funcoes2

158Matemtica

28 (Unifor-CE) Seja a equao x2 0 4x 0 k = 0, em quek uma constante real. Se uma das razes dessa equao igual tera parte da outra, ento o nmero k tal que:a) k < 4 c) 0 , k < 2 e) k . 4b) 4 , k < 0 d) 2 , k < 4

29 (UERJ) A funo que descreve a dependncia tem-poral da posio S de um ponto material representadapelo grfico abaixo.

Sabendo que a equao geral do movimento do tipoS = A 0 Bt 0 Ct2, os valores numricos das constantes A,B e C so, respectivamente:a) 0, 12, 4 c) 12, 4, 0b) 0, 12, 4 d) 12, 4, 0

Do grfico, temos:t = 1 e s = 8 8 = A 0 B 0 Ct = 2 e s = 4 4 = A 0 2B 0 4Ct = 3 e s = 0 0 = A 0 3B 0 9CDa, vem: A = 12, B = 4 e C = 0

30 (FMTM-MG) Certo dia, um paciente apresentou, s8 horas, a temperatura de 36,5 )C. Chamando de t o n-mero de minutos transcorridos desde as 8 horas e de y atemperatura do indivduo, em )C, sua temperatura evo-luiu segundo a funo y(t) = 36,5 0 0,05t 0 0,005t2. Oindivduo recebeu, em dose nica, uma medicaoantitrmica, e em t = 20 minutos, a temperatura estacio-nou e assim permaneceu durante 10 minutos. Neste mo-mento, comeou a decrescer linearmente razo de 1) acada 40 minutos. A temperatura caiu at atingir 37 )C s:a) 10h 10min c) 9h 50min e) 9h 30minb) 10 h d) 9h 40min

s 8h 20min a temperatura do paciente era:y(20) = 36,5 0 0,05 9 20 0 0,005 9 400 y(20) = 39,5 )CDas 8h 20min s 8h 30min a temperatura estacionou em 39,5 )C.Como a temperatura decresceu 1 )C a cada 40 minutos, temos:

Devemos ter:

x x x x x1 2 2 2 2 24

13

4 120 = 0 = 0 = 3x

x x1 1

13

3 1= 9 = ( )

4

4

8

12

s(m)

t(s)0 21 3 54

31 (ITA-SP) Os dados experimentais da tabela corres-pondem s concentraes de uma substncia qumicamedida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a li-nha que passa pelos trs pontos experimentais uma pa-rbola, tem-se que a concentrao (em moles) aps2,5 segundos :a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80

X

De e , vem:1 2

x2 = 3De , vem:3

x x

ba

x x1 2 1 2 40 = 0 =

x x

ca

x x k1 2 1 29 = 9 =

x x1 2

13

=

14

44

24

44

3

1

2

3

De , vem:x1 9 x2 = k (1) 9 (3) = k k = 3

2

X

X

Portanto:8h 30min 0 1h 40min = 10h 10min

12 5

40,

=x

1 )C 40 min2,5 )C x

x = 100 minutos ou x = 1h 40min

X

Tempo(s)

1

2

3

Concentrao(moles)

3,00

5,00

1,00

Portanto, a equao da parbola y = f(x) = 3x2 0 11x 5.Para x = 2,5 resulta f(2,5) = 3 9 (2,5)2 0 11 9 2,5 5 = 3,75 3,75 moles.

Se a parbola de equao y = f(x) = ax2 0 bx 0 c passa pelos trs pontosexperimentais (1; 3), (2; 5) e (3; 1), ento f(1) = 3, f(2) = 5 e f(3) = 1.Assim, temos:

a 0 b 0 c = 34a 0 2b 0 c = 59a 0 3b 0 c = 1

14

24

3

a 0 b 0 c = 33a 0 b = 25a 0 b = 4

14

24

3

a = 3b = 11c = 5

14

24

3

14

24

3

159Matemtica

32 (UFSM-RS) Um laboratrio testou a ao de umadroga em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se quea lei de sobrevivncia do lote de frangos era dada pelarelao v(t) = at2 0 b, onde v(t) o nmero de elemen-tos vivos no tempo t(meses). Sabendo-se que o ltimofrango morreu quando t = 12 meses aps o incio daexperincia, a quantidade de frangos que ainda estavaviva no 10o ms era:a) 80 b) 100 c) 120 d) 220 e) 300

33 (UFPB) Um mssil foi lanado acidentalmente doponto A, como mostra a figura, tendo como trajetria ogrfico da funo f(x) = x2 0 70x, onde x dado em km.

Se x = 40 km, temos:y = 402 0 70 9 40 y = 1 200 kmSubstituindo x = 40 km e y = 1 200 km em g(x) = kx, temos:1 200 = k 9 40 k = 30

34 (UFSM-RS) A figura indica a trajetria parablicado salto de uma r e destaca a distncia horizontal mxi-ma (8 dm) e a altura mxima (2 dm) atingidas.

