gabarito_lista1

7/17/2019 gabarito_lista1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA

Projeto Newton - Calculo ILista 01: Encontros 01, 02, 03 e 04.

1. Determine o domınio das seguintes funcoes:

(a) f 1(x) = x3 − 2x + 4 e uma funcao polinomica portanto o domınio da funcaof 1 e o conjunto dos numeros reais. Escrevemos D(f 1) = R.

(b) f 2(x) = 5

x − 2 e uma funcao racional e precisamos verificar se existe algum

valor de x que anule o denominador x −2. E claro que x −2 = 0 so no caso emque x = 2. Logo o domınio da funcao f 2 sao todos os numeros reais diferentesde 2. Escrevemos D(f 2) = {x ∈ R : x = 2} ou D(f 2) = R \ {2}.

(c) f 3(x) = x − 1x2 + 4

e uma funcao racional, mas observe que x2 e nao negativo,

portanto o denominador e maior ou igual que 4. Temos entao que o domıniode f 3 e o conjunto dos numeros reais. Isto e D(f 3) = R.

(d) f 4(x) = 1 − 3x

x2 + x − 1 e tambem uma funcao racional. Precisamos verificar se

existem valores de x que facam x2 + x − 1 = 0. Usamos entao a formula

de Bhaskara para resolver a equacao e verificamos que se x = −1 +

√ 5

2 ou

x = −1

−

√ 5

2 o denominador de f 4(x) se anula. Portanto

D(f 4) =

x ∈ R : x = −1 +

√ 5

2 e x = −1 − √

5

2

.

(e) f 5(x) = 8x

x(4x − 5)(2x + 1). O denominador x(4x − 5)(2x + 1) se nula no caso

em que x = 0 ou 4x − 5 = 0 ou 2x + 1 = 0, entao

D(f 5) =

{x

∈ R : x

= 0, x

= 5/4 e x

=

−1/2

} ou

D(f 5) = R

\{0, 5/4,

−1/2

}.



(f) f 6(x) =√

x2 + 1; Como x2 + 1 ≥ 0 para todo x real, temos que D(f 6) = R.

(g) f 7(x) = ln(15−3x). Como o logaritmo so esta definido para valores positivos,precisamos que 15 − 3x > 0. Portanto x deve ser menor que 5. Segue queD(f 7) = {x ∈ R : x < 5} ou, em forma de intervalo D(f 7) =] − ∞, 5[.

2. Determine os zeros das seguintes funcoes:

(a) Temos que resolver equacao x2 − 3x + 2 = 0. Com a formula e Bhaskaraobtemos as raizes 1 e 2, que sao os zeros da funcao f (x).

(b) −x2 + 7x − 122 = 0, nao tem solucoes reais pois vemos que o discriminante

∆ = −439. Potanto a funcao f (x) nao tem zeros.(c) −3x2 + 6 = 0 se, e somente se, x2 = 2. Existem dois numeros reais cujo

quadrado e 2, sao os numeros√

2 e −√ 2, que sao os zeros da funcao f (x).

(d) x(4x − 5)(2x + 1) = 0 foi discutida no item (e) do exercıcio 1).

(e) (2x2 − 4x)(x − 1)(x2 − 3) = 0. As solucoes desta equacao sao dadas por

2x2 − 4x = 0x − 1 = 0x2

−3 = 0

Da primeira equacao obtemos dois zeros: 0 e 2. Da segunda equacao obtemosx = 1. Da terceira obtemos x =

√ 3 e x = −√

3. Portanto, os zeros da funcaof (x) sao: 0, 2, 1,

√ 3 e −√

3.

3. Resolva, em R, as inequacoes:

(a) 5x − 2

3x + 4 < 2. Para resolvermos inequacoes, comecamos arrumando para compa-

rarmos com 0. A primeira inequacao e equivalente a inequacao 5x − 2

3x + 4 −2 < 0.

A equivalencia, neste caso, quer dizer que as duas inequacoes possuim as mes-mas solucoes. Resolvemos a segunda inequacao, pois para comparar com 0 sotemos que estudar o sinal da funcao f (x) = 5x − 23x + 4 − 2.

