Funções Modulares

Prof.: Thiers Santana Sene

Definição de Módulo O módulo de um número real x que é

escrito como |x| é definido por: X se x>0 - x se x<0 Exemplo: 1) |-3|=3 2)|9|=9 3)|-6|=6

Vamos pensar um pouco!!!

Para vocês, o que significa a palavra “módulo”?

Função Modular Chama-se função modular à função

f(x)=|x| definida por:f(x) = x , se x>0 e – x se x<0 para todo x real.

Exemplos: A) f(x)=|x-3| B)g(x)=|2x+9| C) f(x)= |x|+|x+1| D) g(x)=|x2 - 9|

Exercício 1:

Considere a função f(x)=|10x – 5|. Calcule:

A) f(0,1)=B) f(-1) + f(1)= C) f(0,01)=D) f(1/2)/f(2)=Resposta : a)4 , b)20, c)4,5 , d) 0

Exercício 2:

Vamos construir o gráfico da seguinte função f(x) = |x + 3| :

Solução: Vamos atribuir alguns valores a variável x e montaremos a seguinte tabela:

Observe:x F(x)=|x +3|

-4 |-4+3|=|-1|=1

-3 |-3+3|=|0|=0

-2 |-2+3|=|1|=1

-1 |-1+3|=|2|=2

0 |0+3|=|3|=3

1 |1+3|=|4|=4

2 |2+3|=|5|=5

3 |3+3|=|6|=6

Observe o gráfico abaixo:Veja:

y

0

1

2

3

4

5

6

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

y

Exercício 3:

Vamos construir o seguinte gráfico G(x) = |x2 – 4|. Solução: Usaremos a mesma idéia anterior.

Colocaremos alguns valores para a variável x e montaremos uma tabela:

Observe:x G(x)=|x2-4|

-3 |(-3)2-4|=|5|=5

-2 |(-2)2-4|=|0|=0

-1 |(-1)2-4|=|-3|=3

0 |02-4|=|4|=4

1 |12-4|=|-3|=3

2 |22-4|=|-2|=2

3 |32-4|=|5|=5

Graficamente teremos:

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

y

Equações Modulares:

Exemplo 1: Resolva a seguinte equação:

|x2 – 5x| = 6 Solução: X2 – 5x = 6 (I) Ou – (x2 – 5x) = 6 (II)

Resolvendo (I) X2 – 5x = 6 X2 – 5x – 6 = 0. Portanto: x’ = 6 ou x” = -1 Resolvendo (II) - X2 + 5x – 6 = 0 X’ = 3 ou x” = 2 Logo S={-1,2,3,6}

Vejamos esse exemplo!

Exemplo 2: Resolva a equação|3x – 2| = x – 1 Solução:Como x – 1 não pode ser negativo

pela definição então teremos que encontrar uma solução tal que x > 1. Desta forma teremos:

3x – 2 = - x + 1 3x + 2 = x + 13x + x = 2 + 1 3x – x = -2 + 14x = 3 2x = -1X = ¾ x = -1/2Como nenhuma das respostas

respeitou x>1 então a solução é vazia, ou seja,

S = { }

Exemplo 3: Resolva a seguinte equação:

|x|2 + 2|x| - 15 = 0

Solução:Vamos trocar de variável,ou seja:Chamaremos |x|=y. Então:

Y2 + 2y - 15 = 0 Resolvendo esta equação: Y’ = 3 ou y” = - 5 Voltando a variável original: |x|=3 ou |x|= - 5 . Como não existe um

número x tal que |x|= - 5 então: |x| = 3 x = 3 ou x = -3. Portanto S={-3,3}

Exercício 4

Resolva as seguintes equações modulares:

A) |- 2x + 1| = x + 2 B) |x2 + 6x – 1| = 6 C)|x|2 - |x| - 20 = 0 D) ||x – 2| - 7| = 6

Exercício 5 (UERJ)

O volume de água em um tanque varia de acordo com o tempo com a seguinte equação:

V = 10 - |4 – 2t| - |2t – 6|, t IRNela, V é o volume medido, em m3, após t

horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.

Resposta: 10h e 11h

Em Geral...

Para resolvermos equações modulares devemos verificar duas condições, a saber:

|x|=a se x = a ou x= - a

Inequações Modulares

Para resolver as inequações modulares é necessário o seguinte conhecimento a seguir:

Como iremos resolver a seguinte situação?

|x|>5 ou |x|< 8 Vejamos...

Exemplo 1: |x|> 5

Dizer |x| > 5 significa dizer que a distância de todos os números x em relação a origem deverão ser maiores que cinco.

Observe o esboço dessa situação na reta numérica:

|x| > 5

Logo para que |x| > 5 é necessário que

Tenhamos x< - 5 ou x > 5.Em geral: |x| > a x < - a ou x >

a.0-5 +5|x| > 5 |x| > 5

Exemplo 2: |x|< 8

Dizer que |x| < 8 significa dizer que queremos encontrar todos os números cuja distância a origem seja menor que 8. Observe a seguinte situação na reta numérica a seguir:

|x| < 8

Portanto para que tenhamos essa situação teremos que:

|x| < 8 -8 < x < 8

0-8 +8|x| < 8 |x| < 8

Generalizando...

Em geral:|x| < a -a < x <a oux> - a e x < a

Vejamos resolver as seguintes inequações a seguir:

Exercício 6:

Resolva as seguintes inequações:a) |x + 2|< 3b) |x + 1| > 5c) |2x – 1| > x + 1d) |3x + 2|> 2

Exercício 7 (UFU-MG)

O conjunto – solução da inequação|3x – 5| < 3 é: