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15/08/2012

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Geometria Analítica

Prof. Luiz Antonio do Nascimento

[email protected]

www.lnascimento.com.br

• A Geometria é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades do espaço.

• Palavra vem do grego: geo- "terra", -metria "medida".

Geometria Analítica Geometria

• É importante compreender a geometria, para dar resposta a questões como:

– Que forma tem?

– De que tamanho é?

– Caberá?

• Principais estudiosos:


Arquimedes 𝜋

Pitágoras Teorema de Pitágoras

Euclides Os elementos

René Descartes Geometria Analítica

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• A matemática e a geometria surgiram de necessidades econômicas de contabilizar diversos tipos de objetos e de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais.


• A geometria surgiu em várias culturas antigas como um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume.

• Em relação à dimensão (2D ou 3D) – Plana

• Figuras planas (quadrado, circulo e triangulo, ...) , cálculo perímetros e áreas

– Espacial • Figuras sólidas (cubo, esfera e pirâmide, ...), cálculo de volume

• Em relação a abrangência – Euclidiana

• Geometria clássica. Duas retas paralelas são retas que se estendidas nunca se cruzam no infinito e não estão sobrepostas

– Não Euclidiana • Retas que se estendidas podem se cruzar no infinito ou espaço em que não

existem retas paralelas (geometria hiperbólica, elíptica e fractal).

• Em relação a abordagem – Descritiva

• Representação de figuras espaciais (3D) no plano (2D).

– Analítica • Cálculos geométricos utilizando a álgebra (ramo da matemática com cálculo

de expressões que utilizam letras para representar incógnitas. A outra abordagem é a aritmética que é o estudo das regras de cálculo apenas com números)

Geometria Analítica Tipos de Geometria

Problema 1

Geometria Analítica Solução de problemas com a Geometria Analítica

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• Problema da Quadratura de um Circulo:

– Dado um círculo, construir um quadrado de mesma área.

• Da para resolver apenas com Desenho Geométrico (régua e compasso)?


• Problema da Quadratura de um Circulo:

– Dado um círculo, construir um quadrado de mesma área.

• Da para resolver apenas com Desenho Geométrico (régua e compasso)? Não. Resolve-se facilmente com operações algébricas.


A área de um circulo é π.r 2. A área de um quadrado de lado x é x2.

Assim, tem-se que, x² = π. R², logo x=r π

Problema 2


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• Problema da duplicação de um cubo ou problema de Delliano:

– Em 439 a.C um oráculo de Apollo em Atenas profetizou que a peste da população na época só poderia ser eliminada se duplicassem o altar de Apollo que tinha 1m3.

• Os atenienses dobraram as medidas das arestas do cubo.

• A peste aumentou.

• A solução estava correta?


• Problema da duplicação de um cubo ou problema de Delliano:

• A solução estava correta? Não, pois:

𝑎3 = 2 × 13

𝑎 = 23

≅ 1,26


m3

m3

A volume de um cubo com aresta a é a³. Assim, tem-se que, duplicar o volume de lado

x é a³=2.x³, logo a=𝐱 𝟐𝟑

• Em torno de 306 a.C Euclides de Alexandria reuniu na obra “Elementos” todos os conhecimentos de geometria (texto matemático de maior sucesso de todos os tempos).

• Euclidiana (geometria clássica)

• Em Os Elementos Ponto, Reta e Plano são noções primitivas (descrições sem definições) .

• Os objetos geométricos são relacionados por meio definições e axiomas (verdades que não se precisa demonstrar).


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• Algumas descrições geométricas de Os Elementos:

Ponto “o que não tem partes”. Linha “comprimento sem

espessura”.

• Euclidiana (geometria clássica)

Reta “linha que descansa por igual em todos os seus pontos”.

Retas paralelas “complanas (mesmo plano) e que não se intersectam”.