A funo quadrtica que expressa a altura em relao distncia horizontal dada por:a) f(x) = 0,125x2 0 x d) f(x) = x2 0 4,5xb) f(x) = 0,125x2 0 x e) f(x) = 0,5x2 0 2,5xc) f(x) = 0,25x2 0 1,5x

35 (Unicamp-SP) Uma piscina, cuja capacidade de120 m3, leva 20 horas para ser esvaziada. O volumede gua na piscina, t horas aps o incio do processo deesvaziamento, dado pela funo V(t) = a(b t)2 para0 < t < 20 e V(t) = 0 para t > 20.a) Calcule as constantes a e b.b) Faa o grfico da funo V(t) para t 7 [0, 30].

144a 0 = = 720 0 720

144a

Desejando-se destru-lo num ponto B, que est a uma dis-tncia horizontal de 40 km de A, utiliza-se um outro ms-sil que se movimenta numa trajetria descrita, segundo ogrfico da funo g(x) = kx. Ento, para que ocorra a des-truio no ponto determinado, deve-se tomar k igual a:a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

yy = f(x)

y = g(x)

xA

B

40

f(x) (dm)

x (dm)

2

8

= =

= 8a 1 0,1250 1

8a

V (m3)

t (h)200

120

30

X

Logo, a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10o ms era:v(10) = 5 9 102 0 720 v(10) = 220

Pelos dados, temos:v(0) = 720 a 9 02 0 b = 720

b = 720 1

v(12) = 0 a 9 122 0 b = 0144a 0 b = 0 2

Substituindo em , vem:1 2

a = 5

X

X

Como a funo do 2o grau, podemos escrever:f(x) = ax2 0 bx 0 c, com a 0Pelo grfico, temos:f(0) = 0, f(8) = 0 e f(4) = 2 (pois x

v = 4)

Logo:f(0) = 0 a 9 (0)2 0 b 9 (0) 0 c = 0 c = 0f(8) = 0 a 9 (8)2 0 b 9 (8) 0 0 = 0 64a 0 8b = 0 (: 8)

8a b = 0f(4) = 2 a 9 (4)2 0 b 9 (4) 0 0 = 2 16a 0 4b = 2 (: 2)

8a 0 2b = 1 2

1

f(x) = 0,125x2 0 x

Resolvendo o sistema formado por e , vem:1 28a b = 0

8a 0 2b = 1b = 1

0

12

3

Substituindo b = 1 em , vem:1

O volume de gua na piscina, t horas aps o incio do processo de esva-ziamento, dado pela funoV(t) = 0,3 (20 t)2 para 0 < t < 20 e V(t) = 0 para t > 20.O grfico da funo :

Se a piscina de volume 120 m3 leva 20 horas para ser esvaziada, ento:

V(20) = 0 = a 9 (b 20)2V(0) = 120 = a 9 (b 0)2

12

3 b = 20, pois a 0a 9 b2 = 120

12

3 a = 0,3b = 20

12

3

160Matemtica

36 (UECE) A interseo dos grficos das funes reaisf(x) = 6x 2 e g(x) = x2 7x 0 10, quando desenhadosnum mesmo sistema cartesiano, constituda pelos pon-tos P(a, b) e Q(c, d). A soma a 0 b 0 c 0 d igual a:a) 88 b) 87 c) 86 d) 85

Se x = 1 y = 6 9 1 2 y = 4 P(1, 4)Se x = 12 y = 6 9 12 2 y = 70 Q(12, 70)Logo: a = 1, b = 4, c = 12 e d = 70Portanto: a 0 b 0 c 0 d = 1 0 4 0 12 0 70 = 87

Da expresso matemtica dada do enunciado, temos:R(x) = kx(P x)R(x) = kx2 0 kPx

Como k . 0, R(x) representada por um arco de parbola com aconcavidade voltada para baixo.Logo, a alternativa correta e.

Fazendo os grficos das funes, temos:

b

d

a c

y

x

P

Q

X

g(x) = x2 7x 0 10x y0 102 05 0

3,5 2,25

f(x) = 6x 2x y0 213

0

No ponto de interseo, f(x) = g(x). Logo:x2 7x 0 10 = 6x 2 x2 13x 0 12 = 0 x1 = 1

x2 = 12

38 O grfico cartesiano que melhor representa a fun-o R(x), para x real, :

R

x

a) d) R

x

R

x

b) e)

c)

XR

x

R

x

37 (Unipac-MG) Determine p para que o ponto (2, 3)seja vrtice da parbola y = 2x2 px 0 5:a) 4 b) 8 c) 4 d) 8

Devemos ter:

xb p p p

v= =

9 = =

2a2

2 22

48( )

X

39 Considerando o modelo anteriormente descrito, seo pblico-alvo de 44 000 pessoas, ento a mxima rapi-dez de propagao ocorrer quando o boato for conhecidopor um nmero de pessoas igual a:a) 11 000 c) 33 000 e) 44 000b) 22 000 d) 38 000

R(x) = kx(44 000 x)R(x) = kx2 0 44 000kxO nmero de pessoas para a qual a rapidez de propagao mxima dado por:

xk

k=

=

( )( )

44 0002

22 000

X

A rapidez ser mxima quando o boato for conhecido por 22 000 pessoas.

(Enem) O quadro abaixo refere-se s questes 38 e 39.

