UniversidadeFederalRuraldePernambucanoUnidadeAcadmicadeSerraTalhada

BenjamimHenriquedeLimaesilvaOrientador:Msc.DemcioCosta

Textocomplementarsobre:

Funes e aplicaespara Qumica e biolgicas

Trabalhodepesquisadabolsade monitoria: Clculo II ematemtica para bilogos, referenteasfriasde12/200903/2010

SerraTalhada,2010

Sumrio

Contextualizao.............................................................................................4

Domnio,contradomnioeimagem........................................................6Funesbijetivas,injetivasesobrejetivas.....................................................10FunoInversa..............................................................................................12FunoComposta..........................................................................................13Grficodefunes.........................................................................................16Tiposdefunes............................................................................................17Funesdoprimeirograu.............................................................................17Funodosegundograu...............................................................................32Funopolinomiaisdegraun...................................................................42FunesModulares.......................................................................................43FunesExponenciais..................................................................................46FunesLogartmicas...................................................................................52FunesTrigonomtricas.............................................................................62FunesTrigonomtricasinversas...............................................................74lgebrasdeFunes......................................................................................75Inequaes.....................................................................................................76Bibliografia...................................................................................................84Anexo.............................................................................................................86

2

Contextualizao:

Sob presso constante a variao do volume de um gs, devido a temperatura, dado pela LEI DE CHARLES e GAY-LUSSAC que diz que o volume ocupado pelo gs diretamente proporcional a sua temperatura. Matematicamente: V =kT , sendo T a temperatura e k uma constante peculiar a cada gs. Sabendo o valor de k, podemos obter o volume ocupado pelo gs a uma dada temperatura. Por exemplo, digamos que um certo gs tem a variao do volume dado pela a expresso: V =3 l / C .T , ento se pergunta: Qual o volume do gs a 100C?

Pararespondermosisso,substitumosessevalornaleisupracitada:

V =3 l / C .100 CV =300 l (osmbolosignificaimplicaque)

chegandoarespostaque100litros.

O nmero de bactrias de uma certa cultura, t horas aps o incio de certo experimento, dado pela expresso N(t) = 1200 . 20,4t. Nessas condies, quanto bactrias teremos aps 12,5 anos?

Soluo:Nessecasotambmsetratadefuno,paraobtermosarepostasubstitumosotempo dadonaexpressomatemticaacima:

N(12,5)=1200.2(0,4).(12,5) N(12,5)=1200.25 N(12,5)=38.400bactrias.

No dois casos acima percebemos certa dependncia de uma quantidade sobre a variao de outra. No primeiro caso temos que se T aumenta, V tambm aumenta e se T diminui, V tambm diminui. O valor de V depende do valor atribudo a T. Algo semelhante acontece no segundo exemplo, a diferena est na natureza dessa dependncia que antes era proporcional e agora exponencial, pois, quando t aumenta ou diminui N(t) tambm ir aumentar ou diminuir, respectivamente. Essa dependncia (intrnseca) de uma quantidade sobre o valor (e variao) de outra chamada em matemtica de funo. Informalmente falando, funo uma lei matemtica que recebe um valor arbitrrio (voc e/ou as convenincias escolhem) e processa (calcula) um novo valor dependente do valor inserido.

Definio:DadaosconjuntoAeBnovazios,definesefunof:AB(lsefunofdeAparaB)

comoumaregraquedizcomoassocarcadaetodoelementoadeAaumnicoelementob emB.

3

Diagrama de uma funo. Note que o conjunto B possui elementos sem correspondente em A porm isso no contradiz a definio. A B

Nesse caso no funo pois h elemento em A que no possui correspondente em B A B

funo pois, todo elemento em A est associado a somente um elemento em B. Perceba que o fato de B possuir elementos com mais de um correspondente em A no contradiz a definio. A B

No funo pois A possui elementos com mais de um correspondente em B, isso contradiz a definio. A B

4

1

2

3

0

1

4

9

A

B

C

D

Casa

Bola

dado

1

0

4

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

0

1

4

Exemplos:

1DadososconjuntosA={2,1,3}eB={1,0,4},digaseasexpressesmatemticasabaixosorepresentaesdefunodeAemBefaaumdiagrama.5x6sex0Resoluo:a)nofunopoisnohemBelementosquecorrespondaa1e3emA.

f(2)=(2)=4f(1)=(1)=1f(3)=(3)=9

b)funopoistodoselementosemApossuisomenteumcorrespondenteemB.

f(2)=(2)+1=1f(1)=(1)+1=0f(3)=(3)+1=4

c)nofunopoisnohemB,elementoquecorrespondaaoselementos:2e3emA.

f(2)=(2)+3=7f(1)=(1)+3=4f(3)=(3)+3=12

d)funopoisquandopoistodososelementosdeApossuemsomenteumelementoemB.

f(2)=5(2)6=106=4f(1)=5(1)6=56=1f(3)=0,pois3>0

5

-2

-1

3

-1

0

4

A B

-2

-1

3

-1

0

4

A B

-2

-1

3

-1

0

4

A B

-2

-1

3

-1

0

4

A B

Exerccios

1 DadososconjuntosA={1,2,3,4}eB={1,2,3,4}.DigaqualdasexpressoabaixorepresentamfunesdeAemB.1sex=1a)f(x)=3x2b)f(x)=x+5c)f(x)=xd)f(x)=1xsex1

2DadosA={1,2,3,4,5,6,7,8,9}eB={1,4,3,16,5,36,7,64,9,100}esabendoqueacorrespondnciaentreAeBqueequivaleaumafunocompostaporduasexpresses:umaseosnmerossopareseoutrasesompares.Encontreessacorrespondncia.

3EmAnliseMatemtica,umareadegrandeimportnciadaMatemticaqueentreoutrascoisasseencarregadasdemostraeseprovasdeteoremas,conhecidaumafunode (naturaisparanaturais)chamadadesucessorden,definidapeloschamados1e2axiomasdePeanocomo:s(n)=n+1es(n)1, n (qualquerquesejanpertencenteaosnmerosnaturais)Determinequaisdosconjuntosabaixorepresentamfunesrestries*des(n)deA B.

a)A={2,3,10,11}eB={4,12,3,11}b)A={11,16,14,}eB={2,5,12,17,15}

c)A={1,2,3,4,5}eB={6,7,8,9,10}d)A={1,2,5,10}eB={2,4,6,11}

4DadososconjuntosAeBeasrespectivascorrespondncias,abaixo,digaemquaiscasoshfunodeAemB.

a)A={0,1,2,3},B={1,0,1,2,3)ef(x)= x 1 b)A={2,3,5},B={4,9,25}ef(x) = x

Domnio,contradomnioeimagem

O conjunto A da definio acima chamado de Domnio def e B de contradomnio. O domnio D consiste dos elementos admissveis pela funo, ou seja, todos valores dexque posso colocar na funo e obterei resultados, o conjunto de todos os resultados que posso obter no contradomnio chamado de ImagemImde f .Outra forma de representar a funo f(a)= b, sendo b imagem de a em f .A imagem est contida no contradomnio e equivale aos valores obtidos pela a funo quando inserimos na funo valores de x do domnio. Algumas vezes preciso excluir alguns valores do domnio para que f(x)seja definida e exista, abaixo esto alguns exemplos de domnio e imagem, se no explicitarmos o contradomnio, subtenda como sendo os nmeros reais .

.

*Dadaasfunes:A Be g:C D,dizsequegrestriode eextensodeg,quandoCA(CestcontidoemA). 6

Exemplo1:f(x)=x9;odomniodessafunooconjuntodosnmerosreaispois,elaadmitequalquervalorreal.fcilverqueaimagemtambmosnmerosreaisumavezque,poderseobtertodososvaloresreaisnessafuno.D=.

Exemplo2:f(x)= x x ;odomniodessafunosertodososnmerosreaispositivos()eosnmerosreaisparesnegativos.Emtermosmatemticos:D= *J(*significaoconjuntosdosnmeros reaiscomexceodo0),sendoJoconjuntodosnmerosmparesnegativos, note que f(0) no est definido pois, teramos f(0) = 0 que emmatemticadenotaindeterminao.Sedefinssemos0 como1(todonumeroelevadoa0dar1),seria dizerque 0a/0a iguala1mas, 0a sersempreiguala0,noimportaovalordeae,assim teramos 0/0 o que no faz sentido em matemtica dividir um numero por 0*. Ajustificativadodomniodessafunoqueocontedodaraizquadradanopodesernegativo,logotodososnmerospositivosinteirossopermitidos.Paraosnmerosinteirosnegativos,sex for par teremos um numero par negativo elevado ao nmero par tambm negativox x .Onumeronegativocomoexpoentesignificaquexestnodenominador 1 /x x e

como todo nmero (negativo ou positivo) elevado a expoente par dar sempre umnmeropositivo**ocontedodaraiznuncavaidarnegativoparanmerosparesnegativos.Nocasodosnmerosmparesnegativos,todonmeronegativoelevadoaexpoentempar negativoounodar semprenegativoeporessemotivo, nessecaso, osnmerosreais negativosmparesnofazempartedodomnio.Aimagemdessafunoosnmerosreaismaioresque0,Im=+(porque?)***(+significaosnmerosreaispositivos)

Exemplo 3: f(x) = x21/x1 ;jfoiditoqueemmatemtica nofazsentidodividirpor0,logox+10;x1,essedomniodef.D={1}.Aimagemserosnmerosreaiscomexceode2;Im= {2},quandofalarmosdelimitesexplicaremosporquedaexclusode2daimagem,quemjtiverconhecimentodelimitespodejtentardescobrirporque.

Exemplo 4: f(x) = x21/x21 ; nesse caso x no denominador est elevado aoquadradoenuncaser negativo (porque?) logoo domnio, comotambma imagem, osnmerosreais.

..

*Sedissssemosquea/0=b,teramosqueb.0=a,oquenofazsentido;**(x)2n=x.x.x.x...x.x,umnumeropardevezes,pelaregradesinaisnamultiplicaosinaisiguaisdar

positivo(x.x).(x.x).(x.x)...(x.x)=x2n;lembreque().()=(+).***Emfunoradiciaisnoconsideradoaraiznegativapoisseissoacontecesseteramosum x paradois f(x) x e x quecontrariaadefiniodefuno.xaumnicof(x) 7

A

B

C

152

43

f:A B

Domnio:A={A,B,C}

A B

Contradomnio:B={1,2,3,4,5}

Imagem:{1,2,3}

Exemplo5:f(x)= ln x1 ;essafunosestdefinidaparanmerosmaioresque0pois,noexistelogaritmonatural(lnlogaritmonabasee,nmerodeEuler)denmerosiguaisoumenoresque0*logo x10 x1 ,suaimagemnoentantosertodososreais.D=+{1};Im=.

Exemplo 6: f(x)= sen5 x ;Domnioosnmerosreais,D=,naimagem,noentantonoslembramosqueafunosenovariade1a1(verfunesperidicas),logoessaaimagemdafuno:Im=[1,1]

Exemplo 7: F(x) = 1/x1 x2 ; temos aqui duas imposies: primeiro nopodemosternmerosnegativosnaraiz,segundonopodemoster0nodenominadorlogoodomnioserdefinidoem: x1 x20 ;essaumainequaodosegundograupararesolvla avaliaremos as funes separadamente, chamando (x1) de f(x), (x+2) de g(x) ef(x).g(x)deh(x),edepois,emumatabela,faremosojogodesinal:f(x) = x1=0 x=1 comoessa funo uma funo afimcrescente (ver funes afins),temosqueparax>1,f(x)>0;x=1,f(x)=0;x0, x =2, g(x)=0; x< 2, g(x)

Exemplo 9: f(x) + x = 1: isso no funo pois desenvolvendo teramosf(x)= 1x pormpeladefiniodefunodevemosterumxrelacionadoaumnicof(x), nestecasonstemosum x paradois f(x) (araizpositivaeanegativa). Notequenosexemplos 2, 7 e 8 tambmaparecem razes mas nesses casos as razes esto definidasimplicitamentecomosomentepositiva,sevocusarotestezinho*dasintersecesdogrficocomumaretaparalelaaoeixodef(x)vocvaiverogrficonodefuno.

Exemplo10: f(x)=|x|2x;domniooconjuntodosnmerosreais:D=.Aimagem:temosumfatoremmdulo**logoqualquervaloratribudoa x sernessefatorpositivoporoutroladotemostambmofator2xqueparax0sernegativo(sejax=a,2(a)=2a)ecomo|2x|>|x|temosqueosinaldef(x)depender somentedosinalde2x. Como2xassumir qualquervalorreal logo f(x)tambmassumirqualquervalorrealeaimagemIm=.EmumlistadoprofessorMarcosMeloelepedeparaverificarque f(|a|)=|a|. Para issosubstitumosnafunoo|a|:f(|a|)=||a||2|a||a|2|a|=|a|.

Exerccios

5DadososdiagramasabaixodefunesdeAemBidentifiqueodomnio,ocontradomnioeaimagem.

6DadososconjuntosA={2,3,4}eB={8,27,64}esabendoqueoconjuntoAdomniodeumafunoeBasuaimagem.Encontreessafuno.

7 Dadaafuno f : A B, f(x) = 3x 2 esabendoqueocontradomnioeaimagemdessafunosoiguaisesendodadoB={4,13,19,28}.EncontreA,ouseja,encontreoselementosdodomniodef (x).

8Expliciteodomnio,ocontradomnioeaimagemdasseguintesfuno.

a) f x= 3 x3 x b) f x=1 x c) f x=4x21 /2. x1 d) f x=x4 1

.