Problema 3

Geometria Analítica Solução de problemas com a Geometria Não

Euclidiana

• Exemplo de Geometria Não Euclidiana

• Deslocamento de um urso.

• Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10 Km para Sul, 10 Km para Leste e 10 Km para Norte, voltando assim ao ponto de partida. Aí encontrou um Urso.

• Qual a Cor do Urso?


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• Resolução do deslocamento de um urso.

– À primeira vista, podemos pensar que o problema não tem solução e, portanto, o caçador não voltaria ao ponto de partida, como mostra o seguinte esquema:




– No entanto, não nos podemos esquecer de que a Terra não é uma superfície plana, mas curva.




– Assim a solução está à vista: Andando 10 Km segundo aquelas 3 direções perpendiculares, o caçador só voltará ao ponto de partida se iniciar a sua caminhada no Polo Norte.


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• Exemplo de Geometria Não Euclidiana • Resolução do deslocamento de um urso.

– No Polo Norte, só pode ser um Urso Polar Branco.

– A dificuldade em solucionar este problema passa pelo fato de pensarmos na Geometria sobre um plano (Geometria Euclidiana).

– Desde o século passado, com o aparecimento da Geometria Não Euclidiana, surge uma nova solução para este problema pois a Terra possui círculos concêntricos com dois polos (sul e norte).

– Não existem ursos no Polo Sul.


Elementos que não precisam de definição para serem aceitos (ponto, reta e plano).

• Ponto

– Localização de algo no espaço.

– O ponto não tem dimensão.

– Toda figura geométrica é formada por um conjunto de pontos.

– O ponto geométrico é representado pela interseção de duas pequenas linhas ou um ponto.

– Indicado por letra maiúscula latina.

Geometria Analítica Elementos Primitivos da Geometria

A

B C

• Reta

– A reta é formada por um conjunto de pontos que se sucedem uns aos outros em sequência infinita.

– A reta não tem inicio e nem fim.

– As setas nas extremidades da representação da reta indicam que a reta continua indefinidamente nos dois sentidos.

– Indicado por letra minúscula latina.


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• Reta

– Podem ser:


• Reta

– Elementos derivados de uma reta:

• Semi-reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e é ilimitada em apenas um sentido.

• Segmento de reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e um de fim que são as suas extremidades. Representada por seus pontos.


• Reta

– Posições de duas ou mais retas:

• Retas Paralelas: duas ou mais retas que mantêm entre si uma distância constante.

• Retas Perpendiculares: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo de 900.

• Retas Oblíquas: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo inferior a 900.


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• Reta - Posições de

duas ou mais retas:

Retas Coplanares - As retas a, b e c pertencem ao mesmo plano (face do paralelepípedo).

Retas Concorrentes - As retas a e b têm um ponto comum A.

Retas Enviesadas - As retas d e c não se encontram e têm direções diferentes.

• Reta

– Posições de dois ou mais segmentos:

• Segmentos Consecutivos: dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro.

• Segmentos Colineares: dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.


• Reta

– Posições de dois ou mais segmentos:

• Segmentos Congruentes: segmentos que têm as mesmas medidas. "~" é o símbolo de congruência.

• Segmentos Adjacentes: dois segmentos (consecutivos e colineares) são adjacentes, se possuem em comum uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.


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• Reta

– Posições de pontos em uma reta:

• Pontos Colineares: pontos que pertencem a uma mesma reta.


• Plano

– Qualquer superfície plana.

– Plano é a superfície sobre a qual um objeto pode ser completamente representado.

– Pode ser identificado por letras gregas do alfabeto como por exemplo α (alfa), β (beta) e γ (gama).


DEFINIÇÃO

• Agrupamento de números com características semelhantes.

• Números Naturais (ℕ) – É o conjunto dos números usados para contar ℕ = {0,1,2,3,...}.

• Subconjunto dos Números Naturais Não Nulos ℕ* = {1,2,3,...}.