Um boato tem um pblico-alvo e alastra-se com deter-minada rapidez. Em geral, essa rapidez diretamente pro-porcional ao nmero de pessoas desse pblico que co-nhecem o boato e diretamente proporcional tambm aonmero de pessoas que no o conhecem. Em outras pa-lavras, sendo R a rapidez de propagao, P o pblico-alvoe x o nmero de pessoas que conhecem o boato, tem-se:R(x) = k 9 x 9 (P x), onde k uma constante positivacaracterstica do boato.

161Matemtica

40 (UEFS-BA) Seja f uma funo do 2o grau.Se o grfico de f uma parbola de vrtice V = (2, 1) eintercepta um dos eixos coordenados no ponto (0, 3), en-to a expresso f(x) igual a:

a) f(x) 3x= 0

x 2

23 d) f(x) = x2 3x 0 3

b) f(x) = 2x2 0 2x 0 3 e) f(x) 2x= 0

x 2

23

c) f(x) 2x= 0 0

x 2

33

Como f uma funo do 2o grau, f da forma f(x) = ax2 0 bx 0 c.O ponto (0, 3) pertence funo, logo:3 = a 9 02 0 b 9 0 0 c c = 3

1. Verdadeira, pois:Empresa Acusto = 280,50 0 50 9 12,00 = 880,50 R$ 880,50Empresa BC(50) = 35 0,5 9 50 = 15,00custo = 250 0 50 9 15,00 = 1 000,00 R$ 1 000,00

2. Falsa.3. Verdadeira, pois:

280,50 0 n 9 12 = 250 0 n(35 0,5n) n2 46n 0 61 = 0(no existe n inteiro)

Logo, os valores das empresas A e B so sempre diferentes.4. Verdadeira, pois:

700,50 = 280,50 0 n 9 12 n = 35700,50 = 250,00 0 n(35 0,5n) n2 70n 0 901 = 0

42 (UEMA) Uma fbrica produz x unidades de um cer-to produto e vende por 500 x reais a unidade. Cada uni-dade desse produto tem um custo de R$ 100,00 e h, ain-da, uma despesa fixa de R$ 10 000,00.a) Escreva o lucro L dessa fbrica como uma funo de x.b) Determine x para que esse lucro seja mximo.c) Determine o lucro mximo.

a) Preo de venda: x(500 x) = x2 0 500x (com 0 , x , 500)Preo de custo: 100x 0 10 000Lucro: L(x) = x2 0 500x (100x 0 10 000)

L(x) = x2 0 400x 10 000

Como o vrtice da funo dado por2a 4a

temos:V b= , ,

b b b b= 9 = 4

8 22 2

Se b = 0 a = 0 (no serve)

2b = b2b2 0 2b = 0b(b 0 2) = 0

Se b = =2 1

2a

Logo, f(x) 2x= 01

232x

xb

xv v

=

=

9 =

2aunidades400

2 1200 200( )

y yv v

=

=

9 =

4aR$120 000

4 130 000 30 000 00( ) ,

X

1

= =

ba

b2

2 4a

= = =

41 2

ab4a 4ac 4a

2

3

b a b a b2 2

24 3

8 9 9 = = =4a 8a 4



b1 = 0b2 = 2

O nmero de passageiros da empresa A 35, e o da empresa B 17,logo, n(A) . 2 9 n(B).

n = 53n = 17

Portanto:

b)

c)

De acordo com essas informaes, julgue os itens a se-guir:

I II1 1 Se todos os lugares do nibus forem ocupados, ser

mais caro contratar a empresas B.2 2 Caso contrate a empresa B, o custo mximo da via-

gem ser de R$ 862,50.3 3 Para um mesmo nmero de passageiros, os valores

cobrados pelas empresas A e B sero diferentes.4 4 Para um custo de R$ 700,50, a empresa A levar

mais que o dobro de passageiros que a empresa B.

Em questes como a 41, assinale na coluna I as proposi-es corretas e na coluna II as proposies erradas.

41 (UFG) Uma agncia de turismo deseja fretar umnibus de 50 lugares. Duas empresas, A e B, candidatam-se para fazer a viagem. Se for contratada a empresa A, ocusto da viagem ter uma parte fixa de R$ 280,50, maisum custo, por passageiro, de R$ 12,00. Se for contratada aempresa B, o custo ter um valor fixo de R$ 250,00, maisum custo (C), por passageiro, dado por C(n) = 35 0,5n,onde n o nmero de passageiros que far a viagem.

I II1 12 23 34 4

162Matemtica

43 (UFPR) Um grupo de estudantes decidiu viajar denibus para participar de um encontro nacional. Ao faze-rem uma pesquisa de preos, os estudantes receberam deuma empresa uma proposta, na qual o preo de cada pas-sagem depende do total de passageiros: cada passageiropagar R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 por lugar queeventualmente ficar vago no nibus. Sabendo que o ni-bus tem 52 lugares, correto afirmar:(01) Se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagar

R$ 110,00.(02) Se o total de passageiros for x, o preo (em reais)

de cada passagem ser calculado pela expresso90 0 5(52 x).

(04) Se viajarem 40 pessoas, a empresa dever receber umtotal de R$ 6 000,00, referente ao pagamento das pas-sagens.

