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LISTA DE PIRMIDES CLCULO DE SEGMENTOS E REAS - GABARITO
1) Classifique a pirmide que possui: a) 6 faces b) 12 arestas c) 20 arestasSoluo. Aplicando os conhecimentos de poliedros e o fato de que s h um vrtice fora da base da
pirmide temos!
a) A pirmide com seis faces possui 1 base e " laterais. #ada face lateral um trin$ulo com um
dos lados sendo a aresta da base. #omo h cinco trin$ulos laterais a base possui cinco arestas.
%o$o a pirmide penta$onal.
b) Se&am '( o n*mero de arestas que che$am ao vrtice e '+ o n*mero de arestas que che$am a
cada vrtice da base. , valor de '+ sempre - pois uma aresta vem do vrtice e as outras duas
viro das arestas ad&acentes na base. #omo cada aresta que che$a no vrtice vem de um vrtice dabase concluise que h '( vrtices na base e conseq/entemente a base possui '( arestas. %o$o
64
24324
2
)3.().(112 ==+=
+= xxx
xx. A base possui 0 arestas e a pirmide he(a$onal.
c) #om o mesmo raciocnio utili2ado em 3b) temos! 104
40340
2
)3.().(120 ==+=
+= xxx
xx. A
pirmide possui 14 arestas na base. 5 deca$onal.
6) Calcular a rea lateral de uma pirmide quadrangular regular cujo aptema m sabendo que oaptema da base mede 6m!
Soluo. A rea lateral ser o qudruplo da rea de um dos trin$ulos cu&a base
vale 16m 3dobro do aptema) e altura 7m 3aptema da pirmide). Aplicando a
frmula temos! 21922
96.4
2
812.4 mAl ==
= .
-) Calcular a rea total de uma pirmide triangular regular de aptema de 12m sabendo que o raio da
circunfer"ncia circunscrita # base m335 !
Soluo. , lado do trin$ulo eq/iltero inscrito na
circunfer8ncia dado pela relao 3.3 rl = . %o$o a aresta do
trin$ulo vale ml 53.3
353
== . A rea da base da pirmide
trian$ular vale 222
3
4
3.25
4
3.5
4
3.m
lA
b
=== . A rea lateral ser o triplo da rea de um trin$ulo
COLGIO PEDRO II - UNIDADE SO CRISTVO III
3 SRIE MATEMTICA II PROF WALTER TADEU www.p!"#$$!w%&'#'%(#).*%'.+
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da face de base "m e altura 16m! ( ) 29030.32
125.3
2
..3 m
hbAl ==
=
= . A rea total ser a soma
das reas da base e lateral! 282,100904
325mAAA lbT +=+= .
9) $%&'(1*) ' base de uma pirmide tem 22*m2! '3
2de uma aresta+ a partir do ,rtice+ corta(se a
pirmide por um plano paralelo # base! Calcular a rea da sec-.o plana determinada!
Soluo. A seco determinada pelo corte a rea 'b da base
menor. :epare que essa situao independe do n*mero de lados da
base da pirmide. A dimenso da aresta unidimensional e da rea
bidimensional. , corte paralelo cria duas pirmides semelhantes e
estabelecese a relao2
2)3/2(
l
l
B
b= onde o numerador do 6;
membro o quadrado da aresta lateral da pirmide menor e o denominador o quadrado da
pirmide maior. 'rea da base! 222 16)4( maAb ===
b) >rea lateral! ( ) 27218.42
94.4
2
..4 m
hbAl ==
=
=
c) >rea da ?irmide! 2887216 mAAA lbT =+=+=
0) 'ce a rea total de uma pirmide cuja altura de 12 cm e cuja base quadrada+ com 10 cm de lado!
Soluo. ?ara calcular a rea lateral necessrio calcular o aptema 3$) da pirmide. Aplicando
?it$oras vem cmgg 1316925144512 222 ==+=+= .
i) >rea da base! 222 100)10( cmaAb ===
ii) >rea lateral! ( ) 2260130.22
1310.4
2
..4 cm
hbAl ==
=
=
iii) >rea total! 2360260100 cmAAA lbT =+=+=
@) Calcule a rea lateral de uma pirmide quadrangular regular e cm de altura cuja base est inscritanuma circunfer"ncia de 26 cm de raio!
