r ec -t a pe r pend icu l a r l a m i t ad de una cue r da pasa r po r e lcentro de la ci rcunferencia y dividi r al arco en dos mi-t ades ; 8} Los a r cos compr end idos en t r e pa r a l e l a s enuna c i r cun f e r enc i a son i gua l es .

50 . P a r a med i r l a l ong i tud de una c i r cun f e r enc i a , seproceder como sigue:Cons t r uyamos una c i r cun f e r enc i a que t enga un me-t ro de dimetro, por ejemplo, un aro de f ier ro de ma-dera.Ha gam os coincidi r un cordn en toda la longi tud dela ci rcunferencia.Mid i endo es t e co r dn obse r va r emos que t i ene ap r ox i -madamen te 3 me t r os 14 cen t me t r os .Luego, cuando la ci rcunferencia t iene 1 metro de di-met r o , l a c i r cun f e r enc i a m He 3 ' ", 14 ; cuand o mida 2 m e-t r o s de d i m et r o , l a c i i cun i . r en da med i r e l dob l e de3 m ,14 sean 3" ' ,14 X 2; p< r 3 metros de dimetr o, lac i r cun f e r enc i a med i r 3 m ,14 X 3, etc.En gener a l , segn sea e l nmer o de me t r os que midael dimetro, as se repet i r el nmero 3,14 para obtenerla longi tud de la ci rcunferencia.Cuando es t a med ida se hace con t oda exac t i t ud se ob -t i ene pa r a l a c i r cun f e r enc i a una equ iva l enc i a de 3 d i -metros 1416 diez milsim os de dimetro , cuya relacinlos ma tem t i cos l a r ep r esen t an con l a l e t r a - ( p ) y h anestablecido esta regla:La longitud de una circunferencia se mide multiplicandodimetro por ~ sea por 3 ,1416.He aqu l a f r mula : C = D XConoc ida l a l ong i tud de l a c i r cun f e r enc i a se puedeaver iguar e l va lo r de l d i met r o , d iv id i endo d i cha can t i -dad por 3 ,1416, cuyo cociente nos dar la longi tud deld i met r o . La f r mula quedar a t - :


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El valor del radio ser la mitad de este cociente.51. Algunas aplicaciones de la Longimetra :Ejercicios con tod^s las medidas de longitud.2? Medir por medio del decmetro , doble decmetro , e lmetro e l decmetro rectas de diversos tamaos.3\l Sumar y restar rectas de diversos tamaos, prolon-garlas segn determinada medida.4? Tomar de una recta la mitad, tercera , cuarta parte ,e tc . , bien duplica rla , t r ip l icarla , c uadru plicarla , etc.Mdanse con el transportador y e l grafmetro n -gulos de diferentes tamaos.6;? Hganse construcciones de sumas y diferencias conngulos de valores iguales diferentes .7:? Determ inar e l valor de cada ngulo en el centrocuando la c ircunferencia se divida en trep, cuatro , c inco ms partes iguales .Determinar e l valor de varios ngulos formados conlneas rectas que se re lacipnen con la c ircunferencia .9? Conocida la longitud del radio del d imetro , de-terminar la de la c ircunferencia de un arco cualquiera .10? Conocida la longitud de la c ircunferencia de unarco, determinar e l valor del d imetro .52. Problemas y e jemplos concretos para resolver:1? La dis tancia de Mxico Tula es de 80 kilme-tros; se desea saber cuntas vueltas dar la rueda mayorde un carruaje en esa dis tancia , teniendo l m ,0 de di-metro .2? La longitud del m eridiano terrestre es de 40,C00.000de metros; cul ser la longitud de un grado, de unminuto, de un segundo?3? Siendo el metro la d iezmillonsima parte del cubo

