gabarito_2_2013
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7/17/2019 Gabarito_2_2013
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2100 - Mecânica A - Segunda Prova – 15 de outubro de 2013
Duração: 100 minutosOBS. Não é permitido o uso de dispositivos eletrônicos, como calculadoras, tablets e celulares
QUESTÃO 1 (2,5 pontos). Sabendo que os pontos A(1,0,0) , B(0,1,1) e C(-1,0,1) possuem,
respectivamente, velocidades jv A
rr3= , k iv B
rrr2+−= e k jivC
rrrr22 +−=
(a) verifique que os pontos A e B podem pertencer a um mesmo corpo rígido;
(b) supondo que os pontos A, B e C pertençam ao mesmo corpo rígido, determine o seu vetor
rotação.
Resolução
(a)
Condição necessária:
( ) ( ) A Bv A Bv B A −⋅=−⋅rr
(0,5)
Substituindo os valores obtém-se:
21323 +=⇒++−⋅+−=++−⋅ k jik ik ji jrrrrrrrrr
A∴ e B podem pertencer a um mesmo corpo
rígido (0,5)
(b) Eq. fundamental da cinemática do sólido para
A e B:
( ) k jik ji j A Bvv z y x A B
rrrrrrrrrr++−∧+++=−∧+= ω ω ω ω 3
k jik ji jk i z y x
rrrrrrrrr++−∧+++=+−⇒ ω ω ω 32
i jik jk jk i z z y y x x
rrrrrrrrrω ω ω ω ω ω −−++−+=+−⇒ 32
( ) ( ) ( )k jik i y x z x z y
rrrrrω ω ω ω ω ω ++−−+−=+−⇒ 32
=+
=+
−=−
))2()1(.(2)2(3
)1(1
ecom LDeq y x
z x
z y
ω ω ω ω
ω ω
(0,5)
Eq. fundamental da cinemática do sólido para A e
C:
( ) k ik ji j AC vv z y x AC
rrrrrrrrr+−∧+++=−∧+= 23 ω ω ω ω
jik j jk ji z y y x
rrrrrrrrω ω ω ω 22322 −++−=+−⇒
( ) k jik ji y z x y
rrrrrrω ω ω ω 22322 +−−+=+−⇒
=
=+
=
)3(1
52
1
y
z x
y
ω
ω ω
ω
(0,5)
Resolvendo-se o sistema de equações (1), (2) e (3)
acima, obtém-se, finalmente:
k jirrrr
2++=ω (0,5)
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica
(0,5)
QUESTÃO 2 (3,5 pontos). O mecanismo da figura ao lado é composto
pelas barras AB e BC , de mesmo comprimento a , articuladas entre si pormeio de um pino B . A extremidade A da barra AB é vinculada a uma
articulação fixa e a extremidade C da barra BC é ligada a um bloco que se
move ao longo de uma guia vertical. Sabendo que a barra AB gira com
velocidade angular e aceleração angular ω & , determine:
(a) o centro instantâneo de rotação da barra BC ;
(b) a velocidade Bvr
e a aceleração Bar
do ponto B;
(c) a velocidade angular BC ω da barra BC e a velocidade do ponto C;
(d) a aceleração angular BC ω & da barra BC e a aceleração do ponto C.
Resolução
(a)
(0,5)
θ sin2a AC yC =−=
θ θ cos2cos2 a A B xC =−=
( ) jaia ACIR BC
rrθ θ sin2cos2 +=−⇒
(b) AB B∈
( ) ( ) jaiak A Bk vv A B
rrrrrrrθ θ ω ω sincos0 +∧+=−∧+=
jaiav B
rrrθ ω θ ω cossin +−=⇒ (0,5)
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] jaiak k jaiak
A Bk k A Bk aa A Brrrrrrr
&r
rrr&
rr
θ θ ω ω θ θ ω
ω ω ω
sincossincos0 +∧∧++∧+=
−∧∧+−∧+=
( ) jiak jaiaa B
rrrr&
r&
rθ θ ω ω θ ω θ ω cossincossin +−∧++−=⇒
( )[ ] jia jaiaa B
rrr&
r&
rθ θ ω θ ω θ ω sincoscossin 2
+−+−=⇒
jaiaa B
r&
r&
rθ ω θ ω θ ω θ ω sincoscossin 22
−++−=⇒
(0,5)
(c) Eq. fundamental da cinem. do sólido: BC B∈ e
BC CIR I BC asolidário plano I ≡∈ , :
( ) ( ) jaiak I Bk vv BC BC I B
