Geometria Analítica

Prof° Marcelo Maraschin de Souza

Vetor Definido por dois pontos

Seja o vetor 𝐴𝐵 de origem no ponto A(𝑥1,𝑦1) e extremidade

no ponto B(𝑥2,𝑦2) .

Qual é a expressão algébrica que representa 𝐴𝐵?

Vetor Definido por dois pontos

𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵

𝐴𝐵 =(𝑥2 − 𝑥1,𝑦2 − 𝑦1)

Tarefa: obter expressão algébrica para 𝐵𝐴.

Exemplo: Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4),

determinar o ponto D de modo que 𝐶𝐷 =1

2𝐴𝐵.

Ponto Médio

Seja o segmento de extremos A(𝑥1,𝑦1) e B(𝑥2,𝑦2),

Sendo M(x,y) o ponto médio de AB, podemos expressar

que 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 ou (𝑥 − 𝑥1, 𝑦 − 𝑦1) = (𝑥2,−𝑥, 𝑦2 − 𝑦), ou seja

M(𝑥1+𝑥2

2,𝑦1+𝑦2

2)

Exemplo: o ponto médio do segmento de extremos A(-2,3)

e B(6,2) é?

Paralelismos de Vetores

Vimos que se dois vetores 𝑢 = (𝑥1,𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2,𝑦2) são

paralelos, existe um número real α tal que 𝑢 = α 𝑣, ou seja

(𝑥1,𝑦1)= α(𝑥2,𝑦2)

Donde temos,

𝑥1

𝑥2=

𝑦1

𝑦2= α

Exemplo: mostre que 𝑢 = (−2,3) e 𝑣 = (−4,6) são

paralelos.

Módulo de um vetor

Seja o vetor 𝑣 = (𝑥, y),

o módulo de 𝑣 é dado por,

𝑣 = 𝑥2 + 𝑦²

Exemplo: calcule o módulo de 𝑣 = (2,−3).

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos A(𝑥1,𝑦1 ) e B(𝑥2,𝑦2 ) é o

comprimento (módulo) do vetor 𝐴𝐵, ou seja,

d(A,B)=|𝐴𝐵|

mas 𝐴𝐵= B – A = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1), então,

d(A,B)= 𝑥2 − 𝑥12 + (𝑦2 − 𝑦1)²

Vetor Unitário

Para cada vetor 𝑣 não nulo é possível associar dois

vetores unitários paralelos: 𝑣/|𝑣| (versor) e seu oposto

− 𝑣/|𝑣| .

Exemplo: calcule um vetor unitário de 𝑣 = 3,−4 .

𝑢 =𝑣

|𝑣|= (

3

𝟓,

−4

𝟓).

Tarefa: mostre que 𝑢 é de fato um vetor unitário.

Exercícios

Vetor no Espaço

Da mesma forma que para vetores na reta,

consideraremos que a base canônica { 𝑖, 𝑗, 𝑘} irá determinar

o sistema cartesiano ortogonal Oxyz, onde estes três

vetores unitários e ortogonais dois a dois estão

representados com origem no ponto O.

Vetor no Espaço

Cada ponto P(x,y,z) do espaço corresponde o vetor

𝑂𝑃 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧𝑘isto é, as próprias coordenadas x,y,z do ponto P são as

componentes do vetor 𝑂𝑃 na base canônica.

Vetor no Espaço

Defina as coordenadas de cada ponto no espaço:

Vetor no Espaço

• Igualdade;

• Soma;

• Multiplicação por escalar;

• Vetor definidos por dois pontos;

• Ponto médio;

• Paralelismo;

• Módulo.

As definições de cada uma delas para o espaço são

análogas às do plano.

Vetor no Espaço

Obs: como o sistema tem solução única, o conjunto

{𝐴𝐵, 𝑢, 𝑣} é uma base deste espaço e, portanto, estes três

vetores são não-coplanares.

