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FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA Beniamin Achilles Bondarczuk

FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 1

Prezado aluno,

Esta apostila é a versão estática, em formato .pdf, da disciplina online e contém

todas as informações necessárias a quem deseja fazer uma leitura mais linear

do conteúdo.

Os termos e as expressões destacadas de laranja são definidos ao final da

apostila em um conjunto organizado de texto denominado NOTAS. Nele, você

encontrará explicações detalhadas, exemplos, biografias ou comentários a

respeito de cada item.

Além disso, há três caixas de destaque ao longo do conteúdo.

A caixa de atenção é usada para enfatizar questões importantes e implica um

momento de pausa para reflexão. Trata-se de pequenos trechos evidenciados

devido a seu valor em relação à temática principal em discussão.

A galeria de vídeos, por sua vez, aponta as produções audiovisuais que você

deve assistir no ambiente online – aquelas que o ajudarão a refletir, de forma

mais específica, sobre determinado conceito ou sobre algum tema abordado na

disciplina. Se você quiser, poderá usar o QR Code para acessar essas produções

audiovisuais, diretamente, a partir de seu dispositivo móvel.

Por fim, na caixa de Aprenda mais, você encontrará indicações de materiais

complementares – tais como obras renomadas da área de estudo, pesquisas,

artigos, links etc. – para enriquecer seu conhecimento.

Aliados ao conteúdo da disciplina, todos esses elementos foram planejados e

organizados para tornar a aula mais interativa e servem de apoio a seu

aprendizado!

Bons estudos!


Fundamentos da Mat. Financeira e Estat.

Aplicada - Apostila

Apresentação

O mundo dos negócios não deveria se dissociar da academia e vice-versa.

Desde a Administração Científica de Taylor até os dias de hoje, o mundo

empresarial tem buscado suporte nas Ciências Exatas para resolver seus

inúmeros problemas. O domínio de conceitos matemáticos, que abrange

fenômenos tanto determinísticos quanto probabilísticos, vem-se evidenciando

como competência básica para o profissional bem-sucedido.

Pensando nesse contexto, esta disciplina introduz noções de Matemática

Financeira e de Estatística Aplicada, que são essenciais para entender conceitos

afins a essas áreas e solucionar problemas.

O conteúdo está distribuído de modo uniforme: metade abordará o primeiro

tema e a outra metade, o segundo, mas não é necessário entender aquele

antes deste.

Sendo assim, esta disciplina tem como objetivos:

1. Explicar conceitos fundamentais da Matemática Financeira;

2. Definir noções básicas de Estatística Aplicada.


Aula 1: Juros e taxa de juros

Introdução

Você bem sabe que os empreendimentos, os negócios, as empresas, o

governo, as pessoas, enfim, todos nós – querendo ou não – estamos inseridos

em um sistema que regula as relações de troca com base em dinheiro.

Nesse contexto, é muito importante entendermos as regras que regem o

sistema financeiro e como ocorre o processo de transformação do valor ao

longo do tempo. O domínio dessas normas pode ajudar um agente decisor na

escolha do melhor caminho a ser trilhado no desenvolvimento de algum

negócio.

Afinal, a sobrevivência de um empreendimento está associada, muitas vezes, à

habilidade de decisão do gerente, de forma oportuna e com base em estudos

de viabilidade econômica.

No núcleo de tudo isso, estão os conceitos de juros e taxa de juros – essenciais

a este estudo. Nesta aula, portanto, daremos ênfase a tais noções.

Objetivo:

1. Explicar noções básicas de juros simples e compostos;

2. Definir os conceitos de taxas de juros efetivas e nominais.

Conteúdo

Noções de Matemática Financeira

Para darmos início a esta disciplina, vamos conhecer, primeiro, alguns conceitos

básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática

Financeira.


Comecemos pelo valor do dinheiro no tempo e pelos juros: elementos

interligados e essenciais ao desenvolvimento do estudo dessa área do

conhecimento. Vejamos o vídeo a seguir:

Percebeu que quando você pede emprestado a alguém, por determinado

período, algum bem ou dinheiro, é natural que lhe pague, ao fim desse prazo,

alguma compensação financeira além do valor emprestado?

Essa compensação pode ser:

• Um aluguel – no caso de um bem;

• Os juros – no caso de dinheiro.

Termos utilizados na análise das situações

Na análise das situações como a apresentada anteriormente, em que

desejamos avaliar o dinheiro no tempo, é conveniente utilizarmos alguns

termos.

São eles:

Principal

Também chamado de capital inicial ou, simplesmente, capital. Trata-se do

valor emprestado em alguma transação financeira.

Remuneração do capital

Definição atribuída aos juros. Os estudos dos mecanismos que regem sua

formação e sua incorporação ao capital constituem a base principal da

Matemática Financeira.

Montante

Soma dos juros com o capital em determinado período.


Outro termo bastante utilizado é a capitalização. Vejamos o que o mesmo

significa e suas ramificações:

Capitalização

Incorporação dos juros ao capital.

Período de capitalização

Intervalo de tempo decorrente entre cada capitalização.

Sistemas ou regimes de capitalização:

Juros simples

Juros calculados sobre o capital inicial que se incorporam a ele ao fim de cada

período de capitalização.

Juros compostos

Juros calculados sobre o montante do período anterior, que se incorporam ao

capital ao fim de cada período de capitalização.

Atenção

A seguir, entenderemos melhor todos esses conceitos!


Juros: remuneração do capital

Você sabe como os juros são fixados e como podemos obter seu valor em um

período, em unidades monetárias?

Vejamos:

Taxa percentual e unidade de tempo

Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a

uma unidade de tempo. Por exemplo:

• 10% ao ano (a.a.);

• 5% ao semestre (a.s.);

• 2% ao mês (a.m.) etc.

Valor por período

Quando desejamos obter o valor dos juros de um período, em unidades

monetárias, aplicamos a taxa de juros sobre o capital, conforme o exemplo a

seguir:

Capital aplicado -> R$ 100,00

Taxa de juros -> 6% a.a.

Valor de juros ao final de um ano -> 6% x R$ 100,00 = (6/100) x 100,00

= R$ 6,00

Montante: valor do dinheiro no tempo

Vejamos, a seguir, uma cena do filme O Auto da Compadecida:

Na cena que acabamos de assistir, os personagens Chicó, Rosinha e João Grilo

armaram um plano para utilizar o dinheiro que havia sido deixado para Rosinha,

pela sua vó, como herança. Entretanto, eles não contavam com o fato de que a


unidade monetária daquele momento era diferente da unidade do tempo da

avó de Rosinha, ou seja, o dinheiro não possuía mais valor algum.

A partir do que vimos na cena e considerando o conceito de juros da

Matemática Financeira a que nos referimos anteriormente, podemos perceber

que hoje, 100 unidades monetárias NÃO SÃO iguais a 100 unidades

monetárias em qualquer outra data!

Vamos analisar, então, uma aplicação de capital na data de hoje:

Capital aplicado -> R$ 100,00

Taxa de juros -> 6% a.a.

Rendimento -> R$ 6,00

Montante gerado ao final de um ano -> R$ 106,00

De acordo com a ideia de que o valor do dinheiro muda ao longo do tempo,

valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e

somadas algebricamente após sua movimentação para uma mesma data, com

a respectiva aplicação de uma taxa de juros.

Portanto, ao planejar o escopo de determinado projeto, um gerente estabelece,

por exemplo, um cronograma físico-financeiro que leva em conta a progressão

do capital ao longo do tempo, considerando como premissa determinada taxa

de juros para fazer suas projeções.

Juros simples

No regime de capitalização a juros simples, a compensação financeira, ou seja,

os juros são diretamente proporcionais:

Ao valor do capital emprestado (C), dentro de um período – dia, mês, ano,

semestre etc.


À quantidade de períodos em que esse valor fica emprestado.

Nesse regime, apenas o capital inicial – o principal – rende juros. Não se

somam os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos

períodos seguintes. Em outros termos, os juros não são capitalizados e,

consequentemente, não rendem novos juros.

Exemplo

Para fixarmos o conceito que vimos anteriormente, vamos analisar o exemplo a

seguir?

Crescimento de R$ 1.000,00 a juros simples de 6% a.a.

Saldo do início do ano

Um investimento de R$ 1.000,00 (mil unidades monetárias) é feito em um

banco, no prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 6% a.a., no regime de

juros simples.

Juros do ano

O objetivo é obter o valor do saldo desse investimento no final de cada um dos

dois anos da operação. Sendo assim, temos: Crescimento de R$ 1.000,00 a

juros simples de 6% a.a.

Saldo no final do ano

Observando a evolução do dinheiro no tempo, podemos constatar que o

crescimento do capital é linear, ou seja, os juros de cada ano são os mesmos.


Fórmula de juros simples

Uma vez que entendemos que, nos juros simples, o crescimento do capital

ocorre de forma linear, de acordo com determinada taxa proporcional, podemos

estabelecer uma fórmula que forneça um montante a partir de um capital

inicial. Vejamos:

Agora, considere a taxa percentual i = r/100. Nesse caso, temos a seguinte

fórmula equivalente:

Onde:

j

A letra representa os juros produzidos.

C0

Essa variável representa o capital emprestado.

r/100

Taxa de juros.

n

Número de meses.


Diante das fórmulas citadas anteriormente, você consegue dizer quais são as

fórmulas derivadas que explicitam cada uma das variáveis que vimos?

Simples!

C0

i

n

Juros no período

Voltemos para o exemplo numérico apresentado. Utilizando as fórmulas

anteriores, concluímos que os juros nesse período são:

A soma do capital com os juros produzidos em determinado período é

denominada Montante (Cn), ou seja:


Considerando o regime de juros simples, no qual j = C x i x n, temos:

Portanto, nesse regime, obtemos os valores listados a seguir pelas expressões

matemáticas correspondentes:

Montante

Capital

período n

Taxa i

Atenção

As fórmulas apresentadas valem para qualquer período, mas é

necessário expressar a taxa r e o período n na mesma unidade

de tempo.


Juros compostos

A capitalização composta ocorre quando os juros são capitalizados e passam

a render novos juros. Sendo assim, os juros de cada período são calculados

sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o

capital inicial – principal – aplicado.

Para fixarmos esse conceito, vamos analisar um exemplo?

Um investimento de R$ 1.000,00 é feito em um banco, no prazo de dois anos,

com uma taxa de juros de 6% a.a., no regime de juros compostos.

O objetivo é obter o valor do saldo desse investimento no final de cada um dos

dois anos da operação.

Sendo assim, temos:

Considerando os exemplos numéricos das aplicações nos regimes de juros, é

possível observar que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do

que a juros simples.

Além disso, no regime de juros compostos, cada valor é obtido a partir do

anterior pela multiplicação de uma razão constante igual a: 1,06 (1,00 +

6%).

Fórmula de juros compostos

Agora que já entendemos a regra que orienta o regime de juros compostos –

por meio do qual a taxa é aplicada sempre no período anterior –, podemos

obter uma expressão matemática que forneça o montante a partir de

determinado capital inicial em função da taxa e do período.


Considere, então, as seguintes informações:

Cn

Montante ao fim de n períodos de capitalização no regime de juros compostos.

C0

Capital no período em que ocorreu o empréstimo.

i

Taxa de juros.

J n

juros do período n.

O montante C1 relativo ao primeiro período de capitalização é calculado da

seguinte forma: C0 + J1. Isso equivale a aplicar a taxa i de juros simples

durante um período ao capital C0. Sendo assim, temos:

Esse mesmo raciocínio pode ser aplicado em períodos sucessivos, ou seja:

Logo, ao fim de n períodos, o montante Cn pode ser dado pela seguinte

fórmula:

É possível, também, obter a expressão que fornece o capital inicial em função

do montante Cn, da taxa i e do período n. Desse modo, temos:

Revendo conceitos

Após a definição das noções de montante e capital nos regimes de juros

simples e compostos, que lhe permitiu familiarizar-se com notações alternativas

utilizadas em bibliografias da Matemática Financeira, vamos conhecer outras

acepções dos mesmos conceitos dentro da área.


Você lembra das equações de juros simples e compostos que vimos

anteriormente? Vejamos, agora, as formas alternativas como essas equações

podem ser apresentadas:

Note que, nessas equações, podemos substituir o conceito Montante (Cn) por

Valor Futuro (VF) ou Future Value (FV)!

Podemos substituir, também, o Capital, principal ou capital inicial (C0) = Valor

Presente (VP) ou Present Value (PV)!

Equivalência entre taxa de juros

As informações financeiras que constam em contratos ou, até mesmo, na mídia

são fornecidas fazendo referência à taxa de juros que nem sempre utilizam

como referência um mesmo período.

Para comparar e subsidiar uma decisão, em muitos casos, é necessário calcular

a equivalência entre taxas em períodos diferentes, o que dá origem às taxas

equivalentes. Essa abordagem é pertinente quando tratamos do regime de

juros compostos.

Tomemos, então, o exemplo da tabela a seguir:


Observe que a aplicação por três meses, à taxa de 10% a.m., proporciona um

rendimento igual a 33,1% a.t. – aplicada por um trimestre.

Em outros termos, um mesmo montante pode ser obtido a partir de um capital

inicial e de taxas distintas com períodos-base diferentes.

Períodos de capitalização e tomado para análise

Alguns problemas são apresentados com período de capitalização da taxa de

juros diferente do período tomado para análise.

Um exemplo seria obter o saldo de um empréstimo de R$ 1.000,00 por seis

meses, considerando os juros de 46,41% ao quadrimestre.

Uma das possíveis soluções é transformar a taxa quadrimestral em uma taxa

mensal equivalente e aplicar a expressão matemática de juros compostos.

Extrato

Valor do empréstimo: R$ 1.000,00

Período: 6 meses

Juros ao quadrimestre: 46,41%

Vamos avaliar, então, um capital (VP) que evoluiu em quatro meses (VF):

Podemos interpretar essa evolução a partir das seguintes taxas:


Portanto, a expressão matemática genérica para a obtenção da equivalência é:

onde:

n = número de períodos de capitalização da taxa im de período-base m.

m = número de períodos de capitalização da taxa in de período-base n.

No problema exemplificado, o período-base pode ser o quadrimestre, e a

aplicação da expressão anterior resulta em:

Logo, o saldo do empréstimo de R$ 1.000,00 por seis meses, considerando os

juros de 46,41% ao quadrimestre, é:


Atividade proposta 1

Agora que você já sabe calcular a equivalência entre taxa de juros,

vamos fazer uns exercícios!

a) Uma taxa de 10% ao mês equivale a que percentagem ao quadrimestre

(a.q.)?

b) Uma taxa de 50% ao semestre equivale a que percentagem ao mês (a.m.)?

Chaves de resposta:

Taxas nominais e efetivas

Você sabe o que são taxas nominais e efetivas e onde elas são aplicáveis?

Vejamos:

Taxas nominais

O uso da expressão taxa nominal é aplicável no regime de juros compostos.