*Nesse teste traamos uma reta vertical no grfico da funo, se a reta cortar o grfico em mais de um ponto ento no funo**Mdulo o valor absoluto do nmero independendo do sinal assim: |-5|=|5|=5, |-2|=|2|=2. em matemtica define-se mdulo de um nmero a como: |a |=a se a >0 e |a |= -a se a

Funes Sobrejetivas, injetivas e bijetivas (ousobrejetoras,injetorasebijetoras)

Funes sobrejetivas so aquelas em que todos y no contradomnio possui um xcorrespondente no domnio, ou seja, qualquer que seja o valor dey no contradomnio haverum valor paraxno domnio que quando substitudo na funo ela dar o valor de y. i.e. (isto) o contradomnio igual a imagem. Se a funo estiver definida no nmeros reais f: ela ser sobrejetiva se a imagem for os nmeros reais. Im = .

AB

Exemplos:f(x)=5x+2(sobrejetivapoisparaqualquervalorydef(x)haversempreumxquequandosubstitudonafunofarcomqueeladessevalor);

f(x)=3x(nosobrejetivapoisnohvaloremxquefaaf(x)=0ouf(x)

Funesbijetivas so funes sobrejetivas e injetivas ao mesmo tempo. Costuma-se dizer que essas funo possuem uma correspondncia biunvoca entre xe f(x). interessante notar que as funes polinomiais mpares, definidas de em , so bijetivas, enquanto que as funes polinomiais pares sero bijetivas se somente forem definidas de + em +.

AB

Exemplos:

f(x)=x+4(noinjetivanemsobrejetiva(porque?)logonobijetiva);

f: ,f(x)=5x(injetivamasnosobrejetivalogonobijetiva)*;

f: +,f(x)=x4+x(sobrejetivapoisaimagem+igualaocontradomnio+,pormnobijetivavistoquenoinjetivapois11enoentantof(1)=f(1).(verifique)

f:+ ,f(x)=ln|x|(injetivaesobrejetiva**(porque?)logotambmbijetiva);

f: + +, f(x)=x (bijetiva poisaimagemigualaocontradomnioenmerosreaispositivosdiferentespossuemquadradospositivosdiferentes)

f(x)=x+2x(bijetivasetratadeumafunompar)

Exerccios

9Analisandoasfunesqueassociama)oanimalsuaespcie,b)onomeeaidadedeestudantesuniversitrios,c)acapitalaseurespectivopas,e)aintelignciaeaparnciacada pessoa e f) o time de futebol cada torcedor. Diga se essas funes so injetivas,sobrejetivas,bijetivase/ounenhumdoscasos.

10Classifiquecomoinjetivas,sobrejetivasebijetivasasseguintesfunesdefinidasdeem.

a)f(x)=x3b) f x=3 x5 x 22 x7 c) f x=lnex1 d) f x=sen 3x1

.

*Asfunesexponenciaisnaqualax,sendoaconstanteereal,nobijetivaquandodefinidadepara,f:,umavezquenosobrejetiva.Pormbijetivaquandodefinidade para +,f: +,poisaquiaocontradomnioserigualaimagem;**Sempre haver umvalor em x que far comque a funo tenha qualquer valor numrico real logo ela sobrejetiva,comotambmvaloresdiferentesde x darvaloresdiferentesde f(x).Lembresequeainjetividadeesobrejetividadedependedasimposiesem f(x)enoemxcomoocasodolnemquexdevesermaiorque0.

1

2

3

3

2

1

11

FunoInversa

Dada a funo bijetivaf:A B, define-se a funo inversa def,representada porf1,como a funog:B A. Tendo uma funo de yvariando em funo dex, sua inversa ser afuno na qual oxvaria em funo dey.Na prtica trocamos o xporf(x)e ento isolamos o novof(x).

f(x):f1(x)ABAB

Exemplos:

1 f x=x1 ,paraobterafunoinversatrocamosoxporf1eentooisolamos,obtendoainversa:

x= f 1 x 1 f 1 x=x1 f 1x = 3 x1 .

2 y=5x3 maisumaveztrocamosoxporyeisolamosessenovoy.

x=5y3 5y=x3 y=x3/5

3Determineodomnio,f(1/x)ef1dafunof: ,f(x)=

Resoluo:Odomniodessafunosotodosospontosnoquaisafunoexiste,sendoassimtodoo conjuntodosreaiscomexceodopontonaqual2x+7=0.Logo2x+70 x7/2.D={7/2}.

Notamosqueestafunonobijetiva,umavezquenosobrejetiva(porque?)logoelano possuiinversanessedomnio.

12

1

2

3

4

2

4

6

8

1

2

3

4

2

4

6

8

x12x+7

f(1/x)=(1/x)12(1/x)+7

(1x)x(2+7x)

x

f(1/x)= 1x2+7x

Funo composta

Dada as funes:A B e g: B C, podemos obter uma nova funo F:A C, tal que F(x) =(g(x)). A funo composta (representada comumente porog(x)) a funo obtida pela insero da funo g no lugar da varivel de . Ou seja, onde tinha xem (x) eu coloco a funo g(x).

ABC

Exemplos:

1Seja f x=3 x21 e g x =2 x5 .Calculeasfunescompostasfogegof.

Resoluo:fog= f g x =32 x5 1 ;

gof= g f x =2 3 x215 .

2(FGVSP)Sefegsofunestaisquef(x)=3x1ef(g(x))=x,determineg(x).

Resoluo:Paraencontrarmosovalordeg(x)osubstitumosemf(x)eoisolamos:

f(g(x))=3(g(x))1 3(g(x))1=x 3(g(x))=x1,isolandog(x)temos:

13

x f(x) g(f(x))f

g(f(x))

g

g(x)= x13

3Sejaf=goh,calculehse:

(a)f(x)=x+1,g(x)=x+1(c)f(x)=|x3x+5|,g(x)=|x|

(b)f(x)=bx+a,g(x)=x+a(d)f(x)=sen(x),g(x)=x

Resoluo:(a)f(x)=g(h(x)),assim:x+ 1=(h(x))+ 1 h(x)=x+ 11 h(x)=x (vocpode comprovarissosubstituindoh(x)emg(x),encontrandof(x));

(b)f(x)=g(h(x)) bx+a=(h(x))+a h(x)=bx+aa h(x)=bx

(c)f(x)=g(h(x)) |x3x+5|=|h(x)| h(x)=(x3x+5)se x0 eh(x)=( x3x+5)sex0(porque?)logox>4.D={x |x>4}.f o g= 1/2 x 4 1/2 x40 1/2 x4 18 x x1 /8 ; Odomnio: D={x|x

7(FatecSP)Sejamf: eg: ,funesdefinidasporf(x)=x4teg(x)=xt.Sef(g(1))=16entotigual:

(a)5(b)3(c)0(d)3(e)5

Resoluo:

g(1)=1tg(1)=1t

f(g(1))=16(g(1))4t=16 (1t) 4t=161 5 t=165t=16+1t=15/5=3,logoaalternativacorretaa(d).

Exerccios

11Encontreasfunesinversasdasseguintesfunes(seexistirem):

a)f(x)=x+3b)f(x)=x2c)f(x)=x2x+4x8

d)f(x)=ln(x2)e)f(x)=2x4f)f(x)=senx

12DadoumparalelogramoemqueosladosmaioressoproporcionaisaosmenoresporumaconstanteK,dafunoqueexpressaopermetroemfunodosladoseafunoinversa,ouseja,osladoemfunodoslados.

13 Umapropriedadeimportantedoconceitodebijetividade(vistomaisacima) quesef:A Bbijetiva,entoAtemomesmonmerodeelementosdeB(chamadodenmero cardinal).Usandoessapropriedadeomatemtico,fsicoeastrnomoitalianoGalileuGalileiprovouqueexistetantosnmerosmparesquantonaturais().Encontreasfunesquedoosnmerosmparesesuainversa,bemcomoaquedosnmerospares.

14Calculefogoh,sendo:

a)f(x)=x1,g(x)=2xe,h(x)=x3b) f x= x23 , g x =3x2 e ,h x =sen xc)f(x)=cosx,g(x)=ln|x|eh(x)= e x e)f(x)=6x3,g(x)=senx,eh(x)=x1

15(MackSP)Dadasasfunesf,gehdeem,definidasporf(x)=3x,g(x)=x2x+1eh(x)=x+2,entoh(f(g(2))iguala:

a)1b)2c)3d)4e)5

16Paraquevaloresdeaebvale:a)(fog)=9x2e,b)(gof)=9x2,sendof(x)=axbe g(x)=ax+b.

15

17Sef=goh.Calculegse:

a)f(x)=6x2eh(x)=x3b)f(x)=senxeh(x)=tgxc)f(x)=x1eh(x)=x+1

18Escrevaf(x)comocompostadetrsoutrasfunes,sendo:

a)f(x)=x9b)f(x)=cotgxc)f(x)=lnxd)f(x)=x5e)f(x)=4x

Grfico de funes:

O grfico da funo permite uma anlise mais ampla da variao das variveis. Existe vrios tipos de grficos como o de colunas, o de somente pontos, o de linhas, o que tem a forma de pizza etc. Mas por convenincias, nesse texto trabalharemos somente com o grfico cartesiano de linhas. Abaixo definiremos alguns conceitos inerentes a esse grfico:

ParOrdenado uma dupla de elementos representado na forma (a, b), geometricamente representa um

ponto no sistema de coordenadas x e y; a a primeira coordenada e b a segunda. Nesse sentido o par ordenado tambm pode ser chamado de CoordenadasCartesianas.*

Sistemacartesiano composto por dois eixos ortogonais (90 entre si). O eixo horizontalOX(dos x's)

chamado de eixo da abscissas e o eixo vertical OY (dosy's) de eixo das ordenadas. Os pares ordenados podem ser representados no plano cartesiano, sendo o primeiro elemento do par correspondente a valores no eixo dexe o segundo elemento correspondente a valores no eixo de y.

Os eixos ortogonais dividem o plano em 4 regies chamadas de quadrantes, conforme a figura 1 abaixo. Na figura 2 est representado um ponto p(a, b) no plano:

Figura1:QuadrantesFigura2:pontop(a,b)reprenoplanocartesiano.sentadonoplanocartesiano.

.

*Homenagemao filsofo e matemtico francs Ren Descartes, cujonomeemlatim RenatusCartesius, quepropsemseutrabalhoLaGeomtrieautilizaodomtodocartesianoparasoluodeproblemasrelacionadoscomoclculodiferencial.EmboraDescartetenhaficadocomafamadocriadordaGeometriaAnaltica,issomritotambmdomatemticoamadoringlsPierreFermat.

1 quadrante 2 quadrante

3 quadrante 4 quadrante

y

x

p(a,b)

a

b

x

y .

16

Tipos de funes:

Geralmente(x) denotado como y . importante saber que existe vrios tipos de funes, sendo elas classificadas de acordo com a expresso matemtica em que se apresenta. Assim, funes em que a varivel independente (a que posso atribuir valores arbitrariamente,em funes(x) o x)se apresenta em polinmios, chamamos essas funes de polinomiais; quando a expresso que contm o xest em razes dizemos funes radiciais; se em mdulos, funes modulares; se no expoente funes exponenciais; se o argumento est no denominador chamamos de funo quociente etc. Trataremos essas funes separadamente:Funespolinomiais:So funes em que a varivel independente se apresenta elevada a uma potencia constante complexa*.

Exemplos:

1 f x=3 x1 ;

2 f x=x1 ;

3 f x= x53 x 44 x32 x2 .Dentre as funes polinomiais destacamos alguns conceitos importantes, como:

Graudafuno: do valor do maior expoente dex,assim em (1) do primeiro grau, em (2) do segundo grau, em (3) do quinto grau e em (4) do segundo grau, e;

Funesmparesefunespares:se o grau da funo mpar ento ela uma funo mpar se o grau par ento ela uma funo par. Funes pares so aquelas em que (a)=(a), funes mpares aquelas em que (a)=(a).As funes mpares so bijetivas de em , enquanto que funes pares so bijetivas apenas de em + (exemplo:(x)=x),ouem. (exemplo:(x)=x).

Funesdoprimeirograu 6

Tambm chamadas de funes afins, so funes que se apresentam na forma de (x)=ax+b,sendo a e b constantes reais. interessante notar que todas as funes afins so bijetivas e por isso admitem inversas que sero funes do mesmo tipo que as funes originais. Abaixo est os casos em que ela crescente e decrescente**

.

*conjuntodosnmeros quetmaformaa+bi,sendoaebreaisei,chamadodenmeroimaginrio,iguala1

**crescentesedadof(x1)=x1ef(x2)=x2quandox1>x2 f(x1)>f(x2)e;decrescentesequandox1>x2f(x1)

Sea>0afunosercrescenteeogrficoteraforma:

Sea

(b)Verifiqueseasseguintesfunessoconstantes:

Resoluo:1);funoconstante;

2),logotambmconstante.