(08) Se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que aempresa dever receber, referente ao pagamento daspassagens, calculado pela expresso 300x 5x2.

(16) O valor total mximo que a empresa poder receberpelo pagamento das passagens ocorrer quando o to-tal de passageiros for igual a 35.

(01) (Falsa)52 30 = 22 lugares vagosy = 90 0 22 9 5 = 90 0 110 = 200 R$ 200,00

(02) (Verdadeira)Sendo x o nmero de passageiros, o nmero de lugares vagos 52 x. Logo:f(x) = 90 0 5(52 x)

(04) (Verdadeira)f(40) = 90 0 5(52 40) = 90 0 5 9 12 = 150O total igual a: 150 9 40 = 6 000 R$ 6 000,00

(08) (Falsa)Devemos ter:x[90 + 5(52 x)] = x[90 + 260 5x] = 350x x2

(16) (Verdadeira)Sendo o valor igual a: 350x 5x2:

a)Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutascomo funo do dia de colheita.

b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fru-ticultor.

a) O ganho do fruticultor com as vendas expresso por:G(n) = (80 0 n) 9 (2 0,02n) G(n) = 0,02n2 0 0,4n 0 160

b) Como a funo do 2o grau, o dia da colheita de maior ganho ser:

Em questes como a 43, a resposta dada pela soma dosnmeros que identificam as alternativas corretas.

xb

xv v

=

=

=

=

2apessoas350

2 535010

35 35( )

Pelos dados, temos a tabela:

n = 10 n 0 1 = 10 0 1 = 11

n

ba

onde e a= = = 2

b 0,4 0,02

Logo:

n n=

9 =

0 42 0 02

0 40 04

,

( , ),

,

45 (Furg-RS) Um jogador de futebol se encontra a umadistncia de 20 m da trave do gol adversrio, quandochuta uma bola que vai bater exatamente sobre essa tra-ve, de altura 2 m. Se a equao da trajetria da bola emrelao ao sistema de coordenadas indicado na figura y = ax2 0 (1 2a)x, a altura mxima atingida pela bola :

y

2

20

P(20, 2)

x

2 400 1 1

20= 9 0 = a a( 2a)20

y x x y x x= 0 9 = 0120

1 2 120

120

1110

2 2

A altura mxima :

= 9 9 =

121100

4 120

0 121100

y y y mv v v

=

=

9

= 4a

121100

4 120

6 05 6 05

, ,

Portanto: 02 0 04 0 16 = 22

Valor (R$)Quantidade

Perodo da colheitaDIA n 0 1

2,00 0,02 9 n

80 0 n

...

...

...

DIA 3

2,00 0,02 9 2

80 0 2

DIA 2

2,00 0,02 9 1

80 0 1

DIA 1

2,00

80

Frutas

a) 6,00 mb) 6,01 mc) 6,05 md) 6,10 me) 6,50 m

X

Substituindo, temos:

Fazendo x = 20 e y = 2, temos:

44 (UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheitade sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partirda, o preo de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia.Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no pri-meiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia.

163Matemtica

46 (PUC-SP) Ao levantar dados para a realizao de umevento, a comisso organizadora observou que, se cadapessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrio, poderia contarcom 460 participantes, arrecadando um total deR$ 2 760,00.Entretanto, tambm estimou que, a cada aumento deR$ 1,50 no preo de inscrio, receberia 10 participantesa menos. Considerando tais estimativas, para que a arre-cadao seja a maior possvel, o preo unitrio da inscri-o em tal evento deve ser:a) R$ 15,00 c) R$ 32,75 e) R$ 42,50b) R$ 24,50 d) R$ 37,50

Seja f(x) = ax 0 b a funo que determina o nmero de participantes emfuno do preo (x) da inscrio.Conforme o enunciado, f(6,00) = 460 e f(7,50) = 450, portanto:

a) Chamando de y o nmero de carros que passam pordia e de x o preo do pedgio por carro, expresse y emfuno de x.

b) Se a relao fosse y = 180x 0 810, qual o preo quemaximizaria a receita diria do pedgio?

a) Admitindo que a relao entre o nmero de carros (y) que passam pordia em funo do valor numrico do preo do pedgio (x) por carro dotipo y = ax 0 b, com a e b reais, x > 3 e y > 0, tem-se:x = 3,00 e y = 1 000 1 000 = a 9 3,00 0 bx = 3,10 e y = 1 980 980 = a 9 3,10 0 b

a = 200 e b =1 600Assim sendo, y = 200x 0 1 600 com 3 < x < 8, pois y > 0.

b) Se a relao entre y e x for y = 180x 0 810, a receita R(x), em funode x, ser R(x) = (180x 0 810) 9 x = 180x2 0 810x.R(x) mxima quando

x =

9 =

8102 180

2 25( ) , , pois o grfico da fun-o R :

48 (FGV-SP) Num parque de diverses, A, quando opreo de ingresso R$ 10,00, verifica-se que 200 freqen-tadores comparecem por dia; quando o preo R$ 15,00,comparecem 180 freqentadores por dia.a) Admitindo que o preo (p) relaciona-se com o nmero

de freqentadores por dia (x) atravs de uma funo do1o grau, obtenha essa funo.

b) Num outro parque, B, a relao entre p e x dada porp = 80 0,4x. Qual o preo que dever ser cobradopara maximizar a receita diria?