O primeiro passo e deixar toda a expressao com o mesmo denominador. Ob-serve que

5x − 2

3x + 4−2 < 0 ⇔ 5x − 2

3x + 4−2(3x + 4)

3x + 4 < 0 ⇔ 5x − 2 − 2(3x + 4)

3x + 4 < 0 ⇔ −x − 10

3x + 4 < 0

Estudando o sinal da funcao −x − 10

3x + 4



Vemos que a solucao da inequacao e o conjunto

{x ∈ R : x < −10 ou x > −4/3} =] − ∞, −10[∪] − 4/3, +∞[.

(b) 6x

x + 3 < 3

6x

x + 3 < 3 ⇔ 6x

x + 3−3 < 0 ⇔ 6x

x + 3−3x + 9

x + 3 < 0 ⇔ 6x − 3x − 9

x + 3 < 0 ⇔ 3x − 9

x + 3 < 0

Estudando o sinal da funcao 3x − 9

x + 3

Vemos que a solucao da inequacao e o conjunto

{x ∈ R : −3 < x < 3} =] − 3, 3[.

(c) 3x + 1

(2x + 5)(5x − 3) < 0. Estudando o sinal da funcao

3x + 1

(2x + 5)(5x − 3) < 0

Vemos que a solucao da inequacao e

{x ∈ R : x < −5/2 ou − 1/3 < x < 3/5} = ] − ∞, −5/2[ ∪ ] − 1/3, 3/5[

(d) 1

x

−1

< 2

x

−2

.

1

x − 1 <

2

x − 2 ⇔ 1

x − 1− 2

x − 2 < 0 ⇔ x − 2

(x − 1)(x − 2)− 2(x − 1)

(x − 1)(x − 2) < 0 ⇔

⇔ x − 2 − 2(x − 1)

(x − 1)(x − 2) < 0 ⇔ x − 2 − 2x + 2)

(x − 1)(x − 2) < 0 ⇔ −x

(x − 1)(x − 2) < 0

Estudando o sinal da funcao −x

(x − 1)(x − 2)

Vemos que a solucao da inequacao e

{x ∈ R : 0 < x < 1 ou 2 < x} = ]0, 1[ ∪ ]2, +∞[



4. Determine, em R o domınio da funcao

f (x) = −x2 + 1

x2 − 2x − 15

D(f ) = {x ∈ R : −x2 + 1

x2 − 2x − 15 ≥ 0}, portanto precisamos resolver esta inequacao.

Observe que −x2 + 1 = −(x2 − 1) = −(x + 1)(x − 1) e que as raizes da equacao

x2 − 2x − 15 = 0 sao 5 e 3. Temos entao que −x2 + 1

x2 − 2x − 15 =

−(x + 1)(x − 1)

(x + 3)(x − 5)

Estudando o sinal da funcao −x2 + 1

x2 − 2x − 15

Portanto o domınio da funcao f e o conjunto

{x ∈ R : −3 < x ≤ −1 ou 1 ≤ x < 5} =] − 3, −1] ∪ [1, 5[

5. Encontre, em cada caso, f ◦ g ◦ h e determine seu domınio.

(a) f (x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x − 1;

g ◦ h(x) = g [h(x)] = 2h(x) = 2(x − 1) = 2x − 2

f ◦ g ◦ h(x) = f [g ◦ h(x)] = g ◦ h(x) + 1 = 2x − 2 + 1 = 2x − 1

Como f , g e h sao funcoes polinomicas, temos que D(f ◦ g ◦ h) = R.

(b) f (x) =√

x − 1, g(x) = x2 + 2, h(x) =√

x + 3. observe que a funcao h so estadefinida para x

≥ −3. Portanto a funcao f

◦g

◦h tambem tem esta restricao

no domınio.g ◦ h(x) = (

√ x + 3)2 + 2 = x + 5

f ◦ g ◦ h(x) = f [g ◦ h(x)] =

g ◦ h(x) − 1 = x + 5 − 1 = x + 4

Temos mais uma restricao no domınio que e g ◦ h(x) ≥ 1, isto e x + 5 ≥ 1 oux ≥ −4 Fazendo a interseccao das restricoes temos que D(f ◦ g ◦ h) = {x ∈R : x ≥ −3}.

6. Expresse as seguintes funcoes na forma f ◦ g

(a) F (x) = (x2 + 1)8; f (x) = x8, g(x) = x2 + 1.

(b) G(x) = x2

x2 + 3; f (x) =

x

x + 3, g(x) = x2.

(c) H (x) = sen(√

x); f (x) = sen x, g(x) = √

x.