Funo Identidade : Quandob=0ea=1,ficandodaforma(x)=x.Ogrficoumaretaque faz45comoseixosxey,respectivamente.Odomnioeaimagemser.Afunoidentidade nica,abaixoogrficodela.

x f(x)

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

Funo Linear: Funolinearadotipo(x)=ax,coma0eb=0.ogrficoserumaretaquepassapelaorigemdoseixos. Afunoidentidade umcasoparticulardefuno linear. Alguns autores definem a funo linear como a funo que vale as seguintes propriedades:f(a+b)=f(a)+f(b)ef(Ka)=Kf(a)

Exemplos:

1)f(x)=3x

x 3x f(x)

0 3.0 0

1 3.1 3

2 3.2 6

3 3.3 9

f(x)= 1 + x1x x1 f(x)=x|x|

|x|x

2 _

f(x)= 1+x1x f(x)=f(x)=1x

x

f(x)= f(x)= f(x)=x|x| x|x|xx 0 =0

x|x| x|x|

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

f(x) = x

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

f(x) = 3x

19

2) Dadaasfunesabaixo,determinequaisdelassolineares,verifiqueseaspropriedades: f(a+b)=f(a)+f(b)ef(Ka)=Kf(a),sendoa,beknmerosreais,valeparaelas.

1)f(x)= f x=4 x 212 x9 3 2)

3)f(2x)=(x3)(x+3)4)f(x)=x

Resoluo:1)Reorganizandoessafunousandoapropriedade:(ab) =a 2ab+b, notamosqueo contedodaraizpassveldessapropriedade.

4x 12x+ 9 (2x) 2 .(2x. 3) + 3, sedissemosquea= 2xe b= 3, teremosque: 4x12x+9=(2x3).Assim:

f x=2 x3 3 f x =2 x33 f x =2 x logoumafunolinear.

f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b).f(Ka)=2Ka=K(2a)=Kf(a)

2)Pararesolverencontramosprimeiroommcde3e2que6,assim:

f(x)=(1/6)xfunolinear.

f(a+b)=(1/6)(a+b)=(1/6)a+(1/6)b=f(a)+f(b).f(Ka)=(1/6)Ka=K(1/6)a=Kf(a).

3)Nessecasonossentimostentadoadizerqueessafunonolineardevidoaodoisfatores estaremelevadosa2.Noentanto(comodiriaoprofessorOrnaFilipe:errogravssimo!!),se desenvolvermososfatoresveremosquesetratadeumafunolinear.Usandoapropriedadedo exemplo1eque(a+b)=a+2ab+b,temos:

f(x)=(x6x+9)(x+6x+9) f(x)=x6x+9x6x9f(x)=12xfuno linear.(crescenteoudecrescente?)

f(a+b)=12(a+b)=(12a)+(12b)=f(a)+f(b)f(Ka)=12(Ka)=K(12a)=Kf(a).

___________________UmafunolineardegrandeimportnciaparaacinciamodernaaleideinterconversodemassaeenergiapropostapelograndefsicoalemoAlbertEinstein:E=cm.E energia;c velocidadedaluznovcuoem massa. Vemosporesseexemploquefunessimples,comofuneslineares,soteisemquestesgrandiosasdeoutrasreasdoconhecimentohumano.

f(x)= 5x 3x_3 2

f(x)=10x 9x6

20

4)Vemosnessecasoqueessafunonopodeserenolinear,umavezquexestelevado potncia3.

f(a+b)=(a+b)=a+3ab+3ab+bf(a)+f(b)(notequef(a)+f(b)=a+b)f(Ka)=(Ka)=KaKf(a)e(Kf(x)=Kx)

Funo Afim completa:Comoditoacima,tratasedeumafunodotipo(x)= ax+bnaqual a e b sonmerosreaisdiferentesde0(zero). Ogrficodessafunoumaretaque intersectaoeixodosynopontobeoeixodosxnoponto(b/a),quechamadoderaizde;achamadodecoeficienteangulardessaretaefornecesuainclinaoemrelaoaoeixoOXeataxadevariaode(x)emrelaoax.Paraconstrumosogrficodefunesdessetipo precisamosapenasdosdoispontosmencionadosacima,quesoasintersecescomoseixos,e sabermos se a funo crescente ou decrescente analisando o sinal de a, claro que se quisermosmaisinformaespodemosatribuirvaloresax.

Ogrficotemaforma:

yy

xx

21

O valor chamadoderaizouzerodef(x),nessepontof(x)=0.

b

Para a > 0 e b > 0

b

Para a > 0 e b < 0

b

Para a < 0 e b > 0

b

Para a < 0 e b < 0

b a

b a

_ b

b a

b a

a

Exemplos:

1Determinearaizdasfunesabaixoeesboceseusgrficos.

a)f(x)=2x3b)f(x)=34xc)f(x)=xe

Resoluo:

a)f(x)=0a>0funocrescente2x3=0x=0f(0)=2.03=3

2x=3x=1f(1)=2.13=1

x=3/2x=2 f(2)=2.23=1

b)f(x)=34x=0a0,funocrescente

xe=0x=0f(0)=(0)e=e

x=ex=1f(1)=(1)e=e

x=e/ x=2f(2)=(2)e=2e

22

-3

1,5 x

.

.

y

1

- 1

2

(1, -1)

(2, 1)

3/4

3

2

5 (2, 5)

x

y

(1, 1) 1

1

e/ x

e

1 e

2

2 e(2 ,2 e)

(1, e)

y

Determinaodafunoconhecendosedoispontosouogrfico

Uma funo(x)=ax+bpode ser inteiramente determinada se conhecermos pelo menos dois valores de xe suas respectivas imagem.

Exemplos:

1Determineafunoafimtalquef(2)=1ef(1)=2

Resoluo:Sejaf(x)=ax+b,assimf(2)=a(2)+b=1e;f(1)=a(1)+b=2.Notamosquetemosumsistemadeequaescomduasincgnitas,seresolvermosessesistemaacharemososvaloresdeaeb. Existetrsprocessospararesolverumsistemadeequaesdo1grau:adio,substituioe comparao. Resolveremos esse exemplo usando o mtodo da adio e os exemplos abaixo usandoos outros mtodos. Pelomtododaadio, adicionamosoumultiplicamos todosos membrosdeumaequaoporumnmeroesomamosoresultadoobtidocomaoutra,membro a membro. Afim de eliminar uma das incgnitas. No sistema abaixo, multiplicaremos a equaodebaixopor1eadicionaremosoresultadoprimeiraequao,eliminadoaincgnitab.2a+b=1a+b=2(1)ab=2somandocomaequaodecimatemos:2a+b=1substituindoovalordeaemab=2:+ab= 2 (1)b=2a=1b=21b=3logoafunoqueprocuramos:f(x)=x+3

2Numadadareaoqumicaaquantidadedeprodutonoinstantet=2siguala5gramas,sabendoseque aquantidadedeprodutoformadoaumentaproporcionalmentecomotempo,quantodereagentesteraindanosistemaemt=10s,sesuamassaconstanteeiguala20gramas?Aquantidadeinicialdeprodutoerade3gramas

Resoluo:1 Opo: Podemos resolver esse problema usando uma funo afim. Vamos chamar a quantidadedeprodutoformadodep(t),sendototempodecorridoemsegundos.Assimnossa funotemaformap(t)=at+b.Comoaquantidadedeprodutoaumentaquandotaumenta temosqueessasduasgrandezassodiretamenteproporcionais.Issoquerdizerque:P(t)/t=k, mastnhamosumaquantidadeinicialdeprodutoiguala3gramasassim,P(t)=p(t)3ea= k,logo,p(t)3=at p(t)=at+3.Comosupomosquep(t)temaformaat+b,comparando asduasconclumosqueb=3equeapodesercalculadousandoainformaop(2)=5:p(2)=52a+3=52a=532a=2a=1.

23Nossafunotemaformap(t)=t+3emt=10s,temos:p(10)=(10)+3=13gramas.Comoamassadosistemaconstante,asomadasmassasdosreagenteseprodutossersempreiguala 20gramas,logoemt=10ster2013=7gramasdereagentes.

2Opo:Esseproblematambmpodeserresolvidoapartirdeumsistemanaqualf(2)=5e f(0)=3(quantidadeinicial).Assim:

2a+b=5percebemosqueb=3,substituindoessevalorem2a+b=5temos:0a+b=32a=532a=2a=1

Omtodousadoacimachamasedemtododasubstituio:Isolamosovalorumavarivelem umaequaoesubstitumosseuvalor(emfunodaoutravarivel)naoutraequao.

3Ogrficoabaixomostraavelocidadedeaodeumadeterminadaenzimaaosersubmetidoavariaesdetemperatura.Porsetratardeumproblemareal,afunoquedescreveessegrficoseriamuitocomplexa,parasimplificardividimoseleemvriosintervalos,sendocadaumdelesdescritoporumafunodiferente.Proponhafunesafinseseusintervalosdeformaqueogrficopossaserdeterminadoalgebricamente.

Resoluo:Osintervalosnaqualnotamosqueogrficoseassemelhaaodefunesafins30T

Nosegundointervalo,temos:V(32)=500 32a+b=500;eV(34)=100034a+b=1000

32a+b=500isolandobnasduasequaeseigualando,temos:34a+b=1000b=50032ab=100034a50032a=100034a2a=1500a=750b=50032(750)=5004.000=3.500,afunoV(T)=750T3.500

Noterceirointervalotemos:V(34)=100034a+b=1000;eV(36)=200036a+b=2000

34a+b=1000repetindooprocedimentoacima:36a+b=2000b=100034ab=200036a100034a=200036a2a=1000a=500b=100034(500)=100017.000=16.000,afunoV(T)=500T16.000

Noltimointervalotemse:V(36)=200036a+b=2000;eV(40)=040a+b=0

36a+b=2000isolandobeigualando:40a+b=0b=200036ab=40a200036a=40a4a=2000a=500b=40(500)=20.000,afunoV(T)=500T+20.000

Ogrficopodeserdeterminadoalgebricamentepor:

V(T)=250T7.500se30T

Baseadonosdadosdogrfico,determine:

a)aleidafunoapresentadanogrfico;

b)amassa(emgramas)de30cmdelcool.Resoluo:a)Como ogrficopassapelaorigemtemosqueessafunolinear(porque?),logotema formaf(x)=ax,issoimplicaquea=f(x)/x.Quandox=40,f(x)=50.Assima=50/40=1,25.Afunoqueprocuramosf(x)=1,25x

b)30=1,25xx=24g

Variao do sinal

Vimos acima que-b/a a raiz ou o zero da funo afim(x)=ax+b,vamos analisaragora o que acontece com o sinal da funo (se (x) positivo ou negativo em uma regio do grfico) quandoxassume valores maiores e valores menores que b/a.

Funocrescente:

Olhandoogrficoaoladonotamosqueosvalorede(x)seropositivossex>b/aeseronegativossex0sex>b/a,

(x)=0sex=b/a

(x)0sex 0

_ b a x

y

a < 0

+

26

Exemplos:

1Analiseosinaldasseguintesfunes:

a)f(x)=2x1b)f(x)=34xc)f(x)=8x2d)f(x)=5x+10

Resoluo:a)Encontrandoaraiz:f(x)=02x1=02x=1x=Comoafunocrescente(a>0)temosque:sex>f(x)>0sex=f(x)=0sex 0 f(x) crescente

f(x) > 0

f(x) < 0

10

2x

ya < 0 f(x) decrescente

f(x) > 0

f(x) < 0

2 comum em qumica dispor as informaes de uma reao qumica em grficos.Considerandoqueogrficoabaixoforneceinformaosobreavelocidadedeumcertareaoemfunodotempoesupondoqueasretasobservadassodefunesafins. Encontreaspossveisfunesobservadasnogrficoeanalisesuasvariaesdesinal.

Resoluo:Paramelhorcompreenso,vamosdividirogrficoem5regiesondeeletemformadefunes distintas:

0t0set>0f(t)

7a+b=510a+b=1

Multiplicandotodososmembrosdaprimeiraequaopor(1):

7a+b=5.(1)7ab=5

esomandoaresultadocomasegundaequao:

7ab=5substituindo:a=2naequao:10a+b=1+ 10 a+b= 1 10(2)+b=120+b=13a=6 a= 2b=201=19

A funo que buscamos f(t) = 19 2t. Para analisar a variao do grfico precisamos encontrarsuaraiz:

192t=019=2tt=19/2t=9,5

Como20set9,5,assimf(10)0,b>0ec>0

b

c

g(x)f(x)

_b

_c x

y

a

a

a0ec>0

b

c

_b_c

f(x)

g(x)

y

xa a

a>0,b>0ec

Exerccios

19Atabelaabaixofornecealgunsvaloresatribudoseobtidosdeumafunoafim,completeessatabelaeencontrealeidafunorepresentadanosdadosdatabela.x 2 0 1 7 9

y 9 4 1 16 26 51 56

20Verifiqueseasfunesabaixosoconstantes.

a)b)c)f(x)=x(senx+cosx).3x

21Dadaasfunesabaixo,determinequaisdelassolineares,verifiqueseaspropriedades:f(a+b)=f(a)+f(b)ef(Ka)=Kf(a),sendoa,beknmerosreais,valeparaelas.

a)f(x)=(x2x+1)+1b)f(x)=ln(e3x1)

c)d)f(x)=(x2)(x2)(x+2)

22Encontreoszerosdasseguintesfunes.

a)f(x)=3x7b)f(x)=17x2c)f(x)=exd)f(x)= 3 (ln2)x

23Sabendosequef(3)=6,f(2)=f(3)+f(4)equeftemaformaf(x)=ax+b,encontreosvaloresdeaeb.

24Sef(x)=axbeg(x)=bxa,encontreaebdeformaquef(2)=g(3)ef(8)g(6)=2.