A arrecadao R(x), em funo do preo (x) da inscrio, tal que: Dessa forma, f(x) = 020

3500x

x = 37,50 (R$ 37,50), pois o grfico de R(x) :

R(x) f(x) 500x e mxima para= 9 = 9 0 = 0x x x x203

500 203

2

37,50 75

R(x)

x

9 375

911,25

2,250 4,50

R(x) (em reais)

x (em reais)

Logo r p p r p,,

.= 9

= 080

0 452

2 200p

Na figura abaixo, o arco de parbola representa essa relao.

800

r

P

X

f(6,00) = a 9 6,00 0 b = 460f(7,50) = a 9 7,50 0 b = 450 12

3

a =

203

b = 500

14

24

3

a) Sendo a e b constantes, tais que p = a 9 x 0 b, temos:

Resolvendo o sistema formado por essas duas equaes, obtemosa = 0,25 e b = 60. Portanto, p = 0,25x 0 60.

b) Indicando por r a receita diria, em R$, do parque B, temos que r = p 9 x.Da igualdade p = 80 0,4x, temos que

xp

=80

0 4,.

p = 10, x = 200 10 = 200a 0 bp = 15, x = 180 15 = 180a 0 b 12

3

Podemos concluir que r mxima para p = 40 R$ 40,00.47 (FGV-SP) A administrao de uma auto-estradaobservou que, quando o preo do pedgio por carro R$ 3,00, passam por dia 1 000 carros. Alm disso, a cadaR$ 0,10 a mais no preo do pedgio, passam 20 carros amenos por dia.

12

3

164Matemtica

a) Sendo f(x) = (40 x)(20 0 x), com x 7 e 0 < x < 40, o grfico de f um conjunto de 41 pontos da parbola representada na figura abaixo.

Pelos dados, temos 3x 0 y = 180 y = 180 3xrea do cercado retangular: A = x 9 ySubstituindo em , vem:A = x(180 3x) A = 3x2 0 180 xEstabelecendo a funo A = 3x2 0 180x, podemos determinar o valor dex que nos dar a rea A mxima.

Da simetria da parbola, podemos concluir que a abscissa (xv) do seu

vrtice igual a 10.Como 10 7 e 0 < 10 < 40, temos que f(x) mximo para x = 10.

b) O faturamento mximo (em reais) dado por f(10).f(10) = (40 10) 9 (20 0 10) f(10) = 900 R$ 900,00

40xv

20

f(x)

x

Substituindo x = 30 em , vem:y = 180 3 9 30 y = 90 m

yV

xV

v

0 60

y

x

A = 0 3x2 0 180x = 03x(x 0 60) = 0x = 0 ou x = 60

xb

mv

=

=

9 =

2a180

2 330 30( )

49 (Vunesp-SP) Um nibus de 40 lugares transportadiariamente turistas de um determinado hotel para umpasseio ecolgico pela cidade. Se todos os lugares estoocupados, o preo de cada passagem R$ 20,00. Caso con-trrio, para cada lugar vago ser acrescida a importnciade R$ 1,00 ao preo de cada passagem. Assim, o fatu-ramento da empresa de nibus, em cada viagem, dadopela funo f(x) = (40 x)(20 0 x), onde x indica o n-mero de lugares vagos (0 < x < 40). Determine:a) quantos devem ser os lugares vagos no nibus, em cada

viagem, para que a empresa obtenha faturamento m-ximo

b) qual o faturamento mximo obtido em cada viagem

12

21

1

51 (UFF-RJ) Um muro, com 6 metros de comprimen-to, ser aproveitado como parte de um dos lados do cer-cado retangular que certo criador precisa construir. Paracompletar o contorno desse cercado o criador usar34 metros de cerca.Determine as dimenses do cercado retangular de maiorrea possvel que o criador poder construir.

O permetro do cercado dado por 6 0 x 0 y 0 x 0 6 0 y. Como omuro de 6 m ser aproveitado, tem-se que 34 = x 0 y 0 x 0 6 0 y, ouseja, y = 14 x.A rea do cercado dada por:A = (x 0 6)y = (x 0 6)(14 x) = x2 0 8x 0 84, 0 < x , 14, que pode serrepresentada graficamente por um arco de parbola, com concavidade

voltada para baixo e vrtice no ponto de abscissa

xv

=

9 =

82 1

4( ) , quefornece o maior valor para a rea. Portanto, o valor de y no cercado y = 14 x = 14 4 = 10.Logo, o cercado de maior rea ser o quadrado de lado igual a 10 m.

6

x

x 0 6

y

y

50 (UFRN) O Sr. Jos dispe de 180 metros de tela,para fazer um cercado retangular, aproveitando, como umdos lados, parte de um extenso muro reto.O cercado compe-se de uma parte paralela ao muro etrs outras perpendiculares a ele (ver figura).