Um exemplo seria considerar uma taxa de juros de 15% a.a., capitalizados

mensalmente. Nesse caso, podemos observar que a taxa é anual, mas a

capitalização é mensal.

Listamos, aqui, algumas taxas nominais:

• 12% ao semestre com capitalização bimestral;

• 14% ao quadrimestre com capitalização trimestral;

• 25% ao ano com capitalização semestral.

Esse é o caso dos rendimentos da caderneta de poupança. Costuma-se

informar que a poupança rende 6% a.a. mas também é usual ouvir que rende

0,5% a.m. Portanto, podemos expressar a taxa da caderneta de poupança em

termos anuais da seguinte forma: 6% a.a. com capitalização mensal.

Nesse contexto, as taxas devem ser divididas pelo número de períodos de

capitalização (6% ÷ 12 = 0,5%), como se fossem taxas proporcionais de

juros simples, apesar de serem capitalizadas por juros compostos.

Taxas efetivas

Já estamos cientes de que a utilização do termo nominal está associada a taxas

de juros compostos como uma forma aproximada que simula um

comportamento proporcional de juros simples.

Em função disso, muitas vezes, é necessário saber mensurar o valor efetivo de

determinada transação financeira, até porque muitos fatores o mascaram. Um

deles é expressar a taxa praticada com referência nominal. Nesse caso, o custo

efetivo será maior do que o expresso nominalmente.

Um exemplo seria calcular o custo efetivo anual de uma taxa de 36% a.a. com

capitalização mensal. Com esse período de capitalização, precisamos dividir a

taxa anual por 12, a fim de calcular quanto ela representa em termos mensais.


Sendo assim, temos:

36% / 12 = 3% a.m.

Logo, podemos obter o custo efetivo anual por meio do cálculo da taxa

equivalente, ou seja:

(1 + i)1 = (1,03)12

(1 + i) = 1,425761

i = 1,425761 - 1

i = 0,425761 ou 42,5761% a.a.

Vamos aplicar o conhecimento que acabamos de adquirir através de um

exemplo?

Suponhamos que uma aplicação de R$ 10.000,00 tenha sido feita à taxa de 36

% a.a., capitalizada mensalmente. Vamos, agora, calcular o montante obtido no

final do ano.

A taxa de 36% a.a. é nominal, pois seu período anual é diferente do período de

capitalização mensal.

Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa

efetiva da operação é proporcional à taxa dada. Em outros termos, como 1 ano

= 12 meses, então, a taxa efetiva i será dada por:

Portanto, o montante VF será obtido por:

VF = 10.000 × (1 + 0,03)12 = 10.000 × 1,42576 = R$ 14.257,60


Atividade proposta 2

Antes de finalizarmos esta aula, vamos fazer uma atividade!

Determinada empresa precisa de recursos por 12 meses. Ao pesquisar o

mercado financeiro para resolver essa questão, a organização encontrou três

alternativas de empréstimo que parecem ser atraentes. São elas:

1ª – taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização semestral;

2ª – taxa de juros efetiva de 24% a.a.;

3ª – taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização mensal.

Com base no que estudamos ao longo desta aula, classifique, nesse contexto,

as alternativas apresentadas da melhor para a pior.

Chave de resposta

http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS300/docs/a1_t18_ch

ave_resposta.pdf

Aprenda Mais

Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, sugerimos a seguinte

leitura:

PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6. ed. São

Paulo: Saraiva, 1999. cap. 2-6.

Referências

FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática

educativa. São Paulo: Paz e Terra, 2007.

LEITE, M. S. Diversidade e saberes no ensino superior, 2005.

http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS300/docs/a1_t18_chave_resposta.pdf

http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS300/docs/a1_t18_chave_resposta.pdf


PIMENTA, S. G.; ANASTASIOU, L. G. C. Do ensinar à Ensinagem. In:

Docência no Ensino Superior, vol. I. São Paulo: Cortez, 2002. p. 201 a 243.

RIBEIRO, M. L. O Ensino Universitário: um olhar sobre as representações de

estudantes de Licenciatura, 2008.

Exercícios de fixação

Questão 1

Um empresário resolveu aplicar R$ 10.000,00 em um banco que remunera seus

depósitos a uma taxa de 4% a.t., no regime de juros simples. Qual o montante

que poderá ser retirado pelo empresário no final do 9o trimestre?

a) R$ 14.233,12

b) R$ 13.600,00

c) R$ 12.400,00

d) R$ 12.233,12

e) R$ 13.400,00

Questão 2

Um empresário resolveu aplicar R$ 10.000,00 em um banco que remunera seus

depósitos a uma taxa de 4% a.t., no regime de juros compostos. Qual o

montante que poderá ser retirado pelo empresário no final do 9° trimestre?

a) R$ 14.233,12

b) R$ 13.600,00

c) R$ 12.400,00

d) R$ 12.233,12


e) R$ 13.400,00

Questão 3

Você precisa tomar um empréstimo de um ano a uma taxa de juros capitalizada

anualmente. Logo, o melhor sistema de capitalização é o:

a) Simples – dependendo do valor.

b) Tanto faz – para taxas iguais.

c) Composto – para taxas iguais.

d) Simples – para taxas iguais.

e) Composto – dependendo do valor.

Questão 4

Você aplica uma quantia de 100.000,00 reais no prazo de cinco meses e tem

como remuneração desse capital a quantia de R$ 11.240,00. Qual é a taxa de

juros simples ao mês dessa operação?

a) 2,50%

b) 3,75%

c) 2,25%

d) 3,15%

e) 2,15%

Questão 5

Admitindo uma taxa de 8% a.m. em regime de juros compostos, em quantos

meses um investimento duplicará?

a) 3


b) 5

c) 8

d) 9

e) 12

Questão 6

Em uma análise de investimentos, foi utilizada uma taxa nominal de 10% a.a.

com capitalização trimestral. Nesse caso, qual é a taxa efetiva mensal

equivalente?

a) 0,182% a.m.

b) 0,28105% a.m.

c) 0,6361% a.m.

d) 0,8265% a.m.

e) 0,94033% a.m.

Questão 7

Um investidor lhe pediu ajuda para calcular o montante acumulado no final de

dois anos, em uma aplicação de R$ 10.000,00 à taxa de 12% a.a. com

capitalização mensal. O montante a ser informado é:

a) R$ 11.375,47

b) R$ 12.697,35

c) R$ 13.362,34

d) R$ 12.514,58

e) R$ 13.269,77


Questão 8

Uma empresa precisa avaliar a rentabilidade de um investimento, determinando

o montante acumulado no final de quatro anos. Se o capital investido foi R$

100.000,00, no regime de juros compostos, qual é o montante, considerando

uma taxa de 6,134% a.s.?

a) R$ 154.018,40

b) R$ 148.225,00

c) R$ 158.386,90

d) R$ 153.496,50

e) R$ 161.003,80

Questão 9

A fim de auxiliar um gerente de projeto, você foi consultado para calcular a

taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 9% a.a. com período de

capitalização semestral. Sua resposta foi:

a) 9,2025% a.a.

b) 8,2810% a.a.

c) 8,6361% a.a.

d) 7,8265% a.a.

e) 9,9403% a.a.

Questão 10


Um empresário obtém um financiamento de 18.000,00 reais, sem entrada, para

pagamento em uma única prestação, daqui a quatro meses, por R$ 20.350,00.

Qual é a taxa anual de juros dessa operação, considerando que o regime de

capitalização é composto?

a) 38,2525% a.a.

b) 43,2810% a.a.

c) 44,5026% a.a.

d) 39,8865% a.a.

e) 42,9403% a.a.


Aula 2: Fluxos de Caixa e descontos

Introdução

A administração bem-sucedida de finanças em negócios requer um amplo

entendimento dos inúmeros processos que contêm atividades de pagamentos e

de recebimentos de diversas naturezas ao longo de um período de tempo.

Essas atividades caracterizam Fluxos de Caixa que podem ser administrados

com o auxílio de softwares aplicativos específicos, planilhas eletrônicas e/ou

calculadoras, e com a indispensável competência do profissional habilidoso que

entende não só os princípios por traz das operações automatizadas como

também sabe julgar e tirar proveito dos resultados apresentados.

Esta aula apresenta, portanto, os fundamentos das operações em fluxos de

caixa e os conceitos dos diversos tipos de desconto utilizados na matemática

financeira. Dentro da análise de índices, existe a necessidade de entendimento

de que não existe uma quantidade definida de índices a serem elaborados e

considerados, mas também a necessidade de se entender o setor e muitas

vezes a economia como um todo.

A análise com a utilização de índices compreende o conceito efetivo de índice e

sua funcionalidade dentro do processo de gestão.

Nesta aula, examinaremos os índices de maneira detalhada e as informações

que cada tipo de análise fornecer, possibilitando entender que o conjunto

desses índices é uma ferramenta valiosa se bem utilizada.

Objetivo:

1. Definir o conceito de Fluxo de Caixa e sua representação gráfica;

2. Examinar os tipos de desconto utilizados em Matemática Financeira.


Conteúdo

Fluxos de Caixa

Você sabe o que significa Fluxo de Caixa? Antes de começarmos nossa aula,

vejamos um vídeo que descreve, de maneira simples, esse conceito:

Como vimos no vídeo, denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e

saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa,

entre outros, de:

• Empresas;

• Investimentos;

• Projetos;

• Operações financeiras.

O diagrama de fluxo de caixa é uma ferramenta importante para facilitar a

compreensão de elementos da matemática financeira.

Usualmente, as transações financeiras são representadas esquematicamente

por diagramas ou por meio de planilhas (tabelas ou quadros).

Fluxo de Caixa em Planilhas

Para planejamento e controle financeiro é comum o uso de planilhas

eletrônicas, uma vez que ao organizarmos as informações em linhas e colunas

fica fácil a utilização dos recursos automáticos de cálculo.

Vamos ver um exemplo!


Descrição

Normalmente, as colunas são organizadas com a descrição da entrada ou saída

no caixa nas primeiras colunas.

Movimento e saldo

Em seguida, uma coluna registra a quantia movimentada e a seguinte o saldo.

Data

Pode-se também registrar data, período ou outras informações julgadas

importantes.

Fluxo de Caixa em Diagramas

Apesar da facilidade de cálculo dos fluxos de caixa representados em planilhas,

muitas vezes é mais interessante trabalhar com a representação em diagramas.

Essa abordagem facilita o entendimento de processos financeiros e auxilia o

desenvolvimento de soluções de problemas.

A convenção básica para a representação de fluxos de caixa em diagramas é

utilizar setas orientadas para cima ou para baixo conforme se queira registrar

respectivamente recebimentos (entradas) ou pagamentos (desembolsos). Essas

setas podem estar dispostas acima ou abaixo da linha horizontal, que

representa o tempo.


Recebimentos

As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e

são representadas por setas apontadas para cima (acima ou abaixo da linha).

Pagamentos

As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais positivos e são

representadas por setas apontadas para baixo (acima ou abaixo da linha). Elas

indicam desembolso de caixa.

Eixo horizontal

A escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos,

expresso em dias, semanas, meses, trimestres, semestres ou anos. Os pontos

0, 1, 2, 3, n, substituem as datas de calendários, e são estipulados em função

da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas.

Assim, o ponto 0 representa a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do 1º

período e assim por diante.

Os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais, e os valores

monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada período,


dependendo da convenção adotada. Nenhum valor deve ser colocado ao longo

dos períodos, uma vez que eles não são contínuos.

Veja um exemplo de diagrama de fluxo de caixa.

Podemos representar da seguinte maneira a operação de compra de um bem

no valor de $1000, para pagamento, com juros e sem entrada, em quatro

prestações mensais de $ 300:

Atenção

Apesar de não ser essencial na representação, o comprimento

das setas orientadas (vetores) no fluxo de caixa em diagrama

pode ser proporcional ao valor movimentado. No exemplo, todas

as prestações são representadas por setas de igual tamanho e o

valor de compra é representado por uma seta maior, porém não

proporcional às setas dos pagamentos.

Transformando um fluxo de caixa em planilha em diagrama

Agora, vejamos um exemplo de fluxo de caixa em planilha:


Podemos representar esse movimento em um fluxo de caixa em diagrama. Mas

como faremos isso?

Para o registro, as datas originais podem ser simplificadas por uma

representação em períodos enumerados a partir de zero (inicial).

A correspondência entre o distanciamento entre as datas dos movimentos e a

correspondente representação em períodos deve ser observada.

Vejamos a seguir!

A representação em diagrama do fluxo de caixa em planilha pode ser a

seguinte:

Atenção


Tanto na representação em planilha quanto na representação

em diagrama o registro das movimentações reflete o momento

das transações sem nenhuma análise do valor do dinheiro no

tempo. Portanto, o saldo observado em uma representação em

planilha não leva em conta o regime de juros aplicado, sendo

uma simples soma algébrica das entradas menos as saídas.

O fluxo de caixa é normalmente utilizado como base para o

transporte das quantias nele contidas para uma determinada

data (período) de interesse.

Descontos

A ideia de oferecer desconto, normalmente, está associada a ações de

marketing que visam seduzir clientes para a compra de bens. Entretanto, nem

sempre esses clientes têm o real entendimento do significado das taxas

anunciadas.

Basicamente, quando se fala em desconto no âmbito da Matemática Financeira,

pensamos no tempo em que se encontra a base sobre a qual uma determinada

taxa de desconto é anunciada (presente ou futuro) e no tipo de regime de

capitalização (simples ou composto).

Considerando o tempo presente como a base sobre a qual determinado

desconto é oferecido, tratamos de analisar os cálculos associados no regime de

juros simples e depois no de juros compostos.

Desconto Por Dentro

No regime de juros simples, a taxa de descon-to por dentro, ou taxa de juros

i, é também conhecida como taxa de rentabilidade. Ela incide diretamente


sobre o valor presente e pode ser obtida pela conhecida expressão dos juros

simples explicitando-se a taxa i. Vejamos:

Expresso em unidades financeiras, o valor do desconto corresponde aos juros

acumulados no tem-po pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro VF,

ou montante, e o valor presente VP, ou principal, ou seja, desconto = VF - VP.

O valor do desconto por dentro (Dd) é obtido multiplicando-se o valor presente

VP pela taxa de desconto i e pelo prazo da operação n, obtendo-se:

O valor presente é sempre a incógnita, sendo normal-mente conhecidos o valor

futuro VF, o prazo n e a taxa de desconto i.

Atenção

Sabendo-se que Dd = VF - VP e obtendo-se VP a partir de VF =

VP (1 + i x n)

Tem-se:

Exemplo prático em um regime de juros simples

Considerando um regime de juros simples, vamos determinar o valor da taxa

mensal de desconto por dentro usada em uma opera-ção de desconto de 2


meses de um título cujo valor de resgate é $12.000,00 e cujo valor do principal

é $10.850,00?

Vejamos as etapas a serem seguidas:

Para determinarmos a taxa mensal, primeiramente precisamos identificar os

dados do problema:

VP = $10.850,00

VF = $12.000,00

n = 2 meses

Em seguida, basta aplicar a fórmula que acabamos de ver:

ou 5,30% ao mês.