25Analiseosinaldasfunes:

a)f(x)=5x3b)f(x)=311xc)f(x)=13x12d)f(x)=14x+5

26Umcasaldenamoradosmarcaumencontronumaciclovia;elevemdonorteeeladosul;orapazpedalaaumavelocidadede32Km/heamoapedalaa24Km/h.Noinstantequeadistnciaentreelesde28Km,umaabelha,quevoaa20Km/h,partedeumpontoentreosdoisatencontrarumdeles;entoelavoltaemdireoaooutroecontinuanessevaivmatmorrerprensadapelasrodasdasbicicletasnomomentoemqueocasalseencontra.Quantosquilmetrosvoouaabelha?

27 Umdosgrandespoluentesproduzidospelaqueimadecombustveisfsseisodixidosulfdrico(SO2).UmapesquisaemOslo,Noruega,demostrouqueonmero(N)aproximadodepeixemortosporsemana,emumcertorio,dadoporumafunoafimdaconcentrao(C)deSO2.Foramfeitasasseguintesmedidas: 30

f(x)= |x+1|xx+1|x|

_f(x)= 1

2x_ x3

2x

f(x)=x1x1

QualaconcentraomximadeSO2quepodeserdespejadanorioparaqueonmerodemortesnoultrapasse115,fatoquepoderiaprejudicarareproduodaespcie?

28 Atemperatura medidausandoescalasfundamentadasemtemperaturasdealgunsprocessos fsicos. Por exemplo, a escala Celsius composta por umaescala composta porintervaloschamadosdegrausemqueseestabeleceu0grauscomoatemperaturadeprocessodefusodaguae100grausasuatemperaturadeebulio.Outraescalaimportante,devidoserusadapelosEUA,aescalaFahrenheitconcebeatemperaturadefusodaguacomo32graus e a temperaturade ebuliode212graus. Manipulandoasduas escala chegaseaexpressodeinterconversodetemperaturasemfahrenheitparaCelsius:F=1,8C+32.Usandoessaexpresso,encontre:a)atemperaturaemCelsiusqueametadedovalorcorrespondenteememgrausfahrenheit.

b)atemperaturaFahrenheitque5vezesovalordedatemperaturaemgrausCelsius.

29 Afrmulaqued onmero(N)dosapatoemfunodocomprimento(c)dop, emcentmetro,N=1,25c+7.Calculeocomprimentodeumpcujonmerodosapato36.

30 Bilogosdescobriramqueonmerodesonsemitidosporminutoporcertaespciedegrilosestrelacionadocomatemperatura.Arelaoquaselinear.A68F,osgrilosemitem124sonsporminutos.A80F,emitem172sonsporminutos.EncontreafunoquerelacionaatemperaturaemFahrenheitFeonmerodesonsn.

31UmacompanhiadegsirpagaraumproprietriodeterraR$15.000,00pelodireitodeperfuraraterraparaencontrargsnaturaleR$0,3paracadapscbicodegsextrado.Expresseototal, emfunodaquantidadedepscbicoextrados, queo proprietrio irreceberdacompanhia.

32AcetesbdetectoucertacompanhiajogandocidosulfriconorioTiete;multouaemR$125.000,00 e mais R$ 1.000,00 por dia at que a companhia se ajustasse as normas queregulamentamosndicesdepoluio.Expresseototaldamultaemfunodosdiasqueacompanhiacontinuoupoluindoorio.

31

Concentrao(emg/m)

Mortes

401 106 500 109

Funodosegundograu .

Tambm conhecida como funo quadrtica, a funo na qual o maior grau da varivel independente ( o x) 2. Define-se como toda funo que pode ser escrito na forma:

(x)=ax+bx+c,coma0.

Exemplos:

1f(x)=x3x+6;

2f(x)=x4;

3f(x)=2x+5x;

4f(x)=x.

Note que b e c podem ser iguais a zero.Relembrando que chama-se dezeroouraizda funo o valor dexque a anula, i.e. a

raiz de f(x) se f(a)=0. Nesse ponto o grfico corta o eixo OX. importante ressaltar que para encontrar o zero de uma funo quadrtica, usamos comumente a frmula conhecida como frmuladeBhskara:

Se>0, f(x) ter duas razes distintas e portanto, seu grfico intersectar o eixoOXem dois pontos distinto; se =0,f(x) ter duas razes iguais e o grfico intersectar o eixo OX em apenas um ponto; mas se

Exemplos:

1Encontreasrazesdasseguintesfunesquadrticaseasexpressemnaformafaturada

a)f(x)=2x10x+12b)f(x)=x+x20c)f(x)=x16d)f(x)=x+4x

Resoluo:a)2x10x+12=0;usandoBhskara:

Suaformafatoradaf(x)=(x3)(x2).

b)x+x20=0;

Formafaturada:f(x)=(x4)(x+5).

c)x16=0,poderamosusarafrmuladeBhskaraparaencontrarasrazesdessafuno, masmaispodemossimplesmenteisolaro16doladodireitoeextrairaraizquadradadele:

x16=0x=16 x=16 x'=+4ex''=4.

Aformafaturada:f(x)=(x+4)(x4).

d)x+4x=0,comoaanterioressafunopodeserresolvidausandoBhskarapormmais prticoresolvereladiretousandofatorao:

x+4x=0isolandoumxnoprimeiromembro:x(x+4)=0,logooux=0ou(x+4)=0*(x4)=0x=4;Assimx'=0ex''=4.

Aformafatoradaaqueapareceacima:f(x)=x(x+4).

.

*Sea.b=0,entooua=0oub=0,poisumprodutoszeraseumouambosfatoresforemzeros.

x= (10)10 4 . 2 .122.2

1010096x4

x= 10 44

x'=10+24

1024

=3 e x''= =2

=

x= (1)1 4 .1. 202.1

x 11802

x= 1812

x'= 2 =4 ex1+9 19

2=5=

=

33

2- NaaulamagnadaUFRPE/UASThaviacertonmerodepessoaspresentes.Nofinaldaaula cada um dos presentes cumprimentou, com um aperto de mo, todos os demaispresentes,umanicavez.Fabola,quenotinhamuitooquefazernomomento,resolveucontaraquantidadedessesapertos,chegandoa780apertosdemos,perguntase:quantaspessoashavianaaula?

Resoluo:Sejaxonmerodepessoasnaaula.Cadapessoaapertouamodetodasasoutras

pessoas,menosadelamesma,umanicavez,ouseja,teramosx(x1)apertosdemos.Masnotamosquecadaapertopertencesduaspessoasquedeleparticipam,isto,seJoanaaperta amodeJos,oapertodemossercontadonaexpressoacimaparacadaumdeles,mas Fabolascontouapenasumapertodemo,poissomenteumaapertodemoocorreu.Para corrigiressadiscrepnciadividimosaexpressoacimapordoiseobtemosaequao:

xx1560=0,resolvendox=40

Logohavia40pessoasnaaula.

3OimpactodecolisoI(energiacintica)deumautomvelcommassamevelocidadevdadopelafrmulaI=Kmv.a)Seavelocidadetriplica,oqueacontececomoimpactodeumcarro de 1000 Kg? b) Dois carros de massas aproximadas colidem com velocidadesaproximadas.Noprimeirocarrohumapessoaquepesa70Kgenosegundocarroumcasal,elecom65Kgeelacom50Kg.Considerandoafunoacima,quemsermaisagravado,oprimeiroouosegundocarro?Resoluo:a) Setriplicarmosavelocidadeteremosqueoimpactosermultiplicadopor3=9,ouseja, oimpactoser9vezesmaisintensa.

b) AenergiacinticadoprimeirocarroI=K(70+mc)vI=70Kv+Kmcv,sendomcamassadocarro.Oprimeirofatordaexpressoacimaaenergiacinticadomotoristaeo segundomembroaenergiacinticadocarro.

Paraosegundocarro:I=K((65+50)+mc)vI=115Kmcv+Kmcv,oprimeirofatoraenergiacinticadocasaleosegundaaenergiadocarro,comparandovemosqueo primeirocarrosentirmaisfortementeacoliso.

Exerccios

33Encontreoszerosdasfunes:

a)f(x)=x+4x4b)f(x)=x14x+49c)f(x)=2x22x+242d)f(x)=x256

34ParaquevaloresreaisdeKafunof(x)=Kx6x+1admitezerosreaisediferentes?

35 Determineovalorpositivonparaqueaequaonx(n+1)x+1= 0tenhaumaraizigualquartapartedaoutra.

34

x(x1)2

=780 xx=1560

36 Gerador umaparelho que transformaqualquer energia emenergia eltrica. Se apotncia (emwatts)queumcertogeradorlananumcircuitoeltricodadopelaexpresso:(i) = 20i 5i, emque i a intensidade dacorrente eltrica queatravessao gerador,

determineonmerodewattsqueexpressaapotncia quandoi=3ampres(unidadedecorrenteeltrica).

37Umcampeonatodefuteboldisputadoemdoisturnos,ouseja,cadatimejogaduasvezescomcadaumdosoutros.Ototaldepartidas380.Quantostimesdisputamocampeonato?

Grfico

O grfico da funo quadrtica uma parbola; intersecta o eixo dosy no ponto c, nesse pontox= 0, e intersecta os eixos dos xnas razes da funo, ondef(x)=0.Se a> 0, teremos uma parbola com concavidade para cima e se a< 0 a concavidade ser para baixo.

O vrtice observado na figura nos d os pontos de mximo ou mnimo da funo. Se a> 0, ento a ordenada (oy) do vrtice nos dar o ponto de mnimo e se a< 0, a ordenada do vrtice nos dar o ponto de mximo.

35

c x

y

x' x''

a>0ec

Imagem da Funo Quadrtica

A determinao do vrtice nos permite conhecer a imagem da funo. Sea > 0 a parbola tem concavidade para cima e logo seu vrtice ser um ponto de mnimo, sendo assimno haver valores de f(x) menores que o valor da ordenada (o y)do vrtice da funo. Se a < 0, a parbola tem concavidade para baixo e seu vrtice ser um ponto de mximo o que implicaque no haver valores de f(x) maiores que a ordenada do vrtice. Em resumo, se as coordenadas do vrtice (xv,yv)ea>0,a imagem da funo serIm={y|yyv},mas se a < 0 a imagem da funo serIm={y|yyv}.

OParmetroa

O parmetro aalm de nos d a concavidade (se voltada para cima ou para baixo) nos d tambm a magnitude da abertura da parbola. Sea for grande a funo crescer rpido para x's pequenos, logo a abertura da parbola ser pequena, mas se a for pequeno a funo ir demorar a crescer e a abertura da parbola ser grande. Paraa>0:

Para a

OParmetrob

O parmetrobnos informa se a funo corta o eixo das ordenadas no ramo crescente ou decrescente.

b>0,a parbola corta o eixo OY no ramo crescente:

b

Exemplos:

1Determineospontosdemximooumnimoeaimagemdasfunes:

a)f(x)=x2x+1b)f(x)=x+7x18c)f(t)=9tt=10

Resoluo:a)f(x)=x2x+1,a>0,logoessafunopossuipontodemnimo:

xv=

Outraformadeencontraromnimooumximodafunosubstituirovalordexv nafuno.Autilidadedafrmulaquepodemosencontraroyv semnecessariamentesabero valordexv.Nessecasocomooconhecemospoderamos,simplesmente:

yv=f(xv)=f(1)=(1)2(1)+1yv=22=0.

AimagemIm={y|y0}.

b)f(x)=x+7x18;a>0,essapossuipontodemnimo:

xv=

yv=f(xv)=f(3,5)=(3,5)+7.(3,5)18yv=12,2524,518yv=30,25

AimagemIm={y |y18,75}.

c)f(t)=9tt=10;a

Resoluo:Paraqueissoaconteaoxdovrticedeveseriguala2,ouseja,=2,masvemosnafuno acimaqueseubiguala(m+1),logo:

=2=21+m=16m=15

4 Prove que, se dois nmeros positivos tmsomaconstante, seuproduto ser mximoquandoelessoiguais.

Resoluo:Sejaaebdoisnmerostaisque,a+b=S(I)ea.b=P(II),de(I)temosque,a=Sb,

substituindoesseresultadoem(II):(Sb).b=PSbb=P,sea=b,S=2beP=2bb=b,masseabea

a+b+c=1(1)multiplicando(1)por(1)esomandoa(2),temos:3a+b=14a+2b+c=2(2)multiplicando(3)por(1)esomandoa(2),temos:5ab=39a+3b+c=1(3)somandoessaduasequaesqueachamos,temos:2a=4:a=2

substituindoem3a+b=13.2+b=1b=7 esubstituindoessesvaloresem(1):c=12+7=4

Afunoqueprocuramosf(x)=2x7x+4.

Exerccios

38Determinemdemodoqueovalormnimodafunof(x)=(m1)x+6x2seja5.

39OsalunosdeagronomiadaUastreceberam200metrosdetelaparacercarumcanteirodealgumaplantaquecomcertezanoconhecemos,masantesforamincumbidosdedisporateladeformaqueareacercadasejaamaiorpossvel,comoeradeseesperarelesresolveramesseproblematranqilamente. Faaessas contas tambmedigaquais asdimensesdocanteiroquedamaiorrea.

44NaterceiraVAdoprofessorMarcosMelo,umalunomuitosatisfeitocomafacilidadedaprova,resolveujogarseutnisnoprofessor,certamenteemumgestodesatisfaoealegria,masanteseleresolveufazerasmedidaseascontasparagarantirqueseualvosejaatingido.Sabendosequeavelocidadehorizontalqueeleimprimiunotnissuficienteparaalcanaroalvo;queaalturadoprofessor1,70me,queoalunoquerqueotnischegueaoseudestinoem 3s,ajudeessealuno;digaqualavelocidadeverticalmnimanecessriaparaoalunoconseguirexpressarasuaestimapeloprofessor.(Nsvamosd umaforcinha,afrmulah(t)=vt4,9t,haaltura;vavelocidadeverticaletotempo).