Para cercar a maior rea possvel, com a tela disponvel,os valores de x e y so, respectivamente:a) 45 m e 45 m c) 36 m e 72 mb) 30 m e 90 m d) 40 m e 60 m

x x x

muro

y

X

165Matemtica

52 (UCSal-BA) Um futebolista chutou uma bola quese encontrava parada no cho e ela descreveu uma traje-tria parablica, indo tocar o solo 40 m adiante, comomostra a figura.

53 (UFMG)a) Determine o vrtice da parbola de equao

y = x2 0 x 0 6 e os pontos onde ela intercepta oseixos coordenados.

b) No plano cartesiano, trace essa parbola e indique to-dos os pontos determinados no item a.

40

7,5

altura (m)

distncia (m)0 10

Se, a 10 m do ponto de partida, a bola atingiu a altura de7,5 m, ento a altura mxima, em metros, atingida porela, foi de:a) 12 b) 10 c) 9,2 d) 8,5 e) 8

= =

=

040a logo f(x)

401 0 1

401 2a x x,

Portanto, a altura mxima atingida pela bola :

ya

yv v

=

=

9

=

=

41

4 140

11

10

10 10 metros

Para calcular a ordenada yV do vrtice, substitui-se xV =

12

na equa-o da parbola. Obtm-se, ento,

xV =

0=

2 32

12

.

b) Na figura seguinte est esboado o grfico da parbola y = x2 0 x 0 6e esto indicados os quatro pontos determinados acima.

yV = 0 0 =12

12

6 254

2

.

O V vrtice , ento, o ponto = 12

254

, .

341

x0 12

1

1

2

32

45

6

2 3 4 5

y

12

254

(0, 6)

(3, 0)(2, 0)

V = 1

2254

,

X

1

21

Como a funo do 2o grau, podemos escrever:f(x) = ax2 0 bx 0 c, com a 0Pelo grfico, temos:f(0) = 0, f(40) = 0 e f(10) = 7,5Logo:f(0) = 0 a(0)2 0 b(0) 0 c = 0 c = 0f(40) = 0 a(40)2 0 b(40) 0 0 = 0 1 600a 0 40b = 0 (: 40)

40a b = 0e

f(10) = 7,5 a(10)2 0 b(10) 0 0 = 7,5 100a 0 10b = 7,5 (: 2,5)40a 0 4b = 3

Resolvendo o sistema formado por e , vem:240a b = 040a 0 4b = 3

3b = 3 b = 1

0

12

3

Substituindo b = 1 em , vem:1

Portanto, os pontos de interseco so: (2, 0) e (3, 0)A interseco da parbola com o eixo y obtida quando x = 0.y = x2 0 x 0 6 y = 02 0 0 0 6 y = 6Assim, essa parbola intercepta o eixo y no ponto (0, 6).Quanto ao vrtice V dessa parbola, sua abscissa xV igual mdiadas abscissas dos pontos onde a parbola intercepta o eixo x, isto :

a) A interseco da parbola com eixo x obtida quando y = 0.y = x2 0 x 0 6 x2 0 x 0 6 = 0

x1 = 3x2 = 2

54 (UFV-MG) Sejam f, g: funes tais quef(x) = x2 0 4x e g(x) = 2x.Considere o tringulo retngulo cujos catetos tm pormedida, respectivamente, os valores mximos de f g eg f. Calcule a rea deste tringulo.

f(g(x)) = f(2x) = (2x)2 0 4 9 2x = 4x2 0 8xg(f(x)) = g(x2 0 4x) = 2(x2 0 4x) = 2x2 0 8xOs valores mximos de f(g(x)) so:

O tringulo :

y yv v

=

= 9

9 =

=

4a[ ( ) ]

( )64 4 4 0

4 46416

4

y yv v

=

= 9

9 =

=

4a[ ( ) ]

( )64 4 2 0

4 2648

8

4

8

=

9=S 8 4

216

166Matemtica

55 (UFMG) A seo transversal de um tnel tem a for-ma de um arco de parbola, com 10 m de largura na basee altura mxima de 6 m, que ocorre acima do ponto m-dio da base. De cada lado so reservados 1,5 m para passa-gem de pedestre, e o restante dividido em duas pistaspara veculos.As autoridades s permitem que um veculo passe por essetnel caso tenha uma altura de, no mximo, 30 cm a menosque a altura mnima do tnel sobre as pistas para veculos.Calcule a altura mxima que um veculo pode ter paraque sua passagem pelo tnel seja permitida.

A equao da parbola : y = ax2 0 bx 0 c.Como a parbola passa pelo ponto de coordenadas (0, 6), fazendo x = 0na equao acima, obtemos c = 6. Como a parbola passa tambm pelospontos (5, 0) e (5, 0), temos, substituindo, sucessivamente, x = 5

56 (UEM-PR) Considere uma parbola de equaoy = ax2 0 bx 0 c, sendo a, b e c nmeros reais e a 0. Seo seu grfico o dado a seguir, assinale o que for correto.

(01) Sendo o vrtice da parbola o ponto V(p, q), o valorde p 3.

(02) A soma das razes da equao y = 0 4.(04) A rea do tringulo ABV, sendo V o vrtice da parbo-

la, dada por S c= 0 02 9a 3b .