Exemplo prático em um regime de juros compostos

No regime de juros compostos, como os juros de cada período, quando não

são pagos no final do período, devem ser somados ao capital e passam a

render juros, a taxa de descon-to por dentro incide diretamente sobre o valor

presente e pode ser obtida pela conhecida expressão dos juros compostos

explicitando-se i:


Determinar o valor do investimento que deve ser realizado com uma taxa de

2% ao mês no regime de juros compostos, que produzirá um montante

acumulado ao fim de 12 meses de $1.000,00. Além do cálculo do valor do

investimento, determinar também o valor do desconto por dentro.

As etapas a serem seguidas são as mesmas que seguimos no exemplo de

regime simples. Você está lembrado?

O primeiro é identificar os dados do problema:

n = 12 meses

i = 2% ao mês

VF = $1.000,00

Depois, aplicamos a fórmula:

O desconto por dentro pode ser calculado diretamente pela definição:

Desconto Por Fora

Considerando o desconto por fora, no regime de juros simples, os descontos

de cada período são obtidos pela aplica-ção da taxa de desconto d sempre

incidindo diretamente sobre o valor futuro VF (ou montante), fazendo com que

os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos (VF x d).

Para n períodos temos:


O valor presente VF, resultante do desconto por fora sobre o montante VF,

durante n períodos, é obtido a juros simples utilizando-se as respectivas

definições:

Atenção

É importante observar que a unidade referencial de tempo da

taxa de desconto d deve coincidir com a unidade referencial de

tempo utilizada para definir o número de períodos n e que o

produto d x n não pode ser maior ou igual a 1 (não faz sentido

ter VP ≤ 0).

Exemplo prático 1

Agora, vamos ver um exemplo?

Imaginemos uma operação de desconto de 90 dias, de um título com valor de

resgate de $20.000,00 e com valor do principal igual a $16.850,00. Como

faremos para determinar o valor da taxa mensal de desconto por fora utilizada

na operação?

Dados: VF = $20.000,00, VP = $16.850,00, n = 90 dias = 3 meses

ou seja, 5,25% ao mês.


Relacionamento das taxas

Tendo sido apresentadas as expressões do cálculo de desconto por dentro e

por fora no regime de juros simples, é possível relacionar as duas taxas e

obter a seguinte expressão:

Considerando o desconto por fora, no regime de juros compostos, os

descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d

por período, sobre o capital existente no início do período de desconto (VP).

Assim, as seguintes expressões podem ser obtidas:

Atenção

Assim como foi observado no regime de juros simples, a unidade

referencial de tempo da taxa de desconto por fora d deve

coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para

definir o número de períodos n.

Dessa maneira, a expressão do desconto por fora no regime de

juros compostos é:

Df = VF - VP = VF - VF x (1 - d)n = VF x [1 - (1-d)n]

Exemplo prático 2


Para um título com o valor de $100.000,00, com 90 dias para seu vencimento,

que é descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto


por fora igual a 1,4% ao mês, o que devemos fazer para determinar o valor

presente e o valor deste desconto?

Clique nos títulos abaixo e descubra o resultado.

Dados

VF = $100.000,00

n = 90 dias = 3 meses

d = 1,4% ao mês

Equação

VP = VF x (1-d)n = 100.000 x (1-0,014)3 = $95.858,53

Desconto por fora

Df = VF - VP = 100.000 - 95.858,53 = $4.141,47

Atividade proposta

Considerando uma taxa de 2% ao mês, no regime de juros compostos, é

possível observar, conforme diagrama abaixo, que no final do terceiro mês são

depositados $400,00.

a) Determine o valor acumulado no final do sexto mês deste depósito;

b) Que valor deveria ser investido no final do primeiro mês para que fosse

obtido os $400,00 conforme o diagrama?

Chave de resposta


O valor acumulado no final do sexto mês pode ser obtido diretamente utilizado

a fórmula do Valor Futuro no regime de juros compostos com n=3, VP =

400,00 e i= 0,02:

VF = 400,00(1 + 0,02)3 = $424,48

Para se obter os $400,00 no final do terceiro mês, o valor investido no final do

primeiro mês pode ser obtido utilizando a fórmula do Valor Presente no regime

de juros compostos com n = 2, VF = $400,00 e i = 0,02:

Aprenda Mais

Para saber como criar seu fluxo de caixa, assista ao vídeo a seguir:

• https://www.youtube.com/watch?v=LTXawJF3Zfw

Para saber mais sobre o que estudamos até aqui, leia os capítulos 2 a 4 da obra

a seguir:

• PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo:

Saraiva, 1999, 6. ed.

Referências

ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo:

Atlas, 2001, 6. ed.

https://www.youtube.com/watch?v=LTXawJF3Zfw


PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo:



Questão 1

Observe o fluxo de caixa apresentado no diagrama e compare no final do sexto

mês o saldo do caixa sem considerar juros com o saldo, considerando um

regime de juros simples com taxa de 5% ao mês.

a) Em módulo, há uma diferença de 70% entre o saldo com juros em relação

ao sem;

b) Em módulo, há uma diferença de 30% entre o saldo com juros em relação

ao sem;

c) Em módulo, há uma diferença de 50% entre o saldo com juros em relação

ao sem;

d) Em módulo, há uma diferença de 75% entre o saldo com juros em relação

ao sem;

e) Em módulo, há uma diferença de 25% entre o saldo com juros em relação

ao sem.

Questão 2

Observe o fluxo de caixa apresentado no diagrama e compare no final do sexto

mês o saldo do caixa sem considerar juros com o saldo, considerando um

regime de juros compostos com taxa de 5% ao mês.

a) Em módulo, há uma diferença de 37% entre o saldo com juros em relação

ao sem;

b) Em módulo, há uma diferença de 45% entre o saldo com juros em relação

ao sem;


c) Em módulo, há uma diferença de 32% entre o saldo com juros em relação

ao sem;

d) Em módulo, há uma diferença de 25% entre o saldo com juros em relação

ao sem;

e) Em módulo, há uma diferença de 18% entre o saldo com juros em relação

ao sem.

Questão 3

Considerando que no período zero o Valor Presente (VP) é a soma do

transporte de todos os valores dos outros períodos no fluxo de caixa

apresentado no diagrama abaixo, considerando um regime de juros simples de

6% ao mês, VP é igual a:

a) $125,00

b) $112,27

c) $98,43

d) $104,14

e) $101,23

Questão 4

Considerando que no período zero o Valor Presente (VP) é a soma do

transporte de todos os valores dos outros períodos no fluxo de caixa

apresentado no diagrama abaixo, considerando um regime de juros compostos

de 6% ao mês, VP é igual a:

a) $104,14

b) $102,45

c) $99,46


d) $106,35

e) $101,23

Questão 5

Observe o fluxo de caixa apresentado no diagrama abaixo que descreve a

dinâmica dos recebimentos mensais obtidos após investimentos. Considerando

juros compostos de 8% ao mês, quando é que o saldo ficou igual a zero?

a) Entre o 5º e o 6º mês;

b) Entre o 6º e o 7º mês;

c) Entre o 7º e o 8º mês;

d) Entre o 8º e o 9º mês;

e) Entre o 9º e o 10º mês.

Questão 6

Determine o valor da taxa mensal de desconto "por dentro", a juro simples,

que faz um investimento de $5.000,00 se transformar em $6.800,00, num

prazo de 30 meses.

a) 1,65% ao mês;

b) 0,98% ao mês;

c) 1,31% ao mês;

d) 1,20% ao mês;

e) 1,14% ao mês.

Questão 7


Determine o valor do desconto "por dentro" obtido quando é realizado um

investimento com uma taxa de 5% ao mês no regime de juros compostos, que

produz um montante acumulado ao fim de 36 meses de $10.000,00.

a) $6.892,14

b) $7.686,23

c) $5.744,46

d) $6.931,33

e) $7.764,28

Questão 8

Determine o valor do desconto "por fora" no regime de juros simples com a

taxa de 1,4% ao mês de um título de $4.000,00 que vence em 90 dias.

a) $168,00

b) $246,00

c) $157,00

d) $195,00

e) $216,00

Questão 9

Determine o valor do desconto "por fora" com taxa de 1,3% ao mês no regime

de juros compostos de um título com o valor de $150.000,00 e com 120 dias

para seu vencimento.

a) $12.549,18

b) $8.943,37

c) $7.649,21


d) $5.372,55

e) $6.825,41

Questão 10

Considerando um ano comercial de 360 dias, determine a taxa anual de

desconto "por fora" correspondente a taxa de desconto "por dentro" de 1,5%

ao mês de um título com 30 dias a decorrer.

a) 16,65% ao ano;

b) 19,98% ao ano;

c) 15,31% ao ano;

d) 18,20% ao ano;

e) 17,73% ao ano.


Aula 3: Sistemas de amortização e Fluxo de Caixa

Introdução

As pessoas físicas e jurídicas periodicamente realizam pagamentos. A

capacidade e/ou conveniência de realizá-los de uma única vez ou

parceladamente é considerada no momento do fechamento de um negócio ou

da assinatura de um contrato.

Esta aula apresenta as regras utilizadas na matemática financeira para cálculos

em série de pagamentos, assim como o cálculo de amortizações e equivalência

de Fluxo de Caixa.

Objetivo:

1. Descrever as séries de pagamentos utilizadas na matemática financeira;

2. Identificar o conceito de equivalência de fluxo de caixa e os sistemas de

amortização comumente utilizados.

Conteúdo

Séries uniformes

Inicialmente, desenvolveremos as fórmulas usadas nas soluções de proble-mas

envolvendo séries uniformes de pagamentos ou recebi-mentos, no regime de

juros compostos.

As prestações, pagamentos ou recebimentos, são usualmente conhecidos como

a abordagem do Modelo Price, na qual todas as prestações têm um mesmo

valor, e normalmente são representadas pela sigla PMT.


Atenção

Fórmulas simplificadas para a capitalização e para o desconto de

parcelas podem ser obtidas mediante a utilização da expressão

para a soma de termos de uma progressão geométrica, que

apresentaremos no decorrer desta aula.

Obtendo o Valor Futuro correspondente

Para entender melhor o que acabamos de ver, vamos considerar o fluxo de

caixa a seguir que explicita um pagamento periódico, PMT, com o objetivo de

se obter o Valor Futuro correspondente, VF, no final do período:

O problema consiste em determinar o montante acumulado VF.

Isso acontecerá no final de n períodos, a partir da capitalização das n

prestações de uma série uniforme.

Todas essas séries possuem o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de

juros i por período, no regime de juros compostos.

A série uniforme PMT obedece à convenção de final de período, sendo,

portanto, denominada uma Série Postecipada!

Após exercício algébrico, transportando para o futuro cada prestação para o

final do período considerado na série, pode-se deduzir a fórmula a seguir:


Utilizando a mesma expressão, PMT pode ser obtido a partir de VF:

http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS597/docs/a3_exemplos1.pdf

para acessar alguns exemplos de exercícios resolvidos.

Obtendo o Valor Presente correspondente

Agora, vamos considerar o fluxo de caixa a seguir que explicita um pagamento

periódico, PMT, com o objetivo de se obter o Valor Presente correspondente,

VP, no início do período.

A obtenção do VP a partir do pagamento periódico PMT consiste no desconto

das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor e igual a

PMT, com uma taxa de juros i por período e no regime de juros compostos.

Da mesma maneira como no cálculo do VF, no cálculo do VP a série uniforme

PMT obedece à convenção de final de período, sendo, portanto, denominada

uma Série Postecipada.

Após exercício algébrico, transportando para o presente cada prestação para o

final do período considerado na série, pode-se deduzir a fórmula a seguir:



Utilizando a mesma expressão, PMT pode ser obtido a partir de VP:


para acessar alguns exemplos de exercícios resolvidos.

Amortização

Tendo sido apresentadas as fórmulas para calcular VF e VP nas séries de

pagamentos, consideraremos o conceito de Amortização.

Em termos genéricos, amortização é a parte da prestação que não corresponde

aos juros, ou seja, é a parte real que a dívida diminui:

Estudo da amortização

Observando, por exemplo, o último exercício resolvido, podemos estudar a

amortização em cada um dos períodos.



Observando os valores da coluna Amortização podemos perceber que a cada

mês os valores seguem a mesma progressão da taxa do período, ou seja, 1%:

Podemos afirmar que qualquer amortização do Modelo Price pode ser obtida

a partir da primeira amortização pela fórmula:

Ou seja, por exemplo,

Conceito de Equivalência de Fluxos de Caixa

Considerando uma determinada taxa de juros no regime composto, podemos

afirmar que dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes se seus Valores

Presente (VP) forem iguais.

Como estamos no regime de juros compostos, as verificações quanto à

equivalência são feitas pela já conhecida fórmula que calcula os valores do

fluxo para os períodos desejados.

Planos Equivalentes de Financiamento

A fim de estudar a equivalência de fluxos de caixa, vamos considerar a situação

do exercício resolvido já apresentado (exemplo 2), no qual se determinou o

valor das prestações mensais de um financiamento com juros mensais de 1%,


no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e VP de

$3.000,00.

A equação utilizada foi a seguinte:

Na condição desse problema, com prestações mensais iguais – Modelo Price,

foi possível analisar mês a mês a composição do pagamento, contendo a

parcela dos juros e da amortização.

Vejamos:

O Modelo Price costuma ser utilizado em operações de financiamento

imobiliário e de crédito direto ao consumidor.

Considerando esse fluxo de caixa como exemplo, veremos, a seguir, outras três

possibilidades de se pagar o financiamento mantendo-se as mesmas condições

de juros e prazo!

Outras possibilidades

Uma primeira alternativa é considerar um único pagamento no final do prazo.

Assim, a amortização da dívida também seria única.


Observando a amortização nesse quadro, o financiamento de $3.000,00 é

liquidado em um único pagamento de $3.153,03, no final do quinto mês, que

inclui juros de $153,03.

Outro fluxo de caixa equivalente possível, também com uma única

amortização, seria pagar os juros no final de cada mês e a amortização no

último mês.

Observando esse quadro, o financiamento de $3.000,00 é liquidado em cinco

pagamentos mensais de $30,00, correspondentes aos juros de cada mês, e

mais um pagamento de $3.000,00, no final do quinto mês, para a amortização.


Um outro fluxo de caixa equivalente é o que considera as amortizações

constantes Sistema de Amortizações Constantes – SAC.

Nesse caso, a amortização é obtida pela divisão do VP pelo prazo!

Atenção

Essa modalidade de pagamento é usualmente utilizada em

operações de financiamento imobiliário e nos financiamentos de

longo prazo de um modo geral.

Análise dos Planos Equivalentes de Pagamento

Considerando as possibilidades apresentadas de fluxo de caixa, podemos

verificar a equivalência, pois todos têm o mesmo valor presente de $3.000,00

se descontados na mesma taxa de 1% ao mês.