45Asomadedoisnmerospositivos20.Determineosnmerosdemodoqueoprodutosejaomaiorpossvel.

46 (UFPE) Num vo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia area cobraR$200,00porpessoaquandotodososlugaressoocupados.Seexistiremlugaresnoocupadosser acrescido ao preo de cada passagema quantia de R$ 4,00 por lugar no ocupado.Quantosdevemseroslugaresnoocupadosparaqueacompanhiaobtenhaofaturamentomximo?

Estudo do sinal

Estudar o sinal de uma funo determinar os valores reais dex para os quais(x) se anula((x)=0), positiva ((x)>0)e (x) negativa((x)

1>0

f(x)positivaparax0f(x)>0+ ++

y

xf(x)0

+ ++

y

x

f(x)

yx

y

x

FunoPolinomialdegraun

a funo definida por:

(x) =anxn+an1xn1+an2xn2+...+a0x0;

Onde an ,an1,an2 ,...,a0 e an0. O domnio , mas a Im depende de an e do grau de n. Para as funo mpares a imagem mas, para funes pares a imagem depender do do sinal de an. O grfico tpico de uma funo mpar de grau n tem a forma vista na figura abaixo. O grfico de funes polinomiais pares de grau n tem a forma de parbola.

Formatpicadegrficodeumafunopolinomialmpar

Formatpicadegrficodeumafunopolinomialpar.

Exemplos

1OpesoespecficodaguaaumatemperaturadetCdadoporP(t)=1+at+bt+ct,0t100,sendoa=5,3x 105,b=6,35x 106ec=1,4x 108.Qualopesoespecficodaguaatemperaturade25C,consideradatemperaturaambiente?

Resoluo:P(25)=1+5,3x 105.25+6,35x 106.(25)+1,4x 108.(25)P(25)=1+0,001325+0,00396875+0,00021875P(25)=1,00551251g/L.

42

FunesdoModulares

So as funes, de em , nas quais a varivel independente se apresenta em mdulo.

Mdulos e suas propriedades

Define-se mdulo de um nmero real a como sendo seu valor absoluto, que representamos por |a| e o consideramos igual a asea0e igual a ase a 0, logo | 1| = ( 1) = 1, mas o mdulo de 3 = 3 pois 3 > 0, assim | 3| = 3. Em resumo:

|a|=asea0 e

|a|=asea

3)Paratodoxey,|x.y|=|x|.|y|;

4)Paratodoxey,|x+y||x+y|e;

5)Paratodoxey,|xy||x||y|.

Observaes:1. |x|=0x=02. Noexistex,talque|x|=a,coma

Grfico

Veja abaixo os grficos de algumas funes modulares.1 - f(x)=|x5|

x |x 5| f(x)1 | 1 5| 4

2 |2 5| 3

3 |3 5| 2

4 |4 5| 1

5 |5 5| 0

6 |6 5| 1

7 |7 5| 2

8 |8 5| 3

2f(x)=|x3|+1

x |x3|+1 f(x)

0 |03|+1 4

1 |13|+1 3

2 |23|+1 2

3 |33|+1 1

4 |43|+1 2

5 |53|+1 3

6 |63|+1 4

3 - f(x)=|x+2|3

x |x + 2| 3 f(x) 3 | 3 + 2| 3 2

2 | 2 + 2| 3 3 1 | 1 + 2| 3 20 |0 + 2| 3 1

1 |1 + 2| 3 0

2 |2 + 2| 3 1

3 |3 + 2| 3 2

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

f(x) = |x + 2| - 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

f(x) = | x - 5|

0 1 2 3 4 5 60

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

f(x) = |x - 3| + 1

45

Exerccios

47Demostrequeparaqualquernmerorealrtemosque|r|=|r|.

48OprofessorVianaFilhopartedocentrodacidadeemdireoasededaUast,nafazendaSaco,queficaa5km.Nessepercursoseuautomveldesenvolveumavelocidademdiade90Km/h.NomesmoinstantequeelepartedocentrooprofessorDemcioCostapartedaUastemdireoaocentro,desenvolvendonamoto100km/h.Determinea)oinstanteeaposio,emrelaoaUast, emqueessesdois professoresseencontrarameb) os instantesemqueadistnciaqueosseparavamera1Km.

49Encontreoszeros,odomnioeaimagemdasfunesabaixo.

a)f(x)=|sen(x1)|b)f(x)=|x+5||x5|c)f(x)=|xx|

FunesExponenciais

Chamamos de funes exponenciais a qualquer funo de em , na qual a varivel independente se apresenta no expoente de algum nmero real. Sua forma (x)=ax, em que a+ (a>0) e a1. Se a > 0 a funo crescente, mas se 1 < a < 0 a funo decrescente.

interessante notar que o grfico sempre intersecta o eixo das ordenadas em y = 1, isso acontece porque nesse ponto x= 0, e por definio todo nmero elevado a 0 d 1. (x0=1)

1 1

y y

x x

a>1 0

Para resolvermos problemas com esse tipo de funes necessrio ter algum conhecimento de equaes exponenciais, que abaixo resumimos.

Equaes Exponenciais: De modo anlogo a funes exponenciais, uma equao denominada equao exponencial se a incgnita aparecer no expoente. Na maioria dos casos a resoluo pode ser conseguida usando as propriedades abaixo.

1)a0=1;

2)an.am=a(n+m)

3)an=

4)ax=ayx=y(0

Resoluo:C(5)=3(e2 . 5 e 3 . 5)

C(5)=3(e10 e 15)(faanacalculadoraevejaquee10 4,54x105ee15 3,06x107)C(5)=3(4,54x1053,06x107 )C(5)=3(4,54x105)(4,54x105 3,06x107 significamuitomaiorque)C(5)0,0001362g/L,ouC(5)13,62x105g/L.

42Esboceosgrficosdasfunesabaixoedetermineseusdomnioseimagens.

Resoluo:a)x y

1 0,25

0 0,5

1 1

2 2

3 4

b)x y

1 1

2 7

3 25

c)x y

1 4

0 1

1 0,25

2 0,0625.

d)x y

2 3

1 0,3

0 0,04

a)y=2b)y=32c)y=d)y=x1 x 114) ( )( 3x 2x+3

y

x1 2 3

12

4

1

D=Im=+

y

x

D=Im=+

11

||__

2 3

_

7

25

1 1 2

y

___

4

1

2

3

x

12

0,3

3

0

y

x

D=

Im= +

___

D=Im=

+

48

5Ataxadedecaimentodordioproporcionalquantidadepresenteemqualquerinstante.Usandoequaesdiferenciaisobtmseaexpressoy=yo ekt,quedaquantidadedeistopopresenteemfunodotempo,yaquantidadepresentenomomento,yoaquantidadeinicial,kumaconstantequedependedomaterialetotempo. Sehouver60mgderdioagoraesuameiavida for 1690anos, qual a quantidadede rdiodaqui a100anos?Paraordiok 0,04

Resoluo:Oquetemosquefazersomenteaplicarosvaloresdadosnaexpresso

y=yo ekt

y=60.e(0,04).(100),y=60.e4y=60.(0,0183)y1,09mg.Aresposta601,09=58,9mg

6Sef(x)=2x,verifiqueque:f(x+3)f(x1)=15f(x1)

Resoluo:f(x+3)=2(x+3)=2x.23=8.2x

f(x1)=2(x1)=2x.21=0,5.2x(21==0,5)f(x+3)f(x1)=8.2x0,5.2x=7,5.2x(digaque2x=y,8y0,5y=7,5y) 15f(x1)=15.0,5.2x=7,5.2x

7 Numacerta cultura, h 1000bactrias numdeterminado instante. Aps 10minutosexistem4000bactrias.Quantasbactriasexistiroem1hora?AfrmulaquedescreveesseprocessotemaformaN=N02kt,sendoNonmerodebactriasnoinstantedacontagem,N0aquantidadeinicialkataxadecrescimentoetotempoemminutos.

Resoluo:4000=10002k.10 4=2 10k 2=2 10k 2=10 k k==0,2

N=100020,2.60=1000212=1000.4096=4096000bactrias.

8(Vunesp)OacidentedoreatornucleardeChernobyl,em1986,lanounaatmosferagrandequantidade de radioativo, cuja meiavida de 28 anos. Supondo ser este istopoanicacontaminaoradioativa esabendoquequeolocalpoder serconsideradoseguroquandoaquantidadede sereduzir,pordesintegrao,a daquantidadeinicialmentepresente,olocalpoderserhabitadonovamenteapartidoanode:

a)2014b)2098c)2266d)2986e)3000

Resoluo:

Pararespondermosesteproblemausaremosafrmula N =N 0 2 t

T ,queserobtidaaparti da frmulaN= N0 ekt quando tratarmos de logaritmos. A porcentagemqueprocuramosarazo,nafrmulaacimatotempodecorridoeTotempodemeiavida,

15

Sr9038

Sr9038

NN0

116

49

logo:

2 t

T 2

t28

2 t

28

Aresposta112+1986=2098,alternativab.

9Sonecessrio5anosparaqueocobalto60percametadedesuaradioatividade.Qualaporcentagemdesuaatividadeoriginalquepermanecernofimde20anos?

Resoluo:Usandoafrmula,sendototempodecorridoeTameiavidaquenestecaso

de5anos:

==2 4=0,0625=6,25%

10Quandoseadministraumremdio,suaconcentraonoorganismodeveoscilarentredoisnveis,poisnopodesertobaixaapontodenofazerefeitonemtoaltaafimdenocausarefeito indesejveis. Aps certo tempo no organismo o remdio comea a diminuir emconcentraochegandoaopontomnimoquandosedeverministrarmaisremdio.Digamosqueumbilogoprecise,paraefeitosdeestudo,fazerumacirurgiaemumcachorroquepesa21Kg,sabeseque20mgdesdiopentobarbitalporKgsonecessrioparamanteroanimalanestesiado.Seacirurgiairdemor1hora,qualdeverseradoseinicialdoanestsicoparamanteroanimaldormindoenquantoserealizaacirurgia?Emcachorrosameiavidadessadroga5horas.

Resoluo:Usaremosafuno,paraocachorrocommassade20Kg,aconcentraodeve

sersempremaiorque:

20mg1Kg

x21Kg

x=420mgdoanestsico

420= 420= 420 52 1,149mg

11(UFMG)Umacriaodecoelhofoiiniciadaexatamenteaumanoe,duranteesseperodo,o nmero de coelho duplicou a cada quatros meses. Hoje, parte dessa criao dever servendidaparaseficarcomaquantidadeinicialdecoelhos.Paraqueissoocorra,aporcentagemdapopulaoatualdessacriaodecoelhosaservendida:

a)75%b)80%c)83,33%d)87,5%

Resoluo:Sehaviainicialmentey0,apopulaocresceudaseguinteforma:Aps4meses:y=2y0Aps8meses:y=2.(2y0)=2y0=4y0 Afunogeraltemaforma:

NN0

116

== 42 = 4=t28 =t 112

y=y20

_tT

y=y20

_tT yy0

2_520

y=y20

_tT

y20

_15 y=

02

15

50

Aps12meses:y=2.(2.(2y0))=2y0=8y0. f x =2t4 . y0

Apsumaanoteroitovezesaquantidadeinicialdecoelhos,sequisermosmanteressenmero

y=8y0 y0==0,125y=12,5%y,logo,comoqueremosmanteraquantidade

inicial,devemosvender100%y12,5%y=87,5%y,alternativad.

Exerccios

50Resolvaasequaesexponenciais.

a)5x+1=25b)(0,01)2x1=1c)4x2.2x=5d)3x+1+3x+2=12

51SuponhaqueolaboratriodeQumicadaUasttenhasidovisitadopor600alunosnoanode2009.Comoaumentodocontingentedealunos,advindodaexpansodessaUniversidade,Joanafezaestimativaqueonmerodealunosateracessoaolaboratriosupracitadocresaanualmenteporumataxade30%(elanomuitoboadeestatstica).Seelaestivercorreta,faaosclculoseresponda:Emqueanohaver5.000alunosafreqentarolaboratrioporano?52Sejamf(x)=0,5[ax+ax]e=0,5[axax],a>0,a1.Verifiqueque:*

a)f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)b)g(x+y)=f(x)g(x)+f(y)g(x)c)Analiseocasoa=e**

53Onmeroderatosdeumapopulaoroedora,numraiorKmapartirdocentro,dadoporP(t)=k.22x,emquekconstanteer>0.Seh98.304ratosnumraiode5Kmdocentro,quantosratoshnumraiode3Kmdocentro?

54Em1988,ovaticanoautorizouadataoderelquiaconhecidacomoosudriodeTurim,possveltnicadeJesusnazareno.Essepanoqueapareceu1356,contmonegativodaimagemdeumhomemque acreditase no mundo inteiro ser o de Jesus. Noprocesso dedatao,usaseafunodedecaimento,nessecaso,decarbono14(istopopresentenosseresvivosquesedesintegracomotempo) y=yo ekt,yaquantidadedecompostopresentenomomento,yo aquantidadeinicial, k umaconstanteetotempo, sehaviaentre92%e93%dessecarbonoesabendoqueaconstantek=0,00012,faaascontasediga,baseadonosclculos,seesseSudriopodeterpertencidoaJesus,oCristo.