drante del meridiano terrestre , se desea saber qu dis-tancia habr en metros de cualquier punto del meridianoal centro de la Tierra.4? Caminando 20 leguas por hora un ferrocarr i l , sedesea saber cunto t iempo dila tar a en dar la vuelta laTierra s i se hubiera construido sobre e l Ecuador.5? Averiguar cuntas leguas de veintic inco al grado,recorre por hora la Tierra en su movimiento de rotacinalrededor de su eje.6? Sabiendo que el movimiento aparente del Sol es de15 grados por hora ; q ue c ada g rado de la Tierra es de25 leguas, se desea saber: I . Qu dis tancia habr a deMxico dos poblaciones s i tuadas, un a 182l/ a l Orien-te y la o tra 3( '50 ' a l Poniente y en el mismo paralelo .II . S iendo en Mxico las diez de la maana, qu horaser en dichas poblaciones.7? Suponiendo que la a l tu ia de la estre l la polar sobreel horizonte de Mxico sea de 1926 ' , sea la la t i tud dedicha ciudad, se desea saber qu dis tancia se encuen-tra sta lt ima del polo y del Ecuador.8? Supo ngam os: I . Que la Tierra describe a lrededordel Sol en un ao u na circunferen cia perfecta . I I . Quela distancia de la Tierra al Sol sea de 37.000.000 de le-guas. II I . Que la duracin exacta del ao solar sea de365 das; se pregunta: 1? Cul es en kilmetros la lon-gitud de la c ircunferencia descri ta por la Tierra en unao? 2? La longitud de un grado de esta c ircunferencia?3? El camino recorrido por la Tierra en un da? 4? Enuna hora, en un minuto, en un segundo?


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E j e r c i c i o s ob se rv ac io nes . -45- P r o c u r elP ro fe s o r d e m o s t r a r i n tu i t i v a m e n te l a s p ro p ie d a d e s c o n te n id a s enes tep-r r a fo . -4 6 . E je rc i c io s p r c t i c o s s o b re m e d ic i n del i n e a s y explicac indel a s m e d id a s l i n e a l e s . 4 7 . D e m o s t r a c i n in tu i t i v ade lasp r o p i e d a d e sdel o s n g u lo s 4 8 . Md a n s e n g u lo s c o n el t r a n s p o r t a d o r y sih u b ie re g ra -f m e t ro m d a n s een el t e r r e n o . 4 9 E je rc i c ios d e m o s t r a t i v o sde l a s p ro -p i e d a d e sde lac i r c u n fe re n c i a sinr e c u r r i rc o m b in a c io n e s a lg e b ra i c a s .5 0 . H g a s e p r c t i c oel p ro c e d im ie n to q u een e s t e p r ra fose i n d i c a . 5 1 .B u s q u e elP ro fe s o r i n n u m e ra b le s e j e m p lo s p r c t i c o s s o b re las ap licac ionesd e la L o n g i m e t r a . - 5 2 . ElP ro fe s o r d e b e a q u l im i t a r s e a y u d a rlosa l u m n o sen lareso luc in de losp ro b le m a s .

Cuestionario - C u l e s son lasp r in c ip a l e s p ro p ie d a d e sdel a l i n e a r e c t a ? Q u m e d id a s se u sa n p a r a la m e d ic i n de l o n g i tu d e s ? C m osem i d e una l nea rec ta?- C u n to s n g u lo s r e c to s s u m a nlos n-g u lo s t r a z a d o s s o b re u n a r e c t a a l r e d e d o r de unp u n to ? A q u se lla-m a n n g u lo s i g u a l e s , c o m p le m e n ta r io sys u p le m e n ta r io s ? Q u c l a s e sd e n g u lo s se f o r m a nen dosl n e a s p a ra l e l a s c o r t a d a s p o r u n a o b l i c u a ? C u le s s o n los n g u lo s a l t e m o s - in t e rn o s , a l t e r a o s -e x te rn o syc o r re s -p o n d ie n te s ? Q u c o s aesm e d i run n g u l o ? C m osed iv id e t o d a c i r -cunfe renc ia? Quson losg ra d o s , m in u to sys e g u n d o syc m o se esc ri-b e n ? Aq u se l l a m a t r a n s p o r t a d o r y p a ra q u s i rv e ? Q u c o s a e selg r a f m e t r o , p a r a ^u s irveyc m o seu s a ? Q u c l a s e de n g u l o ssep u e d e n o rm a r con las r e c t a s q u eser e l a c io n a n con lac i r c u n fe re n c i a ? C m osem id e n to d o s e s to s n g u lo s ? C u le s s o n lasp r in c ip a l e spro-p ie d a d e sde lac i r c u n fe re n c i ay de las r e c t a s que con e l l a ser e l a c io n a n ? C m o sem i d e lal o n g i tu d de u n a c i r c u n fe re n c i a ? C u les la fr-m u la q u eseu s a ? C m o se o b t i e n e lal o n g i tu d deld i m e t roy del ra-dio?