Atenção


Ao observarmos as várias tabelas com os fluxos, notamos que,

de acordo com o plano de pagamento, os valores pagos diferem,

dando a impressão de não equivalência. No entanto, se

reaplicarmos os juros sacados antes do prazo final nos

respectivos planos na mesma taxa de 1% ao mês e realizarmos

a soma, obteremos em todos os casos o valor que falta para

chegar a $153,03.

Juros Médios

Considerando uma situação em que a taxa de juros não é conhecida mas sabe-

se o valor fixo de uma prestação – Modelo Price, o VP e o prazo PMT =

$618,12, VP = $3.000,00 e prazo de 5 meses, por exemplo.

Para encontrar um valor aproximado para a taxa de juros pode-se proceder da

seguinte maneira:

Determinar o prazo médio do financiamento pela média aritmética do prazo

com o número 1 (no exemplo, (5+1)/2 = 3 meses).

Determinar a porcentagem total de juros em relação a VP (soma dos

juros/VP), no exemplo, $90,60/$3.000,00 = 0,0302.

Determinar os juros médios dividindo a porcentagem obtida no item 2 pelo

prazo no item 1. No exemplo, 0,0302/3 = 0,010067 ou 1,0067% ao mês.


Aplicando esse conceito no fluxo com Sistema de Amortizações Constantes

teríamos:

Percentual de juros = $90,00/$3.000,00 = 0,03 e, portanto, juros médios de

0,01 ou 1% ao mês.

Atividade proposta

Sabendo que:

• PMT1 = $1.000,00;

• PMT2 = $900,00;

• PMT3 =$1.312,16.

Determine a taxa efetiva mensal, no regime de juros compostos, que faz com

que os dois fluxos de caixa da figura abaixo sejam equivalentes.

Aprenda Mais

Para saber mais sobre o que estudamos até aqui, leia os capítulos 6 e 8 da obra

a seguir:

• PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo:



Referências


Atlas, 2001, 6. ed.




Questão 1

Um banco financia automóveis em um prazo de três anos com uma taxa efetiva

de 2% ao quadrimestre, no regime de juros compostos. Qual o valor da

prestação quadrimestral de um automóvel cujo valor à vista é de $60.000,00?

a) $9.433,12

b) $8.250,53

c) $7.350,93

d) $8.233,52

e) $7.455,07

Questão 2

Uma dívida deve ser liquidada em duas prestações quadrimestrais iguais a

$1.500,00. Determine o valor do VP dessa dívida sabendo-se que o

financiamento foi estabelecido com uma taxa de 2% ao mês no regime de juros

compostos.

a) $3.118,12

b) $3.021,57

c) $2.855,14


d) $2.933,12

e) $2.666,01

Questão 3

Um financiamento de $2.000,00 de VP deve ser amortizado em cinco

prestações mensais iguais e sucessivas. A taxa de juros no financiamento é de

3% ao mês, no regime de juros compostos. Determine o valor da prestação

mensal sabendo que o pagamento da primeira prestação deverá ocorrer no ato

da liberação dos recursos.

a) $501,37

b) $423,99

c) $467,14

d) $512,12

e) $489,54

Questão 4

Um banco remunera os depósitos de seus investidores na base de 1,3% ao

mês, no regime de juros compostos. Um investidor realiza nesse banco cinco

depósitos mensais de $600,00. Determine o valor do saldo acumulado no final

do oitavo mês após o primeiro depósito.

a) $3.242,28

b) $3.123,99

c) $3.567,14

d) $3.312,12

e) $3.489,54


Questão 5

Sabendo que uma caderneta de poupança oferece uma taxa de juros de 0,5%

ao mês, no regime de juros compostos, determine o valor do depósito que

acumule um montante de $12.000,00 no final de um ano, imediatamente após

o último depósito.

a) $942,28

b) $823,99

c) $967,14

d) $814,17

e) $972,80

Questão 6

Considere um financiamento de $3.800,00 contratado para pagamento em dez

meses no qual se pagou de juros um total de $265,00. Determine os juros

médios desse financiamento.

a) 1,1823% ao mês;

b) 1,2814% ao mês;

c) 0,9831% ao mês;

d) 1,2679% ao mês;

e) 1,2503% ao mês.

Questão 7

Considere os fluxos de caixa abaixo e determine X para que eles sejam

equivalentes com uma taxa de juros de 12% ao ano.


a) X= $4.798,47

b) X= $5.697,35

c) X= $4.972,34

d) X= $5.314,58

e) X= $5.064,45

Questão 8

Considere os fluxos equivalentes na figura abaixo e calcule a razão entre PMT1

por PMT2 com uma taxa de juros de 10% ao ano.

a) 0,426543;

b) 0,245642;

c) 0,398192;

d) 0,453675;

e) 0,547234.

Questão 9

O valor das prestações mensais de um financiamento com juros mensais de

1%, no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e

VP de $1.000,00 é de $206,04. Considerando o Modelo Price, o total de juros

pagos é de:

a) $30,20;

b) $26,40

c) $32,25

d) $43,50


e) $54,60

Questão 10

Um financiamento com juros mensais de 1%, no regime de juros compostos,

com prazo da operação de cinco meses e VP de $1.000,00 é negociado no

modelo de amortizações constantes (SAC). Nesse caso, o total de juros pagos

é de:

a) $40,00;

b) $56,30;

c) $45,20;

d) $30,00;

e) $42,10.


Aula 4: Análise de investimentos

Introdução

Os empreendedores bem-sucedidos são aqueles que, apesar de tomarem

decisões que envolvem riscos, sabem avaliá-los objetivamente.

Grande parte das decisões sobre investimentos envolvem cálculos inerentes à

matemática financeira, utilizando conceitos e fórmulas para análise de possíveis

linhas de ação na tomada de decisão.

Nesta aula, apresentaremos algumas metodologias utilizadas na matemática

financeira para análise de investimentos, assim como utilizaremos a calculadora

HP 12C como ferramenta versátil na solução de diversos problemas.

Objetivo:

1. Descrever metodologias para análise de investimentos;

2. Definir a calculadora HP 12C como ferramenta útil e prática para a solução

de problemas de matemática financeira.

Conteúdo

Análise de investimentos

Alguns critérios objetivos devem ser observados para que as avaliações possam

indicar o melhor caminho a seguir para a análise de um projeto ou de

alternativas de investimentos.

Inicialmente, é importante observar que, para cada alternativa, os fluxos de

caixa correspondentes devem ser conhecidos. Em projetos, obtemos os fluxos

de caixa por várias maneiras.


Uma vez conhecidas as receitas e os custos, construímos o fluxo de caixa

esperado para um determinado projeto!


Receitas e custos

No que diz respeito aos conceitos relacionados à análise de um projeto ou de

alternativas de investimentos, podemos destacar dois importantes:

Custo de oportunidade

As análises precisam também incluir o chamado custo de oportunidade do

capital. O custo de oportunidade é o retorno que se obteria se os recursos do

projeto fossem aplicados na melhor alternativa possível ao projeto em questão,

considerando que essa alternativa foi abandonada para que se realizasse o

projeto.

Taxa de atratividade

Outro importante conceito correlacionado é o de taxa de atratividade.

Considerando que é possível tomar empréstimos no mercado financeiro à taxa

de juros de mercado para realizar empreendimentos ou que se possam aplicar

os recursos nesse mercado a essa mesma taxa, esta é considerada a mínima

taxa de atratividade para o empreendimento, pois reflete o custo de

oportunidade do capital. Por essa razão, normalmente adotamos a taxa de

juros de mercado para descontarmos fluxos de caixa.

Alternativas de investimentos em empreendimentos

Para compararmos alternativas de investimentos em empreendimentos, alguns

critérios podem ser utilizados. São eles:

• Critério do Valor Presente;

• Critério da razão Benefício/Custo;

• Critério da Taxa Interna de Retorno.


A seguir, traremos de cada um desses critérios!

Critério do Valor Presente

O valor presente de um empreendimento é o Valor Presente (VP) do seu fluxo

de caixa que é obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que

reflita o custo de oportunidade do capital investido nesse empreendimento.

Considerando o caso de uma única alternativa para o empreendimento, o VP

de seu fluxo de caixa indicará a viabilidade desse empreendimento.

Vejamos:

VP > 0, empreendimento viável

VP = 0, indiferente

VP < 0, empreendimento inviável

Caso o VP do empreendimento for maior ou igual a zero, podemos entender

que, para a taxa de juros considerada, o valor que atribuímos hoje às suas

receitas futuras é maior ou igual aos custos de sua implantação e de sua futura

operação, representando portanto os lucros futuros na data atual.

Logo, quanto maior for o VP, melhor o empreendimento.

Atenção

É comum utilizar o Valor Presente Líquido (VPL), na

consideração de cálculo de viabilidade, pois este reflete a receita

líquida do empreendimento.

Cálculo do Valor Presente

Considere o seguinte exemplo de cálculo do VPL em um projeto:


O VPL de $8,41 indica o lucro do empreendimento no final do quinto ano.

Como é maior do que zero indica a viabilidade, ou seja, a progressão das

receitas supera a dos custos.

Análise das alternativas de empreendimentos

Quando existem alternativas de empreendimentos a serem analisadas temos de

considerar se:

As alternativas geram receitas iguais com custos distintos

Essa condição se observa quando as receitas seguem um padrão bem definido

em uma relação direta com os resultados esperados do projeto. Nesse caso,

dispensamos o fluxo de receitas e nos concentramos na análise do fluxo de

custos. A alternativa a ser escolhida é aquela que possui o menor VP, indicando

menor custo.

As alternativas geram receitas iguais com custos distintos

Existindo lucro, a alternativa a ser escolhida é aquela que apresenta maior VP,

indicando maior lucro esperado.


Quando as alternativas apresentam receitas e custos distintos, é necessário ter

uma base única de tempo (duração) para que comparações possam ser feitas.

Alternativas com durações distintas não podem ser comparadas. Nesse caso, a

saída é repetir as atividades com seus respectivos fluxos no tempo procurando

um múltiplo comum, até que se consiga empreendimentos com a mesma

duração.

Outra abordagem para o caso de receitas e custos distintos é nivelar as

durações das alternativas pela menor duração e calcular o valor residual das

outras nessa data. Esse procedimento é aplicado quando a repetição do

empreendimento para a busca do tempo múltiplo comum conduz a análise num

horizonte de tempo tão grande que torna a abordagem pouco realista. Na

prática, o que se faz é calcular o VP do resto do fluxo de caixa usando, para

isso, a taxa interna de retorno do empreendimento ao invés da taxa de

mercado.

Critério da Razão Benefício/Custo

A razão Benefício/Custo é a razão entre o VP das receitas pelo VP dos custos.

Para sabermos se o empreendimento é viável, devemos considerar as seguintes

alternativas:

B/C > 1

Se a fração for maior do que 1, é porque o VP das receitas é maior, sendo

portanto a situação desejável.

Conclusão: empreendimento viável.

B/C = 1

Se a fração for igual a 1, os VP da receita e custo são iguais, correspondendo a

uma situação de indiferença entre realizar ou não o empreendimento.


Conclusão: indiferente.

B/C < 1

Se a fração obtida for menor do que 1 é porque o VP dos custos é maior,

indicando que o empreendimento não deve ser realizado.

Conclusão: empreendimento inviável.

Critério da Taxa Interna de Retorno (TIR)

A Taxa Interna de Retorno (TIR), é a taxa que torna o VP igual a zero, ou

seja, indica o limiar da viabilidade de um empreendimento associado a um

determinado fluxo de caixa.

Como a expressão algébrica que indica o VP de um fluxo de caixa é um

polinômio de grau n, em que n indica o fluxo de caixa mais distante da data de

cálculo do VP, ao igualarmos a zero esse polinômio, temos uma equação que

matematicamente admite n soluções.

Normalmente, a taxa interna de retorno é uma referência. O empreendedor

pode comparar a TIR com alguma taxa mínima aceitável, por exemplo,

i<sub>0</sub>. Nesse caso, podemos analisar algumas situações:


Uso da calculadora HP-12C

Agora, nós estudaremos os conceitos essenciais para o entendimento das

operações financeiras da calculadora HP-12C, que é uma calculadora

desenvolvida para atender às demandas de cálculos nas áreas financeira e

estatística, capaz de efetuar operações matemáticas e buscar soluções

otimizadas via algoritmos nela embutidos.

Você conhece essa calculadora?

Uma característica da HP-12C é a disposição de várias teclas especiais para

cálculos:

• Estatísticos

Média, desvio-padrão, regressão linear.

• Financeiros

n, i, PV, PMT e FV.


Características e Operações Básicas

A calculadora dispõe de quatro memórias transitórias denominadas X, Y, Z e T.

Elas operam como se fossem uma pilha de quatro valores e possuem as

seguintes características:

A primeira memória, a X, é sempre aquela cujo conteúdo aparece no visor.

As memórias Y, Z e T atuam como se estivessem empilhadas nessa ordem em

cima da memória X;

Os conteúdos das memórias X e Y são utilizados em todas as operações

aritméticas;

Os conteúdos das quatro memórias são movimentados na sequência do

empilhamento quando:• A tecla ENTER é acionada;

• São efetuadas operações aritméticas (+,˗, ×, ÷);

• São acionadas as teclas R, ou X><Y.

O conteúdo de cada uma das memórias pode ser substituído nas

movimentações. Por exemplo, quando o conteúdo da memória X é transferido

para a memória Y, a Y passa a conter o valor existente em X, e essa continua

com seu valor inalterado.

Atenção

Quando um número é digitado, ele passa a ocupar a memória X.

Ao se acionar ENTER o conteúdo de X é transferido para Y, o de

Y para Z, o de Z para T, e o conteúdo de T é descartado, ou

seja, todos os conteúdos da pilha sobem um nível e o da

memória T é perdido.


Para tratar das quatro memórias transitórias da calculadora HP-12C, devemos

destacar algumas teclas desse equipamento. Vamos ver quais são elas e para

que servem?

CHS

A tecla CHS troca o sinal (change sign) do conteúdo da memória X.

R

A tecla R troca os conteúdos das quatro memórias, Y para X, X para T, T para

Z e Z para Y.

XY

A tecla XY permuta os valores das memórias X e Y.

CLX

A tecla CLX limpa o conteúdo da memória X (clear X).


Tecla STO (store)

É utilizada para armazenar e operar valores em 20 memórias fixas indexadas de

0 a 9 e de .0 a .9.

Para armazenar um número em uma das memórias fixas, é preciso digitar o

número, STO, e o endereço da memória.

Por exemplo, se digitarmos 30, STO e 1, o número 30 será guardado na

memória 1.

Tecla RCL (recall)

Serve para chamar os valores das 20 memórias fixas para o visor da

calculadora. Para isso basta digitar o endereço da memória desejada após o

RCL.

+, ˗, ×, ÷

As teclas +,˗, ×, ÷ efetuam as operações aritméticas com o conteúdo das

memórias X e Y utilizando a seguinte lógica: número1, ENTER, número2,

operador. A operação é mostrada no visor.