Vetor no Espaço

Vetor no Espaço

Produto Escalar

Chama-se produto escalar de dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), e se representa 𝑢 ⋅ 𝑣, ao número real,

𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2

Também indicamos o produto escalar por < 𝑢, 𝑣 >.

Exemplo:

Produto Escalar

Exercício:

Produto Escalar

Propriedades: para quaisquer 𝑢, 𝑣 e 𝑤 e α número real,

temos que:

• 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢• 𝑢 ⋅ 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑤• α(𝑢 ⋅ 𝑣)= (α𝑢) ⋅ 𝑣

• 𝑢 ⋅ 𝑢 > 0 se 𝑢 ≠ 0 e 𝑢 ⋅ 𝑢 = 0 se 𝑢 = 0• 𝑢 ⋅ 𝑢 = |𝑢|²

Considere um vetor no espaço, e prove a última

proposição.

Exercícios

e

Produto Escalar

Definição geométrica: se 𝑢 e 𝑣 são vetores não nulos e θ

o ângulo entre eles, então

𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos(θ), 0º ≤ θ ≤ 180º

Demonstre!

Dica: aplicar a lei dos cossenos no seguinte triângulo:

Exemplo

Desigualdades

• Desigualdade de Schwarz:

|𝑢 ⋅ 𝑣| ≤ |𝑢|| 𝑣|

• Desigualdade Triangular:

𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + | 𝑣|

Produto escalar

Em cada um dos casos, julgue o sinal de 𝑢 escalar 𝑣.

Ortogonalidade

Dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 são ortogonais se, e somente se,

𝑢 ⋅ 𝑣 = 0Exemplos:

Ângulo entre dois vetores

Da definição de produto escalar, temos

𝒄𝒐𝒔 𝜽 =𝑢 ⋅ 𝑣

𝑢 | 𝑣|

Exemplos:

Ângulo Diretos e Cossenos Diretores

Consideramos o vetor 𝑣 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧𝑘 , seus ângulos

diretores são os ângulos α, β e γ que ele forma com os

vetores 𝑖, 𝑗 e 𝑘.

Ângulo Diretos e Cossenos Diretores

Os cossenos diretores de 𝑣 são cos α , cos β 𝑒 cos(γ):

Exemplo: calcule os ângulos diretores de 𝑣 = 1,−1,0 .

Projeção de um vetor sobre outro

Sejam 𝑢 𝑒 𝑣 não nulos e θ o ângulo entre eles. Suponha

que 𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2, sendo 𝑣1// 𝑢 e 𝑣2 ⊥ 𝑢 .

O vetor 𝑣1 é chamado projeção ortogonal de 𝑣 sobre

𝑢 e indicado por

𝑣1 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣

Projeção de um vetor sobre outro

Além disso, sendo 𝑣1 = α𝑢 , conclui-se que,

𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢

𝑢 ⋅ 𝑢𝑢.

Demonstração:Sendo 𝑣1 // 𝑢, temos 𝑣1 = α𝑢 e como 𝑣2 = 𝑣 − 𝑣1 = 𝑣 − α𝑢 é

ortogonal a 𝑢, vem

( 𝑣 −α𝑢 ) ⋅ 𝑢 = 0 ou 𝑢 ⋅ 𝑣 − α𝑢 ⋅ 𝑢 = 0e

α = 𝑣 ⋅ 𝑢

𝑢 ⋅ 𝑢

Portanto, sendo 𝑣1 = α𝑢 , o resultado segue da equação do slide

anterior.

Projeção de um vetor sobre outro

Exemplos:

Produto Vetorial

Chama-se produto vetorial de dois vetores 𝑢 = 𝑥1 𝑖 +

𝑦1 𝑗 + 𝑧1𝑘 e 𝑣 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2𝑘, se representa por 𝑢 × 𝑣, ao

vetor

𝑢 × 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

Obs: o produto vetorial é um vetor, diferentemente do

produto escalar, no qual tínhamos um numero real.