2 D IYIRION.P L A N I M E T R I A .C A P I T U L O I X.

C O N S T R U C C I N DE S U P E R F I C I E S .S u m a r i o : 5 3 - C o n s t r u c c i n det r i n g u l o s 5 4 . C o n s t ru c c i ndec u a -

d r i l t e ro s . 5 5 . T ra z o dep o l g o n o s i r r e g u la re s : i g u a l e s , s e m e ja n te sy

e q u iv a l e n t e s . 5 6 . C o n s t ru c c i n de po lgo nos regula res . 57- Cons -t ru c c i n de j o l g o n o s r e g u la re s i n s c r it o s . 5 8 . C o n s t ru c c i n de p o l -g o n o s e s t r e l l a d a s . 5 9 . T ra z o de superfic ies de p e r m e t ro r e d o n d o : v a lo , h u e v oy e l ipse .53 . En laconstruccin de los tr ingu losse presentanlos siguientes casos:1? Dada la r e c t a A B c o n s t r u i r un t r i n g u l o e q u i -l te ro . Conunradio igualdicha rectay haciendo cen-tr oen susextremos, se trazan los arcos que se cortanene l pun to D, elcualseun e por m e d i o de rectas conlosp u n t o sAyB,ysetend rlaconstruccin que se pide(fig. 130)"

2 ? T a z a r un t r i n g u l o i s s c e l e s c o n o c i e n d o el la-d o m e n o ryuno de los igu a le s . S iendo A Belladom e n o r , sehace centro respectivam ente en cada unodesus ex t remosycon una medida igualal lado A Cae loslados igualesse trazan los arcos que se cortan en el p u n -to C quees el tercer vrtice deltr ingu lo pedido (f igura 131).3 ? C o n s t r u i r un t r i n g u l o i s s c el e s d a d a la b a s e


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E j e r c i c i o s obs erv aci one s. -45- P r o cu r elProfesor demostrar in tu i t ivamente las p rop iedades con ten idasenestep-r rafo . -4 6 . Ejercicios p rct icos sobre medicindel ineasyexp l icacindelas med idas l ineales .47. Dem ostracin in tu i t ivade lasp r o p i ed ad esdelos ngulos 48. Mdanse ngulos conelt r an sp o r t ad o r y si hu b i e r e g r a -f met r o m d an seen el terreno . 49 Ejercicios demostra t ivosde l a s p r o -p i ed ad esde la ci rcunferenciasinrecurr i rco mb i n ac i o n es a l g eb r a i cas . 50. Hgase p rct icoel p roced imien to queen este prrafose i n d i ca . 5 1 .Busqueel Profesor innumerab les ejemplos p rct icos sobre lasap l icacionesde l aL o n g i met r a .-52. ElProfesor debe aqu l im i tarseay u d arlosa l u mn o sen la resolucin de los p rob lemas.

Cuestionario - C u l e s son lasp r incipales p r op iedadesdela l inea recta?Qu medidasse usan para la medicinde long i tudes?C mosemi d euna lnea recta?-Cuntos ngulos rectos suman losn-gulos t razados sobre una recta a l r ed ed o rde unp u n t o ? ^ q u se lla-man n g u l o s i g u a l es , co mp l emen t a r i o sysup lementar ios?Qu clasesd e n g u l o s se f o r manen dosl neas par alela s cor tadas por una ob l icua?Cules son losn g u l o s a l t emo s - i n t e r n o s , a l t emo s - ex t e r n o sycorres-pondien tes?Qu cosaesmed i run ngulo?Cmo se d iv ide toda ci r -cunferencia? Qu son los g rados, m inutosyseg u n d o syc moseescr i -b en ? Aqu se ll ama t r an sp o r t ad o ry para qu s i rve?Qu cosa eselg r a f met r o , p a r a ^u sirveyc moseu sa?Qu c l a se de n g u l o ssepueden formarcon las rectas queserelacionan con la ci rcunferencia?C mosemiden todos estos ngulos?C ules son las p r incipalespro-piedadesde la ci rcunferenciay de lasr ec t a s quecon el lase relacionan? C m o semi d e lalong i tud de una ci rcunferencia?Cul esla fr-mula quese u sa?C mo se ob t iene lalong i tud deld i met r oy del ra-dio?