Atenção

A maioria das teclas da HP-12C tem mais de uma função, o que

pode ser observado nas cores amarela ou azul dos símbolos ou

caracteres em várias teclas ou acima dessas.

O acesso às funções é obtido pelas teclas amarela (f) e azul (g).

Para realizarmos as funções amarela ou azul de cada tecla, basta

que as teclas amarela (f) e azul (g) sejam, respectivamente,

acionadas imediatamente antes de pressionar a tecla desejada.

No que diz respeito à limpeza das memórias na HP-12C, essa


pode ser feita:• Pela tecla CLX (clear X);

• Pela função amarela FIN (limpa as cinco memórias

financeiras: n, i, PV, PMT e FV);

• Pela função amarela REG (limpa de uma vez as memórias

transitórias, fixas e financeiras).

Vamos ver um exemplo de cálculo feito nessa calculadora?

Teclas financeiras

Como o objetivo nesta aula é utilizar a calculadora para solução de problemas

financeiros, convém apresentar as convenções adotadas para as teclas

financeiras:

n

Número de períodos de capitalização de juros para vários períodos. Os valores

de n podem ser números inteiros ou fracionários.

i


Taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcentagem.

PV

Valor Presente (VP).

PMT

Valor de cada prestação de uma série uniforme que ocorre no final de cada

período (série postecipada) ou no início de cada período (série antecipada).

FV

Valor Futuro (VF).

Atenção

Para realizar cálculos:• Para uma série postecipada é

necessário ativar a função azul END.

• Para uma série antecipada, é necessário ativar a função azul

BEG. Nesse caso o visor mostra a palavra BEGIN para

informar que a função está ativa.

Informações básicas

Ao utilizarmos a calculadora HP-12C, devemos estar atentos às seguintes

informações:

A calculadora interliga os cinco elementos financeiros seguindo as regras de

juros compostos. Problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser

resolvidos com a anulação do quinto elemento, que não participa do problema.


Os valores monetários (PV, FV e PMT) devem ser registrados na calculadora

sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, entradas de caixa

(recebimentos) devem ter o sinal positivo, e as saídas de caixa (pagamentos)

sinal negativo.

A calculadora HP-12C aceita o valor de n como um número inteiro ou

fracionário, porém é necessário um procedimento adicional para assegurar que

o tratamento do regime de juros compostos será feito no caso de n fracionário.

Se nada for feito, a calculadora adotará para a parte inteira de n o regime de

juros compostos e para a parte fracionária o regime de juros simples.

Para garantir o tratamento no regime de juros compostos é acionar as teclas

STO e EEX. O visor mostrará a letra C indicando que o cálculo será feito no

regime de juros compostos.

No caso de fluxos de caixa não homogêneos, ou seja, quando não há

regularidade que justifique aplicação de séries de pagamentos/recebimentos, as

cinco funções financeiras da HP-12C não são indicadas para o melhor

aproveitamento dos cálculos.

Essa situação é o caso da maioria dos fluxos de caixa de projetos para os quais

normalmente calculamos VPL e TIR. O caminho indicado é inserir o fluxo de

caixa na memória da calculadora pelo uso das teclas azuis (acesso g) CF0

(fluxo no período zero) e CFj (demais fluxos a partir do período 1) e utilizar as

funções financeiras NPV (Net Present Value – VPL) e IRR (Internal Rate of

Return – Taxa Interna de Retorno).

Atividade Proposta

Pretende-se vender uma empresa com base em sua expectativa de ganhos

futuros. Com base no quadro a seguir, que contém os custos e receitas

esperados, partindo-se da premissa de que a taxa de atratividade do negócio é


de 15% e de que o menor valor de venda da empresa é representado pela sua

expectativa de ganhos, calcule o seu VPL e interprete o resultado obtido.

Chave de resposta

Inicialmente, obtemos o fluxo de caixa correspondente:

Utilizando a calculadora HP-12C:

40; CHS; g; CF0; 0; g; CFj; 10; g; CFj; 20; g; CFj; 20; g; CFj; 10; g; CFj;

20; g; CFj.

Com o fluxo registrado podemos calcular o VPL: 15; i; f; NPV.

O resultado do VPL é, portanto, $5.770.000,00.


Aprenda Mais

Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, sugerimos a leitura dos

capítulos 6 ao 9 do seguinte livro:

• PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6. ed. São

Paulo: Saraiva, 1999. cap. 2-6.

Referências


Atlas, 2001, 6.ª ed.




Questão 1

A fim de que seja tomada uma decisão quanto à venda de uma empresa calcule

o VPL do fluxo de caixa a partir das informações abaixo. A taxa de atratividade

é de 10% ao ano.

a) 14,12

b) 12,53

c) 10,93

d) 16,89

e) 18,07

Questão 2


Dada a tabela a seguir com as receitas e os custos de um empreendimento,

calcule a razão benefício/custo do mesmo considerando uma taxa de

atratividade de 10% ao ano.

a) 0,93

b) 0,97

c) 1,07

d) 1,34

e) 1,16

Questão 3

Dado o fluxo de caixa abaixo que representa um empreendimento e calcule sua

respectiva Taxa Interna de Retorno (TIR).

a) 27,56% a.a.

b) 25,00% a.a.

c) 26,32% a.a.

d) 31,26% a.a.

e) 30,72% a.a.

Questão 4

Determine o VP do fluxo de caixa da tabela a seguir considerando uma taxa de

juros de 12% a.a.

a) $229,54

b) $223,99

c) $267,14


d) $212,12

e) $289,55

Questão 5

Qual a TIR do projeto cujo fluxo de caixa está transcrito no quadro abaixo?

a) 19,26%

b) 23,48%

c) 16,88%

d) 21,65%

e) 20,72%

Questão 6

Utilizando a calculadora HP-12C, determine o Valor Presente de um

financiamento com juros mensais de 2%, no regime de juros compostos,

estabelecido em 10 prestações sucessivas mensais iguais a $2.000,00.

a) $17.582,76;

b) $17.729,27;

c) $17.634,12;

d) $17.965,17;

e) $17.797,21.

Questão 7

Um banco remunera os depósitos de seus investidores na base de 1,3% ao

mês, no regime de juros compostos. Um investidor realiza nesse banco cinco

depósitos mensais de $600,00. Utilizando a calculadora HP-12C, determine o

valor do saldo acumulado no final do oitavo mês após o primeiro depósito.


a) $3.242,28

b) $3.123,99

c) $3.567,14

d) $3.312,12

e) $3.489,54

Questão 8

A compra de um automóvel anunciado a $30.000,00 está sendo financiada em

36 prestações mensais de $1.295,00. Utilizando a calculadora HP-12C,

determine a taxa efetiva mensal cobrada nesse financiamento, no regime de

juros compostos.

a) 2,84%;

b) 2,73%;

c) 2,61%;

d) 2,58%;

e) 2,43%.

Questão 9

O preço à vista de um equipamento é igual a $13.700,00. O anúncio de venda

desse equipamento é $3.700,00 de entrada mais 24 prestações mensais de

$570,00. Utilizando a calculadora HP-12C, determine a taxa efetiva mensal de

juros cobrada na parte financiada.

a) 2,68%;

b) 2,53%;

c) 2,61%;


d) 2,58%;

e) 2,43%.

Questão 10

Considere o fluxo de caixa abaixo e utilizando a calculadora HP-12C calcule o

VPL para uma taxa de desconto de 12% ao ano.

a) $408,00;

b) $565,30;

c) $451,20;

d) $417,02;

e) $424,10.


Aula 5: Probabilidade

Introdução

As situações-problema encontradas no dia a dia do profissional de negócios, em

sua grande maioria, não se enquadram nos modelos dos fenômenos

determinísticos analisados na física e na engenharia, nos quais observamos

nítidas relações de causalidade, como, por exemplo, a variação de velocidade

dos corpos atraídos para o centro da Terra (aceleração da gravidade).

Nos casos em que é possível examinar relações entre variáveis, porém sem

nítida relação de causalidade e com certo grau de aleatoriedade, a modelagem

que relaciona as variáveis pode ser feita ao considerarmos o fenômeno como

de natureza probabilística.

Esta aula apresenta conceitos fundamentais de estatística descritiva e conceitos

de correlação e regressão no tratamento de conjuntos de dados entre os quais

se deseja estabelecer algum grau de relação.

Objetivo:

1. Apontar os fundamentos de estatística descritiva;

2. Definir os conceitos de correlação e regressão e sua importância para as

relações entre variáveis.

Conteúdo

Conceitos elementares: estatística, população e amostra

Para iniciar nossos estudos, vamos entender as diferenças entre estatística,

população e amostra?


Estatística

É um resumo de dados. Os dados são necessários para gerar informações,

tanto para aplicação estratégica quanto operacional, utilizadas para auxiliar na

tomada de decisão. Entretanto, os dados brutos são apresentados de maneira

desordenada e é necessário decodificá-los em informação e conhecimento. Para

isso existem métodos científicos para a coleta, resumo e apresentação de dados

que viabilizam análises objetivas para auxílio à solução de problemas.

População

É um grande conjunto sobre o qual desejamos colher informações. A população

que seja considerada de interesse para algum estudo pode ser finita ou infinita,

e pode estar mais ou menos acessível. Em alguns casos, é praticamente

impossível ter acesso à totalidade do universo em questão.

Amostra

É um subconjunto de uma população utilizado para coletar dados quando é

impraticável observar a totalidade do grupo. Se uma amostra é representativa

de sua população de origem, é possível analisar certas características dessa

população a partir de medidas colhidas na amostra. A parte da estatística que

trata da representatividade chama-se inferência. A parte da estatística que

procura somente descrever os dados, sem tirar conclusões sobre um grupo

maior, é a estatística descritiva.

Tratamento dos dados

Essencialmente, o tratamento dos dados é feito em amostras.

Para que seja mais fácil de identificar parâmetros de interesse, muitas vezes

utilizamos gráficos que nos ajudam a destacar certas estatísticas calculadas.

Planilhas eletrônicas com seus recursos gráficos são muito úteis para o cálculo

e a apresentação de resultados de estatísticas.


O cálculo de estatísticas é feito por meio de fórmulas matemáticas que buscam

medir determinadas características de interesse.

Para conseguirmos utilizar fórmulas, é necessário definir variáveis, sejam elas

contínuas ou discretas, dependendo do fenômeno observado. Essa prática é o

início da abstração matemática, quando associamos algum número à

característica observada.

Isso é útil para tornar a abordagem de determinado problema mais objetiva e

menos subjetiva, tentando enxergar aspectos quantitativos em problemas que

se apresentam de forma subjetiva.

Distribuições de frequência

A contagem do número de vezes que determinado evento ocorre muitas vezes

é útil para tornar objetiva a abordagem de um problema particular.

Ao contarmos quantas vezes um dado se repete, podemos comparar o número

obtido com a repetição dos demais dados em uma amostra ou população e

concluirmos sobre suas características particulares.

Para resumir um conjunto de dados em estatísticas, costumamos distribuir

esses dados em classes ou categorias, determinando o número de elementos

dentro de cada classe e, dessa maneira, obtendo a frequência da classe. Essa

organização dos dados é mais fácil de ser feita em tabelas ou planilhas.

Medidas de tendência central

A procura por estatísticas que representem uma determinada amostra ou

população leva à busca por um indicador numérico que melhor represente a

maioria dos dados.

Um valor equidistante dos extremos (menor e maior valor) deixaria de

considerar a influência dos dados entre esses extremos, podendo conduzir a

uma escolha de número não condizente com o conjunto que quer representar.

Usualmente, escolhemos a tendência central da população ou as amostras:


http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS597/docs/Media_arit

metica.pdf

Mediana

Para que possamos obter a mediana de um conjunto de dados é necessário

organizar o conjunto em ordem de grandeza, ou seja, dispor os dados do

menor valor para o maior.

A mediana é o valor central em conjuntos com N ímpar ou a média aritmética

dos dois valores centrais em conjuntos com N par.

Moda

A moda de um conjunto de números é o valor (ou valores) que ocorre(m) com

a maior frequência, ou seja, o valor mais comum. Quando todos os números

possuem a mesma frequência, dizemos que não há moda.

Medida de Dispersão

É o grau de espalhamento dos dados em torno de um valor médio. As medidas

de dispersão mais usuais são a amplitude total e o desvio-padrão.

Amplitude total

A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor número de um

conjunto de dados.

Desvio-padrão

A ideia de obter um desvio-padrão surgiu na busca de um valor médio de todos

os desvios em relação à média aritmética, ou seja, a média dos desvios da

média. Uma vez conhecida a média aritmética, podemos calcular o desvio de

cada dado dessa média (Xi -).

http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS597/docs/Media_aritmetica.pdf

http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS597/docs/Media_aritmetica.pdf


Correlações

A busca por soluções de problemas muitas vezes requer explorar conjunto de

dados para a obtenção de informações relevantes. Assim, a leitura do grau de

relação entre duas ou mais variáveis muitas vezes se faz necessária para ser

possível concluir sobre qual modelo melhor se aplica para auxiliar em

determinada solução.

A ciência estatística fornece ferramentas úteis para a análise de conjuntos de

dados, podendo auxiliar no estabelecimento de expressões matemáticas que

relacionem esses dados, ou seja, equações que liguem duas ou mais variáveis.

Vejamos duas dessas ferramentas:

Regressão

O conceito de regressão, segundo a estatística, está associado à estimação de

uma variável (dependente) a partir de uma ou mais variáveis correlatas

(independentes).

Correlação

A correlação estabelece o grau de relação entre as variáveis e determina quão

bem uma equação linear descreve ou explica a relação entre variáveis

associadas ao conjunto de dados.

Utilizando os conceitos que acabamos de ver, podemos obter os seguintes

resultados:

Correlação perfeita

Quando é possível observar que todos os valores das variáveis satisfazem

exatamente uma determinada equação, pode-se afirmar que há uma correlação

perfeita entre elas. Isso pode ser observado, por exemplo, se medirmos

circunferências e compararmos tais medidas com as medidas dos respectivos

diâmetros.


Se dividirmos os valores das circunferências pelos diâmetros encontraremos

sempre o número 3,1415..., ou o número pi.

Resultados não correlacionados

Por outro lado, se realizarmos múltiplos lançamentos simultâneos de dois

dados, um fenômeno nitidamente aleatório, não observaremos relação entre os

números obtidos em cada lançamento, ou seja, os resultados obtidos não são

correlacionados.

Atenção

No caso em que somente duas variáveis estão em jogo, dizemos

que é o caso de correlação e regressão simples. Quando se

trata de mais de duas variáveis, dizemos que é o caso de

correlação e regressão múltipla. Como esta aula se insere no

contexto de fundamentos de estatística, vamos tratar somente

de correlação e regressão simples.

Correlação linear

Se X e Y representam duas variáveis, é possível construir um diagrama com os

pares ordenados (X, Y) em um sistema de coordenadas retangulares. Esse

diagrama é conhecido como diagrama de dispersão.