55Considereumacolniadebactriassereproduzindonormalmente.Senumcertoinstantehavia200bactriasnacolnia, passadas12horashavia600bactrias. Quantasbactriashaver na colnia aps 36 horas da ltima contagem? A funo que deve ser usada N(t)=No ert, ondeNoapopulaopresentenoinstanteinicialt=0erumaconstantequevariacomaespciedepopulao.(r=0,09)

56 Emumaculturadebactrias,apopulaodobraacadahora.Seh1000bactriasno

y8

51

incio daexperincia, a) encontre a lei matemtica qued essa funo e calcule quantasbactriasterdepoisdeb)10horasec)15horas.

57 Umapopulao de certa cidade cresce 3%a cada 8 meses, qual ser o nmero dehabitantesemumperodode24anos?

58Ostomosdeumelementoqumicoradioativopossuemumatendnciaasedesintegrar,assimcomoopassardotempo,aquantidadediminui.Chamasemeiavidaotempoparaqueoelemento levaparadesintegrarmetadedesuamassaradioativa. Se, s17:00horas, umapessoatoma50mgdoantibiticoaxetilcujameiavida3horas,a)qualseraquantidadedeantibiticoaindapresentenoorganismoapsumtempo t?b)aquehoraseladevertomaroutradose,sabendoqueaconcentraonodever ser,duranteestetratamento,inferior20mgporKg.Apessoapesa60Kg.

59SeonmerodetorcedoresdotimepernambucanoSportdiminuir6%aomsenquantotalclubeestivernasegundonaesabendoqueumclubeserdeclaradoacabadoquandoaporcentagemdeseustorcedoresformenorque30%.QuantotempomximoteroSportparasubirparasrieAsemserdeclaradoacabado?(issopossvel?!)

60Seumseringaretira,decadavez,2%doremdiodeumfrasco.Depoisde5vezesquantorestardoremdioexistenteinicialmentenofrasco?

61 Chamase Progresso Geomtrica (PG) a sequncia em que o sucessor obtidomultiplicando o nmero imediatamente anterior por uma constante q, por exemplo,{2,6,18,54,162,}aquiaconstante(chamadaderazo)3.AfrmulageraldeumaPG:

,sea2=6ea5=48,quantovalearazoq.

FunesLogartmicas

Chamamos de funo logartmica a funo de + em , definida como a funo inversa da funo exponencial. Ou seja, dada a funo exponencial : +, (x)=ax temos que sua inversa g: + notacionada por g(x)=loga x o que chamamos de funo logartmica na base a.

Funo Exponencial Funo logartmica : +, g:+ (x) a x g(x)=logax

an=a1.qn1

52

Para tratarmos dessas funes precisamos ter conhecimento de logaritmos cuja principais propriedades apresentamos abaixo.

Logaritmos uma outra forma de representar potncias, na verdade logaritmo o exponente de uma exponencial do tipo y=ax, ou seja, nesse caso o logaritmo o x, chamamos a de base e o de yde logaritmando. Existe outra definio mais requintada para logaritmos, mas essa exigiria noes de Integrais, assim o definiremos como o expoente a que devemos elevar a base a para obter o valor de b.

bologaritmandox=logabax=bondeaabase

xologaritmo

Da definio, temos as condies de existncia b> 0 e 1 a > 0. 2=4 log 24=3;4=16 log 416=2n =m lognm=,para1n>0em>0.

Conseqnciasdadefinio

a)loga1=0,poisa0=1,a b)logaa=1,issobviopoisa1=a

c)logaan=n,poisan=an,generalizaodaconseqnciaacima.

d)alogab=b;logab=xax=b,oquetemos,bastasomentetrocarologabporx.e)logab=logacb=c.

PropriedadesOperatrias

1) logab.c=logab+logac

OPorqu:Sejalogab=xelogac=y,issoresultaemax=beay=c,assim:c.b=ax.ay=ax+yoquepeladefiniodelogaritmosissopodeserescritonaforma:logab.c=x+y,masvimosinicialmente quex= loga bey= loga c,substituindoessesvaloresnaigualdadeacimachegamosaoquequeramosmostrar:logab.c=logab+logac.

2) =logablogac

OPorqu:Sendo,novamente, loga b=xe loga c=y, que,novamenteresultaemax=be ay=c,assim:

,escrevendonaformadelogaritmo,temosqueloga=xy,mascomo

bcloga

bc =

aa

x

y = axy bc

53

x=logabey=logacchegamosaloga=logablogac.

3) logabn=n.logab

OPorqu:Selogab=x,temosqueax=b,agoravamoselevarosdoismembrosdaltimaigualdadean.(ax)n=bn anx =bn expressandonaformadelogaritmos: loga bn =nx,masx= loga b, substituindo,logabn=nlogab.

LogaritmosDecimaisChamamos de logaritmos decimais aqueles que a base 10, eles so geralmente escrito

como logb=c sem necessariamente escrever o 10. Alguns autores usam essa notao para o logaritmo natural, mas optamos usar ela nos logaritmos decimais uma vez que os logaritmos naturais j possuem uma notao mais difundida, o ln !

LogaritmosNaturais conjunto de logaritmos na base e, um nmero irracional chamado de nmero de Euler *

(Oiler) que vale (em 51 casas) 2,71828182845904523536028747135266249775724709369996. O significado geomtrico desse nmero que se v um nmero maior que 1, tal que a rea sob o grfico da funo f(x)= , medida no intervalo de 1 a v, no eixo OX, unitria ento, esse nmero a constante de Euler, e. Como visto acima esses logaritmos so notacionados por ln.

MudanadeBases

Antigamente os logaritmos eram escritos em tbuas as quais os matemticos recorriam para quando precisavam simplificar alguma aritmtica complexa como quando precisavam transformar multiplicao de nmeros grandes em somas ou transformar potncias em multiplicao. Com o advento da tecnologia essas tbuas foram substitudas por computadores e

.

* Homenagem ao grande matemtico suo Leonhard Euler que foi um dos primeiros a estudar suas propriedades

bc

1x

54

calculadoras cientficas que encontram logaritmos rapidamente, no entanto as calculadoras cientficas convencionais processam apenas logaritmos decimais e logaritmos naturais . Se quisermos encontrar logaritmos em outras bases precisamos mudar suas base para a base e ou 10. Para isso usamos a seguinte frmula:

.

Grfico,DomnioeImagemdafunologartmicaVimos que a funo logartmica a funo inversa da funo exponencial, assim a imagem

da ltima o domnio da primeiro e o domnio da desta a imagem daquela, como visto acima. Agora veja o grfico dessas duas funes e veja que o que muda visualmente que o x em uma passou a ser o y na outra. ( o que acontece com as funes e suas inversas). interessante notar que da mesma forma que o grfico da funo exponencial no corta o eixo das abcissas, o grfico da funo logartmica no corta o eixo das ordenadas (por que?)

Exemplos:

1Calculeosseguinteslogaritmos.

a)log327b)log2 32 c)5log5125d)log24x1=log22x+3

Resoluo:a) log327=log33=3(conseqnciac)

b) log2 32 =log2 2 =log225/2=5/2(Idem)c) 5log 5 125=125(conseqnciad)

logb=alogbclogac

Emquecseranovabase

Condiesb>00

d) log24x1=log22x+3 4 x1=2x+3 4 x2x=3+1 2 x=4 x=2(conseqnciae)

2Selogy2=xelogy3=y,calcularlogy12.

Resoluo:logy12=logy(2.3)=logy2+logy3=2.logy2+logy3=2x+y

3sendologa=3,logb=2elogc=1,calcular log4 acb

Resoluo:

log4 acb

=log 4ac logb

=log ac 1 /4 logb

= 14log ac log b = 1

4log a log c log b

= 14312=12=1

4Determineodomniodef(x)=logx+1x5x+6

Resoluo:x+1>0ex+11Condiodeexistncia

x5x+6>0 x5x+6>0 x+1>0 x+11razes x>1 x0x'=3ex''=2

D={x*|1

6Determineovalordey=log35.log2581.

Resoluo:y=log35.log2581=log35.log534(vamosmudarabasedelog581parabase3)

y= log35 .log3 3

4

log3 52 y=log3 5 .

4 . log3 32. log3 5

= 4 .12

= 2

7Resolvaasseguintesequaes:

a) log2 x=log x 2 b) log3 x log3 x

log5 25= 3

Resoluo:a) Vamosmudarabasedologaritmosdadireitaparaabase2:

log2 x =log2 2

log 2 x log2 x

2 = 1 log2 x =1 x =21=2 e x =21= 1

2

b) log3 x12 log3 x

log552 = 3

12

. log3 x log3 x

2= 3 log3 x = 3 ; x = 3

3 = 27

8Umindivduofoiencontradomortoemumasalacomtemperaturaambienteconstante.Olegistatomouatemperaturadocorpos21:00heconstatouqueamesmaerade32grausCelsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo econstatouqueamesmaestavaa30grausCelsius.Aproximadamenteaquehorasmorreuoindivduo,sabendosequeatemperaturamdiadeumcorpohumanonormalde37grausCelsius?

Resoluo:Acurvaquedescreveestefenmenoumafunoexponencialdaforma:(t)=CeAt,Ca temperaturainicial,paraencontrarovalordeAdiremosqueC=32C. Assimquandot=1, (1)=30 32 eA.1 =30 eA=30/32,vamosagoraaplicarolndeambososladosparafazercomqueoAcaia:

lneA=ln30/32 A.ln e=ln30ln32 A=ln30ln32 0,06454

EncontramosovalordeAmaspararesponderaquestodiremosagoraqueoC=37(quea temperaturadocorponomomentoemqueoindivduofoiassassinado)equeatemperaturano tempotde32C:

Nossafunotem,ento,aforma:(t)=37e0,06454t,assim:

32=37e0,06454t 32/37= e0,06454taplicandoolnemambososlados:ln32/37=lne0,06454t 0,06454 tlne=ln32ln37

t== 2,25

Ouseja,elemorreu,aproximadamentes212,25=18,75=18horase45minutos

57

0,145180,06454

ln32ln370,06454

9 OPH(potencialhidrogeninico)umafunodaconcentraodeonsH+ emsoluesaquosasdadaporPH=log[H+],emque[H+]aconcentraodesseon,quedeterminaseasubstncia cida (PH=0), alcalina (PH=14) ou neutra (PH=7), variando de 0 (maiorconcentraodeH+ esubstnciacidaaomximo)at14(menorconcentrao,substnciaalcalinaaomximo), determineaconcentraodeH+ paraa)umasoluocujoPH 11(substnciaalcalina)eb)Quantoslitrosdeguasernecessrioacrescentarem500mLdecocacolacujoPH=3paraneutralizarsuaacidez?

Resoluo:a) 11=log[H+] [H +]=1011mols

b) OPHdeveseriguala7(soluoneutra),assimdevemosterumaconcentraode[H+]:

7=log[H+] [H +]=107mols/litrosNacocacolatemosumPH=4,ouseja,aconcentraode[H+]:

4=log[H+] [H +]=104mols/litros

Aconcentraodadapelafrmula m= nV

, emquenonmerodemolseVovolumeda

soluo. Sabemosquenossaconcentraodeveser 107mols/litros(soluoneutra) ; vamossaberquantosmolsdeons[H+]hem500mLdecocacola,paraissorecorremosaregrade trssimples:noteque500mL=0,5litro.

0,5litro104mols/litros

1litrox

x=(104/0,5)=204mols/litros.Devemoster,ento:

Aindabemqueanossamucinagstricasuportaat PH=3, poisseno,todasasvezesque tomssemosumcopodecocacola,deaproximadamente100mL,teramosquetomar12,5litrosdeguaparaneutralizaroPH.

10AintensidadedeumterremotomedidonaescalaRichterumnmero MquevariadeM=0(nenhumtremor)at M=8,9(maiorterremotoconhecido).OvalodeMdadopelaafrmulaemprica:

M = 23

log10 EE0

OndeEaenergialiberadanoterremoto(emKWh)eE0umaconstantequevale7x 103

KWh.Calculeaenergia,aproximada,quefoiliberadanorecenteterremotoquedevastouaCidadePortoPrncipe,capitaldoHaiti,sabendoquefoiumterremotodemagnitudeM=8naescalaRichter.

Resoluo:

8 = 23

log10 E

7.103 8.3

2 = logE log7.

12=logElog7+log 103 logE=12+log7(3.log10)

103

logE=12+0,8451+3 logE=15,8451

E = 1015,8451 E 7 .1015 KWh

10= 204

7V

V = 20710

4 V =62,5litros

58

Vejaqueaquantidadedeenergialiberadaacorrespondenteaumaexplosoprovocadapor18milhesdetoneladasdeTNTouaproximadamente118bombasatmicasdamagnitudedaque foidetonadaemHiroshimaeemtornode65dascomamagnitudedaquefoilanadaemNagasqui!

11Se f x=ln 1x1x

, verifiqueque f a f b = f ab1ab

.

Resoluo: f a=ln1a1a

e f b=ln1b1b

, logo:

f a f b=ln 1a1a

ln 1b1b

= ln 1a1a

. 1b1b

= ln 1baab1baab

,

Agoravejamos

12Considereoexerccio55acimanocasoemquenoconhecemosor,comofaremosparaodeterminlo?Exerccio55:Considereumacolniadebactriassereproduzindonormalmente.Senumcerto instante havia 200 bactrias nacolnia, passadas 12 horas havia 600 bactrias. Quantasbactriashavernacolniaaps36horasdaltimacontagem?Afunoquedeveserusada N(t)=No ert, ondeNoapopulaopresentenoinstanteinicialt=0erumaconstanteque variacomaespciedepopulao.(r=0,09)

Resoluo:No=200,aps12horashavia600bactriasnacolnia,issoimplicaN(12)=600.