2 DIVISION.P L A N I M E T R I A .C A P I T U L O I X.CONSTRUCCIN DES U P E R F I C I E S .

S u m a r i o : 5 3 . C o n s t r u c c i ndet r i n g u l o s5 4 . C o n s t ru cc i n d e cu a -d r i l t e r o s . 5 5 . T r azodepo l gonos i r regu lares: iguale s , sem ejan tesy

equivalen tes .56. Const ruccin de po l gonos reg u lares . 57- Cons-t ruccinde jo l gonos regu lares inscr i tos . 58. Const ruccin de po l -gonos est rel lados.59. T razo de superficies de per metro redon do:valo , huevoy elipse.53 . En laconstruccin de los tr ingu losse presentanlos siguientes casos:1? Dada la r e c t a A B c o n s t r u i r un t r i n g u l o e q u i -l te ro . Conunradio igualdicha rectay haciendo cen-tr oen susextremos, se trazan los arcos que se cortanene l pun to D, elcualseun e por m e d i o de rectas conlosp u n t o sAyB,ysetend rlaconstruccin que se pide(fig. 130)"

2 ? T a z a r un t r i n g u l o i s s c e l e s c o n o c i e n d o el la-d o m e n o ryuno de los igu a le s . S iendo A Belladom e n o r , sehace centro respectivam ente en cada unodesus ex t remosycon una medida igualal lado A Cae loslados igualesse trazan los arcos que se cortan en el p u n -to C quees el tercer vrtice deltr ingu lo pedido (f igura 131).3 ? C o n s t r u i r un t r i n g u l o i s s c el e s d a d a la b a s e


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a y e l ng u lo , .p ue s t o e l l a 6 . S e t r aza una r ec t a in -def in ida AB, se toma de el la BC = o; en el pu nto C set raza la recta CE de manera que tenga con la ot ra la aber -t u r a de l ngu lo1), se divide el ngulo ECB en dos mi-tades con la bisect r iz CD, e n el ex te m o B se t raza ot ro

ngu lo i gua l DCB y l a p r o longac in de ambo s l adoscer rar el t r ingulo que se desea ( f ig . 1350-40 C o n s t r u i r u n t r i n g u l o r e c t n g u l o c o n o c i e n d olos dos ca t e t o s a y S e f o r ma un ngu lo r ec to BAC

Fig . 132 .

con los dos catetos dados, en seguida se t raza la hipote-nusa y quedar resuel to el problema ( f ig . 133) .5 ? C o n s t r u i r u n t r i n g u l o r e c t n g u l o d a d a l a h i -

F'g- >33-

Fig . >34-

p o t e n U S a a y u n c a t e t o b. Se t raza ur ngulo rectoCAB, el lado AB se hace igual al cateto dado, y desde elpun to B como cen t r o t omando como r ad io l a h ipo t enu -sa se cor ta el ot ro cateto en e l pun to C y quedar cons-t ruido el t r ingulo ( f ig . 134) .C ? D a d o u n c a t e t o a y u n n g u l o a g u d o b en une x t r e m o , c o n s t r u i r e l t r i n g u l o r e c t n g u l o c o r r e s -p o n d i e n t e . S e t r az a una r ec t a AB igual al cateto dado,se l evan t a en cua lqu i e r a de sus e x t r e m o s u n a p e r p e n d i -cular y en el o t ro un ngulo igual al lado, se p r o longan ens e g u i d a a m b a s l neas ha , t a que se co r t en en e l pun to Cy q u e d a r resuel to el problema ( f ig . 135) .

Fig . 136 . F i g . 137-7 ? C o n s t r u i r u n t r i n g u l o r e c t n g u l o c o n o c i e n d ol a h i p o t e n u s a a y u n n g u l o a g u d o b. Se traza la rec-t a AB igua l l a h ipo t enusa a, y sobre el la como di-me tro se desc r ibe un a semic ircunfe rencia AC B, en se-guida se t raza en uno de sus extremos, por ejemplo en A,e l ngu lo dado cuya segunda l nea se p r o longa has t a quecor te en D la semic ircunfere ncia, se une este pu ntocon B y se tendr const ruido el t r ingulo ( f ig . 136) .8 ? D a d a s l a s r e c t a s a,bjc c o n s t r u i r u n t r n g u -