(08) O nmero b negativo.(16) O produto ac positivo.(32) Se o ponto P(6, 2) pertencesse parbola, o valor de

c seria 2.

A figura mostra a seo transversal desse tnel.A abscissa x mede o comprimento, em metros, na base do tnel, a partirde seu ponto mdio e a ordenada y representa a altura, em metros, apartir da base do tnel.

0 5

6

5

y

x

y x= 6

25252( ).

A equao da parbola , ento, y x ou seja= 06

2562 , ,

De cada lado do ponto mdio da base do tnel so destinados 3,5 m para aspistas de veculos. Logo, a altura mnima sobre as pistas de veculos igualao valor de y quando fazemos x = 3,5 na equao da parbola. Essa altura ,

ento, em metros, igual a = 9 =

625

3 5 25 625

12 75 3 062( , ) , , .

Para que a passagem de um veculo pelo tnel seja permitida, sua alturadeve ser, em metros, no mximo, igual a 3,06 0,30 = 2,76 2,76 m

0 53,5

3,06

6

5 3,5

y

x

pistas para veculos

y

x0 1 5V

A B

e x = 5 na equao y = ax2 0 bx 0 6,

b = 0 e a =

625

.

25a 5b = 625a 0 5b = 6

12

3 e segue-se que

(08) Verdadeira, pois a positivo (a . 0) parbola com concavidadepara cima; logo:

x x

ba

ba

0 =

=6

A parbola passa por (6, 2), logo:2 = 36a 0 6b 0 c 2 = 36a 0 6 9 (6a) 0 c c = 2 (verdadeira)

Portanto: 01 0 04 0 08 0 16 0 32 = 61

= 0

= =

ba

ba

b a1 5 6 6

p = 0 =1 5

23 (verdadeira)(01)

(02) x 0 x = 1 0 5 = 6 (falsa)(04)

3

V9a 0 3b 0 c

1A B

5

S b h S c S= 9 = 9 0 0 = 0 0

24

22( )9a 3b 9a 3b c (verdadeira)

(como a . 0, deve ser positivo. Assim, b negativo.)

x x

ca

9 = 9 = .1 5 5 0(16) (se a . 0, c deve ser maior que zero,isto , ac . 0); portanto, a afirmativa verdadeira.

(32)

167Matemtica

59 (UFES) Sabendo-se que a imagem da funoy = x2 0 5x 0 (k 0 4) o conjunto {y 7 \y > 1},podemos afimar que o valor de k :a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 e) 1,25

Clculo do = b2 4ac = 52 4 9 1 9 (k 0 4)

= 25 4(k 0 4) = 25 4k 16 = 9 4k

O valor mnimo :

60 (Unitau-SP) Para quais valores de x satisfeita ainequao 3 0 4x x2 > 0?a) 1 , x , 3 d) 1 < x < 3b) x , 1 ou x . 3 e) qualquer x realc) x < 1 ou x > 3

3 0 4x x2 > 0 x2 4x 0 3 < 0As razes so:

y y yv v v

=

=

9 =

4a4k 4k( )9

4 19

4

O conjunto imagem :y > y

v y > 1 y

v = 1

4 94

1k =

k = 5

4

{ {

}x1 3

X

4k 9 = 44k = 5

k = 1,25

X

x2 4x 0 3 = 0x1 = 3x2 = 1

Portanto, 1 < x < 3

57 (UFOP-MG) Um tringulo ABC retngulo em C eseus catetos medem a e b, conforme a figura abaixo.

Determine y = MN, de modoque o retngulo CMNP, inscri-to nesse tringulo, tenha reamxima.

Pelos dados, temos:

P

C A

Na y

yx

x

y

B

M

a

b

b x

P

y

C A

N

B

M

a

b

Os tringulos ABC, NBP e ANMso semelhantes.Logo, se #ABC #NBP, ento:

aa y

bx

= = ax ab by

y a a

bx=

A x a ab

x A ab

x= 9 =

0

2 ax

xa

ab

xb

v v=

9

=

2 2

by = ab ax

1

Aretngulo CMNP = x 9 y

Substituindo em , vem:

2

1 2

Substituindo x

b=

2 em , vem

y a a

bb a

= 9 =2 2

1

58 (Unitau-SP) O conjunto imagem, Im, da funoy = x2 4x 0 3 :a) Im = {y 7 \y > 2} d) Im = {y 7 \y < 1}b) Im = {y 7 \y < 2} e) Im = c) Im = {y 7 \y > 1}

Esboo de grfico

= b2 4ac = (4)2 4 9 1 9 3 = 16 12 = 4

xb

xv v

=

=

9=

2a( )42 1

2

y yv v

=

=

9=

4a4

4 11

Podemos observar que y > 1 para todox 7 .

Portanto, Im = {y 7 \y > 1}

02

V (2, 1)

3

1

y

x

X

61 (FGV-SP) Quantos nmeros inteiros satisfazem ainequao x2 10x , 16?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

x2 10x , 16x2 10x 0 16 , 0

0 0

}x2 8

sinal de x2 10x 0 16

X

Assim, 2 , x , 8Logo, os nmeros inteiros que satisfazem a inequao so: 3, 4, 5, 6 e 7.