As possibilidades da disposição desses pontos no diagrama são várias, porém,

no caso de haver correlação entre as variáveis, podemos observar

concentrações dos pontos em áreas específicas do gráfico. Quando todos os

pontos do diagrama parecem cair nas proximidades de uma reta, a correlação

existente é denominada linear.


Nesse caso, uma equação linear é apropriada para estimação da regra de

relação entre as variáveis, ou seja, para a regressão:

Correlação positiva

Se Y tende a aumentar quando X cresce, a correlação é denominada positiva ou

direta.

Correlação negativa

Se Y tende a diminuir quando X aumenta a correlação é denominada negativa

ou inversa.

Correlação não linear

Se os pontos estiverem próximos de alguma curva, a correlação é denominada

não linear e uma equação não linear é apropriada para a regressão.


Não correlação

Quando, ao observarmos um gráfico, não percebemos alguma concentração

dos pontos nas proximidades de alguma linha, não há relação direta entre as

variáveis, ou seja, não há correlação entre elas.

Linha de regressão de mínimos quadrados

Quando se deseja verificar quão bem uma linha reta representa a relação entre

duas variáveis, equações da reta de regressão de mínimos quadrados podem

ser utilizadas.

O estabelecimento da reta de regressão é feito para ajustar a melhor reta pelos

pontos que representam as duas variáveis. Essencialmente, uma reta de

regressão de mínimos quadrados de Y para X pode ser obtida de duas formas:


Coeficiente de Correlação


Atenção

Uma correlação perfeita (-1 ou 1) indica que o valor de uma

variável pode ser determinado exatamente ao se saber o valor

da outra.

No oposto, uma correlação de valor zero indica que não há

relação linear entre as variáveis. Não há unanimidade de critério

para interpretar os valores intermediários. Alguns autores

apontam para uma classificação ligeiramente diferente:

• r = 0,10 até 0,30 (fraco);

• r = 0,40 até 0,6 (moderado);

• r = 0,70 até 1 (forte).

Atividade proposta

A produção de aço de um país, em milhões de toneladas, no período de 2001 a

2007, está indicada na tabela a seguir. Determine a equação de uma reta de

mínimos quadrados que se ajuste aos dados.


Como se trata de uma série temporal (anos), para facilidade dos cálculos, é

conveniente trabalhar com uma variável X iniciando em zero com incremento 1.

A reta dos mínimos quadrados é Y = 4,59X - 175,25.

Referências

NAZARETH, H. Curso Básico de Estatística. São Paulo: Editora Ática, 1995.

SPIEGEL, M. R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1993.


Questão 1

Os salários mensais de seis funcionários são: R$1.950,00, R$4.230,00,

R$3.260,00, R$2.780,00, R$5.830,00 e R$3.690,00. Determine a razão entre a

média aritmética e a mediana de seus salários.

a) 1,12

b) 1,53

c) 0,93

d) 1,04


e) 0,87

Questão 2

Entre 100 números, vinte são 3, quarenta são 4, trinta são 5 e os restantes são

6. Determine a média aritmética dos números.

a) 4,5

b) 2,9

c) 3,2

d) 3,8

e) 4,3

Questão 3

Considere a tabela a seguir que registra a contagem do número de alunos em

classes de estatura (altura) em uma sala de aula onde estudam cem alunos.

Determine a média das alturas dos alunos.

a) 175,78

b) 169,94

c) 158,27

d) 176,26

e) 155,92

Questão 4

Os salários mensais de seis funcionários são: R$1.950,00, R$4.230,00,

R$3.260,00, R$2.780,00, R$5.830,00 e R$3.690,00. Calcule o desvio-padrão

dos salários.

a) R$1.216,90


b) R$1.345,67

c) R$957,14

d) R$1.212,12

e) R$1.289,55

Questão 5

Considere a tabela a seguir que registra a contagem do número de alunos em

classes de estatura (altura) em uma sala de aula onde estudam cem alunos.

Determine o desvio-padrão das alturas dos alunos.

a) 5,78

b) 8,94

c) 7,27

d) 6,91

e) 7,92

Questão 6

A tabela a seguir apresenta registros das massas de 10 pais e de seus

respectivos filhos mais velhos. A reta de regressão de mínimos quadrados

correspondente é:

a) Y = 29,45 + 0,45X

b) Y = 31,67 + 0,32X

c) Y = 45,55 + 0,57X

d) Y = 32,77 + 0,54X

e) Y = 24,51 + 0,65X


Questão 7

Determine o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y apresentadas na

tabela a seguir.

a) 0,98

b) 0,75

c) 0,65

d) 0,88

e) 0,95

Questão 8

Determine a reta de regressão de mínimos quadrados para as variáveis X e Y

apresentadas na tabela a seguir.

a) Y = 0,64X + 0,86

b) Y = 0,63X + 0,87

c) Y = 0,64X + 0,88

d) Y = 0,63X + 0,89

e) Y = 0,64X + 0,90

Questão 9

A tabela a seguir indica as idades, X, e as pressões arteriais, Y, de 8 mulheres.

Determine o coeficiente de correlação entre X e Y.

a) 0,87

b) -0,95

c) -0,87


d) 0,93

e) 0,95

Questão 10

A tabela a seguir indica as idades, X, e as pressões arteriais, Y, de 8 mulheres.

Apresente a reta de regressão de mínimos quadrados correspondente.

a) Y = 0,67X + 52,86

b) Y = 1,16X + 78,48

c) Y = 1,54X + 45,88

d) Y = 0,93X + 33,89

e) Y = 1,64X + 76,90


Aula 6: Estatística Descritiva

Introdução

Muitos fenômenos observados na natureza e em problemas para os quais

buscamos soluções são de natureza probabilística, isto é, possuem

comportamento com certo grau de aleatoriedade e consequente

imprevisibilidade.

Essa constatação conduziu à busca e posterior organização do conhecimento

para formulação de modelos que tratassem tais fenômenos aleatórios no

contexto da chamada teoria das probabilidades.

Esta aula apresenta conceitos fundamentais da teoria das probabilidades e

também algumas distribuições de probabilidade utilizadas em modelagens para

solução de problemas.

Objetivo:

1. Apontar os fundamentos da teoria de probabilidades;

2. Definir distribuições de probabilidade úteis na modelagem e solução de

problemas.

Conteúdo

Definições de probabilidade

Você sabe o que significa probabilidade? Vejamos duas importantes definições

para esse conceito:

Grau de certeza sobre a ocorrência

A palavra probabilidade, sem ainda considerar aspectos matemáticos, está

associada ao grau de certeza sobre a ocorrência de um determinado evento de

interesse.


Supondo que um evento E pode ocorrer de h maneiras diferentes, em um total

de n modos possíveis e igualmente prováveis, logo, a probabilidade de

ocorrência do evento (sucesso) é definida por:

Considerando a probabilidade de não ocorrência do evento (insucesso), esta

pode então ser definida por:

Ou seja, p + q = 1.

Frequência relativa de sua ocorrência

Uma outra definição de probabilidade de um evento é a frequência relativa

de sua ocorrência, quando o número de observações é muito grande.

A probabilidade é, portanto, o limite da frequência relativa, quando o número

de observações tende ao infinito, ou seja, cresce indefinidamente.

Probabilidade condicional e independência de eventos

Se E1 e E2 são eventos, a probabilidade de E2 ocorrer, depois de E1 ter

ocorrido, é representada por:

Logo, definida como probabilidade condicional de E2 ocorrer, dado que E1

ocorreu.

Se a ocorrência ou não de E1 não afetar as chances de ocorrência de E2,

então:


Então, dizemos que E1 e E2 são eventos independentes. Caso contrário, são

eventos dependentes.

Quando eventos ocorrem em série, ou seja, um ocorre e outro ocorre, podemos

representar por E1E2 a ocorrência de ambos os eventos E1 e E2 e dizemos que

é um evento composto.

Cálculo da probabilidade de eventos

O cálculo da probabilidade de eventos ocorre com a utilização da lei da

multiplicação. Cada evento contará com uma equação específica. Vejamos:

Atenção

Esse conceito pode ser estendido para n eventos independentes, ou

seja, a probabilidade de ocorrência em série é o produto das

probabilidades de ocorrência de cada evento.

Eventos mutuamente exclusivos

Se a ocorrência de um evento exclui a de outros, dizemos que eles são

mutuamente exclusivos ou excludentes. Logo, se E1 e E2 são eventos

mutuamente exclusivos:


Se E1 + E2 representa a ocorrência de “E1 ou de E2 ou de ambos”, então:

Para eventos mutuamente exclusivos:

Atenção

Esse conceito pode ser estendido para n eventos mutuamente

exclusivos, ou seja, a probabilidade de ocorrência em paralelo é a

soma das probabilidades de ocorrência de cada evento.

Distribuições de probabilidades

A fim de introduzirmos o conceito de distribuição de probabilidades, vamos

utilizar uma variável X para representar os possíveis valores observados em

eventos.

Inicialmente, vamos considerar valores discretos para X, ou seja, um conjunto

de valores discretos X1, X2, ..., Xk com probabilidades de ocorrência p1, p2, ...,

pk, respectivamente. Nesse caso:

A distribuição de probabilidade é dita discreta.

A função p(X) que assume os valores p1, p2, ..., pk, respectivamente, para X =

X1, X2, ..., Xk, é denominada função de probabilidade ou de frequência de X.


Como X pode assumir um conjunto finito de valores com respectivas

probabilidades, ele é denominado uma variável aleatória discreta.

Nos casos em que a variável X pode assumir um conjunto contínuo de valores,

o mesmo raciocínio, visto anteriormente, pode ser aplicado e X passa a ser uma

variável aleatória contínua, com correspondente distribuição de probabilidade

contínua.

O polígono de frequência relativa de uma amostra torna-se, para uma

população, uma curva contínua semelhante à apresentada a seguir:

A área total limitada pela curva e o eixo X é igual a 1, e a área compreendida

entre as verticais X = a e X = b dá a probabilidade de X estar entre a e b ou:

A função p(X) é denominada função de densidade de probabilidade ou

função de densidade. Ela é aplicada em distribuições de probabilidade contínuas

para X.


Distribuição de probabilidade

As distribuições de probabilidade, levantadas a partir das respectivas

observações experimentais ou por modelos teóricos, são utilizadas em soluções

de problemas práticos associados a fenômenos aleatórios ou probabilísticos.

Às vezes, sem transparecer, as distribuições de probabilidade fundamentam e

estão presentes em problemas associados à Teoria de Filas e Simulação,

embutidas em softwares que automatizam cálculos de probabilidades.

Vamos estudar os tipos de distribuição de probabilidade:

Distribuição binomial

Considerando p a probabilidade de um evento acontecer (sucesso) e q=1-p a

probabilidade que ele não ocorra (insucesso), então a probabilidade do evento

ocorrer exatamente X vezes, em N tentativas (X sucessos e N-X insucessos), é

dada por:

Em que X = 0, 1, 2, ..., Ne o fatorial de N:

N! = N(N-1)(N-2)...1. (0! = 1)

Essa distribuição discreta é denominada de distribuição binomial ou de

Bernoulli.

Distribuição normal

A distribuição normal se destaca por ser a distribuição que caracteriza a maioria

dos eventos probabilísticos observados na natureza. Essa distribuição de

probabilidade é contínua e também é conhecida como a distribuição de

Gauss, sendo definida pela equação:


Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade (X = 0,

1, 2, 3, ...) definida segundo a seguinte regra:

Essa distribuição é muito utilizada para calcular probabilidades de ocorrências

de defeitos raros em sistemas e componentes.


Algumas propriedades da distribuição exponencial são:

Atividade proposta

A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas

por uma certa máquina é 0,502 polegadas e o desvio-padrão é 0,005

polegadas. A tolerância máxima para o diâmetro é de 0,496 a 0,508 polegadas.

Caso uma arruela possua diâmetro fora dessa faixa, elas serão consideradas

defeituosas.

Determine a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máxima,

admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente.

A proporção de arruelas não-defeituosas equivale à área limitada pela curva

normal reduzida entre z = -1,2 e z = 1,2, ou duas vezes a área entre z = 0 e z

= 1,2.

Logo, a área = 2(0,3849)=0,7698 ou 77%. Assim, a percentagem de arruelas

defeituosas é de 100%-77%=23%.

Aprenda Mais

Para saber mais sobre os assuntos abordados nesta aula, sugerimos a leitura

dos capítulos 6 e 7 da obra a seguir:


• SPIEGEL, M. R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1993.

Referências

NAZARETH, H. Curso Básico de Estatística. São Paulo: Editora Ática, 1995.



Questão 1

Determine a probabilidade de aparecer um número ímpar em um único lance

de um dado.

a) 0,25

b) 0,50

c) 0,75

d) 0,60

e) 0,45

Questão 2

Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 4

brancas e 5 azuis. Determine a probabilidade de ela ser vermelha ou branca.

a) 1/2

b) 3/4

c) 5/6

d) 1/3

e) 2/3


Questão 3

Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se

simultaneamente 3 bolas. Qual a probabilidade de que nenhuma seja

vermelha?

a) 28/55

b) 14/55

c) 21/55

d) 32/55

e) 39/55

Questão 4

As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram

um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma única

vez, qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol?

a) 49/50

b) 47/50

c) 45/50

d) 43/50

e) 41/50

Questão 5

Dois jogadores, A e B, jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B

ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas.

Determinar a probabilidade de A ganhar todas as três.

a) 5/8


b) 1/2

c) 3/8

d) 1/8

e) 3/4

Questão 6

Se 20% dos parafusos produzidos por uma máquina são defeituosos,

determinar a probabilidade de, entre 4 parafusos escolhidos ao acaso, nenhum

ser defeituoso.

a) 0,5935

b) 0,1536

c) 0,4096

d) 0,3520

e) 0,2865

Questão 7

A massa média de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio-

padrão é 7,5 kg. Admitindo-se que as massas estão distribuídas normalmente,

determinar quantos estudantes possuem massa entre 60 e 77,5 kg.

a) 325

b) 300

c) 275

d) 250

e) 350


Questão 8

Se a probabilidade de ocorrer um parafuso defeituoso é de 0,1, determinar,

para um total de 400 parafusos, a média e o desvio-padrão da distribuição.

a) 60 e 8

b) 20 e 4

c) 40 e 6

d) 20 e 5

e) 40 e 8

Questão 9

Dez por cento das ferramentas produzidas por certo processo de fabricação são

defeituosas. Determinar a probabilidade de, em uma amostra de 10

ferramentas escolhidas ao acaso, exatamente duas serem defeituosas.

a) 0,15

b) 0,16

c) 0,17

d) 0,18

e) 0,19

Questão 10

Sabe-se que a função densidade de probabilidade de uma função exponencial é

dada pela seguinte expressão: A média dessa distribuição é:

a) 3/4

b) 2/3


c) 1/3

d) 2/5

e) 1/8


Aula 7: Coleta de dados, métodos de amostragem

Introdução

O começo de uma solução bem-sucedida de um problema que envolva

estatísticas está diretamente associado à correta prática da coleta de dados em

campo.