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76 J U L I O 8 . H E R N N D E Z .lo . Se traza la recta CB= a y haciend o centro en C conun radio igual b, se traza un arco de crculo en la par-te superior, despus se hace centro en B y con un radioigual c se traza otro arco para cortar al primero, el pu n-to de interseccin ser el tercer vrtice del tring ulo Pa-ra que este problema sea posible,

es necesario que el mayor de loslados sea menor que la suma delos otros dos (fig. 137).9? Constru ir un tr ing ulo da-

dos dos lados a y by e l ngu loc comprendido entre e l los . E nla rec ta C B = a se cons t ruye elngu lo C igual al dudo y sobre el lado AC indefin ido setomar la parte AC = b; reuniendo el punto A con B setendr el tr ingulo construido (fig. 138).10? Constru ir un tr ing ulo conoc iend o d os de sus

Fig . 138 .

Fig . 39- Fig 140.l a d o s ay b y e l ngulo A opuesto uno de e l los . Setraza un ngulo igual al dado A, se toma sobre uno desus lados una distancia igual al lado b propuesto y desdeel extremo B como centro y con un radio igual al lado aopuesto, se traza el arco de crculo que intercepta el

G E O M E T R A I N T U I T I V A . 77tercer lado del tr ingulo que ser el vrtice buscado( f i g . 139).

11? Constru ir un tr ingulo co noc iendo un lado a ylos dos ngulos de sus ex tremos . De los extrem os dela l nea dada a como vrtice, se construyen los ngulosdados C y B, se prolongan los otros dos lados hasta quese cortan en el punto A que se busca (fig. 140).12? Constru ir un tr ingulo conoc iendo un lado a,

un ngulo b en e l ex tremo yotro copuesto d icho lado .f Se traza la recta AB = a y porel pun to B la recta BC para for-mar el ngulo B; por el mismopunto se traza la recta BD paraform ar con B C un nguloCB D= c, finalmente del pun-to A se traza una recta AC pa-ralela BD con la cual quedar construido el tr ingulo

deseado (fig. 141).13? Construir un trin gulo del cua l se conoce la

F i g . 14.

F i g . 142.a ltura a, la base by uno de los o tros dos lado s c. Setraza una recta indefinida AB y en un punto cualquiera


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J U L I O S . H E R N A N D E Z .de ella C se levan ta un a pe rpendic ular CD = a; desde elpunto D como centro y con una abertura de compsigual c se corta la recta AB en el pun to A y d esde estepunto en la misma recta con la d is tancia AE = b se en-contrar e l o tro vrt ice del tr ingulo pedido (f ig . 142).54. En la construccin de los cuadril teros se presen-nat ps casos s iguientes:

Fi g . 143 . F ig . >44 .1 ? C o n s t r u i r u n c u a d r a d o c o n o c i e n d o e l l a d o a. Setraza un ngulo recto CAB cuyos lados sean iguales larecta a co n la m i s m a med ida y haciendo centro en C y

B se trazan dos arcos que se cortan en_D q u e es el cuartovrt ice del cuadrado (f ig . 143).2 ? C o n s t r u i r u n c u a d r a d o q u e t e n g a p o r d i a g o n a ll a r e c t a A B . Se traza en la mitad de d icha 'd iagona l unap e r p e n d i c u l a r inde f in ida O N ; en seguida desde el puntoM la d is tanc ia AM = MB se tra nsporta los pun tos Oy N y se tendrn los cuatro vrt ices del cuadrado ( f igu -ra 144).

3 ? C o n s t r r u n p a r a b l g r a m o r e c t n g u l o c o n o -cie ndo SU alca : l a y s u b a s e b. Se traza un ngulo rec-to CAB con las ' los rectas dadas, se trazan^dosarcos que

G E O M E T R A I N T U I T I V A . 79se cortan en D part iendo de l punto B con la d is tancia ay del punto C con la dis tancia by queda rn de te rmina -dos todos sus vrt ices (f ig . 145).4? C o n o c i e n d o l a d i a g o n a l a . . i? y un lad o b c o n s t r u i r u n p a r a l e -

- l g r a m o r e c t n g u l o . S e t r az a u nD t r ingu lo rectngulo CAB de ma-nera que su cateto AB sea igual allado b y su h ipo tenusa BC igual J B la diagonal a; en seguida se tra-zan las paralelas correspondientes los lados AC y AB y quedar re-suelto el problema (f ig . 146).5 ? C o n s t r u i r u n r o m b o i d e c o n o c i e n d o l o s l a d o s a yb y e l ngu lo c q u e fo rman . Se t r aza un ngulo CAB

