fuvest 2004

FOLHA DIRIGIDA ONLINE - Caderno do Vestibular nº 01 - Matemática

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A Fuvest atrai milhares de estu-dantes de todo o país. O motivo

é a oferta de vagas para a Universidade de São Paulo(USP). Outras instituições também oferecem vagas noconcurso. Fazer as questões de Matemática da Fuvest2004 é um bom exercício:

Um reservatório, com 40 litros de capacidade, jácontém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool com18% de álcool.

Deseja-se completar o tanque com uma nova mis-tura gasolina/álcool de modo que a mistura resultantetenha 20% de álcool.

A porcentagem de álcool nessa nova mistura deveser de:

a) 20%b) 22%c) 24%d) 26%e) 28%

RESOLUÇÃO• Mistura inicial: 18% de 30L = 5,4L de álcool• Mistura resultante: 20% de 40L = 8L de álcoolLogo, os 10L da mistura a ser adicionada devem

conter 2,6L de álcool.Portanto, a porcentagem de álcool nessa mistura

deve ser de , isto é, 26%.

Resposta: D

Um estacionamento cobra R$6,00 pela primeira horade uso, R$3,00 por hora adicional e tem uma despesadiária de R$320,00.

Considere-se um dia em que sejam cobradas, nototal, 80 horas de estacionamento. O número mínimode usuários necessário para que o estacionamento ob-tenha lucro nesse dia é:

a) 25b) 26c) 27d) 28e) 29

RESOLUÇÃOSendo: x = nº de primeiras horas

y = nº de horas adicionaisR = receita diária

Então:x + y = 80 ∴ y = 80 – x (I)R = 6x + 3y (II)

substituindo-se (I) em (II):R = 6x + 3(80 – x) ∴ R = 3x + 240

Questão 1

Questão 2

Para que o estacionamento obtenha lucro, deve-mos ter:

R > 320 ∴ 3x + 240 > 320 ∴ x > 26,66... (III)Como o número de usuários é igual ao número de

primeiras horas, temos que o menor natural x que sa-tisfaz III é 27.

Resposta: C

Questão 3Em uma semi-circunferência de centro C e raio R,

inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o pontoonde a bissetriz do ângulo ACB intercepta a semi-cir-cunferência. O comprimento da corda AD é:

ˆ—

RESOLUÇÃODo enunciado, temos a figura:

Aplicando o teorema dos co-senos no triânguloACD, temos:

Resposta: A

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Questão 4Um lateral L faz um lan-

çamento para um atacanteA, situado 32m à sua fren-te em uma linha paralela àlateral do campo de fute-bol. A bola, entretanto, se-gue uma trajetória retilínea,mas não paralela à lateral equando passa pela linha demeio do campo está a umadistância de 12m da linhaque une o lateral ao atacan-te. Sabendo-se que a linhade meio do campo está à mesma distância dos doisjogadores, a distância mínima que o atacante terá quepercorrer para encontrar a trajetória da bola será de:

a) 18,8mb) 19,2mc) 19,6md) 20me) 20,4m

RESOLUÇÃODo enunciado, temos a figura, na qual a distância

pedida mede AP.

Aplicando-se o teorema de Pitágoras no triânguloLMH, temos:

Como os triângulos LAP e LHM são semelhantes,resulta que:

Resposta: B

Das alternativas abaixo, a que melhor correspondeao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é:

Questão 5

RESOLUÇÃOA função dada por y = 2–x, com x ≥ 0, é decrescen-

te, positiva e menor ou igual a 1.

Temos então a seqüência de gráficos:

Resposta: C

Um número racional r tem representação decimal daforma r = a1a2, a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤ 9, 0 ≤ a3 ≤ 9.

Supondo-se que:• a parte inteira de r é o quádruplo de a3,• a1, a2, a3 estão em progressão aritmética,• a2 é divisível por 3,então a3 vale:a) 1b) 3c) 4d) 6e) 9

RESOLUÇÃO:Do enunciado, temos:10a1 + a2 = 4a3 ea3 = 2a2 . a1, pois (a1, a2, a3) e uma P. A.Logo, 10a1 + a2 = 4(2a2 . a1), ou seja,14a1 = 7a2, ou ainda,a2 = 2a1 ∴ a2 ∈ {2, 4, 6, 8}.Como a2 e divisível por 3, podemos concluir que a2 = 6.Portanto, a1 = 3.De a3 = 2a2 . a1, temos a3 = 9.

Resposta: E

Se x é um número real, x > 2 e log2(x – 2) – log4x= 1, então o valor de x é:

Questão 6

Questão 7

Resolução:Com x > 2, temos:

Resposta: D

Uma matriz real A é ortogonal se AAt = I, onde Iindica a matriz identidade e At indica a transposta de A.

Se é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:

Resolução:Do enunciado:

Questão 8

Duas irmãs receberam como herança um terrenona forma do quadrilátero ABCD, representado abaixoem um sistema de coordenadas. Elas pretendem divi-di-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao ladoAB e passando pelo ponto P = (a, 0).

O valor de a para que se obtenham dois lotes demesma área é:

Resolução:Do enunciado, temos a figura:

A área S1 do quadrilátero AHCD é:

A área S2 do triângulo CHB é:

Questão 9Resposta: E

Se a cerca retaperpendicular ao ladoAB divide ABCD emdois lotes de áreasiguais, então a cercareta está à direita doponto C e origina doislotes de área 4 cadaum, conforme a figu-ra:

A área do triân-gulo isósceles EPB é4.

Logo:

Resposta: B

Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de doistipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas apartir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a,soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilus-trado abaixo.

Questão 10


5

Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo Ae B, respectivamente, tem-se:

a) VA = 2VBb) VB = 2VAc) VA = VBd) VA = 4VBe) VB = 4VA

Resolução:Do enunciado, temos a figura:Devemos ter:

Resposta: A

A pirâmide de base retangular ABCD e vértice Erepresentada na figura tem volume 4. Se M é o pon-to médio da aresta AB e V é o ponto médio da arestaEC, então o volume da pirâmide de base AMCD evértice V é:

a) 1b) 1,5c) 2d) 2,5e) 3

Resolução:Do enunciado, temos a figura:

Sendo S a área do retângulo ABCD, então a área do

quadrilátero AMCD é Na figura, onde H é a

altura da pirâmide de base ABCD e h é a altura da pirâ-mide de base AMCD, VQ é base média do triângulo

EPC. Logo,

Resposta: B

Três empresas devem ser contratadas para realizarquatro trabalhos distintos em um condomínio. Cadatrabalho será atribuído a uma única empresa e todaselas devem ser contratadas. De quantas maneiras dis-tintas podem ser distribuídos os trabalhos?

a) 12b) 18c) 36d) 72e) 108

Questão 11

Questão 12


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Resolução:Uma das empresas necessariamente ficará com 2

trabalhos. Podemos efetuar a escolha desse bloco de 2trabalhos de C4,2 modos.

Esse bloco de 2 trabalhos junto com os dois traba-lhos restantes podem ser distribuídos às 3 empresasde 3! maneiras.

Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem:

Resposta: C

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