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1Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE

Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias



Nos programas de simulação existe um GNA e inúmeras outras funções matemáticas descritas como Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias ou FGVA’s. Para cada tipo de distribuição teórica de probabilidades existe um FGVA apropriada.

Para usá-las num programa de simulação basta invocar o nome da função desejada e fornecer os parâmetros necessários.



Fornece o parâmetro (10) para a FGVA

EXPOTEC= EXPO (10)

Modelo Computacional

Invoca a FGVA

Argumentos:NA[0;1] +Média (10)

GNA fornece

NA

Retorna o valor de TEC

TEC = 7,45823

Figura 2.5: Troca de dados e informações entre o modelo computacional e as FGVA’s


Algoritmos para Geração de Variáveis Aleatórias

Distribuições Teóricas de Probabilidade


Geração de Variáveis Aleatórias

Métodos e procedimentos computacionais para a geração de variáveis aleatórias com características específicas de alguma das diversas distribuições teóricas de probabilidades.

A necessidade de tais variáveis:tempos entre chegadas;

tempos de serviço;

demandas por produtos, etc.


Métodos de Geração

Os métodos baseiam-se na prévia geração de um número aleatório R, uniformemente distribuído sobre o intervalo (0, 1).

x é expresso como uma função explícita de R..

Métodos básicos:Transformação Inversa;

Transformação Direta;

Convolução;

Aceitação/Rejeição;

Propriedades Especiais


Distribuição Geométrica

Uma variável com distribuição geométrica representa o número de falhas observadas em uma seqüência de provas do tipo Bernoulli, sua função densidade é:

p(x) = p(1 - p)x , x = 1, 2, ...

Pelo método da transformação inversa, obtém-se a seguinte relação:

ln( )ln( )

ln( )ln( )

11

11

−−

≤ <−−

Rp

xRp


Distribuição Geométrica

Para a obtenção de uma variável com distribuição geométrica, necessita-se do parâmetro (probabilidade de um sucesso) p.

Obtido tal elemento, os seguintes passos devem ser considerados:Gerar R;

Calcular x =

A função (arredondamento para o maior inteiro) atribui a xo maior inteiro que satisfaz a relação anterior.

ln( )ln( )

11−−

⎡

⎢⎢

⎤

⎥⎥

Rp⎡ ⎤

⎡ ⎤.


Exemplo

Gerar três valores de uma distribuição geométrica com p = 1/2.

Usando uma tabela de valores aleatórios, obtemos

R1 = 0,932; R2 = 0,105 e R3 = 0,687.

Primeiramente calcula-se o valor da constante 1/ln (1-p) = 1/ln (1-0,5) = -1,443.

Na seqüência, obtemos os valores dos xi’s a partir dos Ri’s .


Exemplo

Passo Valor de Ri e de xi 1 R1 = 0,932 2 x1 = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤-1,443 ln(1 - 0,932) = 3878, = 4 1 R2 = 0,105 2 x2 = ⎡ ⎤-1,443 ln(1 - 0,105) = 1 1 R3 = 0,687 2 x3 = ⎡ ⎤-1,443 ln(1 - 0,687) = 2


Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson se caracteriza pela seguinte função densidade de probabilidade:

a qual representa a probabilidade de ocorrência de xsucessos, num dado intervalo de tempo. Onde , é o valor esperado do número de ocorrências por unidade de tempo.

p x P X x ex

xx

( ) ( )!

= = = = >−λ λ λ 0,1,2, ..., 0

λ


Distribuição de Poisson

Geração de uma variável aleatória Poisson, considerando o método da Aceitação/Rejeição:

Fazer n = 0, e P =1;

Gerar um número aleatório Rn+1 e substituir P por P.Rn+1;

Se, , aceitar X = n, caso contrário, rejeitar n atual, fazer n = n +1, e retornar aos procedimentos no passo 2.