rrrrrrrθ θ ω ω sincos0 −−∧+=−∧+=
( ) ( ) jaiak jia BC
rrrrrθ θ ω θ θ ω sincoscossin −−∧=+−⇒
( ) ( ) jia jia BC
rrrrθ θ ω θ θ ω cossincossin −=+−⇒
ω ω θ ω θ ω
θ ω θ ω −=⇒
−=
=−
BC
BC
BC
aa
aa
coscos
sinsin (0,5)
Eq. fundamental da cinem. do sólido: BC B∈ e
BC C ∈ , ou seja:
( )
( ) ( ) jaiak jia
BC k vv BC BC rrrrr
rrr
θ θ ω θ θ ω
ω
sincoscossin +−∧−+−=
−∧+=
( ) ( ) jia jiavC
rrrrrθ θ ω θ θ ω cossincossin +++−=⇒
javC
rrθ ω cos2=⇒ (0,5)
(d) aceleração angular da barra BC:
ω ω
ω && −==
dt
d BC BC (0,5)
aceleração do ponto BC C ∈ :
( ) ( )[ ]( ) ( )
( ) ( )[ ] jiak k jiak
jaiaa
BC k k BC k aa
C
BC BC BC BC
rrrrrr&
r&
r&
r
rrr&
rr
θ θ ω ω θ θ ω
θ ω θ ω θ ω θ ω
ω ω ω
sincossincos
sincoscossin 22
+−∧−∧−+−∧−
−++−=
−∧∧+−∧+=
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )
( ) jaa
jia jia
jaiaa
jiak jia
jaiaa
C
C
C
r&
r
rrrr&
r&
r&
r
rrrrr&
r&
r&
r
θ ω θ ω
θ θ ω θ θ ω
θ ω θ ω θ ω θ ω
θ θ ω ω θ θ ω
θ ω θ ω θ ω θ ω
sincos2
sincoscossin
sincoscossin
cossincossin
sincoscossin
2
2
22
22
−=
−++++
−++−=
+∧−++
−++−=
A
ir
jr
B
C
C vr
Bvr
I CIR ≡
A
ir
jr
B
C
θ
ω ω &,
a
a
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica
QUESTÃO 3 (4,0 pontos). O disco de centro M e raio R, conectado a um eixo vertical, gira com
velocidade angularω
2 constante, em torno do eixo apoiado nos mancais C e G, que estão ligados aoaro quadrado OBDEFH, o qual, por sua vez, gira com velocidade angular 1 constante em torno do
eixo Oy, apoiado sobre os mancais A e A’ fixos. O ponto P do disco está alinhado com os pontos A
e A’. O sistema de eixos Oxyz é solidário ao aro quadrado OBDEFH que é o referencial móvel.
Pede-se determinar:
(a) as velocidades relativa elvPr
r, de
arrastamento Parr vr
e absoluta Pvr
do ponto
P do disco;
(b) as acelerações relativa elaPr
r, de
arrastamento Parr ar
, complementar Pcar
e
absoluta Par do ponto P do disco;
(c) o vetor rotação absoluta ω r
do disco;
(d) o vetor aceleração angular absoluta ω &r
do
disco;
(e) a equação da reta correspondente ao eixo
helicoidal instantâneo do disco.
Obs.: jrr
11 ω ω = e k rr
22 ω ω =
Resolução
(a) (1,0) ( ) i R j Rk M Pk v el
rrrrr222Pr ω ω ω −=∧=−∧=
0rr =Parr v
A velocidade absoluta de P, é:
i Rvvv elParr P
rrrr2Pr ω −=+=
(b) (1,5)
( ) j R j Rk k M Pk k a el
rrrrrrr 222222Pr ω ω ω ω ω −=∧∧=−∧∧=
0rr
=Parr a
( ) k Ri R jva elarr Pc
rrrrrr2121Pr 222 ω ω ω ω ω =−∧=∧=
Portanto, a aceleração absoluta do ponto P, é:
k R j Ra P
rrr212
2 2 ω ω ω +−=
(c) (0,5)
O vetor rotação absoluta do disco é dado por:
k jrrrrr
2121 ω ω ω ω ω +=+=
(d) (0.5)
O vetor aceleração angular absoluta do disco édado por:
ik jrrrrr&r&r&r
21212121 ω ω ω ω ω ω ω ω ω =∧=∧++= (e) (0.5)
O ponto M do disco tem velocidade nula; o
eixo helicoidal instantâneo passa por M e está
alinhado com o versor ω ω rr
, da direção do
vetor rotação absoluta.
Portanto, os pontos E do disco que têm
velocidade mínima (no caso, nula), são dados
por:
ω
ω λ r
r
+= M E
z
G
x
y
a
a
A O
B C D
FH
E A’M
1ω r
2ω r
P