(d) J (t) = tg t

1 + tg t; g(t) = tg t, f (t) =

t

1 + t.



7. (a) Determine a funcao inversa de

f (x) =

x2

− 9, se x ≥ 02x − 9, se x < 0

Seja y = x2 − 9. Se x ≥ 0 ,entao y ≥ −9. Isolando x, temos x = √

y + 9, paray ≥ −9.

Seja y = 2x − 9. Se x < 0, entao y < −9. Isolando x, temos x = y + 9

2 , para

y < −9.Potanto temos que

f

−1

(x) =

√ x + 9, se x

≥ −9

x+92 , se x < −9

(b) Esboce os graficos de f e f −1

8. Diga, justificando suas respostas, se cada uma das funcoes abaixo e par, ımpar ouse nenhum dos dois:

(a) f (x) = x4

4 − 3x2

f (−x) = (−x)4

4 − 3(−x)2 =

x4

4 − 3x2 = f (x), ∀ x ∈ R

Portanto a funcao f e par.



(b) g(x) = 2sen(3x)

x4

g(−x) = 2sen [3(−x)]

(−x)4 =

−2sen (3x)

x4 = −g(x)

Portanto a funcao g e ımpar.

(c) h(x) = x2 − cos(x)

h(−x) = (−x)2 − cos(−x) == x2 − cos(x) = h(x)

Portanto a funcao h(x) e par.

(d) j(x) = x−3

j(−x) = (−x)−3 = 1

(−x)3 =

1

−x3 =

−1

x3 = −x−3 = − j(x)

Portanto a funcao j(x) e ımpar.



9. Resolva as seguintes equacoes:

(a) senx = senπ

5

π/5 e a medida de um angulo que esta representado no primeiro quadrante dociclo trigonometrico. Observando figura acima, vemos que tem tambem umangulo no segundo quadrante com o mesmo valor de seno, o angulo de medida4

5π. Como o seno e uma funcao periodica, de periodo 2π, temos que o conjunto

solucao da equacao e

S =

x ∈ R : x =

π

5 + 2kπ ou x =

4

5π + 2kπ, com k ∈ Z

.

Isto e, toda vez que partirmos de π

5 e dermos k voltas completas ao circulo,

teremos mais uma solucao. O mesmo para 4π

5

(b) cos x = 0; Neste caso a solucao e mais simples. O cosseno de x e zero sex = 0 + 2kπ ou se x = π + 2kπ. Resumindo

S = {x ∈ R : x = kπ, com k ∈ Z}.

(c) senx = 1/2;

Similar ao item (a) sabendo que sen π

6 =

1

2, temos

S =

x ∈ R : x =

π

6 + 2kπ ou x =

5

6π + 2kπ, com k ∈ Z

.



(d) sen2x = 1, portanto sen x = ±1. Como sen π

2 = 1 e sen 3π

2 = −1, temos

S =

x ∈ R : x = (2k + 1) π2

, com k ∈ Z .

(e) 3tan x = 2 cos x

3tan x = 2 cos x ⇔ 3sen x

cos x = 2 cos x ⇔ 3sen x = 2 cos2 x ⇔

⇔ 3sen x = 2(1 − sen 2x) ⇔ 2sen 2x + 3sen x − 2 = 0

Resolvemos entao a equacao 2y2+3y−2 = 0 e obtemos as raizes 1

3 e −4

3 . Temos

as solucoes sao valores de x tais que sen x = 1/3, pois nao existem valores dex tais que sen x = −4/3 < −1. Logo

S = {x ∈ R : sen x = 1/3}



10. Suponha que seja dado o grafico de uma funcao f . Escreva as equacoes para osgraficos obtidos a partir do grafico de f , da seguinte forma:

(a) desloque o grafico 3 unidades para cima: y = f (x) + 3.

(b) desloque o grafico 3 unidades para baixo: y = f (x) − 3.

(c) desloque o grafico 3 unidades para a direita: y = f (x − 3).

(d) desloque o grafico 3 unidades para a esquerda: y = f (x + 3).

(e) faca uma reflexao em torno do eixo x: y = −f (x).

(f) faca uma reflexao em torno do eixo y: y = f (−x).

(g) estique verticalmente por um fator de 3: y = 3f (x).

(h) encolha verticalmente por um fator de 3: y = 1

3f (x).

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