Um modelo corretamente desenvolvido, alimentado por dados ou parâmetros

não representativos da realidade em questão, acaba sendo inútil para o

desenvolvimento de uma solução.

Esta aula apresenta os princípios e métodos que orientam a correta coleta e o

tratamento de dados para modelagem e solução de problemas de natureza

probabilística e também apresenta os métodos de amostragem que podem ser

úteis na modelagem para solução desses problemas.

Objetivo:

1. Definir os princípios e métodos para coleta e tratamento de dados.

2. Identificar os métodos de amostragem úteis na modelagem e solução de

problemas.

Conteúdo

Coleta de Dados

A coleta de dados começa com a escolha adequada das variáveis de entrada do

sistema a ser analisado. Os dados são divididos em:

Dados de entrada

São os valores coletados em campo.


Dados de saída

São os valores processados de acordo com o modelo probabilístico selecionado

para tratar um determinado problema.

A coleta dos dados da amostra de uma população pode ser feita da seguinte

maneira:

Primeiro, marcamos uma linha imaginária na entrada do estabelecimento.

Quando um cliente ultrapassá-la, é o momento de anotar o tempo atual do

cronômetro, zerá-lo e dispará-lo novamente para a próxima coleta. Dessa

maneira, é possível registrar os dados colhidos em uma tabela para que os

mesmos sejam tratados.

Atenção

Na construção de uma amostra, deve-se ter atenção aos seguintes

cuidados práticos:• O tamanho da amostra deve estar entre 100 e

200 observações;

• Amostras com menos de 100 observações podem comprometer a

identificação do melhor modelo probabilístico;

• Amostras com mais de 200 observações não trazem ganhos

significativos ao estudo;

• Coletar e anotar as observações na mesma ordem em que o

fenômeno está ocorrendo, para permitir a análise de correlação;

• Avaliar se existe alguma suspeita de que os dados mudam em

função do horário ou do dia da coleta. A coleta deve ser refeita em

outros horários e dias;

• Na modelagem de dados, vale a regra: toda suspeita deve ser


comprovada ou descartada estatisticamente.

Tratamento dos Dados

Utilizando as ferramentas da estatística descritiva, podemos explorar um

conjunto de dados, de modo a compreendermos melhor um determinado

fenômeno. Essa é a fase em que extraímos as medidas da variável aleatória em

estudo:

De posição (média, mediana, moda etc.).

De dispersão (variância, amplitude etc.).

A tabela a seguir resume as principais medidas de posição e dispersão

obtidas a partir dos dados coletados no exemplo do banco:

Ao observarmos a tabela, podemos notar um valor atípico. Com a média

aritmética de 15,02 e a mediana 6, o valor 730 destoa do conjunto.

Será que esse valor foi digitado de forma errada, foi originado de um erro

operacional na coleta ou é um dado que realmente ocorreu?


É conveniente considerar o valor discrepante ou seria aconselhável eliminar o

dado do conjunto? O procedimento para filtrar anomalias de dados na coleta é

chamado de identificar outliers ou, simplesmente, os pontos fora da curva.

Iremos estudá-los a seguir.

Pontos fora da curva

As razões mais comuns para o surgimento de pontos fora da curva são algum

erro na coleta de dados ou um evento raro e totalmente inesperado.

Erro na coleta de dados

Quando o levantamento de dados é feito por meio manual, este tipo de ponto

fora da curva é o mais comum.

Exemplo: Imagine que, durante a coleta de dados no banco, houve uma troca

de pesquisadores. Quando o primeiro passou o cronômetro para o segundo, o

cronômetro e a planilha não foram corretamente atualizados, o que resultou em

um valor de 730 segundos entre um cliente e outro. Falhas em equipamentos

de coleta de dados, problemas na conversão de arquivos, máquinas que

suspendem o serviço temporariamente por defeito, entre outros, são

causadores clássicos de outliers. Quando descobrimos um outlier desse tipo, o

mais correto é retirá-lo da amostra.

Eventos raros

Este é o tipo de outlier mais difícil de lidar. Nada impede que situações

totalmente atípicas ocorram na nossa coleta de dados.

A tabela a seguir compara o impacto de retirarmos ou não o outlier identificado,

o valor 730, de nosso exemplo. Apesar de se tratar apenas de um valor em

uma amostra de 100 valores no total, as distorções na média e na variância são

significativas.


Inferência

Para o tratamento dos dados, além do cálculo dos outliers, é conveniente dispor

os dados em classes e obter a distribuição de frequências em um histograma.

Dessa maneira, é possível identificar visualmente o padrão que indica a

distribuição dos dados. Com isso, conseguimos julgar quais valores devem ser

eliminados pelo cálculo de outliers.

Para agrupar os dados em classes é necessário calcular:

O tamanho da classe;

A quantidade de classes;

Os limites de início e fim de cada classe;

A frequência (quantos valores se enquadram em cada uma delas).

A definição do número de classes pode ser feita, por exemplo, pelo cálculo da

raiz quadrada do número de elementos, no caso, 100 (10 classes), ou pela

chamada regra de Sturges, que adota um número de classes igual a:

Em que n é o número de observações na amostra:


Para que cada classe seja definida é necessário calcular o seu tamanho (h).

Isso é feito dividindo-se a amplitude da amostra pelo número de classes

escolhido. Para o exemplo que acabamos de ver, podemos escolher o número

de classes igual a 10.

Descartando o único valor realmente discrepante, 730, a amplitude da amostra

é 28 (30-2). Assim:

Atenção

Vejamos a distribuição das classes de frequências do exemplo do

banco:

Vejamos o histograma a seguir:


Observando a distribuição de frequências no histograma, é possível inferir que

está se assemelha a uma distribuição exponencial.

Análise exploratória dos dados de uma amostra

Suponha que a média e a variância de uma população X que desejamos

estudar não são conhecidas. Retiramos uma amostra de n elementos e

estimamos esse parâmetro.

Vejamos as fórmulas que devemos utilizar:


Atenção

Uma fórmula operacional mais simples para o cálculo do

estimador da variância é:

Referências

FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática

educativa. São Paulo: Paz e Terra, 2007.

LEITE, M. S. Diversidade e saberes no ensino superior, 2005.

PIMENTA, S. G.; ANASTASIOU, L. G. C. Do ensinar à Ensinagem. In:

Docência no Ensino Superior, vol. I. São Paulo: Cortez, 2002. p. 201 a 243.

RIBEIRO, M. L. O Ensino Universitário: um olhar sobre as representações de

estudantes de Licenciatura, 2008.


Questão 1

Considere a tabela a seguir que contém dados de uma amostra com suas

respectivas frequências absolutas. O estimador da variância da população é:

a) 112,47

b) 129,11


c) 130,14

d) 138,12

e) 143,57

Questão 2

Utilizando a lei de Struges, calcule o número de classes para uma amostra

contendo 300 dados.

a) 12

b) 11

c) 8

d) 10

e) 9

Questão 3

Considere a tabela a seguir contendo dados de uma amostra e obtenha os

limites inferior e superior para identificação de outliers moderados

a) 245,45 e 496,12

b) 268,26 e 462,83

c) 277,52 e 465,72

d) 254,75 e 480,75

e) 285,38 e 479,36

Questão 4


Considere a tabela a seguir que sumariza estatísticas obtidas em várias provas

realizadas por uma turma. Em qual prova essa turma teve o melhor

desempenho?

a) Inglês

b) Lógica

c) Economia

d) Estatística

e) Matemática

Questão 5

Considere a tabela a seguir contendo dados de uma amostra e obtenha os

limites inferior e superior para identificação de outliers extremos.

a) 145,4 e 596,1

b) 170,0 e 565,5

c) 187,5 e 565,7

d) 154,7 e 580,7

e) 185,3 e 579,3

Questão 6

Foi observado que as alturas de 3.000 estudantes são normalmente distribuídas

com média 172,72cm e desvio-padrão 7,62cm. Se forem obtidas 80 amostras

com reposição de 25 estudantes cada uma, qual será a média esperada da

distribuição amostral das médias?

a) 168,57 cm

b) 170,13 cm


c) 167,34 cm

d) 172,72 cm

e) 169,38 cm

Questão 7

Foi observado que as alturas de 3.000 estudantes são normalmente distribuídas

com média 172,72cm e desvio-padrão 7,62cm. Se forem obtidas 80 amostras

com reposição de 25 estudantes cada uma, qual será o desvio-padrão esperado

da distribuição amostral das médias?

a) 7,62 cm

b) 1,524 cm

c) 3,45 cm

d) 2,456 cm

e) 5,76 cm

Questão 8

Uma prévia eleitoral mostrou que certo candidato recebeu 46% dos votos. Em

uma seção eleitoral determine qual o desvio-padrão obtido para uma amostra

constituída de 1.000 pessoas selecionadas ao acaso entre a população votante.

a) 0,0147

b) 0,0232

c) 0,0158

d) 0,0213

e) 0,0138

Questão 9


As lâmpadas do fabricante A têm duração média de 1.400 horas, com um

desvio-padrão de 200 horas, enquanto as do fabricante B têm duração média

de 1.200 horas, com um desvio-padrão de 100 horas. Se forem ensaiadas

amostras aleatórias de 125 lâmpadas, qual o desvio-padrão da distribuição

amostral das diferenças das médias?

a) 19

b) 21

c) 22

d) 25

e) 20

Questão 10

As medidas de duas distâncias são 27,3m e 15,6m, com os desvios-padrão de

0,16m e 0,08m, respectivamente. Determine a média e o desvio-padrão da

soma das distâncias.

a) 40,8m e 0,23m

b) 42,9m e 0,18m

c) 41,5m e 0,21m

d) 42,8m e 0,19m

e) 41,9m e 0,18m


Aula 8: Parâmetros e intervalos de confiança

Introdução

No ambiente de negócios, muitas vezes o agente decisor precisa de

informações, mas é impraticável observar toda uma população, seja por um

elevado custo seja por dificuldades diversas.

Um dos objetivos básicos da experimentação é a estimação de parâmetros, ou

seja, colher parâmetros que sejam suficientes para viabilizar uma correta

interpretação de uma situação-problema e, assim, subsidiar decisões acertadas.

Estimar parâmetros é necessário para a inferência estatística, pois permite

concluir sobre uma realidade futura ou mais abrangente com base em um

conjunto restrito de dados. Nessa área de conhecimento, ferramentas

estatísticas são utilizadas para a condução do processo de inferência via

estimação de parâmetros e também para mensurar o grau de incerteza das

possíveis afirmações.

Esta aula apresenta as características e princípios da inferência estatística com

base na estimação de parâmetros e necessária definição de intervalos de

confiança, assim como também a apresenta métodos para a condução de

Testes de Hipóteses.

Objetivo:

1. Descrever princípios e métodos para estimação de parâmetros e

estabelecimento de intervalos de confiança;

2. Explicar métodos para conduzir Testes de Hipóteses úteis na modelagem e

solução de problemas.


Conteúdo

Inferência estatística

Você já foi apresentado ao conceito de inferência estatística, em aulas

anteriores. Nesta aula, o tema será examinado de forma mais aprofundada. O

contexto permanece o mesmo – apontamos uma amostra, se essa amostra for

bastante representativa, os resultados obtidos com os cálculos das estatísticas

poderão ser generalizados para toda a população.

No processo de condução de uma inferência, um determinado pesquisador

poderá levantar hipóteses das possibilidades das generalizações dos resultados,

ciente de que deverá testar essas hipóteses e essas poderão ser rejeitadas. E,

nesse processo, toda conclusão tirada por uma amostragem, quando

generalizada para uma população, será acompanhada de um grau de incerteza

ou risco.

Denominamos, portanto, inferência estatística o conjunto de técnicas e

procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de confiabilidade, de

confiança, às afirmações que faz para a população com base nos resultados de

amostras.

Estimação de parâmetros

A teoria da amostragem pode ser empregada para a obtenção de informações

relativas a amostras retiradas ao acaso de uma população conhecida. Do ponto

de vista prático, entretanto, é mais importante poder deduzir informações

relativas a uma população, mediante a utilização de amostras dela extraídas.

Esses problemas tratam da inferência estatística, que utiliza os princípios da

teoria da amostragem.

A inferência estatística trata da estimação de parâmetros populacionais tais

como a média, a variância da população, deduzidos da estatística descritiva

(amostral) correspondente.


Vamos ver um exemplo?

Fez-se um estudo, com a população de Los Angeles, para saber se as pessoas

sabiam como agir em caso de catástrofe.

Estimativas não tendenciosas

Se a média da distribuição amostral de uma estatística for igual ao parâmetro

populacional correspondente, a estatística será denominada estimador não

tendencioso do parâmetro e, se isso não ocorrer, ela será um estimador

tendencioso.

Os valores correspondentes dessas estatísticas são denominados estimativas

não tendenciosas ou tendenciosas, respectivamente.

A média da distribuição amostral das médias é igual à média populacional:

A média da distribuição amostral das variâncias:

Adotando-se a variância modificada:

Verifica-se que:


Estimativas eficientes

Se as distribuições amostrais de duas estatísticas têm a mesma média, a

estatística de menor variância é denominada estimador eficiente da média,

enquanto que a outra estatística denomina-se estimador ineficiente.

Os valores correspondentes das estatísticas são denominados estimativas

eficientes ou ineficientes, respectivamente.

Considerando-se todas as estatísticas possíveis, cujas distribuições amostrais

têm a mesma média, a de menor variância é denominada a mais eficiente ou

melhor estimador dessa média.

Estimativas por pontos e por intervalos

A estimativa de um parâmetro populacional, dada por um número único, é

denominada estimativa por ponto.


A estimativa de um parâmetro populacional, dada por dois números, entre os

quais pode-se considerar que ele esteja situado, é denominada estimativa por

intervalos. As estimativas por intervalos indicam sua precisão ou exatidão e são,

portanto, preferíveis às estimativas por pontos.


Estimativa por ponto: uma distância entre dois pontos mede 5,28m.

Estimativa por intervalo: uma distância entre dois pontos mede 5,28m ±

0,03m, ou seja, ela está compreendida entre 5,25m e 5,31m.

A declaração de erro ou precisão de uma estimativa é frequentemente

denominada sua fidedignidade.

Estimativas do intervalo de confiança dos parâmetros

populacionais


Estimativas do intervalo de confiança para médias

Intervalos de confiança para proporções

Intervalos de confiança para diferenças e somas


Intervalos de confiança para desvios-padrões

Os limites de confiança para o desvio-padrão σ, de uma população

normalmente distribuída, quando for deduzido de uma amostra cujo desvio-

padrão é s, são dados por:

Decisões estatísticas

Na prática, somos chamados muitas vezes a tomar decisões acerca de

populações, baseadas nas informações das amostras.

Essas decisões são denominadas decisões estatísticas.