A idéia básica por traz do método da Aceitação/Rejeição, égerar um número aleatório e testar uma determinada condição de “aceitação”. Caso esta condição seja satisfeita, o valor gerado é aceito, caso contrário os passos são repetidos.

P e< −λ


Exemplo

Gerar três números, segundo uma distribuição de Poisson, com = 0,2.

Primeiramente, computamos o valor de .

Na seqüência, obtemos um conjunto de números aleatórios e iniciamos os procedimentos estabelecidos nos passos de 1 a 3 anteriormente firmados

λ

e e− −= =λ 0 2 08187, ,


Exemplo

Passo Geração de P, n e X1 n = 0, P = 12 R1 = 0,4357; P = 1.R1 = 0,43573 como P = 0,4357 < e-0,2 < 0,8187; aceitamos X = 01 - 3 R1 = 0,4146 nos leva a X = 01 n = 0, P = 12 R1 = 0,8353; P = 1.R1 = 0,83533 como P e≥ −λ ; rejeitamos n = 0 e retornamos ao

passo 2 com n = 12 R2 = 0,9952; P = P.R2 = 0,8353.0,9952 = 0,83133 como P e≥ −λ ; rejeitamos n = 1 e retornamos ao

passo 2 com n = 22 R3 = 0,8004; P = P.R3 = 0,8313. 0,8004 = 0,66543 como P = 0,6654< e-0,2 < 0,8187; aceitamos X = 2


Distribuição Empírica Discreta

Para gerar uma variável aleatória que tenha um comportamento semelhante ao determinado por distribuição empírica discreta conhecida, é necessário, inicialmente, determinarmos as freqüências relativas acumuladas da distribuição. Por exemplo:

Uma vez que tais informações estejam disponíveis, aplicamos o método da transformação inversa que, neste caso, torna-se um processo de pesquisa em uma tabela de valores, num procedimento muito semelhante ao que realizamos no capítulo 1, quando tratamos do método de Monte Carlo.

x p(x) F(x)0 0,50 0,501 0,30 0,802 0,20 1,00


Procedimentos

Os procedimentos de busca são facilitados pela construção de uma tabela para a geração dos valores de x:

Esquematizando os procedimentos:

1. Gerar R;2. Descobrir i, tal que ri-1 < R ri;3 Fazer X = xi.

i Entrada ri Saída xi

1 0,50 02 0,80 13 1,00 2

≤


Exemplo

Suponha uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades:

x p(x) F(x)2 0,45 0,453 0,35 0,805 0,20 1,00

Dados R1= 0,43; R2=0,61 e R3=0,83; gerar três valores para a variável X, que pertençam a esta distribuição.

R1= 0,43 < F(x=2) = 0,45; logo X=2;

F(x=2) = 0,45 < R2= 0,61 F(x=3) = 0,80 ; logo X=3;

F(x=3) = 0,80 < R3= 0,83 F(x=5) = 1,00 ; logo X=5;≤

≤


Distribuição Uniforme

Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme sobre um intervalo [a, b], se sua função densidade de probabilidade (fdp) édada por:

A técnica mais utilizada para a obtenção de uma variável aleatória uniformemente distribuída é a da transformação inversa. A fórmula é a seguinte:

Os parâmetros necessários para a obtenção de uma variável com distribuição uniforme são apenas os valores extremos do intervalo [a, b]. Uma vez definidos, os seguintes passos devem ser considerados:

Gerar R;Calcular

f xb a

a x b( ) =−

≤ ≤1

x a b a R= + −( )

x a b a R= + −( )


Exemplo

Gerar três valores de uma distribuição uniforme no intervalo [10, 50]. Usando os seguintes valores aleatórios R1 = 0,932; R2 = 0,105 e R3 = 0,687. Aplicando o método proposto teremos:

Passo Valor de Ri e de xi

1 R1 = 0,9322 x1 = 10 + (40)0,932 = 47,281 R2 = 0,1052 x2 =10 + (40)0,105= 14,21 R3 = 0,6872 x3 = 10 + (40)0,687= 37,48


Distribuição TriangularUma variável aleatória x tem uma distribuição triangular se sua fdp é dada por:

f x

x ab a c a

c xc b c a

b x c( )

( )( )( )

,

( )( )( )

,=

−− −

≤ ≤

−− −

< ≤

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2

2

a x b

onde a b c≤ ≤ . A moda b = 3 E (x) - (a + c).