168Matemtica

62 (Unifor-CE) O nmero de solues inteiras e no-nulas da inequao

22

22

2 2

nn

nn

, 0

:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

n2 2n 8 , 0

63 (FGV-SP) Uma funo quadrtica f tem um grficocujo vrtice o ponto (3, 4). Sabe-se que 2 uma raiz dafuno.a) Obtenha a expresso da funo f.b) Para que valores de x tem-se f(x) . 0?

Da, tem-se que 4 a outra raiz de f. Ento:f(x) = a(x 2)(x 4)Como f(3) = 4, ento a(3 2)(3 4) = 4 a = 4Logo, f(x) = 4(x 2)(x 4), ou seja, f(x) = 4x2 24x 0 32.

b) Do grfico do item a, f(x) . 0 se x , 2 ou x . 4

64 (UFRJ) Seja p: dada porp(x) = (x 1)(x 2)(x 3).Para que valores de x se tem p(x) > 0?

Vamos analisar o sinal de p(x) verificando o sinal de cada um de seusfatores pelo quadro:

65 (FGV-SP) O maior nmero inteiro que satisfaz ainequao

53

3x

. :

a) um mltiplo de 2 d) divisvel por 3b) um mltiplo de 5 e) divisvel por 7c) um nmero primo

Logo, o maior nmero inteiro que satisfaz a inequao o 4.

Desenvolvendo, temos:

4 2 22 4

422

2

2n n

n n

n

n 9 9 0 , 0

4 24

422

2

2n

n

n

n 0 , 0

n n2

4 22 0 ,

{ {

}x2 4

a) Do enunciado, pode-seconcluir que o grfico dafuno quadrtica f :

02 3

(3, 4)4

y

x

S = {x 7 \1 < x < 2 ou x > 3}

21 3

21 3

0 00

0

00

{ {

53

3x

.

53

3 0x

.

0

.

3 143

0xx

Portanto, 3 14

3, ,x .

X

n2 2n 8 = 0n1 = 4n2 = 2

Entre 2 e 4, temos os nmeros inteiros 1, 0, 1, 2 e 3. Os no-nulos so1, 1, 2 e 3.

Razes

X

} }

{

x3 143

sinal 3xdex

0

143

66 (UCSal-BA) No universo , o conjunto soluo de

2 12 3

0x

x

< :

a)

6 0, ,12

23

d)

12

23

,

b)

6 0, ,23

12

e) %

c)

23

12

,

Sendo 2x3x

temos:

2}c) {x 7 \x < 2 e x 2}d) {x 7 \x , 2 ou x > 2}e) {x 7 \2 , x < 2}

x2 4 = 0 x = 2 ou x = 2

71 (UCSal-BA) No universo , o conjunto soluo dainequao

x

x0 ,

12 :

a) {x 7 \x . 1} d) {x 7 \x , 0}b) {x 7 \0 , x , 1} e) {x 7 \x . 0}c) {x 7 \x , 1}

x2 2x 0 1 = 0 x = 1

72 (UEL-PR) O conjunto soluo da inequao

( ) ( ),

x x

x

9

>

1 4

30

3 2

no universo U = , :

a) ], 2] 6 [1, 3[ d) [2, 1] 6 [2, 3[b) [0, 1] 6 [3, 0[ e) ], 2] 6 [2, 3[c) [1, 2] 6 [3, 0[

Para resolver a inequao-quociente, vamos estudar o sinal das funes:f(x) = x 1, g(x) = x2 4 e h(x) = 3 x

73 (Furg-RS) Dadas as funes reais definidas porf(x) = x 2 e g(x) = x2 0 x 12, podemos dizer que o

domnio da funo h(x)

f(x)g(x)

= :

a) {x 7 \x < 2} d) {x 7 \x . 2}b) {x 7 \x , 2} e) {x 7 \x > 2}c) {x 7 \ 2 < x , 2}

Fazendo o quadro de sinais, temos:

{ {

}x2 2 2}

{

x

x 0 2 = 0 x = 2

x

xx

x0 , 0 ,

1 2 1 2 0

x

x

2 1 00 ,2x

x

x

2 1 0 0 ,2x

Fazendo o quadro de sinais, temos:

{ {

x1 0}

{

x

Para a funo i(x) = (x 1)3, o sinal o mesmo da funo f(x).Quadro de sinais:

11

y

x}

{

22

y

x

{

}}

3

3y

x

{

}

f(x) = x 1

h(x) = 3 x

S = {x 7 \2 < x < 1 ou 2 < x , 3}

1

1

2

2

3

3

2

2

g(x)i(x)

h(x) 00

0 00

00 0

{

0

0

{i(x) 9 g(x)

h(x)

Da:

X

x < 2 e x 20 0

0 0

}} 0

2 2

22

X

x = 0

S = {x 7 \x , 0}0 000 0

0} 0

0 1

10

X

g(x) = x2 4

X

Logo: {x 7 | x < 2}0 0 0

} 0

2

2

f(x)g(x)f(x)g(x)

f(x)g(x) >

0 >

0

funcoes2

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