F>g, 145-

a

Fig . 146 . Fig . 147-igual a l dado de m anera que sus lados AC y AB seanrespectivamente iguales las rectas by a, en seguida sedetermina el punto D y quedar resuelto e l problema(fig . 147).El rombo se cons t ruye de la misma manera .6 ? C o n s t r u i r u n p a r a l e l g r a m o c o n o c i e n d o s u s d o sd i a g o n a l e s a y by e l n g u l o eque fo rm an . Se t r azau


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dos rectas que se corten entre s y que formen un nguloigual c, en seguida se dividen en dos partes iguales lasdos diagonales y se transportan respectivamente sus mi-tades desde el punto O los puntos A, B, C y D que sonlos vrtices que se buscan (fig. 148).

F ig . 1 4 8 . F ig . 1 4 97? Constru ir un trapec io , conoc iendo sus dos ba-

s e s a y b y su a l tura c. Se traza la recta CD igual labase mayor 6, en su punto medio se levanta una perpen-dicular igual la altura c, en el extremo superior de s-ta se traza otra perpendicular indefinida y paralela CD sobre la cual se transporta la base menor AB = a yse construir el trapecio (fig. 149).55. En la construccin de los polgonos irregulares sepresentan los siguientes casos:1? Constru ir un po l gono igua l o tro . Supongamosque se desea constru ir u n po lgono igual al designadocon las letras ABCDEF, se comienza por bajar perpendi-culares de todos sus vrtices al lado inferior prolongn-dolo en caso de que fuere necesario, en seguida se trazauna recta GJ = cij, se marcan en ella los puntos G, E,H, I , F y J; y sobre ellos se levantan tantas perpendi-culares cuantas hay en la primera figura, y con las mis-

mas dimensio nes hasta ob tener los puntos A, B, C y Dque despus se unen con rectas hasta construir el pol-gono que se desea (fig. U0).

F ig . 1 5 0 . Fig . 1512? C o n s t r u i r d o s p o l g o n o s s e m e j a n t e s , e s d e c i r ,c o n t o d o s s u s n g u l o s r e s p e c t i v a m e n t e i g u a l e s y s u sl a d o s h o m l o g o s p r o p o r c i o n a l e s . Sea el polgonoA B C D E F c u y os lados dividiremos en dos par tes igualespara cons t ru i r otro semejante cuyos lados sean la mitadde los lados del p r imero . Se traza la recta ab igual lam i t a d de AB, en sus ex t remos a y b se trazan los ngu-los respec t ivamente iguales A y B, se traza la recta acigual la mitad de AC y bfigua l la mitad de BF, y secont ina de la misma manera has ta terminar el polgo-n o (fig. 151).3? C o n s t r u i r u n p o l g o n o e q u i v a l e n t e o t r o de unl a d o m e n o s , e s d e c i r q u e t e n g a l a m i s m a s u p e r f i c i ea u n q u e s e a d e f o r m a d i f e r e n t e . Supongamos el pol-


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gono ABCDE, por e l punto A se traza la d iagonal AC ypor e l punt o B se traza u na paralela d icha diagonalhasta que encuentre en B' la prolongacin del lado DC,se traza la recta AB' y e l polgono ABCDE quedar

t r a n s f o r m a d oen AB'DE. Con este procedimiento se pue-de d i sminu i r de lados un polgono hasta convertir lo enun tr ingulo y s in que por ello d isminuya su ex ten -sin (f ig . 152).56. En la construccinde los polgonos regula-res se presentan los caso?s igu ien te s : D; t1 ? C o n s t r u i r u n p e n - /* ' ' Y \ /t g o n o c u y o l a d o s e a / \ / \ ) ( /igu a l l a r e c t a AB. Ha- j \c iendo centro en lo sp u n - i \ \ \ jtos A y B, con una aber- \ f / ' \ i / " \ \t u r a igual dicha recta set razan dos c i rcun fe ren - ^ "Gcias; sus puntos de int er- Fig. 153.seccin C y D se unen pormedio de una recta indefinida en su parte supe r io r ; delpunto C como centro se traza un arco F H G ; d e l o s p u n -

