gabarito_2_reof_2015.pdf
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 3100 – MECÂNICA I – Segunda Prova – 15 de maio de 2015
Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 1ª Questão (4,0 pontos) No sistema mostrado na figura, o disco de centro fixo O tem raio R e
vetor de rotação krr ωω = , constante. O disco rola sem escorregar em
relação à barra DE, que tem liberdade para mover-se horizontalmente. A barra BC tem comprimento L, está articulada em B e desliza no ponto C, mantendo contato com a superfície vertical. Para o instante considerado, pede-se: a) a velocidade do ponto B. b) os centros instantâneos de rotação (CIR) do disco e da barra BC. c) o vetor de rotação da barra BC. d) a aceleração do ponto A pertencente ao disco e A’ pertencente à
barra DE. 2ª Questão (4,0 pontos) No sistema mostrado na figura, a peça AOBC, com
LOC = , gira em torno do eixo AB com velocidade angular j
rΩ constante, transportando em sua extremidade
C um disco de raio R que gira com velocidade angular ir
ω− (ω constante) em relação a AOB. Usando os
versores kjirrr
,, , da base solidária ao referencial móvel AOBC, e sabendo que no instante considerado a posição do ponto P do disco é dada por jRCP
r=− )( , determinar:
(a) as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P ;
(b) as acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P ; (c) o vetor rotação absoluta do disco; (d) a aceleração rotacional absoluta do disco. 3ª Questão (2,0 pontos) Um ponto M percorre a curva descrita por
( )( )
=⋅+=⋅+=
θθθθθ
z
ay
ax
sincos1
coscos1
de acordo com a lei horária 2
t=θ . Pede-se determinar, no instante 2
π=t :
(a) a velocidade de M ; (b) a aceleração de M ; (c) os versores bn
rrr,,τ do triedro de Frenet em M .
ir
jr
kr
Ωr
ωr C
A
B
O
x
y z
P
A
ir
jr
B
C
O
ω
D E
θ
A’
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
1ª Questão (4,0 pontos) No sistema mostrado na figura, o disco de centro fixo O tem raio R e
vetor de rotação krr ωω = , constante. O disco rola sem escorregar em
relação à barra DE, que tem liberdade para mover-se horizontalmente. A barra BC tem comprimento L, está articulada em B e desliza no ponto C, mantendo contato com a superfície vertical. Para o instante considerado, pede-se: a) a velocidade do ponto B. b) os centros instantâneos de rotação (CIR) do disco e da barra BC. c) o vetor de rotação da barra BC. d) a aceleração do ponto A pertencente ao disco e A’ pertencente à
barra DE. A barra DE apenas se translada, assim:
( ) ( )⇒−∧+=−∧+== jRkOAkvvv OAB
rrrrrrr ωω 0 iRvB
rr ω=
O disco tem centro fixo O que portanto é o seu centro de rotação. CIR da barra BC pode ser obtido graficamente como ilustrado.
Resulta em ( ) jLsenBCIRBC
rθ=−
Sendo assim podemos escrever:
( ) ( ) ⇒=−∧=⇒−∧= iLsenjLsenkirCIRBkv BCBCBCBCB
rrrrrr θωθωωω ωθ
ωLsen
RBC =
kLsen
RBC
rr ωθ
ω =
Podemos escrever para o disco:
( ) ( )[ ]OAkkOAkaa OA −∧∧+−∧+=rrr
&rr 2ωω
Sendo O fixo e ω constante, obtêm-se: 0rr =Oa e 0=ω& .
Resulta:
( )[ ] ⇒−∧∧++= jRkkaA
rrrrrr 200 ω jRaA
rr 2ω= Temos iRvv BA
rrr ω==′ , pois a barra DE apenas se translada e sendo ω constante resulta
==′ BA vvrr
constante.
Sendo assim 0rr =′Aa .
A
ir
jr
B
C
O
ω
D E
θ
A’
A
ir
jr
B
C
O
ω
D E
θ
A’
CIRBC
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Departamento de Engenharia Mecânica
2ª Questão (4,0 pontos) No sistema mostrado na figura, a peça AOBC, com
LOC = , gira em torno do eixo AB com velocidade angular j
rΩ constante, transportando em sua extremidade
C um disco de raio R que gira com velocidade angular ir
ω− (ω constante) em relação a AOB. Usando os
versores kjirrr
,, , da base solidária ao referencial móvel AOBC, e sabendo que no instante considerado a posição do ponto P do disco é dada por jRCP
r=− )( , determinar:
(e) as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P ;
(f) as acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P ; (g) o vetor rotação absoluta do disco; (h) a aceleração rotacional absoluta do disco.