Por exemplo, pode-se decidir, com base em dados amostrais, se um novo soro

é realmente eficaz na cura de uma doença, se um processo educacional é

melhor do que o outro, se certa moeda é tendenciosa etc.


Hipóteses estatísticas

Testes de hipóteses e significância

Admita uma hipótese particular como verdadeira. Se verificarmos que os

resultados observados em uma amostra aleatória diferem muito dos esperados

para aquela hipótese, com base na probabilidade simples mediante a utilização

da teoria da amostragem, é possível que alguém conclua que as diferenças

observadas são significativas e fique inclinado a rejeitar a hipótese (ou, pelo

menos, a não aceitá-la com base nas provas obtidas).

Por exemplo, se 20 lances de uma moeda apresentarem 16 caras, ficamos

inclinados a rejeitar a hipótese de que a moeda é honesta, embora seja

possível que se esteja incorrendo em erro.

Os processos que habilitam a decidir a aceitação ou rejeição das hipóteses, ou

a determinar se as amostras observadas diferem, de modo significativo, dos

resultados esperados, são denominados testes de hipóteses ou de

significância, ou regras de decisão.


Erros dos Tipos I e II

Para que qualquer teste de hipóteses ou regra de decisão seja bom, ele deve

ser planejado de modo que os erros de decisão sejam reduzidos ao mínimo.

Isso não é tarefa simples, pois para um dado tamanho de amostra, a tentativa

de diminuir certo tipo de erro é acompanhada, em geral, pelo acréscimo de

outro tipo.

Na prática, um tipo de erro pode ser mais importante do que outro, de maneira

que se deve procurar uma acomodação que favoreça a limitação do erro mais

sério. O único caminho para a redução de ambos os tipos de erros consiste em

aumentar o tamanho da amostra, o que pode ou não ser possível.

Erro do tipo I

Se uma hipótese for rejeitada quando deveria ser aceita.

Erro do tipo II

Se uma hipótese for aceita quando deveria ser rejeitada.


Nos dois tipos de erro ocorreu uma decisão errada ou um erro de

julgamento.

Nível de significância

Ao testar uma hipótese estabelecida, a probabilidade máxima com a qual

estaremos dispostos a correr o risco de um erro do Tipo I é denominada nível

de significância do teste. Essa probabilidade, representada frequentemente

por "alpha", é especificada antes da extração de uma amostra, de modo que os

resultados obtidos não influenciem a escolha.

Na prática, é usual a adição de um nível de significância 0,05, ou 0,01, embora

possam ser usados outros valores. Se, por exemplo, é escolhido um nível de

significância 0,05 ou 5% no planejamento de um teste de hipóteses haverá

cerca de 5 chances em 100, de a hipótese ser rejeitada, quando deveria ser

aceita, isto significa que há uma confiança de cerca de 95% de que se tome

uma decisão acertada.

Nesses casos, diz-se que a hipótese é rejeitada no nível de significância 0,05, o

que significa que a probabilidade de erro seria de 5%.

Nível de significância

Por exemplo, pode-se estar 95% confiante de que, se a hipótese for

verdadeira, o valor z de uma estatística amostral real, S, estará compreendido

entre -1,96 e 1,96 (visto que a área subtendida pela curva normal, entre esses

valores, é de 0,95).

Entretanto, se ao escolher uma única amostra aleatória fosse verificado que o

valor z dessa estatística cai fora do intervalo -1,96 a 1,96, poderíamos concluir

que esse evento poderia ocorrer com a probabilidade de apenas 0,05 se a

hipótese estabelecida fosse verdadeira. Dessa maneira, alguém poderia dizer

que esse valor de z difere de modo significativo do que seria esperado daquela

hipótese, e se estaria propenso a rejeitá-la.


A área total que fica fora dos limites, à direita e à esquerda, 0,5 (0,25 +0,25), é

o nível de significância do teste. Ela representa a probabilidade de erro na

rejeição da hipótese, isto é, a probabilidade de ser cometido um erro do Tipo I.

Por essa razão, diz-se que a hipótese é rejeitada no nível de significância 0,05.

O conjunto dos valores z, situados fora do intervalo de -1,96 a 1,96, constitui a

denominada região crítica de rejeição da hipótese ou de região de significância.

O conjunto dos valores z situados no intervalo de -1,96 a 1,96 poderia ser

denominado região de aceitação da hipótese ou região de não significância.

Com base nas observações apresentadas, pode ser formulada a seguinte regra

de decisão, teste de hipóteses ou significância.

• Rejeição da hipótese no nível de significância 0,05, quando o valor z da

estatística S estiver fora do intervalo de -1,96 a 1,96 (isto é, z maior que 1,96

ou z menor que -1,96). Isso equivale a dizer que a estatística amostral

observada é significativa no nível 0,05;

• Aceitação da hipótese (ou, se for desejado, não tomar nenhuma decisão)

no caso contrário.

Como o valor de z representa um papel muito importante nos testes de

hipóteses e na significância, ele é também denominado teste estatístico.

Deve-se assinalar que poderiam ser utilizados outros níveis de significância. Por

exemplo, se for adotado o nível 0,01, teríamos que substituir na explanação

anterior, 1,96 por 2,58.

Testes Unilaterais e Bilaterais

Nos testes anteriores, manifestamos interesse nos valores extremos da

estatística S, ou nos valores de z correspondentes de ambos os lados da média,

isto é, em ambas as extremidades da distribuição. Por esta razão, esses testes

são denominados bilaterais ou dos dois lados.


Muitas vezes, entretanto, podemos ter interesse apenas nos valores extremos

de um único lado da média, isto é, em uma extremidade da distribuição, como,

por exemplo, quando se está testando a hipótese de um processo ser melhor

do que outro (o que é diferente de testar se um processo é melhor ou pior do

que outro). Esses testes são denominados unilaterais ou de um lado.

Nesses casos, a região crítica está situada de um só lado da distribuição e sua

área é igual ao nível de significância.

A tabela a seguir apresenta os valores críticos para z para ambos os testes,

unilateral e bilateral, em vários níveis de significância. Os valores críticos de z,

para outros níveis de significância, são determinados mediante o emprego das

tabelas de áreas da curva normal.

Atividade proposta

A altura dos adultos de uma certa cidade tem distribuição normal com média de

164cm e desvio-padrão de 5,82cm. Deseja-se saber se as consições sociais

desfavoráveis vigentes na parte pobre dessa cidade causam um retardamento

no crescimento dessa população.

Para isso, levantou-se uma amostra de 144 adultos dessa parte da cidade,

obtendo-se a média de 162cm. Esse resultado pode indicar que os adultos

residentes na área são em média mais baixos que os demais habitantes da

cidade ao nível de 5%?


Chave de resposta

Aprenda Mais

Para saber mais sobre o que foi estudado nesta disciplina, leia os capítulos 9 e

10 do livro “Estatística” do SPIEGEL.

Referências

MORETIN, L G. Estatística Básica. Volume 2 – Inferência. São Paulo: Makron

Books, 2000.



Questão 1

As medidas dos diâmetros de uma amostra aleatória de 200 rolamentos

esféricos produzidos por certa máquina, durante uma semana, apresentaram a

média de 0,824 pol e o desvio-padrão de 0,042 pol. Determine o limite de

confiança de 99%, para o diâmetro médio de todos os rolamentos esféricos.

a) 0,824±0,042 pol

b) 0,824±0,012 pol

c) 0,824±0,008 pol

d) 0,824±0,003 pol

e) 0,824±0,022 pol


Questão 2

Ao medir o tempo de reação, um psicologista estimou que o desvio-padrão era

de 0,05 segundo. Qual o tamanho da amostra para que se esteja 95%

confiante de que o erro dessa estimativa não exceda 0,01 segundo?

a) 89

b) 80

c) 88

d) 100

e) 97

Questão 3

Uma pesquisa realizada na amostra de 100 eleitores, escolhidos ao acaso entre

todos os votantes de uma cidade, indicou que 55% deles eram a favor de certo

candidato. Determine os limites de confiança de 99% para a proporção de

todos os votantes favoráveis àquele candidato.

a) 0,55±0,10

b) 0,55±0,11

c) 0,55±0,12

d) 0,55±0,13

e) 0,55±0,14

Questão 4

Uma amostra de 150 lâmpadas, da marca A, apresentou uma vida média de

1.400 horas e um desvio-padrão de 120 horas. Uma amostra de 100 lâmpadas,

da marca B, apresentou uma vida média de 1.200 horas e um desvio-padrão de


80 horas. Determine os limites de confiança de 95% para a diferença entre as

vidas médias das populações das marcas A e B.

a) 200±24,8

b) 200±25,9

c) 200±23,7

d) 200±22,8

e) 200±27,9

Questão 5

Em uma amostra aleatória de 400 adultos e 600 adolescentes que assistem a

certo programa de televisão, 100 adultos e 300 adolescentes declararam que

gostavam do programa. Determine os limites de confiança de 99% para a

diferença entre as proporções de todos os adultos e de todos os adolescentes

que assistem ao programa e gostam do mesmo.

a) 0,75±0,07

b) 0,25±0,08

c) 0,50±0,09

d) 0,25±0,10

e) 0,25±0,11

Questão 6

Uma amostra de tamanho 16 é retirada de uma população normal com

variância 36, sendo obtida a média X¯=43 Ao nível de 10% de significância,

para que o teste das hipóteses H0: μ=45 e H1: μ≠45, obtenha os valores do Z,

variável utilizada na N(0,1), que define as regiões de aceitação ou rejeição das

hipóteses e do Z calculado para comparação com os limites.


a) ±1,645 e 1,33

b) ±1,96 e -1,45

c) ±2,33 e -1,12

d) ±1,645 e -1,33

e) ±1,96 e 1,45

Questão 7

Uma fábrica anuncia que o índice de nicotina dos cigarros da marca X

apresenta-se abaixo de 26mg por cigarro. Um laboratório realiza 10 análises de

índice e obtém 26, 24, 23, 22, 28, 25, 27, 26, 28 e 24mg. Sabe-se que o índice

de nicotina nos cigarros da marca X tem distribuição normal com variância

5,35mg2. Qual o valor de Z, variável utilizada na N(0,1), que define as regiões

de aceitação ou rejeição das hipóteses e do Z calculado para comparação com

os limites?

a) -1,96 e 0,959;

b) -1,96 e -0,959;

c) 1,96 e -0,959;

d) 1,645 e 0,959;

e) ±1,96 e -0,959.

Questão 8

Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novo material em sua

fabricação e acredita que aumentará a resistência média, que é de 206kg. A

resistência das lajotas tem distribuição normal com desvio-padrão de 12kg.

Retira-se uma amostra de 30 lajotas, obtendo X¯=210Kg. Ao invés de 10%,

obtenha o valor de Z, variável utilizada na N(0,1), que define as regiões de


aceitação ou rejeição das hipóteses e do Z calculado para comparação com os

limites.

a) 1,96 e 1,827

b) -1,28 e -1,827

c) 1,28 e 1,827

d) 1,96 e 1,643

e) -1,96 e -1,643

Questão 9

Sabe-se por experiência que 5% da produção de um determinado artigo tem

defeito. Um novo empregado é contratado. Ele produz 600 peças do artigo com

82 defeituosas. Ao nível de 15%, verificando se o novo empregado produz

peças com maior índice de defeitos que o existente, obtenha o valor de Z,

variável utilizada na N(0,1), que define as regiões de aceitação ou rejeição das

hipóteses e do Z calculado para comparação com os limites.

a) 1,03 e 9,775

b) 1,96 e 4,326

c) 1,23 e 5,492

d) 1,67 e 3,182

e) 1,05 e 7,442

Questão 10

Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11

litros por 100km, com desvio-padrão de 0,8 litro. Alguém decide testar essa

afirmação e analisa 35 carros dessa marca, obtendo 11,4 litros por 100km,

como consumo médio. Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, ao


nível de 10%, ao analisar a veracidade do anúncio da fábrica, obtenha o valor

de Z, variável utilizada na N(0,1), que define as regiões de aceitação ou

rejeição das hipóteses e do Z calculado para comparação com os limites.

a) ±1,96 e 2,453

b) ±1,645 e 3,008

c) ±1,96 e 3,008

d) ±1,645 e 2,453

e) ±1,28 e 2,372


Notas

Modelo Price: O nome do modelo, Price, nada tem a ver com a palavra

inglesa price (preço, em português), mas sim com uma homenagem ao

matemático inglês Richard Price (1723-1791) que desenvolveu, a pedido de

uma seguradora inglesa, tábuas de mortalidade que serviram de base para o

cálculo de seguros e aposentadorias. A partir desse estudo, as tábuas foram

adaptadas, dotadas e universalizadas pelos franceses como forma de

amortização de empréstimos. Por isso, chamamos sistema francês ou tabela

Price o processo de amortização de dívidas com prestações iguais.

PMT: Sigla para a palavra inglesa Payment.

Economic Value Added (EVA): Expressão em inglês que significa valor

econômico adicionado. EVA® é considerada uma marca registrada.

Future Value (FV): Denominação utilizada na calculadora HP 12-c.

Calculadora HP-12C: O ambiente da internet disponibiliza gratuitamente

uma página que contém um emulador (simulador) da HP-12C,

democratizando o acesso, mesmo que virtual, às potencialidades da

calculadora financeira. Uma das páginas encontra-se disponível

em: http://www.calculadorahp.com.br/.

Capitalização composta: Também chamada de capitalização com juros

compostos. Trata-se do regime de capitalização pelo qual os juros

estipulados em cada período são somados ao capital anterior para render

juros no período seguinte.

PV, PMT, FV: Essas teclas para cálculos financeiros correspondem a siglas,

na língua inglesa, para Valor Presente (Present Value, PV), Pagamentos

http://www.calculadorahp.com.br/


(Payment, PMT) e Valor Futuro (Future Value, FV).

Taxa nominal: Taxa de juros cuja unidade de referência dos períodos não

coincide com o período de capitalização.

Taxas equivalentes: Aquelas que são fornecidas em tempos distintos e

produzem um mesmo montante ao final de determinado prazo.

Chaves de resposta

Aula 1


Questão 1 – B

Questão 2 - A

Questão 3 - B

Questão 4 - C


Questão 5 - D

Questão 6 - D

Questão 7 - B


Questão 8 - E

Questão 9 - A

Questão 10 - C


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Conteudista

Beniamin Achilles Bondarczuk é Doutor em Engenharia de Produção pelo

Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia da

Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-UFRJ), Mestre em Engenharia

de Sistemas e Computação e Graduado em Engenharia Mecânica e de

Automóveis pelo Instituto Militar de Engenharia (IME). Foi professor do IME e

de várias Instituições de Ensino Superior (IES) no Rio de Janeiro, em cursos de

Graduação e Pós-Graduação. Atualmente, é Oficial do Exército e trabalha com

pesquisa, desenvolvimento e avaliação de produtos de defesa.

http://lattes.cnpq.br/3689092970048757.

fundamentos da mat. financeira e estat. · pdf fileapostila em um conjunto organizado de texto...

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