Soluo. , lado do quadrado inscrito dado pela relao 2.4 rl = . %o$o
a aresta da base vale cmrl 122.262.4 === . , aptema da base a
metade do lado. #alculamos o aptema da pirmide no trin$ulo
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retn$ulo formado pela altura 37) e o aptema da base 30)! cmgg 1010010068 222 ===+= . A rea
lateral o qudruplo de uma face! ( ) 2240120.22
1012.4
2
..4 cm
hbAl ==
=
= .
7) 3uma pirmide regular+ as alturas da face $relati,amente ao lado da base) medem 0+ e o lado dabase mede 0+2! Calcule a aresta lateral!
Soluo. ndependentemente da nature2a da pirmide a relao entre a aresta
lateral e a aresta da base envolve o aptema 3$) da pirmide que a altura daface e dividea ao meio & que um trin$ulo issceles. Aplicando ?it$oras na
rea cin2a temos! ( ) ( ) 5,025,025,014,048,0 222 ===+= ll .
B) 4eterminar a medida da aresta de uma tetraedro regular sabendo que sua superf5cie total mede 39cm2!
Soluo. , tetraedro re$ular uma pirmide trian$ular onde todas as arestas so i$uais. A rea
total o qudruplo da rea de uma face que um trin$ulo eq/iltero. $ualando C medida indicada
temos! cmlll
A
ll
A
T
T
399393
39
34
3.4
22
2
2
====
=
=
=
.
14) 4eterminar a medida da aresta de um tetraedro regular+ sabendo que+ aumentada de m+ sua rea
aumenta de 340 m2!
Soluo. Dtili2ando o resultado do problema anterior e a informao do enunciado temos!
mlllll
lA
lA
T
T3
8
24816403163833403
3)4(340
322
2
2
===++=+
+=+
=.
11) Calcular a aresta da base de uma pirmide regular sabendo que o aptema da pirmide mede 6 cm ea aresta lateral 10 cm!
Soluo. #onsiderando a metade da aresta e aplicando ?it$oras na reacin2a temos!
( ) cmaaaa
162562561444002
610 222
22 ====
+= .
16) Calcular a rea lateral e a rea total de uma pirmide quadrangular regularsendo m a medida do seu aptema e m o per5metro da base!
Soluo. Se o permetro da base vale 7m ento a aresta mede 7 E 9 F 6m. =emos!i) >rea da base! 222 4)2( maAb ===
ii) >rea lateral! ( ) 22814.22
72.4
2
..4 m
hbAl ==
=
=
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iii) >rea total! 232284 mAAA lbT =+=+=
1-) $/7'8) 3uma pirmide quadrangular regular com 9dm de altura+ a aresta da base mede dm32 !
Calcule a rea lateral dessa pirmide em dm2!
Soluo. #lculo do aptema 3$)! dmgg 12392
323
2
22 =+=
+= .
>rea lateral! ( ) 2
24362.22
1232.4
2
..4 dm
hbA
l ==
=
=
19) /m tetraedro regular tem aresta a cm! Calcule o aptema da pirmide e a rea total!
Soluo. , aptema da pirmide a altura do trin$ulo eq/iltero da face. #omo a F 9cm temos!
a) Aptema da pirmide! cml
g 322
34
2
3=== .
b) 22232
3 3163)4(34
3.4 cmAll
ATT ===
= .
1") endo 12m2a rea total de uma pirmide quadrangular regular e m23 o raio do c5rculo inscrito na
base+ calcule a altura da pirmide!
Soluo. A rea total dada pela soma das reas da base e a lateral. , raio do crculo inscrito vale a
metade da medida da aresta da base. $ualando as informaGes
temos!
252.2
2.10
212
7219221272192
212
2
.26.4
722).36()26( 2224
==
=+=+=
=
=
====
ggAAA
gg
A
mlA
lbT
l
b
#alculando a altura! ( ) ( ) mHH 24323218502325 222 ===== .