No movimento relativo: ( ) ( )⇒∧−=−∧−= jRiCPivv relCrelP
rrrrrr ωω 0,, kRv relP
rr ω=,
No movimento de arrastamento: ( ) ( )⇒+∧Ω+=−∧Ω+= jRiLjOPjvv OarrP
rrrrrrr0, kLv arrP
rr Ω−=,
A velocidade absoluta resulta em: ⇒+= relParrPP vvv ,,
rrr ( )kLRvP
rr Ω−= ω
No movimento relativo:
( ) ( )[ ] ⇒−+=−∧∧+−∧+= jRCPiiCPiaa relCrelP
rrrrrr&
rr 22,, 00 ωωω jRa relP
rr 2, ω−=
No movimento de arrastamento:
( ) ( )[ ] ⇒Ω−+=−∧∧Ω+−∧Ω+= iLOPjjOPjaa OarrP
rrrrrr&
rr 22, 00 iLa arrP
rr 2, Ω−=
A aceleração de Coriolis: ⇒∧Ω=∧= kRjva relParrcorP
rrrrr ωω 22 ,, iRa corP
rr ωΩ= 2,
O vetor de rotação absoluto do disco: ⇒+= relarrabs ωωω rrrijabs
rrr ωω −Ω=
A aceleração rotacional absoluta do disco:
( )⇒−∧Ω++=∧++= ijrelarrrelarrabs
rrrrrr&r&r&r ωωωωωω 00 kabs
r&r ωω Ω=
ir
jr
kr
Ωr
ωr C
A
B
O
x
y z
P
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Departamento de Engenharia Mecânica
3ª Questão (2,0 pontos) Um ponto M percorre a curva descrita por
( )( )
=⋅+=⋅+=
θθθθθ
z
ay
ax
sincos1
coscos1
de acordo com a lei horária 2
t=θ . Pede-se determinar, no instante 2
π=t :
(d) a velocidade de M ; (e) a aceleração de M ; (f) os versores bn
rrr,,τ do triedro de Frenet em M .
A velocidade de M em qualquer instante, é dada por:
dt
dk
d
dzj
d
dyi
d
dx
dt
d
d
rd
dt
rdv
θθθθ
θθ
⋅
++=⋅==rrr
rrr
,
em que
( ) θθθθθθ
2sinsincossin2sin aaaad
dx −−=−+−=
( ) θθθθθθθθ
2coscoscoscossinsincos aaaaad
dy −=+−+=
1=θd
dz
2
1=dt
dθ
Resulta, portanto:
( ) ( ) kjaa
ia
vrrrr
+−++−= θθθθ 2coscos2
2sinsin2
No instante 2
π=t , 4
πθ = e a velocidade de M é:
kjaa
ia
tvrrrr
+
−+
+−=
=2
cos4
cos22
sin4
sin22
πππππ
kaia
tvrrr
2
1
4
2
2
21
22++
+−=
=∴ π
A aceleração de M em qualquer instante, é:
dt
dk
d
dvj
d
dvi
d
dv
dt
d
d
vd
dt
vd zyx θθθθ
θθ
γ ⋅
++=⋅==
rrrrr
r,
em que
( )θθθ
2cos2cos2
−−= a
d
dvx
( )θθθ
2sin2sin2
+−= a
d
dvy
0=θd
dvz
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Departamento de Engenharia Mecânica
Resulta, portanto:
( ) ( )[ ]jia rrr θθθθγ 2sin2sin2cos2cos4
+−++−=
No instante 2
π=t , 4
πθ = e a aceleração de M é:
+−+
+−=
ji
a rrr
2sin2
4sin
2cos2
4cos
44
πππππγ
−+−=
∴ jia rrr
2
22
2
2
44
πγ
No instante 2
π=t , o versor tangente do triedro de Frenet, é dado por:
( ) ( )( ) 222
2
1
4
2
2
21
2
2
1
4
2
2
21
2
2
22
+
+
+−
++
+−
==
aa
kaia
v
v
rr
rr
πππτ
Nesse mesmo instante, o versor binormal é dado por:
( ) ( ) ( )( ) ( )
−+−∧
++
+−
−+−∧
++
+−
=∧∧
=
jia
kaia
jia
kaia
v
vb
rrrr
rrrr
rr
rrr
2
22
2
2
42
1
4
2
2
21
2
2
22
2
2
42
1
4
2
2
21
2
22
222
πγππγππ
Conseqüentemente, o versor normal, nesse instante, é: ( ) ( ) ( )222 πτππ rrr
∧= bn