Assim: 600=200er.(12) 3= e12r,aplicandoemambososladosoln:ln3=lne12r ln3=12 rlne r= 0,09

13 Paraacolniadebactriasacima,emquantashorasapsasegundacontagemhaver50.000bactrias?

Resoluo:N(t)=Noert,jconhecemosovalorder,usandoasinformaesdadaschegamos

aigualdade:50.000=200e0,09t 250= e0,09t,aplicandooln:ln250=lne0,09t

ln250=0,09t t= 61,35horas.

Voctambmpodetomar 600 comoaquantidadeinicial,noentantovocdevenotarqueno finalirter 50.000200=498000 bactriase,queonmerodehorasencontradodeverser somadoa12quefoiotemponaqualonmerodebactriasfoide200a600.

14Umaflorestapossui,aproximadamente,24000m3deplantasreflorestada,aqual,devidos

f ab1ab

= ab1ab

1

1 + ab1ab

=

1 + ab (a+b)

1 + ab + (a+b)1 + ab

1 + ab

=1 + ab a b1 + ab + a + b

ln lnln

ln312

ln2500,09

59

esforosdealunosdebiolgicas,aumentanarazode3.5%aoano.Outraflorestapossui,aproximadamente,48000m3 deplantasreflorestadacomamesmarazodecrescimentodaprimeira.(a)Quantosanosdevemtranscorrerparaqueaprimeiraflorestatenhaamesmaquantidadedeplantasdasegunda?(b)Quantosanossonecessriosparaqueambasasflorestastripliquemaquantidadedeplantas?

Resoluo:Denotemosporf(t)=240001.035teg(t)=480001.035tasfunesexponenciaisquemodelamcadafloresta.Ento:(a)Devemosterf(t)=48000;logo,240001.035t=48000,ento1.035t=2.Aplicandologaritmonaturalaambososlados:

t=20.14anos.

(b)Devemosterf(t0)=72000eg(t1)=144000,ento1.035t0=3e1.035t1=3.Aplicandologaritmonaturalaambososlados:

t=t0=t1=31.93anos.

15 Algunstomossonaturalmenteinstveis, detalmodoqueapsalgumtempo,semqualquerinflunciaexternasofremtransiesparaumtomodeumnovoelementoqumicoeduranteestatransioelesemitemradiaes.UsandoomodelodedecaimentopropostoporRutherfordemanipulandooscomequaesdiferenciaischegamosafrmuladedecaimento:y(t)=yo ek.taconstantededecaimentok,temvaloresdiferentesparasubstnciasdiferentes,soobtidasexperimentalmenteeyoaquantidadeinicialdeistopo.UmcasointeressanteodoCarbono14,esseistoposeacumulanosseresvivosdurantetodasuasvidasecomeaadecaircomosuasmorteseissopermitedatarfsseispelaexpressoacima.Atrecentemente,o fssil mais antigo dos antepassados do homem moderno era um homdeo do grupoAutralopithecus afarensis batizado pelo nome de Lucie, pois se trata de uma fmea. Noentanto,novasdescobertasdefsseismostramqueosprimeiroshomdeossurgiramnafricamuitoantesdisso,Ardipithecusramidus,porexemploumfssilcomcercade4,4milhesdeanos.Pergunta:sabendoqueameiavidadocarbono14(temponecessrioparareduzirseametade)5730anos,estimequantosporcentosdoistopoexistiaquandofoifeitaadatao.

Resoluo:Precisamosprimeiroencontrarovalordok,paraissousamosotempodemeiavidado

istopo;sequandoosereravivoexistiaumaquantidadeNdepoisde5730teremosapenasN/2

=Nek.(5730) = ek.(5730),aplicandoolnemambososlados:

ln=k.(5730) ln2= k.(5730) k= k 0,000121

Achadoovalordek,vamosencontraraquantidadedecarbono14queaindarestanofssil.

N=N0 e0,000121.4400000 = e532,46,05x10232%.

Restabempoucodocidado! 60

ln2ln1.035

ln3ln1.035

N2

12

12

ln25730

NN0

Podemossimplificarexpressescomoessaacima:N0=N ekt.ApsotempoT(tempodemeiavida)teremosapenasummeiodaquantidadeinicialdematerial:

=ekT 2 1=ekT,aplicandoolnaambososlados:

ln21=lnekT ln2= kT;isolandok:k==ln2

substituindoemN0=N ekt:

Essaexpressobemmaissimplesqueaanteriorpois,noaparecenenhumaconstanteetodos osvalorespodemseraplicadosdiretamente.

Exerccios

62Avalieasexpresses:

a)log5(1)+4log4(5)+log3(log5(125))b)49log7(2)25log5(3)

63Determineascondiesdeexistnciadoslogaritmos:

a)log2(x3)b)logx(x5x+6)c)logx1x64

64Resolvaasseguintesequaes:

a)log25(log3x)=0,5b)log7(x+2)+log7(x+3)=log76

c)log2[2+log2(x1)]=1d)log2x7log2x+6=0

65Sendologa=2,logb=3elogc=6,calcule: log 5 a2b2c366Simplifiqueasexpresses:

a)log28.log43.log252.log35b)logab.logbc.logca

67 Umremdiotemmeiavidade6horaseasconcentraesmnimaseficazeamximatoleradanocorpohumanosorespectivamente210e680microgramaspormililitro.Qualadosagemindicadaparaesseremdioeemqueintervaloaadetemposedeverrepetirseadosagem?

68Calculeameiavidadeumasubstnciaradioativaquesedesintegra4%aoano.

12

ln2T

1T

N=N e (ln2).t1T

N=N e0 0Tln2

t

N=N 20_tT N=N

12( )

tT

0

61

69Umapessoadepositaumaquantianacadernetadepoupana`ataxade2%aoms.Emquantosmesesaquantiadepositadatriplicar?

70 NotasenaUastqueonmerodemascotes(cesegatos)aumentaacadaperodoconsideravelmente.Seonmerodessasmascoteduplicasseacadaperodo,emquantosmesesteriatriplicadoaquantidadeinicialdesseshspede?

71 Umapipeta retira de umbquer 3% de seu contedo emcada suco. Se, aps oexperimento,restapenas54,37%,quantasforamassuces?

72(Vunesp)Ocorpodeumavtimadeassassinadofoiencontrados22h30minomdicodapolciachegoueimediatamentetomouatemperaturadocadver,queera32,5C.Umahoramaistardetomounovamenteatemperaturaeencontrou31,5;atemperaturadoambientefoimantidaconstanteeiguala16,5C.Admitaqueatemperaturanormaldeumapessoavivade36,5CesuponhaquealeimatemticaoresfriamentodocorpoD(t)=D02(2 t)emqueD0diferenaentreatemperaturadocadvercomomeionotempot=0, umaconstantepositiva,totempoemhoraseD(t)adiferenadetemperaturadocadvercoomeionuminstantetqualquer.Osdadosobtidospelomdicoformacolocadosnetabelaseguinte:

Hora Temperaturadocorpo(C)

Temperaturadoquarto(C)

Diferenadetemperatura(C)

t=? morte 36,5 16,5 D(t)=20

t=0 22h30min 32,5 16,5 D(0)=D0=16

t=1 23h30min 31,5 16,5 D(1)=15Considereosvaloresaproximadolog5=2,3elog3=1,6,determine:

a)aconstante;b)ahoraemqueapessoamorreu.

73 (PUCSP) Uma calculadora eletrnica possui as teclas das quatros operaesfundamentaiseasteclas10x,log10eloge(ln).Comoseobterovalorde eusandoasfunesdacalculadora?(oKaraqueidealizouesseexerccioignoraqueacalculadoratenhaatecla ex,ignoretambm,erespondacomosetalinstrumentospossusseasteclasapresentadasaqui.)

FunesTrigonomtricas

O primeiro pensamento que vem cabea quando ouvimos funes trigonomtricas que so funes na qual aparecer uma, ou mais, das relaes trigonomtricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e/ou cotangente. Esse pensamento no equivocado mas

62

para efeitos de preciso, torna-se necessrio uma definio mais formal que envolva alguns conhecimento de trigonometria. De antemo, informaremos que elas so funes peridicas, ou seja, funes nas quais os valores de (x) repetem-se a parti de um h .

Definio:Umafunoserperidicaseexisteumh,talque (x) = (x+h) paratodoxreal; h chamadodeperodode (x) edeveseromenorpossvelemqueaigualdadeacimaaindaocorra.

Saiba que alm das trigonomtricas existem vrias outras funes peridicas, so alguns exemplos a data, em meses e dias, que se repetem a cada ano por trs anos e de quatro em quatro anos - no bissexto, os dias da semana, as estaes do ano e, mais prximos de ns (futuros qumicos e bilogos) o batimento cardaco, as ondas de rdio, a vibrao de tomos em cristais etc.

OTringuloRetngulo o tringulo cujos catetos (os dois lados menores) formam entre si uma ngulo de 90

(ngulo reto, ou seja so perpendiculares). So trs as principais relaes trigonomtricas em tal figura geomtrica: seno, cosseno e tangente:

Propriedadesimportantesseno=cosseno;issofacilmenteobservado,acima.

Tangente=;acima:===tangente(Idem)

AB+BC=ACTeoremadePitgoras(demonstraoemqualquerlivrode8srie)

cateto

cateto

hipotenusa

A

B C

(

(| .

Seno=catetoopostohipotenusa

Seno= ABAC

Seno= BCAC

Cosseno=catetoadjacentehipotenusa

Cosseno= BCAC

Cosseno= ACAB

Tangente= catetoopostocatetoadjacente

Tangente= ABBC

Tangente= BCAB

SenoCosseno

seno cosseno

ABACBC

AC

ABBC

63

sen+cos=1;acima:sen+cos=+===1

Relaesemtringulosretngulos

A demonstrao dessas leis podem ser encontradas no livro do ensino mdio ColeoMatemtica, 2 srie, Dante, 2008,pg.910e1416, para maior aprofundamento no assunto, aconselhamos TRIGONOMETRIA , Coleo: SCHAUM ; ROBERT E. MOYER E FRANK AYRES JR. Editora Bookman companhia ed.; que acreditamos ter na biblioteca da UAST.

Exemplos:

1(UnisinosRS)Umaviolevantavosobumnguloconstantede20.Apspercorrer2000memlinhareta,aalturaatingidapeloavioserdeaproximadamente:(Dados:sen20=0,342;cos20=0,94etg20=0,364.)

a)728mb)1880mc)1000md)1720me)684m

Resoluo:Foidadoquesen20=0,364,sendoosenoarazoentreaalturaeadistnciadoavio

aopontodepartida.

sen20==0,342= h=684m;alternativae)

)

()

A

B C

Leidossenos:

ABsen

= BCsen

= ACsen

= 2

Leidossenos:Arazoentreumladoeseungulooposto,emtringuloQualquerconstanteeiguala2

Leidoscossenos:AB=BC+AC2.BC.ACcos2 2 2

AC=AB+BC2.AB.BCcos2 2 2

BC=AB+AC2.AB.ACcos2 2 2

Leidoscossenos:Oquadradodeumlado,numtringuloqualquer,igualasomadosquadradosdosoutrosladosmenososeupeloonguloentreeles

h2000m

) 20

h2000

h2000

ABAC

BCAC

AB+BCAC

ACAC

(Idem)

64

2(OBMEPOlimpadabrasileiradematemticadasescolaspblicas2005)Otopodeumaescadade25mdecomprimentoestencostadonaparedeverticaldeumedifcio.Opdaescadaest a 7 mde distnciadabase doedifcio, comona figura. Seo topodaescadaescorregar4mparabaixoaolongodaparde,qualserodeslocamentodopdaescada?

(A)4m(B)8m(C)9m(D)13m(E) 15m

Resoluo:Sejahalturanoedifcioondeestencostadaaescada,porPitgoras:

25=7+h h=62549=576 h=24m

Temosumtringulodedimenses25m,7me24m,seaescadaescorregar4m,teremosoutrotringulocomdimenses25m,x,244=20m,Amedidaqueprocuramosadex,que podesernovamenteencontradausandoPitgoras

25=x+20 x=625400=225 x=15m,alternativa(E)

3 Umaempresadetelecomunicao,aoinstalarumrededetelefonenumstio,precisoucolocardoispostesemladosopostosdeumlagosparapermitirpassarafiao,acontece,noentanto,quenofoipossvelmedirdiretamenteadistnciaentreosdoisposte.Oengenheirousandoaparelhoadequadoobservouquealinhadevisodeleeosposteerade120,edepois,apstermarcadosuaposio,observouqueonguloentrealinhadopostemaisdistantedaposioqueantesocupavaealinhaentreospostesera15equeamedidadadistnciadoposte mais prximoerade 36,6 m. Comesses dados o engenheiro conseguiuencontrar adistnciaqueprocurava.Qualadistnciaqueoengenheiroencontrou?

Resoluo

Sabemosqueasomadosngulosinternosdeumtringulonoplano180temosentoqueonguloentreasdistnciayed180120+45=15

Pelaleidossenos:= d=.122,47m

4Considereoproblemaacima;agoraemvezdeconhecermosonguloentreadistnciadosposte e a distncia do poste, mais distante, posio emque o engenheiro estava (15),sabemosqueessadistnciade100m.Calculeadistnciaentreospostes.