Produto Vetorial

Exemplo:

Produto Vetorial

Observações:

• 𝑢 × 𝑣 = −( 𝑣 × 𝑢) , logo o produto vetorial não é

comutativo, assim, a ordem dos fatores é importante.

• 𝑢 × 𝑣 = 0 se, e somente se, 𝑢// 𝑣.

Características do Produto Vetorial

Considere os vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 .

Direção de 𝑢 × 𝑣 : o vetor 𝑢 × 𝑣 é simultaneamente

ortogonal a 𝑢 e 𝑣.

Para provar isso basta mostrar que

• (𝑢 × 𝑣) ⋅ 𝑢 = 0e

• (𝑢 × 𝑣) ⋅ 𝑣 = 0

Características do Produto Vetorial

Sentido de 𝑢 × 𝑣 : o sentido do vetor 𝑢 × 𝑣 pode ser

determinado utilizando a “regra da mão direita”. Sendo θ o

ângulo entre os vetores, suponha que 𝑢 sofra rotação de

ângulo até 𝑣.

Características do Produto Vetorial

Comprimento de 𝑢 × 𝑣: se θ é o ângulo entre os vetores

𝑢 𝑒 𝑣 não nulos, então

𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃

A área desse paralelogramo é A=(base)(altura), ou seja

A= 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑢 × 𝑣

Características do Produto Vetorial

Exemplo: seja 𝑢 = (2,0,0) e 𝑣 = (0,3,0), calcule a área.

Solução:

𝑢 × 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘2 0 00 3 0

= (0,0,6)

|𝑢 × 𝑣| = 6

Propriedades do Produto Vetorial

• O produto vetorial, em geral, não é associativo:

𝑢 × 𝑣 × 𝑤 ≠ 𝑢 × ( 𝑣 × 𝑤)

Propriedades válidas:

• 𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + (𝑢 × 𝑤)

• 𝛼 𝑢 × 𝑣 = 𝛼𝑢 × 𝑣

• 𝑢 ⋅ 𝑣 × 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤

Exercícios

3)

Exercícios

4)

5)

Produto Misto

Chama-se produto misto dos vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 =𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 𝑒 𝑤 = 𝑥3, 𝑦3, 𝑧3 , o número real 𝑢 ⋅ 𝑣 × 𝑤 . É

também indicado por 𝑢, 𝑣, 𝑤 .

𝑢 ⋅ 𝑣 × 𝑤 =

𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑥3 𝑦3 𝑧3

Propriedades de Produto Misto

• 𝑢, 𝑣, 𝑤 =0, se um dos vetores for nulo, ou dois deles

são colineares, ou se os três são coplanares.

• 𝑢, 𝑣, 𝑤 = − 𝑣,𝑤, 𝑢 = − 𝑤, 𝑢, 𝑣• 𝑢, 𝑣, 𝑤 + 𝑎 = 𝑢, 𝑣,𝑤 + 𝑢, 𝑣, 𝑎• 𝛼𝑢, 𝑣, 𝑤 = 𝑢, 𝛼 𝑣, 𝑤 = 𝑢, 𝑣, 𝛼𝑤 = 𝛼 𝑢, 𝑣,𝑤

Exercício

Interpretação Geométrica deProduto Misto

O produto misto 𝑢 ⋅ 𝑣 × 𝑤 é igual, em módulo, ao volume

do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores

não coplanares 𝑢, 𝑣 e 𝑤.

Interpretação Geométrica de Produto Misto

Pois, o volume de um paralelepípedo é dado por

𝑉 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎Ou seja,

𝑉 = | 𝑣 × 𝑤| 𝑢 |cos(𝜃)|

𝑉 = | 𝑢 | 𝑣 × 𝑤|cos(𝜃)|

𝑉 = 𝑢 ⋅ ( 𝑣 × 𝑤)

Interpretação Geométrica de Produto Misto

Volume do prisma:

𝑉𝑝 =1

2𝑉

Volume do tetraedro:

𝑉𝑡 =1

3𝑉𝑝 =

1

6𝑉

Exemplo