G E O M E T R l A I N T U I T I V A . 8 3

Fig . 154- F ig - 155 .zan dos arcos BC y AD; en el pun to E y con el mismoradio se traza otro arco en la parte superior del cual seob t ienen la s in te rsecc iones F y G ; con la mism a m edidase trazan los puntos H y J y se tendr e l hexgono pe -dido (f ig . 154).3 ? C o n s t r u i r u n o c t g o n o r g u l a r q u e t e n g a p o rl a d o l a r e c t a A B . E n el punto medio de la recta Al> salevan ta una pe rpend icu la r indefinida mn; con el radiomB desde m se traza el arc o A o, d esd e o con el ra dio oV>el arco Ai; desde t co n el radio B se describe una cir-cunferencia la cual contendr ocho veces e l lado AB yqueda r cons t ru ido e l oc tgono regu la r AB GDE FGH(fig . 155).

tos de dicho arco F y G se trazan dos rectas que pasanpor e l punto H hasta tocar la c ircunferencia en los pun-tos J y L; estos puntos se une n con A y B y se tendrtres lados del pentgono: con la misma medida se obtie-ne el vrtice M que es el ltimo que se busca (fig. 153).2 ? D a d a l a r e c t a A B c o m o l a d o , c o n s t r u i r u n e x -gono. Con una medida AB igual la recta dada se tra--


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4 ? D a d a u n a r e c t a c u a l q u i e r a N , c o n s t r u i r u n p o -l g o n o r e g u l a r d e c u a l q u i e r n m e r o d e l a d o s . S u -pongamos que se tra ta de construir un heptgono; se tra-za un a circunf erencia cualquie ra cuyo d im etro AB sedivide en s ie te partes iguales; de los extremos A y B conuna abertura de comps igual a l d imetro , se describendos arcos que se corten en el punto C; de este punto alpenlt imo de la d ivis in del d imetro D se traza la rec-ta CE y la cuerda BE colocada en esta c ircunferencia ladividir en s ie te partes iguales . Para qu e el polgono que

se desea construir , sus lados tengan las dimensiones dela recta N se procede como sigue: la cuerda BE se divi-de en dos mitades por medio de la perpendicular OM;desde el punto M y con una medida igual la mitad dela recta N se trazan dos arquitos que determinan con lap ro longac in de la cue rda BE lo s pun tos P y U ; desdeestos puntos se t razan dos pe rpend icu la re s PH y UF ,

\ I

F ig . . 5 7 .

las cuales se cortan por medio de la prolongacin del ra-dio OB basta H y del radio OE hasta F; desde el cen-tro O se describe una circunfe-rencia con cualquiera de dichosradios prolongados y la cuer-da H F = N ser el lado delhep tgono que se desea (f igu-ra 156).57 . En la construccin de lospolgonos regulares inscri tos sedan los casos s iguientes:1? I n s c r i b i r u n p o l g o n o r e -g u l a r d e 3, 6, 12 , e tc . , l ados .

P a r a el tr ingulo se traza un dimetro AB, y del ex -t remo B con la m e d i d a del radio se determinan losp u n t o s C y D , y la recta CD ser el lado del t r i ngu lo(fig- 157). 'P a r a el polgono de seis lados basta trazar en la cir-cunferencia seis veces la medida del radio sea la cuer-da BD que es el lado del hexgono.P a r a el de doce lados se divide el arco del hexgonoen dos mitades, y una de ellas mD ser el lado que seE l mismo procedim iento se emplea en los polgonosde 24, 48, etc., lados.2 ? I n s c r i b i r u n p o l g o n o r e g u l a r de 4, 8, 16, etc.,

l a Pa ra el de cuatro lados basta trazar dos dimetros per-pend icu la re s y uniendo sus extremos por rectas iguales AB, queda r inscri to e l cuadrado (f ig . 158).El de ocho lados se f o r m a co n la mitad BD de l arco


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que cor respon de al cuad rado . Los de 16, 32, etc . , lad osse f o r man de l a m i sma maner a .3 ? I n s c r i b i r u n p o l g o n o r e g u l a r d e 5 , 1 0 , 2 0 , e t c . ,l a d o s .Para el de cinco lados se t raza el d imetro BC y per -pendicular l e l radio AD; se divide el radio AB endos par t es iguales, y desde el pun to E co mo cen tro sedescr ibe el arco D F y la rec ta D F, que une sus extre-mos ser el lado del pentgono ( f ig . 169) .