Resoluo:Pelaleidoscossenos:d=(36,6)+(100)2.36,6.100.cos120d=1339,56+100007320.(0,5)

d=11339,56+3660d= 14999,56 122,47m

...............7

escada

d

36,6

)120

(15

dsen120

36,6sen15

36,6.sen120sen15

65

OCicloTrigonomtricoTrata-se de uma circunferncia de raio 1, centrada na origem de um sistema de

coordenadas cartesianas. Em radianos Em graus

Na figura, o eixo do x definido como o eixo do cosseno e o eixo do y como o eixo do seno, assim o ponto xp o cosseno do nmero real P e yp seu seno. O sentido positivo dessa circunferncia o anti-horrio.

Definio:Funoseno:aordenadadopontopacima;D=eIm=[1,1],perodo(P)=360.

f (x) = sen (x) 1

1

Funocosseno:aabscissadopontopacima.D=eIm=[1,1].P=360.

(x)=cos (x)

1

1

0

1quadrante2quadrante

3quadrante 4quadrante

2 = 0

2

3 2

P

x

y

xp

yp

0

1quadrante2quadrante

3quadrante 4quadrante

0=360

90

180

270

P

x

y

66

Funotangente:Comovistoacimaarazoentreosenoecossenodeumngulo.

(x) = tg (x) =sen x cos x

, cos x 0

Essafunoexisteapenas paracosx0,i.e.,x90. Mas,vejaqueandando 180,chegaramosa270, xquecosx=0,dandooutra meiavolta,chegamosa 450,cujocosseno0,se prosseguimoscosx=0para todox=90+n180,n, D={x|x90+n180} Im=,P=360.

Funosecante:Definidacomoorecprocodafunocosseno:

f x = secx = 1cos x

D={x|x90+n180,n}4Im={y|y1ouy1},P=360.3(domnioigualaodatangente)2

4334

Funocossecante:Definidacomoorecprocodafunoseno:

f x = cossec x = 1senx

Odomniosertodosospontosondeosenx0,i.e.x0,dandoumavoltade

180,chegamosa180,ondeoseno=0 logoD={x|xn180,n},

Im={y|y1ouy1},P=360642246

1234

67

64 3 3 4 6

4

3

3

4

Funocotangente:Definidacomoafunorecprocadatangente:

f x = cotg x = 1tg x

= cos x sen x

D={x|xn180,n},Im=.P=180.(domnioigualaodocossecante)

Perodo o intervalo que em que a funo comea a repetir os valores. O domnio e a imagem so dados, geralmente em radianos, nos livros de matemtica, mas usamos mais o grau neste texto, por entend-lo mais simples e fcil de trabalhar, em todo caso, para transformar um no outro faz-se uma regra de trs simples com a informao de que um crculo completo tem 360 e 2 radianos, vamos transformar 30 em radianos:

360 2 30 x x = =

AlgumasPropriedades:

1senx+cosx=1;usandoPitgorasnocrculotrigonomtrico:senx+cosx=1=1.

2secx=tgx+1;==+=tgx+1.

3cossecx=cotgx+1;demostraoanlogaanterior.

Veja que por se tratar de um crculo, os valores do seno e cosseno se repetem, em mdulo, em cada quadrante. Por exemplo: no primeiro e segundo quadrante o valor do seno ser o mesmo para dois pontos eqidistante (mesma distncia), veja o seno de 120 e 60, tm o mesmo valor que, por sua vez, igual ao negativo dos senos de 240 e 300. Analogamente acontece com o cosseno e as outras funes trigonomtricas.

Frmuladeadio:

sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosasen(ab)=sena.cosbsenb.cosacos(a+b)=cosa.cosbsena.senbcos(ab)=cosa.cosb+sena.senb

tg(a+b)=

tg(ab)=

1cosx

senx+cosxcosx

senxcosx

cosxcosx

30. 2360

6

tga+tgb1tga.tgbtgatgb1+tga.tgb

68

As frmulas de adio ajudam a simplificar problemas trigonomtricos e so tambm usadas para demonstraes de identidades, funes, derivadas, limites e integrais trigonomtricas.

Frmulasdearcoduplo: Porque:

sen2a=2sena.cosa sena+a=sena.cosa+senb.sena sen2a=2sena.cosa

cos2a=cosasenaou2cosa1ou12sena cosa+a=cosa.cosasena.sena cos2a=cosasena.

sendocosa=1sena:cos2a=1senasena

tg2a= cos2a=12sena.

Frmuladoarcometade: Porque:

sena2=1cosa2

cos a2=1cos a2

tg=a2=1cos a1cos a

Exemplos:

1AssinaleVparaasexpressesverdadeiraseFparaasexpressesfalsas.

a)sen(30+60)=sen30+sen60e)sen(2.90)=2.sen(90)

b)sen5=sen0 f)sen50=2sen(180155).cos25

c)cos60=sen30 g)cos40=sen.

d)tg45=sen(0,5.) h)tg90=cotg0

Resoluo:Alternativaa)falsa(F)pois,sen(30+60)=sen30.cos60+sen60.cos30.Alternativab)verdadeira(V)pois,senn=0,n,esen0=0.Aalternativac)tambmverdadeira(V)pois,vimosquesen90a=cosa.

d)verdadeira(V)jque0,5 radianosigual90cujoseno1,assimcomotg45=1.Aalternativae)falsa(F)pois,sen2.a=2sena.cosa.Jvimosquesena=cos90a,logoaalternativag)verdadeira(V)pois,=50Altimaalternativacabulosa.Nossentimostentadosadizerqueelaverdadeira,

no entanto, devemos ponderar que somente porque duas coisas no esto definidas no significaqueessasduascoisassoiguais.tga=cotgbc|tga=cecotgb=c,massabemos queno existe nenhumc real paraqual tg 90 oucotg0 seja igual a c, logoa alternativafalsa(F).Osmbolosignificaexiste.

2tga1+tga

cos2b=12senbedefinindo2b=a:De:

cosa=12sen a2 2sen=1cosaa2

sena2= 1cos a2

De:cos2b=2cosb1,definido2b=a:cosa=2cos1a

2 2cos=cosa+12a

cosa2=1cos a2

518

518

69

2Determinesenxsabendoque0,5

Exerccios

74Encontreaimagemdasseguintesfunes:

a)f(x)=sen4x1b)f(x)=cos2x+3c)f(x)=sec6x+15d)f(x)=cosx4

75Determineosdomniosde:

a)f(x)=sen15x3b)f(x)=tg4x3c)f(x)=cotg5x+3d)sec3x+5

76Determinesenx,sabendoquecos2x=0,5.

77Encontretgxsabendoquecotgx=0,625

78Encontresecx,secotgx=1,7321

Funesdotipotrigonomtricas

So as funes que tm a formaf(x)=a+b.sen(cx+d)ef(x)=a+b.cos(cx+d),as primeiras so chamadas de funes senides e as segundas de cossenides. Os parmetrosae b do a imagem da funo. Lembrando que o mximo do seno e do cosseno 1 e que seus mnimos 1. Assim, os mximos das senides (a funo cossenide , na verdade, uma funo senide transladada) dependem dos valores de aeb,vamos analisar esses mximos e mnimos atravs dos exemplos abaixo.

f(x)=3+5sen(4x3),mx.3+5=8;mn.35=2;Im=[2,8]eD=;

f(x)=46cos(5x+2),mn.4+(6)=2;mx.4(6)=10;Im=[2,10],D=;

f(x)=74sen(6x+3),mn.7+(4)=11;mx.7(4)=3;Im=[11,3],D=;

f(x)=2+4sen(11x),mn.24=6;mx.2+4=2;Im=[6,2],D=;

f(x)=5cos(4x2),mn.02=2;mx.0+2=2;Im=[2,2],D=;

f(x)=3cos(15x+3),3+(1)=2;mx.3(1)=4;Im=[2,4],D=.

Logicamente, o mximo ser o de valor maior e o mnimo o de valor menor. O parmetro c determina o perodo da funo: P =,ouP = .

f(x)=32sen(4x3),P==;

f(x)=6+cos(3x+5),P==;

360|c|

2|4|

2

2|3|

23

2|c|

71

f(x)=1722cos(84x),P==.

O parmetro d d a transladao do grfico da funo, ou seja, a quantas unidades o grfico se comportar de sua posio convencional. Se d>0, o grfico ficar a d unidades esquerda de sua posio quando d=0, mas se d 0, qualquer que sejad .

Exemplos:

1Encontreaimagem,operodo,eaposiodogrficodasseguintessenides:

a)f(x)=2+4sen(5x3)b)f(x)=65cos(12x+4)c)f(x)=1sen(4x)

Resoluo:a) mx.2+4=6;mn.24=2;Im=[2,6].P==.Ogrficoesttransladado

3unidadesparaadireita(direopositivo)dogrficodef(x)=2+4sen5x.

b)mx.6(5)=11;mn.6+(5)=1;Im=[1,11].P==.Seugrficoesttransladado4unidadesesquerda(direonegativa)dogrficodef(x)=65cos12x.

c)mx.1(1)=2;mn.1+(1)=0;Im=[0,2].P==.Seugrficonotransladado vistoqueseudnulo.

2Ofluxodearatravsdatraquiaumafunoperidicadotempoxesedemambosossentidosdospulmes(inspiraoeexpirao).Ofluxopodeserrepresentadopelafuno:f(x)=Asen(wx),ondeAofluxomximoduranteaexpiraoeinspirao; woperodorespiratrio;w=,xotempoeTotempoqueoindivduolevaparafazerumciclocompleto.Afuno f(x), certamente,umaaproximao,poisTvariadeindivduoaindivduo.Mas,estudosexperimentaismostramqueuma"boa"aproximaodarealidade.SuponhaqueparaGenaelson, w =2,5rad/seA=6,a)em5segundosqualserofluxoquepassarporsuatraquia?b)seelefizerocicloem3segundos,qualserofluxo?

Resoluo:a) f(5)=6sen(2,5.5)f(5)=6.0,21643961,3

b) w=2,09 f(5)=6.sen(2,09.5)=6.0,1813774041,1

3)

2|4|

2

2|5|

25

2|12|

6

2|4|

2

2T

23

72

4)

Resoluo:

Exerccios

79Esboceosgrficosdasfunes:

a)f(x)=189cos(3x+6)b)f(x)=sen(17x+2)c)f(x)=19+tg(15x5)

80Omovimentoharmnicosimples(MHS)ummovimentoperidicoretilneoemtornodeumpontodeequilbrio,comoumpnduloqueoscilacontinuamentenaverticalsemnenhumtipoderestrio,comoporexemplo,africo.Estasposiessomuitobemdescritaspelasfunes:

f(t)=ksen(wt+b) ou g(t)=kcos(wt+b),

ondek,bew>0.Operodootemponecessrioparaumaoscilaocompletaeafrequnciaonmerodeoscilaesporunidadedetempo.SuponhaqueumcorpopresoaumamolarealizaumMHScujafunof(t)=6cos(2t+ /2).Determinea)apulsaodopontomaterialemt=4seb)operodoefrequncia.

81AturmadeagronomiadaUASTmediuatemperatura(emC)docanteirodestaunidadedurante3dias,emintervalosde1hora.Amediocomeous3horasdamanhdoprimeiro

360ww

360

73

diae terminou72horasdepois. Pelosdados obtidos, os estudante puderamaproximarosvalorespelafuno:f(t)=15+5.sen(1/12t3/2),sendototempoemhoras.Determineatemperaturamximaatingidaeohorrioqueessatemperaturaocorreunoprimeirodia.

Funestrigonomtricasinversas

Sabemos que as funes trigonomtricas no so bijetivas o seno e cosseno no so injetivas nem sobrejetivas em consequncia nem a secante ou cossecante. A funo tangente embora seja sobrejetiva no injetiva (nenhuma funo peridica poder ser injetiva) e em consequncia, a funo cotangente tambm no ser bijetiva. Logo no faz sentido falar em funes trigonomtricas inversas. Acontece, no entanto, que podemos delimitar o domnio dessas funes ao maior intervalo para o qual a funo no repete seus resultados, ou seja, o domnio ter dimenses do perodo da funo, assim a funo ser nesse intervalo injetiva. Para torn-la sobrejetiva delimitamos seu contradomnio ao intervalo entre seu mximo e seu mnimo, procedendo assim teremos, nesses novos domnio e contradomnio, uma funo bijetiva que por sua vez possuir uma inversa. Geralmente as funes trigonomtricas inversas so representadas por o prefixo arc mais o nome da funo. Exemplo: 1 (x) =arcsen x, 1 (x) = arccos xetc. Existe outra notao, inclusive a que est nas calculadoras, adiciona-se ao nome da funo o expoente 1 . Exemplo: sen 1 x, cos 1 x etc.

y=arcsenxseny=x; y=arccosxcosy=xy=arctgxtgy=x

Grficodesen 1 x grficodecos 1 x

grficodetg1x grficodecotg1x

74

Exemplo:1cos60=0,5,logo60=arccos0,5(lembre:60=/3rad)

2 - Qualodomnioeoconjuntoimagemdafunoy=arcsen4x?

Resoluo:Podemosescrever:4x=seny.Da,vem:Parax:14x1,logo:1/4x1/4.Portanto,Domnio=D=[1/4,1/4].Paray:aimagemserIm=[90y90]