• Números Inteiros (ℤ) – É o conjunto dos Números Naturais mais os seus representantes

negativos ℤ = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. • Subconjunto dos Números Inteiros Não Nulos ℤ* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}.

• Subconjuntos dos Números Inteiros Não Negativos ℤ+ = {0,1,2,3,...}.

• Subconjuntos dos Números Inteiros Não Positivos ℤ- = {...,-3,-2,-1,0}.

• Subconjuntos dos Números Inteiros Não nulos Não Negativos ℤ*+ = {1,2,...}.

• Subconjuntos dos Números Inteiros Não Nulos Não Positivos ℤ*- = {...,-2,-1}.

Geometria Analítica Conjuntos Numéricos

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• Números Racionais (ℚ)

– O conjunto dos números fracionários, que têm o numerador e denominador pertencente aos Números Inteiros Não Nulos.

– Exemplos de ℚ = -2, −1

2, 2,

2

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• Um número racional pode ter sua representação decimal

como por exemplo 1

2=0,5 e -

5

4= −1,25

• Um número racional pode ter sua representação decimal como dizima infinita periódica como por exemplo 1

3=0,333... e -

6

7= 0,857142857142 …

– Toda dízima exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.


• Números Irracionais (𝕀)

– Os números irracionais são dízimas infinitas não periódicas (números que não podem ser escrito na forma de fração).

– Exemplos de 𝕀 = 2 = 1,41421 … e 𝜋 = 3,14159 …

• Números Reais (ℝ)

– É o conjunto dos Números Racionais mais os Números Irracionais.

– Exemplos de ℝ = −1

2, 2 e 𝜋.



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• Resolva a equação do 2º grau:

x² -4x + 5 = 0



x² -4x + 5 = 0 Usar Bhaskara ⟹ 𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = 5

𝑥 = −𝑏± ∆

2𝑎

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= −4 2 − 4.1.5 Δ = 16 - 20 = -4 ∴ 𝑁𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑖𝑠.


• Números Imaginários (𝑖) – Conjunto de todas as raízes de números negativos.

– Uma unidade imaginária representa a raiz quadrada de um número negativo. −1 = 𝑖 assim 𝑖2 = −1 .

– Assim tornou possível representar qualquer raiz quadrada de um número negativo.

• Exemplo: −81 = 81. (−1) = 81. −1 = 9𝑖

• Números Complexos (ℂ) – É o conjunto dos Números Reais mais os Números

Imaginários. • Assim tornou possível somar um Número Real com um Número

Imaginário.

• Exemplo de ℂ = 2 + 3𝑖.


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I Imaginário

ℂ Complexos


x² -4x + 5 = 0

𝑥 = −𝑏± ∆

2𝑎

∆= −4 2 − 4.1.5 = −4

∴ 𝑁𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑖𝑠.

-4 é 4.-1, e -1 = 𝑖 , logo, ∆ = 4. 𝑖 = 2i

𝑥 = −𝑏± ∆

2𝑎 = =

−(−4)±2𝑖

2.1=

4±2𝑖

2

x = 4+2𝑖

2=

4

2+

2i

2= 2 + 𝑖

x = 4−2𝑖

2=

4

2−

2i

2= 2 − 𝑖

V = {2+ 𝑖 ; 2- 𝑖 }


2

2

Geometria Analítica Exercícios

1) Assinale com um X os conjuntos que os números pertencem:

Número Natural Inteiro Racional Irracional Real Imaginário Complexo

33,5

725

5

81

−4

4𝑖

4𝑖− 2

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1) Assinale com um X os conjuntos que os números pertencem:

Número Natural Inteiro Racional Irracional Real Imaginário Complexo

33,5 x x X

725 x x x x x

5 x x x

81 x x x x x

−4 x x

4𝑖 x X

4𝑖 − 2 X


2) Resolva as equações utilizando números complexos:

a) 𝑥2 + 𝑥 + 10 = 0

b) −𝑥2 + 4𝑥 − 29 = 0

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