F ig . 1 5 8 . l ' ig- ' 59

Los de 10 lados, 20, 40, etc . , se f o r man tomando l amitad del arco del pol gono d e 5, 10, etc.4 ? I n s c r i b i r u n p o l g o n o r e g u l a r d e u n n m e r oc u a l q u i e r a d e l a d o s .Es t e p r ob l ema se puede r eso lve r s i gu i endo e l p r oced i -mien to i nd i cado en e l p r r a f o 4? de l nmer o 56 .Para el de 7 lados p u e d e c o n s t r u i r s e t a m b i n t o m a n -do la mi tad de la cue r da que co r r esponde a l t r i ngu lo .P a r a e l de 9 t omando la tercera par te del arco que co-r responde la misma f igura, e tc . As pueden const rui rse.muchos po l gonos de r ivndo los de l o s ya conoc idos .

58 . Los po l gonos r egu l a r es e s t r e l l ados se f o r manuniendo por medio de cuerdas sus vr t ices de dos en dos de t res en t res en los pol gonos inscr i tos ( f igs. 160 yy 161) .

Fig. 1605 9 . Trazo de las super f icies de per metro redondo:

va lo , huevo y -elipse.1'.' C o n s t r u c c i n de l v alo . Se t raza la recta indef i -n i d a ab, se miden en e l l a cua t r o d i s t anc i as i gua l es as,si, tx y xb ; con una de estas medidas como radio se des-cr iben t res c i r cun f e r enc i as cuyos cen t r os son s, i y x; set razan las rectas gh, gn, cd y df que pasan po r cada cen -tro y los puntos de interseccin de las ci rcunferencias;estas rectas se cor tan en g y en d que s i r ven de nuevoscentros, desde los cuales con un radio igu al una deel las, por ejemplo cd , se t razan los arcos cf y hn, y que-da r cons t ruido el cvalo ( f ig . 162) . .2 C o n s t r u c c i n d e l h u e v o . S e t raza la recta AB yd e s d e el omi to med io O se desc r ibe una semic i r cun f e -


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I 2 . Fig . 163 .

to C se une con AyB por medio de rectas indefinidas;con un radio ABydesde los puntes AyB se describenlos a rcos A E y B D: po rlt imo desde C con unradio C E se traza e l ar-co EPDyquedar for-m a d oelhuevo ( f igu -ra 168).Otro procedimiento.Sobrelarecta indefi-nid a AB se trazan ochodistancias iguales;ene l p u n t O3como cen-t ro , rcon un radio 3A,se traza una circunfe-rencia; desde el punto

Fig . 164 .

rencia AMB, set r aza despus una pe rpend icu la r MPsobre la cual se toma la dis tancia OC igualOB, el pun-J U L I O S. H E R N N D E Z . 6, con un radio 6B, se traza una segunda circunferenciamenor que la primera; con un radio 6B desde el puntoB se traza un arco que determina los puntos m yn; setraza un dimetro DC perpendicularla recta AB, conun rad io ab desde los puntosnyD se trazan los arcosque se cortan en el pun-

to b) co n el mismo rad iodesde los puntos my C setrazan otros arcos que secortan ena con el mis-mo rad ioytomando co -mo cen t ro s a yb se trazanlos arcos Cm yDn, y que-dar te rminado e l huevo(fig- 164).3? Trazo de la e l ip se .E l p r o c e d im i e n t o m ssencil lo para trazar unaelipse esels iguiente:se Fl S ,65-fijan en lo s focosF yF 'dos c lavitos 6 alfileres en los cuales se ata un hilo cor-dn cuya longitud sea igualale je may or; en seguida,por medio de un lpiz se a t iranta dicho hilo y se descri-be la curva que deber ser una elipse , puesto que la su-ma de dos de sus radios vectores ser s iempre igual a le je may or (f ig . 165).Ejerc ic ios y observaciones - 5 3 P ro c u reelProfesor en la cons trucc in d e c a d a t r i n g u lo , h a c e r q u e lo s a lu m n o s tx p l i .ciuen el f u n d a m e n t o d e l p ro c e d im ie n to q u e e m p le a n . -S 4 - S e h a c e l a m i s-m a r e c o m e n d a c i n respec to de los c u a d r i l t e r o s . - 5 5 . P n g a n s e v a n a d o s

8/13/2019 Geom

geometria intuitiva

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