Pelo método da transformação inversa obtém-se a fórmula para gerar amostras com distribuição triangular. A variável x com esta distribuição é obtida por:

xa R b a c a R

b ac a

c R c b c ab ac a

R=

+ − − ≤ ≤−−

− − − −−−

< ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

( )( ) ,

( )( )( )

se

, se

0

1 1


ExemploGerar três valores de uma distribuição triangular com parâmetros (0, 1, 2). Obtidos R1 = 0,544; R2 = 0,747 e R3 = 0,449.

xR R

R R=

≤ ≤

− − < ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 012

2 2 112

1( )

P a sso V a lo r d e R i e d e x i

1 R 1 = 0 ,5 4 42

x 1 = 2 - 2 1 0 5 4 4( , )− = 1 ,0 4 51 R 2 = 0 ,7 4 72

x 2 = 2 - 2 1 0 7 4 7( , )− = 1 ,2 8 81 R 3 = 0 ,4 4 92

x 3 = 2 0 4 4 9( , ) = 0 ,9 4 7


Distribuição Exponencial

Uma variável aleatória x tem uma distribuição exponencial se sua fdp é dada por:

O parâmetro é interpretado como sendo o número médio de ocorrências por unidade de tempo, enquanto a razão representa otempo médio entre as ocorrências.Aplicando-se o método da transformação inversa para a obtenção de uma variável aleatória x com distribuição exponencial resulta na seguinte relação:

Uma vez que (1-Ri), da mesma forma que Ri, possui distribuição uniforme no intervalo [0, 1], podemos substituir (1-Ri) por Ri na expressão acima.

f x e xx( ) ,= ≥−λ λ 0

)1ln( ii Rx −−= λ


Exemplo

Gerar valores de uma distribuição exponencial com parâmetro =1. λ

)1ln( ii Rx −−= λ

i 1 2 3 4 5Ri 0,1306 0,0422 0,6597 0,7965 0,7696xi 0,139952 0,043116 1,077928 1,592089 1,467938


Distribuição Normal

Uma variável aleatória x tem uma distribuição normal se sua fdp édada por:

f x e xx

( ) ,( )

= − ∞ < < ∞−

−12

2

22

σ π

µσ

Método de Box-MullerZ 1=B cos θ

Z 2=B sen θ

Z R R

Z R R

1 1 2

2 1 2

2 2

2 2

= −

= −

ln cos( )

ln sen( )

π

π


Exemplo

Considerando as equações anteriores, gerar dois valores com distribuição normal padronizada a partir de R1 = 0,1758 e R2 = 0,1489.

Z1 = [-2 ln (0,1758)]½ cos ( 0,1489) = 1,11

Z2 = [-2 ln (0,1758)]½ sen ( 0,1489) = 1,50

Para a obtenção de uma variável aleatória normal com média µ e desvio padrão σ, deve-se aplicar a transformação xi = µ + σ.Zi aos valores da normal padronizada. Por exemplo, para transformar os valores obtidos de Z1 e Z2 em uma Normal (10; 2), calcula-se:

x1 = 10 + 2.(1,11) = 12,22

x2 = 10 + 2.(1,50) = 13,00


ExercícioUse o MCL para gerar uma seqüência de números aleatórios entre zero e 1, com os seguintes parâmetros:

• x0 = 23, a = 17, b = 43 e m = 100.

Considere os necessários valores gerados e determine um valor para cada uma das seguintes variáveis:

Uniforme (15, 35);

Exponencial (10);

Triangular (5, 8, 13);

Normal (12, 2).

mbaxx nn mod)( 1 += −

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