funcoes_vetoriais
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Funções Vetoriais
Disciplina: Cálculo II
Turma: 02
Paulo Henrique
(ECT – UFRN)
2013
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FUNÇÕES VETORIAIS
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FUNÇÕES VETORIAIS ou FUNÇÃO A VALORES VETORIAIS
Uma função vetorial 𝑭 de uma variável real t é uma função cujo
domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto
de vetores em (em particular).
Em que t é um parâmetro (−∞ < 𝑡 < ∞)
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FUNÇÕES VETORIAIS ou FUNÇÃO A VALORES VETORIAIS
EXEMPLO 1:
Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
A)
B)
𝐹 𝑡 = 𝑡², 𝑡 − 1, 5 − 𝑡
𝐹 𝑡 =𝑡 − 2
𝑡 + 2𝒊 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝒋 + ln 9 − 𝑡² 𝒌
𝐷𝑜𝑚(𝐹 𝑡 ) = 1,5
𝐷𝑜𝑚(𝐹 𝑡 ) = −3,−2 𝑈 −2,3
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
PROPRIEDADES
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
EXEMPLO 2:
Em que:
lim𝑡→0𝐹 𝑡 = 1,1/2,3
lim𝑡→0𝐹 𝑡 =
𝜋
2, 0,0
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CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
LEMBRANDO QUE:
Uma função do tipo y=f(x) é contínua em x=a se
ANALOGAMENTE:
DESSA FORMA:
𝑭 é contínua em a se, e somente se, suas funções
componentes f, g e h forem contínuas em a.
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CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
EXEMPLO 3:
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CURVAS ESPACIAIS
A curva C é traçada pelo movimento da ponta
do vetor de posição 𝒓(𝒕)
Vetor de posição
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CURVAS ESPACIAIS
EXEMPLO 4
A)
B)
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Como 𝒛 = 𝒕, à medida que t aumenta, a
circuferência deixa o plano xy
formando uma HÉLICE.
B)
Equação de uma
circunferência no
plano xy
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Derivadas e Integrais de
Funções Vetoriais
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
O vetor 𝒓′(𝒕) é chamado de vetor tangente à curva definida por 𝒓 no ponto P.
A reta tangente a C em P é a reta que passa por P e é paralela a 𝒓′(𝒕).
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
TEOREMA:
EXEMPLO 5: Exercício 5. SEÇÃO 13.2.
Para: 𝒓 𝒕 = 𝑠𝑒𝑛𝒕𝒊 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝒋 , 𝑡 = 𝜋/4
(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada
(b) Determine 𝒓′(𝒕)
(c) Esboce o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de t.
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
EXEMPLO 6:
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Parametrização de uma CIRCUNFERÊNCIA não centrada na
origem.
𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒓𝟏
𝒓 = (𝒙𝟎 + 𝒂 𝒄𝒐𝒔𝒕)𝒊 + 𝒚𝟎 + 𝒂𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒋
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Parametrização de uma ELIPSE
Centrada na origem Não centrada na origem
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Parametrização de uma CICLÓIDE
É uma curva traçada pelo ponto P na borda de um círculo quando ele
rola ao longo de uma reta.
Quando o círculo gira um ângulo t, C move um comprimento
𝑶𝑻 = 𝒂𝒓𝒄 𝑷𝑻 = 𝒂𝒕
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Quando o círculo gira um ângulo t, C move um comprimento
𝑶𝑻 = 𝒂𝒓𝒄 𝑷𝑻 = 𝒂𝒕
𝜽 = 𝒕
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Parametrização de uma HIPCICLÓIDE
É uma curva traçada pelo ponto fixo P em um círculo C de raio b
quando C rola dentro de um círculo fixo com centro O.
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Parametrização de uma HIPCICLÓIDE
Quando b=1 e a=4, ou seja, a=4b, temos uma HIPOCICLÓIDE DE
QUATRO CÚSPIDES ou ASTRÓIDE.
𝒕 = 𝜽
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
EXEMPLO 7: Exercício 31. Seção 13.2
As curvas 𝒓𝟏 𝒕 = 𝑡, 𝑡², 𝑡³ e 𝒓𝟐 𝒕 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 , 𝑡 se interceptam na
origem. Determine o ângulo de intersecção dessas curvas.
R: ângulo≈66°
EXEMPLO 8:
Encontre a área sob um arco de uma ciclóide.
R: 𝐴 = 3𝜋𝑟2
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PROPRIEDADES
EXEMPLO 7: Exercício 31. Seção 13.2
As curvas 𝒓𝟏 𝒕 = 𝑡, 𝑡², 𝑡³ e 𝒓𝟐 𝒕 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 , 𝑡 se interceptam na
origem. Determine o ângulo de intersecção dessas curvas com precisão de
um grau.
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RELEMBRANDO ...
PRODUTO ESCALAR ENTRE DOIS VETORES
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PRODUTO VETORIAL ENTRE DOIS VETORES
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PRODUTO VETORIAL ENTRE DOIS VETORES
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PROPRIEDADES
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
EXEMPLO 8: Exercício 21. Seção 13.2
Se 𝒓 𝒕 = 𝑡, 𝑡², 𝑡³ , determine:
𝒓′(𝒕)
𝑻(𝟏)
𝒓′′(𝒕)
𝒓′(𝒕) × 𝒓′′ 𝒕
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INTEGRAIS DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
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INTEGRAIS DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
EXEMPLO 10: Exercício 35. Seção 13.2
Calcule a integral:
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COMPRIMENTO DE ARCO
É o comprimento de uma curva é o limite dos comprimentos dos polígonos
inscritos
Para figuras planas com formas bem definidas
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COMPRIMENTO DE ARCO
Para uma curva qualquer y=f(x)
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COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS
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CURVAS ESPACIAIS
A curva C é traçada pelo movimento da ponta
do vetor de posição 𝒓(𝒕)
Vetor posição
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COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS
EXEMPLO 10: Exercício 35. Seção 13.2
Calcule a integral:
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COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS
EXEMPLOS:
Calcule o comprimento de um arco de uma ciclóide.
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COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS
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COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS ESPACIAIS
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REPARMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO
Muitas vezes é útil parametrizar uma curva em relação ao comprimento
do arco, pois o comprimento do arco surge naturalmente e não é
necessário sistema de coordenadas.
ILUSTRAÇÃO:
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REPARMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO
Suponhamos que C seja uma curva dada pela função vetorial:
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REPARMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
EXEMPLO:
𝒈 𝒕 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒕
𝒂
𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃
𝒈′ 𝒕 =𝒅
𝒅𝒕 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒕
𝒂
= 𝒇 𝒕 .
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REPARMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO
EXEMPLO:
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CURVATURA
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CURVATURA
Curvas Suaves
Uma curva suave não tem quebras abruptas ou cúspides.
Quando o vetor tangente gira, ela o faz continuamente.
Uma curva suave é caracterizada pela ausência de pontos angulosos.
Uma curva é suave (lisa) se ela tem uma parametrização suave.
Exemplo:
Se 𝑟 𝑡 = 𝑡²𝑖 + 𝑡³𝑗, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1
O ponto (0,0) correspondente a t=0 é um ponto anguloso.
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CURVATURA
EXEMPLO
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CURVATURA
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CURVATURA
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CURVATURA
EXEMPLOS