gabarito_2_2012

ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, n 2231 CEP 05508-970, So Paulo, SP Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886

Departamento de Engenharia Mecnica

PME 2100 MECNICA A Segunda Prova 16 de outubro de 2012

Gabarito

QUESTO 1 (3,5 pontos) No instante mostrado na figura, a posio do cubo de aresta L tal que OD paralelo a i

r, ON

paralelo a jr e OE paralelo a kr

. Nesse mesmo instante so conhecidas as velocidades dos vrtices D, E e N (ver quadro ao lado da figura). Os versores ir , jr , k

r so fixos.

Para o instante mostrado na figura: a) Usando somente a propriedade fundamental da cinemtica do corpo rgido, determine a velocidade Ov

r do ponto O.

b) Determine o vetor de rotao r do cubo. c) Localize graficamente o eixo helicoidal instantneo e diga qual o ato de movimento do cubo.

Soluo:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0=+=++= OxOzOyOxDO viLkvjviLkvjvivODvODv rrrrrrrrr ( ) ( ) ( ) ( ) 0=+=++= OyOzOyOxNO vjLkvivjLkvjvivONvONv rrrrrrrrr ( ) ( ) ( ) ( ) 0=+=++= OzOzOyOxEO vkLjvivkLkvjvivOEvOEv rrrrrrrrr

Portanto: 0rr

=Ov (1,0)

b) ( ) ( ) ( ) jLkLkvjviLkjikvjvODvv zyzyxOD rrrrrrrrrrrrrr +=+++=++= 0

Portanto:

Lv

y = (0,5)

Lv

z =

( ) ( )LvivkLkvivjLk

Lvj

LvikvivONvv xxxON ==+

+++=++=

rrrrrrrrrrrrrr 0 (0,5)

Resultando em: ( )kjiLv rrrr

++= (0,5)

c) Como a velocidade do ponto O nula nesse instante, ele pertence ao eixo helicoidal instantneo. Como esse eixo paralelo ao vetor de rotao, observa-se que o eixo helicoidal instantneo passa pelos pontos O e B (reta azul desenhada na figura). Observa-se tambm que o cubo tem ato de movimento de rotao. (0,5 - localizao grfica)

+ (0,5 - ato de movimento)

kvjvvDrrr

+=

jvivvErrr

+=

kvivvNrrr

+=

A B

E H L

C D

N O

Evr

Dvr

Nvr

ir

jr

kr



QUESTO 2 (3,5 pontos) A figura mostra um disco de centro C e raio R entre duas placas paralelas entre si. A placa H translada com velocidade ivvH

rr= , constante, e a placa E

translada com velocidade ivvErr 3= , constante.

No h escorregamento entre o disco e as placas nos pontos de contato A e B. a) Determine a posio do Centro Instantneo de Rotao (CIR) do disco, e calcule o vetor de rotao r do disco. b) Localize graficamente um ponto P da periferia do disco, esquerda do segmento AB, cuja velocidade Pv

r na direo jr . Calcule a

velocidade Pvr

.

c) Calcule as aceleraes Car

do ponto C e Par

do ponto P.

Soluo:

a) Sejam os pontos C(0,0), A(0,R), B(-R,0). Graficamente, a abscissa do CIR x=0. Seja b a ordenada do CIR

)2()(3)(03)(

)1()()(0)(

ibRivjbRkivCIRBvv

ibRivjbRkivCIRAvv

CIRB

CIRA

rr

rrrrrrr

rr

rrrrrrr

+=

+=+=

=

+=+=

De (1) e (2),

kRv

RvRRbRv

RbbRbR

v

v

rr 22)2/()(

2)()(

3

====

=+

=

kRv

RvRRbRvRb

bRbR

v

v rr 22)2/()(;2)(

)(3

=====+

=

v

3v

ir

jr

C

B

A

P CIR

vP

v

3v

ir

jr

C

B

A Placa H

Placa E

R

(0,5)



Portanto:

2;0 RCIR

e kRv rr 2

=

(0,5) (0,5)

b) Seja P(-a,b) o ponto procurado, indicado na figura,

( )

==

==+=

2;

23

23:

2)(20)(

22

22 RRPRaRaCAP

jRvajviak

RvjvCIRPvv

R

PPCIRP

rrrrrrrrr

(0,5)

jvvPrr 3=

(0,5)

c) ivvjRk

RvivvACvv CCAC

rrrrrrrrr==+= )(2)(

= CC va&rr 0

rr=Ca (0,5)

[ ]

+=++= jRiRk

Rvk

RvCPCPaa CP

rrrrrr&rrr

22322)()(

( )jiRv

aPrrr

= 322

(0,5)



QUESTO 3 (3,0 pontos) No mecanismo mostrado na figura, o segmento OA fixo, e a barra OC, de comprimento L e perpendicular a OA , possui vetor de rotao k

rr

11 =

(constante) em relao a um referencial fixo no solo. O disco, de centro C e raio R, contido no plano Oyz, possui um vetor de rotao i

rr

22 = em relao barra OC, sendo 2 constante. O sistema de coordenadas Oxyz fixo na barra OC. Considerando a barra OC como referencial mvel, e o instante mostrado na figura, quando CP paralelo ao eixo Oz, determine: a) as velocidades relativa ( relPv ,

r ), de arrastamento ( arrPv ,r ) e

absoluta ( absPv ,r ) do ponto P.

b) as aceleraes relativa ( relPa ,r ), de arrastamento ( arrPa ,

r ) e absoluta ( absPa ,

r ) do ponto P. c) o vetor de rotao absoluto ( absD,

r ) e o vetor acelerao angular absoluto ( absD,

r ) do disco.

Soluo:

a) +=+= kRiCPvv relrelCrelP

rrrrrr2,, 0)( jRv relP

rr2, =

( )++=+= kRjLkOPvv arrOarrP rrrrrrr 1, 0)( iLv arrP rr 1, = arrPrelPabsP vvv ,,,

rrr+=

jRiLv absPrrr

21, = (0,5)

b) [ ])()(

,,CPCPaa relrelrelrelCrelP ++=

rrrrr

[ ]++= kRiia relP rrrrrr 22, 00 kRa relP rr 22, = [ ])()(

,OPOPaa arrarrarrOarrP ++=

rrrrr

[ ]+++= )(00 11, kRjLkka aP rrrrrrr jLa aP rr 21, = CorParrPrelPabsP aaaa ,,,,

rrrr++=

( )== jRkva relParrCorP rrrrr 21,, 22 iRa CorP rr 21, 2 = (0,5) kRjLiRa absP

rrrr 22

2121, 2 =

c) += arrDrelDabsD ,,,

rrr ikabsDrrr

21, += (0,5)

++=++= ikrelDarrDarrDrelDabsDrrrrrrrrr

21,,,,, 00 jabsDrr

21, = (0,5)

A

O x y

z

P

2

1

L

R

C

(0,5)

(0,5)

gabarito_2_2012

Documents